专题 21.7 反比例函数的性质（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:22)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:19)................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:22)(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:19)................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:33)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:19)........................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:33)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:40)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:19)................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:49)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:40)(cid:22)(cid:35)(cid:50)(cid:37)(cid:19)................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:40)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:19)....................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:40)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:20)(cid:19)................................................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:40)(cid:59)(cid:60)(cid:58)(cid:20)(cid:19)..................................................................................................................11
知识点1 反比例函数的性质
反比例函数 = (cid:61)(cid:62)(cid:37)(cid:63)
𝒌
𝒚 (𝒌 𝒌≠𝟎)
x，y的取值范围 0(cid:63) 𝒙 0（与坐标轴无交点）
𝒙≠ 𝒚≠
k的符号 k(cid:64)0 k(cid:65)0
图像
图像的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限
在每一象限内，y的值随x值的 在每一象限内，y的值随x值的
性质
增大而减小 增大而增大
知识点2 比例系数k的几何意义
1. 过 = 0)图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于| |.
𝑘
2. 连𝑦接 𝑥 = (𝑘≠ 0)图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三𝒌 角形，这两个直
𝑘
角三角形
𝑦
的面
𝑥(𝑘
积
≠
都等于
| |.
𝒌
𝟐3. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到| |
的值，进而确定函数表达式. 𝑘
知识点3 反比例函数与一次函数图象的交点问题
1. (cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = ( 0)(cid:66)(cid:67)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = ( 0)(cid:45)(cid:68)(cid:40)(cid:69)(cid:60)(cid:10)
𝑘1
(cid:70) >0(cid:71)(cid:63) 𝑦 (cid:72)(cid:36)𝑥(cid:37) 𝑘1 (cid:45) ≠ (cid:68)(cid:73)(cid:72)(cid:74)(cid:3)(cid:75)(cid:76)(cid:60) 𝑦 (cid:77)(cid:78) 𝑘 (cid:40) 2𝑥 (cid:69) 𝑘 (cid:60) 2 ≠ (cid:79)(cid:70) <0(cid:71)(cid:63)(cid:72)(cid:36)(cid:37)(cid:45)(cid:68)(cid:80)(cid:69)(cid:60)(cid:81)
𝑘1𝑘2 𝑘1𝑘2
2. (cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = ( 0)(cid:66)(cid:82)(cid:83)(cid:36)(cid:37) = + ( 0)(cid:45)(cid:68)(cid:40)(cid:69)(cid:60)(cid:10)
𝑘1
(cid:84)(cid:85)(cid:72)(cid:36)(cid:37)(cid:40)(cid:86) 𝑦 (cid:87)(cid:88)𝑥 (cid:63) 𝑘 (cid:89) 1 ≠ (cid:90)(cid:61)(cid:82)(cid:74)(cid:82)(cid:91)(cid:92) 𝑦 (cid:83)(cid:93) 𝑘 (cid:94) 2𝑥 𝑏 + 𝑘2 ≠ =0(cid:81)(cid:95)(cid:96)(cid:88) >0 (cid:72)(cid:36)(cid:37)(cid:45)(cid:68)(cid:73)2(cid:74)(cid:69)(cid:60)(cid:79)
2
=0 (cid:72)(cid:36)(cid:37)(cid:45)(cid:68)(cid:73)1(cid:74)(cid:69)(cid:60)(cid:79) <0 (cid:72)(cid:36)(cid:37)𝑘(cid:45)2𝑥(cid:68)(cid:97)𝑏(cid:73)𝑥−(cid:69)𝑘1(cid:60)(cid:81) ∆ ⟺
∆3.
(cid:98)(cid:99)
⟺
(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = ( 0)(cid:66)
∆
(cid:82)(cid:83)
⟺
(cid:36)(cid:37) = + ( 0)(cid:40)(cid:45)(cid:68)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:88) + > (cid:103) + <
𝑘1 𝑘1
𝑦 𝑥 𝑘1 ≠ 𝑦 𝑘2𝑥 𝑏 𝑘2 ≠ 𝑘2𝑥 𝑏 𝑥 𝑘2𝑥 𝑏
(cid:10)
𝑘1
(cid:28)𝑥 1(cid:32)(cid:84)(cid:85)(cid:72)(cid:36)(cid:37)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:63)(cid:100)(cid:82)(cid:91)(cid:92)(cid:83)(cid:93)(cid:94)(cid:33)(cid:104)(cid:69)(cid:60)(cid:30)(cid:24)(cid:25) (cid:63) (cid:79)
(cid:28)2(cid:32)(cid:98)(cid:99)(cid:45)(cid:68)(cid:63)(cid:45)(cid:68)(cid:56)(cid:105)(cid:47)(cid:40)(cid:36)(cid:37)(cid:42)(cid:26)(cid:79)(cid:45)(cid:68)(cid:56)(cid:106)(cid:47)(cid:40)(cid:36)(cid:37)𝑥1(cid:42)𝑥(cid:27)2(cid:63)(cid:77)(cid:107)x(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:108)(cid:61)(cid:109)(cid:107)(cid:101)(cid:102)(cid:88)(cid:40)(cid:100)
(cid:110)(cid:81)
(cid:111)(cid:45)(cid:112)(cid:113)(cid:63)(cid:70) >0(cid:63) >0(cid:71)(cid:63) + > (cid:40)(cid:100)(cid:110)(cid:61) < <0(cid:103) > (cid:63) + < (cid:40)(cid:100)(cid:110)(cid:61) < (cid:103)
𝑘1 𝑘1
0< < (cid:81) 𝑘1 𝑘2 𝑘2𝑥 𝑏 𝑥 𝑥2 𝑥 𝑥 𝑥1 𝑘2𝑥 𝑏 𝑥 𝑥 𝑥2
𝑥 𝑥1【题型1 比较坐标大小（知横坐标比纵坐标）】
(cid:15)(cid:35)1(cid:19)(cid:28)24-25(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:106)·(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)·(cid:121)(cid:122)(cid:32)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = (cid:40)(cid:45)(cid:68)(cid:123)(cid:124)(cid:60) ( )(cid:63) ( )(cid:63)(cid:106)(cid:125)(cid:126)(cid:127)
𝑘
(cid:82)(cid:128)(cid:67)(cid:129)(cid:40)(cid:130)(cid:28) (cid:32) 𝑦 𝑥 𝐴 𝑚,𝑦1 𝐵 𝑚−1,𝑦2
A(cid:81)(cid:131) >0(cid:63) >0(cid:63)(cid:132) > B(cid:81)(cid:131) >0(cid:63) <0(cid:63)(cid:132) >
C(cid:81)(cid:131)𝑘<0(cid:63)𝑚>0(cid:63)(cid:132)𝑦1> 𝑦2 D(cid:81)(cid:131)𝑘 <0(cid:63)𝑚 <0(cid:63)(cid:132)𝑦1 >𝑦2
𝑘 𝑚 𝑦1 𝑦2 𝑘 𝑚 𝑦1 𝑦2
(cid:15)(cid:133)(cid:88)1-1(cid:19)(cid:28)24-25(cid:134)(cid:115)(cid:116)(cid:105)·(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:32)(cid:111)(cid:143)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:40)(cid:45)(cid:68)(cid:123)(cid:124)(cid:60) 2(cid:63) (cid:144)
𝐴 −2023 𝐵
(cid:63) (cid:63) (cid:63) (cid:63)(cid:145) < <0(cid:63)(cid:146)(cid:147) (cid:148)(cid:40) (cid:26)(cid:27)(cid:3)(cid:50)(cid:130)(cid:28) (cid:32)
𝑥1 A(cid:81)𝑦1 <𝐶 𝑥2 𝑦2 B(cid:81)𝑥1 >𝑥2 𝑦C 1 (cid:81) =𝑦2 D(cid:81)(cid:101)(cid:149)(cid:22)(cid:23)
𝑦1 𝑦2 𝑦1 𝑦2 𝑦1 𝑦2
5
(cid:15)(cid:133)(cid:88)1-2(cid:19)(cid:28)24-25(cid:134)(cid:115)(cid:116)(cid:105)·(cid:150)(cid:136)(cid:151)(cid:152)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:32)(cid:131)(cid:60) )(cid:56)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = (cid:40)(cid:45)
(cid:68)(cid:105)(cid:63)(cid:132) , , (cid:40)(cid:26)(cid:27)(cid:3)(cid:50)(cid:130) (cid:81) 𝐴(−7,𝑦1),𝐵(−4,𝑦2),𝐶(5,𝑦3 𝑦 𝑥
𝑦1𝑦2𝑦3
(cid:15)(cid:133)(cid:88)1-3(cid:19)(cid:28)24-25(cid:134)(cid:115)(cid:116)(cid:106)·(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:156)·(cid:121)(cid:38)(cid:32)(cid:157)(cid:29) ( +3,2)(cid:63) 3, (cid:63) , )(cid:63) , )(cid:158)(cid:56)(cid:34)(cid:22)(cid:35)
3
𝑚
𝐴 𝑚 𝐵 𝐶(𝑥1𝑦1 𝐷(𝑥2𝑦2
(cid:36)(cid:37) = (cid:40)(cid:45)(cid:68)(cid:105)(cid:63)(cid:159)(cid:38) < <0(cid:63)(cid:132) (cid:66) (cid:40)(cid:26)(cid:27)(cid:3)(cid:50)(cid:130)(cid:28) (cid:32)
𝑘
A 𝑦(cid:81) 𝑥 < <0 B(cid:81)𝑥 0 1 < 𝑥2 < 𝑦1 C(cid:81)𝑦2 0< < D(cid:81) <0<
【题型
𝑦2 2
比
𝑦
较
1
坐标大小（知纵
𝑦
坐
2
标比
𝑦1
横坐标）】
𝑦1 𝑦2 𝑦1 𝑦2
2
(cid:15)(cid:35)2(cid:19)(cid:28)2025·(cid:160)(cid:161)(cid:161)(cid:162)·(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:32)(cid:157)(cid:29)(cid:60) ( , )(cid:63) ( , )(cid:63) ( , )(cid:158)(cid:56)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = (cid:40)(cid:45)(cid:68)(cid:105)(cid:63)
(cid:145) < <0< (cid:63)(cid:132) (cid:63) (cid:63) (cid:40)(cid:26)(cid:27)(cid:3)𝐴(cid:50)𝑥(cid:61) 1𝑦 1 𝐵(cid:81)𝑥(cid:28) 2 (cid:167)𝑦2 “< 𝐶 ”(cid:168)𝑥3 (cid:169)𝑦3 (cid:32) 𝑦 −𝑥
(cid:15)𝑦(cid:133)1(cid:88)2𝑦-21(cid:19)(cid:28)24𝑦-235(cid:114)(cid:115)𝑥1(cid:116)(cid:106)𝑥2·(cid:118)(cid:170)𝑥3(cid:80)(cid:171)·(cid:121)(cid:38)(cid:32)(cid:157)(cid:29)(cid:60) ( , )(cid:63) ( , )(cid:63) ( , )(cid:158)(cid:56)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)
1 𝐴 𝑥1𝑦1 𝐵 𝑥2𝑦2 𝐶 𝑥3𝑦3
= (cid:28)a(cid:130)(cid:62)(cid:37)(cid:32)(cid:40)(cid:45)(cid:68)(cid:105)(cid:63)(cid:145) <0< < (cid:63)(cid:132) (cid:63) (cid:63) (cid:40)(cid:26)(cid:27)(cid:3)(cid:50)(cid:130) (cid:81)
2
𝑎 +
𝑦 − 𝑥 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑥1 𝑥2 𝑥3
6
(cid:15)(cid:133)(cid:88)2-2(cid:19)(cid:28)24-25(cid:134)(cid:115)(cid:116)(cid:105)·(cid:150)(cid:136)(cid:172)(cid:150)·(cid:121)(cid:122)(cid:32)(cid:131)(cid:60) ( , ), ( ,3), ( ,6)(cid:158)(cid:56)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = (cid:40)(cid:45)
(cid:68)(cid:105)(cid:63)(cid:132) , , (cid:40)(cid:26)(cid:27)(cid:3)(cid:50)(cid:130)(cid:28) (cid:32) 𝐴 𝑥1 −2 𝐵 𝑥2 𝐶 𝑥3 𝑦 −𝑥
A(cid:81) 𝑥<1 𝑥2 <𝑥3 B(cid:81) < < C(cid:81) < < D(cid:81) < <
𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥1 𝑥3 𝑥2 𝑥2 𝑥1 𝑥3 𝑥2 𝑥3 𝑥1(cid:15)(cid:133)(cid:88)2-3(cid:19)(cid:28)2025·(cid:173)(cid:174)(cid:150)(cid:161)·(cid:82)(cid:163)(cid:32)(cid:131)(cid:60) ( ) ( ,1) ( ,2)(cid:158)(cid:56)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = >0)(cid:40)(cid:45)(cid:68)(cid:105)(cid:63)
𝑘
(cid:132) , , (cid:40)(cid:26)(cid:27)(cid:3)(cid:50)(cid:130)(cid:28) (cid:32)
𝐴 𝑥1,−2 ,𝐵 𝑥2 ,𝐶 𝑥3 𝑦 𝑥(𝑘
𝑥A1(cid:81)𝑥2𝑥3< < B(cid:81) < <
C(cid:81)𝑥3< 𝑥2< 𝑥1 D(cid:81)𝑥2 <𝑥3 <𝑥1
【题型
𝑥3 1
求
𝑥
反
3
比
𝑥
例
2
函数中参数的取值范围】
𝑥1 𝑥2 𝑥3
(cid:15)(cid:35)3(cid:19)(cid:28)24-25(cid:134)(cid:115)(cid:116)(cid:106)·(cid:150)(cid:175)(cid:176)(cid:177)·(cid:121)(cid:38)(cid:32)(cid:111)(cid:45)(cid:63)(cid:70)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = ( >0)(cid:40)(cid:45)(cid:68) (cid:178)(cid:179)(cid:46) (cid:40)(cid:180)(cid:181)
𝑘
(cid:28)(cid:101)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:32)(cid:40)(cid:30)(cid:144)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:158)(cid:61)(cid:185)(cid:37)(cid:40)(cid:60)(cid:186)(cid:187)(cid:37)(cid:188)(cid:109)(cid:102)(cid:40)(cid:72)(cid:181)(cid:186)
𝑦
(cid:63)(cid:132)
𝑥
(cid:40)
𝑥
(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:61)
𝐿
(cid:28) (cid:32)
𝐴𝐵𝐶𝐷
𝑘
A(cid:81)12< <15 B(cid:81)10< <14 C(cid:81)4< <10 D(cid:81)15< <16
(cid:15)(cid:133)(cid:88)3-1(cid:19)𝑘(cid:28)24-25(cid:134)(cid:115)(cid:116)(cid:105)·(cid:189)𝑘(cid:190)(cid:87)(cid:191)·(cid:121)(cid:122)(cid:32)(cid:111)(cid:45)(cid:130)𝑘4(cid:74)(cid:192)(cid:139)(cid:40)(cid:113)(cid:193)(cid:45)(cid:63)(cid:194)𝑘(cid:74)(cid:192)(cid:139)(cid:40)(cid:195)(cid:148)(cid:196)(cid:186)(cid:96)(cid:130)1(cid:148)
2(cid:63)(cid:194)(cid:74)(cid:192)(cid:139)(cid:197)(cid:198)(cid:40)(cid:199)(cid:40)(cid:200)(cid:60)(cid:201)(cid:202) (cid:28)m(cid:61)1(cid:203)4(cid:40)(cid:185)(cid:37)(cid:32)(cid:63)(cid:36)(cid:37) = ( >0)(cid:40)(cid:45)(cid:68)(cid:61)(cid:204)(cid:205)L(cid:63)(cid:131)(cid:204)(cid:205)L(cid:206)
𝑘
(cid:104) (cid:63)(cid:207)(cid:208)(cid:60)(cid:186)(cid:209)(cid:56)(cid:210)(cid:40)(cid:72)(cid:211)
𝑇𝑚
(cid:63)(cid:194)(cid:211)(cid:212)2(cid:74)(cid:60)(cid:63)(cid:132)k(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)
𝑦
(cid:44)
𝑥
(cid:130)
𝑥
(cid:28) (cid:32)
𝑇1∼𝑇4
A(cid:81)8 12 B(cid:81)8 <12 C(cid:81)8< 12 D(cid:81)8< <12
(cid:15)(cid:133)(cid:88)3-≤2(cid:19)𝑘(cid:28)≤24-25(cid:134)(cid:115)(cid:116)(cid:105)≤·𝑘(cid:150)(cid:175)(cid:213)(cid:214)(cid:215)·(cid:121)(cid:122)(cid:32)(cid:111)(cid:45)𝑘(cid:63)≤(cid:56)(cid:216)(cid:47)(cid:217)(cid:199)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:38)𝑘(cid:63)(cid:60) (3,4)(cid:63)(cid:60) ( )(cid:63)(cid:60)
( )(cid:63)(cid:168)(cid:169) (cid:63)(cid:124)A(cid:60)(cid:202)(cid:218)(cid:204)(cid:205) = ( >0)(cid:69)(cid:205)(cid:140) (cid:75)(cid:60)D(cid:28)(cid:101)(cid:66)(cid:60)B(cid:144)C(cid:219)(cid:220)𝐴(cid:32)(cid:63)(cid:157)(cid:29) 𝐵 > 0 0 ,𝑎(cid:63)(cid:131) 𝐶
𝑚
6,𝑎 𝐵𝐶 𝑦 𝑥 𝑥 𝐵𝐶 𝑎
> (cid:63)(cid:132)a(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:130) (cid:81)
𝐵𝐷 𝐷𝐶
(cid:15)(cid:133)(cid:88)3-3(cid:19)(cid:28)24-25(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:106)·(cid:118)(cid:170)(cid:170)(cid:191)·(cid:121)(cid:38)(cid:32)(cid:111)(cid:45)(cid:63) (cid:221)(cid:75)(cid:222)(cid:92)(cid:68)(cid:223)(cid:63) =3, =3(cid:63)(cid:217)(cid:199)(cid:200)(cid:60)
△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐶(cid:56)(cid:217)(cid:205) = (cid:105)(cid:63)(cid:145)(cid:60) (cid:40)(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:61) (cid:63)(cid:183) (cid:144) (cid:186)(cid:96)(cid:216)(cid:224)(cid:75) (cid:225)(cid:144) (cid:225)(cid:81)(cid:131)(cid:218)(cid:204)(cid:205) = (cid:66) (cid:40)(cid:183)
𝑘
(cid:73)2(cid:74)(cid:7)𝑦(cid:226)(cid:60)−(cid:63)𝑥 (cid:132) (cid:40)(cid:41)(cid:42)𝐶 (cid:43)(cid:44)(cid:61) − 4 (cid:81) 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵
𝑘
【题型4 求反比例函数中的图形面积】
(cid:15)(cid:35)4(cid:19)(cid:28)24-25(cid:134)(cid:115)(cid:116)(cid:105)·(cid:227)(cid:191)(cid:228)(cid:229)(cid:230)·(cid:121)(cid:122)(cid:32)(cid:111)(cid:45)(cid:63) (cid:148) (cid:158)(cid:130)(cid:102)(cid:231)(cid:217)(cid:199)(cid:232)(cid:199)(cid:46)(cid:63)
7 △𝑂𝐴𝐶 △𝐵𝐴𝐷
= =90 (cid:63)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = (cid:56)(cid:222)(cid:82)(cid:68)(cid:223)(cid:40)(cid:45)(cid:68)(cid:123)(cid:124)(cid:60) (cid:63)(cid:132) (cid:66) (cid:40)(cid:47)(cid:48)(cid:233)(cid:234)(cid:61)
∘
∠(cid:28)𝐴 𝐶 𝑂(cid:32) ∠𝐴𝐷𝐵 𝑦 𝑥 𝐵 △𝑂𝐴𝐶 △𝐵𝐴𝐷
7 7 7
A(cid:81) B(cid:81) C(cid:81) 7 D(cid:81)
3 2 2
2 4
(cid:15)(cid:133)(cid:88)4-1(cid:19)(cid:28)24-25(cid:134)(cid:115)(cid:116)(cid:105)·(cid:189)(cid:190)(cid:235)(cid:138)·(cid:121)(cid:122)(cid:32)(cid:111)(cid:45)(cid:61)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = (cid:66) = (cid:56)(cid:222)(cid:82)(cid:68)(cid:223)(cid:38)(cid:40)(cid:45)(cid:68)(cid:63)(cid:60)P
(cid:61)(cid:159)(cid:38)(cid:82)(cid:74)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:45)(cid:68)(cid:105)(cid:60)(cid:63)(cid:124)(cid:60)P(cid:202)y(cid:225)(cid:40)(cid:236)(cid:205)(cid:66)(cid:237)(cid:82)(cid:74)(cid:34)𝑦(cid:22)(cid:35)𝑥(cid:36)(cid:37)𝑦 (cid:45)𝑥(cid:68)(cid:69)(cid:75)(cid:60)A(cid:63)(cid:124)(cid:60)P(cid:202)x(cid:225)
(cid:40)(cid:236)(cid:205)(cid:66)(cid:237)(cid:82)(cid:74)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:45)(cid:68)(cid:69)(cid:75)(cid:60)B(cid:63)(cid:132) (cid:47)(cid:48)(cid:107)(cid:130)(cid:28)(cid:238)(cid:238)(cid:32)
△𝐴𝐵𝑃
3 1 1
A(cid:81)1 B(cid:81) C(cid:81) D(cid:81)
4 2 4
9 7
(cid:15)(cid:133)(cid:88)4-2(cid:19)(cid:28)2025·(cid:135)(cid:175)·(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:32)(cid:111)(cid:45)(cid:63)(cid:60) (cid:56)(cid:218)(cid:204)(cid:205) = (cid:105)(cid:63)(cid:60) (cid:56)(cid:218)(cid:204)(cid:205) = (cid:105)(cid:63)(cid:145) (cid:225)(cid:63)(cid:132)
(cid:40)(cid:47)(cid:48)(cid:102)(cid:75) (cid:81) 𝐴 𝑦 𝑥 𝐵 𝑦 𝑥 𝐴𝐵∥𝑦 △𝐴𝐵𝐶(cid:15)(cid:133)(cid:88)4-3(cid:19)(cid:28)24-25(cid:134)(cid:115)(cid:116)(cid:105)·(cid:118)(cid:170)(cid:136)(cid:239)·(cid:121)(cid:122)(cid:32)(cid:111)(cid:45)(cid:63)(cid:216)(cid:47)(cid:217)(cid:199)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:38)(cid:63)(cid:60) (cid:61)(cid:218)(cid:204)(cid:205) = 6 ( <0)(cid:105)(cid:240)
𝑃 𝑦 −𝑥 𝑥
(cid:193)(cid:82)(cid:60)(cid:63)(cid:178)(cid:60) (cid:241)(cid:76)(cid:60) (cid:242)(cid:71)(cid:243)(cid:244)(cid:89)60°(cid:245)(cid:104)(cid:246)(cid:60) (cid:63)(cid:60) (cid:56)(cid:217)(cid:205) = 3 (cid:105)(cid:81)(cid:131) = (cid:63)(cid:132) (cid:40)
′ ′ ′ ′
(cid:47)(cid:48)(cid:61)(cid:28) (cid:32)𝑃 𝑂 𝑃 𝑄 𝑦 − 𝑥 𝑃 𝑄 𝑃 𝑂 △𝑃 𝑂𝑄
A(cid:81)3 B(cid:81)6 C(cid:81)9 D(cid:81)12
【题型5 由图形面积求反比例函数的比例系数】
(cid:15)(cid:35)5(cid:19)(cid:28)24-25(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:106)·(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:250)·(cid:121)(cid:38)(cid:32)(cid:111)(cid:45)(cid:63)(cid:56)(cid:216)(cid:47)(cid:217)(cid:199)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:38)(cid:63) (cid:61)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:60)(cid:63)(cid:60) (cid:61) (cid:225)(cid:105)(cid:40)(cid:82)(cid:60)(cid:63)
𝑂 𝐴 𝑥
(cid:178) (cid:241)(cid:60) (cid:242)(cid:71)(cid:243)(cid:244)(cid:89)60°(cid:251) (cid:63)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = ( 0)(cid:40)(cid:45)(cid:68)(cid:123)(cid:124)(cid:60) (cid:63)(cid:124) (cid:202) (cid:69)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:40)
𝑘
(cid:45)
𝑂
(cid:68)
𝐴
(cid:75)(cid:60)
𝑂
(cid:63)(cid:131) (cid:40)(cid:47)(cid:48)
𝑂
(cid:61)
𝐵
3 2(cid:63)(cid:132) (cid:40)(cid:42)
𝑦
(cid:61)(cid:28)
𝑥 𝑘
(cid:32)
≠ 𝐵 𝐴 𝐴𝐶∥𝑂𝐵
𝐶 △𝑂𝐵𝐶 𝑘
A(cid:81) 2 B(cid:81) 3 2 C(cid:81) 3 2 D(cid:81) 2
2 2
(cid:15)(cid:133)(cid:88)− 5- 6 1(cid:19)(cid:28)24-25(cid:114)(cid:115)(cid:116)−(cid:106)·(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:250)·(cid:121)(cid:38)(cid:32)(cid:111)(cid:45)(cid:63)(cid:56)(cid:216)(cid:47)(cid:217)(cid:199)(cid:24)(cid:25)(cid:50)−(cid:38)3(cid:63) (cid:61)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:60)(cid:63) (cid:40)(cid:200)(cid:60)
𝑂 △𝐴𝐵𝐶
(cid:56) (cid:225)(cid:105)(cid:63) (cid:236)(cid:217)(cid:75) (cid:225)(cid:144)(cid:60) (cid:144) (cid:186)(cid:96)(cid:56)(cid:36)(cid:37) = >0(cid:63) >0 (cid:148) = (cid:65)0(cid:63) (cid:64)0 (cid:40)(cid:45)(cid:68)(cid:105)(cid:81)(cid:131)
𝑘1 𝑘2
𝐶 𝑦 (cid:40)(cid:47)𝐴(cid:48)𝐵(cid:61)5(cid:63)(cid:145)𝑥 + 𝐴=6𝐵(cid:63)(cid:132) (cid:40)(cid:42)(cid:61)𝑦 𝑥 𝑘 1 (cid:81) 𝑥 𝑦 𝑥 𝑘2 𝑥
△𝐴𝐵𝐶 𝑘1 𝑘2 𝑘2(cid:15)(cid:133)(cid:88)5-2(cid:19)(cid:28)24-25(cid:134)(cid:115)(cid:116)(cid:106)·(cid:219)(cid:252)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:32)(cid:111)(cid:45)(cid:63)(cid:157)(cid:29)(cid:56)(cid:216)(cid:47)(cid:217)(cid:199)(cid:24)(cid:25)(cid:50) (cid:38)(cid:63)(cid:217)(cid:205) = 1 (cid:186)(cid:96)(cid:69)
2
𝑥𝑂𝑦 𝑦 𝑥−1
(cid:225)(cid:63) (cid:225)(cid:75)(cid:60) (cid:148)(cid:60) (cid:63)(cid:186)(cid:96)(cid:69)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = 2 ( > >0)(cid:63) = ( <0)(cid:40)(cid:45)(cid:68)(cid:75)(cid:60) (cid:148)(cid:60) (cid:63)(cid:124)(cid:60) (cid:202)
𝑘
𝑥 𝑦
(cid:225)(cid:75)(cid:60)
𝐴
(cid:63)(cid:168)(cid:253)
𝐵
(cid:63) (cid:63)(cid:131)
𝑦
(cid:40)
1
(cid:47)(cid:48)
𝑥
(cid:66)
𝑘 0,𝑥
(cid:40)(cid:47)(cid:48)
𝑦2
(cid:109)(cid:102)
𝑥
(cid:63)
𝑥
(cid:132) (cid:40)(cid:42)(cid:130)(cid:28) (cid:32)
𝐶 𝐷 𝐶
𝐶𝐸⊥𝑥 𝐸 𝑂𝐶 𝑂𝐷 △𝐶𝑂𝐸 △𝐷𝑂𝐵 𝑘
3
A(cid:81)2 B(cid:81) C(cid:81)1 D(cid:81)4
2
(cid:15)(cid:133)(cid:88)5-3(cid:19)(cid:28)24-25(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:106)·(cid:156)(cid:161)(cid:254)(cid:255)·(cid:121)(cid:38)(cid:32)(cid:111)(cid:45)(cid:63)(cid:216)(cid:224)(cid:189)(cid:183)(cid:46) (cid:40)(cid:47)(cid:48)(cid:61)4(cid:63)(cid:200)(cid:60)A(cid:66)(cid:76)(cid:60)O(cid:219)(cid:220)(cid:63)
𝐴𝐵𝐶𝐷 5
(cid:200)(cid:60)B(cid:56)x(cid:225)(cid:40)(cid:256)(cid:257)(cid:225)(cid:105)(cid:63)(cid:200)(cid:60)C(cid:63)D(cid:186)(cid:96)(cid:258)(cid:56)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = (cid:148) = (cid:40)(cid:45)(cid:68)(cid:105)(cid:63)(cid:132)k(cid:40)(cid:42)(cid:102)
𝑘
(cid:75) (cid:81) 𝑦1 𝑥 𝑦2 −𝑥
【题型6 反比例函数中的规律探究】
2
(cid:15)(cid:35)6(cid:19)(cid:28)2025·(cid:156)(cid:154)(cid:259)(cid:260)·(cid:82)(cid:163)(cid:32)(cid:111)(cid:45)(cid:63)(cid:218)(cid:204)(cid:205) = (cid:66)(cid:217)(cid:205) = (cid:109)(cid:69)(cid:75)(cid:60)A(cid:63)B(cid:63)(cid:56)(cid:217)(cid:205) = (cid:105)(cid:41)(cid:60) (2, )
, ( )(cid:63) (3, ), ( ), (4, ), ( 𝑦 𝑥 )(cid:63)…(cid:63)(cid:261)𝑦 (cid:83)2(cid:262)𝑥 , , (cid:63)…(cid:61)(cid:77)𝑦(cid:199)(cid:205)2𝑥(cid:186)(cid:96)(cid:263)(cid:264)𝐴1 (cid:202) 𝑎1
(cid:265)𝐵1(cid:144)−(cid:266)2(cid:82),𝑏1(cid:267)(cid:77)𝐴(cid:183)2 (cid:236)𝑎(cid:217)2(cid:75)𝐵2x(cid:225)−3(cid:40),𝑏(cid:179)2 (cid:46)𝐴3 ,𝑎3 ,𝐵3(cid:63)−…4,𝑏(cid:81)3(cid:179)(cid:46) (cid:40)(cid:189)(cid:268)𝐴(cid:183)1𝐵(cid:66)1(cid:269)𝐴2(cid:218)𝐵2(cid:204)𝐴(cid:205)3𝐵(cid:40)3(cid:69)(cid:60)(cid:49)(cid:222)(cid:82)(cid:68)(cid:223)(cid:270)(cid:71)(cid:243)(cid:261)
𝑀1𝑀2𝑀3 𝑀1(cid:83)(cid:201)(cid:61)(cid:10) , , , (cid:79)(cid:179)(cid:46) (cid:40)(cid:189)(cid:268)(cid:183)(cid:66)(cid:269)(cid:218)(cid:204)(cid:205)(cid:40)(cid:69)(cid:60)(cid:49)(cid:222)(cid:82)(cid:68)(cid:223)(cid:270)(cid:71)(cid:243)(cid:261)(cid:83)(cid:201)(cid:61)(cid:10) , , , (cid:79)(cid:179)(cid:46)
(cid:40)(cid:189)(cid:268)(cid:183)𝐶(cid:66)1(cid:269)𝐶2(cid:218)𝐶3(cid:204)𝐶(cid:205)4 (cid:40)(cid:69)(cid:60)𝑀(cid:49)2 (cid:222)(cid:82)(cid:68)(cid:223)(cid:270)(cid:71)(cid:243)(cid:261)(cid:83)(cid:201)(cid:61)(cid:10) , , (cid:63) …(cid:81)(cid:271)(cid:272)(cid:51)(cid:52)𝐶(cid:63)5𝐶(cid:132)6(cid:60)𝐶7𝐶8 (cid:40)(cid:24)𝑀(cid:25)3
(cid:61) (cid:81) 𝐶9𝐶10𝐶11 𝐶12 𝐶2025
(cid:15)(cid:133)(cid:88)6-1(cid:19)(cid:28)2025·(cid:150)(cid:175)(cid:213)(cid:214)(cid:215)·(cid:92)(cid:163)(cid:32)(cid:111)(cid:45)(cid:63)(cid:216)(cid:47)(cid:217)(cid:199)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:38)(cid:63)(cid:183)(cid:249)(cid:61)1(cid:40)(cid:67)(cid:93)(cid:46) (cid:40)(cid:200)(cid:60) (cid:144) (cid:186)
𝑂𝐴𝑃1𝐵 𝐴 𝐵
(cid:96)(cid:56) (cid:225)(cid:144) (cid:225)(cid:105)(cid:63)(cid:60) (cid:56)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = >0)(cid:40)(cid:45)(cid:68)(cid:105)(cid:63)(cid:124) (cid:40)(cid:38)(cid:60) (cid:202)(cid:179)(cid:46) (cid:63)(cid:206)(cid:200)(cid:60) (cid:258)
𝑘
(cid:56)(cid:34)(cid:22)
𝑥
(cid:35)(cid:36)
𝑦
(cid:37)(cid:40)(cid:45)(cid:68)(cid:105)
𝑃1
(cid:63)(cid:273)(cid:124) (cid:40)
𝑦 (cid:38)(cid:60)𝑥(𝑥
(cid:202)(cid:179)(cid:46) (cid:63)
𝑃
(cid:206)
1𝐴
(cid:200)(cid:60) (cid:258)
𝐵
(cid:56)
1
(cid:34)(cid:22)(cid:35)
𝐵
(cid:36)
1𝐴
(cid:37)
𝐴
(cid:40)
1𝑃
(cid:45)
2
(cid:68)(cid:105)(cid:63)…
𝑃
(cid:63)
2
(cid:261)
(cid:272)(cid:51)(cid:52)(cid:63)(cid:202)(cid:198)(cid:179)(cid:46) 𝑃2(cid:71)𝐴1(cid:63)(cid:258)(cid:56)(cid:34)𝐵2(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)𝐵2(cid:45)𝐴(cid:68)1𝐴(cid:105)2𝑃(cid:40)3 (cid:200)(cid:60) (cid:40)𝑃3(cid:24)(cid:25)(cid:61)(cid:28) (cid:32)
𝐵18𝐴17𝐴18𝑃19 𝑃19
A(cid:81)(2 , 1 ) B(cid:81)( 1 ,2 ) C(cid:81)(2 , 1 ) D(cid:81)( 1 ,2 )
2 2 2 2
18 18 15 15
18 18 15 15
4 8
(cid:15)(cid:133)(cid:88)6-2(cid:19)(cid:28)2025·(cid:160)(cid:161)(cid:274)(cid:136)·(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:32)(cid:111)(cid:45)(cid:63)(cid:56)(cid:216)(cid:47)(cid:217)(cid:199)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:40)(cid:222)(cid:82)(cid:68)(cid:223)(cid:38)(cid:63) = (cid:148) = (cid:63)(cid:60) ( )
𝑦1 𝑥 𝑦2 𝑥 𝐴 1,𝑎
4 8 4 8
(cid:56) = (cid:105)(cid:63) (cid:225)(cid:69) = (cid:75)(cid:60) (cid:63) (cid:225)(cid:69) = (cid:75)(cid:60) (cid:63) (cid:225)(cid:69) = (cid:75)(cid:60) (cid:63)…(cid:63)(cid:271)(cid:275)(cid:272)
(cid:51)𝑦(cid:52) 1 (cid:202)(cid:45)𝑥(cid:63)(cid:132)𝐴𝐵(cid:40)∥𝑥(cid:60)(cid:24)(cid:25)𝑦2 (cid:61) 𝑥 (cid:81)𝐵 𝐵𝐴1∥𝑦 𝑦1 𝑥 𝐴1 𝐴1𝐵1∥𝑥 𝑦2 𝑥 𝐵2
𝐵24
(cid:15)(cid:133)(cid:88)6-3(cid:19)(cid:28)24-25(cid:134)(cid:115)(cid:116)(cid:105)·(cid:135)(cid:136)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:32)(cid:111)(cid:45)(cid:63)(cid:56)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = (cid:40)(cid:45)(cid:68)(cid:105)(cid:73) ( )(cid:144)B(cid:72)(cid:60)(cid:63)(cid:168)
𝑦 𝑥 𝐴 2,𝑚
(cid:169) (cid:63)(cid:124)(cid:207)(cid:72)(cid:60)(cid:186)(cid:96)(cid:202)x(cid:225)(cid:40)(cid:236)(cid:205)(cid:69)x(cid:225)(cid:75)(cid:60)C(cid:144)D(cid:63)(cid:157)(cid:29) = 1 (cid:63)(cid:60) (cid:130) (cid:40)(cid:38)(cid:60)(cid:63)(cid:168)(cid:169) (cid:144) (cid:63)
2
𝐴𝐵 𝐵𝐷 𝐴𝐶 𝐹1 𝐶𝐷 𝐴𝐹1 𝐵𝐹1
(cid:104)(cid:246) (cid:79)(cid:60) (cid:130) (cid:40)(cid:38)(cid:60)(cid:63)(cid:168)(cid:169) (cid:144) (cid:63)(cid:104)(cid:246) (cid:79)……(cid:271)(cid:275)(cid:272)(cid:51)(cid:52)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:224)(cid:106)(cid:279)(cid:63)(cid:132)
△𝐴(cid:40)𝐹1(cid:47)𝐵(cid:48)(cid:61)𝐹 2 𝐷 𝐹1 (cid:81)(cid:28)(cid:167)(cid:182)(cid:67)(cid:185)𝐴(cid:37)𝐹2n(cid:40)𝐵𝐹(cid:88)2(cid:280)(cid:86)(cid:113)(cid:32)△𝐴𝐹2𝐵
△𝐴𝐹𝑛𝐵
【题型7 反比例函数中的存在性问题】
(cid:15)(cid:35)7(cid:19)(cid:28)24-25(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:105)·(cid:105)(cid:281)(cid:282)(cid:283)·(cid:121)(cid:122)(cid:32)(cid:111)(cid:45)(cid:63)(cid:157)(cid:29)(cid:67)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = 3 (cid:123)(cid:124)(cid:60) ( 3)( >0)(cid:63)(cid:124)(cid:60)
(cid:202) (cid:225)(cid:63)(cid:69)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:75)(cid:60) (cid:28)(cid:60) (cid:56)(cid:60) (cid:106)(cid:93)(cid:32)(cid:63)(cid:168)(cid:169) (cid:104) 𝑦 (cid:40)𝑥(cid:47)(cid:48)(cid:61)𝐴12𝑚3,6(cid:81) 𝑚 𝐴
𝐴𝐵∥𝑦 𝐵 𝐵 𝐴 𝑂𝐵 △𝐴𝑂𝐵
(1)(cid:33) (cid:40)(cid:42)(cid:79)
(2)(cid:33)𝑚(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:100)(cid:284)(cid:88)(cid:79)
(3)(cid:56)(cid:217)(cid:205) (cid:105)(cid:130)(cid:285)(cid:55)(cid:56)(cid:82)(cid:60) (cid:63)(cid:206)(cid:104) (cid:130)(cid:217)(cid:199)(cid:232)(cid:199)(cid:46)(cid:286)(cid:131)(cid:73)(cid:63)(cid:287)(cid:33)(cid:198)(cid:60) (cid:40)(cid:24)(cid:25)(cid:79)(cid:131)(cid:97)(cid:73)(cid:63)(cid:287)(cid:126)(cid:288)(cid:289)(cid:49)(cid:81)
(cid:15)(cid:133)(cid:88)7-1 𝑂 (cid:19) 𝐴 (cid:28)24-25(cid:134)(cid:115)(cid:116)(cid:105) 𝐶 ·(cid:189)(cid:190)(cid:187) △ (cid:158) 𝐴 · 𝐵 (cid:121) 𝐶 (cid:122)(cid:32)(cid:82)(cid:83)(cid:36)(cid:37) = 1 +2(cid:66)x(cid:225)(cid:69) 𝐶 (cid:75)C(cid:60)(cid:63)(cid:66)y(cid:225)(cid:69)(cid:75)B(cid:60)(cid:63)(cid:60)
2
𝑦 𝑥( )(cid:56)(cid:217)(cid:205) (cid:105)(cid:63)(cid:124)(cid:60)A(cid:202)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = (cid:45)(cid:68)(cid:81)
𝑘
𝐴 2,𝑎 𝐵𝐶 𝑦 𝑥
(1)(cid:33)(cid:198)a(cid:63)k(cid:40)(cid:42)(cid:79)
(2)(cid:56)x(cid:225)(cid:105)(cid:130)(cid:285)(cid:55)(cid:56)(cid:60)D(cid:63)(cid:206)(cid:104) = (cid:63)(cid:131)(cid:55)(cid:56)(cid:287)(cid:217)(cid:169)(cid:290)(cid:198)(cid:24)(cid:25)(cid:63)(cid:131)(cid:101)(cid:55)(cid:56)(cid:287)(cid:126)(cid:288)(cid:289)(cid:49)(cid:81)
∠𝐵𝑂𝐴 ∠𝑂𝐴𝐷
(cid:15)(cid:133)(cid:88)7-2(cid:19)(cid:28)24-25(cid:134)(cid:115)(cid:116)(cid:105)·(cid:156)(cid:154)(cid:291)(cid:162)·(cid:121)(cid:38)(cid:32)(cid:292)(cid:220)(cid:66)(cid:53)(cid:54)(cid:10)(cid:111)(cid:45)(cid:63)(cid:82)(cid:83)(cid:36)(cid:37) = +1(cid:66)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) =
𝑘
(cid:40)(cid:45)(cid:68)(cid:109)(cid:69)(cid:75) ( )(cid:63)B(cid:72)(cid:60)(cid:63)(cid:186)(cid:96)(cid:168)(cid:169) (cid:81) 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥
𝐴 𝑚,2 𝑂𝐴,𝑂𝐵
(1)(cid:33)(cid:207)(cid:74)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:40)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:79)
(2)(cid:33)(cid:198)(cid:60)B(cid:40)(cid:24)(cid:25)(cid:293) (cid:40)(cid:47)(cid:48)(cid:79)
(3)(cid:56)(cid:24)(cid:25)(cid:225)y(cid:225)(cid:105)(cid:130)(cid:285)△(cid:55)𝐴(cid:56)𝑂𝐵(cid:82)(cid:60)P(cid:63)(cid:206)(cid:262)(cid:60)B(cid:63)A(cid:63)P(cid:61)(cid:200)(cid:60)(cid:40)(cid:232)(cid:199)(cid:46)(cid:130)(cid:262) (cid:61)(cid:217)(cid:199)(cid:183)(cid:40)(cid:217)(cid:199)(cid:232)(cid:199)(cid:46)(cid:286)(cid:131)(cid:55)
(cid:56)(cid:63)(cid:287)(cid:217)(cid:169)(cid:290)(cid:198)(cid:60)P(cid:40)(cid:24)(cid:25)(cid:79)(cid:131)(cid:101)(cid:55)(cid:56)(cid:63)(cid:287)(cid:126)(cid:288)(cid:289)(cid:49)(cid:81) 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:133)(cid:88)7-3(cid:19)(cid:28)24-25(cid:134)(cid:115)(cid:116)(cid:105)·(cid:247)(cid:248)(cid:294)(cid:156)·(cid:121)(cid:122)(cid:32)(cid:111)(cid:45)(cid:63)(cid:56)(cid:216)(cid:47)(cid:217)(cid:199)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:38)(cid:63)(cid:217)(cid:205) = + (cid:66)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)
𝑦 −𝑥 𝑏
= (cid:40)(cid:45)(cid:68)(cid:69)(cid:60)(cid:75)(cid:60) ( )(cid:66) (cid:225)(cid:69)(cid:75)(cid:60) (cid:63) (cid:225)(cid:69)(cid:75)(cid:60) (0,4)(cid:81)
𝑘
𝑦 𝑥 𝐴 𝑛,6 𝑥 𝐶 𝑦 𝐵(1)(cid:33) (cid:144)(cid:40)(cid:42)(cid:79)
(2)(cid:168)𝑘(cid:169) 𝑏(cid:63)(cid:33) (cid:40)(cid:47)(cid:48)(cid:79)
(3)(cid:56)(cid:34)𝐴(cid:22)𝑂(cid:35)(cid:36)(cid:37)△(cid:45)𝐴(cid:68)𝑂𝐶(cid:105)(cid:55)(cid:56)(cid:82)(cid:60) (cid:63)(cid:131)(cid:60) (cid:61)(cid:24)(cid:25)(cid:225)(cid:105)(cid:40)(cid:82)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:70)(cid:262) (cid:144) (cid:144) (cid:144) (cid:61)(cid:200)(cid:60)(cid:40)(cid:189)(cid:183)(cid:46)(cid:130)(cid:216)(cid:224)
(cid:189)(cid:183)(cid:46)(cid:71)(cid:63)(cid:217)(cid:169)(cid:290)(cid:198)(cid:60) (cid:40)(cid:24)(cid:25)(cid:81)𝐷 𝑄 𝐴 𝐵 𝐷 𝑄
【题型8 反比例函数中 𝑄 的动点问题】
(cid:15)(cid:35)8(cid:19)(cid:28)24-25(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:106)·(cid:189)(cid:190)(cid:295)(cid:156)·(cid:121)(cid:38)(cid:32)(cid:157)(cid:29)(cid:63)(cid:179)(cid:46)OABC(cid:56)(cid:216)(cid:47)(cid:217)(cid:199)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:180)(cid:40)(cid:221)(cid:296)(cid:111)(cid:45)(cid:112)(cid:113)(cid:63)(cid:60)O
(cid:61)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:60)(cid:63)(cid:60)A(cid:40)(cid:24)(cid:25)(cid:61)(10,0)(cid:63)(cid:60)B(cid:40)(cid:24)(cid:25)(cid:61)(10,8)(cid:81)
(1)(cid:33)(cid:217)(cid:205) (cid:40)(cid:100)(cid:284)(cid:88)(cid:79)
(2)(cid:157)(cid:29)(cid:217)𝐴(cid:205)𝐶 (cid:66)(cid:218)(cid:204)(cid:205) = 0)(cid:56)(cid:222)(cid:82)(cid:68)(cid:223)(cid:180)(cid:73)(cid:82)(cid:69)(cid:60)Q(cid:61)( )(cid:79)(cid:131)(cid:59)(cid:60)P(cid:297)A(cid:60)(cid:198)(cid:298)(cid:63)(cid:299)(cid:300)(cid:205)
𝑚
𝐴𝐶 𝑦 𝑥(𝑚≠ 5,𝑛
(cid:40)(cid:301)(cid:302)(cid:262)(cid:194)(cid:303)2(cid:74)(cid:304)(cid:221)(cid:249)(cid:305)(cid:40)(cid:306)(cid:305)(cid:307)(cid:59)(cid:63)(cid:246)(cid:87)C(cid:308)(cid:309)(cid:310)(cid:63)(cid:33) (cid:40)(cid:47)(cid:48)S(cid:66)(cid:60)P(cid:40)(cid:307)(cid:59)(cid:71)(cid:311)t
(cid:28)𝐴𝑂(cid:303)→(cid:32)𝑂𝐶(cid:40)(cid:36)(cid:37)(cid:3)(cid:50)(cid:88)(cid:312)(cid:313)(cid:198)(cid:36)(cid:37)(cid:45)(cid:68)(cid:79) △𝑂𝑃𝑄
(3)(cid:56)(cid:28)2(cid:32)(cid:40)(cid:268)(cid:314)(cid:106)(cid:63)(cid:70) 10(cid:71)(cid:63)(cid:33)t(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:81)
𝑆≥ 1 1
(cid:15)(cid:133)(cid:88)8-1(cid:19)(cid:28)24-25(cid:134)(cid:115)(cid:116)(cid:105)·(cid:162)(cid:315)(cid:162)(cid:252)·(cid:121)(cid:122)(cid:32)(cid:111)(cid:45)(cid:112)(cid:113)(cid:63)(cid:157)(cid:29) , (cid:63) (3, )(cid:61)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = (cid:45)(cid:68)(cid:105)
3
(cid:40)(cid:72)(cid:60)(cid:63)(cid:59)(cid:60) ( )(cid:56) (cid:225)(cid:67)(cid:257)(cid:225)(cid:105)(cid:307)(cid:59)(cid:63)(cid:70)(cid:205)(cid:140) (cid:66)(cid:205)(cid:140) (cid:233)𝐴(cid:234)(cid:87) 𝑦 (cid:246) 1 (cid:316)(cid:26)𝐵(cid:71)𝑦(cid:63) 2 (cid:60) (cid:40)(cid:24)(cid:25)(cid:130)(cid:28)𝑦 (cid:32)𝑥
𝑃 𝑥,0 𝑥 𝐴𝑃 𝐵𝑃 𝑃
1 4 2 10
A(cid:81) ,0 B(cid:81) ,0 C(cid:81) ,0 D(cid:81) ,0
3 3 3 3
(cid:15)(cid:133)(cid:88)8-2(cid:19)(cid:28)24-25(cid:134)(cid:115)(cid:116)(cid:105)·(cid:150)(cid:175)(cid:317)(cid:128)·(cid:121)(cid:122)(cid:32)(cid:111)(cid:45)(cid:63)(cid:102)(cid:231)(cid:217)(cid:199)(cid:232)(cid:199)(cid:46) (cid:56)(cid:222)(cid:82)(cid:68)(cid:223)(cid:63)(cid:60)A(cid:63)B(cid:40)(cid:24)(cid:25)(cid:186)
𝐴𝐵𝐶
(cid:96)(cid:61)(1,5),(1,2)(cid:63) =90°(cid:81)(cid:59)(cid:60)D(cid:297)(cid:60)A(cid:198)(cid:298)(cid:63)(cid:299) (cid:307)(cid:59)(cid:246)(cid:60)C(cid:63)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = (cid:28) >0(cid:32)(cid:40)(cid:45)(cid:68)
𝑘
∠𝐵 𝐴𝐵−𝐵𝐶 𝑦 𝑥 𝑥L(cid:123)(cid:124)(cid:60)D(cid:63)(cid:132)(cid:56)(cid:60)D(cid:40)(cid:307)(cid:59)(cid:124)(cid:94)(cid:38)(cid:63)(cid:106)(cid:125)(cid:212)(cid:60)(cid:38)(cid:63)(cid:45)(cid:68)L(cid:123)(cid:124)(cid:72)(cid:83)(cid:40)(cid:130)(cid:28) (cid:32)
A(cid:81)(1,2) B(cid:81)(3,2) C(cid:81)(2,2) D(cid:81)(4,2)
1
(cid:15)(cid:133)(cid:88)8-3(cid:19)(cid:28)24-25(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:106)·(cid:318)(cid:319)(cid:118)(cid:26)(cid:252)·(cid:121)(cid:38)(cid:32)(cid:72)(cid:74)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = (cid:148) = (cid:56)(cid:222)(cid:82)(cid:68)(cid:223)(cid:180)(cid:40)(cid:45)(cid:68)(cid:111)(cid:45)(cid:112)
𝑘
𝑦 𝑥 𝑦 𝑥
1 1
(cid:113)(cid:63)(cid:60)P(cid:56) = (cid:40)(cid:45)(cid:68)(cid:105)(cid:63) (cid:225)(cid:75)(cid:60)C(cid:63)(cid:69) = (cid:40)(cid:45)(cid:68)(cid:75)(cid:60)A(cid:63) (cid:225)(cid:75)(cid:60)D(cid:63)(cid:69) = (cid:40)(cid:45)(cid:68)(cid:75)(cid:60)
𝑘
𝑦 𝑥 𝑃𝐶⊥𝑥 𝑦 𝑥 𝑃𝐷⊥𝑦 𝑦 𝑥
B(cid:63)(cid:70)(cid:60)P(cid:56) = (cid:40)(cid:45)(cid:68)(cid:105)(cid:307)(cid:59)(cid:71)(cid:63)(cid:262)(cid:106)(cid:253)(cid:320)(cid:10) (cid:66) (cid:40)(cid:47)(cid:48)(cid:109)(cid:102)(cid:79) (cid:189)(cid:183)(cid:46) (cid:40)(cid:47)(cid:48)(cid:101)
𝑘
(cid:321)(cid:298)(cid:322)(cid:133)(cid:90)(cid:79)𝑦 𝑥(cid:66) (cid:323)(cid:324)(cid:109)(cid:102)(cid:79) (cid:70)(cid:60)A(cid:130) ①(cid:40)(cid:38)△(cid:60)𝑂𝐷(cid:71)𝐵(cid:63)(cid:60)△ B 𝑂(cid:82)𝐶𝐴(cid:128)(cid:130) (cid:40)(cid:38)(cid:60)(cid:81)②(cid:159)(cid:38)(cid:82)(cid:128)𝑃(cid:67)𝐴(cid:129)𝑂𝐵(cid:40)(cid:130) (cid:81)
③𝑃𝐴 𝑃𝐵 ④ 𝑃𝐶 𝑃𝐷
