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专题 13.4 等腰三角形【八大题型】
【人教版】
【题型1 利用等腰三角形的性质求角度】...........................................................................................................1
【题型2 利用等腰三角形的性质求线段长度】...................................................................................................2
【题型3 等腰三角形中的多结论问题】...............................................................................................................3
【题型4 利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的个数】................................................................................4
【题型5 等腰三角形的证明】...............................................................................................................................5
【题型6 等腰三角形中的新定义问题】...............................................................................................................6
【题型7 等腰三角形中的规律问题】...................................................................................................................7
【题型8 等腰三角形中的动点问题】...................................................................................................................9
【知识点1 等腰三角形】
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上
的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
【题型1 利用等腰三角形的性质求角度】
【例1】（2022•南关区校级开学）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三
角形的顶角等于（ ）
A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30°
【变式1-1】（2022秋•南昌期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABM＝∠CBN，MN＝BN，则∠MBC
的度数为（ ）A．45° B．50° C．55° D．60°
【变式1-2】（2022春•柯桥区期末）在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC＝α，∠BAD＝β，
且AB＝AC＝CD，则β与α之间不可能存在的关系式是（ ）
3 3 3 3
A．β＝90°- α B．β＝180°- α C．β= α-90° D．β＝120°- α
2 2 2 2
【变式1-3】（2022春•抚州期末）已知∠ABC＝30°，点P是射线BC上一动点，把△ABP沿AP折叠，B
点的对应点为点D，当△ABP是等腰三角形时，∠ABD的度数为 ．
【题型2 利用等腰三角形的性质求线段长度】
【例2】（2022春•源城区期末）已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm
两部分，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．11cm
【变式2-1】（2022秋•蚌埠期末）已知等腰三角形的周长是20，其中一边长为6，则其它两边的长度分别
是（ ）
A．6和8 B．7和7 C．6和8或7和7 D．3和11
【变式2-2】（2022春•温江区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线
于E，交AC于F，连接BF，已知∠A＝48°，AB+BC＝15cm，求△BCF的周长和∠BFE度数．
【变式2-3】（2022秋•仓山区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于
点P，交AB于点F，若AF＝2，EC＝7，求BF的长度．【题型3 等腰三角形中的多结论问题】
【例3】（2022秋•定陶区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点
B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②
当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝
CE．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-1】（2022秋•密山市期末）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作
DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：
①△BDF和△CEF都是等腰三角形；
②DE＝BD+CE；
③△ADE的周长等于AB与AC的和；
④BF＝CF．
其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①
【变式3-2】（2022秋•覃塘区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F分别在BA、BC的延长线上，
∠EAC、∠ABC、∠ACF的平分线相交于点D．对于以下结论：①AD∥BC；②AD＝AC；③∠ADC＝∠ACB；④∠ADB与∠ADC互余．其中正确结论的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式3-3】（2022秋•北安市校级期末）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点
D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝
30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④
【题型4 利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的个数】
【例4】（2022秋•顺义区期末）如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使
得△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【变式4-1】（2022秋•钟楼区期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，A、B、C、D、Q均为格点，
点P是线段AD上的一个动点，在点P运动过程中存在 个位置使得△BPQ是腰长为5的等腰三角
形．【变式4-2】（2022秋•克东县期末）如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在
直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式4-3】（2022秋•鼓楼区校级期中）如图所示，在正方形网格中，网格的交点称为格点，已知 A，B
是两格点，如果C也是图中的格点，且使△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是 个．
【题型5 等腰三角形的证明】
【例 5】（2022 秋•镇赉县期末）如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，E 是 BC 上一点，BE＝CD，
EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H．
①求证：△APF是等腰三角形；
②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．
【变式5-1】（2022秋•鄂州期末）如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于
点F，DF＝EF，BD＝CE，求证：△ABC是等腰三角形．【变式5-2】（2022春•乳山市期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°．BE，CF交于点P，且分别平分
∠ABC，∠ACB．
（1）求∠BPC的度数；
（2）连接EF，求证：△EFP是等腰三角形．
【变式5-3】（2022秋•海沧区期末）定义：一个三角形，若过一个顶点的线段将这个三角形分为两个三角
形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个
三角形的等直分割线段．
例如：
如图1，在△ABC中，
∵AD⊥BC于D，且BD＝AD，
∴△ACD是直角三角形，
△ABD是等腰三角形，
∴△ABC是等直三角形，
AD是△ABC的一条等直分割线段．
（1）如图2，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，请说明AD是△ABC的一条等直
分割线段；
（2）若△ABC是一个等直三角形，恰好有两条等直分割线，∠B和∠C均小于45°，求证：△ABC是等
腰三角形．【题型6 等腰三角形中的新定义问题】
1
【例6】（2022春•高新区期末）定义：在一个三角形中，如果一个内角度数是另一内角度数 ，我们称这
2
样的三角形为“半角三角形”．若等腰△ABC为“半角三角形”，则△ABC的顶角度数为 ．
【变式6-1】（2022秋•亳州期末）定义：过△ABC的一个顶点作一条直线m，若直线m能将△ABC恰好分
成两个等腰三角形，则称△ABC为“奇妙三角形”．如图，下列标有度数的四个三角形中，不是“奇妙
三角形”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】（2022秋•苏州期末）定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值 k（k＞1）称为这
个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC中，∠A＝36°，则它的优美比k为（ ）
3 5
A． B．2 C． D．3
2 2
【变式6-3】（2022秋•海安市校级月考）定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三
角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，△ABC中，∠A＝36°，∠B为钝角，则使得△ABC是特异
三角形所有可能的∠B的度数为 ．【题型7 等腰三角形中的规律问题】
【例7】（2022秋•咸丰县期末）等腰三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 A（﹣6，
0），B在原点，CA＝CB＝5，把等腰三角形ABC沿x轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位
置①，第二次翻转到位置②，…，依此规律，第23次翻转后点C的横坐标是 ．
【变式7-1】（2022秋•克东县期末）在如图①所示的钢架∠MAN中，需要焊上等长的钢条来加固钢架．
若自左至右摆放，只能摆放7根，且AP ＝PP ＝PP ＝…＝PP ．为了进一步加固该钢架，自点P 开
1 1 2 2 3 7 8 8
始自右向左再焊上等长的钢条，如图②，且PP＝PP ＝…＝P P ＝AP ，则∠A的度数是（ ）
8 9 9 10 13 14 14
A．不存在的 B．10° C．12° D．15°
【变式7-2】（2022•长春模拟）如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即CA＝CB．若n个相同规格的等臂
圆规的两脚依次摆放在同一条直线上如图2所示，其张角度数变化如下：∠AC A ＝160°，∠AC A ＝
1 1 2 2 2 3
80°，∠AC A ＝40°，∠AC A ＝20°，…．，根据上述规律请你写出∠A AC ＝ °．（用含n
3 3 4 4 4 5 n+1 n n
的代数式表示）【变式7-3】（2022秋•定西期末）如图，已知∠AOB＝α，在射线OA、OB上分别取点A 、B ，使OA ＝
1 1 1
OB ，连接AB ，在AB 、BB上分别取点A 、B ，使BB ＝BA ，连接AB ，…，按此规律下去，记
1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2
∠ABB ＝θ ，∠ABB ＝θ ，…，∠A BB ＝θ ，则θ ＝
(2n-1)⋅180°+α
．（用含α的式子表
2 1 2 1 3 2 3 2 n+1 n n+1 n n
2n
示）
【题型8 等腰三角形中的动点问题】
【例8】（2022秋•涪城区校级期末）如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B
同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N
第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的
时间；若不存在，请说明理由．
【变式8-1】（2022春•花都区期末）“长度”和“角度”是几何学研究的核心问题．相交线与平行线的学
习，让我们对“角度转化”有了深刻的体会．某数学兴趣小组受此启发，试图沟通“角度”与“长度”
间的关系．在研究过程中他们发现了一条关于三角形的重要结论﹣﹣“等角对等边”，即：如果一个三
角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
如右图，在△EBD中，若∠B＝∠D，则ED＝EB．
以此为基础，该兴趣小组邀请你加入研究，继续解决如下新问题：在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），已知（a+3）2+√b-3=0，点C为x轴上方的一点．
（1）如图1，若∠ABC的角平分线交AC于点D，已知点D（﹣2，2），BC上有一点E（1，2）．
则①DE与x轴的位置关系为 ；
②求BE的长度；
（2）如图2，AH、BH分别平分∠CAB、∠CBA，过H点作AB的平行线，分别交AC、BC于点F、G．
若F（m，n），G（m+4，n），求四边形ABGF的周长；
（3）当点C为x轴上方的一动点（不在y轴上）时，连接CA、CB．若∠CAB邻补角的角平分线和
∠CBA的角平分线交于点P，过点P作AB的平行线，分别交直线AC、直线BC于点M、N．随着点C
移动，图形状及点P、M、N的位置也跟着变化，但线段MN、AM和BN之间却总是存在着确定的数量
关系，请直接写出这三条线段之间的数量关系 ．
【变式8-2】（2022秋•定西期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，
P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从
点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
【变式8-3】（2022•青羊区一模）如图，△ABC中AB＝AC，BC＝6，点P从点B出发沿射线BA移动，同
时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点
D．
（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是
否存在长度保持不变的线段？请说明理由．
