专题08与绝对值有关的十大题型(专项训练)(原卷版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》7上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》7上(北师大)

专题 08 与绝对值有关的十大题型（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)2024(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:20)....................................................................................................................1
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:20)....................................................................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:20)....................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:39)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:40)(cid:41)——(cid:24)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:20)................................................................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:39)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:40)(cid:41)——(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:20)................................................................................................................4
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:39)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:40)(cid:41)——(cid:50)(cid:51)(cid:46)(cid:52)(cid:20)................................................................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:39)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:53)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:20)........................................................................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)8 (cid:39)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:53)(cid:57)(cid:31)(cid:55)(cid:18)(cid:30)(cid:20)........................................................................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)9 (cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:54)(cid:57)(cid:31)(cid:55)(cid:30)(cid:20)................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:21)(cid:22)10 (cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:55)(cid:30)(cid:61)(cid:55)(cid:30)(cid:20)................................................................................................................................6
教辅资源，关注公众号★全科AA+
知识点1 代数视角看绝对值的意义
>0)， | | (cid:68)(cid:69)(cid:44)(cid:49)(cid:10)
(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:23)(cid:24)(cid:32)(cid:33)(cid:10)| |= =0)， 非负 =本身(cid:67)
𝑎(𝑎 <0)． (cid:70)(cid:71)| |= (cid:72)(cid:65) 0)(cid:67)
𝑎 0(𝑎 | |
非正 =相反数．
(cid:62)(cid:63)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:64)(cid:65)(cid:66) −𝑎(𝑎 (cid:73)(cid:71)|𝑎|=－𝑎 (cid:72)((cid:65)𝑎≥ 0)(cid:67)
(cid:74)| |𝑎 . 𝑎 (𝑎≤
𝑎 ≥𝑎
知识点2 几何视角看绝对值的意义
(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:75)(cid:76)(cid:72)(cid:24) (cid:43)
⇔ ⇔
| |(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:32)(cid:33)(cid:10)(cid:24)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)a(cid:31)(cid:51)(cid:81)(cid:82)(cid:51)(cid:31)(cid:75)(cid:76)(cid:83) | |
－ (cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:32)(cid:33)(cid:10)(cid:24)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80) (cid:31)(cid:51)(cid:84)(cid:79)(cid:80) (cid:31)(cid:51)(cid:53)
𝑎
(cid:85)𝑥(cid:31)𝑎(cid:75)(cid:76)(cid:83) 𝑥 𝑎
知识点3 绝对值的非负性
1. | | 0(cid:72)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:86)(cid:37)(cid:24) 2. (cid:71)| |+| |=0(cid:72)(cid:65) =0(cid:87) =0 3. (cid:71)| |+ =0(cid:72)(cid:65) =0(cid:87) =0
2
𝑎 ≥ 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏知识点4 多绝对值处理——数形结合
=| |(cid:72)| |(cid:79)(cid:80)P(cid:72)A(cid:88)(cid:51)(cid:53)(cid:85)(cid:31)(cid:75)(cid:76)(cid:67)
𝑃𝐴 =|𝑥−𝑎|(cid:72)|𝑥−𝑎|(cid:79)(cid:80)P(cid:72)B(cid:88)(cid:51)(cid:53)(cid:85)(cid:31)(cid:75)(cid:76)(cid:67)
𝑃𝐵+ 𝑥−=𝑏 | 𝑥−|𝑏+| |(cid:72)
𝑃| 𝐴 |𝑃+𝐵| 𝑥|−(cid:79)𝑎(cid:80)P𝑥(cid:81)−𝑏A(cid:72)B(cid:88)(cid:51)(cid:31)(cid:75)(cid:76)(cid:53)(cid:54)(cid:83)
𝑥−𝑎 𝑥−𝑏
知识点5 多绝对值处理——分类讨论
| | + | | = ±2或0(cid:83)
𝑎 𝑏
| |
(cid:89) (cid:70)𝑎 a(cid:72)𝑏 b(cid:92)(cid:93)(cid:72)(cid:30)(cid:90)1+1=2(cid:67)
| |
𝑎 𝑎
>0𝑎 值 𝑎(cid:90)1(cid:67) (cid:73)a(cid:72)b(cid:92)(cid:37)(cid:72)(cid:30)(cid:90) = (cid:67)
𝑎<0 ⇒值(cid:90)(cid:91)1(cid:83) (cid:74)a(cid:72)b(cid:94)(cid:9)(cid:72)(cid:30)(cid:90)−1−1=0(cid:83)−2
𝑎 ⇒ (cid:4)(cid:10)(cid:86)(cid:95)(cid:48)(cid:49)(cid:96)(cid:97)(cid:24)1−(cid:31)1(cid:98)(cid:9)(cid:83)
知识点6 多绝对值处理——零点分段
(cid:50)(cid:51)(cid:10)(cid:99)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:90)0(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:24)(cid:31)(cid:30)(cid:102)(cid:90)(cid:50)(cid:51)(cid:83) (cid:126)(cid:127)(cid:10)| |+| | < (cid:83)
(cid:103)(cid:64)(cid:10) (cid:128) =𝑥−0𝑎(cid:72) 𝑥−=𝑏0((cid:72)𝑎 (cid:129)(cid:130)𝑏) = (cid:72) = (cid:72)
(cid:70)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:50)(cid:51)(cid:72)(cid:108)(cid:109)(cid:24)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:67) (cid:131)𝑥(cid:50)−(cid:51)𝑎(cid:90)a(cid:72)𝑥b−(cid:72)𝑏(cid:46)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:48)𝑥 (cid:49)𝑎(cid:10) 𝑥 𝑏
(cid:73)(cid:110)(cid:111)(cid:50)(cid:51)(cid:112)(cid:24)(cid:77)(cid:113)(cid:114)(cid:46)(cid:52)(cid:67) (cid:70) < (cid:67)
(cid:74)(cid:46)(cid:115)(cid:116)(cid:111)(cid:117)(cid:52)(cid:100)(cid:101)(cid:24)(cid:31)(cid:118)(cid:119)(cid:63)(cid:28)(cid:29)(cid:83) (cid:73)𝑥 𝑎 (cid:67)
(cid:120)(cid:121)(cid:51)(cid:10)(cid:46)(cid:47)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:72)(cid:122)(cid:125)(cid:63)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:72) (cid:74)𝑎>≤𝑥(cid:83)≤𝑏
𝑥 𝑏
知识点7 多绝对值型最值
1. (cid:71) < (cid:72)(cid:65)(cid:136) (cid:137)(cid:72)| |+| |(cid:107)(cid:55)(cid:56)(cid:30) (cid:83)
2. (cid:71)𝑎 <𝑏 < (cid:72)(cid:65)𝑎(cid:136)≤𝑥=≤𝑏(cid:137)(cid:72)|𝑥−𝑎|+|𝑥−𝑏|+| |(cid:107)𝑏(cid:55)−𝑎(cid:56)(cid:30) (cid:83)
3. n(cid:138)𝑎(cid:28)(cid:29)𝑏(cid:30)(cid:53)𝑐 (cid:54)(cid:61)(cid:55)𝑥(cid:56)(cid:30)𝑏 𝑥−𝑎 𝑥−𝑏 𝑥−𝑐 𝑐−𝑎
(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:72)(cid:142) < < < (cid:72) =| |+| |+| |+ +| |(cid:83)
(cid:70)(cid:71)n(cid:90)(cid:143) 𝑎 (cid:24) 1 (cid:72)(cid:65)𝑎2 (cid:136) 𝑎= 3 ⋯(cid:137)𝑎𝑛 (cid:72)P𝑃(cid:107)(cid:55)𝑥(cid:56)−(cid:30)𝑎 1 (cid:67)(cid:73)𝑥(cid:71)−n𝑎2 (cid:90)(cid:144)(cid:24)𝑥−(cid:72)𝑎3 (cid:65)(cid:136)⋯ 𝑥−𝑎𝑛 (cid:137)(cid:72)P(cid:107)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:83)
𝑛+1 𝑛 𝑛
𝑥 𝑎 2 𝑎2 ≤𝑥≤𝑎2+1
(cid:145)(cid:146)(cid:10)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:72)(cid:143)(cid:151)(cid:152)(cid:30)(cid:72)(cid:144)(cid:151)(cid:152)(cid:52)(cid:83)
4. (cid:153)(cid:24)(cid:122)(cid:90)1(cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:53)(cid:54)(cid:61)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:72)(cid:154)(cid:126)(cid:90)(cid:153)(cid:24)(cid:90)1(cid:22)(cid:155)(cid:21)(cid:129)(cid:156)(cid:83)5. (cid:71) < (cid:72)(cid:65)(cid:136) (cid:137)(cid:72)| | | |(cid:31)(cid:55)(cid:18)(cid:30)(cid:90) (cid:83)
6. (cid:28)𝑎(cid:29)(cid:30)𝑏(cid:54)(cid:57)(cid:157)(cid:158)𝑥(cid:61)≥(cid:55)𝑏(cid:18)(cid:30)(cid:10)𝑥−(cid:24)𝑎(cid:43)−(cid:44)𝑥−(cid:45)𝑏(cid:72)(cid:46)(cid:159)(cid:79)(cid:80)(cid:24)𝑏−x𝑎(cid:31)(cid:51)(cid:31)(cid:160)(cid:161)(cid:83)
7. (cid:4)(cid:32)(cid:162)(cid:163)(cid:34)(cid:138)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:53)(cid:54)(cid:107)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:72)(cid:164)(cid:151)(cid:130)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:137)(cid:165)(cid:166)(cid:31)(cid:118)(cid:119)(cid:167)(cid:138)(cid:60)(cid:168)(cid:31)(cid:169)(cid:170)(cid:83)
【题型1 代数视角看绝对值的意义】 教辅资源，关注公众号 ★全科AA+
(cid:15)(cid:171)1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:175)·(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:179)·(cid:180)(cid:11)(cid:181)(cid:182)(cid:66)(cid:183)(cid:101)(cid:107)(cid:41)(cid:24) (cid:72) (cid:72) (cid:109)(cid:24)(cid:77)(cid:78)(cid:31)(cid:160)(cid:161)(cid:184)(cid:185)(cid:106)(cid:80)(cid:72)(cid:126)(cid:127)(cid:69)(cid:186)
| | | |+| |(cid:31)(cid:30)(cid:90) (cid:83) 𝑎 𝑏 𝑐
𝑎−𝑏 − 𝑐−𝑎 𝑏−𝑐
(cid:15)(cid:68)(cid:69)1-1(cid:20)(cid:62)2025(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:187)(cid:188)·(cid:189)(cid:21)(cid:190)(cid:191)(cid:66)(cid:183)(cid:101)1< <2(cid:72)(cid:65)| |+| |(cid:31)(cid:30)(cid:90) (cid:83)
(cid:15)(cid:68)(cid:69)1-2(cid:20)(cid:62)23-24(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:192)(cid:193)(cid:18)(cid:194)·(cid:195)(cid:52)(cid:190)(cid:191)(cid:66)(cid:71) 𝑥 = 𝑥(cid:72)−3(cid:65) (cid:31)𝑥(cid:151)−2(cid:30)(cid:118)(cid:119)(cid:196) (cid:83)
(cid:15)(cid:68)(cid:69)1-3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:200)·(cid:201)(cid:152)(cid:66)(cid:71) =|𝑎9−(cid:72)1|||=17−(cid:72)𝑎(cid:87)| 𝑎 |= (cid:72)(cid:65) (cid:31)(cid:30)(cid:90) (cid:83)
2
【题型2 几何视角看绝对值的意义】 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏 𝑏−𝑎 2𝑎−𝑏
(cid:15)(cid:171)2(cid:20)(cid:183)(cid:101)| +12|=3| |(cid:72)(cid:61) (cid:31)(cid:30)(cid:83)
(cid:15)(cid:68)(cid:69)2-1(cid:20)(cid:24)𝑚(cid:77)(cid:78)(cid:51)A(cid:79)𝑚(cid:80)−(cid:31)8(cid:24)(cid:90) 𝑚(cid:72)(cid:51)B(cid:79)(cid:80)(cid:31)(cid:24)(cid:90)x(cid:72)(cid:71)A(cid:72)B(cid:88)(cid:51)(cid:53)(cid:85)(cid:31)(cid:75)(cid:76)(cid:90)11(cid:72)(cid:61)x(cid:31)(cid:30)(cid:83)
(cid:15)(cid:68)(cid:69)2-2(cid:20)(cid:183)(cid:101)| |=10(cid:72)(cid:61)| −+41|(cid:31)(cid:30)(cid:83)
(cid:15)(cid:68)(cid:69)2-3(cid:20)(cid:71)| +𝑚4−|2+| |+| 𝑚|=12(cid:72)(cid:202)(cid:44)(cid:45)(cid:24)(cid:77)(cid:124)(cid:203)t(cid:31)(cid:151)(cid:30)(cid:83)
【题型3 绝对值 𝑡 的非负性 𝑡− 】 1 𝑡−8
(cid:15)(cid:171)3(cid:20)(cid:183)(cid:101)| |+| + |+| |= (cid:72)(cid:61)y(cid:31)(cid:30)(cid:83)
𝑥−2 𝑥 𝑦−5 𝑦−1 𝑦−1
(cid:15)(cid:68)(cid:69)3-1(cid:20)(cid:62)2025(cid:204)(cid:173)(cid:174)(cid:175)·(cid:177)(cid:168)·(cid:189)(cid:21)(cid:190)(cid:191)(cid:66)(cid:71)( +1) +| |=0(cid:72)(cid:65) (cid:31)(cid:30)(cid:90) (cid:83)
2 𝑏
(cid:15)(cid:68)(cid:69)3-2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:211)·(cid:201)(cid:152) 𝑎 (cid:66)(cid:71)| 𝑏|− (cid:84) 2|02+46|(cid:212)(cid:90)(cid:213)(cid:214) 𝑎 (cid:24)(cid:72)(cid:65) (cid:31)(cid:30)(cid:90)
(cid:15)(cid:68)(cid:69)3-3(cid:20)(cid:183)(cid:101)| |+| |+| |= (cid:72)(cid:61) + (cid:31)𝑥−(cid:30)2(cid:83) 𝑦 2𝑥−𝑦
【题型4 多绝对值 𝑎− 处 2 理— 𝑏 — −5 数形结 𝑐− 合 4 】 𝑐−4 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:171)4(cid:20)(cid:62)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:218)·(cid:201)(cid:152)(cid:66)(cid:219)(cid:220)(cid:175)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:10)
(cid:109)(cid:24)(cid:77)(cid:78)(cid:51)A(cid:224)B(cid:46)(cid:115)(cid:79)(cid:80)(cid:24)a(cid:72)b(cid:72)(cid:65)A(cid:224)B(cid:88)(cid:51)(cid:53)(cid:85)(cid:31)(cid:75)(cid:76) =| |(cid:72)(cid:171)(cid:184)(cid:72)(cid:136) = = (cid:72) =| ( )|=7(cid:83)
𝐴𝐵 𝑎−𝑏 𝑎 5,𝑏 −2 𝐴𝐵 5− −2
(cid:225)(cid:226)(cid:175)(cid:150)(cid:155)(cid:21)(cid:10)(1)①(cid:109)(cid:24)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80) (cid:84) (cid:88)(cid:51)(cid:85)(cid:31)(cid:75)(cid:76)(cid:196) (cid:72)
②(cid:109)(cid:24)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)x(cid:84)−24(cid:88)−(cid:51)6(cid:85)(cid:31)(cid:75)(cid:76)(cid:196) (cid:67)
③(cid:109)(cid:24)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)x(cid:84)________(cid:88)(cid:51)(cid:53)(cid:85)(cid:31)(cid:75)(cid:76)(cid:90)| +2|(cid:83)
(2)(cid:175)(cid:221)(cid:29)(cid:69)(cid:186)| +2|+| |(cid:113)(cid:114)(cid:227)(cid:228)(cid:10) 𝑥
①(cid:136)(cid:79)(cid:80)(cid:24)x(cid:31)𝑥 (cid:51)(cid:109) 𝑥(cid:84)−44(cid:53)(cid:85)(cid:229)(cid:230)(cid:137)(cid:72)| +2|+| |(cid:31)(cid:30)(cid:231)(cid:196)(cid:139)(cid:138)(cid:232)(cid:203)(cid:31)(cid:30)(cid:90)(cid:10)___________(cid:83)
②(cid:233)(cid:99)| +2|+| −|2=8(cid:72)(cid:24)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:31)(cid:24)𝑥 =___𝑥_−__4_____________(cid:83)
(3)(cid:61)| +𝑥2|+| +𝑥1−|4+| |+| |(cid:31)(cid:55)(cid:56)(cid:30)𝑥(cid:83)
(cid:15)(cid:68)(cid:69)𝑥 4-1(cid:20)(cid:184)𝑥(cid:185)(cid:72)(cid:24)(cid:77)(cid:78)𝑥−42(cid:138)(cid:51)𝑥(cid:79)−4(cid:80)(cid:31)(cid:24)(cid:46)(cid:115)(cid:90)a(cid:224)b(cid:224)c(cid:224)d(cid:83)(cid:71)|a﹣d|(cid:234)10(cid:72)|a﹣b|(cid:234)6(cid:72)|b﹣d|(cid:234)
2|b﹣c|(cid:72)(cid:65)|c﹣d|(cid:234)(cid:62)(cid:235)(cid:235)(cid:66)
A(cid:83)1 B(cid:83)1.5 C(cid:83)2.5 D(cid:83)2
(cid:15)(cid:68)(cid:69)4-2(cid:20)(cid:184)(cid:185)A(cid:72)B(cid:72)C(cid:72)D(cid:72)E(cid:46)(cid:115)(cid:196)(cid:24)(cid:77)(cid:78)(cid:236)(cid:138)(cid:194)(cid:237)(cid:238)(cid:24)(cid:106)(cid:29)(cid:239)(cid:31)(cid:51)(cid:72)(cid:240)(cid:152)(cid:107)(cid:139)(cid:51)(cid:196)(cid:82)(cid:51)(cid:72)(cid:24)a(cid:29)(cid:239)
(cid:31)(cid:51)(cid:109)B(cid:84)C(cid:53)(cid:85)(cid:72)(cid:24)b(cid:29)(cid:239)(cid:31)(cid:51)(cid:109)D(cid:84)E(cid:53)(cid:85)(cid:72)(cid:71) + =3(cid:65)(cid:82)(cid:51)(cid:154)(cid:241)(cid:196) (cid:83)
|𝑎| |𝑏|
(cid:15)(cid:68)(cid:69)4-3(cid:20)(cid:51) (cid:224) (cid:109)(cid:24)(cid:77)(cid:78)(cid:46)(cid:115)(cid:79)(cid:80)(cid:107)(cid:41)(cid:24) (cid:224) (cid:72) (cid:224) (cid:88)(cid:51)(cid:53)(cid:85)(cid:31)(cid:75)(cid:76)(cid:79)(cid:80)(cid:90) (cid:72)(cid:65)(cid:109)(cid:24)(cid:77)(cid:78) (cid:224) (cid:88)(cid:51)
(cid:53)(cid:85)(cid:31)(cid:75)(cid:76) =𝐴 | 𝐵 |(cid:83) 𝑎 𝑏 𝐴 𝐵 𝐴𝐵 𝐴 𝐵
(cid:106)(cid:242)(cid:69)(cid:186)| 𝐴𝐵|(cid:31)(cid:34)𝑎(cid:35)−𝑏(cid:32)(cid:33)(cid:196)(cid:24)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80) (cid:31)(cid:51)(cid:84)(cid:79)(cid:80)2(cid:31)(cid:51)(cid:53)(cid:85)(cid:31)(cid:75)(cid:76)(cid:83)(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:24)(cid:77)(cid:225)(cid:226)(cid:175)(cid:150)(cid:155)(cid:21)(cid:10)
①(cid:24)(cid:77)(cid:78)𝑥(cid:79)−(cid:80)2 2(cid:54)5(cid:88)(cid:51)(cid:53)(cid:85)(cid:31)(cid:75)(cid:76)(cid:196) 𝑥 (cid:72)(cid:24)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)1(cid:54) (cid:31)(cid:88)(cid:51)(cid:53)(cid:85)(cid:31)(cid:75)(cid:76)(cid:196) (cid:83)
②(cid:24)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80) (cid:54) (cid:31)(cid:88)(cid:51)(cid:53)(cid:85)(cid:31)(cid:75)(cid:76)(cid:79)(cid:80)(cid:90) (cid:83) −3
③(cid:24)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)𝑥(cid:31)(cid:51)−2(cid:81)(cid:79)(cid:80)1(cid:31)(cid:51)(cid:31)(cid:75)(cid:76)(cid:84)(cid:246)(cid:81)(cid:79)(cid:80) (cid:31)(cid:51)(cid:31)(cid:75)(cid:76)(cid:53)(cid:54)(cid:154)(cid:79)(cid:80)(cid:90)(cid:10)| |+| +3|(cid:83)(cid:65)
| |+| +3|𝑥(cid:31)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:196) (cid:83) −3 𝑥−1 𝑥
④𝑥−(cid:71)1| 𝑥|+| +1|=8(cid:72)(cid:65) =
𝑥−3 𝑥 𝑥
【题型5 多绝对值处理——分类讨论】 教辅资源，关注 公众号★全科AA+
(cid:15)(cid:171)5(cid:20)(cid:183)(cid:101) (cid:90)(cid:107)(cid:41)(cid:24)(cid:83)
(cid:62)1(cid:66)(cid:71) 0𝑎(cid:72),𝑏(cid:65),𝑐 =__________(cid:67)(cid:71) >0(cid:72)(cid:65) =________(cid:83)
𝑎≤ |𝑎| 𝑏 |𝑏|(cid:62)2(cid:66)(cid:183)(cid:101) 0(cid:72) <0(cid:72) >0(cid:72)(cid:61) + + + (cid:31)(cid:30)(cid:83)
𝑎 𝑎𝑏 𝑎𝑐 𝑏𝑐
𝑎𝑏𝑐≠ 𝑎 𝑏𝑐 |𝑎| |𝑎𝑏| |𝑎𝑐| |𝑏𝑐|
(cid:62)3(cid:66)(cid:183)(cid:101) 0(cid:72)(cid:87) + + =0(cid:72)(cid:61) + + + + + + (cid:31)(cid:30)(cid:83)
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏 𝑏𝑐 𝑎𝑐 𝑎𝑏𝑐
(cid:15)(cid:68)(cid:69)5-1𝑎(cid:20)𝑏(cid:183)𝑐≠(cid:101)x(cid:72)y 𝑎(cid:247)(cid:90)𝑏(cid:238)(cid:24)𝑐(cid:72)(cid:87)|x﹣ | y 𝑎 | | +|x |𝑏﹣| 3| |𝑐(cid:234)| 1(cid:72)|𝑎𝑏(cid:65)| x+ |𝑏 y 𝑐|(cid:31)(cid:30)|𝑎𝑐(cid:90)| |𝑎 𝑏𝑐 (cid:83) |
(cid:15)(cid:68)(cid:69)5-2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:248)(cid:249)(cid:250)(cid:251)·(cid:195)(cid:52)(cid:190)(cid:191)(cid:66)(cid:184)(cid:252) (cid:72) (cid:72) (cid:90)(cid:36)(cid:50)(cid:107)(cid:41)(cid:24)(cid:87) + + =0(cid:72)(cid:253)(cid:254) +
| | | |
𝑎 𝑏
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏
+ + (cid:31)(cid:30)(cid:90) (cid:83)
| | | |
𝑐 𝑎𝑏𝑐
(cid:15)(cid:68) 𝑐 (cid:69)5 𝑎 - 𝑏 3 𝑐 (cid:20)(cid:62)23-24(cid:255)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:256)(cid:197)(cid:193)(cid:257)·(cid:201)(cid:258)(cid:66)(cid:71)(cid:3)(cid:245)x(cid:31)(cid:103)(cid:259)|| | |= (cid:107)(cid:132)(cid:138)(cid:238)(cid:24)(cid:129)(cid:72)(cid:65) (cid:31)(cid:30)(cid:196)
( ) 𝑥−2 −1 𝑎 𝑎
A(cid:83)0 B(cid:83)1 C(cid:83)2 D(cid:83)3
【题型6 多绝对值处理——零点分段】
(cid:15)(cid:171)6(cid:20)(cid:86)(cid:49) (cid:151)(cid:35)(cid:30)(cid:72)| |+| | (cid:260)(cid:261)(cid:262)(cid:72)(cid:65) (cid:31)(cid:151)(cid:30)(cid:118)(cid:119)(cid:196) (cid:83)
(cid:15)(cid:68)(cid:69)6-1(cid:20)(cid:183)𝑥 (cid:101)| +4|𝑥+−|2 |𝑥=−150(cid:72)≥(cid:61)𝑎 x(cid:31)(cid:30)(cid:83) 𝑎
(cid:15)(cid:68)(cid:69)6-2(cid:20)(cid:183)(cid:101) 𝑥 2(cid:72)(cid:61)|𝑥−2 | | +2|(cid:31)(cid:55)(cid:18)(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:83)
(cid:15)(cid:68)(cid:69)6-3(cid:20)(cid:71)| 𝑥≤|=2| 𝑥+−13|−+4𝑥(cid:72)(cid:61)x(cid:31)(cid:30)(cid:83)
【题型7 多绝对 𝑥− 值 12 之和的最 𝑥 小值】
(cid:15)(cid:171)7(cid:20)(cid:62)23-24(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:248)(cid:249)(cid:261)(cid:260)·(cid:201)(cid:152)(cid:66)(cid:142) =| |(cid:72) =| |(cid:72) =| +12|(cid:72)(cid:65) + + (cid:31)(cid:55)(cid:56)(cid:30)
(cid:196) (cid:83) 𝑎 𝑥−3 𝑏 𝑥−1 𝑐 𝑥 3𝑎 𝑏 𝑐
(cid:15)(cid:68)(cid:69)7-1(cid:20)(cid:62)23-24(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:256)(cid:197)(cid:263)(cid:264)·(cid:195)(cid:52)(cid:190)(cid:191)(cid:66)(cid:69)(cid:186) +100|+ + (cid:31)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:196) (cid:83)
(cid:15)(cid:68)(cid:69)7-2(cid:20)(cid:202)(cid:129)(cid:226)(cid:175)(cid:150)(cid:155)(cid:21)(cid:10) |𝑥 |𝑥−2| |𝑥−5|
①(cid:136)(cid:23)(cid:24)(cid:69)| +1|+| |(cid:151)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:137)(cid:72) (cid:31)(cid:151)(cid:30)(cid:118)(cid:119)(cid:196) (cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:90) (cid:83)
②(cid:61)| |+𝑥| |+|𝑥−1|+ +| |𝑥(cid:31)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:90) (cid:83)
(cid:15)(cid:68)(cid:69)𝑥−7-13(cid:20)(cid:62)𝑥2−42-25(cid:172)𝑥(cid:173)−(cid:174)3 (cid:78)⋯·(cid:265)(cid:16)(cid:266)𝑥−(cid:267)24·(cid:201)(cid:152)(cid:66)(cid:142)(cid:107)(cid:41)(cid:24)a(cid:72)b(cid:72)c(cid:72)(cid:268)(cid:269) <0(cid:72) >0(cid:72)(cid:87)| |<| |<| |(cid:72)
2 2 𝑎 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
(cid:65) | + |+ | |+| + |(cid:31)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:90) (cid:83)
3 3
𝑥 𝑎 𝑥−𝑏 𝑥 𝑐
【题型8 多绝对值之差的最大值】
(cid:15)(cid:171)8(cid:20)(cid:62)22-23(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:248)(cid:249)(cid:261)(cid:260)·(cid:201)(cid:152)(cid:66)(cid:71)| +1|+| |(cid:31)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:270)(cid:90) (cid:72)| | | |(cid:31)(cid:55)(cid:18)(cid:30)(cid:270)(cid:90)
(cid:72)(cid:65) = (cid:83) 𝑥 𝑥−1 𝑛 −𝑥−1 − 𝑥−1
𝑚
𝑚(cid:15)(cid:68)(cid:69)−8𝑛-1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:271)(cid:272)(cid:273)(cid:271)·(cid:201)(cid:152)(cid:66)(cid:71)(cid:51) (cid:224) (cid:109)(cid:24)(cid:77)(cid:78)(cid:46)(cid:115)(cid:79)(cid:80)(cid:107)(cid:41)(cid:24) (cid:224)(cid:72)(cid:65) (cid:224) (cid:88)(cid:51)(cid:53)(cid:85)
𝐴 𝐵 𝑎 𝑏 𝐴 𝐵(cid:31)(cid:75)(cid:76)(cid:79)(cid:80)(cid:90) =
(cid:62)1(cid:66)(cid:71) 𝐴=𝐵2(cid:72)|(cid:167)𝑎−(cid:274)𝑏|(cid:31)(cid:24)x(cid:90) (cid:67)
(cid:62)2(cid:66)(cid:44)|(cid:45)𝑥−(cid:24)3(cid:77)| (cid:227)(cid:228)(cid:10)(cid:275)(cid:109)x(cid:31)(cid:30)(cid:72)(cid:99)(cid:69)(cid:186) + (cid:107)(cid:55)(cid:18)(cid:30)(cid:72)(cid:167)(cid:138)(cid:55)(cid:18)(cid:30)(cid:196) (cid:83)
(cid:15)(cid:68)(cid:69)8-2(cid:20)(cid:62)22-23(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:256)(cid:197)(cid:193)(cid:257)·(cid:201)|(cid:152)𝑥 (cid:66)1||−|𝑥|−5|| |(cid:31)(cid:55)(cid:18)(cid:30)(cid:90) (cid:83)
(cid:15)(cid:68)(cid:69)8-3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:197)(cid:198)(cid:86)(cid:276)·(cid:195)(cid:52)(cid:190)(cid:191)𝑥−(cid:66)2(cid:136)−(cid:69)𝑥(cid:186)−5| | | +5|(cid:151)(cid:130)(cid:55)(cid:18)(cid:30)(cid:137)(cid:72)x(cid:31)(cid:55)(cid:18)(cid:238)(cid:24)(cid:30)
(cid:196) (cid:83) 𝑥−3 − 𝑥
【题型9 绝对值和差的最值】
(cid:15)(cid:171)9(cid:20)(cid:62)22-23(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:256)(cid:197)(cid:277)(cid:218)·(cid:195)(cid:52)(cid:190)(cid:191)(cid:66)(cid:69)(cid:186)| |+2| |+3| |+2| |+| |(cid:31)(cid:55)(cid:56)(cid:30)
(cid:196) (cid:83) 𝑥−1 𝑥−2 𝑥−3 𝑥−4 𝑥−5
(cid:15)(cid:68)(cid:69)9-1(cid:20)(cid:61)| 1| | 2|+| | | |(cid:31)(cid:55)(cid:18)(cid:30),(cid:108)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:137) (cid:31)(cid:151)(cid:30)(cid:118)(cid:119)
𝑥− − 𝑥− 𝑥−3 − 𝑥−4 1 𝑥3
(cid:15)(cid:68)(cid:69)9-2(cid:20)(cid:62)22-23(cid:204)(cid:173)(cid:174)(cid:175)·(cid:215)(cid:216)(cid:281)(cid:282)·(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:66)(cid:183)(cid:101) (cid:67)(cid:72)(cid:65)| +1| | |+3| | | |(cid:31)
2 2
(cid:55)(cid:18)(cid:30)(cid:90) (cid:83) − ≤𝑥≤ 2𝑥 − 𝑥−1 𝑥 − 𝑥−2
(cid:15)(cid:68)(cid:69)9-3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:16)(cid:287)·(cid:201)(cid:152)(cid:66)1(cid:83)(cid:183)(cid:101)(cid:72)(cid:107)(cid:41)(cid:24) (cid:224)(cid:224)(cid:109)(cid:24)(cid:77)(cid:78)(cid:31)(cid:160)(cid:161)(cid:184)(cid:185)(cid:106)(cid:80)(cid:72)
𝑎 𝑏 𝑐
(cid:62)1(cid:66)(cid:126)(cid:127)(cid:10)| + | | |+| + |= (cid:67)
(cid:62)2(cid:66)(cid:71) (cid:88)(cid:24)3𝑎(cid:31)(cid:288)𝑏(cid:24)−(cid:196)𝑐−(cid:289)2(cid:290)𝑎 (cid:283)(cid:291)𝑐(cid:72)(cid:136)2𝑏 (cid:31)(cid:118)(cid:119)(cid:196) (cid:137)(cid:72)| |+| |(cid:107)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:72)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:90) (cid:83)
𝑎,𝑐 𝑥 𝑥−𝑎 𝑥−𝑐
(cid:62)3(cid:66)(cid:109)(cid:62)2(cid:66)(cid:31)(cid:169)(cid:170)(cid:175)(cid:72)(cid:71)(cid:100)(cid:101)(cid:24) (cid:224)(cid:268)(cid:269) | |+| | | |+| | =6(cid:72)(cid:65) + (cid:31)(cid:55)(cid:18)(cid:30)(cid:196) (cid:83)
𝑥 𝑦 𝑥−𝑎 𝑥−3 𝑦−2 𝑦−𝑐 𝑥 2𝑦
【题型10 利用隐最值求最值】教辅资源，关注公众号★全 科AA+
(cid:15)(cid:171)10(cid:20)(cid:62)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:176)(cid:177)(cid:177)(cid:271)·(cid:195)(cid:52)(cid:190)(cid:191)(cid:66)(cid:71)(cid:10) + +3|+ + +2|=8(cid:72)(cid:65) + (cid:31)(cid:55)(cid:56)
(cid:30)(cid:196) |𝑎−2| |𝑎 |𝑏−1| |𝑏 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:68)(cid:69)10-1(cid:20)(cid:62)23-24(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:78)·(cid:256)(cid:197)(cid:292)(cid:264)·(cid:195)(cid:52)(cid:190)(cid:191)(cid:66)(cid:183)(cid:101)a(cid:224)b(cid:90)(cid:238)(cid:24)(cid:72)| +2023| | |=0(cid:72)(cid:87) < (cid:72)
(cid:65)a(cid:31)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:90) (cid:83) 𝑎 − 𝑏−2 𝑏 𝑎
(cid:15)(cid:68)(cid:69)10-2(cid:20)(cid:293)(cid:290)(cid:101)(cid:294)(cid:72)|x|(cid:79)(cid:80)x(cid:109)(cid:24)(cid:77)(cid:78)(cid:29)(cid:239)(cid:31)(cid:51)(cid:81)(cid:82)(cid:51)(cid:31)(cid:75)(cid:76)(cid:72)(cid:293)(cid:290)(cid:154)(cid:242)(cid:295)(cid:27)(cid:296)|x-0|(cid:72)(cid:106)(cid:242)(cid:72)|x- 3|(cid:297)
(cid:79)(cid:80)x(cid:109)(cid:24)(cid:77)(cid:78)(cid:29)(cid:239)(cid:31)(cid:51)(cid:81)3(cid:31)(cid:75)(cid:76)(cid:72)|x1||x-(cid:62)-1(cid:66)|(cid:297)(cid:79)(cid:80)x(cid:109)(cid:24)(cid:77)(cid:78)(cid:29)(cid:239)(cid:31)(cid:51)(cid:81)-1(cid:31)(cid:75)(cid:76)(cid:72)(cid:298)(cid:78)(cid:221)(cid:28)
(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:72)(cid:129)(cid:226)(cid:175)(cid:150)(cid:155)(cid:21)(cid:10)
(1) (cid:136)|x-4||x2|(cid:107)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:137)(cid:72)x(cid:31)(cid:151)(cid:30)(cid:134)(cid:135)(cid:196) (cid:67)(2) |x-3||x2 ||x6|(cid:31)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:196) (cid:67)
(3) (cid:183)(cid:101)| x -1||x2 ||y-3||y4|10 (cid:61)2xy (cid:31)(cid:55)(cid:18)(cid:30)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:30).
(cid:15)(cid:68)(cid:69)10-3(cid:20)(cid:62)23-24(cid:204)(cid:173)(cid:174)(cid:175)·(cid:256)(cid:197)(cid:277)(cid:218)·(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:66)(cid:183)(cid:101) +2|+ = +1|(cid:72)(cid:65) (cid:31)
(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:90) (cid:83) |𝑥 |𝑥−1| 8−|𝑦−4|−|𝑦 2𝑥−3𝑦