专题22.2平行线分线段成比例(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上(沪科)

专题 22.2 平行线分线段成比例（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:19)....................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 “#”(cid:29)(cid:21)(cid:19)...................................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 “X”(cid:29)(cid:21)(cid:19)..................................................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 “A”(cid:29)(cid:21)(cid:19)..................................................................................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 “8”(cid:29)(cid:21)(cid:19).................................................................................................................................................12
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:40)(cid:43)(cid:44)(cid:19)..............................................................................16
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:45)(cid:46)(cid:40)(cid:43)(cid:44)(cid:19)..................................................................................20
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:19)..................................................................................................25
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:53)(cid:54)(cid:32)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:19)......................................................................................................31
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:53)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:19)..................................................................................................37
知识点 平行线分线段成比例
1. (cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:10)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:32)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:67)(cid:70)(cid:40)(cid:71)(cid:72)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:73)
2. (cid:74)(cid:11)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:10)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:81)(cid:82)(cid:63)(cid:32) (cid:83) (cid:83) (cid:69)(cid:33)(cid:84)(cid:85)(cid:63)(cid:32)m(cid:69)n(cid:86)(cid:87)A(cid:69)B(cid:69)C(cid:69)D(cid:69)E(cid:69)F(cid:69)(cid:88) = (cid:69) =
𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝐴𝐵
𝑙1 𝑙2 𝑙3 𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐴𝐶
(cid:69) = (cid:69) (cid:73)
𝐷𝐸 𝐵𝐶 𝐸𝐹
𝐷𝐹 𝐴𝐶 𝐷𝐹 ⋯
3. (cid:89)(cid:90)(cid:10)(cid:30)(cid:31)(cid:86)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:65)(cid:91)(cid:40)(cid:63)(cid:32)(cid:68)(cid:92)(cid:93)(cid:61)(cid:91)((cid:94)(cid:61)(cid:91)(cid:95)(cid:96)(cid:32))(cid:67)(cid:70)(cid:40)(cid:71)(cid:72)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:73)
(cid:79)(cid:80)(cid:97)1(cid:98)(cid:99)(cid:80)(cid:97)2(cid:98)(cid:67)(cid:100)(cid:69) (cid:83) (cid:69)(cid:88)(cid:101) = (cid:69) = (cid:69) (cid:73)
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶
𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐸 ⋯【题型1 判断比例式正误】
(cid:15)(cid:25)1(cid:19)(cid:97)24-25(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)·(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:112)(cid:34)(cid:113)(cid:114)(cid:98)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:87)D(cid:99)E(cid:99)F(cid:33)(cid:84)(cid:115) (cid:40)(cid:91) (cid:99) (cid:99) (cid:116)(cid:69)
(cid:117)(cid:118) (cid:99) (cid:99) (cid:69) (cid:85) (cid:86)(cid:87) (cid:69)(cid:119)(cid:91)(cid:39) (cid:120)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:91)(cid:39)(cid:69)(cid:88)(cid:105)(cid:121)(cid:26)(cid:122)(cid:65)△(cid:123)𝐴(cid:27)𝐵(cid:124)𝐶 (cid:40)(cid:125)𝐴(cid:97)𝐵(cid:126)𝐴(cid:126)𝐶(cid:98)𝐵𝐶
𝐷𝐸 𝐸𝐹 𝐴𝐹 𝐴𝐹 𝐷𝐸 𝐺 𝐵𝐹𝐸𝐷
A(cid:73) = B(cid:73) = C(cid:73) = D(cid:73) =
𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐸 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐷𝐺 𝐴𝐺 𝐷𝐸
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19) 𝐵𝐷 A 𝐶𝐹 𝐴𝐶 𝐷𝐸 𝐴𝐸 𝐸𝐺 𝐹𝐺 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:91)(cid:39)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:99)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:69)(cid:136)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:91)(cid:39)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:137)(cid:70) = (cid:69)
(cid:69) (cid:69)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:141)(cid:142)(cid:33)(cid:129)(cid:143)(cid:137)(cid:70)(cid:52)(cid:73) 𝐷𝐸 𝐵𝐹
𝐸(cid:15)𝐹(cid:144)∥(cid:52)𝐴𝐵(cid:19)(cid:52)𝐷(cid:10)𝐸∥(cid:119)𝐵𝐶(cid:91)(cid:39) (cid:120)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:91)(cid:39)(cid:69)
= (cid:69) ∵ (cid:69)𝐵𝐹𝐸𝐷 (cid:69)
∴𝐷𝐸 𝐵𝐹 𝐸𝐹∥𝐴𝐵 𝐷𝐸∥𝐵𝐶
= = = = (cid:69)(cid:145)A(cid:146)(cid:142)(cid:27)(cid:124)(cid:69)(cid:147)(cid:44)(cid:20)(cid:148)(cid:149)
𝐴𝐷 𝐴𝐺 𝐴𝐸 𝐵𝐹 𝐷𝐸
(cid:150)∴𝐵(cid:120)𝐷 𝐹𝐺 𝐶𝐸(cid:69)(cid:145)𝐶𝐹D(cid:146) 𝐶 (cid:142) 𝐹 (cid:151)(cid:27)(cid:124)(cid:69)(cid:151)(cid:147)(cid:44)(cid:20)(cid:148)(cid:149)
𝐶𝐹≠𝐵𝐶
= (cid:69)(cid:145)B(cid:146)(cid:142)(cid:151)(cid:27)(cid:124)(cid:69)(cid:151)(cid:147)(cid:44)(cid:20)(cid:148)(cid:149)
𝐴𝐸 𝐷𝐸
𝐴𝐶 𝐵𝐶
= = = (cid:69)(cid:152) (cid:151)(cid:65)(cid:123)(cid:153)(cid:86) (cid:69)(cid:145)C(cid:146)(cid:142)(cid:151)(cid:27)(cid:124)(cid:69)(cid:151)(cid:147)(cid:44)(cid:20)(cid:148)(cid:149)
𝐷𝐺 𝐵𝐹 𝐷𝐸 𝐴𝐷
(cid:145)𝐸𝐺(cid:146)(cid:10)𝐹𝐶A(cid:73)𝐹𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐸
(cid:15)(cid:154)(cid:26)1-1(cid:19)(cid:97)24-25(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:116)·(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:158)·(cid:159)(cid:160)(cid:98)(cid:79)(cid:80)(cid:69) (cid:36) (cid:161)(cid:85)(cid:86)(cid:87)G(cid:69)(cid:162)
= = =3(cid:69)(cid:88)(cid:105)(cid:121)(cid:163)(cid:90)(cid:41)(cid:164)(cid:28)(cid:40)(cid:125)(cid:97) (cid:98)𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝐸𝐹,𝐴𝐹 𝐵𝐸
𝐴𝐺 1,𝐺𝐷 2,𝐷𝐹
1 1 1 1
A(cid:73) = B(cid:73) = C(cid:73) = D(cid:73) =
2 5 2 5
𝐵𝐺 𝐵𝐺 𝐵𝐶 𝐴𝐵
𝐺𝐶 𝐵𝐸 𝐵𝐸 𝐸𝐹
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)B
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:130)(cid:131)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:69)(cid:167)(cid:113)(cid:168)(cid:169)(cid:123)(cid:135)(cid:170)(cid:171)(cid:125)(cid:52)(cid:127)(cid:58)(cid:20)(cid:40)(cid:3)(cid:172)(cid:69)(cid:37)(cid:62)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:68)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:32)(cid:69)(cid:67)(cid:70)(cid:40)(cid:71)(cid:72)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:73)
1
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10)A(cid:73) (cid:69)(cid:88) = = (cid:69)(cid:27)(cid:124)(cid:69)(cid:145)(cid:58)(cid:146)(cid:142)(cid:151)(cid:147)(cid:44)(cid:20)(cid:148)(cid:149)
2
𝐵𝐺 𝐴𝐺
𝐴𝐵∥𝐶𝐷 𝐺𝐶 𝐺𝐷 1 1
B(cid:73) (cid:69)(cid:88) = = = = (cid:69)(cid:164)(cid:28)(cid:69)(cid:145)(cid:58)(cid:146)(cid:142)(cid:151)(cid:147)(cid:44)(cid:20)(cid:148)(cid:149)
1 2 3 6
𝐵𝐺 𝐴𝐺 𝐴𝐺
𝐴𝐵∥𝐸𝐹 𝐵𝐸 𝐴𝐹 𝐴𝐺+𝐺𝐷+𝐷𝐹 + 1 + 2 1
C(cid:73) (cid:69)(cid:88) = = = = (cid:69)(cid:27)(cid:124)(cid:69)(cid:145)(cid:58)(cid:146)(cid:142)(cid:147)(cid:44)(cid:20)(cid:148)(cid:149)
1 2 3 2
𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐺+𝐺𝐷 +
𝐴𝐵∥𝐸𝐹 𝐵𝐸 𝐴𝐹 𝐴𝐺+𝐺𝐷+𝐷𝐹
1
+1+
D(cid:73) (cid:69)(cid:88) = = = = (cid:69)(cid:27)(cid:124)(cid:69)(cid:145)(cid:58)(cid:146)(cid:142)(cid:151)(cid:147)(cid:44)(cid:20)(cid:148)(cid:149)
2 3 5
𝐴𝐵 𝐴𝐺 𝐴𝐺
(cid:145)(cid:146)𝐴(cid:10)𝐵∥B𝐸(cid:73)𝐹 𝐸𝐹 𝐺𝐹 𝐺𝐷+𝐷𝐹 +
(cid:15)(cid:154)(cid:26)1-2(cid:19)(cid:97)24-25(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:116)·(cid:108)(cid:173)(cid:156)(cid:174)·(cid:159)(cid:160)(cid:98)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:115) (cid:41)(cid:69)(cid:87)D(cid:115) (cid:116)(cid:69)(cid:87)E(cid:69)F(cid:115) (cid:116)(cid:69)(cid:175)
(cid:69) (cid:69)(cid:88)(cid:105)(cid:121)(cid:163)(cid:90)(cid:41)(cid:69)(cid:164)(cid:28)(cid:40)(cid:125)(cid:97) (cid:98) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶
𝐷𝐸∥𝐵𝐶 𝐷𝐹∥𝐵𝐸
A(cid:73) = B(cid:73) = C(cid:73) = D(cid:73) =
𝐴𝐹 𝐴𝐸 𝐷𝐸 𝐷𝐹 𝐴𝐷 𝐹𝐸 𝐴𝐹 𝐷𝐸
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19) 𝐴𝐸 D 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐵𝐸 𝐴𝐵 𝐸𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐸
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:161)(cid:176)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:22)(cid:123)(cid:177)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:69)(cid:178)(cid:179)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:161)(cid:176)(cid:125)(cid:52)(cid:20)(cid:40)(cid:3)(cid:172)(cid:73)
(cid:136)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:137)(cid:70) = (cid:69) = (cid:69)(cid:180)(cid:181)(cid:178)(cid:179) (cid:69)(cid:137)(cid:70) = = (cid:69)(cid:143)(cid:137)(cid:51)(cid:52)(cid:73)
𝐴𝐹 𝐴𝐸 𝐷𝐸 𝐷𝐹 𝐸𝐹 𝐷𝐸 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10) (cid:69) 𝐴𝐸 𝐴𝐶 (cid:69) 𝐵𝐶 𝐵𝐸 △𝐷𝐹𝐸 ∽△𝐵𝐸𝐶 𝐸𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶 𝐷𝐹∥𝐵𝐸
= = (cid:69) = = (cid:69) = (cid:69) = (cid:69)
𝐷𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐷𝐹 𝐷𝐴 𝐴𝐹
∴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐸 ∠𝐴𝐸𝐷 ∠𝐶 ∠𝐵𝐸𝐶 ∠𝐷𝐹𝐸
= (cid:69) = (cid:69) (cid:69)
𝐴𝐹 𝐴𝐸 𝐷𝐸 𝐷𝐹
∴𝐴𝐸 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐵𝐸 △𝐷𝐹𝐸∽ △𝐵𝐸𝐶
= (cid:69)
𝐸𝐹 𝐷𝐸
∴𝐸𝐶 𝐵𝐶
= (cid:69)
𝐴𝐷 𝐸𝐹
(cid:145)∴(cid:146)𝐴𝐵(cid:10)D 𝐸
.
𝐶
(cid:15)(cid:154)(cid:26)1-3(cid:19)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:115) (cid:41)(cid:69) (cid:99) (cid:33)(cid:84)(cid:120) (cid:99) (cid:91)(cid:116)(cid:40)(cid:87) (cid:69)(cid:87) (cid:120) (cid:91)(cid:116)(cid:65)(cid:87)(cid:69)(cid:117)(cid:118) (cid:85)
(cid:86)(cid:87) (cid:73)(cid:88)(cid:105)(cid:121)(cid:163)(cid:90)(cid:41)(cid:65)△(cid:123)𝐴𝐵(cid:27)𝐶(cid:124)(cid:40)(cid:125)𝐷(cid:97)𝐸 (cid:98) 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐷𝐸∥𝐵𝐶 𝐹 𝐵𝐶 𝐴𝐹 𝐷𝐸
𝐺A(cid:73) = B(cid:73) = C(cid:73) = D(cid:73) =
𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐴𝐺 𝐴𝐸 𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝐴𝐺 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19) 𝐴𝐵 C 𝐸𝐶 𝐺𝐹 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐺𝐹 𝐸𝐶
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:40)(cid:89)(cid:90)(cid:69)(cid:89)(cid:90)1(cid:10)(cid:30)(cid:31)(cid:86)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:65)(cid:91)(cid:40)(cid:63)(cid:32)(cid:68)(cid:92)(cid:182)(cid:61)(cid:91)(cid:97)(cid:94)(cid:61)
(cid:91)(cid:40)(cid:95)(cid:96)(cid:32)(cid:98)(cid:69)(cid:67)(cid:70)(cid:40)(cid:71)(cid:72)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:149)(cid:89)(cid:90)2(cid:10)(cid:30)(cid:31)(cid:86)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:65)(cid:91)(cid:69)(cid:183)(cid:175)(cid:177)(cid:92)(cid:182)(cid:61)(cid:91)(cid:161)(cid:85)(cid:40)(cid:63)(cid:32)(cid:69)(cid:67)(cid:68)
(cid:70)(cid:40)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:37)(cid:91)(cid:36)(cid:184)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:37)(cid:91)(cid:71)(cid:72)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:73)(cid:136)(cid:185)(cid:141)(cid:142)(cid:22)(cid:23)(cid:143)(cid:137)(cid:70)(cid:186)(cid:127)(cid:128)(cid:73)
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10) (cid:115) (cid:41)(cid:69) (cid:69)
∵ △𝐴𝐵𝐶 𝐷𝐸∥𝐵𝐶
= (cid:69)
𝐴𝐷 𝐴𝐸
(cid:145)∴(cid:146)𝐴(cid:142)𝐵 A 𝐴 (cid:163) 𝐶 (cid:90)(cid:164)(cid:28)(cid:69)(cid:151)(cid:44)(cid:20)(cid:148)(cid:149)
(cid:115) (cid:41)(cid:69) (cid:69)
∵ △𝐴𝐹𝐶 𝐸𝐺∥𝐶𝐹
= (cid:69)
𝐴𝐺 𝐴𝐸
∴ 𝐺𝐹(cid:151)(cid:65) 𝐸𝐶 (cid:123)(cid:153)(cid:86) (cid:69)
∵ 𝐸𝐶 𝐵𝐷
= (cid:151)(cid:65)(cid:123)(cid:27)(cid:124)(cid:69)
𝐴𝐺 𝐴𝐸
(cid:145)∴(cid:146)𝐺(cid:142)𝐹 B 𝐵 (cid:163) 𝐷 (cid:90)(cid:164)(cid:28)(cid:69)(cid:151)(cid:44)(cid:20)(cid:148)(cid:149)
(cid:115) (cid:41)(cid:69) (cid:69)
∵ △𝐴𝐵𝐶 𝐷𝐸∥𝐵𝐶
= (cid:69)
𝐵𝐷 𝐶𝐸
(cid:145)∴(cid:146)𝐴(cid:142)𝐷 C 𝐴 (cid:163) 𝐸 (cid:90)(cid:27)(cid:124)(cid:69)(cid:147)(cid:44)(cid:20)(cid:148)(cid:149)
(cid:115) (cid:41)(cid:69) (cid:69)
∵ △𝐴𝐹𝐶 𝐸𝐺∥𝐶𝐹
= (cid:69)
𝐴𝐺 𝐴𝐸
(cid:145)∴(cid:146)𝐺(cid:142)𝐹 D 𝐸 (cid:163) 𝐶 (cid:90)(cid:164)(cid:28)(cid:69)(cid:151)(cid:44)(cid:20)(cid:148)(cid:149)
(cid:145)(cid:146)C(cid:73)
【题型2 “#”字型】
(cid:15)(cid:25)2(cid:19)(cid:97)2025·(cid:187)(cid:108)(cid:188)(cid:189)·(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:98)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:115)(cid:119)(cid:91)(cid:39) (cid:41)(cid:69) (cid:69)(cid:87)E(cid:115) (cid:116)(cid:69) (cid:85) (cid:86)(cid:87)
F(cid:69)(cid:162) =1:3(cid:69) =3(cid:69)(cid:88) (cid:40)(cid:96)(cid:120)(cid:97) (cid:98) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐸𝐹∥𝐴𝐷 𝐶𝐷
𝐴𝐸:𝐴𝐵 𝐷𝐹 𝐹𝐶A(cid:73)6 B(cid:73)4 C(cid:73)5 D(cid:73)4.5
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)A
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:73)(cid:139)(cid:140)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:127)(cid:73)
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10) =1:3(cid:69)
=1:2∵(cid:69)𝐴𝐸:𝐴𝐵
∴(cid:115)𝐴𝐸(cid:119):𝐸(cid:91)𝐵(cid:39) (cid:41)(cid:69) (cid:69) (cid:69)
∵ 𝐴𝐵𝐶(cid:69)𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐸𝐹∥𝐴𝐷
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶∥1𝐸𝐹 3
= (cid:143) = (cid:69)
2
𝐴𝐸 𝐷𝐹
(cid:52)∴𝐸(cid:70)𝐵 𝐹𝐶 =6(cid:73) 𝐹𝐶
(cid:145)(cid:146)𝐹(cid:10)𝐶A(cid:73)
(cid:15)(cid:154)(cid:26)2-1(cid:19)(cid:97)24-25(cid:194)(cid:103)(cid:104)(cid:105)·(cid:195)(cid:196)(cid:96)(cid:197)·(cid:159)(cid:160)(cid:98)(cid:79)(cid:80)(cid:69) (cid:69)(cid:162) =2(cid:69)(cid:88) (cid:120)(cid:97) (cid:98)
𝐴𝐵 𝐷𝐸
𝐴𝐷∥𝐵𝐸∥𝐶𝐹 𝐵𝐶 𝐷𝐹
2 3
A(cid:73) B(cid:73) C(cid:73)2 D(cid:73)3
3 2
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)A
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:69)(cid:198)(cid:139)(cid:140)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:70)(cid:199) = =2(cid:69)(cid:200)(cid:152)(cid:137)(cid:51)(cid:52)(cid:73)
𝐷𝐸 𝐴𝐵
𝐸𝐹 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10) (cid:69) =2(cid:69)
𝐴𝐵
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐸∥𝐶𝐹 𝐵𝐶
= =2(cid:69)
𝐷𝐸 𝐴𝐵
∴𝐸𝐹
2
𝐵𝐶
= (cid:69)
3
𝐷𝐸
∴(cid:145)𝐷(cid:146)𝐹 (cid:10)A(cid:73)
(cid:15)(cid:154)(cid:26)2-2(cid:19)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:63)(cid:32)a b c(cid:69)(cid:87)A(cid:69)B(cid:115)(cid:63)(cid:32)a(cid:116)(cid:69)(cid:87)C(cid:69)D(cid:115)(cid:63)(cid:32)c(cid:116)(cid:69)(cid:32)(cid:34)AC(cid:69)BD(cid:33)(cid:84)(cid:85)(cid:63)(cid:32)b
∥ ∥
(cid:86)(cid:87)E(cid:69)F(cid:69)(cid:88)(cid:105)(cid:121)(cid:32)(cid:34)(cid:40)(cid:24)(cid:36) (cid:65)(cid:123)(cid:161)(cid:153)(cid:40)(cid:125)(cid:97) (cid:98)
𝐴𝐸
𝐴𝐶A(cid:73) B(cid:73) C(cid:73) D(cid:73)
𝐶𝐸 𝐵𝐹 𝐵𝐹 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)𝐴𝐶
B
𝐵𝐷 𝐹𝐷 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:139)(cid:140)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:69)(cid:143)(cid:137)(cid:70)(cid:199) = .
𝐵𝐹 𝐴𝐸
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10) a b c(cid:69) 𝐵𝐷 𝐴𝐶
∵ ∥ ∥
= (cid:69)
𝐵𝐹 𝐴𝐸
∴𝐹𝐷 𝐸𝐶
= (cid:149)
𝐵𝐹 𝐴𝐸
∴ (cid:145)𝐵(cid:146)𝐷 (cid:201) 𝐴 (cid:10) 𝐶 B.
(cid:15)(cid:87)(cid:202)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:69)(cid:168)(cid:169)(cid:37)(cid:62)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:68)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:32)(cid:69)(cid:67)(cid:70)(cid:40)(cid:71)(cid:72)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:125)(cid:52)
(cid:20)(cid:40)(cid:3)(cid:172)(cid:73)
(cid:15)(cid:154)(cid:26)2-3(cid:19)(cid:97)24-25(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:116)·(cid:108)(cid:173)(cid:203)(cid:189)·(cid:112)(cid:34)(cid:113)(cid:114)(cid:98)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:63)(cid:32) (cid:69)(cid:162) =3(cid:69) =4(cid:69)(cid:88) (cid:40)(cid:204)
𝐵𝐷
(cid:125)(cid:97) (cid:98) 𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝐸𝐹 𝐴𝐶 𝐶𝐸 𝐵𝐹
4 4 3 3
A(cid:73) B(cid:73) C(cid:73) D(cid:73)
7 3 7 4
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)C
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:40)(cid:72)(cid:50)(cid:69)(cid:27)(cid:124)(cid:205)(cid:84)(cid:71)(cid:72)(cid:32)(cid:34)(cid:125)(cid:52)(cid:20)(cid:40)(cid:3)(cid:172)(cid:73)(cid:49)(cid:50)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)
(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:69)(cid:206)(cid:186)(cid:32)(cid:34) (cid:99) (cid:36) (cid:99) (cid:40)(cid:24)(cid:25)(cid:3)(cid:207)(cid:69)(cid:138)(cid:180)(cid:181)(cid:81)(cid:82)(cid:32)(cid:34)(cid:96)(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:24)(cid:204)(cid:73)
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10) 𝐵𝐷 (cid:69)𝐵𝐹 𝐴𝐶 𝐴𝐸
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝐸𝐹
= (cid:69)
𝐵𝐷 𝐴𝐶
∴𝐵𝐹 = 𝐴 3 𝐸 (cid:69) =4(cid:69) = + =7(cid:69)
∵𝐴𝐶 𝐶𝐸 𝐴𝐸 𝐴𝐶 𝐶𝐸3
= (cid:69)
7
𝐵𝐷
(cid:145)∴(cid:146)𝐵𝐹(cid:10)C(cid:73)
【题型3 “X”字型】
(cid:15)(cid:25)3(cid:19)(cid:97)24-25(cid:194)(cid:103)(cid:104)(cid:105)·(cid:195)(cid:196)(cid:96)(cid:197)·(cid:159)(cid:160)(cid:98)(cid:79)(cid:80)(cid:69) (cid:69) (cid:33)(cid:84)(cid:85) (cid:99) (cid:99) (cid:86)(cid:87) (cid:99) (cid:99) (cid:69) (cid:33)(cid:84)(cid:85) (cid:99) (cid:99)
(cid:86)(cid:87) (cid:99) (cid:99) (cid:69)(cid:162) =6(cid:69) =4(cid:69) =3(cid:69)(cid:88)(cid:32)𝑎(cid:34)∥𝑏∥𝑐 (cid:40)𝑚(cid:96)(cid:120)(cid:97) 𝑎 (cid:98)𝑏 𝑐 𝐴 𝐵 𝐶 𝑛 𝑎 𝑏 𝑐
𝐷 𝐸 𝐹 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐷𝐸
A(cid:73)1.5 B(cid:73)4.5 C(cid:73)7.5 D(cid:73)10.5
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)B
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:130)(cid:131)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:69)(cid:168)(cid:169)(cid:24)(cid:25)(cid:40)(cid:211)(cid:210)(cid:69)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:40)(cid:82)(cid:205)(cid:125)(cid:52)(cid:20)(cid:40)(cid:3)
(cid:172)(cid:73)(cid:139)(cid:140)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:143)(cid:137)(cid:51)(cid:52)(cid:73)
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10) (cid:69) =6(cid:69) =4(cid:69) =3(cid:69)
6∵𝑎∥𝑏∥𝑐 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐸𝐹
= (cid:69)(cid:143) = (cid:69)
4 3
𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝐷𝐸
∴𝐵𝐶 𝐸
1
𝐹
8 9
= = =4.5(cid:69)
4 2
(cid:145)∴𝐷(cid:146)𝐸(cid:10)B(cid:73)
(cid:15)(cid:154)(cid:26)3-1(cid:19)(cid:97)24-25(cid:194)(cid:103)(cid:104)(cid:105)·(cid:45)(cid:212)·(cid:159)(cid:160)(cid:98)(cid:79)(cid:80)(cid:69) (cid:69) (cid:36) (cid:161)(cid:85)(cid:86)(cid:87) (cid:69)(cid:162) = =3(cid:69)
𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝐸𝐹 𝐴𝐹 𝐵𝐸 𝐺 𝐴𝐺 𝐷𝐹
=1(cid:69)(cid:88) (cid:40)(cid:204)(cid:120)(cid:97) (cid:98)
𝐵𝐶
𝐺𝐷 𝐵𝐸
3 2 3 4
A(cid:73) B(cid:73) C(cid:73) D(cid:73)
4 3 7 7
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)D(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:73)(cid:139)(cid:140) (cid:69)(cid:70)(cid:199) = (cid:69)(cid:138)(cid:213)(cid:214)(cid:74)(cid:140)(cid:209)(cid:210)(cid:143)(cid:137)(cid:51)(cid:52)(cid:73)
𝐵𝐶 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10) (cid:69) 𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝐸𝐹 𝐵𝐸 𝐴𝐹
3∵𝐴1𝐵∥𝐶4𝐷∥𝐸𝐹
= = = (cid:69)
3 1 3 7
𝐵𝐶 𝐴𝐷 +
(cid:145)∴𝐵(cid:146)𝐸 (cid:10)𝐴D𝐹(cid:73) + +
(cid:15)(cid:154)(cid:26)3-2(cid:19)(cid:97)24-25(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:116)·(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:158)·(cid:112)(cid:34)(cid:113)(cid:114)(cid:98)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:81)(cid:82)(cid:63)(cid:32) (cid:69)(cid:63)(cid:32) (cid:33)(cid:84)(cid:36)(cid:63)(cid:32) (cid:99) (cid:99)
(cid:85)(cid:86)A(cid:99)B(cid:99)C(cid:37)(cid:87)(cid:69)(cid:63)(cid:32) (cid:33)(cid:84)(cid:36)(cid:63)(cid:32) (cid:99) (cid:99) (cid:85)(cid:86)D(cid:99)E(cid:99)F(cid:37)𝑙(cid:87) 1 ∥(cid:69)𝑙2∥(cid:36)𝑙3 (cid:85)(cid:86)𝐴𝐶(cid:87)O(cid:69)(cid:162) =𝑙1 𝑙2 (cid:69)𝑙3
=3(cid:69)(cid:88) (cid:40)(cid:96)(cid:125) 𝐷(cid:73)𝐹 𝑙1 𝑙2 𝑙3 𝐴𝐶 𝐷𝐹 𝐵𝐶 𝐴𝐵
𝐷𝐸 𝐷𝐹
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)6
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:149)(cid:167)(cid:215)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:125)(cid:52)(cid:216)(cid:217)(cid:20)(cid:40)(cid:3)(cid:172)(cid:73)(cid:139)(cid:140)(cid:30)
(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:70)(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:69)(cid:143)(cid:137)(cid:70)(cid:186)(cid:163)(cid:218)(cid:73)
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10) (cid:63)(cid:32) (cid:69)
∵
𝑙1 ∥𝑙2∥𝑙3
= (cid:69)
𝐴𝐵 𝐷𝐸
∴𝐵𝐶 = 𝐸𝐹 (cid:69) =3(cid:69)
∵𝐵𝐶=3𝐴(cid:69)𝐵 𝐷𝐸
∴𝐸𝐹 = + =3+3=6(cid:69)
∴(cid:145)𝐷(cid:127)𝐹(cid:128)(cid:120)𝐸𝐷(cid:10)6(cid:73)𝐸𝐹
(cid:15)(cid:154)(cid:26)3-3(cid:19)(cid:81)(cid:82)(cid:37)(cid:62)(cid:219)(cid:161)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:63)(cid:32) (cid:69) (cid:69) (cid:33)(cid:84)(cid:68)(cid:63)(cid:32)l (cid:86)(cid:87) (cid:69) (cid:69) (cid:69)(cid:68)(cid:63)(cid:32) (cid:86)(cid:87) (cid:69) (cid:69) (cid:69)(cid:63)(cid:32)
4
(cid:36) (cid:161)(cid:85)(cid:86)(cid:87)O(cid:69)(cid:175) =3 2(cid:69) =𝑙1 50𝑙2(cid:69) 𝑙3 =8(cid:69) =2(cid:73) 𝐴 𝐵 𝐶 𝑙5 𝐷 𝐸 𝐹 𝑙4
𝑙5 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐸𝑂
(1)(cid:51) (cid:40)(cid:96)(cid:149)
𝐷𝐸(2)(cid:51) (cid:40)(cid:96)(cid:73)
𝑂𝐵 24
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)(1)
5
5 2
(2)
4
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:97)1(cid:98)(cid:136) (cid:69)(cid:89)(cid:186) = (cid:69)(cid:143)(cid:137)(cid:51)(cid:52)(cid:149)
𝐷𝐸 𝐴𝐵
𝑙1∥𝑙2∥𝑙3 𝐸𝐹 𝐶𝐵
(cid:97)2(cid:98)(cid:136) (cid:69)(cid:89)(cid:186) = (cid:69)(cid:143)(cid:137)(cid:51)(cid:52)(cid:73)
𝑂𝐵 𝑂𝐸
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)𝐵(cid:97)𝐸
1
∥(cid:98)𝐴𝐷(cid:52)(cid:10) 𝐴𝐵 𝐷𝐸(cid:69)
∵𝑙1∥𝑙2∥𝑙3
= (cid:69)
𝐷𝐸 𝐴𝐵
∴𝐸𝐹 𝐶𝐵
3 2
= (cid:69)
8 50
𝐷𝐸
∴
24
= (cid:149)
5
∴(cid:97)𝐷 2 𝐸(cid:98)(cid:52)(cid:10) (cid:69)
∵𝐵𝐸∥𝐴𝐷
= (cid:69)
𝑂𝐵 𝑂𝐸
∴𝐴𝐵 𝐷2𝐸
= (cid:69)
24
3 𝑂𝐵 2 5
∴
5 2
= (cid:73)
4
∴(cid:15)𝑂(cid:87)𝐵(cid:202)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:69)(cid:52)(cid:20)(cid:40)(cid:3)(cid:172)(cid:125)(cid:168)(cid:169)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:69)(cid:220)(cid:86)(cid:41)(cid:130)(cid:221)(cid:130)
(cid:20)(cid:21)(cid:73)
【题型4 “A”字型】
(cid:15)(cid:25)4(cid:19)(cid:97)2025·(cid:155)(cid:156)(cid:156)(cid:222)·(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:98)(cid:79)(cid:80)(cid:69) (cid:223) (cid:91)(cid:224)(cid:225)(cid:30)(cid:226)(cid:70)(cid:199) (cid:69)(cid:162) = =6(cid:69)
=4(cid:69)(cid:88) (cid:40)(cid:96)(cid:120)(cid:97) (cid:98) △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹 𝐸𝐶 2𝐵𝐸
𝐶𝐺 𝐷𝐹
A(cid:73)6 B(cid:73)8 C(cid:73)9 D(cid:73)10
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)A
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:30)(cid:226)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:69)
(cid:198)(cid:139)(cid:140)(cid:30)(cid:226)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:70) (cid:69) = (cid:69)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:186) (cid:69)(cid:185)(cid:20)(cid:137)(cid:52)(cid:73)
𝐴𝐵∥𝐸𝐺 𝐴𝐶 𝐷𝐹 𝐴𝐺(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10) (cid:227) (cid:223)(cid:228) (cid:91)(cid:224)(cid:225)(cid:30)(cid:226)(cid:70)(cid:199) (cid:69)
(cid:69) ∵= △𝐴(cid:69)𝐵𝐶 𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹
∴𝐴𝐵∥𝐸𝐺 𝐴𝐶 𝐷𝐹
= =2.
𝐶𝐸 𝐶𝐺
∴𝐵𝐸
=
𝐴
4
𝐺(cid:69)
∵𝐶𝐺 =2(cid:69)
∴𝐴𝐺 = = + =6(cid:73)
∴(cid:145)𝐷(cid:146)𝐹(cid:10)A𝐴(cid:73)𝐶 𝐴𝐺 𝐶𝐺
(cid:15)(cid:154)(cid:26)4-1(cid:19)(cid:97)24-25(cid:194)(cid:103)(cid:104)(cid:105)·(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)·(cid:159)(cid:160)(cid:98)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:115) (cid:41)(cid:69) (cid:69) (cid:33)(cid:84)(cid:125)(cid:91) (cid:69) (cid:116)(cid:40)(cid:87)(cid:69)(cid:175)
(cid:73)(cid:162) =2(cid:69) =4(cid:69) =1(cid:69)(cid:88) (cid:40)(cid:96)(cid:125)(cid:97) (cid:98) △𝐴𝐵𝐶 𝐸 𝐹 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐸𝐹∥
𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐵𝐸 𝐴𝐹 𝐹𝐶
1
A(cid:73) B(cid:73)1 C(cid:73)2 D(cid:73)3
2
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)C
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:211)(cid:50)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:69)(cid:52)(cid:20)(cid:3)(cid:172)(cid:125)(cid:136)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:70)(cid:199)(cid:71)(cid:72)(cid:91)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:73)
(cid:139)(cid:140)(cid:30)(cid:31)(cid:71)(cid:72)(cid:91)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:121)(cid:186)(cid:153)(cid:26)(cid:69)(cid:213)(cid:214)(cid:81)(cid:82)(cid:91)(cid:40)(cid:96)(cid:208)(cid:69)(cid:51)(cid:186) (cid:73)
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10) (cid:69) 𝐹𝐶
∵2𝐸𝐹∥1𝐵𝐶
= (cid:69)(cid:143) = (cid:69)
4
𝐴𝐸 𝐴𝐹
(cid:52)∴(cid:70)𝐸𝐵(cid:10) 𝐹𝐶 =2(cid:69) 𝐹𝐶
(cid:145)(cid:146)(cid:10)𝐹C(cid:73)𝐶
(cid:15)(cid:154)(cid:26)4-2(cid:19)(cid:97)2025·(cid:155)(cid:156)·(cid:41)(cid:130)(cid:233)(cid:20)(cid:98)(cid:79)(cid:80)(cid:67)(cid:100)(cid:40)(cid:234)(cid:235)(cid:41)(cid:69)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:27)(cid:239)(cid:39)(cid:40)(cid:91)(cid:96)(cid:240)(cid:120)1(cid:69) (cid:40)(cid:37)(cid:237)(cid:241)(cid:87)(cid:240)
(cid:115)(cid:234)(cid:235)(cid:32)(cid:40)(cid:85)(cid:87)(cid:116)(cid:69)(cid:87)D(cid:99)E(cid:33)(cid:84)(cid:125)(cid:91) (cid:99) (cid:36)(cid:234)(cid:235)(cid:32)(cid:40)(cid:85)(cid:87)(cid:69)(cid:117)(cid:118) (cid:69)(cid:88) (cid:40)(cid:96)(cid:120)△(cid:97)𝐴 𝐵 (cid:98)𝐶
𝐵𝐴 𝐶𝐴 𝐷𝐸 𝐷𝐸
1
A(cid:73) B(cid:73)1 C(cid:73) 2 D(cid:73) 3
2
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)B(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:69)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:123)(cid:135)(cid:69)(cid:178)(cid:179)(cid:186) (cid:125) (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:125)(cid:52)(cid:20)(cid:3)
1 𝐷𝐸1 △𝐴𝐵𝐶
(cid:172)(cid:73)(cid:242)(cid:235)(cid:87) (cid:99) (cid:69)(cid:136)(cid:234)(cid:235)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:137)(cid:82)(cid:69) (cid:69)(cid:70)(cid:199) = = (cid:69) = = (cid:69)(cid:200)(cid:152)(cid:178)(cid:179) (cid:125) (cid:40)
2 2
𝐴𝐷 𝐴𝐺 𝐴𝐸 𝐴𝐺
(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:69)(cid:143)𝐺(cid:137)(cid:51)𝐻(cid:52)(cid:73) 𝐸𝐺∥𝐶𝐻 𝐴𝐵 𝐴𝐻 𝐴𝐶 𝐴𝐻 𝐷𝐸 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:242)(cid:235)(cid:87) (cid:99) (cid:69)
𝐺 𝐻
(cid:136)(cid:234)(cid:235)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:137)(cid:82)(cid:69) (cid:69)
2 1 𝐸𝐺∥𝐶𝐻 2 1
= = = (cid:69) = = = (cid:69)
4 2 4 2
𝐴𝐷 𝐴𝐺 𝐴𝐸 𝐴𝐺
∴𝐴𝐵(cid:99) (cid:33)𝐴𝐻(cid:84)(cid:125) (cid:99) 𝐴𝐶 (cid:40)(cid:41)𝐴𝐻(cid:87)(cid:69)
∴𝐷 (cid:125)𝐸 𝐴(cid:40)𝐵(cid:41)(cid:42)𝐴𝐶(cid:32)(cid:69)
∴𝐷𝐸 △1 𝐴𝐵𝐶
= =1(cid:69)
2
(cid:145)∴(cid:146)𝐷𝐸(cid:10)B(cid:73)𝐵𝐶
(cid:15)(cid:154)(cid:26)4-3(cid:19)(cid:97)24-25(cid:194)(cid:103)(cid:104)(cid:105)·(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)·(cid:159)(cid:160)(cid:98)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:115)3×4(cid:40)(cid:27)(cid:239)(cid:39)(cid:234)(cid:235)(cid:41)(cid:69) (cid:99) (cid:99) (cid:120)(cid:235)(cid:87)(cid:69)(cid:117)(cid:118) (cid:69)
(cid:85)(cid:181)(cid:87) (cid:40)(cid:243)(cid:30)(cid:235)(cid:32)(cid:86)(cid:87) (cid:73)(cid:162)(cid:238)(cid:27)(cid:239)(cid:39)(cid:91)(cid:96)(cid:120)1(cid:69)(cid:88) = (cid:73)𝐴 𝐵 𝐶 𝐶𝐷
𝐴 𝐸 𝐶𝐸
61
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)
3
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:244)(cid:245)(cid:123)(cid:135)(cid:99)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:69)(cid:139)(cid:140)(cid:244)(cid:245)(cid:123)(cid:135)(cid:51)(cid:186) (cid:40)(cid:96)(cid:69)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)
(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:70)(cid:186)(cid:153)(cid:26)(cid:51)(cid:186) (cid:40)(cid:96)(cid:143)(cid:137)(cid:73) 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10)(cid:79)(cid:80)(cid:67)(cid:100)𝐶(cid:69)𝐸1 1
(cid:136) (cid:115)(cid:234)(cid:235)(cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:246)(cid:69)(cid:137)(cid:82) = = = (cid:69)
2 2
𝐴𝐵 5 𝑀𝐷 𝑁𝐷 𝑀𝑁
= + = (cid:69)
2
∴𝐷𝐹 𝐷𝑁 𝐹𝑁
5 61
(cid:115)Rt (cid:41)(cid:69) = + = 3 + = (cid:69)
2 2 2
2 2 2
△𝐶𝐷(cid:69)𝐹 𝐶𝐷 𝐷𝐹 𝐶𝐹
∵𝐸𝐺∥𝐷𝐹 2
= = (cid:69)
3
𝐶𝐸 𝐶𝐺
∴𝐶𝐷 𝐶2𝐹
= (cid:69)
61 3
𝐶𝐸
2
∴
61
(cid:52)(cid:70)(cid:10) = (cid:73)
3
𝐶𝐸 61
(cid:145)(cid:127)(cid:128)(cid:120)(cid:10) (cid:73)
3
【题型5 “8”字型】
(cid:15)(cid:25)5(cid:19)(cid:97)2025·(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:189)·(cid:37)(cid:190)(cid:98)(cid:79)(cid:80)(cid:69) (cid:41)(cid:69)E(cid:120)(cid:71)(cid:38)(cid:32) (cid:116)(cid:65)(cid:87)(cid:69)(cid:181)(cid:87)E(cid:40)(cid:63)(cid:32) (cid:33)(cid:84)(cid:85)(cid:91) (cid:69)
(cid:86)(cid:87)F(cid:69)G(cid:69)(cid:85)(cid:250)(cid:32) (cid:69) (cid:86)(cid:87)M(cid:69)▱N(cid:73)𝐴𝐵(cid:162)𝐶𝐷 =3(cid:69) =2(cid:69)𝐵𝐷(cid:88) (cid:40)(cid:204)(cid:120)(cid:97) (cid:98)𝑀𝑁 𝐴𝐵
𝐵𝐶 𝐷𝐴 𝐷𝐶 𝑀𝐹 𝐸𝐹 𝐸𝐺⋅𝐸𝑁
A(cid:73)6 B(cid:73)8 C(cid:73)10 D(cid:73)15
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)C
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:131)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:91)(cid:39)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:73)(cid:139)(cid:140)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:91)(cid:39)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:137)(cid:70)
(cid:69)(cid:138)(cid:136)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:137)(cid:70) = (cid:69) = (cid:69)(cid:251)(cid:152)(cid:70)(cid:199) = (cid:69)(cid:143)(cid:137)(cid:51)(cid:52)(cid:73)
𝐸𝐺 𝐵𝐸 𝐸𝐹 𝐵𝐸 𝐸𝐺 𝐸𝐹
𝐴(cid:15)𝐷(cid:144)∥(cid:52)𝐵𝐶(cid:19),𝐴(cid:52)𝐵(cid:10)∥𝐶𝐷(cid:119)(cid:91)(cid:39) (cid:125)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:91)(cid:39)(cid:69) 𝑀𝐸 𝐷𝐸 𝐸𝑁 𝐷𝐸 𝑀𝐸 𝐸𝑁
∵ (cid:69) 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶,𝐴𝐵∥𝐶𝐷= (cid:69) = (cid:69)
𝐸𝐺 𝐵𝐸 𝐸𝐹 𝐵𝐸
∴𝑀𝐸 𝐷𝐸 𝐸𝑁 𝐷𝐸
= (cid:69)
𝐸𝐺 𝐸𝐹
∴𝑀𝐸 = 𝐸 3 𝑁 (cid:69) =2(cid:69)
∵𝑀𝐹 2 𝐸𝐹
= (cid:69)
3 2
𝐸𝐺
∴ + 𝐸𝑁 =10(cid:73)
∴(cid:145)𝐸(cid:146)𝐺(cid:10)⋅𝐸C𝑁
(cid:15)(cid:154)(cid:26)5-1(cid:19)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:91)(cid:39) (cid:41)(cid:69) (cid:40)(cid:30)(cid:33)(cid:32)BF(cid:33)(cid:84)(cid:36)AC(cid:99)AD(cid:85)(cid:86)(cid:87)E(cid:99)F(cid:69) =3(cid:69)
𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵
=2(cid:69)(cid:88) (cid:40)(cid:204)(cid:120)(cid:97) (cid:98)
𝐸𝐹
𝐹𝐷 𝐹𝐵
2 3 3 3
A(cid:73) B(cid:73) C(cid:73) D(cid:73)
5 8 7 5
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)B
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:139)(cid:140)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:91)(cid:39)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:178)(cid:70)AD BC(cid:69)AD=BC(cid:69)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:38)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:40)(cid:123)(cid:252)(cid:177)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:253)(cid:254)(cid:153)(cid:38)(cid:71)
(cid:153)(cid:91)(cid:178)(cid:70)AF=AB=3(cid:69)BC=5(cid:69)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:30)(cid:31)∥(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:177)(cid:24)(cid:25)(cid:133)(cid:134)(cid:51)(cid:52)(cid:143)(cid:137)(cid:73)
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10) (cid:119)(cid:91)(cid:39)ABCD(cid:125)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:91)(cid:39)(cid:69)
AD BC(cid:69)AD=∵BC(cid:69)
∴ AF∥B= CBF(cid:69)
∴B∠F(cid:30)(cid:33)∠ ABC(cid:69)
∵ ABF= ∠CBF(cid:69)
∴∠ABF=∠AFB(cid:69)
∴A∠F=AB=∠3(cid:69)(cid:255)FD=2(cid:69)
∴BC=AD=AF+FD=5(cid:69)
∴AD BC(cid:69)
∵ ∥ 3
= = (cid:69)
5
𝐸𝐹 𝐴𝐹
∴𝐵𝐸 𝐵𝐶3
= (cid:69)
8
𝐸𝐹
∴ (cid:145)𝐹(cid:146)𝐵 (cid:10)B(cid:73)
(cid:15)(cid:87)(cid:202)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:91)(cid:39)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:99)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:99)(cid:38)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:40)(cid:123)(cid:252)(cid:99)(cid:153)(cid:256)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:22)(cid:123)(cid:99)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)
(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:99)(cid:24)(cid:25)(cid:133)(cid:134)(cid:153)(cid:82)(cid:205)(cid:69)(cid:167)(cid:113)(cid:168)(cid:169)(cid:161)(cid:3)(cid:82)(cid:205)(cid:40)(cid:257)(cid:207)(cid:36)(cid:211)(cid:50)(cid:125)(cid:52)(cid:127)(cid:40)(cid:3)(cid:172)(cid:73)
(cid:15)(cid:154)(cid:26)5-2(cid:19)(cid:79)(cid:80)(cid:69)AB(cid:69)CD(cid:161)(cid:85)(cid:86)(cid:87)E(cid:69)(cid:175)AC EF DB(cid:69)(cid:87)C(cid:69)F(cid:69)B(cid:115)(cid:258)(cid:65)(cid:62)(cid:63)(cid:32)(cid:116)(cid:69)(cid:81)(cid:82)AC(cid:259)p(cid:69)EF(cid:259)
r(cid:69)DB(cid:259)q(cid:69)(cid:88)p(cid:69)q(cid:69)r(cid:260)(cid:261)(cid:262)(cid:263)(cid:40)(cid:74)(cid:264)(cid:3)(cid:207)(cid:26)(cid:125)∥(cid:97)(cid:126)∥(cid:126)(cid:98)
A(cid:73) 1 + 1 = 1 B(cid:73) 1 + 1 = 2 C(cid:73) 1 + 1 = 1 D(cid:73) 1 + 1 = 2
𝑟 𝑞 𝑝 𝑝 𝑞 𝑟 𝑝 𝑞 𝑟 𝑞 𝑟 𝑝
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)C
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:139)(cid:140)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:69)(cid:137)(cid:178)(cid:70) = (cid:69) = (cid:69)(cid:61)(cid:26)(cid:161)(cid:265)(cid:143)(cid:137)(cid:70)(cid:186)(cid:163)(cid:90)(cid:73)
𝐸𝐹 𝐵𝐹 𝐸𝐹 𝐶𝐹
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10) // (cid:69) 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐶
∵𝐴𝐶 𝐸𝐹
= (cid:69)
𝐸𝐹 𝐵𝐹
∴ 𝐴𝐶 // 𝐵𝐶 (cid:69)
∵𝐸𝐹 𝐷𝐵
= (cid:69)
𝐸𝐹 𝐶𝐹
∴ 𝐵𝐷 𝐵𝐶
+ = + = = =1(cid:69)(cid:143) + =1(cid:69)
𝐸𝐹 𝐸𝐹 𝐵𝐹 𝐶𝐹 𝐵𝐹+𝐶𝐹 𝐵𝐶 𝑟 𝑟
∴ 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝑝 𝑞
1 + 1 = 1 (cid:73)
∴ 𝑝 𝑞 𝑟
(cid:145)(cid:146)(cid:10)C(cid:73)
(cid:15)(cid:87)(cid:202)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:40)(cid:211)(cid:50)(cid:69)(cid:180)(cid:181)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:70)(cid:186)(cid:32)(cid:34)(cid:40)(cid:24)(cid:125)
(cid:52)(cid:20)(cid:40)(cid:3)(cid:172)(cid:73)
(cid:15)(cid:154)(cid:26)5-3(cid:19)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:91)(cid:39) (cid:41)(cid:69)E(cid:120) (cid:40)(cid:41)(cid:87)(cid:69)F(cid:120) (cid:116)(cid:65)(cid:87)(cid:69) (cid:36) (cid:85)(cid:86)(cid:87)H(cid:69) =3cm(cid:69)
=6cm(cid:69) =4cm(cid:69)(cid:88) (cid:40)(cid:96)𝐴𝐵(cid:120)𝐶(cid:97)𝐷(cid:126)(cid:126)(cid:98) 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐸𝐹 𝐴𝐶 𝐹𝐻
𝐸𝐻 𝐴𝐻 𝐻𝐶A(cid:73)22cm B(cid:73)20cm C(cid:73)18cm D(cid:73)16cm
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)B
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:91)(cid:39)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:69)(cid:266)(cid:153)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:22)(cid:123)(cid:36)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:55)(cid:56)(cid:267)(cid:268)
(cid:32)(cid:178)(cid:179)(cid:61)(cid:237)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:266)(cid:153)(cid:125)(cid:3)(cid:172)(cid:149)(cid:95)(cid:96) (cid:85) (cid:40)(cid:95)(cid:96)(cid:32)(cid:86)(cid:87)G(cid:69)(cid:136)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:91)(cid:39)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:254)(cid:41)(cid:87)(cid:62)(cid:269)(cid:137)(cid:178)(cid:179)
(cid:69)(cid:70) = (cid:149)(cid:138)(cid:136)(cid:30)𝐹𝐸(cid:31)(cid:32)𝐶𝐵(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:143)(cid:137)(cid:51)(cid:70)(cid:163)(cid:218)(cid:73)
(cid:15)△(cid:144)𝐴𝐹(cid:52)𝐸(cid:19)≌(cid:52)△(cid:10)𝐵𝐺(cid:95)𝐸(cid:96) 𝐸(cid:85)𝐺 (cid:40)𝐸𝐹(cid:95)(cid:96)(cid:32)(cid:86)(cid:87)G(cid:69)(cid:79)(cid:80)(cid:67)(cid:100)(cid:10)
(cid:119)(cid:91)(cid:39) (cid:125)(cid:30)𝐹(cid:31)𝐸(cid:119)(cid:91)𝐶𝐵(cid:39)(cid:69)
∵ 𝐴(cid:69)𝐵𝐶𝐷
∴𝐴𝐷∥𝐵=𝐶 (cid:69) = (cid:69)
∴E∠𝐸(cid:120)𝐴𝐹 (cid:40)∠(cid:41)𝐸𝐵(cid:87)𝐺(cid:69)∠𝐴𝐹𝐸 ∠𝐵𝐺𝐸
∵ =𝐴𝐵 (cid:69)
∴𝐴𝐸 𝐵𝐸 (AAS)(cid:69)
∴△𝐴=𝐹𝐸≌(cid:69)△𝐵𝐺𝐸
∴𝐸𝐺= 𝐸𝐹 + =3+6=9(cm)(cid:69)
∵𝐸𝐹 =𝐸9c𝐻m(cid:69)𝐹𝐻
∴𝐸𝐺 = + =9+6=15(cm)(cid:69)
∴𝐺𝐻 𝐺𝐸(cid:69) 𝐸𝐻
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶
= (cid:69)
𝐴𝐻 𝐹𝐻
∴𝐶𝐻
4
𝐺𝐻
3
(cid:143) = (cid:69)
15
𝐶𝐻
(cid:52)(cid:70)(cid:10) =20cm(cid:73)
(cid:145)(cid:146)(cid:10)𝐶B(cid:73)𝐻【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】
(cid:15)(cid:25)6(cid:19)(cid:97)24-25(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)·(cid:270)(cid:189)(cid:271)(cid:272)·(cid:112)(cid:34)(cid:113)(cid:114)(cid:98)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:115)(cid:153)(cid:256)Rt (cid:41)(cid:69) = = (cid:125)(cid:32)(cid:34) (cid:116)(cid:65)(cid:87)(cid:69)
(cid:117)(cid:118) =15°(cid:69)(cid:227)(cid:32)(cid:34) (cid:273)(cid:87) (cid:274)(cid:275)(cid:276)(cid:277)(cid:278)90°(cid:70)(cid:199) (cid:69)(cid:117)△(cid:118)𝐴𝐵𝐶(cid:85) 𝐴(cid:86)𝐶(cid:87) 𝐵(cid:69)𝐶(cid:88) 3(cid:40),𝐷(cid:96)(cid:208)(cid:120)𝐵 𝐶 (cid:73)
𝐴𝐷,∠𝐵𝐴𝐷 𝐴𝐷 𝐴 𝐴𝐸 𝐵𝐸 𝐴𝐶 𝐹 𝐶𝐹
3
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)
2
3−
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:277)(cid:278)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:266)(cid:153)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:36)(cid:22)(cid:123)(cid:69)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:52)(cid:63)(cid:38)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:149)(cid:95)(cid:96) (cid:279)(cid:87)
(cid:69)(cid:280) = (cid:69)(cid:117)(cid:118) (cid:69)(cid:139)(cid:140)(cid:277)(cid:278)(cid:253)(cid:254)(cid:153)(cid:256)(cid:63)(cid:38)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:178)(cid:179) (SAS)(cid:69)(cid:200)(cid:152)𝐵𝐶(cid:70)(cid:186)
𝐶 = 𝐶𝐺 𝐵𝐶 = 𝐴𝐺,=𝐸𝐺45°(cid:69)(cid:178)(cid:179) (cid:125) (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:69)(cid:52)Rt △(cid:70)𝐴(cid:186)𝐵𝐷≌(cid:69)△(cid:200)𝐴(cid:152)𝐺𝐸(cid:139)(cid:140)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:69)
𝐸(cid:143)𝐺(cid:137)(cid:51)𝐵(cid:52)𝐷,(cid:73)∠𝐴𝐺𝐸 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐶𝐹 △𝐵𝐺𝐸 △𝐴𝐶𝐷 𝐵𝐷
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:95)(cid:96) (cid:279)(cid:87) (cid:69)(cid:280) = (cid:69)(cid:117)(cid:118) (cid:69)
𝐵𝐶 𝐶 𝐶𝐺 𝐵𝐶 𝐴𝐺,𝐸𝐺
= = =90°(cid:69)
(cid:120)(cid:153)(cid:256)(cid:63)(cid:38)(cid:37)(cid:38)∵(cid:39)𝐶(cid:69)𝐴 𝐶=𝐵 𝐶(cid:69)𝐺,∠𝐴𝐶𝐵
(cid:255)∴△𝐴𝐵𝐺 = =90°(cid:69) 𝐴𝐵 𝐴𝐺
∵∠𝐵𝐴=𝐺 ∠𝐷𝐴𝐸
∴∠𝐵𝐴(cid:277)𝐷(cid:278)(cid:70)∠(cid:199)𝐺𝐴𝐸 (cid:69)
∵𝐴𝐷= 𝐴𝐸
∴𝐴𝐷 𝐴𝐸 (SAS)(cid:69)
∴△𝐴𝐵=𝐷≌△𝐴𝐺𝐸= =45°(cid:69)
∴𝐸𝐺 𝐵𝐷,∠𝐴𝐺𝐸 ∠𝐴𝐵𝐶=45°
∵∠𝐴𝐺𝐶 =90°(cid:69)
∴∠𝐶𝐺𝐸 =90°
∵∠𝐴𝐶𝐵
∴𝐶𝐹∥𝐸𝐺
= =1
𝐵𝐹 𝐵𝐶
∴𝐸𝐹 = 𝐶𝐺 (cid:69)
∴𝐵𝐹 (cid:125)𝐸𝐹 (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:69)
∴𝐶𝐹 1△𝐵𝐺𝐸
=
2
∴𝐶𝐹 = 𝐸𝐺 4 . 5°(cid:69) =15°(cid:69)
∵∠𝐵𝐴𝐶=30° ∠𝐵𝐴𝐷
∴(cid:115)∠R𝐷t𝐴𝐶 (cid:41)(cid:69) = 3(cid:69)
△=𝐴𝐶𝐷3 𝐶𝐷
∴𝐵𝐷 31− 1 3
= = = (cid:69)
2 2 2
3−
(cid:145) ∴ (cid:127) 𝐶𝐹 (cid:128)(cid:120) 𝐸 (cid:10) 𝐺 3− 3 (cid:73) 𝐵𝐷
2
(cid:15)(cid:154)(cid:26)6-1(cid:19)(cid:97)24-25(cid:194)(cid:103)(cid:104)(cid:105)·(cid:281)(cid:156)(cid:282)(cid:189)·(cid:159)(cid:160)(cid:98)(cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:91)(cid:39) (cid:41)(cid:69)(cid:71)(cid:38)(cid:32) (cid:69) (cid:161)(cid:85)(cid:86)(cid:87)O(cid:69)
(cid:73)(cid:162) =4(cid:69)(cid:88)(cid:32)(cid:34) (cid:40)(cid:96)(cid:120) (cid:73) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷
𝑂𝐸∥𝐶𝐷 𝑂𝐸 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)8
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:91)(cid:39)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:123)(cid:135)(cid:69)(cid:178)(cid:179) (cid:125) (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:69)(cid:49)(cid:50)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:41)(cid:42)(cid:32)
(cid:123)(cid:135)(cid:51)(cid:52)(cid:73) 𝑂𝐸 △𝐵𝐶𝐷
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10) (cid:119)(cid:91)(cid:39) (cid:125)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:91)(cid:39)(cid:69)
= (cid:69) ∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝑂𝐵(cid:120) 𝑂𝐷(cid:40)(cid:41)(cid:87)(cid:69)
∴𝑂 𝐵𝐷(cid:69)
∵𝑂𝐸∥𝐶𝐷
= (cid:69)
𝐵𝑂 𝐵𝐸
∴𝑂𝐷 𝐶𝐸= (cid:69)
∴𝐵(cid:120)𝐸 𝐸(cid:40)𝐶(cid:41)(cid:87)(cid:69)
∴𝐸 (cid:120)𝐵𝐶 (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:69)
∴𝑂𝐸=△𝐵𝐶=𝐷8(cid:73)
∴(cid:145)𝐶(cid:127)𝐷(cid:128)(cid:120)2𝑂(cid:10)𝐸8(cid:73)
(cid:15)(cid:154)(cid:26)6-2(cid:19)(cid:97)2025·(cid:170)(cid:283)(cid:284)·(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:98)(cid:79)(cid:80)(cid:69) (cid:125) (cid:40)(cid:38)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:69)E(cid:125) (cid:40)(cid:41)(cid:87)(cid:69)(cid:117)(cid:118) (cid:85) (cid:86)(cid:87)
F(cid:69)(cid:162) (cid:69) = =8(cid:69)(cid:88)(cid:32)(cid:34) (cid:40)(cid:96)𝐵𝐷(cid:120) △ 𝐴(cid:73)𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐸 𝐵𝐷
𝐶𝐸⊥𝐵𝐷 𝐶𝐸 2𝐵𝐷 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)10
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:198)(cid:178)(cid:179) (ASA)(cid:69)(cid:242) (cid:40)(cid:41)(cid:87)G(cid:69)(cid:117)(cid:118) (cid:69)(cid:88) (cid:125) (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:69)(cid:143) =
𝐶𝐷 𝐶𝐹
=1(cid:69)(cid:178)(cid:179) (cid:125)△𝐵𝐸𝐹≌(cid:40)△(cid:41)𝐵(cid:42)𝐶(cid:32)𝐹(cid:69)(cid:285)(cid:286)(cid:139)(cid:140)𝐴𝐷(cid:244)(cid:245)(cid:123)(cid:135)(cid:209)(cid:210)(cid:143)(cid:137)𝐸.𝐺 𝐸𝐺 △𝐴𝐵𝐷 𝐷𝐺 𝐹𝐸
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19) E𝐷(cid:125)𝐹 △(cid:40)𝐶(cid:41)𝐸𝐺(cid:87)(cid:69)
∵ 1𝐴𝐵
= = (cid:73)
2
∴𝐴𝐸 𝐵𝐸(cid:69) 𝐴𝐵
∵𝐶𝐸⊥𝐵=𝐷 =90°(cid:73)
∴∠𝐵𝐹(cid:125)𝐸 ∠𝐵𝐹(cid:40)𝐶(cid:38)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:69)
∵𝐵𝐷 △=𝐴𝐵𝐶 (cid:73)
∴(cid:255)∠𝐸𝐵𝐹= ∠𝐶(cid:69)𝐵𝐹
∵𝐵𝐹 𝐵𝐹 (ASA)(cid:69)
∴△𝐵=𝐸𝐹≌(cid:73)△𝐵𝐶𝐹
∴𝐸𝐹= 𝐶𝐹 =8(cid:69)
∵𝐶𝐸 =2𝐵𝐷= =4(cid:73)
(cid:79)∴𝐸(cid:80)𝐹(cid:69)(cid:242)𝐶𝐹 (cid:40)𝐵𝐷(cid:41)(cid:87)G(cid:69)(cid:117)(cid:118) (cid:69)
(cid:125) 𝐴𝐷 (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:69) 𝐸𝐺
∴𝐸𝐺 △1 𝐴𝐵𝐷1
= = ×4=2(cid:69) (cid:69)
2 2
∴𝐸𝐺 𝐵𝐷 𝐸𝐺∥𝐵𝐷= =1(cid:69)
𝐶𝐷 𝐶𝐹
∴𝐷𝐺 = 𝐹𝐸 (cid:73)
(cid:255)∴𝐷𝐺 =𝐶𝐷 (cid:69)
∵𝐸(cid:125)𝐹 𝐶𝐹 (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:69)
∴𝐷𝐹 △1 𝐶𝐸𝐺1
= = ×2=1(cid:69)
2 2
∴𝐷𝐹= 𝐸𝐺 = =3(cid:73)
∴𝐵𝐹 𝐵𝐷−𝐷𝐹 4−1
(cid:115)Rt (cid:41)(cid:69) = + = 3 +4 =5(cid:69)
2 2 2 2
=△𝐵𝐸𝐹=2×𝐵𝐸5=10𝐵(cid:73)𝐹 𝐸𝐹
∴𝐴𝐵 2𝐵𝐸
(cid:145)(cid:127)(cid:128)(cid:120)(cid:10)10.
(cid:15)(cid:87)(cid:202)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:266)(cid:153)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:22)(cid:123)(cid:177)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:38)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:69)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:69)
(cid:244)(cid:245)(cid:123)(cid:135)(cid:69)(cid:167)(cid:113)(cid:168)(cid:169)(cid:287)(cid:82)(cid:205)(cid:87)(cid:125)(cid:52)(cid:20)(cid:40)(cid:3)(cid:172).
(cid:15)(cid:154)(cid:26)6-3(cid:19)(cid:79)(cid:80)(cid:69)DE(cid:99)NM(cid:33)(cid:84)(cid:125) ABC(cid:99) ADE(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:69)NM(cid:40)(cid:95)(cid:96)(cid:32)(cid:85)BC(cid:86)(cid:87)F(cid:69)(cid:88) (cid:10)S
(cid:119)(cid:91)(cid:39)
(cid:153)(cid:86)(cid:97) (cid:98) △ △ 𝑆△𝐷𝑀𝑁
MFCE
A(cid:73)1(cid:10)5 B(cid:73)1(cid:10)4 C(cid:73)2(cid:10)5 D(cid:73)2(cid:10)7
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)B
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:181)N(cid:53)NH DE(cid:86)H(cid:69)(cid:181)A(cid:53)AP BC(cid:86)P(cid:85)DE(cid:86)G(cid:69)(cid:70)(cid:199)NM AG(cid:69)(cid:139)(cid:140)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:123)(cid:135)(cid:70)(cid:199)
⊥ 1 1⊥ ∥
DE BC(cid:69)(cid:70)(cid:199)AG(cid:259)PG(cid:69)(cid:51)(cid:70)NM(cid:259) AG(cid:259) PG(cid:69)(cid:139)(cid:140)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:177)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:91)(cid:39)(cid:40)(cid:288)(cid:289)(cid:143)(cid:137)(cid:70)(cid:199)(cid:163)(cid:90)(cid:73)
2 2
(cid:15)(cid:144)∥ (cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10)(cid:181)N(cid:53)NH DE(cid:86)H(cid:69)(cid:181)A(cid:53)AP BC(cid:86)P(cid:85)DE(cid:86)G(cid:69)
NM AG(cid:69) ⊥ ⊥
∴ ∥DE(cid:125) ABC(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:69)
∵DE BC△(cid:69)
∴AG∥(cid:259)PG(cid:69)
∴M(cid:125)DE(cid:40)(cid:41)(cid:87)(cid:69)
∵ 1
DM(cid:259)ME(cid:259) DE(cid:69)
2
∴NM AG(cid:69)AN(cid:259)DN(cid:69)
∵NM ∥ 1
(cid:259) (cid:259) (cid:69)
AG 2
𝐷𝑁
∴ 𝐴 1 𝐷 1
NM(cid:259) AG(cid:259) PG(cid:69)
2 2
∴DM(cid:259)ME(cid:69)
∵ 1 1
S (cid:10)S (cid:259)2 (cid:259)2 (cid:259)1(cid:10)4(cid:73)
DMN (cid:119)(cid:91)(cid:39)MFCE
𝐷𝑀⋅𝑁𝐻 𝐷𝑀⋅𝑁𝐻
(cid:145)∴ (cid:146)△ (cid:10)B(cid:73) 𝐸𝑀⋅𝑃𝐺 2𝐷𝑀⋅𝑁𝑀
(cid:15)(cid:87)(cid:202)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:123)(cid:135)(cid:254)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:73)(cid:58)(cid:20)(cid:3)(cid:172)(cid:125)(cid:206)(cid:290)(cid:24)(cid:25)(cid:3)(cid:207)(cid:51)(cid:52)(cid:73)
【题型7 平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】
(cid:15)(cid:25)7(cid:19)(cid:79)(cid:80)(cid:69) (cid:125) (cid:40)(cid:45)(cid:46)(cid:69)(cid:95)(cid:96) (cid:85) (cid:86)(cid:87) (cid:69)(cid:95)(cid:96) (cid:85) (cid:86)(cid:87) (cid:69) (cid:69) (cid:33)(cid:84)(cid:125) (cid:177)
(cid:40)(cid:45)(cid:46)(cid:69) (cid:96)(cid:120)𝐺12(cid:69)△(cid:88)𝐴𝐵𝐶(cid:40)(cid:96)(cid:120)(cid:97) (cid:98)𝐵𝐺 𝐴𝐶 𝐷 𝐶𝐺 𝐴𝐵 𝐸 𝑃 𝑄 △𝐵𝐶𝐸 △𝐵𝐶𝐷
𝐵𝐶 𝑃𝑄
A(cid:73)2 B(cid:73)2(cid:73)5 C(cid:73)3 D(cid:73)4
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)A
1
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:117)(cid:118) (cid:99) (cid:69)(cid:183)(cid:95)(cid:96)(cid:69)(cid:33)(cid:84)(cid:85) (cid:86)(cid:65)(cid:87) (cid:69)(cid:117)(cid:118) (cid:99) (cid:69)(cid:136)(cid:20)(cid:148)(cid:291)(cid:70) (cid:69) = (cid:69)
2
𝐸𝑃 𝐷𝑄 𝐵𝐶 𝐹 𝐸𝐷 𝑃𝑄 𝐸𝐷∥𝐵𝐶 𝐸𝐷 𝐵𝐶 𝑃𝑄∥1
(cid:69) = (cid:69)(cid:200)(cid:152)(cid:137)(cid:51)(cid:52)(cid:73)
3
𝐸(cid:15)𝐷(cid:144)(cid:52)𝑃𝑄(cid:19)(cid:52)(cid:10)𝐸𝐷(cid:117)(cid:118) (cid:99) (cid:69)(cid:183)(cid:95)(cid:96)(cid:69)(cid:33)(cid:84)(cid:85) (cid:86)(cid:65)(cid:87) (cid:69)(cid:117)(cid:118) (cid:99) (cid:69)(cid:79)(cid:80)(cid:67)(cid:100)(cid:10)
𝐸𝑃 𝐷𝑄 𝐵𝐶 𝐹 𝐸𝐷 𝑃𝑄
(cid:125) (cid:40)(cid:45)(cid:46)(cid:69)(cid:95)(cid:96) (cid:85) (cid:86)(cid:87) (cid:69)(cid:95)(cid:96) (cid:85) (cid:86)(cid:87) (cid:69)
∵𝐺 =△𝐴𝐵(cid:69)𝐶 = (cid:69) 𝐵𝐺 𝐴𝐶 𝐷 𝐶𝐺 𝐴𝐵 𝐸
∴𝐴𝐸 𝐵𝐸 𝐴𝐷 1 𝐷𝐶
(cid:69) = (cid:69)
2
∴(cid:255)𝐸𝐷∥𝐵𝐶(cid:33)(cid:84)𝐸(cid:125)𝐷 𝐵𝐶 (cid:177) (cid:40)(cid:45)(cid:46)(cid:69)
∵𝑃,𝑄 △𝐵𝐶𝐸 △𝐵𝐶𝐷
= =2(cid:69)
𝐸𝑃 𝐷𝑄
∴𝑃𝐹 𝑄𝐹
1
(cid:69) = (cid:69)
3
∴𝑃𝑄∥𝐸𝐷 𝑃𝑄 𝐸𝐷
1 1 1
= × = (cid:69)
3 2 6
∴𝑃𝑄 𝐵𝐶 𝐵𝐶
=12
∵𝐵𝐶 =2
∴(cid:145)𝑃(cid:146)𝑄(cid:10)A(cid:73)
(cid:15)(cid:87)(cid:202)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:130)(cid:131)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:45)(cid:46)(cid:254)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:67)(cid:68)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:69)(cid:167)(cid:113)(cid:168)(cid:169)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:45)(cid:46)(cid:254)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:67)(cid:68)(cid:32)(cid:34)
(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:125)(cid:52)(cid:20)(cid:40)(cid:3)(cid:172)(cid:73)
(cid:15)(cid:154)(cid:26)7-1(cid:19)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:87) (cid:120) (cid:40)(cid:45)(cid:46)(cid:69) =90°(cid:69) =30°(cid:69)(cid:117)(cid:118) (cid:183)(cid:95)(cid:96)(cid:85) (cid:86)(cid:87) (cid:69)(cid:53) (cid:86)
𝐺 △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 ∠𝐵 𝐶𝐺 𝐴𝐵 𝐷 𝐷𝐸⊥𝐶𝐵
(cid:87) (cid:69)(cid:181)(cid:87) (cid:53) (cid:85) (cid:86)(cid:87) (cid:69)(cid:88) (cid:40)(cid:204)(cid:120)(cid:97)(cid:126)(cid:126)(cid:98)
𝐺𝐹
𝐸 𝐺 𝐺𝐹∥𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐹 𝐷𝐸
4 3 2 3
A(cid:73)1 B(cid:73) C(cid:73) D(cid:73)
3 2 3(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)B
1
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:292)(cid:198)(cid:139)(cid:140)30(cid:208)(cid:67)(cid:71)(cid:40)(cid:63)(cid:38)(cid:91)(cid:153)(cid:86)(cid:293)(cid:91)(cid:40)(cid:65)(cid:294)(cid:70)(cid:186) = (cid:73)(cid:295) = (cid:69)(cid:88) = (cid:73)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:45)(cid:46)
2
𝐷𝐸 𝐵𝐷2 𝐷𝐸 𝑎 𝐵𝐷 2𝑎
(cid:40)(cid:123)(cid:252)(cid:36)(cid:133)(cid:134)(cid:253)(cid:254)(cid:63)(cid:38)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:70)(cid:186) = = = (cid:69) = (cid:69)(cid:296)(cid:286)(cid:49)(cid:50)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)
CD 3
𝐶𝐺
2 4 𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐷 2𝑎
(cid:70)(cid:186) = = (cid:69)(cid:200)(cid:152)(cid:51)(cid:186) = (cid:73)(cid:58)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:45)(cid:46)(cid:40)(cid:123)(cid:252)(cid:36)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:45)(cid:46)(cid:125)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:37)(cid:91)
3 3 3
4𝑎 𝐺𝐹
(cid:41)(cid:32)𝐺(cid:40)𝐹(cid:85)(cid:87)𝐴(cid:69)𝐷(cid:45)(cid:46)(cid:199)(cid:241)(cid:87)(cid:40)(cid:297)(cid:298) 𝐷𝐸 (cid:36)(cid:45)(cid:46)(cid:199)(cid:71)(cid:91)(cid:41)(cid:87)(cid:40)(cid:297)(cid:298)(cid:260)(cid:24)(cid:120)2(cid:10)1(cid:69)(cid:299)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:38)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:30)(cid:31)
(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:69)(cid:300)(cid:208)(cid:301)(cid:41)(cid:73)
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10) (cid:69) =30°(cid:69)
1 ∵𝐷𝐸⊥𝐶𝐵 ∠𝐵
= (cid:73)
2
∴(cid:295)𝐷𝐸 =𝐵(cid:69)𝐷(cid:88) = (cid:73)
(cid:87)𝐷𝐸(cid:120) 𝑎 𝐵(cid:40)𝐷(cid:45)(cid:46)2(cid:69)𝑎 =90°(cid:69)
∵(cid:117)(cid:118)𝐺 (cid:183)△(cid:95)𝐴𝐵(cid:96)𝐶(cid:85) (cid:86)(cid:87)∠𝐶(cid:69)
𝐶𝐺 𝐴𝐵 𝐷 2
= = = (cid:69) = (cid:69)
3
𝐶𝐺
∴𝐶𝐷 𝐴𝐷(cid:69) 𝐵𝐷 2𝑎 𝐶𝐷
∵𝐺𝐹∥𝐴𝐷 2
= = (cid:69)
3
𝐺𝐹 𝐶𝐺
∴𝐴𝐷 𝐶𝐷
2
= = (cid:69)
3 3
4𝑎
∴𝐺𝐹 4𝐴𝐷
= (cid:73)
3
𝐺𝐹
∴(cid:145)𝐷(cid:146)𝐸 (cid:10)B(cid:73)
(cid:15)(cid:154)(cid:26)7-2(cid:19)(cid:97)22-23(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:116)·(cid:187)(cid:108)(cid:188)(cid:189)·(cid:112)(cid:34)(cid:113)(cid:114)(cid:98)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:115) (cid:41)(cid:69) (cid:125) (cid:91)(cid:116)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:69)(cid:87)G(cid:125)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
(cid:40)(cid:45)(cid:46)(cid:69)(cid:181)(cid:87)G(cid:53) (cid:85) (cid:86)(cid:87)F(cid:69)(cid:302)(cid:303) =(cid:97) (cid:98)
𝐸𝐹
𝐺𝐹∥𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐸𝐶
1 1 1 1
A(cid:73) B(cid:73) C(cid:73) D(cid:73)
3 2 4 5(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)A
1
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:136)(cid:20)(cid:148)(cid:291)(cid:70) = (cid:69) = (cid:69)(cid:296)(cid:286)(cid:139)(cid:140)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:67)(cid:68)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:137)(cid:200)(cid:31)(cid:51)(cid:52)(cid:73)
2
𝐸𝐺
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10) (cid:125)𝐵𝐸(cid:91)(cid:116)𝐸(cid:40)𝐶(cid:41) 𝐴 (cid:32) 𝐺 (cid:69)
= (cid:69) ∵𝐴𝐸 𝐵𝐶
∴(cid:87)𝐵𝐸G(cid:125)𝐸𝐶 (cid:40)(cid:45)(cid:46)(cid:69)
∵ 1 △𝐴𝐵𝐶
= (cid:69)
2
𝐸𝐺
∴𝐴𝐺 (cid:69)
∵𝐺𝐹∥𝐴𝐵 1
= = (cid:69)
2
𝐸𝐹 𝐸𝐺
∴𝐵𝐹 𝐴1𝐺 1
= (cid:69)(cid:143) = (cid:149)
3 3
𝐸𝐹 𝐸𝐹
∴(cid:145)𝐵(cid:146)𝐸 A(cid:73) 𝐸𝐶
(cid:15)(cid:87)(cid:202)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:130)(cid:131)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:45)(cid:46)(cid:254)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:67)(cid:68)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:69)(cid:167)(cid:113)(cid:168)(cid:169)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:45)(cid:46)(cid:125)(cid:52)(cid:20)(cid:40)(cid:3)(cid:172)(cid:73)
(cid:15)(cid:154)(cid:26)7-3(cid:19)(cid:97)2024·(cid:304)(cid:230)(cid:305)(cid:306)·(cid:307)(cid:190)(cid:98)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:115)(cid:308)(cid:39) (cid:41)(cid:69) =6(cid:69)P(cid:125) (cid:91)(cid:116)(cid:65)(cid:87)(cid:69)(cid:227) (cid:223) (cid:309)
(cid:310)(cid:69)(cid:162)(cid:87)D(cid:40)(cid:71)(cid:72)(cid:87)E(cid:311)(cid:312)(cid:125) (cid:40)(cid:45)(cid:46)(cid:69)(cid:88) 𝐴𝐵(cid:40)𝐶(cid:96)𝐷(cid:120) 𝐴 𝐵 (cid:73) 𝐴𝐷 △𝑃𝐶𝐷 𝐶𝑃
△𝐴𝐵𝐶 𝑃𝐷
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)3 2
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:185)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:308)(cid:39)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:45)(cid:46)(cid:69)(cid:80)(cid:39)(cid:40)(cid:309)(cid:310)(cid:154)(cid:313)(cid:254)(cid:92)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:244)(cid:245)(cid:123)(cid:135)(cid:69)(cid:95)(cid:96) (cid:85)
(cid:86)F(cid:69)(cid:115) (cid:40)(cid:95)(cid:96)(cid:32)(cid:116)(cid:242)(cid:65)(cid:87)H(cid:69)(cid:280) = (cid:69)(cid:117)(cid:118) (cid:69) (cid:69) (cid:69)(cid:117)(cid:118) (cid:183)(cid:95)(cid:96)(cid:85) (cid:86)(cid:87)T(cid:69)(cid:117)𝐶(cid:118)𝐸 𝐴(cid:69)𝐵
(cid:136)(cid:309)(cid:310)(cid:40)𝐸(cid:133)𝐹(cid:134)(cid:70)P = (cid:69) = 𝐹𝐻=6(cid:69)𝐹(cid:139)𝐸 (cid:140)(cid:87)E𝐴(cid:125)𝐻 𝐵𝐻 (cid:40)𝑃𝐹(cid:45)(cid:46)(cid:69)(cid:70)𝐴𝐸 (cid:125) (cid:91)(cid:116)𝐵𝐶(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:69) (cid:125)𝐵𝐸(cid:91)
𝑃𝐷 𝑃𝐸1 𝐶𝐸 𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝑇 𝐵𝐶 𝐶𝐹 𝐴𝐵
(cid:116)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:69)(cid:88) = = =3(cid:69) = (cid:69)(cid:198)(cid:178)(cid:119)(cid:91)(cid:39) (cid:125)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:91)(cid:39)(cid:70) (cid:69)(cid:200)(cid:152)(cid:70) (cid:125)
2
𝐴𝐹 𝐵𝐹 𝐴𝐵 𝐶𝑇 𝐵𝑇 𝐴𝐸𝐵𝐻 𝐵𝐻∥𝐴𝐸 𝐸𝑇 △𝐶𝐵𝐻
(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:69)(cid:88) = =6(cid:69)(cid:200)(cid:152)(cid:70) = =3(cid:69)(cid:115)Rt (cid:41)(cid:69)(cid:136)(cid:244)(cid:245)(cid:123)(cid:135)(cid:70) = =6 2(cid:69)
2 2
𝐸𝐻 𝐶𝐸 𝐹𝐻 𝐹𝐸 △𝐵𝐶𝐹 1 𝐵𝐶 𝐶𝐹 −𝐵𝐹
(cid:138)(cid:22)(cid:123)Rt Rt (HL)(cid:69)(cid:70) = (cid:69)(cid:200)(cid:152)(cid:70) = = =3 2(cid:69)(cid:140)(cid:185)(cid:137)(cid:70)(cid:186)(cid:127)(cid:128)(cid:73)
2
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)(cid:52)△(cid:10)𝑃𝐴(cid:95)𝐹(cid:96)≌ △(cid:85)𝑃𝐸𝐹(cid:86)F(cid:69)(cid:115) 𝑃(cid:40)𝐴 (cid:95)𝑃(cid:96)𝐸(cid:32)(cid:116)(cid:242)(cid:65)(cid:87)𝑃𝐷H(cid:69)𝑃(cid:280)𝐴 =𝐴𝐷 (cid:69)(cid:117)(cid:118) (cid:69) (cid:69) (cid:69)(cid:117)(cid:118) (cid:183)(cid:95)
(cid:96)(cid:85) (cid:86)(cid:87)T(cid:69)(cid:117)𝐶(cid:118)𝐸 𝐴(cid:69)𝐵(cid:79)(cid:105)(cid:80)(cid:67)(cid:100)𝐸𝐹(cid:10) 𝐹𝐻 𝐹𝐸 𝐴𝐻 𝐵𝐻 𝑃𝐹 𝐴𝐸
𝐵𝐶 𝐵𝐸(cid:119)(cid:91)(cid:39) (cid:120)(cid:308)(cid:39)(cid:69) =6(cid:69)
∵ =𝐴𝐵𝐶𝐷=90°(cid:69) 𝐴𝐵= =6(cid:69) = (cid:69)
∴(cid:136)∠(cid:309)𝐵𝐴(cid:310)𝐷(cid:40)(cid:133)∠(cid:134)𝐷(cid:70)(cid:10) =𝐶𝐷 (cid:69)𝐴𝐵 = 𝐴=𝐷6(cid:69)𝐵𝐶 = =90°(cid:69)
(cid:87)E(cid:125) (cid:40)(cid:45)𝑃𝐷(cid:46)(cid:69)𝑃𝐸 𝐶𝐸 𝐶𝐷 ∠𝑃𝐸𝐶 ∠𝐷
∵ (cid:125) △(cid:91)𝐴(cid:116)𝐵(cid:40)𝐶(cid:41)(cid:32)(cid:69) (cid:125) (cid:91)(cid:116)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:69)
∴𝐴𝑇 𝐵𝐶 1 𝐶𝐹 𝐴𝐵
(cid:143) = = =3(cid:69) = (cid:69)
2
(cid:255)𝐴𝐹 =𝐵𝐹 (cid:69)𝐴𝐵 𝐶𝑇 𝐵𝑇
(cid:119)∵(cid:91)𝐹𝐻(cid:39) 𝐹𝐸 (cid:125)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:91)(cid:39)(cid:69)
∴ 𝐴(cid:69)𝐸𝐵𝐻
(cid:143)∴𝐵𝐻∥𝐴𝐸 (cid:69)
𝐵𝐻∥𝐸𝑇
= (cid:69)
𝐶𝑇 𝐶𝐸
∴𝐵𝑇 = 𝐸𝐻 (cid:69)
∵𝐶𝑇 =𝐵𝑇(cid:69)
∴𝐶𝐸(cid:125) 𝐸𝐻 (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:69)
∴𝐸𝑇 =△𝐶𝐵=𝐻6(cid:69)
∴𝐸𝐻= 𝐶𝐸=3(cid:69)
∴𝐹𝐻= 𝐹𝐸+ =6+3=9(cid:69)
∴𝐶𝐹 𝐶𝐸 𝐹𝐸
(cid:115)Rt (cid:41)(cid:69)(cid:136)(cid:244)(cid:245)(cid:123)(cid:135)(cid:70)(cid:10) = =6 2(cid:69)
2 2
= △𝐵𝐶𝐹 =6 2(cid:69) 𝐵𝐶 𝐶𝐹 −𝐵𝐹
∴𝐴𝐷=3𝐵(cid:69)𝐶 =3(cid:69)
∵𝐹𝐸 = (cid:69)𝐴𝐹
∴𝐴𝐹 𝐹=𝐸90°(cid:69) =90°(cid:69)
∵∠𝑃𝐸𝐶 = ∠=𝐵𝐴9𝐷0°(cid:69)
∴∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝑃𝐸𝐹(cid:115)Rt (cid:177)Rt (cid:41)(cid:69)
=△𝑃𝐴𝐹 △𝑃𝐸𝐹
= (cid:69)
𝐴𝐹 𝐹𝐸
𝑃R𝐹t 𝑃𝐹 Rt (HL)(cid:69)
∴ △=𝑃𝐴𝐹(cid:69)≌ △𝑃𝐸𝐹
∴𝑃𝐴 𝑃𝐸 1
= = =3 2(cid:69)
2
∴(cid:145)𝑃(cid:127)𝐷(cid:128)(cid:120)𝑃𝐴(cid:10)3 𝐴 2(cid:73)𝐷
【题型8 多次利用平行线分线段成比例求解】
(cid:15)(cid:25)8(cid:19)(cid:97)2025(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:116)·(cid:266)(cid:314)·(cid:315)(cid:20)(cid:113)(cid:114)(cid:98)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:81)(cid:82) (cid:69) (cid:69) (cid:125)(cid:37)(cid:237)(cid:266)(cid:153)(cid:40)(cid:153)(cid:256)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:69)
(cid:316)(cid:91) (cid:69) (cid:69) (cid:115)(cid:258)(cid:65)(cid:62)(cid:63)(cid:32)(cid:116)(cid:69)(cid:175) =3(cid:69) = △3(cid:69)𝐴𝐵𝐶(cid:33)△(cid:84)𝐷(cid:85)𝐶𝐸 (cid:69)△𝐹(cid:69)𝐸𝐺 (cid:86)(cid:87) (cid:69) (cid:69) (cid:73)(cid:52)(cid:127)(cid:105)
(cid:121)(cid:217)𝐵(cid:20)𝐶(cid:10)𝐶𝐸 𝐸𝐺 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐹 𝐴𝐶 𝐷𝐶 𝐷𝐸 𝑀 𝑁 𝐻
(1) (cid:40)(cid:204)(cid:120)__________(cid:149)
𝐹𝐺
𝐵𝐺
3
(2)(cid:51)(cid:178)(cid:10) = = (cid:149)
3
𝐹𝐺 𝐸𝐺
(3)(cid:51)(cid:10) 𝐵𝐺 𝐹𝐺 (cid:40)(cid:204)(cid:73)
𝐵𝑀:𝑀3𝑁:𝑁𝐹
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)(1)
3
(2)(cid:178)(cid:179)(cid:317)(cid:52)(cid:129)
(3) =2:1:3
(cid:15)(cid:33)𝐵𝑀(cid:129):𝑀(cid:19)𝑁(cid:97):𝑁1𝐹(cid:98)(cid:136)(cid:20)(cid:148)(cid:137)(cid:70) = = = = = =3(cid:69) = = = 3(cid:69)(cid:251)(cid:152)(cid:137)(cid:70)
= =3 3(cid:69)(cid:143)(cid:137)(cid:70)(cid:52)𝐴𝐵(cid:149) 𝐴𝐶 𝐷𝐶 𝐷𝐸 𝐹𝐸 𝐹𝐺 𝐵𝐶 𝐶𝐸 𝐸𝐺
𝐵(cid:97)𝐺2(cid:98)(cid:136)3𝐵(cid:20)𝐶(cid:148)(cid:137)(cid:70) = = = 3(cid:69) = = = = = =3(cid:69)(cid:143)(cid:137)(cid:70)(cid:178)(cid:149)
(cid:97)3(cid:98)(cid:136)(cid:20)(cid:148)(cid:137)(cid:70)𝐵𝐶 𝐶=𝐸 𝐸𝐺= 𝐺(cid:69)𝐹 𝐸𝐹 =𝐷𝐸 𝐷=𝐶 𝐴𝐶(cid:69)(cid:251)𝐴(cid:152)𝐵 (cid:137)(cid:70) (cid:69) (cid:69)
∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐷𝐶𝐸 ∠𝐹𝐸𝐺3 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐷𝐸𝐶 ∠𝐹𝐺𝐸 𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝐸𝐹 𝐴𝐶∥𝐷𝐸∥𝐹𝐺
(cid:138)(cid:136)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:137)(cid:70) = =1(cid:69) = 3: 3: 3=1:1:1(cid:69)(cid:51)(cid:186) = (cid:69)
𝐵𝑁 3
= (cid:69)(cid:143)(cid:137)(cid:70)(cid:52)(cid:73) 𝑁𝐹 𝐵𝑀:𝑀𝐻:𝐻𝐹 𝐵𝑀 2𝑀𝑁
𝑁(cid:15)𝐹(cid:144)(cid:52)3(cid:19)𝑀(cid:97)𝑁1(cid:98)(cid:52)(cid:10) (cid:69) (cid:69) (cid:125)(cid:37)(cid:237)(cid:266)(cid:153)(cid:40)(cid:153)(cid:256)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:69) =3(cid:69) = 3(cid:69)
∵△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐶𝐸 △𝐹𝐸𝐺 𝐴𝐵 𝐵𝐶= = = = = =3(cid:69) = = = 3(cid:69)
∴𝐴𝐵=𝐴𝐶 =𝐷3𝐶 3(cid:69)𝐷𝐸 𝐹𝐸 𝐹𝐺 𝐵𝐶 𝐶𝐸 𝐸𝐺
∴𝐵𝐺 33𝐵𝐶 3
= = (cid:69)
3
3 3
𝐹𝐺
∴𝐵𝐺
3
(cid:145)(cid:127)(cid:128)(cid:120)(cid:10) (cid:149)
3
(cid:97)2(cid:98)(cid:52)(cid:10) (cid:69) (cid:69) (cid:125)(cid:37)(cid:237)(cid:266)(cid:153)(cid:40)(cid:153)(cid:256)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:69)
= =∵△𝐴𝐵=𝐶 3(cid:69)△𝐷𝐶𝐸= △=𝐹𝐸𝐺 = = = =3(cid:69)
∴𝐵𝐶 𝐶𝐸 3𝐸𝐺 𝐺𝐹 𝐸𝐹 𝐷𝐸 𝐷𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐵
= = (cid:69)
3
𝐹𝐺 𝐸𝐺
∴(cid:97)𝐵3𝐺(cid:98)(cid:52)𝐹𝐺(cid:10) (cid:69) (cid:69) (cid:125)(cid:37)(cid:237)(cid:266)(cid:153)(cid:40)(cid:153)(cid:256)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:69)
= ∵△𝐴𝐵=𝐶 △𝐷(cid:69)𝐶𝐸 △=𝐹𝐸𝐺 = (cid:69)
∴∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐷𝐶(cid:69)𝐸 ∠𝐹𝐸𝐺 ∠𝐴(cid:69)𝐶𝐵 ∠𝐷𝐸𝐶 ∠𝐹𝐺𝐸
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝐸𝐹 𝐴𝐶∥𝐷𝐸∥𝐹𝐺
= (cid:69) = (cid:69)
𝐵𝑁 𝐵𝐶
∴𝑁𝐹
=
𝐶𝐸
=
𝐵𝑀:𝑀
=
𝐻:𝐻
3
𝐹(cid:69) 𝐵𝐶:𝐶𝐸:𝐸𝐺
∵𝐵𝐶 𝐶3𝐸 𝐸𝐺
= =1(cid:69) = 3: 3: 3=1:1:1(cid:69)
3
𝐵𝑁
∴𝑁𝐹 = (cid:69) 𝐵𝑀 = :𝑀𝐻:𝐻 = 𝐹 (cid:69)
∴𝐵𝑁 𝑁𝐹 𝐵𝑀 𝑀𝐻 𝐻𝐹 1
= (cid:69)(cid:143) = = (cid:69)
2
∴𝐵𝑁−=𝐵𝑀 𝑁(cid:69)𝐹−𝐻=𝐹 𝑀(cid:69)𝑁 𝑁𝐻 𝑀𝐻
∴𝐵𝑀 2𝑀𝑁 =𝑁2𝐹:1:3(cid:73)3𝑀𝑁
∴(cid:15)𝐵(cid:87)𝑀(cid:202):𝑀(cid:19)𝑁:(cid:58)𝑁𝐹(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:130)(cid:131)(cid:153)(cid:256)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:266)(cid:153)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:40)(cid:211)(cid:50)(cid:69)(cid:168)(cid:169)(cid:153)(cid:256)(cid:37)
(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:125)(cid:209)(cid:210)(cid:125)(cid:52)(cid:20)(cid:40)(cid:3)(cid:172)(cid:73)
(cid:15)(cid:154)(cid:26)8-1(cid:19)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:115) (cid:177) (cid:41)(cid:69)D(cid:99)E(cid:99)F(cid:33)(cid:84)(cid:115)(cid:32)(cid:34) (cid:99) (cid:99) (cid:116)(cid:69)(cid:117)(cid:118) (cid:99) (cid:69) (cid:69)
(cid:69) = 1 = △ 3(cid:69) 𝐴 (cid:51) 𝐵𝐶 (cid:40) △ (cid:96) 𝐴𝐶 (cid:73) 𝐺 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐺 𝐷𝐸 𝐸𝐹 𝐷𝐸∥𝐵𝐶
3
𝐴𝐷
𝐸𝐹∥𝐶𝐺 𝐴𝐵 ,𝐴𝐹 𝐴𝐺
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)9(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:136) (cid:137)(cid:70) = , = ,(cid:251)(cid:152)(cid:137)(cid:70) = ,(cid:138)(cid:136) = 1 =3(cid:137)(cid:70)(cid:163)(cid:218)(cid:73)
3
𝐴𝐷 𝐴𝐸𝐴𝐹 𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)(cid:52)𝐷
:
𝐸∥𝐵𝐶,𝐸𝐹∥𝐶𝐺
,
𝐴𝐵 𝐴𝐶𝐴𝐺 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵 ,𝐴𝐹
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶,𝐸𝐹∥𝐶𝐺
= , = ,
𝐴𝐷 𝐴𝐸𝐴𝐹 𝐴𝐸
∴𝐴𝐵 𝐴𝐶𝐴𝐺 𝐴𝐶
= ,
𝐴𝐷 𝐴𝐹
∴𝐴𝐵 𝐴𝐺
1
= =3
3
𝐴𝐷
∵𝐴𝐵 ,𝐴𝐹
=9
∴(cid:15)𝐴(cid:87)𝐺(cid:202)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:69)(cid:52)(cid:216)(cid:58)(cid:20)(cid:40)(cid:3)(cid:172)(cid:125)(cid:167)(cid:113)(cid:168)(cid:169)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:73)
(cid:15)(cid:154)(cid:26)8-2(cid:19)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:87)D(cid:125) (cid:91) (cid:116)(cid:65)(cid:87)(cid:69)(cid:117)(cid:118) (cid:69)(cid:181) (cid:116)(cid:87)E(cid:53) (cid:69)(cid:85) (cid:86)(cid:87)F(cid:69)(cid:181)(cid:87)F(cid:53)
△𝐴𝐵𝐶3 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐷 𝐸𝐹∥𝐵𝐷 𝐴𝐵
(cid:85)BC(cid:86)(cid:87)G(cid:69)(cid:81)(cid:82) = (cid:69) =4(cid:73)
2
𝐴𝐸
𝐹𝐺∥𝐴𝐶 𝐸𝐷 𝐵𝐺
(1)(cid:51) (cid:40)(cid:96)(cid:149)
(2)(cid:162)𝐶𝐺 =2(cid:69)(cid:115)(cid:116)(cid:78)(cid:62)(cid:269)(cid:177)(cid:163)(cid:90)(cid:105)(cid:69)(cid:51) (cid:40)(cid:96)(cid:73)
(cid:15)(cid:127)(cid:128)𝐶𝐷(cid:19)(1)6 𝐸𝐹
24
(2)
5
3 2
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:97)1(cid:98)(cid:136) (cid:69)(cid:89)(cid:186) = = (cid:69)(cid:136) // (cid:69)(cid:89)(cid:186) = = (cid:69)(cid:137)(cid:70)(cid:163)(cid:90)(cid:73)
2 3
𝐴𝐹 𝐴𝐸 𝐵𝐺 𝐵𝐹
𝐸𝐹∥𝐵𝐷 𝐹𝐵 𝐸𝐷 𝐹𝐺 𝐴𝐶 𝐶𝐺 𝐴𝐹
(cid:97)2(cid:98)(cid:136) (cid:69)(cid:89)(cid:186) = (cid:69)(cid:137)(cid:70)(cid:163)(cid:90)(cid:73)
𝐸𝐹 𝐴𝐹
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)𝐸(cid:97)𝐹∥ 1(cid:98)𝐵𝐷 𝐵𝐷(cid:69) 𝐴𝐵
3 ∵𝐸𝐹∥𝐵𝐷
= = (cid:69)
2
𝐴𝐹 𝐴𝐸
∴𝐹𝐵 𝐸𝐷(cid:69)
∵𝐹𝐺∥𝐴𝐶 2
= = (cid:69)
3
𝐵𝐺 𝐵𝐹
∴𝐶𝐺
=
𝐴
4
𝐹(cid:69)
∵𝐵𝐺= 3 = 3 ×4=6(cid:73)
2 2
∴𝐶𝐺 𝐵𝐺
(cid:97)2(cid:98) =2(cid:69) =6(cid:69)
=∵𝐶𝐷 =𝐶4𝐺(cid:69)
∴𝐷𝐺=4𝐶(cid:69)𝐺−𝐶𝐷
∵𝐵𝐺 = + =8(cid:69)
∴𝐵𝐷 3𝐵𝐺 𝐷𝐺
= (cid:69)
2
𝐴𝐹
∵𝐵𝐹
3
= (cid:69)
5
𝐴𝐹
∴𝐴𝐵
(cid:69)
∵𝐸𝐹∥𝐵𝐷
= (cid:69)
𝐸𝐹 𝐴𝐹
∴𝐵𝐷
3
𝐴𝐵
= (cid:69)
8 5
𝐸𝐹
∴
24
= (cid:73)
5
∴(cid:15)𝐸(cid:87)𝐹(cid:202)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:69)(cid:168)(cid:169)(cid:318)(cid:237)(cid:123)(cid:135)(cid:125)(cid:3)(cid:172)(cid:73)
(cid:15)(cid:154)(cid:26)8-3(cid:19)(cid:97)24-25(cid:194)(cid:103)(cid:104)(cid:105)·(cid:195)(cid:196)(cid:96)(cid:197)·(cid:159)(cid:41)(cid:98)(cid:238)(cid:179)(cid:258)(cid:11)(cid:115)(cid:11)(cid:114)(cid:161)(cid:176)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:275)(cid:319)(cid:199)(cid:318)(cid:320)(cid:65)(cid:237)(cid:217)(cid:20)(cid:10)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:115)
(cid:41)(cid:69)(cid:87)D(cid:125) (cid:40)(cid:41)(cid:87)(cid:69)(cid:87)E(cid:125) (cid:41)(cid:87)(cid:73)(cid:117)(cid:163) (cid:69) (cid:85)(cid:86)(cid:87)G(cid:69)(cid:51) (cid:40)(cid:204)(cid:73)
𝐴𝐺
Δ𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐸 𝐷𝐺
(cid:97)1(cid:98)(cid:238)(cid:179)(cid:321)(cid:322)(cid:69)(cid:181)(cid:87)D(cid:53) (cid:85) (cid:86)H(cid:69)(cid:139)(cid:140)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:143)(cid:137)(cid:70)(cid:199)(cid:217)(cid:20)(cid:40)(cid:127)(cid:128)(cid:73)(cid:105)(cid:288)(cid:125)(cid:238)(cid:179)
(cid:40)(cid:323)(cid:33)(cid:52)(cid:20)(cid:181)(cid:324)(cid:10) 𝐷𝐻∥𝐵𝐸 𝐴𝐶
(cid:52)(cid:10)(cid:79)(cid:80)1(cid:69)(cid:181)(cid:87)D(cid:53) (cid:85) (cid:86)H(cid:69)
𝐷𝐻∥𝐵𝐸 𝐴𝐶
(cid:125) (cid:40)(cid:41)(cid:87)(cid:69)
∵𝐷 𝐵𝐶= (cid:69)
∴𝐵𝐷 𝐶𝐷
= =1(cid:69)
𝐶𝐷 𝐶𝐻
(cid:325)∴(cid:326)𝐵𝐷(cid:327)(cid:266)𝐸𝐻(cid:328)(cid:105)(cid:40)(cid:52)(cid:20)(cid:181)(cid:324)(cid:73)
(cid:15)(cid:329)(cid:330)(cid:72)(cid:50)(cid:19)
(cid:97)2(cid:98)(cid:79)(cid:80)2(cid:69)(cid:115) (cid:41)(cid:69)E(cid:99)F(cid:33)(cid:84)(cid:125) (cid:99) (cid:40)(cid:41)(cid:87)(cid:69)(cid:117)(cid:118) (cid:33)(cid:84)(cid:85) (cid:99) (cid:86)M(cid:99)N(cid:69)(cid:88) =_______(cid:73)
𝑀𝑁
▱𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐷𝐸 𝐵𝐹 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:331)(cid:332)(cid:333)(cid:334)(cid:19)
(cid:97)3(cid:98)(cid:79)(cid:80)3(cid:69)(cid:87)E(cid:125) (cid:91)(cid:40)(cid:41)(cid:87)(cid:69) = (cid:99) (cid:85)(cid:86) =10(cid:69) =6, (cid:69)(cid:63)(cid:118)(cid:335)(cid:186)(cid:119)(cid:91)(cid:39)
(cid:40)(cid:288)(cid:289)(cid:73) 𝐴𝐶 𝐷𝐶 2𝐵𝐷,𝐴𝐷 𝐵𝐸 𝐹,𝐴𝐷 𝐵𝐸 𝐴𝐷⊥𝐵𝐸
𝐶𝐷𝐹𝐸
1
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)(cid:97)1(cid:98)(cid:317)(cid:52)(cid:129)(cid:149)(cid:97)2(cid:98) (cid:149)(cid:97)3(cid:98)18.75
3
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:185)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:91)(cid:39)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:99)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:153)(cid:82)(cid:205)(cid:69)(cid:135)(cid:52)(cid:20)(cid:148)(cid:69)(cid:167)(cid:113)(cid:168)(cid:169)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)
(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:125)(cid:52)(cid:20)(cid:3)(cid:172)(cid:73)
(cid:97)1(cid:98)(cid:139)(cid:140)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:177)(cid:41)(cid:87)(cid:40)(cid:123)(cid:252)(cid:200)(cid:31)(cid:52)(cid:127)(cid:143)(cid:137)(cid:149)
(cid:97)2(cid:98)(cid:117)(cid:118) (cid:85) (cid:86)(cid:87) (cid:69)(cid:88)(cid:87) (cid:120) (cid:40)(cid:41)(cid:87)(cid:69)(cid:87) (cid:120) (cid:40)(cid:41)(cid:87)(cid:73)(cid:139)(cid:140)(cid:97)1(cid:98)(cid:217)(cid:137)(cid:70) =2(cid:73)(cid:258)(cid:135)(cid:137)(cid:70)
𝐴𝑀 𝐶𝑁
=2,(cid:136)(cid:87) 𝐵(cid:120)𝐷 𝐴(cid:40)𝐶(cid:41)(cid:87)(cid:70)𝑂(cid:199) =𝑂 𝐵(cid:69)𝐷(cid:143)(cid:137)(cid:178)(cid:179)(cid:163)𝑂(cid:90)(cid:35)𝐴(cid:336)𝐶(cid:149) 𝑀𝑂 𝑁𝑂
𝑂 𝐴𝐶 𝐴𝑂 𝑂𝐶 1
(cid:97)3(cid:98)(cid:181)(cid:87)E(cid:53) (cid:85) (cid:86)G(cid:69)(cid:136)(cid:97)1(cid:98)(cid:258)(cid:135)(cid:70)(cid:186) = = = (cid:69)(cid:124)(cid:123) = = (cid:69)(cid:258)(cid:135)(cid:124)(cid:123) = =
2
𝐶𝐺 𝐸𝐺 𝐶𝐸 𝐷𝐹 𝐵𝐷
1 𝐸𝐺∥𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐶𝐺 𝐷𝐺 𝐵𝐷 𝐺𝐸 𝐵𝐺
= (cid:69) =7.5(cid:69) =2.5(cid:69) =3(cid:69) =3(cid:69)(cid:163)(cid:44)(cid:80)(cid:39)(cid:49)(cid:50) = (cid:143)(cid:137)(cid:51)(cid:52)(cid:73)
2 四边形
𝐵𝐹
(cid:15)𝐵𝐸(cid:144)(cid:52)(cid:19)𝐴(cid:97)𝐹1(cid:98)(cid:52)(cid:10)(cid:79)𝐹𝐷(cid:80)1(cid:69)(cid:181)(cid:87)𝐵𝐹D(cid:53) 𝐸𝐹 (cid:85) (cid:86)H(cid:69) 𝑆 𝐶𝐷𝐹𝐸 𝑆△𝐴𝐷𝐶−𝑆△𝐴𝐸𝐹
𝐷𝐻∥𝐵𝐸 𝐴𝐶(cid:125) (cid:40)(cid:41)(cid:87)(cid:69)
∵𝐷 =𝐵𝐶 (cid:69)
∴𝐵𝐷 𝐶𝐷
= =1(cid:69)
𝐶𝐷 𝐶𝐻
∴𝐵𝐷(cid:125) 𝐸𝐻(cid:40)(cid:41)(cid:87)
∵𝐸 =𝐴𝐶
∴𝐴𝐸 𝐸𝐶
=2(cid:73)
𝐴𝐸
(cid:255)∴𝐸𝐻
∵𝐷𝐻∥𝐺𝐸
= =2
𝐴𝐺 𝐴𝐸
∴(cid:97)2(cid:98)(cid:178)(cid:179)(cid:10)(cid:117)(cid:118) (cid:85) (cid:86)(cid:87) (cid:69)(cid:88)(cid:87) (cid:120) (cid:40)(cid:41)(cid:87)(cid:69)(cid:87) (cid:120) (cid:40)(cid:41)(cid:87)(cid:73)
𝐺𝐷 𝐸𝐻
𝐵𝐷 𝐴𝐶 𝑂 𝑂 𝐵𝐷 𝑂 𝐴𝐶
(cid:120) (cid:40)(cid:41)(cid:87)(cid:69)(cid:139)(cid:140)(cid:97)1(cid:98)(cid:217)(cid:137)(cid:70)
∵𝐸 𝐴𝐵
=2(cid:73)
𝐴𝑀
∴𝑀𝑂
(cid:258)(cid:135)(cid:137)(cid:70) =2
𝐶𝑁
𝑁𝑂
(cid:87) (cid:120) (cid:40)(cid:41)(cid:87)
∵ 𝑂= 𝐴𝐶
∴𝐴𝑂 =𝑂𝐶 = (cid:69)
∴𝐴𝑀 1𝑀𝑁 𝑁𝐶
= (cid:73)
3
𝑀𝑁
(cid:97)∴3𝐴(cid:98)𝐶 (cid:181)(cid:87)E(cid:53) (cid:85) (cid:86)G(cid:69)
𝐸𝐺∥𝐴𝐷 𝐵𝐶1
(cid:258)(cid:135)(cid:70)(cid:10) = = = (cid:69)
2
𝐶𝐺 𝐸𝐺 𝐶𝐸
= 𝐶 (cid:69) 𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐶
∴𝐶𝐺 =𝐷𝐺 (cid:69)
∵𝐷𝐶= 2𝐵𝐷= (cid:69)
∴𝐶𝐺 𝐷𝐺 𝐵𝐷 1
(cid:258)(cid:135)(cid:70)(cid:10) = = = (cid:69)
2
𝐷𝐹 𝐵𝐷 𝐵𝐹
𝐺𝐸 𝐵𝐺 𝐵𝐸
=4(cid:69) =10
𝐷𝐹
∴𝐴𝐷 𝐴𝐷
=3(cid:69)
𝐴𝐹
∴𝐹𝐷 =7.5(cid:69) =2.5(cid:69)
∴𝐴𝐹 𝐹𝐷
(cid:258)(cid:135)(cid:70)(cid:10) =2(cid:69) =6(cid:69)
𝐵𝐸
=3(cid:69) 𝐵𝐹 =3(cid:69)𝐵𝐸
∴𝐵𝐹 𝐸1𝐹 1
= = ×6×7.5=22.5(cid:69)
2 2
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸 𝐵𝐸⋅𝐴𝐹
1
= =22.5= (cid:69)
2
△𝐴𝐵𝐶
∴𝑆△𝐵𝐸𝐶 =4 𝑆 5 △ (cid:69) 𝐴𝐵𝐸 𝑆
△𝐴𝐵𝐶
∴𝑆 = (cid:69)
∵𝐷𝐶 2𝐵𝐷2
= =30(cid:69)
3
△𝐴𝐵𝐶
∴𝑆△𝐴𝐷𝐶 𝑆
1 1
= = ×7.5×3=11.25(cid:73)
2 2
𝑆△𝐴𝐸𝐹 𝐴𝐹=⋅𝐸𝐹
四边形
∵=𝑆 𝐶𝐷𝐹𝐸 𝑆△𝐴𝐷𝐶−𝑆△𝐴𝐸𝐹
=3108−.7151(cid:73).25
【题型9 作垂线构造平行线分线段成比例】
(cid:15)(cid:25)9(cid:19)(cid:97)24-25(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)·(cid:229)(cid:230)(cid:337)(cid:338)·(cid:159)(cid:160)(cid:98)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:115)(cid:308)(cid:39) (cid:41)(cid:69) =3(cid:69) =4(cid:69) (cid:161)(cid:85)(cid:86)(cid:87)O(cid:69)E
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐶,𝐵𝐷(cid:120) (cid:95)(cid:96)(cid:32)(cid:116)(cid:65)(cid:87)(cid:69)(cid:117)(cid:118) (cid:85) (cid:86)(cid:87)F(cid:69)(cid:162) =1(cid:69)(cid:88) (cid:40)(cid:96)(cid:208)(cid:120)(cid:97) (cid:98)
𝐵𝐴 𝑂𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝑂𝐸
41 27 26 5
A(cid:73) B(cid:73) C(cid:73) D(cid:73)
2 2 2 2
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)A
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:185)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:308)(cid:39)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:69)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:123)(cid:135)(cid:69)(cid:135)(cid:52)(cid:308)(cid:39)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:167)
(cid:113)(cid:168)(cid:169)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:123)(cid:135)(cid:69)(cid:244)(cid:245)(cid:123)(cid:135)(cid:125)(cid:52)(cid:216)(cid:217)(cid:20)(cid:40)(cid:3)(cid:172)(cid:73)
1
(cid:181)(cid:87)O(cid:53) (cid:86)(cid:87)H(cid:69)(cid:136)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:178)(cid:179) (cid:125) (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:70) = =2(cid:69)
2
𝑂𝐻 1 ⊥𝐴𝐵 3 5 𝑂𝐻 △𝐴𝐵𝐷 𝑂𝐻 𝐴𝐷
= = = (cid:69)(cid:200)(cid:152)(cid:70) = + = (cid:69)(cid:296)(cid:286)(cid:115)Rt (cid:41)(cid:69)(cid:136)(cid:244)(cid:245)(cid:123)(cid:135)(cid:143)(cid:137)(cid:51)(cid:186) (cid:40)(cid:96)(cid:73)
2 2 2
𝐴(cid:15)𝐻(cid:144)(cid:52)𝐵(cid:19)𝐻(cid:52)(cid:10)𝐴(cid:181)𝐵(cid:87)O(cid:53) 𝐸𝐻(cid:86)(cid:87)𝐴𝐸H(cid:69)𝐴(cid:79)𝐻(cid:80)(cid:67)(cid:100)(cid:10) △𝑂𝐸𝐻 𝑂𝐸
𝑂𝐻⊥𝐴𝐵
(cid:119)(cid:91)(cid:39) (cid:125)(cid:308)(cid:39)(cid:69) =3(cid:69) =4(cid:69)
= (cid:69) ∵=90°(cid:69)𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷
∴𝑂𝐵 𝑂𝐷(cid:69)∠𝐷𝐴𝐵
∵𝑂𝐻⊥𝐴=𝐵 = =90°(cid:69)
∴∠𝑂𝐻𝐵 (cid:69)∠𝑂𝐻𝐸 ∠𝐷𝐴𝐵
∴𝑂𝐻∥𝐴𝐷
=
𝑂𝐷 𝐴𝐻
(cid:255)∴𝑂𝐵 𝐵𝐻 = (cid:69)
∵𝑂𝐵 𝑂𝐷
=1(cid:69)
𝐴𝐻
∴𝐵𝐻 = (cid:69)
∴𝐻𝐴 (cid:125)𝐻𝐵 (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:69)
∴𝑂𝐻 △1 𝐴𝐵𝐷 1 3
= =2(cid:69) = = = (cid:69)
2 2 2
∴𝑂𝐻 𝐴𝐷 𝐴𝐻 𝐵𝐻 𝐴𝐵(cid:87)E(cid:120) (cid:95)(cid:96)(cid:32)(cid:116)(cid:65)(cid:87)(cid:69)(cid:175) =1(cid:69)
∵ 𝐵𝐴 3 5 𝐴𝐸
= + =1+ = (cid:69)
2 2
∴𝐸𝐻 𝐴𝐸 𝐴𝐻
5 41
(cid:115)Rt (cid:41)(cid:69)(cid:136)(cid:244)(cid:245)(cid:123)(cid:135)(cid:70)(cid:10) = + = 2 +( ) = (cid:73)
2 2
2
2 2 2
(cid:145)(cid:146)(cid:10)△A𝑂(cid:73)𝐸𝐻 𝑂𝐸 𝑂𝐻 𝐸𝐻
(cid:15)(cid:154)(cid:26)9-1(cid:19)(cid:97)2025·(cid:187)(cid:108)(cid:339)(cid:340)·(cid:37)(cid:190)(cid:98)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:115) (cid:41)(cid:69) (cid:125) (cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:69)(cid:95)(cid:96) (cid:279)(cid:87) (cid:69)(cid:280)
= (cid:69)(cid:117)(cid:118) (cid:69)(cid:162) = =45°(cid:69)△𝐴𝐵=𝐶6 2𝐶(cid:69)𝐷(cid:88) △(cid:40)𝐴𝐵(cid:96)𝐶(cid:120)(cid:97) (cid:98) 𝐶𝐵 𝐸
𝐵𝐸 3𝐵𝐶 𝐴𝐸 ∠𝐸𝐴𝐵 ∠𝐵𝐷𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶
5 2
A(cid:73)2 3 B(cid:73)3 C(cid:73) D(cid:73) 13
2
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)D
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:153)(cid:256)(cid:63)(cid:38)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:22)(cid:123)(cid:177)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:153)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:123)(cid:135)(cid:153)(cid:69)(cid:95)(cid:96) (cid:85) (cid:86)(cid:87) (cid:69)(cid:181)(cid:87) (cid:53)
(cid:86)(cid:87) (cid:69)(cid:137)(cid:70) =90°(cid:69) = (cid:69) = (cid:69)(cid:143)(cid:70) (cid:69)(cid:296)(cid:286)(cid:51)(cid:70) 𝐶(cid:69)𝐷 𝐴(cid:69)𝐸(cid:138)(cid:136)𝐺(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:153)𝐵(cid:33)
𝐵(cid:32)𝐹(cid:34)⊥(cid:123)𝐴(cid:135)𝐸 (cid:177) 𝐹 = ∠(cid:137)𝐴(cid:70)𝐺𝐷 =9(cid:69)(cid:285)𝐴𝐺(cid:286)(cid:49)𝐷(cid:50)𝐺(cid:244)(cid:245)𝐴𝐹(cid:123)(cid:135)𝐵(cid:51)𝐹(cid:70) (cid:69)𝐵(cid:143)𝐹∥(cid:137)𝐶𝐺(cid:51)(cid:52)(cid:69)(cid:27)(cid:124)(cid:53)𝐴(cid:186)𝐹(cid:267)𝐴(cid:268)𝐺(cid:32)(cid:125)(cid:52)(cid:20)(cid:40)(cid:3)(cid:172)(cid:73)
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)(cid:52)𝐵(cid:10)𝐸(cid:79)(cid:80)3(cid:69)𝐵𝐶(cid:95)(cid:96) 𝐸𝐹(cid:85) (cid:86)(cid:87) (cid:69)(cid:181)(cid:87) (cid:53) (cid:86)𝐵𝐸(cid:87) (cid:69)
𝐶𝐷 𝐴𝐸 𝐺 𝐵 𝐵𝐹⊥𝐴𝐸 𝐹
(cid:88) =90°(cid:69)
∠𝐴𝐹𝐵= =45°(cid:69)
∵∠𝐸𝐴𝐵 =∠𝐵𝐷𝐶 =45°= (cid:69) = =45°(cid:69)
∴∠𝐴𝐷𝐺=∠90𝐵°𝐷(cid:69)𝐶 = (cid:69)∠𝐸𝐴𝐵= ∠𝐴(cid:69)𝐵𝐹 90°−∠𝐸𝐴𝐵
∴∠𝐴𝐺𝐷 (cid:69) 𝐴𝐺 𝐷𝐺 𝐴𝐹 𝐵𝐹
∴𝐵𝐹∥(cid:125)𝐶𝐺 (cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:69) =6 2(cid:69)
∵𝐶𝐷 △1 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 2
= =3 2(cid:69) = =6 2× =6(cid:69)
2 2
∴𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐹 𝐵𝐹2
= =3 2× =3(cid:69)
2
∴𝐴𝐺= 𝐷𝐺 = =3(cid:69)
∴𝐹𝐺 𝐴(cid:69)𝐹−𝐴𝐺 6−3
∵𝐵𝐹∥𝐶𝐺
= (cid:69)
𝐸𝐹 𝐵𝐸
∴𝐹𝐺 = 𝐵𝐶 (cid:69)
∵𝐵𝐸 33𝐵𝐶
= (cid:69)
3 1
𝐸𝐹
∴ =9(cid:69)
∴𝐸𝐹
(cid:115)Rt (cid:41)(cid:69) = + = 9 +6 =3 13(cid:69)
2 2 2 2
∴ △1𝐸𝐹𝐵 𝐵𝐸 𝐸𝐹 𝐵𝐹
= = 13(cid:69)
3
∴(cid:145)𝐵(cid:146)𝐶(cid:10)D𝐵(cid:73)𝐸
(cid:15)(cid:154)(cid:26)9-2(cid:19)(cid:97)2025·(cid:304)(cid:230)(cid:341)(cid:342)·(cid:307)(cid:190)(cid:98)(cid:79)(cid:80)1(cid:69)(cid:227)(cid:91)(cid:96)(cid:120)4(cid:40)(cid:153)(cid:91) (cid:223)(cid:92) (cid:91)(cid:116)(cid:40)(cid:334) (cid:343)(cid:344)(cid:69)(cid:138)(cid:345)
(cid:224)(cid:346)(cid:30)(cid:226)(cid:70)(cid:199) (cid:69)(cid:347) (cid:125) (cid:40)(cid:41)(cid:87)(cid:275)(cid:69)(cid:79)(cid:80)2(cid:69)(cid:61)(cid:237)(cid:37)(cid:38)△(cid:39)𝐴(cid:45)𝐵𝐶(cid:310)(cid:323)(cid:33)𝐵(cid:288)𝐶 (cid:289)(cid:120) 𝐴 𝐷 (cid:73) △𝐴𝐷𝐶
′ ′ ′ ′
△𝐴 𝐷 𝐶 𝐷 𝐵𝐷
5
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19) 3
4
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:30)(cid:226)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:153)(cid:91)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:348)30°(cid:38)(cid:40)(cid:63)(cid:38)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:69)(cid:168)(cid:169)(cid:30)(cid:226)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:177)(cid:153)(cid:91)(cid:37)(cid:38)
(cid:39)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:125)(cid:52)(cid:20)(cid:40)(cid:3)(cid:172)(cid:73)
(cid:181) (cid:87)(cid:53) (cid:69)(cid:85) (cid:86)(cid:87) (cid:69)(cid:136)(cid:153)(cid:91)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:177)(cid:348)30°(cid:38)(cid:40)(cid:63)(cid:38)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:69)(cid:137)(cid:70) = =2(cid:69)
′ ′
𝐺=2 𝐺3𝐻(cid:69)⊥(cid:349)𝐵(cid:152)𝐶(cid:137)(cid:51)(cid:186)𝐵𝐶 =𝐻 = =1(cid:69)(cid:143) =3(cid:69)(cid:138)(cid:136) = =60°(cid:22)(cid:123)𝐵𝐷 𝐶𝐷(cid:125)(cid:153)(cid:91)(cid:37)(cid:38)
′ ′ ′ ′ ′ ′
𝐴𝐷 3 𝐵𝐷 𝐷𝐷 𝐶 𝐷 𝐵𝐶 1 ∠𝐵 ∠𝐶 △𝐵𝐶 𝐺
(cid:39)(cid:69)(cid:200)(cid:152)(cid:51)(cid:186) = 3(cid:69)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:41)(cid:32)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:70)(cid:186) = = 3(cid:69)(cid:200)(cid:152)(cid:139)(cid:140)(cid:61)(cid:237)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:45)(cid:310)(cid:323)(cid:33)(cid:288)(cid:289)(cid:120)
2 2
′
𝐺𝐻 (cid:70)(cid:186)(cid:163)(cid:218)(cid:73) 𝐸𝐷 𝐴𝐷
′ ′ ′
𝑆(cid:15)△(cid:144)𝐵𝐶(cid:52)𝐺−(cid:19)𝑆(cid:52)△𝐵(cid:10)𝐷𝐸(cid:79)−(cid:80)𝑆△
(cid:69)
𝐶
(cid:181)
𝐷𝐹
(cid:87)(cid:53) (cid:69)(cid:85) (cid:86)(cid:87) (cid:69)
′ ′
𝐺 𝐺𝐻⊥𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐻(cid:125)(cid:91)(cid:96)(cid:120)4(cid:40)(cid:153)(cid:91) (cid:116)(cid:40)(cid:334)(cid:69)
∵𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶 3
= =60°(cid:69) = =2(cid:69) = =2 3(cid:69)
2
∴∠𝐵(cid:125) ∠𝐶(cid:40)(cid:41)(cid:87)(cid:69)𝐵𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐵
′
∵𝐷 𝐵𝐷 1
= = = =1(cid:69)
2
′ ′ ′
∴𝐵𝐷 =3𝐷(cid:69)𝐷 𝐶 𝐷 𝐵𝐷
′
∴𝐵𝐶 = =60°(cid:69)
′
∵∠𝐵 ∠=𝐶 60°(cid:69)
′
∴∠𝐵𝐺𝐶 (cid:125)(cid:153)(cid:91)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:69)
′
∴△𝐵=𝐶 𝐺 = =3(cid:69)
′ ′
∴𝐵𝐺 𝐵3𝐶 𝐶3𝐺
= = 3(cid:69)
2 2
∴𝐺𝐻(cid:125)(cid:153)(cid:91)𝐵𝐺 (cid:116)(cid:40)(cid:334)(cid:69)
∵𝐴𝐷 (cid:69)△𝐴𝐵𝐶 (cid:69)
′
∴𝐸𝐷 ⊥𝐵𝐷(cid:69)𝐴𝐷⊥𝐵𝐷
′
∴𝐸𝐷 ∥𝐴𝐷
= ,
′
𝐵𝐸 𝐵𝐷
′
(cid:255)∴𝐸𝐺 (cid:87) 𝐷(cid:125)𝐷 (cid:40)(cid:41)(cid:87)(cid:69)
′
(cid:87)∵ (cid:125)𝐷 (cid:40)𝐵𝐷(cid:41)(cid:87)(cid:69)
∴ 𝐸 𝐴1𝐵
= = 3(cid:69)(cid:258)(cid:135) = 3(cid:69)
2
′
∴𝐸𝐷 𝐴𝐷 𝐹𝐷
1 3 1 1 5
(cid:61)(cid:237)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:45)(cid:310)(cid:323)(cid:33)(cid:288)(cid:289)(cid:120) = ×3× 3 ×1× 3 ×1× 3= 3(cid:69)
2 2 2 2 4
′ ′ ′
∴ 5 𝑆△𝐵𝐶𝐺 −𝑆△𝐵𝐷𝐸−𝑆△𝐶𝐷𝐹 − −
(cid:145)(cid:127)(cid:128)(cid:120)(cid:10) 3(cid:73)
4
(cid:15)(cid:154)(cid:26)9-3(cid:19)(cid:97)2024·(cid:229)(cid:350)(cid:351)(cid:189)·(cid:307)(cid:190)(cid:98)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:115)(cid:119)(cid:91)(cid:39) (cid:41)(cid:69) = =90°(cid:69)(cid:87)C(cid:125)(cid:91) (cid:116)(cid:65)(cid:87)(cid:69)(cid:175)
= (cid:69) (cid:69)(cid:242) (cid:40)(cid:37)(cid:153)(cid:33)(cid:87)F( < )(cid:69)(cid:117)𝐴𝐵(cid:118)𝐷𝐸 (cid:69)(cid:181)∠(cid:87)𝐵 C∠(cid:53)𝐷 (cid:85) (cid:86)(cid:87)G𝐵(cid:69)𝐷(cid:95)(cid:96)(cid:85) (cid:86)
𝐴(cid:87)𝐶H(cid:69)𝐶(cid:162)𝐸 𝐴𝐶=⊥6𝐶(cid:69)𝐸 𝐶𝐸=30°(cid:69)(cid:88) (cid:40)𝐶(cid:96)𝐹(cid:120) 𝐸 𝐹(cid:73) 𝐴𝐹 𝐶𝐺⊥𝐴𝐹 𝐴𝐹 𝐴𝐸
𝐷𝐸 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐻(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)9 2
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:125)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:20)(cid:69)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:266)(cid:153)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:22)(cid:123)(cid:177)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:161)(cid:176)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:22)(cid:123)(cid:36)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:153)(cid:256)(cid:63)(cid:38)(cid:37)
(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:22)(cid:123)(cid:177)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:178)(cid:179)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:161)(cid:176)(cid:125)(cid:52)(cid:20)(cid:40)(cid:3)(cid:172)(cid:73)(cid:181)(cid:87)E(cid:53) (cid:85) (cid:40)(cid:95)(cid:96)(cid:32)(cid:86)(cid:87)M(cid:69)(cid:198)(cid:178)(cid:179)
AAS)(cid:69)(cid:138)(cid:51)(cid:186) = = =12 2(cid:69)(cid:139)(cid:140)𝐸𝑀(cid:87)⊥(cid:120)𝐶𝐻 (cid:40)𝐶𝐻(cid:37)(cid:153)(cid:33)(cid:87)(cid:97) < (cid:98)(cid:69)(cid:137)(cid:70)
△𝐴=𝐶𝐵≌△=𝐶𝐸8(cid:69)𝐷((cid:138)(cid:49)(cid:50)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)𝐴𝐶(cid:32)(cid:34)𝐶(cid:35)𝐸(cid:24)(cid:25)12(cid:51),𝐴(cid:52)𝐸(cid:143)(cid:137)(cid:73) 𝐹 𝐶𝐸 𝐶𝐹 𝐸𝐹
𝐶(cid:15)𝐹(cid:144)(cid:52)4(cid:19),𝐸𝐹(cid:79)(cid:52)(cid:80)①(cid:69)(cid:181)(cid:87)E(cid:53) (cid:85) (cid:40)(cid:95)(cid:96)(cid:32)(cid:86)(cid:87)M(cid:73)
𝐸𝑀⊥𝐶𝐸 𝐶𝐻
=90°(cid:69) = =90°(cid:69)
∵∠𝐴𝐶𝐸+ ∠=𝐵 ∠𝐷+ =90°(cid:69)
∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐵(cid:69)∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐷𝐶𝐸
∴∠𝐵𝐴=𝐶 (cid:69)∠𝐷𝐶𝐸
∵𝐴𝐶 𝐶𝐸 (cid:69)
∴△𝐴𝐵𝐶=≌△𝐶𝐷𝐸=30°(cid:69) = =6(cid:69)
∴∠𝐵𝐴=𝐶 ∠𝐷=𝐶1𝐸2(cid:69) 𝐵𝐶 𝐷𝐸
∴𝐶𝐸 2𝐷(cid:125)𝐸(cid:153)(cid:256)(cid:63)(cid:38)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:69)
∵△𝐴=𝐶𝐸12 2(cid:73)
∴F𝐴𝐸(cid:125) (cid:40)(cid:37)(cid:153)(cid:33)(cid:87)(cid:69)(cid:175) < (cid:69)
∵ =𝐶𝐸 (cid:69) 𝐶𝐹 𝐸𝐹
∴𝐸𝐹=42(cid:69)𝐶𝐹
∴𝐶𝐹 (cid:69)
∵𝐸𝑀⊥𝐶=𝐸90°(cid:69)
∴∠𝐶𝐸𝑀= (cid:69)
∴∠𝐴𝐶𝐹 ∠𝐶𝐸𝑀(cid:69)
∵𝐶𝑀⊥𝐴+𝐹 =90°(cid:69)
∴∠𝐸𝐶𝑀+ ∠𝐶𝐹𝐴=90°(cid:69)
∵∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐶𝐹𝐴 (cid:69)
∴∠𝐶𝐴𝐹 ∠𝐸𝐶𝑀 (cid:69)
∴△𝐴=𝐶𝐹≌△=𝐶4𝐸(cid:69)𝑀
∴𝐸𝑀 +𝐶𝐹 =180°(cid:69)
∵∠𝐴𝐶𝐹 (cid:69)∠𝐶𝐸𝑀
∴𝐴𝐶∥𝑀𝐸
= =3(cid:69)
𝐴𝐻 𝐴𝐶
∴𝐻𝐸 = 𝐸𝑀 (cid:69)
∴𝐴𝐻 33𝐻𝐸 3
= = ×12 2 =9 2(cid:73)
4 4
(cid:145)∴𝐴(cid:127)𝐻(cid:128)(cid:120)𝐴9𝐸 2(cid:73)
【题型10 作平行线构造平行线分线段成比例】
(cid:15)(cid:25)10(cid:19)(cid:97)24-25(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)·(cid:266)(cid:314)·(cid:159)(cid:41)(cid:98)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:115) (cid:41)(cid:69) = (cid:69) (cid:30)(cid:33) (cid:69)(cid:87)E(cid:115) (cid:116)(cid:69)(cid:250)(cid:32)
1 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐷
(cid:85) (cid:86)(cid:87)F(cid:69)(cid:162) = (cid:69) =10(cid:69)(cid:88) (cid:40)(cid:96)(cid:125) (cid:73)
2
𝐴𝐸
𝐵𝐸 𝐴𝐶 𝐸𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐹
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)2
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:153)(cid:256)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:99)(cid:161)(cid:176)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:22)(cid:123)(cid:36)(cid:133)(cid:134)(cid:99)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:69)(cid:53)
(cid:85) (cid:86) (cid:69)(cid:136)(cid:153)(cid:256)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:137)(cid:70) = (cid:69)(cid:178)(cid:179) (cid:70)(cid:186) = (cid:69)(cid:138)(cid:136)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)𝐷(cid:32)𝐻(cid:34)∥(cid:35)𝐵𝐹
(cid:24)𝐴(cid:25)𝐶(cid:123)(cid:135)𝐻(cid:137)(cid:70) = = (cid:69)(cid:136)(cid:185)𝐵(cid:209)𝐷(cid:210)(cid:143)𝐶(cid:137)𝐷(cid:70)(cid:52)(cid:69)(cid:167)△(cid:113)𝐶𝐷(cid:168)𝐻(cid:169)∽(cid:253)△(cid:116)𝐶𝐵(cid:82)𝐹(cid:205)(cid:87)𝐹(cid:183)𝐻(cid:352)(cid:353)𝐶(cid:211)𝐻(cid:50)(cid:125)(cid:52)(cid:185)(cid:20)(cid:40)(cid:3)(cid:172)(cid:73)
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10)𝐶(cid:79)𝐻(cid:80)(cid:69)𝐹(cid:53)𝐻 2𝐴𝐹 (cid:85) (cid:86) (cid:69)
𝐷𝐻∥𝐵𝐹 𝐴𝐶 𝐻(cid:69)
= (cid:69) (cid:30)(cid:33) (cid:69)
∵𝐴𝐵 =𝐴𝐶(cid:69)𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
∴𝐵𝐷 𝐶𝐷(cid:69)
∵𝐷𝐻∥𝐵𝐹 (cid:69)
∴△𝐶𝐷𝐻∽△𝐶𝐵𝐹
= =1(cid:69)
𝐶𝐻 𝐶𝐷
∴𝐹𝐻 = 𝐵𝐷 (cid:69)
∴𝐹𝐻 𝐶𝐻(cid:69)
∵𝐷𝐻∥𝐵𝐹
= (cid:69)
𝐴𝐸 𝐴𝐹
∴𝐸𝐷 𝐹 1 𝐻
= (cid:69)
2
𝐴𝐸
∵𝐸𝐷 1
= (cid:69)
2
𝐴𝐹
∴𝐹𝐻 = (cid:69)
∴𝐹𝐻= 2𝐴𝐹= (cid:69)
∴𝐶𝐻= 𝐹𝐻+ 2𝐴𝐹+ = = =10(cid:69)
∵𝐴𝐶 =𝐴2(cid:69)𝐹 𝐹𝐻 𝐶𝐻 5𝐴𝐹 𝐴𝐵
∴(cid:145)𝐴(cid:127)𝐹(cid:128)(cid:120)(cid:10)2(cid:73)
(cid:15)(cid:154)(cid:26)10-1(cid:19)(cid:79)(cid:80)(cid:69)AG(cid:10)GD4 1(cid:69) BD (cid:10)DC2 3(cid:69)(cid:88) AE EC(cid:40)(cid:204)(cid:120) (cid:73)
∶ ∶ ∶
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19)8:5
2
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:181)(cid:87)D(cid:53)DF CA(cid:85)BE(cid:86)F(cid:69)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:49)(cid:50)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:69)(cid:136)DF CE(cid:70)(cid:199) = = (cid:69)
5
𝐷𝐹 𝐵𝐷
∥ ∥ 𝐶𝐸 𝐵𝐶5 1
(cid:88)CE= DF(cid:69)(cid:136)DF AE(cid:70)(cid:199) = = = (cid:69)(cid:88)AE=4DF(cid:69)(cid:296)(cid:286)(cid:209)(cid:210) (cid:40)(cid:204)(cid:73)
2 4
𝐷𝐹 𝐷𝐺 𝐷𝐹 𝐴𝐸
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)(cid:181)(cid:87)D(cid:53)∥ DF CA(cid:85) 𝐴𝐸 BE(cid:86)𝐴𝐺 F(cid:69)𝐴(cid:79)𝐸 (cid:80)(cid:69) 𝐸𝐶
∥
DF CE(cid:69)
∵ ∥
= (cid:69)
𝐷𝐹 𝐵𝐷
∴ (cid:152)𝐶𝐸BD(cid:10) 𝐵𝐶 DC=2(cid:10)3(cid:69)
2 5
= (cid:69)(cid:88)CE= DF(cid:69)
5 2
𝐷𝐹
∴ D𝐶𝐸F AE(cid:69)
∵ ∥
= (cid:69)
𝐷𝐹 𝐷𝐺
∴ A𝐴𝐸G(cid:10) 𝐴 G 𝐺 D=4(cid:10)1(cid:69)
∵ 1
= (cid:69)(cid:88)AE=4DF(cid:69)
4
𝐷𝐹
∴𝐴𝐸 8
= = (cid:73)
5 5
𝐴𝐸 24𝐷𝐹
∴𝐸𝐶 𝐷𝐹
8
(cid:145)(cid:127)(cid:128)(cid:120) (cid:73)
5
(cid:15)(cid:87)(cid:202)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:10)(cid:37)(cid:62)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:68)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:32)(cid:69)(cid:67)(cid:70)(cid:40)(cid:71)(cid:72)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:73)(cid:30)(cid:31)(cid:86)(cid:37)(cid:38)
(cid:39)(cid:65)(cid:91)(cid:40)(cid:63)(cid:32)(cid:68)(cid:92)(cid:93)(cid:61)(cid:91)(cid:97)(cid:94)(cid:61)(cid:91)(cid:40)(cid:95)(cid:96)(cid:32)(cid:98)(cid:69)(cid:67)(cid:68)(cid:70)(cid:40)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:37)(cid:91)(cid:36)(cid:184)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:37)(cid:91)(cid:71)(cid:72)(cid:35)(cid:24)(cid:25).
(cid:15)(cid:154)(cid:26)10-2(cid:19)(cid:97)24-25(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)·(cid:187)(cid:108)(cid:339)(cid:340)·(cid:112)(cid:34)(cid:113)(cid:114)(cid:98)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:115) (cid:41)(cid:69) =90°(cid:69)(cid:87)D(cid:115)(cid:91) (cid:116)(cid:69)(cid:175)(cid:262)
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐵𝐶
(cid:263) = (cid:69)(cid:117)(cid:163) (cid:73) (cid:53) (cid:40)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:33)(cid:84)(cid:85) (cid:99) (cid:86)(cid:87)E(cid:69)(cid:87)F(cid:73)(cid:162) = (cid:69)(cid:88) = (cid:69)
𝐴𝐵
∠𝐴𝐵𝐶 2∠𝐶𝐴𝐷 𝐴𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐹 2𝐷𝐹 𝐵𝐷
= (cid:73)
𝐴𝐸
𝐶𝐸
4
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19) 2
3(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:181)(cid:87) (cid:53) (cid:40)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:85) (cid:40)(cid:95)(cid:96)(cid:86)(cid:87) (cid:69)(cid:95)(cid:96) (cid:279)(cid:87) (cid:69)(cid:280) = (cid:69)(cid:117)(cid:118) (cid:69)(cid:95)(cid:96) (cid:85) (cid:86)(cid:87)
𝐷 𝐵𝐸 𝐴𝐵 𝑃 𝐷𝐶 𝐺 𝐶𝐺 𝐶𝐷 𝐴𝐺 𝐵𝐸 𝐴𝐺
(cid:69)(cid:49)(cid:50)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:68)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:177)(cid:38)(cid:30)(cid:32)(cid:137)(cid:70)(cid:199) = =2(cid:69)(cid:295) = (cid:69)(cid:88) = (cid:69)(cid:49)(cid:50)(cid:266)(cid:153)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)
𝐴𝐵 𝐴𝐹
𝐻 𝐵𝐷 𝐷𝐹 3 𝐵𝐷 𝑎 𝐴𝐵 2𝑎
(cid:22)(cid:123)(cid:36)(cid:133)(cid:134)(cid:70)(cid:199) = = (cid:69)(cid:200)(cid:152)(cid:51)(cid:70) = + = (cid:69)(cid:285)(cid:286)(cid:49)(cid:50)(cid:38)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:123)(cid:135)(cid:52)(cid:127)(cid:143)(cid:137)(cid:70)
2
(cid:186)(cid:163)(cid:90)(cid:73) 𝐵𝐺 𝐴𝐵 2𝑎 𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐷 𝑎
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10)(cid:181)(cid:87) (cid:53) (cid:40)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:85) (cid:40)(cid:95)(cid:96)(cid:86)(cid:87) (cid:69)(cid:95)(cid:96) (cid:279)(cid:87) (cid:69)(cid:280) = (cid:69)(cid:117)(cid:118) (cid:69)(cid:95)(cid:96) (cid:85)
(cid:86)(cid:87) (cid:69)(cid:79)(cid:80)(cid:69) 𝐷 𝐵𝐸 𝐴𝐵 𝑃 𝐷𝐶 𝐺 𝐶𝐺 𝐶𝐷 𝐴𝐺 𝐵𝐸 𝐴𝐺
𝐻
= (cid:69) = (cid:69) = (cid:69)
𝐴𝐵 𝐴𝐹
∴𝐵𝑃 (cid:125) 𝐷𝐹 ∠(cid:40)𝐴𝐵(cid:30)𝐹(cid:33)(cid:32)∠𝑃(cid:69) ∠𝐵𝐷𝑃 ∠𝐷𝐵𝐹
∵𝐵𝐹 ∠=𝐵𝐴𝐶 (cid:69)
∴∠ 𝐴𝐵𝐹 =∠𝐷𝐵(cid:69)𝐹
∴ ∠𝐵=𝐷𝑃 (cid:69)∠𝑃
∴𝐵𝐷 𝐷𝑃
= (cid:69)
𝐴𝐵 𝐴𝐹
∴𝐵𝐷
=
𝐷𝐹
∵𝐴𝐹 2𝐷𝐹
=2(cid:69)
𝐴𝐵
(cid:295)∴𝐵𝐷 = (cid:69)(cid:88) = (cid:69)
𝐵𝐷= 𝑎 (cid:99) 𝐴𝐵 =2𝑎90°(cid:69)
∵𝐶𝐺(cid:120) 𝐶𝐷(cid:40)(cid:54)∠𝐴(cid:63)𝐶(cid:30)𝐵(cid:33)(cid:32)(cid:69)
∴𝐴𝐶 =𝐷𝐺 (cid:69)
∴𝐴𝐷 𝐴𝐺= (cid:69)
∴∠𝐷𝐴𝐶=2∠𝐺𝐴𝐶 (cid:69) =2 (cid:69)
∵∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐶𝐴𝐷(cid:69) ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶𝐵𝐸
∴∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐵𝐸=90°(cid:69) = (cid:69)
∵∠𝐶𝐵𝐸 +∠𝐶𝐸𝐵 =90°(cid:69)∠𝐶𝐸𝐵 ∠𝐻𝐸𝐴
∴∠𝐻𝐸𝐴 =∠𝐺𝐴𝐶 =90°(cid:69)
(cid:115)∴∠𝐴𝐻𝐵 (cid:177)∠𝐺𝐻𝐵 (cid:41)(cid:69)
△𝐺𝐻=𝐵 △𝐴𝐻𝐵
=
∠𝐺𝐵𝐻=∠𝐴𝐵𝐻
𝐵𝐻 𝐵𝐻
∠𝐺𝐻𝐵 ∠𝐴𝐻𝐵 (ASA)(cid:69)
∴△𝐺𝐻=𝐵≌△=𝐴𝐻𝐵(cid:69)
∴𝐵𝐺 =𝐴𝐵 2𝑎= (cid:69)
∴𝐺𝐷 𝐺𝐵−𝐷1𝐵 𝑎 1
= = = (cid:69)
2 2
∴𝐶𝐷 𝐶𝐺 𝐺𝐷 𝑎
3
= + = (cid:69)
2
∴𝐵𝐶(cid:125) 𝐵𝐷 (cid:40)𝐶𝐷(cid:30)(cid:33)(cid:32)𝑎(cid:69)
4
∵𝐵 𝐹 = ∠𝐵𝐴 = 𝐶 = (cid:69)
3 3
𝐴𝐸 𝐴𝐵 22𝑎
∴ 𝐶𝐸 𝐵𝐶 𝑎4
(cid:145)(cid:127)(cid:128)(cid:120)(cid:10)2(cid:69) (cid:73)
3
(cid:15)(cid:87)(cid:202)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:68)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:135)(cid:69)(cid:63)(cid:38)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:38)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:40)(cid:123)(cid:252)(cid:69)(cid:153)(cid:256)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)
(cid:22)(cid:123)(cid:177)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:266)(cid:153)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:22)(cid:123)(cid:36)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:32)(cid:34)(cid:40)(cid:54)(cid:63)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:354)(cid:265)(cid:301)(cid:347)(cid:40)(cid:267)(cid:268)(cid:32)(cid:55)(cid:56)(cid:266)(cid:153)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:125)
(cid:52)(cid:20)(cid:40)(cid:3)(cid:172)(cid:73)
(cid:15)(cid:154)(cid:26)10-3(cid:19)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:115) (cid:41)(cid:69) (cid:36) (cid:85)(cid:86)(cid:87)G(cid:69)(cid:87)G(cid:120) (cid:40)(cid:45)(cid:46)(cid:69)(cid:87)M(cid:99)N(cid:33)(cid:84)(cid:115)(cid:91) (cid:99)
(cid:116)(cid:69)(cid:162) =3:4(cid:69)(cid:88)△𝐴𝐵𝐶 (cid:40)(cid:204)𝐴(cid:120)𝐷 𝑀 𝑁(cid:73) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶
𝐴𝑀:𝐴𝐵 𝐴𝑁:𝐴𝐶3
(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:19) /0.6
5
(cid:15)(cid:33)(cid:129)(cid:19)(cid:181)(cid:87)B(cid:53) (cid:33)(cid:84)(cid:85) (cid:69) (cid:86)(cid:87)E(cid:69)F(cid:87)(cid:69)(cid:181)(cid:87)D(cid:53) (cid:85) (cid:86)P(cid:87)(cid:69)(cid:180)(cid:181)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:69)
(cid:352)(cid:353)(cid:211)(cid:50) =𝐵3𝐹:4∥(cid:177)𝑀𝑁 (cid:318)(cid:62)(cid:41)𝐴(cid:32)𝐷 (cid:69)𝐴(cid:141)𝐵(cid:355)(cid:51)(cid:52)(cid:143)(cid:137)(cid:73) 𝐷𝑃∥𝐵𝐹 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:144)(cid:52)(cid:19)𝐴(cid:79)𝑀(cid:80):𝐴(cid:69)𝐵(cid:181)(cid:87)B(cid:53)𝐴𝐷 (cid:33)(cid:84)(cid:85) (cid:69) (cid:86)(cid:87)E(cid:69)F(cid:87)(cid:69)(cid:181)(cid:87)D(cid:53) (cid:85) (cid:86)P(cid:87)(cid:69)
𝐵𝐹∥𝑀𝑁 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐷𝑃∥𝐵𝐹 𝐴𝐶
(cid:120) (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:32)(cid:69)
∴(cid:87)𝐷𝑃P(cid:120)△𝐵𝐹(cid:40)𝐶(cid:41)(cid:87)(cid:69)
∴ 𝐶=𝐹3:4(cid:69)(cid:175) (cid:69)
∵𝐴𝑀:𝐴𝐵= =𝐵3𝐹:∥1𝑀(cid:69)𝑁
∴(cid:87)𝐴𝐺G:𝐺𝐸(cid:120) 𝐴𝑁:𝑁(cid:40)𝐹 (cid:45)(cid:46)(cid:69)
∵ =△2𝐴:1𝐵(cid:69)𝐶
∴𝐴𝐺:𝐺𝐷 =6:2:1(cid:69)
∴𝐴𝐺:𝐺𝐸:𝐸=𝐷8:1(cid:69)
∴𝐴𝐸:𝐸𝐷 (cid:69)
∵𝐷𝑃∥𝐵𝐹=∥𝑀8𝑁:1(cid:69)
∴𝐴𝐹:𝐹𝑃 =6:2:1:1(cid:69)
∴𝐴𝑁:𝑁𝐹:𝐹𝑃:𝑃𝐶 3
=6:10= (cid:73)
5
∴𝐴𝑁:𝐴𝐶 3
(cid:145)(cid:127)(cid:128)(cid:120)(cid:10) (cid:73)
5
(cid:15)(cid:87)(cid:202)(cid:19)(cid:58)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:45)(cid:46)(cid:177)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:71)(cid:72)(cid:91)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:69)(cid:356)(cid:357)(cid:211)(cid:50)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:45)(cid:46)(cid:227)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:67)(cid:115)(cid:40)(cid:32)
(cid:34)(cid:33)(cid:120)2:1(cid:61)(cid:323)(cid:33)(cid:125)(cid:52)(cid:127)(cid:58)(cid:20)(cid:40)(cid:3)(cid:172)(cid:73)