专题01二次函数的图象与系数的关系(40题)(专项训练)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本

专题 01 二次函数的图象与系数的关系（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
考卷信息：
本套训练卷共40题，选择题25题，填空题15题.题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对(cid:20)(cid:21)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:23)(cid:30)(cid:9)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:3)(cid:29)的理解！
(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)25(cid:38)(cid:40)
1(cid:41)(cid:39)2025·(cid:42)(cid:43)·(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:38)(cid:40)(cid:47)(cid:48)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:49)(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:39) (cid:40)
A(cid:41)abc<0 B(cid:41)2a+b<0 C(cid:41)2b−c<0 D(cid:41)a−b+c<0
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)C
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:33)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:35)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:35)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:70)(cid:33)(cid:22)(cid:23)(cid:74)(cid:52)(cid:75)(cid:76)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:52)
(cid:79)(cid:34)(cid:56)(cid:57)(cid:37)(cid:28) (cid:41)(cid:80)(cid:38)(cid:81)(cid:82)(cid:45)(cid:83)(cid:84)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:44)a(cid:39)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:40)(cid:35)b(cid:39)(cid:64)(cid:65)(cid:66)
(cid:26)a(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:40)(cid:35)c(cid:39)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:70)(cid:40)(cid:33)(cid:93)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:70)(cid:22)(cid:23)(cid:74)(cid:33)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:38)(cid:33)(cid:3)(cid:99)(cid:41)
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10) (cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:24)(cid:25)(cid:44)(cid:52)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:101)(cid:52)
a>0(cid:41) ∵
∴ (cid:64)(cid:65)(cid:66)x=− b >0(cid:52)(cid:102)a>0(cid:52)
2a
−b>0(cid:52)(cid:103)b<0(cid:41)
(cid:104)∴ (cid:105)(cid:106)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:70)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:66)(cid:52)
c<0(cid:41)
∴(cid:37)(cid:28)A(cid:10)a>0(cid:52)b<0(cid:52)c<0(cid:52)
(cid:110)(cid:108)(cid:34)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:111)(cid:52)
∵abc>0(cid:52)(cid:115)(cid:37)(cid:28)(cid:116)(cid:117)(cid:41)
∴ (cid:37)(cid:28)B(cid:10)(cid:64)(cid:65)(cid:66)x=− b (cid:52)(cid:118)(cid:24)(cid:25)(cid:48)(cid:64)(cid:65)(cid:66)x<1(cid:52)(cid:103)− b <1(cid:52)
2a 2a(cid:102)a>0(cid:52)(cid:110)(cid:119)(cid:113)2a(cid:114)−b<2a(cid:52) 2a+b>0(cid:52)(cid:115)(cid:37)(cid:28)(cid:116)(cid:117)(cid:41)
(cid:37)(cid:28)C(cid:10)(cid:120)x=−1(cid:121)(cid:52)y=a−b+c∴>0(cid:52)(cid:103)4a−4b+4c>0(cid:122)(cid:120)x=2(cid:121)(cid:52)y=4a+2b+c=0(cid:52)
(4a+2b+c)−(4a−4b+4c)<0
∴2b−c<0(cid:52)(cid:115)(cid:37)(cid:28)(cid:111)(cid:123)(cid:41)
∴(cid:37)(cid:28)D(cid:10)(cid:120)x=−1(cid:121)(cid:52)y=a−b+c(cid:52)(cid:118)(cid:24)(cid:25)(cid:48)x=−1(cid:64)(cid:95)(cid:33)(cid:22)(cid:23)(cid:74)y>0(cid:52)
a−b+c>0(cid:52)(cid:115)(cid:37)(cid:28)(cid:116)(cid:117)(cid:41)
∴(cid:124)(cid:37)C(cid:41)
2(cid:41)(cid:39)2025·(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)·(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:38)(cid:40)(cid:47)(cid:48)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=1(cid:52)(cid:26)y(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:67)(cid:131)x(cid:66)(cid:132)(cid:62)(cid:52)(cid:133)
x=−1(cid:121)(cid:52)y>0(cid:52)(cid:132)(cid:134)(cid:75)(cid:135)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:97)(cid:39) (cid:40)
A(cid:41)2a=b B(cid:41)b2−4ac<0 C(cid:41)a−2b+4c<0 D(cid:41)8a+c>0
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)D
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:80)(cid:38)(cid:81)(cid:82)(cid:45)(cid:83)(cid:84)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:3)(cid:29)(cid:52)(cid:58)(cid:59)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:7)(cid:138)
(cid:139)(cid:114)− b =1(cid:52)(cid:103)b=−2a(cid:52)(cid:59)(cid:140)(cid:139)(cid:141)(cid:142)A(cid:122)(cid:58)(cid:59)(cid:38)(cid:93)(cid:139)(cid:114)(cid:120)x=0(cid:121)(cid:52)y<0(cid:52)(cid:143)(cid:118)(cid:120)x=−1(cid:121)(cid:52)y>0(cid:52)(cid:139)(cid:114)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x
2a
(cid:66)(cid:33)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:34)(cid:92)(cid:107)(cid:130)(cid:106)x=−1(cid:145)y(cid:66)(cid:31)(cid:32)(cid:52)(cid:53)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:146)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:34)(cid:92)(cid:107)(cid:130)(cid:106)x=2(cid:145)(cid:130)(cid:106)x=3(cid:31)(cid:32)(cid:52)(cid:59)
(cid:140)(cid:139)(cid:141)(cid:142)B(cid:122)(cid:120)x=2(cid:121)(cid:52)y=4a+2b+c>0(cid:52)(cid:143)(cid:118)b=−2a(cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142)D(cid:122)(cid:58)(cid:59)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:34)(cid:92)(cid:107)(cid:130)(cid:106)
x=−1(cid:145)y(cid:66)(cid:31)(cid:32)(cid:52)(cid:120)x=− 1 (cid:121)(cid:52)y= 1 (a−2b+4c)(cid:52)(cid:58)(cid:59)(cid:38)(cid:93)(cid:147)(cid:148)(cid:123)(cid:92) 1 (a−2b+4c)(cid:33)(cid:30)(cid:9)(cid:52)(cid:53)C(cid:37)(cid:28)(cid:147)(cid:34)(cid:92)(cid:149)(cid:150)(cid:41)
2 4 4
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10) (cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=1(cid:52)
− b =1(cid:52) ∵
2a
∴
b=−2a(cid:52)(cid:124)A(cid:37)(cid:28)(cid:44)(cid:151)(cid:75)(cid:135)(cid:116)(cid:117)(cid:52)(cid:147)(cid:30)(cid:76)(cid:38)(cid:93)(cid:122)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)y(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:67)(cid:131)x(cid:66)(cid:132)(cid:62)(cid:52)
∵(cid:120)x=0(cid:121)(cid:52)y<0(cid:52)
∴(cid:120)x=−1(cid:121)(cid:52)y>0(cid:52)
∵(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:34)(cid:92)(cid:107)(cid:130)(cid:106)x=−1(cid:145)y(cid:66)(cid:31)(cid:32)(cid:52)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:146)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:34)(cid:92)(cid:107)(cid:130)(cid:106)x=2(cid:145)(cid:130)(cid:106)x=3(cid:31)(cid:32)(cid:52)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:152)(cid:110)(cid:144)(cid:147)(cid:90)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:52)
∴(cid:3)(cid:131)x(cid:33)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)ax2+bx+c=0(cid:152)(cid:110)(cid:144)(cid:147)(cid:112)(cid:90)(cid:33)(cid:153)(cid:23)(cid:58)(cid:52)
∴b2−4ac>0(cid:52)(cid:124)B(cid:37)(cid:28)(cid:44)(cid:151)(cid:75)(cid:135)(cid:116)(cid:117)(cid:52)(cid:147)(cid:30)(cid:76)(cid:38)(cid:93)(cid:122)
∴(cid:120)x=0(cid:121)(cid:52)y<0(cid:52)(cid:133)(cid:120)x=−1(cid:121)(cid:52)y>0(cid:52)
∵(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:101)(cid:52)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:146)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:34)(cid:92)(cid:107)(cid:130)(cid:106)x=2(cid:145)(cid:130)(cid:106)x=3(cid:31)(cid:32)(cid:52)
∵(cid:120)x=−2(cid:121)(cid:52)y=4a−2b+c>0(cid:52)
∴4a−2(−2a)+c>0(cid:52)(cid:103)8a+c>0(cid:52)(cid:124)D(cid:37)(cid:28)(cid:44)(cid:151)(cid:75)(cid:135)(cid:111)(cid:123)(cid:52)(cid:30)(cid:76)(cid:38)(cid:93)(cid:122)
(cid:120) ∴ x=− 1 (cid:121)(cid:52)y= 1 a− 1 b+c= 1 (a−2b+4c)(cid:52)
2 4 2 4
(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:34)(cid:92)(cid:107)(cid:130)(cid:106)x=−1(cid:145)y(cid:66)(cid:31)(cid:32)(cid:52)
∵ 1 1
(cid:120)x=− (cid:121)(cid:52) (a−2b+4c)(cid:33)(cid:30)(cid:9)(cid:147)(cid:123)(cid:92)(cid:52)(cid:103)a−2b+4c(cid:33)(cid:30)(cid:9)(cid:147)(cid:123)(cid:92)(cid:52)
2 4
∴ a−2b+4c<0(cid:147)(cid:34)(cid:92)(cid:149)(cid:150)(cid:52)(cid:124)C(cid:37)(cid:28)(cid:147)(cid:111)(cid:123)(cid:52)(cid:147)(cid:30)(cid:76)(cid:38)(cid:93)(cid:122)
∴(cid:124)(cid:37)(cid:10)D(cid:41)
3(cid:41)(cid:39)2025·(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:158)·(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:38)(cid:40)(cid:49)(cid:24)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(cid:26)x(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:70)A(3,0)(cid:35)B(−1,0)(cid:52)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:70)
C(0,m)(cid:52)(cid:159)(cid:44)−4<m<−3(cid:41)(cid:53)(cid:132)(cid:134)(cid:75)(cid:135)(cid:10)
a−c>0(cid:122) (cid:62)(cid:137)ax2+bx+c−5=0(cid:160)(cid:152)(cid:153)(cid:23)(cid:58)(cid:122) − 8 <b<−2(cid:122) a b c>0(cid:41)
3 b−a
+ +
① ② ③ ④
(cid:159)(cid:44)(cid:116)(cid:117)(cid:33)(cid:144)(cid:23)(cid:152)(cid:39) (cid:40)
A(cid:41)1(cid:144) B(cid:41)2(cid:144) C(cid:41)3(cid:144) D(cid:41)4(cid:144)
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)A
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:80)(cid:38)(cid:45)(cid:83)(cid:84)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:33)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:87)(cid:88)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:130)(cid:106)(cid:52)(cid:161)(cid:74)(cid:33)(cid:162)(cid:163)(cid:62)(cid:164)(cid:97)(cid:3)(cid:99)(cid:41)
(cid:58)(cid:59)(cid:38)(cid:93)(cid:114)(cid:165)(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:101)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:130)(cid:106)(cid:129)− b =3−1=1(cid:52)a>0(cid:52)(cid:53)b=−2a(cid:52)(cid:120)x=−1(cid:121)(cid:52)(cid:166)(cid:167)(cid:162)(cid:163)(cid:139)(cid:141)(cid:92) (cid:122)(cid:58)
2a 2
①
(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:130)(cid:106)y=5(cid:33)(cid:67)(cid:68)(cid:3)(cid:29)(cid:139)(cid:141)(cid:92) (cid:122)(cid:58)(cid:59)(cid:38)(cid:93)(cid:114)(cid:165)c= 3 b(cid:52)(cid:139)(cid:141)(cid:92) (cid:122)(cid:58)(cid:59)(cid:22)(cid:23)(cid:161)(cid:168)(cid:74)(cid:33)(cid:169)(cid:168)(cid:139)(cid:141)(cid:92)
2
② ③
(cid:122)(cid:118)(cid:140)(cid:103)(cid:139)(cid:170)(cid:98)(cid:41)
④(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(cid:26)x(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:70)A(3,0)(cid:35)B(−1,0)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:101)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:130)(cid:106)(cid:129)− b =3−1=1(cid:52)a>0(cid:52)
2a 2
∴
b=−2a(cid:52)
∴(cid:120)x=−1(cid:121)(cid:52)y=a−b+c=0(cid:52)
a−(−2a)+c=0(cid:52)(cid:103)3a+c=0(cid:52)
∴c=−3a(cid:52)
∴a−c=a−(−3a)=4a>0(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:101)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:130)①(cid:106)(cid:129)x=1(cid:52)
(cid:120)x=1(cid:121)(cid:52)(cid:22)(cid:23)(cid:152)(cid:161)(cid:168)(cid:74)(cid:52)(cid:161)(cid:168)(cid:74)x(cid:66)(cid:33)(cid:132)(cid:62)(cid:52)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(cid:26)(cid:130)(cid:106)y=5(cid:110)(cid:144)(cid:147)(cid:90)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:52)
∴(cid:62)(cid:137)ax2+bx+c−5=0(cid:152)(cid:110)(cid:144)(cid:147)(cid:112)(cid:171)(cid:33)(cid:153)(cid:23)(cid:58)(cid:52)(cid:124) (cid:116)(cid:117)(cid:122)
∴(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:70)C(0,m)(cid:52)(cid:159)(cid:44)②−4<m<−3(cid:52)
∵(cid:120)x=0(cid:52)y=c=m(cid:52)
∴−4<c<−3(cid:52)
∴c=−3a,b=−2a(cid:52)
∵ c= 3 b(cid:52)
2
∴
−4< 3 b<−3(cid:52)
2
∴
(cid:98)(cid:114)(cid:52)− 8 <b<−2(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
3
③
(cid:120)x=1(cid:121)(cid:52)(cid:22)(cid:23)(cid:152)(cid:161)(cid:168)(cid:74)(cid:52)(cid:161)(cid:168)(cid:74)(cid:129)y=a+b+c<0(cid:52)b=−2a(cid:52)
b−a=−2a−a=−3a<0(cid:52)
∴a b c>0(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
b−a
+ +
∴ ④
(cid:172)(cid:101)(cid:50)(cid:173)(cid:52)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:152) (cid:52)(cid:116)(cid:117)(cid:33)(cid:152) (cid:52)
(cid:116)(cid:117)(cid:33)(cid:152)1(cid:144)(cid:52) ①③④ ②
∴(cid:124)(cid:37)(cid:10)A (cid:41)
4(cid:41)(cid:39)2025·(cid:125)(cid:126)(cid:174)(cid:175)·(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:38)(cid:40)(cid:49)(cid:24)(cid:52)(cid:47)(cid:48)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(cid:39)a(cid:35)b(cid:35)c(cid:129)(cid:176)(cid:23)(cid:52)(cid:133)a≠0(cid:40)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:97)(cid:130)(cid:106)
x=1(cid:52)(cid:133)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:177)(cid:178)(cid:97)(4,0)(cid:52)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:70)(cid:177)(cid:178)(cid:97)(0,m)(cid:133)2<m<3(cid:41)(cid:152)(cid:132)(cid:134)(cid:75)(cid:135)(cid:10) abc<0(cid:122)
9a−3b+c>0(cid:122) 9
4
<y
最大值
< 2
8
7 (cid:122) (cid:3)(cid:131)x(cid:33)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)ax2+(b−1)x+c−2=0(cid:179)(cid:152)(cid:110)(cid:144)(cid:147)(cid:112)(cid:171)(cid:153)(cid:58) ① (cid:122) (cid:180)(cid:70)A
② (x ,y ),B(x ,y ),C ③ (x ,y )(cid:107)(cid:104)(cid:105)(cid:106) ④ y=ax2+bx+c(cid:101)(cid:52)(cid:133)n<x <n+1<x <n+2<x <n+3(cid:52)(cid:120)y <y <y (cid:121)(cid:52)(cid:53)n(cid:33) ⑤ (cid:181)(cid:74)(cid:182)
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 3 2(cid:183)(cid:129)− 3 <n<0(cid:41)(cid:159)(cid:44)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:152)(cid:39) (cid:40)
2
A(cid:41)2(cid:144) B(cid:41)3(cid:144) C(cid:41)4(cid:144) D(cid:41)5(cid:144)
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)C
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:80)(cid:38)(cid:45)(cid:83)(cid:84)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)(cid:58)(cid:33)(cid:141)(cid:184)(cid:138)(cid:52)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:185)(cid:101)(cid:48)(cid:186)(cid:70)(cid:97)(cid:98)(cid:38)(cid:33)(cid:3)
(cid:99)(cid:41)(cid:58)(cid:59)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:75)(cid:76)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:187)(cid:141)(cid:142)a(cid:52)b(cid:52)c(cid:33)(cid:30)(cid:9)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:188)(cid:189)(cid:58)(cid:59)(cid:64)(cid:65)(cid:77)(cid:114)(cid:190)(cid:146)(cid:34)(cid:144)(cid:69)
(cid:70)(cid:177)(cid:178)(cid:129)(−2,0)(cid:52)(cid:53)(cid:120)x=−3(cid:121)(cid:52)y=9a−3b+c<0(cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:58)(cid:59)b=−2a(cid:52)①2<c<3(cid:52)(cid:75)(cid:76)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:191)(cid:70)(cid:177)(cid:178)(cid:52)
(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:170)(cid:114)a(cid:33)(cid:182)(cid:183)(cid:188)(cid:189)(cid:58)(cid:59)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)(cid:58)(cid:33)(cid:141)②(cid:184)(cid:138)(cid:141)(cid:142)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)(cid:33)(cid:98)(cid:192)(cid:193)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:58)(cid:59)
y <y <y (cid:52)③(cid:75)(cid:76)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:56)(cid:57)(cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:114)(cid:190)− 3 <n<0(cid:52)(cid:188)(cid:189)(cid:141)(cid:142) (cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:170)(cid:98)(cid:41) ④
1 3 2 2
⑤
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10)(cid:58)(cid:59)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:139)(cid:114)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)(cid:52)(cid:53)a<0(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=1(cid:52)(cid:53)− b =1
2a
b=−2a >0(cid:52)
(cid:102)∴ (cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:70)(cid:177)(cid:178)(cid:97)(0,m)(cid:52)(cid:103)c=m(cid:52)
2∵<m<3(cid:52)(cid:103)c>0(cid:52)
∵abc<0(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)①(cid:33)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:177)(cid:178)(cid:97)(4,0)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=1(cid:52)
∵(cid:146)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:177)(cid:178)(cid:129)(−2,0)(cid:52)
∴(cid:120)x=−3(cid:121)(cid:52)y=9a−3b+c<0(cid:52)(cid:124) (cid:116)(cid:117)(cid:122)
∴(−2,0)(cid:52)(4,0)(cid:107)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+b②x+c(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:101)(cid:52)
∵4a−2b+c=0(cid:52)
∴(cid:102) b=−2a(cid:52)
4∵a+4a+c=0(cid:52)
∴8a+c=0(cid:103)c=−8a(cid:52)
∴2<m<3(cid:52)(cid:103)2<c<3(cid:52)
∵2<−8a<3(cid:52)
∴ 2× 9 <−8a× 9 <3× 9 (cid:103) 9 <−9a< 27 (cid:52)
8 8 8 4 8
∴(cid:120)x=1(cid:121)(cid:52)y(cid:181)(cid:114)(cid:161)(cid:169)(cid:74)(cid:52)(cid:161)(cid:169)(cid:74)(cid:129)a+b+c=a−2a−8a=−9a(cid:52)
y =−9a(cid:52)
最大值
∴9<y
<
27
(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
4 最大值 8
∴ ax2+(b−1)x+c−2= ③ 0(cid:52)b=−2a(cid:52)c=−8a(cid:52)
∵(cid:103)ax2+(−2a−1)x−8a−2=0(cid:52)
Δ=(−2a−1)2+4a(8a+2)=36a2+12a+1
∵ (cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)a=− 12 =− 1 (cid:52)(cid:120)a<− 1 (cid:121)(cid:52)Δ(cid:33)(cid:74)(cid:194)a(cid:33)(cid:195)(cid:169)(cid:189)(cid:196)(cid:168)(cid:52)
2×36 6 6
(cid:102) 2<−8a<3(cid:52)
−
∵3
<a<−
1
(cid:52)
8 4
∴ 2
(cid:120)a=− 1 (cid:121)(cid:52)Δ=36× − 1 +12× − 1 +1= 1 >0(cid:52)
4 4 4 4
∴ (cid:120)− 3 <a<− 1 (cid:121)(cid:52)Δ>0(cid:197)(cid:149)(cid:150)(cid:52)(cid:103)ax2+(b−1)x+c−2=0(cid:179)(cid:152)(cid:110)(cid:144)(cid:147)(cid:112)(cid:171)(cid:153)(cid:58)(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
8 4
∴ (cid:180)(cid:70)A(x ,y )(cid:52)B(x ,y )(cid:52)C(x ,y )(cid:107)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(cid:101)(cid:52)(cid:133)n<x <n+1<x < ④ n+2<x <n+3(cid:52)
1 1 2 2 3 3 1 2 3
∵2n+1<x +x <2n+3(cid:52)2n+3<x +x <2n+5(cid:52)2n+2<x +x <2n+4(cid:52)
1 2 2 3 1 3
∴(cid:198)(cid:107)y <y <y (cid:52)
1 3 2
∵x 1 x 2<1(cid:52)x 2 x 3>1(cid:52) x 1 x 3<1(cid:52)
2 2 2
+ + +
∴
2n 1 2n 5 2n 2
(cid:103) <1(cid:52) >1(cid:52) <1(cid:52)
2 2 2
+ + +
(cid:98)(cid:114)(cid:10)− 3 <n<0(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
2
⑤
(cid:124)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:152) (cid:52)(cid:89)4(cid:144)(cid:41)
(cid:124)(cid:37)(cid:10)C(cid:41) ①③④⑤
5(cid:41)(cid:39)2025·(cid:125)(cid:126)(cid:199)(cid:200)·(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:38)(cid:40)(cid:49)(cid:24)(cid:52)O(cid:97)(cid:177)(cid:178)(cid:151)(cid:70)(cid:52)(cid:47)(cid:48)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)x(cid:66)(cid:69)(cid:131)A(cid:35)C
(cid:110)(cid:70)(cid:52)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:131)B(cid:70)(cid:52)(cid:191)(cid:70)(cid:129)D(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=−2(cid:52)(cid:159)(cid:44)A(2,0),B(0,c)(cid:52)(cid:133)−3<c<−2(cid:41)(cid:185)(cid:132)(cid:75)(cid:135)(cid:10) abc
>0(cid:122) 2<b<1(cid:122) ACD(cid:97)(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:202)(cid:204)(cid:122) (cid:180)(cid:62)(cid:137)ax2+(b−2)x+c=0(cid:33)(cid:110)(cid:58)(cid:129)x (cid:35)x (x <x )(cid:52)(cid:53)−2<x <① 4−2 7(cid:52)
3 1 2 1 2 1
② ③△ ④
6<x <4+2 7(cid:41)(cid:159)(cid:44)(cid:111)(cid:123)(cid:75)(cid:135)(cid:152)(cid:39)(cid:205)(cid:205)(cid:40)
2A(cid:41)1(cid:144) B(cid:41)2(cid:144) C(cid:41)3(cid:144) D(cid:41)4(cid:144)
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)C
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:206)(cid:187)(cid:118)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:101)(cid:114)(cid:165)a>0(cid:52)(cid:207)(cid:208)(cid:118)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:114)(cid:165)b>0(cid:52)(cid:207)(cid:208)(cid:118)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:108)(cid:109)(cid:66)(cid:114)(cid:165)c
<0(cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:118)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=− b =−2(cid:114)(cid:165)a= 1 b(cid:52)(cid:207)(cid:208)(cid:209)A(2,0)(cid:166)(cid:167)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:114)(cid:165)4a+2b+c=0(cid:52)(cid:166)(cid:167)(cid:114)(cid:165)
2a 4
①
c=−3b(cid:52)(cid:207)(cid:208)(cid:58)(cid:59)−3<c<−2(cid:114)(cid:165)−3<−3b<−2(cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:210)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:26)x(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:70)E(cid:52)(cid:209)x=−2(cid:166)(cid:167)(cid:104)
(cid:105)(cid:106)(cid:114)(cid:165)y=−4b(cid:52)(cid:170)(cid:190)ED=4b(cid:52)(cid:207)(cid:208)(cid:170)(cid:190)AE=4(cid:52)(cid:114)(cid:165)ta ② n CAD= DE = 4b =b<1(cid:52)(cid:114)(cid:165) ACD= CAD<45°(cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:141)
AE 4
∠ ∠ ∠
2
(cid:142) (cid:122)(cid:56)(cid:184)(cid:209)b= (cid:145)b=1(cid:166)(cid:167)(cid:62)(cid:137)ax2+(b−2)x+c=0(cid:52)(cid:211)(cid:212)(cid:170)(cid:190)x=4±2 7(cid:145)x=−2(cid:213)6(cid:52)(cid:188)(cid:189)(cid:170)(cid:98)(cid:103)(cid:139)(cid:41)
3
(cid:15)③(cid:100)(cid:98)(cid:19) (cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:101)
a>0 ∵
∴(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=− b =−2
2a
∵
b>0
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:108)(cid:109)(cid:66)
∵c<0
∴abc<0(cid:52)(cid:124) (cid:116)(cid:117)(cid:122)
∴ (cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130) ① (cid:106)x=− b =−2
2a
∵
1
a= b
4
∴
A(2,0)(cid:107)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:101)
∵4a+2b+c=0
∴b+2b+c=0
∴c=−3b
∴−3<c<−2
∵−3<−3b<−2
∴2<b<1(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
3
∴ ②
(cid:49)(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:210)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:26)x(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:70)E(cid:52)
(cid:209)x=−2(cid:166)(cid:167)y=ax2+bx+c=4a−2b+c
(cid:209)a= 1 b(cid:52)c=−3b(cid:166)(cid:167)(cid:114)(cid:52)y=−4b
4
ED=4b
∴2<b<1
3
∵
(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=−2(cid:52)A(2,0)
∵AE=4
∴tan CAD= DE = 4b =b<1
AE 4
∴ ∠
CAD<45°
∴∠CD=AD
∵ ACD= CAD<45°
∴∠ADC>∠90°
∴∠ACD(cid:97)(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:202)(cid:204)(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴△2<b<1 ③
3
∵
(cid:120)b= 2 (cid:121)(cid:52)a= 1 b= 1 (cid:52)c=−3b=−2
3 4 6
∴
(cid:62)(cid:137)ax2+(b−2)x+c=0(cid:214)(cid:158)(cid:129) 1 x2− 4 x−2=0
6 3
∴
(cid:98)(cid:114)x=4±2 7(cid:122)
(cid:120)b=1(cid:121)(cid:52)a= 1 b= 1 (cid:52)c=−3b=−3
4 4
∴
1
(cid:62)(cid:137)ax2+(b−2)x+c=0(cid:214)(cid:158)(cid:129) x2−x−3=0
4
∴(cid:98)(cid:114)x=−2(cid:213)6(cid:122)(cid:62)(cid:137)ax2+(b−2)x+c=0(cid:33)(cid:110)(cid:58)(cid:129)x (cid:35)x (x <x )
1 2 1 2
∵−2<x <4−2 7(cid:52)6<x <4+2 7(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:41)
1 2
(cid:172)∴ (cid:101)(cid:50)(cid:173)(cid:52)(cid:159)(cid:44)(cid:111)(cid:123)(cid:75)(cid:135)(cid:152)3(cid:144)(cid:41)④
(cid:124)(cid:37)(cid:10)C(cid:41)
(cid:15)(cid:70)(cid:215)(cid:19)(cid:140)(cid:38)(cid:45)(cid:83)(cid:84)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:145)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:145)x(cid:66)(cid:69)(cid:70)(cid:216)(cid:38)(cid:52)(cid:98)(cid:130)(cid:202)(cid:203)(cid:202)(cid:204)(cid:52)(cid:98)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)
(cid:171)(cid:48)(cid:186)(cid:52)(cid:98)(cid:38)(cid:33)(cid:3)(cid:99)(cid:97)(cid:87)(cid:88)(cid:185)(cid:101)(cid:48)(cid:186)(cid:70)(cid:41)
6(cid:41)(cid:39)2025·(cid:217)(cid:218)(cid:219)(cid:220)·(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:38)(cid:40)(cid:49)(cid:24)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(cid:33)(cid:221)(cid:56)(cid:24)(cid:25)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)A(cid:67)(cid:131)(−2,0)(cid:145)(−1,0)
(cid:31)(cid:32)(cid:52)(cid:191)(cid:70)P(cid:33)(cid:177)(cid:178)(cid:129)(1,n)(cid:41)(cid:132)(cid:134)(cid:75)(cid:135)(cid:10) abc<0(cid:122) (cid:64)(cid:131)(cid:222)(cid:93)(cid:153)(cid:23)m(cid:52)(cid:223)(cid:152)am2+bm−a−b≥0(cid:122) 3b<2c(cid:122)
① ② 3 ③ ④
(cid:180)(cid:115)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:146)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:129)B(cid:52)(cid:133) PAB(cid:97)(cid:171)(cid:119)(cid:203)(cid:202)(cid:204)(cid:52)(cid:53)n=− (cid:41)(cid:159)(cid:44)(cid:50)(cid:152)(cid:111)(cid:123)(cid:75)(cid:135)(cid:33)(cid:224)(cid:9)(cid:97)
a
△
(cid:39) (cid:40)
A(cid:41) B(cid:41) C(cid:41) D(cid:41)
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)①D② ①③ ①④ ①③④
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:118)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:33)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)(cid:52)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:111)(cid:109)(cid:66)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:107)y(cid:66)(cid:33)(cid:225)(cid:226)(cid:52)a<0(cid:52)b>0(cid:52)c
>0(cid:52)(cid:139)(cid:114) (cid:30)(cid:76)(cid:38)(cid:93)(cid:122)(cid:75)(cid:76)(cid:120)x=1(cid:121)(cid:52)n=a+b+c(cid:161)(cid:169)(cid:52)(cid:120)x=m(cid:121)(cid:52)y=am2+bm+c(cid:52)(cid:139)(cid:114) (cid:147)(cid:30)(cid:76)(cid:38)(cid:93)(cid:122)(cid:118)− b
2a
① ②
=1(cid:52)a−b+c>0(cid:52)(cid:139)(cid:114)3b<2c(cid:52)(cid:139)(cid:114) (cid:30)(cid:76)(cid:38)(cid:93)(cid:122)(cid:118)PH=tan60°AH(cid:52)(cid:227)A,B(cid:33)(cid:228)(cid:177)(cid:178)(cid:56)(cid:184)(cid:129)x ,x (cid:52)(cid:139)(cid:114)n= 3 4a−4c
1 2 2 a
= 3 a−c = 3a−3c =− 3a2−3ac (cid:52)(cid:75)(cid:76) ③ n=a+b+c=c−a(cid:52)(cid:139)(cid:114)a(a− ⋅ c)=3(cid:52)(cid:139)(cid:114) (cid:30)(cid:76)(cid:38)(cid:93). ⋅
a a a
(cid:15)(cid:100) ⋅ (cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10) (cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:33)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)(cid:52)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:111)(cid:109) ④ (cid:66)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:107)y(cid:66)(cid:33)(cid:225)(cid:226)(cid:52)
a<0(cid:52)b>0(cid:52)c∵>0(cid:52)
∴abc<0(cid:52)(cid:124) (cid:30)(cid:76)(cid:38)(cid:93)(cid:122)
∴(cid:191)(cid:70)P(cid:33)(cid:177)①(cid:178)(cid:129)(1,n)(cid:52)
∵(cid:120)x=1(cid:121)(cid:52)n=a+b+c(cid:161)(cid:169)(cid:52)
(cid:120)∴ x=m(cid:121)(cid:52)y=am2+bm+c(cid:52)
a+b+c≥am2+bm+c(cid:52)
∴am2+bm−a−b≤0(cid:52)(cid:124) (cid:147)(cid:30)(cid:76)(cid:38)(cid:93)(cid:122)
∴(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c②(cid:33)(cid:221)(cid:56)(cid:24)(cid:25)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)A(cid:67)(cid:131)(−2,0)(cid:145)(−1,0)(cid:31)(cid:32)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=1(cid:52)
∵ − b =1(cid:52)a−b+c>0(cid:52)
2a
∴
a=− 1 b(cid:52)− 1 b−b+c>0(cid:52)
2 2
∴
3b<2c(cid:52)(cid:124) (cid:30)(cid:76)(cid:38)(cid:93)(cid:122)
(cid:49)∴ (cid:24)(cid:52) PAB③(cid:129)(cid:171)(cid:119)(cid:203)(cid:202)(cid:204)(cid:52)
PA=AB△=PB(cid:52)PH AB(cid:52)HA=HB(cid:52) PAB=60°(cid:52)
∴ ⊥ ∠
PH=tan60°AH(cid:52)
∴(cid:227)A,B(cid:33)(cid:228)(cid:177)⋅(cid:178)(cid:56)(cid:184)(cid:129)x ,x (cid:52)
1 2
n= 3(x −1)= 3(1−x )(cid:52)
2 1
∴2n= 3(x −x )(cid:52)
2 1
∴(cid:120)y=ax2+bx+c=0(cid:52)(cid:53)x +x =− b =2(cid:52)x x = c (cid:52)
1 2 a 1 2 a
x −x = (x +x )2−4x x = 4− 4c (cid:52)
2 1 1 2 1 2 a
∴ n= 3 4a−4c = 3 a−c = 3a−3c =− 3a2−3ac (cid:52)
2 a a a a
∴ ⋅ ⋅
n=a+b+c=c−a(cid:52)
∵
c−a=−
3a2−3ac
(cid:52)
a
∴a(a−c)=3(cid:52)
∴ n=− 3a(a−c)=− 3 (cid:52)
a a
(cid:124)∴ (cid:30)(cid:76)(cid:38)(cid:93)(cid:122)
(cid:124)④(cid:37)(cid:10)D
(cid:15)(cid:70)(cid:215)(cid:19)(cid:80)(cid:38)(cid:45)(cid:83)(cid:33)(cid:97)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:171)(cid:119)(cid:203)(cid:202)(cid:204)(cid:33)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:229)(cid:202)(cid:203)(cid:202)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:85)(cid:86)(cid:33)(cid:230)(cid:96)(cid:171)(cid:119)(cid:203)(cid:202)(cid:204)(cid:33)(cid:77)(cid:78)(cid:75)(cid:76)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:98)(cid:38)(cid:97)(cid:3)(cid:99).
7(cid:41)(cid:39)2025·(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:231)(cid:231)(cid:232)(cid:233)·(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:38)(cid:40)(cid:49)(cid:24)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)x(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:110)(cid:70)(−1,0)(cid:52)(x
1
,0)(cid:52)(cid:133)2<x <3(cid:41)(cid:132)(cid:134)(cid:75)(cid:135)(cid:10) abc>0(cid:122) 2a+c<0(cid:122) 4a−b+2c<0(cid:122) (cid:180)m(cid:145)n(cid:97)(cid:3)(cid:131)x(cid:33)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)a(x+1)(
1
x−x )+c=0 (a≠0)(cid:33)(cid:110)(cid:58)(cid:52)(cid:133)①m<n(cid:52)(cid:53)m<②−1(cid:52)n>2(cid:122)③(cid:3)(cid:131)x(cid:33)(cid:147)(cid:171)(cid:138)④ax2+bx+c>− c x+c (a≠0)(cid:33)(cid:98)(cid:234)(cid:129)0<x<
1 x
1
⑤
x (cid:41)(cid:159)(cid:44)(cid:111)(cid:123)(cid:75)(cid:135)(cid:33)(cid:144)(cid:23)(cid:97)(cid:39) (cid:40)
1
A(cid:41)2 B(cid:41)3 C(cid:41)4 D(cid:41)5
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)B
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:80)(cid:38)(cid:45)(cid:83)(cid:84)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:58)(cid:59)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:60)(cid:61)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:52)(cid:185)(cid:71)(cid:26)y(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:52)(cid:123)(cid:92)a,b,c(cid:33)(cid:30)(cid:9)(cid:52)
(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:52)(cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:235)(−1,0)(cid:52)(cid:114)(cid:190)a−b+c=0(cid:52)(cid:188)(cid:189)(cid:141)(cid:142)(cid:64)(cid:65)(cid:66) 1 <− b <1(cid:52)(cid:114)(cid:190)
2 2a
①
a<−b<2a(cid:52)(cid:188)(cid:189)(cid:141)(cid:142) (cid:145) (cid:52)(cid:58)(cid:59)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:141)(cid:142) (cid:52)(cid:209)(cid:34)(cid:236)(cid:138)(cid:237)(cid:149)(cid:69)(cid:70)(cid:138)(cid:114)(cid:190) b=a(1−x )(cid:52)c=−ax (cid:158)(cid:238)(cid:147)
1 1
(cid:171)(cid:138)(cid:129)x2−x x>0(cid:52)(cid:170)②(cid:114)(cid:98)(cid:234)③(cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:170)(cid:98)(cid:41) ④
1
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10) (cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:101)(cid:52)
a>0(cid:52) ∵
∴(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:107)y(cid:66)(cid:33)(cid:225)(cid:226)(cid:52)
∵ x=− b >0(cid:52)
2a
∴
b<0(cid:52)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:108)(cid:109)(cid:66)(cid:52)
∵c<0(cid:52)
∴abc>0(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:52)
∴(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=①ax2+bx+c(a≠0)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:235)(−1,0)(cid:52)
∵a−b+c=0(cid:52)
∴(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)x(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:110)(cid:70)(−1,0)(cid:52)(x ,0)(cid:52)(cid:133)2<x <3(cid:41)
1 1
∵ (cid:64)(cid:65)(cid:66) −1 2 <x< −1 3 (cid:52)(cid:103) 1 <− b <1(cid:52)
2 2 2 2a
+ +
∴a<−b<2a(cid:52)
∴a−b+c>a+a+c=2a+c(cid:52)2a+b>0
∴2a+c<0(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴b=a+c(cid:52) ②
∵4a−b+2c
∴=4a−b+2(b−a)
=2a+b>0(cid:52)
4a−b+2c>0(cid:52)(cid:124) (cid:116)(cid:117)(cid:122)
∴ (cid:49)(cid:24)(cid:52) ③
④(cid:3)(cid:131)x(cid:33)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)a(x+1)(x−x )+c=0 (a≠0)(cid:33)(cid:110)(cid:144)(cid:58)(cid:52)(cid:103)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:26)y=−c(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:33)(cid:228)(cid:177)(cid:178)(cid:52)
1
m<−1<2<n(cid:52)
∵(cid:180)m(cid:145)n(cid:97)(cid:3)(cid:131)x(cid:33)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)a(x+1)(x−x )+c=0 (a≠0)(cid:33)(cid:110)(cid:58)(cid:52)(cid:133)m<n(cid:52)(cid:53)m<−1(cid:52)n>2(cid:122)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
1
∴ (cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)x(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:110)(cid:70)(−1,0)(cid:52)(x ,0)(cid:52) ④
1
⑤y=∵ax2+bx+c=a(x+1)(x−x )
1
∴=ax2+a(1−x )x−ax (cid:52)
1 1
b=a(1−x )(cid:52)c=−ax (cid:52)
1 1
∴b−a=−ax (cid:52)− c =− −ax 1=a(cid:52)
1 x x
1 1
∴
ax2+bx+c>− c x+c(cid:139)(cid:158)(cid:129)ax2+(b−a)x>0(cid:52)
x
1
∴
(cid:103)ax2−ax x>0(cid:52)
1
a>0(cid:52)
∵x2−x x>0(cid:52)
1
∴(cid:98)(cid:114)(cid:10)x<0(cid:213)x>x (cid:52)
1
(cid:3)(cid:131)x(cid:33)(cid:147)(cid:171)(cid:138)ax2+bx+c>− c x+c (a≠0)(cid:33)(cid:98)(cid:234)(cid:129)x<0(cid:213)x>x (cid:147)(cid:97)0<x<x (cid:124) (cid:116)(cid:117)
x 1 1
1
∴ ⑤(cid:124)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:152) (cid:52)(cid:89)3(cid:144)(cid:52)
(cid:124)(cid:37)(cid:10)B ①②④
8(cid:41)(cid:39)2025·(cid:125)(cid:126)(cid:239)(cid:42)·(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:38)(cid:40)(cid:49)(cid:24)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(cid:39)a(cid:52)b(cid:52)c(cid:129)(cid:176)(cid:23)(cid:52)a≠0(cid:40)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:69)x(cid:66)(cid:131)A(cid:52)B
(cid:110)(cid:70)(cid:52)(cid:70)A(cid:33)(cid:177)(cid:178)(cid:97)(−1,0)(cid:52)(cid:70)B(cid:33)(cid:177)(cid:178)(cid:97)(n,0)(cid:52)(cid:152)(cid:132)(cid:134)(cid:75)(cid:135)(cid:10) abc<0(cid:122) 4a+c>2b(cid:122) (cid:3)(cid:131)x(cid:33)(cid:62)(cid:137)ax2
+bx+c=0(cid:33)(cid:98)(cid:97)x =−1(cid:52)x =n(cid:122) − b = n−1 (cid:41)(cid:159)(cid:44)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:152)(cid:39) (cid:40) ① ② ③
1 2 2a 2
④
A(cid:41)1(cid:144) B(cid:41)2(cid:144) C(cid:41)3(cid:144) D(cid:41)4(cid:144)
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)C
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:80)(cid:38)(cid:45)(cid:83)(cid:84)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:77)(cid:78)(cid:35)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:171)(cid:48)(cid:186)(cid:52)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:77)
(cid:78)(cid:97)(cid:98)(cid:38)(cid:33)(cid:3)(cid:99)(cid:122)
(cid:58)(cid:59)(cid:24)(cid:25)(cid:139)(cid:114)(cid:10)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)(cid:52)(cid:69)y(cid:66)(cid:131)(cid:111)(cid:109)(cid:66)(cid:52)(cid:103)(cid:114)a<0,c>0(cid:52)(cid:188)(cid:189)(cid:139)(cid:141)(cid:142)b>0(cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142)(cid:75)(cid:135) (cid:122)
(cid:120)x=−2(cid:121)(cid:52)y<0(cid:52)(cid:103)4a−2b+c<0(cid:52)(cid:139)(cid:141)(cid:142)(cid:75)(cid:135) (cid:122)(cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:75)(cid:76)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:77)(cid:103)①(cid:139)(cid:141)
(cid:142)(cid:75)(cid:135) (cid:52)(cid:139)(cid:114)(cid:54)(cid:55). ②
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)③(cid:98)④(cid:10)(cid:58)(cid:59)(cid:24)(cid:25)(cid:139)(cid:114)(cid:10)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)(cid:52)(cid:69)y(cid:66)(cid:131)(cid:111)(cid:109)(cid:66)(cid:52)
a<0,c>0(cid:52)
∴(cid:102) (cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:107)y(cid:66)(cid:225)(cid:226)(cid:52)
x ∵ =− b >0(cid:52)
2a
∴
b>0(cid:52)
∴abc<0(cid:52)(cid:124)(cid:75)(cid:135) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:139)(cid:114)①(cid:10)(cid:120)x=−2(cid:121)(cid:52)y<0(cid:52)(cid:103)4a−2b+c<0(cid:52)
(cid:103)4a+c<2b(cid:52)(cid:124)(cid:75)(cid:135) (cid:116)(cid:117)(cid:122)
(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+②c(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:69)x(cid:66)(cid:131)A(cid:52)B(cid:110)(cid:70)(cid:52)(cid:70)A(−1,0)(cid:52)(cid:70)B(n,0)(cid:52)
∵ (cid:3)(cid:131)x(cid:33)(cid:62)(cid:137)ax2+bx+c=0(cid:33)(cid:98)(cid:97)x =−1(cid:52)x =n(cid:52)− b = −1 n (cid:52)(cid:124)(cid:75)(cid:135) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
1 2 2a 2
+
(cid:172)∴ (cid:101)(cid:52)(cid:75)(cid:135)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:152)3(cid:144)(cid:52) ③④(cid:124)(cid:37)(cid:10)C.
9(cid:41)(cid:39)2025·(cid:125)(cid:126)(cid:240)(cid:128)·(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:38)(cid:40)(cid:49)(cid:24)(cid:52)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:26)x(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:70)A(1,0)(cid:52)(cid:70)B(3,0)(cid:52)(cid:132)(cid:134)(cid:75)(cid:135)(cid:10)
abc<0(cid:122) 4a+b=0(cid:122) b2−4ac>0(cid:122) a−b+c>0(cid:41)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:144)(cid:23)(cid:129)(cid:39) (cid:40)
① ② ③ ④
A(cid:41)1(cid:144) B(cid:41)2(cid:144) C(cid:41)3(cid:144) D(cid:41)4(cid:144)
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)D
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:80)(cid:38)(cid:45)(cid:83)(cid:84)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:145)(cid:77)(cid:78)(cid:185)(cid:71)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)(cid:33)(cid:3)(cid:29)(cid:52)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)
(cid:25)(cid:26)(cid:77)(cid:78)(cid:97)(cid:98)(cid:38)(cid:33)(cid:3)(cid:99)(cid:122)
(cid:58)(cid:59)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:101)(cid:52)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:111)(cid:109)(cid:66)(cid:52)(cid:139)(cid:114)a>0,c>0(cid:52)(cid:58)(cid:59)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:70)A(1,0)(cid:52)(cid:70)B(3,0)(cid:52)(cid:120)x=−1
(cid:121)y>0(cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:79)(cid:34)(cid:141)(cid:142)(cid:52)(cid:188)(cid:189)(cid:170)(cid:98).
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10) (cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:101)(cid:52)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:111)(cid:109)(cid:66)(cid:52)
a>0,c>0(cid:52) ∵
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:70)A(1,0)(cid:52)(cid:70)B(3,0)(cid:52)(cid:120)x=−1(cid:121)y>0(cid:52)
∵(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:97)(cid:130)(cid:106)x=2(cid:52)b2−4ac>0(cid:52)a−b+c>0(cid:52)
∴(cid:124)(cid:75)(cid:135) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
− b =2(cid:52) ③ (cid:103) ④ b=−4a<0(cid:52)b+4a=0(cid:52)
2a
∴
(cid:124)(cid:75)(cid:135) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
abc<0②(cid:52)
∴(cid:124)(cid:75)(cid:135) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
(cid:172)(cid:101)(cid:52)①(cid:241)(cid:164)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:152)4(cid:144)(cid:122)
(cid:124)(cid:37)(cid:10)D.
10(cid:41)(cid:39)2025·(cid:125)(cid:126)(cid:242)(cid:217)·(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:38)(cid:40)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(cid:33)(cid:221)(cid:56)(cid:24)(cid:243)(cid:49)(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:159)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)x=2(cid:52)(cid:133)(cid:24)(cid:243)(cid:244)(cid:235)
(cid:70)(6,0)(cid:52)(cid:53)(cid:132)(cid:134)(cid:75)(cid:135)(cid:116)(cid:117)(cid:33)(cid:97)(cid:39) (cid:40)A(cid:41)bc>0
B(cid:41)4a+b=0
C(cid:41)(cid:180)ax2+bx =ax2+bx (cid:133)x ≠x (cid:52)(cid:53)x +x =4
1 1 2 2 1 2 1 2
D(cid:41)(cid:180)(−1,y ),(3,y )(cid:110)(cid:70)(cid:223)(cid:107)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(cid:33)(cid:24)(cid:243)(cid:101)(cid:52)(cid:53)y <y
1 2 2 1
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)D
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:80)(cid:38)(cid:45)(cid:83)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:243)(cid:145)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:58)(cid:59)(cid:24)(cid:243)(cid:141)(cid:142)(cid:29)(cid:23)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:3)(cid:29)(cid:52)(cid:245)(cid:24)(cid:243)(cid:246)(cid:181)(cid:6)(cid:247)(cid:52)(cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:22)
(cid:23)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:77)(cid:52)(cid:195)(cid:196)(cid:77)(cid:52)(cid:79)(cid:34)(cid:188)(cid:248)(cid:141)(cid:142)(cid:103)(cid:139)(cid:41)
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10)(cid:118)(cid:24)(cid:243)(cid:139)(cid:48)(cid:52)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)(cid:52)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:111)(cid:109)(cid:66)(cid:52)
a<0,c>0(cid:52)
∴ (cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=− b =2(cid:52)
2a
∵
b=−4a>0(cid:52)
∴bc>0(cid:52)4a+b=0(cid:52)(cid:124)(cid:37)(cid:28)A(cid:52)B(cid:111)(cid:123)(cid:52)(cid:147)(cid:30)(cid:76)(cid:38)(cid:93)(cid:122)
∴ax2+bx =ax2+bx (cid:133)x ≠x (cid:52)
1 1 2 2 1 2
∵ax2+bx +c=ax2+bx +c(cid:52)
1 1 2 2
∴x=x (cid:145)x=x (cid:3)(cid:131)(cid:64)(cid:65)(cid:66)x=2(cid:64)(cid:65)(cid:52)
1 2
∴x +x =4(cid:122)(cid:124)(cid:37)(cid:28)C(cid:111)(cid:123)(cid:122)(cid:147)(cid:30)(cid:76)(cid:38)(cid:93)(cid:122)
1 2
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)(cid:52)
∵(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:101)(cid:33)(cid:70)(cid:249)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:250)(cid:251)(cid:52)(cid:22)(cid:23)(cid:74)(cid:250)(cid:168)(cid:52)
∴(cid:180)(−1,y ),(3,y )(cid:110)(cid:70)(cid:223)(cid:107)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(cid:33)(cid:24)(cid:243)(cid:101)(cid:52)
1 2
|−1−2|>|3−2|(cid:52)
∵y <y (cid:122)(cid:124)(cid:37)(cid:28)D(cid:116)(cid:117)(cid:52)(cid:30)(cid:76)(cid:38)(cid:93)(cid:122)
1 2
∴(cid:124)(cid:37)D(cid:41)
11(cid:41)(cid:39)2025·(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:255)·(cid:256)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:40)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(cid:39)a(cid:129)(cid:176)(cid:23)(cid:133)a<0(cid:40)(cid:52)(cid:235)(cid:70)A(−1,0)(cid:52)B(m,0)(cid:133)1<m<2(cid:52)(cid:132)
(cid:134)(cid:75)(cid:135)(cid:10) abc>0(cid:122) 2a+c<0(cid:122) a(m−1)−b−c>0(cid:122) (cid:180)(cid:3)(cid:131)x(cid:33)(cid:62)(cid:137)a(x+1)(x−m)=3(cid:152)(cid:153)(cid:23)(cid:58)(cid:52)(cid:53)4ac−b2≤12
① ② ③ ④a(cid:41)(cid:159)(cid:44)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:75)(cid:135)(cid:152)(cid:39) (cid:40)
A(cid:41) B(cid:41) C(cid:41) D(cid:41)
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)①D③④ ②③④ ①②③ ②④
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:80)(cid:38)(cid:45)(cid:83)(cid:84)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)(cid:33)(cid:3)(cid:29)(cid:41)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)
(cid:26)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)(cid:33)(cid:3)(cid:29)(cid:97)(cid:98)(cid:38)(cid:33)(cid:3)(cid:99)(cid:41)
(cid:58)(cid:59)a<0(cid:71)(cid:235)(cid:70)A(−1,0)(cid:52)B(m,0)(cid:133)1<m<2(cid:52)(cid:75)(cid:76)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:77)(cid:78)(cid:26)(cid:141)(cid:184)(cid:138)(cid:260)(cid:261)(cid:52)(cid:79)(cid:34)(cid:56)(cid:57)(cid:27)(cid:75)(cid:135)(cid:33)(cid:111)(cid:123)(cid:77)(cid:41)
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10) (cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(cid:39)a(cid:129)(cid:176)(cid:23)(cid:133)a<0(cid:40)(cid:52)(cid:235)(cid:70)A(−1,0)(cid:52)B(m,0)
(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:139)(cid:262)(cid:51)①(cid:129)∵y=a(x+1)(x−m)=ax2+a(1−m)x−am(cid:52)
∴a(1−m)=b(cid:52)c=−am
∴1<m<2
∵1−m<0(cid:52)
∴b=a(1−m)>0(cid:52)c=−am>0
∴abc<0(cid:52)(cid:75)(cid:135) (cid:116)(cid:117)(cid:122)
∴ (cid:209)c=−am(cid:166)(cid:167)①2a+c(cid:52)(cid:114)2a−am=a(2−m)
②1<m<2(cid:52)
∵0<2−m<1(cid:52)
∴a<0(cid:52)
∵a(2−m)<0(cid:52)(cid:75)(cid:135) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴ b=a(1−m)(cid:52)c=②−am
③a(∵m−1)−b−c
∴=a(m−1)−a(1−m)−(−am)
=am−a−a+am+am
=a(3m−2)
1<m<2
∵3<3m<6
∴1<3m−2<4
∴a<0
∵a(3m−2)<0(cid:52)(cid:75)(cid:135) (cid:116)(cid:117)(cid:122)
∴ a(x+1)(x−m)=3③
④∵ax2+a(1−m)x−am−3=0
2
∴Δ= a(1−m) −4a×(−am−3)≥0
∴a2(m+1)2+12a≥0
∴a2(m+1)2≥−12a
∴b=a(1−m)(cid:52)c=−am
∵4ac−b2=4a(−am)−a2(1−m)2=−a2(m+1)2≤12a(cid:52)(cid:75)(cid:135) (cid:111)(cid:123)(cid:41)
∵(cid:172)(cid:101)(cid:52)(cid:111)(cid:123)(cid:75)(cid:135)(cid:129) (cid:52) ④
(cid:124)(cid:37)(cid:10)D(cid:41) ②④
12(cid:41)(cid:39)2025·(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:231)(cid:231)(cid:232)(cid:233)·(cid:256)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:40)(cid:49)(cid:24)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)x(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:70)A(3,0)(cid:52)(cid:26)y
(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:70)B(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=1(cid:52)(cid:132)(cid:134)(cid:125)(cid:144)(cid:75)(cid:135)(cid:10) bc<0(cid:122) 3a+2c<0(cid:122) (cid:62)(cid:137)ax2+bx+c−1=0(cid:33)(cid:110)(cid:58)(cid:145)(cid:129)1(cid:122)
(cid:180)−2<c<−1(cid:52)(cid:53)− 8 <a+b+c<− 4 (cid:52) (cid:70)A(m−2,y )(cid:52) ① B(m+1,y ② )(cid:107)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:101) ③ (cid:52)(cid:133)(cid:120)y >y (cid:121)(cid:52)m< 3 (cid:122)(cid:159)(cid:44)(cid:111)(cid:123)(cid:75)
3 3 1 2 1 2 2
④
(cid:135)(cid:33)(cid:144)(cid:23)(cid:129)(cid:39) (cid:40)
⑤
A(cid:41)1(cid:144) B(cid:41)2(cid:144) C(cid:41)3(cid:144) D(cid:41)4(cid:144)
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)C
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:140)(cid:38)(cid:45)(cid:83)(cid:84)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:145)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:23)(cid:204)(cid:75)(cid:76)(cid:97)(cid:98)(cid:38)(cid:33)(cid:3)(cid:99)(cid:52)(cid:230)(cid:96)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:145)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:67)(cid:68)(cid:103)(cid:139)
b
(cid:141)(cid:142) (cid:52)(cid:230)(cid:96)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:145)(cid:72)(cid:73)(cid:70)(cid:33)(cid:22)(cid:23)(cid:74)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:118)(cid:58)(cid:26)(cid:29)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:29)(cid:139)(cid:114)(cid:190)x +x =− (cid:52)(cid:118)b=−2a(cid:166)(cid:167)(cid:103)(cid:139)(cid:141)
1 2 a
① ②
1 2
(cid:142) (cid:52)(cid:170)(cid:190)c=−3a(cid:52)(cid:188)(cid:34)(cid:263)(cid:114)(cid:165) <a< (cid:52)(cid:102)(cid:58)(cid:59)b=−2a(cid:114)(cid:165)a+b+c=a−2a−3a=−4a(cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:41) (cid:120)(cid:70)A(m−2,y )
3 3 1
(cid:145)B ③ (m+1,y )(cid:3)(cid:131)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:64)(cid:65)(cid:121)(cid:52)(cid:98)(cid:114)m(cid:52)(cid:180)(cid:70)A(cid:145)(cid:70)B(cid:63)(cid:264)(cid:265)(cid:266)(cid:121)(cid:75)(cid:76)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:264)(cid:226)(cid:33)④(cid:267)(cid:196)⑤(cid:77)(cid:52)(cid:185)(cid:71)m−2<m
2
+1(cid:103)(cid:139)(cid:114)(cid:165)m(cid:33)(cid:181)(cid:74)(cid:182)(cid:183)(cid:41)
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10) (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:63)(cid:101)(cid:52)
a>0(cid:122) ①∵
∴(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:107)y(cid:66)(cid:225)(cid:226)(cid:52)
∵a(cid:35)b(cid:268)(cid:9)(cid:52)
∴b<0(cid:52)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:70)(cid:107)y(cid:66)(cid:108)(cid:109)(cid:66)(cid:52)
∵c<0(cid:52)
∴bc>0(cid:52)(cid:124) (cid:116)(cid:117)(cid:122)
∴ (cid:20)(cid:21)(cid:22)①(cid:23)y=ax2+bx+c(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)x(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:70)A(3,0)(cid:52)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:70)B(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=1(cid:52)
②x=∵−1(cid:121)(cid:52)y=0(cid:52)
∴a−b+c=0(cid:52)
∴ − b =1(cid:52)
2a
∴
b=−2a(cid:52)
∵3a+c=0(cid:52)
∴c<0(cid:52)
∵3a+2c<0(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴ (cid:210)(cid:62)(cid:137)ax2+b②x+c−1=0(cid:33)(cid:110)(cid:58)(cid:129)x (cid:145)x (cid:52)
1 2
③ b
x +x =− (cid:52)
1 2 a
∴ b=−2a(cid:52)
∵ x +x =− b =− −2a =2≠1(cid:52)(cid:124) (cid:116)(cid:117)(cid:41)
1 2 a a
∴ ③
−2<c<−1(cid:52)
④∵ c
(cid:58)(cid:59)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)(cid:112)(cid:95)(cid:62)(cid:137)(cid:33)(cid:58)(cid:26)(cid:29)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:29)(cid:139)(cid:114)x x =(−1)×3=−3= (cid:52)
1 2 a
∴
c=−3a(cid:52)
∴−2<−3a<−1(cid:52)
∴1
<a<
2
(cid:52)
3 3
∴
b=−2a(cid:52)
∵a+b+c=a−2a−3a=−4a(cid:52)
∴ − 8 <a+b+c<− 4 (cid:52)
3 3
∴
(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
④(cid:70)A(m−2,y )(cid:52)B(m+1,y )(cid:107)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:101)(cid:52)
1 2
⑤ 3
(cid:120)y =y (cid:121)(cid:52)m−2+m+1=2(cid:52)(cid:98)(cid:114)m= (cid:52)
1 2 2y >y (cid:52)
1 2
∵ 3
m< (cid:52)(cid:53) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
2
(cid:124)∴ (cid:37)(cid:10)C(cid:41)⑤
13(cid:41)(cid:39)2025·(cid:156)(cid:269)(cid:270)(cid:271)·(cid:256)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:40)(cid:47)(cid:48)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(cid:39)a(cid:52)b(cid:52)c(cid:97)(cid:176)(cid:23)(cid:40)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:101)(cid:52)(cid:235)A(1,0),B(m,0)(cid:110)
(cid:70)(cid:52)(cid:133)−2<m<−1(cid:41)(cid:132)(cid:134)(cid:125)(cid:144)(cid:75)(cid:135)(cid:44)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:75)(cid:135)(cid:152)(cid:39) (cid:40)
4
b<0(cid:122) (cid:180)m=− (cid:121)(cid:52)(cid:53)4a+3c=0(cid:122)
3
①(cid:180)(cid:70)M ② (x ,y ),N(x ,y )(cid:107)(cid:272)(cid:105)(cid:106)(cid:101)(cid:52)x <x (cid:52)(cid:133)x +x <−1(cid:52)(cid:53)y <y (cid:122)
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
③a≥1(cid:121)(cid:52)(cid:3)(cid:131)x(cid:33)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)ax2+bx+c=−1(cid:179)(cid:152)(cid:110)(cid:144)(cid:147)(cid:112)(cid:171)(cid:33)(cid:153)(cid:23)(cid:58)(cid:41)
④ A(cid:41) B(cid:41) C(cid:41) D(cid:41)
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)①C③ ②③ ②④ ③④
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:80)(cid:38)(cid:45)(cid:83)(cid:84)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:33)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)(cid:58)(cid:26)(cid:29)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:29)(cid:52)(cid:87)(cid:88)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:77)(cid:52)
(cid:195)(cid:196)(cid:77)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:52)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)(cid:58)(cid:26)(cid:29)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:29)(cid:97)(cid:98)(cid:38)(cid:33)(cid:3)(cid:99)(cid:41)
(cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:101)(cid:52)(cid:103)a>0(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:130)(cid:106)(cid:129)x= 1 m =− b (cid:52)(cid:133)−2<m<−1(cid:139)(cid:141)(cid:92) (cid:122)(cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:64)(cid:65)
2 2a
+
①
(cid:66)(cid:130)(cid:106)(cid:33)(cid:162)(cid:163)(cid:62)(cid:164)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:235)(cid:70)A(1,0)(cid:33)(cid:48)(cid:186)(cid:75)(cid:76)(cid:139)(cid:141)(cid:92) (cid:122)(cid:58)(cid:59)(cid:38)(cid:93)(cid:139)(cid:114)(cid:70)M(cid:165)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:273)(cid:249)(cid:169)(cid:131)(cid:70)N(cid:165)(cid:64)
(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:273)(cid:249)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)(cid:52)(cid:118)(cid:249)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:250)(cid:251)(cid:74)(cid:250)(cid:168)(cid:139)②(cid:141)(cid:92) (cid:122)(cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:33)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)
(cid:58)(cid:26)(cid:29)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:29)(cid:139)(cid:141)(cid:92) (cid:122)(cid:118)(cid:140)(cid:103)(cid:139)(cid:170)(cid:98)(cid:41) ③
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=④ax2+bx+c(cid:39)a(cid:52)b(cid:52)c(cid:97)(cid:176)(cid:23)(cid:40)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:101)(cid:52)
a>0(cid:52)
∴(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:235)A(1,0),B(m,0)(cid:110)(cid:70)(cid:52)
∵ (cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:130)(cid:106)(cid:129)x= 1 m =− b (cid:52)
2 2a
+
∴
−2<m<−1(cid:52)
∵1 m=− b <0(cid:52)
2 2a
+
∴
b>0(cid:52)(cid:124) (cid:116)(cid:117)(cid:122)
(cid:180) ∴ m=− 4 (cid:52) ① (cid:53)− b = 1− 4 3=− 1 (cid:52)
3 2a 2 6
a
b= (cid:52)
3
∴
(cid:274)A(1,0)(cid:166)(cid:167)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:98)(cid:57)(cid:138)(cid:114)(cid:52)a+b+c=0(cid:52)
a+ a +c=0(cid:52)
3
∴4a+3c=0(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴ (cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:130)(cid:106)(cid:129) ② x= 1 m =− b (cid:52)(cid:133)−2<m<−1(cid:52)
2 2a
+
∵
− 1 <− b <0(cid:52)
2 2a
∴
(cid:47)(cid:48)(cid:70)M(x ,y )(cid:52)N(x ,y )(cid:107)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:101)(cid:52)x <x (cid:52)(cid:133)x +x <−1(cid:52)
1 1 2 2 1 2 1 2
x 1 x 2<− 1 (cid:52)
2 2
+
∴
(cid:70)M(cid:165)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:273)(cid:249)(cid:169)(cid:131)(cid:70)N(cid:165)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:273)(cid:249)(cid:52)
∴y >y (cid:52)(cid:124) (cid:116)(cid:117)(cid:122)
1 2
(cid:47)∴ (cid:48)(cid:104)(cid:105)(cid:106)③y=ax2+bx+c(cid:235)A(1,0),B(m,0)(cid:110)(cid:70)(cid:52)
(cid:210)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:98)(cid:57)(cid:138)(cid:129)(cid:10)y=a(x−1)(x−m)(cid:52)
∴(cid:275)a(x−1)(x−m)=−1(cid:52)(cid:211)(cid:212)(cid:114)(cid:52)ax2−a(m+1)x+am+1=0(cid:52)
2
Δ= −a(m+1) −4a(am+1)(cid:52)
4
∴
=a2 (m+1)2 −4m−
a
4
=a2 (m−1)2
−
a
−2<m<−1(cid:52)a≥1(cid:52)
∵ −3<m<−2(cid:52)4 ≤4(cid:52)
a
∴ (m−1)2>4(cid:52)
∴ (m−1)2− 4 >0
a
∴
Δ=a2 (m+1)2+ 4 >0(cid:52)
a
∴ (cid:3)(cid:131)x(cid:33)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)ax2+bx+c=−1(cid:179)(cid:152)(cid:110)(cid:144)(cid:147)(cid:112)(cid:171)(cid:33)(cid:153)(cid:23)(cid:58)(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:41)
∴(cid:172)(cid:101)(cid:50)(cid:173)(cid:52)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:152) (cid:52) ④
(cid:124)(cid:37)(cid:10)C(cid:41) ②④
14(cid:41)(cid:39)2025·(cid:276)(cid:277)·(cid:203)(cid:256)(cid:40)(cid:49)(cid:24)(cid:97)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y =ax2+bx+c(a≠0)(cid:24)(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:221)(cid:56)(cid:52)(cid:159)(cid:191)(cid:70)(cid:177)(cid:178)(cid:129)A(−1,−3)(cid:52)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)
1
(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:129)B(−3,0)(cid:52)(cid:130)(cid:106)y =mx+n(m≠0)(cid:26)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:69)(cid:131)A(cid:52)B(cid:110)(cid:70)(cid:52)(cid:132)(cid:134)(cid:75)(cid:135)(cid:10) abc>0(cid:122) b=2a(cid:122) (cid:104)(cid:105)
2
(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:146)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:97)(3,0)(cid:122) (cid:147)(cid:171)(cid:138)ax2+(b−m)x+c−n<0(cid:33)(cid:98)(cid:234)(cid:129)−3<x<−1(cid:122)① (cid:62)(cid:137)ax②2+bx+c+3=③0(cid:152)(cid:110)
(cid:144)(cid:112)(cid:171)(cid:33)(cid:153)(cid:23)(cid:58)(cid:122)(cid:159)(cid:44)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:144)(cid:23)④(cid:152)(cid:39) (cid:40) ⑤A(cid:41)1(cid:144) B(cid:41)2(cid:144) C(cid:41)3(cid:144) D(cid:41)4(cid:144)
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)C
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:118)(cid:38)(cid:93)a>0(cid:52)b>0(cid:52)c<0(cid:52)abc<0(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:116)(cid:117)(cid:122)(cid:278)(cid:279)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:111)(cid:123)(cid:122)(cid:58)(cid:59)(cid:64)(cid:65)(cid:77)(cid:170)(cid:190)(cid:104)(cid:105)
(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:146)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:97)(1,0)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:116)(cid:117)(cid:122)(cid:104)①(cid:105)(cid:106)y =ax2+bx+c(a≠0) (cid:24)(cid:25)(cid:26)②(cid:130)(cid:106)y=−3(cid:280)(cid:152)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:52)(cid:62)
1
(cid:137)ax2+bx+c+3=0(cid:152)(cid:110)(cid:144)(cid:112)(cid:171)(cid:33)(cid:153)(cid:23)(cid:58)④(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:41)
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19) (cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:101)(cid:52) ⑤
a>0(cid:52) ∵
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:69)y(cid:66)(cid:131)(cid:108)(cid:109)(cid:66)(cid:52)
∵c<0(cid:52)
∴(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:107)y(cid:66)(cid:225)(cid:119)(cid:52)
∵ − b <0(cid:52)
2a
∴
b>0(cid:52)
∴abc<0(cid:52)(cid:124) (cid:116)(cid:117)(cid:52)
∴(cid:191)(cid:70)(cid:177)(cid:178)(cid:129)①A(−1,−3)(cid:52)
∵ − b =−1(cid:52)
2a
∴
b=2a(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴B(−3,0)(cid:52)②(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=−1(cid:52)
∵(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:146)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:97)(1,0)(cid:52)(cid:124) (cid:116)(cid:117)(cid:52)
∴(cid:118)(cid:38)(cid:93)(cid:10)y =ax2+bx+c(a≠0)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:130)(cid:106)y③=mx+n(m≠0)(cid:69)(cid:131)A(cid:52)B(cid:110)(cid:70)(cid:52)
1 2
(cid:120)y <y (cid:121)(cid:52)(cid:103)(cid:147)(cid:171)(cid:138)ax2+(b−m)x+c−n<0(cid:33)(cid:98)(cid:234)(cid:129)−3<x<−1(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:52)
1 2
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)y =ax2+bx+c(a≠0) (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:130)(cid:106)y=−3(cid:280)(cid:152)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:52) ④
1
∵(cid:62)(cid:137)ax2+bx+c+3=0(cid:152)(cid:110)(cid:144)(cid:112)(cid:171)(cid:33)(cid:153)(cid:23)(cid:58)(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:52)
(cid:124)∴ (cid:37)C(cid:41) ⑤(cid:15)(cid:70)(cid:215)(cid:19)(cid:140)(cid:38)(cid:45)(cid:83)(cid:84)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:77)(cid:78)(cid:35)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:147)(cid:171)(cid:138)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)(cid:171)(cid:48)(cid:186)(cid:52)(cid:98)(cid:38)(cid:33)(cid:3)(cid:99)
(cid:97)(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:96)(cid:50)(cid:11)(cid:48)(cid:186)(cid:98)(cid:91)(cid:216)(cid:38)(cid:52)(cid:11)(cid:284)(cid:230)(cid:96)(cid:23)(cid:204)(cid:75)(cid:76)(cid:33)(cid:285)(cid:286)(cid:98)(cid:91)(cid:216)(cid:38)(cid:41)
15(cid:41)(cid:39)2025·(cid:287)(cid:288)(cid:288)(cid:42)·(cid:256)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:40)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=−1(cid:52)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)A(cid:107)(cid:70)(−3,0)
(cid:145)(−2,0)(cid:31)(cid:32)(cid:52)(cid:159)(cid:221)(cid:56)(cid:24)(cid:25)(cid:49)(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:185)(cid:132)(cid:75)(cid:135)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:152)(cid:39)(cid:205)(cid:205)(cid:40)
abc>0(cid:122) 3a+c<0(cid:122) (cid:180)m(cid:129)(cid:222)(cid:93)(cid:153)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:152)a−bm≥am2+b(cid:122) (cid:70)P(x ,y )(cid:52)Q(x ,y )(cid:107)(cid:159)(cid:24)(cid:25)(cid:101)(cid:52)(cid:180)x <
1 1 2 2 1
x①(cid:52)(cid:133)x +x②>−2(cid:52)(cid:53)(cid:34)(cid:92)③(cid:152)y >y (cid:41) ④
2 1 2 1 2
A(cid:41)1(cid:144) B(cid:41)2(cid:144) C(cid:41)3(cid:144) D(cid:41)4(cid:144)
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)D
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:80)(cid:38)(cid:45)(cid:83)(cid:84)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:145)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:145)(cid:24)(cid:25)(cid:114)(cid:190)a(cid:35)b(cid:35)c(cid:33)(cid:30)(cid:9)(cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142)
(cid:122)(cid:118)x=1(cid:121)(cid:52)y<0(cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:161)(cid:74)(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:87)(cid:88)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:145)(cid:77)(cid:78)
(cid:97)①(cid:98)(cid:38)(cid:33)(cid:3)(cid:99)(cid:41) ② ③ ④
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10) (cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)x=−1(cid:52)
− b =−1(cid:52) ∵
2a
∴
b=2a(cid:52)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)(cid:52)
∵a<0(cid:52)
∴b<0(cid:52)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)x=−1(cid:52)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)A(cid:107)(cid:70)(−3,0)(cid:145)(−2,0)(cid:31)(cid:32)(cid:52)
∵(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:146)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)A(cid:107)(cid:70)(0,0)(cid:145)(1,0)(cid:31)(cid:32)(cid:52)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)y(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:107)y(cid:66)(cid:33)(cid:111)(cid:109)(cid:66)(cid:101)(cid:52)
∴c>0(cid:52)
∴abc>0(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)①(cid:33)(cid:146)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)A(cid:107)(cid:70)(0,0)(cid:145)(1,0)(cid:31)(cid:32)(cid:52)
∵x=1(cid:121)(cid:52)y<0(cid:52)
∴(cid:103)a+b+c<0(cid:52)
b=2a(cid:52)
∵3a+c<0(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:60)(cid:61)②(cid:63)(cid:132)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=−1(cid:52)
∵(cid:120)x=−1(cid:121)(cid:52)(cid:22)(cid:23)(cid:74)(cid:161)(cid:169)(cid:52)
∴(cid:120)m(cid:129)(cid:222)(cid:93)(cid:153)(cid:23)(cid:121)(cid:52)(cid:53)(cid:10)a−b+c≥am2+bm+c(cid:52)
∴a−bm≥am2+b(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)(cid:52)③(cid:24)(cid:25)(cid:101)(cid:152)(cid:110)(cid:70)P(x ,y )(cid:145)Q(x ,y )(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)x=−1 (cid:52)x <x (cid:52)(cid:133)x +x >−2(cid:52)
1 1 2 2 1 2 1 2
∵(cid:70)Q(x ,y )(cid:107)(cid:64)(cid:65)(cid:66)x=−1(cid:225)(cid:226)(cid:52)
2 2
∴(cid:120)x ≥−1(cid:121)(cid:52) (cid:107)(cid:104)(cid:105)(cid:106)x=−1(cid:33)(cid:225)(cid:226)(cid:52)y(cid:194)x(cid:33)(cid:195)(cid:169)(cid:189)(cid:196)(cid:168)(cid:52)
1
x <x (cid:52)
1 2
∵y >y (cid:52)
1 2
∴(cid:120)x <−1(cid:121)(cid:52)(cid:70)Q(cid:165)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:273)(cid:249)(cid:129)x −(−1)=x +1(cid:52)(cid:70)P(cid:165)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:273)(cid:249)(cid:129)−1−x (cid:52)
1 2 2 1
x +1−(−1−x )=x +x +2>0(cid:52)
2 1 2 1
∵x +1>−1−x (cid:52)
2 1
(cid:102)∴ (cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)(cid:52)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:101)(cid:33)(cid:70)(cid:249)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:250)(cid:289)(cid:52)(cid:22)(cid:23)(cid:74)(cid:250)(cid:169)(cid:52)
y∵>y (cid:52)
1 2
∴(cid:24)(cid:25)(cid:101)(cid:152)(cid:110)(cid:70)P(x ,y )(cid:145)Q(x ,y )(cid:52)(cid:180)x <x (cid:52)(cid:133)x +x >−2(cid:52)(cid:53)(cid:34)(cid:92)(cid:152)y >y (cid:52)
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
∴(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
(cid:75)④(cid:135)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:152)4(cid:144)(cid:52)
(cid:124)∴ (cid:37)(cid:10)D(cid:41)
16(cid:41)(cid:39)2025·(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:231)(cid:231)(cid:232)(cid:233)·(cid:203)(cid:256)(cid:40)(cid:49)(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:33)(cid:221)(cid:56)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:115)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)
(cid:97)(cid:130)(cid:106)x=1,(cid:24)(cid:25)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:70)(cid:33)(cid:290)(cid:177)(cid:178)(cid:97)2(cid:41)(cid:53)(cid:132)(cid:134)(cid:75)(cid:135)(cid:10) 2a+b=0(cid:122) (cid:62)(cid:137)ax2−bx+ 1 =0(cid:34)(cid:92)(cid:152)(cid:110)(cid:144)(cid:147)(cid:112)(cid:171)(cid:33)
2
① ②
1
(cid:153)(cid:23)(cid:58)(cid:10) (cid:120)−1≤x≤2(cid:121)(cid:52)3a+2≤y≤2(cid:122) b−a<2(cid:122) (cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:101)(cid:152)(cid:110)(cid:70)P
2
(cid:52)y
1
(cid:52)Q m(cid:52)y
2
,(cid:180)y
1
>y
2
(cid:52)(cid:53)m>
3 ③ ④ ⑤
(cid:41)(cid:159)(cid:44)(cid:111)(cid:123)(cid:75)(cid:135)(cid:33)(cid:144)(cid:23)(cid:152)(cid:39) (cid:40)
2A(cid:41)1(cid:144) B(cid:41)2(cid:144) C(cid:41)3(cid:144) D(cid:41)4(cid:144)
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)C
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:58)(cid:59)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:139)(cid:114)b=−2a(cid:52)(cid:188)(cid:189)(cid:141)(cid:142)(cid:75)(cid:135) (cid:52)(cid:75)(cid:76)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)(cid:291)(cid:33)(cid:141)(cid:184)(cid:138)(cid:145)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:60)(cid:61)
(cid:62)(cid:63)(cid:52)(cid:139)(cid:114)Δ=4a a− 1 >0(cid:52)(cid:188)(cid:189)(cid:141)(cid:142)(cid:75)(cid:135) (cid:52)(cid:58)(cid:59)(cid:104)(cid:105)(cid:106) ① (cid:33)(cid:195)(cid:196)(cid:77)(cid:52)(cid:22)(cid:23)(cid:74)(cid:139)(cid:141)(cid:142)(cid:75)(cid:135) (cid:52)(cid:58)(cid:59)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)
2
(cid:64)(cid:65)(cid:77)(cid:114)(cid:190)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:146)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:107)− ② 1(cid:145)0(cid:31)(cid:32)(cid:52)(cid:75)(cid:76)(cid:22)(cid:23)(cid:74)(cid:114)(cid:190)a−b<−2(cid:52)(cid:188)(cid:189)(cid:141)(cid:142)③(cid:75)(cid:135) (cid:52)(cid:58)(cid:59)(cid:104)(cid:105)
1 3 ④
(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:77)(cid:114)(cid:190)(cid:70)P (cid:52)y (cid:3)(cid:131)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:70)(cid:177)(cid:178)(cid:129)P′ (cid:52)y (cid:52)(cid:75)(cid:76)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:195)(cid:196)(cid:77)(cid:103)(cid:139)(cid:114)(cid:190)y >y (cid:121)(cid:52)
2 1 2 1 1 2
1 <m< 3 (cid:52)(cid:188)(cid:189)(cid:141)(cid:142)(cid:75)(cid:135) (cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:170)(cid:98)(cid:41)
2 2
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10) (cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23) ⑤ y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)x=1(cid:52)
(cid:103)− b =1(cid:52) ∵
2a
b=−2a(cid:52)
∴2a+b=2a−2a=0(cid:52)(cid:124) (cid:75)(cid:135)(cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴b=−2a(cid:52) ①
∵ ax2−bx+ 1 =ax2−(−2a)x+ 1 =0(cid:52)
2 2
∴
(cid:211)(cid:212)(cid:114)ax2+2ax+ 1 =0(cid:52)
2
(cid:53)Δ=(2a)2−4× 1 a=4a2−2a=4a a− 1 (cid:52)
2 2
(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)(cid:52)
∵a<0(cid:52)
∴(cid:124)4a<0(cid:52)a− 1 <0(cid:52)
2
Δ=4a a− 1 >0(cid:52)
2
∴
(cid:124)(cid:62)(cid:137)ax2−bx+ 1 =0(cid:34)(cid:92)(cid:152)(cid:110)(cid:144)(cid:147)(cid:112)(cid:171)(cid:33)(cid:153)(cid:23)(cid:58)(cid:52) (cid:75)(cid:135)(cid:111)(cid:123)(cid:122)
2
②b=−2a(cid:52)c=2(cid:52)
∵(cid:124)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:98)(cid:57)(cid:138)(cid:129)y=ax2−2ax+2(cid:52)
(cid:120)x=−1(cid:121)(cid:52)y=a+2a+2=3a+2(cid:52)
(cid:120)x=1(cid:121)(cid:52)y=a−2a+2=−a+2(cid:52)
a<0(cid:52)
∵−a+2>2(cid:52)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:97)x=1(cid:52)(cid:124)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2−2ax+2(cid:33)(cid:161)(cid:169)(cid:74)(cid:129)−a+2(cid:122)
∵(cid:120)x=2(cid:121)(cid:52)y=4a−4a+2=2(cid:52)
(cid:124)(cid:120)−1≤x≤2(cid:121)(cid:52)3a+2≤y≤2(cid:122)(cid:103) (cid:75)(cid:135)(cid:111)(cid:123)(cid:122)
(cid:58)(cid:59)(cid:24)(cid:25)(cid:139)(cid:114)(cid:10)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)③(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:107)2(cid:145)3(cid:31)(cid:32)(cid:52)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)x=1(cid:52)
(cid:124)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:146)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:107)−1(cid:145)0(cid:31)(cid:32)(cid:52)
(cid:120)x=−1(cid:121)(cid:52)y=a−b+c<0(cid:52)
b=−2a(cid:52)c=2(cid:52)
∵a−b<−2(cid:52)
∴b−a>2(cid:52)(cid:124) (cid:75)(cid:135)(cid:116)(cid:117)(cid:122)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)④(cid:65)(cid:66)(cid:129)x=1(cid:52)
∵ 1 3
(cid:124)(cid:70)P (cid:52)y (cid:3)(cid:131)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:70)(cid:177)(cid:178)(cid:129)P′ (cid:52)y (cid:52)
2 1 2 1
(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)(cid:52)
∵(cid:124)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:264)(cid:226)(cid:52)y(cid:194)x(cid:33)(cid:195)(cid:169)(cid:189)(cid:195)(cid:169)(cid:52)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:225)(cid:226)(cid:52)y(cid:194)x(cid:33)(cid:195)(cid:169)(cid:189)(cid:196)(cid:168)(cid:52)
(cid:180)y >y (cid:52)
1 2
1 3
(cid:53) <m< (cid:52)(cid:124) (cid:75)(cid:135)(cid:116)(cid:117)(cid:122)
2 2
(cid:172)(cid:101)(cid:52)(cid:75)(cid:135)(cid:111)⑤(cid:123)(cid:33)(cid:152) (cid:52)(cid:152)3(cid:144)(cid:41)
(cid:124)(cid:37)(cid:10)C(cid:41) ①②③
(cid:15)(cid:70)(cid:215)(cid:19)(cid:80)(cid:38)(cid:45)(cid:83)(cid:84)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:216)(cid:38)(cid:52)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)y(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:216)(cid:38)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:29)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:29)(cid:52)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)(cid:291)(cid:33)(cid:141)(cid:184)(cid:138)(cid:171)(cid:41)(cid:98)(cid:38)(cid:33)(cid:3)(cid:99)(cid:97)(cid:87)(cid:88)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:77)(cid:78)(cid:41)
17(cid:41)(cid:39)2025·(cid:252)(cid:253)(cid:292)(cid:293)·(cid:256)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:40)(cid:47)(cid:48)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax²+bx+c(cid:39)a(cid:52)b(cid:52)c(cid:129)(cid:176)(cid:23)(cid:52)a≠0(cid:40)(cid:244)(cid:235)(cid:70)(−1,0)(cid:52)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)(cid:52)
(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=1(cid:41)(cid:132)(cid:134)(cid:75)(cid:135)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:97)(cid:39) (cid:40)
A(cid:41)ac>0 B(cid:41)b²−4ac<0C(cid:41)9a+3b+c>0 D(cid:41)at²+bt<a+b(t≠1)
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)D
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:80)(cid:38)(cid:45)(cid:83)(cid:84)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:161)(cid:74)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:77)(cid:52)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:185)(cid:101)(cid:48)(cid:186)(cid:70)
(cid:97)(cid:98)(cid:38)(cid:33)(cid:3)(cid:99)(cid:41)(cid:58)(cid:59)(cid:64)(cid:65)(cid:66)x=1(cid:52)(cid:139)(cid:48)b=−2a(cid:52)(cid:75)(cid:76)(cid:115)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:235)(−1,0)(cid:52)(cid:139)(cid:48)a−b+c=0(cid:52)(cid:245)(cid:189)(cid:48)(cid:294)c=−3a(cid:52)(cid:141)(cid:142)
(cid:190)A(cid:122)(cid:139)(cid:48)(cid:115)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:146)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:97)(3,0)(cid:52)(cid:209)(cid:159)(cid:166)(cid:167)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:139)(cid:141)(cid:142)C(cid:52)(cid:58)(cid:59)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:144)(cid:23)(cid:52)
(cid:139)(cid:141)(cid:142)B(cid:52)(cid:245)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)(cid:185)(cid:71)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:52)(cid:139)(cid:141)(cid:142)x=1(cid:121)(cid:52)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:181)(cid:114)(cid:161)(cid:169)(cid:74)(cid:52)(cid:139)(cid:141)(cid:142)D(cid:52)(cid:245)(cid:189)(cid:114)(cid:190)(cid:54)(cid:55)(cid:41)
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10) y=ax²+bx+c(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)(cid:52)
a<0(cid:52) ∵
∴ y=ax²+bx+c(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=1(cid:52)
∵ x=− b =1(cid:52)
2a
∴
b=−2a(cid:52)
∴ y=ax²+bx+c(cid:235)(−1,0)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=1(cid:52)
∵(cid:120)x=3(cid:121)(cid:52)y=0(cid:52)
∴ 9a+3b+c=0(cid:52)(cid:124)C(cid:116)(cid:117)(cid:122)
∴ y=ax²+bx+c(cid:235)(−1,0)(cid:52)b=−2a(cid:52)
∵ 0=a−b+c
(cid:52)
b=−2a
∴
c=−3a(cid:52)
∴a<0(cid:52)
∵c>0(cid:52)
∴ac<0(cid:52)(cid:124)A(cid:116)(cid:117)(cid:122)
∴ y=ax²+bx+c(cid:235)(−1,0)(cid:52)(3,0)(cid:52)
∵b2−4ac>0(cid:52)(cid:124)B(cid:116)(cid:117)(cid:122)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax²+bx+c(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=1(cid:52)
∵x=1(cid:121)(cid:52)y=ax²+bx+c(cid:181)(cid:161)(cid:169)(cid:74)(cid:52)
∴at²+bt+c<a+b+c(t≠1)(cid:52)
∴at²+bt<a+b(t≠1)(cid:52)(cid:124)D(cid:111)(cid:123)(cid:122)
(cid:124)∴ (cid:37)(cid:10)D(cid:41)
1
18(cid:41)(cid:39)2025·(cid:295)(cid:128)(cid:296)(cid:94)·(cid:256)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:40)(cid:47)(cid:48)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(cid:52)(cid:159)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)x= (cid:41)(cid:297)(cid:152)(cid:185)(cid:132)(cid:298)(cid:144)(cid:75)(cid:135)(cid:10) abc
10
①>0(cid:122) b2<4ac(cid:122) 4ac−b2 <0(cid:122) − b3−4abc >0(cid:122) a+5b=0(cid:41)(cid:159)(cid:44)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:97)________(cid:41)
4a 8a2
② ③ ④ ⑤
A(cid:41) B(cid:41) C(cid:41) D(cid:41)
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)①B②③④⑤ ①③④⑤ ②③④ ①②⑤
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:58)(cid:59)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:77)(cid:52)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:110)(cid:299)(cid:262)(cid:51)(cid:62)(cid:164)(cid:52)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:195)(cid:196)(cid:77)(cid:52)(cid:161)(cid:74)(cid:171)
(cid:98)(cid:54)(cid:103)(cid:139).
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10) (cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:101)(cid:52)
a>0(cid:52) ∵
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)y(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:66)(cid:101)(cid:52)
∵c<0(cid:122)
∴ 1
(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x= (cid:52)
10
∵
b 1
x=− = ,
2a 10
∴
1
b=− a<0,
5
∴
abc>0,
∴(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
a①>0(cid:52)c<0(cid:52)
∵4ac<0,(cid:52)
∴b2>4ac(cid:52)
∴(cid:124) (cid:116)(cid:117)(cid:122)
(cid:104)②(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:191)(cid:70)(cid:107)(cid:300)(cid:125)(cid:25)(cid:301)(cid:52)
∵4ac−b2
<0(cid:52)
4a
∴
(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
③1
(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x= (cid:52)
10
∵
b 1
x=− = >0,
2a 10
∴
4ac−b2
<0(cid:52)
4a
∵
b3−4abc2
<0(cid:52)
8a2
∴
−
b3−4abc
>0(cid:52)
8a2
∴
(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
④ 1
(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x= (cid:52)
10
∵
b 1
x=− = ,
2a 10
∴
1
b=− a,
5
∴
a+5b=0,
∴(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:52)
(cid:124)⑤(cid:37)(cid:10)B(cid:41)
(cid:15)(cid:70)(cid:215)(cid:19)(cid:80)(cid:38)(cid:45)(cid:83)(cid:84)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:77)(cid:52)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:191)(cid:70)(cid:177)(cid:178)(cid:302)(cid:77)(cid:52)(cid:58)(cid:33)(cid:141)(cid:184)(cid:138)(cid:52)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:23)(cid:33)(cid:30)(cid:9)(cid:3)
(cid:29)(cid:52)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:77)(cid:78)(cid:97)(cid:98)(cid:38)(cid:33)(cid:3)(cid:99).
19(cid:41)(cid:39)2025·(cid:303)(cid:304)(cid:303)(cid:128)·(cid:203)(cid:256)(cid:40)(cid:47)(cid:48)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(a>0)(cid:26)x(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:70) x
1
(cid:52)0 , −3(cid:52)0 (cid:52)(cid:159)(cid:44)0<x
1
<2(cid:41)(cid:185)(cid:132)
(cid:125)(cid:144)(cid:75)(cid:135)(cid:10) abc<0(cid:122) b>a(cid:122) (cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:161)(cid:168)(cid:74)(cid:169)(cid:131)c− b (cid:122) (cid:147)(cid:171)(cid:138)ax2+bx+c> c x+c(cid:33)(cid:98)(cid:234)(cid:129)−3<x<0(cid:41)(cid:159)(cid:44)(cid:111)
4 3
(cid:123)(cid:75)(cid:135)(cid:33)(cid:224)①(cid:9)(cid:129)(cid:39)(cid:205)(cid:205)②(cid:40) ③ ④
A(cid:41) B(cid:41) C(cid:41) D(cid:41)
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)①A② ①③ ②③ ①④
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:80)(cid:38)(cid:45)(cid:83)(cid:84)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:145)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:145)(cid:34)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:216)(cid:38)(cid:52)(cid:230)(cid:96)(cid:23)(cid:204)(cid:75)(cid:76)(cid:33)(cid:285)(cid:286)(cid:98)(cid:91)
(cid:216)(cid:38)(cid:97)(cid:3)(cid:99)(cid:41)
(cid:58)(cid:59)(cid:38)(cid:93)(cid:305)(cid:190)(cid:22)(cid:23)(cid:169)(cid:306)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:114)(cid:165)a(cid:35)b(cid:90)(cid:9)(cid:52)c<0(cid:52)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:75)(cid:135)(cid:122)(cid:58)(cid:59)− 3 <− b <− 1 (cid:52)(cid:114)1< b <3(cid:52)(cid:139)(cid:141)(cid:142)
2 2a 2 a
(cid:75)(cid:135)(cid:122)(cid:58)(cid:59)b=a(3−x ),c=−3ax (cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:161)(cid:168)(cid:74)(cid:129)−
a(x
1
3)2
(cid:52)
①
(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:75)(cid:135)(cid:122)(cid:58)(cid:59)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(a>0)(cid:26)
②
(cid:22)
1 1 4
+
(cid:23)y= c x+c(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:129)(−3,0)(cid:145)(0,c)(cid:52)(cid:230)(cid:96)(cid:24)(cid:25)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:75)(cid:135)(cid:41) ③
3
④
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10)(cid:58)(cid:59)(cid:38)(cid:93)(cid:305)(cid:190)(cid:22)(cid:23)(cid:169)(cid:306)(cid:24)(cid:25)(cid:49)(cid:132)(cid:10)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(a>0)(cid:26)x(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:70) x
1
(cid:52)0 , −3(cid:52)0 (cid:52)(cid:159)(cid:44)0<x
1
<2(cid:52)
∵ (cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:101)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:107)− 3 − 1 (cid:31)(cid:32)(cid:52)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:70)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:66)(cid:52)
2 2
∴ ∼
a(cid:35)b(cid:90)(cid:9)(cid:52)c<0(cid:52)
∴abc<0(cid:52)
∴ (cid:75)(cid:135)(cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴① − 3 <− b <− 1 (cid:52)
2 2a 2
∵
1< b <3(cid:52)
a
∴
b>a(cid:52)
∴ (cid:75)(cid:135)(cid:111)(cid:123)(cid:122)
y ∴ = ② a(x−x )(x+3)=ax2+a(3−x )x−3ax =a x− x 1−3 2 − a(x 1 3)2 (cid:52)
1 1 1 2 4
+
c− b =−3ax − a(3−x 1 ) =− a(13x 1 3) (cid:52)
4 1 4 4
+
∵
− a(x 1 3)2 − c− b =− a(x 1 3)2 − − a(13x 1 3) = −a(x 1−1)(x 1−6) (cid:52)
4 4 4 4 4
+ + +
∴ 0<x <2(cid:52)
1
∵(cid:120)0<x <1(cid:121)(cid:52)
1
∴ − a(x 1 3)2 − c− b <0(cid:52)
4 4
+
(cid:75)(cid:135)(cid:116)(cid:117)(cid:122)
∴(cid:22)③(cid:23)y= c x+c(cid:44)(cid:52)(cid:120)y=0(cid:121)(cid:52)x=−3(cid:52)(cid:120)x=0(cid:121)(cid:52)y=c(cid:52)
3
∵
(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(a>0)(cid:26)(cid:22)(cid:23)y= c x+c(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:129)(−3,0)(cid:145)(0,c)(cid:52)
3
∴
(cid:147)(cid:171)(cid:138)ax2+bx+c> c x+c(cid:33)(cid:98)(cid:234)(cid:129)x<−3(cid:213)x>0(cid:52)
3
∴
(cid:75)(cid:135)(cid:116)(cid:117)(cid:41)
∴(cid:124)④(cid:37)(cid:10)A(cid:41)20(cid:41)(cid:39)2025·(cid:307)(cid:156)(cid:308)(cid:309)·(cid:203)(cid:256)(cid:40)(cid:49)(cid:24)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:244)(cid:235)(cid:70)A(−1,0)(cid:52)B(3,0)(cid:52)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:70)C(cid:41)(cid:132)
(cid:134)(cid:75)(cid:135)(cid:10) ac>0(cid:122) 3a+c=0(cid:122) a+b≤am2+bm(cid:122) (cid:120)x>0(cid:121)(cid:52)y(cid:194)x(cid:33)(cid:195)(cid:169)(cid:189)(cid:195)(cid:169)(cid:41)(cid:159)(cid:44)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:144)(cid:23)(cid:152)(cid:39) (cid:40)
① ② ③ ④
A(cid:41)1(cid:144) B(cid:41)2(cid:144) C(cid:41)3(cid:144) D(cid:41)4(cid:144)
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)A
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:140)(cid:38)(cid:45)(cid:83)(cid:84)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:29)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:29)(cid:52)(cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:141)(cid:142)(cid:138)(cid:310)(cid:33)(cid:111)(cid:108)(cid:52)
(cid:111)(cid:123)(cid:212)(cid:98)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:71)(cid:77)(cid:78)(cid:97)(cid:98)(cid:38)(cid:33)(cid:3)(cid:99)(cid:41)(cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:71)(cid:77)(cid:78)(cid:98)(cid:54)(cid:103)(cid:139)(cid:41)
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10)(cid:118)(cid:24)(cid:25)(cid:139)(cid:48)(cid:52)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)(cid:52)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:111)(cid:109)(cid:66)(cid:52)
a<0,c>0(cid:52)
∴ac<0(cid:52)(cid:124) (cid:147)(cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y①=a2+bx+c(a≠0)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:244)(cid:235)(cid:70)A(−1,0)(cid:52)B(3,0)(cid:52)
∵ (cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=− b =−1 3 =1(cid:52)a−b+c=0(cid:52)
2a 2
+
∴
b=−2a(cid:52)a+2a+c=3a+c=0(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴(cid:120)x=1(cid:121)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:152)(cid:161)(cid:311)(cid:70)(cid:52)(cid:103)②(cid:22)(cid:23)(cid:161)(cid:169)(cid:74)(cid:129)a+b+c(cid:52)
∴(cid:120)x=m(cid:121)(cid:52)y=am2+bm+c≤a+b+c(cid:52)
∴a+b≥am2+bm(cid:52)(cid:124) (cid:147)(cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=1(cid:52)③(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)(cid:52)
∵(cid:120)x>1(cid:121)(cid:52)y(cid:194)x(cid:33)(cid:195)(cid:169)(cid:189)(cid:196)(cid:168)(cid:52)
(cid:120)x>0(cid:121)(cid:52)y(cid:194)x(cid:33)(cid:195)(cid:169)(cid:189)(cid:187)(cid:195)(cid:169)(cid:208)(cid:196)(cid:168)(cid:41)(cid:124) (cid:147)(cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:129) (cid:52)(cid:89)1(cid:144)(cid:52) ④
∴ ②(cid:124)(cid:37)(cid:10)A(cid:41)
21(cid:41)(cid:39)2025·(cid:295)(cid:128)(cid:312)(cid:313)·(cid:203)(cid:256)(cid:40)(cid:47)(cid:48)(cid:10)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:49)(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:132)(cid:134)(cid:75)(cid:135)(cid:44)(cid:10) abc<0(cid:122)
b+2a=0(cid:122) a−b<am2+bm(m≠−1)(cid:122) ax2+bx+c=0(cid:110)(cid:58)(cid:56)(cid:184)(cid:129)x =−1(cid:52)x =1(cid:122) 4a+2b+c>0(cid:41)(cid:159)①(cid:44)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:28)
1 2
②(cid:152)(cid:39) (cid:40) ③ ④ ⑤
A(cid:41)2(cid:144) B(cid:41)3(cid:144) C(cid:41)4(cid:144) D(cid:41)5(cid:144)
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)B
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:80)(cid:38)(cid:81)(cid:82)(cid:45)(cid:83)(cid:84)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:314)(cid:227)(cid:7)(cid:138)(cid:145)(cid:23)(cid:204)(cid:75)(cid:76)(cid:97)(cid:98)(cid:38)(cid:33)(cid:3)(cid:99)(cid:41)(cid:118)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:101)
(cid:48)(cid:10)a>0(cid:52)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)y(cid:66)(cid:33)(cid:108)(cid:109)(cid:66)(cid:112)(cid:69)(cid:139)(cid:48)(cid:10)c<0(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:107)y(cid:66)(cid:33)(cid:264)(cid:226)(cid:139)(cid:48)(cid:10)b>0(cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:58)(cid:59)(cid:64)(cid:65)(cid:66)
(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=−1(cid:52)(cid:114)(cid:190)− b =−1(cid:52)(cid:245)(cid:189)(cid:114)(cid:190)b=2a(cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:118)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:77)(cid:78)(cid:139)(cid:48)(cid:52)(cid:120)x=−1(cid:121)(cid:52) ① y(cid:152)(cid:161)(cid:168)(cid:74)(cid:52)(cid:114)
2a
(cid:190)a−b+c<am2+bm+c(m≠−1)(cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:58)(cid:59)(cid:104)(cid:105)(cid:106) ② (cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)x=−1(cid:52) (cid:133)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:33)(cid:228)(cid:177)(cid:178)(cid:129)
1(cid:52) (cid:114)(cid:190)(cid:146)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:33)(cid:228)(cid:177)(cid:178)(cid:129)−3(cid:52)(cid:103)③(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:58)(cid:59)(cid:120)x=2(cid:121)(cid:52)y>0(cid:52)(cid:114)(cid:190)4a+2b+c>0(cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:41)
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10) (cid:118)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:101)(cid:48)(cid:10)a>0(cid:52)(cid:104)④(cid:105)(cid:106)(cid:26)y(cid:66)(cid:33)(cid:108)(cid:109)(cid:66)(cid:112)(cid:69)(cid:139)(cid:48)(cid:10)c<0(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:107)y(cid:66)(cid:33)⑤(cid:264)(cid:226)(cid:139)
(cid:48)(cid:10)b>0(cid:52) ①
abc<0(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴ (cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)①(cid:130)(cid:106)x=−1(cid:52)
②
−
∵b
=−1(cid:52)(cid:103)b=2a(cid:52)
2a
∴
b−2a=0(cid:52)(cid:124) (cid:116)(cid:117)(cid:122)
∴ (cid:118)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)②(cid:77)(cid:78)(cid:139)(cid:48)(cid:52)(cid:120)(cid:121)x=−1(cid:52)y(cid:152)(cid:161)(cid:168)(cid:74)(cid:52)
③a−b+c<am2+bm+c(m≠−1)(cid:52)
∴(cid:103)a−b<am2+bm(m≠−1)(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)x=−1③(cid:52) (cid:133)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:33)(cid:228)(cid:177)(cid:178)(cid:129)1(cid:52)
④(cid:146)∵(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:33)(cid:228)(cid:177)(cid:178)(cid:129)−3(cid:52)
∴(cid:62)(cid:137)(cid:33)(cid:110)(cid:58)(cid:56)(cid:184)(cid:97)1(cid:52)−3(cid:52)(cid:124) (cid:116)(cid:117)(cid:122)
∴ (cid:118)(cid:24)(cid:243)(cid:139)(cid:114)(cid:52)(cid:120)x=2(cid:121)(cid:52)y>0(cid:52)④(cid:103)(cid:10)4a+2b+c>0(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
⑤ ⑤(cid:124)(cid:111)(cid:123)(cid:37)(cid:28)(cid:152) (cid:89)3(cid:144)(cid:52)
(cid:124)(cid:37)(cid:10)B(cid:41) ①③⑤
22(cid:41)(cid:39)2025·(cid:295)(cid:128)(cid:315)(cid:288)·(cid:20)(cid:256)(cid:40)(cid:49)(cid:24)(cid:129)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:33)(cid:221)(cid:56)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:47)(cid:48)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x
=−1(cid:52)(cid:180)(cid:70)A(cid:33)(cid:177)(cid:178)(cid:129)(−3,0)(cid:52)(cid:53)(cid:185)(cid:132)(cid:75)(cid:135)(cid:116)(cid:117)(cid:33)(cid:97)(cid:39) (cid:40)
A(cid:41)(cid:62)(cid:137)ax2+bx+c=0(cid:33)(cid:110)(cid:58)(cid:129)x =−3(cid:52)x =1
1 2
B(cid:41)8a+c>0
C(cid:41)ac<0
D(cid:41)(cid:180)(x ,y )(cid:52)(x ,y )(cid:97)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:101)(cid:33)(cid:110)(cid:70)(cid:52)(cid:133)x <x <−1(cid:52)(cid:53)y <y
1 1 2 2 1 2 1 2
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)B
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:140)(cid:38)(cid:45)(cid:83)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:145)(cid:77)(cid:78)(cid:185)(cid:71)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:26)x(cid:66)(cid:69)(cid:70)(cid:52)(cid:23)(cid:204)(cid:75)(cid:76)(cid:97)(cid:98)(cid:38)(cid:33)(cid:3)(cid:99)(cid:41)
(cid:58)(cid:59)(cid:38)(cid:93)(cid:170)(cid:190)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:146)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:177)(cid:178)(cid:129)(1,0)(cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142)A(cid:122)(cid:206)(cid:187)(cid:118)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:114)(cid:165)b=2a(cid:52)(cid:207)(cid:208)(cid:209)(1,0)
(cid:166)(cid:167)(cid:98)(cid:57)(cid:138)(cid:114)(cid:165)a+b+c=0(cid:52)(cid:207)(cid:208)(cid:316)(cid:190)3a+c=0(cid:52)(cid:58)(cid:59)a<0(cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:114)(cid:165)8a+c<0(cid:52)(cid:188)(cid:189)(cid:141)(cid:142)B(cid:122)(cid:207)(cid:208)(cid:118)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y(cid:66)
(cid:69)(cid:131)(cid:111)(cid:109)(cid:66)(cid:114)(cid:165)c>0(cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142)C(cid:122)(cid:58)(cid:59)(cid:38)(cid:93)(cid:114)(cid:165)(cid:120)x<−1(cid:121)(cid:52)y(cid:194)x(cid:33)(cid:195)(cid:169)(cid:189)(cid:195)(cid:169)(cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142)D(cid:41)
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19) (cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=−1(cid:52)(cid:180)(cid:70)A(cid:33)(cid:177)(cid:178)(cid:129)(−3,0)(cid:52)
(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)∵x(cid:66)(cid:33)(cid:146)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:177)(cid:178)(cid:129)(1,0)
∴(cid:62)(cid:137)ax2+bx+c=0(cid:33)(cid:110)(cid:58)(cid:129)x =−3(cid:52)x =1(cid:52)(cid:124)A(cid:111)(cid:123)(cid:122)
1 2
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=−1(cid:52)
∵ b
− =−1
2a
∴
b=2a
∴(cid:209)(1,0)(cid:166)(cid:167)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:114)(cid:52)a+b+c=0
(cid:209)b=2a(cid:166)(cid:167)(cid:114)(cid:52)3a+c=0
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)
∵a<0
∴8a+c=5a<0(cid:52)(cid:124)B(cid:116)(cid:117)(cid:122)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)y(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:111)(cid:109)(cid:66)
∵c>0
∴ac<0(cid:52)(cid:124)C(cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=−1(cid:52)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)
∵(cid:120)x<−1(cid:121)(cid:52)y(cid:194)x(cid:33)(cid:195)(cid:169)(cid:189)(cid:195)(cid:169)
∴(cid:180)(x ,y )(cid:52)(x ,y )(cid:97)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:101)(cid:33)(cid:110)(cid:70)(cid:52)(cid:133)x <x <−1(cid:52)
1 1 2 2 1 2
∵y <y (cid:52)(cid:124)D(cid:111)(cid:123)(cid:41)
1 2
∴(cid:124)(cid:37)(cid:10)B(cid:41)
23(cid:41)(cid:39)2025·(cid:252)(cid:253)·(cid:256)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:40)(cid:49)(cid:24)(cid:52)(cid:47)(cid:48)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(a,b,c(cid:129)(cid:176)(cid:23)(cid:52)(cid:133)a≠0)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=−1(cid:52)(cid:133)(cid:115)
(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:70)A(1,0)(cid:52)(cid:26)y(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)B(cid:107)(0,−2)(cid:52)(0,−3)(cid:31)(cid:32)(cid:39)(cid:147)(cid:317)(cid:318)(cid:70)(cid:40)(cid:52)(cid:152)(cid:132)(cid:134)(cid:75)(cid:135)(cid:10) bc>0(cid:122) 9a−3
a
① ②
b+c=0(cid:122) 2<a<1(cid:122) (cid:180)(cid:62)(cid:137)ax2+bx+c−x−2=0(cid:33)(cid:110)(cid:58)(cid:129)m(cid:52)n(m<n)(cid:52)(cid:53)−3<m<1<n(cid:41)(cid:159)(cid:44)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:144)(cid:23)(cid:129)(cid:39) (cid:40)
3
③ ④
A(cid:41)4 B(cid:41)3 C(cid:41)2 D(cid:41)1
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)B
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:80)(cid:38)(cid:45)(cid:83)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:29)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:29)(cid:52)(cid:58)(cid:26)(cid:29)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:29)(cid:52)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:52)(cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)
(cid:24)(cid:25)(cid:33)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:35)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:35)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:177)(cid:178)(cid:35)(cid:58)(cid:26)(cid:29)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:29)(cid:171)(cid:48)(cid:186)(cid:52)(cid:79)(cid:144)(cid:141)(cid:142)(cid:103)(cid:139)(cid:41)
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10) (cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:101)(cid:52)
a>0(cid:52) ∵
∴(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=−1<0(cid:52)a(cid:35)b(cid:90)(cid:9)(cid:52)
∵b>0(cid:52)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)y(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)B(cid:107)(0,−2)(cid:52)(0,−3)(cid:31)(cid:32)(cid:52)
∵−3<c<−2<0(cid:52)
∴bc<0(cid:52)(cid:124) (cid:147)(cid:111)(cid:123)(cid:122)
a
∴ ①
(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=−1(cid:52)(cid:133)(cid:115)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:70)A(1,0)(cid:52)
∵(cid:26)x(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:146)(cid:34)(cid:70)(−3,0)(cid:52)
∴(cid:120)x=−3(cid:121)(cid:52)y=9a−3b+c=0(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴(cid:118)(cid:38)(cid:93)(cid:139)(cid:114)(cid:52)(cid:62)(cid:137)ax2+bx+c=0(cid:33)②(cid:110)(cid:144)(cid:58)(cid:129)x =1(cid:52)x =−3(cid:52)
1 2
c
(cid:102) x x = (cid:52)(cid:103)c=−3a(cid:52)
1 2 a
∵ ⋅
−3<c<−2(cid:52)
∵−3<−3a<−2(cid:52)
∴ 2
(cid:319)(cid:140) <a<1(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
3
(cid:180)(cid:62)(cid:137)ax2+bx+c ③ −x−2=0(cid:33)(cid:110)(cid:58)(cid:129)m(cid:52)n(m<n)(cid:52)(cid:103)(cid:62)(cid:137)(cid:129)(cid:10)ax2+bx+c=x+2(cid:52)(cid:53)(cid:130)(cid:106)y=x+2(cid:26)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:33)(cid:228)
(cid:177)(cid:178)(cid:129)m(cid:52)n(cid:52)
(cid:130)(cid:106)y=x+2(cid:235)(cid:34)(cid:35)(cid:20)(cid:35)(cid:203)(cid:25)(cid:301)(cid:52)(cid:133)(cid:235)(cid:70)(−2,0)(cid:52)
∵(cid:130)(cid:106)y=x+2(cid:26)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:107)(cid:300)(cid:34)(cid:35)(cid:300)(cid:203)(cid:25)(cid:301)(cid:52)
∴(cid:118)(cid:24)(cid:25)(cid:139)(cid:48)−3<m<1<n(cid:41)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
(cid:172)(cid:101)(cid:50)(cid:173)(cid:52)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:75)(cid:135)(cid:152) ④ (cid:52)(cid:89)3(cid:144)(cid:52)
(cid:124)(cid:37)(cid:10)B(cid:41) ②③④
24(cid:41)(cid:39)2025·(cid:156)(cid:288)(cid:320)(cid:321)·(cid:256)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:40)(cid:49)(cid:24)(cid:52)(cid:47)(cid:48)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:49)(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:159)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x
=1(cid:52)(cid:185)(cid:132)4(cid:144)(cid:75)(cid:135)(cid:10) abc<0(cid:122) 4a+2b+c>0(cid:122) (cid:180)(cid:70)A(m,n)(cid:107)(cid:115)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:101)(cid:52)(cid:133)m>1(cid:52)(cid:53)am+a+b<0(cid:122) 3a+
c>0(cid:41)(cid:159)(cid:44)(cid:111)(cid:123)(cid:75)(cid:135)(cid:152)①(cid:39) (cid:40) ② ③ ④
A(cid:41)1(cid:144) B(cid:41)2(cid:144) C(cid:41)3(cid:144) D(cid:41)4(cid:144)
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)C
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:80)(cid:38)(cid:45)(cid:83)(cid:84)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:243)(cid:145)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:85)(cid:322)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:243)(cid:145)(cid:77)(cid:78)(cid:97)(cid:98)(cid:38)(cid:3)(cid:99)(cid:41)
(cid:230)(cid:96)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:67)(cid:68)(cid:145)(cid:26)y(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:177)(cid:178)(cid:103)(cid:139)(cid:170)(cid:190) (cid:122)(cid:275)x=2(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:230)(cid:96)x=1(cid:121)
① ②(cid:22)(cid:23)(cid:74)(cid:161)(cid:169)(cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:275)x=3(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:41)
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19) (cid:118)(cid:24)(cid:25)(cid:139)(cid:48)③(cid:10)a<0(cid:52)c>0 ④
b
①
− >0
2a
∵
b>0
∴abc<0(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴ (cid:120)x=0(cid:121)(cid:52)①y>0(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=1(cid:52)
②(cid:120)x=2(cid:121)(cid:52)y>0(cid:52)
∴4a+2b+c>0(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴ (cid:120)x=1(cid:121)(cid:52)y(cid:33)②(cid:74)(cid:161)(cid:169)(cid:52)(cid:140)(cid:121)(cid:52)y=a+b+c(cid:52)
③(cid:189)(cid:120)x=m(cid:121)(cid:52)y=am2+bm+c(cid:52)
a+b+c>am2+bm+c(cid:52)
∴am2−a+bm−b<0(cid:52)
∴a(m−1)(m+1)+b(m−1)<0(cid:52)(cid:103)(m−1)(am+a+b)<0(cid:52)
∴m>1(cid:52)
∵m−1>0(cid:52)
∴am+a+b<0(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴ (cid:120)x=−1(cid:121)(cid:52)y< ③ 0(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=− b =1
2a
④
b=−2a
∴(cid:120)x=3(cid:121)(cid:52)y<0(cid:52)
∴9a+3b+c<0(cid:52)
∴3a+c<0(cid:52)(cid:124) (cid:116)(cid:117)(cid:122)
(cid:124)∴ (cid:37)(cid:10)C(cid:41) ④
25(cid:41)(cid:39)2025·(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:231)(cid:231)(cid:232)(cid:233)·(cid:20)(cid:256)(cid:40)(cid:49)(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:33)(cid:221)(cid:56)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:115)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)
(cid:97)(cid:130)(cid:106)x=1(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:70)(cid:33)(cid:290)(cid:177)(cid:178)(cid:97)2(cid:41)(cid:53)(cid:132)(cid:134)(cid:75)(cid:135)(cid:10) 2a+b=0(cid:122) (cid:62)(cid:137)ax2+bx+c=0(cid:34)(cid:92)(cid:152)(cid:34)(cid:144)(cid:58)(cid:107)−2
(cid:145)−1(cid:31)(cid:32)(cid:122) (cid:62)(cid:137)ax2+bx+c−a=0(cid:34)(cid:92)(cid:152)(cid:110)(cid:144)(cid:147)(cid:112)(cid:171)(cid:33)(cid:153)(cid:23)①(cid:58)(cid:122) (cid:70)A(②x ,y )(cid:52)B(x ,y )(cid:107)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:101)(cid:52)(cid:133)x <1<
1 1 2 2 1
③ 8 ④
x (cid:52)(cid:120)x +x >2(cid:121)(cid:52)y >y (cid:122) (cid:22)(cid:23)y(cid:33)(cid:161)(cid:169)(cid:74)(cid:169)(cid:131) (cid:41)(cid:159)(cid:44)(cid:111)(cid:123)(cid:75)(cid:135)(cid:33)(cid:144)(cid:23)(cid:129)(cid:39) (cid:40)
2 1 2 1 2 3
⑤A(cid:41)5(cid:144) B(cid:41)4(cid:144) C(cid:41)3(cid:144) D(cid:41)2(cid:144)
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)B
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:80)(cid:38)(cid:45)(cid:83)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:52)(cid:58)(cid:26)(cid:29)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:29)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:101)(cid:70)(cid:33)(cid:177)(cid:178)(cid:72)
(cid:323)(cid:52)(cid:98)(cid:38)(cid:33)(cid:3)(cid:99)(cid:97)(cid:87)(cid:88)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:145)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:85)(cid:86)(cid:283)(cid:96)(cid:23)(cid:204)(cid:75)(cid:76)(cid:33)(cid:62)(cid:164)(cid:98)(cid:91)(cid:216)(cid:38)(cid:41)(cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:64)(cid:65)
(cid:77)(cid:52)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:171)(cid:324)(cid:141)(cid:142)(cid:75)(cid:135) (cid:52)(cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)(cid:33)(cid:3)(cid:29)(cid:324)(cid:141)(cid:142)(cid:75)(cid:135) (cid:52)(cid:58)(cid:59)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:195)(cid:196)(cid:77)(cid:52)
(cid:22)(cid:23)(cid:74)(cid:141)(cid:142)(cid:75)(cid:135) (cid:103)(cid:139)(cid:41)①② ③
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10) (cid:104)④(cid:105)⑤(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=1(cid:52)
− b =1(cid:52) ∵
2a
∴
b=−2a(cid:52)(cid:103)2a+b=1(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(a≠0①)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=1(cid:52)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:33)(cid:228)(cid:177)(cid:178)(cid:107)2(cid:145)3(cid:31)(cid:32)(cid:52)
∵(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:146)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:33)(cid:228)(cid:177)(cid:178)(cid:107)−1(cid:145)0(cid:31)(cid:32)(cid:52)
∴(cid:62)(cid:137)ax2+bx+c=0(cid:34)(cid:92)(cid:152)(cid:34)(cid:144)(cid:58)(cid:107)−1(cid:145)0(cid:31)(cid:32)(cid:52)(cid:124) (cid:116)(cid:117)(cid:122)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:24)(cid:25)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:70)(cid:33)(cid:290)(cid:177)(cid:178)(cid:97)②2(cid:52)
∵c=2(cid:52)
∴ax2−2ax+2−a=0(cid:52)
∴Δ=(−2a)2−4a×(2−a)=8a2−8a=8a(a−1)(cid:52)
∴(cid:275)Δ=0(cid:52)(cid:114)8a2−8a=8a(a−1)=0(cid:52)
a=0(cid:213)a=1(cid:52)
∴a<0(cid:52)
∵Δ>0(cid:52)
∴(cid:62)(cid:137)ax2+bx+c−a=0(cid:34)(cid:92)(cid:152)(cid:110)(cid:144)(cid:147)(cid:112)(cid:171)(cid:33)(cid:153)(cid:23)(cid:58)(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)(cid:52) ③
∵(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:101)(cid:33)(cid:70)(cid:273)(cid:249)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:250)(cid:251)y(cid:74)(cid:250)(cid:168)(cid:52)(cid:273)(cid:249)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:250)(cid:289)y(cid:74)(cid:250)(cid:169)(cid:52)
∴x +x >2(cid:52)
1 2
∵x >2−x (cid:52)
1 2
∴−x <−2+x (cid:52)
1 2
∴1−x <−2+x +1(cid:52)
1 2
∴1−x <x −1(cid:52)
1 2
∴A(cid:70)(cid:165)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:273)(cid:249)(cid:97)1−x (cid:52)B(cid:70)(cid:165)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:273)(cid:249)(cid:97)x −1(cid:52)
1 2
∵y >y (cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
1 2
(cid:49)∴ (cid:24)(cid:52)(cid:120)x=④3(cid:121)(cid:52)y<0(cid:52)
9a−6a+2<0(cid:52)
∴ 2
−a> (cid:52)
3
∴
8
2−a> (cid:52)
3
∴
8
(cid:120)x=1(cid:121)(cid:52)y =a−2a+2=2−a> (cid:52)
最大 3
8
(cid:22)(cid:23)y(cid:33)(cid:161)(cid:169)(cid:74)(cid:169)(cid:131) (cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:52)
3
∴ (cid:172)(cid:101)(cid:50)(cid:173)(cid:52)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:75)(cid:135)(cid:152)(cid:10)⑤ (cid:52)(cid:89)4(cid:144)(cid:52)
(cid:124)(cid:37)(cid:10)B(cid:41) ①③④⑤
(cid:20)(cid:35)(cid:325)(cid:326)(cid:38)(cid:39)15(cid:38)(cid:40)
26(cid:41)(cid:39)2025·(cid:125)(cid:126)(cid:327)(cid:293)·(cid:203)(cid:256)(cid:40)(cid:47)(cid:48)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:49)(cid:24)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:58)(cid:59)(cid:47)(cid:48)(cid:6)(cid:247)(cid:152)(cid:132)(cid:134)(cid:75)(cid:135)(cid:10) 2a+b
<0(cid:122) a+b>0(cid:122) abc<0(cid:122) b2−2ac>3ab(cid:41)(cid:159)(cid:44)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:97) (cid:41) ①
② ③ ④
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)①(cid:80)(cid:38)②(cid:81)④(cid:82)(cid:45)(cid:83)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:71)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:328)(cid:38)(cid:121)(cid:284)(cid:96)(cid:23)(cid:204)(cid:75)(cid:76)(cid:33)(cid:285)(cid:286)(cid:188)(cid:248)(cid:285)(cid:45)(cid:52)(cid:245)(cid:189)(cid:141)(cid:142)(cid:22)(cid:23)(cid:98)(cid:57)
(cid:138)(cid:44)(cid:27)(cid:29)(cid:23)(cid:3)(cid:29)(cid:33)(cid:111)(cid:108)(cid:77)(cid:97)(cid:98)(cid:38)(cid:33)(cid:3)(cid:99)(cid:41)(cid:118)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:71)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:79)(cid:144)(cid:75)(cid:135)(cid:188)(cid:248)(cid:141)(cid:329)(cid:52)(cid:245)(cid:189)(cid:98)(cid:54)(cid:80)(cid:38)(cid:41)(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10)(cid:118)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:139)(cid:48)(cid:10)a<0(cid:52)
(cid:118)(cid:64)(cid:65)(cid:66)x=− b (cid:33)(cid:67)(cid:68)(cid:52)(cid:139)(cid:48)(cid:10) 1 <− b <1(cid:52)
2a 2 2a
(cid:147)(cid:171)(cid:138)(cid:110)(cid:119)(cid:90)(cid:121)(cid:113)(cid:185)2a(cid:114)(cid:10)a>−b>2a(cid:52)
(cid:139)(cid:114)(cid:10)a+b>0(cid:52)2a+b<0(cid:52)
(cid:75)(cid:135) 2a+b<0(cid:111)(cid:123)(cid:122) a+b>0(cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴(cid:118)a+b>①0(cid:52)a<0(cid:52)(cid:139)(cid:48)(cid:10)②b>0(cid:52)
(cid:118)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)y(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:139)(cid:48)(cid:10)c<0(cid:52)
abc>0(cid:52)
∴(cid:75)(cid:135) (cid:116)(cid:117)(cid:122)
(cid:118)∴ (cid:20)(cid:21)③(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)(cid:33)(cid:330)(cid:29)(cid:114)(cid:52)(cid:3)(cid:131)x(cid:33)(cid:62)(cid:137)ax2+bx+c=0(cid:152)(cid:110)(cid:144)(cid:147)(cid:112)(cid:171)(cid:33)(cid:153)(cid:23)(cid:58)(cid:52)
b2−4ac>0(cid:52)
∴b2−2ac>2ac(cid:52)
∴(cid:118)(cid:101)(cid:139)(cid:48)(cid:52)a<0(cid:52)b>0(cid:52)c<0(cid:52)
b2−2ac>2ac>0(cid:52)3ab<0(cid:52)
∴b2−2ac>0>3ab(cid:52)
∴(cid:75)(cid:135) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
(cid:172)∴ (cid:101)(cid:50)④(cid:173)(cid:10) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
(cid:124)(cid:54)(cid:55)(cid:129)(cid:10)①②④(cid:41)
27(cid:41)(cid:39)2025①·(cid:125)②(cid:126)(cid:331)④(cid:332)·(cid:20)(cid:256)(cid:40)(cid:49)(cid:24)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)x(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:70)A(3,0)(cid:52)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:70)B(cid:52)
(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=1(cid:52)(cid:132)(cid:333)(cid:298)(cid:144)(cid:75)(cid:135)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:224)(cid:9)(cid:129) (cid:41)
abc<0(cid:122) a−b+c=0(cid:122) 3a+2c<0(cid:122) ax2+bx≥a+b(cid:122) −3≤c<0(cid:121)(cid:52)−2≤3a+b+c<0
①(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19) ② ③ ④ ⑤
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)②(cid:140)(cid:38)③(cid:81)④(cid:82)⑤(cid:45)(cid:83)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:29)(cid:23)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:3)(cid:29)(cid:52)(cid:98)(cid:38)(cid:3)(cid:99)(cid:97)(cid:4)(cid:93)(cid:87)(cid:88)(cid:23)(cid:204)(cid:75)(cid:76)(cid:285)(cid:286)(cid:33)(cid:95)(cid:96)(cid:41)(cid:58)(cid:59)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:71)(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:101)(cid:139)(cid:141)(cid:142)(cid:190)a(cid:35)b(cid:35)c(cid:33)(cid:30)(cid:9)(cid:52)(cid:245)(cid:189)(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:230)(cid:96)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:52)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:230)(cid:96)(cid:64)(cid:65)
(cid:66)(cid:145)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:101)(cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142)(cid:161)(cid:168)(cid:74)(cid:52)(cid:245)(cid:189)(cid:141)(cid:142) (cid:33)(cid:111)(cid:117)(cid:122)(cid:118)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)①(cid:77)(cid:78)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:118)a−b②+c=0,2a=−b(cid:316)
(cid:190)a=− 1 c(cid:52)b= 2 c(cid:52)(cid:114)(cid:165)3a+b+c=− 1 c×3+ 2 c+c= 2 c ③(cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:114)(cid:165)−2≤3a+b+c<0(cid:52)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:41)④
3 3 3 3 3
⑤
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10) (cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:101)(cid:52)
a>0(cid:52) ∵
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=1(cid:52)
∵ − b =1(cid:52)
2a
∴
2a=−b(cid:52)
∴b<0(cid:52)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:70)B(cid:107)y(cid:66)(cid:33)(cid:108)(cid:109)(cid:66)(cid:52)
∵c<0(cid:52)
∴abc>0(cid:52)
∴(cid:124)(cid:75)(cid:135) (cid:116)(cid:117)(cid:122)
(cid:20)(cid:21)(cid:22)①(cid:23)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)x(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:70)A(3,0)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=1(cid:52) (cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:146)(cid:34)(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:129)
∵(−1,0)(cid:52) ∴
a−b+c=0(cid:52)
∴(cid:124)(cid:75)(cid:135) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
A 3,0②
∵9a+3b+c=0(cid:52)
∴2a=−b(cid:52)
∵9a+3×(−2a)+c=3a+c=0(cid:52)
∴c<0(cid:52)
∵3a+2c<0(cid:52)
∴(cid:124)(cid:75)(cid:135) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
(cid:64)(cid:65)(cid:66)③(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=1(cid:52)
∵(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:161)(cid:168)(cid:74)(cid:129)y=a+b+c(cid:52)
∴ax2+bx+c≥a+b+c(cid:52)
∴ax2+bx≥a+b(cid:52)
∴(cid:124)(cid:75)(cid:135) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
a−b+c④=0,2a=−b(cid:52)
∵3a+c=0(cid:52)
∴ a=− 1 c(cid:52)
3
∴
b= 2 c(cid:52)
3
∴
3a+b+c=− 1 c×3+ 2 c+c= 2 c(cid:52)
3 3 3
∴
−3≤c<0(cid:52)
∵ −2≤ 2 c<0(cid:52)
3
∴
−2≤3a+b+c<0(cid:52)
(cid:124)∴ (cid:75)(cid:135) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
(cid:172)(cid:101)(cid:50)(cid:173)⑤(cid:52)(cid:75)(cid:135)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:97) (cid:122)
(cid:124)(cid:54)(cid:55)(cid:129)(cid:10) (cid:41)②③④⑤
28(cid:41)(cid:39)2025·②(cid:217)③(cid:218)(cid:219)④(cid:220)⑤·(cid:34)(cid:256)(cid:40)(cid:47)(cid:48)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(cid:39)a(cid:52)b(cid:52)c(cid:334)(cid:129)(cid:176)(cid:23)(cid:52)(cid:133)0<c<a(cid:40)(cid:244)(cid:235)(cid:70)(1,0)(cid:52)(cid:132)(cid:134)(cid:75)(cid:135)(cid:10)
abc<0(cid:122) 2a+b>0(cid:122) (cid:120)x>1(cid:121)y(cid:194)x(cid:33)(cid:195)(cid:169)(cid:189)(cid:195)(cid:169)(cid:122) (cid:3)(cid:131)x(cid:33)(cid:62)(cid:137)ax2+bx+b+c=0(cid:152)(cid:110)(cid:144)(cid:147)(cid:112)(cid:171)(cid:33)(cid:153)(cid:23)
①(cid:58)(cid:41)(cid:159)(cid:44)(cid:111)②(cid:123)(cid:75)(cid:135)(cid:33)(cid:144)③(cid:23)(cid:97) (cid:144)(cid:41) ④
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)4
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:80)(cid:38)(cid:45)(cid:83)(cid:33)(cid:97)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:29)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:29)(cid:35)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)(cid:58)(cid:33)(cid:141)(cid:184)(cid:138)(cid:35)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:52)(cid:85)(cid:227)
(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:195)(cid:196)(cid:77)(cid:185)(cid:71)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)(cid:58)(cid:33)(cid:141)(cid:184)(cid:138)(cid:97)(cid:98)(cid:38)(cid:33)(cid:3)(cid:99)(cid:41)(cid:58)(cid:59)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(cid:244)(cid:235)(cid:70)
(1,0)(cid:35)(cid:75)(cid:76)(cid:38)(cid:93)(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:58)(cid:59)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:77)(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:58)(cid:59)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)(cid:58)(cid:33)(cid:141)(cid:184)(cid:138)(cid:141)(cid:142) (cid:41)
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10) (cid:104)(cid:105)①(cid:106)②y=ax2+bx+c(cid:244)(cid:235)(cid:70)(1,0)(cid:52) ③ ④
a+b+c=0(cid:52) ②∵
∴0<c<a(cid:52)
∵a+b+a>0(cid:52)(cid:103)2a+b>0(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴ a+b+c=0(cid:52)0<c<a(cid:52) ②
①b<∵0(cid:52)
∴abc<0(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴ 2a+b>0①
③∵(cid:64)(cid:65)(cid:66)x=− b <1(cid:52)
2a
∴
(cid:120)x>1(cid:121)(cid:52)y(cid:194)x(cid:33)(cid:195)(cid:169)(cid:189)(cid:195)(cid:169)(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴ a+b+c=0(cid:52) ③
④b+∵c=−a(cid:52)
∴(cid:64)(cid:131)(cid:62)(cid:137)ax2+bx+b+c=0(cid:52)Δ=b2−4×a×(b+c)=b2+4a2>0(cid:52)
(cid:62)(cid:137)ax2+bx+b+c=0(cid:152)(cid:110)(cid:144)(cid:147)(cid:112)(cid:171)(cid:33)(cid:153)(cid:23)(cid:58)(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
(cid:172)∴ (cid:101)(cid:50)(cid:173)(cid:52)(cid:159)(cid:44)(cid:111)(cid:123)(cid:75)(cid:135)(cid:33)(cid:144)(cid:23)(cid:97)4(cid:41) ④
(cid:124)(cid:54)(cid:55)(cid:129)(cid:10)4(cid:41)
1
29(cid:41)(cid:39)2025·(cid:156)(cid:269)(cid:335)(cid:42)·(cid:20)(cid:256)(cid:40)(cid:49)(cid:24)(cid:97)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:24)(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:221)(cid:56)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)x= (cid:52)(cid:133)(cid:244)(cid:235)(cid:70)
2
5 5
(2,0) (cid:41)(cid:185)(cid:132)(cid:241)(cid:164)(cid:10) abc<0(cid:122) −2b+c=0(cid:122) 4a+2b+c=0(cid:122) (cid:180) −
2
,y
1
,
2
,y
2
(cid:97)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:101)(cid:33)(cid:110)(cid:70)(cid:52)(cid:53)y
1
<
y (cid:122) 1b>m(am+b)(cid:39) ① (cid:159)(cid:44)m≠ 1 (cid:40) ② (cid:52)(cid:159)(cid:44)(cid:241)(cid:164)(cid:111) ③ (cid:123)(cid:33)(cid:97) (cid:41) ④
2 4 2
⑤
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)①(cid:80)(cid:38)②(cid:45)③(cid:83)④(cid:84)⑤(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:29)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:29)(cid:10)(cid:20)(cid:21)(cid:28)(cid:29)(cid:23)a(cid:91)(cid:92)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:145)(cid:169)(cid:168)(cid:41)(cid:120)a>0(cid:121)(cid:52)
(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:63)(cid:101)(cid:60)(cid:61)(cid:122)(cid:120)a<0(cid:121)(cid:52)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:63)(cid:132)(cid:60)(cid:61)(cid:122)(cid:34)(cid:21)(cid:28)(cid:29)(cid:23)b(cid:145)(cid:20)(cid:21)(cid:28)(cid:29)(cid:23)a(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:67)(cid:68)(cid:10)(cid:120)a
(cid:26)b(cid:90)(cid:9)(cid:121)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:107)y(cid:66)(cid:264)(cid:122)(cid:120)a(cid:26)b(cid:268)(cid:9)(cid:121)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:107)y(cid:66)(cid:225)(cid:41)(cid:176)(cid:23)(cid:28)c(cid:91)(cid:92)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:70)(cid:10)(cid:104)(cid:105)
(cid:106)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:131)(0,c)(cid:41)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:69)(cid:70)(cid:144)(cid:23)(cid:118)(cid:141)(cid:184)(cid:138)(cid:123)(cid:92)(cid:10)Δ=b2−4ac>0(cid:121)(cid:52)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:152)2(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:122)Δ=b2
−4ac=0(cid:121)(cid:52)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:152)1(cid:144)(cid:69)(cid:70)(cid:122)Δ=b2−4ac<0(cid:121)(cid:52)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:160)(cid:152)(cid:69)(cid:70)(cid:41)
(cid:230)(cid:96)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:114)(cid:165)a<0(cid:52)(cid:230)(cid:96)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:62)(cid:137)(cid:114)(cid:165)b=−a>0(cid:52)(cid:230)(cid:96)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)y(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:107)x(cid:66)(cid:101)(cid:62)
(cid:114)(cid:165)c>0(cid:52)(cid:53)(cid:139)(cid:64) (cid:188)(cid:248)(cid:141)(cid:142)(cid:122)(cid:230)(cid:96)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:244)(cid:235)(cid:70)(2,0)(cid:114)(cid:165)4a+2b+c=0(cid:52)(cid:53)(cid:139)(cid:64) (cid:188)(cid:248)(cid:141)(cid:142)(cid:122)(cid:90)(cid:121)(cid:114)(cid:165)c=−2
① 5 1 5③ 1
a(cid:52)(cid:336)(cid:101)b=−a(cid:52)(cid:53)(cid:139)(cid:64) (cid:188)(cid:248)(cid:141)(cid:142)(cid:122)(cid:337)(cid:235)(cid:338)(cid:339)(cid:70) −
2
,y
1
(cid:165)(cid:130)(cid:106)x=
2
(cid:33)(cid:273)(cid:249)(cid:26)(cid:70)
2
,y
1
(cid:165)(cid:130)(cid:106)x=
2
(cid:33)(cid:273)(cid:249)(cid:33)(cid:169)(cid:168)
② 1
(cid:139)(cid:64) (cid:188)(cid:248)(cid:141)(cid:142)(cid:122)(cid:230)(cid:96)x= (cid:121)(cid:52)(cid:22)(cid:23)(cid:74)(cid:161)(cid:169)(cid:185)(cid:71)b=−a(cid:139)(cid:64) (cid:188)(cid:248)(cid:141)(cid:142)(cid:41)
2
(cid:15)(cid:100)(cid:98)④(cid:19)(cid:98)(cid:10) (cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)(cid:52) ⑤
∵a<0(cid:52)
∴ (cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=− b = 1 (cid:52)
2a 2
∵
b=−a>0(cid:52)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)y(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:107)x(cid:66)(cid:101)(cid:62)(cid:52)
∵c>0(cid:52)
∴abc<0(cid:52)(cid:50)(cid:185) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:244)(cid:235)(cid:70)①(2,0)(cid:52)
∵4a+2b+c=0(cid:52)(cid:50)(cid:185) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴c=−2a(cid:52) ③
∴−2b+c=2a−2a=0(cid:52)(cid:50)(cid:185) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴ 5 1 ② 5 1
(cid:70) − ,y (cid:165)(cid:130)(cid:106)x= (cid:33)(cid:273)(cid:249)(cid:338)(cid:70) ,y (cid:165)(cid:130)(cid:106)x= (cid:33)(cid:273)(cid:249)(cid:169)(cid:52)
2 1 2 2 2 2
∵
y <y (cid:122)(cid:50)(cid:185) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
1 2
∴ (cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)④(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x= 1
2
∵
1
(cid:120)x= (cid:121)(cid:52)(cid:22)(cid:23)(cid:74)(cid:161)(cid:169)(cid:52)
2
∴
1 a+ 1 b+c>am2+bm+c m≠ 1 (cid:52)
4 2 2
∴
b=−a(cid:52)
∵ 1 1
(cid:103) b>m(am+b) m≠ (cid:52)(cid:50)(cid:185) (cid:111)(cid:123)(cid:41)
4 2
(cid:124)(cid:54)(cid:55)(cid:129)(cid:10) (cid:41)⑤
30(cid:41)(cid:39)2025①·(cid:156)②(cid:269)(cid:340)③(cid:128)④·(cid:34)⑤(cid:256)(cid:40)(cid:49)(cid:24)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(cid:24)(cid:243)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:97)(cid:130)(cid:106)x=−1(cid:52)(cid:132)(cid:134)(cid:75)(cid:135)(cid:10) abc<0(cid:122)
3a+c>0(cid:122) am2+b(m+1)≥a(cid:39)m(cid:129)(cid:176)(cid:23)(cid:40)(cid:122) (cid:180)(cid:3)(cid:131)x(cid:33)(cid:62)(cid:137)|ax2+bx+c|−k=0(cid:341)(cid:152)(cid:203)(cid:144)(cid:98)(cid:52)(cid:53)a−①c=k(cid:52)(cid:159)(cid:44)
②(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:97) ③(cid:39)(cid:325)(cid:224)(cid:9)(cid:40)(cid:41) ④(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)①(cid:80)(cid:38)②(cid:45)③(cid:83)④(cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:141)(cid:142)(cid:138)(cid:310)(cid:30)(cid:9)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:23)(cid:30)(cid:9)(cid:41)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)
(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:145)(cid:77)(cid:78)(cid:97)(cid:98)(cid:38)(cid:3)(cid:99)(cid:41)
(cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:145)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:28)(cid:141)(cid:142)(cid:103)(cid:139)(cid:41)
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10)(cid:118)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:139)(cid:48)a>0,c<0(cid:52)
(cid:115)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)x=−1(cid:52)
∵ − b =−1(cid:52)
2a
∴
b=2a>0(cid:52)
∴abc<0(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴(cid:118)(cid:24)(cid:25)(cid:139)(cid:48)(cid:52)①(cid:120)x=1(cid:121)(cid:52)y>0(cid:52)(cid:103)a+b+c>0(cid:41)
b=2a(cid:52)
∵3a+c>0(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
(cid:120)∴ x=−1(cid:121)(cid:52)y②(cid:181)(cid:114)(cid:161)(cid:168)(cid:74)(cid:52)
am2+bm+c≥a−b+c(cid:52)(cid:103)am2+b(m+1)≥a(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
(cid:120)∴ x=−1(cid:121)(cid:52)y=a−b+c(cid:52) ③
(cid:191)(cid:70)(cid:177)(cid:178)(cid:129)(−1,a−b+c)(cid:52)
(cid:58)∴ (cid:59)(cid:38)(cid:93)(cid:114)|ax2+bx+c|=k(cid:52)
(cid:103)(cid:209)y=ax2+bx+c(cid:67)(cid:131)x(cid:66)(cid:132)(cid:62)(cid:33)(cid:24)(cid:243)(cid:63)(cid:101)(cid:342)(cid:343)(cid:52)
(cid:342)(cid:343)(cid:208)(cid:33)(cid:191)(cid:70)(cid:177)(cid:178)(cid:129)(−1,−a+b−c)(cid:52)
∴(cid:180)(cid:3)(cid:131)x(cid:33)(cid:62)(cid:137)|ax2+bx+c|−k=0(cid:341)(cid:152)(cid:203)(cid:144)(cid:98)(cid:52)
∵(cid:103)(cid:22)(cid:23)y=|ax2+bx+c|(cid:26)y=k(cid:341)(cid:152)(cid:203)(cid:144)(cid:98)(cid:52)
∴(cid:103)y=k(cid:341)(cid:344)(cid:244)(cid:235)(cid:63)(cid:101)(cid:342)(cid:343)(cid:208)(cid:33)(cid:24)(cid:243)(cid:33)(cid:191)(cid:70)(cid:52)
k=b−a−c(cid:52)
∴b=2a(cid:52)
∵(cid:166)(cid:167)(cid:114)(cid:165)(cid:52)(cid:53)a−c=k(cid:52)
(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
(cid:172)(cid:101)④(cid:139)(cid:48)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:75)(cid:135)(cid:129) (cid:52)
(cid:124)(cid:54)(cid:55)(cid:129)(cid:10) (cid:41)①②③④
31(cid:41)(cid:39)2025①·(cid:252)②(cid:253)(cid:345)③(cid:346)④·(cid:256)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:40)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(cid:39)a(cid:35)b(cid:35)c(cid:97)(cid:176)(cid:23)(cid:52)a>0(cid:40)(cid:244)(cid:235)(cid:70)(−1,−1)(cid:145)(n,−1)(cid:110)(cid:70)(cid:52)(cid:133)−2<n<−1(cid:41)(cid:185)(cid:132)(cid:125)(cid:144)(cid:75)(cid:135)(cid:10) b>0(cid:122) (cid:180)−2<x<−1(cid:52)(cid:53)a(x+1)2+b(x+1)+c>−1(cid:122) (cid:180)a=1(cid:52)(cid:53)(cid:3)(cid:131)x(cid:33)(cid:34)(cid:136)(cid:20)
(cid:21)(cid:62)(cid:137)ax2+bx+c+1=0(cid:179)(cid:152)(cid:110)(cid:144)①(cid:112)(cid:171)(cid:33)(cid:153)②(cid:23)(cid:58)(cid:122) (cid:70)A(x ,y )(cid:35)B(x ,y )(cid:107)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:101)③(cid:52)(cid:180)x +x <−2(cid:52)x >x (cid:52)(cid:347)
1 1 2 2 1 2 1 2
3 ④
(cid:152)y >y (cid:52)(cid:53)−2<n<− (cid:41)(cid:159)(cid:44)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:97) (cid:39)(cid:325)(cid:237)(cid:224)(cid:9)(cid:40)(cid:41)
1 2 2
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:80)①(cid:38)②(cid:45)(cid:83)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:62)(cid:137)(cid:35)(cid:147)(cid:171)(cid:138)(cid:33)(cid:3)(cid:29)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:58)(cid:59)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(cid:244)(cid:235)(cid:70)
(−1,−1)(cid:145)(n,−1)(cid:110)(cid:70)(cid:114)(cid:165)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=−1 n <0(cid:52)a−b+c=−1(cid:52)(cid:143)(cid:59)(cid:140)(cid:79)(cid:144)(cid:56)(cid:57)(cid:103)(cid:139)(cid:41)
2
+
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10) (cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(cid:39)a(cid:35)b(cid:35)c(cid:97)(cid:176)(cid:23)(cid:52)a>0(cid:40)(cid:244)(cid:235)(cid:70)(−1,−1)(cid:145)(n,−1)(cid:110)(cid:70)(cid:52)(cid:133)−2<n<−1(cid:52)
(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)∵ x=−1 n <0(cid:52)
2
+
∴
− b <0(cid:52)
2a
∴
b>0(cid:52)
∴(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
(cid:104)①(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(cid:39)a(cid:35)b(cid:35)c(cid:97)(cid:176)(cid:23)(cid:52)a>0(cid:40)(cid:244)(cid:235)(cid:70)(−1,−1)(cid:145)(n,−1)(cid:110)(cid:70)(cid:52)(cid:133)−2<n<−1(cid:52)
∵(cid:62)(cid:137)ax2+bx+c=−1(cid:33)(cid:98)(cid:234)(cid:129)x =−1(cid:213)x =n(cid:52)
1 2
∴(cid:147)(cid:171)(cid:138)ax2+bx+c>−1(cid:33)(cid:98)(cid:234)(cid:129)x>−1(cid:213)x<n(cid:52)
∴(cid:147)(cid:171)(cid:138)a(x+1)2+b(x+1)+c>−1(cid:98)(cid:234)(cid:129)x+1>−1(cid:213)x+1<n(cid:52)
∴(cid:98)(cid:114)x>−2(cid:213)x<n−1<−2(cid:52)
(cid:180)−2<x<−1(cid:52)(cid:53)a(x+1)2+b(x+1)+c>−1(cid:122)
∴(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
(cid:104)②(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(cid:244)(cid:235)(cid:70)(−1,−1)(cid:52)
∵a−b+c=−1(cid:52)
∴a=1(cid:52)
∵c=b−1−a=b−2(cid:52)
∴(cid:3)(cid:131)x(cid:33)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)ax2+bx+c+1=0(cid:33)(cid:141)(cid:184)(cid:138)Δ=b2−4a(c+1)=b2−4×1×(b−2+1)=(b−2)2≥0(cid:52)
∴(cid:3)(cid:131)x(cid:33)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)ax2+bx+c+1=0(cid:179)(cid:152)(cid:110)(cid:144)(cid:153)(cid:23)(cid:58)(cid:52)(cid:348)(cid:97)(cid:147)(cid:34)(cid:92)(cid:97)(cid:112)(cid:171)(cid:153)(cid:23)(cid:58)(cid:52)
∴(cid:124) (cid:116)(cid:117)(cid:122)
(cid:104) ③ (cid:105)(cid:106)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=−1 n <0(cid:52)a>0(cid:52)
2
+
∵ y=ax2+bx+c(cid:107)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:225)(cid:119)y(cid:194)x(cid:33)(cid:195)(cid:169)(cid:189)(cid:195)(cid:169)(cid:52)
∴(cid:180)x >x (cid:52)(cid:347)(cid:152)y >y (cid:52)
1 2 1 2
∵x x
1 2(cid:347)(cid:107)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:225)(cid:119)(cid:52)
2
+
∴ −1 n< x 1 x 2(cid:52)
2 2
+ +
∴
x +x <−2(cid:52)
1 2
∵−1 n< x 1 x 2< −2 (cid:52)
2 2 2
+ +
∴
(cid:98)(cid:114)n<−1(cid:52)
−2<n<−1(cid:52)
∵−2<n<−1(cid:52)
∴(cid:124) (cid:116)(cid:117)(cid:122)
(cid:172)④(cid:101)(cid:50)(cid:173)(cid:52)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:152) (cid:52)
(cid:124)(cid:54)(cid:55)(cid:129)(cid:10) (cid:41) ①②
32(cid:41)(cid:39)2025·①(cid:125)(cid:126)②(cid:349)(cid:350)·(cid:34)(cid:256)(cid:40)(cid:49)(cid:24)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)x(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:70)A(−1,0)(cid:52)(cid:26)y(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)B(cid:107)(0,2)
1 5
(cid:26)(0,3)(cid:31)(cid:32)(cid:39)(cid:147)(cid:351)(cid:352)(cid:353)(cid:110)(cid:70)(cid:40)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=2(cid:41)(cid:132)(cid:134)(cid:75)(cid:135)(cid:10) abc<0(cid:122) (cid:180)(cid:70)M ,y (cid:52)(cid:70)N ,y (cid:97)(cid:22)
2 1 2 2
1 ① ②
(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:101)(cid:110)(cid:70)(cid:52)(cid:53)y >y (cid:122) (cid:120)a=− (cid:121)(cid:52)(cid:209)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:187)(cid:63)(cid:101)(cid:354)(cid:265)4(cid:144)(cid:36)(cid:67)(cid:52)(cid:143)(cid:63)(cid:225)(cid:354)(cid:265)1(cid:144)(cid:36)(cid:67)(cid:52)(cid:114)(cid:165)(cid:104)(cid:105)(cid:106)
1 2 2
y=− 1 (x−3)2+13(cid:122) − 3 <a<−
③2
(cid:122) b>am2+bm(m≠2)(cid:41)
2 5 5
(cid:159)(cid:44)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:152) ④ (cid:39)(cid:325)(cid:224)(cid:9)⑤(cid:40)
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)①(cid:58)(cid:59)④(cid:20)⑤(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:33)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:67)(cid:68)(cid:52)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:70)(cid:33)(cid:67)(cid:68)(cid:141)(cid:142) (cid:30)(cid:76)(cid:38)(cid:93)(cid:122)(cid:58)(cid:59)(cid:70)N(cid:177)
3 ①
(cid:178)(cid:145)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:123)(cid:92)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:235)(cid:70) ,y (cid:52)(cid:143)(cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:195)(cid:196)(cid:77)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:147)(cid:30)(cid:76)(cid:38)(cid:93)(cid:122)(cid:355)
2 2
(cid:96)(cid:356)(cid:92)(cid:29)(cid:23)(cid:164)(cid:170)(cid:190)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:98)(cid:57)(cid:138)(cid:52)(cid:143)(cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:354)(cid:265)(cid:357)(cid:358)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:147)(cid:30)(cid:76)(cid:38)(cid:93)(cid:122)②(cid:274)(cid:70)A(cid:177)(cid:178)(cid:145)(cid:70)A
(cid:3)(cid:131)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:64)(cid:65)(cid:33)(cid:70)(cid:33)(cid:177)(cid:178)(cid:166)(cid:167)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:98)(cid:57)(cid:138)(cid:52)(cid:207)(cid:208)(cid:96)a(cid:262)(cid:51)c(cid:52)(cid:143)(cid:58)(cid:59)③(cid:70)C(cid:33)(cid:67)(cid:68)(cid:145)(cid:147)(cid:171)(cid:138)(cid:33)(cid:77)(cid:78)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:30)(cid:76)(cid:38)(cid:93)(cid:122)(cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:161)(cid:74)(cid:114)(cid:165)(cid:147)(cid:171)(cid:138)(cid:52)(cid:143)(cid:58)(cid:59)(cid:147)(cid:171)(cid:138)(cid:33)(cid:77)(cid:78)(cid:145)(cid:171)(cid:359)(cid:166)(cid:360)(cid:285)(cid:286)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:30)(cid:76)
(cid:38)(cid:93)(cid:41)④ ⑤
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10) (cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:63)(cid:132)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:107)y(cid:66)(cid:225)(cid:226)(cid:52)(cid:26)y(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:107)y(cid:66)(cid:33)(cid:111)(cid:109)(cid:66)(cid:52)
a<0(cid:52)− b >0(cid:52) ∵ c>0(cid:41)
2a
∴
b>0(cid:41)
∴abc<0(cid:41)(cid:124) (cid:30)(cid:76)(cid:38)(cid:93)(cid:41)
∴ 5 ①
(cid:70)N ,y (cid:97)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:101)(cid:34)(cid:70)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:97)(cid:130)(cid:106)x=2(cid:52)
2 2
∵
3
(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:244)(cid:235)(cid:70) ,y (cid:41)
2 2
∴(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:63)(cid:132)(cid:52)
∵(cid:120)x≤2(cid:121)(cid:52)y(cid:194)x(cid:33)(cid:195)(cid:169)(cid:189)(cid:195)(cid:169)(cid:41)
∴ 1
M ,y (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:101)(cid:34)(cid:70)(cid:52)
2 1
∵y <y (cid:41)(cid:124) (cid:147)(cid:30)(cid:76)(cid:38)(cid:93)(cid:41)
1 2
∴ 1 ②
a=− (cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:97)(cid:130)(cid:106)x=2(cid:52)
2
∵
(cid:210)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:98)(cid:57)(cid:138)(cid:129)y=− 1 (x−2)2+k(cid:41)
2
∴
(cid:274)(cid:70)A(−1,0)(cid:177)(cid:178)(cid:166)(cid:167)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:98)(cid:57)(cid:138)(cid:114)0=− 1 (−1−2)2+k(cid:41)
2
9
(cid:98)(cid:114)k= (cid:41)
2
(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:98)(cid:57)(cid:138)(cid:129)y=− 1 (x−2)2+ 9 (cid:41)
2 2
∴
(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:187)(cid:63)(cid:101)(cid:354)(cid:265)4(cid:144)(cid:36)(cid:67)(cid:52)(cid:143)(cid:63)(cid:225)(cid:354)(cid:265)1(cid:144)(cid:36)(cid:67)(cid:114)(cid:165)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:129)y=− 1 (x−2−1)2+ 9 +4=− 1 (x−3)2+ 17 (cid:41)(cid:124) (cid:147)
2 2 2 2
(cid:30)∴ (cid:76)(cid:38)(cid:93)(cid:41) ③
(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:235)(cid:70)A(−1,0)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:97)(cid:130)(cid:106)x=2(cid:52)
∵(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:235)(cid:70)(5,0)(cid:41)
∴ 0=a×(−1)2+b×(−1)+c,
(cid:274)(cid:70)A(−1,0)(cid:145)(5,0)(cid:166)(cid:167)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:98)(cid:57)(cid:138)y=ax2+bx+c(cid:44)(cid:114)
0=a×52+b×5+c(cid:41)
b=−4a,
(cid:96)a(cid:324)(cid:262)(cid:51)b(cid:145)c(cid:114)
c=−5a(cid:41)
(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)y(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)B(cid:107)(0,2)(cid:26)(0,3)(cid:31)(cid:32)(cid:39)(cid:147)(cid:351)(cid:352)(cid:353)(cid:110)(cid:70)(cid:40)(cid:52)
∵2<c<3(cid:41)
∴2<−5a<3(cid:41)
∴ − 3 <a<− 2 (cid:41)(cid:124) (cid:30)(cid:76)(cid:38)(cid:93)(cid:41)
5 5
∴ ④
(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:63)(cid:132)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=2(cid:52)
∵(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:107)x=2(cid:121)(cid:181)(cid:114)(cid:161)(cid:169)(cid:74)(cid:41)
∴(cid:120)x=m(m≠2)(cid:121)(cid:52)a×22+b×2+c>am2+bm+c(cid:52)(cid:103)4a+2b+c>am2+bm+c(cid:41)
∴4a+2b>am2+bm(cid:41)
∴b=−4a(cid:52)
∵4a=−b(cid:41)
∴4a+2b=−b+2b=b(cid:41)
∴b>am2+bm(m≠2)(cid:41)(cid:124) (cid:30)(cid:76)(cid:38)(cid:93)(cid:41)
(cid:124)∴ (cid:30)(cid:76)(cid:38)(cid:93)(cid:41)⑤
(cid:124)①(cid:54)(cid:55)④(cid:129)⑤(cid:10) (cid:41)
(cid:15)(cid:70)(cid:215)(cid:19)(cid:80)①(cid:38)(cid:45)④(cid:83)⑤(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:29)(cid:23)(cid:3)(cid:29)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:77)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:195)(cid:196)(cid:77)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:354)
(cid:265)(cid:357)(cid:358)(cid:52)(cid:356)(cid:92)(cid:29)(cid:23)(cid:164)(cid:170)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:98)(cid:57)(cid:138)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:161)(cid:74)(cid:52)(cid:147)(cid:171)(cid:138)(cid:33)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:172)(cid:76)(cid:95)(cid:96)(cid:353)(cid:361)(cid:48)(cid:186)(cid:70)(cid:97)(cid:98)(cid:38)(cid:3)
(cid:99)(cid:41)
33(cid:41)(cid:39)2025·(cid:252)(cid:253)(cid:345)(cid:346)·(cid:256)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:40)(cid:47)(cid:48)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(0<a<c)(cid:244)(cid:235)(cid:300)(cid:125)(cid:25)(cid:301)(cid:70)A(1,m)(cid:52)(cid:132)(cid:134)(cid:125)(cid:144)(cid:75)(cid:135)(cid:10)
b<0(cid:122) b2−4ac≥−4am(cid:122) (cid:180)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:244)(cid:235)(cid:70)B − b ,n (cid:52)(cid:53)m<n(cid:122) m <3(cid:41)(cid:159)(cid:44)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:75)(cid:135)(cid:97) (cid:41)(cid:39)(cid:280)
a b−a
①(cid:325)(cid:224)(cid:9)(cid:40)② ③ ④
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:80)①(cid:38)②(cid:81)③(cid:82)④(cid:45)(cid:83)(cid:84)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:243)(cid:145)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:147)(cid:171)(cid:138)(cid:33)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:58)(cid:59)(cid:70)(cid:50)(cid:107)(cid:25)(cid:301)(cid:139)(cid:114)(cid:190)m<0(cid:52)(cid:118)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)
(cid:33)(cid:24)(cid:243)(cid:145)(cid:77)(cid:78)(cid:114)(cid:190)m=a+b+c(cid:52)(cid:103)b=m−a−c(cid:52)(cid:75)(cid:76)(cid:47)(cid:48)(cid:260)(cid:261)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:52)(cid:274)b2−4ac≥−4am(cid:362)(cid:204)(cid:149)b2+4a(a+b)≥0(cid:103)
2
(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:52) (cid:274)B − b ,n (cid:166)(cid:167)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:98)(cid:57)(cid:114)(cid:190)n=a − b +b − b + ① c=c(cid:52)(cid:75)(cid:76)m=(a+b)+c<c=n(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:52)(cid:230)
a a a
(cid:96)(cid:147)(cid:171)(cid:138)②(cid:33)(cid:77)(cid:78)(cid:103)(cid:139)(cid:114)(cid:190)(cid:141)(cid:142) (cid:41) ③
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10) (cid:70)A(1,m)(cid:107)(cid:300)(cid:125)④(cid:25)(cid:301)(cid:52)
m<0(cid:52) ∵
∴(cid:274)A(1,m)(cid:166)(cid:167)y=ax2+bx+c(cid:52)(cid:103)m=a+b+c(cid:52)
b=m−a−c
0<a<c(cid:52)
∵a+c>0
∴b=m−a−c=<−a−c<0(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:52)
∴b2−4ac≥−4am ①
b2−4ac+4am≥0(cid:52)
∴b2+4a(m−c)≥0(cid:52)
(cid:118)∴ m=a+b+c(cid:139)(cid:114)(cid:190)b2+4a(a+b)≥0(cid:52)
b2+4a2+4ab=(b+2a)2≥0(cid:52)(cid:103)b2−4ac≥−4am(cid:197)(cid:149)(cid:150)(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:52)
∴ b ②
(cid:180)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:244)(cid:235)(cid:70)B − ,n (cid:52)
a
2
n=a − b +b − b +c=c(cid:52)
a a
∴ b<−a−c(cid:52)
∵a+b<−c(cid:52)
∴m=(a+b)+c<c=n(cid:52)(cid:53)m<n(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:52)
∴b<0(cid:52)a>0(cid:52) ③
∵b−a<0(cid:52)
∴ m <3(cid:139)(cid:362)(cid:204)(cid:129)(cid:10)m>3(b−a)(cid:52)
b−a
∴
(cid:103)a+b+c>3b−3a(cid:52)
(cid:211)(cid:212)(cid:114)(cid:10)a+c>2b−3a(cid:52)
b<−a−c(cid:52)
∵a+c>2(−a−c)−3a
∴6a+3c>0(cid:52)(cid:363)(cid:207)(cid:149)(cid:150)(cid:52)(cid:124) (cid:149)(cid:150)(cid:52)
(cid:124)∴ (cid:54)(cid:55)(cid:129)(cid:10) ④
34(cid:41)(cid:39)2025·①(cid:364)②(cid:365)(cid:366)③(cid:367)④·(cid:34)(cid:256)(cid:40)(cid:49)(cid:24)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(a<0)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)x(cid:66)(cid:69)(cid:131)A(−1,0)(cid:35)B(3,0)(cid:110)(cid:70)(cid:52)(cid:26)y
(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:70)C(cid:52)(cid:191)(cid:70)(cid:129)D(cid:52)(cid:53)(cid:132)(cid:134)(cid:75)(cid:135)(cid:10) 2a+b=0(cid:122) 2c=3b(cid:122) (cid:180) ABC(cid:97)(cid:171)(cid:368)(cid:203)(cid:202)(cid:204)(cid:52)a(cid:33)(cid:74)(cid:152)2(cid:144)(cid:122)
2 ① ② ③ △ ④
(cid:120) BCD(cid:97)(cid:130)(cid:202)(cid:203)(cid:202)(cid:204)(cid:121)a= (cid:41)(cid:159)(cid:44)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:97) (cid:41)(cid:39)(cid:280)(cid:369)(cid:325)(cid:237)(cid:224)(cid:9)(cid:40)
2
△(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:118) ① (cid:24) ② (cid:25) ③ (cid:139)(cid:114)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=− b =1(cid:52)(cid:139)(cid:114)b=−2a(cid:52)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:209)(cid:70)A(cid:177)(cid:178)(cid:166)(cid:167)(cid:98)(cid:57)(cid:138)(cid:139)(cid:114)c=−3a(cid:52)(cid:139)
2a
①
(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:118)(cid:171)(cid:368)(cid:203)(cid:202)(cid:204)(cid:33)(cid:77)(cid:78)(cid:145)(cid:110)(cid:70)(cid:273)(cid:249)(cid:7)(cid:138)(cid:52)(cid:139)(cid:170)a(cid:33)(cid:74)(cid:52)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:118)(cid:130)(cid:202)(cid:203)(cid:202)(cid:204)(cid:33)(cid:77)(cid:78)(cid:145)(cid:110)(cid:70)(cid:273)(cid:249)
② 2 ③
(cid:139)(cid:170)a=−1(cid:213)a=− (cid:52)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:170)(cid:98)(cid:41)
2
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10) (cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=a④x2+bx+c(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)x(cid:66)(cid:69)(cid:131)A(−1,0)(cid:35)B(3,0)(cid:110)(cid:70)(cid:52)
(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106) ∵ x=− b =1(cid:52)
2a
∴
b=−2a(cid:52)
∴2a+b=0(cid:52)
∴(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:52)
(cid:120)x①=−1(cid:121)(cid:52)0=a−b+c(cid:52)
a+2a+c=0(cid:52)
∴c=−3a(cid:52)
∴2c=3b(cid:52)
∴(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
(cid:20)②(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2−2ax−3a(a<0)(cid:52)
∵(cid:70)C(0,−3a)(cid:52)
∴BC= 9+9a2(cid:52)AC= 1+9a2(cid:52)
∴(cid:120)BC=AB(cid:121)(cid:52)4= 9+9a2(cid:52)
7
a=− (cid:39)(cid:111)(cid:23)(cid:74)(cid:47)(cid:370)(cid:371)(cid:40)(cid:52)
3
∴(cid:120)AC=BA(cid:121)(cid:52)4= 1+9a2(cid:52)
15
a=− (cid:39)(cid:111)(cid:23)(cid:74)(cid:47)(cid:370)(cid:371)(cid:40)(cid:52)
3
∴(cid:120) ABC(cid:97)(cid:171)(cid:368)(cid:203)(cid:202)(cid:204)(cid:121)(cid:52)a(cid:33)(cid:74)(cid:152)2(cid:144)(cid:52)
∴ △(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
(cid:20)③(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2−2ax−3a=a(x−1)2−4a(cid:52)
∵(cid:191)(cid:70)D(1,−4a)(cid:52)
∴BD2=4+16a2(cid:52)BC2=9+9a2(cid:52)CD2=a2+1(cid:52)
(cid:180)∴ BDC=90°(cid:52)(cid:139)(cid:114)BC2=BD2+CD2(cid:52)
9∠+9a2=4+16a2+a2+1(cid:52)
∴ 2
a=− (cid:52)
2
(cid:180)∴ DCB=90°(cid:52)(cid:139)(cid:114)BD2=CD2+BC2(cid:52)
4∠+16a2=9+9a2+a2+1(cid:52)
∴a=−1(cid:52)
∴ 2
(cid:120) BCD(cid:97)(cid:130)(cid:202)(cid:203)(cid:202)(cid:204)(cid:121)(cid:52)a=−1(cid:213)a=− (cid:52)
2
∴(cid:124) △ (cid:116)(cid:117)(cid:41)
(cid:124)④(cid:54)(cid:55)(cid:129)(cid:10) (cid:41)
(cid:15)(cid:70)(cid:215)(cid:19)(cid:80)①(cid:38)(cid:45)②(cid:83)③(cid:84)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:29)(cid:23)(cid:3)(cid:29)(cid:52)(cid:171)(cid:368)(cid:203)(cid:202)(cid:204)(cid:33)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:130)(cid:202)(cid:203)(cid:202)(cid:204)(cid:33)
(cid:77)(cid:78)(cid:171)(cid:48)(cid:186)(cid:52)(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:96)(cid:353)(cid:361)(cid:77)(cid:78)(cid:188)(cid:248)(cid:316)(cid:212)(cid:97)(cid:80)(cid:38)(cid:33)(cid:3)(cid:99)(cid:41)
35(cid:41)(cid:39)2025·(cid:252)(cid:253)(cid:345)(cid:346)·(cid:256)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:40)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(a,b,c(cid:97)(cid:176)(cid:23)(cid:52)a>0)(cid:244)(cid:235)(−2,0),(m,0)(cid:110)(cid:70)(cid:52)(cid:133)2<m<3(cid:41)
(cid:132)(cid:134)(cid:298)(cid:144)(cid:75)(cid:135)(cid:10)
b<0(cid:122)
①b2−4ac<0(cid:122)
② 1 1
(cid:180)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:244)(cid:235)(cid:70)(−1,−1)(cid:52)(cid:53) <a< (cid:122)
4 3
③(cid:180)(cid:3)(cid:131)x(cid:33)(cid:147)(cid:171)(cid:138)2ax2+2bx<−cx(cid:33)(cid:98)(cid:234)(cid:129)0<x<t(cid:52)(cid:53)2<t<3(cid:122)
④ (cid:70)A(x ,y ),B(x ,y )(cid:107)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:101)(cid:52)(cid:180)x +x > 1 ,x <x (cid:52)(cid:347)(cid:152)y <y (cid:52)(cid:53)2<m≤ 5 (cid:41)
1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2
⑤(cid:159)(cid:44)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:75)(cid:135)(cid:97) (cid:39)(cid:325)(cid:237)(cid:224)(cid:9)(cid:40)(cid:41)
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)①(cid:58)(cid:59)③(cid:104)⑤(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:77)(cid:52)(cid:195)(cid:196)(cid:77)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:110)(cid:299)(cid:262)(cid:51)(cid:62)(cid:164)(cid:52)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)(cid:147)(cid:171)(cid:138)(cid:52)(cid:98)(cid:54)(cid:103)(cid:139).
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10) (cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(a,b,c(cid:97)(cid:176)(cid:23)(cid:52)a>0)(cid:244)(cid:235)(−2,0),(m,0)(cid:110)(cid:70)(cid:52)(cid:133)2<m<3(cid:41)
a>0(cid:52)0<m−2< ∵ 1(cid:52)0< m−2< 1 (cid:52)
2 2
∴− b >0(cid:52)
2a
∴
b<0(cid:122)
∴(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
(cid:104)①(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(a,b,c(cid:97)(cid:176)(cid:23)(cid:52)a>0)(cid:244)(cid:235)(−2,0),(m,0)(cid:110)(cid:70)(cid:52)(cid:133)2<m<3(cid:41)
∵x=−2(cid:52)x=m(cid:97)(cid:62)(cid:137)ax2+bx+c=0(cid:33)(cid:110)(cid:144)(cid:147)(cid:112)(cid:171)(cid:33)(cid:153)(cid:23)(cid:58)(cid:52)
∴b2−4ac>0(cid:122)
∴(cid:124) (cid:116)(cid:117)(cid:122)
(cid:104)②(cid:105)(cid:106)(cid:244)(cid:235)(cid:70)(−1,−1)(cid:52)
∵a−b+c=−1(cid:52)
∴4a−2b+c=0(cid:52)
∵(cid:98)(cid:114)b=3a−1(cid:52)
0< m−2< 1 (cid:52)
2 2
∵
0<− b < 1 (cid:52)
2a 2
∴
0<−b<a(cid:122)
∴0<1−3a<a(cid:122)
∴ 1 1
(cid:98)(cid:114) <a< (cid:52)
4 3
(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
(cid:3)③(cid:131)x(cid:33)(cid:147)(cid:171)(cid:138)2ax2+2bx<−cx(cid:33)(cid:98)(cid:234)(cid:129)0<x<t(cid:52)
∵2ax2+(2b+c)x<0,
∴ 2ax2+(2b+c)x=0(cid:33)(cid:110)(cid:144)(cid:58)(cid:129)x=0,x=− 2b c (cid:52)
2a
+
∴(cid:3)(cid:131)x(cid:33)(cid:147)(cid:171)(cid:138)2ax2+2bx<−cx(cid:33)(cid:98)(cid:234)(cid:129)0<x<t(cid:52)
∵ 2b c
t=− (cid:52)
2a
+
∴ − b = m−2 (cid:52)
2a 2
∵
b=a(2−m)(cid:52)
∴c=2b−4a=−2am(cid:52)
∴t=2m−2(cid:52)
∴t 2
m= (cid:52)
2
+
∴ 2<m<3(cid:52)
∵ t 2
2< <3,
2
+
∴
2<t<4,
∴(cid:124) (cid:116)(cid:117)(cid:122)
(cid:70) ④ A(x ,y ),B(x ,y )(cid:107)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:101)(cid:52)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)− b = m−2 (cid:52)x +x > 1 ,x <x (cid:52)(cid:347)(cid:152)y <y (cid:52)
1 1 2 2 2a 2 1 2 2 1 2 1 2
∵
x 1 x 2> 1 (cid:52)(cid:133) 1 ≥ m−2 (cid:52)
2 4 4 2
+
∴
5
(cid:98)(cid:114)m≤ (cid:52)
2
2<m<3
∵ 5
2<m≤ (cid:41)
2
∴(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:52)
(cid:124)⑤(cid:54)(cid:55)(cid:129)(cid:10) (cid:41)
(cid:15)(cid:70)(cid:215)(cid:19)(cid:80)①(cid:38)(cid:45)③(cid:83)⑤(cid:84)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:77)(cid:52)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)(cid:147)(cid:171)(cid:138)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:110)(cid:299)(cid:262)(cid:51)(cid:62)(cid:164)(cid:52)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:195)(cid:196)(cid:77)(cid:52)(cid:85)(cid:86)
(cid:87)(cid:88)(cid:77)(cid:78)(cid:97)(cid:98)(cid:38)(cid:33)(cid:3)(cid:99).
36(cid:41)(cid:39)24-25(cid:372)(cid:373)(cid:374)(cid:101)·(cid:239)(cid:218)(cid:375)(cid:277)·(cid:376)(cid:377)(cid:40)(cid:49)(cid:24)(cid:52)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(a<0)(cid:26)x(cid:66)(cid:69)(cid:131)A(cid:35)B(cid:110)(cid:70)(cid:52)(cid:26)(cid:66)(cid:33)(cid:111)(cid:109)
(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:70)C(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:97)(cid:130)(cid:106)x=−1(cid:52)(cid:159)(cid:191)(cid:70)(cid:107)(cid:300)(cid:20)(cid:25)(cid:301)(cid:52)(cid:378)(cid:190)(cid:185)(cid:132)(cid:75)(cid:135)(cid:10) abc>0(cid:122) 2a−b=0(cid:122) (cid:180)OA=
1 ① ② ③
OC(cid:52)(cid:53)OB=− (cid:122) (cid:147)(cid:135)m(cid:181)(cid:222)(cid:379)(cid:153)(cid:23)(cid:52)(cid:334)(cid:152)a−b>am2+bm(cid:41)(cid:159)(cid:44)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:152) (cid:41)
a
④
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:80)①(cid:38)②(cid:81)③(cid:82)(cid:45)(cid:83)(cid:84)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:29)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:29)(cid:35)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:243)(cid:101)(cid:70)(cid:33)(cid:177)(cid:178)(cid:72)(cid:323)(cid:71)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:52)(cid:58)
(cid:59)(cid:50)(cid:378)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:243)(cid:52)(cid:114)(cid:190)a(cid:52)b(cid:52)c(cid:33)(cid:30)(cid:9)(cid:52)(cid:143)(cid:75)(cid:76)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:77)(cid:71)(cid:195)(cid:196)(cid:77)(cid:64)(cid:50)(cid:378)(cid:75)(cid:135)(cid:380)(cid:21)(cid:188)(cid:248)(cid:141)(cid:142)(cid:103)(cid:139)(cid:41)(cid:85)
(cid:48)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:243)(cid:26)(cid:77)(cid:78)(cid:97)(cid:98)(cid:38)(cid:33)(cid:3)(cid:99)(cid:41)(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10)(cid:118)(cid:50)(cid:378)(cid:24)(cid:243)(cid:139)(cid:48)(cid:52)
a<0(cid:52)b<0(cid:52)c>0(cid:52)
(cid:50)(cid:185)abc>0(cid:41)
(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:41)
(cid:319)①(cid:129)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=−1(cid:52)
(cid:50)(cid:185)− b =−1(cid:52)
2a
(cid:53)2a−b=0(cid:41)
(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:41)
(cid:319)②(cid:129)(cid:70)C(cid:177)(cid:178)(cid:129)(0,c)(cid:52)
(cid:118)OA=OC(cid:114)(cid:52)OA=c(cid:52)
(cid:50)(cid:185)(cid:70)A(cid:33)(cid:177)(cid:178)(cid:129)(−c,0)(cid:52)
(cid:53)ac2−bc+c=0(cid:52)
(cid:50)(cid:185)ac−b+1=0(cid:41)
(cid:319)(cid:129)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=−1(cid:52)(cid:133)(cid:70)A(cid:177)(cid:178)(cid:129)(−c,0)(cid:52)
(cid:50)(cid:185)(cid:70)B(cid:33)(cid:177)(cid:178)(cid:129)(c−2,0)(cid:41)
(cid:118)ac−b+1=0(cid:114)(cid:52)
c= b−1= 2a−1=2− 1 (cid:52)
a a a
(cid:50)(cid:185)OB=c−2=2− 1 −2=− 1 (cid:41)
a a
(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:41)
(cid:319)③(cid:129)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=−1(cid:52)(cid:133)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)(cid:52)
(cid:50)(cid:185)(cid:120)x=−1(cid:121)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:152)(cid:161)(cid:169)(cid:74)a−b+c(cid:52)
(cid:103)(cid:64)(cid:131)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:101)(cid:33)(cid:222)(cid:93)(cid:34)(cid:70)(cid:39)(cid:228)(cid:177)(cid:178)(cid:129)m)(cid:52)(cid:347)(cid:152)a−b+c≥am2+bm+c(cid:52)(cid:103)a−b≥am2+bm(cid:41)
(cid:124) (cid:116)(cid:117)(cid:41)
(cid:124)④(cid:54)(cid:55)(cid:129)(cid:10) (cid:41)
①②③
37(cid:41)(cid:39)2025·(cid:252)(cid:253)(cid:345)(cid:346)·(cid:256)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:40)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(cid:39)a(cid:52)b(cid:52)c(cid:97)(cid:176)(cid:23)(cid:52)a>0(cid:40)(cid:244)(cid:235) 0(cid:52)−3 (cid:52) m(cid:52)−3 (cid:110)(cid:70)(cid:52)
(cid:133)1<m<2(cid:52)(cid:132)(cid:134)(cid:125)(cid:144)(cid:75)(cid:135)(cid:10)
b<0(cid:122)
①(cid:180)a=1(cid:52)(cid:53)(cid:3)(cid:131)x(cid:33)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)ax2+bx+c=−4(cid:160)(cid:152)(cid:153)(cid:23)(cid:98)(cid:122)
②(cid:70)(x ,y )(cid:52)(x ,y )(cid:107)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:101)y=ax2+(a+b)x+b(cid:101)(cid:52)(cid:180)x +x >1(cid:52)x >x (cid:52)(cid:347)(cid:152)y <y (cid:122)
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
③(cid:180)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:191)(cid:70)(cid:33)(cid:381)(cid:382)(cid:101)(cid:152)(cid:110)(cid:70)(p,k)(cid:52)(q,k−1)(cid:52)(cid:53)(cid:3)(cid:131)x(cid:33)(cid:62)(cid:137)px2−qx+k=0(cid:33)(cid:110)(cid:58)(cid:31)(cid:145)(cid:169)(cid:131)1(cid:41)
④(cid:159)(cid:44)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:97) (cid:39)(cid:325)(cid:237)(cid:224)(cid:9)(cid:40)(cid:41)
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)
①②④
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:58)(cid:59)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(cid:39)a(cid:52)b(cid:52)c(cid:97)(cid:176)(cid:23)(cid:52)a>0(cid:40)(cid:244)(cid:235) 0(cid:52)−3 (cid:52) m(cid:52)−3 (cid:110)(cid:70)(cid:52)(cid:114)(cid:190)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)
(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)(cid:10)x=− b = 0 m = m (cid:52)(cid:58)(cid:59)1<m<2(cid:52)(cid:114)(cid:190)b<0(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:58)(cid:59)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(cid:39)a(cid:52)b(cid:52)c(cid:97)(cid:176)(cid:23)(cid:52)a>0(cid:40)
2a 2 2
+
①
(cid:244)(cid:235) 0(cid:52)−3 (cid:52)(cid:114)(cid:190)c=−3(cid:52)(cid:58)(cid:59)− b = m (cid:52)a=1(cid:52)(cid:114)(cid:190)b=−m(cid:52)(cid:170)(cid:190)−2<b<−1(cid:52)(cid:114)(cid:190)Δ=b2−4<0(cid:52)(cid:241)(cid:383)(cid:3)(cid:131)x(cid:33)(cid:34)(cid:136)
2a 2
(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)ax2+bx+c=−4(cid:160)(cid:152)(cid:153)(cid:23)(cid:98)(cid:52)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:52)(cid:58)(cid:59)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+(a+b)x+b(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:10)(cid:130)(cid:106)x=− a b =− 1 − b =−
2a 2 2a
+
②
1 + m (cid:52)(cid:210)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=t(cid:52)(cid:114)(cid:190)0<t< 1 (cid:52)(cid:58)(cid:59)(cid:70)(x ,y )(cid:52)(x ,y )(cid:107)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:101)y=ax2+(a+b)x+b(cid:101)(cid:52)x +x
2 2 2 1 1 2 2 1 2
>1(cid:52)x >x (cid:52)a>0(cid:52)(cid:56)(cid:203)(cid:299)(cid:192)(cid:193)(cid:10)(cid:120)(cid:70)(x ,y )(cid:52)(x ,y )(cid:223)(cid:107)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:225)(cid:226)(cid:121)(cid:52)(cid:120)(cid:70)(x ,y )(cid:52)(x ,y )(cid:107)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:110)(cid:226)
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
1
(cid:121)(cid:52)(cid:70)(x ,y )(cid:107)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:264)(cid:226)(cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:187)(cid:170)(cid:190)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:191)(cid:70)(cid:177)(cid:178)(cid:107)(cid:22)(cid:23)y=−ax2−3 <x<1 (cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:101)(cid:52)
2 2 2
③
1
(cid:58)(cid:59)a>0(cid:52)(cid:114)(cid:190)−a<0(cid:52)(cid:58)(cid:59)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=−ax2−3 <x<1 (cid:33)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=0(cid:52)(cid:114)(cid:190)(cid:107)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:225)(cid:226)y
2
(cid:194)x(cid:33)(cid:195)(cid:169)(cid:189)(cid:196)(cid:168)(cid:52)(cid:58)(cid:59)(cid:58)(cid:26)(cid:29)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:29)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:41)
④
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10) (cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(cid:39)a(cid:52)b(cid:52)c(cid:97)(cid:176)(cid:23)(cid:52)a>0(cid:40)(cid:244)(cid:235) 0(cid:52)−3 (cid:52) m(cid:52)−3 (cid:110)(cid:70)(cid:52)(cid:133)1<m<2(cid:52)
(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65) ∵ (cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)(cid:10)x=− b = 0 m = m (cid:52)
2a 2 2
+
∴
1<m<2(cid:52)
∵1< m <1(cid:52)(cid:103)− b >0(cid:52)
2 2 2a
∴
a>0(cid:52)
∵b<0(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴ ①
(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(cid:39)a(cid:52)b(cid:52)c(cid:97)(cid:176)(cid:23)(cid:52)a>0(cid:40)(cid:244)(cid:235) 0(cid:52)−3 (cid:52)
∵c=−3(cid:52)
∴ − b = m (cid:52)a=1(cid:52)
2a 2
∵
− b = m (cid:52)
2 2
∴
b=−m(cid:52)
∴1<m<2(cid:52)
∵−2<b<−1(cid:52)
∴(cid:120)a=1(cid:121)(cid:52)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)ax2+bx+c=−4(cid:129)x2+bx−3=−4(cid:52)
(cid:211)(cid:212)(cid:114)(cid:10)x2+bx+1=0(cid:52)
Δ=b2−4<0(cid:52)
∵(cid:3)(cid:131)x(cid:33)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)ax2+bx+c=−4(cid:160)(cid:152)(cid:153)(cid:23)(cid:98)(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+(a+b)x+b(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:10) ②
(cid:130)(cid:106)x=− a b =− 1 − b =− 1 + m (cid:52)
2a 2 2a 2 2
+
1< m <1(cid:52)
2 2
∵
0<− 1 + m < 1 (cid:52)
2 2 2
∴
(cid:210)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=t(cid:52)
1
0<t< (cid:52)
2
∴(cid:70)(x ,y )(cid:52)(x ,y )(cid:107)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:101)y=ax2+(a+b)x+b(cid:101)(cid:52)x +x >1(cid:52)x >x (cid:52)a>0(cid:52)
1 1 2 2 1 2 1 2
∵(cid:120)(cid:70)(x ,y )(cid:52)(x ,y )(cid:223)(cid:107)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:225)(cid:226)(cid:121)(cid:52)y >y (cid:52)
1 1 2 2 1 2
∴(cid:120)(cid:70)(x ,y )(cid:52)(x ,y )(cid:107)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:110)(cid:226)(cid:121)(cid:52)(cid:70)(x ,y )(cid:3)(cid:131)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:70)(cid:129)(2t−x ,y )(cid:52)
1 1 2 2 2 2 2 2
x −(2t−x )=x +x −2t>1−2t>0(cid:52)
1 2 1 2
∵x >2t−x (cid:52)
1 2
∴y >y (cid:52)
1 2
∴ 1
x +x >1(cid:52)0<t< (cid:52)
1 2 2
∵(cid:70)(x ,y )(cid:147)(cid:139)(cid:148)(cid:223)(cid:107)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:264)(cid:226)(cid:52)
2 2
∴(cid:172)(cid:101)(cid:56)(cid:57)(cid:139)(cid:48)(cid:10)(cid:70)(x ,y )(cid:52)(x ,y )(cid:107)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:101)y=ax2+(a+b)x+b(cid:101)(cid:52)x +x >1(cid:52)x >x (cid:121)(cid:52)y >y (cid:52)(cid:124) (cid:116)(cid:117)(cid:122)
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
③
(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(cid:39)a(cid:52)b(cid:52)c(cid:97)(cid:176)(cid:23)(cid:52)a>0(cid:40)(cid:244)(cid:235) 0(cid:52)−3 (cid:52) m(cid:52)−3 (cid:110)(cid:70)(cid:52)
∵ (cid:191)(cid:70)(cid:177)(cid:178)(cid:33)(cid:228)(cid:177)(cid:178)(cid:129)x=− b = m (cid:52)c=−3(cid:52)
2a 2
∴
(cid:191)(cid:70)(cid:177)(cid:178)(cid:33)(cid:290)(cid:177)(cid:178)(cid:129)y=
4ac−b2
=c−
b2
=−3−
b2
(cid:52)
4a 4a 4a
b=−am(cid:52)
∴1<m<2(cid:52)
∵1< m <1(cid:52)
2 2
∴1
(cid:191)(cid:70)(cid:177)(cid:178)(cid:33)(cid:228)(cid:177)(cid:178) <x<1(cid:52)
2
∴
(cid:274)b=−am(cid:166)(cid:167)(cid:191)(cid:70)(cid:177)(cid:178)(cid:33)(cid:290)(cid:177)(cid:178)y=−3−
b2
=−3−
(−am)2
=−3−
am2
(cid:52)
4a 4a 4
(cid:191)(cid:70)(cid:177)(cid:178)(cid:33)(cid:228)(cid:177)(cid:178)(cid:129)x=− b = m (cid:52)
2a 2
∵
m=2x(cid:52)
∴ (cid:274)m=2x(cid:166)(cid:167)y=−3− am2 (cid:114)(cid:10)y=−3− a(2x)2 =−ax2−3(cid:52)
4 4
⋅
1
(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:191)(cid:70)(cid:177)(cid:178)(cid:107)(cid:22)(cid:23)y=−ax2−3 <x<1 (cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:101)(cid:52)
2
∴a>0(cid:52)
∵−a<0(cid:52)
∴ 1
(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=−ax2−3 <x<1 (cid:33)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x=0(cid:52)
2
∴(cid:107)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:225)(cid:226)y(cid:194)x(cid:33)(cid:195)(cid:169)(cid:189)(cid:196)(cid:168)(cid:52)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:191)(cid:70)(cid:33)(cid:381)(cid:382)(cid:101)(cid:152)(cid:110)(cid:70)(p,k)(cid:52)(q,k−1)(cid:52)
∵p>0(cid:52)q>0(cid:52)p<q(cid:52)
∴q>1(cid:52)
p
∴
q
(cid:3)(cid:131)x(cid:33)(cid:62)(cid:137)px2−qx+k=0(cid:33)(cid:110)(cid:58)(cid:31)(cid:145) >1(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:41)
p
∴ ④
(cid:172)(cid:101)(cid:50)(cid:173)(cid:52) (cid:111)(cid:123)(cid:41)
(cid:124)(cid:54)(cid:55)(cid:129)(cid:10)①②④(cid:41)
(cid:15)(cid:70)(cid:215)(cid:19)(cid:80)①(cid:38)(cid:81)②(cid:82)④(cid:45)(cid:83)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:29)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:29)(cid:52)(cid:98)(cid:38)(cid:3)(cid:99)(cid:97)(cid:87)(cid:88)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:87)(cid:88)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:62)
(cid:137)(cid:71)(cid:147)(cid:171)(cid:138)(cid:33)(cid:3)(cid:29)(cid:41)
38(cid:41)(cid:39)24-25(cid:372)(cid:373)(cid:374)(cid:101)·(cid:253)(cid:384)(cid:288)(cid:385)·(cid:376)(cid:377)(cid:40)(cid:49)(cid:24)(cid:52)(cid:107)(cid:354)(cid:333)(cid:130)(cid:202)(cid:177)(cid:178)(cid:29)xOy(cid:44)(cid:52)(cid:47)(cid:48)(cid:70)M(m,0)(cid:52)N(n,0)(cid:52)(cid:159)(cid:44)m+n
=−2(cid:52)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(a>0)(cid:244)(cid:235)(cid:70)M(cid:145)N(cid:52)(cid:185)(cid:132)(cid:125)(cid:144)(cid:75)(cid:135)(cid:10)
abc>0(cid:122) 3a+c>0(cid:122) (cid:3)(cid:131)x(cid:33)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)ax2+bx+2c=0(cid:270)(cid:153)(cid:58)(cid:122) (cid:70)(x ,y )(cid:52)(x ,y )(cid:107)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:101)(cid:133)(cid:107)(cid:64)
1 1 2 2
① ② ③ ④3
(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:90)(cid:226)(cid:52)(cid:120)|x −x |=2(cid:121)(cid:52)(cid:347)(cid:152)|y −y |≥3(cid:121)(cid:52)(cid:53)a≥ (cid:41)(cid:159)(cid:44)(cid:50)(cid:152)(cid:111)(cid:123)(cid:75)(cid:135)(cid:33)(cid:224)(cid:9)(cid:97) (cid:41)
1 2 1 2 4
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)②(cid:80)(cid:38)④(cid:81)(cid:82)(cid:45)(cid:83)(cid:84)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:101)(cid:70)(cid:33)(cid:177)(cid:178)(cid:33)(cid:72)(cid:323)(cid:52)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:52)(cid:23)(cid:204)(cid:75)(cid:76)(cid:164)(cid:52)(cid:104)(cid:105)
(cid:106)(cid:26)x(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:52)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)(cid:33)(cid:330)(cid:29)(cid:52)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)(cid:33)(cid:58)(cid:33)(cid:141)(cid:184)(cid:138)(cid:52)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:77)(cid:78)
(cid:145)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)(cid:33)(cid:330)(cid:29)(cid:97)(cid:98)(cid:38)(cid:33)(cid:3)(cid:99)(cid:41)
(cid:58)(cid:59)(cid:38)(cid:44)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(cid:33)(cid:24)(cid:243)(a>0)(cid:141)(cid:142)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:52)x=− b = 1 (m+n)=−1(cid:52)(cid:185)(cid:71)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)y(cid:66)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:52)
2a 2
①
(cid:139)(cid:141)(cid:142)a(cid:52)b(cid:52)c(cid:33)(cid:30)(cid:9)(cid:52)(cid:188)(cid:189)(cid:139)(cid:141)(cid:142)(cid:122)
(cid:118)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:48)(cid:10)(cid:120)x=1(cid:121)(cid:52)y=a+b+c>0(cid:52)3y=3a+3b+3c>0(cid:122)(cid:120)x=−3(cid:121)(cid:52)y=9a−3b+c>0(cid:52)(cid:110)
②(cid:138)(cid:112)(cid:336)(cid:52)(cid:158)(cid:238)(cid:139)(cid:114)
(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)ax2+bx+2c=0(cid:33)(cid:141)(cid:184)(cid:138)Δ =b2−4a×2c=b2−8ac(cid:52)(cid:75)(cid:76)a(cid:52)b(cid:52)c(cid:33)(cid:3)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:9)(cid:52)(cid:188)(cid:189)(cid:139)(cid:141)(cid:142)(cid:122)
③(cid:210)x >x (cid:52)(cid:133)x ,x (cid:107)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:225)(cid:226)(cid:39)(cid:107)(cid:264)(cid:226)(cid:90)(cid:212)(cid:40)(cid:52)(cid:53)x =x +2(cid:52)
1 2 1 2 1 2
y④−y =a(x2−x2)+b(x −x )=4ax +4a+2b(cid:52)(cid:75)(cid:76)a(cid:52)b(cid:52)c(cid:33)(cid:3)(cid:29)(cid:26)(cid:30)(cid:9)(cid:52)(cid:188)(cid:189)(cid:139)(cid:141)(cid:142)(cid:41)
1 2 1 2 1 2 2
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:337)(cid:235)(cid:386)(cid:24)(cid:10)
(cid:319)(cid:129)a>0(cid:52)(cid:50)(cid:185)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:101)(cid:52)
① (cid:64)(cid:65)(cid:66)x=− b (cid:52)(cid:118)(cid:131)m+n=−2(cid:52)(cid:103)(cid:64)(cid:65)(cid:66)x=− b = m n =−1(cid:52)
2a 2a 2
+
(cid:139)(cid:114)b=2a>0(cid:52)
(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)y(cid:66)(cid:69)(cid:131)(cid:108)(cid:109)(cid:66)(cid:52)(cid:50)(cid:185)c<0(cid:52)
(cid:172)(cid:101)(cid:52)abc<0(cid:52)(cid:75)(cid:135) (cid:116)(cid:117)(cid:122)
(cid:10) (cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax①2+bx+c(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)x(cid:66)(cid:69)(cid:131)N(n,0)(cid:118)(cid:24)(cid:139)(cid:48)0<n<1(cid:52)
②(cid:102) m+n=−2(cid:52)
∵−3<m<−2(cid:52)
∴(cid:118)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)y=ax2+bx+c(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:139)(cid:48)(cid:10)
(cid:120)x=1(cid:121)(cid:52)y=a+b+c>0 3y=3a+3b+3c>0(cid:52)
(cid:120)x=−3(cid:121)(cid:52)y=9a−3b+c>0(cid:52)
(cid:110)(cid:138)(cid:112)(cid:336)(cid:52)(cid:158)(cid:238)(cid:139)(cid:114)3a+c>0(cid:52)(cid:75)(cid:135) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
(cid:34)(cid:136)(cid:20)(cid:21)(cid:62)(cid:137)ax2+bx+2c=0(cid:33)(cid:141)(cid:184)②(cid:138)Δ =b2−4a×2c=b2−8ac(cid:52)
(cid:319)③(cid:129)b=2a(cid:52)(cid:50)(cid:185)Δ=4a2−8ac=4(a−2c)(cid:52)
(cid:118)c<0,a>0(cid:52)(cid:139)(cid:114)a−2c>0(cid:52)(cid:50)(cid:185)Δ= 4a(a−2c)>0(cid:52)(cid:62)(cid:137)(cid:152)(cid:110)(cid:144)(cid:147)(cid:112)(cid:171)(cid:33)(cid:153)(cid:58)(cid:52)
(cid:75)(cid:135) (cid:116)(cid:117)(cid:122)
(cid:210)③x >x (cid:52)(cid:133)x ,x (cid:107)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:225)(cid:226)(cid:39)(cid:107)(cid:264)(cid:226)(cid:90)(cid:212)(cid:40)(cid:52)
1 2 1 2
(cid:53)④x =x +2(cid:52)
1 2
y −y =a(x2−x2)+b(x −x )(cid:52)
1 2 1 2 1 2
=a[(x +2)2−x2]+b×2(cid:52)
2 2
=a(x2+4x +4−x2)+2b(cid:52)
2 2 2
=4ax +4a+2b(cid:52)
2
b=2a(cid:52)
∵ y −y =4ax +4a+4a =4ax +8a(cid:52)
1 2 2 2
∴ x ≥−1(cid:39)(cid:107)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:225)(cid:226)(cid:40)(cid:52)
2
∵ 4ax + 8a≥4a×(−1)+8a=4a(cid:52)
2
∴(cid:102) |y −y |≥3(cid:52)
1 2
∵4a≥3(cid:52)
∴ 3
(cid:103)a≥ (cid:52)(cid:75)(cid:135) (cid:111)(cid:123)(cid:41)
4
(cid:172)(cid:101)(cid:52)(cid:111)(cid:123)(cid:75)④(cid:135)(cid:33)(cid:224)(cid:9)(cid:97)(cid:10) (cid:41)
39(cid:41)(cid:39)2025·(cid:252)(cid:253)(cid:345)(cid:346)·(cid:34)(cid:256)(cid:40)②(cid:60)④(cid:61)(cid:63)(cid:132)(cid:33)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(cid:244)(cid:235)(cid:70)A(1,0)(cid:52)B(m,0)(cid:52)(cid:133)−2<m<−1(cid:41)(cid:132)(cid:134)(cid:75)(cid:135)(cid:10)
1
b>0(cid:122) 2a+c<0(cid:122) (cid:47)(cid:48)(cid:70)P(x ,y )(cid:52)Q(x ,y )(cid:107)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:101)(cid:52)(cid:180)x <x <− (cid:52)(cid:53)y >y (cid:122) (cid:180)(cid:62)(cid:137)a(x−m)(x−1)
1 1 2 2 1 2 2 1 2
① =1(cid:152)(cid:110)(cid:144)②(cid:147)(cid:112)(cid:171)(cid:33)(cid:153)③(cid:23)(cid:58)(cid:52)(cid:53)4ac−b2<4a(cid:41)(cid:159)(cid:44)(cid:111)(cid:123)(cid:75)(cid:135)(cid:33)(cid:224)(cid:9)(cid:97) (cid:41) ④
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19) /
②④④② 1 m
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)(cid:80)(cid:38)(cid:45)(cid:83)(cid:84)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:145)(cid:77)(cid:78)(cid:52)(cid:118)(cid:38)(cid:93)(cid:139)(cid:114)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x= (cid:52)(cid:188)(cid:189)(cid:118)−2<m<−1(cid:114)
2
+
− b <0(cid:52)(cid:114)(cid:165) b >0(cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:118)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:244)(cid:235)(cid:70)A(1,0)(cid:52)(cid:114)a+b+c=0(cid:52)(cid:114)c=−a−b(cid:52)(cid:103)(cid:114)2a+c=2a−a−b=a−b(cid:52)
2a 2a
①(cid:102)(cid:118)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:114)− b >− 1 (cid:52)(cid:139)(cid:114)b>a(cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:114)2a+c=a−b<0(cid:52)(cid:103)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:230)(cid:96)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:77)(cid:78)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:118)(cid:62)
2a 2
(cid:137)a(x−m)(x−1)=1(cid:152)(cid:110)(cid:144)(cid:147)(cid:112)(cid:171)(cid:33)(cid:153)(cid:23)(cid:58)(cid:52)(cid:139)(cid:114)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+ ② c−1(cid:26)x(cid:66)(cid:152)(cid:110)(cid:144)(cid:147)(cid:90)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:52)(cid:58)(cid:59) ③ (cid:58)(cid:33)(cid:141)(cid:184)
(cid:138)(cid:139)(cid:141)(cid:142) (cid:122)(cid:172)(cid:101)(cid:103)(cid:139)(cid:170)(cid:98)(cid:52)(cid:87)(cid:88)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:145)(cid:77)(cid:78)(cid:97)(cid:98)(cid:38)(cid:33)(cid:3)(cid:99)(cid:41)
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)④(cid:98)(cid:10) (cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(cid:244)(cid:235)(cid:70)A(1,0)(cid:52)B(m,0)(cid:52)
∵ 1 m
(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)x= (cid:52)
2
+
∴ −2<m<−1(cid:52)
∵1 m<0(cid:52)(cid:103)− b <0(cid:52)
2 2a
+
∴
b>0(cid:52)
2a
∴
(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)(cid:52)
∵a<0(cid:52)
∴b<0(cid:52)(cid:124) (cid:116)(cid:117)(cid:122)
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:244)①(cid:235)(cid:70)A(1,0)(cid:52)
∵ a+b+c=0(cid:52)
∴c=−a−b(cid:52)
∴2a+c=2a−a−b=a−b(cid:52)
∴−2<m<−1(cid:52)
∵1 m>− 1 (cid:52)
2 2
+
∴
(cid:103)− b >− 1 (cid:52)
2a 2
b<1(cid:52)
a
∴
b>a(cid:52)
∴2a+c=a−b<0(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
∴ (cid:64)(cid:65)(cid:66)x=− b >− 1 (cid:52) ② (cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:60)(cid:61)(cid:63)(cid:132)(cid:52)
2a 2
∵
1
(cid:120)x<− (cid:121)(cid:52)y(cid:194)x(cid:33)(cid:195)(cid:169)(cid:189)(cid:195)(cid:169)(cid:52)
2
∴
1
x <x <− (cid:52)
1 2 2
∵ y <y (cid:52)(cid:124) (cid:116)(cid:117)(cid:122)
1 2
∴(cid:62)(cid:137)a(x−m③)(x−1)=1(cid:152)(cid:110)(cid:144)(cid:147)(cid:112)(cid:171)(cid:33)(cid:153)(cid:23)(cid:58)(cid:52)
∵(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=a(x−m)(x−1)−1(cid:26)x(cid:66)(cid:152)(cid:110)(cid:144)(cid:147)(cid:90)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:52)
∴(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c−1(cid:26)x(cid:66)(cid:152)(cid:110)(cid:144)(cid:147)(cid:90)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:52)
Δ=b2−4×a×(c−1)=b2−4ac+4a>0(cid:52)
∴4ac−b2<4a(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
(cid:172)∴ (cid:101)(cid:52)(cid:111)(cid:123)(cid:75)(cid:135)(cid:33)④(cid:97) (cid:52)
(cid:124)(cid:54)(cid:55)(cid:129)(cid:10) (cid:41) ②④
40(cid:41)(cid:39)24-25②(cid:372)④(cid:373)(cid:374)(cid:101)·(cid:252)(cid:253)(cid:345)(cid:346)·(cid:376)(cid:44)(cid:40)(cid:47)(cid:48)(cid:104)(cid:105)(cid:106)y=ax2+bx+c(cid:39)a,b,c(cid:129)(cid:176)(cid:23)(cid:52)a<0(cid:40)(cid:244)(cid:235)(cid:70)(m,0)(cid:52)m>0(cid:52)(cid:133)
4a−2b+c=0(cid:52)(cid:53)(cid:132)(cid:134)(cid:125)(cid:144)(cid:75)(cid:135)(cid:10) c>0(cid:122) b−3a>0(cid:122) (cid:180)(cid:62)(cid:137)ax2+bx+c=b(cid:152)(cid:110)(cid:144)(cid:147)(cid:112)(cid:171)(cid:33)(cid:153)(cid:23)(cid:58)x ,x (cid:39)(cid:133)
1 2
① ② ③ 3
x <x (cid:40)(cid:52)(cid:53)x <m(cid:122) (cid:180)0<m<2(cid:52)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:235)(cid:70)(0,1)(cid:52)(cid:133)s=a+b+c(cid:52)(cid:53)s< (cid:41)(cid:159)(cid:44)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:75)(cid:135)(cid:97) (cid:39)(cid:325)(cid:224)
1 2 2 4
(cid:9)(cid:40)(cid:41) ④
(cid:15)(cid:54)(cid:55)(cid:19)
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:19)①(cid:80)(cid:38)②(cid:45)④(cid:83)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:9)(cid:141)(cid:142)(cid:52)(cid:58)(cid:59)4a−2b+c=0(cid:114)(cid:165)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:235)(−2,0)(cid:52)(cid:143)(cid:75)(cid:76)(cid:47)(cid:48)(cid:260)(cid:261)(cid:305)(cid:190)(cid:169)(cid:306)(cid:33)(cid:22)
(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:207)(cid:208)(cid:58)(cid:59)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:56)(cid:57)(cid:162)(cid:163)(cid:103)(cid:139)(cid:41)
(cid:15)(cid:100)(cid:98)(cid:19)(cid:98)(cid:10) 4a−2b+c=0(cid:52)
y=ax2+bx+c(cid:235)∵(−2,0)(cid:52)
∴a<0(cid:52)(cid:235)(cid:70)(m,0)(cid:52)m>0(cid:52)
∵(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:169)(cid:306)(cid:24)(cid:25)(cid:49)(cid:132)(cid:110)(cid:299)(cid:192)(cid:193)(cid:10)
∴
(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:139)(cid:114)c>0(cid:52)(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:139)(cid:114)(cid:120)x=−1(cid:121)①(cid:52)y=a−b+c>0(cid:52)
4a−2b+c=0(cid:52)
∵a−b+c=4a−2b+c+(b−3a)>0(cid:52)
∴b−3a>0(cid:52)
∴(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
②(cid:62)(cid:137)ax2+bx+c=b(cid:152)(cid:110)(cid:144)(cid:147)(cid:112)(cid:171)(cid:33)(cid:153)(cid:23)(cid:58)x ,x (cid:39)(cid:133)x <x (cid:40)(cid:52)(cid:139)(cid:185)(cid:387)(cid:149)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:26)y=b(cid:69)(cid:70)(cid:228)(cid:177)(cid:178)(cid:129)x ,x (cid:52)
1 2 1 2 1 2
(cid:152)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:139)(cid:114)(cid:10)(cid:120)b>0(cid:121)(cid:52)−2<x <x <m(cid:122)(cid:120)b<0(cid:121)(cid:52)x <−2<m<x (cid:122)
1 2 1 2
(cid:124) (cid:116)(cid:117)(cid:122)
(cid:104)③(cid:105)(cid:106)(cid:235)(cid:70)(0,1)(cid:52)
∵c=1(cid:52)
∴ 4a−2b+1=0(cid:52)(cid:211)(cid:212)(cid:114)b=2a+ 1 (cid:52)− b =−1− 1 (cid:52)
2 2a 4a
∴
s=a+b+c=a+2a+ 1 +1=3a+ 3 (cid:52)
2 2
∴(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:235)(cid:70)(−2,0)(cid:52)(m,0)(cid:52)
∵ (cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:106)− b = −2 m (cid:52)
2a 2
+
∴
0<m<2(cid:52)
∵ −1<−2 m <0(cid:52)(cid:103)−1<−1− 1 <0(cid:52)
2 4a
+
∴
a<0(cid:52)
∵ 1
(cid:98)(cid:114)a<− (cid:52)
4
∴ s=a+b+c=3a+ 3 < 3 (cid:52)
2 4
∴(cid:124) (cid:111)(cid:123)(cid:122)
(cid:172)④(cid:101)(cid:50)(cid:173)(cid:52)(cid:111)(cid:123)(cid:33)(cid:152) (cid:52)
(cid:124)(cid:54)(cid:55)(cid:129)(cid:10) (cid:41)①②④
①②④