专题08与绝对值有关的十大题型(专项训练)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》7上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》7上(沪科)

专题 08 与绝对值有关的十大题型（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:19)....................................................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:33)(cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:19)....................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:19)....................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:38)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:39)(cid:40)——(cid:23)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:19)................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:38)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:39)(cid:40)——(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:19)..............................................................................................................10
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:38)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:39)(cid:40)——(cid:49)(cid:50)(cid:45)(cid:51)(cid:19)..............................................................................................................13
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:38)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:52)(cid:53)(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:19)......................................................................................................................14
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:38)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:52)(cid:56)(cid:30)(cid:54)(cid:57)(cid:29)(cid:19)......................................................................................................................17
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:53)(cid:56)(cid:30)(cid:54)(cid:29)(cid:19)..............................................................................................................................19
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:54)(cid:29)(cid:61)(cid:54)(cid:29)(cid:19)..............................................................................................................................23
知识点1 代数视角看绝对值的意义
>0)， | | (cid:68)(cid:69)(cid:43)(cid:48)(cid:10)
(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:22)(cid:23)(cid:31)(cid:32)(cid:10)| |= =0)， 非负 =本身(cid:67)
𝑎(𝑎 <0)． (cid:70)(cid:71)| |= (cid:72)(cid:65) 0)(cid:67)
𝑎 0(𝑎 | |
非正 =相反数．
(cid:62)(cid:63)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:64)(cid:65)(cid:66) −𝑎(𝑎 (cid:73)(cid:71)|𝑎|=－𝑎 (cid:72)((cid:65)𝑎≥ 0)(cid:67)
(cid:74)| |𝑎 . 𝑎 (𝑎≤
𝑎 ≥𝑎
知识点2 几何视角看绝对值的意义
(cid:27)(cid:28)(cid:29) (cid:75)(cid:76)(cid:72)(cid:23) (cid:42)
⇔ ⇔
| |(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:10)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)a(cid:30)(cid:50)(cid:81)(cid:82)(cid:50)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:83) | |
－ (cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:10)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80) (cid:30)(cid:50)(cid:84)(cid:79)(cid:80) (cid:30)(cid:50)(cid:52)
𝑎
(cid:85)𝑥(cid:30)𝑎(cid:75)(cid:76)(cid:83) 𝑥 𝑎
知识点3 绝对值的非负性
1. | | 0(cid:72)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:86)(cid:36)(cid:23) 2. (cid:71)| |+| |=0(cid:72)(cid:65) =0(cid:87) =0 3. (cid:71)| |+ =0(cid:72)(cid:65) =0(cid:87) =0
2
𝑎 ≥ 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏知识点4 多绝对值处理——数形结合
=| |(cid:72)| |(cid:79)(cid:80)P(cid:72)A(cid:88)(cid:50)(cid:52)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:67)
𝑃𝐴 =|𝑥−𝑎|(cid:72)|𝑥−𝑎|(cid:79)(cid:80)P(cid:72)B(cid:88)(cid:50)(cid:52)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:67)
𝑃𝐵+ 𝑥−=𝑏 | 𝑥−|𝑏+| |(cid:72)
𝑃| 𝐴 |𝑃+𝐵| 𝑥|−(cid:79)𝑎(cid:80)P𝑥(cid:81)−𝑏A(cid:72)B(cid:88)(cid:50)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:52)(cid:53)(cid:83)
𝑥−𝑎 𝑥−𝑏
知识点5 多绝对值处理——分类讨论
| | + | | = ±2或0(cid:83)
𝑎 𝑏
| |
(cid:89) (cid:70)𝑎 a(cid:72)𝑏 b(cid:92)(cid:93)(cid:72)(cid:29)(cid:90)1+1=2(cid:67)
| |
𝑎 𝑎
>0𝑎 值 𝑎(cid:90)1(cid:67) (cid:73)a(cid:72)b(cid:92)(cid:36)(cid:72)(cid:29)(cid:90) = (cid:67)
𝑎<0 ⇒值(cid:90)(cid:91)1(cid:83) (cid:74)a(cid:72)b(cid:94)(cid:9)(cid:72)(cid:29)(cid:90)−1−1=0(cid:83)−2
𝑎 ⇒ (cid:4)(cid:10)(cid:86)(cid:95)(cid:47)(cid:48)(cid:96)(cid:97)(cid:23)1−(cid:30)1(cid:98)(cid:9)(cid:83)
知识点6 多绝对值处理——零点分段
(cid:49)(cid:50)(cid:10)(cid:99)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:90)0(cid:30)(cid:100)(cid:101)(cid:23)(cid:30)(cid:29)(cid:102)(cid:90)(cid:49)(cid:50)(cid:83) (cid:126)(cid:127)(cid:10)| |+| | < (cid:83)
(cid:103)(cid:64)(cid:10) (cid:128) =𝑥−0𝑎(cid:72) 𝑥−=𝑏0((cid:72)𝑎 (cid:129)(cid:130)𝑏) = (cid:72) = (cid:72)
(cid:70)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:49)(cid:50)(cid:72)(cid:108)(cid:109)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:67) (cid:131)𝑥(cid:49)−(cid:50)𝑎(cid:90)a(cid:72)𝑥b−(cid:72)𝑏(cid:45)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:47)𝑥 (cid:48)𝑎(cid:10) 𝑥 𝑏
(cid:73)(cid:110)(cid:111)(cid:49)(cid:50)(cid:112)(cid:23)(cid:77)(cid:113)(cid:114)(cid:45)(cid:51)(cid:67) (cid:70) < (cid:67)
(cid:74)(cid:45)(cid:115)(cid:116)(cid:111)(cid:117)(cid:51)(cid:100)(cid:101)(cid:23)(cid:30)(cid:118)(cid:119)(cid:63)(cid:27)(cid:28)(cid:83) (cid:73)𝑥 𝑎 (cid:67)
(cid:120)(cid:121)(cid:50)(cid:10)(cid:45)(cid:46)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:72)(cid:122)(cid:125)(cid:63)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:72) (cid:74)𝑎>≤𝑥(cid:83)≤𝑏
𝑥 𝑏
知识点7 多绝对值型最值
1. (cid:71) < (cid:72)(cid:65)(cid:136) (cid:137)(cid:72)| |+| |(cid:107)(cid:54)(cid:55)(cid:29) (cid:83)
2. (cid:71)𝑎 <𝑏 < (cid:72)(cid:65)𝑎(cid:136)≤𝑥=≤𝑏(cid:137)(cid:72)|𝑥−𝑎|+|𝑥−𝑏|+| |(cid:107)𝑏(cid:54)−𝑎(cid:55)(cid:29) (cid:83)
3. n(cid:138)𝑎(cid:27)(cid:28)𝑏(cid:29)(cid:52)𝑐 (cid:53)(cid:61)(cid:54)𝑥(cid:55)(cid:29)𝑏 𝑥−𝑎 𝑥−𝑏 𝑥−𝑐 𝑐−𝑎
(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:72)(cid:142) < < < (cid:72) =| |+| |+| |+ +| |(cid:83)
(cid:70)(cid:71)n(cid:90)(cid:143) 𝑎 (cid:23) 1 (cid:72)(cid:65)𝑎2 (cid:136) 𝑎= 3 ⋯(cid:137)𝑎𝑛 (cid:72)P𝑃(cid:107)(cid:54)𝑥(cid:55)−(cid:29)𝑎 1 (cid:67)(cid:73)𝑥(cid:71)−n𝑎2 (cid:90)(cid:144)(cid:23)𝑥−(cid:72)𝑎3 (cid:65)(cid:136)⋯ 𝑥−𝑎𝑛 (cid:137)(cid:72)P(cid:107)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:83)
𝑛+1 𝑛 𝑛
𝑥 𝑎 2 𝑎2 ≤𝑥≤𝑎2+1
(cid:145)(cid:146)(cid:10)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:72)(cid:143)(cid:151)(cid:152)(cid:29)(cid:72)(cid:144)(cid:151)(cid:152)(cid:51)(cid:83)
4. (cid:153)(cid:23)(cid:122)(cid:90)1(cid:21)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:52)(cid:53)(cid:61)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:72)(cid:154)(cid:126)(cid:90)(cid:153)(cid:23)(cid:90)1(cid:21)(cid:155)(cid:20)(cid:129)(cid:156)(cid:83)5. (cid:71) < (cid:72)(cid:65)(cid:136) (cid:137)(cid:72)| | | |(cid:30)(cid:54)(cid:57)(cid:29)(cid:90) (cid:83)
6. (cid:27)𝑎(cid:28)(cid:29)𝑏(cid:53)(cid:56)(cid:157)(cid:158)𝑥(cid:61)≥(cid:54)𝑏(cid:57)(cid:29)(cid:10)𝑥−(cid:23)𝑎(cid:42)−(cid:43)𝑥−(cid:44)𝑏(cid:72)(cid:45)(cid:159)(cid:79)(cid:80)(cid:23)𝑏−x𝑎(cid:30)(cid:50)(cid:30)(cid:160)(cid:161)(cid:83)
7. (cid:4)(cid:31)(cid:162)(cid:163)(cid:33)(cid:138)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:52)(cid:53)(cid:107)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:72)(cid:164)(cid:151)(cid:130)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:137)(cid:165)(cid:166)(cid:30)(cid:118)(cid:119)(cid:167)(cid:138)(cid:60)(cid:168)(cid:30)(cid:169)(cid:170)(cid:83)
【题型1 代数视角看绝对值的意义】
(cid:15)(cid:171)1(cid:19)(cid:62)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:175)·(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:179)·(cid:180)(cid:11)(cid:181)(cid:182)(cid:66)(cid:183)(cid:101)(cid:107)(cid:40)(cid:23) (cid:72) (cid:72) (cid:109)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:30)(cid:160)(cid:161)(cid:184)(cid:185)(cid:106)(cid:80)(cid:72)(cid:126)(cid:127)(cid:69)(cid:186)
| | | |+| |(cid:30)(cid:29)(cid:90) (cid:83) 𝑎 𝑏 𝑐
𝑎−𝑏 − 𝑐−𝑎 𝑏−𝑐
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19)0
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)(cid:189)(cid:20)(cid:181)(cid:190)(cid:191)(cid:107)(cid:40)(cid:23)(cid:84)(cid:23)(cid:77)(cid:72)(cid:192)(cid:69)(cid:30)(cid:193)(cid:194)(cid:72)(cid:195)(cid:23)(cid:77)(cid:154)(cid:130) < < (cid:72)(cid:102)(cid:130) <0(cid:72) >0(cid:72)
<0(cid:72)(cid:196)(cid:116)(cid:111)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:37)(cid:197)(cid:126)(cid:127)(cid:102)(cid:154)(cid:61)(cid:129)(cid:72)(cid:195)(cid:23)(cid:77)(cid:198)(cid:199)(cid:61)(cid:200)𝑎 𝑏(cid:201)𝑐 (cid:201) 𝑎−(cid:30)𝑏(cid:98)(cid:9)(cid:202)𝑐(cid:129)−(cid:20)𝑎 (cid:30)(cid:3)(cid:203)(cid:83)
(cid:15)𝑏−(cid:204)𝑐(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10)(cid:195)(cid:23)(cid:77)(cid:154)(cid:130)(cid:72) < < (cid:72) 𝑎−𝑏 𝑐−𝑎 𝑏−𝑐
<0(cid:72) >0(cid:72) <𝑎 0(cid:72)𝑏 𝑐
∴(cid:82)𝑎−(cid:69)𝑏 = 𝑐−(𝑎 )+𝑏(−𝑐 )
∴= 𝑏+−𝑎−+𝑐−𝑎 𝑐−𝑏
=𝑏0−(cid:72)𝑎−𝑐 𝑎 𝑐−𝑏
(cid:131)(cid:187)(cid:188)(cid:90)(cid:10)0(cid:83)
(cid:15)(cid:68)(cid:69)1-1(cid:19)(cid:62)2025(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:205)(cid:206)·(cid:207)(cid:20)(cid:208)(cid:209)(cid:66)(cid:183)(cid:101)1< <2(cid:72)(cid:65)| |+| |(cid:30)(cid:29)(cid:90) (cid:83)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19) / +5 𝑥 𝑥−3 𝑥−2
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)(cid:189)5−(cid:20)2𝑥(cid:210)−(cid:211)2(cid:181)𝑥 (cid:190)(cid:191)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:37)(cid:197)(cid:72)(cid:212)(cid:213)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:37)(cid:197)(cid:202)(cid:129)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:203)(cid:83)(cid:116)(cid:111) (cid:30)(cid:151)(cid:29)(cid:118)(cid:119)(cid:72)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
(cid:30)(cid:37)(cid:197)(cid:72)(cid:154)(cid:130) + (cid:72)(cid:192)(cid:40)(cid:130)(cid:200)(cid:187)(cid:188)(cid:83) 𝑥
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10)3−1𝑥< 2<−2𝑥(cid:72)
| |+| ∵|= 𝑥 + = (cid:72)
(cid:131)∴ 𝑥(cid:187)−(cid:188)3(cid:90)(cid:10)𝑥−2 (cid:83)3−𝑥 2−𝑥 5−2𝑥
(cid:15)(cid:68)(cid:69)1-2(cid:19)5−(cid:62)22𝑥3-24(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:214)(cid:215)(cid:57)(cid:216)·(cid:217)(cid:51)(cid:208)(cid:209)(cid:66)(cid:71) = (cid:72)(cid:65) (cid:30)(cid:151)(cid:29)(cid:118)(cid:119)(cid:202) (cid:83)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19) 1 |𝑎−1| 1−𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)𝑎(cid:116)≤(cid:111)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:37)(cid:197)(cid:154)(cid:130) 0(cid:72)(cid:102)(cid:154)(cid:218)(cid:130)(cid:187)(cid:188)(cid:83)
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10) = (cid:72) 𝑎−1≤
∵|𝑎−1| 1−𝑎0(cid:72)
∴𝑎−11≤(cid:83)
(cid:131)∴𝑎(cid:187)≤(cid:188)(cid:90)(cid:10) 1(cid:83)
(cid:15)(cid:50)(cid:219)(cid:19)(cid:189)(cid:20)𝑎≤(cid:210)(cid:211)(cid:181)(cid:190)(cid:191)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:37)(cid:197)(cid:72)(cid:220)(cid:208)(cid:212)(cid:213)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:37)(cid:197)(cid:202)(cid:129)(cid:20)(cid:3)(cid:203)(cid:83)
(cid:15)(cid:68)(cid:69)1-3(cid:19)(cid:62)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:224)·(cid:225)(cid:152)(cid:66)(cid:71) =9(cid:72)| |=7(cid:72)(cid:87)| |= (cid:72)(cid:65) (cid:30)(cid:29)(cid:90) (cid:83)
2
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19) (cid:89) 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏 𝑏−𝑎 2𝑎−𝑏
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)−(cid:226)1(cid:20)(cid:181)−(cid:190)13(cid:191)(cid:107)(cid:40)(cid:23)(cid:30)(cid:194)(cid:64)(cid:72)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:72)(cid:212)(cid:213)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:37)(cid:197)(cid:30)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:59)(cid:202)(cid:129)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:203)(cid:83)(cid:195)
2
=9(cid:72)| |=7(cid:72)(cid:154)(cid:130)(cid:200) =± =±7(cid:72)(cid:45)(cid:115)(cid:22)(cid:230)| |= (cid:152)(cid:72)(cid:130)(cid:200)(cid:231)(cid:232)(cid:20)(cid:31) (cid:102)(cid:154)(cid:130)(cid:200)(cid:43)(cid:233)(cid:83) 𝑎
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)𝑏 =9(cid:72)|𝑎|=7(cid:72)3,𝑏 𝑎−𝑏 𝑏−𝑎 𝑎,𝑏
2
=± ∵ 𝑎=±7(cid:72) 𝑏
(cid:136)∴ 𝑎= 3=,𝑏7(cid:137)(cid:72)
| 𝑎 |=3,𝑏| |= = (cid:72)(cid:231)(cid:232)(cid:20)(cid:31)(cid:72)
𝑎− 𝑏 3=−27× 7−3= 𝑏−(cid:72)𝑎
(cid:136)∴ 2=𝑎−𝑏 = (cid:137)3−(cid:72)7 −1
| 𝑎 |=3,𝑏| (−7 )|= ( )= (cid:72)(cid:122)(cid:231)(cid:232)(cid:20)(cid:31)(cid:234)(cid:63)(cid:72)
(cid:136)𝑎−𝑏= 3−=−77(cid:137)(cid:72) 3− −7 𝑎−𝑏≠𝑏−𝑎
| 𝑎 |=−3|,𝑏 |= ( )= (cid:72)(cid:231)(cid:232)(cid:20)(cid:31)(cid:72)
𝑎− 𝑏 −=32−×7( 7)− −=3 𝑏(cid:72)−𝑎
(cid:136)∴ 2=𝑎−𝑏 = −(cid:137)3(cid:72)−7 −13
| 𝑎 |=−3|,𝑏 (−7 )|= ( )= (cid:72)(cid:122)(cid:231)(cid:232)(cid:20)(cid:31)(cid:234)(cid:63)(cid:72)
(cid:235)𝑎−(cid:78)𝑏(cid:106)(cid:236)(cid:72)−3− −7(cid:30)(cid:29)(cid:90)−3−(cid:89)−7 (cid:72)𝑎−𝑏≠𝑏−𝑎
(cid:131)(cid:187)(cid:188)(cid:90)(cid:10)2𝑎−(cid:89)𝑏 (cid:83)−1 −13
【题型2 几 −1 何视 − 角 13 看绝对值的意义】
(cid:15)(cid:171)2(cid:19)(cid:183)(cid:101)| +12|=3| |(cid:72)(cid:61) (cid:30)(cid:29)(cid:83)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19)m(cid:30)(cid:29)𝑚(cid:90)3(cid:89)18 𝑚−8 𝑚
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10)(cid:184)(cid:185)(cid:72)(cid:142)A(cid:72)B(cid:72)P(cid:79)(cid:80)(cid:30)(cid:23)(cid:45)(cid:115)(cid:90) (cid:72)8(cid:72)m(cid:72)(cid:65)|m+12|=3| |(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:202)PA=3PB(cid:83)
−12 m−8(cid:70)(cid:184)(cid:185)1(cid:72)(cid:136)(cid:50)P(cid:109)(cid:50)A(cid:30)(cid:237)(cid:238)(cid:137)(cid:72)PA<PB(cid:72)PA=3PB(cid:122)(cid:239)(cid:240)(cid:67)
(cid:73)(cid:184)(cid:185) 2(cid:72)(cid:136)(cid:50) P (cid:109)(cid:50) A(cid:72)B (cid:88)(cid:50)(cid:52)(cid:85)(cid:72)(cid:102) m 8(cid:137)(cid:72)|m+12|=PA=m+12(cid:72)| |
=PB= (cid:72) m+12= (cid:72)(cid:129)(cid:130)m=3(cid:67) −12≤ ≤ m−8
(cid:74)(cid:184)(cid:185) 38(cid:72)−m(cid:136)(cid:50)∴P (cid:109)(cid:50) B (cid:30)3((cid:241)8−(cid:238)m)(cid:137)(cid:72)(cid:102)m>8(cid:137)(cid:72)|m+12|=PA=m+12(cid:72)| |=PB= (cid:72)
m+12= (cid:72)(cid:129)(cid:130)m=18(cid:83) m−8 m−8 ∴
(cid:235)(cid:78)(cid:106)(cid:236)(cid:72)3(mm(cid:30)−8(cid:29))(cid:90)3(cid:89)18(cid:83)
(cid:15)(cid:68)(cid:69)2-1(cid:19)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:50)A(cid:79)(cid:80)(cid:30)(cid:23)(cid:90) (cid:72)(cid:50)B(cid:79)(cid:80)(cid:30)(cid:23)(cid:90)x(cid:72)(cid:71)A(cid:72)B(cid:88)(cid:50)(cid:52)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:90)11(cid:72)(cid:61)x(cid:30)(cid:29)(cid:83)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19)x=7(cid:89) −4
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10)(cid:110)(cid:20)−(cid:31)15(cid:72)(cid:130)|x+4|=11(cid:72) x+4=11(cid:89) (cid:72) x=7(cid:89) (cid:83)
(cid:15)(cid:68)(cid:69)2-2(cid:19)(cid:183)(cid:101)| |=10(cid:72)(cid:61)| +1∴|(cid:30)(cid:29)(cid:83) −11 ∴ −15
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19)|m+1|(cid:30)𝑚(cid:29)−(cid:90)2 7(cid:89)1 𝑚
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10)| |(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:202)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:23)m(cid:53)2(cid:88)(cid:50)(cid:52)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:83)
(cid:136)m(cid:109)2(cid:30)(cid:237)(cid:238)m−(cid:102)2m<2(cid:137)(cid:72)| |= =10(cid:72)m= (cid:72)(cid:226)(cid:137)|m+1|=| +1|=7(cid:67)
(cid:136)m(cid:109)2(cid:30)(cid:241)(cid:238)(cid:102)m>2(cid:137)(cid:72)|m−2|=2−m=10(cid:72)m=−128(cid:72)(cid:226)(cid:137)|m+1|=|1−28+1|=13(cid:67)
(cid:235)(cid:78)(cid:106)(cid:236)(cid:72)|m+1|(cid:30)(cid:29)(cid:90)7(cid:89)m13−(cid:83)2 m−2
(cid:15)(cid:68)(cid:69)2-3(cid:19)(cid:71)| +4|+| |+| |=12(cid:72)(cid:242)(cid:43)(cid:44)(cid:23)(cid:77)(cid:124)(cid:243)t(cid:30)(cid:151)(cid:29)(cid:83)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19)t=1 𝑡 𝑡−1 𝑡−8
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10)|t+4|+| |+| |=12(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:202)(cid:72)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:23)t(cid:30)(cid:50)(cid:81)(cid:79)(cid:80)(cid:23) (cid:72)1(cid:72)8(cid:167)(cid:132)(cid:138)(cid:50)
(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:52)(cid:53)(cid:90)12(cid:72)(cid:102)(cid:185)t(cid:152)−P1A+Pt−B8+PC=12(cid:72)(cid:195)(cid:185)(cid:154)(cid:101)(cid:72)PA+PB+PC AC=12(cid:72)(cid:244)−(cid:107)4(cid:136)(cid:50)P(cid:84)(cid:50)B(cid:245)
(cid:44)(cid:137)(cid:72)PA+PB+PC=AC=12(cid:72) t=1(cid:83) ≥
∴
【题型3 绝对值的非负性】
(cid:15)(cid:171)3(cid:19)(cid:183)(cid:101)| |+| + |+| |= (cid:72)(cid:61)y(cid:30)(cid:29)(cid:83)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19)y=3𝑥−2 𝑥 𝑦−5 𝑦−1 𝑦−1
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10) | |+|x+ |+| |= (cid:72)
∵ x−2 y−5 y−1 y−10(cid:72) | |= (cid:72)
∴y|−1≥|+|x+∴ y−1|+ y−1= (cid:72)
∴|x−2|+|x+y−5|=y0−(cid:72)1 y−1
(cid:246)∴ x−|2 | 0(cid:72)y−|x5+ | 0(cid:72)
∵ x−=20(cid:72)≥x+ y=−05(cid:72)≥
∴xx−=22(cid:72)x+y=y−5(cid:72)5 y=3(cid:83)
∴ ∴
(cid:15)(cid:68)(cid:69)3-1(cid:19)(cid:62)2025(cid:247)(cid:173)(cid:174)(cid:175)·(cid:177)(cid:168)·(cid:207)(cid:20)(cid:208)(cid:209)(cid:66)(cid:71)( +1) +| |=0(cid:72)(cid:65) (cid:30)(cid:29)(cid:90) (cid:83)
2 𝑏
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19)1 𝑎 𝑏−2024 𝑎
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)(cid:189)(cid:20)(cid:181)(cid:190)(cid:191)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:61)(cid:29)(cid:83)(cid:220)(cid:208)(cid:212)(cid:213)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:202)(cid:129)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:203)(cid:83)(cid:195)(cid:20)(cid:31)(cid:101)
+1=0(cid:72) =0(cid:72)(cid:61) (cid:72) (cid:30)(cid:29)(cid:72)(cid:248)(cid:249)(cid:22)(cid:230)(cid:61)(cid:129)(cid:102)(cid:154)(cid:83)
(cid:15)𝑎 (cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10)𝑏−2(02+41) +| 𝑎 𝑏 |=0(cid:72)
2
+1=0(cid:72)∵ 𝑎 =0(cid:72)𝑏−2024
∴(cid:129)𝑎(cid:130) = (cid:72)𝑏−=20220424(cid:72)
( 𝑎) −1=1𝑏(cid:72)
2024
(cid:131)∴ −(cid:187)1(cid:188)(cid:90)(cid:10)1(cid:83)
(cid:15)(cid:68)(cid:69)3-2(cid:19)(cid:62)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:256)·(cid:225)(cid:152)(cid:66)(cid:71)| |(cid:84)| +6|(cid:257)(cid:90)(cid:258)(cid:259)(cid:23)(cid:72)(cid:65) (cid:30)(cid:29)(cid:90)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19)10 𝑥−2 𝑦 2𝑥−𝑦
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)(cid:189)(cid:20)(cid:181)(cid:190)(cid:191)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:30)(cid:61)(cid:29)(cid:201)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:201)(cid:258)(cid:259)(cid:23)(cid:72)(cid:220)(cid:208)(cid:212)(cid:213)(cid:258)(cid:3)(cid:101)(cid:260)(cid:50)(cid:202)(cid:129)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:203)(cid:83)(cid:195)(cid:20)
(cid:31)(cid:130)(cid:72)| |+| +6|=0(cid:72)(cid:58)(cid:59)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:61)(cid:200) (cid:30)(cid:29)(cid:72)(cid:196)(cid:22)(cid:230) (cid:102)(cid:154)(cid:61)(cid:29)(cid:83)
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)𝑥−(cid:129)2(cid:10) 𝑦| |(cid:84)| +6|(cid:257)(cid:90)(cid:258)(cid:259)(cid:23)(cid:72) 𝑥,𝑦 2𝑥−𝑦
| |+| +∵6|𝑥−=20(cid:72) 𝑦
∴ 𝑥−2=0(cid:72)𝑦 +6=0(cid:72)
∴𝑥−=22(cid:72) =𝑦 (cid:72)
∴𝑥 =𝑦2×−6( )=10(cid:83)
(cid:131)∴(cid:187)2𝑥(cid:188)−𝑦(cid:90)(cid:10)10(cid:83)2− −6
(cid:15)(cid:68)(cid:69)3-3(cid:19)(cid:183)(cid:101)| |+| |+| |= (cid:72)(cid:61) + (cid:30)(cid:29)(cid:83)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19)a+b=7𝑎−2 𝑏−5 𝑐−4 𝑐−4 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10) | |+| |+| |= (cid:72)
0(cid:72) ∵| a−2|= b−(cid:72)5 c−4 c−4
∴c−4≥ ∴ c−4 c−4| |+| |=0(cid:72)
∴ a−2=0(cid:72)b−(cid:87)5 =0(cid:72)
∴aa−=22(cid:72)b=5b(cid:72)−5
∴a+b=7(cid:83)
【 ∴ 题型4 多绝对值处理——数形结合】
(cid:15)(cid:171)4(cid:19)(cid:62)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:261)(cid:262)(cid:263)(cid:264)·(cid:225)(cid:152)(cid:66)(cid:265)(cid:266)(cid:175)(cid:267)(cid:268)(cid:269)(cid:10)
(cid:109)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:50)A(cid:201)B(cid:45)(cid:115)(cid:79)(cid:80)(cid:23)a(cid:72)b(cid:72)(cid:65)A(cid:201)B(cid:88)(cid:50)(cid:52)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76) =| |(cid:72)(cid:171)(cid:184)(cid:72)(cid:136) = = (cid:72) =| ( )|=7(cid:83)
𝐴𝐵 𝑎−𝑏 𝑎 5,𝑏 −2 𝐴𝐵 5− −2
(cid:270)(cid:187)(cid:175)(cid:150)(cid:155)(cid:20)(cid:10)
(1)①(cid:109)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80) (cid:84) (cid:88)(cid:50)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:202) (cid:72)
②(cid:109)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)x(cid:84)−24(cid:88)−(cid:50)6(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:202) (cid:67)
③(cid:109)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)x(cid:84)________(cid:88)(cid:50)(cid:52)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:90)| +2|(cid:83)
(2)(cid:175)(cid:267)(cid:28)(cid:69)(cid:186)| +2|+| |(cid:113)(cid:114)(cid:271)(cid:272)(cid:10) 𝑥
①(cid:136)(cid:79)(cid:80)(cid:23)x(cid:30)𝑥 (cid:50)(cid:109) 𝑥(cid:84)−44(cid:52)(cid:85)(cid:273)(cid:274)(cid:137)(cid:72)| +2|+| |(cid:30)(cid:29)(cid:275)(cid:202)(cid:139)(cid:138)(cid:276)(cid:243)(cid:30)(cid:29)(cid:90)(cid:10)___________(cid:83)
②(cid:211)(cid:99)| +2|+| −|2=8(cid:72)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:30)(cid:23)𝑥 =___𝑥_−__4_____________(cid:83)
(3)(cid:61)| +𝑥2|+| +𝑥1−|4+| |+| |(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)𝑥(cid:83)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)𝑥(cid:19)(1)①4𝑥(cid:67)②| 𝑥−|(cid:67)2 ③𝑥−4
(2)①6(cid:67)②5(cid:89) 𝑥−4 −2
(3)9 −3
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)(cid:189)(cid:20)(cid:181)(cid:190)(cid:191)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:202)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:88)(cid:50)(cid:52)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:72)(cid:40)(cid:129)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:202)(cid:129)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:203)(cid:83)
(cid:62)1(cid:66)(cid:277)(cid:278)(cid:116)(cid:111)(cid:20)(cid:279)(cid:152)(cid:88)(cid:50)(cid:52)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:7)(cid:69)(cid:280)(cid:281)(cid:102)(cid:154)(cid:67)
(cid:62)2(cid:66)①(cid:45)(cid:159)(cid:200)| +2|+| |(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:72)(cid:196)(cid:43)(cid:44)(cid:23)(cid:77)(cid:154)(cid:130)(cid:67)
②(cid:45)(cid:159)(cid:200)| +2|𝑥+| |=𝑥−84(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:72)(cid:196)(cid:116)(cid:111)(cid:88)(cid:50)(cid:52)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:90)8(cid:150)(cid:69)(cid:280)(cid:281)(cid:102)(cid:154)(cid:67)
(cid:62)3(cid:66)(cid:45)5(cid:133)𝑥 (cid:134)(cid:135)(cid:63)(cid:27)𝑥−(cid:28)4(cid:29)(cid:98)(cid:9)(cid:72)(cid:280)(cid:281)(cid:282)(cid:133)(cid:122)(cid:92)(cid:134)(cid:135)(cid:30)(cid:29)(cid:72)(cid:54)(cid:249)(cid:47)(cid:48)(cid:130)(cid:200)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:83)
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:62)1(cid:66)(cid:129)(cid:10)①(cid:109)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80) (cid:84) (cid:88)(cid:50)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:202)| ( )|=4(cid:67)
②(cid:109)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)x(cid:84)4(cid:88)(cid:50)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)−(cid:202)2| −6|(cid:67) −2− −6
③| +2|=| ( )| 𝑥−4
(cid:65)(cid:109)𝑥(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:79)𝑥(cid:80)−x−(cid:84)2 (cid:88)(cid:50)(cid:52)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:90)| +2|(cid:67)
−2 𝑥(cid:62)2(cid:66)(cid:129)(cid:10)①(cid:136)(cid:79)(cid:80)(cid:23)x(cid:30)(cid:50)(cid:109) (cid:84)4(cid:52)(cid:85)(cid:273)(cid:274)(cid:137)(cid:72)
| +2|+| |(cid:79)(cid:80)(cid:23)(cid:77)(cid:78)x(cid:84)−2(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:53)(cid:84)4(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:52)(cid:53)(cid:72)
(cid:65)𝑥(cid:226)(cid:137)| +𝑥−2|4+| |= ( −)2=6(cid:67)
②| +𝑥2|+| 𝑥|−=48(cid:79)(cid:80)4−(cid:23)−(cid:77)2(cid:78)x(cid:84) (cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:53)(cid:84)4(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:52)(cid:53)(cid:90)8(cid:72)
𝑥 𝑥−4 −2
(cid:65)x(cid:30)(cid:29)(cid:90) = (cid:89)4+ =5(cid:67)
2 2
8−6 8−6
(cid:62)3(cid:66)(cid:129)(cid:10)|−+2−2|+| + −3 1|+| |+| |(cid:79)(cid:80)(cid:23)(cid:77)(cid:78)x(cid:45)(cid:115)(cid:84)4(cid:72)2(cid:72) (cid:72) (cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:52)(cid:53)(cid:72)
4(cid:137)(cid:72)(cid:82)𝑥(cid:69)= 𝑥 + +𝑥−2+1+𝑥−4+2= ,(cid:226)(cid:137)(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:202)1−3(cid:67)1 −2
𝑥2≥ 4(cid:137)(cid:72)(cid:82)(cid:69)𝑥−=4 𝑥−+2 𝑥 + +𝑥1+ +42𝑥=−3 +5(cid:72)(cid:226)(cid:137)(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:202)9(cid:67)
≤𝑥≤ 2(cid:137)(cid:72)(cid:82)(cid:69)=4−𝑥 +𝑥−2 +𝑥 +1+𝑥 +2=2𝑥9(cid:72)
−1≤𝑥≤ (cid:137)(cid:72)(cid:82)(cid:69)=4−𝑥 +2−𝑥 𝑥 + 𝑥+2= (cid:72)(cid:226)(cid:137)(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:202)9(cid:67)
−2≤2𝑥(cid:137)≤(cid:72)−(cid:82)1 (cid:69)= +4−𝑥 2−𝑥−1−𝑥=𝑥 (cid:72)(cid:226)7−(cid:137)2𝑥(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:202)11(cid:72)
(cid:235)𝑥≤(cid:78)−(cid:10)| +2|+| +4−1|𝑥+|2−𝑥−|+1−|𝑥−2|−(cid:30)𝑥(cid:54)(cid:55)3(cid:29)−4(cid:90)𝑥 9(cid:83)
(cid:15)(cid:68)(cid:69)4𝑥-1(cid:19)(cid:184)(cid:185)𝑥(cid:72)(cid:23)(cid:77)(cid:78)𝑥4−(cid:138)2(cid:50)(cid:79)𝑥(cid:80)−4(cid:30)(cid:23)(cid:45)(cid:115)(cid:90)a(cid:201)b(cid:201)c(cid:201)d(cid:83)(cid:71)|a﹣d|(cid:283)10(cid:72)|a﹣b|(cid:283)6(cid:72)|b﹣d|(cid:283)
2|b﹣c|(cid:72)(cid:65)|c﹣d|(cid:283)(cid:62)(cid:284)(cid:284)(cid:66)
A(cid:83)1 B(cid:83)1.5 C(cid:83)2.5 D(cid:83)2
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19)D
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)(cid:116)(cid:111)|a−d|(cid:283)10(cid:72)|a−b|(cid:283)6(cid:130)(cid:200)b(cid:53)d(cid:52)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:72)(cid:285)(cid:286)(cid:61)(cid:200)b(cid:53)c(cid:52)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:72)(cid:248)(cid:249)(cid:287)(cid:142)a(cid:79)(cid:80)
(cid:30)(cid:23)(cid:90)0(cid:72)(cid:45)(cid:115)(cid:61)(cid:200)b(cid:72)c(cid:72)d(cid:79)(cid:80)(cid:30)(cid:23)(cid:72)(cid:102)(cid:154)(cid:130)(cid:200)(cid:187)(cid:188)(cid:83)
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10) |a−d|(cid:283)10(cid:72)
a(cid:53)d(cid:52)(cid:85)(cid:30)∵(cid:75)(cid:76)(cid:90)10(cid:72)
∴(cid:287)(cid:142)a(cid:79)(cid:80)(cid:30)(cid:23)(cid:90)0(cid:72)(cid:65)d(cid:79)(cid:80)(cid:30)(cid:23)(cid:90)10(cid:72)
|a−b|(cid:283)6(cid:72)
∵a(cid:53)b(cid:52)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:90)6(cid:72)
∴b(cid:79)(cid:80)(cid:30)(cid:23)(cid:90)6(cid:72)
∴|b−d|(cid:283)4(cid:72)
∴|b−c|(cid:283)2(cid:72)
∴c(cid:79)(cid:80)(cid:30)(cid:23)(cid:90)8(cid:72)
∴|c−d|(cid:283)|8−10|(cid:283)2(cid:72)
∴(cid:131)(cid:288)(cid:10)D(cid:83)
(cid:15)(cid:50)(cid:219)(cid:19)(cid:189)(cid:20)(cid:210)(cid:211)(cid:181)(cid:190)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:88)(cid:50)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:201)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:72)(cid:3)(cid:203)(cid:202)(cid:211)(cid:289)(cid:290)(cid:136)(cid:30)(cid:142)(cid:200)a(cid:201)b(cid:201)c(cid:201)d(cid:79)(cid:80)(cid:30)(cid:23)(cid:83)
(cid:15)(cid:68)(cid:69)4-2(cid:19)(cid:184)(cid:185)A(cid:72)B(cid:72)C(cid:72)D(cid:72)E(cid:45)(cid:115)(cid:202)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:291)(cid:138)(cid:216)(cid:292)(cid:192)(cid:23)(cid:106)(cid:28)(cid:293)(cid:30)(cid:50)(cid:72)(cid:294)(cid:152)(cid:107)(cid:139)(cid:50)(cid:202)(cid:82)(cid:50)(cid:72)(cid:23)a(cid:28)(cid:293)
(cid:30)(cid:50)(cid:109)B(cid:84)C(cid:52)(cid:85)(cid:72)(cid:23)b(cid:28)(cid:293)(cid:30)(cid:50)(cid:109)D(cid:84)E(cid:52)(cid:85)(cid:72)(cid:71) + =3(cid:65)(cid:82)(cid:50)(cid:154)(cid:289)(cid:202) (cid:83)
|𝑎| |𝑏|
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19)B(cid:89)E
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)(cid:295)(cid:58)(cid:59)(cid:23)(cid:77)(cid:296)(cid:50)(cid:124)(cid:243)a(cid:72)b(cid:30)(cid:3)(cid:153)(cid:285)(cid:286)(cid:61)(cid:200)a(cid:72)b(cid:30)(cid:29)(cid:72)(cid:124)(cid:243)(cid:82)(cid:50)(cid:83)
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10)(cid:136)(cid:90)A(cid:90)(cid:82)(cid:50)(cid:137)(cid:72)|a|+|b|(cid:297)3(cid:72)
(cid:136)B(cid:90)(cid:82)(cid:50)(cid:137)(cid:72)|a|+|b|(cid:154)(cid:289)(cid:298)(cid:299)3(cid:72)
(cid:136)C(cid:90)(cid:82)(cid:50)(cid:137)(cid:72)|a|+|b|(cid:300)3(cid:72)
(cid:136)D(cid:90)(cid:82)(cid:50)(cid:137)(cid:72)|a|+|b|(cid:300)3(cid:72)
(cid:136)E(cid:90)(cid:82)(cid:50)(cid:137)(cid:72)|a|+|b|(cid:154)(cid:289)(cid:298)(cid:299)3(cid:83)
(cid:131)(cid:187)(cid:188)(cid:90)(cid:10)B(cid:89)E(cid:83)
(cid:15)(cid:50)(cid:219)(cid:19)(cid:189)(cid:20)(cid:210)(cid:211)(cid:181)(cid:190)(cid:30)(cid:202)(cid:23)(cid:77)(cid:84)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:72)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:202)(cid:129)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:203)(cid:83)
(cid:15)(cid:68)(cid:69)4-3(cid:19)(cid:50) (cid:201) (cid:109)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:45)(cid:115)(cid:79)(cid:80)(cid:107)(cid:40)(cid:23) (cid:201) (cid:72) (cid:201) (cid:88)(cid:50)(cid:52)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:79)(cid:80)(cid:90) (cid:72)(cid:65)(cid:109)(cid:23)(cid:77)(cid:78) (cid:201) (cid:88)(cid:50)
(cid:52)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76) =𝐴 | 𝐵 |(cid:83) 𝑎 𝑏 𝐴 𝐵 𝐴𝐵 𝐴 𝐵
(cid:106)(cid:301)(cid:69)(cid:186)| 𝐴𝐵|(cid:30)(cid:33)𝑎(cid:34)−𝑏(cid:31)(cid:32)(cid:202)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80) (cid:30)(cid:50)(cid:84)(cid:79)(cid:80)2(cid:30)(cid:50)(cid:52)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:83)(cid:302)(cid:303)(cid:299)(cid:23)(cid:77)(cid:270)(cid:187)(cid:175)(cid:150)(cid:155)(cid:20)(cid:10)
①(cid:23)(cid:77)(cid:78)𝑥(cid:79)−(cid:80)2 2(cid:53)5(cid:88)(cid:50)(cid:52)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:202) 𝑥 (cid:72)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)1(cid:53) (cid:30)(cid:88)(cid:50)(cid:52)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:202) (cid:83)
②(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80) (cid:53) (cid:30)(cid:88)(cid:50)(cid:52)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:79)(cid:80)(cid:90) (cid:83) −3
③(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)𝑥(cid:30)(cid:50)−2(cid:81)(cid:79)(cid:80)1(cid:30)(cid:50)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:84)(cid:304)(cid:81)(cid:79)(cid:80) (cid:30)(cid:50)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:52)(cid:53)(cid:154)(cid:79)(cid:80)(cid:90)(cid:10)| |+| +3|(cid:83)(cid:65)
| |+| +3|𝑥(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:202) (cid:83) −3 𝑥−1 𝑥
④𝑥−(cid:71)1| 𝑥|+| +1|=8(cid:72)(cid:65) =
𝑥−3 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19) 3 4 | +2| 4 (cid:89)5
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)①(cid:116)(cid:111)(cid:20)(cid:305)(cid:152)(cid:7)(cid:69)(cid:61)𝑥(cid:129)(cid:102)(cid:154)(cid:67) −3
②(cid:116)(cid:111)(cid:20)(cid:305)(cid:152)(cid:7)(cid:69)(cid:61)(cid:129)(cid:102)(cid:154)(cid:67)③(cid:116)(cid:111)(cid:20)(cid:305)(cid:152)(cid:7)(cid:69)(cid:61)(cid:129)(cid:102)(cid:154)(cid:67)
④(cid:45)(cid:90)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:47)(cid:48)(cid:72)(cid:306)(cid:139)(cid:133) < (cid:72)(cid:306)(cid:307)(cid:133) < <1(cid:72)(cid:306)(cid:132)(cid:133) >1(cid:72)(cid:45)(cid:115)(cid:61)(cid:129)(cid:102)(cid:154)(cid:67)
⑤(cid:103)(cid:64)(cid:139)(cid:10)(cid:116)(cid:111)④(cid:61)(cid:129)(cid:103)(cid:64)(cid:72)𝑥(cid:154)(cid:130)−(cid:82)3(cid:103)(cid:308)(cid:298)(cid:9)−(cid:237)3(cid:238)(cid:54)𝑥(cid:55)(cid:29)(cid:90)4(cid:72)(cid:286)(cid:305)𝑥(cid:309)(cid:29)(cid:90)8(cid:72)(cid:310)(cid:226)(cid:112)3(cid:53)-1(cid:92)(cid:137)(cid:228)(cid:237)(cid:89)
(cid:228)(cid:241)(cid:273)(cid:274) (cid:138)(cid:311)(cid:160)(cid:102)(cid:154)(cid:67)(cid:103)(cid:64)(cid:307)(cid:10)(cid:116)(cid:111)(cid:20)(cid:31)(cid:72)(cid:312)(cid:181)④(cid:30)(cid:103)(cid:64)(cid:72)(cid:45)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:313)(cid:314)(cid:102)(cid:154)(cid:83)
2
8−4
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)①|2-5|=3(cid:72)(cid:106)(cid:301)2(cid:53)5(cid:52)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:90)3(cid:67)
②|-3-1|=4(cid:72)(cid:106)(cid:301)-3(cid:53)1(cid:52)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:90)4(cid:67)
③| ( )|=| +2|(cid:72)(cid:106)(cid:301)x(cid:53)-2(cid:52)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:90)|x+2|(cid:67)
④(cid:136)𝑥−(cid:306)(cid:139)−2(cid:133)(cid:134)(cid:135)𝑥 < (cid:137)(cid:72)(cid:82)(cid:69)= ( ) ( +3)= (cid:72)(cid:86)(cid:54)(cid:55)(cid:29)
(cid:136)(cid:306)(cid:307)(cid:133)(cid:134)(cid:135) 𝑥 −31(cid:137)(cid:72)(cid:82)(cid:69)−= 𝑥(−1 −)+𝑥( +3)=−2𝑥−+2 1+ +3=4 (cid:72)(cid:106)(cid:301)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90)4
(cid:136)(cid:306)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:135)−3>≤1(cid:137)𝑥(cid:72)≤(cid:82)(cid:69)=( )−+𝑥(−+1 3)=𝑥 +2(cid:72)−(cid:86)𝑥(cid:54)(cid:55)(cid:29)𝑥
(cid:106)(cid:301)(cid:82)(cid:69)(cid:30)(cid:54)𝑥(cid:55)(cid:29)(cid:90)4(cid:67) 𝑥−1 𝑥 2𝑥
⑤(cid:103)(cid:64)(cid:139)(cid:10)(cid:116)(cid:111)④(cid:130)(cid:81)|x−3|+|x+1|(cid:136) < <4(cid:137)(cid:72)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90)4
(cid:310)(cid:90)|x−3|+|x+1|=8(cid:72)(cid:106)(cid:301)(cid:112)3(cid:228)(cid:241)(cid:273)(cid:274)−21(cid:138)(cid:311)𝑥(cid:160)(cid:89)-1(cid:228)(cid:237)(cid:273)(cid:274)(cid:88)(cid:138)(cid:311)(cid:160)(cid:72)(cid:226)(cid:137)x(cid:81)(cid:88)(cid:50)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:53)(cid:90)8(cid:72)(cid:226)
(cid:137)x= -1-2= -3(cid:72)(cid:89)x=3+2=5
(cid:310)(cid:226)x=−3 (cid:89)5
(cid:103)(cid:64)(cid:307)(cid:10)(cid:136) (cid:137)(cid:72)(cid:130) ( ) ( +1)=8(cid:72)(cid:129)(cid:130)x= -3
(cid:136) < 𝑥3≤(cid:137)−(cid:72)1(cid:130) ( −)𝑥+−3( −+𝑥1)=8(cid:72)(cid:226)(cid:137)(cid:86)(cid:129)
(cid:136)−1>3(cid:137)𝑥(cid:72)≤(cid:130)( )−+𝑥(−+3 1)=𝑥8(cid:72)(cid:129)(cid:130)x=5
(cid:131)𝑥(cid:82)(cid:103)(cid:308)(cid:30)(cid:129)(cid:90)𝑥-3−(cid:89)3 5 𝑥
(cid:131)(cid:187)(cid:188)(cid:90)①3(cid:67)②4(cid:67)③ |x+2| (cid:67)④4(cid:67)⑤ −3 (cid:89)5(cid:83)
(cid:15)(cid:50)(cid:219)(cid:19)(cid:189)(cid:20)(cid:181)(cid:190)(cid:191)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:72)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:315)(cid:308)(cid:72)(cid:220)(cid:208)(cid:212)(cid:213)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:316)(cid:32)(cid:202)(cid:189)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:203)(cid:72)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:31)
(cid:32)(cid:79)(cid:80)(cid:88)(cid:50)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:83)
【题型5 多绝对值处理——分类讨论】
(cid:15)(cid:171)5(cid:19)(cid:183)(cid:101) (cid:90)(cid:107)(cid:40)(cid:23)(cid:83)
(cid:62)1(cid:66)(cid:71) 0𝑎(cid:72),𝑏(cid:65),𝑐 =__________(cid:67)(cid:71) >0(cid:72)(cid:65) =________(cid:83)
𝑎≤ |𝑎| 𝑏 |𝑏|
(cid:62)2(cid:66)(cid:183)(cid:101) 0(cid:72) <0(cid:72) >0(cid:72)(cid:61) + + + (cid:30)(cid:29)(cid:83)
𝑎 𝑎𝑏 𝑎𝑐 𝑏𝑐
𝑎𝑏𝑐≠ 𝑎 𝑏𝑐 |𝑎| |𝑎𝑏| |𝑎𝑐| |𝑏𝑐|
(cid:62)3(cid:66)(cid:183)(cid:101) 0(cid:72)(cid:87) + + =0(cid:72)(cid:61) + + + + + + (cid:30)(cid:29)(cid:83)
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏 𝑏𝑐 𝑎𝑐 𝑎𝑏𝑐
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19)(cid:62)𝑎1𝑏(cid:66)𝑐≠-a(cid:72)b(cid:67)(cid:62)𝑎 2(cid:66)𝑏2(cid:89)𝑐-2(cid:67)(cid:62)3(cid:66) |𝑎| -1 |𝑏| |𝑐| |𝑎𝑏| |𝑏𝑐| |𝑎𝑐| |𝑎𝑏𝑐|(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)(cid:62)1(cid:66)(cid:116)(cid:111)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:37)(cid:197)(cid:102)(cid:154)(cid:129)(cid:187)(cid:67)
(cid:62)2(cid:66)(cid:116)(cid:111) <0(cid:72) >0(cid:72)(cid:198)(cid:199)(cid:200)b(cid:72)c(cid:92)(cid:9)(cid:72)(cid:196)(cid:28)b(cid:72)c(cid:30)(cid:98)(cid:9)(cid:113)(cid:114)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:72)(cid:58)(cid:59)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:37)(cid:197)(cid:102)(cid:154)(cid:126)(cid:127)(cid:67)
(cid:62)3(cid:66)(cid:116)(cid:111)𝑎 0𝑏(cid:72)𝑐(cid:87) + + =0(cid:72)(cid:154)(cid:130)a(cid:72)b(cid:72)c(cid:154)(cid:289)(cid:202)(cid:139)(cid:93)(cid:88)(cid:36)(cid:72)(cid:89)(cid:317)(cid:202)(cid:88)(cid:93)(cid:139)(cid:36)(cid:67)(cid:113)(cid:114)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:72)(cid:58)
(cid:59)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)𝑎(cid:37)𝑏𝑐(cid:197)≠(cid:113)(cid:114)(cid:126)𝑎(cid:127)(cid:102)𝑏(cid:154)(cid:83)𝑐
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10)(cid:62)1(cid:66)(cid:71) 0(cid:72)(cid:65) =-a(cid:72)
(cid:71) >0(cid:72)(cid:65) =b(cid:72)𝑎≤ |𝑎|
(cid:131)(cid:187)𝑏 (cid:188)(cid:90)(cid:10)-a|𝑏(cid:72)|b(cid:67)
(cid:62)2(cid:66) <0(cid:72) >0(cid:72)
b(cid:72)c∵(cid:92)𝑎(cid:9)(cid:72) 𝑏𝑐
①∴ (cid:71) <0(cid:72) <0(cid:72) <0(cid:72)(cid:65)ab(cid:297)0(cid:72)ac(cid:297)0(cid:72)
𝑎 𝑏 𝑐
+ + + = +1+1+1=2(cid:72)
𝑎 𝑎𝑏 𝑎𝑐 𝑏𝑐
② ∴−𝑎(cid:71) 𝑎 < 𝑏 0(cid:72)𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 0(cid:72)−1>0(cid:72)(cid:65)ab(cid:300)0(cid:72)ac(cid:300)0(cid:72)
𝑎 𝑏 𝑐
+ + + = +1= (cid:72)
𝑎 𝑎𝑏 𝑎𝑐 𝑏𝑐
∴−𝑎 −𝑎𝑏 −𝑎𝑐 𝑏𝑐 −1−1−1 −2
(cid:235)(cid:78)(cid:106)(cid:236)(cid:72) + + + (cid:30)(cid:29)(cid:90)2(cid:89)-2(cid:67)
𝑎 𝑎𝑏 𝑎𝑐 𝑏𝑐
(cid:62)3(cid:66) |𝑎| 0(cid:72)|𝑎(cid:87)𝑏| + |𝑎𝑐| + |𝑏𝑐 = | 0(cid:72)
a(cid:72)b∵(cid:72)𝑎c𝑏𝑐(cid:154)≠(cid:289)(cid:202)(cid:139)(cid:93)𝑎(cid:88)𝑏(cid:36)(cid:72)𝑐(cid:89)(cid:317)(cid:202)(cid:88)(cid:93)(cid:139)(cid:36)(cid:67)
∴①(cid:71)a(cid:72)b(cid:72)c(cid:202)(cid:139)(cid:93)(cid:88)(cid:36)(cid:72)(cid:122)(cid:318)(cid:142)a(cid:90)(cid:93)(cid:72)b(cid:72)c(cid:90)(cid:36)(cid:72)
(cid:65) + + + + + +
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏 𝑏𝑐 𝑎𝑐 𝑎𝑏𝑐
|𝑎| |𝑏| |𝑐| |𝑎𝑏| |𝑏𝑐| |𝑎𝑐| |𝑎𝑏𝑐|
= + + + + + +
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏 𝑏𝑐 𝑎𝑐 𝑎𝑏𝑐
=𝑎
1+
−𝑏 −
+
𝑐 −𝑎𝑏
+
𝑏𝑐 −
+
𝑎𝑐
1+
𝑎𝑏𝑐
+1
=-1 (−1) (−1) (−1) (−1)
②(cid:71)a(cid:72)b(cid:72)c(cid:202)(cid:88)(cid:93)(cid:139)(cid:36)(cid:72)(cid:122)(cid:318)(cid:142)a(cid:72)b(cid:90)(cid:93)(cid:72)c(cid:90)(cid:36)(cid:72)
(cid:65) + + + + + +
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏 𝑏𝑐 𝑎𝑐 𝑎𝑏𝑐
|𝑎| |𝑏| |𝑐| |𝑎𝑏| |𝑏𝑐| |𝑎𝑐| |𝑎𝑏𝑐|
= + + + + + +
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏 𝑏𝑐 𝑎𝑐 𝑎𝑏𝑐
=𝑎
1+
𝑏
1+
−𝑐 𝑎𝑏
+1
−
+
𝑏𝑐 −𝑎𝑐
+
−𝑎𝑏𝑐
+
=-1 (−1) (−1) (−1) (−1)(cid:235)(cid:78)(cid:106)(cid:236)(cid:10) + + + + + + (cid:30)(cid:29)(cid:90)-1(cid:83)
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏 𝑏𝑐 𝑎𝑐 𝑎𝑏𝑐
(cid:15)(cid:50)(cid:219)(cid:19)(cid:189) | (cid:20) 𝑎| (cid:210)(cid:211)|𝑏|(cid:181)(cid:190)|𝑐|(cid:191)(cid:27)|𝑎𝑏(cid:28)| (cid:29)|𝑏(cid:37)𝑐|(cid:197)(cid:301)|𝑎𝑐(cid:164)| (cid:107) |𝑎 (cid:40) 𝑏𝑐 (cid:23) | (cid:30)(cid:229)(cid:281)(cid:72)(cid:129)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:203)(cid:202)(cid:47)(cid:48)(cid:165)(cid:166)(cid:30)(cid:98)(cid:9)(cid:113)(cid:114)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:83)
(cid:15)(cid:68)(cid:69)5-1(cid:19)(cid:183)(cid:101)x(cid:72)y(cid:319)(cid:90)(cid:192)(cid:23)(cid:72)(cid:87)|x﹣y|+|x﹣3|(cid:283)1(cid:72)(cid:65)x+y(cid:30)(cid:29)(cid:90) (cid:83)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19)5(cid:89)7(cid:89)8(cid:89)4
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)(cid:195)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:197)(cid:154)(cid:101)|x﹣y|(cid:53)|x﹣3|(cid:167)(cid:88)(cid:138)(cid:35)(cid:36)(cid:192)(cid:23)(cid:139)(cid:138)(cid:90)1(cid:72)(cid:139)(cid:138)(cid:90)0(cid:72)(cid:102)| |=1(cid:72)
| |=0(cid:89)| |=1(cid:72)| |=0(cid:72)(cid:248)(cid:249)(cid:129)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:103)(cid:308)(cid:320)(cid:102)(cid:154)(cid:72)(cid:83) 𝑥−𝑦
(cid:15)𝑥−(cid:204)3(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10)𝑥(cid:310)−3(cid:90) (cid:72) (cid:319)𝑥(cid:90)−(cid:192)𝑦(cid:23)(cid:72)| |+| |=1(cid:72)
(cid:154)(cid:130)(cid:10)| |=1(cid:72)𝑥| 𝑦 |=0(cid:89)| 𝑥|−=𝑦1(cid:72)|𝑥−3|=0(cid:72)
(cid:136) 𝑥=−𝑦0(cid:72) =𝑥−13(cid:72)(cid:154)(cid:130)(cid:10)𝑥−=33(cid:72) =2𝑥(cid:72)−𝑦(cid:65) + =5(cid:67)
∴(cid:136) 𝑥−3=0(cid:72) 𝑥−𝑦= (cid:72)(cid:154)(cid:130)(cid:10)𝑥 =3(cid:72)𝑦 =4(cid:72)(cid:65)𝑥 +𝑦 =7(cid:67)
(cid:136)𝑥−3=1(cid:72)𝑥−𝑦=−0(cid:72)1(cid:154)(cid:130)(cid:10) 𝑥=4(cid:72) 𝑦=4(cid:72)(cid:65) 𝑥+ 𝑦=8(cid:67)
(cid:136)𝑥−3= (cid:72)𝑥−𝑦 =0(cid:72)(cid:154)(cid:130)(cid:10)𝑥 =2(cid:72)𝑦 =2(cid:72)(cid:65)𝑥 +𝑦 =4(cid:72)
(cid:131)𝑥(cid:187)−(cid:188)3(cid:90)−51(cid:89)7𝑥−(cid:89)𝑦8(cid:89)4(cid:83) 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦
(cid:15)(cid:50)(cid:219)(cid:19)(cid:189)(cid:20)(cid:181)(cid:190)(cid:191)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:37)(cid:197)(cid:72)(cid:195)(cid:35)(cid:36)(cid:192)(cid:23)(cid:53)(cid:90)1(cid:130)(cid:200)(cid:193)(cid:23)(cid:45)(cid:115)(cid:90)1(cid:53)0(cid:72)(cid:248)(cid:249)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:129)(cid:316)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:103)
(cid:308)(cid:202)(cid:3)(cid:203)(cid:83)
(cid:15)(cid:68)(cid:69)5-2(cid:19)(cid:62)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:321)(cid:322)(cid:323)(cid:324)·(cid:217)(cid:51)(cid:208)(cid:209)(cid:66)(cid:184)(cid:233) (cid:72) (cid:72) (cid:90)(cid:35)(cid:49)(cid:107)(cid:40)(cid:23)(cid:87) + + =0(cid:72)(cid:325)(cid:326) +
| | | |
𝑎 𝑏
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏
+ + (cid:30)(cid:29)(cid:90) (cid:83)
| | | |
𝑐 𝑎𝑏𝑐
(cid:15)(cid:187)𝑐(cid:188)(cid:19) 𝑎𝑏
0
𝑐
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)(cid:189)(cid:20)(cid:181)(cid:190)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:201)(cid:107)(cid:40)(cid:23)(cid:321)(cid:65)(cid:157)(cid:44)(cid:280)(cid:281)(cid:72)(cid:293)(cid:59)“(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)”(cid:30)(cid:23)(cid:11)(cid:327)(cid:328)(cid:202)(cid:3)(cid:203)(cid:83)
(cid:116)(cid:111) (cid:201) (cid:201) (cid:202)(cid:35)(cid:49)(cid:329)(cid:23)(cid:72)(cid:87) + + =0(cid:154)(cid:101) (cid:72) (cid:72) (cid:90)(cid:88)(cid:93)(cid:139)(cid:36)(cid:89)(cid:88)(cid:36)(cid:139)(cid:93)(cid:72)(cid:147)(cid:88)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:45)(cid:115)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:69)
(cid:30)(cid:154)𝑎(cid:289)(cid:30)𝑏(cid:151)(cid:29)𝑐 (cid:72)(cid:196)(cid:61)(cid:106)(cid:107)(cid:154)(cid:289)𝑎(cid:30)(cid:29)𝑏(cid:102)(cid:154)𝑐 (cid:83) 𝑎 𝑏 𝑐
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10) (cid:72) (cid:72) (cid:90)(cid:35)(cid:49)(cid:107)(cid:40)(cid:23)(cid:87) + + =0(cid:72)
(cid:195)(cid:183)(cid:101)(cid:154)(cid:130)(cid:10)∵(cid:72)𝑎 (cid:72)𝑏 (cid:90)𝑐 (cid:88)(cid:93)(cid:139)(cid:36)(cid:89)(cid:88)(cid:36)𝑎(cid:139)(cid:93)𝑏(cid:83)𝑐
𝑎 𝑏 𝑐
①(cid:136) (cid:72)b(cid:72)c(cid:90)(cid:88)(cid:93)(cid:139)(cid:36)(cid:137)(cid:72)(cid:122)(cid:318)(cid:142) (cid:201)(cid:90)(cid:93)(cid:72) (cid:90)(cid:36)(cid:10) + + =1(cid:72) = (cid:72)
| | | | | | | |
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏𝑐
𝑎 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏𝑐 −1
+ + + = + + + =1+ =0(cid:67)
| | | | | | | |
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏𝑐
② ∴𝑎 (cid:136) (cid:72) 𝑏 b(cid:72) 𝑐 c(cid:90) 𝑎 (cid:88) 𝑏𝑐 (cid:36)(cid:139) 𝑎 (cid:93)(cid:137) 𝑏 (cid:72) − (cid:122) 𝑐 (cid:318) − (cid:142) 𝑎𝑏𝑐 (cid:201)(cid:90)(cid:36)1(cid:72)−1(cid:90)−1(cid:93)(cid:72)
𝑎 𝑎 𝑏 𝑐
+ + + = + + + = +1+1=0(cid:67)
| | | | | | | |
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏𝑐
∴𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏𝑐 −𝑎 −𝑏 𝑐 𝑎𝑏𝑐 −1−1(cid:235)(cid:78)(cid:106)(cid:236)(cid:72) + + + (cid:30)(cid:29)(cid:90)0(cid:83)
| | | | | | | |
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏𝑐
(cid:131)(cid:187)(cid:188)(cid:90)(cid:10)0 𝑎 (cid:83) 𝑏 𝑐 𝑎𝑏𝑐
(cid:15)(cid:68)(cid:69)5-3(cid:19)(cid:62)23-24(cid:330)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:331)(cid:221)(cid:215)(cid:332)·(cid:225)(cid:333)(cid:66)(cid:71)(cid:3)(cid:299)x(cid:30)(cid:103)(cid:308)|| | |= (cid:107)(cid:132)(cid:138)(cid:192)(cid:23)(cid:129)(cid:72)(cid:65) (cid:30)(cid:29)(cid:202)
( ) 𝑥−2 −1 𝑎 𝑎
A(cid:83)0 B(cid:83)1 C(cid:83)2 D(cid:83)3
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19)B
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)(cid:116)(cid:111)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:37)(cid:197)(cid:154)(cid:130) =± (cid:248)(cid:249)(cid:47)(cid:48) 2(cid:164) <2(cid:30)(cid:134)(cid:135)(cid:175)(cid:129)(cid:30)(cid:134)(cid:135)(cid:72)(cid:196)(cid:116)(cid:111)(cid:103)(cid:308)(cid:107)(cid:132)
(cid:138)(cid:192)(cid:23)(cid:129)(cid:154)(cid:130)(cid:200) (cid:30)(cid:29)(cid:83) |𝑥−2|−1 𝑎, 𝑥≥ 𝑥
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10)①𝑎(cid:71) =
(cid:136) 2(cid:137)(cid:72) |𝑥=−2|(cid:129)−1(cid:130)(cid:10)𝑎,= +3(cid:72) (cid:67)
(cid:136)𝑥≥<2(cid:137)(cid:72)𝑥−2−1=𝑎,(cid:129)(cid:130)(cid:10)𝑥=𝑎 (cid:67) 𝑎>≥−1(cid:67)
②𝑥(cid:71) 2−=𝑥−1 𝑎, 𝑥 1−𝑎 𝑎 −1
(cid:136) |𝑥2−(cid:137)2(cid:72)|−1 −𝑎,= (cid:129)(cid:130)(cid:10) = +3(cid:72) 1(cid:67)
(cid:136)𝑥≥<2(cid:137)(cid:72)𝑥−2−1=−𝑎,(cid:129)(cid:130)(cid:10)𝑥=−𝑎+1(cid:72) 𝑎<≤1(cid:67)
(cid:246)𝑥 (cid:103)(cid:308)(cid:107)(cid:132)2−(cid:138)𝑥(cid:192)−1(cid:23)(cid:129)−(cid:72)𝑎, 𝑥 𝑎 𝑎
(cid:154)∵(cid:130)(cid:10) = (cid:89)1(cid:72)(cid:116)(cid:111)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:154)(cid:130)(cid:10) 0(cid:83)
(cid:102)∴ (cid:244)(cid:289)(cid:151)𝑎1(cid:83)−1 𝑎≥
(cid:131)(cid:288)𝑎 (cid:10)B(cid:83)
(cid:15)(cid:50)(cid:219)(cid:19)(cid:189)(cid:20)(cid:181)(cid:190)(cid:316)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:139)(cid:334)(cid:139)(cid:335)(cid:103)(cid:308)(cid:72)(cid:336)(cid:337)(cid:338)(cid:57)(cid:72)(cid:212)(cid:213)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:37)(cid:197)(cid:164)(cid:122)(cid:298)(cid:69)(cid:30)(cid:129)(cid:339)(cid:30)(cid:61)(cid:64)(cid:202)(cid:3)(cid:203)(cid:83)
【题型6 多绝对值处理——零点分段】
(cid:15)(cid:171)6(cid:19)(cid:86)(cid:48) (cid:151)(cid:34)(cid:29)(cid:72)| |+| | (cid:340)(cid:239)(cid:240)(cid:72)(cid:65) (cid:30)(cid:151)(cid:29)(cid:118)(cid:119)(cid:202) (cid:83)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19) 𝑥3 𝑥−2 𝑥−5 ≥𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)𝑎(cid:45)≤(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:61)(cid:200)(cid:122)(cid:92)(cid:134)(cid:135)(cid:175)| |+| |(cid:30)(cid:151)(cid:29)(cid:102)(cid:154)(cid:61)(cid:200) (cid:30)(cid:151)(cid:29)(cid:118)(cid:119)(cid:83)
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10)(cid:49)(cid:50)(cid:90)5(cid:53)2(cid:72) 𝑥−2 𝑥−5 𝑎
(cid:136) <2(cid:137)(cid:72)
| 𝑥 |+| |= + = >3(cid:67)
(cid:136)𝑥−22 <𝑥−55(cid:137)(cid:72)2−𝑥 5−𝑥 7−2𝑥
| ≤|+𝑥| |= + =3(cid:67)
𝑥−2 𝑥−5 𝑥−2 5−𝑥(cid:136) >5(cid:137)(cid:72)
| 𝑥 |+| |= + = >3(cid:67)
(cid:235)𝑥−(cid:78)2(cid:72)| 𝑥−|5+| 𝑥−2| 3𝑥−(cid:72)5 2𝑥−7
(cid:65)(cid:136) 𝑥−3(cid:137)2(cid:72)|𝑥−5|+≥| | (cid:341)(cid:239)(cid:240)(cid:83)
(cid:131)(cid:187)𝑎(cid:188)≤(cid:90)(cid:10) 𝑥3−(cid:83)2 𝑥−5 ≥𝑎
(cid:15)(cid:50)(cid:219)(cid:19)(cid:189)(cid:20)𝑎≤(cid:181)(cid:190)(cid:30)(cid:101)(cid:260)(cid:50)(cid:202)(cid:61)(cid:139)(cid:334)(cid:139)(cid:335)(cid:122)(cid:298)(cid:69)(cid:30)(cid:129)(cid:339)(cid:201)(cid:126)(cid:127)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:201)(cid:316)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:139)(cid:334)(cid:139)(cid:335)(cid:122)(cid:298)(cid:69)(cid:72)(cid:129)(cid:20)
(cid:3)(cid:203)(cid:202)(cid:28)(cid:316)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:122)(cid:298)(cid:69)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:61)(cid:129)(cid:83)
(cid:15)(cid:68)(cid:69)6-1(cid:19)(cid:183)(cid:101)| +4|+| |=10(cid:72)(cid:61)x(cid:30)(cid:29)(cid:83)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19) = 6(cid:89)𝑥4 𝑥−2
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)𝑥(cid:129)(cid:10)−(cid:295)(cid:105)(cid:49)(cid:50)(cid:72)(cid:128) +4=0(cid:72) =0(cid:72)(cid:45)(cid:115)(cid:129)(cid:130) = (cid:72) =2(cid:83)
(cid:70)(cid:136) < (cid:137)(cid:72) + 𝑥 =10(cid:72)𝑥−2 =12(cid:72) = 𝑥(cid:67) −4 𝑥
(cid:73)(cid:136)𝑥 −4 2(cid:137)−((cid:72)𝑥 +4)−(𝑥−+22)=10(cid:72)(cid:86)−2(cid:129)𝑥(cid:67) 𝑥 −6
(cid:74)(cid:136)−4>≤2(cid:137)𝑥(cid:72)≤ +4+𝑥 4−=𝑥 10(cid:72) =4(cid:83)
(cid:235)(cid:78)𝑥(cid:106)(cid:236)(cid:72) =𝑥 6(cid:89)4𝑥(cid:83)−2 𝑥
(cid:15)(cid:68)(cid:69)6-2(cid:19)𝑥(cid:183)(cid:101)− 2(cid:72)(cid:61)| | | +2|(cid:30)(cid:54)(cid:57)(cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:83)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19)(cid:54)(cid:57)(cid:29)(cid:90)𝑥5≤(cid:72)(cid:54)(cid:55)(cid:29)𝑥(cid:90)−3 −3 𝑥
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10)(cid:105)(cid:81)(cid:49)(cid:50)3(cid:72) (cid:72)−(cid:43)(cid:44)x 2(cid:154)(cid:301)(cid:45)(cid:90)(cid:301)(cid:175)(cid:88)(cid:51)(cid:113)(cid:114)(cid:45)(cid:159)(cid:10)
(cid:136) x 2(cid:137)(cid:72)| | |x−+22|= ≤ = (cid:72)(cid:107)(cid:54)(cid:55)(cid:29) 3(cid:53)(cid:54)(cid:57)(cid:29)5(cid:67)
(cid:136)−x2<≤ (cid:137)≤(cid:72)(cid:72)| x−|3|−x+2|= 3−+x−xx+−22=15−(cid:83)2x −
(cid:235)(cid:78)(cid:154)−(cid:130)2(cid:54)(cid:57)(cid:29)(cid:90)x−53(cid:72)−(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90) 33−(cid:83)x
(cid:15)(cid:68)(cid:69)6-3(cid:19)(cid:71)| |=2| +1−|+4(cid:72)(cid:61)x(cid:30)(cid:29)(cid:83)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19)x= 1𝑥0−(cid:89)122 𝑥
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10)−(cid:49)(cid:50)(cid:90)12(cid:53) 1(cid:72)(cid:45)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:47)(cid:48)(cid:10)
(cid:70)(cid:136)x< (cid:137)(cid:72) =− +1)+4(cid:72)(cid:129)(cid:130)x= (cid:67)
(cid:73)(cid:136) −1x<12−(cid:137)(x(cid:72)−12) −2(=x2(x+1)+4(cid:72)(cid:129)(cid:130)x−=102(cid:67)
(cid:74)(cid:136)−x1≤12(cid:137)(cid:72) −=(2x(−x1+2)1)+4(cid:72)(cid:129)(cid:130)x= <12(cid:122)(cid:239)(cid:240)(cid:83)
(cid:235)(cid:78)(cid:106)≥(cid:236)(cid:72)x= x−1012(cid:89)2(cid:83) −18
【题型7 多绝对 − 值之和的最小值】
(cid:15)(cid:171)7(cid:19)(cid:62)23-24(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:321)(cid:322)(cid:239)(cid:340)·(cid:225)(cid:152)(cid:66)(cid:142) =| |(cid:72) =| |(cid:72) =| +12|(cid:72)(cid:65) + + (cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)
𝑎 𝑥−3 𝑏 𝑥−1 𝑐 𝑥 3𝑎 𝑏 𝑐(cid:202) (cid:83)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19)17
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)(cid:189)(cid:20)(cid:181)(cid:190)(cid:191)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:53)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:88)(cid:50)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:72)(cid:220)(cid:208)(cid:212)(cid:213)(cid:59)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:79)(cid:80)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:88)(cid:50)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:202)(cid:129)(cid:20)(cid:3)
(cid:203).
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10) = = = +12|
+ + =∵𝑎 |𝑥−+3|,𝑏 |+𝑥−1 |,𝑐+12||𝑥
(cid:310)∴(cid:90)3𝑎 𝑏 𝑐+ 3|𝑥−+3| +|𝑥−121||(cid:79)(cid:80)|𝑥 (cid:81)1(cid:72) (cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:301)(cid:164)(cid:81)3(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:30)3(cid:342)(cid:52)(cid:53)(cid:72)
(cid:106)(cid:301)(cid:136)3|𝑥−=3|3(cid:137)|(cid:72)𝑥−(cid:304)1|(cid:343)(cid:30)|𝑥(cid:75)(cid:76)(cid:52)(cid:53)(cid:54)𝑥(cid:55)(cid:72) −12
(cid:226)(cid:137) 𝑥+ + =17(cid:67)
(cid:131)(cid:187)3(cid:188)𝑎(cid:90): 𝑏17.𝑐
(cid:15)(cid:68)(cid:69)7-1(cid:19)(cid:62)23-24(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:331)(cid:221)(cid:344)(cid:345)·(cid:217)(cid:51)(cid:208)(cid:209)(cid:66)(cid:69)(cid:186) +100|+ + (cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:202) (cid:83)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19)105 |𝑥 |𝑥−2| |𝑥−5|
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)(cid:58)(cid:59)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:198)(cid:199)(cid:102)(cid:154)(cid:83)
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10) +100|+ + (cid:79)(cid:80)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:139)(cid:138)(cid:274)(cid:50) (cid:81) (cid:132)(cid:138)(cid:50)(cid:52)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:52)(cid:53)(cid:72)
(cid:136) =2(cid:137)(cid:72)∵|𝑥+100|+ |𝑥−2+| |𝑥−5(cid:54)| (cid:55)(cid:72)(cid:226)(cid:137)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90)|2𝑥+1−0100|0+,2|,5 |+| |
∴=10𝑥2+0+3|𝑥=105(cid:72) |𝑥−2| |𝑥−5| 2−2 2−5
(cid:131)(cid:187)(cid:188)(cid:90)(cid:10)105(cid:83)
(cid:15)(cid:50)(cid:219)(cid:19)(cid:189)(cid:20)(cid:181)(cid:190)(cid:191)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:72)(cid:220)(cid:346)(cid:33)(cid:138)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:53)(cid:30)(cid:347)(cid:348)(cid:301)(cid:164)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:202)(cid:129)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:203)(cid:83)
(cid:15)(cid:68)(cid:69)7-2(cid:19)(cid:242)(cid:129)(cid:187)(cid:175)(cid:150)(cid:155)(cid:20)(cid:10)
①(cid:136)(cid:22)(cid:23)(cid:69)| +1|+| |(cid:151)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:137)(cid:72) (cid:30)(cid:151)(cid:29)(cid:118)(cid:119)(cid:202) (cid:72)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90) (cid:83)
②(cid:61)| |+𝑥| |+|𝑥−1|+ +| |𝑥(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90) (cid:83)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)𝑥(cid:19)−1 𝑥−2 𝑥−13 ⋯2 𝑥 −21444
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)(cid:189)(cid:20)(cid:210)−(cid:211)1(cid:181)≤(cid:190)𝑥≤(cid:191)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:293)(cid:59)(cid:72)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:88)(cid:50)(cid:75)(cid:76)(cid:280)(cid:281)(cid:72)①(cid:195)(cid:20)(cid:31)(cid:130)(cid:72)| +1|+| |(cid:79)(cid:80)(cid:30)(cid:202)
(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:23)x(cid:30)(cid:50)(cid:81)(cid:79)(cid:80)(cid:23)1(cid:53)(cid:23) (cid:30)(cid:50)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:52)(cid:53)(cid:72)(cid:142)(cid:50)A(cid:72)(cid:50)B(cid:72)(cid:50)C(cid:79)(cid:80)(cid:30)𝑥(cid:23)(cid:45)(cid:115)(cid:90)𝑥−1(cid:72)1(cid:72)x(cid:72)
(cid:65)| +1|+| |= + (cid:72)(cid:45)(cid:50)C−(cid:109)1 (cid:50)A(cid:237)(cid:238)(cid:72)(cid:50)C(cid:109)(cid:50)A(cid:53)(cid:50)B(cid:52)(cid:85)(cid:137)(cid:62)(cid:349)(cid:350)A(cid:53)B(cid:66)(cid:72)−1(cid:50)C(cid:109)(cid:50)B
(cid:241)(cid:238)𝑥(cid:72)(cid:132)(cid:133)(cid:134)𝑥−(cid:135)1(cid:43)(cid:44)𝐴(cid:23)𝐶(cid:77)(cid:154)𝐵𝐶(cid:130)(cid:136)(cid:50)C(cid:109)(cid:50)A(cid:53)(cid:50)B(cid:52)(cid:85)(cid:137)(cid:62)(cid:349)(cid:350)A(cid:53)B(cid:66)(cid:72) + (cid:107)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:72)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90)
(cid:30)(cid:351)(cid:67)(cid:65)(cid:136) 1(cid:137)(cid:72)| +1|+| |(cid:151)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:72)(cid:111)(cid:226)(cid:61)(cid:129)(cid:102)(cid:154)(cid:67)②(cid:92)①𝐴𝐶(cid:154)(cid:101)𝐵(cid:136)𝐶1 24(cid:137)(cid:72) 𝐴𝐵
| |+| −1|≤(cid:107)𝑥(cid:54)≤(cid:55)(cid:29)(cid:72)(cid:136)𝑥2 2𝑥3−(cid:137)1(cid:72)| |+| |(cid:107)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:72)(cid:136)3 22(cid:137)(cid:72)≤|𝑥≤ |+| |(cid:107)
(cid:54)𝑥−(cid:55)1(cid:29)(cid:72)𝑥…−…2(cid:72)4(cid:136)12 13(cid:137)≤(cid:72)𝑥|≤ |+| 𝑥−2|(cid:107)(cid:54)𝑥(cid:55)−2(cid:29)3(cid:72)(cid:65)(cid:136)12 ≤13𝑥(cid:137)≤(cid:72) 𝑥−3 𝑥−22
≤𝑥≤ 𝑥−12 𝑥−13 ≤𝑥≤| |+| |+| |+ +| |(cid:107)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:72)(cid:111)(cid:226)(cid:61)(cid:129)(cid:102)(cid:154)(cid:83)
(cid:15)𝑥−(cid:204)1(cid:129)(cid:19)𝑥(cid:129)−(cid:10)2①(cid:195)𝑥−(cid:20)3(cid:31)(cid:130)⋯(cid:72)| 𝑥+−12|4+| |(cid:79)(cid:80)(cid:30)(cid:202)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:23)x(cid:30)(cid:50)(cid:81)(cid:79)(cid:80)(cid:23)1(cid:53)(cid:23) (cid:30)(cid:50)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:52)
(cid:53)(cid:72) 𝑥 𝑥−1 −1
(cid:142)(cid:50)A(cid:72)(cid:50)B(cid:72)(cid:50)C(cid:79)(cid:80)(cid:30)(cid:23)(cid:45)(cid:115)(cid:90) (cid:72)1(cid:72)x(cid:72)(cid:65)| +1|+| |= + (cid:72)
(cid:136)(cid:50)C(cid:109)(cid:50)A(cid:237)(cid:238)(cid:137)(cid:72) + = −1 + > 𝑥(cid:67) 𝑥−1 𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐴𝐶 𝐵𝐶 2𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐵
(cid:136)(cid:50)C(cid:109)(cid:50)A(cid:53)(cid:50)B(cid:52)(cid:85)(cid:137)(cid:62)(cid:349)(cid:350)A(cid:53)B(cid:66)(cid:72)(cid:65) + = (cid:67)
𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵
(cid:136)(cid:50)C(cid:109)(cid:50)B(cid:241)(cid:238)(cid:137)(cid:72)(cid:65) + = + > (cid:67)
𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵 2𝐵𝐶 𝐴𝐵
(cid:235)(cid:78)(cid:106)(cid:236)(cid:72)(cid:136)(cid:50)C(cid:109)(cid:50)A(cid:53)(cid:50)B(cid:52)(cid:85)(cid:137)(cid:62)(cid:349)(cid:350)A(cid:53)B(cid:66)(cid:72) + (cid:107)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:72)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90) (cid:30)(cid:351)(cid:67)
(cid:136) 1(cid:137)(cid:72)| +1|+| |(cid:151)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:72)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90) 𝐴(𝐶 )𝐵=𝐶2(cid:72) 𝐴𝐵
∴(cid:131)(cid:187)−(cid:188)1(cid:90)≤(cid:10)𝑥≤ 𝑥1(cid:67)2(cid:67) 𝑥−1 1− −1
②(cid:92)①(cid:154)(cid:101)−(cid:136)1≤1 𝑥≤ 24(cid:137)(cid:72)| |+| |(cid:107)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:72)
(cid:136)2 23(cid:137)(cid:72)≤| 𝑥≤|+| 𝑥|−(cid:107)1(cid:54)(cid:55)𝑥(cid:29)−(cid:72)24
(cid:136)3≤𝑥≤22(cid:137)(cid:72)|𝑥−2|+|𝑥−23|(cid:107)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:72)
……(cid:72)≤𝑥≤ 𝑥−3 𝑥−22
(cid:136)12 13(cid:137)(cid:72)| |+| |(cid:107)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:72)
(cid:235)(cid:78)(cid:106)≤(cid:236)𝑥(cid:72)≤(cid:136)12 𝑥−1123(cid:137)(cid:72)𝑥|−13|+| |(cid:72)| |+| |(cid:72)| |+| |(cid:72)…(cid:72)| |+| |(cid:289)
(cid:92)(cid:137)(cid:151)(cid:130)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:72)≤(cid:102)𝑥(cid:136)≤12 𝑥−131(cid:137)(cid:72)𝑥|−24|+|𝑥−2|+|𝑥−2|3+ 𝑥+−|3 𝑥|(cid:107)−2(cid:54)2(cid:55)(cid:29)(cid:72)(cid:54)𝑥−(cid:55)1(cid:29)2 (cid:90) 𝑥−13
+ + + ≤𝑥≤+ + 𝑥−1=14𝑥4−(cid:72)2 𝑥−3 ⋯ 𝑥−24
2(cid:131)4(cid:187)−1(cid:188)(cid:90)2(cid:10)3−1244(cid:83)22−3 21−4 ⋯ 13−12
(cid:15)(cid:68)(cid:69)7-3(cid:19)(cid:62)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:352)(cid:353)(cid:354)(cid:355)·(cid:225)(cid:152)(cid:66)(cid:142)(cid:107)(cid:40)(cid:23)a(cid:72)b(cid:72)c(cid:72)(cid:231)(cid:232) <0(cid:72) >0(cid:72)(cid:87)| |<| |<| |(cid:72)
2 2 𝑎 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
(cid:65) | + |+ | |+| + |(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90) (cid:83)
3 3
𝑥 𝑎 𝑥−𝑏 𝑥 𝑐
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19) (cid:89)
3 3
2𝑏−𝑎+3𝑐 𝑏−2𝑎+3𝑐
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)(cid:189)(cid:20)(cid:181)(cid:190)(cid:191)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:37)(cid:197)(cid:201)(cid:192)(cid:69)(cid:30)(cid:193)(cid:194)(cid:72)(cid:116)(cid:111)(cid:20)(cid:31)(cid:112) (cid:45)(cid:239) >0(cid:137)(cid:72)(cid:102) <0< < (cid:67) <0(cid:137)(cid:72)
(cid:102) < <0< (cid:72)(cid:116)(cid:111)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:37)(cid:197)(cid:164)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:113)(cid:114)(cid:126)(cid:127)𝑏(cid:72)(cid:102)(cid:154)𝑏(cid:61)(cid:129)(cid:67)(cid:40)(cid:129)−(cid:27)𝑐(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)−𝑎(cid:34)(cid:31)𝑏(cid:32)(cid:72)𝑏 (cid:289)(cid:113)(cid:114)
−𝑐 𝑏 −𝑎(cid:45)(cid:46)(cid:113)(cid:114)(cid:47)(cid:48)(cid:202)(cid:129)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:203)(cid:83)
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10) | |<| |<| |(cid:72) <0(cid:72) >0(cid:72)
(cid:131)(cid:136) >0(cid:137)(cid:72)∵ 𝑎<0<𝑏 <𝑐(cid:72)(cid:102)𝑎 <0𝑐< < (cid:72)
2 𝑏 2 𝑎 𝑏 𝑐 −𝑐 −𝑎 𝑏
| + |+ | |+| + |
3 3
∵ 𝑥 𝑎 𝑥−𝑏 𝑥 𝑐
2 1
= | ( )|+| |+| ( )| + | ( )|(cid:72)
3 3
(cid:136) = 𝑥− −(cid:137)𝑎 (cid:72) 𝑥−𝑏 𝑥− −𝑐 𝑥− −𝑐
∴| 𝑥( )−|𝑎+| |+| ( )|(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90) (cid:81) (cid:52)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:72)
|𝑥−(−𝑎)|(cid:90) 𝑥−(cid:81)𝑏 (cid:52)𝑥(cid:85)−(cid:30)−(cid:75)𝑐 (cid:76)(cid:72) 𝑏 −𝑐
𝑥2− −𝑐 −𝑎 −𝑐 1
| ( )|+| |+| ( )| + | ( )|(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90)
3 3
∴2 𝑥− −𝑎 1𝑥−𝑏 𝑥− −𝑐 𝑥− −𝑐
( ) + ( )
3 3
𝑏−+−𝑐 −+𝑎− −𝑐
= +
3 3
2𝑏 2𝑐 −𝑎 𝑐
= (cid:67)
3
2𝑏−𝑎+3𝑐
(cid:136) <0(cid:137)(cid:72) < <0< (cid:72)
(cid:102)𝑏 < <0𝑏< 𝑎 (cid:72) 𝑐
2−𝑐 𝑏 2 −𝑎
| + |+ | |+| + |
3 3
∵ 𝑥 𝑎 𝑥−𝑏 𝑥 𝑐
2 1
= | ( )|+| |+| ( )| + | ( )|(cid:67)
3 3
(cid:136) = 𝑥−(cid:137)−𝑎(cid:72) 𝑥−𝑏 𝑥− −𝑐 𝑥− −𝑐
∴| 𝑥( )𝑏|+| |+| ( )|(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90) (cid:81) (cid:52)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:72)
|𝑥−(−𝑎)|(cid:90) (cid:81)𝑥−𝑏 (cid:52)(cid:85)𝑥(cid:30)−(cid:75)−𝑐(cid:76)(cid:72) −𝑎 −𝑐
𝑥2− −𝑐 𝑏 −𝑐 1 2 1
| ( )|+| |+| ( )| + | ( )|(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90) ( ) + ( )
3 3 3 3
∴ 𝑥−+−𝑎 𝑥+−𝑏 𝑥− −𝑐 𝑥− −𝑐 −𝑎− −𝑐 𝑏− −𝑐
= +
3 3
−2𝑎 2𝑐 𝑏 𝑐
= (cid:72)
3
𝑏−2𝑎+3𝑐
2b−a 3c b−2a 3c
(cid:131)(cid:187)(cid:188)(cid:90)(cid:10) (cid:89) (cid:83)
3 3
+ +
【题型8 多绝对值之差的最大值】
(cid:15)(cid:171)8(cid:19)(cid:62)22-23(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:321)(cid:322)(cid:239)(cid:340)·(cid:225)(cid:152)(cid:66)(cid:71)| +1|+| |(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:356)(cid:90) (cid:72)| | | |(cid:30)(cid:54)(cid:57)(cid:29)(cid:356)(cid:90)
𝑥 𝑥−1 𝑛 −𝑥−1 − 𝑥−1(cid:72)(cid:65) = (cid:83)
𝑚
𝑚(cid:15)(cid:187)(cid:188)−(cid:19)𝑛
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)−(cid:189)4(cid:20)(cid:181)(cid:190)(cid:191)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:126)(cid:127)(cid:72)(cid:192)(cid:69)(cid:30)(cid:193)(cid:194)(cid:72)(cid:357)(cid:295)(cid:105)(cid:81)(cid:358)(cid:50)(cid:72)(cid:124)(cid:243) (cid:30)(cid:151)(cid:29)(cid:118)(cid:119)(cid:72)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:124)(cid:243) (cid:53)
(cid:30)(cid:29)(cid:72)(cid:196)(cid:280)(cid:281) (cid:30)(cid:29)(cid:72)(cid:229)(cid:59)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:202)(cid:129)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:203)(cid:83) 𝑥 𝑛 𝑚
𝑚
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10)−(cid:136)𝑛 (cid:137)(cid:72)| +1|+| |= +1= 2(cid:72)
(cid:136) < <1∵(cid:137)(cid:72)𝑥|≤+−11|+| 𝑥 |= +𝑥1−+1 −𝑥=−21(cid:72)−𝑥 −2𝑥≥
(cid:136)−1 1(cid:137)𝑥(cid:72)| +1|𝑥+| |=𝑥−1+1+𝑥 ( )1=−𝑥 2(cid:72)
𝑥=≥2(cid:72) 𝑥 𝑥−1 𝑥 𝑥−1 2𝑥≥
∴(cid:136)𝑛 (cid:137)(cid:72)| | | |= ( )= (cid:67)
(cid:136)∵ 𝑥≤<−1<1(cid:137)(cid:72)−𝑥|−1 −|𝑥−|1 |−=𝑥−1+− 1−( 𝑥 )=−2 (cid:72) < <2(cid:67)
(cid:136)−1 1(cid:137)𝑥(cid:72)| |−𝑥|−1 −|=𝑥−1+ 𝑥( 1−)=1−2𝑥(cid:72) 2𝑥 −2 2𝑥
𝑥=≥2(cid:72) −𝑥−1 − 𝑥−1 𝑥 1− 𝑥−1
∴𝑚 = 2 = (cid:72)
𝑚 2
(cid:131)∴−(cid:187)𝑛(cid:188)(cid:90)−(cid:10) (cid:83)−4
(cid:15)(cid:68)(cid:69)8-1(cid:19)−(cid:62)424-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:359)(cid:360)(cid:361)(cid:359)·(cid:225)(cid:152)(cid:66)(cid:71)(cid:50) (cid:201) (cid:109)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:45)(cid:115)(cid:79)(cid:80)(cid:107)(cid:40)(cid:23) (cid:201)(cid:72)(cid:65) (cid:201) (cid:88)(cid:50)(cid:52)(cid:85)
(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:79)(cid:80)(cid:90) = 𝐴 𝐵 𝑎 𝑏 𝐴 𝐵
(cid:62)1(cid:66)(cid:71) 𝐴=𝐵2(cid:72)|(cid:167)𝑎−(cid:362)𝑏|(cid:30)(cid:23)x(cid:90) (cid:67)
(cid:62)2(cid:66)(cid:43)|(cid:44)𝑥−(cid:23)3(cid:77)| (cid:271)(cid:272)(cid:10)(cid:363)(cid:109)x(cid:30)(cid:29)(cid:72)(cid:99)(cid:69)(cid:186) + (cid:107)(cid:54)(cid:57)(cid:29)(cid:72)(cid:167)(cid:138)(cid:54)(cid:57)(cid:29)(cid:202) (cid:83)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19) 5(cid:89)1 6 |𝑥 1|−|𝑥−5|
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)(cid:189)(cid:20)(cid:210)(cid:211)(cid:181)(cid:190)(cid:191)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:243)(cid:32)(cid:72)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:88)(cid:50)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:298)(cid:101)(cid:260)(cid:72)
(cid:62)1(cid:66)(cid:116)(cid:111)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:88)(cid:50)(cid:52)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:7)(cid:69)(cid:280)(cid:281)(cid:102)(cid:154)(cid:67)
(cid:62)2(cid:66)(cid:45) < (cid:201) 5(cid:201) >5(cid:45)(cid:115)(cid:126)(cid:127)(cid:72)(cid:43)(cid:44)x(cid:30)(cid:151)(cid:29)(cid:118)(cid:119)(cid:124)(cid:243)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:29)(cid:30)(cid:118)(cid:119)(cid:72)(cid:285)(cid:286)(cid:61)(cid:200)(cid:22)(cid:23)(cid:69)
(cid:30)(cid:54)(cid:57)(cid:29)𝑥(cid:67) −1 −1≤𝑥≤ 𝑥
(cid:220)(cid:208)(cid:212)(cid:213)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:243)(cid:32)(cid:202)(cid:129)(cid:156)(cid:226)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:203)(cid:83)
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:62)1(cid:66)(cid:195)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:101)(cid:10)| |=2(cid:79)(cid:80)(cid:109)(cid:23)(cid:77)(cid:78)x(cid:79)(cid:80)(cid:30)(cid:50)(cid:81)3(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:298)(cid:299)2(cid:72)
=3+2=5(cid:72)(cid:89) = =1(cid:72) 𝑥−3
∴𝑥=5(cid:89)1(cid:67) 𝑥 3−2
∴(cid:131)𝑥(cid:187)(cid:188)(cid:90)(cid:10)5(cid:89)1(cid:67)
(cid:62)2(cid:66)(cid:136) < (cid:137)(cid:72)(cid:102)(cid:79)(cid:61)x(cid:30)(cid:50)(cid:109) (cid:30)(cid:237)(cid:238)(cid:137)(cid:72)| +1| | |= ( )= + =
𝑥 −1 −1 𝑥 − 𝑥−5 −𝑥−1− 5−𝑥 −𝑥−1−5 𝑥 −6(cid:136) 5(cid:137)(cid:72)(cid:102)(cid:79)(cid:61)x(cid:30)(cid:50)(cid:109) (cid:53)5(cid:52)(cid:85)(cid:137)| +1| | |= + ( )= + + = (cid:72)
−1≤𝑥≤ 6(cid:72) −1 𝑥 − 𝑥−5 𝑥 1− 5−𝑥 𝑥 1−5 𝑥 2𝑥−4
(cid:136)∴−6>≤52(cid:137)𝑥−(cid:72)4(cid:102)≤(cid:79)(cid:61)x(cid:30)(cid:50)(cid:109)5(cid:30)(cid:241)(cid:238)(cid:137)| +1| | |= + ( )= +1+ =6(cid:72)
|𝑥+1| | |(cid:30)(cid:54)(cid:57)(cid:29)(cid:90)6(cid:72) 𝑥 − 𝑥−5 𝑥 1− 𝑥−5 𝑥 5−𝑥
(cid:131)∴ 𝑥(cid:187)(cid:188)(cid:90)−(cid:10)𝑥6−(cid:83)5
(cid:15)(cid:68)(cid:69)8-2(cid:19)(cid:62)22-23(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:331)(cid:221)(cid:215)(cid:332)·(cid:225)(cid:152)(cid:66)| | | |(cid:30)(cid:54)(cid:57)(cid:29)(cid:90) (cid:83)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19)3 𝑥−2 − 𝑥−5
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)(cid:45)(cid:136) <2(cid:201)2 5(cid:301)(cid:164) >5(cid:137)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:47)(cid:48)(cid:83)(cid:113)(cid:286)(cid:130)(cid:200)(cid:187)(cid:188)(cid:83)
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10)𝑥(cid:136) <2(cid:137)≤(cid:72)𝑥| ≤ | | 𝑥 |= ( )= + = (cid:67)
(cid:136)2 5(cid:137)(cid:72)𝑥| | | 𝑥−|2=− 𝑥−5( 2−)𝑥=− 5−𝑥+ 2−=𝑥 𝑥−5 3−(cid:67)3
(cid:136) >≤5𝑥(cid:137)≤(cid:72)| |𝑥−|2 − |𝑥−=5 𝑥−(2− )5−=𝑥 𝑥+−2 𝑥=−35(cid:67) 2𝑥−7≤
|𝑥 | | 𝑥|−(cid:30)2(cid:54)−(cid:57)𝑥(cid:29)−5(cid:90)3(cid:72)𝑥−2− 𝑥−5 𝑥−2 5−𝑥
∴(cid:131)𝑥(cid:187)−(cid:188)2(cid:90)−(cid:10)𝑥−35(cid:83)
(cid:15)(cid:50)(cid:219)(cid:19)(cid:226)(cid:20)(cid:210)(cid:211)(cid:181)(cid:190)(cid:191)(cid:35)(cid:36)(cid:23)(cid:30)(cid:37)(cid:197)(cid:72)(cid:93)(cid:124)(cid:58)(cid:59)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:37)(cid:197)(cid:202)(cid:129)(cid:20)(cid:3)(cid:203)(cid:83)
(cid:15)(cid:68)(cid:69)8-3(cid:19)(cid:62)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:221)(cid:222)(cid:86)(cid:364)·(cid:217)(cid:51)(cid:208)(cid:209)(cid:66)(cid:136)(cid:69)(cid:186)| | | +5|(cid:151)(cid:130)(cid:54)(cid:57)(cid:29)(cid:137)(cid:72)x(cid:30)(cid:54)(cid:57)(cid:192)(cid:23)(cid:29)
(cid:202) (cid:83) 𝑥−3 − 𝑥
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19)
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)(cid:189)−5(cid:20)(cid:210)(cid:211)(cid:181)(cid:190)(cid:191)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:72)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:88)(cid:50)(cid:75)(cid:76)(cid:280)(cid:281)(cid:72)(cid:116)(cid:111)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:154)(cid:130)| |(cid:79)(cid:80)
(cid:30)(cid:202)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)x(cid:30)(cid:23)(cid:84)(cid:79)(cid:80)3(cid:30)(cid:23)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:72)| +5|(cid:79)(cid:80)(cid:30)(cid:202)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)x(cid:30)(cid:23)(cid:84)(cid:79)(cid:80) (cid:30)(cid:23)(cid:30)(cid:75)𝑥−(cid:76)3(cid:72)(cid:111)
(cid:226)(cid:47)(cid:48)x(cid:30)(cid:160)(cid:161)(cid:72)(cid:124)(cid:243)(cid:151)(cid:130)(cid:54)(cid:57)(cid:29)(cid:30)(cid:134)(cid:42)(cid:102)(cid:154)(cid:130)𝑥(cid:81)(cid:187)(cid:188)(cid:83) −5
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10)(cid:195)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:154)(cid:101)(cid:72)| |(cid:79)(cid:80)(cid:30)(cid:202)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)x(cid:30)(cid:23)(cid:84)(cid:79)(cid:80)3(cid:30)(cid:23)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:72)| +5|(cid:79)
(cid:80)(cid:30)(cid:202)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)x(cid:30)(cid:23)(cid:84)(cid:79)(cid:80) (cid:30)(cid:23)(cid:30)(cid:75)𝑥−(cid:76)3(cid:72) 𝑥
(cid:136)x(cid:109) (cid:237)(cid:365)(cid:62)(cid:349)(cid:316) (cid:66)(cid:137)(cid:72)|−5 | | +5|(cid:30)(cid:29)(cid:102)(cid:90) (cid:81)3(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:72)(cid:102)(cid:90) ( )=8(cid:72)
(cid:136)x(cid:109)−35(cid:30)(cid:241)(cid:365)(cid:62)(cid:349)(cid:316)−53(cid:66)(cid:137)(cid:72)|𝑥−3|−|𝑥 +5|(cid:30)(cid:29)(cid:102)(cid:90)−5(cid:72) 3− −5
(cid:136)x(cid:109) (cid:53)3(cid:52)(cid:85)(cid:137)(cid:72)| | |𝑥+−35|−(cid:30)𝑥(cid:29)(cid:139)(cid:243)(cid:55)(cid:299)8(cid:72)−8
(cid:235)(cid:78)(cid:106)−(cid:236)5(cid:72)(cid:136) (cid:137)(cid:72)𝑥−| 3 −|𝑥| +5|(cid:151)(cid:130)(cid:54)(cid:57)(cid:29)(cid:72)(cid:226)(cid:137)x(cid:30)(cid:54)(cid:57)(cid:29)(cid:90) (cid:72)
(cid:131)(cid:187)(cid:188)(cid:90)(cid:10) 𝑥(cid:83)≤−5 𝑥−3 − 𝑥 −5
【题型9 绝 −5 对值和差的最值】
(cid:15)(cid:171)9(cid:19)(cid:62)22-23(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:331)(cid:221)(cid:366)(cid:264)·(cid:217)(cid:51)(cid:208)(cid:209)(cid:66)(cid:69)(cid:186)| |+2| |+3| |+2| |+| |(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)
𝑥−1 𝑥−2 𝑥−3 𝑥−4 𝑥−5(cid:202) (cid:83)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19)8
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)(cid:189)(cid:20)(cid:210)(cid:211)(cid:181)(cid:190)(cid:191)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:83)(cid:220)(cid:208)(cid:212)(cid:213)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:126)(cid:127)(cid:72)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:72)(cid:202)(cid:129)(cid:156)(cid:155)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:203)(cid:83)
(cid:129)(cid:64)(cid:139)(cid:10)(cid:45) 1(cid:72)1 2(cid:72)2 3(cid:72)3 4(cid:72)4 5(cid:72) 5(cid:47)(cid:48)(cid:72)(cid:61)(cid:200)(cid:282)(cid:367)(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:72)(cid:196)(cid:368)(cid:338)
(cid:102)(cid:130)(cid:67) 𝑥≤ ≤𝑥≤ ≤𝑥≤ ≤𝑥≤ ≤𝑥≤ 𝑥≥
(cid:129)(cid:64)(cid:307)(cid:10)(cid:195)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:154)(cid:101)(cid:136)1 5(cid:137)(cid:72)| |+| |(cid:107)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:72)(cid:92)(cid:40)(cid:154)(cid:101)(cid:136)2 4(cid:137)(cid:72)
| |+| |(cid:107)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:72)(cid:136) =3(cid:137)(cid:72)|≤𝑥|≤(cid:107)(cid:54)(cid:55)(cid:29)𝑥(cid:72)−1(cid:54)(cid:55)(cid:29)𝑥−(cid:90)50(cid:72)(cid:65)(cid:136) =3(cid:137)(cid:72)| |+≤|𝑥≤|(cid:72)| |+
|𝑥−2|(cid:72)| 𝑥−4|(cid:289)(cid:92)(cid:137)(cid:151)(cid:81)(cid:54)(cid:55)𝑥(cid:29)(cid:72)(cid:113)(cid:286)(cid:154)𝑥−(cid:130)3(cid:136) =3(cid:137)(cid:72)| |+2| |+3𝑥| |+2| 𝑥−1|+| 𝑥−5|(cid:107)(cid:54)𝑥(cid:55)−2(cid:29)(cid:72)
(cid:111)𝑥−(cid:226)4(cid:61)(cid:129)𝑥(cid:102)−3(cid:154)(cid:83) 𝑥 𝑥−1 𝑥−2 𝑥−3 𝑥−4 𝑥−5
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:64)(cid:139)(cid:10)(cid:142)| |+2| |+3| |+2| |+| |= (cid:72)
(cid:136) 1(cid:137)(cid:72) = ( 𝑥−)1 ( 𝑥−)2 ( 𝑥−)3 ( 𝑥−)4( 𝑥−)5 𝑦
=𝑥≤+ 𝑦+ − 𝑥−+1 −2 𝑥−+2 −3 +𝑥−53 −2 𝑥−4 − 𝑥−5
=−𝑥 +1−227𝑥(cid:72) 4−3𝑥 9−2𝑥 8−𝑥
−91𝑥8(cid:72)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90)(cid:10)18(cid:67)
(cid:136)∴𝑦1≥ 2(cid:137)(cid:72)
=≤( 𝑥≤) ( ) ( ) ( ) ( )
𝑦= 𝑥−1 −+2 𝑥−2 +−3 𝑥−3+−2 𝑥−+45− 𝑥−5
=𝑥−1−+2𝑥25(cid:72)4−3𝑥 9−2𝑥 8−𝑥
11−7𝑥 18(cid:72)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90)(cid:10)11(cid:67)
∴(cid:136)2 ≤𝑦≤3(cid:137)(cid:72)
=≤( 𝑥≤)+2( ) ( ) ( ) ( )
𝑦= 𝑥−+1 𝑥−2+−3 𝑥−3+−2 𝑥+−45 − 𝑥−5
=𝑥−1 +21𝑥7−(cid:72)4−3𝑥 9−2𝑥 8−𝑥
8−3𝑥 11(cid:72)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90)(cid:10)8(cid:67)
(cid:136)∴ 3≤𝑦≤ 4(cid:137)(cid:72)
=≤( 𝑥≤)+2( )+3( ) ( ) ( )
𝑦= 𝑥−+1 +𝑥−2 𝑥−+3 −2 +𝑥−54 − 𝑥−5
=𝑥−1 (cid:72)2𝑥−4 3𝑥−9−2𝑥 8−𝑥
83𝑥−1 11(cid:72)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90)(cid:10)8(cid:67)
∴ ≤𝑦≤(cid:136)4 5(cid:137)(cid:72)
=≤( 𝑥≤)+2( )+3( )+2( ) ( )
𝑦= 𝑥−+1 +𝑥−2 +𝑥−3 +𝑥5−4 − 𝑥−5
=𝑥−1 2(cid:72)𝑥−4 3𝑥−9 2𝑥−8−𝑥
117𝑥−17 18(cid:72)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90)(cid:10)11(cid:67)
∴(cid:136) ≤5𝑦(cid:137)≤(cid:72)
=𝑥≥( )+2( )+3( )+2( )+( )
𝑦= 𝑥−+1 +𝑥−2 +𝑥−3 + 𝑥−4 𝑥−5
=𝑥−1 2(cid:72)𝑥−4 3𝑥−9 2𝑥−8 𝑥−5
9𝑥−182(cid:72)7 (cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90)(cid:10)18(cid:83)
(cid:235)∴𝑦(cid:78)≥(cid:72)(cid:82)(cid:69)(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90)(cid:10)8(cid:83)
(cid:129)(cid:64)(cid:307)(cid:10)(cid:195)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:154)(cid:101)(cid:72)| |+| |(cid:79)(cid:80)(cid:30)(cid:202)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)x(cid:30)(cid:23)(cid:81)(cid:79)(cid:80)1(cid:53)5(cid:30)(cid:23)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:52)
(cid:53)(cid:72) 𝑥−1 𝑥−5
(cid:136)1 5(cid:137)(cid:72)| |+| |(cid:107)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:72)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90) + =4(cid:72)
∴(cid:92)(cid:40)(cid:154)≤(cid:101)𝑥(cid:136)≤2 𝑥−4(cid:137)1(cid:72)|𝑥−5|+| |(cid:107)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:72)(cid:54)𝑥(cid:55)−1(cid:29)(cid:90)5−𝑥 + =2(cid:72)
| | 0(cid:72)≤𝑥≤ 𝑥−2 𝑥−4 𝑥−2 4−𝑥
∵(cid:136)𝑥−3=≥3(cid:137)(cid:72)| |(cid:107)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:72)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90)0(cid:72)
(cid:235)∴ (cid:78)𝑥(cid:106)(cid:236)(cid:72)(cid:136)𝑥=−33(cid:137)(cid:72)| |+| |(cid:72)| |+| |(cid:72)| |(cid:289)(cid:92)(cid:137)(cid:151)(cid:81)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:72)
| |+2| 𝑥|+3| |𝑥+−21| 𝑥|−+5| 𝑥|−2 𝑥−4 𝑥−3
∵ 𝑥−1 𝑥−2 𝑥−3 𝑥−4 𝑥−5
= | |+| | +2 | |+| | +3| |(cid:72)
(cid:136) 𝑥 = −1 3(cid:137)(cid:72) 𝑥|−5 |+2| 𝑥−2 |+3 𝑥 | −4 |+2| 𝑥−3 |+| |(cid:107)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:72)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90)4+2×2+0=8(cid:67)
(cid:131)∴ (cid:187)𝑥(cid:188)(cid:90)(cid:10)8(cid:83)𝑥−1 𝑥−2 𝑥−3 𝑥−4 𝑥−5
(cid:15)(cid:68)(cid:69)9-1(cid:19)(cid:61)| 1| | 2|+| | | |(cid:30)(cid:54)(cid:57)(cid:29),(cid:108)(cid:369)(cid:200)(cid:226)(cid:137) (cid:30)(cid:151)(cid:29)(cid:118)(cid:119)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19)2 𝑥− − 𝑥− 𝑥−3 − 𝑥−4 𝑥
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10)|x
−
1|−|x−2|+|x −3|−|x −4|(cid:79)(cid:80)x(cid:81)1(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:84)x(cid:81)2(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:30)(cid:56)(cid:84)x(cid:81)3(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:84)x(cid:81)
4 (cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:30)(cid:56)(cid:30)(cid:53),
故
x 4(cid:137)(cid:107)(cid:54)(cid:57)(cid:29)1+1=2.
≥ 1 3
(cid:15)(cid:68)(cid:69)9-2(cid:19)(cid:62)22-23(cid:247)(cid:173)(cid:174)(cid:175)·(cid:261)(cid:262)(cid:370)(cid:371)·(cid:372)(cid:210)(cid:373)(cid:374)(cid:66)(cid:183)(cid:101) (cid:67)(cid:72)(cid:65)| +1| | |+3| | | |(cid:30)
2 2
− ≤𝑥≤ 2𝑥 − 𝑥−1 𝑥 − 𝑥−2(cid:54)(cid:57)(cid:29)(cid:90) (cid:83)
15
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19)
2
1 3
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)(cid:45) <0,0 <1,1 (cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:113)(cid:114)(cid:47)(cid:48)(cid:72)(cid:61)(cid:129)(cid:102)(cid:154)(cid:83)
2 2
− ≤𝑥 1 ≤𝑥 ≤𝑥≤ 5
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10)①(cid:136) <0(cid:137)(cid:10)| +1| | |+3| | | |= + + + = (cid:72)
2 2
< (cid:67) − ≤𝑥 2𝑥 − 𝑥−1 𝑥 − 𝑥−2 2𝑥 1−1 𝑥−3𝑥−2 𝑥 𝑥−2 −
②≤𝑥(cid:136)−02 −<21(cid:137)(cid:10)| +1| | |+3| | | |= + + + + = (cid:72)
≤𝑥 <5(cid:67) 2𝑥 − 𝑥−1 𝑥 − 𝑥−2 2𝑥 1−1 𝑥 3𝑥−2 𝑥 7𝑥−2
−2≤7𝑥−2 3
③(cid:136)1 (cid:137)(cid:10)| +1| | |+3| | | |= + +1+ + = (cid:72)
2
≤𝑥15≤ 2𝑥 − 𝑥−1 𝑥 − 𝑥−2 2𝑥 1−𝑥 3𝑥−2 𝑥 5𝑥
5 (cid:67)
2
≤5𝑥≤3 15
(cid:136) = (cid:137)(cid:72)| +1| | |+3| | | |(cid:107)(cid:54)(cid:57)(cid:29) (cid:67)
2 2
∴ 𝑥 15 2𝑥 − 𝑥−1 𝑥 − 𝑥−2
(cid:131)(cid:187)(cid:188)(cid:90)(cid:10) (cid:83)
2
(cid:15)(cid:50)(cid:219)(cid:19)(cid:189)(cid:20)(cid:181)(cid:190)(cid:126)(cid:127)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:83)(cid:129)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:203)(cid:202)(cid:58)(cid:59)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:327)(cid:328)(cid:72)(cid:126)(cid:127)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:83)
(cid:15)(cid:68)(cid:69)9-3(cid:19)(cid:62)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:353)(cid:375)·(cid:225)(cid:152)(cid:66)1(cid:83)(cid:183)(cid:101)(cid:72)(cid:107)(cid:40)(cid:23) (cid:201)(cid:201)(cid:109)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:30)(cid:160)(cid:161)(cid:184)(cid:185)(cid:106)(cid:80)(cid:72)
𝑎 𝑏 𝑐
(cid:62)1(cid:66)(cid:126)(cid:127)(cid:10)| + | | |+| + |= (cid:67)
(cid:62)2(cid:66)(cid:71) (cid:88)(cid:23)3𝑎(cid:30)(cid:376)𝑏(cid:23)−(cid:202)𝑐−(cid:377)2(cid:343)𝑎 (cid:372)(cid:378)𝑐(cid:72)(cid:136)2𝑏 (cid:30)(cid:118)(cid:119)(cid:202) (cid:137)(cid:72)| |+| |(cid:107)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:72)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90) (cid:83)
𝑎,𝑐 𝑥 𝑥−𝑎 𝑥−𝑐
(cid:62)3(cid:66)(cid:109)(cid:62)2(cid:66)(cid:30)(cid:169)(cid:170)(cid:175)(cid:72)(cid:71)(cid:100)(cid:101)(cid:23) (cid:201)(cid:231)(cid:232) | |+| | | |+| | =6(cid:72)(cid:65) + (cid:30)(cid:54)(cid:57)(cid:29)(cid:202) (cid:83)
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19) + + 𝑥 𝑦 1 𝑥 − 𝑎 2 𝑥 − 3 7 𝑦−2 𝑦−𝑐 𝑥 2𝑦
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)(cid:189)(cid:20)(cid:181)𝑎(cid:190)(cid:126)3𝑏(cid:127)(cid:27)2(cid:28)𝑐 (cid:29)(cid:72)(cid:88)−1(cid:50)≤(cid:85)𝑥(cid:30)≤(cid:75)(cid:76)(cid:72)(cid:192)(cid:69)(cid:30)(cid:193)(cid:194)(cid:229)(cid:281)(cid:72)(cid:116)(cid:111)(cid:23)(cid:77)(cid:198)(cid:199)(cid:23)(cid:30)(cid:57)(cid:55)(cid:72)(cid:69)(cid:186)(cid:30)(cid:98)(cid:9)(cid:72)
(cid:212)(cid:213)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:72)(cid:202)(cid:129)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:203)(cid:83)
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)(cid:10)(cid:62)1(cid:66)(cid:195)(cid:185)(cid:154)(cid:101)(cid:10) <0< < (cid:72)| |< (cid:72)
+ > < + >𝑐0(cid:72) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏
∴(cid:82)3𝑎(cid:69)=𝑏 0+,𝑐−2𝑎 +0,𝑐+ 2𝑏+ = + + (cid:67)
∴(cid:131)(cid:187)(cid:188)(cid:90)3(cid:10)𝑎 +𝑏−2𝑎+ 𝑐(cid:67) 𝑐 2𝑏 𝑎 3𝑏 2𝑐
(cid:62)2(cid:66) (cid:88)𝑎(cid:23)(cid:30)3𝑏(cid:376)(cid:23)2(cid:202)𝑐(cid:377)(cid:343)(cid:372)(cid:378)(cid:72)
= ∵𝑎,𝑐= (cid:72)
∴𝑎 1,𝑐 −1| |+| |=| |+| ( )|(cid:79)(cid:80)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80) (cid:30)(cid:23)(cid:81)(cid:79)(cid:80)1(cid:53) (cid:30)(cid:23)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:53)(cid:72)
∵(cid:136)𝑥−𝑎 𝑥−𝑐1(cid:137)(cid:72)𝑥|−1 |+𝑥|− −|1(cid:107)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90)(cid:10) (𝑥 )=2(cid:67) −1
∴(cid:131)(cid:187)−(cid:188)1(cid:90)≤(cid:10)𝑥≤ 𝑥−1(cid:67)𝑎2(cid:67)𝑥−𝑐 1− −1
(cid:62)3(cid:66)(cid:195)(cid:62)2−(cid:66)1(cid:101)≤(cid:10)𝑥(cid:136)≤1 3(cid:137)(cid:72)| |+| |(cid:107)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90) =2(cid:72)
(cid:136) 2(cid:137)(cid:72)| ≤|+𝑥≤| |(cid:107)(cid:54)𝑥(cid:55)−𝑎(cid:29)(cid:90)𝑥−(3 )=3(cid:72) 3−1
−1≤𝑦≤ 𝑦−2 𝑦−𝑐 2− −1
| |+| | | |+| | =6(cid:72)
∵ | 𝑥−𝑎 |+| 𝑥−3 |=2 𝑦 (cid:72) −2| 𝑦|− + 𝑐 | |=3(cid:72)
∴ 𝑥(cid:30)−(cid:54)𝑎 (cid:57)(cid:29)𝑥−(cid:90)33(cid:72) (cid:30)(cid:54)𝑦(cid:57)−2(cid:29)(cid:90)2𝑦(cid:72)−𝑐
∴𝑥+ (cid:30)(cid:54)(cid:57)(cid:29)(cid:90)𝑦(cid:10)3+2×2=7(cid:67)
∴(cid:131)𝑥(cid:187)(cid:188)2𝑦(cid:90)(cid:10)7(cid:83)
【题型10 利用隐最值求最值】
(cid:15)(cid:171)10(cid:19)(cid:62)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:176)(cid:177)(cid:177)(cid:359)·(cid:217)(cid:51)(cid:208)(cid:209)(cid:66)(cid:71)(cid:10) + +3|+ + +2|=8(cid:72)(cid:65) + (cid:30)(cid:54)(cid:55)
(cid:29)(cid:202) |𝑎−2| |𝑎 |𝑏−1| |𝑏 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19)
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)−(cid:189)5(cid:20)(cid:181)(cid:190)(cid:191)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:72)(cid:116)(cid:111) + +3|(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90)5(cid:72) + +2|(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90)3(cid:72)(cid:43)(cid:44)
(cid:23)(cid:77)(cid:61)(cid:130) (cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:72)(cid:102)(cid:154)(cid:61)(cid:129)(cid:83) |𝑎−2| |𝑎 |𝑏−1| |𝑏
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)𝑎(cid:129),𝑏(cid:10) + +3|(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90)5(cid:72) + +2|(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90)3(cid:72)(cid:136) 1(cid:137)(cid:72)
(cid:298)(cid:69) + ∵|+𝑎−32||+ |𝑎 + +2|=8(cid:72)(cid:239)|𝑏(cid:240)−(cid:72)1| |𝑏 −3≤𝑎≤2,−2≤𝑏≤
(cid:30)|(cid:54)𝑎−(cid:55)2(cid:29)| (cid:90)|𝑎 (cid:72) (cid:30)|(cid:54)𝑏−(cid:55)1|(cid:29)(cid:90)|𝑏
∴𝑎+ (cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)−(cid:202)3 𝑏 = −2
∴(cid:131)𝑎(cid:187)(cid:188)𝑏(cid:90)(cid:10) (cid:83) −3−2 −5
(cid:15)(cid:68)(cid:69)10-1−(cid:19)5(cid:62)23-24(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:331)(cid:221)(cid:379)(cid:345)·(cid:217)(cid:51)(cid:208)(cid:209)(cid:66)(cid:183)(cid:101)a(cid:201)b(cid:90)(cid:192)(cid:23)(cid:72)| +2023| | |=0(cid:72)(cid:87) < (cid:72)
(cid:65)a(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90) (cid:83) 𝑎 − 𝑏−2 𝑏 𝑎
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19)
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)(cid:189)−1(cid:20)01(cid:210)0(cid:211)(cid:181)(cid:190)(cid:191)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:72)(cid:301)(cid:164)(cid:79)(cid:80)(cid:200)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:88)(cid:138)(cid:107)(cid:40)(cid:23)(cid:23)(cid:30)(cid:152)(cid:50)(cid:72)(cid:116)(cid:111)| +2023|=| |(cid:72)
(cid:154)(cid:101)a(cid:81) (cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:53)b(cid:81)2(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:258)(cid:298)(cid:83)(cid:102)b(cid:53)a(cid:45)(cid:115)(cid:202)(cid:160)(cid:299) (cid:53)2(cid:167)(cid:88)(cid:138)(cid:50)(cid:152)𝑎(cid:50)(cid:30)(cid:88)(cid:238)(cid:258)(cid:380)𝑏−(cid:30)2(cid:192)
(cid:23)(cid:83)(cid:295)(cid:61)(cid:200)−2023 (cid:53)2(cid:30)(cid:152)(cid:50)(cid:72)(cid:196)(cid:58)(cid:59) < (cid:102)(cid:154)(cid:130)(cid:200)a(cid:30)(cid:29)(cid:83) −2023
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:129)−(cid:10)20|23+2023| | |=0 𝑏 𝑎
∵ 𝑎 − 𝑏−2| +2023|=| |
∴ 𝑎 (cid:53)2(cid:30)(cid:152)𝑏(cid:50)−2=( +2)÷2=
−(cid:246)202<3 (cid:72)a(cid:201)b(cid:90)(cid:192)(cid:23)−(cid:72)2023 −1010.5
b∵(cid:90)𝑏 𝑎 (cid:72)a(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90) (cid:83)
∴(cid:131)(cid:187)(cid:188)−(cid:90)10(cid:10)11 (cid:83) −1010
(cid:15)(cid:68)(cid:69)10-2−(cid:19)1(cid:381)01(cid:343)0(cid:101)(cid:382)(cid:72)|x|(cid:79)(cid:80)x(cid:109)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:28)(cid:293)(cid:30)(cid:50)(cid:81)(cid:82)(cid:50)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:72)(cid:381)(cid:343)(cid:154)(cid:301)(cid:383)(cid:26)(cid:384)|x-0|(cid:72)(cid:106)(cid:301)(cid:72)|x- 3|(cid:385)
(cid:79)(cid:80)x(cid:109)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:28)(cid:293)(cid:30)(cid:50)(cid:81)3(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:72)|x1||x-(cid:62)-1(cid:66)|(cid:385)(cid:79)(cid:80)x(cid:109)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:28)(cid:293)(cid:30)(cid:50)(cid:81)-1(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:72)(cid:195)(cid:78)(cid:267)(cid:27)
(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:31)(cid:32)(cid:72)(cid:129)(cid:187)(cid:175)(cid:150)(cid:155)(cid:20)(cid:10)
(1) (cid:136)|x-4||x2|(cid:107)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:137)(cid:72)x(cid:30)(cid:151)(cid:29)(cid:134)(cid:135)(cid:202) (cid:67)
(2) |x-3||x2 ||x6|(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:202) (cid:67)
(3) (cid:183)(cid:101)| x -1||x2 ||y-3||y4|10 (cid:61)2xy (cid:30)(cid:54)(cid:57)(cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:29).
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19)(cid:62)1(cid:66) 4(cid:67)(cid:62)2(cid:66)9(cid:67)(cid:62)3(cid:66) + (cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:202) (cid:72)(cid:54)(cid:57)(cid:29)(cid:202)5(cid:83)
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)(cid:62)1(cid:66)(cid:195)−2(cid:20)≤(cid:31)𝑥(cid:154)≤(cid:130)| x - 4 |  | x  2 |(cid:79)2𝑥(cid:80) (cid:81)𝑦 (cid:201)4(cid:88)(cid:50)−(cid:75)8(cid:76)(cid:52)(cid:53)(cid:72)(cid:106)(cid:301)(cid:136) 4(cid:137)(cid:72) + +2|
(cid:151)(cid:130)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:72)(cid:195)(cid:226)(cid:102)(cid:154)(cid:129)(cid:187)(cid:67)(cid:62)2(cid:66)(cid:195)(cid:20)(cid:31)(cid:154)(cid:130)𝑥 −2+ +2|+ +6|(cid:79)(cid:80) (cid:81) −2(cid:201)≤𝑥(cid:201)≤3(cid:30)(cid:75)(cid:76)|𝑥−(cid:52)4(cid:53)| (cid:72)|(cid:102)𝑥
(cid:154)(cid:130)(cid:136) = (cid:137)(cid:72) + +2|+ +6|(cid:151)(cid:130)|(cid:54)𝑥−(cid:55)3|(cid:29)(cid:72)|𝑥(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90)|𝑥9(cid:67)(cid:62)3(cid:66)(cid:195)𝑥(cid:20)−(cid:31)6(cid:154)(cid:101)−2
+𝑥 +−22|+ |𝑥−3|+ |𝑥+4|(cid:79)(cid:80)|𝑥(cid:81) (cid:201)1(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:52)(cid:53)(cid:72)(cid:84) (cid:81) (cid:201)3(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:52)(cid:53)(cid:30)(cid:53)(cid:72)(cid:196)(cid:195)
|𝑥−1|+|𝑥+2|+|𝑦−3|+|𝑦+4|=10(cid:154)𝑥(cid:130)−2 1(cid:87) 𝑦 3(cid:72)−4(cid:195)(cid:226)(cid:102)(cid:154)(cid:61)(cid:130) + (cid:30)(cid:54)(cid:57)(cid:29)(cid:164)(cid:54)(cid:55)
(cid:29)|𝑥−. 1| |𝑥 |𝑦−3| |𝑦 −2≤𝑥≤ −4≤𝑦≤ 2𝑥 𝑦
(cid:15)(cid:204)(cid:129)(cid:19)(cid:62)1(cid:66) | x - 4 |  | x  2 |(cid:79)(cid:80) (cid:81) (cid:201)4(cid:88)(cid:50)(cid:75)(cid:76)(cid:52)(cid:53)(cid:72)
(cid:136) 4∵(cid:137)(cid:72) + +2|(cid:151)(cid:130)𝑥(cid:54)−(cid:55)2(cid:29)(cid:72)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:202) (cid:81)4(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:72)(cid:386)(cid:385)(cid:202)6(cid:67)
∴(cid:131)(cid:187)−(cid:188)2(cid:90)≤𝑥≤ 4|𝑥(cid:67)−4| |𝑥 −2
(2) −2+≤𝑥+≤2|+ +6|(cid:79)(cid:80) (cid:81) (cid:201) (cid:201)3(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:52)(cid:53)(cid:72)
(cid:136)∵ |=𝑥−3|(cid:137)(cid:72)|𝑥 +|𝑥 +2|+ 𝑥+−6|6(cid:151)(cid:130)−(cid:54)2 (cid:55)(cid:29)9(cid:67)
∴(cid:131)(cid:187)𝑥(cid:188)(cid:90)−29(cid:67) |𝑥−3| |𝑥 |𝑥
(cid:62)3(cid:66) + +2|+ + +4|(cid:79)(cid:80) (cid:81) (cid:201)1(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:52)(cid:53)(cid:72)(cid:84) (cid:81) (cid:201)3(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:52)(cid:53)(cid:30)(cid:53)(cid:72)
(cid:246) ∵|𝑥−+1| +|𝑥2|+ |𝑦−+3| +|𝑦4|=10(cid:72) 𝑥 −2 𝑦 −4
∵|𝑥−1| 1|𝑥(cid:87) |𝑦−33|(cid:72) |𝑦
∴(cid:136)−2≤=𝑥≤(cid:87) =−4≤(cid:137)𝑦(cid:72)≤ + (cid:151)(cid:130)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:202) (cid:67)
∴(cid:136) 𝑥=1(cid:87)−2 =𝑦3(cid:137)−(cid:72)4 +2𝑥(cid:151)(cid:130)𝑦(cid:54)(cid:57)(cid:29)(cid:202)5(cid:83) −8
𝑥 𝑦 2𝑥 𝑦(cid:15)(cid:50)(cid:219)(cid:19)(cid:189)(cid:20)(cid:181)(cid:190)(cid:191)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:88)(cid:50)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:164)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:37)(cid:197)(cid:72)(cid:220)(cid:208)(cid:229)(cid:59)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:88)(cid:50)(cid:85)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:7)(cid:69)(cid:164)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)
(cid:37)(cid:197)(cid:202)(cid:129)(cid:156)(cid:155)(cid:20)(cid:30)(cid:3)(cid:203).
(cid:15)(cid:68)(cid:69)10-3(cid:19)(cid:62)23-24(cid:247)(cid:173)(cid:174)(cid:175)·(cid:331)(cid:221)(cid:366)(cid:264)·(cid:372)(cid:210)(cid:373)(cid:374)(cid:66)(cid:183)(cid:101) +2|+ = +1|(cid:72)(cid:65) (cid:30)
(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90) (cid:83) |𝑥 |𝑥−1| 8−|𝑦−4|−|𝑦 2𝑥−3𝑦
(cid:15)(cid:187)(cid:188)(cid:19)
(cid:15)(cid:45)(cid:159)(cid:19)−(cid:116)1(cid:111)6(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:130)(cid:200)| +2|+| |(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90)3(cid:72) + +1|(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90)5(cid:72)(cid:116)(cid:111)(cid:20)(cid:31)(cid:154)(cid:130)(cid:136)
= =4(cid:137)(cid:72) (cid:151)(cid:130)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:72)𝑥(cid:151)(cid:54)(cid:57)(cid:29)𝑥(cid:72)−1(cid:113)(cid:286)(cid:22)(cid:230)(cid:22)(cid:23)(cid:69)|𝑦(cid:72)−4(cid:102)|(cid:154)|(cid:61)𝑦(cid:129)(cid:83)
𝑥(cid:15)(cid:204)−(cid:129)2(cid:19),𝑦(cid:129)(cid:10) +𝑥 2|+ =𝑦 +1|(cid:72)
+2|+ ∵|𝑥+ |𝑥+−1|+18|−=|𝑦8−(cid:72)4|−|𝑦
∴(cid:211)|𝑥(cid:99) |𝑦(cid:30)−4(cid:54)| (cid:55)|(cid:72)𝑥−1| |𝑦
∵ (cid:151)(cid:54)2(cid:55)𝑥−(cid:29)3𝑦(cid:72) (cid:151)(cid:54)(cid:57)(cid:29)(cid:72)
∴(cid:136)𝑥 1𝑦(cid:137)(cid:72)| +2|+| |(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90)3(cid:72) (cid:54)(cid:55)(cid:90)
∴(cid:136) −2≤𝑥≤4(cid:137)(cid:72) 𝑥 + 𝑥+−11|(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90)5𝑥(cid:72) (cid:54)(cid:57)−(cid:90)24
−1≤(cid:30)𝑦≤(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:90)2|𝑦×−4(| )|𝑦 ×4= 𝑦
∴(cid:131)2(cid:187)𝑥−(cid:188)3𝑦(cid:90)(cid:10) (cid:83) −2 −3 −16
−16