专题23.1图形的旋转(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上(人教)

专题 23.1 图形的旋转（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:19)................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:26)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:19)............................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:33)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:19)............................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:33)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:43)(cid:44)(cid:19)..........................................................................................................................12
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:33)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:45)(cid:46)(cid:19)..........................................................................................................................18
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:47)(cid:26)(cid:27)(cid:48)(cid:25)(cid:49)(cid:50)(cid:19)..................................................................................................................................24
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:43)(cid:26)(cid:27)(cid:48)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:19)..................................................................................................................................30
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:33)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:54)(cid:49)(cid:55)(cid:19)..............................................................................................................................34
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:51)(cid:52)(cid:56)(cid:26)(cid:27)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:20)(cid:19)..........................................................................................................................37
知识点1 旋转的相关概念
1. (cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:49)(cid:50)(cid:65)(cid:66)(cid:63)(cid:64)(cid:67)(cid:68)(cid:61)O(cid:27)(cid:69)(cid:61)(cid:62)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:49)(cid:50)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:75)(cid:76)O(cid:73)(cid:74)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:77)(cid:72)(cid:27)(cid:69)(cid:25)(cid:70)(cid:73)(cid:74)
(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:75)(cid:78)(cid:79)(cid:49)(cid:50)(cid:80)(cid:25)(cid:76)P(cid:81)(cid:82)(cid:26)(cid:27)(cid:83)(cid:84)(cid:76)P'(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:62)(cid:76)(cid:73)(cid:74)(cid:87)(cid:62)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:76)(cid:75)
2. (cid:26)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:10)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:77)(cid:91)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:91)(cid:26)(cid:27)(cid:92)(cid:93)(cid:75)
知识点2 旋转的性质
1. (cid:89)(cid:90)(cid:76)(cid:94)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:77)(cid:25)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:75)
2. (cid:89)(cid:90)(cid:76)(cid:56)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:77)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:25)(cid:103)(cid:70)(cid:98)(cid:104)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:75)
3. (cid:26)(cid:27)(cid:105)(cid:91)(cid:48)(cid:25)(cid:49)(cid:50)(cid:106)(cid:98)(cid:75)
知识点3 旋转作图
(cid:107) ABC(cid:65)(cid:76)M(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)120°(cid:48)(cid:72)(cid:111)(cid:94) DEF(cid:25)(cid:112)(cid:113)(cid:10)
(cid:114)△1(cid:115)(cid:116)(cid:10)(cid:117)(cid:116)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:77)(cid:84)(cid:76)M(cid:72)(cid:26)(cid:27)(cid:92)(cid:93)△(cid:84)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:72)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:84)120°(cid:75)
(cid:114)2(cid:115)(cid:118)(cid:10)(cid:119)(cid:118)(cid:120)(cid:121)(cid:49)(cid:50)(cid:25)(cid:3)(cid:122)(cid:76)A(cid:72)B(cid:72)C(cid:72)(cid:100)(cid:123)(cid:3)(cid:122)(cid:76)A(cid:124)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:77)M(cid:72)(cid:125)(cid:101)(cid:102)AM(cid:75)
(cid:114)3(cid:115)(cid:27)(cid:10)(cid:126)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:77)M(cid:84)(cid:127)(cid:76)(cid:72)(cid:82)(cid:3)(cid:122)(cid:76)A(cid:25)(cid:128)(cid:101)MA(cid:84)(cid:61)(cid:129)(cid:72)(cid:130)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:92)(cid:93)(cid:131)(cid:61)(cid:62)120°(cid:25)(cid:70)(cid:75)
(cid:114)4(cid:115)(cid:132)(cid:10)(cid:133)(cid:70)(cid:25)(cid:134)(cid:61)(cid:129)(cid:80)(cid:135)(cid:61)(cid:76)D,(cid:136)MD(cid:137)MA(cid:72)(cid:111)(cid:94)(cid:76)A(cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:76)D(cid:72)(cid:126)(cid:138)(cid:131)(cid:139)(cid:72)(cid:140)(cid:111)(cid:76)B(cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:76)E(cid:72)(cid:76)C(cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:76)F(cid:75)
(cid:114)5(cid:115)(cid:100)(cid:10)(cid:130)(cid:141)(cid:49)(cid:108)(cid:142)(cid:100)(cid:123)D(cid:72)E(cid:72)F(cid:72)(cid:111)(cid:94) DEF(cid:72)(cid:78)(cid:49)(cid:99)(cid:143)(cid:75)
△
【题型1 生活中的旋转现象】
(cid:15)(cid:144)1(cid:19)(cid:114)24-25(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)·(cid:153)(cid:24)(cid:115)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:25)(cid:165)(cid:166)(cid:72)(cid:167)(cid:69)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:170)(cid:171)(cid:69)(cid:47)(cid:154)(cid:155)(cid:172)(cid:173)(cid:72)
(cid:174)(cid:175)(cid:168)(cid:24)(cid:170)(cid:176)(cid:177)(cid:155)(cid:178)(cid:179)(cid:75)(cid:89)(cid:148)(cid:180)(cid:157)(cid:158)(cid:49)(cid:181)(cid:25)(cid:83)(cid:182)(cid:108)(cid:142)(cid:183)(cid:184)(cid:41)(cid:117)(cid:25)(cid:185)(cid:114) (cid:115)
A(cid:75)(cid:186)(cid:89)(cid:187)(cid:72)(cid:63)(cid:188)(cid:72)(cid:26)(cid:27) B(cid:75)(cid:26)(cid:27)(cid:72)(cid:186)(cid:89)(cid:187)(cid:72)(cid:63)(cid:188)
C(cid:75)(cid:186)(cid:89)(cid:187)(cid:72)(cid:26)(cid:27)(cid:72)(cid:63)(cid:188) D(cid:75)(cid:63)(cid:188)(cid:72)(cid:26)(cid:27)(cid:72)(cid:186)(cid:89)(cid:187)
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)A
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:192)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:168)(cid:186)(cid:89)(cid:187)(cid:49)(cid:50)“(cid:78)(cid:79)(cid:61)(cid:62)(cid:49)(cid:50)(cid:195)(cid:61)(cid:196)(cid:197)(cid:101)(cid:198)(cid:199)(cid:72)(cid:197)(cid:101)(cid:88)(cid:200)(cid:25)(cid:201)(cid:190)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(cid:106)(cid:205)(cid:206)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:62)
(cid:49)(cid:50)(cid:73)(cid:74)(cid:186)(cid:89)(cid:187)(cid:49)(cid:50)”(cid:124)(cid:49)(cid:50)(cid:25)(cid:26)(cid:27)“(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:49)(cid:50)(cid:65)(cid:63)(cid:64)(cid:67)(cid:68)(cid:61)(cid:76)(cid:27)(cid:69)(cid:61)(cid:62)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:49)(cid:50)(cid:25)(cid:26)(cid:27)”(cid:91)(cid:63)
(cid:188)“(cid:68)(cid:61)(cid:207)(cid:192)(cid:25)(cid:63)(cid:64)(cid:49)(cid:50)(cid:195)(cid:66)(cid:61)(cid:116)(cid:25)(cid:92)(cid:93)(cid:188)(cid:69)(cid:72)(cid:87)(cid:208)(cid:49)(cid:50)(cid:25)(cid:63)(cid:209)(cid:188)(cid:69)(cid:72)(cid:210)(cid:187)(cid:84)(cid:63)(cid:188)”(cid:72)(cid:211)(cid:212)(cid:49)(cid:50)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:91)(cid:186)(cid:89)
(cid:187)(cid:49)(cid:50)(cid:91)(cid:63)(cid:188)(cid:25)(cid:116)(cid:213)(cid:185)(cid:44)(cid:20)(cid:3)(cid:122)(cid:75)(cid:214)(cid:215)(cid:49)(cid:50)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:91)(cid:186)(cid:89)(cid:187)(cid:49)(cid:50)(cid:91)(cid:63)(cid:188)(cid:25)(cid:116)(cid:213)(cid:216)(cid:209)(cid:37)(cid:38)(cid:125)(cid:140)(cid:111)(cid:75)
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:44)(cid:10)(cid:218)(cid:49)(cid:140)(cid:219)(cid:72)(cid:220)(cid:61)(cid:221)(cid:84)(cid:186)(cid:89)(cid:187)(cid:72)(cid:220)(cid:222)(cid:221)(cid:84)(cid:63)(cid:188)(cid:72)(cid:220)(cid:30)(cid:221)(cid:84)(cid:26)(cid:27)(cid:72)
(cid:223)(cid:224)(cid:10)A(cid:75)
(cid:15)(cid:83)(cid:225)1-1(cid:19)(cid:114)24-25(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:80)·(cid:80)(cid:163)·(cid:153)(cid:226)(cid:115)(cid:133)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:80)(cid:72)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:148)(cid:233)(cid:234)(cid:235)“(cid:93)(cid:236)(cid:27)”(cid:109)(cid:72)(cid:236)(cid:237)(cid:41)(cid:117)(cid:25)(cid:69)(cid:131)(cid:90)(cid:185)
(cid:126) (cid:114)(cid:238)“(cid:237)(cid:239)”(cid:240)“(cid:237)(cid:241)”(cid:115)(cid:84)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:77)(cid:72)(cid:195)(cid:66) (cid:114)(cid:238)“(cid:108)”(cid:240)“(cid:242)”(cid:115)(cid:109)(cid:110)(cid:92)(cid:93)(cid:26)(cid:27) (cid:71)(cid:75)
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19) (cid:237)(cid:239) (cid:108) 90
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:192)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:168)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:97)(cid:3)(cid:243)(cid:244)(cid:72)(cid:245)(cid:246)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:97)(cid:3)(cid:243)(cid:244)(cid:72)(cid:39)(cid:206)(cid:22)(cid:23)(cid:81)(cid:247)(cid:44)(cid:248)(cid:59)(cid:20)(cid:185)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:122)(cid:75)(cid:214)(cid:215)
(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:97)(cid:3)(cid:243)(cid:244)(cid:72)(cid:39)(cid:206)(cid:22)(cid:23)(cid:81)(cid:247)(cid:125)(cid:140)(cid:44)(cid:189)(cid:75)
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:44)(cid:10)(cid:133)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:80)(cid:72)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:148)(cid:233)(cid:234)(cid:235)“(cid:93)(cid:236)(cid:27)”(cid:109)(cid:72)(cid:236)(cid:237)(cid:41)(cid:117)(cid:25)(cid:69)(cid:131)(cid:90)(cid:185)(cid:126)(cid:237)(cid:239)(cid:84)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:77)(cid:72)(cid:195)(cid:66)(cid:108)(cid:109)
(cid:110)(cid:92)(cid:93)(cid:26)(cid:27)90(cid:71)(cid:75)
(cid:223)(cid:189)(cid:55)(cid:84)(cid:10)(cid:237)(cid:239)(cid:249)(cid:108)(cid:249)90(cid:75)
(cid:15)(cid:83)(cid:225)1-2(cid:19)(cid:114)24-25(cid:250)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:254)·(cid:153)(cid:226)(cid:115)(cid:78)(cid:49)1(cid:72)(cid:160)(cid:255)(cid:232)(cid:60)4(cid:256)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:133)(cid:261)(cid:64)(cid:80)(cid:72)(cid:262)(cid:48)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:266)(cid:72)(cid:267)(cid:61)(cid:268)(cid:269)(cid:8)(cid:60)(cid:270)(cid:24)1(cid:256)(cid:259)(cid:26)(cid:27)180°(cid:75)(cid:160)(cid:255)(cid:232)(cid:271)(cid:272)(cid:265)(cid:266)(cid:48)(cid:72)(cid:273)(cid:94)4(cid:256)(cid:259)(cid:78)(cid:49)2(cid:99)(cid:143)(cid:72)(cid:274)(cid:275)(cid:26)(cid:27)(cid:82)(cid:25)(cid:259)(cid:185)(cid:114)(cid:276)(cid:276)(cid:115)
A(cid:75) B(cid:75)
C(cid:75) D(cid:75)
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)D
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:192)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:168)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:24)(cid:77)(cid:89)(cid:187)(cid:49)(cid:50)(cid:25)(cid:243)(cid:244)(cid:277)(cid:278)(cid:279)(cid:72)(cid:214)(cid:215)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:280)(cid:39)(cid:206)(cid:49)1(cid:124)(cid:49)2(cid:25)(cid:83)(cid:177)(cid:72)
(cid:118)(cid:281)(cid:24)(cid:77)(cid:89)(cid:187)(cid:49)(cid:50)(cid:72)(cid:125)(cid:140)(cid:131)(cid:189)(cid:75)
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:44)(cid:10)4(cid:256)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:24)(cid:72)(cid:282)(cid:283)(cid:92)(cid:284)6(cid:185)(cid:24)(cid:77)(cid:89)(cid:187)(cid:49)(cid:50)(cid:72)
(cid:269)(cid:285)(cid:49)1(cid:124)(cid:49)2(cid:72)(cid:286)(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:283)(cid:290)(cid:83)(cid:72)(cid:291)(cid:138)(cid:275)(cid:26)(cid:27)(cid:82)(cid:25)(cid:259)(cid:185)(cid:92)(cid:284)6(cid:72)
(cid:223)(cid:224)(cid:10)D
(cid:15)(cid:83)(cid:225)1-3(cid:19)(cid:114)24-25(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)·(cid:153)(cid:24)(cid:115)(cid:78)(cid:49)(cid:72) (cid:91) (cid:91)(cid:91) (cid:91) (cid:292)(cid:133)(cid:293)(cid:76)(cid:80)(cid:72) (cid:185)(cid:218) (cid:81)
(cid:82)(cid:88)(cid:221)(cid:49)(cid:50)(cid:25)(cid:83)(cid:182)(cid:114)(cid:63)(cid:188)(cid:91)(cid:186)(cid:89)(cid:187)(cid:91)(cid:26)(cid:27)(cid:115)(cid:111)(cid:94)(cid:25)(cid:75)(cid:148)𝐴(cid:180)(cid:39)𝐵(cid:40)𝐶(cid:10)①𝐷1(cid:221)𝑂(cid:26)(cid:27)(cid:124)1(cid:221)(cid:63)(cid:188)△(cid:249)𝐶𝐷②𝑂2(cid:221)(cid:186)△(cid:89)𝐴𝑂(cid:187)𝐵(cid:249)
③1(cid:221)(cid:63)(cid:188)(cid:124)1(cid:221)(cid:186)(cid:89)(cid:187)(cid:249)④1(cid:221)(cid:186)(cid:89)(cid:187)(cid:124)1(cid:221)(cid:26)(cid:27)(cid:75)(cid:270)(cid:24)(cid:99)(cid:283)(cid:41)(cid:117)(cid:39)(cid:40)(cid:25)(cid:142)(cid:9)(cid:185) (cid:75)
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19) /
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:192)③(cid:20)④(cid:294)④(cid:31)③(cid:193)(cid:194)(cid:168)(cid:49)(cid:50)(cid:25)(cid:63)(cid:188)(cid:72)(cid:26)(cid:27)(cid:124)(cid:186)(cid:89)(cid:187)(cid:72)(cid:63)(cid:188)(cid:124)(cid:26)(cid:27)(cid:295)(cid:296)(cid:290)(cid:83) (cid:24)(cid:30)(cid:62)(cid:67)(cid:70)(cid:297)(cid:298)(cid:25)(cid:299)(cid:180)
(cid:108)(cid:142)(cid:114)(cid:144)(cid:78)A(cid:91)O(cid:91)B(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:299)(cid:180)(cid:115)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:81)(cid:82)(cid:63)(cid:188)(cid:240)(cid:300)(cid:26)(cid:27)(cid:111)(cid:94)(cid:25) (cid:185)△(cid:130)𝐴(cid:301)𝑂𝐵(cid:72) (cid:72) (cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:299)(cid:180)(cid:72)(cid:61)
(cid:221)(cid:186)(cid:89)(cid:187)(cid:296)(cid:290)(cid:83) (cid:24)(cid:30)(cid:62)(cid:67)(cid:70)(cid:297)(cid:298)(cid:25)(cid:299)(cid:180)(cid:108)(cid:142)(cid:114)(cid:144)(cid:78)A(cid:91)O(cid:91)B△(cid:108)(cid:109)𝐶𝐷(cid:110)𝑂(cid:299)(cid:180)(cid:115)𝐶(cid:72)(cid:85)𝐷(cid:86)(cid:81)𝑂(cid:82)1(cid:221)(cid:186)(cid:89)(cid:187)(cid:111)
△𝐴𝑂𝐵(cid:94)(cid:25) (cid:185)(cid:130)(cid:301) (cid:72) (cid:72) (cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:299)(cid:180)(cid:72)(cid:215)(cid:138)(cid:140)(cid:111)(cid:186)(cid:89)(cid:187)(cid:25)(cid:221)(cid:302)(cid:61)(cid:116)(cid:31)(cid:185)(cid:303)(cid:302)(cid:221)(cid:72)(cid:63)(cid:188)(cid:124)(cid:26)(cid:27)(cid:295)(cid:202)(cid:111)(cid:94)(cid:72)
(cid:215)(cid:138)(cid:140)△(cid:111)𝐶𝐷(cid:189)𝑂(cid:55)(cid:75) 𝐶 𝐷 𝑂
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:44)(cid:10) (cid:26)(cid:27)(cid:124)(cid:63)(cid:188)(cid:288)(cid:295)(cid:296)(cid:290)(cid:83) (cid:24)(cid:30)(cid:62)(cid:67)(cid:70)(cid:297)(cid:298)(cid:25)(cid:299)(cid:180)(cid:108)(cid:142)(cid:114)(cid:144)(cid:78)A(cid:91)O(cid:91)B(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:299)(cid:180)(cid:115)(cid:72)
(cid:85)(cid:86)(cid:81)(cid:82)(cid:63)(cid:188)∵(cid:240)(cid:300)(cid:26)(cid:27)(cid:111)(cid:94)(cid:25) (cid:185)△(cid:130)𝐴(cid:301)𝑂𝐵(cid:72) (cid:72) (cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:299)(cid:180)(cid:72)
(cid:295)(cid:202)(cid:218) (cid:81)(cid:82)1(cid:221)△(cid:26)𝐶𝐷(cid:27)𝑂(cid:240)(cid:300)1(cid:221)𝐶(cid:63)𝐷(cid:188)(cid:72)𝑂(cid:223)①(cid:295)(cid:304)(cid:206)(cid:20)(cid:305)(cid:249)
∴1△(cid:221)𝐶(cid:186)𝐷𝑂(cid:89)(cid:187)(cid:61)(cid:116)△(cid:296)𝐴(cid:290)𝑂(cid:83)𝐵(cid:83) (cid:24)(cid:30)(cid:62)(cid:67)(cid:70)(cid:297)(cid:298)(cid:25)(cid:299)(cid:180)(cid:108)(cid:142)(cid:114)(cid:144)(cid:78)A(cid:91)O(cid:91)B(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:299)(cid:180)(cid:115)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:81)(cid:82)(cid:81)
∵(cid:82)1(cid:221)(cid:186)(cid:89)(cid:187)(cid:111)(cid:94)(cid:25) △(cid:185)𝐴𝑂(cid:130)𝐵(cid:301) (cid:72) (cid:72) (cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:299)(cid:180)(cid:72)
(cid:186)(cid:89)(cid:187)(cid:25)(cid:221)(cid:302)(cid:61)(cid:116)(cid:31)△(cid:306)𝐶(cid:307)𝐷𝑂(cid:303)(cid:302)(cid:221)(cid:72)𝐶(cid:223)②𝐷 (cid:295)𝑂(cid:304)(cid:206)(cid:20)(cid:305)(cid:72)③④(cid:304)(cid:206)(cid:20)(cid:305)(cid:72)
(cid:223)∴ (cid:189)(cid:55)(cid:84)(cid:249)③④
【题型2 旋转三要素】
(cid:15)(cid:144)2(cid:19)(cid:114)24-25(cid:308)(cid:146)(cid:147)(cid:80)·(cid:309)(cid:149)(cid:310)(cid:311)·(cid:312)(cid:102)(cid:313)(cid:314)(cid:115)(cid:78)(cid:49)(cid:72)(cid:17)(cid:315)(cid:67)(cid:316)(cid:64)(cid:283)(cid:62)(cid:317)(cid:318)(cid:25)(cid:319)(cid:320)(cid:72)(cid:320)(cid:64) (cid:56)(cid:321)(cid:63)(cid:316)(cid:64)(cid:25)
(cid:103)(cid:70) (cid:84)62°(cid:72)(cid:322)(cid:46)(cid:107)(cid:286)(cid:323)(cid:324)(cid:114)(cid:107)(cid:319)(cid:320)(cid:65)(cid:76)A(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)(cid:115)(cid:48)(cid:63)(cid:260)(cid:133)(cid:316)(cid:64)(cid:72)(cid:320)(cid:64) (cid:65)(cid:76)𝐴𝐵A(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:71)(cid:302)
(cid:84) ∠ 𝐶𝐴(cid:75)𝐵 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)118°/118(cid:71)
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:192)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:168)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:91)(cid:63)(cid:70)(cid:25)(cid:116)(cid:213)(cid:72)(cid:214)(cid:215)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:124)(cid:63)(cid:70)(cid:25)(cid:116)(cid:213)(cid:54)(cid:325)(cid:125)(cid:140)(cid:111)(cid:281)(cid:189)(cid:55)(cid:72)(cid:326)(cid:34)(cid:302)
(cid:50)(cid:39)(cid:206)(cid:25)(cid:327)(cid:328)(cid:185)(cid:44)(cid:138)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:122)(cid:75)
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:44)(cid:10) (cid:320)(cid:64) (cid:56)(cid:321)(cid:63)(cid:316)(cid:64)(cid:25)(cid:103)(cid:70) (cid:84)62°(cid:72)
= ∵ 𝐴𝐵 =118°(cid:72)(cid:125)(cid:320)(cid:64) ∠𝐶(cid:65)𝐴𝐵(cid:76) (cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:71)(cid:302)(cid:84)118°(cid:72)
′
(cid:223)∴(cid:189)∠𝐵(cid:55)𝐴𝐵(cid:84)(cid:10)111880°°(cid:75)−∠𝐶𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐴
(cid:15)(cid:83)(cid:225)2-1(cid:19)(cid:114)24-25(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:329)(cid:151)(cid:330)(cid:234)·(cid:153)(cid:226)(cid:115)(cid:78)(cid:49)(cid:72)(cid:107) (cid:130)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:92)(cid:93)(cid:26)(cid:27)(cid:48)(cid:121)(cid:84) (cid:72)(cid:274)(cid:148)(cid:180)
(cid:331)(cid:139)(cid:332)(cid:42)(cid:25)(cid:185)(cid:114) (cid:115) △𝐴𝑂𝐵 △𝐶𝑂𝐷A(cid:75)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:77)(cid:185)(cid:76) B(cid:75)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:98)(cid:104)
C(cid:75) = 𝑂 D(cid:75) ∠𝐴𝑂𝐷
(cid:15)(cid:189)(cid:55)𝑂(cid:19)𝐴B 𝑂𝐶 △𝐴𝑂𝐵≌△𝐶𝑂𝐷
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:192)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:214)(cid:215)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:89)(cid:224)(cid:333)(cid:334)(cid:61)(cid:216)(cid:209)(cid:190)(cid:191)(cid:125)(cid:140)(cid:111)(cid:281)(cid:189)(cid:55)(cid:75)
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:44)(cid:10)A(cid:10)(cid:291)(cid:84) (cid:65)(cid:66)(cid:76)O(cid:26)(cid:27)(cid:111)(cid:94) (cid:72)(cid:99)(cid:126)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:77)(cid:185)(cid:76)O(cid:72)(cid:335)(cid:224)(cid:333)(cid:41)(cid:117)(cid:72)(cid:295)(cid:304)(cid:206)(cid:20)(cid:305)(cid:249)
B(cid:10)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:185)(cid:89)(cid:90)(cid:76)(cid:56)(cid:26)△(cid:27)𝐴𝑂(cid:24)𝐵(cid:77)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:25)(cid:103)(cid:70)(cid:72)△𝐶𝑂𝐷 (cid:26)(cid:27)(cid:94) (cid:72)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:90)(cid:335)(cid:185) (cid:240) (cid:72)(cid:336)
(cid:295)(cid:185) (cid:72)(cid:335)(cid:224)(cid:333)(cid:332)(cid:42)(cid:72)(cid:304)(cid:206)(cid:20)(cid:305)(cid:249) △𝐴𝑂𝐵 △𝐶𝑂𝐷 ∠𝐴𝑂𝐶 ∠𝐵𝑂𝐷
C(cid:10)(cid:218)∠𝐴(cid:104)𝑂(cid:26)𝐷(cid:27)(cid:295)(cid:290)(cid:83)(cid:49)(cid:50)(cid:25)(cid:337)(cid:322)(cid:124)(cid:50)(cid:338)(cid:72) (cid:56) (cid:185)(cid:89)(cid:90)(cid:129)(cid:72)(cid:99)(cid:126) = (cid:72)(cid:335)(cid:224)(cid:333)(cid:41)(cid:117)(cid:72)(cid:295)(cid:304)(cid:206)(cid:20)(cid:305)(cid:249)
D(cid:10)(cid:26)(cid:27)(cid:105)(cid:48)(cid:25)(cid:49)(cid:50)(cid:106)(cid:98)(cid:72)(cid:99)(cid:126) 𝑂𝐴 𝑂𝐶(cid:72)(cid:335)(cid:224)(cid:333)(cid:41)(cid:117)(cid:72)(cid:295)𝑂𝐴(cid:304)(cid:206)𝑂(cid:20)𝐶(cid:305)(cid:249)
(cid:223)(cid:224)(cid:10)B(cid:75) △𝐴𝑂𝐵≌△𝐶𝑂𝐷
(cid:15)(cid:83)(cid:225)2-2(cid:19)(cid:78)(cid:49)(cid:72)(cid:293)(cid:76)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:339)(cid:81)(cid:82)(cid:26)(cid:27)(cid:48)(cid:111)(cid:94)(cid:293)(cid:76)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:340)(cid:72)(cid:274)(cid:270)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:77)(cid:185)(cid:76) (cid:75)
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)M
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:192)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:168)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:10)①(cid:89)(cid:90)(cid:76)(cid:94)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:77)(cid:25)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:249)②(cid:89)(cid:90)(cid:76)(cid:56)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:77)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:25)(cid:103)(cid:70)
(cid:98)(cid:104)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:249)③(cid:26)(cid:27)(cid:105)(cid:91)(cid:48)(cid:25)(cid:49)(cid:50)(cid:106)(cid:98)(cid:75)(cid:211)(cid:313)(cid:245)(cid:246)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:185)(cid:117)(cid:116)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:77)(cid:25)(cid:3)(cid:122)(cid:99)(cid:133)(cid:75)
(cid:37)(cid:38)(cid:157)(cid:62)(cid:76)(cid:94)(cid:88)(cid:62)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:76)(cid:25)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:72)(cid:280)(cid:103)(cid:70)(cid:341)(cid:97)(cid:98)(cid:72)(cid:125)(cid:140)(cid:43)(cid:44)(cid:75)
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:44)(cid:10)(cid:78)(cid:49)(cid:72)(cid:100)(cid:123)M(cid:124)(cid:88)(cid:62)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:76)(cid:249)
(cid:172)(cid:28)(cid:88)(cid:62)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:76)(cid:94)(cid:76)M(cid:25)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:72)(cid:280)(cid:103)(cid:70)(cid:288)(cid:185)90°(cid:72)
(cid:291)(cid:138)(cid:293)(cid:76)M(cid:342)(cid:185)(cid:99)(cid:43)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:77)(cid:75)
(cid:223)(cid:189)(cid:55)(cid:84)(cid:10)M(cid:75)
(cid:15)(cid:83)(cid:225)2-3(cid:19)(cid:114)24-25(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:149)(cid:150)(cid:343)(cid:311)·(cid:153)(cid:24)(cid:115)(cid:78)(cid:49)(cid:72)(cid:218)(cid:88)(cid:62)(cid:41)(cid:92)(cid:50)(cid:344)(cid:206)(cid:121)(cid:61)(cid:62)(cid:345)(cid:92)(cid:50)(cid:72)(cid:346)(cid:107)(cid:41)(cid:92)(cid:50)
(cid:65)(cid:26)(cid:68)(cid:61)(cid:76)(cid:26)(cid:27)(cid:61)(cid:116)(cid:70)(cid:71)(cid:56)(cid:41)(cid:92)(cid:50) (cid:205)(cid:206)(cid:72)(cid:274)(cid:87)(cid:347)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:76)(cid:283)(cid:114) (cid:115) 𝐴𝐵𝐶𝐷
𝐷𝐶𝐹𝐸A(cid:75)1(cid:62) B(cid:75)2(cid:62) C(cid:75)3(cid:62) D(cid:75)4(cid:62)
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)C
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:192)(cid:20)(cid:294)(cid:31)(cid:193)(cid:194)(cid:168)(cid:118)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:77)(cid:72)(cid:214)(cid:215)(cid:41)(cid:92)(cid:50)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:140)(cid:111)C(cid:72)D(cid:126)(cid:277) (cid:25)(cid:24)(cid:76)(cid:72)(cid:140)(cid:126)(cid:131)
(cid:84)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:77)(cid:72)(cid:215)(cid:138)(cid:125)(cid:140)(cid:43)(cid:44)(cid:75) 𝐷𝐶
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:44)(cid:10)(cid:60)(cid:41)(cid:92)(cid:50) (cid:65)(cid:76)C(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)90(cid:71)(cid:140)(cid:136)(cid:111)(cid:41)(cid:92)(cid:50) (cid:56)(cid:41)(cid:92)(cid:50) (cid:205)(cid:206)(cid:72)
(cid:60)(cid:41)(cid:92)(cid:50) (cid:65)(cid:76)D(cid:242)𝐴𝐵(cid:109)𝐶(cid:110)𝐷(cid:26)(cid:27)90(cid:71)(cid:140)(cid:136)(cid:111)(cid:41)(cid:92)(cid:50) (cid:56)(cid:41)(cid:92)(cid:50)𝐴𝐵𝐶𝐷 (cid:205)(cid:206)(cid:72) 𝐷𝐶𝐹𝐸
(cid:60)(cid:41)(cid:92)(cid:50)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:65) (cid:25)(cid:24)(cid:76)(cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)180(cid:71)(cid:140)(cid:136)(cid:111)(cid:41)𝐴(cid:92)𝐵𝐶(cid:50)𝐷 (cid:56)(cid:41)𝐷(cid:92)𝐶𝐹(cid:50)𝐸 (cid:205)(cid:206)(cid:72)
(cid:61)(cid:348)(cid:283)3𝐴(cid:62)𝐵𝐶(cid:26)𝐷(cid:27)𝐷(cid:76)𝐶(cid:72) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐷𝐶𝐹𝐸
∴(cid:223)(cid:224)(cid:10)C(cid:75)
【题型3 利用旋转的性质判断结论正误】
(cid:15)(cid:144)3(cid:19)(cid:114)2025·(cid:349)(cid:350)(cid:151)(cid:272)·(cid:30)(cid:351)(cid:115)(cid:78)(cid:49)(cid:72)(cid:107) (cid:65)(cid:76) (cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)60°(cid:111)(cid:94) (cid:72)(cid:76) (cid:72) (cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:76)(cid:190)(cid:279)
(cid:84)(cid:76) (cid:72) (cid:72)(cid:100)(cid:123) (cid:72) (cid:72)(cid:346) =80°(cid:72)△(cid:148)𝐴𝐵(cid:180)𝐶(cid:39)(cid:40)(cid:61)𝐴 (cid:116)(cid:41)(cid:117)(cid:25)(cid:185)(cid:114) (cid:115)△𝐴𝐷𝐸 𝐵 𝐶
𝐷 𝐸 𝐵𝐷 𝐵𝐸 ∠𝐵𝐸𝐷
A(cid:75) =20° B(cid:75) =120°
C(cid:75)∠𝐶𝐵𝐸 D(cid:75)∠𝐶𝐴=𝐷
(cid:15)(cid:189)(cid:55)𝐴(cid:19)𝐶A∥𝐵𝐷 𝐵𝐸 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:192)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:168)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:98)(cid:129)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:37)(cid:116)(cid:56)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:67)(cid:70)(cid:124)(cid:72)(cid:106)(cid:98)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:37)(cid:116)(cid:56)(cid:35)(cid:36)(cid:72)
(cid:63)(cid:209)(cid:101)(cid:25)(cid:37)(cid:116)(cid:98)(cid:219)(cid:278)(cid:72)(cid:245)(cid:246)(cid:87)(cid:352)(cid:219)(cid:278)(cid:185)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:122)(cid:249)(cid:218)(cid:26)(cid:27)(cid:111) (cid:185)(cid:98)(cid:129)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:72)(cid:353)(cid:336)(cid:283)
= =60°(cid:72)(cid:218)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:67)(cid:70)(cid:124)(cid:125)(cid:140)(cid:37)(cid:38)A(cid:249)(cid:218) =△1𝐴2𝐵0𝐷°+ (cid:140)(cid:37)(cid:38)B(cid:72)(cid:218)
∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐷=180°+ (cid:140)(cid:37)(cid:38)C(cid:249) (cid:72) ∠(cid:25)𝐶𝐴(cid:337)𝐷(cid:322)(cid:3)(cid:354)(cid:140)(cid:37)∠(cid:38)𝐸𝐴D𝐵(cid:75)
∠(cid:15)𝐶(cid:217)𝐴𝐷(cid:44)(cid:19)∠(cid:44)𝐴(cid:10)𝐵𝐷 (cid:65)(cid:76)∠𝐸𝐴(cid:108)𝐵(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)60∠°(cid:111)𝐴𝐷(cid:94)𝐸 ∠𝐵𝐷𝐸(cid:72)
= ∵△(cid:72)𝐴𝐵𝐶 =𝐴60°(cid:72) = (cid:72) △𝐴=𝐷6𝐸0°(cid:72) = (cid:72)
∴∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐵𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐸 𝐴𝐸 𝐴𝐶(cid:185)(cid:98)(cid:129)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:72)
∴△𝐴𝐵𝐷= =60°(cid:249)
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐵𝐷+ (cid:72)
∵∠𝐴𝐵𝐶 =∠𝐶𝐵𝐸 ∠𝐴𝐵𝐸= (cid:249)
∴(cid:355)∠𝐵𝐷𝐸 +∠𝐴𝐷𝐵−∠=𝐴𝐷𝐸 60°−∠𝐶=𝐵𝐸1−00∠°𝐴(cid:72)𝐵𝐸 = + =60°+ (cid:72)
∵∠𝐵𝐷𝐸 ∠𝐷𝐵𝐸 +16800°°−+∠𝐵𝐸𝐷 =100°(cid:72)∠𝐷𝐵𝐸 ∠𝐴𝐵𝐷 ∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐴𝐵𝐸
∴60°−∠=𝐶𝐵2𝐸0−°(cid:249)∠𝐴(cid:223)𝐵𝐸A(cid:41)(cid:117)(cid:249) ∠𝐴𝐵𝐸
∴∠𝐶𝐵𝐸 = + + =120°+ (cid:72)
∵(cid:230)∠𝐶𝐴𝐷 =∠𝐶0𝐴°𝐸(cid:109)(cid:72)∠𝐸𝐴𝐵 =∠1𝐵2𝐴0𝐷°(cid:72)(cid:356)(cid:274)(cid:295)(cid:41)∠(cid:117)𝐸(cid:249)𝐴𝐵(cid:223)B(cid:295)(cid:41)(cid:117)(cid:249)
∴ ∠𝐸𝐴+𝐵 =1∠8𝐶0𝐴°𝐷+ (cid:72)
∵∠𝐶(cid:72)𝐴𝐷 (cid:295)∠𝐴(cid:63)𝐵(cid:209)𝐷(cid:249)(cid:223)C(cid:332)(cid:42)∠𝐸(cid:249)𝐴𝐵
∴𝐴𝐶 =𝐵𝐷 (cid:72) = (cid:72)
(cid:230)∵𝐴𝐷 𝐵𝐷= 𝐷𝐸 (cid:109)𝐷(cid:72)𝐸(cid:274)(cid:283) (cid:72)(cid:353)(cid:336)(cid:283) = (cid:72)
∠𝐴=𝐷𝐸 (cid:249)∠𝐵𝐷𝐸 △𝐴𝐷𝐸≌△𝐵𝐷𝐸 𝐴𝐸 𝐵𝐸
∴(cid:356)𝐴(cid:274)𝐶 𝐵𝐸 (cid:249)(cid:223)D(cid:332)(cid:42)(cid:249)
(cid:223)(cid:224)(cid:10)𝐴𝐶A≠(cid:75)𝐵𝐸
(cid:15)(cid:83)(cid:225)3-1(cid:19)(cid:114)24-25(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:357)(cid:358)(cid:345)(cid:359)·(cid:153)(cid:226)(cid:115)(cid:78)(cid:49)(cid:72)(cid:133)Rt (cid:24)(cid:72) =90°(cid:75)(cid:107) (cid:65)(cid:76) (cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)
(cid:27)(cid:111)(cid:94) (cid:72)(cid:76) (cid:360)(cid:133) (cid:80)(cid:72)(cid:361)(cid:345) (cid:362) (cid:104)(cid:76) (cid:72)(cid:100)(cid:39) △(cid:75)𝐴𝐵(cid:363)𝐶(cid:281)(cid:148)(cid:64)∠𝐶(cid:364)(cid:62)(cid:39)(cid:40)(cid:10)①△𝐴𝐵𝐶 𝐴 (cid:249)
② <△𝐴𝐷+𝐸 (cid:249)𝐸③ 𝐴𝐵 = 𝐷(cid:249)𝐸④𝐵(cid:346)𝐶 =𝐹2(cid:72) 𝐵=𝐷4(cid:72)(cid:274) (cid:25)(cid:64)(cid:365)(cid:185)4(cid:75)(cid:80)△(cid:184)𝐴𝐵(cid:39)𝐶(cid:40)≌(cid:24)△(cid:72)𝐴𝐷(cid:99)𝐸(cid:283)
(cid:41)(cid:117)𝐷(cid:39)𝐹 (cid:40)𝐵(cid:25)𝐶(cid:142)(cid:9)𝐸(cid:185)𝐹 ∠(cid:75)𝐷𝐹𝐵 ∠𝐷𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐵 △𝐴𝐵𝐷
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)①③④
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:192)(cid:20)(cid:294)(cid:31)(cid:193)(cid:194)(cid:168)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:106)(cid:98)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:366)(cid:70)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:75)(cid:214)(cid:215)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:140)(cid:111)
(cid:72)(cid:140)(cid:37)(cid:38)①(cid:249)(cid:367)(cid:218)(cid:106)(cid:98)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:140)(cid:111) = = = = (cid:72)
△𝐴𝐵𝐶=≌△𝐴𝐷(cid:72)𝐸 (cid:353)(cid:336)(cid:111)(cid:94) = + = + (cid:72)(cid:140)(cid:37)𝐷(cid:38)𝐸②𝐵(cid:249)𝐶(cid:367),∠(cid:218)𝐴𝐸(cid:366)𝐷(cid:70)(cid:25)∠𝐶(cid:35)(cid:36)9(cid:140)0(cid:111)°,𝐴𝐸 𝐴𝐶= (cid:72)(cid:140)
∠(cid:37)𝐴(cid:38)𝐷𝐸③(cid:249)∠(cid:214)𝐴𝐵(cid:215)𝐶(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:64)(cid:365)𝐷𝐹(cid:7)(cid:225)𝐷(cid:140)𝐸(cid:37)(cid:38)𝐸𝐹④(cid:75)𝐵𝐶 𝐸𝐹 ∠𝐷𝐹𝐵 ∠𝐷𝐴𝐵(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:44)(cid:10)(cid:218)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:111)(cid:10) (cid:72)(cid:223)①(cid:41)(cid:117)(cid:249)
= = = △=𝐴𝐵𝐶(cid:72)≌△𝐴𝐷=𝐸 (cid:72)
∴𝐷𝐸 𝐵=𝐶9,∠0𝐴°(cid:72)𝐸𝐷 ∠𝐶 90°,𝐴𝐸 𝐴𝐶 ∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐴𝐵𝐶
∴∠𝐵𝐸=𝐹 + = + (cid:72)(cid:223)②(cid:332)(cid:42)(cid:249)
∴𝐷𝐹 𝐷=𝐸 𝐸𝐹 =𝐵9𝐶0°(cid:72)𝐸𝐹
∵∠𝐵𝐸𝐹+∠𝐴𝐸𝐷=90°= + (cid:72)
∴∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐷𝐴𝐵(cid:72) ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐷𝐹𝐵
∵∠𝐴𝐷𝐸 =∠𝐴𝐵𝐶(cid:72)(cid:223)③(cid:41)(cid:117)(cid:249)
∴∠𝐷𝐹=𝐵2(cid:72)∠𝐷𝐴𝐵
∵𝐵𝐶 = =2(cid:72)
∴𝐷𝐸=4𝐵(cid:72)𝐶
∵𝐴𝐵 1 1
(cid:25)(cid:64)(cid:365)(cid:185) × = ×2×4=4(cid:72)(cid:223)④(cid:41)(cid:117)(cid:249)
2 2
∴(cid:368)△(cid:80)𝐴(cid:72)𝐵(cid:99)𝐷(cid:283)(cid:41)(cid:117)(cid:39)(cid:40)𝐷𝐸(cid:25)(cid:142)𝐴(cid:9)𝐵(cid:185)①③④(cid:75)
(cid:223)(cid:189)(cid:55)(cid:84)(cid:10)①③④
(cid:15)(cid:83)(cid:225)3-2(cid:19)(cid:114)2025·(cid:357)(cid:358)(cid:345)(cid:359)·(cid:222)(cid:351)(cid:115)(cid:78)(cid:49)(cid:72)(cid:107) (cid:25)(cid:129) (cid:65)(cid:76) (cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)30°(cid:111)(cid:94)(cid:101)(cid:102) (cid:72)(cid:107)(cid:129) (cid:65)
(cid:76) (cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)30°(cid:111)(cid:94)(cid:101)(cid:102) (cid:72)(cid:100)(cid:39) (cid:91) (cid:91)▱𝐴𝐵(cid:75)𝐶𝐷(cid:76) (cid:91)𝐴𝐵(cid:190)(cid:279)(cid:185)𝐴 (cid:91) (cid:25)(cid:24)(cid:76)(cid:72)(cid:100)(cid:39) 𝐴(cid:75)𝐸(cid:363)(cid:281)(cid:148)𝐶(cid:64)𝐷(cid:369)
𝐶 𝐶𝐹 𝐵𝐸 𝐷𝐹 𝐸𝐹 𝐺 𝐻 𝐸𝐹 𝐴𝐷 1 𝐺𝐻 1
(cid:62)(cid:39)(cid:40)(cid:10)① = (cid:249)② (cid:249)③(cid:230) =2(cid:109)(cid:72) =2(cid:249)④ = (cid:249)⑤ = (cid:75)(cid:80)(cid:184)
2 2
(cid:39)(cid:40)(cid:24)(cid:72)(cid:99)(cid:283)∠𝐷(cid:41)𝐴(cid:117)𝐸(cid:39)(cid:40)∠𝐵(cid:25)𝐶(cid:142)𝐹(cid:9)(cid:185) 𝐴 𝐸 ∥ 𝐶𝐹(cid:75) 𝐴𝐵
𝑆△𝐴𝐵𝐸
𝐴𝐷 𝐸𝐹 𝐺𝐻 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)①②⑤
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:192)(cid:20)(cid:294)(cid:31)(cid:193)(cid:194)(cid:168)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:63)(cid:209)(cid:364)(cid:129)(cid:50)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:124)(cid:37)(cid:116)(cid:72)(cid:370)30°(cid:70)(cid:25)(cid:197)(cid:70)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:24)
(cid:268)(cid:101)(cid:25)(cid:37)(cid:116)(cid:124)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:122)(cid:185)(cid:211)(cid:313)(cid:245)(cid:246)(cid:126)(cid:80)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:371)(cid:372)(cid:23)(cid:90)(cid:34)(cid:75)
(cid:33)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:63)(cid:209)(cid:364)(cid:129)(cid:50)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:124)(cid:37)(cid:116)(cid:72)(cid:370)30°(cid:70)(cid:25)(cid:197)(cid:70)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:24)(cid:268)(cid:101)(cid:25)(cid:37)(cid:116)(cid:124)(cid:35)(cid:36)(cid:334)
(cid:333)(cid:216)(cid:209)(cid:37)(cid:38)(cid:125)(cid:140)(cid:75)
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:44)(cid:10)① (cid:364)(cid:129)(cid:50) (cid:84)(cid:63)(cid:209)(cid:364)(cid:129)(cid:50)(cid:72)
= ∵(cid:72) 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐶𝐷= =30°(cid:72)
∵∠𝐵𝐴𝐸 +∠𝐷𝐶𝐹 = + (cid:72)
(cid:125)∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐸(cid:72)∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐷𝐶𝐹
(cid:223)∠①𝐷(cid:41)𝐴𝐸(cid:117)(cid:72)∠(cid:304)𝐵𝐶(cid:206)𝐹(cid:20)(cid:305)(cid:249)
②(cid:78)(cid:49)(cid:72)(cid:100)(cid:123) (cid:72)
𝐴𝐶
(cid:364)(cid:129)(cid:50) (cid:84)(cid:63)(cid:209)(cid:364)(cid:129)(cid:50)(cid:72)
∵ 𝐴𝐵(cid:72)𝐶𝐷
∴𝐴𝐷∥𝐵=𝐶 (cid:72)
(cid:218)∴①∠𝐶𝐴(cid:111)𝐷 ∠𝐴𝐶=𝐵 (cid:72)
∠𝐷𝐴𝐸 =∠𝐵𝐶𝐹 (cid:72)
∴∠𝐷𝐴𝐸−=∠𝐶𝐴𝐷 (cid:72)∠𝐵𝐶𝐹−∠𝐴𝐶𝐵
∴∠𝐶𝐴𝐸(cid:72) ∠𝐴𝐶𝐹
(cid:223)∴𝐴②𝐸∥𝐶(cid:41)𝐹(cid:117)(cid:72)(cid:304)(cid:206)(cid:20)(cid:305)(cid:249)
③(cid:78)(cid:49)(cid:72)(cid:82)(cid:76) (cid:131) (cid:362) (cid:104)(cid:76) (cid:72)
𝐵 𝐵𝐾⊥𝐴𝐸 𝐴𝐸 𝐾
=30°(cid:72) =2(cid:72)
∵∠𝐵𝐴𝐸 𝐴𝐵 1
= =2(cid:72) = =1(cid:72)
2
∴𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝐵𝐾 𝐴𝐵
1
= =1(cid:72)
2
(cid:223)∴ ③ 𝑆△𝐴 (cid:332) 𝐵𝐸 (cid:42)(cid:72)(cid:295)𝐴𝐸(cid:304)⋅𝐵(cid:206)𝐾(cid:20)(cid:305)(cid:249)
1
④(cid:214)(cid:215)(cid:363)(cid:281)(cid:25)(cid:196)(cid:373)(cid:374)(cid:139)(cid:45)(cid:46) = (cid:72)
2
(cid:223)④(cid:332)(cid:42)(cid:72)(cid:295)(cid:304)(cid:206)(cid:20)(cid:305)(cid:249) 𝐴𝐷 𝐸𝐹
⑤(cid:78)(cid:49)(cid:72)(cid:100)(cid:123) (cid:72)
𝐴𝐶,𝐴𝐹,𝐶𝐸(cid:218)②(cid:111) (cid:72)(cid:280) = = = (cid:72)
(cid:364)(cid:129)(cid:50)𝐴𝐸∥𝐶(cid:84)𝐹 (cid:63)(cid:209)𝐴(cid:364)𝐸(cid:129)(cid:50)𝐴𝐵(cid:72) 𝐶𝐷 𝐶𝐹
∴(cid:76) (cid:84) 𝐴𝐸(cid:24)𝐶𝐹(cid:76)(cid:72)
∵ (cid:76)𝐺 (cid:84)𝐸𝐹 (cid:89)(cid:70)(cid:101)(cid:25)(cid:362)(cid:76)(cid:72)
∴(cid:76)𝐺(cid:84)▱(cid:101)𝐴(cid:102)𝐸𝐶𝐹(cid:25)(cid:24)(cid:76)(cid:72)
∴(cid:76)𝐺(cid:84)(cid:101)(cid:102)𝐴𝐶(cid:25)(cid:24)(cid:76)(cid:72)
∵ 𝐻 1 𝐴𝐷
= (cid:72)
2
(cid:223)∴
⑤
𝐺𝐻(cid:41)(cid:117)𝐶(cid:72)𝐷(cid:304)(cid:206)(cid:20)(cid:305)(cid:249)
(cid:223)(cid:189)(cid:55)(cid:84)(cid:10)①②⑤(cid:75)
(cid:15)(cid:83)(cid:225)3-3(cid:19)(cid:114)24-25(cid:250)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:375)(cid:152)(cid:376)(cid:254)·(cid:153)(cid:226)(cid:115)(cid:78)(cid:49)(cid:72)(cid:377)(cid:50) (cid:65)(cid:76)D(cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)90°(cid:111)(cid:94)(cid:377)(cid:50) (cid:72)
′ ′ ′
(cid:100)(cid:123) (cid:362) (cid:104)(cid:76)E(cid:72)F(cid:84) (cid:25)(cid:24)(cid:76)(cid:72)(cid:100)(cid:123) (cid:362) (cid:104)(cid:76)𝐴G𝐵(cid:72)𝐶𝐷(cid:100)(cid:123) (cid:72) (cid:75)(cid:363)(cid:281)(cid:148)(cid:64)(cid:364)(cid:62)(cid:39)(cid:40)𝐴(cid:10)𝐵①𝐶 𝐷 =
′ ′ ′ ′ ′
1 𝐵𝐵 𝐶𝐷 𝐵𝐵 𝐷𝐹 𝐴 𝐵 𝐸𝐺 𝐵 𝐷 𝐷𝐹
(cid:249)② = (cid:249)③ = 2 (cid:249)④ (cid:75)
2
′ ′ ′
𝐵𝐵 𝐶𝐸 𝐴 𝐺 𝐸𝐺 𝐸𝐹 𝐸𝐺⊥𝐵 𝐷
(cid:80)(cid:184)(cid:39)(cid:40)(cid:24)(cid:72)(cid:99)(cid:283)(cid:41)(cid:117)(cid:39)(cid:40)(cid:25)(cid:142)(cid:9)(cid:185)(cid:114) (cid:115)
A(cid:75)①②③④ B(cid:75)①②④ C(cid:75)②③④ D(cid:75)①③
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)A
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:100)(cid:123) (cid:72)(cid:214)(cid:215)(cid:26)(cid:27)(cid:35)(cid:36)(cid:140)(cid:126)(cid:117)(cid:116) =90°(cid:72)(cid:214)(cid:215)(cid:197)(cid:70)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:318)(cid:129)(cid:24)(cid:101)(cid:98)(cid:104)(cid:318)(cid:129)(cid:25)(cid:61)(cid:378)(cid:125)(cid:140)(cid:111)
′
(cid:281)(cid:39)(cid:40)①(cid:249)(cid:214)𝐵(cid:215)𝐷(cid:26)(cid:27)(cid:35)(cid:36)(cid:45)(cid:46) ∠𝐵𝐷𝐵(AAS)(cid:353)(cid:336)(cid:111)(cid:281)(cid:39)(cid:40)②(cid:249)(cid:45)(cid:46) (AAS)(cid:72)(cid:379)(cid:82)
′ ′
(cid:380)(cid:381)(cid:116)(cid:382)(cid:353)(cid:336)(cid:111)(cid:281)(cid:39)(cid:40)③(cid:249)(cid:361)(cid:345)△𝐵𝐶(cid:362)𝐸≌△(cid:104)𝐷𝐴(cid:76)𝐺H(cid:72)(cid:379)(cid:82)(cid:63)(cid:209)(cid:101)(cid:25)(cid:37)(cid:116)(cid:56)(cid:35)(cid:36)(cid:125)△(cid:140)𝐷(cid:45)𝐹𝐸(cid:46)≌(cid:39)△(cid:40)𝐵④𝐹𝐺(cid:75)
′
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:44)(cid:10)(cid:78)(cid:49)(cid:72)(cid:100)(cid:123) (cid:72) 𝐸𝐺 𝐷𝐵
𝐵𝐷(cid:377)(cid:50) (cid:65)(cid:76)D(cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)90°(cid:111)(cid:94)(cid:377)(cid:50) (cid:72)
′ ′ ′
∵ 𝐴𝐵𝐶=𝐷90°(cid:72) 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
′
∴F∠𝐵(cid:84)𝐷𝐵 (cid:25)(cid:24)(cid:76)(cid:72)
′
∵ 𝐵𝐵1
= (cid:72)(cid:223)①(cid:41)(cid:117)(cid:249)
2
′
∴𝐷𝐹 𝐵𝐵
(cid:377)(cid:50) (cid:65)(cid:76)D(cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)90°(cid:111)(cid:94)(cid:377)(cid:50) (cid:72)
′ ′ ′
∵ =𝐴𝐵𝐶𝐷 =90°(cid:72) = (cid:72) 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
′ ′ ′
∴∠𝐶 ∠𝐷=𝐴9𝐵0°(cid:72) 𝐵𝐶 𝐷𝐴
′ ′
∴∠𝐶𝐴 𝐵= (cid:72)
′ ′
∴∠𝐶𝐵=𝐸 ∠(cid:72)𝐴 𝐵F𝐸(cid:84) (cid:25)(cid:24)(cid:76)(cid:72)
′ ′
∵𝐷𝐵 𝐷=𝐵 =𝐵𝐵90°(cid:72)
′ ′
∵∠𝐷𝐹𝐸 +∠𝐵 𝐴 𝐸= + =90°(cid:72)
′ ′ ′
∴∠𝐴 𝐷𝐺 =∠𝐷𝐸𝐹 (cid:72)∠𝐴 𝐵 𝐸 ∠𝐷𝐸𝐹
′ ′ ′
∴∠𝐴 𝐵 𝐸= ∠𝐴 𝐷(cid:72)𝐺
′
(cid:355)∴∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐴 𝐷𝐺 =90°(cid:72) = (cid:72)
′ ′ ′
∵∠𝐶 ∠𝐷𝐴 𝐵 (AAS)(cid:72)𝐵𝐶 𝐷𝐴
′
∴△𝐵𝐶=𝐸≌△(cid:72)𝐷(cid:223)𝐴②𝐺 (cid:41)(cid:117)(cid:249)
′
∴𝐶𝐸 𝐴1 𝐺
= = (cid:72) = =90°, = (cid:72)
2
′ ′ ′ ′ ′ ′
∵𝐷𝐹 𝐵𝐵 𝐹𝐵 (AA∠S)𝐷(cid:72)𝐹𝐵 ∠𝐷𝐹𝐸 ∠𝐴 𝐵 𝐸 ∠𝐴 𝐷𝐺
′
∴△𝐷=𝐹𝐸≌△(cid:72)𝐵 𝐹𝐺
∴𝐸𝐹 𝐹𝐺(cid:84)(cid:98)(cid:383)(cid:197)(cid:70)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:72)
∴△𝐸𝐹𝐺
= + = = 2 (cid:72)(cid:223)③(cid:41)(cid:117)(cid:249)
2 2 2
(cid:78)∴(cid:49)𝐸𝐺(cid:72)(cid:361)(cid:345)𝐸𝐹 (cid:362)𝐹𝐺 (cid:104)(cid:76)2H𝐸(cid:72)𝐹 𝐸𝐹
′
𝐸𝐺 𝐷𝐵
= (cid:72) =90°(cid:72)
∵𝐷𝐹 𝐵=𝐹45∠°(cid:72)𝐷𝐹𝐵
∴∠𝐷𝐵=𝐹 (cid:72) =90°(cid:72)
∵𝐸𝐹 𝐹=𝐺45∠°(cid:72)𝐺𝐹(cid:125)𝐸 = (cid:72)
∴∠𝐺𝐸𝐹 (cid:72) ∠𝐷𝐵𝐹 ∠𝐺𝐸𝐹
∴𝐸𝐻∥𝐵𝐷= =90°(cid:72)
′ ′
∴∠𝐸𝐻𝐵 (cid:72)∠𝐵(cid:223)𝐷④𝐵 (cid:41)(cid:117)(cid:72)
′
(cid:223)∴(cid:224)𝐸𝐺(cid:10)⊥A𝐵(cid:75)𝐷
(cid:15)(cid:76)(cid:266)(cid:19)(cid:192)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:168)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:43)(cid:44)(cid:72)(cid:377)(cid:50)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:98)(cid:383)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:37)(cid:116)(cid:56)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:63)(cid:209)(cid:101)(cid:25)(cid:37)(cid:116)(cid:56)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:106)
(cid:98)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:37)(cid:116)(cid:56)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:380)(cid:381)(cid:116)(cid:382)(cid:98)(cid:219)(cid:278)(cid:72)(cid:211)(cid:313)(cid:245)(cid:246)(cid:97)(cid:3)(cid:35)(cid:36)(cid:116)(cid:382)(cid:84)(cid:44)(cid:20)(cid:3)(cid:122)(cid:75)
【题型4 利用旋转的性质求解】
(cid:15)(cid:144)4(cid:19)(cid:114)2025·(cid:384)(cid:385)(cid:386)(cid:387)·(cid:351)(cid:388)(cid:389)(cid:390)(cid:115)(cid:78)(cid:49)(cid:72)Rt (cid:24)(cid:72) =90°(cid:72) = = 2(cid:72)(cid:107) (cid:65)(cid:76)C
(cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)60°(cid:72)(cid:111)(cid:94) (cid:72)(cid:100)(cid:39) (cid:72)(cid:274) △(cid:25)𝐴(cid:345)𝐵𝐶(cid:71)(cid:185)(cid:114)∠ 𝐴 𝐵 (cid:115)𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
△𝑀𝑁𝐶 𝐵𝑀 𝐵𝑀
A(cid:75) 3+1 B(cid:75) 3 C(cid:75) 2+1 D(cid:75)3
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)A
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:192)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:168)(cid:49)(cid:50)(cid:25)(cid:83)(cid:182)﹣(cid:26)(cid:27)(cid:72)(cid:98)(cid:383)(cid:197)(cid:70)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:98)(cid:129)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:37)(cid:116)(cid:124)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:101)(cid:102)(cid:25)(cid:391)(cid:197)(cid:63)(cid:190)(cid:101)(cid:25)(cid:37)(cid:116)(cid:72)(cid:392)(cid:117)(cid:60)(cid:246)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:185)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:122)(cid:75)
(cid:78)(cid:49)(cid:72)(cid:100)(cid:123) (cid:72)(cid:218)(cid:20)(cid:305)(cid:111)(cid:10) = (cid:72) =60°(cid:72)(cid:111)(cid:94) (cid:84)(cid:98)(cid:129)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:72)(cid:214)(cid:215) = (cid:72)
𝐴𝑀 𝐶𝐴 𝐶𝑀 ∠𝐴𝐶𝑀 1 △𝐴𝐶𝑀 𝐴𝐵 𝐵𝐶
= (cid:72)(cid:111)(cid:281) (cid:391)(cid:197)(cid:63)(cid:190) (cid:72)(cid:104)(cid:185)(cid:43)(cid:281) = =1(cid:72) = 3(cid:72)(cid:393)(cid:394)(cid:111)(cid:94)(cid:189)(cid:55)
2
𝐶𝑀 = 𝐴𝑀 + = 𝐵𝑀 1+ 3(cid:75) 𝐴𝐶 𝐵𝑂 𝐴𝐶 𝑂𝑀
𝐵(cid:15)𝑀(cid:217)(cid:44)𝐵(cid:19)𝑂(cid:44)(cid:10)𝑂(cid:78)𝑀(cid:49)(cid:72)(cid:100)(cid:123) (cid:72)
𝐴𝑀
(cid:218)(cid:20)(cid:305)(cid:111)(cid:10) = (cid:72) =60°(cid:72)
(cid:84)(cid:98)𝐶𝐴(cid:129)(cid:30)𝐶(cid:70)𝑀(cid:50)(cid:72)∠𝐴𝐶𝑀
∴△𝐴=𝐶𝑀 (cid:72) = = =60°(cid:249)
∴𝐴𝑀 𝐶=𝑀90°∠(cid:72)𝑀𝐴𝐶= ∠𝑀=𝐶𝐴2(cid:72)∠𝐴𝑀𝐶
∵∠𝐴𝐵=𝐶2= (cid:72)𝐴𝐵 𝐵𝐶
∴𝐴𝐶 = (cid:72)𝐶𝑀 = (cid:72)
∵𝐴𝐵(cid:391)(cid:197)𝐵𝐶(cid:63)(cid:190)𝐶𝑀 (cid:72)𝐴𝑀
∴𝐵𝑀 𝐴𝐶 1 1
= = = =1(cid:72) = = =30°
2 2
∴𝐵𝑂 𝐶𝑂 𝐴𝑂 𝐴𝐶 ∠𝑂𝑀𝐶 ∠𝑂𝑀𝐴 ∠𝐴𝑀𝐶
= =2(cid:72) = = 3(cid:72)
2 2
∴𝐶𝑀 =2𝑂𝐶+ =𝑂𝑀3+1(cid:75)𝐶𝑀 −𝑂𝐶
∴(cid:223)𝐵(cid:224)𝑀(cid:10)A𝑂(cid:75)𝑀 𝐵𝑂
(cid:15)(cid:83)(cid:225)4-1(cid:19)(cid:114)2025·(cid:149)(cid:150)(cid:395)(cid:311)·(cid:30)(cid:351)(cid:115)(cid:396)(cid:219) (cid:24)(cid:72) =90°(cid:72) = =6(cid:72)D(cid:84) (cid:129)(cid:61)(cid:76)(cid:72)(cid:280)
=1:2(cid:72)(cid:126)D(cid:84)(cid:61)(cid:62)(cid:127)(cid:76)(cid:131)(cid:41)(cid:92)(cid:50) △𝐴𝐵(cid:72)𝐶(cid:280) ∠𝐵=𝐴𝐶 (cid:72)(cid:100)(cid:123) 𝐴𝐵(cid:72)(cid:107)𝐴𝐶(cid:41)(cid:92)(cid:50) 𝐵𝐶(cid:65)(cid:76)D(cid:26)(cid:27)(cid:61)(cid:330)(cid:72)
(cid:133)𝐵𝐷(cid:397):𝐷(cid:62)𝐶(cid:26)(cid:27)(cid:82)(cid:398)(cid:24)(cid:72)(cid:230) (cid:135)(cid:111)(cid:393)(cid:337)(cid:399)(cid:109) 𝐷𝐸(cid:25)𝐹(cid:345)𝐺(cid:84) 𝐷 𝐸 (cid:75)𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐷𝐸𝐹𝐺
𝐴𝐸 𝐴𝐺(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)2 23
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:192)(cid:20)(cid:294)(cid:31)(cid:193)(cid:194)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:98)(cid:383)(cid:197)(cid:70)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:380)(cid:381)(cid:116)(cid:382)(cid:72)(cid:44)(cid:248)(cid:138)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:122)(cid:185)(cid:46)(cid:117)(cid:230)(cid:76) (cid:91) (cid:91)
(cid:133)(cid:400)(cid:61)(cid:196)(cid:197)(cid:101)(cid:80)(cid:109)(cid:72) (cid:283)(cid:393)(cid:337)(cid:399)(cid:75) 𝐴 𝐷 𝐸
(cid:230)(cid:76) (cid:133)(cid:101)(cid:102) (cid:361)(cid:345)(cid:101)𝐴𝐸(cid:80)(cid:109)(cid:72) (cid:135)(cid:111)(cid:393)(cid:337)(cid:399)(cid:72)(cid:47)(cid:281)(cid:49)(cid:50)(cid:72)(cid:82)(cid:76) (cid:131) (cid:104)(cid:76) (cid:72)(cid:43)(cid:281) (cid:25)(cid:345)(cid:71)(cid:72)(cid:33)(cid:34)(cid:98)
(cid:383)(cid:197)𝐸(cid:70)(cid:30)(cid:70)(cid:50)𝐴(cid:25)𝐷(cid:35)(cid:36)(cid:124)(cid:380)(cid:381)(cid:116)𝐴(cid:382)𝐸(cid:72)(cid:43)(cid:281) (cid:25)(cid:345)(cid:72)(cid:216)(cid:336)(cid:140)(cid:111) (cid:25)𝐴(cid:345)(cid:75)𝐴𝑀⊥𝐵𝐶 𝑀 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:44)(cid:10)(cid:230)(cid:76) (cid:133)(cid:101)(cid:102) (cid:361)(cid:345)(cid:101)(cid:80)(cid:109)𝐴𝐷(cid:72) (cid:135)(cid:111)(cid:393)(cid:337)(cid:399)(cid:75)𝐴𝐺(cid:82)(cid:76) (cid:131) (cid:104)(cid:76) (cid:72)(cid:78)(cid:49)(cid:99)(cid:143)(cid:10)
𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐴 𝐴𝑀⊥𝐵𝐶 𝑀
=90°(cid:72) = =6(cid:72)
∵∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶
= + =6 2(cid:72)
2 2
∴𝐵𝐶
=
𝐴𝐵
=3
𝐴
2
𝐶(cid:72)
∴𝐵𝑀=3𝐶𝑀2(cid:72)
∴𝐴𝑀 =1:2(cid:72) = (cid:72)
∵𝐵𝐷:𝐷=𝐶2 2(cid:72) 𝐷=𝐸 𝐵=𝐶 = =6 2(cid:72)
∴𝐵𝐷 = 𝐷𝐸=3𝐸𝐹2 𝐷𝐺2=𝐹𝐺2(cid:72)
∴𝐷𝑀 𝐵𝑀−𝐵𝐷 −2
(cid:133)Rt (cid:24)(cid:72) = + = (3 2) +( 2) =2 5(cid:72)
2 2
2 2
∴ △𝐴𝐷𝑀 𝐴𝐷 𝐴𝑀 𝐷𝑀
(cid:133)Rt (cid:24)(cid:72) = + = (2 5) +(6 2) =2 23(cid:75)
2 2
2 2
△𝐴𝐷𝐺 𝐴𝐺 𝐴𝐷 𝐷𝐺(cid:223)(cid:189)(cid:55)(cid:84)(cid:10)2 23(cid:75)
(cid:15)(cid:83)(cid:225)4-2(cid:19)(cid:114)24-25(cid:250)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:401)(cid:402)(cid:403)(cid:358)·(cid:153)(cid:226)(cid:115)(cid:78)(cid:49)(cid:72)(cid:76) (cid:84)(cid:197)(cid:101) (cid:80)(cid:92)(cid:61)(cid:76)(cid:72) (cid:104)(cid:76) (cid:72)(cid:76) (cid:84)(cid:197)(cid:101) (cid:80)(cid:61)
(cid:76)(cid:114)(cid:295)(cid:56)(cid:76) (cid:205)(cid:206)(cid:115)(cid:72)(cid:107) (cid:65)(cid:76) (cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)60°(cid:111)(cid:94)𝐴 (cid:114)𝑙 (cid:76) (cid:91) (cid:25)(cid:89)𝐴𝐵(cid:90)⊥(cid:76)𝑙(cid:190)(cid:279)𝐵(cid:84)(cid:76) 𝑃(cid:91) (cid:115)(cid:72)𝑙(cid:100)(cid:123)
(cid:371)(cid:361)(cid:345)(cid:72)𝐵(cid:362) (cid:104)(cid:76) (cid:75)△(cid:346)𝐴𝐵𝑃 𝐴(cid:72) =4 2(cid:72)(cid:274) (cid:25)△(cid:345)𝐴(cid:84)𝐶𝑄 𝐵 (cid:75)𝑃 𝐶 𝑄
𝑃𝐶 𝐴𝑄 𝐷 𝑃𝐷⊥𝐴𝑄 𝐴𝐵 𝑃𝐶
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)4 3
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:404)(cid:45)−(cid:46)4 (cid:185)(cid:98)(cid:129)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:72)(cid:111)(cid:94) = (cid:72)(cid:367)(cid:45)(cid:46) (cid:391)(cid:197)(cid:63)(cid:190) (cid:75)(cid:111)(cid:94) = (cid:75)(cid:43)(cid:111)
△𝐴𝑃𝑄 1 𝐴𝑃 𝑃𝑄 𝑃𝐷 𝐴𝑄 𝐴𝐶 𝐶𝑄
= = + =8(cid:72) = =4(cid:72)(cid:262)(cid:48)(cid:218)(cid:380)(cid:381)(cid:116)(cid:382)(cid:43)(cid:111) =4 3(cid:72)(cid:125)(cid:140)(cid:218) = (cid:43)(cid:44)(cid:75)
2
2 2
𝐴(cid:15)𝑄(cid:217)(cid:44)𝐴(cid:19)𝑃(cid:44)(cid:10)𝐴(cid:78)𝐵(cid:49)(cid:72)𝐵(cid:100)𝑃(cid:123) (cid:75)𝐶𝐷 𝐴𝑄 𝑃𝐷 𝑃𝐶 𝑃𝐷−𝐶𝐷
𝑃𝑄
(cid:218)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:111) = (cid:72) = = =90°(cid:75)
(cid:185)(cid:98)(cid:129)(cid:30)𝐴𝑄(cid:70)(cid:50)𝐴(cid:75)𝑃 ∠𝑃𝐴𝑄 60°,∠𝐴𝐶𝑄 ∠𝐴𝐵𝑃
∴△𝐴=𝑃𝑄 (cid:72) =60°(cid:72)
∴𝐴𝑃 𝑃𝑄 ∠𝑃𝐴𝐷
∵𝑃𝐷⊥=𝐴𝑄(cid:72)
∴𝐴𝐷(cid:391)(cid:197)𝐷(cid:63)𝑄 (cid:190) (cid:72)
∴𝑃𝐷= (cid:72) 𝐴𝑄
∴(cid:218)𝐴(cid:26)𝐶(cid:27)(cid:25)𝐶𝑄(cid:35)(cid:36)(cid:111) = = (cid:72)
= =4 2𝐴(cid:75)𝐶 𝐴𝐵,𝐶𝑄 𝐵𝑃
∴𝐵𝑃 𝐴(cid:72)𝐵
∵𝐴𝐵⊥𝑙=90°(cid:75)
∴∠𝐴𝐵𝑃
= + =8(cid:75)
2 2
∴𝐴𝑃 =8𝐴=𝐵 (cid:75)𝐵𝑃
(cid:218)∴𝐴(cid:26)𝑄(cid:27)(cid:140)(cid:111)(cid:10)𝐴𝑃 = =90°(cid:72)
= (cid:72) ∠𝐴𝐶𝑄 ∠𝐴𝐵𝑃
∵𝐴𝐷 𝐷𝑄 1
= = =4(cid:72)
2
∴𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝑄
= =4 3(cid:75)
2 2
∴𝑃𝐷= 𝐴𝑃 −𝐴=𝐷4 3 (cid:75)
∴(cid:223)𝑃(cid:189)𝐶(cid:55)(cid:84)𝑃𝐷(cid:10)−4𝐶𝐷3 (cid:75) −4
(cid:15)(cid:76)(cid:266)(cid:19)(cid:192)(cid:20)(cid:193)−(cid:194)4(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:98)(cid:129)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:37)(cid:116)(cid:56)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:101)(cid:102)(cid:391)(cid:197)(cid:63)(cid:190)(cid:101)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:380)(cid:381)(cid:116)(cid:382)(cid:72)(cid:211)(cid:313)(cid:245)(cid:246)
(cid:97)(cid:3)(cid:37)(cid:116)(cid:124)(cid:35)(cid:36)(cid:185)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:122)(cid:75)
(cid:15)(cid:83)(cid:225)4-3(cid:19)(cid:114)24-25(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:405)(cid:375)(cid:406)(cid:407)·(cid:153)(cid:24)(cid:115)(cid:107)(cid:61)(cid:408)(cid:30)(cid:70)(cid:409)(cid:78)(cid:49)1(cid:99)(cid:143)(cid:410)(cid:260)(cid:72)(cid:197)(cid:101) (cid:72)(cid:28)(cid:107)(cid:30)(cid:70)(cid:409)
(cid:65)(cid:76) (cid:126)(cid:411)(cid:412)2°(cid:25)(cid:413)(cid:71)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)(cid:72)(cid:400)(cid:109)(cid:30)(cid:70)(cid:409) (cid:65)(cid:76) (cid:126)(cid:411)(cid:412)4°(cid:25)(cid:413)(cid:71)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:26)𝐺(cid:27)𝐻(cid:72)∥(cid:53)𝑀(cid:109)𝑁(cid:414)(cid:84) (cid:412)(cid:72)(cid:78)(cid:49)𝐴𝐵𝐶
2(cid:72) 𝐴 = (cid:72) =45°(cid:72)(cid:280)0 110𝐷(cid:72)𝐸(cid:346)𝐹(cid:129) 𝐷(cid:56)(cid:30)(cid:70)(cid:409)(cid:25)(cid:61)(cid:196)(cid:197)(cid:70)(cid:129)(cid:114)(cid:129) (cid:72) (cid:115)(cid:63)𝑡(cid:209)(cid:109)(cid:72)(cid:274)
(cid:99)(cid:283)∠(cid:306)𝐵𝐴(cid:307)𝐻(cid:196)(cid:373)2(cid:25)𝑡° (cid:25)∠(cid:399)𝐹𝐷(cid:84)𝑀 (cid:75) ≤𝑡≤ 𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐷𝐹
𝑡
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)15(cid:240)105(cid:240)60
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:192)(cid:20)(cid:294)(cid:31)(cid:193)(cid:194)(cid:168)(cid:63)(cid:209)(cid:101)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:211)(cid:313)(cid:245)(cid:246)(cid:63)(cid:209)(cid:101)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:185)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:122)(cid:10)(cid:114)1(cid:115)(cid:230) (cid:109)(cid:72)(cid:361)(cid:345)
(cid:362) (cid:104)(cid:76)P(cid:72)(cid:190)(cid:88)(cid:208)(cid:415)(cid:416)(cid:417)(cid:40)(cid:10)① (cid:133) (cid:80)(cid:92)(cid:109)(cid:72)② (cid:133) (cid:148)(cid:92)(cid:109)(cid:72) = 𝐷𝐸∥𝐵(cid:72)𝐶 (cid:180)(cid:225)(cid:43)(cid:44)𝐴(cid:125)𝐶
(cid:140)𝑀(cid:249)𝑁(cid:114)2(cid:115)(cid:230) (cid:109)(cid:72)(cid:361)(cid:345) (cid:362) 𝐷(cid:104)𝐸(cid:76)𝑀I(cid:72)𝑁① (cid:133) (cid:80)𝐷𝐸(cid:92)(cid:109)𝑀(cid:72)𝑁 = ∠𝐹𝐷𝑃 4(cid:72)𝑡°②−180(cid:133)° (cid:148)(cid:92)(cid:109)(cid:72)
= 𝐷𝐹∥𝐵𝐶(cid:72)(cid:180)(cid:225)(cid:43)(cid:44)𝐴𝐶(cid:125)(cid:140)𝑀(cid:75)𝑁 𝐷𝐹 𝑀𝑁 ∠𝐹𝐷𝑁 180°−4𝑡° 𝐷𝐹 𝑀𝑁
(cid:15)∠𝐹(cid:217)𝐷𝑁(cid:44)(cid:19)(cid:44)4𝑡°(cid:10)−(cid:218)18(cid:20)0°(cid:305)(cid:111)(cid:72) = + = +30°(cid:72) = (cid:72)
(cid:78)(cid:49)1(cid:72)(cid:230) (cid:109)(cid:72)(cid:361)(cid:345)∠𝐻𝐴𝐶(cid:362) ∠𝐵(cid:104)𝐴(cid:76)𝐻 (cid:72)∠𝐵𝐴𝐶 2𝑡° ∠𝐹𝐷𝑀 4𝑡°
𝐷𝐸∥𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝑀𝑁 𝑃① (cid:133) (cid:80)(cid:92)(cid:109)(cid:72)
𝐷𝐸 𝑀(cid:72)𝑁 (cid:72) (cid:72)
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶(cid:72)𝐷𝐸⊥𝐷𝐹 𝐴𝐶⊥𝐵𝐶
∴𝐴𝑃∥𝐷𝐹= (cid:72)
∴∠𝐹𝐷𝑀 (cid:72)∠𝑀𝑃𝐴
∵𝑀𝑁∥𝐺𝐻= (cid:72)
∴∠𝑀𝑃𝐴 =∠𝐻𝐴𝐶(cid:72)
(cid:125)∴∠𝐹𝐷=𝑀 ∠+𝐻3𝐴0𝐶°(cid:72)
4𝑡=° 152(cid:249)𝑡°
②∴𝑡 (cid:133) (cid:148)(cid:92)(cid:109)(cid:72) = (cid:72)
𝐷𝐸 𝑀(cid:72)𝑁 (cid:72)∠𝐹𝐷𝑃 4(cid:72)𝑡°−180°
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶(cid:72)𝐷𝐸⊥𝐷𝐹 𝐴𝐶⊥𝐵𝐶
∴𝐴𝑃∥𝐷𝐹= (cid:72)
∴∠𝐹𝐷𝑃 (cid:72)∠𝑀𝑃𝐴
∵𝑀𝑁∥𝐺𝐻= (cid:72)
∴∠𝑀𝑃𝐴= ∠𝐻𝐴𝐶(cid:72)
(cid:125)∴∠𝐹𝐷𝑃 ∠=𝐻𝐴𝐶 +30°(cid:72)
4𝑡=°−110850(cid:249)° 2𝑡°
(cid:230)∴𝑡 (cid:109)(cid:72)(cid:361)(cid:345) (cid:362) (cid:104)(cid:76)I(cid:72)
𝐷𝐹∥𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝑀𝑁(cid:133) (cid:80)(cid:92)(cid:109)(cid:72) = (cid:72)
𝐷𝐹 𝑀𝑁(cid:72) ∠𝐹(cid:72)𝐷𝑁 180°−4𝑡°
∵𝐷𝐹∥𝐵𝐶 (cid:72)𝐴𝐶⊥𝐵𝐶
∴𝐴𝐼⊥𝐷𝐹+ =90°(cid:72)
∴∠𝐹𝐷𝑁 (cid:72)∠𝑀𝐼𝐴
∵𝑀𝑁∥𝐺𝐻= (cid:72)
∴∠𝑀𝐼𝐴 +∠𝐻𝐴𝐶 =90°(cid:72)
(cid:125)∴∠𝐹𝐷𝑁 ∠+𝐻𝐴𝐶 +30°=90°(cid:72)
18=0°6−04(cid:249)𝑡° 2𝑡°
②∴𝑡 (cid:133) (cid:148)(cid:92)(cid:109)(cid:72) = (cid:72)
𝐷𝐹 𝑀(cid:72)𝑁 (cid:72)∠𝐹𝐷𝑁 4(cid:72)𝑡°−180°
∵𝐷𝐹∥𝐵𝐶(cid:72)𝐴𝐶⊥𝐵𝐶 𝐷𝐸⊥𝐷𝐹
∴𝐴𝐶∥𝐷𝐸= (cid:72)
∴∠𝐴𝐼𝑀 (cid:72)∠𝑀𝐷𝐸
∵𝑀𝑁∥𝐺𝐻= (cid:72)
∴∠𝑀𝐼𝐴 =∠𝐻𝐴𝐶 (cid:72)
(cid:125)∴∠𝑀𝐷𝐸 ∠𝐻𝐴𝐶= +30°(cid:72)
4𝑡=°−115800(cid:114)°−(cid:295)9(cid:304)0°(cid:206)(cid:20)2𝑡(cid:305)° (cid:72)(cid:418)(cid:419)(cid:115)(cid:72)
(cid:368)∴(cid:80)𝑡 (cid:72)(cid:99)(cid:283)(cid:306)(cid:307)(cid:196)(cid:373)(cid:25) (cid:25)(cid:399)(cid:84)15(cid:240)60(cid:240)105(cid:72)
(cid:223)(cid:189)(cid:55)(cid:84)(cid:10)15(cid:240)60(cid:240)𝑡105(cid:75)
【题型5 利用旋转的性质证明】
(cid:15)(cid:144)5(cid:19)(cid:114)24-25(cid:250)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:254)(cid:252)(cid:420)(cid:151)·(cid:153)(cid:24)(cid:115)(cid:78)(cid:49)(cid:72)(cid:133)(cid:364)(cid:129)(cid:50) (cid:24)(cid:72) (cid:185)(cid:89)(cid:70)(cid:101)(cid:72) (cid:185)(cid:98)(cid:129)(cid:30)(cid:70)
(cid:50)(cid:75)(cid:101)(cid:102) (cid:65)(cid:76) (cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)60°(cid:111)(cid:94)(cid:101)(cid:102) (cid:72)(cid:100)(cid:123) (cid:75)𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶, 𝐵𝐷 △𝐴𝐵𝐶
𝐶𝐷 𝐶 𝐶𝐸 𝐴𝐸, 𝐷𝐸
(1)(cid:43)(cid:45)(cid:10) = (cid:249)
(2)(cid:346) 𝐴𝐸=30𝐵°𝐷(cid:72) =6(cid:72) =10(cid:72)(cid:43) (cid:25)(cid:345)(cid:75)
∠𝐴𝐷𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝐷𝐸(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)(1)(cid:421)(cid:44)(cid:191)
(2) =8
(cid:15)(cid:190)𝐷𝐸(cid:191)(cid:19)(cid:192)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:168)(cid:98)(cid:129)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:37)(cid:116)(cid:56)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:106)(cid:98)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:37)(cid:116)(cid:56)(cid:45)(cid:46)(cid:72)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:277)(cid:380)(cid:381)(cid:116)(cid:382)(cid:72)(cid:45)(cid:46)
(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:106)(cid:98)(cid:185)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:122)(cid:249)
(cid:114)1(cid:115)(cid:218)(cid:98)(cid:129)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:56)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:45)(cid:46) (cid:125)(cid:140)(cid:249)
(cid:114)2(cid:115)(cid:218)(cid:26)(cid:27)(cid:219) (cid:185)(cid:98)(cid:129)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:72)(cid:274) △=𝐵𝐶6𝐷0°≌(cid:72)△(cid:140)𝐴(cid:111)𝐶𝐸 =90°(cid:72)(cid:133)(cid:197)(cid:70)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:24)(cid:33)(cid:34)(cid:380)(cid:381)(cid:116)(cid:382)(cid:125)
(cid:140)(cid:43)(cid:111)(cid:39)(cid:79)(cid:75) △𝐶𝐷𝐸 ∠𝐶𝐷𝐸 ∠𝐴𝐷𝐸
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:114)1(cid:115)(cid:45)(cid:46)(cid:10) (cid:185)(cid:98)(cid:129)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:72)
= (cid:72) =6∵0△°(cid:249)𝐴𝐵𝐶
∴(cid:101)𝐵𝐶(cid:102) 𝐴𝐶(cid:65)(cid:76)∠𝐴(cid:108)𝐶𝐵(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)60°(cid:111)(cid:94)(cid:101)(cid:102) (cid:72)
∵ =𝐶𝐷 (cid:72) 𝐶 =60°(cid:72) 𝐶𝐸
∴𝐷𝐶 𝐸+𝐶 ∠𝐷𝐶=𝐸 + (cid:72)
∴(cid:125)∠𝐴𝐶𝐵 =∠𝐴𝐶𝐷 (cid:72)∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐷𝐶𝐸
∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐶𝐸 SAS)(cid:72)
∴△𝐵=𝐶𝐷≌(cid:249)△𝐴𝐶𝐸(
∴(cid:114)𝐴2𝐸(cid:115)(cid:44)𝐵(cid:10)𝐷(cid:26)(cid:27)(cid:219) = (cid:72) =60°(cid:72)
(cid:185)(cid:98)(cid:129)(cid:30)𝐶(cid:70)𝐷(cid:50)(cid:72)𝐶𝐸 ∠𝐷𝐶𝐸
∴△𝐶𝐷𝐸=60°(cid:249)
∴∠𝐶𝐷𝐸 = + =30°+60°=90°(cid:249)
∴∠𝐴𝐷=𝐸 ∠=𝐴𝐷10𝐶(cid:72) ∠𝐶𝐷𝐸
∵𝐴𝐸 𝐵𝐷
(cid:218)(cid:380)(cid:381)(cid:116)(cid:382)(cid:111)(cid:10) = =8(cid:75)
2 2
(cid:15)∴ (cid:83)(cid:225)5-1(cid:19)(cid:78)(cid:49)𝐷(cid:72)𝐸(cid:107) 𝐴𝐸 −(cid:65)𝐴(cid:76)𝐷A(cid:130)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:92)(cid:93)(cid:26)(cid:27)90°(cid:72)(cid:111)(cid:94) (cid:72)(cid:76)B(cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:76)(cid:84)(cid:76)D(cid:72)(cid:76)C(cid:25)(cid:89)
(cid:90)(cid:76)F(cid:360)(cid:133) (cid:129)(cid:80)(cid:72)(cid:100)△(cid:123)𝐴𝐵𝐶(cid:75) △𝐴𝐷𝐸
𝐵𝐶 𝐵𝐷(1)(cid:43)(cid:45)(cid:10) (cid:249)
(2)(cid:346) =𝐷2𝐸⊥2(cid:72)𝐵𝐶 =6(cid:72)(cid:43)(cid:101)(cid:102) (cid:25)(cid:345)(cid:75)
(cid:15)(cid:189)(cid:55)𝐴𝐶(cid:19)(1)(cid:421)(cid:44)(cid:191)𝐵𝐶 𝐵𝐷
(2) =2 10
(cid:15)(cid:190)𝐵𝐷(cid:191)(cid:19)(cid:114)1(cid:115)(cid:214)(cid:215)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:140)(cid:111) = (cid:72) =90°(cid:72) = (cid:72)(cid:367)(cid:214)(cid:215)(cid:98)(cid:383)(cid:197)(cid:70)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:125)
(cid:140)(cid:45)(cid:46)(cid:249) 𝐴𝐶 𝐴𝐸 ∠𝐶𝐴𝐸 ∠𝐴𝐸𝐷 ∠𝐶
(cid:114)2(cid:115)(cid:214)(cid:215) =2 2(cid:72) =90°(cid:72)(cid:367)(cid:39)(cid:206) = =2 2(cid:72)(cid:125)(cid:140)(cid:43)(cid:281) =4(cid:75) = =2(cid:72)(cid:218)(cid:26)(cid:27)
(cid:140)(cid:219) =𝐴𝐶 =6(cid:72)(cid:274)(cid:33)∠𝐸(cid:34)𝐴𝐶(cid:380)(cid:381)(cid:116)(cid:382)(cid:125)(cid:140)(cid:43)(cid:44)𝐴(cid:75)𝐸 𝐴𝐶 𝐸𝐶 𝐵𝐸 𝐵𝐶−𝐸𝐶
(cid:15)(cid:217)𝐷(cid:44)𝐸(cid:19)(cid:114)𝐵1𝐶(cid:115)(cid:44)(cid:10)(cid:107) (cid:65)(cid:76)A(cid:130)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:92)(cid:93)(cid:26)(cid:27)90°(cid:111)(cid:94) (cid:72)
= (cid:72) =9△0°(cid:72)𝐴𝐵𝐶 = (cid:72) △𝐴𝐷𝐸
∴𝐴𝐶 =𝐴𝐸 ∠=𝐶𝐴4𝐸5°= ∠𝐴(cid:72)𝐸𝐷 ∠𝐶
∴∠𝐶 ∠=𝐴𝐸𝐶 + ∠𝐴𝐸=𝐷90°(cid:72)
∴∠𝐷𝐸𝐶 (cid:249)∠𝐷𝐸𝐴 ∠𝐴𝐸𝐶
∴(cid:114)𝐷2𝐸(cid:115)⊥(cid:44)𝐵(cid:10)𝐶 =2 2(cid:72)
(cid:214)(cid:215)(cid:26)(cid:27)∵(cid:140)𝐴(cid:219)𝐶(cid:10) = =2 2(cid:72)
∴ 𝐴𝐸 𝐴𝐶
(cid:133)Rt (cid:24)(cid:72) = + =4(cid:72)
2 2
∴ =△𝐴𝐸𝐶 =𝐸2(cid:72)𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐸
∴(cid:218)𝐵(cid:26)𝐸(cid:27)(cid:140)𝐵𝐶(cid:219)−𝐸𝐶= =6(cid:72)
𝐷𝐸 𝐵𝐶
= + = 4+36=2 10(cid:75)
2 2
∴(cid:15)𝐵(cid:76)𝐷(cid:266)(cid:19)𝐵(cid:192)𝐸(cid:20)(cid:193)𝐷(cid:194)𝐸(cid:168)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:91)(cid:380)(cid:381)(cid:116)(cid:382)(cid:98)(cid:219)(cid:278)(cid:72)(cid:422)(cid:190)(cid:33)(cid:34)(cid:380)(cid:381)(cid:116)(cid:382)(cid:185)(cid:44)(cid:189)(cid:192)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:122)(cid:75)
(cid:15)(cid:83)(cid:225)5-2(cid:19)(cid:114)24-25(cid:308)(cid:146)(cid:147)(cid:80)·(cid:384)(cid:385)(cid:337)(cid:100)·(cid:153)(cid:226)(cid:115)(cid:302)(cid:11)(cid:423)(cid:424)(cid:322)(cid:344)(cid:23)(cid:69)(cid:24)(cid:72)(cid:231)(cid:232)(cid:31)(cid:43)(cid:11)(cid:22)(cid:425)(cid:426)(cid:78)(cid:148)(cid:59)(cid:20)(cid:10)
(cid:78)(cid:49)(cid:72)(cid:107)(cid:377)(cid:50) (cid:65)(cid:76)A(cid:130)(cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:92)(cid:93)(cid:26)(cid:27)(cid:111)(cid:94)(cid:377)(cid:50) (cid:72)(cid:230)(cid:76)E(cid:360)(cid:133) (cid:80)(cid:109)(cid:427)(cid:428)(cid:26)(cid:27)(cid:72) (cid:362) (cid:104)(cid:76) (cid:75)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐺𝐹𝐸 𝐵𝐷 𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐻
(1)(cid:100)(cid:123) (cid:72)(cid:267)(cid:37)(cid:38) (cid:124) (cid:185)(cid:356)(cid:133)(cid:400)(cid:61)(cid:196)(cid:197)(cid:101)(cid:80)(cid:72)(cid:371)(cid:331)(cid:46)(cid:382)(cid:218)(cid:75)
𝐵𝐹 𝐵𝐶 𝐵𝐹(2)(cid:43)(cid:45)(cid:10) = (cid:75)
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)(𝐴1𝐻)(cid:185)(cid:72)𝐹(cid:382)𝐻(cid:218)(cid:421)(cid:44)(cid:191)
(2)(cid:45)(cid:46)(cid:421)(cid:44)(cid:191)
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:114)1(cid:115)(cid:218)(cid:377)(cid:50)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:140)(cid:111) = (cid:72) = = =90°(cid:72)(cid:218)(cid:197)(cid:70)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:88)(cid:62)(cid:429)(cid:70)(cid:430)(cid:366)
(cid:140)(cid:111) + =90°(cid:72)(cid:218)(cid:26)(cid:27)𝐶𝐷(cid:25)(cid:35)𝐴(cid:36)𝐵(cid:140)(cid:111)∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐴=𝐷𝐶 (cid:72)∠𝐴𝐵=𝐶 (cid:72) = =90°(cid:72)(cid:216)(cid:336)(cid:140)(cid:111)
∠𝐴+𝐵𝐸 ∠𝐴=𝐷𝐵 =90°(cid:72) (cid:218)(cid:98)(cid:129)𝐸(cid:89)𝐹(cid:98)(cid:70)𝐶(cid:140)𝐷(cid:111)𝐴𝐵 𝐴=𝐸 𝐴𝐷 (cid:72)∠(cid:216)𝐴𝐸(cid:336)𝐹(cid:140)(cid:111)∠𝐴𝐷𝐶 = (cid:72)(cid:33)(cid:34)SAS
∠(cid:140)𝐴(cid:45)𝐸𝐷(cid:111) ∠𝐹𝐸𝐵 180°−(cid:72)∠𝐴(cid:104)𝐸(cid:185)𝐹(cid:140)(cid:111) = (cid:72)(cid:125) ∠𝐴+𝐷𝐵 ∠𝐴=𝐸𝐷 + ∠(cid:72)𝐴𝐵(cid:216)𝐸(cid:336)(cid:140)∠𝐹(cid:111)𝐸𝐵
=△𝐴𝐵𝐸≌=△9𝐹0°𝐸(cid:72)𝐵(cid:262)(cid:48)(cid:218) ∠𝐴+𝐸𝐵 ∠𝐹=𝐵1𝐸80°(cid:125)∠(cid:140)𝐴(cid:111)𝐸𝐹(cid:281)(cid:39)∠(cid:40)𝐹𝐸(cid:249)𝐵 ∠𝐹𝐵𝐴 ∠𝐴𝐵𝐸
∠(cid:114)𝐹2𝐵(cid:115)𝐴(cid:218)(cid:114)∠1𝐴(cid:115)𝐸𝐹(cid:111) = (cid:72) ∠𝐹𝐵=𝐴 ∠𝐴𝐵(cid:72)𝐶(cid:218)(cid:98)(cid:70)(cid:89)(cid:98)(cid:129)(cid:140)(cid:111) = (cid:72)(cid:216)(cid:336)(cid:140)(cid:111) = (cid:72)(cid:104)
(cid:185)(cid:39)(cid:40)(cid:111)(cid:45)(cid:75) 𝐴𝐵 𝐸𝐹 ∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐹𝐸𝐵 𝐵𝐻 𝐸𝐻 𝐴𝐵−𝐵𝐻 𝐸𝐹−𝐸𝐻
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:114)1(cid:115)(cid:44)(cid:10) (cid:124) (cid:185)(cid:133)(cid:400)(cid:61)(cid:196)(cid:197)(cid:101)(cid:80)(cid:72)(cid:382)(cid:218)(cid:78)(cid:148)(cid:10)
(cid:364)(cid:129)(cid:50) (cid:185)(cid:377)𝐵(cid:50)𝐶(cid:72)𝐵𝐹
∵ = 𝐴𝐵(cid:72)𝐶𝐷 = = =90°(cid:72)
∴𝐶𝐷 𝐴+𝐵 ∠𝐷𝐴=𝐵90°∠(cid:72)𝐴𝐷𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶
∴∠(cid:377)𝐴(cid:50)𝐵𝐸 ∠𝐴(cid:185)𝐷(cid:218)𝐵(cid:377)(cid:50) (cid:26)(cid:27)(cid:111)(cid:94)(cid:25)(cid:72)
∵ =𝐴𝐺𝐹𝐸= (cid:72) 𝐴=𝐵𝐶𝐷(cid:72) = =90°(cid:72)
∴𝐸𝐹 𝐶+𝐷 𝐴𝐵=𝐴𝐸 𝐴𝐷 ∠𝐴=𝐸𝐹 ∠𝐴𝐷𝐶=90°(cid:72) = (cid:72)
∴∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐹𝐸𝐵(cid:72)180°−∠𝐴𝐸𝐹 180°−90° ∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐴𝐸𝐷
(cid:133)∴∠𝐴𝐵𝐸 (cid:124)∠𝐹𝐸𝐵 (cid:24)(cid:72)
△𝐴𝐵=𝐸 △𝐹𝐸𝐵
= (cid:72)
𝐴𝐵= 𝐸𝐹
∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐹𝐸𝐵
𝐵𝐸 𝐸𝐵 (SAS)(cid:72)
∴△𝐴𝐵𝐸≌=△𝐹𝐸𝐵(cid:72)
(cid:125)∴(cid:10)∠𝐴𝐸𝐵 +∠𝐹𝐵𝐸 = + (cid:72)
∠𝐴𝐸=𝐹 ∠𝐹𝐸𝐵=90∠°(cid:72)𝐹𝐵𝐴 ∠𝐴𝐵𝐸
∴∠𝐹𝐵𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐹=90°+90°=180°(cid:72)
∴∠𝐹(cid:124)𝐵𝐴 (cid:185)∠𝐴(cid:133)𝐵(cid:400)𝐶(cid:61)(cid:196)(cid:197)(cid:101)(cid:80)(cid:249)
(cid:114)∴2𝐵(cid:115)𝐶(cid:45)𝐵(cid:46)𝐹(cid:10)(cid:218)(cid:114)1(cid:115)(cid:111)(cid:10) = (cid:72) = (cid:72)
= (cid:72) 𝐴𝐵 𝐸𝐹 ∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐹𝐸𝐵
∴𝐵𝐻 𝐸𝐻= (cid:72)
∴𝐴𝐵−=𝐵𝐻 (cid:75)𝐸𝐹−𝐸𝐻
(cid:15)∴(cid:76)𝐴𝐻(cid:266)(cid:19)𝐹(cid:192)𝐻(cid:20)(cid:294)(cid:31)(cid:193)(cid:194)(cid:168)(cid:377)(cid:50)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:106)(cid:98)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:37)(cid:116)(cid:56)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:98)(cid:383)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:37)(cid:116)(cid:56)(cid:35)(cid:36)(cid:72)
(cid:197)(cid:70)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:88)(cid:62)(cid:429)(cid:70)(cid:430)(cid:366)(cid:98)(cid:219)(cid:278)(cid:76)(cid:72)(cid:33)(cid:34)(cid:377)(cid:50)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:277)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:45)(cid:46) (cid:185)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:122)(cid:75)
(cid:15)(cid:83)(cid:225)5-3(cid:19)(cid:133)(cid:98)(cid:129)(cid:30)(cid:70)(cid:50) (cid:25)(cid:67)(cid:201)(cid:283)(cid:61)(cid:76) (cid:72)(cid:100)(cid:123) (cid:72) (cid:72)(cid:126)(cid:76) (cid:84)(cid:24)△(cid:77)𝐴(cid:72)𝐵(cid:60)𝐸≌△(cid:242)𝐹(cid:109)𝐸𝐵(cid:110)(cid:26)(cid:27)60°(cid:111)(cid:94)
𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐵𝐷 𝐶𝐷 𝐵 𝐵𝐷 𝐵
(cid:72)(cid:100)(cid:123) (cid:72) (cid:75)(cid:126)(cid:76) (cid:84)(cid:24)(cid:77)(cid:72)(cid:60) (cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)60°(cid:111)(cid:94) (cid:72)(cid:100)(cid:123) (cid:72) (cid:75)
′ ′ ′ ″ ″ ″
𝐷 𝐴𝐷 𝐷𝐷 𝐶 𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐷𝐷
(1)(cid:37)(cid:38) (cid:124) (cid:25)(cid:337)(cid:322)(cid:3)(cid:354)(cid:72)(cid:371)(cid:331)(cid:46)(cid:382)(cid:218)(cid:249)
′
(2)(cid:43)(cid:45)(cid:10)∠𝐷 𝐵𝐴= ∠𝐷(cid:249)𝐵𝐶
′
𝐷 𝐴 𝐷𝐶
(3)(cid:43)(cid:45)(cid:10)(cid:364)(cid:129)(cid:50) (cid:185)(cid:63)(cid:209)(cid:364)(cid:129)(cid:50)(cid:75)
′ ″
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)(1) 𝐴𝐷 = 𝐷𝐷 (cid:72)(cid:382)(cid:218)(cid:421)(cid:44)(cid:191)
′
(2)(cid:45)(cid:46)(cid:421)(cid:44)(cid:191)∠𝐷 𝐵𝐴 ∠𝐷𝐵𝐶
(3)(cid:45)(cid:46)(cid:421)(cid:44)(cid:191)
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:114)1(cid:115)(cid:214)(cid:215)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:111) =60°(cid:72) = (cid:72)(cid:274)(cid:140)(cid:37)(cid:38) (cid:84)(cid:98)(cid:129)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:72)(cid:367)(cid:33)(cid:34)
′ ′ ′
(cid:84)(cid:98)(cid:129)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:111)(cid:94) =60°(cid:72)(cid:274)∠𝐷(cid:140)𝐵(cid:111)𝐷(cid:94) 𝐵=𝐷 𝐵𝐷(cid:249) △𝐵𝐷𝐷 △𝐴𝐵𝐶
′
(cid:114)2(cid:115)(cid:379)(cid:82)(cid:45)(cid:46) ∠𝐴𝐵𝐶 (cid:111)(cid:94) =∠𝐷 𝐵(cid:249)𝐴 ∠𝐷𝐵𝐶
′ ′
△𝐴𝐵𝐷 ≌△𝐶𝐵𝐷 𝐷 𝐴 𝐷𝐶
(cid:114)3(cid:115)(cid:214)(cid:215)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:111) =60°(cid:72) = (cid:72)(cid:274)(cid:140)(cid:37)(cid:38) (cid:84)(cid:98)(cid:129)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:72)(cid:104)(cid:185)(cid:111)(cid:94) = (cid:72)
″ ″ ″ ″
∠𝐷𝐶𝐷 𝐷𝐶 𝐷 𝐶 △𝐷𝐶𝐷 𝐷𝐷 𝐷𝐶
(cid:367)(cid:56)(cid:114)2(cid:115)(cid:25)(cid:45)(cid:46)(cid:92)(cid:139)(cid:61)(cid:347)(cid:45)(cid:46) (cid:111)(cid:94) = (cid:72)(cid:104)(cid:185) = (cid:72)(cid:431)(cid:80) = = (cid:72)
″ ″ ″ ′ ′ ″
△𝐴𝐶𝐷 ≌△𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐷𝐷 𝐷 𝐴 𝐷𝐶 𝐷𝐷
(cid:353)(cid:336)(cid:140)(cid:37)(cid:38)(cid:364)(cid:129)(cid:50) (cid:185)(cid:63)(cid:209)(cid:364)(cid:129)(cid:50)(cid:75)
′ ″
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:114)1(cid:115)(cid:44)(cid:10)𝐴𝐷 𝐷𝐷 = (cid:72)
′
(cid:382)(cid:218)(cid:78)(cid:148)(cid:10) ∠𝐷 𝐵𝐴 ∠𝐷𝐵𝐶
(cid:126)(cid:76) (cid:84)(cid:24)(cid:77)(cid:72)(cid:60) (cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)60°(cid:111)(cid:94) (cid:72)
′
∵ 𝐵 =60°(cid:72) 𝐵𝐷= (cid:72) 𝐵𝐷
′ ′
∴∠𝐷𝐵𝐷 (cid:84)(cid:98)(cid:129)(cid:30)𝐵(cid:70)𝐷(cid:50)(cid:72)𝐵𝐷
′
∴△𝐵𝐷𝐷= (cid:72)
′
∴𝐵𝐷 𝐷(cid:84)𝐷(cid:98)(cid:129)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:72)
∵△𝐴𝐵𝐶=60°(cid:72) = (cid:72)
∴∠𝐴𝐵𝐶 = 𝐵𝐴+ 𝐵𝐶 =60°(cid:72)
′ ′
∵∠𝐷𝐵=𝐷 ∠𝐴𝐵+𝐷 ∠𝐷=𝐵𝐴60°(cid:72)
∠𝐴𝐵𝐶 ∠=𝐴𝐵𝐷 ∠(cid:249)𝐷𝐵𝐶
′
(cid:114)∴2∠(cid:115)𝐷(cid:45)𝐵𝐴(cid:46)(cid:10)∠(cid:133)𝐷𝐵𝐶 (cid:124) (cid:24)(cid:72)
′
= △𝐴𝐵𝐷 △𝐶𝐵𝐷
= (cid:72)
′𝐵𝐴 =𝐵𝐶
∠𝐷 𝐵𝐴′ ∠𝐷𝐵𝐶
𝐵𝐷 𝐵𝐷 (SAS)(cid:72)
′
∴△𝐴𝐵=𝐷 ≌△(cid:249)𝐶𝐵𝐷
′
∴𝐷 𝐴 𝐷𝐶
(cid:114)3(cid:115)(cid:45)(cid:46)(cid:10) (cid:126)(cid:76) (cid:84)(cid:24)(cid:77)(cid:72)(cid:60) (cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)60°(cid:111)(cid:94) (cid:72)
″
=6 ∵ 0°(cid:72) 𝐶 = (cid:72) 𝐶𝐷 𝐶𝐷
″ ″
∴∠𝐷𝐶𝐷 𝐷𝐶 𝐷 𝐶
(cid:84)(cid:98)(cid:129)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:72)
″
∴△𝐷𝐶 = 𝐷 (cid:72)
″
∴𝐷𝐷 (cid:84)𝐷(cid:98)𝐶 (cid:129)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:72)
∵△𝐴𝐵𝐶=60°(cid:72) = (cid:72)
∴∠𝐴𝐶𝐵 = 𝐶𝐴+ 𝐶𝐵 =60°(cid:72)
″ ″
∵∠𝐷𝐶=𝐷 ∠𝐴+𝐶𝐷 ∠𝐷=𝐶𝐴60°(cid:72)
∠𝐴𝐶𝐵 ∠=𝐴𝐶𝐷 ∠(cid:72)𝐷𝐶𝐵
″
∴∠𝐷 𝐶𝐴 ∠𝐷𝐶𝐵
(cid:133) (cid:124) (cid:24)(cid:72)
″
△𝐴𝐶𝐷 △𝐵𝐶𝐷
=
= (cid:72)
𝐶𝐴 =𝐶𝐵
″
∠𝐷 𝐶
″
𝐴 ∠𝐷𝐶𝐵
𝐷 𝐶 𝐷𝐶 (SAS)(cid:72)
″
∴△𝐴𝐶=𝐷 ≌△(cid:72)𝐵𝐶𝐷
″
(cid:218)∴(cid:114)𝐴𝐷1(cid:115)(cid:140)𝐵(cid:219)𝐷(cid:10) =
′
= (cid:72)𝐵𝐷 𝐷𝐷
″ ′
(cid:218)∴(cid:114)𝐴𝐷2(cid:115)(cid:140)𝐷(cid:219)𝐷(cid:10) = (cid:72)
′
𝐷 𝐴 𝐷𝐶(cid:355) = (cid:72)
″
∵𝐷𝐷 𝐷𝐶
= (cid:72)
′ ″
∴𝐷 𝐴 𝐷𝐷
(cid:364)(cid:129)(cid:50) (cid:185)(cid:63)(cid:209)(cid:364)(cid:129)(cid:50)(cid:75)
′ ″
(cid:15)∴(cid:76)(cid:266)(cid:19)(cid:192)𝐴𝐷(cid:20)𝐷(cid:294) 𝐷 (cid:31)(cid:193)(cid:194)(cid:168)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:98)(cid:129)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:37)(cid:116)(cid:56)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:106)(cid:98)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:37)(cid:116)(cid:56)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:63)(cid:209)(cid:364)(cid:129)(cid:50)
(cid:25)(cid:37)(cid:116)(cid:98)(cid:219)(cid:278)(cid:76)(cid:72)(cid:211)(cid:313)(cid:245)(cid:246)(cid:97)(cid:3)(cid:219)(cid:278)(cid:76)(cid:185)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:122)(cid:75)
【题型6 画旋转后的图形】
(cid:15)(cid:144)6(cid:19)(cid:114)24-25(cid:250)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:364)(cid:432)(cid:121)(cid:288)·(cid:153)(cid:226)(cid:115)(cid:78)(cid:49)(cid:72)(cid:133)(cid:63)(cid:64)(cid:197)(cid:70)(cid:51)(cid:52)(cid:354)(cid:24) (cid:72)(cid:396)(cid:219) (cid:30)(cid:62)(cid:127)(cid:76)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:190)
(cid:279)(cid:84) (1,3) ( ) ( )(cid:75) 𝑥𝑂𝑦 △𝐴𝐵𝐶
𝐴 ,𝐵 −1,1 ,𝐶 −2,2
(1)(cid:47)(cid:281) (cid:65)(cid:141)(cid:76)O(cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)90°(cid:111)(cid:94)(cid:25) (cid:249)(cid:433)(cid:281) (cid:72) (cid:72) (cid:30)(cid:76)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:249)
△𝐴𝐵𝐶
△𝐴1𝐵13𝐶1 𝐴1 𝐵1 𝐶1
(2)(cid:133)y(cid:186)(cid:80)(cid:135)(cid:76)P(cid:72)(cid:136) (cid:25)(cid:64)(cid:365)(cid:185) (cid:64)(cid:365)(cid:25) (cid:434)(cid:72)(cid:43)(cid:76)P(cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:75)
2
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)(1)(cid:131)(cid:49)(cid:421)(cid:44)(cid:191)(cid:72)△𝐴𝐵(𝑃 ), ( △𝐴𝐵)𝐶, ( )
(2) (cid:240)(0,5) 𝐴1 −3,1 𝐵1 −1,−1 𝐶1 −2,−2
(cid:15)(cid:190)(0(cid:191),−(cid:19)1)(cid:138)(cid:20)(cid:294)(cid:31)(cid:193)(cid:194)(cid:168)(cid:26)(cid:27)(cid:83)(cid:182)(cid:72)(cid:51)(cid:52)(cid:56)(cid:49)(cid:50)(cid:10)
(cid:114)1(cid:115)(cid:214)(cid:215)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:118)(cid:281)(cid:76) (cid:91) (cid:91) (cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:76) , , (cid:72)(cid:262)(cid:48)(cid:34)(cid:101)(cid:102)(cid:100)(cid:123)(cid:125)(cid:140)(cid:249)
𝐴 𝐵 𝐶
𝐴1 𝐵1𝐶1
3
(cid:114)2(cid:115)(cid:53) (cid:362) (cid:186)(cid:104)(cid:76) (cid:72)(cid:274)(cid:76) (cid:72)(cid:404)(cid:43)(cid:281) =2(cid:72)(cid:140)(cid:111) = =3(cid:72)(cid:353)(cid:336)(cid:111)(cid:94) =3(cid:72)(cid:125)
2
(cid:140)(cid:43)(cid:44)(cid:75)𝐴𝐵 𝑦 𝐷 𝐷(0,2) 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝑃 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐷𝑃
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:114)1(cid:115)(cid:44)(cid:10)(cid:78)(cid:49)(cid:72) (cid:125)(cid:84)(cid:99)(cid:43)(cid:249) ( ), ( ), ( )(cid:249)
△𝐴1𝐵1𝐶1 𝐴1 −3,1 𝐵1 −1,−1 𝐶1 −2,−2(cid:114)2(cid:115)(cid:44)(cid:10)(cid:53) (cid:362) (cid:186)(cid:104)(cid:76) (cid:72)(cid:274)(cid:76) (cid:72)
𝐴𝐵 𝑦 𝐷 1 𝐷(0,2)1
(cid:274) = + = ×2×1+ ×2×1=2(cid:72)
2 2
𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐷𝐶 𝑆△𝐶𝐷𝐵
3
(cid:25)(cid:64)(cid:365)(cid:185) (cid:64)(cid:365)(cid:25) (cid:434)(cid:72)
2
∵△𝐴𝐵𝑃 3 △𝐴𝐵𝐶
= =3(cid:72)
2
∴𝑆△𝐴𝐵𝑃 𝑆△𝐴𝐵𝐶
1
×(1+1)=3(cid:72)
2
∴ 𝐷𝑃=3(cid:72)
∴(cid:76)𝐷𝑃(cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:84) (cid:240)(0,5)(cid:75)
∴(cid:15)(cid:83)𝑃(cid:225)6-1(cid:19)(cid:114)(204,−-215)(cid:308)(cid:146)(cid:147)(cid:80)·(cid:251)(cid:252)(cid:252)(cid:435)·(cid:153)(cid:226)(cid:115)(cid:78)(cid:49)(cid:99)(cid:143)(cid:25)(cid:41)(cid:92)(cid:50)(cid:436)(cid:293)(cid:24)(cid:72) (cid:25)(cid:127)(cid:76)(cid:292)(cid:133)(cid:293)(cid:76)(cid:80)(cid:72)(cid:267)(cid:133)
(cid:99)(cid:363)(cid:197)(cid:70)(cid:51)(cid:52)(cid:354)(cid:24)(cid:130)(cid:31)(cid:43)(cid:47)(cid:49)(cid:124)(cid:44)(cid:189)(cid:148)(cid:180)(cid:59)(cid:20)(cid:10) △𝐴𝐵𝐶
(1)(cid:267)(cid:47)(cid:281) (cid:3)(cid:104)(cid:51)(cid:52)(cid:141)(cid:76)O(cid:121)(cid:24)(cid:77)(cid:89)(cid:187)(cid:25) (cid:249)
(2)(cid:346) △(cid:65)𝐴𝐵(cid:141)𝐶(cid:76)O(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)90°(cid:48)(cid:111)(cid:94) △𝐴1𝐵1(cid:72)𝐶(cid:267) 1 (cid:197)(cid:123)(cid:433)(cid:281)(cid:76) (cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:84)(cid:114)___(cid:72) (cid:115)(cid:249)
(3)(cid:346)(cid:107)△𝐴𝐵𝐶 (cid:65)(cid:68)(cid:76)(cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)90°(cid:48)(cid:72)(cid:270)(cid:89)△(cid:90)𝐴(cid:76)2𝐵(cid:190)2𝐶(cid:279) 2 (cid:84) ( ), 𝐶( 2 ), ( )(cid:72)(cid:274)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:77)(cid:51)(cid:52)(cid:84)
_______△(cid:75)𝐴𝐵𝐶 𝐴3 −1,−2 𝐵3 1,−3 𝐶3 0,−5
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)(1)(cid:421)(cid:44)(cid:191)(2) ( )
(3)𝐶2( −1,4)
(cid:15)(cid:190)𝐷(cid:191)0,−(cid:19)1(cid:192)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:47)(cid:24)(cid:77)(cid:89)(cid:187)(cid:49)(cid:50)(cid:72)(cid:118)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:77)(cid:72)(cid:33)(cid:34)(cid:302)(cid:50)(cid:39)(cid:206)(cid:25)(cid:327)(cid:328)(cid:185)(cid:44)(cid:20)(cid:3)(cid:122)(cid:75)
(cid:114)1(cid:115)(cid:118)(cid:281) (cid:437)(cid:127)(cid:76)(cid:3)(cid:104)(cid:51)(cid:52)(cid:141)(cid:76)O(cid:121)(cid:24)(cid:77)(cid:89)(cid:187)(cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:76) (cid:91) (cid:91) (cid:72)(cid:367)(cid:108)(cid:221)(cid:100)(cid:123)(cid:125)(cid:140)(cid:249)
(cid:114)2(cid:115)(cid:118)(cid:281)△𝐴𝐵𝐶(cid:65)(cid:141)(cid:76)O(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)90°(cid:48)(cid:111)(cid:94) (cid:72)𝐴(cid:274) 1 (cid:51)𝐵1(cid:52)(cid:140)𝐶1 (cid:43)(cid:249)
(cid:114)3(cid:115)(cid:131)(cid:101)(cid:102)△𝐴𝐵𝐶(cid:124) (cid:25)(cid:391)(cid:197)(cid:63)(cid:190)(cid:101)(cid:72)(cid:270)(cid:362)(cid:76)O(cid:125)△(cid:84)𝐴(cid:26)2𝐵(cid:27)2𝐶(cid:24) 2 (cid:77)(cid:72)𝐶(cid:367) 2 (cid:39)(cid:206)(cid:51)(cid:52)(cid:354)(cid:433)(cid:281)O(cid:76)(cid:51)(cid:52)(cid:125)(cid:140)(cid:75)
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:114)1𝐴(cid:115)𝐴(cid:44) 3 (cid:10)𝐵(cid:78)𝐵(cid:49) 3 (cid:72) (cid:125)(cid:84)(cid:99)(cid:131)(cid:249)
△𝐴1𝐵1𝐶1
(cid:114)2(cid:115)(cid:218)(cid:26)(cid:27)(cid:131)(cid:49)(cid:140)(cid:219)(cid:72) ( )(cid:249)
𝐶2 −1,4
(cid:114)3(cid:115)(cid:44)(cid:10)(cid:78)(cid:49)(cid:72)(cid:100)(cid:123) (cid:72) (cid:72)(cid:131)(cid:101)(cid:102) (cid:124) (cid:25)(cid:391)(cid:197)(cid:63)(cid:190)(cid:101)(cid:72)(cid:270)(cid:362)(cid:76)D(cid:125)(cid:84)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:77)(cid:72)
(cid:218)(cid:49)(cid:140)(cid:219)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:77)(cid:51)𝐴(cid:52)𝐴3( 𝐵𝐵3)(cid:75) 𝐴𝐴3 𝐵𝐵3
∴ 𝐷 0,−1(cid:15)(cid:83)(cid:225)6-2(cid:19)(cid:114)24-25(cid:250)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:254)(cid:252)(cid:420)(cid:151)·(cid:153)(cid:226)(cid:115)(cid:78)(cid:49)(cid:72)(cid:133)(cid:63)(cid:64)(cid:197)(cid:70)(cid:51)(cid:52)(cid:354)(cid:24)(cid:72)(cid:396)(cid:219)(cid:76) (cid:72)
(cid:72)(cid:267)(cid:44)(cid:189)(cid:148)(cid:180)(cid:59)(cid:20)(cid:10) 𝐴(−2,2),𝐵(−1,4)
𝐶(−4,5)
(1)(cid:346) (cid:81)(cid:82)(cid:63)(cid:188)(cid:48)(cid:111)(cid:94) (cid:72)(cid:396)(cid:219)(cid:76) (cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:84) (cid:72)(cid:267)(cid:131)(cid:281) (cid:249)
(2)(cid:107)△𝐴𝐵𝐶(cid:65)(cid:76) (cid:130)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:92)△(cid:93)𝐴(cid:26)1𝐵(cid:27)1𝐶9 1 0°(cid:111)(cid:94) 𝐶1 (cid:72)(cid:267)((cid:131)1,(cid:281)−1) (cid:249)△(cid:371)𝐴(cid:433)1(cid:281)𝐵1𝐶1 (cid:76)(cid:25)(cid:51)(cid:52)
_____△__𝐴__𝐵_𝐶____(cid:249)𝐴 △ 𝐴𝐵2𝐶2 △𝐴𝐵2𝐶2 𝐶2
(3)(cid:133)(cid:63)(cid:64)(cid:80)(cid:185)(cid:356)(cid:438)(cid:133)(cid:76) (cid:72)(cid:136)(cid:111)(cid:126)A(cid:91)B(cid:91)C(cid:91)D(cid:84)(cid:127)(cid:76)(cid:25)(cid:364)(cid:129)(cid:50)(cid:185)(cid:63)(cid:209)(cid:364)(cid:129)(cid:50)(cid:72)(cid:346)(cid:438)(cid:133)(cid:72)(cid:267)(cid:197)(cid:123)(cid:433)(cid:281)(cid:304)(cid:206)(cid:196)
(cid:373)(cid:25)(cid:99)(cid:283)(cid:76) (cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:72)(cid:346)𝐷(cid:295)(cid:438)(cid:133)(cid:72)(cid:267)(cid:331)(cid:46)(cid:382)(cid:218)(cid:75)
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)(1)𝐷(cid:131)(cid:49)(cid:421)(cid:44)(cid:191)(cid:72)
(2)(cid:131)(cid:49)(cid:421)(cid:44)(cid:191)(cid:72)(1,4)
(3) (cid:240) (cid:240)(1,1)
(cid:15)(cid:190)(−(cid:191)5,(cid:19)3)(cid:138)(cid:20)(−(cid:193)3,7(cid:194))(cid:168)(cid:63)(cid:188)(cid:124)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:131)(cid:49)(cid:91)(cid:63)(cid:209)(cid:364)(cid:129)(cid:50)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:124)(cid:37)(cid:116)(cid:98)(cid:219)(cid:278)(cid:72)(cid:211)(cid:313)(cid:245)(cid:246)(cid:63)(cid:188)(cid:124)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:131)(cid:49)(cid:185)
(cid:3)(cid:122)(cid:75)
(cid:114)1(cid:115)(cid:396)(cid:219) (cid:63)(cid:188)(cid:111)(cid:94)(cid:76) (cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:84) (cid:72)(cid:125)(cid:140)(cid:111)(cid:94)(cid:63)(cid:188)(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:93)(cid:236)(cid:63)(cid:188)5(cid:62)(cid:439)(cid:268)(cid:72)(cid:93)(cid:148)(cid:63)(cid:188)6(cid:62)
(cid:439)(cid:268)(cid:72)(cid:215)(cid:138)𝐶(cid:111)(−(cid:94)4,5)(cid:91) (cid:81)(cid:82)(cid:63)(cid:188)𝐶(cid:48) 1 (cid:111)(cid:94)(cid:25)(cid:89)((cid:90)1,−(cid:76)1) (cid:91) (cid:72)(cid:367)(cid:108)(cid:221)(cid:100)(cid:123) (cid:91) (cid:91) (cid:125)(cid:140)(cid:111)(cid:94) (cid:249)
𝐴 𝐵
𝐴1 𝐵1 𝐴1 𝐵1 𝐶1 △𝐴1𝐵1𝐶1(cid:114)2(cid:115)(cid:131)(cid:281) (cid:91) (cid:65)(cid:76) (cid:130)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:92)(cid:93)(cid:26)(cid:27)90°(cid:111)(cid:94)(cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:76) (cid:91) (cid:72)(cid:108)(cid:221)(cid:100)(cid:123) (cid:91) (cid:91) (cid:125)(cid:140)(cid:111)(cid:94) (cid:72)
(cid:371)(cid:433)(cid:281) (cid:76)𝐵(cid:25)(cid:51)𝐶 (cid:52)(cid:125)𝐴(cid:140)(cid:249) 𝐵2 𝐶2 𝐴 𝐵2 𝐶2 △𝐴𝐵2𝐶2
(cid:114)3(cid:115)(cid:214)𝐶(cid:215)2 (cid:63)(cid:209)(cid:364)(cid:129)(cid:50)(cid:25)(cid:37)(cid:116)(cid:124)(cid:35)(cid:36)(cid:118)(cid:94)(cid:99)(cid:43)(cid:25)(cid:76)(cid:125)(cid:140)(cid:75)
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:114)1(cid:115)(cid:44)(cid:10)(cid:78)(cid:49)(cid:72) (cid:125)(cid:84)(cid:99)(cid:43)(cid:72)
△𝐴1𝐵1𝐶1
(cid:114)2(cid:115)(cid:78)(cid:49)(cid:72) (cid:125)(cid:84)(cid:99)(cid:43)(cid:72) (cid:76)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:249)
(cid:223)(cid:189)(cid:55)(cid:84)(cid:10)(1△,4)𝐴𝐵2𝐶2 𝐶2
(cid:114)3(cid:115)(cid:78)(cid:49)(cid:72)(cid:76)D(cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:84) (cid:240) (cid:240)(1,1)(cid:75)
(cid:15)(cid:83)(cid:225)6-3(cid:19)(cid:114)24-25(cid:250)(cid:146)(cid:147)(−(cid:148)5·,(cid:384)3)(cid:385)(cid:440)(−(cid:441)3,·7(cid:153))(cid:226)(cid:115)(cid:78)(cid:49)(cid:72)(cid:133)(cid:63)(cid:64)(cid:197)(cid:70)(cid:51)(cid:52)(cid:354) (cid:24)(cid:72)(cid:396)(cid:219) (cid:25)(cid:30)(cid:62)(cid:127)(cid:76)(cid:51)
(cid:52)(cid:190)(cid:279)(cid:84) ( )(cid:72) (0,4)(cid:72) (2,3)(cid:75) 𝑥𝑂𝑦 △𝐴𝐵𝐶
𝐴 −1,1 𝐵 𝐶
(1)(cid:346) (cid:67)(cid:442)(cid:305)(cid:61)(cid:76) ( )(cid:72)(cid:63)(cid:188)(cid:48)(cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:76)(cid:84) ( , +1)(cid:72)(cid:107) (cid:131)(cid:400)(cid:347)(cid:25)(cid:63)(cid:188)(cid:111)(cid:94) (cid:72)
(cid:76)A(cid:72)△B𝐴(cid:72)𝐵C𝐶(cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:76)(cid:190)𝑃(cid:279)𝑎(cid:84),ℎ (cid:72) (cid:72) (cid:72)(cid:267)(cid:47)(cid:281) 𝑃1 𝑎−3ℎ(cid:249) △𝐴𝐵𝐶 △𝐴1𝐵1𝐶1
(2)(cid:107) (cid:65)(cid:76)O(cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)𝐴(cid:27) 1 90𝐵°(cid:111) 1 (cid:94)𝐶1 (cid:72)△(cid:267)𝐴(cid:47)1𝐵(cid:281)1𝐶1 (cid:249)
(3)(cid:133)(cid:99)△(cid:363)𝐴𝐵(cid:25)𝐶(cid:436)(cid:293)(cid:49)(cid:24)(cid:117)(cid:116)(cid:61)(cid:62)(cid:293)(cid:76)(cid:114)(cid:436)(cid:293)△(cid:101)𝐴2(cid:25)𝐵2(cid:362)𝐶2(cid:76)(cid:115)D(cid:72)(cid:47)△(cid:128)𝐴(cid:101)2𝐵2𝐶(cid:362)2 (cid:104)(cid:76)E(cid:72)(cid:136) (cid:63)(cid:190) (cid:25)(cid:64)(cid:365)(cid:72)
(cid:371)(cid:197)(cid:123)(cid:433)(cid:281)(cid:61)(cid:62)(cid:306)(cid:307)(cid:31)(cid:43)(cid:25)(cid:76)D(cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:75)
．． 𝐵𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐸 △𝐴𝐵𝐶(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)(1)(cid:421)(cid:44)(cid:191)
(2)(cid:421)(cid:44)(cid:191)
(3)(cid:421)(cid:44)(cid:191)(cid:72) (1,0)(cid:75)
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:192)(cid:20)𝐷(cid:193)(cid:194)(cid:168)(cid:47)(cid:49)(cid:50)(cid:25)(cid:63)(cid:188)(cid:72)(cid:47)(cid:49)(cid:50)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:72)(cid:436)(cid:293)(cid:47)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:24)(cid:101)(cid:72)(cid:63)(cid:188)(cid:25)(cid:117)(cid:116)(cid:98)(cid:219)(cid:278)(cid:76)(cid:72)(cid:211)(cid:313)(cid:245)
(cid:246)(cid:87)(cid:352)(cid:219)(cid:278)(cid:76)(cid:185)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:122)(cid:75)
(cid:114)1(cid:115)(cid:218)(cid:20)(cid:305)(cid:140)(cid:117)(cid:116)(cid:63)(cid:188)(cid:185)(cid:93)(cid:443)(cid:63)(cid:188)3(cid:62)(cid:439)(cid:268)(cid:345)(cid:71)(cid:72)(cid:93)(cid:80)(cid:63)(cid:188)1(cid:62)(cid:439)(cid:268)(cid:345)(cid:71)(cid:249)(cid:107)(cid:76)A(cid:72)B(cid:72)C(cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:76)(cid:190)(cid:279)(cid:130)
(cid:138)(cid:63)(cid:188)(cid:111)(cid:94) (cid:72) (cid:72) (cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:72)(cid:367)(cid:444)(cid:221)(cid:100)(cid:123)(cid:125)(cid:140)(cid:75)
(cid:114)2(cid:115)(cid:117)(cid:116)(cid:76)𝐴1 A(cid:72)𝐵B 1 (cid:72)C𝐶1 (cid:65)(cid:76)O(cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)90°(cid:48)(cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:76) (cid:72) (cid:72) (cid:72)(cid:367)(cid:444)(cid:221)(cid:100)(cid:123)(cid:87)(cid:30)(cid:62)(cid:76)(cid:125)(cid:140)(cid:249)
(cid:114)3(cid:115)(cid:135)(cid:293)(cid:76)D(cid:72)(cid:131)(cid:128)(cid:101) (cid:362) (cid:104)(cid:76)E(cid:72)(cid:140)(cid:111)(cid:76)E(cid:84) (cid:25)𝐴(cid:24)2(cid:76)𝐵(cid:72)2(cid:274)𝐶2 (cid:63)(cid:190) (cid:25)(cid:64)(cid:365)(cid:72)(cid:214)(cid:215)(cid:76)D(cid:25)(cid:268)(cid:445)
(cid:140)(cid:117)(cid:116)(cid:76)D(cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:75) 𝐵𝐷 𝐴𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐸 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:114)1(cid:115)(cid:44)(cid:10) (cid:76) ( )(cid:63)(cid:188)(cid:48)(cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:76)(cid:84) ( , +1)(cid:72)
(cid:63)(cid:188)(cid:185)(cid:93)(cid:443)(cid:63)(cid:188)3∵(cid:62)(cid:439)𝑃(cid:268)𝑎(cid:345),ℎ(cid:71)(cid:72)(cid:93)(cid:80)(cid:63)(cid:188)1(cid:62)(cid:439)𝑃1(cid:268)𝑎(cid:345)−(cid:71)3ℎ(cid:249)
∴(cid:107) (cid:131)(cid:400)(cid:347)(cid:25)(cid:63)(cid:188)(cid:111)(cid:94) (cid:78)(cid:148)(cid:49)(cid:99)(cid:143)(cid:249)
△𝐴𝐵𝐶
△𝐴1𝐵1𝐶1
(cid:114)2(cid:115)(cid:44)(cid:10)(cid:107) (cid:65)(cid:76)O(cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)90°(cid:111)(cid:94) (cid:78)(cid:148)(cid:49)(cid:99)(cid:143)(cid:249)
△𝐴𝐵𝐶
△𝐴2𝐵2𝐶2
(cid:114)3(cid:115)(cid:44)(cid:10)(cid:135)(cid:293)(cid:76)D(cid:72)(cid:131)(cid:128)(cid:101) (cid:362) (cid:104)(cid:76)E(cid:72)(cid:274) (cid:63)(cid:190) (cid:25)(cid:64)(cid:365)(cid:249)
𝐵𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐸 △𝐴𝐵𝐶(cid:218)(cid:49)(cid:219)(cid:72) (1,0)(cid:75)
【题型7 𝐷 求旋转后的坐标】
(cid:15)(cid:144)7(cid:19)(cid:114)2025·(cid:254)(cid:252)(cid:446)(cid:447)·(cid:61)(cid:351)(cid:115)(cid:78)(cid:49)(cid:72) (cid:260)(cid:133)(cid:63)(cid:64)(cid:197)(cid:70)(cid:51)(cid:52)(cid:354)(cid:24)(cid:72)(cid:270)(cid:24) (2,0)(cid:72) (4,4)(cid:72) (1,3)(cid:75)(cid:107)
(cid:404)(cid:93)(cid:443)(cid:63)(cid:188)4(cid:62)(cid:439)(cid:268)(cid:111)(cid:94) (cid:72)(cid:367)△(cid:65)𝐴(cid:76)𝐵𝐶(cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:76) (cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)90°(cid:111)(cid:94)𝐴 𝐵 (cid:72)(cid:274)(cid:76)𝐶 (cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:76)△𝐴𝐵𝐶
(cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:185)(cid:114) (cid:115) △𝐴1𝐵1𝐶1 𝐴 𝐴1 △𝐴2𝐵2𝐶2 𝐵 𝐵2
A(cid:75)( ) B(cid:75)( ) C(cid:75)( ) D(cid:75)( )
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)−D6,2 −2,0 2,−3 2,−2
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:192)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:26)(cid:27)(cid:83)(cid:182)(cid:72)(cid:63)(cid:188)(cid:83)(cid:182)(cid:98)(cid:219)(cid:278)(cid:72)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:122)(cid:185)(cid:211)(cid:313)(cid:245)(cid:246)(cid:207)(cid:192)(cid:219)(cid:278)(cid:72)(cid:41)(cid:117)(cid:131)(cid:281)(cid:49)(cid:50)(cid:185)(cid:44)(cid:248)(cid:59)
(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:122)(cid:72)(cid:214)(cid:215)(cid:63)(cid:188)(cid:83)(cid:182)(cid:72)(cid:26)(cid:27)(cid:83)(cid:182)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:47)(cid:281)(cid:49)(cid:448)(cid:125)(cid:140)(cid:44)(cid:248)(cid:59)(cid:20)(cid:75)
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:44)(cid:10)(cid:78)(cid:49)(cid:99)(cid:143)(cid:10)(cid:269)(cid:285)(cid:49)(cid:448)(cid:140)(cid:219)(cid:10) ( )
(cid:223)(cid:224)(cid:10)D(cid:75) 𝐵2 2,−2
(cid:15)(cid:83)(cid:225)7-1(cid:19)(cid:133)(cid:63)(cid:64)(cid:197)(cid:70)(cid:51)(cid:52)(cid:354)(cid:24)(cid:72)A(cid:114)0(cid:72)3(cid:115)(cid:72)B(cid:114)4(cid:72)0(cid:115)(cid:72)(cid:60) AOB(cid:65)(cid:76)O(cid:26)(cid:27)(cid:72)(cid:136)(cid:76)A(cid:72)B(cid:190)(cid:279)(cid:360)(cid:133)(cid:76)
A′(cid:72)B′(cid:449)(cid:72)(cid:346)A′B′ x(cid:186)(cid:72)(cid:76)B′(cid:133)(cid:220)(cid:61)(cid:29)(cid:450)(cid:72)(cid:274)(cid:76)A(cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:76)A′(cid:25)△(cid:51)(cid:52)(cid:84)(cid:114)(cid:276)(cid:276)(cid:115)
912 ∥ 129 1612 1216
A(cid:75)(cid:114) , (cid:115) B(cid:75)(cid:114) , (cid:115) C(cid:75)(cid:114) , (cid:115) D(cid:75)(cid:114) , (cid:115)
5 5 5 5 5 5 5 5
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)A− − − −
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:53)A′B′(cid:362)y(cid:186)(cid:104)T′(cid:72)(cid:33)(cid:34)(cid:380)(cid:381)(cid:116)(cid:382)(cid:140)(cid:43)(cid:281)A′B′(cid:25)(cid:345)(cid:71)(cid:72)(cid:367)(cid:33)(cid:34)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:64)(cid:365)(cid:7)(cid:225)(cid:43)(cid:281)OT(cid:25)(cid:345)(cid:71)(cid:72)(cid:393)
(cid:48)(cid:367)(cid:33)(cid:34)(cid:380)(cid:381)(cid:116)(cid:382)(cid:125)(cid:140)(cid:43)(cid:281)A′T′(cid:25)(cid:345)(cid:71)(cid:72)(cid:125)(cid:140)(cid:43)(cid:281)A′(cid:76)(cid:51)(cid:52) (cid:75)
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:44)(cid:10)(cid:78)(cid:49)(cid:72)(cid:53)A′B′(cid:362)y(cid:186)(cid:104)T′(cid:75)
A(cid:114)0(cid:72)3(cid:115)(cid:72)B(cid:114)4(cid:72)0(cid:115)(cid:72)
∵OA(cid:137)3(cid:72)OB(cid:137)4(cid:72)
∴ A′OB′(cid:137)90°(cid:72)OT' A′B′(cid:72)OA(cid:137)OA′(cid:137)3(cid:72)OB(cid:137)OB′(cid:137)4(cid:72)
∵∠ ⊥
AB(cid:137)A′B′(cid:137) + = 3 +4 =5(cid:72)
2 2 2 2
∴ 𝑂𝐴 𝑂𝐵1 1
= •OA′•OB′(cid:137) •A′B′•OT′(cid:72)
2 2
′ ′
∵𝑆△𝐴𝑂𝐵
12
OT′(cid:137) (cid:72)
5
∴
12 9
A′T′(cid:137) (cid:137) 3 ( ) = (cid:72)
5 5
2
′2 2 2
∴ 9 𝑂12𝐴 −𝑂𝑇 −
A′(cid:114)- (cid:72) (cid:115)(cid:75)
5 5
∴(cid:223)(cid:224)(cid:10)A(cid:75)
(cid:15)(cid:76)(cid:266)(cid:19)(cid:192)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:51)(cid:52)(cid:56)(cid:49)(cid:50)(cid:25)(cid:83)(cid:177)-(cid:26)(cid:27)(cid:72)(cid:211)(cid:313)(cid:33)(cid:34)(cid:380)(cid:381)(cid:116)(cid:382)(cid:44)(cid:197)(cid:70)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:126)(cid:277)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:64)(cid:365)(cid:7)(cid:225)(cid:185)(cid:44)(cid:189)
(cid:192)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:122)(cid:75)
(cid:15)(cid:83)(cid:225)7-2(cid:19)(cid:114)2025·(cid:149)(cid:150)(cid:343)(cid:311)·(cid:30)(cid:351)(cid:115)(cid:78)(cid:49)(cid:72)(cid:133)(cid:63)(cid:64)(cid:197)(cid:70)(cid:51)(cid:52)(cid:354) (cid:24)(cid:72) ( )(cid:72) (cid:186)(cid:72)(cid:391)(cid:307)(cid:84)C(cid:72)(cid:107)
Rt (cid:65)(cid:76)O(cid:130)(cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:92)(cid:93)(cid:26)(cid:27)90°(cid:111)(cid:94) (cid:72)(cid:274)(cid:76) (cid:25)(cid:51)𝑥𝑂(cid:52)𝑦(cid:185) 𝐷 4,−(cid:75)2 𝐷𝐶⊥𝑥
△𝑂𝐶𝐷 △𝑂𝐴𝐵 𝐵
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)(2,4)
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:192)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:168)(cid:51)(cid:52)(cid:56)(cid:49)(cid:50)(cid:72)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:218)(cid:20)(cid:305)(cid:140)(cid:111) =2(cid:72) =4(cid:72) =90°(cid:72)(cid:367)(cid:39)(cid:206)(cid:26)(cid:27)(cid:25)
(cid:35)(cid:36)(cid:125)(cid:140)(cid:111)(cid:44)(cid:72)(cid:211)(cid:313)(cid:245)(cid:246)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:185)(cid:44)(cid:138)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:122)(cid:75) 𝐶𝐷 𝑂𝐶 ∠𝑂𝐶𝐷
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:44)(cid:10) (cid:133)(cid:63)(cid:64)(cid:197)(cid:70)(cid:51)(cid:52)(cid:354) (cid:24)(cid:72) ( )(cid:72) (cid:186)(cid:72)(cid:391)(cid:307)(cid:84)C(cid:72)
=2(cid:72) ∵=4(cid:72) =90°(cid:72)𝑥𝑂𝑦 𝐷 4,−2 𝐷𝐶⊥𝑥
∴(cid:107)𝐶𝐷Rt 𝑂𝐶(cid:65)(cid:76)O∠(cid:130)𝑂(cid:242)𝐶𝐷(cid:109)(cid:110)(cid:92)(cid:93)(cid:26)(cid:27)90°(cid:111)(cid:94) (cid:72)
∵ =△𝑂𝐶=𝐷2(cid:72) = =4(cid:72) = △=𝑂9𝐴0°𝐵(cid:72)
∴(cid:76)𝐴𝐵 (cid:25)𝐶(cid:51)𝐷(cid:52)(cid:185)(2,𝑂4)𝐴(cid:72) 𝑂𝐶 ∠𝐵𝐴𝑂 ∠𝑂𝐶𝐷
∴(cid:223)(cid:189)𝐵(cid:55)(cid:84)(cid:10)(2,4)(cid:75)
(cid:15)(cid:83)(cid:225)7-3(cid:19)(cid:114)24-25(cid:250)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:254)(cid:252)(cid:446)(cid:447)·(cid:153)(cid:226)(cid:115)(cid:78)(cid:49)(cid:72)Rt (cid:25)(cid:318)(cid:129) (cid:133) (cid:186)(cid:80)(cid:72) = 3(cid:72)
=30°(cid:72)(cid:197)(cid:70)(cid:127)(cid:76) (cid:133)(cid:220)(cid:222)(cid:29)(cid:450)(cid:72)(cid:107)Rt (cid:65)(cid:141)(cid:76)(cid:108)△(cid:109)𝑂(cid:110)𝐶𝐵(cid:26)(cid:27)120𝑂°(cid:48)𝐵 (cid:111)𝑦(cid:94) 𝑂𝐶 (cid:72)(cid:274) (cid:76)(cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:76)
′ ′ ′
∠(cid:25)𝐵(cid:51)𝑂𝐶(cid:52)(cid:185) (cid:75) 𝐶 △𝑂𝐶𝐵 △𝑂𝐶 𝐵 𝐵 𝐵(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19) 3
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:192)(cid:20),−(cid:193)1(cid:194)(cid:168)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:51)(cid:52)(cid:56)(cid:49)(cid:50)(cid:72)(cid:380)(cid:381)(cid:116)(cid:382)(cid:72)(cid:370)30(cid:71)(cid:70)(cid:25)(cid:197)(cid:70)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:214)(cid:215)(cid:26)(cid:27)(cid:43)(cid:111)
(cid:70)(cid:124)(cid:101)(cid:102)(cid:97)(cid:98)(cid:185)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:122)(cid:75)
1
(cid:214)(cid:215)(cid:20)(cid:305)(cid:72)(cid:404)(cid:33)(cid:34)(cid:370)30(cid:71)(cid:70)(cid:25)(cid:197)(cid:70)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:43)(cid:111) = (cid:72)(cid:367)(cid:214)(cid:215)(cid:396)(cid:219)(cid:196)(cid:373)(cid:277)(cid:380)(cid:381)(cid:116)(cid:382)(cid:43)(cid:111) (cid:25)(cid:345)(cid:72)
2
(cid:214)(cid:215)(cid:396)(cid:219) (cid:72)(cid:126)(cid:277)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:140)(cid:219) = (cid:72) 𝐵𝐶 𝑂𝐵(cid:72)(cid:216)(cid:336)(cid:140)(cid:219) (cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:75) 𝐵𝐶
′ ′ ′ ′ ′ ′
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)𝐵(cid:44)𝐶(cid:10)⊥(cid:78)𝑂(cid:49)𝐶 (cid:72) 𝐵 𝐶 𝐵𝐶 𝐵 𝐶 ⊥𝑂𝐶 𝐵
(cid:185)(cid:197)(cid:70)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:72)
∵△𝑂𝐶=𝐵90°(cid:72)
∴∠ 𝐶 =30°(cid:72)
∵ ∠𝐶𝑂𝐵1
= (cid:72)
2
∴𝐵𝐶 𝑂𝐵
= = 3 (cid:72)
2 2
∴𝐶 𝑂 = 𝑂3𝐵(cid:72)−𝐵𝐶 𝐵𝐶
∵ 𝑂𝐶=1(cid:72) =2(cid:72)
(cid:218)∴(cid:26)𝐵𝐶(cid:27)(cid:140)(cid:219)(cid:72)𝑂𝐵 = = = = (cid:72)
′ ′ ′ ′ ′
=120°∠(cid:72)𝐵 𝐶 𝑂 ∠𝐶 90°,𝑂𝐶 𝑂𝐶,𝐵 𝐶 𝐵𝐶
′
∠𝐶𝑂𝐶 =30°(cid:72)
∵∠ 𝐶𝑂𝐵 = = =90°
′ ′
∴ ∠𝐵𝑂𝐶 ∠𝐶𝑂𝐶 −∠𝐶𝑂𝐵 120°−30°(cid:133) (cid:186)(cid:80)(cid:72)
′
∴𝐶 𝑥 (cid:186)(cid:72)
′ ′
∴𝐵 𝐶 3⊥𝑥 (cid:75)
′
(cid:223)∴(cid:189)𝐵 (cid:55)(cid:84),−(cid:10)1 3 (cid:75)
【题型8 利用 , 旋 −1 转设计图案】
(cid:15)(cid:144)8(cid:19)(cid:97)(cid:6)(cid:400)(cid:11)(cid:287)(cid:288)(cid:451)(cid:82)(cid:452)(cid:453)(cid:454)(cid:72)(cid:78)(cid:49)(cid:185)(cid:68)(cid:62)(cid:452)(cid:453)(cid:454)(cid:25)(cid:455)(cid:21)(cid:72)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:322)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:292)(cid:185)(cid:106)(cid:98)(cid:25)(cid:98)(cid:129)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:72)(cid:85)
(cid:86)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:456)(cid:50)AEFG(cid:140)(cid:126)(cid:273)(cid:121)(cid:185)(cid:60)(cid:456)(cid:50)ABCD(cid:126)A(cid:84)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:77)(cid:114) (cid:115)
A(cid:75)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)60°(cid:111)(cid:94) B(cid:75)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)120°(cid:111)(cid:94)
C(cid:75)(cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)60°(cid:111)(cid:94) D(cid:75)(cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)120°(cid:111)(cid:94)
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)D
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:214)(cid:215)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:305)(cid:213)(cid:72)(cid:118)(cid:281)(cid:49)(cid:24)(cid:456)(cid:50) (cid:124)(cid:456)(cid:50) (cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:76)(cid:25)(cid:83)(cid:177)(cid:415)(cid:416)(cid:72)(cid:39)(cid:206)(cid:98)(cid:129)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:35)(cid:36)
(cid:125)(cid:140)(cid:224)(cid:457)(cid:189)(cid:55)(cid:75) 𝐴𝐸𝐹𝐺 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:44)(cid:10)(cid:214)(cid:215)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:305)(cid:213)(cid:72)(cid:269)(cid:285)(cid:49)(cid:181)(cid:140)(cid:219)(cid:72)(cid:456)(cid:50) (cid:140)(cid:126)(cid:273)(cid:121)(cid:185)(cid:60)(cid:456)(cid:50) (cid:126) (cid:84)(cid:24)(cid:77)(cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)120°
(cid:111)(cid:94)(cid:75) 𝐴𝐸𝐹𝐺 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴
(cid:223)(cid:224)(cid:10)D(cid:75)
(cid:15)(cid:76)(cid:266)(cid:19)(cid:192)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:168)(cid:49)(cid:50)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:83)(cid:177)(cid:72)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:122)(cid:185)(cid:31)(cid:273)(cid:458)(cid:185)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:459)(cid:185)(cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)(cid:72)(cid:26)(cid:27)(cid:460)(cid:461)(cid:71)(cid:72)(cid:462)(cid:71)
(cid:295)(cid:337)(cid:72)(cid:463)(cid:464)(cid:332)(cid:75)
(cid:15)(cid:83)(cid:225)8-1(cid:19)(cid:61)(cid:284)(cid:465)(cid:196)(cid:466)(cid:467)(cid:468)(cid:72)(cid:404)(cid:107)(cid:270)(cid:130)(cid:78)(cid:49)(cid:99)(cid:143)(cid:65)(cid:197)(cid:101)MN(cid:469)(cid:27)180°(cid:72)(cid:367)(cid:107)(cid:286)(cid:130)(cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:92)(cid:93)(cid:26)(cid:27)90°(cid:72)(cid:99)
(cid:111)(cid:25)(cid:465)(cid:196)(cid:466)(cid:467)(cid:468)(cid:185)(cid:114) (cid:115)A(cid:75) B(cid:75)
C(cid:75) D(cid:75)
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)B
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:470)(cid:20)(cid:190)(cid:191)(cid:10)(cid:404)(cid:107)(cid:270)(cid:130)(cid:78)(cid:49)(cid:99)(cid:143)(cid:65)(cid:197)(cid:101)MN(cid:469)(cid:27)180°(cid:72)(cid:367)(cid:107)(cid:286)(cid:130)(cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:92)(cid:93)(cid:26)(cid:27)90°(cid:72)(cid:99)(cid:111)(cid:25)(cid:465)(cid:196)(cid:466)
(cid:467)(cid:468)(cid:185)B(cid:72)(cid:223)(cid:224)B(cid:75)
(cid:193)(cid:76)(cid:10)(cid:33)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:54)(cid:49)(cid:55)(cid:75)
(cid:15)(cid:83)(cid:225)8-2(cid:19)(cid:84)(cid:168)(cid:372)(cid:23)(cid:316)(cid:471)(cid:123)(cid:472)(cid:261)(cid:126)(cid:473)(cid:209)(cid:437)(cid:208)(cid:23)(cid:69)(cid:72)(cid:68)(cid:11)(cid:474)(cid:475)(cid:476)(cid:315)(cid:477)(cid:305)(cid:53)(cid:54)(cid:168)(cid:61)(cid:208)(cid:472)(cid:261)(cid:72)(cid:261)(cid:64)(cid:50)(cid:338)(cid:78)(cid:49)(cid:99)(cid:143)(cid:75)
(cid:114)1(cid:115)(cid:107)4(cid:256)(cid:87)(cid:347)(cid:25)(cid:472)(cid:261)(cid:471)(cid:123)(cid:121)(cid:61)(cid:62)(cid:49)(cid:55)(cid:72)(cid:371)(cid:56)(cid:400)(cid:478)(cid:362)(cid:479)(cid:249)
(cid:114)2(cid:115)(cid:480)(cid:202)(cid:331)(cid:331)(cid:87)(cid:62)(cid:261)(cid:64)(cid:185)(cid:78)(cid:481)(cid:53)(cid:54)(cid:25)(cid:482)(cid:483)(cid:267)(cid:484)(cid:301)(cid:87)(cid:62)(cid:261)(cid:64)(cid:53)(cid:54)(cid:61)(cid:62)(cid:140)(cid:126)(cid:485)(cid:305)(cid:471)(cid:123)(cid:25)(cid:261)(cid:64)(cid:75)
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)(cid:114)1(cid:115)(cid:421)(cid:44)(cid:191)(cid:249)(cid:114)2(cid:115)(cid:421)(cid:44)(cid:191)(cid:75)
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:114)1(cid:115)(cid:33)(cid:34)(cid:63)(cid:188)(cid:26)(cid:27)(cid:131)(cid:49)(cid:43)(cid:44)(cid:125)(cid:140)(cid:249)
(cid:114)2(cid:115)(cid:214)(cid:215)(cid:486)(cid:487)(cid:25)(cid:219)(cid:278)(cid:53)(cid:54)(cid:25)(cid:72)(cid:33)(cid:34)(cid:63)(cid:188)(cid:26)(cid:27)(cid:131)(cid:49)(cid:43)(cid:44)(cid:125)(cid:140)(cid:75)
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:44)(cid:10)(cid:114)1(cid:115)(cid:78)(cid:49)(cid:99)(cid:143)(cid:72)
(cid:114)2(cid:115)(cid:261)(cid:64)(cid:25)(cid:53)(cid:54)(cid:10)(cid:230)(cid:475)(cid:476)(cid:315)(cid:16)(cid:302)(cid:461)(cid:109)(cid:72)(cid:411)(cid:256)(cid:261)(cid:488)(cid:140)(cid:126)(cid:439)(cid:489)(cid:121)(cid:490)(cid:72)(cid:60)(cid:41)(cid:92)(cid:50)(cid:83)(cid:121)(cid:491)(cid:50)(cid:72)(cid:230)(cid:475)(cid:476)(cid:315)(cid:16)(cid:302)(cid:460)(cid:109)(cid:72)
(cid:342)(cid:140)(cid:126)(cid:60)(cid:24)(cid:414)(cid:83)(cid:121)(cid:41)(cid:92)(cid:50)(cid:72)(cid:330)(cid:492)(cid:185)(cid:491)(cid:50)(cid:72)(cid:493)(cid:256)(cid:261)(cid:488)(cid:471)(cid:123)(cid:133)(cid:61)(cid:324)(cid:75)(cid:53)(cid:54)(cid:78)(cid:49)(cid:99)(cid:143)(cid:10)
(cid:15)(cid:76)(cid:266)(cid:19)(cid:138)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:168)(cid:63)(cid:64)(cid:49)(cid:50)(cid:25)(cid:486)(cid:487)(cid:25)(cid:283)(cid:3)(cid:219)(cid:278)(cid:72)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:122)(cid:185)(cid:211)(cid:313)(cid:245)(cid:246)(cid:49)(cid:50)(cid:25)(cid:486)(cid:487)(cid:75)
(cid:15)(cid:83)(cid:225)8-3(cid:19)(cid:145)(cid:494)(cid:409)(cid:355)(cid:187)(cid:495)(cid:496)(cid:409)(cid:72)(cid:185)(cid:24)(cid:170)(cid:497)(cid:414)(cid:479)(cid:498)(cid:25)(cid:495)(cid:179)(cid:451)(cid:499)(cid:72)(cid:286)(cid:185)(cid:218)(cid:145)(cid:284)(cid:409)(cid:344)(cid:121)(cid:114)(cid:78)(cid:49)1(cid:115)(cid:72)(cid:34)(cid:87)(cid:145)(cid:284)(cid:409)
(cid:140)(cid:471)(cid:281)(cid:500)(cid:460)(cid:49)(cid:50)(cid:114)1600(cid:208)(cid:126)(cid:80)(cid:115)(cid:72)(cid:144)(cid:78)(cid:10)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:91)(cid:63)(cid:209)(cid:364)(cid:129)(cid:50)(cid:91)(cid:126)(cid:277)(cid:295)(cid:57)(cid:274)(cid:25)(cid:460)(cid:129)(cid:50)(cid:72)(cid:286)(cid:459)(cid:140)(cid:126)(cid:471)(cid:281)(cid:437)(cid:208)
(cid:16)(cid:468)(cid:91)(cid:69)(cid:468)(cid:91)(cid:501)(cid:502)(cid:98)(cid:75)(cid:267)(cid:480)(cid:34)(cid:145)(cid:494)(cid:409)(cid:24)(cid:52)(cid:9)(cid:84)①②③(cid:25)(cid:30)(cid:284)(cid:409)(cid:114)(cid:78)(cid:49)2(cid:81)(cid:82)(cid:63)(cid:188)(cid:91)(cid:26)(cid:27)(cid:471)(cid:281)(cid:148)(cid:180)(cid:49)(cid:50)(cid:114)(cid:97)
(cid:503)(cid:88)(cid:284)(cid:409)(cid:159)(cid:414)(cid:374)(cid:504)(cid:505)(cid:72)(cid:374)(cid:205)(cid:199)(cid:249)(cid:143)(cid:305)(cid:49)(cid:25)(cid:127)(cid:76)(cid:47)(cid:133)(cid:322)(cid:92)(cid:284)(cid:127)(cid:76)(cid:80)(cid:115)(cid:10)
(cid:114)1(cid:115)(cid:471)(cid:121)(cid:345)(cid:92)(cid:50)(cid:72)(cid:133)(cid:49)3(cid:24)(cid:47)(cid:281)(cid:143)(cid:305)(cid:49)(cid:249)
(cid:114)2(cid:115)(cid:471)(cid:121)(cid:98)(cid:383)(cid:197)(cid:70)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:72)(cid:133)(cid:49)4(cid:24)(cid:64)(cid:281)(cid:143)(cid:305)(cid:49)(cid:75)
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)(cid:114)1(cid:115)(cid:421)(cid:44)(cid:191)(cid:249)(cid:114)2(cid:115)(cid:421)(cid:44)(cid:191)(cid:75)
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:114)1(cid:115)(cid:33)(cid:34)(cid:436)(cid:293)(cid:39)(cid:206)(cid:377)(cid:50)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:111)(cid:281)(cid:189)(cid:55)(cid:249)
(cid:114)2(cid:115)(cid:33)(cid:34)(cid:436)(cid:293)(cid:39)(cid:206)(cid:98)(cid:383)(cid:197)(cid:70)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:111)(cid:281)(cid:189)(cid:55)(cid:75)
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:114)1(cid:115)(cid:78)(cid:49)3(cid:99)(cid:143)(cid:10)(cid:345)(cid:92)(cid:50)(cid:125)(cid:84)(cid:99)(cid:43)(cid:249)(cid:114)2(cid:115)(cid:78)(cid:49)4(cid:99)(cid:143)(cid:10)(cid:98)(cid:383)(cid:197)(cid:70)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:125)(cid:84)(cid:99)(cid:43)(cid:75)
(cid:15)(cid:76)(cid:266)(cid:19)(cid:138)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:26)(cid:27)(cid:83)(cid:182)(cid:72)(cid:41)(cid:117)(cid:33)(cid:34)(cid:396)(cid:219)(cid:49)(cid:50)(cid:64)(cid:365)(cid:295)(cid:83)(cid:185)(cid:44)(cid:20)(cid:3)(cid:122)(cid:75)
【题型9 坐标与旋转规律问题】
(cid:15)(cid:144)9(cid:19)(cid:114)2025·(cid:329)(cid:375)(cid:506)(cid:507)·(cid:222)(cid:351)(cid:115)(cid:78)(cid:49)(cid:72)(cid:133)Rt (cid:24)(cid:72) = =30°(cid:72)(cid:129) (cid:56) (cid:186)(cid:63)(cid:209)(cid:280) =1(cid:72)(cid:28)
(cid:107)Rt (cid:126) (cid:84)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:77)(cid:72)(cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)△(cid:72)𝐴(cid:411)𝐵𝐶(cid:221)(cid:26)(cid:27)∠6𝐴0°(cid:72)9(cid:274)0°(cid:81),∠𝐶(cid:82)2030(cid:221)(cid:26)(cid:27)𝐴𝐵(cid:48)(cid:72)𝑥(cid:76) (cid:25)(cid:51)(cid:52)𝐴𝐵(cid:84)(cid:114) (cid:115)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴(1,1) 𝐶
1 3 3 1 3 3
A(cid:75) B(cid:75) C(cid:75) D(cid:75) 3,0)
2 2 2 2 2 2
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)−A ,1− 1− ,− ,1− (1−
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:138)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:168)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:91)(cid:380)(cid:381)(cid:116)(cid:382)(cid:91)(cid:370)30°(cid:70)(cid:197)(cid:70)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:98)(cid:219)(cid:278)(cid:72)(cid:404)(cid:43)(cid:281) = =2(cid:72)
𝐵𝐶 2𝐴𝐵
= = 2 1 = 3(cid:72)(cid:218)(cid:20)(cid:305)(cid:140)(cid:219)(cid:72)Rt (cid:126) (cid:84)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:77)(cid:72)(cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)(cid:72)(cid:411)(cid:221)(cid:26)(cid:27)
2 2 2 2
𝐴60𝐶°(cid:72)(cid:274)𝐵(cid:411)𝐶6−(cid:221)𝐴𝐵(cid:26)(cid:27)1(cid:330)(cid:72)−(cid:111)(cid:94)(cid:81)(cid:82)2030(cid:221)(cid:26)(cid:27)(cid:48)(cid:72)(cid:76)△𝐴(cid:360)𝐵(cid:133)𝐶(cid:25)𝐴(cid:268)(1(cid:445),1(cid:72)) (cid:47)(cid:281)(cid:49)(cid:50)(cid:216)(cid:209)(cid:44)(cid:189)(cid:125)(cid:140)(cid:75)
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:44)(cid:10)(cid:133)Rt (cid:24)(cid:72) = =30°(cid:72) 𝐶=1(cid:72)
= =2(cid:72) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴 90°,∠𝐶 𝐴𝐵
∴𝐵𝐶 2𝐴𝐵
= = 2 1 = 3(cid:72)
2 2 2 2
∴(cid:218)𝐴(cid:20)𝐶(cid:305)(cid:140)𝐵(cid:219)𝐶(cid:72)−R𝐴t𝐵 (cid:126)− (cid:84)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:77)(cid:72)(cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)(cid:72)(cid:411)(cid:221)(cid:26)(cid:27)60°(cid:72)(cid:274)(cid:411)6(cid:221)(cid:26)(cid:27)1
(cid:330)(cid:75)2030÷6=△33𝐴8𝐵…𝐶…2(cid:72)𝐴(1,1)
(cid:78)(cid:49)(cid:72)Rt (cid:126) (cid:84)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:77)(cid:72)(cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)(cid:72)(cid:411)(cid:221)(cid:26)(cid:27)60°(cid:72)(cid:81)(cid:82)2030(cid:221)(cid:26)(cid:27)(cid:48)(cid:72)(cid:76) (cid:27)(cid:94)(cid:76)D(cid:25)(cid:268)
(cid:445)(cid:72)(cid:274) △=𝐴𝐵𝐶=𝐴(31(cid:72),1) =120°(cid:72)(cid:82)(cid:76)D(cid:131) (cid:362) (cid:25)(cid:361)(cid:345)(cid:101)(cid:104)(cid:76)H(cid:72) 𝐶
𝐴𝐷 𝐴𝐶 ∠𝐶𝐴𝐷 𝐷𝐻⊥𝐵𝐴 𝐵𝐴= =30°(cid:72)
∴∠𝐷𝐴𝐻1 ∠𝐶𝐴𝐷3−∠𝐶𝐴𝐻
= = (cid:72)
2 2
∴𝐷𝐻 𝐴𝐷
3 3
= = ( 3) = (cid:72)
2 2 2
2
2 2
∴𝐴𝐻 𝐴𝐷 −𝐷𝐻 −
∵𝐴(1,1) 1 3
(cid:76)D(cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:185) (cid:72)
2 2
∴(cid:223)(cid:224)(cid:10)A − ,1−
(cid:15)(cid:83)(cid:225)9-1(cid:19)(cid:114)24-25(cid:250)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:379)·(cid:153)(cid:226)(cid:115)(cid:508)(cid:179)(cid:172)(cid:154)(cid:185)(cid:61)(cid:208)(cid:343)(cid:421)(cid:25)(cid:509)(cid:510)(cid:511)(cid:512)(cid:172)(cid:154)(cid:50)(cid:225)(cid:72)(cid:286)(cid:202)(cid:203)(cid:136)(cid:337)(cid:513)(cid:262)
(cid:25)(cid:514)(cid:515)(cid:111)(cid:94)(cid:516)(cid:517)(cid:316)(cid:33)(cid:34)(cid:75)(cid:78)(cid:49)1(cid:72)(cid:508)(cid:179)(cid:172)(cid:154)(cid:518)(cid:283)(cid:30)(cid:62)(cid:519)(cid:520)(cid:205)(cid:206)(cid:91)(cid:88)(cid:88)(cid:121)120°(cid:70)(cid:25)(cid:521)(cid:181)(cid:72)(cid:126)(cid:30)(cid:62)(cid:521)(cid:181)(cid:25)(cid:205)(cid:206)(cid:76)
(cid:84)(cid:141)(cid:76)(cid:321)(cid:63)(cid:92)(cid:93)(cid:84) (cid:186)(cid:501)(cid:490)(cid:63)(cid:64)(cid:197)(cid:70)(cid:51)(cid:52)(cid:354)(cid:114)(cid:78)(cid:49)2(cid:99)(cid:143)(cid:115)(cid:72)(cid:396)(cid:219)(cid:272)(cid:522)(cid:109)(cid:270)(cid:24)(cid:61)(cid:62)(cid:521)(cid:181)(cid:25)(cid:523)(cid:520)(cid:76)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:84)
(5,5)(cid:72)(cid:133)(cid:61)(cid:102)(cid:109)(cid:414)(cid:67)𝑥 (cid:72)(cid:521)(cid:181)(cid:411)(cid:412)(cid:65)(cid:141)(cid:76) (cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:27)(cid:69)90°(cid:72)(cid:274)(cid:220)2025(cid:412)(cid:109)(cid:72)(cid:76) (cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:76) (cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:84) 𝐴(cid:75)
𝑂 𝐴
𝐴2025
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)( )
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:192)5,(cid:20)−5(cid:294)(cid:31)(cid:193)(cid:194)(cid:51)(cid:52)(cid:57)(cid:58)(cid:425)(cid:524)(cid:72)(cid:118)(cid:281)(cid:61)(cid:525)(cid:57)(cid:58)(cid:72)(cid:185)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:122)(cid:75)
(cid:214)(cid:215)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:190)(cid:279)(cid:43)(cid:281)(cid:220)1(cid:91)2(cid:91)3(cid:91)4(cid:412)(cid:109)(cid:72)(cid:76)(cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:76) (cid:91) (cid:91) (cid:91) (cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:72)(cid:118)(cid:94)(cid:57)(cid:58)(cid:72)(cid:216)(cid:336)(cid:111)(cid:281)(cid:220)
2025(cid:412)(cid:109)(cid:72)(cid:76)(cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:76) (cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:75) 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4
(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:44)(cid:10)(cid:78)(cid:49)(cid:72) 𝐴2025(cid:72)
∵𝐴((cid:133)5,(cid:220)5)(cid:61)(cid:29)(cid:450)(cid:25)(cid:70)(cid:63)(cid:190)(cid:101)(cid:80)(cid:72)
∴𝐴(cid:521)(cid:181)(cid:411)(cid:412)(cid:65)(cid:141)(cid:76) (cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:27)(cid:69)90°(cid:72)
∵ (cid:72) 𝑂 (cid:72) (cid:72) (5,5)(cid:72)
∴𝐴1(cid:76)(5(cid:25),−(cid:51)5)(cid:52)(cid:126)𝐴2(cid:411)(−4(cid:412)5,−(cid:84)5(cid:61)) (cid:62)𝐴(cid:330)3 ((cid:153)−5(cid:444),5(cid:221)) (cid:526)𝐴(cid:511)4 (cid:72)
∴𝐴2025÷4=506…1(cid:72)
∵(cid:220)2025(cid:412)(cid:109)(cid:72)(cid:76)A(cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:76) (cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:56) (cid:97)(cid:400)(cid:72)(cid:84) (cid:72)
(cid:223)∴(cid:189)(cid:55)(cid:84)(cid:10) (cid:75) 𝐴2025 𝐴1 (5,−5)
(cid:15)(cid:83)(cid:225)9-2(cid:19)(5(cid:114),−254)-25(cid:250)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:405)(cid:151)(cid:527)(cid:177)·(cid:153)(cid:226)(cid:115)(cid:78)(cid:49)(cid:72)(cid:41)(cid:92)(cid:50) (cid:25)(cid:89)(cid:70)(cid:101)(cid:25)(cid:362)(cid:76)(cid:56)(cid:51)(cid:52)(cid:141)(cid:76) (cid:205)(cid:206)(cid:72)(cid:107)(cid:127)
(cid:76) (1,0)(cid:65)(cid:76) (0,1)(cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)90°(cid:111)(cid:76) (cid:72)(cid:367)(cid:107) (cid:65)(cid:76) (cid:242)(cid:109)𝐴𝐵(cid:110)𝐶(cid:26)𝐷(cid:27)90°(cid:111)(cid:76) (cid:72)(cid:367)(cid:107) (cid:65)(cid:76)𝑂(cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)
90𝐷°(cid:111)(cid:76) (cid:72)(cid:367)𝐴(cid:107) (cid:65)(cid:76) (cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)90𝐷° 1(cid:111)(cid:76) (cid:72)𝐷1(cid:367)(cid:107)𝐵(cid:65)(cid:76) (cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)90𝐷° 2(cid:111)(cid:76) …𝐷… 2(cid:444)(cid:138)𝐶(cid:528)(cid:167)(cid:72)(cid:274)(cid:76)
(cid:25)(cid:529)𝐷3 (cid:51)(cid:52)(cid:185) 𝐷 3 (cid:75) 𝐷 𝐷4 𝐷4 𝐴 𝐷5
𝐷2025
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)2025
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:192)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:168)(cid:51)(cid:52)(cid:56)(cid:49)(cid:50)(cid:25)(cid:83)(cid:177)—(cid:26)(cid:27)(cid:72)(cid:98)(cid:383)(cid:197)(cid:70)(cid:30)(cid:70)(cid:50)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:98)(cid:72)(cid:214)(cid:215)(cid:20)(cid:305)(cid:118)(cid:94)(cid:57)(cid:58)(cid:371)(cid:33)(cid:34)(cid:57)(cid:58)(cid:43)
(cid:44)(cid:185)(cid:44)(cid:189)(cid:192)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:122)(cid:75)(cid:214)(cid:215)(cid:20)(cid:305)(cid:72)(cid:43)(cid:281) (cid:91) (cid:91) (cid:91) (cid:91) (cid:91) (cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:72)(cid:140)(cid:111)(cid:281)(cid:57)(cid:58)(cid:10)(cid:411)(cid:364)(cid:62)(cid:76)(cid:61)(cid:62)(cid:526)(cid:511)(cid:72)
( + +2)(cid:72)(cid:218)2025=4×5𝐷0 1 6+𝐷1 2 (cid:72)𝐷(cid:125) 3 (cid:140)𝐷(cid:167) 4 (cid:281)𝐷5 𝐷(62025,2026)(cid:75)
𝐷(cid:15)4(cid:217)𝑛+(cid:44)1 4(cid:19)𝑛(cid:44)(cid:10)1,4(cid:107)𝑛 (cid:127)(cid:76) (1,0)(cid:65)(cid:76) (0,1)(cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)90°(cid:111)(cid:76)𝐷202 (cid:72) 5
∵ 𝐷 𝐴
𝐷1(1,2)(cid:72)
∴(cid:367)𝐷1(cid:107) (cid:65)(cid:76) (cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)90°(cid:111)(cid:76) (cid:72)(cid:367)(cid:107) (cid:65)(cid:76) (cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)90°(cid:111)(cid:76) (cid:72)(cid:367)(cid:107) (cid:65)(cid:76) (cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)90°(cid:111)
∵(cid:76) (cid:72)𝐷(cid:367) 1 (cid:107) 𝐵(cid:65)(cid:76) (cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)90𝐷°(cid:111) 2 (cid:76) …𝐷… 2 𝐶 𝐷3 𝐷3 𝐷
𝐷4( )(cid:72)𝐷4 ( 𝐴 )(cid:72) ( )(cid:72) 𝐷(55,6)(cid:72) ( )(cid:72)……
(cid:269)∴𝐷(cid:285)2 (cid:172)−3(cid:28),2(cid:72)(cid:411)𝐷(cid:364) 3 (cid:62)−3(cid:76),−(cid:61)4(cid:62)(cid:526)𝐷(cid:511) 4 5(cid:72),−(cid:270)4(cid:24) 𝐷5 ( +𝐷6 −7+,62)(cid:72)
2025=4×506+1(cid:72) 𝐷4𝑛+1 4𝑛 1,4𝑛
∵ (2025,2026)(cid:72)
(cid:223)∴𝐷(cid:189)20(cid:55)25(cid:84)(cid:10)2025(cid:75)
(cid:15)(cid:83)(cid:225)9-3(cid:19)(cid:114)24-25(cid:250)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:254)(cid:252)(cid:530)(cid:531)·(cid:153)(cid:226)(cid:115)(cid:78)(cid:49)(cid:72)(cid:133)(cid:63)(cid:64)(cid:197)(cid:70)(cid:51)(cid:52)(cid:354)(cid:24)(cid:72)(cid:377)(cid:50) (cid:88)(cid:129)(cid:56)(cid:51)(cid:52)(cid:186)(cid:205)(cid:206)(cid:72)
=2(cid:72) =1(cid:75)(cid:107)(cid:377)(cid:50) (cid:65)(cid:76) (cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)(cid:72)(cid:411)(cid:221)(cid:26)(cid:27)90°(cid:72)(cid:220)2025(cid:221)(cid:26)(cid:27)(cid:39)𝐴𝐵(cid:532)𝐶(cid:48)𝑂(cid:72)(cid:367)(cid:107)(cid:99)(cid:111)(cid:377)(cid:50)(cid:93)
𝑂(cid:148)𝐴(cid:63)(cid:188)2(cid:62)𝑂(cid:439)𝐶(cid:268)(cid:75)(cid:274)(cid:83)(cid:182)(cid:48)𝐴(cid:111)𝐵(cid:94)𝐶𝑂(cid:25)(cid:76) 𝑂(cid:89)(cid:90)(cid:76)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:84) (cid:75)
𝐵
(cid:15)(cid:189)(cid:55)(cid:19)( )
(cid:15)(cid:190)(cid:191)(cid:19)(cid:192)−(cid:20)1,0(cid:294)(cid:31)(cid:193)(cid:194)(cid:168)(cid:63)(cid:64)(cid:197)(cid:70)(cid:51)(cid:52)(cid:354)(cid:67)(cid:51)(cid:52)(cid:25)(cid:83)(cid:177)(cid:57)(cid:58)(cid:72)(cid:26)(cid:27)(cid:124)(cid:63)(cid:188)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:404)(cid:214)(cid:215)(cid:377)(cid:50)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:140)(cid:219)
(2,1)(cid:72)(cid:367)(cid:131)(cid:281)(cid:26)(cid:27)(cid:48)(cid:25)(cid:49)(cid:50)(cid:72)(cid:216)(cid:336)(cid:118)(cid:94) (cid:76)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:57)(cid:58)(cid:125)(cid:140)(cid:72)(cid:245)(cid:246)(cid:219)(cid:278)(cid:76)(cid:25)(cid:90)(cid:34)(cid:185)(cid:44)(cid:20)(cid:25)(cid:3)(cid:122)(cid:75)
𝐵(cid:15)(cid:217)(cid:44)(cid:19)(cid:44)(cid:10) =2(cid:72) =1(cid:72) 𝐵
(2,1)(cid:72) ∵𝑂𝐴 𝑂𝐶
∴(cid:107)𝐵 (cid:377)(cid:50) (cid:65)(cid:76) (cid:242)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)(cid:72)(cid:78)(cid:49)(cid:72)
∴ 𝐴𝐵𝐶𝑂 𝑂
(cid:140)(cid:219)(cid:10) ( )(cid:72) ( )(cid:72) ( )(cid:72) (2,1)(cid:72)
(cid:72) 𝐵1 −1,2 𝐵2 −2,−1 𝐵3 1,−2 𝐵4
⋯(cid:274)(cid:411)(cid:26)(cid:27)4(cid:221)(cid:274)(cid:533)(cid:94)(cid:141)(cid:268)(cid:445)(cid:72)
= (cid:72) (cid:125)(cid:220)2025(cid:221)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:532)(cid:109)(cid:72)(cid:204)(cid:121)(cid:168)506(cid:221)(cid:526)(cid:511)(cid:72)(cid:56) ( )(cid:25)(cid:268)(cid:445)(cid:97)(cid:400) (cid:72)
∴(cid:220)2022052−54(cid:221)(cid:26)5(cid:27)06(cid:39)⋯(cid:532)⋯1(cid:48)(cid:72)(cid:367)(cid:107)(cid:99)(cid:111)(cid:377)(cid:50)(cid:93)(cid:148)(cid:63)(cid:188)2(cid:62)(cid:439)(cid:268)(cid:72) 𝐵2025 −1,2
∵(cid:83)(cid:182)(cid:48)(cid:111)(cid:94)(cid:25)(cid:76) (cid:89)(cid:90)(cid:76)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:84)( )(cid:72)
∴(cid:223)(cid:189)(cid:55)(cid:84)(cid:10)( )𝐵(cid:75) −1,0
−1,0