文档文本内容
专题 23.1 锐角的三角函数（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19)............................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:26)(cid:27)(cid:38)(cid:19)............................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:26)(cid:27)(cid:38)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:19)........................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:26)(cid:27)(cid:38)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:19)........................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:3)(cid:27)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:19)................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:26)(cid:27)(cid:38)(cid:54)(cid:55)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:27)(cid:35)(cid:56)(cid:19)....................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:38)(cid:37)(cid:33)(cid:57)(cid:19)....................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:58)(cid:33)(cid:59)(cid:60)(cid:25)(cid:61)(cid:62)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:3)(cid:63)(cid:19)................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:64)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:19)....................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:37)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:38)(cid:19)..................................................................................................................8
知识点1 锐角的三角函数
1. (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:26)(cid:27)(cid:68)(cid:69)
(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)Rt (cid:36)(cid:74) C=90°(cid:74)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:64)(cid:33) A (cid:27)(cid:79)(cid:40)(cid:44)(cid:80)(cid:40)(cid:27)(cid:81)(cid:82)(cid:83) A(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:74)(cid:84)(cid:85)sin (cid:74)(cid:86)
sin = (cid:87) △𝐴𝐵𝐶 ∠ ∠ 𝐴
𝒂
𝐴 𝒄
(cid:78)(cid:64)(cid:33)A(cid:27)(cid:88)(cid:40)(cid:44)(cid:80)(cid:40)(cid:27)(cid:81)(cid:82)(cid:83) A(cid:27)(cid:25)(cid:23)(cid:74)(cid:84)(cid:85)cos (cid:74)(cid:86)cos = (cid:87)
𝒃
(cid:78)(cid:64)(cid:33)A(cid:27)(cid:79)(cid:40)(cid:44)(cid:88)(cid:40)(cid:27)(cid:81)(cid:82)(cid:83)∠ A(cid:27)(cid:22)(cid:26)(cid:74)(cid:84)(cid:85)tan 𝐴 (cid:74)(cid:86)tan 𝐴 = 𝒄 (cid:87)
𝒂
∠ 𝐴 𝐴 𝒃
2. (cid:64)(cid:33)A(cid:27)(cid:22)(cid:26)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:89)(cid:90)(cid:64)(cid:33)A(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:87)
3. (cid:39)(cid:91)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:27)(cid:80)(cid:40)(cid:92)(cid:91)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:74)(cid:72)(cid:97)(cid:49)0<sin <1(cid:98)0<cos <1(cid:74)tan >0(cid:87)
𝐴 𝐴 𝐴
知识点2 特殊角的三角函数的值
1. (cid:99)(cid:100)(cid:64)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:101)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:27)(cid:67)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:10)30° 45° 60°
(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)
𝛂
1 2 3
sin
2 2 2
𝛼 3 2 1
cos
2 2 2
𝛼
3
tan 1 3
3
𝛼
知识点3 锐角的三角函数间的关系
(cid:75)Rt (cid:36)(cid:74) C=90°(cid:74) ， (cid:74) (cid:27)(cid:79)(cid:40)(cid:107)(cid:108)(cid:109)a(cid:74)b(cid:74)c(cid:87)(cid:39)(cid:110)(cid:111)(cid:68)(cid:112)(cid:103)(cid:104) + = (cid:87)
2 2 2
△𝐴𝐵𝐶 ∠ ∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶 𝑎 𝑏 𝑐
(cid:59)1(cid:61)(cid:58)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:113)(cid:27)(cid:3)(cid:63)(cid:10)sin +cos =( ) +( ) = =1(cid:87)
2 2 𝑎 2 𝑏 2 𝑎 2 +𝑏 2
2
𝐴sin 𝐴 𝑐 𝑐 𝑐
(cid:59)2(cid:61)tan (cid:44)sin (cid:74)cos (cid:113)(cid:27)(cid:3)(cid:63)(cid:10) = = =tan
cos 𝑎
𝐴 𝑐 𝑎
𝑏
𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝑐 𝑏 𝐴
【题型1 正弦、余弦、正切的概念辨析】
(cid:15)(cid:114)1(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:123)(cid:36)(cid:61)(cid:75) (cid:36)(cid:74) (cid:24) (cid:24) (cid:107)(cid:108)(cid:90) (cid:24) (cid:24) (cid:27)(cid:79)(cid:40)(cid:74)(cid:124) + =
2 2
(cid:74)(cid:125)(cid:126)(cid:22)(cid:127)(cid:27)(cid:128)(cid:129)(cid:90)(cid:59) (cid:61) △𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 ∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶 𝑎 𝑏
2
𝑐 A(cid:87) sin = B(cid:87) cos = C(cid:87) tan = D(cid:87) tan =
(cid:15)(cid:130)(cid:131)𝑐1⋅-1(cid:19)𝐴(cid:59)24𝑎-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)𝑐⋅(cid:118)·(cid:132)𝐵(cid:133)(cid:134)𝑏(cid:135)·(cid:123)(cid:136)(cid:61)(cid:137)𝑏R⋅t 𝐴 (cid:27)𝑎 (cid:80)(cid:40)(cid:101)(cid:32)(cid:33)𝑎(cid:40)⋅ (cid:89)(cid:138)𝐵(cid:92)(cid:139)𝑏 (cid:140)(cid:141)(cid:27) (cid:142)(cid:74)(cid:143)(cid:144)(cid:64)(cid:33)
(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:59) (cid:61) △𝐴𝐵𝐶 𝑛
1
A(cid:87)(cid:89)(cid:138)(cid:92)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:27) (cid:142) B(cid:87)(cid:89)(cid:145)(cid:146)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:27)
C(cid:87)(cid:147)(cid:49)(cid:130)(cid:148) 𝑛 D(cid:87)(cid:149)(cid:49)tan (cid:150)(cid:151)(cid:130) 𝑛 (cid:148)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)1-2(cid:19)(cid:59)2024·(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:155)·(cid:95)(cid:156)(cid:61)(cid:70)(cid:71)(cid:74)(cid:75)Rt (cid:36)(cid:74)𝐴 =90°(cid:74) (cid:109)(cid:40) (cid:118)(cid:95)(cid:157)(cid:74)(cid:158)(cid:157) (cid:85)
(cid:74)(cid:159)(cid:160)(cid:109) (cid:74)(cid:125)(cid:105)(cid:161)(cid:128)(cid:129)(cid:36)(cid:22)(cid:127)(cid:27)(cid:90)(cid:59) Δ (cid:61)𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝐷
𝐷𝐸⊥𝐴𝐶 𝐸
A(cid:87)sin = B(cid:87)cos = C(cid:87)tan = D(cid:87)tan =
𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐵𝐶 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:130)(cid:131)1-3𝐴(cid:19)(cid:59)𝐴 2 𝐵 4-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)𝐴·(cid:162)(cid:163)𝐴𝐷(cid:162)(cid:164)·(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:61)(cid:70)𝐴 (cid:71)𝐴(cid:74)𝐷(cid:157)A(cid:109) (cid:40)(cid:118)(cid:27)𝐴(cid:93)(cid:94)𝐵(cid:95)𝐶 (cid:157)(cid:74)(cid:85) (cid:91)(cid:157)C(cid:74)
(cid:91)(cid:157)D(cid:74)(cid:105)(cid:161)(cid:169)(cid:170)(cid:166)(cid:81)(cid:106)(cid:73)sin (cid:27)(cid:38)(cid:74)(cid:171)(cid:172)(cid:27)(cid:90)(cid:59)(cid:173)(cid:173)(cid:61)∠𝛼 𝐴𝐶⊥𝐵𝐶
𝐶𝐷⊥𝐴𝐵 𝛼A(cid:87) B(cid:87) C(cid:87) D(cid:87)
𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐷
𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶
【题型2 直角三角形中求正弦、余弦、正切的值】
(cid:15)(cid:114)2(cid:19)(cid:59)23-24(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:118)(cid:174)(cid:175)(cid:176)·(cid:123)(cid:36)(cid:61)(cid:75) (cid:36)(cid:74) =90°(cid:74) =2(cid:74) =3(cid:74)(cid:125) (cid:27)(cid:22)(cid:26)(cid:38)(cid:27)(cid:177)
(cid:48)(cid:109) (cid:87) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶 ∠𝐴
(cid:15)(cid:130)(cid:131)2-1(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:176)(cid:178)(cid:178)(cid:179)·(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:61)Rt (cid:36)(cid:74) =90°(cid:74) =1(cid:74) =2(cid:74)tan (cid:27)(cid:38)
(cid:109)(cid:59) (cid:61) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴
1 5 2 5
A(cid:87) B(cid:87) C(cid:87) D(cid:87)2
2 5 5
(cid:15)(cid:130)(cid:131)2-2(cid:19)(cid:59)2025·(cid:118)(cid:174)(cid:180)(cid:181)·(cid:95)(cid:156)(cid:61)(cid:75)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:43)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:49)(cid:95)(cid:157) (3,1)(cid:74)(cid:143)(cid:144) (cid:44)x(cid:185)(cid:22)(cid:186)(cid:185)(cid:187)(cid:33)(cid:27)(cid:25)(cid:23)(cid:38)
(cid:90) (cid:87) 𝑃 𝑂𝑃
(cid:15)(cid:130)(cid:131)2-3(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:191)·(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:61)(cid:70)(cid:71)(cid:74)(cid:75)6×6(cid:27)(cid:22)(cid:192)(cid:35)(cid:193)(cid:194)(cid:36)(cid:74) (cid:27)(cid:195)(cid:157)(cid:89)(cid:75)(cid:146)
(cid:22)(cid:192)(cid:35)(cid:27)(cid:195)(cid:157)(cid:118)(cid:74)(cid:125)sin (cid:27)(cid:38)(cid:90)(cid:59) (cid:61) △𝐴𝐵𝐶
∠𝐵𝐴𝐶
3 4 3
A(cid:87)1 B(cid:87) C(cid:87) D(cid:87)
4 3 5
【题型3 由正弦、余弦、正切的值求边长】
12
(cid:15)(cid:114)3(cid:19)(cid:59)22-23(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:188)(cid:189)(cid:189)(cid:162)·(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:61)(cid:75)Rt (cid:36)(cid:74)(cid:124) =90°(cid:74)cos = (cid:74) =24(cid:74)(cid:125)
13
(cid:41)(cid:109) (cid:87) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐴 𝐴𝐶 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:130)(cid:131)3-1(cid:19)(cid:59)2024·(cid:196)(cid:176)(cid:197)(cid:179)·(cid:198)(cid:156)(cid:61)(cid:70)(cid:71)(cid:74)(cid:95)(cid:99)3m(cid:41)(cid:27)(cid:199)(cid:200)AB(cid:80)(cid:201)(cid:75)(cid:202)(cid:32)(cid:27)(cid:203)(cid:118)(cid:74)(cid:204)(cid:205)(cid:203)(cid:105)(cid:206)(cid:74)(cid:157)A(cid:105)
(cid:206)(cid:207)(cid:157) (cid:74)(cid:157)B(cid:208)(cid:207)(cid:157) (cid:74)(cid:209) = (cid:74) = (cid:74)(cid:125) =(cid:59) (cid:61).
′ ′ ′ ′ ′
𝐴 𝐵 ∠𝐴𝐵𝐶 𝛼 ∠𝐴 𝐵 𝐶 𝛽 𝐴𝐴A(cid:87)(3sin sin )m B(cid:87)(3cos cos )m
3 𝛼−33 𝛽 𝛼−3 𝛽
C(cid:87)( )m D(cid:87)(3tan tan )m
tan tan
𝛼− 𝛽 𝛼−3 𝛽
3
(cid:15)(cid:130)(cid:131)3-2(cid:19)(cid:70)(cid:210)(cid:95)(cid:211)(cid:212)(cid:35)(cid:27)(cid:183)(cid:213)(cid:90)40(cid:74)(cid:62)(cid:96)(cid:79)(cid:33)(cid:170)(cid:187)(cid:33)(cid:27)(cid:22)(cid:26)(cid:38)(cid:27)(cid:177)(cid:48)(cid:90) (cid:74)(cid:143)(cid:144)(cid:214)(cid:27)(cid:95)(cid:96)(cid:79)(cid:33)(cid:170)(cid:41)
4
(cid:90) (cid:87)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)3-3(cid:19)(cid:59)2025(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:105)·(cid:196)(cid:176)·(cid:215)(cid:20)(cid:167)(cid:168)(cid:61)(cid:70)(cid:71)(cid:74)Rt (cid:36)(cid:74) =90°(cid:74) =6(cid:74) =8(cid:74) (cid:109)
1 △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐶
(cid:40)(cid:118)(cid:95)(cid:216)(cid:157)(cid:74)(cid:98)tan = (cid:74)(cid:125) (cid:27)(cid:41)(cid:57)(cid:109) (cid:87)
2
∠𝐴𝐵𝐷 𝐵𝐷
【题型4 由正弦、余弦、正切的值求坐标】
(cid:15)(cid:114)4(cid:19)(cid:59)2023·(cid:217)(cid:218)(cid:176)(cid:219)(cid:220)(cid:176)·(cid:198)(cid:156)(cid:61)(cid:70)(cid:71)(cid:74)(cid:75)(cid:182)(cid:183)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:43)(cid:63)(cid:36)(cid:157) (cid:75)(cid:221)(cid:95)(cid:222)(cid:223)(cid:74)(cid:157) (cid:75)x(cid:185)(cid:27)(cid:22)(cid:186)(cid:185)(cid:118)(cid:74)
= =30 (cid:74) =2(cid:74)(cid:137) (cid:224)(cid:157) (cid:225)(cid:226)(cid:74)(cid:124)(cid:157) (cid:227)(cid:75) (cid:185)(cid:118)(cid:74)𝐵(cid:125)(cid:225)(cid:226)(cid:228)(cid:157) (cid:27)(cid:79)𝐴(cid:229)(cid:157) (cid:42)(cid:43)(cid:109) (cid:87)
∘ ′
∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐵 𝑂𝐴 △𝐴𝑂𝐵 𝑂 𝐵 𝑦 𝐴 𝐴
(cid:15)(cid:130)(cid:131)4-1(cid:19)(cid:59)24-25(cid:230)(cid:116)(cid:117)(cid:105)·(cid:231)(cid:179)(cid:232)(cid:133)·(cid:123)(cid:136)(cid:61)(cid:70)(cid:71)1(cid:74)(cid:75)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35) (cid:36)(cid:74) =90°(cid:87)(cid:68)(cid:69) (cid:27)(cid:79)(cid:40)(cid:44)
𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 ∠𝐴
(cid:80)(cid:40)(cid:27)(cid:81)(cid:82)(cid:85) (cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:74)(cid:84)(cid:85)sin (cid:74)(cid:86)sin = ;(cid:68)(cid:69) (cid:27)(cid:88)(cid:40)(cid:44)(cid:80)(cid:40)(cid:27)(cid:81)(cid:82)(cid:85) (cid:27)(cid:25)(cid:23)(cid:74)(cid:84)(cid:85)cos (cid:74)(cid:86)
𝐵𝐶
∠𝐴 𝐴 𝐴 𝐴𝐵 ∠𝐴 ∠𝐴 𝐴
cos = (cid:87)(cid:70)(cid:71)2(cid:74)(cid:75)(cid:182)(cid:183)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:43)(cid:63)(cid:36)(cid:74)(cid:97)(cid:157)O(cid:109)(cid:233)(cid:234)(cid:74)1(cid:109)(cid:186)(cid:235)(cid:85)(cid:233)(cid:74)A(cid:109)(cid:233)O(cid:118)(cid:27)(cid:95)(cid:157)(cid:74)(cid:98)(cid:236)(cid:91)(cid:221)
𝐴𝐶
𝐴 𝐴𝐵(cid:95)(cid:222)(cid:223)(cid:74)(cid:237)(cid:238) (cid:74) (cid:44)x(cid:185)(cid:27)(cid:22)(cid:186)(cid:185)(cid:27)(cid:187)(cid:33)(cid:109)α(cid:74)(cid:125)(cid:157)A(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:103)(cid:106)(cid:73)(cid:109)(cid:59) (cid:61)
𝑂𝐴 𝑂𝐴
1 1 1 1
A(cid:87)(cid:59)sin (cid:74)cos (cid:61)B(cid:87)(cid:59)cos (cid:74)sin (cid:61) C(cid:87) , D(cid:87) ,
sin cos cos sin
𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 5
(cid:15)(cid:130)(cid:131)4-2(cid:19)(cid:59)23-24(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:132)(cid:133)(cid:239)(cid:191)·(cid:123)(cid:136)(cid:61)(cid:70)(cid:71)(cid:74)(cid:75)Rt (cid:36)(cid:74) =90°(cid:74)tan = (cid:74)(cid:40)
4
(cid:75) (cid:185)(cid:118)(cid:74)(cid:157) (cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:109)( )(cid:74)(cid:212)(cid:35) (cid:27)(cid:195)(cid:157) (cid:44)(cid:157) (cid:240)(cid:51)△(cid:74)𝐴𝐵(cid:195)𝐶(cid:157) (cid:75)∠(cid:40)𝐴𝐶𝐵 (cid:118)(cid:74)(cid:98)(cid:157) (cid:27)∠𝐵(cid:42)𝐴(cid:43)𝐶(cid:109)(2,1)(cid:74)𝐴𝐶(cid:137)
(cid:212)𝑥(cid:35) (cid:204)𝐴(cid:185)(cid:241)(cid:242)(cid:182)(cid:208)−(cid:74)2,0(cid:243)(cid:157) (cid:227)(cid:75)𝐶𝐷𝐸𝐹(cid:40)(cid:118)(cid:244)(cid:74)𝐹(cid:157) (cid:27)𝑂(cid:42)(cid:43)(cid:109) 𝐷(cid:87) 𝐵𝐶 𝐷
𝐶𝐷𝐸𝐹 𝑥 𝐷 𝐴𝐵 𝐸
(cid:15)(cid:130)(cid:131)4-3(cid:19)(cid:59)2023·(cid:245)(cid:246)·(cid:36)(cid:247)(cid:248)(cid:20)(cid:61)(cid:70)(cid:71)(cid:74)(cid:75)(cid:182)(cid:183)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:43)(cid:63)(cid:36)(cid:74)(cid:249)(cid:250)(cid:157) (cid:74)(cid:157) (cid:74)(cid:157) (cid:75) (cid:185)(cid:118)(cid:74)
1 𝐴(1,0) 𝐵(0,−3) 𝐶 𝑥
(cid:98)(cid:157) (cid:75)(cid:157) (cid:251)(cid:192)(cid:74)(cid:237)(cid:238) (cid:74) (cid:74)(cid:124)tan = (cid:74)(cid:125)(cid:157) (cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:109) (cid:87)
3
𝐶 𝐴 𝐴𝐵 𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐶
【题型5 与特殊角的三角函数有关的混合运算】
(cid:15)(cid:114)5(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:105)·(cid:252)(cid:253)(cid:182)(cid:254)·(cid:123)(cid:36)(cid:61)(cid:255)(cid:53) +tan60°+ 2sin cos30°+ (cid:128)(cid:210)(cid:90)(cid:59) (cid:61)
0
A(cid:87)2 B(cid:87) 2 C(cid:87)−11 D4(cid:87)5°−32 𝜋
(cid:15)(cid:130)(cid:131)5-1(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:256)(cid:257)·(cid:123)(cid:36)(cid:61)(cid:255)(cid:53) 3tan tan30° cos30°= (cid:87)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)5-2(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:258)(cid:259)·(cid:123)(cid:36)(cid:61)(cid:255)(cid:53)(cid:10)tan3 6 0 0 ° °− ×sin60° ⋅ +|co 2| (tan ) (cid:87)
−2
(cid:15)(cid:130)(cid:131)5-3(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:256)(cid:257)·(cid:123)(cid:36)(cid:61)(cid:68)(cid:69)(cid:95)(cid:260)(cid:52)(cid:53)(cid:10)sin( + )= 𝑠 s 4 i 5 n °− cos − +cos 45 s ° in −3 sin( )
𝛼 𝛽 𝛼 𝛽 𝛼 𝛽, 𝛼−𝛽=sin cos cos sin
𝛼 𝛽− 𝛼 𝛽3 2 1 2 6 2
(cid:87)(cid:114)(cid:70)(cid:10)(cid:243) = =45°(cid:244)(cid:74)sin(60°+45°)= × + × = (cid:74)(cid:125)sin15°(cid:27)(cid:38)(cid:109) (cid:87)
2 2 2 2 4
+
𝛼 60°,𝛽
【题型6 由正弦、余弦、正切的值判断三角形的形状】
(cid:15)(cid:114)6(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:132)(cid:133)(cid:261)(cid:191)·(cid:123)(cid:136)(cid:61) ABC(cid:36)(cid:74)
|
sin
1|
+ 3 cos =0(cid:74) (cid:74) (cid:90)(cid:64)(cid:33)(cid:74)(cid:125)
2 2 2
(cid:27)(cid:35)(cid:56)(cid:90)(cid:59) (cid:61) △ 𝐴− − 𝐵 ∠𝐴 ∠𝐵 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:87)(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35) B(cid:87)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)
C(cid:87)(cid:262)(cid:263)(cid:34)(cid:33)(cid:35) D(cid:87)(cid:262)(cid:40)(cid:34)(cid:33)(cid:35)
2
(cid:15)(cid:130)(cid:131)6-1(cid:19)(cid:59)2025(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:105)·(cid:264)(cid:265)·(cid:215)(cid:20)(cid:167)(cid:168)(cid:61)(cid:75) (cid:36)(cid:74)tan =1(cid:74)cos = (cid:74)(cid:125) (cid:27)(cid:35)(cid:56)(cid:59)(cid:173)(cid:173)(cid:61)
2
A(cid:87)(cid:95)(cid:68)(cid:90)(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35) B(cid:87)△—(cid:68)𝐴𝐵(cid:90)𝐶(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)𝐴(cid:35) 𝐵 △𝐴𝐵𝐶
C(cid:87)(cid:95)(cid:68)(cid:90)(cid:266)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35) D(cid:87)(cid:267)(cid:268)(cid:127)(cid:68)
| |
3 1
(cid:15)(cid:130)(cid:131)6-2(cid:19)(cid:75) (cid:36)(cid:74)(cid:124) sin + cos =0(cid:74)(cid:125) (cid:90) (cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:87)
2 2 2
△𝐴𝐵𝐶 𝐴− − 𝐵 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:130)(cid:131)6-3(cid:19)(cid:75) ABC(cid:36)(cid:74)(2cos 2) +| tan |=0 (cid:74)(cid:125) ABC(cid:95)(cid:68)(cid:90)(cid:59) (cid:61)
2
A(cid:87)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)△(cid:35) B(cid:87)(cid:262)(cid:263)(cid:34)𝐴(cid:33)−(cid:35) 1C−(cid:87)(cid:262)𝐵(cid:40)(cid:34)(cid:33)(cid:35) △ D(cid:87)(cid:262)(cid:263)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)
【题型7 由正弦、余弦、正切的的值求角度】
(cid:15)(cid:114)7(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:269)(cid:270)·(cid:123)(cid:36)(cid:61)(cid:75)Rt (cid:36)(cid:74) =90°(cid:74) 3tan =1(cid:74)(cid:125) (cid:27)(cid:38)(cid:109)(cid:59) (cid:61)
A(cid:87)30° B(cid:87)45° C(cid:87)△60𝐴°𝐵𝐶 ∠𝐶 D(cid:87)90° 𝐴 ∠𝐵
(cid:15)(cid:130)(cid:131)7-1(cid:19)(cid:59)2024·(cid:162)(cid:163)(cid:271)(cid:179)·(cid:156)(cid:272)(cid:273)(cid:274)(cid:61)(cid:124)tan( +20°)=1(cid:74)(cid:125)(cid:64)(cid:33) (cid:27)(cid:57)(cid:48)(cid:229)(cid:90)(cid:59) (cid:61)
A(cid:87)40° B(cid:87)30° C(cid:87)𝛼25° D(cid:87)𝛼10°
1
(cid:15)(cid:130)(cid:131)7-2(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:118)(cid:174)(cid:275)(cid:162)·(cid:123)(cid:36)(cid:61)(cid:70)(cid:210) (cid:90)(cid:64)(cid:33)(cid:74)sin = (cid:74)(cid:143)(cid:144)cos( )= (cid:87)
2
𝛼 𝛼 9|0°−𝛼 |
(cid:15)(cid:130)(cid:131)7-3(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:120)(cid:276)·(cid:123)(cid:36)(cid:61)(cid:75)(cid:64)(cid:33) (cid:36)(cid:74)(cid:124)(tan 3) + sin 3 =0(cid:74)(cid:125) (cid:27)
2
2
(cid:25)(cid:23)(cid:38)(cid:90) (cid:87) △𝐴𝐵𝐶 𝐴− 𝐶− ∠𝐵
【题型8 同角（互余）两角的三角函数的关系】
(cid:15)(cid:114)8(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:277)(cid:133)(cid:278)(cid:279)·(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:61)(cid:70)(cid:71)(cid:74)(cid:75)Rt (cid:36)(cid:74) =90°(cid:87)
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶(1)(cid:37)(cid:280)(cid:10)sin +cos =1(cid:87)
2 2
𝐵 7 𝐵
(2)(cid:124)sin +cos = (cid:74)(cid:37)sin cos (cid:27)(cid:38)(cid:87)
5
(cid:15)(cid:130)(cid:131)8𝐵-1(cid:19)(cid:124)s𝐵in( )=𝐵c⋅os50𝐵°(cid:74)(cid:125) (cid:27)(cid:57)(cid:48)(cid:90)(cid:59) (cid:61)
A(cid:87)20° 70°−B(cid:87)𝛼 30° 𝛼 C(cid:87)40° D(cid:87)50°
(cid:15)(cid:130)(cid:131)8-2(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:281)(cid:162)·(cid:123)(cid:36)(cid:61)(cid:124) (cid:109)(cid:64)(cid:33)(cid:87)
(1)(cid:37)(cid:280)(cid:10)①sin =cos(90 )(cid:282)②sin +cos 𝑎=1(cid:282)
∘ 2 2
(2)(cid:283)(cid:37)(cid:10)sin 1°𝛼+sin 2°+ −𝛼+sin 45°+𝛼 +sin𝛼88°+sin 89°(cid:27)(cid:38)(cid:87)
2 2 2 2 2
⋯ ⋯
(cid:15)(cid:130)(cid:131)8-3(cid:19)(cid:59)2025(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:105)·(cid:264)(cid:265)·(cid:215)(cid:20)(cid:167)(cid:168)(cid:61)(cid:75)(cid:70)(cid:71)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:74)(cid:76)(cid:77)(cid:250)(cid:284)sin = (cid:74)cos = (cid:74)tan =
𝑎 𝑏
𝛼 𝑐 𝛼 𝑐 𝛼
(cid:74)
𝑎
𝑏
sin +cos = + = = =1(cid:87)(cid:86)(cid:95)(cid:211)(cid:33)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:101)(cid:25)(cid:23)(cid:27)(cid:182)(cid:192)(cid:101)(cid:109)1(cid:87)
2 2 2 2 2
2 2 𝑎 𝑏 𝑎 +𝑏 𝑐
2 2 2 2
∴ 𝛼 𝛼 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐
(1)(cid:285)(cid:286)(cid:99)(cid:100)(cid:118)(cid:183)(cid:27)(cid:287)(cid:288)(cid:158)(cid:289)(cid:74)(cid:287)(cid:290)sin (cid:74)cos (cid:44)tan (cid:291)(cid:113)(cid:27)(cid:3)(cid:63)(cid:282)
𝛼 𝛼 𝛼 1 sin cos
(2)(cid:285)(cid:286)(cid:292)(cid:169)(cid:118)(cid:183)(cid:287)(cid:290)(cid:27)(cid:128)(cid:129)(cid:293)(cid:294)(cid:105)(cid:183)(cid:295)(cid:20)(cid:10)(cid:249)(cid:250) (cid:109)(cid:64)(cid:33)(cid:74)(cid:98)tan = (cid:74)(cid:37) (cid:27)(cid:38)(cid:87)
2 2sin cos
𝛼−2 𝛼
𝛼 𝛼 𝛼+ 𝛼
【题型9 锐角的三角函数的增减性】
(cid:15)(cid:114)9(cid:19)(cid:59)23-24(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:135)(cid:179)·(cid:296)(cid:11)(cid:247)(cid:283)(cid:61)(cid:70)(cid:71)(cid:74) (cid:36)(cid:74) = (cid:74) (cid:74) (cid:74) =4(cid:74)
=3(cid:74)(cid:125)(cid:3)(cid:91) (cid:24) (cid:24) (cid:27)(cid:92)(cid:146)(cid:3)(cid:63)(cid:59)(cid:173)(cid:173)△(cid:61)𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐵𝐸⊥𝐴𝐶 𝐴𝐷
𝐶𝐷 ∠𝐹𝐵𝐷 ∠𝐹𝐶𝐷 ∠𝐹𝐶𝐸
A(cid:87) > B(cid:87) < C(cid:87) > D(cid:87) <
∠𝐹𝐵𝐷 ∠𝐹𝐶𝐷 ∠𝐹𝐵𝐷 ∠𝐹𝐶𝐷 ∠𝐹𝐶𝐸 ∠𝐹𝐶𝐷 ∠𝐹𝐶𝐸 ∠𝐹𝐶𝐷(cid:15)(cid:130)(cid:131)9-1(cid:19)(cid:124)(cid:64)(cid:33) (cid:297)(cid:160)sin20°<cos <cos25°(cid:74)(cid:125) (cid:27)(cid:298)(cid:38)(cid:299)(cid:300)(cid:90) (cid:87)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)9-2(cid:19)(cid:59)2025∠(cid:115)𝐴(cid:116)(cid:117)(cid:105)·(cid:264)(cid:265)·(cid:215)(cid:20)(cid:167)𝐴(cid:168)(cid:61)(cid:81)(cid:301)(cid:92)(cid:146)(cid:59)∠(cid:169)𝐴 <(cid:237)(cid:238)(cid:61)(cid:74)sin47°(cid:74)cos53°(cid:74)tan45°(cid:74)(cid:125) (cid:87)
| |
(cid:15)(cid:130)(cid:131)9-3(cid:19)(cid:59)22-23(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:277)(cid:302)(cid:303)(cid:304)·(cid:123)(cid:36)(cid:61)(cid:124)30°< < <90°(cid:74)(cid:125) (cos cos ) cos 3 +
2
2
| cos |= (cid:87) 𝛼 𝛽 𝛽− 𝛼 − 𝛽−
1− 𝛼
【题型10 求特殊角的三角函数的值】
(cid:15)(cid:114)10(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:176)(cid:178)(cid:133)(cid:305)·(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:61)(cid:81)(cid:301)sin75°(cid:74)cos75°(cid:74)tan75°(cid:27)(cid:92)(cid:146)(cid:74)(cid:22)(cid:127)(cid:27)(cid:90)(cid:59) (cid:61)
A(cid:87)cos75°<tan75°<sin75° B(cid:87)cos75°<sin75°<tan75°
C(cid:87)tan75°<cos75°<sin75° D(cid:87)sin75°<cos75°<tan75°
(cid:15)(cid:130)(cid:131)10-1(cid:19)(cid:59)2024·(cid:245)(cid:246)(cid:306)(cid:179)·(cid:198)(cid:156)(cid:61)(cid:75)(cid:255)(cid:53)tan15°(cid:27)(cid:38)(cid:244)(cid:74)(cid:103)(cid:97)(cid:307)(cid:169)“(cid:48)(cid:35)(cid:128)(cid:51)”(cid:308)(cid:309)(cid:310)(cid:311)(cid:312)(cid:313)(cid:71)(cid:35)(cid:27)(cid:192)(cid:268)
(cid:293)(cid:314)(cid:74)(cid:70)(cid:71)(cid:74)(cid:75)Rt (cid:36)(cid:74) =90°(cid:74) =30°(cid:74)(cid:315)(cid:41) (cid:139) (cid:316) = (cid:74)(cid:237)(cid:238) (cid:74)(cid:104) =15°(cid:74)(cid:209)
△𝐴𝐶𝐵 ∠𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐶𝐵 𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐵 1 𝐴𝐷 ∠𝐷3
= (cid:74)(cid:125) = = (cid:74) = 3 (cid:74) =(2+ 3) (cid:74)Rt (cid:36)tan15°= = = =
𝐴𝐶 2 3 (2 2 3 − )( 3)
𝐴𝐶 3(cid:87)(cid:317) 𝑎 (cid:81)(cid:318) 𝐴 (cid:260) 𝐵 (cid:192) 𝐷 (cid:268) 𝐵 (cid:74)(cid:103) 2 (cid:97) 𝑎 (cid:104) 𝐵𝐶 (cid:139)tan22 𝑎 .5 𝐶 °(cid:27) 𝐷 (cid:38)(cid:109)(cid:59) (cid:61) 𝑎 △𝐴𝐶𝐷 𝐷𝐶 + + 2− 2−
1
A(cid:87) 2+1 B(cid:87) 2 C(cid:87) 2 D(cid:87)
2
(cid:15)(cid:130)(cid:131)10-2(cid:19)(cid:319)(cid:320)(cid:321)(cid:36)(cid:228)(cid:74)(cid:76)−(cid:77)1(cid:322)(cid:323)(cid:11)(cid:139)(cid:105)(cid:183)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:7)(cid:131)(cid:10)
sin + =sin cos +cos sin (cid:74)
cos(𝛼 +𝛽) =cos𝛼cos𝛽 sin 𝛼sin 𝛽(cid:74)
tan (𝛼 + 𝛽) = tan𝛼 tan𝛽− 𝛼 tan 𝛽 tan 0)(cid:87)
tan
𝛼+ 𝛽
(𝛼 𝛽) 1− tan𝛼⋅ 𝛽(1− 𝛼⋅ 𝛽≠
(cid:292)(cid:169)(cid:318)(cid:324)(cid:7)(cid:131)(cid:37)(cid:325)(cid:105)(cid:161)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:87)
(1)sin75°
(2)cos105°
(cid:15)(cid:130)(cid:131)10-3(cid:19)(cid:326)(cid:158)(cid:79)“(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)”(cid:95)(cid:327)(cid:328)(cid:27)(cid:11)(cid:168)(cid:228)(cid:74)(cid:146)(cid:329)(cid:58)(cid:11)(cid:330)(cid:107)(cid:331)(cid:332)67°30 (cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:87)(cid:91)(cid:90)(cid:333)(cid:292)
′
(cid:169)(cid:334)(cid:25)(cid:244)(cid:113)(cid:79)(cid:335)(cid:22)(cid:26)(cid:38)(cid:319)(cid:336)(cid:337)(cid:287)(cid:290)(cid:87)(cid:75)(cid:338)(cid:295)(cid:337)(cid:339)(cid:340)(cid:24)(cid:44)(cid:58)(cid:11)(cid:341)(cid:342)(cid:228)(cid:74)(cid:333)(cid:314)(cid:68)(cid:305)(cid:158)(cid:310)(cid:343)(cid:249)(cid:11)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:59)(cid:70)
30°(cid:74)45°(cid:74)60°(cid:61)(cid:74)(cid:97)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:141)(cid:293)(cid:314)(cid:295)(cid:20)(cid:87)(cid:75)(cid:333)(cid:27)(cid:344)(cid:73)(cid:105)(cid:74)(cid:285)(cid:286)(cid:345)(cid:346)(cid:146)(cid:329)(cid:58)(cid:11)(cid:37)(cid:325)(cid:10)67°30 (cid:33)
′
(cid:27)(cid:22)(cid:26)(cid:38)(cid:109)(cid:59)(cid:173)(cid:173)(cid:61)2 1
A(cid:87) 2-1 B(cid:87) 4+2 2 C(cid:87) D(cid:87) 2+1
2 2
+
