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专题 10 易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解的问题
易错点一 求长度时忽略三边关系
易错点二 当腰和底不明求角度时没有分类讨论
易错点三 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论
易错点一 求长度时忽略三边关系
例题：（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长
等于____________．
【答案】20
【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为4或是腰长为8两种情况．
【详解】解：等腰三角形的两边长分别为4和8，
当腰长是4时，则三角形的三边是4，4，8，4+4=8不满足三角形的三边关系；
当腰长是8时，三角形的三边是8，8，4，三角形的周长是20．
故答案为∶20．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两
种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·新疆·和硕县第二中学八年级期末）等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是多少
（ ）
A．13 B．17 C．13或17 D．13或10
【答案】B
【分析】分①腰长为3和②腰长为7两种情况，再结合三角形的三边关系，利用三角形的周长公式即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
①当腰长为3时，则这个等腰三角形的三边长分别为 ，
此时 ，不满足三角形的三边关系，舍去；
1②当腰长为7时，则这个等腰三角形的三边长分别为 ，
此时 ，满足三角形的三边关系，
所以它的周长为 ；
综上，这个等腰三角形的周长为17，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．
2．（2022·山东菏泽·八年级期末）已知等腰三角形底边和腰的长分别为6和5，则这个等腰三角形的周长
为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的定义可知三边长为6，5，5，即可．
【详解】根据题意可知等腰三角形的三边长为6，5，5，
所以这个三角形的周长为6+5+5=16．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．
3．已知实数x，y满足 ，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）
A．20 B．25 C．20或25 D．以上答案均不对
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分5是腰长与底边两种情况讨论求解即可．
【详解】
解： ， ，
x−5=0，y−10=0，
解得x=5，y=10，
当5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、10，
∵5+5=10，
∴不能组成三角形；
当5是底边时，三角形的三边分别为5、10、10，
2能组成三角形，周长=5+10+10=25，
所以，三角形的周长为25，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，绝对值非负数，平方非负数的性质，根据几个非负数
的和等于0，则每一个算式都等于0，求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角
形的三边关系进行判断．
4．（2021·云南·富源县第七中学八年级期中）若等腰三角形的周长为26cm，一边为8cm，则腰长为
_______．
【答案】 或 ##9cm或8cm
【分析】分8cm的边是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【详解】解：①8cm是腰长时，底边为：26﹣8×2＝10cm，
三角形的三边长分别为8cm、8cm、10cm，
∵8+8＝16＞10，
∴能组成三角形，
②8cm是底边长时，腰长为： cm，
三角形的三边长分别8cm、9cm、9cm，
能组成三角形，
综上所述，该等腰三角形的腰长是8cm或者9cm．
故答案为：8cm或者9cm．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判定是否能组成
三角形．
5．（2022·黑龙江·肇东市第十中学八年级期末）已知等腰三角形的两边长分别为5cm，2cm，则该等腰三
角形的周长是________．
【答案】12cm##12厘米
【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为2cm或是腰长为5cm两种情况．
【详解】解：等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，
当腰长是5cm时，则三角形的三边是5cm，5cm，2cm，5cm+2cm＞5cm，满足三角形的三边关系，
三角形的周长是5+5+2=12(cm)；
当腰长是2cm时，三角形的三边是2cm，2cm，5cm，2cm+2cm＜5cm，不满足三角形的三边关系．
3故答案为：12cm．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两
种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
6．（1）等腰三角形一腰上的中线把周长分为 和 两部分，求该三角形各边的长．
（2）已知一个等腰三角形的三边长分别为 ，求这个等腰三角形的周长．
【答案】（1） 或者 ；（2）周长为 或者10
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质，列出方程求解，注意分类讨论．
（2）分三种情况，进行讨论，结合三角形三边关系得出答案．
【详解】
设腰长为2x,底为y，根据题意得：
①
解得：
三边为10,10,7
②
解得：
三边为8,8,11
故本题答案为： 或者
①当 时，解 ，此时 ，能构成三角形．
此时周长为10
②当 时，解 ，此时 不能构成三角形．
③当 ，解得 ，
此时 ，能构成三角形，周长为＝7
4综上，三角形的周长为7或者10．
【点睛】
本题考查等腰三角形性质，以及三角形三边关系，属于基础提高题．
易错点二 当腰和底不明求角度时没有分类讨论
例题：（2022·山东烟台·七年级期末）若等腰三角形中有一个角等于 ，则这个等腰三角形的顶角的度数
为________．
【答案】 或
【分析】根据等腰三角形两底角相等，分别讨论当 为顶角，和当 为底角两种情况即可得出答案．
【详解】解：当 为顶角时，这个等腰三角形顶角的度数为 ；
当 为底角时，顶角度数为： ；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等是本题解题关键．
【变式训练】
1．已知等腰三角形的一个内角是72°，那么这个等腰三角形的顶角是______度．
【答案】72或36
【解析】
【分析】
本题应分底角为72°、顶角为72°这两种情况，分别计算每种情况下等腰三角形是否存在．
【详解】
解∶ ①当72°角是顶角时，顶角为72°，
②当72°角是底角时，顶角＝180°－72°×2＝36°，
综上顶角为72°或36°．
故答案为：72或36．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，，树立分类讨论思想，培养学生全面思考问题的数学素养， 在计算等腰三
角形有关边、角的问题时，要注意利用分类讨论的思想进行全面讨论是解题的关键．
2．（2022·山东烟台·七年级期末）若等腰三角形中有一个角等于 ，则这个等腰三角形的顶角的度数为
________．
【答案】 或
【分析】根据等腰三角形两底角相等，分别讨论当 为顶角，和当 为底角两种情况即可得出答案．
5【详解】解：当 为顶角时，这个等腰三角形顶角的度数为 ；
当 为底角时，顶角度数为： ；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等是本题解题关键．
3．有一张三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两
张纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是__________．
【答案】25°或40°或10°
【解析】
【详解】
【分析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三种情况根据等腰三角形的性质求出∠ADB，再求出∠BDC，然后
根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【详解】由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，
对于△ABD可能有
①AB=BD，此时∠ADB=∠A=80°，
∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-80°=100°，
∠C= （180°-100°）=40°，
②AB=AD，此时∠ADB= （180°-∠A）= （180°-80°）=50°，
∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-50°=130°，
∠C= （180°-130°）=25°，
③AD=BD，此时，∠ADB=180°-2×80°=20°，
∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-20°=160°，
∠C= （180°-160°）=10°，
综上所述，∠C度数可以为25°或40°或10°
故答案为25°或40°或10°
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．
4．（2022·福建泉州·七年级期末）“特征值”的定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为
这个等腰三角形的“特征值”，记作“ ”．若等腰 中， ，则它的特征值
6______．
【答案】 或
【分析】分两种情况讨论：若∠A为顶角，若∠A为底角，结合等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】解：若∠A为顶角，
则等腰三角形的底角为 ，
∴特征值 ；
若∠A为底角，
则等腰三角形的顶角为 ，
∴特征值 ；
综上所述，特征值 或 ．
故答案为： 或
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知
∠A的度数，要分∠A是顶角和底角两种情况，以免造成答案的遗漏．
5．（2022·江苏·八年级课时练习）在 中， ， ，以BC为一边画等腰 ，
使得它的第三个顶点P在 的斜边AB上，则 的度数为________．
【答案】 或 或
【分析】根据题意画出图形，分 ， ， 三种情况讨论，根据三角形的内角和定理
即可求解．
【详解】如图，
7当 时， ，
，
当 时， ，
当 时， ．
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理，分类讨论是解题的关键．
6．（2022·江西吉安·七年级期末）在 中， ，点P是射线BA上的任意一点，当 为等腰
三角形时， 的度数为______．
【答案】108°或72°或36°
【分析】分三种情况讨论：当 时，推出 ，推出
；当 时，推出 ；当 时，推
出 ．
【详解】解：当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
8当 时， ．
综上，∠BPC的度数为108°或72°或36°．
故答案为：108°或72°或36°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的存在性，解决问题的关键是熟练掌握等边对等角的性质，三角形的
三个角都有可能是顶角，分类讨论．
易错点三 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论
例题：若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则这个等腰三角形的底角的度数为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】D
【解析】
【分析】
首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，
所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．
【详解】
（1）当这个三角形是锐角三角形时，如图所示：
9∵高与另一腰的夹角为50°，即 ，
∴顶角 ，
∵ ，
；
（2）当这个三角形是钝角三角形时，如图所示：
∵∠ABD=50°，BD⊥CD，
∴∠BAD=90°-50°=40°，
∵ ， ，
∴ ；
综上所述，这个等腰三角形的底角的度数为70°或20°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的高线，可能在三角
形的内部，边上、外部几种不同情况，因此遇到与等腰三角形的高有关的计算时应分类讨论．
【变式训练】
1．（2022·山东烟台·七年级期末）等腰三角形顶角为86 ，则腰上的高与底边所成的角的度数为（ ）
A．4 B．43 C．47 D．53
【答案】B
【分析】结合题意画出图形，可先求得两底角的大小，再结合直角三角形两锐角互余可求得答案．
【详解】解：如图，在 ABC中，AB=AC，∠BAC=86°，过C作CD⊥AB，垂足为D，
△
10∴∠B= （180°−∠A）= （180°−86°）=47°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠DCB=90°，
∴∠DCB=90°-47°=43°，
即腰上的高与底边所成的角的度数为43°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理是解题的关键．
2．（2022·上海·上外附中七年级期末）等腰三角形的顶角为α，那么这个等腰三角形一条腰上的高与底边
的夹角为（ ）
A．α B．2α C． α D．90°﹣α
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【详解】解：如图：
∵∠BAC＝α，
∴ ．
∵BD⊥AC，
∴∠ABD＝90°﹣α，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，关键是理解等腰三角形的性质和三角形内角和定理．
3．（2022·河南·汝州市有道实验学校八年级阶段练习）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的
直线的夹角为50°，则此等腰三角形的底角是 （ ）
A．70° B．20° C．20°或70° D．40°或70°
11【答案】C
【分析】分两种情况讨论：等腰三角形的顶角为锐角或钝角，即可求解．
【详解】解：当顶角为锐角时，如图，
∵∠ADE=50°，∠AED=90°，
∴∠A=40°，
∴ ；
当顶角为钝角时，如图，
∵∠ADE=50°，∠AED=90°，
∴∠BAC=∠ADE+∠AED=140°，
∴ ；
综上所述，此等腰三角形的底角是70°或20°．
故选：C
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键．
4．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为56°，则这个等腰三角形底角度数是_______．
【答案】 或
【解析】
【分析】
在等腰 中， ， 为腰 上的高， ，讨论：当 在 内部时，如图1，
12先计算出 ，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出 ；当 在 外部时，
如图2，先计算出 ，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出 ．
【详解】
解：在等腰 中， ， 为腰 上的高， ，
当 在 内部时，如图1，
为高，
，
，
，
；
当 在 外部时，如图2，
为高，
，
，
，
，
而 ，
，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
5．（2022·陕西·交大附中分校七年级期末）已知 中， ，在AB边上有一点D，若CD将
分为两个等腰三角形，则 ________．
13【答案】100°，70°，40°或者10°
【分析】分BD=CD、BC=CD、BD=BC三种情况讨论即可求解．
【详解】第一种请况：BD=CD时，如图，
∵BD=CD，∠B=20°，
∴∠B=∠DCB=20°，
∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°，
（1）当DA=DC时，∠A=∠ACD，
∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∠ADC=40°，
∴∠A=∠ACD=70°；
（2）当DA=AC时，即有∠ADC=∠ACD=40°，
∴∠A=180°-∠ADC-∠ACD=100°；
（3）当CD=CA时，∠A=∠ADC=40°；
第二种请况：BC=CD时，如图，
∵∠B=20°，BC=CD，
∴∠B=∠BDC=20°，
∴∠ADC=180°-∠BDC=160°，
∵△ADC是等腰三角形，
∴有∠A=∠ACD，
∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，
∴∠A=10°；
第三种情况：BC=BD时，如图，
14∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD，
∵∠B=20°，∠B+∠BCD+∠BDC=180°，
∴∠BCD=∠BDC=80°，
∴∠ADC=180°-∠BDC=100°，
∵△ADC是等腰三角形，
∴有∠A=∠ACD，
∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，
∴∠A=40°；
综上所述：∠A的度数为：70°，100°，40°，10°，
故答案为：70°，100°，40°，10°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，掌握三角形的性质是解答本题的关
键．
6．（2021·江西育华学校八年级期末）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个
三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．
如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，
若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是_____．
【答案】40°或90°或140°
【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
【详解】解：①如图，
15当∠DBC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，
∴∠ABD=20°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=20°，
∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；
②如图，
当∠BDC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD时，直线
BD是△ABC的关于点B的二分割线，；
③如图，
当∠ABD=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，
∴∠DBC=20°，
∵CD=BD，
∴∠C=∠DBC=20°，
∴∠BDC=140°．
综上所述：当∠BDC的度数是40°或90°或140°时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．
16【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题的关
键．
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