文档文本内容
专题 01 相似三角形的八大模型（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 “A(cid:23)”(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:21)(cid:19)................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 “8(cid:23)”(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:21)(cid:19).................................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 “(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)”(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:21)(cid:19)....................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 “(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)”(cid:27)(cid:21)(cid:19)..............................................................................................................................10
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 “(cid:37)(cid:38)”(cid:27)(cid:21)(cid:19)......................................................................................................................................11
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 “(cid:39)(cid:40)(cid:39)”(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:21)(cid:19)..........................................................................................................................12
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 “(cid:41)(cid:23)(cid:42)”(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:21)(cid:19)..........................................................................................................................14
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 “(cid:43)(cid:32)(cid:44)(cid:45)(cid:21)”(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:21)(cid:19)..................................................................................................................16
模型一 A字模型
(cid:46)(cid:28)(cid:47)(cid:27)(cid:21)(cid:48)(cid:49)
(cid:50)(cid:21) (cid:51)“A(cid:23)”(cid:52)
(cid:53)(cid:54) (cid:55) (cid:56)(cid:57)DE(cid:58)BC
△𝐴𝐵𝐶
(cid:59)(cid:60)
(cid:61)(cid:62)
△ 𝐴𝐷𝐸∽△ 𝐴𝐵𝐶
(cid:46)(cid:63)(cid:47)(cid:27)(cid:21)(cid:64)(cid:65)
(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67) (cid:68)(cid:51)“A(cid:23)”(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:21)(cid:67)(cid:69)“A(cid:23)”(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:21)(cid:64)(cid:65)
(cid:50)(cid:21) (cid:69)“A”(cid:23)(cid:52)((cid:71)(cid:32)) (cid:69)“A”(cid:23)(cid:52)(cid:46)(cid:71)(cid:32)(cid:71)(cid:73))
(cid:55) (cid:56)(cid:57)D(cid:74)AB(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:57)E(cid:74)AC(cid:75)(cid:76) (cid:55) (cid:56)(cid:57)D(cid:74)AB(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:57) =
(cid:53)(cid:54)
(cid:77)(cid:57)△𝐴𝐵𝐶 = (cid:78) = (cid:78) △𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐵
∠𝐴𝐸𝐷 ∠𝐵 ∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐷𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵
(cid:59)(cid:60)
(cid:61)(cid:62)
△ 𝐴𝐷𝐸∽△ 𝐴𝐶𝐵 △ 𝐴𝐷𝐶∽△ 𝐴𝐶𝐵(cid:27)(cid:21)(cid:63) 8(cid:23)(cid:27)(cid:21)
(cid:46)(cid:28)(cid:47)(cid:27)(cid:21)(cid:48)(cid:49)
(cid:50)(cid:21) (cid:51)“8(cid:23)”(cid:52)
(cid:53)(cid:54) AC (cid:80) BD(cid:81)(cid:82)(cid:77) O(cid:57)AB(cid:58)CD(cid:46)(cid:78)(cid:28)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:32)(cid:25)(cid:31)(cid:47)
(cid:59)(cid:60)
(cid:61)(cid:62)
△ 𝐴𝑂𝐵∽△ 𝐶𝑂𝐷
(cid:46)(cid:63)(cid:47)(cid:27)(cid:21)(cid:64)(cid:65)
(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67) (cid:68)(cid:51)“8(cid:23)”(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:21)(cid:67)(cid:69)“8(cid:23)”(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:21)(cid:64)(cid:65)
(cid:50)(cid:21) (cid:69)“8(cid:23)”(cid:52)((cid:86)(cid:87)(cid:52)) (cid:88)(cid:89)(cid:52)
B(cid:57)D(cid:90)(cid:91)(cid:74)AE(cid:57)CE(cid:75)(cid:76)(cid:28)(cid:77)(cid:57)AD(cid:80)BC(cid:81)
(cid:53)(cid:54) AC (cid:80) BD (cid:81)(cid:82)(cid:77) O(cid:57) = (cid:78) =
(cid:82)(cid:77)F(cid:57) = (cid:78) =
∠𝐴 ∠𝐷 ∠𝐵 ∠𝐶
∠𝐴 ∠𝐶 ∠𝐴𝐵𝐹 ∠𝐶𝐷𝐹
(cid:59)(cid:60)
(cid:61)(cid:62)
△ 𝐴𝑂𝐵∽△ 𝐷𝑂𝐶 △ 𝐴𝐵𝐹∽△ 𝐶𝐷𝐹
(cid:27)(cid:21)(cid:30) (cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:21)
(cid:46)(cid:28)(cid:47)(cid:27)(cid:21)(cid:48)(cid:49)
(cid:50)(cid:21) (cid:92)(cid:93)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32) (cid:94)(cid:93)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)
(cid:95)(cid:96)(cid:30)(cid:32)(cid:52)(cid:55)(cid:97)(cid:29)(cid:92)(cid:93)(cid:57)(cid:77)P(cid:55)(cid:29)(cid:98)AB(cid:75)(cid:57) (cid:95)(cid:96)(cid:30)(cid:32)(cid:52)(cid:55)(cid:97)(cid:29)(cid:94)(cid:93)(cid:57)(cid:77)P(cid:55)BA(cid:76)(cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:75)(cid:57)
(cid:53)(cid:54)
1= 2= 3 1= 2= 3 (cid:46) 1(cid:57) 2 (cid:101)(cid:95)(cid:73)(cid:57) 3(cid:102)(cid:56)(cid:103)(cid:47)
∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)
△ 𝐶𝐴𝑃∽△ 𝑃𝐵𝐷 △ 𝐶𝐴𝑃∽△ 𝑃𝐵𝐷
(cid:46)(cid:63)(cid:47)(cid:27)(cid:21)(cid:64)(cid:65)
(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67) (cid:68)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:104)(cid:97)(cid:76)(cid:28)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:48)(cid:109)(cid:106)(cid:107)
(cid:53)(cid:54) 1= 2= 3=90°
∠ ∠ ∠
(cid:59)(cid:60)
(cid:61)(cid:62)
△ 𝐴𝐶𝑃∽△ 𝐵𝐸𝐷
(cid:27)(cid:21)(cid:110) (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:27)(cid:21)
(cid:27)(cid:21)(cid:48)(cid:49)
(cid:53)(cid:54) (cid:74)(cid:97)(cid:32)(cid:30)(cid:32)(cid:52)(cid:57) =90°(cid:57)
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
(cid:59)(cid:60)
(cid:111) = (cid:112)
2
(cid:61)(cid:62) (cid:113)△𝐷𝐵𝐴∽△𝐷𝐴𝐶⇒𝐴𝐷 = 𝐵𝐷⋅𝐶𝐷(cid:112)
2
(cid:114)△𝐷𝐵𝐴∽△𝐴𝐵𝐶⇒𝐴𝐵 = 𝐵𝐷⋅𝐵𝐶
2
△𝐷𝐴𝐶∽△𝐴𝐵𝐶⇒𝐴𝐶 𝐶𝐷⋅𝐵𝐶
(cid:27)(cid:21)(cid:115) (cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:21)
(cid:46)(cid:28)(cid:47)(cid:27)(cid:21)(cid:48)(cid:49)
(cid:53)(cid:54) (cid:111) =1 (cid:112)(cid:113) =1 (cid:112)(cid:114) =1 (cid:112)(cid:116) =1
𝐴𝐵∶𝐵𝐶 ∶𝑚 𝐷𝐸∶𝐶𝐷 ∶𝑛 𝐴𝐹∶𝐷𝐹 ∶𝑥 𝐸𝐹∶𝐵𝐹 ∶𝑦(cid:59)(cid:60)
1
(cid:117)(cid:75)(cid:118)4(cid:96)(cid:3)(cid:119)(cid:120)(cid:56)(cid:57)(cid:121)(cid:122)(cid:95)(cid:96)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:53)(cid:54)(cid:57)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:132)(cid:133) (cid:134)(cid:135)(cid:57)(cid:125)(cid:126) = (cid:57)
(cid:61)(cid:62) 𝐴𝐵
𝐵𝐶 𝑚
= 1 (cid:57)(cid:136) = 1
𝐷𝐸 𝐴𝐹 𝑛+
𝐶𝐷 𝑛 𝐷𝐹 𝑚
(cid:46)(cid:63)(cid:47)(cid:27)(cid:21)(cid:64)(cid:65)
(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67) “(cid:37)(cid:38)”(cid:27)(cid:21)(cid:137)(cid:138)(cid:76)(cid:139)(cid:140)(cid:29)(cid:123)(cid:141)
(cid:142)(cid:77)A(cid:123)(cid:139)(cid:140)(cid:29)
(cid:142)(cid:77)E(cid:80)(cid:77)A(cid:139)(cid:140)(cid:29)(cid:123)(cid:141)(cid:28)(cid:149)
(cid:142)(cid:77)B(cid:123)(cid:139)(cid:140)(cid:29)
(cid:142)(cid:77)D(cid:80)(cid:77)B(cid:139)(cid:140)(cid:29)(cid:123)(cid:141)(cid:28)(cid:149)
(cid:142)(cid:77)C(cid:123)(cid:139)(cid:140)(cid:29)
(cid:142)(cid:77)F(cid:123)(cid:139)(cid:140)(cid:29)
(cid:27)(cid:21)(cid:143) (cid:39)(cid:40)(cid:39)(cid:27)(cid:21)
(cid:46)(cid:28)(cid:47)(cid:27)(cid:21)(cid:48)(cid:49)
(cid:53)(cid:54) (cid:55) (cid:56)(cid:57)(cid:77) D(cid:57)E (cid:90)(cid:91)(cid:55)(cid:73) AB(cid:57)AC (cid:75)(cid:57)DE(cid:58)BC,(cid:145) DE (cid:146)(cid:77)A(cid:147)(cid:148)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐴(cid:59)(cid:60)
AD (cid:55) (cid:84) AD (cid:55) (cid:131) AD (cid:55) (cid:131)
(cid:159)(cid:40)(cid:39)(cid:29)(cid:160)(cid:81)(cid:77) (cid:159)(cid:40)(cid:39)(cid:29)(cid:160)(cid:81)(cid:77) (cid:159)(cid:40)(cid:39)(cid:29)(cid:161)(cid:81)(cid:77)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
(cid:111) (cid:57) (cid:112)
(cid:61)(cid:62) (cid:113)(cid:95)△(cid:53)𝐴𝐷(cid:40)𝐸(cid:39)∽(cid:29)△𝐴BD𝐵𝐶(cid:57)CE△(cid:25)𝐴𝐷(cid:81)𝐵(cid:82)∽(cid:77)△F𝐴(cid:57)𝐸𝐶(cid:136) = (cid:112)
(cid:114)(cid:95)(cid:53)(cid:40)(cid:39)(cid:29)BD(cid:57)CE(cid:25)(cid:81)(cid:82)(cid:77)F(cid:57)(cid:136)∠A𝐵(cid:57)𝐹B𝐶(cid:57)C∠(cid:57)𝐵F𝐴𝐶(cid:110)(cid:77)(cid:71)(cid:150)
(cid:46)(cid:63)(cid:47)(cid:27)(cid:21)(cid:64)(cid:65)
(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67) (cid:7)(cid:71)(cid:32)(cid:124)(cid:97)(cid:32)(cid:76)“(cid:39)(cid:40)(cid:39)”(cid:27)(cid:21)(cid:151)(cid:152)
(cid:53)(cid:54) (cid:55) (cid:56)(cid:57)DE(cid:58)BC(cid:57) =90°(cid:57)(cid:145) DE(cid:146)(cid:77)A (cid:147)(cid:148)
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 △𝐴
(cid:59)(cid:60)
(cid:111) (cid:57) (cid:112)
(cid:113)△𝐴𝐷𝐸∽(cid:112)△𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐷𝐵∽ △𝐴𝐸𝐶
(cid:61)(cid:62)
(cid:114)𝐵(cid:153)𝐷(cid:154)⊥B𝐶E𝐸(cid:57)CD(cid:57) + = + (cid:112)
2 2 2 2
(cid:116) (cid:110)(cid:73)(cid:52) = 1 𝐵𝐸 𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐷𝐸
2
𝑆 𝐵𝐶𝐷𝐸 𝐵𝐷⋅𝐶𝐸
(cid:27)(cid:21)(cid:155) (cid:41)(cid:23)(cid:42)(cid:27)(cid:21)
(cid:27)(cid:21)(cid:48)(cid:49)
(cid:50)(cid:21) (cid:123)(cid:156)(cid:104)(cid:29)(cid:157)(cid:97)(cid:32)(cid:30)(cid:32)(cid:52)(cid:25)(cid:26) (cid:123)(cid:158)(cid:104)(cid:29)(cid:157)(cid:97)(cid:32)(cid:30)(cid:32)(cid:52)(cid:25)(cid:26)
(cid:53)(cid:54) (cid:57) (cid:57) (cid:57) (cid:57) (cid:57)
𝐹𝐵⊥𝐵𝐶 𝐷𝐸⊥𝐶𝐹 𝐷𝑀⊥𝐵𝐶 𝐴𝐵⊥𝐵𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐹 𝐷𝑀⊥𝐵𝐶 𝐹𝑁⊥𝐴𝐵
(cid:59)(cid:60)
(cid:61)(cid:62) (cid:111) (cid:112) (cid:111) (cid:112)
△𝐵𝐶𝐹∽△𝑀𝐷𝐸 △𝑁𝐹𝐴∽△𝑀𝐷𝐸(cid:113) = = (cid:113) = =
𝐷𝐸 𝐷𝑀 𝐸𝑀 𝐷𝐸 𝐷𝑀 𝐸𝑀
𝐶𝐹 𝐵𝐶 𝐵𝐹 𝐴𝐹 𝐹𝑁 𝐴𝑁
(cid:27)(cid:21)(cid:162) (cid:43)(cid:32)(cid:44)(cid:45)(cid:27)(cid:21)
(cid:27)(cid:21)(cid:48)(cid:49)
(cid:53)(cid:54) (cid:135)(cid:59)(cid:111)(cid:57) + =180°
(cid:66)(cid:141) (cid:135)(cid:59)(cid:113)(cid:57)(cid:142)(cid:77)C(cid:123) ∠𝐴𝑂𝐵 (cid:82)∠𝐷(cid:77)𝐶M𝐸(cid:57) (cid:82)(cid:77)N
𝐶𝑀⊥𝐴𝑂 𝐶𝑁⊥𝑂𝐵
(cid:59)(cid:60)
(cid:61)(cid:62)
△ 𝐶𝐷𝑀∽△ 𝐶𝐸𝑁
【题型1 “A字”相似模型】
(cid:15)(cid:134)1(cid:19)(cid:135)(cid:59)(cid:57)(cid:55)Rt (cid:56)(cid:57) =90°(cid:57) = =6(cid:57) (cid:74) (cid:75)(cid:28)(cid:77)(cid:57)(cid:77) (cid:55) (cid:75)(cid:57)(cid:153)(cid:154) (cid:57) (cid:81)
(cid:82)(cid:77) (cid:57)(cid:163) =4△5°(cid:57)𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐴𝐶(cid:57)𝐵(cid:136) = 𝐴 𝐶 (cid:133)𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝐸 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐸
𝐹 ∠𝐶𝐹𝐸 𝐵𝐷 2𝐴𝐷 𝐶𝐸
(cid:15)(cid:164)(cid:120)1-1(cid:19)(cid:135)(cid:59)(cid:57)(cid:55) (cid:56)(cid:57)(cid:77) (cid:165) (cid:90)(cid:91)(cid:55) (cid:165) (cid:75)(cid:57) = (cid:57)(cid:135)(cid:166) =3(cid:57) (cid:76)(cid:167)(cid:168)(cid:124)
9(cid:57)(cid:110)(cid:73)(cid:52) (cid:76)(cid:167)(cid:168)△(cid:124)𝐴1𝐵6𝐶(cid:57)(cid:136) (cid:76)𝐷(cid:100)𝐸(cid:124) 𝐴𝐵(cid:133) 𝐴𝐶 ∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐶 𝐴𝐷 △𝐴𝐷𝐸
𝐵𝐷𝐸𝐶 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:164)(cid:120)1-2(cid:19)(cid:46)24-25(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:75)·(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:175)·(cid:176)(cid:177)(cid:47)(cid:135)(cid:59)(cid:57)(cid:55) (cid:56)(cid:57) (cid:124) (cid:76)(cid:43)(cid:32)(cid:29)(cid:57)(cid:178)(cid:152)(cid:179)(cid:180)(cid:123)
(cid:59)(cid:141)(cid:55) (cid:76)(cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:75)(cid:181)(cid:28)(cid:77)E(cid:57)(cid:182)(cid:183) (cid:133)(cid:46)▱(cid:184)𝐴𝐵(cid:185)𝐶(cid:123)𝐷(cid:59)(cid:186)𝐵(cid:187)𝐷(cid:57)(cid:188)▱(cid:189)𝐴𝐵(cid:123)𝐶(cid:141)𝐷(cid:47)
𝐵𝐷 △𝐶𝐷𝐵∽△𝐸𝐶𝐵(cid:15)(cid:164)(cid:120)1-3(cid:19)(cid:46)22-23(cid:162)(cid:170)(cid:171)(cid:190)·(cid:191)(cid:192)(cid:160)(cid:193)·(cid:176)(cid:56)(cid:47)(cid:135)(cid:59)(cid:57)P(cid:124) (cid:76)(cid:73) (cid:75)(cid:76)(cid:28)(cid:77)(cid:57)E(cid:57)F(cid:90)(cid:91)(cid:124) (cid:57)
(cid:76)(cid:56)(cid:77)(cid:57) (cid:57) (cid:57) (cid:76)(cid:167)(cid:168)(cid:90)(cid:91)(cid:124)S(cid:57)S (cid:57)S▱(cid:133)𝐴(cid:163)𝐵𝐶𝐷=3(cid:57)𝐴(cid:136)𝐷 + (cid:76)(cid:132)(cid:74)(cid:46)(cid:194)(cid:194)(cid:47) 𝑃𝐵 𝑃𝐶
1 2
△𝑃𝐸𝐹 △𝑃𝐷𝐶 △𝑃𝐴𝐵 𝑆
𝑆1 𝑆2
A(cid:133)24 B(cid:133)12 C(cid:133)6 D(cid:133)10
【题型2 “8字”相似模型】
(cid:15)(cid:134)2(cid:19)(cid:135)(cid:59)1(cid:57)ΔABC(cid:56)(cid:57)AB=AC(cid:57)(cid:77)D(cid:55)BA(cid:76)(cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:75)(cid:57)(cid:77)E(cid:55)BC(cid:75)(cid:57)DE=DC(cid:57)(cid:77)F(cid:74)DE(cid:80)AC
(cid:76)(cid:81)(cid:77)(cid:133)
(cid:46)1(cid:47)(cid:128)(cid:195)(cid:10) BDE= ACD(cid:112)
(cid:46)2(cid:47)(cid:163)DE=∠2DF(cid:57)(cid:142)∠(cid:77)E(cid:123)EG//AC(cid:81)AB(cid:82)(cid:77)G(cid:57)(cid:128)(cid:195)(cid:10)AB=2AG(cid:112)
(cid:46)3(cid:47)(cid:145)“(cid:77)D(cid:55)BA(cid:76)(cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:75)(cid:57)(cid:77)E(cid:55)BC(cid:75)”(cid:196)(cid:124)“(cid:77)D(cid:55)AB(cid:75)(cid:57)(cid:77)E(cid:55)CB(cid:76)(cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:75)”(cid:57)“(cid:77)F(cid:74)DE
(cid:80)AC(cid:76)(cid:81)(cid:77)”(cid:196)(cid:124)“(cid:77)F(cid:74)ED(cid:76)(cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:80)AC(cid:76)(cid:81)(cid:77)”(cid:57)(cid:197)(cid:198)(cid:53)(cid:54)(cid:188)(cid:164)(cid:57)(cid:135)(cid:59)2(cid:133)
①(cid:128)(cid:195)(cid:10)AB·BE=AD·BC(cid:112)
②(cid:163)DE=4DF(cid:57)(cid:178)(cid:97)(cid:154)(cid:189)(cid:129)S
ΔABC
:S
ΔDEC
(cid:76)(cid:132)(cid:133)
(cid:15)(cid:164)(cid:120)2-1(cid:19)(cid:135)(cid:59)(cid:57)E(cid:124) ABCD(cid:76)(cid:73)CD(cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:75)(cid:76)(cid:28)(cid:77)(cid:57)(cid:153)(cid:154)BE(cid:57)(cid:81)AC(cid:82)(cid:77)O(cid:57)(cid:81)AD(cid:82)(cid:77)F(cid:133)(cid:128)(cid:195)(cid:10)
= (cid:133) ▱
2
𝐵𝑂 𝐸𝑂⋅𝐹𝑂(cid:15)(cid:164)(cid:120)2-2(cid:19)(cid:135)(cid:59)(cid:57)(cid:110)(cid:73)(cid:52)ABCD(cid:199)(cid:110)(cid:73)(cid:52)ACED(cid:200)(cid:74)(cid:201)(cid:202)(cid:110)(cid:73)(cid:52)(cid:57)(cid:77)R(cid:124)DE(cid:76)(cid:56)(cid:77)(cid:57)BR(cid:90)(cid:91)(cid:81)AC(cid:165)CD(cid:82)
(cid:77)P(cid:165)Q(cid:133)
(cid:46)1(cid:47)(cid:128)(cid:195)(cid:10) (cid:112)
(cid:46)2(cid:47)(cid:128)BP(cid:10)△PQ𝑃(cid:10)𝐶𝑄QR∽(cid:76)△(cid:132)𝑅𝐷(cid:133)𝑄
(cid:15)(cid:164)(cid:120)2-3(cid:19)(cid:135)(cid:59)(cid:57)(cid:55)(cid:201)(cid:202)(cid:110)(cid:73)(cid:52) (cid:56)(cid:57)E(cid:124) (cid:73)(cid:76)(cid:56)(cid:77)(cid:57)(cid:153)(cid:154) (cid:57)(cid:163) (cid:76)(cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:199) (cid:76)(cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:25)(cid:81)
(cid:82)(cid:77)F(cid:133) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐷𝐶 𝐴𝐸 𝐴𝐸 𝐵𝐶
(cid:46)1(cid:47)(cid:128)(cid:195)(cid:10) = (cid:112)
(cid:46)2(cid:47)(cid:153)(cid:154) 𝐵(cid:199)𝐶 (cid:25)𝐶𝐹(cid:81)(cid:82)(cid:77)(cid:124)G(cid:57)(cid:163) (cid:76)(cid:167)(cid:168)(cid:124)2(cid:57)(cid:128)(cid:201)(cid:202)(cid:110)(cid:73)(cid:52) (cid:76)(cid:167)(cid:168)(cid:133)
【题型3 𝐴“𝐶 一 𝐵 线 𝐸 三等角”相似模型】 △𝐺𝐸𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:15)(cid:134)3(cid:19)(cid:135)(cid:59)(cid:57)(cid:110)(cid:73)(cid:52) (cid:74)(cid:203)(cid:52)(cid:57)(cid:77)P(cid:74)(cid:43)(cid:32)(cid:29)AC(cid:75)(cid:28)(cid:204)(cid:77)(cid:46)(cid:188)(cid:80)A(cid:165)C(cid:205)(cid:206)(cid:47)(cid:57)(cid:153)(cid:154) (cid:57)(cid:142)(cid:77)P(cid:123)
(cid:57)(cid:81) (cid:82)(cid:77)E𝐴(cid:57)𝐵(cid:125)𝐶𝐷(cid:126) =3(cid:57) =5(cid:133)(cid:207) (cid:76)(cid:100)(cid:124)x(cid:133) 𝑃𝐵
𝑃𝐸⊥𝑃𝐵 𝐷𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐴𝑃(1) =___________(cid:112)(cid:208) =1(cid:209)(cid:57)(cid:128) (cid:76)(cid:132)(cid:112)
𝑃𝐸
𝐴𝐵 𝑥 𝑃𝐵
(2)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:10) (cid:74)(cid:213)(cid:74)(cid:35)(cid:132)?(cid:163)(cid:74)(cid:57)(cid:178)(cid:128)(cid:129)(cid:214)(cid:96)(cid:132)(cid:112)(cid:163)(cid:188)(cid:74)(cid:57)(cid:178)(cid:215)(cid:216)(cid:36)(cid:68)(cid:112)
𝑃𝐸
𝑃𝐵
(3)(cid:208) (cid:74)(cid:31)(cid:217)(cid:30)(cid:32)(cid:52)(cid:209)(cid:57)(cid:178)(cid:128)(cid:129) (cid:76)(cid:132)(cid:133)
(cid:15)(cid:164)(cid:120)△3𝑃-𝐶1(cid:19)𝐸 (cid:46)24-25(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:75)·(cid:218)(cid:219)(cid:220)𝑥(cid:221)·(cid:176)(cid:177)(cid:47)(cid:135)(cid:59)(cid:57)(cid:55) (cid:56)(cid:57) = (cid:57)(cid:77) (cid:90)(cid:91)(cid:55)(cid:73) (cid:75)(cid:57)
= (cid:133) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐷, 𝐸 𝐵𝐶, 𝐴𝐶
∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐴𝐵𝐶
(1)(cid:128)(cid:195)(cid:10) (cid:112)
(2)(cid:135)(cid:166) △=𝐴8𝐵(cid:57)𝐷∽△=𝐷6𝐶(cid:57)𝐸 =7(cid:57)(cid:128) (cid:76)(cid:100)(cid:133)
(cid:15)(cid:164)(cid:120)𝐴3𝐵-2(cid:19)(cid:135)(cid:59)𝐵(cid:57)𝐶 𝐴𝐸(cid:57) 𝐷(cid:57)𝐶E(cid:74) (cid:75)(cid:28)(cid:77)(cid:57)(cid:182)(cid:183) (cid:112)
𝐴𝐵⊥𝐵𝐶 𝐷𝐶⊥𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐸⊥𝐷𝐸
(1)(cid:128)(cid:195)(cid:10) (cid:112)
(2)(cid:163) =△4(cid:57)𝐴𝐵𝐸∽=△𝐸𝐶=𝐷5(cid:57)(cid:128) (cid:76)(cid:100)(cid:112)
(3)(cid:208)𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐵(cid:209)𝐶(cid:57)(cid:178)(cid:189)(cid:129)𝐶(cid:29)𝐷(cid:98) (cid:165) (cid:165) (cid:222)(cid:103)(cid:223)(cid:224)(cid:3)(cid:119)(cid:57)(cid:225)(cid:215)(cid:216)(cid:36)(cid:68)(cid:133)
(cid:15)(cid:164)(cid:120)△3𝐴-𝐸3(cid:19)𝐷∽(cid:55)△(cid:201)𝐸(cid:167)𝐶𝐷(cid:97)(cid:32)(cid:226)(cid:227)(cid:119)(cid:56)(cid:57)O𝐴(cid:124)𝐷(cid:226)(cid:227)𝐴𝐵(cid:228)(cid:77)𝐶𝐷(cid:57)(cid:97)(cid:29) (cid:80)y(cid:229)(cid:81)(cid:82)(cid:77)A(cid:57)(cid:80)x(cid:229)(cid:81)(cid:82)(cid:77)B(cid:57) =2(cid:57)
(cid:76)(cid:167)(cid:168)(cid:124)2(cid:133) 𝐴𝐵 𝑂𝐴 △𝐴𝑂𝐵(1)(cid:135)(cid:59)1(cid:57)(cid:128)(cid:97)(cid:29) (cid:76)(cid:230)(cid:231)(cid:120)(cid:133)
(2)(cid:135)(cid:59)2(cid:57)(cid:29)(cid:98) 𝐴(cid:75)𝐵(cid:161)(cid:28)(cid:77)C(cid:57)(cid:97)(cid:29) (cid:124) = <0)(cid:57) (cid:229)(cid:57)(cid:145) (cid:146)(cid:77)B(cid:232)(cid:209)(cid:233)(cid:147)(cid:148)90°(cid:57)(cid:81)
(cid:82)(cid:77)D(cid:57)(cid:128)(cid:77)D𝑂(cid:76)𝐴(cid:226)(cid:227)(cid:133)(cid:46)(cid:152)(cid:234)k(cid:76)𝐵(cid:120)𝐶(cid:235)(cid:236)𝑦(cid:60)(cid:47)𝑘𝑥−2𝑘(𝑘 𝐴𝐷⊥𝑦 𝐵𝐶 𝐴𝐷
(3)(cid:135)(cid:59)3(cid:57)(cid:55)(cid:46)2(cid:47)(cid:76)(cid:53)(cid:54)(cid:190)(cid:57)(cid:153)(cid:154) (cid:57)(cid:81)(cid:97)(cid:29) (cid:82)(cid:77)E(cid:57)(cid:163) =45°(cid:57)(cid:128)(cid:77)E(cid:76)(cid:226)(cid:227)(cid:133)
【题型4 “射影定理”模型】 𝑂𝐷 𝐵𝐶 3∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐵𝐷𝑂
(cid:15)(cid:134)4(cid:19)(cid:46)23-24(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:75)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)·(cid:176)(cid:56)(cid:47)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:10)(cid:135)(cid:59)①(cid:57)(cid:55)Rt (cid:56)(cid:57) =90°(cid:57)(cid:135)(cid:166)
(cid:57)(cid:104)(cid:241)(cid:124)D(cid:57)(cid:242)(cid:243)(cid:161)(cid:190)(cid:244)(cid:61)(cid:62)(cid:10)① = (cid:112)② =△𝐴𝐵𝐶 (cid:112)③∠𝐴𝐶𝐵 = (cid:133)
2 2 2
𝐶𝐷⊥𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐷⋅𝐵𝐷 𝐴𝐶 𝐴𝐵⋅𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐵⋅𝐵𝐷
(cid:46)1(cid:47)(cid:178)(cid:245)(cid:195)(cid:216)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:56)(cid:76)(cid:61)(cid:62)③(cid:57)(cid:246) = (cid:133)
2
(cid:15)(cid:61)(cid:62)(cid:247)(cid:152)(cid:19)(cid:178)(cid:97)(cid:154)(cid:182)(cid:152)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:230)(cid:248)(cid:190)𝐵(cid:167)𝐶(cid:76)(cid:249)𝐴(cid:20)𝐵(cid:133)⋅𝐵𝐷
(cid:46)2(cid:47)(cid:135)(cid:59)②(cid:57)(cid:55)(cid:51)(cid:66)(cid:52) (cid:56)(cid:57)O(cid:74)(cid:43)(cid:32)(cid:29) (cid:165) (cid:76)(cid:81)(cid:77)(cid:57)(cid:77)E(cid:55)(cid:73) (cid:75)(cid:57)(cid:142)(cid:77)C(cid:123) (cid:57)(cid:104)(cid:241)
(cid:124)F(cid:57)(cid:153)(cid:154) (cid:133)(cid:128)(cid:195)(cid:10) 𝐴𝐵𝐶𝐷= (cid:133) 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐷 𝐶𝐹⊥𝐵𝐸
(cid:15)(cid:164)(cid:120)4-1(cid:19)𝑂𝐹(cid:135)(cid:59)(cid:57)(cid:55) ∠𝐵A𝑂BC𝐹(cid:56)(cid:57)∠𝐵𝐸𝐷 =90 (cid:57)CD AB(cid:57)(cid:104)(cid:241)(cid:124)D(cid:57)(cid:190)(cid:244)(cid:61)(cid:62)(cid:188)(cid:51)(cid:250)(cid:76)(cid:74)(cid:46) (cid:47)
∘
△ ∠ACB ⊥
A(cid:133) = B(cid:133)CD AB=AC BD C(cid:133)CD =BD AD D(cid:133)CB =BD AB
2 2
(cid:15)(cid:164)(cid:120)∠4A-2C(cid:19)D(cid:135)(cid:59)∠B(cid:57) (cid:56)(cid:57)⋅ =9⋅0°(cid:57) (cid:82)(cid:77) (cid:57)⋅ =90°(cid:57) =⋅ (cid:57)(cid:153)(cid:154) (cid:57)(cid:163)
𝛥𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐶𝐴 𝐶𝐷⊥𝐴𝐵 𝐷 ∠𝐵𝐸𝐷 𝐸𝐵 𝐸𝐷 𝐴𝐸=3 2(cid:57)(cid:136) (cid:76)(cid:167)(cid:168)(cid:124) (cid:133)
𝐵𝐶 𝛥𝐴𝐵𝐸
(cid:15)(cid:164)(cid:120)4-3(cid:19)(cid:46)24-25(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:75)·(cid:191)(cid:192)(cid:251)(cid:252)·(cid:253)(cid:98)(cid:254)(cid:255)(cid:47)(cid:135)(cid:59)(cid:57)(cid:55)(cid:203)(cid:52) (cid:56)(cid:57) =2 3(cid:57)(cid:43)(cid:32)(cid:29) (cid:80) (cid:25)
(cid:81)(cid:82)(cid:77) (cid:57)(cid:142)(cid:77) (cid:123) (cid:76)(cid:104)(cid:29)(cid:57)(cid:81) (cid:82)(cid:77) (cid:57) = (cid:57)(cid:136) (cid:76)(cid:132)𝐴𝐵(cid:124)𝐶𝐷 𝐵𝐷 (cid:133) 𝐴𝐶 𝐵𝐷
2
𝑂 𝐷 𝐴𝐶 𝐴𝐶 𝐸 𝐴𝐸 3𝐶𝐸 𝐷𝐸
【题型5 “飞鱼”模型】
(cid:15)(cid:134)5(cid:19)(cid:46)2023·(cid:256)(cid:191)(cid:257)(cid:258)·(cid:28)(cid:27)(cid:47)(cid:135)(cid:59)(cid:57)(cid:125)(cid:126)(cid:51)(cid:66)(cid:52) (cid:76)(cid:73)(cid:100)(cid:124)2(cid:57)(cid:77)E(cid:74) (cid:76)(cid:56)(cid:77)(cid:57)(cid:153)(cid:61) (cid:57)(cid:77)F(cid:55)
(cid:75)(cid:57)(cid:159) = (cid:57)(cid:153)(cid:61) (cid:225)(cid:99)(cid:100)(cid:81) (cid:82)(cid:77)G(cid:133)(cid:136) 𝐴(cid:76)𝐵𝐶(cid:100)𝐷(cid:74)(cid:46) (cid:47)(cid:133) 𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐴𝐸
𝐸𝐹 𝐶𝐸 𝐶𝐹 𝐴𝐵 𝐵𝐺
A(cid:133) 5 B(cid:133) 5+1 C(cid:133) 5 D(cid:133)1
(cid:15)(cid:164)(cid:120)5-1−(cid:19)1(cid:135)(cid:59)(cid:57)ΔABC (cid:56)(cid:57) BAC(cid:259)90°(cid:57)AB(cid:259)A3C−(cid:57)(cid:99)(cid:100) CA (cid:260)(cid:77) D(cid:57)(cid:182) AD(cid:259)AC(cid:57)(cid:77) E (cid:74) BC (cid:76)(cid:56)(cid:77)(cid:57)
(cid:153)(cid:154) DE (cid:81) AB (cid:82)(cid:77) F(cid:57)(cid:136) AF∠(cid:10)FB (cid:76)(cid:132)(cid:124)( )
1 2 2 2 2
A(cid:133) B(cid:133) C(cid:133) D(cid:133)
2 3 2 3
(cid:15)(cid:164)(cid:120)5-2(cid:19)(cid:46)2023·(cid:261)(cid:262)(cid:206)(cid:263)·(cid:30)(cid:27)(cid:47)(cid:125)(cid:126)(cid:10) (cid:56)(cid:57) (cid:124) (cid:73)(cid:56)(cid:77)(cid:57)(cid:142)(cid:77) (cid:76)(cid:97)(cid:29)(cid:81) (cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:82) (cid:57)(cid:81)
△𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝑀 𝐴𝐶(cid:82) (cid:57)(cid:264) = (cid:57) = (cid:57)(cid:136) + =(cid:46) (cid:47)
𝐴𝐵 𝐴𝐶
𝑁 𝐴𝑀 𝑚 𝐴𝑁 𝑛 𝑚 𝑛
3 1
A(cid:133)2 B(cid:133) C(cid:133) D(cid:133)1
2 2
(cid:15)(cid:164)(cid:120)5-3(cid:19)(cid:46)2023·(cid:110)(cid:265)(cid:266)(cid:200)·(cid:30)(cid:27)(cid:47)(cid:125)(cid:126)(cid:51)(cid:66)(cid:52) (cid:76)(cid:73)(cid:100)(cid:124)6(cid:57)(cid:204)(cid:77) (cid:90)(cid:91)(cid:55)(cid:73) (cid:75)(cid:247)(cid:204)(cid:57)(cid:153)(cid:154) (cid:133)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸,𝐹 𝐴𝐵,𝐶𝐷 𝐸𝐹
(1)(cid:135)(cid:59)1(cid:57)(cid:142) (cid:123) (cid:81)(cid:73) (cid:82)(cid:77) (cid:57)(cid:81) (cid:82)(cid:77) (cid:133)
i(cid:47)(cid:163) (cid:124) (cid:76)𝐵(cid:56)(cid:77)𝐵𝐺(cid:57)⊥(cid:124)𝐸𝐹 (cid:76)𝐴(cid:56)𝐷(cid:77)(cid:57)(cid:128)𝐺 (cid:76)𝐸(cid:100)𝐹(cid:112) 𝐻
ⅱ(cid:47)(cid:211)𝐺(cid:267)𝐴(cid:29)𝐷(cid:98) 𝐻(cid:222)𝐵(cid:103)𝐺(cid:76)(cid:223)(cid:224)(cid:3)(cid:119)(cid:57)𝐴𝐸(cid:189)(cid:129)(cid:245)(cid:76)(cid:61)(cid:62)(cid:225)(cid:195)(cid:216)(cid:133)
(2)(cid:135)(cid:59)2(cid:57)(cid:145)(cid:110)𝐴𝐸(cid:73),𝐷(cid:52)𝐺,𝐶𝐹 (cid:268) (cid:269)(cid:270)(cid:183)(cid:108)(cid:110)(cid:73)(cid:52) (cid:80) (cid:25)(cid:81)(cid:82)(cid:77) (cid:57)(cid:271)(cid:272)(cid:77) (cid:199)(cid:77) (cid:76)(cid:273)(cid:274)(cid:182)(cid:183)(cid:29)(cid:98)
′ ′ ′
(cid:275)(cid:276)(cid:277)(cid:142)(cid:278)(cid:77) (cid:133)𝐸𝐵𝐶𝐹 𝐸𝐹 𝐸𝐵 𝐶 𝐹,𝐵 𝐸 𝐴𝐷 𝑃 𝐸 𝐹
′ ′
𝐵i(cid:47)𝐶(cid:163)(cid:77) (cid:108) (cid:76)(cid:279)𝐷(cid:280) = 10(cid:57)(cid:128) (cid:76)(cid:100)(cid:112)
ⅱ(cid:47)(cid:77)𝐷(cid:108)𝐸𝐹(cid:76)(cid:279)(cid:280)𝐷(cid:74)𝑄(cid:213)(cid:281)(cid:55)(cid:282)(cid:283)(cid:132)𝐷𝑃(cid:284)(cid:163)(cid:281)(cid:55)(cid:57)(cid:178)(cid:97)(cid:154)(cid:189)(cid:129)(cid:214)(cid:96)(cid:282)(cid:283)(cid:279)(cid:280)(cid:112)(cid:163)(cid:188)(cid:281)(cid:55)(cid:57)(cid:178)(cid:215)(cid:216)(cid:36)(cid:68)(cid:133)
′
【题型 𝐵 6 “𝐴𝐷 手拉手”相似模型】
(cid:15)(cid:134)6(cid:19)(cid:46)23-24(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:190)·(cid:221)(cid:285)(cid:286)(cid:287)·(cid:176)(cid:177)(cid:47)(cid:15)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:291)(cid:19)
(cid:46)1(cid:47)(cid:135)(cid:59) 1(cid:57) (cid:199) (cid:74)(cid:97)(cid:32)(cid:30)(cid:32)(cid:52)(cid:57)(cid:28)(cid:292)(cid:32)(cid:278)(cid:77)(cid:205)(cid:206)(cid:82)(cid:77) A(cid:57) = =90°(cid:57)
= (cid:57)△(cid:128)𝐴𝐵(cid:195)𝐶(cid:10) △𝐴𝐷𝐸 (cid:112) ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐸
∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐸𝐷 △𝐶𝐴𝐸∽△𝐵𝐴𝐷(cid:15)(cid:293)(cid:210)(cid:151)(cid:152)(cid:19)
(cid:46)2(cid:47)(cid:135)(cid:59)2(cid:57)(cid:55)Rt (cid:199)Rt (cid:56)(cid:57)(cid:97)(cid:32)(cid:278)(cid:77)(cid:205)(cid:206)(cid:82)(cid:77)C(cid:57) = =90°(cid:57)(cid:77)D(cid:55) (cid:75)(cid:57)
△𝐴𝐵3𝐶 △𝐸𝐷𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐸𝐶𝐷 𝐴𝐵
= (cid:57)(cid:159) = (cid:57)(cid:153)(cid:154) (cid:57)(cid:163) =1(cid:57)(cid:128) (cid:76)(cid:100)(cid:112)
5
𝐵𝐶
∠(cid:15)𝐵(cid:64)𝐴𝐶(cid:65)(cid:294)∠(cid:295)𝐷(cid:19)𝐸𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐵𝐷 𝐴𝐸
(cid:46)3(cid:47)(cid:135)(cid:59)3(cid:57)(cid:55)Rt (cid:56)(cid:57) =90°(cid:57)(cid:77)D(cid:124)(cid:73) (cid:75)(cid:28)(cid:77)(cid:57) = (cid:57)E(cid:124) (cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:75)(cid:28)(cid:77)(cid:57)
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐷 7𝐶𝐷 𝐴𝐶
= =30°(cid:57)(cid:142)(cid:77)A(cid:123) (cid:57)(cid:81) (cid:76)(cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:82)(cid:77)Q(cid:133)(cid:178)(cid:97)(cid:154)(cid:189)(cid:129) (cid:76)(cid:132)(cid:133)
𝐵𝑄
∠𝐸 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝑄⊥𝐴𝐷 𝐸𝐵 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:164)(cid:120)6-1(cid:19)(cid:135)(cid:59)(cid:57)(cid:110)(cid:73)(cid:52) (cid:199)(cid:110)(cid:73)(cid:52) (cid:296)(cid:124)(cid:51)(cid:66)(cid:52)(cid:57)(cid:153)(cid:154)CF(cid:57)DG(cid:57)(cid:136) =(cid:46) (cid:47)
𝐷𝐺
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐸𝐹𝐺 𝐶𝐹
2 2 3 3
A(cid:133) B(cid:133) C(cid:133) D(cid:133)
3 2 3 2
(cid:15)(cid:164)(cid:120)6-2(cid:19)(cid:46)2023·(cid:75)(cid:297)(cid:298)(cid:299)·(cid:28)(cid:27)(cid:47)(cid:135)(cid:59)(cid:57)(cid:55)(cid:203)(cid:52) (cid:56)(cid:57)(cid:142)(cid:77)D(cid:123)(cid:43)(cid:32)(cid:29) (cid:76)(cid:104)(cid:29)(cid:57)(cid:104)(cid:241)(cid:124)E(cid:57)(cid:142)(cid:77)E
(cid:123) (cid:76)(cid:104)(cid:29)(cid:57)(cid:81)(cid:73) (cid:82)(cid:77)F(cid:57)(cid:135)(cid:166) =3(cid:57) =𝐴5𝐵(cid:57)𝐶(cid:242)𝐷(cid:243) (cid:76)(cid:100)(cid:74) (cid:133) 𝐴𝐶
𝐵𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐷𝐹
(cid:15)(cid:164)(cid:120)6-3(cid:19)(cid:135)(cid:59)(cid:300)(cid:60)(cid:57)(cid:55) (cid:56)(cid:57) =90°(cid:57) = =4(cid:57)(cid:55) (cid:56)(cid:57) =90°(cid:57)
(cid:77)P(cid:55) (cid:75)(cid:57) (cid:81) (cid:82)(cid:77)𝑅𝑡E△(cid:57)𝐴𝐵𝐶(cid:81) (cid:82)∠𝐴(cid:77)𝐵𝐶F(cid:133)(cid:208) =𝐴𝐵 3(cid:209),𝐵(cid:57)𝐶 (cid:76)(cid:132)(cid:124)𝑅(cid:46)𝑡△ (cid:47)𝑀(cid:133)𝑃𝑁 ∠𝑀𝑃𝑁
𝐴𝐶 𝑃𝑀 𝐴𝐵 𝑃𝑁 𝐵𝐶 𝑃𝐸 2𝑃𝐹 𝐴𝑃A(cid:133)1 B(cid:133)2 C(cid:133)3 D(cid:133)4
【题型7 “十字架”相似模型】
(cid:15)(cid:134)7(cid:19)(cid:135)(cid:59)(cid:57)(cid:55)(cid:51)(cid:66)(cid:52) (cid:56)(cid:57) =2 10﹐E(cid:57)F(cid:90)(cid:91)(cid:124) (cid:57) (cid:76)(cid:56)(cid:77)(cid:57)(cid:153)(cid:154) (cid:165) (cid:57) (cid:81) (cid:82)(cid:77)
G(cid:57)(cid:145) (cid:268) (cid:269)(cid:270)(cid:183)𝐴(cid:108)𝐵𝐶𝐷 (cid:57)𝐴𝐵(cid:99)(cid:100) (cid:81) (cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:82)(cid:77)𝐵Q𝐶(cid:57)(cid:153)𝐶𝐷(cid:154) (cid:57)(cid:136) 𝐴𝐸(cid:76)(cid:167)𝐵𝐹(cid:168)(cid:74)𝐴(cid:46)𝐸 𝐵 (cid:47)𝐹
△𝐵𝐶𝐹 𝐵𝐹 △𝐵𝑃𝐹 𝐹𝑃 𝐵𝐴 𝑄𝐺 △𝑄𝐺𝐹
25
A(cid:133) B(cid:133)25 C(cid:133)20 D(cid:133)15
2
(cid:15)(cid:164)(cid:120)7-1(cid:19)(cid:46)24-25(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:190)·(cid:301)(cid:219)(cid:298)(cid:302)·(cid:253)(cid:98)(cid:254)(cid:255)(cid:47)(cid:135)(cid:59)(cid:57)(cid:55)(cid:203)(cid:52) (cid:56)(cid:57)(cid:77)E(cid:124)(cid:33)(cid:29) (cid:75)(cid:28)(cid:204)(cid:77)(cid:57)(cid:153)(cid:154)
(cid:133)(cid:145) (cid:268) (cid:269)(cid:270)(cid:57)(cid:182)(cid:77)B(cid:303)(cid:55)(cid:77)F(cid:304)(cid:57) (cid:81) (cid:82)(cid:77)G(cid:133)𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐶
𝐴𝐸 △𝐴𝐵𝐸 𝐴𝐸 𝐴𝐸 𝐵𝐷
(1)(cid:135)(cid:59)1(cid:57)(cid:208)(cid:77)E(cid:55) (cid:73)(cid:75)(cid:57)(cid:77)F(cid:55) (cid:73)(cid:75)(cid:209)(cid:57)(cid:163) =3(cid:57) =1.5(cid:57)(cid:128) (cid:76)(cid:132)(cid:112)
𝐵𝐹
(2)(cid:135)(cid:59)2(cid:57)(cid:208)(cid:77)E(cid:55)𝐵𝐶(cid:73)(cid:75)(cid:57)(cid:77)F(cid:55)𝐵𝐷(cid:73)(cid:75)(cid:209)(cid:57)(cid:163)𝐴𝐵=2(cid:57)𝐵(cid:159)𝐸 = (cid:209)(cid:57) 𝐶𝐷 (cid:128) (cid:76)(cid:100)(cid:112)
(3)(cid:135)(cid:59)3(cid:57)(cid:208)(cid:77)E(cid:55)𝐵(cid:29)𝐶(cid:98) (cid:76)(cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:75)𝐵𝐷(cid:57)(cid:145) (cid:268)𝐴𝐵 (cid:269)(cid:270)(cid:305)(cid:57)𝐸𝐹 (cid:306)𝐸(cid:307)𝐶 (cid:277)(cid:142)(cid:77)𝐵𝐹(cid:57)(cid:208) =3(cid:57) =5(cid:209)(cid:57)
(cid:128) (cid:76)(cid:100)(cid:133) 𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐸 𝐴𝐸 𝐸𝐹 𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶
𝐸𝐺(cid:15)(cid:164)(cid:120)7-2(cid:19)(cid:46)2024·(cid:308)(cid:309)(cid:110)(cid:201)·(cid:27)(cid:310)(cid:311)(cid:312)(cid:47)(cid:313)(cid:223)(cid:11)(cid:314)(cid:315)(cid:316)(cid:83)(cid:55)(cid:223)(cid:11)(cid:317)(cid:131)(cid:318)(cid:204)(cid:56)(cid:57)(cid:43)(cid:319)(cid:73)(cid:52)(cid:84)(cid:95)(cid:53)(cid:44)(cid:25)(cid:104)(cid:97)(cid:76)
(cid:29)(cid:98)(cid:320)(cid:321)(cid:135)(cid:190)(cid:211)(cid:212)(cid:10)
(cid:15)(cid:322)(cid:323)(cid:324)(cid:325)(cid:19)
(cid:46)1(cid:47)(cid:135)(cid:59)①(cid:300)(cid:60)(cid:57)(cid:55)(cid:51)(cid:66)(cid:52) (cid:56)(cid:57)(cid:77)E(cid:57)F(cid:90)(cid:91)(cid:74) (cid:75)(cid:76)(cid:95)(cid:77)(cid:57)(cid:153)(cid:154) (cid:57) (cid:57)(cid:128)(cid:195)(cid:10) = (cid:112)
(cid:15)(cid:50)(cid:326)(cid:211)(cid:212)(cid:19) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵,𝐴𝐷 𝐷𝐸,𝐶𝐹 𝐸𝐷⊥𝐶𝐹 𝐷𝐸 𝐶𝐹
(cid:46)2(cid:47)(cid:135)(cid:59)(cid:46)2(cid:47)(cid:300)(cid:60)(cid:57)(cid:55)(cid:203)(cid:52) (cid:56)(cid:57) =7(cid:57) =4(cid:57)(cid:77)E(cid:74) (cid:75)(cid:76)(cid:28)(cid:77)(cid:57)(cid:153)(cid:154) (cid:57)(cid:159) (cid:57)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐶𝐸,𝐵𝐷 𝐶𝐸⊥𝐵𝐷
(cid:136) (cid:76)(cid:132)(cid:124)__________(cid:112)
𝐶𝐸
𝐵𝐷
(cid:15)(cid:64)(cid:65)(cid:99)(cid:327)(cid:19)
(cid:46)3(cid:47)(cid:135)(cid:59)③(cid:300)(cid:60)(cid:57)(cid:55)(cid:110)(cid:73)(cid:52) (cid:56)(cid:57) = =90°(cid:133)(cid:77)E(cid:124) (cid:75)(cid:28)(cid:77)(cid:57)(cid:153)(cid:154) (cid:57)(cid:142)(cid:77)C(cid:123) (cid:76)(cid:104)(cid:29)
𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴 ∠𝐵 𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝐷𝐸
(cid:81) (cid:76)(cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:82)(cid:77)G(cid:57)(cid:81) (cid:76)(cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:82)(cid:77)F(cid:133)(cid:163) =6(cid:57) =4(cid:57)(cid:136) (cid:76)(cid:132)(cid:124)__________(cid:133)
𝐷𝐸
(cid:15)𝐸(cid:164)𝐷(cid:120)7-3(cid:19)(cid:46)2025·(cid:301)(cid:219)(cid:328)𝐴(cid:329)𝐷·(cid:27)(cid:310)(cid:311)(cid:312)(cid:47)(cid:313)(cid:330)(cid:331)(cid:165)𝐴𝐵(cid:332)(cid:165)(cid:333)(cid:30)𝐴𝐷(cid:273)(cid:92)(cid:11)(cid:334)(cid:202) 𝐶 (cid:321) 𝐹 (cid:28)(cid:335)(cid:152)(cid:51)(cid:66)(cid:52)(cid:336)(cid:337)(cid:270)(cid:338)(cid:211)(cid:212)(cid:25)(cid:3)
(cid:223)(cid:11)(cid:249)(cid:20)(cid:76)(cid:317)(cid:20)(cid:11)(cid:255)(cid:318)(cid:204)(cid:133)
(cid:318)(cid:204)(cid:106)(cid:339)(cid:10)
(cid:135)(cid:59)2(cid:57)(cid:145)(cid:73)(cid:100)(cid:124)8cm(cid:76)(cid:51)(cid:66)(cid:52)(cid:336)(cid:337) (cid:268) (cid:270)(cid:338)(cid:46)(cid:270)(cid:186) (cid:90)(cid:91)(cid:80) (cid:165) (cid:81)(cid:82)(cid:77) (cid:165) (cid:47)(cid:57)(cid:182)(cid:77) (cid:303)(cid:55)
(cid:73)(cid:75)(cid:76)(cid:77) (cid:304)(cid:57) (cid:80) (cid:81)(cid:82)(cid:77) (cid:304)(cid:57)𝐴(cid:153)𝐵𝐶(cid:154)𝐷 𝐸(cid:80)𝐺 (cid:81)(cid:82)(cid:77) (cid:133)𝐸𝐺 𝐴𝐵 𝐷𝐶 𝐸 𝐺 𝐵 𝐴𝐷
(cid:300)(cid:183)(cid:61)(cid:62)𝐹(cid:10) 𝐹𝑁 𝐷𝐶 𝑀 𝐵𝐹 𝐸𝐺 𝑃
(cid:208)(cid:77) (cid:80) (cid:76)(cid:56)(cid:77)(cid:205)(cid:206)(cid:209)(cid:10)(cid:46)(cid:135)(cid:59)1(cid:47)(cid:331)(cid:165)(cid:332)(cid:165)(cid:333)(cid:30)(cid:273)(cid:92)(cid:11)(cid:340)(cid:183)(cid:108)(cid:135)(cid:190)(cid:28)(cid:96)(cid:51)(cid:250)(cid:61)(cid:62)(cid:46)(cid:78)(cid:61)(cid:166)(cid:47)(cid:10)
(cid:331)(cid:10)𝐹 𝐴𝐷(cid:76)(cid:73) =______cm(cid:57) =______cm(cid:112)
(cid:332)(cid:10)△𝐴𝐸𝐹(cid:76)(cid:341)𝐴(cid:100)𝐸(cid:124)16cm(cid:112) 𝐸𝐹
(cid:333)(cid:10)△𝐹=𝐷𝑀 (cid:133)
(cid:245)(cid:76)𝐸(cid:121)𝐺(cid:342)(cid:10)𝐵𝐹(1)(cid:343)(cid:344)(cid:331)(cid:92)(cid:11)(cid:300)(cid:183)(cid:61)(cid:166)(cid:56)(cid:76)(cid:223)(cid:345)(cid:112)
(2)(cid:208)(cid:77) (cid:55) (cid:73)(cid:75)(cid:346)(cid:77)A(cid:165) (cid:131)(cid:76)(cid:121)(cid:347)(cid:28)(cid:304)(cid:46)(cid:135)(cid:59)2(cid:47)(cid:209)(cid:10)
①(cid:210)(cid:249)𝐹(cid:332)(cid:92)𝐴(cid:11)𝐷(cid:76)(cid:61)(cid:166)(cid:74)(cid:213)(cid:348)𝐷(cid:349)(cid:164)(cid:350)(cid:284)(cid:178)(cid:195)(cid:216)(cid:245)(cid:76)(cid:61)(cid:62)(cid:112)
②(cid:97)(cid:154)(cid:189)(cid:129)S(cid:46)S(cid:124)(cid:110)(cid:73)(cid:52) (cid:76)(cid:167)(cid:168)(cid:47)(cid:76)(cid:282)(cid:283)(cid:132)(cid:74)(cid:319)(cid:351)(cid:284)
【题型8 “对角互补型”相 𝐴𝐸 似 𝐺𝐷 模型】
(cid:15)(cid:134)8(cid:19)(cid:46)22-23(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:75)·(cid:256)(cid:191)(cid:352)(cid:353)·(cid:253)(cid:98)(cid:254)(cid:255)(cid:47)(cid:35)(cid:354)(cid:10)(cid:163)(cid:110)(cid:73)(cid:52)(cid:161)(cid:28)(cid:83)(cid:43)(cid:32)(cid:44)(cid:45)(cid:57)(cid:28)(cid:83)(cid:355)(cid:73)(cid:25)(cid:31)(cid:57)(cid:159)(cid:25)(cid:31)(cid:355)
(cid:73)(cid:76)(cid:356)(cid:32)(cid:124)(cid:97)(cid:32)(cid:57)(cid:357)(cid:214)(cid:149)(cid:76)(cid:59)(cid:52)(cid:358)(cid:124)“(cid:97)(cid:32)(cid:31)(cid:355)(cid:43)(cid:45)”(cid:110)(cid:73)(cid:52)(cid:57)(cid:359)(cid:358)“(cid:97)(cid:31)(cid:45)”(cid:110)(cid:73)(cid:52)(cid:133)
(cid:360)(cid:345)(cid:361)(cid:75)(cid:35)(cid:354)(cid:57)(cid:230)(cid:248)(cid:190)(cid:244)(cid:249)(cid:20)(cid:10)
(1)(cid:362)(cid:363)(cid:51)(cid:66)(cid:52) “(cid:97)(cid:31)(cid:45)”(cid:110)(cid:73)(cid:52)(cid:112)(cid:364)(cid:52) “(cid:97)(cid:31)(cid:45)”(cid:110)(cid:73)(cid:52)(cid:133)((cid:343)“(cid:74)”(cid:78)“(cid:188)(cid:74)”(cid:47)
(2)(cid:135)(cid:59)1(cid:57)(cid:55)(cid:300)(cid:365)(cid:76)(cid:366)(cid:367)(cid:56)(cid:57)(cid:368)(cid:129)(cid:369)(cid:206)(cid:53)(cid:54)(cid:76)“(cid:97)(cid:31)(cid:45)”(cid:110)(cid:73)(cid:52) (cid:112)
(3)(cid:135)(cid:59)2(cid:57)(cid:125)(cid:126)(cid:110)(cid:73)(cid:52) (cid:74)“(cid:97)(cid:31)(cid:45)”(cid:110)(cid:73)(cid:52)(cid:57) (cid:259) (cid:259)5(cid:57)𝐴𝐸𝐶(cid:259)𝐹1(cid:57) (cid:370) (cid:57)(cid:77) (cid:108)(cid:97)(cid:29) (cid:76)(cid:279)(cid:280)(cid:124) (cid:133)
①(cid:128) (cid:76)(cid:100)(cid:112) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐸
②(cid:163)𝐵𝐸(cid:165) (cid:90)(cid:91)(cid:74) (cid:165) (cid:73)(cid:75)(cid:76)(cid:204)(cid:77)(cid:57)(cid:128) (cid:341)(cid:100)(cid:76)(cid:282)(cid:316)(cid:132)(cid:133)
(cid:15)(cid:164)(cid:120)𝑀8-1𝑁(cid:19)(cid:46)24-2𝐴5𝐵(cid:169)(cid:170)𝐴𝐷(cid:171)(cid:75)·(cid:256)(cid:191)(cid:371)(cid:252)·(cid:253)(cid:98)△(cid:254)𝑀(cid:255)𝑁𝐶(cid:47)(cid:135)(cid:59)(cid:57)(cid:77)G(cid:74) (cid:76)(cid:205)(cid:372)(cid:57)(cid:153)(cid:154) (cid:57)(cid:123) (cid:57)(cid:182)
(cid:80) (cid:44)(cid:45)(cid:57) (cid:81)(cid:73) (cid:82)(cid:77)D(cid:57) =6(cid:57) =4(cid:57)(cid:136) (cid:76)(cid:100)(cid:124) △ 𝐴𝐵(cid:133)𝐶 𝐵𝐺 ∠𝐵𝐺𝐷 ∠𝐵𝐺𝐷
∠𝐴𝐵𝐶 𝐺𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐷 𝐵𝐺(cid:15)(cid:164)(cid:120)8-2(cid:19)(cid:15)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:291)(cid:19)
(1)(cid:135)(cid:59)①(cid:57)(cid:55)(cid:110)(cid:73)(cid:52) (cid:56)(cid:57) (cid:57) = (cid:57)(cid:128)(cid:195) (cid:112)
(2)(cid:15)(cid:293)(cid:210)(cid:151)(cid:152)(cid:19)(cid:135)(cid:59)②𝐴𝐵(cid:57)𝐶𝐷(cid:55)(cid:201)(cid:202)𝐴(cid:110)𝐷∥(cid:73)𝐵(cid:52)𝐶 ∠𝐴𝐶𝐷(cid:56)(cid:57)∠(cid:77)𝐵 (cid:55) (cid:75)∶△(cid:57)𝐴𝐵𝐶∽(cid:80)△𝐷𝐶(cid:44)𝐴(cid:45)(cid:57) =2(cid:57) =4(cid:57)(cid:128)
(cid:76)(cid:100)(cid:112) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐵𝐶 ∠𝐴𝐸𝐷 ∠𝐶 𝐵𝐸 𝐸𝐶 𝐴𝐸
(3)(cid:15)(cid:64)(cid:65)(cid:294)(cid:295)(cid:19)(cid:135)(cid:59)③(cid:57)(cid:55)(cid:364)(cid:52) (cid:56)(cid:57) (cid:124)(cid:197)(cid:84)(cid:373)(cid:28)(cid:77)(cid:57) (cid:80) (cid:44)(cid:45)(cid:57)(cid:77) (cid:55) (cid:75)(cid:57) (cid:57)(cid:159)
= (cid:57) =3(cid:57) =1(cid:57)(cid:128)𝐴𝐵𝐶(cid:76)𝐷(cid:100)(cid:133)𝐸 ∠𝐴𝐸𝐷 ∠𝐶 𝐹 𝐶𝐷 𝐸𝐹∥𝐴𝐷
𝐴(cid:15)𝐷(cid:164)(cid:120)2𝐸8-𝐹3(cid:19)𝐴(cid:152)𝐸(cid:28)(cid:53)(cid:97)𝐶(cid:29)𝐹(cid:374)(cid:30)(cid:32)(cid:52)(cid:76)𝐷𝐸(cid:95)(cid:73)(cid:57)(cid:163)(cid:300)(cid:374)(cid:183)(cid:76)(cid:110)(cid:73)(cid:52)(cid:43)(cid:32)(cid:44)(cid:45)(cid:57)(cid:136)(cid:358)(cid:375)(cid:97)(cid:29)(cid:124)(cid:30)(cid:32)(cid:52)(cid:376)(cid:30)(cid:53)(cid:73)(cid:75)(cid:76)
(cid:377)(cid:201)(cid:202)(cid:29)(cid:133)(cid:135)(cid:59)1(cid:57) (cid:124) (cid:76)(cid:374)(cid:29)(cid:57)(cid:374)(cid:183)(cid:110)(cid:73)(cid:52) (cid:57)(cid:163) + =180 (cid:57)(cid:136)(cid:358) (cid:124) (cid:73) (cid:76)
∘
(cid:377)(cid:201)(cid:202)(cid:29)(cid:112)(cid:135)(cid:59)2(cid:57)𝐷(cid:125)𝐸(cid:126) 𝛥𝐴𝐵𝐶(cid:56)(cid:57) = (cid:57)(cid:142) (cid:73)𝐵𝐶(cid:75)𝐸(cid:76)𝐷(cid:77) (cid:123)∠𝐵𝐷𝐸// ∠(cid:81)𝐶 (cid:82)(cid:77) (cid:57)(cid:142)(cid:77) 𝐷(cid:123)𝐸(cid:73)𝛥𝐴(cid:76)𝐵𝐶(cid:377)(cid:201)𝐵𝐶(cid:202)
(cid:29) (cid:57)(cid:81) (cid:73)(cid:82)(cid:77) (cid:133) 𝛥𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐷 𝐷𝐸 𝐵𝐶 𝐸 𝐸 𝐴𝐵
𝐸𝐹 𝐵𝐶 𝐹
(cid:46)1(cid:47)(cid:128)(cid:195)(cid:10) (cid:74)(cid:73) (cid:76)(cid:377)(cid:201)(cid:202)(cid:29)(cid:133)
(cid:46)2(cid:47) (cid:77)(cid:74) 𝐷𝐸 (cid:76)(cid:131)𝐵𝐶(cid:372)(cid:57)(cid:153)(cid:154)CO(cid:57)(cid:128)(cid:195)(cid:10) (cid:133)
(cid:46)3(cid:47)𝑂(cid:125)(cid:126) 𝛥𝐴=𝐵𝐶5(cid:57) =6(cid:57)(cid:142)(cid:77) (cid:123)(cid:73) (cid:76)𝐶𝑂(cid:377)⊥(cid:201)𝐹(cid:202)𝐸(cid:29) (cid:57)(cid:81)(cid:73) (cid:82)(cid:77) (cid:133)
①(cid:210)(cid:211)(cid:267)𝐴𝐵(cid:124)(cid:347)(cid:132)(cid:209)𝐵𝐶(cid:57)(cid:110)(cid:73)(cid:52) 𝐹 (cid:76)(cid:167)𝐴𝐶(cid:168)(cid:282)(cid:283)(cid:57)(cid:225)(cid:128)𝐹(cid:129)𝐺 (cid:282)(cid:283)(cid:132)𝐴(cid:112)𝐵 𝐺
𝐴𝐷 𝐴𝐺𝐹𝐸
②(cid:55)①(cid:76)(cid:53)(cid:54)(cid:190)(cid:57)(cid:326)(cid:378) + (cid:283)(cid:316)(cid:3)(cid:119)(cid:133)(cid:46)“ (cid:165)(cid:78)=”(cid:47)
𝐴𝐷 𝐵𝐺 𝐴𝐵
⟨ ⟩
