专题 22.3 相似三角形的判定（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:19)................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:32)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:19)........................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:31)(cid:28)(cid:32)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:19)........................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:41)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:19)..........................................................................................................10
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:30)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:19)......................................................................................................13
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:51)(cid:52)(cid:49)(cid:30)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:19)..........................................................................................................................16
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:49)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:19)..............................................................................................................18
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:58)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:34)(cid:58)(cid:19)..........................................................................................................................23
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:19)..................................................................................................................................26
知识点1 相似三角形
1. (cid:27)(cid:62)(cid:10)(cid:41)(cid:31)(cid:63)(cid:64)(cid:28)(cid:32)(cid:65)(cid:41)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:59)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:66)(cid:67)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:68) ABC(cid:69) A B C (cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:71)(cid:55) ABC
1 1 1
A B C (cid:68) △ △ △ ∽
1 1 1
△2. (cid:72)(cid:32)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:37)(cid:74)
(cid:72)(cid:32)(cid:41)(cid:31)(cid:50) (cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)
(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:72)(cid:78)(cid:79)(cid:59)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:66)(cid:67)(cid:72)(cid:32)(cid:41) (cid:41)(cid:31)(cid:63)(cid:64)(cid:28)(cid:32)(cid:65)(cid:41)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:59)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)
(cid:27)(cid:62)
(cid:31)(cid:50) (cid:50)(cid:66)(cid:67)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)
(cid:80)(cid:81) (cid:50)(cid:82)(cid:28)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:28)(cid:32) (cid:50)(cid:82)(cid:28)(cid:83)(cid:87)(cid:85)(cid:86)(cid:88)(cid:89)(cid:27)(cid:28)(cid:32)
(cid:56)(cid:50)(cid:90)(cid:91)
(cid:34)(cid:35)(cid:33) (cid:28)(cid:32) (cid:36)(cid:37)(cid:38)
(cid:34)(cid:35)(cid:31) (cid:28)(cid:32) (cid:28)(cid:32)
(cid:28)(cid:29)(cid:37) 1 (cid:92)(cid:93)(cid:94)1(cid:70)(cid:95)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:58)知识点2 三角形相似的判定
(cid:100)(cid:101)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:63)(cid:64)(cid:73)(cid:83)(cid:89)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:95)(cid:28)(cid:29)(cid:68)
(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:105)(cid:106)(cid:27)(cid:107)(cid:10)(cid:24)(cid:25)(cid:108)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:89)(cid:33)(cid:59)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:96)(cid:97)(cid:30)(cid:33)(cid:112)(cid:61)(cid:59)(cid:109)(cid:110),(cid:111)(cid:113)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73)(cid:114)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:68)
1. (cid:27)(cid:107)1(cid:10)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:64)(cid:34)(cid:35)(cid:28)(cid:32)(cid:59)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:68)
(cid:115)(cid:116) ABC(cid:69)(cid:69) A′B′C′(cid:69)(cid:70)(cid:117) A= A′(cid:70) B= B′(cid:70)(cid:118) ABC A′B′C′(cid:68)
2. (cid:27)△(cid:107)2(cid:10)(cid:30)(cid:33)△(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:84)(cid:40)∠(cid:31)(cid:28)∠ (cid:32)(cid:59)∠(cid:30)(cid:57)∠(cid:41)(cid:31)(cid:50)△(cid:28)(cid:29)(cid:68)∽△
AB AC
(cid:115)(cid:116) ABC(cid:69)(cid:69) A′B′C′(cid:70)(cid:117) = (cid:70) A= A′(cid:70)(cid:118) ABC A′B′C′(cid:68)
A′B′ A′C′
3. (cid:27)△(cid:107)3(cid:10)(cid:41)(cid:33)△(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:59)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31) ∠ (cid:50)(cid:28) ∠ (cid:29)(cid:68) △ ∽△
(cid:115)(cid:116) ABC(cid:69)(cid:69) A′B′C′(cid:70)(cid:117) AB = BC = AC (cid:70)(cid:118) ABC A′B′C′(cid:68)
A′B′ B′C′ A′C′
△ △ △ ∽△
(cid:109)(cid:31)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:107)(cid:10)(cid:100)(cid:101)(cid:89)(cid:57)(cid:109)(cid:31)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:119)(cid:33)(cid:39)(cid:89)(cid:47)(cid:109)(cid:31)(cid:33)(cid:73)(cid:120)(cid:89)(cid:57)(cid:109)(cid:31)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:119)(cid:33)(cid:39)(cid:89)(cid:47)
(cid:109)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:70)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:30)(cid:57)(cid:109)(cid:31)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:68)
4. (cid:121)(cid:3)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:122)(cid:123)(cid:56)(cid:50)
(cid:56)(cid:50)(cid:80)(cid:81) (cid:112)(cid:124)(cid:47)(cid:48) (cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)
(cid:115)(cid:116) DE // BC(cid:70)(cid:112)(cid:93) (cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:64)(cid:28)(cid:32)(cid:59)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)
(cid:24)(cid:25)(cid:110)(cid:21)
(cid:83)(cid:129)(cid:31)(cid:65)(cid:130)(cid:131)(cid:31)(cid:28)(cid:32) (cid:29)(cid:68) ADE ABC
(cid:121)(cid:7)(cid:132)(cid:31)(cid:44)(cid:34)(cid:133)(cid:31)(cid:70) (cid:30)(cid:31)△(cid:63)(cid:64)(cid:28)∽(cid:32)△(cid:59)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)
B= AED (cid:29)(cid:68) ADE ACB
(cid:119)(cid:134)(cid:21)
∠(cid:7)(cid:132)∠(cid:31)(cid:59)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36) △ ∽△
(cid:30)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:70)(cid:84)(cid:40)(cid:31)(cid:28)(cid:32)(cid:59)(cid:30)(cid:57)
AB AC
(cid:37)(cid:38)(cid:70) = (cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:68) ACB AED
AD AE
△ ∽△
(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:64)(cid:28)(cid:32)(cid:59)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)
(cid:135)(cid:136)(cid:21) 1= 2
(cid:29)(cid:68) ACD ABC
∠ ∠
△ ∽△
(cid:121)(cid:89)(cid:139)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:28)(cid:32)(cid:70)
(cid:7)(cid:132)(cid:31)(cid:140)(cid:34)(cid:35)(cid:31)(cid:141)(cid:59)
(cid:30)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:70)(cid:84)(cid:40)(cid:31)(cid:28)(cid:32)(cid:59)(cid:30)(cid:57)
(cid:137)(cid:138)(cid:21)
(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:70) (cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:68) ABC A′B′C′
1= 2(cid:70) AB = AC ∠ △ ∽△
A′B′ A′C′
∠
【题型1 利用平行判定相似】
(cid:15)(cid:38)1(cid:19)(cid:100)(cid:56)(cid:70)AB //CD //EF(cid:70)(cid:118)(cid:56)(cid:142)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:34)(cid:58)(cid:143)( )A. 4(cid:34) B. 3(cid:34) C. 2(cid:34) D. 1(cid:34)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)B
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:10)(cid:24)(cid:25)(cid:108)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:89)(cid:33)(cid:59)(cid:109)(cid:110)(cid:73)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:120)(cid:30)(cid:33)(cid:44)(cid:120)(cid:30)(cid:33)(cid:59)(cid:151)(cid:152)(cid:110)(cid:112)(cid:153)
(cid:36)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:154)(cid:20)(cid:59)(cid:3)(cid:155)(cid:94)(cid:4)(cid:156)(cid:157)(cid:56)(cid:70)(cid:4)(cid:156)(cid:67)(cid:158)(cid:88)(cid:78)(cid:88)(cid:159)(cid:68)
(cid:160)AB//CD//EF(cid:70)(cid:161)(cid:162)(cid:24)(cid:25)(cid:108)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:89)(cid:33)(cid:59)(cid:109)(cid:110)(cid:73)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:120)(cid:30)(cid:33)(cid:44)(cid:120)(cid:30)(cid:33)(cid:59)(cid:151)(cid:152)(cid:110)(cid:112)(cid:153)(cid:36)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:92)
(cid:113) ACD AEF(cid:70) ECD EAB(cid:70) ADB FDE.(cid:112)(cid:93)(cid:56)(cid:142)(cid:132)(cid:121)3(cid:34)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:68)
(cid:15)△(cid:163)(cid:154)(cid:19)∽△ △ ∽△ △ ∽△
(cid:154)(cid:10) AB//CD//EF(cid:70)
A∵CD AEF(cid:70) ECD EAB(cid:70) ADB FDE(cid:68)
∴△(cid:56)(cid:142)(cid:132)∽(cid:121)△3(cid:34)(cid:28)(cid:29)△(cid:41)(cid:31)(cid:50)∽(cid:68)△ △ ∽△
(cid:164)∴ (cid:42)B(cid:68)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)1-1(cid:19)(cid:100)(cid:56)(cid:70)AB(cid:70)CD(cid:28)(cid:134)(cid:108)(cid:167)O(cid:70)AC//BD.(cid:168)(cid:125)(cid:10) OAC OBD(cid:68)
△ ∽△
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)(cid:125)(cid:126)(cid:10)AC//BD(cid:70)
OAC OBD(cid:68)
∴(cid:15)△(cid:154)(cid:146)(cid:19)∽(cid:169)△(cid:20)(cid:148)(cid:149)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:68)(cid:161)(cid:162)(cid:24)(cid:25)(cid:108)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:89)(cid:33)(cid:59)(cid:109)(cid:110)(cid:73)(cid:96)(cid:97)(cid:30)(cid:33)(cid:28)(cid:134)(cid:70)(cid:112)(cid:153)(cid:36)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)
(cid:73)(cid:114)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:160)(cid:147)(cid:170)(cid:92)(cid:125)(cid:126)(cid:171)(cid:20)(cid:68)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)1-2(cid:19)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:61) ABC(cid:142)(cid:70)(cid:167)D(cid:65)M(cid:61)AB(cid:172)(cid:70)(cid:167)E(cid:65)N(cid:63)(cid:64)(cid:61)BC(cid:65)AC(cid:172)(cid:70)(cid:84)DE//AC(cid:70)MN//BC(cid:70)DE(cid:134)MN
(cid:108)(cid:167)O.(cid:56)(cid:142)(cid:73) ABC(cid:28)△(cid:29)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:121)(cid:173)(cid:174)(cid:57)(cid:175)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:90)(cid:91)(cid:179)(cid:180)(cid:70)(cid:181)(cid:182)(cid:126)(cid:107)(cid:160)(cid:68)
△
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)(cid:154)(cid:10)(cid:56)(cid:142)(cid:73) ABC(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:121)3(cid:57)(cid:70) AMN ABC(cid:70) DBE ABC(cid:70) DM ABC(cid:70)
△ △ ∽△ △ ∽△ △ ∽△(cid:107)(cid:160)(cid:10) MN//BC(cid:70)
AM∵N ABC(cid:70) DBE DMO(cid:70)
∴△DE//AC∽(cid:70)△ △ ∽△
∵ DBE ABC(cid:70)
∴△DMO∽△ ABC(cid:68)
∴(cid:15)△(cid:154)(cid:146)(cid:19)∽(cid:169)△(cid:20)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:34)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:59)(cid:35)(cid:23)(cid:70)(cid:4)(cid:156)(cid:10)(cid:24)(cid:25)(cid:108)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:89)(cid:33)(cid:59)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:96)(cid:177)(cid:30)(cid:33)(cid:70)(cid:112)(cid:111)(cid:113)(cid:59)
(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73)(cid:114)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:68)
(cid:161)(cid:162)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:10)(cid:24)(cid:25)(cid:108)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:89)(cid:33)(cid:59)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:96)(cid:177)(cid:30)(cid:33)(cid:70)(cid:112)(cid:111)(cid:113)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73)(cid:114)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:170)(cid:92)(cid:183)
(cid:179)(cid:144)(cid:145)(cid:68)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)1-3(cid:19)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:61)(cid:24)(cid:25)(cid:184)(cid:33)(cid:50)ABCD(cid:142)(cid:70)F(cid:94)AD(cid:151)(cid:152)(cid:110)(cid:172)(cid:89)(cid:167)(cid:70)(cid:185)(cid:186)BF(cid:134)DC(cid:108)(cid:167)E(cid:70)(cid:118)(cid:56)(cid:142)(cid:59)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)
(cid:50)(cid:132)(cid:121) (cid:34).
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)3
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)
(cid:147)(cid:20)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:93)(cid:39)(cid:24)(cid:25)(cid:184)(cid:33)(cid:50)(cid:59)(cid:187)(cid:188)(cid:68)(cid:4)(cid:156)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:189)(cid:169)(cid:56)(cid:50)(cid:92)(cid:63)(cid:64)(cid:71)(cid:143)“A”(cid:21)(cid:69)“X”(cid:21)(cid:68)
(cid:160)(cid:184)(cid:33)(cid:50)ABCD(cid:94)(cid:24)(cid:25)(cid:184)(cid:33)(cid:50)(cid:70)(cid:161)(cid:162)(cid:24)(cid:25)(cid:108)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:89)(cid:33)(cid:59)(cid:109)(cid:110)(cid:73)(cid:96)(cid:97)(cid:30)(cid:33)(cid:28)(cid:134)(cid:70)(cid:112)(cid:153)(cid:36)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73)(cid:114)(cid:41)(cid:31)
(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:92)(cid:113) BCE FDE(cid:70) FDE FAB(cid:70)(cid:118)(cid:92)(cid:113) BCE FAB(cid:68)
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19) △ ∽△ △ ∽△ △ ∽△
(cid:154)(cid:10) (cid:184)(cid:33)(cid:50)ABCD(cid:94)(cid:24)(cid:25)(cid:184)(cid:33)(cid:50)(cid:70)
AD∵//BC(cid:70)AB//CD(cid:70)
∴ BCE FDE(cid:70) FDE FAB(cid:70)
∴△BCE∽△FAB(cid:68)△ ∽△
∴(cid:164)△(cid:28)(cid:29)(cid:41)∽(cid:31)△(cid:50)(cid:132)(cid:121)3(cid:34)(cid:68)
【题型2 利用两角相等判定相似】
(cid:15)(cid:38)2(cid:19)(cid:140)24-25(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:172)·(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:196)·(cid:197)(cid:198)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)D(cid:94) ABC(cid:33)BC(cid:172)(cid:59)(cid:89)(cid:167)(cid:70) BAD= C(cid:70) ABC(cid:59)(cid:24)(cid:63)(cid:110)
△ ∠ ∠ ∠(cid:134)(cid:33)AC(cid:108)(cid:167)E(cid:70)(cid:134)AD(cid:108)(cid:167)F(cid:70)(cid:118)(cid:61)(cid:199)(cid:200)(cid:201)(cid:179)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:142)(cid:70)(cid:73) BDF(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:94)(cid:140) (cid:141)
△
A(cid:68) BFA B(cid:68) BAE C(cid:68) BEC D(cid:68) AEF
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)△B △ △ △
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)(cid:169)(cid:20)(cid:202)(cid:203)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:31)(cid:24)(cid:63)(cid:110)(cid:59)(cid:27)(cid:62)(cid:70)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:204)(cid:31)(cid:59)(cid:187)(cid:188)(cid:70)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:116)(cid:157)(cid:167)(cid:70)(cid:205)(cid:206)
(cid:207)(cid:208)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:94)(cid:154)(cid:20)(cid:59)(cid:3)(cid:155)(cid:68)
(cid:160)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:31)(cid:24)(cid:63)(cid:110)(cid:59)(cid:27)(cid:62)(cid:92)(cid:113) CBE= ABE(cid:70)(cid:170) DBF= ABE(cid:70)(cid:160)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:204)(cid:31)(cid:59)(cid:187)(cid:188)(cid:92)(cid:183)(cid:179) BFD= BEA(cid:70)(cid:108)
(cid:94)(cid:92)(cid:125)(cid:113) BDF BAE(cid:70)(cid:84)(cid:209)∠(cid:162)(cid:115)(cid:116)∠(cid:47)(cid:48)(cid:70)(cid:210)(cid:128)∠(cid:125)(cid:126) ∠BFA(cid:65) BEC(cid:65) AEF(cid:73) BDF(cid:28)(cid:29)(cid:70)∠(cid:211)(cid:172)(cid:70)∠(cid:170)(cid:92)(cid:113)
(cid:179)(cid:144)(cid:145)(cid:68)△ ∽△ △ △ △ △
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:154)(cid:10) BE(cid:94) ABC(cid:59)(cid:24)(cid:63)(cid:110)(cid:70)
CBE= ABE∵(cid:70) ∠
(cid:170)∴∠(cid:10) DB∠F= ABE(cid:70)
(cid:212) ∠BAD= ∠C(cid:70)
∵B∠FD= B∠AD+ ABE= C+ CBE= BEA(cid:70)
∴∠BDF ∠ BAE(cid:70)∠ ∠ ∠ ∠
∴(cid:84)△(cid:209)(cid:162)(cid:115)∽(cid:116)△(cid:47)(cid:48)(cid:70)(cid:210)(cid:128)(cid:125)(cid:126) BFA(cid:65) BEC(cid:65) AEF(cid:73) BDF(cid:28)(cid:29)(cid:70)
(cid:164)(cid:42)(cid:10)B(cid:68) △ △ △ △
(cid:15)(cid:165)(cid:166)2-1(cid:19)(cid:140)24-25(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:172)·(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:216)·(cid:217)(cid:218)(cid:206)(cid:219)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:160)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:220)(cid:221)(cid:92)(cid:116)(cid:70)(cid:199)(cid:200)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:89)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
(cid:59)(cid:94)(cid:140) (cid:141)
A(cid:68) BCD ACD B(cid:68) BCD ABC
C(cid:68)△ACD∽△ABC D(cid:68)△(cid:93)(cid:172)(cid:222)∽(cid:88)△(cid:34)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)△C ∽△(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)(cid:223)(cid:20)(cid:202)(cid:203)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:28)(cid:32)(cid:31)(cid:65)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:154)(cid:20)(cid:59)(cid:3)(cid:155)(cid:94)(cid:207)(cid:208)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:68)
(cid:161)(cid:162)(cid:55)(cid:56)(cid:92)(cid:116) ACD= ABC(cid:70)(cid:170)(cid:92)(cid:125)(cid:126) ACD ABC(cid:68)
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:154)(cid:10)∠(cid:161)(cid:162)(cid:55)(cid:56)∠(cid:92)(cid:116) ACD= AB△C(cid:70) ∽△
(cid:212) CAD= BAC(cid:70) ∠ ∠
∠ACD ∠ABC(cid:70)
∴(cid:164)△(cid:42)(cid:10)C∽(cid:68)△
(cid:15)(cid:165)(cid:166)2-2(cid:19)(cid:140)24-25(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:172)·(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:227)·(cid:197)(cid:142)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)AB BC(cid:70)BD CD(cid:70) ACD=90°(cid:70)(cid:168)(cid:125)(cid:10) ABC CDB(cid:68)
⊥ ⊥ ∠ △ ∽△
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)(cid:123)(cid:154)(cid:146)
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)(cid:169)(cid:20)(cid:202)(cid:203)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:161)(cid:162)(cid:228)(cid:31)(cid:59)(cid:187)(cid:188)(cid:113)(cid:179) A= BCD(cid:68)(cid:161)(cid:162) ABC= CDB=90°(cid:70)(cid:170)
(cid:92)(cid:125)(cid:126)(cid:186)(cid:229)(cid:68) ∠ ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:125)(cid:126)(cid:10) ACD=90°(cid:70)AB BC(cid:70)
A+ ACB=90°(cid:70)∵∠ BCD+ ACB=9⊥0°(cid:70)
∴∠A=∠BCD(cid:68) ∠ ∠
∴A∠B ∠BC(cid:70)BD CD(cid:70)
∵ A⊥BC= CDB⊥=90°(cid:68)
∴∠ABC ∠ CDB(cid:68)
∴(cid:15)△(cid:165)(cid:166)2∽-△3(cid:19)(cid:140)24-25(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:199)·(cid:172)(cid:230)·(cid:231)(cid:197)(cid:55)(cid:232)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:61) ABC(cid:142)(cid:70) ACB=90°(cid:70)AC=BC(cid:70)P(cid:94) ABC(cid:130)(cid:89)(cid:167)(cid:70)
(cid:84) APB= APC=135°(cid:68)(cid:168)(cid:125)(cid:10) CPA APB(cid:68) △ ∠ △
∠ ∠ △ ∽△
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)(cid:123)(cid:154)(cid:146)
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)(cid:169)(cid:20)(cid:202)(cid:203)(cid:148)(cid:149)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:205)(cid:206)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:130)(cid:31)(cid:69)(cid:27)(cid:107)(cid:70)(cid:32)(cid:233)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:73)(cid:187)(cid:188)(cid:32)(cid:116)(cid:157)(cid:167)(cid:68)(cid:186)
(cid:79)(cid:20)(cid:156)(cid:70)(cid:92)(cid:113) CAB=45°(cid:70)(cid:234)(cid:235)(cid:92)(cid:113)(cid:179) CAP+ PAB=45°(cid:70)(cid:212) APC=135°(cid:70)(cid:113)(cid:179) ACP= PAB(cid:70)(cid:170)(cid:92)(cid:125)(cid:126) CPA
∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ △APB(cid:68)
∽(cid:15)△(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:125)(cid:126)(cid:10) ACB=90°(cid:70)AC=BC(cid:70)
CAB=45°(cid:68) ∵ ∠
∴(cid:170)∠ CAP+ PAB=45°(cid:68)
∠APC=∠135°(cid:70)
∵∠CAP+ ACP=45°(cid:68)
∴∠ACP=∠PAB(cid:68)
∴∠ APB=∠ APC=135°(cid:70)
∵ ∠CPA ∠ APB(cid:68)
∴ △ ∽△
【题型3 利用两边对应成比例及夹角相等判定相似】
(cid:15)(cid:38)3(cid:19)(cid:140)24-25(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:172)·(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:227)·(cid:217)(cid:218)(cid:206)(cid:219)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:61)(cid:98)(cid:127)(cid:50)ABCD(cid:142)(cid:70)(cid:167)F(cid:94)BC(cid:33)(cid:172)(cid:89)(cid:167)(cid:70)(cid:185)(cid:236)AF(cid:70)(cid:93)
AF(cid:143)(cid:34)(cid:31)(cid:110)(cid:55)(cid:98)(cid:127)(cid:50)AEFG(cid:70)(cid:185)(cid:236)AC(cid:65)DG(cid:70)(cid:168)(cid:125)(cid:10) AFC AGD(cid:68)
△ ∽△
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)(cid:123)(cid:154)(cid:146)
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)(cid:169)(cid:20)(cid:202)(cid:203)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:98)(cid:127)(cid:50)(cid:59)(cid:187)(cid:188)(cid:70)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:32)(cid:233)(cid:109)(cid:31)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:187)(cid:188)(cid:70)
(cid:237)(cid:161)(cid:162)(cid:98)(cid:127)(cid:50)(cid:59)(cid:187)(cid:188)(cid:113) ADC(cid:69) AGF(cid:222)(cid:94)(cid:32)(cid:233)(cid:109)(cid:31)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:70)(cid:238)(cid:161)(cid:162)(cid:32)(cid:233)(cid:109)(cid:31)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:187)(cid:188)(cid:113) DAC= GAF
AD AG 2 △ △ ∠ ∠
=45°(cid:70) = = (cid:70)(cid:239)(cid:240)(cid:161)(cid:162)(cid:30)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:84)(cid:40)(cid:31)(cid:28)(cid:32)(cid:59)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29).
AC AF 2
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:125)(cid:126)(cid:10) AC(cid:70)AF(cid:63)(cid:64)(cid:94)(cid:98)(cid:127)(cid:50)ABCD(cid:69)(cid:98)(cid:127)(cid:50)AEFC(cid:59)(cid:34)(cid:31)(cid:110)(cid:70)
ADC(cid:69) AGF∵(cid:222)(cid:94)(cid:32)(cid:233)(cid:109)(cid:31)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:70)
∴△ DAC= △ GAF=45°(cid:70) AD = AG = 2 (cid:70)
AC AF 2
∴∠DAG+ ∠CAG= CAF+ CAG(cid:70)
∴∠DAG=∠CAF(cid:70)∠ ∠
∴∠AFC ∠ AGD(cid:68)
∴(cid:15)△(cid:165)(cid:166)3∽-△1(cid:19)(cid:140)24-25(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:172)·(cid:194)(cid:241)(cid:242)(cid:196)·(cid:197)(cid:142)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:167)E,F(cid:63)(cid:64)(cid:61)(cid:98)(cid:127)(cid:50)ABCD(cid:59)(cid:33)AD(cid:70)CD(cid:172)(cid:70)(cid:185)(cid:236)BE(cid:69)EF(cid:70)AB=9(cid:70)AE=3(cid:70)DF=2(cid:68)(cid:168)(cid:125)(cid:10) ABE DEF(cid:68)
△ ∽△
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)(cid:123)(cid:154)(cid:146)
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相关性质和判定是解题的关键．根据已知条件
AB AE
求出DE，再证明 = ，又由正方形的性质，得 A= D，根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相
DE DF
∠ ∠
似”即可证明出结论．
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)证明： 四边形ABCD是正方形，AB=9，
AD=AB=9， A∵= D，
∴AE=3， ∠ ∠
∵DE=AD
−
AE=9−3=6，
∴ AB = 9 = 3 ，
DE 6 2
∴
DF=2，
∵ AE 3
= ，
DF 2
∴
AB AE
= ，
DE DF
∴
ABE DEF．
∴(cid:15)△(cid:165)(cid:166)∽3-△2(cid:19)(cid:140)24-25(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:172)·(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:246)·(cid:197)(cid:198)(cid:141)(cid:115)(cid:116)(cid:10)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:167)C(cid:70)D(cid:61)(cid:110)(cid:218)AB(cid:172)(cid:70) PCD(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:70)
(cid:84)AC=1(cid:70)CD=2(cid:70)DB=4(cid:68)(cid:168)(cid:125)(cid:10) ACP PDB(cid:68) △
△ ∽△
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)(cid:123)(cid:154)(cid:146)
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:148)(cid:149)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:69)(cid:187)(cid:188)(cid:70)(cid:32)(cid:33)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:187)(cid:188)(cid:70)(cid:161)(cid:162)(cid:32)(cid:33)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:187)(cid:188)(cid:113)(cid:158) PCD= PDC
∠ ∠=60°(cid:70)PC=CD=PD=2(cid:70)(cid:161)(cid:162)(cid:30)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:40)(cid:31)(cid:28)(cid:32)(cid:125)(cid:113) ACP PDB(cid:68)
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:125)(cid:126)(cid:10) PCD(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:70) △ ∽△
PCD= PDC=∵60△°(cid:70)PC=CD=PD=2(cid:68)
∴∠PCA=∠PDB=120°(cid:68)
∴(cid:212)∠ AC=1∠(cid:70)BD=4(cid:70)
A∵C PC 1
= = (cid:70)
PD BD 2
∴
ACP PDB(cid:68)
∴(cid:15)△(cid:165)(cid:166)3∽-△3(cid:19)(cid:140)24-25(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:172)·(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:250)·(cid:217)(cid:218)(cid:206)(cid:219)(cid:141)(cid:184)(cid:33)(cid:50)ABCD(cid:143)(cid:24)(cid:25)(cid:184)(cid:33)(cid:50)(cid:70)(cid:167)E(cid:69)(cid:167)F(cid:63)(cid:64)(cid:143)(cid:33)AD(cid:70)AB
(cid:59)(cid:142)(cid:167)(cid:70)(cid:185)(cid:236)EF(cid:65)CF(cid:70)EF(cid:134)(cid:34)(cid:31)(cid:110)AC(cid:108)(cid:167)G(cid:68)
(1)(cid:117)AC=8(cid:70)(cid:168)AG(cid:59)(cid:152)(cid:251)
(2)(cid:100)(cid:101)AB=AC(cid:70)(cid:168)(cid:125)(cid:10) AFG ACF(cid:68)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)(1)2 △ ∽△
(2)(cid:125)(cid:126)(cid:123)(cid:154)(cid:146)
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)(cid:140)1(cid:141)(cid:161)(cid:162)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:142)(cid:129)(cid:110)(cid:27)(cid:107)(cid:113)EF BD(cid:70)(cid:160)(cid:24)(cid:25)(cid:110)(cid:63)(cid:110)(cid:218)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:107)(cid:113) AG = AF =1(cid:70)(cid:252)(cid:235)(cid:113)(cid:158)AG=
GO FB
∥
GO(cid:70)(cid:161)(cid:162)(cid:24)(cid:25)(cid:184)(cid:33)(cid:50)(cid:187)(cid:188)(cid:113)AO=OC(cid:70)(cid:183)(cid:179)AG= 1AC(cid:70)(cid:92)(cid:113)(cid:186)(cid:229)(cid:251)
4
(cid:140)2(cid:141)(cid:161)(cid:162)(cid:142)(cid:167)(cid:59)(cid:27)(cid:62)(cid:39)(cid:115)(cid:116)(cid:113) AF = 1 (cid:70)(cid:160)(cid:140)1(cid:141)(cid:116)AG= 1AC(cid:70)(cid:183)(cid:179) AG = 1 (cid:70)(cid:170)(cid:92)(cid:113)(cid:125)(cid:68)
AC 2 4 AF 2
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:140)1(cid:141)(cid:154)(cid:10)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:185)(cid:236)BD(cid:134)AC(cid:108)(cid:167)O(cid:70)
(cid:167)E(cid:69)(cid:167)F(cid:63)(cid:64)(cid:143)(cid:33)AD(cid:70)AB(cid:59)(cid:142)(cid:167)(cid:70)
∵EF(cid:94) ABD(cid:59)(cid:142)(cid:129)(cid:110)(cid:70)AF=FB
∴ △EF BD(cid:70)
∴AG
=
∥AF
=1(cid:70)
GO FB
∴AG=GO(cid:70)
∴(cid:184)(cid:33)(cid:50)ABCD(cid:143)(cid:24)(cid:25)(cid:184)(cid:33)(cid:50)(cid:70)AC=8(cid:70)
∵AO=OC(cid:70)
∴AG= 1AO= 1 × 1AC= 1 ×8=2(cid:70)
2 2 2 4
∴AG(cid:59)(cid:152)(cid:143)2(cid:251)
∴(cid:140)2(cid:141)(cid:125)(cid:126)(cid:10) F(cid:143)(cid:33)AB(cid:59)(cid:142)(cid:167)(cid:70)
AF= 1AB(cid:70) ∵
2
∴AB=AC(cid:70)
∵AF 1
= (cid:70)
AC 2
∴
AG= 1AC
4
∵ AG 1AC AC 1
=4 = = (cid:70)
AF 1AB 2AC 2
2
∴ AF AG
= (cid:70)
AC AF
∴ FAG= CAF(cid:70)
∵∠AFG ∠ ACF(cid:68)
(cid:15)∴△(cid:167)(cid:253)(cid:19)∽(cid:169)△(cid:20)(cid:148)(cid:149)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:142)(cid:129)(cid:110)(cid:27)(cid:107)(cid:70)(cid:24)(cid:25)(cid:184)(cid:33)(cid:50)(cid:59)(cid:187)(cid:188)(cid:70)(cid:24)(cid:25)(cid:110)(cid:63)(cid:110)(cid:218)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:107)(cid:70)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)
(cid:32)(cid:116)(cid:157)(cid:167)(cid:68)(cid:207)(cid:208)(cid:24)(cid:25)(cid:110)(cid:63)(cid:110)(cid:218)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:107)(cid:69)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:94)(cid:154)(cid:20)(cid:59)(cid:3)(cid:155)(cid:68)
【题型4 利用三边对应成比例判定相似】
(cid:15)(cid:38)4(cid:19)24-25(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:172)·(cid:254)(cid:255)(cid:256)(cid:244)·(cid:197)(cid:198)(cid:141)(cid:115)(cid:116)(cid:10)(cid:100)(cid:56)(cid:70) ABE=90°(cid:70)(cid:84)AB=BC=CD=DE=1(cid:70)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:56)(cid:50)
(cid:73)(cid:112)(cid:201)(cid:47)(cid:48)(cid:70)(cid:239)(cid:240)(cid:262)(cid:179)(cid:89)(cid:34)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:70)(cid:181)(cid:125)(cid:126)(cid:263)(cid:59)∠(cid:264)(cid:265)(cid:68)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19) ACD ECA(cid:251)(cid:123)(cid:154)(cid:146)
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)△(cid:169)(cid:20)(cid:202)∽(cid:203)△(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:266)(cid:267)(cid:27)(cid:107)(cid:70)(cid:237)(cid:161)(cid:162)(cid:266)(cid:267)(cid:27)(cid:107)(cid:168)(cid:179)AC= 2,AD= 5,AE= 10(cid:70)(cid:113)(cid:179) AC = DC = AD (cid:70)(cid:161)(cid:162)(cid:41)(cid:47)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:59)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:113)(cid:179) ACD ECA(cid:68)
EC AC EA
△ ∽△
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:125)(cid:126)(cid:10) ACD ECA(cid:68)
(cid:160)(cid:266)(cid:267)(cid:27)(cid:107)AC=△2,AD=∽△5,AE= 10(cid:70)
AC = 2, DC = 1 = 2, AD = 5= 2 (cid:70)
EC 2 AC 2 2 EA 10 2
AC DC AD
= = (cid:70)
EC AC EA
∴ ACD ECA(cid:68)
∴(cid:15)△(cid:165)(cid:166)4∽-1△(cid:19)(cid:140)24-25(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:172)·(cid:243)(cid:244)(cid:268)(cid:269)·(cid:197)(cid:142)(cid:141)(cid:115)(cid:116) ABC(cid:69) DEF(cid:59)(cid:41)(cid:33)(cid:152)(cid:70)(cid:199)(cid:200)(cid:47)(cid:48)(cid:75)(cid:26)(cid:270)(cid:177)(cid:178)(cid:28)(cid:29)(cid:59)
(cid:94)(cid:140) (cid:141) △ △
A(cid:68)AB=4(cid:70)BC=8(cid:70)AC=10(cid:251) DE=20(cid:70)EF=16(cid:70)DF=8
B(cid:68)AB=3(cid:70)BC=4(cid:70)AC=6(cid:251) DE=6(cid:70)EF=8(cid:70)DF=9
C(cid:68)AB=12(cid:70)BC=15(cid:70)AC=24(cid:251) DE=16(cid:70)EF=30(cid:70)DF=20
D(cid:68)AB=3k(cid:70)BC=4k(cid:70)AC=5k(cid:251) DE=6k(cid:70)EF=7k(cid:70)DF=8k(k>0)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)A
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)(cid:169)(cid:20)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:161)(cid:162)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:107)(cid:271)(cid:89)(cid:26)(cid:270)(cid:170)(cid:92)(cid:68)
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:154)(cid:10)A(cid:65) AB = 1 = BC = 1 = AC = 1 (cid:70)
DF 2 EF 2 DE 2
∵
(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:41)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:70)(cid:164)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:251)
B ∴ (cid:65) AB = 1 = BC = 1 ≠ AC = 2 (cid:70)
DE 2 EF 2 DF 3
∵
(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:41)(cid:33)(cid:88)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:70)(cid:164)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:88)(cid:28)(cid:29)(cid:251)
C ∴ (cid:65) AB = 3 = BC = 3 ≠ AC = 4 (cid:70)
DE 4 DF 4 EF 5
∵
(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:41)(cid:33)(cid:88)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:70)(cid:164)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:88)(cid:28)(cid:29)(cid:251)
D ∴ (cid:65) AB = 1 ≠ BC = 4 ≠ AC = 5 (cid:70)
DE 2 EF 7 DF 8
∵
(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:41)(cid:33)(cid:88)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:70)(cid:164)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:88)(cid:28)(cid:29)(cid:251)
(cid:164)∴ (cid:42)(cid:10)A(cid:68)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)4-2(cid:19)(cid:140)24-25(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:199)·(cid:272)(cid:273)(cid:274)(cid:275)·(cid:217)(cid:218)(cid:206)(cid:219)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:61)4×1(cid:59)(cid:127)(cid:276)(cid:142)(cid:70)(cid:277)(cid:89)(cid:57)(cid:86)(cid:98)(cid:127)(cid:50)(cid:59)(cid:133)(cid:167)(cid:66)(cid:67)(cid:276)(cid:167)(cid:70)
(cid:93)(cid:96)(cid:142)(cid:41)(cid:57)(cid:276)(cid:167)(cid:143)(cid:133)(cid:167)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:278)(cid:143)(cid:276)(cid:167)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:70) ABC(cid:279)(cid:94)(cid:89)(cid:57)(cid:276)(cid:167)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:70)(cid:280)(cid:234)(cid:276)(cid:167)D(cid:65)E(cid:65)F(cid:65)G(cid:142)(cid:42)
(cid:281)(cid:89)(cid:57)(cid:276)(cid:167)(cid:73)(cid:167)B(cid:65)C(cid:185)(cid:236)(cid:36)(cid:276)(cid:167)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:70)(cid:75)(cid:49)(cid:223)(cid:276)△(cid:167) ABC(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:276)(cid:167)(cid:94)(cid:140) (cid:141)
△A(cid:68)(cid:167)D B(cid:68)(cid:167)E C(cid:68)(cid:167)F D(cid:68)(cid:167)G
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)C
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)(cid:169)(cid:20)(cid:202)(cid:203)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:266)(cid:267)(cid:27)(cid:107)(cid:70)(cid:161)(cid:162)(cid:41)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:282)(cid:25)(cid:168)(cid:154)(cid:170)(cid:92)(cid:68)
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:154)(cid:10)(cid:185)(cid:236)BF(cid:70)(cid:100)(cid:56)(cid:70)
(cid:283)(cid:276)(cid:59)(cid:80)(cid:167)(cid:92)(cid:116)AB=2(cid:70)BC= 12+12= 2(cid:70)AC= 12+32= 10(cid:70)
CF=1,BF= 5
BC AB AC
= = = 2
CF BC BF
∴ ABC BCF
∴(cid:164)△(cid:42)(cid:10)C∽(cid:68)△
(cid:15)(cid:165)(cid:166)4-3(cid:19)(cid:140)23-24(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:199)·(cid:72)(cid:284)·(cid:197)(cid:142)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:285)(cid:57)(cid:77)(cid:72)(cid:28)(cid:83)(cid:59)(cid:86)(cid:152)(cid:127)(cid:50)(cid:286)(cid:36)(cid:89)(cid:57)(cid:98)(cid:127)(cid:50)(cid:283)(cid:276)(cid:70)(cid:86)(cid:287)(cid:65)(cid:86)
(cid:288)(cid:65)(cid:86)(cid:289)(cid:65)(cid:86)(cid:290)(cid:184)(cid:129)(cid:83)(cid:11)(cid:23)(cid:210)(cid:291)(cid:292)(cid:59)(cid:109)(cid:53)(cid:61)(cid:283)(cid:276)(cid:142)(cid:293)(cid:294)(cid:150)(cid:89)(cid:57)(cid:295)(cid:31)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:70)(cid:96)(cid:142)(cid:296)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:94)(cid:140)(cid:297)(cid:297)(cid:141)
A(cid:68) (cid:69) B(cid:68) (cid:69) C(cid:68) (cid:69) D(cid:68) (cid:69)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)①D ② ② ③ ① ③ ① ④
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)(cid:169)(cid:20)(cid:148)(cid:149)(cid:283)(cid:276)(cid:142)(cid:59)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:70)(cid:298)(cid:299)(cid:56)(cid:50)(cid:92)(cid:116)(cid:86)(cid:152)(cid:127)(cid:50)(cid:59)(cid:152)(cid:94)(cid:300)(cid:59)2(cid:301)(cid:70)(cid:302)(cid:86)(cid:152)(cid:127)(cid:50)(cid:59)(cid:300)(cid:143)a(cid:70)(cid:118)
(cid:86)(cid:152)(cid:127)(cid:50)(cid:59)(cid:152)(cid:143)2a(cid:70)(cid:98)(cid:127)(cid:50)(cid:59)(cid:33)(cid:152)(cid:143)4a(cid:70)(cid:63)(cid:64)(cid:168)(cid:179)(cid:277)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:33)(cid:152)(cid:70)(cid:161)(cid:162)(cid:41)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:59)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)
(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:282)(cid:25)(cid:26)(cid:270)(cid:170)(cid:92)(cid:68)
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:154)(cid:10)(cid:298)(cid:299)(cid:56)(cid:50)(cid:92)(cid:116)(cid:10)(cid:86)(cid:152)(cid:127)(cid:50)(cid:59)(cid:152)(cid:94)(cid:300)(cid:59)2(cid:301)(cid:70)(cid:302)(cid:86)(cid:152)(cid:127)(cid:50)(cid:59)(cid:300)(cid:143)a(cid:70)(cid:118)(cid:86)(cid:152)(cid:127)(cid:50)(cid:59)(cid:152)(cid:143)2a(cid:70)(cid:98)(cid:127)(cid:50)(cid:59)(cid:33)(cid:152)(cid:143)4a(cid:70)
(cid:56) (cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:41)(cid:47)(cid:33)(cid:152)(cid:63)(cid:64)(cid:143)(cid:10)2a, (2a)2+(2a)2=2 2a, (2a)2+(4a)2=2 5a(cid:70)
①
(cid:56) (cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:41)(cid:47)(cid:33)(cid:152)(cid:63)(cid:64)(cid:143)(cid:10)2a, (2a)2+(3a)2= 13a, (3a)2+(4a)2=5a(cid:70)
②
(cid:56) (cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:41)(cid:47)(cid:33)(cid:152)(cid:63)(cid:64)(cid:143)(cid:10)2a, (2a)2+(4a)2=2 5a, (4a)2+(4a)2=4 2a(cid:70)
③
(cid:56) (cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:41)(cid:47)(cid:33)(cid:152)(cid:63)(cid:64)(cid:143)(cid:10) (2a)2+(a)2= 5a, (a)2+(3a)2= 10a, (3a)2+(4a)2=5a(cid:70)
2 ④a =2 2a =2 5a = 2 (cid:70)
5a 10 5a 5
∵
(cid:56) (cid:69)(cid:56) (cid:59)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:251)
(cid:164)∴ (cid:42)①D(cid:68) ④
【题型5 选择或补充条件使两三角形相似】
(cid:15)(cid:38)5(cid:19)(cid:140)22-23(cid:285)(cid:191)(cid:192)(cid:199)·(cid:193)(cid:194)(cid:303)(cid:304)·(cid:217)(cid:218)(cid:206)(cid:219)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:61) ABC(cid:142)(cid:70)(cid:167)D(cid:143)(cid:33)AC(cid:172)(cid:59)(cid:89)(cid:167)(cid:70)(cid:42)(cid:43)(cid:199)(cid:200)(cid:47)(cid:48)(cid:10)
2= A(cid:251) 1= CBA(cid:251) BC = CD (cid:251) BC = DB (cid:142)(cid:59)(cid:89)(cid:57)(cid:70) △ (cid:75)(cid:113)(cid:179) ABC(cid:69) BCD(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:94)(cid:10) (cid:140)(cid:305)(cid:306)
AC BC AC AB
①∠ ∠ ②∠ ∠ ③ ④ △ △
(cid:9)(cid:141)(cid:68)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)①(cid:161)(cid:162)②(cid:28)③(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:107)(cid:92)(cid:113)(cid:186)(cid:229)(cid:68)
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:154)(cid:10) 2= A(cid:70) C= C(cid:307)(cid:70) ABC BDC(cid:70)(cid:164) (cid:308)(cid:79)(cid:20)(cid:156)(cid:251)
1= CBA(cid:70)①C∠= ∠C(cid:307)(cid:70)∠ A∠BC B△DC(cid:70)(cid:164)∽△ (cid:308)(cid:79)(cid:20)(cid:156)①(cid:251)
②B∠C = C∠D (cid:70) C= ∠ C(cid:307) ∠ (cid:70) A △ BC ∽ B △ DC(cid:70)(cid:164) ② (cid:308)(cid:79)(cid:20)(cid:156)(cid:251)
AC BC
③ BC = DB (cid:70) ∠ C= ∠ C(cid:307)(cid:70)(cid:88) △ (cid:75)(cid:183)(cid:179) ∽△ ABC B ③ DC(cid:70)(cid:164) (cid:88)(cid:308)(cid:79)(cid:20)(cid:156)(cid:70)
AC AB
④ ∠ ∠ △ ∽△ ④
(cid:164)(cid:144)(cid:145)(cid:143)(cid:10) (cid:68)
(cid:15)(cid:167)(cid:253)(cid:19)(cid:169)①(cid:20)(cid:148)②(cid:149)③(cid:150)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:154)(cid:20)(cid:59)(cid:3)(cid:155)(cid:94)(cid:207)(cid:208)(cid:30)(cid:139)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:84)(cid:40)(cid:31)(cid:28)(cid:32)(cid:59)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)
(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:251)(cid:121)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:28)(cid:32)(cid:59)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:68)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)5-1(cid:19)(cid:140)24-25(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:172)·(cid:309)(cid:310)(cid:311)(cid:312)·(cid:197)(cid:198)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:61)(cid:184)(cid:33)(cid:50)ABCD(cid:142)(cid:70)(cid:34)(cid:31)(cid:110)AC(cid:24)(cid:63) BAD(cid:70)AB=9(cid:70)
AC=6(cid:70)(cid:118)(cid:203)(cid:49) ABC ACD(cid:70)(cid:313)(cid:203)AD= (cid:68) ∠
△ ∽△(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)4
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)(cid:169)(cid:20)(cid:148)(cid:149)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:161)(cid:162)(cid:30)(cid:139)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:70)(cid:84)(cid:40)(cid:31)(cid:28)(cid:32)(cid:59)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:282)(cid:25)(cid:168)(cid:154)
(cid:170)(cid:92)(cid:68)
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:154)(cid:10) AC(cid:24)(cid:63) BAD(cid:70)
BAC= DAC∵(cid:70) ∠
(cid:314)
∴∠AB
=
AC
(cid:307)
∠
(cid:70) ABC ACD(cid:70)
AC AD
(cid:170)(cid:10)AC2=AB△AD(cid:70) ∽△
AB=9(cid:70)AC=⋅6(cid:70)
∵62=9AD(cid:70)
∴AD=4(cid:70)
∴(cid:164)(cid:144)(cid:145)(cid:143)(cid:10)4(cid:68)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)5-2(cid:19)(cid:140)24-25(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:172)·(cid:172)(cid:230)·(cid:217)(cid:218)(cid:206)(cid:219)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:115)(cid:116)(cid:61)(cid:315)(cid:50)ABCD(cid:142)(cid:70)AD BC(cid:70)(cid:203)(cid:49) BAD(cid:73) DBC
(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:316)(cid:124)(cid:317)(cid:318)(cid:89)(cid:57)(cid:47)(cid:48)(cid:70)(cid:104)(cid:57)(cid:47)(cid:48)(cid:92)(cid:93)(cid:94) (cid:140)(cid:313)(cid:124)(cid:305)(cid:89)(cid:57)(cid:47)(cid:48)(cid:141)(cid:68) ∥ △ △
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19) A= BDC(cid:140)(cid:144)(cid:145)(cid:88)(cid:319)(cid:89)(cid:141)
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)∠(cid:169)(cid:20)∠(cid:148)(cid:149)(cid:24)(cid:25)(cid:110)(cid:59)(cid:187)(cid:188)(cid:70)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:207)(cid:208)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:107)(cid:94)(cid:154)(cid:20)(cid:3)(cid:155)(cid:68)(cid:161)(cid:162)(cid:20)(cid:156)
(cid:92)(cid:125) ADB= DBC(cid:70)(cid:186)(cid:79)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:107)(cid:317)(cid:318)(cid:47)(cid:48)(cid:170)(cid:92)(cid:68)
(cid:15)(cid:163)∠(cid:154)(cid:19)(cid:154)(cid:10)∠ AD BC(cid:70)
ADB= DBC∵(cid:70) ∥
∴ (cid:314) ∠ A= ∠ BDC(cid:44) ABD= DCB(cid:307)(cid:44) AD = BD (cid:307)(cid:70) BAD(cid:73) DBC(cid:28)(cid:29)(cid:68)
BD BC
∴(cid:164)(cid:144) ∠ (cid:145)(cid:143) ∠ (cid:10) A= ∠BDC(cid:140) ∠ (cid:144)(cid:145)(cid:88)(cid:319)(cid:89)(cid:141)(cid:68) △ △
(cid:15)(cid:165)(cid:166)5-3(cid:19)∠(cid:140)2∠025·(cid:213)(cid:214)·(cid:142)(cid:148)(cid:259)(cid:20)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:61)(cid:320)(cid:33)(cid:50)ABCDE(cid:142)(cid:70)AE BC(cid:70)(cid:151)(cid:152)BA(cid:70)BC(cid:70)(cid:63)(cid:64)(cid:134)(cid:109)(cid:110)DE(cid:108)
(cid:167)M(cid:70)N(cid:68)(cid:117)(cid:317)(cid:318)(cid:199)(cid:200)(cid:89)(cid:57)(cid:47)(cid:48)(cid:240)(cid:70)(cid:321)(cid:210)(cid:128)(cid:26)(cid:27) MAE DCN(cid:70)(cid:118)(cid:104)∥(cid:57)(cid:47)(cid:48)(cid:94)(cid:140) (cid:141)
△ ∽△A(cid:68) B+ 4=180° B(cid:68)CD AB C(cid:68) 1= 4 D(cid:68) 2= 3
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)∠D∠ ∥ ∠ ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)(cid:169)(cid:20)(cid:202)(cid:203)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:24)(cid:25)(cid:110)(cid:59)(cid:187)(cid:188)(cid:73)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:314) B+ 4=180°(cid:307)(cid:70)(cid:92)(cid:125)(cid:126)CD BM(cid:70)(cid:160)
(cid:24)(cid:25)(cid:110)(cid:59)(cid:187)(cid:188)(cid:113)(cid:158) CDN= AME(cid:70) AEM= CND(cid:70)(cid:118)(cid:92)(cid:125)(cid:126) MAE D∠CN(cid:70)∠(cid:162)(cid:147)(cid:92)(cid:26)(cid:270)A(cid:65)B(cid:251)(cid:160)∥(cid:24)(cid:25)(cid:110)
(cid:59)(cid:187)(cid:188)(cid:92)(cid:113) 1+ B=∠180°(cid:70)∠(cid:118) B+ 4∠=180°(cid:70)∠(cid:83)(cid:107)(cid:92)(cid:26)(cid:270)C(cid:251)D△(cid:142)(cid:47)(cid:48)∽(cid:186)△(cid:79)(cid:115)(cid:201)(cid:47)(cid:48)(cid:88)(cid:75)(cid:125)(cid:126) MAE DCN(cid:68)
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:154)∠(cid:10)A(cid:65)∠ B+ 4=1∠80°(cid:70)∠ △ ∽△
CD BM(cid:70) ∵∠ ∠
∴ CD∥N= AME(cid:70)
∴A∠E BC(cid:70)∠
∵ A∥EM= CND(cid:70)
∴∠MAE ∠ DCN(cid:70)(cid:164)A(cid:88)(cid:308)(cid:79)(cid:20)(cid:156)(cid:251)
B∴△(cid:65) CD∽A△B(cid:70)
C∵DN=∥ AME(cid:70)
∴A∠E BC(cid:70)∠
∵ A∥EM= CND(cid:70)
∴∠MAE ∠ DCN(cid:70)(cid:164)B(cid:88)(cid:308)(cid:79)(cid:20)(cid:156)(cid:251)
C∴△(cid:65) AE∽B△C(cid:70)
1∵+ B∥=180°(cid:70)
∴∠1=∠4(cid:70)
∵∠B+∠4=180°(cid:70)
∴∠CD ∠BM(cid:70)
∴ CD∥N= AME(cid:70)
∴A∠E BC(cid:70)∠
∵ A∥EM= CND(cid:70)
∴∠ ∠MAE DCN(cid:70)(cid:164)C(cid:88)(cid:308)(cid:79)(cid:20)(cid:156)(cid:251)
D∴△(cid:65)(cid:161)(cid:162)∽△2= 3(cid:186)(cid:79)(cid:115)(cid:116)(cid:47)(cid:48)(cid:88)(cid:75)(cid:125)(cid:126) MAE DCN(cid:70)(cid:164)D(cid:308)(cid:79)(cid:20)(cid:156)(cid:251)
(cid:164)(cid:42)(cid:10)D(cid:68)∠ ∠ △ ∽△
【题型6 裁剪使两三角形相似】
(cid:15)(cid:38)6(cid:19)(cid:140)23-24(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:172)·(cid:193)(cid:194)(cid:322)(cid:196)·(cid:197)(cid:198)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:61) ABC(cid:323)(cid:324)(cid:142)(cid:70) A=72°, B=38°(cid:70)(cid:325) ABC(cid:323)(cid:324)(cid:326)(cid:327)(cid:109)
(cid:110)(cid:52)(cid:328)(cid:70)(cid:199)(cid:200)(cid:184)(cid:329)(cid:127)(cid:166)(cid:142)(cid:52)(cid:199)(cid:59)(cid:330)(cid:331)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73) ABC(cid:28)△(cid:29)(cid:59)(cid:94)(cid:140) (cid:141)∠ ∠ △
△
A(cid:68) B(cid:68) C(cid:68) D(cid:68)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)①D② ②④ ③④ ①③
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)(cid:169)(cid:20)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:68)(cid:161)(cid:162)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:107)(cid:271)(cid:57)(cid:26)(cid:270)(cid:170)(cid:92)(cid:68)
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:154)(cid:10)(cid:56) (cid:142)(cid:70) B= B(cid:70) A= BDE=72°(cid:70)
BDE BAC(cid:28)①(cid:29)(cid:251) ∵∠ ∠ ∠ ∠
(cid:56)∴△ (cid:142)(cid:70)∽△(cid:313)(cid:121) B= B(cid:70)(cid:88)(cid:308)(cid:79)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:88)(cid:75)(cid:183)(cid:179) BCD(cid:69) ABC(cid:28)(cid:29)(cid:251)
(cid:56)②(cid:142)(cid:70) C=∠C(cid:70)∠ CED= B(cid:70) △ △
③CDE ∠CA∠B(cid:251) ∠ ∠
∴(cid:56)△ (cid:142)(cid:70)∽△(cid:313)(cid:121) C= C(cid:70)(cid:88)(cid:308)(cid:79)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:70)
(cid:88)(cid:75)④(cid:183)(cid:179) CD∠E(cid:69)∠ABC(cid:28)(cid:29)(cid:251)
(cid:211)(cid:172)(cid:112)(cid:332)△(cid:70)(cid:330)(cid:331)(cid:41)△(cid:31)(cid:50)(cid:73)(cid:114)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:121) (cid:70)(cid:164)D(cid:98)(cid:333)(cid:68)
(cid:164)(cid:42)(cid:10)D(cid:68) ①③
(cid:15)(cid:165)(cid:166)6-1(cid:19)(cid:140)24-25(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:172)·(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:227)·(cid:197)(cid:142)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:61) ABC(cid:142)(cid:70) A=78°(cid:70)AB=6(cid:70)AC=9(cid:68)(cid:325) ABC(cid:326)(cid:56)
(cid:91)(cid:142)(cid:59)(cid:334)(cid:110)(cid:52)(cid:328)(cid:70)(cid:52)(cid:199)(cid:59)(cid:330)(cid:331)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73)(cid:114)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:88)(cid:28)(cid:29)(cid:59)△(cid:94)(cid:140) (cid:141) ∠ △A(cid:68) B(cid:68)
C(cid:68) D(cid:68)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)D
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)(cid:169)(cid:20)(cid:148)(cid:149)(cid:59)(cid:116)(cid:157)(cid:167)(cid:94)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:68)(cid:161)(cid:162)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:127)(cid:128)(cid:34)(cid:42)(cid:335)(cid:282)(cid:25)(cid:271)(cid:89)(cid:26)(cid:270)(cid:170)(cid:92)(cid:68)
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:154)(cid:10)A(cid:65)(cid:330)(cid:331)(cid:336)(cid:63)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73)(cid:114)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:121)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:28)(cid:32)(cid:70)(cid:164)(cid:30)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:169)(cid:42)(cid:335)(cid:88)(cid:308)(cid:79)(cid:20)(cid:156)(cid:251)
B(cid:65)(cid:330)(cid:331)(cid:336)(cid:63)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73)(cid:114)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:121)(cid:30)(cid:57)(cid:31)(cid:28)(cid:32)(cid:70)(cid:164)(cid:30)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:169)(cid:42)(cid:335)(cid:88)(cid:308)(cid:79)(cid:20)(cid:156)(cid:251)
C(cid:65) 6−3 = 3 = 9 = AC (cid:70) A= A(cid:70)(cid:30)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:121)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:84)(cid:40)(cid:31)(cid:28)(cid:32)(cid:70)(cid:164)(cid:30)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:169)(cid:42)(cid:335)(cid:88)(cid:308)(cid:79)(cid:20)(cid:156)(cid:251)
9−7 2 6 AB
∠ ∠
D(cid:65)(cid:40)(cid:31)(cid:28)(cid:32)(cid:87)(cid:40)(cid:31)(cid:30)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:37)(cid:38)(cid:88)(cid:28)(cid:32)(cid:70)(cid:164)(cid:30)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:88)(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:169)(cid:42)(cid:335)(cid:308)(cid:79)(cid:20)(cid:156)(cid:68)
(cid:164)(cid:42)(cid:10)D(cid:68)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)6-2(cid:19)(cid:140)23-24(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:172)·(cid:337)(cid:225)(cid:338)(cid:339)·(cid:197)(cid:198)(cid:141)(cid:58)(cid:11)(cid:99)(cid:340)(cid:341)(cid:342)(cid:343)(cid:172)(cid:70)(cid:86)(cid:126)(cid:69)(cid:86)(cid:290)(cid:63)(cid:64)(cid:52)(cid:150)(cid:89)(cid:34)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:70)(cid:97)(cid:178)
(cid:344)(cid:345)(cid:346)(cid:347)(cid:113)(cid:158)(cid:28)(cid:3)(cid:58)(cid:162)(cid:70)(cid:181)(cid:348)(cid:71)(cid:61)(cid:56)(cid:50)(cid:172)(cid:68)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:34)(cid:108)(cid:97)(cid:178)(cid:52)(cid:59)(cid:30)(cid:139)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:182)(cid:128)(cid:70)(cid:98)(cid:333)(cid:59)(cid:94)(cid:140) (cid:141)
A(cid:68)(cid:222)(cid:28)(cid:29) B(cid:68)(cid:313)(cid:121)(cid:56) (cid:28)(cid:29) C(cid:68)(cid:313)(cid:121)(cid:56) (cid:28)(cid:29) D(cid:68)(cid:222)(cid:88)(cid:28)(cid:29)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)A ① ②
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:68)(cid:56)(cid:140)1(cid:141)(cid:161)(cid:162)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:130)(cid:31)(cid:69)(cid:27)(cid:107)(cid:70)(cid:170)(cid:92)(cid:168)(cid:113)(cid:293)(cid:349)(cid:59)(cid:350)(cid:41)(cid:31)(cid:70)(cid:160)(cid:121)
(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:28)(cid:32)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:170)(cid:92)(cid:26)(cid:27)(cid:140)1(cid:141)(cid:142)(cid:59)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:251)(cid:56)(cid:140)2(cid:141)(cid:161)(cid:162)(cid:56)(cid:50)(cid:142)(cid:59)(cid:115)(cid:116)(cid:58)(cid:162)(cid:170)(cid:92)(cid:125)
OA OD
(cid:113) = (cid:70)(cid:212)(cid:121)(cid:34)(cid:133)(cid:31)(cid:28)(cid:32)(cid:70)(cid:170)(cid:92)(cid:161)(cid:162)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:84)(cid:40)(cid:31)(cid:28)(cid:32)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:125)(cid:113)(cid:28)(cid:29)(cid:68)
OC OB
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:154)(cid:10)(cid:56)(cid:140)1(cid:141)(cid:160)35°(cid:69)75°(cid:113)(cid:120)(cid:89)(cid:57)(cid:31)(cid:143)180°−35°−75°=70°(cid:70)(cid:160)75°(cid:69)70°(cid:113)(cid:120)(cid:89)(cid:57)(cid:31)(cid:143)
180°−70°−75°=35°(cid:70)(cid:118)(cid:30)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:72)(cid:32)(cid:251)(cid:56)(cid:140)2(cid:141) OA=4(cid:70)OD=3(cid:70)OC=8(cid:70)OB=6(cid:70)
OA OD∵1
= = (cid:70)
OC OB 2
∴ AOC= DOB(cid:70)
∵∠AOC ∠ DOB(cid:68)
∴(cid:164)△(cid:42)(cid:10)A∽(cid:68)△
(cid:15)(cid:165)(cid:166)6-3(cid:19)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:61)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:323)(cid:324)ABC(cid:142)(cid:70)AB=6(cid:70)AC=4(cid:70)BC=8(cid:70)(cid:326)(cid:334)(cid:110)(cid:52)(cid:199)(cid:59)(cid:351)(cid:352)(cid:336)(cid:63)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73) ABC
(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:94)(cid:140) (cid:141) △
A(cid:68) B(cid:68)
C(cid:68) D(cid:68)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)A
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)(cid:147)(cid:20)(cid:202)(cid:203)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:98)(cid:333)(cid:22)(cid:23)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:30)(cid:33)(cid:37)(cid:353)(cid:28)(cid:32)(cid:84)(cid:40)(cid:31)(cid:28)(cid:32)(cid:59)(cid:30)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)
(cid:29)(cid:94)(cid:154)(cid:20)(cid:3)(cid:155)(cid:68)
(cid:161)(cid:162)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:63)(cid:64)(cid:282)(cid:25)(cid:26)(cid:270)(cid:170)(cid:92)(cid:113)(cid:179)(cid:144)(cid:145)(cid:170)(cid:92)(cid:68)
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:154)(cid:10)(cid:61)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:323)(cid:324)ABC(cid:142)(cid:70)AB=6(cid:70)AC=4(cid:70)BC=8(cid:68)
A(cid:68)(cid:354)(cid:143) DC = 2 = 1 , AC = 4 = 1 (cid:70)(cid:118) DC = AC (cid:70)(cid:212)(cid:160) C= C(cid:70)(cid:164)(cid:326)(cid:334)(cid:110)(cid:52)(cid:199)(cid:59)(cid:351)(cid:352)(cid:336)(cid:63)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73) ABC(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:164)(cid:147)(cid:42)
AC 4 2BC 8 2 AC BC
∠ ∠ △
(cid:335)(cid:308)(cid:79)(cid:20)(cid:156)(cid:251)
B(cid:68)(cid:354)(cid:143) AD = 3 = 1 (cid:70) AB = 6 = 3 (cid:70) 3 ≠ 1 (cid:70)(cid:164)(cid:326)(cid:334)(cid:110)(cid:52)(cid:199)(cid:59)(cid:351)(cid:352)(cid:336)(cid:63)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73) ABC(cid:88)(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:164)(cid:147)(cid:42)(cid:335)(cid:88)(cid:79)(cid:20)(cid:156)(cid:251)
AB 6 2 AC 8 4 4 2
C(cid:68)(cid:354)(cid:143) BD = 2 (cid:70) AB = 6 = 3 (cid:70)(cid:170)(cid:10) 2 ≠ 3 (cid:70)(cid:164)(cid:326)(cid:334)(cid:110)(cid:52)(cid:199)(cid:59)(cid:351)(cid:352)(cid:336)(cid:63)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73) △ ABC(cid:88)(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:164)(cid:147)(cid:42)(cid:335)(cid:88)(cid:79)(cid:20)(cid:156)(cid:251)
AB 3 BC 8 4 3 4
D(cid:65)(cid:354)(cid:143) BD = 1 (cid:70) BC = 4 (cid:70) 4 ≠ 1 (cid:70)(cid:164)(cid:326)(cid:334)(cid:110)(cid:52)(cid:199)(cid:59)(cid:351)(cid:352)(cid:336)(cid:63)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73) ABC △ (cid:88)(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:164)(cid:147)(cid:42)(cid:335)(cid:88)(cid:79)(cid:20)(cid:156)(cid:251)
BC 2 AB 3 3 2
(cid:164)(cid:42)(cid:10)A(cid:68) △
【题型7 尺规作图使两个三角形相似】
(cid:15)(cid:38)7(cid:19)(cid:140)2025·(cid:193)(cid:194)(cid:355)(cid:356)·(cid:357)(cid:358)(cid:141)(cid:23)“(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)”(cid:325)(cid:89)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:63)(cid:359)(cid:36)(cid:89)(cid:57)(cid:86)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:69)(cid:89)(cid:57)(cid:184)(cid:33)(cid:50)(cid:70)(cid:118)(cid:199)(cid:200)(cid:56)(cid:50)(cid:142)(cid:70)(cid:63)(cid:359)(cid:179)(cid:180)(cid:59)(cid:86)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73)(cid:114)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:88)(cid:89)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:94)(cid:140) (cid:141)
A(cid:68) B(cid:68)
C(cid:68) D(cid:68)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)A
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)(cid:169)(cid:20)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:70)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:360)(cid:130)(cid:236)(cid:184)(cid:33)(cid:50)(cid:59)(cid:187)(cid:188)(cid:70)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:142)(cid:129)(cid:110)(cid:27)(cid:107)(cid:68)(cid:63)(cid:64)(cid:161)(cid:162)
(cid:55)(cid:56)(cid:220)(cid:221)(cid:70)(cid:209)(cid:162)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:107)(cid:70)(cid:170)(cid:92)(cid:26)(cid:270)(cid:68)
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:154)(cid:10)B(cid:65)(cid:160)(cid:55)(cid:56)(cid:116)(cid:70)DE BC(cid:70)
ADE ABC(cid:70)(cid:164)(cid:169)(cid:42)(cid:335)(cid:88)(cid:308)(cid:79)∥ (cid:20)(cid:156)(cid:251)
∴△ ∽△
C(cid:65)(cid:160)(cid:55)(cid:56)(cid:116)(cid:70)(cid:184)(cid:33)(cid:50)BDEC(cid:94)(cid:360)(cid:130)(cid:236)(cid:184)(cid:33)(cid:50)(cid:70)
ADE=180°− BDE= ACB(cid:70)
∴∠A= A(cid:70) ∠ ∠
∵∠AD∠E ACB(cid:70)(cid:164)(cid:169)(cid:42)(cid:335)(cid:88)(cid:308)(cid:79)(cid:20)(cid:156)(cid:251)
∴△ ∽△D(cid:65)(cid:160)(cid:55)(cid:56)(cid:116)(cid:70)(cid:167)D(cid:69)(cid:167)E(cid:63)(cid:64)(cid:94)AB(cid:69)AC(cid:59)(cid:142)(cid:167)(cid:70)
DE BC(cid:70)
∴ A∥DE ABC(cid:70)(cid:164)(cid:169)(cid:42)(cid:335)(cid:88)(cid:308)(cid:79)(cid:20)(cid:156)(cid:251)
∴△ ∽△
A(cid:65)(cid:160)(cid:55)(cid:56)(cid:116)(cid:70)CD(cid:69)BE(cid:63)(cid:64)(cid:94) ABC(cid:59)(cid:31)(cid:24)(cid:63)(cid:110)(cid:70)(cid:88)(cid:75)(cid:182)(cid:126) ADE(cid:69) ABC(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:164)(cid:169)(cid:42)(cid:335)(cid:308)(cid:79)(cid:20)(cid:156)(cid:251)
△ △ △
(cid:164)(cid:42)(cid:10)A(cid:68)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)7-1(cid:19)(cid:140)24-25(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:172)·(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:196)·(cid:197)(cid:198)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:115)(cid:116)(cid:32)(cid:233) ABC(cid:142)(cid:70)BA=BC(cid:70) B=108°(cid:70)(cid:257)(cid:23)(cid:53)(cid:54)(cid:61)AC
(cid:172)(cid:168)(cid:55)(cid:89)(cid:167)D(cid:70)(cid:49)(cid:113) ABD ACB(cid:68)(cid:140)(cid:361)(cid:362)(cid:55)(cid:56)(cid:220)(cid:221)(cid:70)(cid:88)(cid:363)(cid:55)(cid:128)△(cid:141) ∠
△ ∽ △
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)(cid:123)(cid:154)(cid:146)
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)(cid:169)(cid:20)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:65)(cid:110)(cid:218)(cid:364)(cid:109)(cid:24)(cid:63)(cid:110)(cid:59)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:70)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:94)(cid:154)(cid:20)
(cid:3)(cid:155)(cid:68)
(cid:55)AB(cid:59)(cid:364)(cid:109)(cid:24)(cid:63)(cid:110)(cid:70)(cid:134)AC(cid:108)(cid:167)D(cid:70)(cid:185)(cid:236)BD(cid:70)(cid:160)(cid:147)(cid:170)(cid:92)(cid:113)(cid:68)
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:154)(cid:10)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:167)D(cid:170)(cid:143)(cid:112)(cid:168)(cid:68)(cid:107)(cid:160)(cid:10)(cid:160)(cid:110)(cid:218)(cid:364)(cid:109)(cid:24)(cid:63)(cid:110)(cid:59)(cid:187)(cid:188)(cid:113)(cid:10)AD=BD(cid:70)
A= ABD(cid:70)
∴B∠A=B∠C(cid:70)
∵ A= C(cid:70)
∴∠AB∠D= C(cid:70)
(cid:61)∴∠ ABD∠(cid:69) ACB(cid:142)(cid:70)
△ABD= C△
A= A (cid:70)
∠ ∠
∠
ABD
∠
ACB(cid:68)
∴(cid:15)△(cid:165)(cid:166)7∽-2△(cid:19)(cid:140)24-25(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:172)·(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:227)·(cid:217)(cid:218)(cid:206)(cid:219)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:61)(cid:184)(cid:33)(cid:50)ABCD(cid:142)(cid:70)ABCD(cid:70)(cid:185)(cid:236)BD(cid:70)(cid:257)(cid:23)(cid:53)(cid:54)
(cid:55)(cid:56)(cid:128)(cid:61)BD(cid:172)(cid:262)(cid:89)(cid:167)P(cid:70)(cid:49)(cid:113) ABD PCB(cid:68)(cid:140)(cid:361)(cid:362)(cid:55)(cid:56)(cid:220)(cid:221)(cid:70)(cid:88)(cid:363)(cid:55)(cid:128)(cid:141)
△ ∽△
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)(cid:123)(cid:154)(cid:146)
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)(cid:169)(cid:20)(cid:148)(cid:149)(cid:59)(cid:94)(cid:55)(cid:89)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:108)(cid:115)(cid:116)(cid:31)(cid:70)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:237)(cid:61) BCD(cid:59)(cid:130)(cid:336)(cid:55) ABP= BCP(cid:70)(cid:238)(cid:186)
(cid:79)(cid:24)(cid:25)(cid:110)(cid:59)(cid:187)(cid:188)(cid:92)(cid:113) ABD PCB(cid:68) ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:154)(cid:10)(cid:100)(cid:56)(cid:70)△(cid:167)P(cid:170)∽(cid:143)△(cid:112)(cid:168)(cid:68)
(cid:107)(cid:160)(cid:10) AD BC(cid:70)
ADB∵= D∥BC(cid:70)
(cid:160)∴∠(cid:55)(cid:56)(cid:92)∠(cid:113)(cid:10) ABP= BCP(cid:70)
ABD PC∠B(cid:68) ∠
∴(cid:15)△(cid:165)(cid:166)7∽-3△(cid:19)(cid:61) ABC(cid:142)(cid:70) ABC=90°(cid:70)(cid:23)(cid:109)(cid:53)(cid:69)(cid:360)(cid:54)(cid:61)AC(cid:172)(cid:333)(cid:27)(cid:167)D(cid:70)(cid:49) BAD CBD(cid:70)(cid:161)(cid:162)(cid:55)(cid:56)(cid:220)(cid:221)(cid:26)
(cid:270)(cid:70)(cid:98)(cid:333)(cid:59)(cid:94)(cid:140)△ (cid:141) ∠ △ ∽△A(cid:68) B(cid:68)
C(cid:68) D(cid:68)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)B
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)(cid:160)(cid:20)(cid:156)(cid:39)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:107)(cid:92)(cid:116)(cid:70)(cid:314)BD(cid:94)AC(cid:59)(cid:364)(cid:110)(cid:307)(cid:70)(cid:170)BD AC(cid:307)(cid:70) BAD CBD(cid:70)(cid:239)(cid:240)
(cid:161)(cid:162)(cid:55)(cid:56)(cid:220)(cid:221)(cid:271)(cid:335)(cid:63)(cid:146)(cid:26)(cid:270)(cid:170)(cid:92)(cid:113)(cid:179)(cid:144)(cid:145)(cid:68) ⊥ △ ∽△
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:154)(cid:10)(cid:314)BD(cid:94)AC(cid:59)(cid:364)(cid:110)(cid:307)(cid:70)(cid:170)BD AC(cid:307)(cid:70) BAD CBD(cid:70)(cid:107)(cid:160)(cid:100)(cid:199)(cid:10)
BD AC(cid:70) ⊥ △ ∽△
∵ AD⊥B= BDC=90°(cid:70)
∴∠BAD+∠ABD=90°(cid:70)
∴∠ABC=9∠0°(cid:70)
∵∠ABD+ CBD=90°(cid:70)
∴∠BAD=∠CBD(cid:70)
∴∠BAD ∠ CBD(cid:70)
∴(cid:161)△(cid:162)(cid:55)(cid:56)∽(cid:220)△(cid:221)(cid:92)(cid:116)(cid:10)
A(cid:42)(cid:335)(cid:142)(cid:70)BD(cid:94)AC(cid:33)(cid:59)(cid:142)(cid:110)(cid:70)(cid:88)(cid:73)AC(cid:364)(cid:109)(cid:70)(cid:164)(cid:42)(cid:335)A(cid:88)(cid:308)(cid:79)(cid:20)(cid:156)(cid:251)
B(cid:42)(cid:335)(cid:142)(cid:70)BD(cid:94)AC(cid:59)(cid:364)(cid:110)(cid:70)(cid:164)(cid:42)(cid:335)B(cid:308)(cid:79)(cid:20)(cid:156)(cid:251)
C(cid:42)(cid:335)(cid:142)(cid:70)BD(cid:94) ABC(cid:59)(cid:24)(cid:63)(cid:110)(cid:70)(cid:88)(cid:73)AC(cid:364)(cid:109)(cid:70)(cid:164)(cid:42)(cid:335)C(cid:88)(cid:308)(cid:79)(cid:20)(cid:156)(cid:251)
D(cid:42)(cid:335)(cid:142)(cid:70)BD(cid:88)∠(cid:73)AC(cid:364)(cid:109)(cid:70)(cid:164)(cid:42)(cid:335)D(cid:88)(cid:308)(cid:79)(cid:20)(cid:156)(cid:251)
(cid:164)(cid:42)(cid:10)B(cid:68)
(cid:15)(cid:167)(cid:253)(cid:19)(cid:169)(cid:20)(cid:202)(cid:203)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:364)(cid:110)(cid:59)(cid:187)(cid:188)(cid:70)(cid:109)(cid:31)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:30)(cid:57)(cid:365)(cid:31)(cid:366)(cid:228)(cid:70)(cid:32)(cid:166)(cid:59)(cid:187)(cid:188)1(cid:70)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:55)
(cid:364)(cid:110)(cid:140)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:141)(cid:70)(cid:55)(cid:31)(cid:24)(cid:63)(cid:110)(cid:140)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:141)(cid:32)(cid:116)(cid:157)(cid:167)(cid:70)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:107)(cid:39)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:59)(cid:127)
(cid:128)(cid:94)(cid:154)(cid:20)(cid:59)(cid:3)(cid:155)(cid:68)【题型8 数相似三角形的对数】
(cid:15)(cid:38)8(cid:19)(cid:140)24-25(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:172)·(cid:254)(cid:255)(cid:367)(cid:196)·(cid:197)(cid:142)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)AC BC(cid:70)CD AB(cid:70)DE BC(cid:70)(cid:118)(cid:56)(cid:142)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:121)(cid:140) (cid:141)
⊥ ⊥ ⊥
A(cid:68)5(cid:34) B(cid:68)6(cid:34) C(cid:68)10(cid:34) D(cid:68)20(cid:34)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)C
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)(cid:169)(cid:20)(cid:148)(cid:149)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:107)(cid:94)(cid:154)(cid:20)(cid:3)(cid:155)(cid:251)
(cid:161)(cid:162)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:107)(cid:63)(cid:146)(cid:170)(cid:92)(cid:168)(cid:154)(cid:251)
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:154)(cid:10)(cid:56)(cid:142)(cid:121)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:70)(cid:63)(cid:64)(cid:94)(cid:10) ABC(cid:65) BDE(cid:65) DEC(cid:65) ADC(cid:69) BDC(cid:251)
AC BC(cid:70)CD AB(cid:70)DE BC(cid:70) △ △ △ △ △
∵ BE⊥D= CED⊥= BDC=⊥ADC= ACB=90°(cid:70)
∴A∠C DE(cid:70)∠ ∠ ∠ ∠
∴ A∥BC BDE(cid:251)
∴△B= B∽(cid:70)△ BED= BDC(cid:70)
∵∠BD∠E ∠BDC(cid:251)∠
∴△ABC∽△BDC(cid:251)
∴△A= A∽(cid:70)△ ADC= ACB(cid:70)
∵∠AB∠C ∠ADC(cid:251)∠
∴A△C DE∽(cid:70)△
∵ C∥DE= DCA(cid:70)
∴∠CED=∠ADC(cid:70)
∵∠DEC ∠ ADC(cid:251)
(cid:211)∴△(cid:172)(cid:112)(cid:332)∽(cid:10)△ ABC DBE CDE ACD CBD(cid:70)
(cid:170)(cid:10) ABC△ DBE∽(cid:70)△ AB∽C△ CD∽E(cid:70)△ AB∽C△ ACD(cid:70) ABC CBD(cid:70)
DB△E C∽D△E(cid:70) DB△E A∽C△D(cid:70) DB△E C∽B△D(cid:70) CD△E A∽C△D(cid:70) CDE CBD(cid:70) ACD CBD(cid:70)(cid:164)(cid:56)
△(cid:142)(cid:28)(cid:29)∽(cid:41)△(cid:31)(cid:50)(cid:121)1△0(cid:34)(cid:251)∽△ △ ∽△ △ ∽△ △ ∽△ △ ∽△(cid:164)(cid:42)(cid:10)C(cid:68)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)8-1(cid:19)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:61)(cid:98)(cid:127)(cid:50)ABCD(cid:142)(cid:70)E(cid:94)AD(cid:59)(cid:142)(cid:167)(cid:70)F(cid:94)CD(cid:172)(cid:89)(cid:167)(cid:70)(cid:84)CF=3FD(cid:68)(cid:118)(cid:56)(cid:142)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)
(cid:50)(cid:59)(cid:34)(cid:58)(cid:94)(cid:140)(cid:297)(cid:297)(cid:141)
A(cid:68)1 B(cid:68) 2 C(cid:68)3 D(cid:68))4
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)C
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)FD=k,CF=3k,DE=AE=2k
(cid:61)Rt BCF (cid:142)(cid:70)CF=3k,BC=4k,BF=5k
(cid:61)Rt△DEF (cid:142)(cid:70)DF=k,DE=2k,EF= 5k
(cid:61)Rt△ABE (cid:142)(cid:70)AE=2k,AB=4k,BE=2 5k
(cid:61)Rt△BEF (cid:142)(cid:70)EF= 5k,BE=2 5k,BF=5k
(cid:161)(cid:162)△(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:70)
RtΔDEF RtΔABE
RtΔEBF,(cid:164)(cid:42)C.
(cid:15)(cid:165)(cid:166)8-2(cid:19)(cid:140)24-25(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:172)·(cid:172)(cid:230)(cid:368)(cid:273)∼(cid:369)·(cid:217)(cid:218)(cid:206)∼(cid:219)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:115)(cid:116) ABC(cid:65) DEF(cid:222)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:70)(cid:167)D(cid:65)E
(cid:63)(cid:64)(cid:61)AB(cid:65)BC(cid:172)(cid:70)(cid:56)(cid:142)(cid:59)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:132)(cid:121)(cid:140) (cid:141)(cid:34)(cid:68) △ △
A(cid:68)3(cid:34) B(cid:68)4(cid:34) C(cid:68)6(cid:34) D(cid:68)7(cid:34)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)D
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)(cid:169)(cid:20)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:32)(cid:33)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:187)(cid:188)(cid:70)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:130)(cid:31)(cid:69)(cid:27)(cid:107)(cid:70)(cid:161)(cid:162)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)
(cid:27)(cid:107)(cid:170)(cid:92)(cid:113)(cid:179)(cid:144)(cid:145)(cid:70)(cid:207)(cid:208)(cid:28)(cid:3)(cid:116)(cid:157)(cid:94)(cid:154)(cid:20)(cid:59)(cid:3)(cid:155)(cid:68)
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:154)(cid:10)(cid:100)(cid:56)(cid:10)ABC(cid:65) DEF(cid:222)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:70)
∵△A= B=△C= DEF= EFD= FDE=60°(cid:70)
∴∠AB∠C ∠DE∠F(cid:70) ∠ ∠
∴△A= F∽(cid:70)△ AGD= FGH(cid:70)
∵∠AD∠G ∠FHG(cid:70)∠
∴△F= C∽(cid:70)△ FHG= CHE(cid:70)
∵∠FH∠G ∠CHE(cid:70)∠
∴△ADG∽△CHE(cid:70)
∴△ADG+∽△AGD=180°− A=120°(cid:70)
∵∠ADG+ ∠BDE=180°− E∠DF=120°(cid:70)
∠ AGD∠= BDE(cid:70) ∠
∴(cid:212)∠ A= ∠B(cid:70)
∵A∠DG∠ BED(cid:70)
∴△BED∽△FHG(cid:70)
∴△BED ∽△CHE(cid:70)
(cid:211)△(cid:172)(cid:70)∽(cid:28)△(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:132)(cid:121)7(cid:34)(cid:70)
(cid:164)(cid:42)(cid:10)D(cid:68)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)8-3(cid:19)(cid:140)24-25(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:172)·(cid:213)(cid:214)(cid:361)(cid:27)·(cid:197)(cid:142)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)E(cid:94)(cid:370)(cid:50)ABCD(cid:59)(cid:33)CD(cid:59)(cid:142)(cid:167)(cid:70)(cid:185)(cid:236)BE,AF BE(cid:108)(cid:167)
F,AF(cid:59)(cid:151)(cid:152)(cid:110)(cid:134)BC(cid:108)(cid:167)G(cid:70)(cid:185)(cid:236)DF(cid:70)(cid:118)(cid:56)(cid:142)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:121)(cid:140) (cid:141) ⊥
A(cid:68)4(cid:34) B(cid:68)6(cid:34) C(cid:68)8(cid:34) D(cid:68)5(cid:34)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)B
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)(cid:169)(cid:20)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:370)(cid:50)(cid:59)(cid:187)(cid:188)(cid:68)(cid:161)(cid:162)(cid:370)(cid:50)(cid:59)(cid:187)(cid:188)(cid:93)(cid:39)AF BE(cid:113)(cid:158) ABC= C= AFB= BFG
=90°(cid:70)(cid:235) 1= 1(cid:70) 2= 2(cid:70) 1= 2(cid:70)(cid:170)(cid:92)(cid:125)(cid:126) AFB ABG, AFB BFG,⊥ AFB ∠BCE, ∠ABG∠ BF∠G, ABG
BCE,∠BF∠G ∠BCE∠(cid:68) ∠ ∠ △ ∽△ △ ∽△ △ ∽△ △ ∽△ △
∽△ △ ∽△(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:154)(cid:10)(cid:100)(cid:56)(cid:70)
(cid:184)(cid:33)(cid:50)ABCD(cid:143)(cid:370)(cid:50)(cid:70)AF BE(cid:70)
∵ ABC= C= AFB= BFG=⊥90°(cid:70)
∴∠1= 1(cid:70)∠ 2∠= 2, ∠
∵∠AF∠B ∠ABG∠, BFG BCE(cid:70)
∴△1+ A∽B△F=90°=△2+ A∽B△F(cid:70)
∵∠1=∠2 ∠ ∠
∴∠AF∠B BFG(cid:70)
∴△AFB∽△ABG BFG BCE(cid:70)
∴(cid:161)△(cid:162)(cid:28)∽(cid:29)△(cid:59)(cid:371)(cid:372)∽△(cid:187)(cid:92)(cid:113)∽(cid:10)△ AFB ABG, AFB BFG, AFB BCE, ABG BFG, ABG BCE, BFG
∴ BCE(cid:70) △ ∽△ △ ∽△ △ ∽△ △ ∽△ △ ∽△ △
∽(cid:121)△6(cid:34)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:70)
∴(cid:164)(cid:42)(cid:10)B(cid:68)
【题型9 存在相似三角形】
(cid:15)(cid:38)9(cid:19)(cid:140)23-24(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:172)·(cid:254)(cid:255)(cid:373)(cid:374)(cid:337)·(cid:197)(cid:142)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:115)(cid:116)AB BC(cid:108)(cid:167)B(cid:70)CD BC(cid:108)(cid:167)C(cid:70)AB=4(cid:70)CD=6(cid:70)
BC=14(cid:70)P(cid:143)(cid:109)(cid:110)BC(cid:172)(cid:89)(cid:167)(cid:70)(cid:117)(cid:93)A(cid:65)B(cid:65)P(cid:143)(cid:133)(cid:167)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73)⊥(cid:93)P(cid:65)C(cid:65)D(cid:143)(cid:133)⊥(cid:167)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:118)(cid:104)(cid:375)(cid:59)P
(cid:167)(cid:121) (cid:57)(cid:68)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)6
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)(cid:169)(cid:20)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:73)(cid:187)(cid:188)(cid:94)(cid:154)(cid:144)(cid:169)(cid:20)(cid:59)(cid:3)(cid:155)(cid:68)
(cid:63)3(cid:329)(cid:376)(cid:377)(cid:168)(cid:154)(cid:170)(cid:92)(cid:10) (cid:314)(cid:167)P(cid:61)(cid:110)(cid:218)BC(cid:172)(cid:378)(cid:342)(cid:307)(cid:70) (cid:314)(cid:167)P(cid:61)B(cid:59)(cid:379)(cid:380)(cid:378)(cid:342)(cid:307)(cid:70) (cid:314)(cid:167)P(cid:61)(cid:167)C(cid:59)(cid:381)
① ② ③(cid:380)(cid:378)(cid:342)(cid:307)(cid:68)
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:154)(cid:10) AB DB,CD DB(cid:70)
C= B=90°(cid:70)∵(cid:302)B⊥P=x(cid:70) ⊥
∴∠(cid:314)(cid:167)∠ P(cid:61)(cid:110)(cid:218)BC(cid:172)(cid:378)(cid:342)(cid:307)(cid:70)
①
(cid:314)PB:DC=AB:PC(cid:307)(cid:70) PAB DPC(cid:70)
x 4 △ ∽△
= (cid:70)
6 14−x
∴x =2(cid:70)x =12(cid:251)
1 2
(cid:314)∴ PB:PC=AB:DC(cid:307)(cid:70) PAB PDC(cid:70)
x 4 △ ∽△
= (cid:70)
14−x 6
∴ (cid:154)(cid:113)(cid:10)x=5.6(cid:251)
(cid:314)(cid:167)P(cid:61)B(cid:59)(cid:379)(cid:380)(cid:378)(cid:342)(cid:307)(cid:70)
②
(cid:314)PB:DC=AB:PC(cid:307)(cid:70) PAB DPC(cid:70)
x 4 △ ∽△
= (cid:70)
6 14 x
∴x =− + 7+7 2(cid:70)x =−7−7 2(cid:140)(cid:382)(cid:383)(cid:141)(cid:251)
1 1
∴(cid:314)PB:PC=AB:DC(cid:307)(cid:70) PAB PDC(cid:70)
x 4 △ ∽△
= (cid:70)
14 x 6
∴ (cid:154)(cid:113) + (cid:10)x=28(cid:251)
(cid:314)(cid:167)P(cid:61)(cid:167)C(cid:59)(cid:381)(cid:380)(cid:378)(cid:342)(cid:307)(cid:70)
③(cid:314)PB:DC=AB:PC(cid:307)(cid:70) PAB DPC(cid:70)
x 4 △ ∽△
= (cid:70)
6 x−14
∴x =7+7 2(cid:70)x =7−7 2(cid:140)(cid:382)(cid:383)(cid:141)(cid:251)
1 1
∴(cid:314)PB:PC=AB:DC(cid:307)(cid:70) PAB PDC(cid:70)
x 4 △ ∽△
= (cid:70)
x−14 6
∴ (cid:154)(cid:113)(cid:10)x=−28(cid:140)(cid:382)(cid:383)(cid:141)(cid:251)
(cid:211)(cid:172)(cid:92)(cid:116)(cid:70)(cid:308)(cid:79)(cid:20)(cid:156)(cid:59)x(cid:59)(cid:353)(cid:121)6(cid:57)(cid:70)(cid:170)(cid:104)(cid:375)(cid:59)P(cid:167)(cid:121)6(cid:57)(cid:68)
(cid:164)(cid:144)(cid:145)(cid:143)(cid:10)6(cid:68)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)9-1(cid:19)(cid:61)(cid:384)(cid:348)(cid:385)(cid:142)(cid:70)(cid:115)(cid:116)A(cid:140)﹣3(cid:70)0(cid:141)(cid:70)B(cid:140)0(cid:70)﹣4(cid:141)(cid:70)C(cid:140)0(cid:70)1(cid:141)(cid:70)(cid:345)(cid:167)C(cid:55)(cid:109)(cid:110)L(cid:134)x(cid:386)(cid:108)(cid:167)D(cid:70)
(cid:49)(cid:113)(cid:93)(cid:167)D(cid:70)C(cid:70)O(cid:143)(cid:133)(cid:167)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73) AOB(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:104)(cid:375)(cid:59)(cid:109)(cid:110)(cid:89)(cid:132)(cid:92)(cid:93)(cid:55)(cid:179)(cid:140)(cid:297)(cid:297)(cid:141)
A(cid:68)6(cid:47) B(cid:68)3(cid:47) △ C(cid:68)4(cid:47) D(cid:68)5(cid:47)
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)C
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19) AOB(cid:94)(cid:109)(cid:31)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:70)(cid:112)(cid:55)(cid:59)(cid:93)(cid:167)D(cid:70)C(cid:70)O(cid:143)(cid:133)(cid:167)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:142) COD=90(cid:292)(cid:70)OC(cid:73)AD(cid:92)(cid:75)(cid:94)
(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:70)△(cid:104)(cid:375)(cid:279)(cid:92)(cid:93)(cid:168)(cid:179)CD(cid:59)(cid:152)(cid:292)(cid:70)(cid:93)C(cid:143)(cid:360)(cid:387)(cid:70)(cid:93)(cid:112)(cid:168)(cid:59)(cid:152)(cid:292)(cid:143)(cid:388)(cid:389)∠(cid:55)(cid:360)(cid:70)(cid:360)(cid:73)x(cid:386)(cid:121)(cid:30)(cid:57)(cid:134)(cid:167)(cid:70)(cid:354)
(cid:235)(cid:104)(cid:375)(cid:59)(cid:109)(cid:110)(cid:279)(cid:94)(cid:30)(cid:47)(cid:68)(cid:83)(cid:107)(cid:70)(cid:314)OC(cid:73)BD(cid:94)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:307)(cid:70)(cid:212)(cid:121)(cid:30)(cid:47)(cid:390)(cid:391)(cid:47)(cid:48)(cid:59)(cid:109)(cid:110)(cid:70)(cid:132)(cid:121)(cid:184)(cid:47)(cid:68)
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:154)(cid:10)(cid:93)(cid:167)D(cid:70)C(cid:70)O(cid:143)(cid:133)(cid:167)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:142) COD=90(cid:292)(cid:70)
(cid:314)OC(cid:73)AO(cid:94)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:70)(cid:93)C(cid:143)(cid:360)(cid:387)(cid:70)(cid:93)CD(cid:59)∠(cid:152)(cid:292)(cid:143)(cid:388)(cid:389)(cid:55)(cid:360)(cid:70)(cid:360)(cid:73)x(cid:386)(cid:121)(cid:30)(cid:57)(cid:134)(cid:167)(cid:70)(cid:354)(cid:235)(cid:104)(cid:375)(cid:59)(cid:109)(cid:110)(cid:279)
(cid:94)(cid:30)(cid:47)(cid:68)
(cid:83)(cid:107)(cid:70)(cid:314)OC(cid:73)BO(cid:94)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:307)(cid:70)(cid:212)(cid:121)(cid:30)(cid:47)(cid:390)(cid:391)(cid:47)(cid:48)(cid:59)(cid:109)(cid:110)(cid:70)
(cid:112)(cid:93)(cid:132)(cid:121)(cid:184)(cid:47)(cid:68)
(cid:164)(cid:42)C(cid:68)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)9-2(cid:19)(cid:140)22-23(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:199)·(cid:72)(cid:284)·(cid:343)(cid:240)(cid:55)(cid:232)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70)(cid:61)(cid:370)(cid:50)ABCD(cid:142)(cid:70)AB=7.5,BC=8(cid:70)(cid:167)E(cid:94)AB(cid:172)(cid:89)(cid:167)(cid:70)
BE=2(cid:70)(cid:167)P(cid:94)(cid:33)BC(cid:172)(cid:59)(cid:89)(cid:57)(cid:342)(cid:167)(cid:70)(cid:117)(cid:49)(cid:113)(cid:93)P(cid:65)C(cid:65)D(cid:143)(cid:133)(cid:167)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73) EBP(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:118)(cid:104)(cid:375)(cid:59)(cid:167)P(cid:121)
(cid:57)(cid:68) △(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)3
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:302)BP=x(cid:68)
(cid:61)(cid:370)(cid:50)ABCD(cid:142)(cid:70) B= C=90°(cid:70)
EB BP ∠ ∠
(cid:314) = (cid:307)(cid:70) EBP PCD(cid:68)
PC CD
△ ∽△
(cid:170) 2 = x ,x =3,x =5(cid:68)
8−x 7.5 1 2
EB BP
(cid:314) = (cid:307)(cid:70) EBP DCP(cid:70)
DC CP
△ ∽△
(cid:170) 2 = x ,x= 32 (cid:68)(cid:211)(cid:172)(cid:112)(cid:332)(cid:70)
7.5 8−x 19
(cid:49)(cid:113)(cid:93)P(cid:65)C(cid:65)D(cid:143)(cid:133)(cid:167)(cid:59)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:73) EBP(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:104)(cid:375)(cid:59)(cid:167)P(cid:121)3(cid:57)(cid:68)
(cid:15)(cid:392)(cid:131)(cid:167)(cid:63)(cid:146)(cid:19)(cid:30)(cid:57)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:115)(cid:344)(cid:121)△(cid:89)(cid:34)(cid:31)(cid:28)(cid:32)(cid:70)(cid:40)(cid:104)(cid:57)(cid:31)(cid:59)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:3)(cid:385)(cid:35)(cid:223)(cid:148)(cid:393)(cid:30)(cid:329)(cid:376)(cid:377)(cid:70)(cid:121)(cid:59)(cid:83)(cid:11)(cid:92)
(cid:75)(cid:313)(cid:148)(cid:393)(cid:150)(cid:89)(cid:329)(cid:70)(cid:316)(cid:121)(cid:59)(cid:83)(cid:11)(cid:148)(cid:393)(cid:30)(cid:329)(cid:376)(cid:377)(cid:394)(cid:240)(cid:70)(cid:296)(cid:258)(cid:143)(cid:395)(cid:239)(cid:94)(cid:30)(cid:329)(cid:376)(cid:377)(cid:70)(cid:279)(cid:35)(cid:223)(cid:121)(cid:30)(cid:57)(cid:167)P(cid:70)(cid:99)(cid:396)(cid:154)(cid:179)(cid:180)
(cid:397)(cid:88)(cid:89)(cid:27)(cid:68)(cid:112)(cid:93)(cid:88)(cid:168)(cid:179)(cid:398)(cid:240)(cid:186)(cid:101)(cid:94)(cid:399)(cid:400)(cid:26)(cid:270)(cid:401)(cid:333)(cid:59)(cid:68)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)9-3(cid:19)(cid:140)23-24(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:172)·(cid:272)(cid:273)(cid:402)(cid:403)·(cid:217)(cid:218)(cid:206)(cid:219)(cid:141)(cid:100)(cid:56)(cid:70) ABO(cid:59)(cid:133)(cid:167)(cid:384)(cid:348)(cid:94)A(2,6)(cid:70)B(3,1)(cid:70)O(0,0)(cid:70)(cid:24)
(cid:404)(cid:130)(cid:167)P(cid:49)(cid:113) ABP(cid:73) ABO(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:118)(cid:88)(cid:73)(cid:167)O(cid:78)(cid:79)(cid:59)(cid:167)P(cid:121) △ (cid:57)(cid:68)
△ △
(cid:15)(cid:144)(cid:145)(cid:19)11
(cid:15)(cid:63)(cid:146)(cid:19)(cid:169)(cid:20)(cid:148)(cid:149)(cid:28)(cid:29)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:26)(cid:27)(cid:68)(cid:161)(cid:162)(cid:24)(cid:404)(cid:130)(cid:167)P(cid:49)(cid:113) ABP(cid:73) ABO(cid:28)(cid:29)(cid:70)(cid:170)(cid:92)(cid:113)(cid:158)(cid:88)(cid:73)(cid:167)O(cid:78)(cid:79)(cid:59)(cid:167)
P(cid:59)(cid:57)(cid:58)(cid:68) △ △
(cid:15)(cid:163)(cid:154)(cid:19)(cid:154)(cid:10)(cid:100)(cid:56)(cid:112)(cid:91)(cid:70)(cid:314) ABP= AOB(cid:307)(cid:70) ABP AOB(cid:140)(cid:314)(cid:167)P(cid:61)AB(cid:120)(cid:89)(cid:380)(cid:307)(cid:70)(cid:95)(cid:308)(cid:79)(cid:20)(cid:156)(cid:70)(cid:199)(cid:83)(cid:141)(cid:251)
∠ ∠ △ ∽△(cid:100)(cid:56)(cid:112)(cid:91)(cid:70)(cid:314) BAP= AOB(cid:70) ABP= BAO(cid:307)(cid:70) ABP OAB(cid:251)
∠ ∠ ∠ ∠ △ ∽△
(cid:100)(cid:56)(cid:112)(cid:91)(cid:70)(cid:314) P= AOB(cid:70) ABP= BAO(cid:307)(cid:70) ABO BAP(cid:251)
∠ ∠ ∠ ∠ △ ∽△
(cid:100)(cid:56)(cid:112)(cid:91)(cid:70)(cid:314) BAO= BAP(cid:70) AOB= P(cid:307)(cid:70) ABO ABP(cid:140)(cid:167)P(cid:73)(cid:167)O(cid:78)(cid:79)(cid:307)(cid:88)(cid:79)(cid:20)(cid:156)(cid:141)(cid:68)
∠ ∠ ∠ ∠ △ ∽△
(cid:100)(cid:56)(cid:112)(cid:91)(cid:70)(cid:314) P= BAO(cid:70) ABO= PBA(cid:307)(cid:70) ABO PBA(cid:251)
∠ ∠ ∠ ∠ △ ∽△(cid:100)(cid:56)(cid:112)(cid:91)(cid:70)(cid:314) BAP= ABO(cid:70) ABP= AOB(cid:307)(cid:70) ABO PAB(cid:251)
∠ ∠ ∠ ∠ △ ∽△
(cid:211)(cid:172)(cid:112)(cid:332)(cid:70)(cid:308)(cid:79)(cid:20)(cid:156)(cid:59)(cid:167)P(cid:59)(cid:129)(cid:405)(cid:121)11(cid:57)(cid:68)
(cid:164)(cid:144)(cid:145)(cid:143)(cid:10)11(cid:68)
