专题 03 二次函数中的最值问题（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:19)....................................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:37)(cid:38)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:19)................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:39)(cid:40)(cid:26)(cid:41)(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:35)(cid:36)(cid:19)..........................................................................................................................11
【题型1 几何定理法求线段之和（差）最值】
1 1
1(cid:44)(cid:32)2024·(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)·(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:20)(cid:34)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38) = + (cid:57) = (cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63) (4,0)(cid:31)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:63)
2 2
2 2
(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:56)(cid:38)(cid:71)0 4(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:58)(cid:75)(cid:76)(cid:59)(cid:60)(cid:77)𝑦 (cid:59)−(cid:78)(cid:79)𝑥 (cid:67)𝑏(cid:80)𝑥 (cid:28)𝑦(cid:29) 𝑥(cid:58)−(cid:49)𝑏𝑥(cid:63)(cid:67)(cid:62)(cid:63) (cid:81)(cid:57)𝐴(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:58)(cid:86)(cid:28)
𝑂(cid:57)(cid:75)(cid:76)(cid:59)(cid:60)(cid:87)(cid:88) (cid:67)≤(cid:69)𝑥(cid:63)≤(cid:44)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:10) 𝑃 𝑂𝐴 𝑃 𝑥
𝐵 𝐶
① =2(cid:95)
②𝑏 = (cid:95)
③(cid:96)𝑃𝐵 (cid:67)𝑃𝐶(cid:67) (cid:67) (cid:80)(cid:97)(cid:63)(cid:58)(cid:45)(cid:98)(cid:73)(cid:99)(cid:96)(cid:80)(cid:100)(cid:101)(cid:73)(cid:95)
④(cid:102)(cid:63)𝑂 (cid:58)𝐴 (cid:103)𝐵(cid:64)(cid:65)𝐶(cid:80)1(cid:67)(cid:63) (cid:71) (cid:82)(cid:104)(cid:32) (cid:67) (cid:67) (cid:105)(cid:63)(cid:83)(cid:106)(cid:28)(cid:34)(cid:67)(cid:107) (cid:108)(cid:109)(cid:58)(cid:35)(cid:110)(cid:36)(cid:80)5+ 13(cid:44)
(cid:111)(cid:49)(cid:67)(cid:78)𝐵(cid:112)(cid:100)(cid:113)(cid:93)(cid:94)(cid:58)(cid:70)(cid:38)𝑄(cid:114)(cid:32)𝑦 (cid:34) 𝑄 𝐵 𝐶 △𝐵𝐶𝑄
A(cid:44)1 B(cid:44)2 C(cid:44)3 D(cid:44)4
2(cid:44)(cid:32)2023·(cid:115)(cid:116)(cid:105)(cid:117)·(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:34)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38) = + + ( > >0)(cid:57)(cid:122)(cid:86)(cid:28) = + (cid:87)(cid:88) (cid:67) (cid:69)
2
(cid:63)(cid:67)(cid:28)(cid:29) (cid:49)(cid:63)(cid:80) (cid:67) ( )(cid:67) ( )𝑦(cid:67)(cid:107)−𝑎𝑥+ 3𝑎𝑥(cid:58)(cid:35)𝑐(cid:110)𝑎(cid:36)(cid:80)0,(cid:32)𝑐 (cid:34) 𝑦 𝑎𝑥 𝑏 𝑀 𝑁
A(cid:44) 5𝑀𝑁 𝐻 B𝐴(cid:44)−213,0 𝐵 0,−2 C(cid:44)𝐴𝐻13𝐵𝐻 D(cid:44) 143(cid:44)(cid:32)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:104)·(cid:115)(cid:116)(cid:126)(cid:127)·(cid:128)(cid:49)(cid:34)(cid:77)(cid:59)(cid:67)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38) = +1) + 0)(cid:58)(cid:59)(cid:129) (cid:67)(cid:63) (cid:114)(cid:64)(cid:65)(cid:130)
2
(cid:58)(cid:66)(cid:63)(cid:67)(cid:63) (cid:114)(cid:59)(cid:129) (cid:131)(cid:132)(cid:82)(cid:104)(cid:58)(cid:63)(cid:67)(cid:59)(cid:129) (cid:57) (cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:63) (cid:67)𝑦(cid:107)(cid:91)𝑎(cid:42)(𝑥(cid:93)(cid:94)(cid:10)①4((cid:3)𝑎(cid:88)≠ (cid:58)(cid:101)(cid:133) 𝐿 +1𝑂) +4=0
2
(cid:58)(cid:134)(cid:114) =𝑃 (cid:67) 𝐿=1(cid:95)②(cid:135) =2(cid:72)(cid:67)𝐿 <𝑦0(cid:95)③(cid:63) 𝐶(cid:58)(cid:64)(cid:65)(cid:80)(0,3)(cid:95)④ 𝑥(cid:108)(cid:109)(cid:58)𝑎(cid:35)(𝑥(cid:110)(cid:36)(cid:114)3 2
+3(cid:44)(cid:100)𝑥(cid:113)1 (cid:58)−(cid:112)3 𝑥 2 (cid:44) 𝑥 𝑦 𝐶 △𝑃𝐶𝑂
1
4(cid:44)(cid:32)22-23(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:104)·(cid:136)(cid:137)·(cid:138)(cid:139)(cid:121)(cid:140)(cid:34)(cid:77)(cid:59)(cid:67)(cid:71)(cid:141)(cid:42)(cid:86)(cid:142)(cid:64)(cid:65)(cid:130)(cid:49)(cid:67)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38) = + +2(cid:58)(cid:59)(cid:129)(cid:57)
2
2
(cid:82)(cid:143)(cid:82)(cid:144)(cid:145)(cid:87)(cid:88) (cid:143)(cid:143)(cid:105)(cid:63)(cid:67)(cid:63) (cid:114)(cid:111)(cid:97)(cid:63)(cid:67)(cid:102)(cid:63) (cid:114) (cid:82)(cid:104)(cid:146)(cid:70)(cid:122)(cid:63)(cid:67)(cid:107) + 𝑦(cid:58)(cid:35)−(cid:110)𝑥(cid:36)(cid:80)2 𝑥 𝑥(cid:44)
𝑦 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑃 𝑥 𝐶𝑃 𝐷𝑃
5(cid:44)(cid:32)22-23(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:104)·(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)·(cid:128)(cid:49)(cid:34)(cid:77)(cid:59)(cid:67)(cid:52)(cid:53)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:62)(cid:63) (0,0)(cid:67) (5,5)(cid:67)(cid:111)(cid:131)(cid:132)(cid:82)(cid:80) =2(cid:44)
𝑂 𝐴 𝑥
(1)(cid:27)(cid:153)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:58)(cid:134)(cid:154)(cid:155)(cid:95)
(2)(cid:102)(cid:63) (cid:114)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:131)(cid:132)(cid:82)(cid:104)(cid:58)(cid:146)(cid:63)(cid:67)(cid:81)(cid:63) (cid:71)(cid:156)(cid:146)(cid:129)(cid:157)(cid:44)
①(cid:135) 𝐵 (cid:58)(cid:42)(cid:43)(cid:80)15(cid:72)(cid:67)(cid:27)(cid:63) (cid:58)(cid:64)(cid:65)𝐵 (cid:95)
② (cid:114)△(cid:151)𝑂(cid:152)𝐴𝐵(cid:28)(cid:104)(cid:58)(cid:122)(cid:63)(cid:67)(cid:135) 𝐵(cid:158)(cid:159)(cid:35)(cid:160)(cid:36)(cid:72)(cid:67)(cid:27)(cid:63) (cid:58)(cid:64)(cid:65)(cid:44)
𝑃 𝑃𝐴−𝑃𝐵 𝑃6(cid:44)(cid:32)2024·(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)·(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:34)(cid:77)(cid:59)(cid:67)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38) = + + ( 0)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:57) (cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:63)
( )(cid:67)(cid:57) (cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:63) ( )(cid:67) (3,0)(cid:44) 𝑦 𝑎𝑥² 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠ 𝑦 𝐶
0,−3 𝑥 𝐴 −1,0 𝐵
(1)(cid:27)(cid:165)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38)(cid:58)(cid:166)(cid:167)(cid:155)(cid:44)
(2)(cid:52)(cid:53) (cid:80)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:131)(cid:132)(cid:82)(cid:104)(cid:146)(cid:122)(cid:63)(cid:67)(cid:27) (cid:108)(cid:109)(cid:58)(cid:35)(cid:110)(cid:36)(cid:44)
(3)(cid:52)(cid:53)𝑃(cid:80)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:104)(cid:146)(cid:63)(cid:67)(cid:135)(cid:63) (cid:168)(cid:122)(cid:169)△(cid:86)𝐴(cid:28)𝑃𝐶 (cid:91)(cid:101)(cid:72)(cid:67)(cid:27) (cid:42)(cid:43)(cid:58)(cid:35)(cid:160)(cid:36)(cid:44)
7(cid:44)(cid:32)23𝑄-24(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:104)·(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:174)𝑄(cid:175)(cid:176)·(cid:128)(cid:49)(cid:34)𝐵(cid:52)𝐶(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38) △=𝐵𝐶𝑄 + + (cid:44)
2
𝑦 −𝑥 2𝑥 𝑚
(1)(cid:77)(cid:59)(cid:67)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:129)(cid:57) (cid:82)(cid:112)(cid:69)(cid:70)(cid:7)(cid:106)(cid:63)(cid:67)(cid:27) (cid:58)(cid:158)(cid:36)(cid:177)(cid:178)(cid:95)
(2)(cid:77)(cid:59)(cid:67)(cid:135) =3(cid:72)(cid:67)(cid:54)(cid:55)(cid:56)𝑥(cid:38)(cid:59)(cid:129)(cid:57) (cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:63)𝑚(cid:67)(cid:57) (cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:63) (cid:67)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:57) (cid:82)(cid:58)(cid:179)(cid:146)(cid:70)(cid:87)(cid:63)(cid:80) (cid:67) (cid:80)
(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:131)(cid:132)(cid:82)𝑚(cid:104)(cid:58)(cid:146)(cid:70)(cid:122)(cid:63)(cid:67)(cid:27) + 𝑦 (cid:58)(cid:35)(cid:110)(cid:36)𝐵(cid:180)(cid:165)(cid:72)𝑥(cid:63) (cid:58)(cid:64)(cid:65)𝐴(cid:44) 𝑥 𝐶 𝑃
8(cid:44)(cid:32)2023·(cid:181)(cid:162)(cid:181)(cid:182)·(cid:54)(cid:118)(cid:34)(cid:54)(cid:55)𝑃(cid:56)𝐵(cid:38) 𝑃=𝐶 + +3( 0𝑃)(cid:58)(cid:59)(cid:129)(cid:57) (cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:63) (cid:67)(cid:57) (cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:63) (1,0)(cid:143)
2
9 𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑎≠ 𝑦 𝐶 𝑥 𝐴
,0
2
𝐵(1)(cid:27) (cid:143) (cid:58)(cid:36)(cid:95)
(2) (cid:114)𝑎(cid:54)𝑏(cid:55)(cid:56)(cid:38)(cid:59)(cid:129)(cid:71)(cid:156)(cid:146)(cid:129)(cid:157)(cid:183)(cid:144)(cid:104)(cid:146)(cid:63)(cid:67)(cid:81) = (cid:67)(cid:27)(cid:63)P(cid:58)(cid:64)(cid:65)(cid:44)
(3)(cid:71)𝑃 (cid:32)2(cid:34)(cid:58)(cid:184)(cid:185)(cid:91)(cid:67)(cid:112)(cid:146)(cid:184)(cid:109)(cid:186)(cid:80)1(cid:58)(cid:28)(cid:29) (cid:187)∠𝐵(cid:71)𝐶𝑃 (cid:104)2(cid:32)∠𝐴(cid:57)𝐵𝐶 (cid:84)(cid:85)(cid:67) (cid:57) (cid:84)(cid:85)(cid:34)(cid:67)(cid:188)(cid:28)(cid:29) (cid:189) (cid:82)(cid:100)(cid:101)
9 𝐸𝐹 𝑂𝐴 𝐸 𝑂 𝐹 𝐴 𝐸𝐹 𝑥
(cid:190)(cid:96)(cid:191)(cid:192) (cid:70)(cid:138)(cid:193)(cid:190)(cid:194)(cid:141)(cid:195)(cid:67)(cid:196)(cid:195)(cid:122)(cid:72)(cid:197)(cid:80) (cid:192)(cid:67)(cid:135)(cid:45)(cid:98)(cid:73) (cid:108)(cid:109)(cid:35)(cid:110)(cid:72)(cid:67)(cid:27) (cid:58)(cid:36)(cid:44)
31
𝑡 𝐶𝐸𝐹𝑃 1 𝑡
9(cid:44)(cid:32)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:91)·(cid:198)(cid:199)(cid:200)(cid:201)·(cid:128)(cid:49)(cid:34)(cid:77)(cid:59)(cid:67)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38) = + + (cid:58)(cid:59)(cid:129)(cid:62)(cid:63) (cid:67)(cid:131)(cid:132)(cid:82)(cid:57)
2
2
(cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:63) (cid:44) 𝑦 − 𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝐴(0,4) 𝑥
𝐵(2,0)
(1)(cid:27)(cid:165)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38)(cid:58)(cid:166)(cid:167)(cid:155)(cid:95)
(2)(cid:52)(cid:53)(cid:63) (cid:114)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38)(cid:59)(cid:129)(cid:104)(cid:146)(cid:63)(cid:67)
①(cid:102)(cid:86)(cid:28)𝑃(cid:10) = + (cid:202)(cid:62)(cid:63) (cid:67)(cid:81)(cid:63) (cid:3)(cid:88)(cid:86)(cid:28) (cid:58)(cid:131)(cid:132)(cid:63) (cid:203)(cid:204)(cid:187)(cid:71)(cid:86)(cid:28) (cid:104)(cid:67)(cid:27)(cid:63) (cid:64)(cid:65)(cid:44)
②(cid:196)(cid:86)(cid:28)𝑙 (cid:57)𝑦 (cid:54)𝑥(cid:55)(cid:56)𝑛(cid:38)(cid:59)(cid:129)(cid:179)𝐵(cid:146)(cid:87)(cid:63)𝑃(cid:80) (cid:67)(cid:62)(cid:54)𝑙(cid:55)(cid:56)(cid:38)(cid:59)(cid:129)𝑄(cid:97)(cid:63)(cid:205) (cid:82)(cid:58)(cid:141)𝐴𝐵(cid:206)(cid:28) (cid:67)(cid:107)𝑃(cid:86)(cid:28) (cid:104)(cid:114)(cid:207)(cid:208)(cid:71)(cid:63)
(cid:67)(cid:209)(cid:159) 𝑃𝐵+ (cid:35)(cid:110)(cid:210)(cid:102)(cid:208)(cid:71)(cid:211)(cid:86)(cid:212)(cid:213)𝑄(cid:90)(cid:68)(cid:70)(cid:35)(cid:110)(cid:36)(cid:95)(cid:102)(cid:83)(cid:208)(cid:71)(cid:67)𝑥(cid:211)(cid:214)(cid:117)(cid:25)(cid:215)𝑚(cid:44) 𝑚
𝑀10(cid:44)(cid:32)20𝑀24𝑃·(cid:198)(cid:216)𝑀·𝑄(cid:146)(cid:118)(cid:34)(cid:52)(cid:53)(cid:3)(cid:88) (cid:58)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38) = + + (cid:58)(cid:59)(cid:129)(cid:58)(cid:131)(cid:132)(cid:82)(cid:114)(cid:86)(cid:28) =1(cid:67)(cid:111)(cid:35)(cid:160)(cid:36)(cid:114)4(cid:67)
2
(cid:202)(cid:62)(cid:63) ( )(cid:67)(cid:87) (cid:82)(cid:88)(cid:63) (cid:67)𝑥(cid:211)(cid:217)(cid:218)(cid:200)(cid:219)(cid:186)𝑦(cid:86)(cid:220)𝑎𝑥(cid:221)(cid:91)𝑏(cid:92)𝑥(cid:222)(cid:27)𝑐 (cid:205)(cid:59)(cid:44) 𝑥
𝐴 −1,−4 𝑦 𝐵
(1)(cid:71)(cid:59)1(cid:49)(cid:205)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38)(cid:59)(cid:129)(cid:104)(cid:58)(cid:63) (2,2)(cid:95)
(2)(cid:71)(cid:59)2(cid:49)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38)(cid:59)(cid:129)(cid:58)(cid:131)(cid:132)(cid:82)(cid:104)𝑃 (cid:223)(cid:146)(cid:63) (cid:67)(cid:209) (cid:58)(cid:108)(cid:109)(cid:35)(cid:224)(cid:44)
11(cid:44)(cid:32)23-24(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:104)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:117)·(cid:128)(cid:228)(cid:34)(cid:34)(cid:77)(cid:59)𝑄1(cid:67)(cid:54)△(cid:55)𝐴(cid:56)𝐵(cid:38)𝑄 = + + 0)(cid:58)(cid:59)(cid:129)(cid:57)(cid:146)(cid:55)(cid:56)(cid:38) = +2
2
𝑦 𝑎𝑥 4𝑥 𝑐(𝑎≠ 𝑦 −𝑥(cid:58)(cid:59)(cid:129)(cid:87)(cid:88) (cid:67) (cid:69)(cid:63)(cid:67)(cid:63) (cid:71) (cid:82)(cid:104)(cid:67)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:58)(cid:131)(cid:132)(cid:82)(cid:80)(cid:86)(cid:28) =2(cid:67)(cid:63) (cid:114)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38)(cid:59)(cid:129)(cid:58)(cid:97)(cid:63)(cid:44)
𝐴 𝐵 𝐴 𝑦 𝑥 𝐶
(1)(cid:27)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38)(cid:134)(cid:154)(cid:155)(cid:95)
(2)(cid:102)(cid:188)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38) = + + (cid:58)(cid:97)(cid:63) (cid:190)(cid:194)(cid:141)(cid:195) (cid:70)(cid:138)(cid:193)(cid:229)(cid:159)(cid:169) (cid:44)(cid:71)(cid:63) (cid:58)(cid:141)(cid:195)(cid:62)(cid:133)(cid:49)(cid:67)(cid:114)(cid:207)(cid:208)(cid:71)(cid:146)(cid:70)
2 ′ ′
(cid:85)(cid:230)(cid:58)(cid:193)(cid:231)(cid:67)(cid:209)𝑦 𝑎𝑥 (cid:114)(cid:146)4𝑥(cid:70)(cid:96)𝑐 (cid:80)(cid:232)𝐶(cid:98)(cid:58)(cid:86)(cid:142)𝑛(cid:105)(cid:142)(cid:73)(cid:210)(cid:102)(cid:208)(cid:71)𝐶(cid:67)(cid:211)(cid:27)(cid:90)𝐶(cid:63) (cid:58)(cid:64)(cid:65)(cid:95)(cid:102)(cid:83)(cid:208)(cid:71)(cid:67)(cid:211)(cid:214)
′ ′ ′
(cid:117)(cid:25)(cid:215)(cid:95) △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐶
(3)(cid:77)(cid:59)2(cid:67) (cid:114) (cid:82)(cid:91)(cid:101)(cid:28)(cid:29) (cid:104)(cid:146)(cid:63)(cid:67)(cid:62)(cid:63) (cid:144)(cid:145)(cid:205) (cid:82)(cid:58)(cid:233)(cid:28)(cid:31)(cid:141)(cid:206)(cid:28)(cid:67)(cid:233)(cid:234)(cid:80)(cid:63) (cid:67)(cid:141)(cid:206)(cid:28)(cid:87)(cid:86)(cid:28) (cid:88)
(cid:63) (cid:44)(cid:135) 𝑃 𝑥(cid:42)(cid:43)(cid:35)(cid:160)(cid:72)(cid:67)𝐴𝐵(cid:71) (cid:82)(cid:104)(cid:223)(cid:146)(cid:63)𝑃(cid:67)(cid:209) 𝑥 (cid:58)(cid:36)(cid:35)(cid:160)(cid:67)(cid:27)(cid:90)(cid:63) (cid:58)(cid:64)𝐸(cid:65)(cid:67)(cid:235)(cid:86)(cid:212)(cid:213)(cid:90)𝐵(cid:63)𝐶
(cid:58)𝐹(cid:64)(cid:65)(cid:31)△𝑃𝐸𝐹 (cid:58)(cid:35)(cid:160)(cid:36)(cid:44) 𝑥 𝑀 |𝐵𝑀−𝑃𝑀| 𝑃 𝑀
12(cid:44)(cid:32)202|𝐵5𝑀·(cid:198)−(cid:199)𝑃𝑀(cid:200)|(cid:201)·(cid:54)(cid:118)(cid:34)(cid:77)(cid:59)(cid:67)(cid:71)(cid:141)(cid:42)(cid:86)(cid:142)(cid:64)(cid:65)(cid:130)(cid:49)(cid:67)(cid:151)(cid:152)(cid:28) = + +2( 0)(cid:57) (cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:63) ( )
2
(cid:31)(cid:63) (cid:32)(cid:63) (cid:71)(cid:63) (cid:58)(cid:236)(cid:237)(cid:34)(cid:67)(cid:57) (cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:63) (cid:67)(cid:202)(cid:62)(cid:63) (cid:58)(cid:86)(cid:28)(cid:57)(cid:151)𝑦(cid:152)(cid:28)𝑎𝑥(cid:87)(cid:88)𝑏(cid:63)𝑥 ( 𝑎≠)(cid:67)(cid:57) 𝑥(cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:63) 𝐴(cid:44)−4,0
𝐵 𝐴 𝐵 𝑦 𝐶 𝐴 𝐷 −1,3 𝑦 𝐸
(1)(cid:27)(cid:165)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38)(cid:58)(cid:166)(cid:167)(cid:155)(cid:31)(cid:97)(cid:63) (cid:58)(cid:64)(cid:65)(cid:95)
(2)(cid:63) (cid:114)(cid:28)(cid:29) (cid:104)(cid:146)(cid:122)(cid:63)(cid:67)(cid:63) (cid:114)𝑃(cid:28)(cid:29) (cid:104)(cid:146)(cid:122)(cid:63)(cid:67)(cid:81) = (cid:67)(cid:27) + (cid:58)(cid:35)(cid:110)(cid:36)(cid:44)
【题型 𝑀 2 代数 𝑂𝐴 法求线段最值】 𝑁 𝐴𝐸 𝐴𝑀 𝐸𝑁 𝐸𝑀 𝑂𝑁
13(cid:44)(cid:32)2025·(cid:238)(cid:239)(cid:85)(cid:240)·(cid:105)(cid:118)(cid:34)(cid:52)(cid:53)(cid:10)(cid:86)(cid:28) = +2(cid:202)(cid:62)(cid:63) ( )(cid:67)(cid:151)(cid:152)(cid:28) =( )( + )(cid:57)x(cid:82)(cid:87)(cid:88)B(cid:67)
C(cid:69)(cid:63)(cid:32)(cid:63)B(cid:71)(cid:63)C(cid:58)(cid:236)(cid:237)(cid:34)(cid:67)(cid:151)(cid:152)(cid:28)𝑦(cid:58)(cid:97)−𝑥(cid:63)(cid:80)D(cid:67)(cid:151)(cid:152)𝐴(cid:28)𝑎,𝑏 =( )𝑦(1 )𝑥(cid:57)−(cid:87)𝑎 y𝑥(cid:82)(cid:88)𝑏(cid:63)E(cid:44)
(1)(cid:27)(cid:63)B(cid:67)(cid:63)C(cid:58)(cid:64)(cid:65)(cid:32)(cid:218)(cid:241)(cid:242)(cid:243)a(cid:58)(cid:37)𝑦1(cid:38)(cid:155)(cid:166)(cid:79)(cid:34)(cid:95) 𝑦2 𝑥−𝑎 𝑥−𝑏
(2)(cid:244)(cid:212) (cid:67)(cid:27)(cid:28)(cid:29) (cid:58)(cid:35)(cid:110)(cid:36)(cid:95)
𝐴𝐷 𝐴𝐷(3)(cid:135)(cid:86)(cid:28) (cid:203)(cid:204)(cid:202)(cid:62)(cid:63)E(cid:72)(cid:67)(cid:27)a(cid:58)(cid:36)(cid:44)
14(cid:44)(cid:32)24-𝐵2𝐷5(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:104)·(cid:245)(cid:216)(cid:216)(cid:238)·(cid:128)(cid:228)(cid:34)(cid:77)(cid:59)(cid:67)(cid:52)(cid:53)(cid:151)(cid:152)(cid:28) = + +2(cid:57) (cid:82)(cid:87)(cid:88) (cid:143) (cid:69)(cid:63)(cid:67)(cid:57) (cid:82)(cid:87)(cid:88)
2
(cid:63) (cid:44) 𝑦 −𝑥 𝑥 𝑥 𝐴 𝐵 𝑦
𝐶
(1)(cid:27)(cid:86)(cid:28) (cid:58)(cid:56)(cid:38)(cid:134)(cid:154)(cid:155)(cid:95)
(2)(cid:102) (cid:114)(cid:86)𝐵(cid:28)𝐶 (cid:104)(cid:101)(cid:58)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:104)(cid:146)(cid:122)(cid:63)(cid:67)(cid:62)(cid:63) (cid:205) (cid:82)(cid:88)(cid:63) (cid:67)(cid:87)(cid:86)(cid:28) (cid:88)(cid:63) (cid:67)(cid:27)(cid:28)(cid:29) (cid:58)(cid:35)(cid:160)(cid:36)(cid:44)
15(cid:44)(cid:32)𝑃2024·(cid:246)𝐵(cid:182)𝐶(cid:246)(cid:48)·(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:34)(cid:77)(cid:59)(cid:67)(cid:54)(cid:55)(cid:56)𝑃(cid:38) 𝑃𝑁=⊥𝑥 +𝑁1(cid:58)(cid:59)(cid:129)(cid:57)𝐵𝐶(cid:146)(cid:55)(cid:56)𝑀(cid:38) = +𝑃𝑀3(cid:58)(cid:59)(cid:129)(cid:87)(cid:88)
A(cid:67)B(cid:69)(cid:63)(cid:67)(cid:63)A(cid:58)(cid:64)(cid:65)(cid:80) ( )(cid:44) 𝑦 −𝑥²−4𝑥 𝑦 𝑘𝑥
−4,1
(1)(cid:27)k(cid:58)(cid:36)(cid:95)
(2)(cid:63)M(cid:114)(cid:28)(cid:29) (cid:104)(cid:58)(cid:122)(cid:63)(cid:67)(cid:188)(cid:63)M(cid:190)(cid:104)(cid:141)(cid:195) (cid:32) (cid:247)0(cid:34)(cid:70)(cid:138)(cid:193)(cid:159)(cid:169)(cid:63)N(cid:67)(cid:102)(cid:63)N(cid:71)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:129)(cid:104)(cid:67)
(cid:27)h(cid:58)(cid:35)(cid:160)(cid:36)(cid:95)𝐴𝐵 ℎ ℎ
(3)(cid:71)(cid:32)2(cid:34)(cid:58)(cid:184)(cid:185)(cid:91)(cid:67)(cid:102) =2(cid:67)(cid:28)(cid:29) (cid:57)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:129)(cid:112)(cid:7)(cid:106)(cid:63)(cid:67)(cid:27)(cid:63)M(cid:58)(cid:103)(cid:64)(cid:65)m(cid:58)(cid:158)(cid:36)(cid:177)(cid:178)(cid:44)
ℎ 𝑀𝑁 1
16(cid:44)(cid:32)23-24(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:104)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:117)·(cid:128)(cid:228)(cid:34)(cid:77)(cid:59)(cid:67)(cid:151)(cid:152)(cid:28) = + + (cid:57)x(cid:82)(cid:87)(cid:88)A(cid:143)B(cid:69)(cid:63)(cid:67)(cid:57)y(cid:82)(cid:87)(cid:88)
2
2
(cid:63)C(cid:67)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:58)(cid:131)(cid:132)(cid:82)(cid:87)x(cid:82)(cid:88)(cid:63)D(cid:67)(cid:52)(cid:53) ( )(cid:67)𝑦 (0,−2)(cid:44) 𝑥 𝑚𝑥 𝑛
𝐴 −1,0 𝐶(1)(cid:27)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:58)(cid:166)(cid:167)(cid:155)(cid:95)
(2)(cid:27) (cid:58)(cid:42)(cid:43)(cid:95)
(3)(cid:28)(cid:29)△𝐵𝐷(cid:104)𝐶(cid:112)(cid:146)(cid:122)(cid:63)P(cid:67)(cid:62)(cid:63)P(cid:205)y(cid:82)(cid:58)(cid:141)(cid:206)(cid:28)(cid:67)(cid:87)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:88)(cid:63)Q(cid:67)(cid:27)(cid:28)(cid:29) (cid:58)(cid:35)(cid:160)(cid:36)(cid:44)
𝐵𝐶 𝑃𝑄
17(cid:44)(cid:32)23-24(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:104)·(cid:248)(cid:198)(cid:249)(cid:250)·(cid:251)(cid:29)(cid:252)(cid:253)(cid:34)(cid:77)(cid:59)(cid:67)(cid:52)(cid:53)(cid:151)(cid:152)(cid:28) = + + (cid:57)(cid:146)(cid:86)(cid:28)(cid:254)(cid:87)(cid:88) (cid:67)0 (cid:67)
2
𝑦 −𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝐴 −1
2(cid:67)3 (cid:69)(cid:63)(cid:67)(cid:57)y(cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:63)N(cid:44)(cid:111)(cid:97)(cid:63)(cid:80)D(cid:44)
𝐶
(1)(cid:27)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:180)(cid:86)(cid:28) (cid:58)(cid:56)(cid:38)(cid:166)(cid:167)(cid:155)(cid:95)
𝐴𝐶
(2)(cid:196)(cid:63) 3(cid:67) (cid:67)(cid:27)(cid:209) + (cid:58)(cid:36)(cid:35)(cid:110)(cid:72)m(cid:58)(cid:36)(cid:95)
(3)(cid:102)(cid:63)𝑀P(cid:114)(cid:151)𝑚(cid:152)(cid:28)(cid:104)(cid:193)(cid:88)𝑀𝑁(cid:86)(cid:28)𝑀𝐷(cid:104)(cid:101)(cid:58)(cid:146)(cid:70)(cid:122)(cid:63)(cid:67)(cid:62)(cid:63)P(cid:205) (cid:82)(cid:87) (cid:88)(cid:63)Q(cid:67)(cid:27) (cid:58)(cid:35)(cid:160)(cid:36)(cid:44)
𝐴𝐶 𝑃𝑄⊥𝑥 𝐴𝐶 𝑃𝑄 1 5
18(cid:44)(cid:32)22-23(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:104)·(cid:161)(cid:162)(cid:255)(cid:256)·(cid:128)(cid:228)(cid:34)(cid:77)(cid:59)(cid:67)(cid:86)(cid:28) = +2(cid:57)(cid:151)(cid:152)(cid:28) = + +6( 0)(cid:254)(cid:87)(cid:88) ,
2 2
2
(cid:31) ( )(cid:67)(cid:63) (cid:114)(cid:28)(cid:29) (cid:104)(cid:257)(cid:88) (cid:143) (cid:58)(cid:122)(cid:63)(cid:67)(cid:62)(cid:63)𝑦 (cid:205)𝑥 (cid:82)(cid:88)(cid:63) 𝑦(cid:67)(cid:87)𝑎(cid:151)𝑥 (cid:152)(cid:28)𝑏𝑥(cid:88)(cid:63) 𝑎 (cid:44) ≠ 𝐴
𝐵 4,𝑚 𝑃 𝐴𝐵 𝐴 𝐵 𝑃 𝑃𝐶⊥𝑥 𝐷 𝐶(1)(cid:27)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:58)(cid:134)(cid:154)(cid:155)(cid:95)
(2)(cid:77)(cid:258)(cid:196)(cid:63) (cid:58)(cid:64)(cid:65)(cid:80)( +2)(cid:67)(cid:107)(cid:63) (cid:58)(cid:64)(cid:65)(cid:99)(cid:166)(cid:79)(cid:80)__________(cid:95)
(3)(cid:71)(cid:32)2(cid:34)(cid:58)𝑃(cid:184)(cid:185)(cid:91)(cid:67)(cid:211)𝑛(cid:218),𝑛(cid:241)(cid:112) (cid:58)(cid:155)(cid:259)𝐶(cid:166)(cid:79) (cid:58)(cid:109)(cid:67)(cid:235)(cid:113)(cid:24) (cid:109)(cid:186)(cid:58)(cid:35)(cid:160)(cid:36)(cid:44)
19(cid:44)(cid:32)2023(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:136)(cid:137)·(cid:260)(cid:20)(cid:252)𝑛(cid:253)(cid:34)(cid:77)(cid:59)(cid:67)(cid:71)𝑃(cid:141)𝐶 (cid:42)(cid:86)(cid:142)(cid:64)(cid:65)(cid:130)𝑃(cid:49)𝐶(cid:67)(cid:151)(cid:152)(cid:28) = + + (cid:202)(cid:62)(cid:63) (4,0)
2
( )(cid:67)(cid:87)y(cid:82)(cid:88)(cid:63)C(cid:44) 𝑦 −𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝐴 ,𝐵
−1,0
(1)(cid:27)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:58)(cid:134)(cid:154)(cid:155)(cid:95)
1
(2)(cid:102)(cid:188)(cid:153)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:190)(cid:194)(cid:141)(cid:195)2(cid:70)(cid:138)(cid:193)(cid:109)(cid:186)(cid:67)(cid:261)(cid:190)(cid:91)(cid:141)(cid:195) (cid:70)(cid:138)(cid:193)(cid:109)(cid:186)(cid:67)(cid:27)(cid:141)(cid:195)(cid:229)(cid:58)(cid:134)(cid:154)(cid:155)(cid:95)
4
(3)(cid:102)(cid:63)D(cid:114)(cid:28)(cid:29) (cid:104)(cid:146)(cid:122)(cid:63)(cid:67)(cid:62)(cid:63)D(cid:205) (cid:82)(cid:88)(cid:63)E(cid:67)(cid:87)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:88)(cid:63)F(cid:67)(cid:27)(cid:28)(cid:29) (cid:109)(cid:186)(cid:58)(cid:35)(cid:160)(cid:36)(cid:44)
20(cid:44)(cid:32)22-23(cid:123)(cid:124)𝐴(cid:125)𝐶(cid:104)·(cid:181)(cid:162)(cid:181)(cid:182)·(cid:128)(cid:228)(cid:34)(cid:77)𝐷(cid:59)𝐸(cid:67)⊥(cid:71)𝑥 (cid:141)(cid:42)(cid:86)(cid:142)(cid:64)(cid:65)(cid:130)(cid:49)(cid:67)(cid:52)(cid:53)(cid:63)B(cid:58)(cid:64)(cid:65)𝐷𝐹(cid:80)( )(cid:67)(cid:81)
= = (cid:67)(cid:151)(cid:152)(cid:28) = + + ( 0)(cid:59)(cid:129)(cid:202)(cid:62)A(cid:67)B(cid:67)C(cid:105)(cid:63)(cid:44) −1,0
2
𝑂𝐴 𝑂𝐶 5𝑂𝐵 𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠
(1)(cid:27)A(cid:67)C(cid:69)(cid:63)(cid:58)(cid:64)(cid:65)(cid:95)(2)(cid:27)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:58)(cid:134)(cid:154)(cid:155)(cid:95)
(3)(cid:102)(cid:63)P(cid:114)(cid:86)(cid:28) (cid:91)(cid:101)(cid:58)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:104)(cid:58)(cid:146)(cid:70)(cid:122)(cid:63)(cid:67)(cid:205) (cid:88)(cid:63)D(cid:67)(cid:135) (cid:58)(cid:36)(cid:35)(cid:160)(cid:72)(cid:67)(cid:27)(cid:165)(cid:72)(cid:63)P(cid:58)(cid:64)(cid:65)
(cid:180) (cid:58)(cid:35)(cid:160)(cid:36)(cid:44)𝐴𝐶 𝑃𝐷⊥𝐴𝐶 𝑃𝐷
21𝑃(cid:44)𝐷(cid:32)22-23(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:136)(cid:137)·(cid:138)(cid:139)(cid:121)(cid:140)(cid:34)(cid:52)(cid:53)(cid:10)(cid:77)(cid:59)(cid:67)(cid:151)(cid:152)(cid:28) = + + (cid:202)(cid:62)(cid:66)(cid:63) (cid:31)(cid:63) (cid:67) (cid:80)
2
(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:104)(cid:58)(cid:146)(cid:70)(cid:122)(cid:63)(cid:67)(cid:62)(cid:63) (cid:205) (cid:82)(cid:58)(cid:233)(cid:28)(cid:67)(cid:233)(cid:234)(cid:80) 𝑦(cid:67)(cid:235)𝑎(cid:57)𝑥(cid:86)(cid:28)4𝑥 (cid:87)𝑐(cid:88)(cid:63) (cid:44)𝑂(0,0) 𝐴(3,3) 𝑃
𝑃 𝑥 𝐵(𝑚,0) 𝑂𝐴 𝐶
(1)(cid:27)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:58)(cid:134)(cid:154)(cid:155)(cid:95)
(2)(cid:135)(cid:63)P(cid:71)(cid:86)(cid:28)OA(cid:104)(cid:101)(cid:72)(cid:67)(cid:27)(cid:28)(cid:29)PC(cid:58)(cid:35)(cid:160)(cid:36)(cid:95)
(3)(cid:62)(cid:63)A(cid:205)AD x(cid:82)(cid:88)(cid:63)D(cid:67)(cid:71)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:104)(cid:114)(cid:207)(cid:208)(cid:71)(cid:63)P(cid:67)(cid:209)(cid:159)(cid:96)P(cid:143)A(cid:143)C(cid:143)D(cid:45)(cid:63)(cid:80)(cid:97)(cid:63)(cid:58)(cid:45)(cid:98)(cid:73)(cid:114)(cid:141)(cid:206)
(cid:45)(cid:98)(cid:73)(cid:210)(cid:102)(cid:208)(cid:71)⊥(cid:67)(cid:27)m(cid:58)(cid:36)(cid:95)(cid:102)(cid:83)(cid:208)(cid:71)(cid:67)(cid:211)(cid:214)(cid:117)(cid:25)(cid:215)(cid:44)
22(cid:44)(cid:32)2025·(cid:161)(cid:162)(cid:262)(cid:263)·(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:34)(cid:71)(cid:141)(cid:42)(cid:86)(cid:142)(cid:64)(cid:65)(cid:130)(cid:49)(cid:67)(cid:86)(cid:28)l(cid:10) = + (cid:202)(cid:62)(cid:151)(cid:152)(cid:28) = + +2
2 2
( 0)(cid:58)(cid:97)(cid:63)(cid:44)(cid:77)(cid:59)(cid:67)(cid:135)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:202)(cid:62)(cid:66)(cid:63)(cid:72)(cid:67)(cid:111)(cid:97)(cid:63)(cid:264)(cid:80)P(cid:44)𝑦 𝑘𝑥 𝑏 𝑦 𝑥 2𝑚𝑥 𝑚
−𝑚 𝑚≠
(1)(cid:27)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:58)(cid:134)(cid:154)(cid:155)(cid:235)(cid:86)(cid:212)(cid:213)(cid:90)(cid:63)P(cid:58)(cid:64)(cid:65)(cid:95)
(2) +1(cid:72)(cid:67)y(cid:58)(cid:35)(cid:110)(cid:36)(cid:80)2(cid:67)(cid:27)t(cid:58)(cid:36)(cid:95)
(3)(cid:135)𝑡≤𝑥=≤2(cid:72)𝑡 (cid:44)(cid:122)(cid:63)E(cid:71)(cid:86)(cid:28)l(cid:91)(cid:101)(cid:58)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:104)(cid:67)(cid:62)(cid:63)E(cid:205) (cid:82)(cid:87)(cid:86)(cid:28)l(cid:88)(cid:63)F(cid:67)(cid:265) = (cid:67)(cid:27)S(cid:58)(cid:35)(cid:160)
(cid:36)(cid:44)𝑘 𝐸𝐹∥𝑥 𝑆 𝐸𝐹
23(cid:44)(cid:77)(cid:59)(cid:67)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:202)(cid:62)(cid:63) (3,3)(cid:143) (4,0)(cid:31)(cid:66)(cid:63)O(cid:44)P(cid:80)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38)(cid:59)(cid:60)(cid:104)(cid:58)(cid:146)(cid:70)(cid:122)(cid:63)(cid:67)(cid:62)(cid:63)P
𝐴 𝐵(cid:205)x(cid:82)(cid:58)(cid:233)(cid:28)(cid:67)(cid:233)(cid:234)(cid:80) ( )(cid:67)(cid:235)(cid:57)(cid:86)(cid:28)OA(cid:87)(cid:88)(cid:63)C(cid:44)
𝐷 𝑚,0
(1)(cid:27)(cid:90)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38)(cid:58)(cid:134)(cid:154)(cid:155)(cid:95)
(2)(cid:135)(cid:63)P(cid:71)(cid:86)(cid:28)OA(cid:58)(cid:104)(cid:101)(cid:72)(cid:67)(cid:27)(cid:28)(cid:29)PC(cid:58)(cid:35)(cid:160)(cid:36)(cid:95)
(3)(cid:135) >0(cid:72)(cid:67)(cid:266)(cid:267)(cid:114)(cid:207)(cid:208)(cid:71)(cid:63)P(cid:67)(cid:209)(cid:159) (cid:80)(cid:268)(cid:269)(cid:105)(cid:142)(cid:73)(cid:67)(cid:77)(cid:258)(cid:208)(cid:71)(cid:67)(cid:27)(cid:90)P(cid:58)(cid:64)(cid:65)(cid:95)(cid:77)(cid:258)(cid:83)(cid:208)(cid:71)(cid:67)
(cid:211)(cid:214)(cid:117)𝑚(cid:25)(cid:215)(cid:44) △𝑃𝐶𝑂
24(cid:44)(cid:32)2025·(cid:225)(cid:226)(cid:270)(cid:271)·(cid:54)(cid:118)(cid:34)(cid:77)(cid:59)(cid:67)(cid:151)(cid:152)(cid:28) = + +3(cid:57) (cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:63) (cid:31)(cid:63) (3,0)(cid:67)(cid:57) (cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:63) (cid:44)
2
𝑦 𝑥 𝑏𝑥 𝑥 𝐴 𝐵 𝑦 𝐶
(1)(cid:27)(cid:153)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:58)(cid:134)(cid:154)(cid:155)(cid:95)
(2)(cid:188)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:58)(cid:97)(cid:63) (cid:190)(cid:104)(cid:141)(cid:195)2(cid:70)(cid:138)(cid:193)(cid:109)(cid:186)(cid:159)(cid:169)(cid:63) (cid:67)(cid:63) (cid:80)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:58)(cid:131)(cid:132)(cid:82)(cid:104)(cid:146)(cid:122)(cid:63)(cid:67)(cid:264) = + (cid:67)
2 2
(cid:27) (cid:58)(cid:35)(cid:110)(cid:36)(cid:44) 𝐷 𝐸 𝑀 𝐿 𝑀𝐴 𝑀𝐸
25𝐿(cid:44)(cid:32)2024·(cid:115)(cid:116)(cid:272)(cid:182)·(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:34)(cid:52)(cid:53)(cid:63)(2,1)(cid:31)(cid:63)(4,4)(cid:71)(cid:151)(cid:152)(cid:28) = + (cid:104)(cid:44)
2
(1)(cid:27)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:78)(cid:131)(cid:273)(cid:58)(cid:56)(cid:38)(cid:166)(cid:167)(cid:155)(cid:95) 𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥
(2)(cid:45)(cid:98)(cid:73) (cid:58)(cid:45)(cid:70)(cid:97)(cid:63)(cid:61)(cid:71)(cid:153)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:104)(cid:67) (cid:57) (cid:87)(cid:88)(cid:63) (0, )(cid:67)(cid:86)(cid:28) (cid:80) = + (0< < )(cid:67)
(cid:86)(cid:28) (cid:80)𝐴𝐵=𝐶𝐷 + (cid:44) 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐸 𝑛 𝐴𝐵 𝑦 𝑘1𝑥 𝑚 𝑚 𝑛
①(cid:27)𝐶𝐷 𝑦 𝑘(cid:58)2𝑥(cid:36)(cid:95)𝑡
𝑘1 𝑛−𝑘2𝑚
②(cid:264) (cid:58)(cid:42)(cid:43)(cid:80) (cid:67)(cid:45)(cid:98)(cid:73) (cid:58)(cid:42)(cid:43)(cid:80) (cid:67)(cid:102) =1(cid:67) =2(cid:67)(cid:27) (cid:58)(cid:35)(cid:110)(cid:36)(cid:44)
𝑆
△𝐶𝐷𝐸
𝑆1
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑆 𝑚 𝑛
𝑆1【题型3 铅锤法巧求面积最值】
26(cid:44)(cid:32)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:104)·(cid:115)(cid:116)(cid:126)(cid:127)·(cid:128)(cid:49)(cid:34)(cid:77)(cid:59)(cid:67)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38) = + +3(cid:87) (cid:82)(cid:88)(cid:63) ( )(cid:67) (3,0)(cid:67)
2
(cid:87) (cid:82)(cid:88)(cid:63) (cid:44) 𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑥 𝐴 −1,0 𝐵
𝑦 𝐶
(1)(cid:27)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38) = + +3(cid:58)(cid:134)(cid:154)(cid:155)(cid:95)
2
(2)(cid:264) (cid:49)(cid:63)(cid:80)𝑦(cid:63) 𝑎(cid:67)𝑥(cid:62)(cid:63)𝑏𝑥(cid:205)(cid:86)(cid:28) (cid:87) (cid:82)(cid:274)(cid:275)(cid:82)(cid:88)(cid:63) (cid:67)(cid:87)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:88)(cid:63) (cid:67) (cid:67)(cid:63) (cid:71) (cid:63)(cid:194)(cid:98)(cid:44)
①(cid:135)𝐴𝐵 =3(cid:72)(cid:67)𝐷(cid:63) (cid:80)(cid:151)𝐷(cid:152)(cid:28)(cid:104)(cid:58)𝐷(cid:146)𝑃(cid:70)𝑦(cid:122)(cid:63)(cid:81)(cid:63) (cid:71)(cid:28)𝐹(cid:29) (cid:104)(cid:101)(cid:67)(cid:27) 𝑃 𝑄 (cid:42)(cid:43)𝑃(cid:58)(cid:35)𝑄(cid:160)(cid:36)(cid:95)
②(cid:135)𝑂𝐹 =60°(cid:72)𝑀(cid:67)(cid:102)(cid:63) (cid:57)(cid:63) (cid:3)(cid:88)(cid:86)(cid:28) (cid:131)𝑀(cid:132)(cid:67)(cid:27)(cid:276)𝑃(cid:10)𝑄 (cid:44)△𝑀𝑃𝑄
27(cid:44)(cid:32)∠𝑂20𝐷2𝐹5·(cid:277)(cid:278)(cid:279)(cid:182)·(cid:118)(cid:119)(cid:120)𝑂(cid:121)(cid:34)𝐺(cid:77)(cid:59)1(cid:67)(cid:151)𝐷(cid:152)𝑃(cid:28) (cid:10) = 𝐷+𝐺⊥+𝐵𝐹(cid:202)(cid:62)(cid:63) ( )(cid:31)(cid:63) (1,0)(cid:67)(cid:151)(cid:152)(cid:28)
2
(cid:57) (cid:3)(cid:88)(cid:66)(cid:63)O(cid:74)(cid:49)(cid:280)(cid:131)(cid:132)(cid:44) 𝐶1 𝑦 𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝐴 −3,0 𝐵 𝐶2
𝐶1
(1)(cid:27)b(cid:67)c(cid:58)(cid:36)(cid:95)
(2)(cid:27)(cid:151)(cid:152)(cid:28) (cid:58)(cid:134)(cid:154)(cid:155)(cid:95)
(3)(cid:188)(cid:151)(cid:152)(cid:28)𝐶2
(cid:190)(cid:104)(cid:141)(cid:195)2(cid:70)(cid:138)(cid:193)(cid:109)(cid:186)(cid:159)(cid:169) (cid:67)(cid:151)(cid:152)(cid:28) (cid:57) (cid:254)(cid:87)(cid:88)P(cid:67)Q(cid:69)(cid:63)(cid:32)(cid:63)P(cid:71)(cid:63)Q(cid:58)(cid:236)(cid:237)(cid:34)(cid:67)(cid:77)
(cid:59)2(cid:44) 𝐶2 𝐶3 𝐶1 𝐶3
①(cid:27)(cid:63)P(cid:31)Q(cid:58)(cid:64)(cid:65)(cid:95)
②(cid:102)(cid:63)M(cid:67)N(cid:144)(cid:145)(cid:80)(cid:151)(cid:152)(cid:28) (cid:57) (cid:104)P(cid:67)Q(cid:30)(cid:197)(cid:58)(cid:63)(cid:32)(cid:63)M(cid:67)N(cid:61)(cid:83)(cid:57)(cid:63)P(cid:67)Q(cid:84)(cid:85)(cid:34)(cid:67)(cid:86)
．
(cid:212)
．
(cid:213)(cid:90)(cid:45)(cid:98)(cid:73)
(cid:42)(cid:43)(cid:58)(cid:35)(cid:160)(cid:36)(cid:44)
𝐶1 𝐶3
𝑃𝑀𝑄𝑁
28(cid:44)(cid:32)2025·(cid:281)(cid:226)(cid:282)(cid:283)·(cid:105)(cid:118)(cid:34)(cid:77)(cid:59)(cid:67)(cid:151)(cid:152)(cid:28) = + + (cid:87) (cid:82)(cid:88) ( ) (cid:69)(cid:63)(cid:67)(cid:87) (cid:82)(cid:88)(cid:63) (0,4)(cid:44)
2
𝑦 −𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑥 𝐴 −4,0 ,𝐵 𝑦 𝐶(1)(cid:27)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:58)(cid:56)(cid:38)(cid:134)(cid:154)(cid:155)(cid:44)
(2)(cid:71)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:58)(cid:131)(cid:132)(cid:82)(cid:104)(cid:114)(cid:207)(cid:208)(cid:71)(cid:63) (cid:67)(cid:209)(cid:159) (cid:114)(cid:96) (cid:80)(cid:232)(cid:98)(cid:58)(cid:86)(cid:142)(cid:105)(cid:142)(cid:73)(cid:210)(cid:102)(cid:208)(cid:71)(cid:67)(cid:211)(cid:27)(cid:90)(cid:63) (cid:58)(cid:64)
(cid:65)(cid:95)(cid:102)(cid:83)(cid:208)(cid:71)(cid:67)(cid:211)(cid:214)(cid:117)(cid:25)(cid:215)(cid:44) 𝑀 △𝐴𝐶𝑀 𝐴𝐶 𝑀
(3)(cid:102)(cid:63) (cid:71)(cid:28)(cid:29) (cid:104)(cid:168)(cid:122)(cid:67)(cid:62)(cid:63) (cid:205) (cid:82)(cid:58)(cid:233)(cid:28)(cid:67)(cid:57) (cid:87)(cid:88)(cid:63) (cid:67)(cid:57)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:87)(cid:88)(cid:63) (cid:67)(cid:244)(cid:212) (cid:143) (cid:67)(cid:27)(cid:45)(cid:98)
(cid:73) 𝐷(cid:58)(cid:42)(cid:43)(cid:58)𝑂𝐴(cid:35)(cid:160)(cid:36)(cid:67)(cid:235)(cid:213)(cid:90)𝐷(cid:165)(cid:72)𝑥(cid:63) (cid:58)(cid:64)(cid:65)(cid:44)𝐴𝐶 𝑄 𝑃 𝐴𝑃 𝐶𝑃
29𝐴(cid:44)𝑂(cid:32)𝐶𝑃24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:91)·(cid:277)(cid:226)(cid:284)(cid:285)(cid:286)·(cid:128)(cid:49)(cid:34)𝑃(cid:77)(cid:59)1(cid:67)(cid:146)(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:42)(cid:58)(cid:146)(cid:98)(cid:80)(cid:28)(cid:29) (cid:67)(cid:179)(cid:146)(cid:98)(cid:291)(cid:28) (cid:80)(cid:151)(cid:152)
(cid:28)(cid:58)(cid:146)(cid:183)(cid:144)(cid:67)D(cid:80) (cid:58)(cid:49)(cid:63)(cid:67)(cid:292)(cid:189)(cid:28)(cid:29) (cid:188)(cid:68)(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:144)(cid:74)①②(cid:69)(cid:183)(cid:144)(cid:67)(cid:96) (cid:98)𝐴𝐵(cid:78)(cid:71)(cid:86)(cid:28)(cid:80)x(cid:82)𝐴(cid:67)𝐶𝐵(cid:202)(cid:62)(cid:63)C
(cid:81)(cid:57) (cid:233)(cid:86)(cid:58)(cid:86)(cid:28)𝐴(cid:80)𝐵 y(cid:82)(cid:67)(cid:116)(cid:293)(cid:141)(cid:42)(cid:86)𝐶(cid:142)𝐷(cid:64)(cid:65)(cid:130) (cid:67)(cid:294)(cid:24)1(cid:70)(cid:138)(cid:193)(cid:109)(cid:186)(cid:37)𝐴(cid:166)𝐵1m(cid:44)(cid:52)(cid:53)(cid:10) =1m(cid:67)
𝐴𝐵5 𝑥𝑂𝑦 𝑂𝐴
= m(cid:67) =2m(cid:44)
2
𝐴𝐷 𝑂𝐶
(1)(cid:27)(cid:291)(cid:28) (cid:78)(cid:71)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:58)(cid:56)(cid:38)(cid:166)(cid:167)(cid:155)(cid:95)
(2)(cid:77)(cid:59)2(cid:67)𝐴𝐶(cid:71)𝐵(cid:295)(cid:296)①(cid:49)(cid:290)(cid:158)(cid:146)(cid:70)(cid:297)(cid:73) (cid:67)(cid:111)(cid:49)(cid:63)P(cid:71)(cid:28)(cid:29) (cid:104)(cid:32)(cid:83)(cid:241)(cid:298)(cid:63)C(cid:67)D(cid:34)(cid:67)(cid:63)E(cid:71)(cid:291)(cid:28) (cid:104)(cid:67)
(cid:63)F(cid:67)G(cid:61)(cid:71)(cid:28)(cid:29) (cid:104)(cid:67)(cid:196)(cid:63)P(cid:58)(cid:299)(cid:64)𝑃𝐸(cid:65)𝐹𝐺(cid:80) (0< <2)(cid:67)(cid:27)𝐶(cid:297)𝐷(cid:73) (cid:58)(cid:42)(cid:43)S(cid:57)m(cid:30)(cid:197)(cid:58)(cid:56)(cid:38)(cid:166)𝐴(cid:167)𝐶(cid:155)(cid:95)
(3)(cid:77)(cid:59)3(cid:67)(cid:71)(cid:295)(cid:296)𝐴②𝐷(cid:49)(cid:290)(cid:158)(cid:146)(cid:70)(cid:45)(cid:98)(cid:73) 𝑚(cid:67)(cid:111)(cid:49)𝑚(cid:63)Q(cid:71)(cid:291)(cid:28) 𝑃(cid:104)𝐸(cid:32)𝐹𝐺(cid:83)(cid:241)(cid:298)(cid:63)B(cid:67)C(cid:34)(cid:67)(cid:264)(cid:45)(cid:98)(cid:73)
(cid:58)(cid:42)(cid:43)(cid:80)Sm (cid:67)(cid:27)S(cid:58)(cid:35)(cid:160)(cid:36)(cid:44) 𝐶𝐷𝐵𝑄 𝐵𝐶 𝐶𝐷𝐵𝑄
2
30(cid:44)(cid:32)2025·(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:303)·(cid:54)(cid:118)(cid:34)(cid:52)(cid:53)(cid:56)(cid:38) = + (cid:67) = + (cid:67)(cid:24)(cid:304)(cid:305)(cid:56)(cid:38) =2 (cid:44)
2
2 1 𝑦1 𝑎𝑥 3𝑏 𝑦2 −𝑎𝑥 𝑏 𝑦:𝑦 𝑦1−𝑦2
(1)(cid:102)(cid:305)(cid:56)(cid:38) (cid:58)(cid:134)(cid:154)(cid:155)(cid:80) = +5(cid:67)(cid:27)(cid:56)(cid:38) (cid:57) (cid:58)(cid:134)(cid:154)(cid:155)(cid:95)
3 3
2
(2)(cid:71)(cid:32)1(cid:34)(cid:184)𝑦(cid:185)(cid:91)(cid:67)(cid:63) (𝑦 )−(cid:71)(cid:56) 𝑥 (cid:38)− 𝑥(cid:104)(cid:67)(cid:62)(cid:63) (cid:205)
𝑦1
(cid:82)(cid:58)
𝑦2
(cid:141)(cid:206)(cid:28)(cid:87)(cid:56)(cid:38) (cid:58)(cid:59)(cid:129)(cid:88)(cid:63) (cid:67)(cid:81)(cid:135) (cid:72)(cid:44)
①(cid:102)(cid:63) (cid:67) (cid:84)(cid:85)(cid:67)(cid:27)𝐴(cid:58)𝑚(cid:36),𝑛(cid:95) 𝑦2 𝐴 𝑦 𝑦1 𝐵 𝑥≥−3
𝐴 𝐵 𝑚②(cid:62)(cid:63) (cid:205) (cid:82)(cid:58)(cid:141)(cid:206)(cid:28)(cid:87)(cid:56)(cid:38) (cid:59)(cid:129)(cid:88)(cid:63) (cid:67)(cid:56)(cid:38) = + (cid:67)(cid:27)(cid:56)(cid:38) (cid:3)(cid:88) (cid:58)(cid:134)(cid:154)(cid:155)(cid:32)(cid:213)(cid:90)(cid:306)(cid:307)(cid:308)
(cid:58)(cid:158)(cid:36)(cid:177)𝐵(cid:178)𝑥(cid:34)(cid:95) (cid:58)(cid:42)(cid:43)(cid:114)𝑦2(cid:207)(cid:208)(cid:71)(cid:35)(cid:160)𝐶(cid:36)(cid:67)(cid:102)𝑓(cid:208):𝑓(cid:71)(cid:67)𝐴(cid:211)𝐵(cid:86)(cid:212)𝐵𝐶(cid:213)(cid:90) 𝑓(cid:42)(cid:43)𝑚(cid:58)(cid:35)(cid:160)(cid:36)(cid:67)(cid:102)(cid:83)(cid:208)(cid:71)(cid:211)(cid:214)𝑚
(cid:117)(cid:25)(cid:215)(cid:44) △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
10
31(cid:44)(cid:32)2025·(cid:301)(cid:309)(cid:310)(cid:46)·(cid:146)(cid:118)(cid:34)(cid:77)(cid:59)(cid:67)(cid:71)(cid:141)(cid:42)(cid:86)(cid:142)(cid:64)(cid:65)(cid:130)(cid:49)(cid:67)(cid:151)(cid:152)(cid:28) = + + (cid:202)(cid:62)(cid:63) ( ) (0,8)(cid:67)
3
2
(cid:63) (cid:58)(cid:64)(cid:65)(cid:80)(6,0)(cid:67)(cid:244)(cid:212) (cid:44) 𝑦 𝑎𝑥 𝑥 𝑐 𝐴 −4,0 ,𝐶
𝐵 𝐵𝐶
(1)(cid:27)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:58)(cid:56)(cid:38)(cid:134)(cid:154)(cid:155)(cid:95)
(2)(cid:77)(cid:59)(cid:67)(cid:62)(cid:63) (cid:205) (cid:82)(cid:67)(cid:87)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:88)(cid:63) (cid:67)(cid:244)(cid:212) (cid:67)(cid:311)(cid:312)(cid:45)(cid:98)(cid:73) (cid:58)(cid:73)(cid:313)(cid:67)(cid:235)(cid:214)(cid:117)(cid:25)(cid:215)(cid:95)
(3)(cid:71)(cid:32)2(cid:34)(cid:58)(cid:184)𝐶(cid:185)(cid:91)𝐶𝐷(cid:67)∥(cid:102)𝑥 (cid:114) (cid:78)(cid:71)(cid:86)(cid:28)(cid:91)𝐷(cid:101)(cid:151)(cid:152)(cid:28)𝐴(cid:104)𝐷(cid:58)(cid:146)(cid:70)(cid:122)(cid:63)(cid:67)𝐴(cid:27)𝐵𝐶𝐷 (cid:42)(cid:43)(cid:58)(cid:35)(cid:160)(cid:36)(cid:44)
𝑃 𝐴𝐷 △𝐴𝐷𝑃1 9
32(cid:44)(cid:32)2025·(cid:238)(cid:239)(cid:314)(cid:48)·(cid:105)(cid:118)(cid:34)(cid:131)(cid:88)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38) = + +2(cid:67)(cid:135)(cid:306)(cid:307)(cid:308) = (cid:72)(cid:67)(cid:56)(cid:38)y(cid:58)(cid:35)(cid:160)(cid:36)(cid:80) (cid:44)
2 4
2
𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑥 −
(1)(cid:27)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38)(cid:58)(cid:134)(cid:154)(cid:155)(cid:44)
(2)(cid:77)(cid:59)(cid:67)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38) = + +2(cid:58)(cid:59)(cid:129)(cid:57)x(cid:82)(cid:254)(cid:87)(cid:88)A(cid:67)B(cid:69)(cid:63)(cid:67)(cid:57)y(cid:82)(cid:254)(cid:87)(cid:88)(cid:63)C(cid:67)P(cid:67)Q(cid:114)A(cid:57)C(cid:30)
2
(cid:197)(cid:58)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38)(cid:59)(cid:129)(cid:104)𝑦 (cid:58)𝑎(cid:69)𝑥(cid:70)(cid:122)𝑏(cid:63)𝑥 (cid:67) (cid:82)(cid:87)(cid:86)(cid:28) (cid:88)(cid:63)M(cid:67) (cid:82)(cid:87)(cid:86)(cid:28) (cid:88)(cid:63)N(cid:67) (cid:82)(cid:88)(cid:63)
E(cid:67) (cid:82)(cid:88)(cid:63)D(cid:67) = (cid:67)(cid:27)𝑃𝑀(cid:135)⊥P𝑥(cid:67)Q(cid:69)(cid:63)(cid:83)𝐴(cid:84)𝐶 (cid:85)(cid:72)(cid:67)(cid:28)𝑄(cid:29)𝑁⊥𝑥+ (cid:58)(cid:109)𝐴(cid:44)𝐶 𝑀𝐸⊥𝑦
(3)(cid:71)𝑁(cid:32)𝐷2⊥(cid:34)𝑦(cid:58)(cid:184)(cid:185)(cid:91)(cid:67)(cid:244)𝑃𝑀(cid:212) 𝑄(cid:67)𝑁(cid:27) (cid:58)(cid:42)(cid:43)(cid:58)(cid:35)(cid:160)(cid:36)(cid:44) 𝑀𝐸 𝑁𝐷
33(cid:44)(cid:32)2024·(cid:238)(cid:239)(cid:85)(cid:240)·(cid:54)(cid:118)(cid:34)𝑁𝐸(cid:77)(cid:59)(cid:67)△(cid:151)𝐶(cid:152)𝑁(cid:28)𝐸 = + + (cid:57)x(cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:63) ( )(cid:67) (3,0)(cid:67)(cid:57)y(cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:63)
2
C(cid:67)(cid:97)(cid:63)(cid:80)D(cid:67)(cid:86)(cid:28) = (cid:57)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:87)(cid:88)(cid:63)𝑦(cid:67)−(cid:67)𝑥 (cid:114)𝑏(cid:28)𝑥 (cid:29)𝑐 (cid:58)(cid:49)(cid:63)(cid:44) 𝐴 −1,0 𝐵
𝑦 𝑘𝑥 𝐸 𝐹 𝑀 𝐸𝐹(1)(cid:27)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:58)(cid:134)(cid:154)(cid:155)(cid:44)
(2)(cid:102)(cid:63)E(cid:58)(cid:103)(cid:64)(cid:65)(cid:114) (cid:67)(cid:27)(cid:63)M(cid:58)(cid:64)(cid:65)(cid:44)
(3)(cid:102)0< <2(cid:67)(cid:27)(cid:45)−(cid:98)3(cid:73) (cid:58)(cid:42)(cid:43)(cid:58)(cid:35)(cid:110)(cid:36)(cid:44)
34(cid:44)(cid:32)20𝑘25·(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)·(cid:54)(cid:118)𝑀(cid:34)𝐶(cid:77)𝐷𝐵(cid:59)(cid:67)(cid:71)(cid:141)(cid:42)(cid:86)(cid:142)(cid:64)(cid:65)(cid:130)(cid:49)(cid:67)(cid:63) (cid:71)(cid:151)(cid:152)(cid:28) = + (cid:104)(cid:67)(cid:81)(cid:103)(cid:64)(cid:65)(cid:80)1(cid:67)(cid:63)
2
(cid:57)(cid:63) (cid:3)(cid:88)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:58)(cid:131)(cid:132)(cid:82)(cid:131)(cid:132)(cid:67)(cid:86)(cid:28) (cid:57) (cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:63) (cid:67)(cid:63)𝐴(cid:80)(cid:151)(cid:152)(cid:28)𝑦(cid:58)(cid:97)−(cid:63)𝑥(cid:67)(cid:63)4𝑥(cid:58)(cid:64)(cid:65)(cid:80)(1,1)(cid:44)
𝐵 𝐴 𝐴𝐵 𝑦 𝐶 𝐷 𝐸
(1)(cid:27)(cid:28)(cid:29) (cid:58)(cid:109)(cid:95)
(2)(cid:63) (cid:80)(cid:28)𝐴(cid:29)𝐵 (cid:104)(cid:101)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:104)(cid:58)(cid:315)(cid:316)(cid:146)(cid:63)(cid:67)(cid:135) (cid:58)(cid:42)(cid:43)(cid:35)(cid:160)(cid:72)(cid:67)(cid:27)(cid:165)(cid:72) (cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:67)(cid:235)(cid:27)(cid:90)(cid:35)(cid:160)(cid:42)(cid:43)(cid:95)
𝑃 𝐴𝐵 △𝑃𝐵𝐸 𝑃 1
(3)(cid:71)(cid:32)2(cid:34)(cid:58)(cid:317)(cid:318)(cid:91)(cid:67)(cid:62)(cid:63) (cid:205) (cid:58)(cid:233)(cid:28)(cid:87) (cid:88)(cid:63) (cid:67)(cid:63) (cid:71) (cid:82)(cid:104)(cid:146)(cid:63)(cid:67)(cid:27) + + (cid:58)(cid:35)(cid:110)(cid:36)(cid:44)
2
35(cid:44)(cid:32)2025·(cid:319)(cid:320)(cid:321)(cid:66)·(cid:118)(cid:119)(cid:120)𝑃 (cid:121)𝐴(cid:34)𝐵(cid:77)(cid:59)(cid:67)(cid:71)(cid:141)𝐴𝐵(cid:42)(cid:86)(cid:142)𝐻(cid:64)(cid:65)(cid:130)𝐹 (cid:49)𝑦(cid:67)(cid:151)(cid:152)(cid:28) = 𝑃𝐻 + 𝐻𝐹 + 𝐹𝑂 0)(cid:57)x(cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:63)
2
(cid:67)(cid:57)y(cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:63)C(cid:67)(cid:244)(cid:212) =1(cid:67)(cid:131)(cid:132)(cid:82)(cid:80) =1(cid:67)(cid:63)D(cid:80)(cid:165)(cid:151)𝑦(cid:152)(cid:28)𝑎(cid:58)𝑥(cid:97)(cid:63)2𝑥(cid:44) 𝑐(𝑎≠
𝐴,𝐵 𝐵𝐶,𝑂𝐴 𝑥
(1)(cid:27)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:58)(cid:134)(cid:154)(cid:155)(cid:44)(2)(cid:102)(cid:244)(cid:212) (cid:67)(cid:107) =________°
(3)(cid:63)E(cid:114)𝐶(cid:156)𝐷(cid:146)(cid:129)(cid:157)∠𝐵(cid:170)𝐶(cid:151)𝐷(cid:152)(cid:28)(cid:104)(cid:58)(cid:122)(cid:63)(cid:67)(cid:244)(cid:212) (cid:31) (cid:67)(cid:27) (cid:42)(cid:43)(cid:58)(cid:35)(cid:160)(cid:36)(cid:44)
(4)(cid:63)P(cid:71)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:58)(cid:131)(cid:132)(cid:82)(cid:104)(cid:67)(cid:141)(cid:42)(cid:170)(cid:208)(cid:71)(cid:63)𝐵Q𝐸(cid:67)(cid:135)𝐶𝐸(cid:96)(cid:63) △𝐵𝐶𝐸(cid:80)(cid:97)(cid:63)(cid:58)(cid:45)(cid:98)(cid:73)(cid:114)(cid:297)(cid:73)(cid:72)(cid:67)(cid:211)(cid:86)(cid:212)(cid:213)(cid:90)(cid:63)Q
(cid:58)(cid:103)(cid:64)(cid:65)(cid:44) 𝐵,𝐶,𝑃,𝑄
36(cid:44)(cid:32)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:104)·(cid:147)(cid:148)·(cid:251)(cid:29)(cid:252)(cid:253)(cid:34)(cid:77)(cid:59)(cid:67)(cid:151)(cid:152)(cid:28) = + (cid:87) (cid:82)(cid:88) ( )(cid:67) (6,0)(cid:69)(cid:87) (cid:82)(cid:88)(cid:63)
2
(cid:67)(cid:63) (cid:80)(cid:28)(cid:29) (cid:104)(cid:58)(cid:122)(cid:63)(cid:44) 𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥−6 𝑥 𝐴 −2,0 𝐵 𝑦
𝐶 𝑄 𝐵𝐶
(1)(cid:27)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:58)(cid:134)(cid:154)(cid:155)(cid:95)
(2)(cid:27) + (cid:58)(cid:35)(cid:110)(cid:36)(cid:95)
(3)(cid:62)(cid:63)𝑄𝐴 (cid:205)𝑄𝑂 (cid:87)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:58)(cid:156)(cid:45)(cid:129)(cid:157)(cid:183)(cid:144)(cid:88)(cid:63) (cid:67)(cid:244)(cid:212) (cid:67) (cid:67)(cid:264) (cid:57) (cid:58)(cid:42)(cid:43)(cid:144)(cid:145)(cid:80) (cid:67)
(cid:67)(cid:196)𝑄=𝑄𝑃+∥𝐴𝐶(cid:67)(cid:135) (cid:35)(cid:160)(cid:72)(cid:67)(cid:27)(cid:63) (cid:58)(cid:64)(cid:65)(cid:67)(cid:235)𝑃 (cid:27) (cid:58)(cid:35)𝑃𝐴(cid:160)(cid:36)𝑃(cid:44)𝐵 △𝑃𝐴𝑄 △𝑃𝐵𝑄
𝑆1
𝑆2 𝑆 𝑆1 𝑆2 𝑆 𝑃 𝑆
37(cid:44)(cid:32)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:91)·(cid:45)(cid:46)(cid:322)(cid:161)·(cid:128)(cid:49)(cid:34)(cid:77)(cid:59)1(cid:67)(cid:52)(cid:53)(cid:151)(cid:152)(cid:28) = + + (cid:57)x(cid:82)(cid:87)(cid:88)A(cid:67) 1(cid:67)0 (cid:69)(cid:63)(cid:67)
2
𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝐵
(cid:57)y(cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:63) 0(cid:67)2 (cid:67)(cid:62)(cid:63)A(cid:86)(cid:28)(cid:87)y(cid:82)(cid:88)(cid:63)D(cid:67)(cid:87)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:88)(cid:63) ( )(cid:44)
𝐶 𝐸 −1,3
(1)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:134)(cid:154)(cid:155)(cid:80) (cid:95)
(2)(cid:77)(cid:59)2(cid:67)(cid:63)F(cid:80)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:104)(cid:291)(cid:28) (cid:104)(cid:146)(cid:122)(cid:63)(cid:67)(cid:244)(cid:212) (cid:67) (cid:67) (cid:67)(cid:27)(cid:45)(cid:98)(cid:73) (cid:42)(cid:43)(cid:58)(cid:35)(cid:160)(cid:36)(cid:95)
(3)(cid:77)(cid:59)3(cid:67)(cid:63)P(cid:80)(cid:28)(cid:29) (cid:104)(cid:146)(cid:122)𝐴(cid:63)𝐸(cid:67)Q(cid:80)(cid:28)(cid:29) (cid:104)𝐴(cid:146)𝐹(cid:122)𝐹(cid:63)𝐸(cid:67)(cid:81)𝐵𝐸 = (cid:67)(cid:244)𝐴(cid:212)𝐵𝐸𝐹 (cid:67) (cid:67) + (cid:114)(cid:207)(cid:208)
(cid:71)(cid:35)(cid:110)(cid:36)(cid:210)(cid:102)(cid:208)(cid:71)(cid:67)(cid:27)𝐴(cid:90)𝐷(cid:35)(cid:110)(cid:36)(cid:95)(cid:102)(cid:83)(cid:208)(cid:71)(cid:67)(cid:214)𝐴𝐵(cid:117)(cid:25)(cid:215)(cid:44) 𝐷𝑃 𝐴𝑄 𝐷𝑄 𝑂𝑃 𝑂𝑃 𝐷𝑄38(cid:44)(cid:32)23-24(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:104)·(cid:198)(cid:199)(cid:199)(cid:182)·(cid:251)(cid:29)(cid:252)(cid:253)(cid:34)(cid:77)(cid:59)(cid:67)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:38) = 3 3 +5 3(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:87) (cid:82)(cid:88) (cid:143) (cid:69)
2
(cid:63)(cid:67)(cid:87) (cid:82)(cid:88)(cid:63) (cid:67)(cid:244)(cid:212) (cid:44) 𝑦 𝑥 −6 𝑥 𝑥 𝐴 𝐵
𝑦 𝐶 𝐵𝐶
(1)(cid:86)(cid:212)(cid:213)(cid:90)(cid:63) (cid:143) (cid:58)(cid:64)(cid:65)(cid:67) (cid:95) (cid:44)
(2) (cid:114)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:131)𝐵(cid:132)𝐶(cid:82)(cid:104)(cid:58)(cid:146)(cid:63)𝐵(cid:67)(cid:244)(cid:212)𝐶 (cid:143) (cid:44)(cid:27) + (cid:58)(cid:35)(cid:110)(cid:36)(cid:44)
(3)(cid:63)𝑀 (cid:114) (cid:91)(cid:101)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:104)(cid:58)(cid:146)(cid:63)(cid:67) (cid:244)𝑀(cid:212)𝐴 𝑀(cid:143)𝐶 (cid:44)𝑀(cid:135)𝐴 𝑀𝐶(cid:58)(cid:42)(cid:43)(cid:35)(cid:160)(cid:72)(cid:67)(cid:27)(cid:63) (cid:64)(cid:65)(cid:44)
39(cid:44)(cid:32)𝑃24𝐵-2𝐶5(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:91)·(cid:161)(cid:162)(cid:162)(cid:302)·(cid:128)(cid:49)(cid:34)(cid:77)𝑃(cid:59)𝐵 (cid:67)𝑃(cid:151)𝐶(cid:152)(cid:28)△=𝑃𝐵𝐶 + (cid:32) 0(cid:34)(cid:57)𝑃(cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:63) ( )(cid:67)(cid:63)
2
(3,0)(cid:67)(cid:57) (cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:63) (cid:44) 𝑦 𝑎𝑥 𝑏𝑥−3 𝑎≠ 𝑥 𝐴 −1,0 𝐵
𝑦 𝐶
(1)(cid:27)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:58)(cid:166)(cid:167)(cid:155)(cid:95)
(2)(cid:71)(cid:131)(cid:132)(cid:82)(cid:104)(cid:223)(cid:146)(cid:63) (cid:67)(cid:209) (cid:58)(cid:108)(cid:109)(cid:35)(cid:110)(cid:67)(cid:27)(cid:63) (cid:58)(cid:64)(cid:65)(cid:95)
(3) (cid:114)(cid:156)(cid:45)(cid:129)(cid:157)(cid:170)(cid:151)(cid:152)𝑄(cid:28)(cid:104)(cid:58)△(cid:122)𝐴𝐶(cid:63)𝑄(cid:67)(cid:27) (cid:42)(cid:43) (cid:58)𝑄(cid:35)(cid:160)(cid:36)(cid:180)(cid:165)(cid:72) (cid:63)(cid:58)(cid:64)(cid:65)(cid:44)
𝑃 △𝐵𝑃𝐶 𝑆 𝑃1
40(cid:44)(cid:32)2025·(cid:181)(cid:162)(cid:225)(cid:323)·(cid:146)(cid:118)(cid:34)(cid:77)(cid:59)(cid:67)(cid:71)(cid:141)(cid:42)(cid:86)(cid:142)(cid:64)(cid:65)(cid:130)(cid:49)(cid:67)(cid:151)(cid:152)(cid:28) = + + (cid:57)x(cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:63)A(cid:67)B(cid:69)(cid:63)(cid:67)
2
2
(cid:57)y(cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:63) (0, )(cid:67)(cid:81) (cid:58)(cid:42)(cid:43)(cid:80)8(cid:67)D(cid:114) (cid:49)(cid:63)(cid:44) 𝑦 𝑥 𝑏𝑥 𝑐
𝐶 −4 △𝐵𝑂𝐶 𝐵𝐶(1)(cid:27)(cid:153)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:58)(cid:56)(cid:38)(cid:166)(cid:167)(cid:155)(cid:95)
(2)(cid:102)(cid:63)P(cid:114)(cid:156)(cid:45)(cid:129)(cid:157)(cid:170)(cid:153)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:104)(cid:146)(cid:122)(cid:63)(cid:67)(cid:27) (cid:42)(cid:43)(cid:58)(cid:35)(cid:160)(cid:36)(cid:44)
(3)(cid:102)(cid:63)G(cid:114)(cid:153)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:131)(cid:132)(cid:82)(cid:104)(cid:58)(cid:146)(cid:63)(cid:67)(cid:81) △𝐵(cid:114)𝐷(cid:268)𝑃(cid:269)(cid:105)(cid:142)(cid:73)(cid:67)(cid:211)(cid:86)(cid:212)(cid:213)(cid:90)(cid:63)G (cid:58)(cid:64)(cid:65)
△𝐺𝐵𝐷
