专题1.6平面向量的线性运算(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上(沪教)

专题 1.6 平面向量的线性运算（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:24)(cid:27)(cid:28)(cid:19)................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:19)........................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:34)(cid:35)(cid:22)(cid:23)(cid:36)(cid:27)(cid:19)........................................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23)(cid:19)................................................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:32)(cid:19)..........................................................................................................................10
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:19)......................................................................................................12
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:51)(cid:52)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:53)(cid:24)(cid:54)(cid:42)(cid:19)..........................................................................................................16
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:55)(cid:40)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:52)(cid:52)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:53)(cid:24)(cid:54)(cid:42)(cid:19)..................................................................................22
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:60)(cid:61)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:19)......................................................................................................................................26
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:62)(cid:63)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:22)(cid:23)(cid:19)....................................................................................................................30
知识点1 实数与向量相乘
1. (cid:64)k(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:25)(cid:69) (cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:70)(cid:71)k(cid:72) (cid:73)(cid:26)(cid:74)(cid:75)(cid:24)(cid:76)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:77)(cid:61) (cid:78)
(cid:79)(cid:80) 0(cid:69)(cid:81) 0(cid:69)𝑎(cid:70)(cid:71) (cid:24)(cid:82)(cid:83)| |𝑎=| || |(cid:84) (cid:24)(cid:85)(cid:22)(cid:10)(cid:86) >0(cid:87)(cid:69)𝑘𝑎 (cid:72) (cid:88)(cid:85)(cid:22)(cid:84)(cid:86) <0(cid:87)(cid:69)
(cid:72) (cid:89)𝑘(cid:85)≠(cid:22)(cid:78) 𝑎≠ 𝑘𝑎 𝑘𝑎 𝒌 𝒂 𝑘𝑎 𝑘 𝑘𝑎 𝑎 𝑘 𝑘𝑎
(cid:79)𝑎(cid:80) =0(cid:90) =0(cid:69)(cid:70)(cid:71) = (cid:78)
2. (cid:91)𝑘(cid:92)(cid:68)(cid:25)(cid:72)𝑎(cid:22)(cid:23)(cid:73)(cid:26)(cid:24)𝑘(cid:93)𝑎 (cid:94)𝟎(cid:69)(cid:95)(cid:44) (cid:96) (cid:78)
3. (cid:68)(cid:25)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:73)(cid:26)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:31)(cid:32)(cid:33) 𝑘𝑎 𝑎
(cid:64)m(cid:101)n(cid:102)(cid:68)(cid:25)(cid:69)(cid:103)
(cid:104)1(cid:105) ( ) =( ) (cid:84)
(cid:104)2(cid:105)𝑚( 𝑛+𝑎 ) =𝑚𝑛 𝑎+ (cid:84)
(cid:104)3(cid:105) 𝑚 +𝑛 𝑎)= 𝑚𝑎+𝑛𝑎(cid:78)
4. (cid:34)(cid:35)𝑚(cid:22)(𝑎(cid:23)(cid:36)𝑏(cid:27)(cid:10)𝑚(cid:79)𝑎(cid:80)(cid:22)𝑚𝑏(cid:23) (cid:72)(cid:106)(cid:107)(cid:22)(cid:23) (cid:34)(cid:35)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:108)(cid:52)(cid:109)(cid:66)(cid:24)(cid:68)(cid:25)m(cid:69)(cid:110) = (cid:78)
知识点2 向量的线性运算 𝑏 𝑎 𝑏 𝒎𝒂
1. (cid:22)(cid:23)(cid:111)(cid:112)(cid:101)(cid:113)(cid:112)(cid:101)(cid:68)(cid:25)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:73)(cid:26)(cid:114)(cid:29)(cid:115)(cid:116)(cid:24)(cid:117)(cid:46)(cid:31)(cid:32)(cid:118)(cid:119)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:32)(cid:78)(cid:79)3 +2 (cid:101) (cid:101)3( +
𝑎 𝑏 𝑎−2𝑏 𝑎5 )、 3 +( 3 )(cid:120)(cid:69)(cid:121)(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:32)(cid:78)
2 2
2.𝑏
(cid:66)(cid:122)
−
(cid:123)
𝑎
(cid:124)(cid:69)
𝑎−
(cid:79)(cid:80)
𝑏
(cid:101) (cid:65)(cid:125)(cid:67)(cid:126)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:69) (cid:65)(cid:34)(cid:39)(cid:127)(cid:24)(cid:66)(cid:67)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:70)(cid:71) (cid:95)(cid:114)(cid:42) (cid:101) (cid:47)(cid:48)(cid:69)(cid:128)(cid:81)(cid:129)(cid:130)(cid:131)
(cid:30)(cid:47)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:27)(cid:57) =𝑎 𝑏+ (cid:24)(cid:135)(cid:133)(cid:69)(cid:30)(cid:53)x(cid:101)y𝑐(cid:65)(cid:68)(cid:25)(cid:78) 𝑐 𝑎 𝑏
3. (cid:79)(cid:80) (cid:101) (cid:65)(cid:125)𝑐(cid:67)(cid:126)𝑥𝑎(cid:34)(cid:35)𝑦(cid:24)𝑏 (cid:22)(cid:23)(cid:69) = + ( 、是实数)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:22)(cid:23) (cid:136)(cid:65)(cid:22)(cid:23) (cid:72) (cid:24)(cid:46)(cid:57)(cid:84)(cid:137)(cid:95)
(cid:114)(cid:124)(cid:22)(cid:23)𝑎 (cid:55)𝑏(cid:28)(cid:102) (cid:101) (cid:125)(cid:67)(cid:22)(cid:23)(cid:69)𝑐(cid:138)(cid:87)𝑚(cid:69)𝑎(cid:22)(cid:23)𝑛𝑏 𝑚(cid:72)𝑛 (cid:65)(cid:22)(cid:23) (cid:55)(cid:139)(cid:52) (cid:101)𝑐(cid:85)(cid:22)(cid:140)(cid:24)(cid:55)𝑚𝑎(cid:22)(cid:23)𝑛(cid:69)𝑏 + (cid:65)(cid:22)
(cid:23) (cid:3)(cid:141) 𝑐(cid:101) (cid:24)(cid:55)𝑚(cid:28)𝑎(cid:133)(cid:78)𝑛𝑏 𝑚𝑎 𝑛𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑚𝑎 𝑛𝑏
4. 𝑐(cid:82)(cid:83)(cid:102)𝑎(cid:142)𝑏(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:118)(cid:119)(cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23)(cid:78)(cid:64) (cid:102)(cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:103)| |= (cid:78)
(cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23)(cid:143)(cid:144)(cid:25)(cid:67)(cid:84)(cid:126)(cid:88)(cid:24)(cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23)(cid:69)𝑒(cid:65)(cid:145)(cid:115)(cid:116)(cid:24)(cid:85)(cid:22)(cid:126)𝑒 (cid:88)(cid:78)𝟏(cid:146)(cid:141)(cid:147)(cid:93)(cid:106)(cid:107)(cid:22)(cid:23) (cid:69)(cid:72)(cid:148)(cid:88)(cid:85)(cid:22)(cid:24)(cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23)
(cid:77)(cid:61) (cid:78)(cid:149)(cid:68)(cid:25)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:76)(cid:69)(cid:95)(cid:44) =| | (cid:69) =1 (cid:78) 𝑎
| |
𝑎0 𝑎 𝑎 𝑎0 𝑎0 𝑎𝑎
【题型1 向量的数乘的理解】
(cid:15)(cid:59)1(cid:19)(cid:104)22-23(cid:150)(cid:151)(cid:152)·(cid:140)(cid:153)·(cid:154)(cid:155)(cid:61)(cid:156)(cid:105)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:52)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135) (cid:53)(cid:69)E(cid:101)F(cid:101)G(cid:101)H(cid:55)(cid:139)(cid:102)(cid:160)(cid:159)(cid:24)(cid:53)(cid:161)(cid:69)
(cid:72) (cid:73)(cid:162)(cid:141)(cid:161)O(cid:78)(cid:64) = (cid:69) = (cid:69)(cid:163)(cid:42)(cid:22)(cid:23) (cid:90) (cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:101) (cid:69)(cid:128)(cid:164)(cid:63)(cid:157)(cid:53)(cid:72) (cid:73)(cid:120)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:78) 𝐸𝐺
𝐹𝐻 𝐴𝐵 𝑎 𝐴𝐷 𝑏 𝑎 𝑏 𝑂𝐸 𝑂𝐹 𝑂𝐺
1 1
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19) = ; = (cid:69)(cid:72) (cid:73)(cid:120)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:143) (cid:84) (cid:84) (cid:84) (cid:84)
2 2
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19) 𝑂 (cid:91) 𝐸 (cid:92)(cid:34)−(cid:35) 𝑎 (cid:158) 𝑂 (cid:159) 𝐹 (cid:135)(cid:24)−(cid:41) 𝑏 (cid:51)(cid:75) 𝑂 (cid:168) 𝐺 (cid:73)(cid:54)(cid:169)(cid:170)(cid:69)(cid:171)(cid:172) 𝐸𝑂 (cid:173) (cid:36) 𝐴 (cid:158) 𝐹 (cid:159) (cid:135) 𝐹𝐵 𝐷 (cid:69) 𝐻 𝐻𝐶 (cid:69) (cid:69) (cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)
(cid:135)(cid:69)(cid:171)(cid:172)(cid:75)(cid:168)(cid:73)(cid:120)(cid:174)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:56)(cid:69)(cid:175)(cid:91)(cid:92)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:36)(cid:94)(cid:173)(cid:176)(cid:177)(cid:95)(cid:78) 𝐴𝐹𝑂𝐸 𝐵𝐹𝑂𝐺 𝑂𝐸𝐷𝐻 𝑂𝐺𝐶𝐻
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) (cid:158)(cid:159)(cid:135) (cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:69)
= (cid:69) ∵ (cid:69)𝐴𝐵𝐶𝐷 (cid:69) = (cid:69)
∴E𝐴(cid:101)𝐷F(cid:101)𝐵G𝐶(cid:101)𝐴H𝐷(cid:55)∥𝐵(cid:139)𝐶(cid:65)(cid:160)𝐴𝐵(cid:159)∥𝐶(cid:53)𝐷(cid:161)(cid:69)𝐴𝐵 𝐶𝐷
∵ = (cid:69) (cid:69)
∴(cid:158)𝐴𝐸(cid:159)(cid:135)𝐵𝐺 𝐴𝐸(cid:65)∥(cid:34)𝐵𝐺(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:69)
∴ 𝐴(cid:69)𝐵(cid:88)𝐺𝐸(cid:27)(cid:69) (cid:69)
∴(cid:158)𝐴𝐵(cid:159)∥𝐸(cid:135)𝐺 (cid:65)(cid:34)𝐴(cid:35)𝐷∥(cid:158)𝐹𝐻(cid:159)(cid:135)(cid:69)(cid:88)(cid:27)(cid:10)(cid:158)(cid:159)(cid:135) (cid:69) (cid:69) (cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:69)
∴ (cid:101) 𝐴(cid:101)𝐹𝑂𝐸 (cid:179)(cid:73)(cid:34)(cid:35)(cid:81)(cid:73)(cid:120)(cid:69) (cid:101) (cid:101)𝐵𝐹(cid:179)𝑂𝐺(cid:73)(cid:34)𝑂(cid:35)𝐸𝐷(cid:81)𝐻(cid:73)(cid:120)𝑂𝐺(cid:69)𝐶𝐻 (cid:72) (cid:179)(cid:73)(cid:34)(cid:55)(cid:141)(cid:161)O(cid:69)
∴𝐸𝐺 𝐴𝐵1 𝐷𝐶 1 1 𝐹𝐻 𝐵1𝐶 𝐴𝐷 𝐸𝐺 𝐹𝐻
= = (cid:69) = = (cid:69)
2 2 2 2
∴𝑂𝐸 − 𝐴𝐵 − 𝑎 𝑂𝐹 − 𝐴𝐷 − 𝑏(cid:72) (cid:73)(cid:120)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:143) (cid:84) (cid:84) (cid:84) (cid:84) (cid:180)(cid:67)(cid:78)
(cid:15)𝑂(cid:161)𝐺(cid:181)(cid:19)(cid:182)(cid:20)(cid:183)(cid:184)(cid:24)𝐸𝑂(cid:65) (cid:34) 𝐴(cid:35)𝐹(cid:158) (cid:159) 𝐹(cid:135)𝐵 (cid:24) (cid:173)𝐷𝐻(cid:36) (cid:174) 𝐻(cid:41)𝐶(cid:51)(cid:101)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:120)(cid:44)(cid:185)(cid:69)(cid:186)(cid:187)(cid:30)(cid:41)(cid:51)(cid:29)(cid:188)(cid:189)(cid:65)(cid:28)(cid:190)(cid:182)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:191)(cid:78)
1
(cid:15)(cid:192)(cid:133)1-1(cid:19)(cid:43)(cid:44)(cid:106)(cid:107)(cid:22)(cid:23) (cid:69)(cid:60)(cid:61)3 (cid:101) (cid:101) (cid:78)
2
𝑎 𝑎 −2𝑎 − 𝑎
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(cid:193)(cid:28)(cid:167)
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)3 (cid:72) (cid:85)(cid:22)(cid:73)(cid:88)(cid:69)(cid:82)(cid:83)(cid:65) (cid:24)3(cid:194)(cid:69)(cid:92)(cid:182)(cid:61)(cid:157)(cid:177)(cid:95)(cid:84)
(cid:72) (cid:85)(cid:22)𝑎 (cid:73)𝑎(cid:89)(cid:69)(cid:82)(cid:83)(cid:65) (cid:24)2(cid:194)𝑎(cid:69)(cid:92)(cid:182)(cid:61)(cid:157)(cid:177)(cid:95)(cid:84)
−21𝑎 𝑎 𝑎 1
(cid:72) (cid:85)(cid:22)(cid:73)(cid:89)(cid:69)(cid:82)(cid:83)(cid:65) (cid:24) (cid:194)(cid:69)(cid:92)(cid:182)(cid:61)(cid:157)(cid:177)(cid:95).
2 2
− 𝑎 𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:104)1(cid:105)
(cid:104)2(cid:105)
(cid:104)3(cid:105)
(cid:15)(cid:161)(cid:181)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:183)(cid:184)(cid:196)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:61)(cid:157)(cid:69)(cid:197)(cid:198)(cid:160)(cid:22)(cid:23)(cid:72)(cid:43)(cid:44)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:85)(cid:22)(cid:29)(cid:82)(cid:83)(cid:3)(cid:199)(cid:65)(cid:61)(cid:157)(cid:24)(cid:3)(cid:191).
(cid:15)(cid:192)(cid:133)1-2(cid:19)(cid:104)2024·(cid:140)(cid:153)(cid:200)(cid:201)·(cid:202)(cid:203)(cid:105)(cid:43)(cid:44)(cid:52)(cid:204)(cid:135) (cid:53)(cid:69) (cid:69)(cid:161) (cid:101) (cid:55)(cid:139)(cid:65)(cid:159) (cid:101) (cid:24)(cid:53)(cid:161)(cid:69)
= (cid:69)(cid:64) = (cid:69)(cid:70)(cid:71) = (cid:78)(cid:104)(cid:42)(cid:205)𝐴𝐵(cid:24)𝐶𝐷(cid:133)(cid:206)(cid:47)𝐴(cid:48)𝐷∥(cid:105)𝐵𝐶 𝐸 𝐹 𝐴𝐵 𝐶𝐷
𝐵𝐶 2𝐴𝐷3 𝐴𝐷 𝑎 𝐸𝐹 𝑎
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)
2
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:195)𝑎(cid:20)(cid:183)(cid:184)(cid:196)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:204)(cid:135)(cid:53)(cid:38)(cid:40)(cid:36)(cid:27)(cid:84)(cid:149)(cid:204)(cid:135)(cid:53)(cid:38)(cid:40)(cid:36)(cid:27)(cid:177)(cid:95)(cid:60)(cid:28)(cid:78)
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) (cid:69)(cid:161) (cid:101) (cid:55)(cid:139)(cid:65)(cid:159) (cid:101) (cid:24)(cid:53)(cid:161)(cid:69)
1 ∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐸 𝐹 𝐴𝐵 𝐶𝐷
= + (cid:69)
2
∴𝐸𝐹 = (𝐴𝐷(cid:69) 𝐵𝐶)
∵𝐵𝐶 32𝐴𝐷
= (cid:69)
2
∴𝐸𝐹 𝐴𝐷
3 3
= = (cid:84)
2 2
∴𝐸𝐹 𝐴𝐷 𝑎3
(cid:207)(cid:165)(cid:166)(cid:102)(cid:10) (cid:78)
2
(cid:15)(cid:192)(cid:133)1-3(cid:19)𝑎(cid:104)22-23(cid:208)(cid:151)(cid:152)(cid:140)·(cid:140)(cid:153)(cid:209)(cid:210)·(cid:211)(cid:56)(cid:212)(cid:213)(cid:105)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135) (cid:69) = (cid:69)(cid:161)E(cid:52)(cid:159)
(cid:140)(cid:69) (cid:34)(cid:55) (cid:78) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐶 2𝐴𝐵 𝐵𝐶
𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐷
(1)(cid:164)(cid:63)(cid:72) (cid:73)(cid:120)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:65) (cid:84)
(2)(cid:60)(cid:61)(cid:10)𝐵𝐸 (cid:104)(cid:214)(cid:60)(cid:215)(cid:216)(cid:61)(cid:157)(cid:217)(cid:218)(cid:105)(cid:84)
(3)(cid:219)(cid:220) 𝐴(cid:69)𝐷(cid:79)−𝐷(cid:80)𝐶| |=5,| |=6(cid:69)(cid:70)(cid:71)| + |(cid:221) (cid:78)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)𝐷𝐸(1) (cid:84) 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐷𝐶 𝐶𝐸
(2)(cid:165)(cid:166)(cid:193)(cid:178)(cid:28)𝐸𝐶(cid:84)
(3)8(cid:78)
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:104)1(cid:105)(cid:91)(cid:92)(cid:22)(cid:23)(cid:73)(cid:120)(cid:24)(cid:188)(cid:189)(cid:10)(cid:222)(cid:223)(cid:73)(cid:120)(cid:69)(cid:85)(cid:22)(cid:73)(cid:88)(cid:24)(cid:125)(cid:67)(cid:22)(cid:23)(cid:65)(cid:73)(cid:120)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:177)(cid:95)(cid:75)(cid:28)(cid:84)
(cid:104)2(cid:105)(cid:91)(cid:92)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:113)(cid:112)(cid:24)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:112)(cid:103)(cid:61)(cid:157)(cid:177)(cid:95)(cid:84)
(cid:104)3(cid:105)(cid:149)(cid:141)| + |=| |(cid:69)(cid:225) (cid:53)(cid:161)F(cid:69)(cid:91)(cid:92)(cid:120)(cid:226)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:41)(cid:51)(cid:95)(cid:44) (cid:69)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:197) (cid:69)(cid:103)
= 𝐷𝐶 =𝐶9𝐸0°(cid:69)𝐷(cid:230)𝐸 (cid:228)(cid:42)(cid:231)𝐴𝐸(cid:232)(cid:36)(cid:27)(cid:60)(cid:28)(cid:177)(cid:95)(cid:78) 𝐵𝐹⊥𝐴𝐸 Δ𝐴𝐹𝐵∽Δ𝐴𝐸𝐷
∠(cid:15)𝐴(cid:178)𝐸𝐷(cid:28)(cid:19)∠(cid:104)𝐴1𝐹(cid:105)𝐵(cid:28)(cid:10) (cid:34)(cid:55) (cid:69)
= (cid:69)∵ 𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐷
∴∠𝐵𝐴𝐸 (cid:69)∠𝐸𝐴𝐷
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷= (cid:69)
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐵𝐸𝐴(cid:69)
∴∠𝐵𝐴=𝐸 (cid:69)∠𝐵𝐸𝐴
∴𝐵 𝐴 =𝐵𝐸 (cid:69)
∵ 𝐵𝐶= 2𝐴𝐵
∴𝐵𝐶 =2𝐵𝐸
∴𝐵𝐸 𝐸𝐶(cid:207)(cid:72) (cid:73)(cid:120)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:65)(cid:10) (cid:84)
(cid:207)(cid:165)𝐵(cid:166)𝐸(cid:102)(cid:10) (cid:78) 𝐸𝐶
(cid:104)2(cid:105)(cid:28)(cid:10) 𝐸 𝐶 = = (cid:69)
(cid:79)(cid:157)1(cid:74)(cid:48)∵(cid:69)(cid:22)𝐴𝐷(cid:23)−𝐷𝐶(cid:102)𝐴(cid:74)𝐷−(cid:61)𝐴(cid:78)𝐵 𝐵𝐷
𝐵𝐷
(cid:104)3(cid:105)(cid:28)(cid:10)(cid:79)(cid:157)2(cid:69)(cid:225) (cid:53)(cid:161)F(cid:69)(cid:219)(cid:220) (cid:69)
= (cid:69) 𝐴𝐸 𝐵𝐹
∵𝐵𝐴 𝐵𝐸(cid:69)
∴𝐵𝐹⊥𝐴=𝐸90°(cid:69)
∴∠ |𝐴𝐹𝐵|=5,| |=6(cid:69)
∵ 𝐴𝐵 𝐴𝐸 1
= = = =10(cid:69) = =3(cid:69)
2
∴𝐴𝐵
3
𝐵𝐸
1
5,𝐵𝐶
5
𝐴1𝐷 𝐴𝐹 𝐴𝐸
= = , = = (cid:69)
6 2 10 2
𝐴𝐹 𝐴𝐵
∴𝐴𝐸 𝐴𝐷
= (cid:69)
𝐴𝐹 𝐴𝐵
(cid:233)∴𝐴𝐸 𝐴𝐷
=
∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐸𝐴𝐷(cid:69)
∴Δ𝐴𝐹𝐵∽=Δ𝐴𝐸𝐷 =90°(cid:69)
∴∠𝐴𝐹𝐵 ∠𝐴𝐸𝐷
= = 10 6 =8(cid:78)
2 2 2 2
(cid:207)∴|𝐷𝐸 + 𝐴|𝐷=|−𝐴|𝐸=8(cid:78) −
(cid:207)(cid:165)𝐷(cid:166)𝐶 (cid:102)𝐶(cid:10)𝐸8(cid:78)𝐷𝐸
(cid:15)(cid:161)(cid:181)(cid:19)(cid:182)(cid:20)(cid:183)(cid:184)(cid:196)(cid:22)(cid:23)(cid:73)(cid:120)(cid:24)(cid:188)(cid:189)(cid:101)(cid:22)(cid:23)(cid:113)(cid:112)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:112)(cid:103)(cid:24)(cid:61)(cid:157)(cid:101)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:73)(cid:234)(cid:24)(cid:173)(cid:36)(cid:72)(cid:41)(cid:51)(cid:101)(cid:120)(cid:226)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:24)(cid:41)(cid:51)(cid:101)(cid:231)(cid:232)(cid:36)(cid:27)(cid:120)(cid:44)(cid:185)(cid:69)(cid:235)(cid:212)(cid:186)(cid:187)(cid:73)(cid:3)(cid:188)(cid:189)(cid:101)(cid:31)(cid:32)(cid:112)(cid:103)(cid:101)(cid:173)(cid:36)(cid:72)(cid:41)(cid:51)(cid:65)(cid:28)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:191)(cid:78)
【题型2 向量的数乘及其运算律】
(cid:15)(cid:59)2(cid:19)(cid:79)(cid:80) =0(cid:90)(cid:236) =0(cid:69)(cid:70)(cid:71) = (cid:78)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)0 𝑚 𝑎 𝑚𝑎
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:91)(cid:92)(cid:68)(cid:25)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:76)(cid:24)(cid:36)(cid:94)(cid:237)(cid:35)(cid:238)(cid:32)(cid:60)(cid:28)(cid:177)(cid:95).
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) 0(cid:72)(cid:147)(cid:239)(cid:22)(cid:23)(cid:73)(cid:26)(cid:75)(cid:107)(cid:22)(cid:23)(cid:84)(cid:107)(cid:22)(cid:23)(cid:72)(cid:147)(cid:239)(cid:25)(cid:73)(cid:26)(cid:75)(cid:107)(cid:22)(cid:23)(cid:69)
=0(cid:90)(cid:236) ∵=0(cid:69)(cid:70)(cid:71) = 0.
(cid:207)∴𝑚(cid:165)(cid:166)(cid:65)(cid:10)0𝑎. 𝑚𝑎
(cid:15)(cid:161)(cid:181)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:183)(cid:184)(cid:196)(cid:107)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:41)(cid:51)(cid:69)(cid:186)(cid:187)(cid:41)(cid:51)(cid:65)(cid:3)(cid:191).
(cid:15)(cid:192)(cid:133)2-1(cid:19)(cid:68)(cid:25)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:73)(cid:26)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:10)(cid:64) (cid:101) (cid:102)(cid:68)(cid:25)(cid:69)(cid:106)(cid:107)(cid:22)(cid:23) (cid:101) (cid:69)(cid:103)
(cid:104)1(cid:105) ( )= (cid:78) 𝑚 𝑛 𝑎 𝑏
(cid:104)2(cid:105)𝑚( 𝑛+𝑎 ) = (cid:78)
𝑚 𝑛 𝑎
(cid:104)3(cid:105) + = (cid:78)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)𝑚(cid:19) 𝑎 𝑏
+ +
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:91)(cid:92)(cid:68)𝑚(cid:25)𝑛𝑎(cid:72)(cid:22)(cid:23)𝑚(cid:73)𝑎(cid:26)(cid:112)𝑛𝑎(cid:103)(cid:240)(cid:241)𝑚(cid:238)𝑎(cid:32)(cid:177)𝑚(cid:95)𝑏 .
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:104)1(cid:105)(cid:242)(cid:133)= (cid:84)
(cid:104)2(cid:105)(cid:242)(cid:133)= + (cid:84) 𝑚𝑛𝑎
(cid:104)3(cid:105)(cid:242)(cid:133)=𝑚𝑎+𝑛𝑎.
(cid:15)(cid:161)(cid:181)(cid:19)(cid:195)(cid:20)𝑚𝑎(cid:65)(cid:146)𝑚(cid:68)𝑏(cid:25)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:73)(cid:26)(cid:24)(cid:183)(cid:184)(cid:69)(cid:235)(cid:212)(cid:186)(cid:187)(cid:68)(cid:25)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:73)(cid:26)(cid:112)(cid:103)(cid:65)(cid:28)(cid:190)(cid:195)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:191).
1
(cid:15)(cid:192)(cid:133)2-2(cid:19)(cid:238)(cid:32)(cid:10)2 (3 )= ； ( )= (cid:84)5 2 +3 = (cid:78)
2
⋅ 𝑎 − 𝑎−4𝑏 𝑎 𝑏
3
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)6 ； +2 ；10 +15
2
𝑎 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:91)(cid:92)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:32)(cid:112)(cid:103)(cid:238)(cid:32)(cid:177)(cid:95)(cid:78)
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)2 (3 )=6 (cid:69)
1 1⋅ 𝑎 𝑎
( )= +2 (cid:69)
2 2
− 𝑎−4𝑏 − 𝑎 𝑏
5 2 +3 =5×2 +5×3 =10 +15
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:161)(cid:181)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:183)(cid:184)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:32)(cid:69)(cid:235)(cid:212)(cid:186)(cid:187)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:32)(cid:112)(cid:103)(cid:65)(cid:28)(cid:165)(cid:24)(cid:3)(cid:191)(cid:78)
(cid:15)(cid:192)(cid:133)2-3(cid:19)(cid:79)(cid:80)(cid:22)(cid:23) (cid:101) (cid:101) (cid:97)(cid:98)(cid:3)(cid:199)(cid:133)4 =0(cid:69)(cid:70)(cid:71) = (cid:78)(cid:104)(cid:42)(cid:22)(cid:23) (cid:101) (cid:47)(cid:48)(cid:105)
𝑎 𝑏 𝑥 𝑎− 𝑏−2𝑥 𝑥 𝑎 𝑏1
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)
2
𝑏−2𝑎
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:243)4 =0(cid:244)(cid:57)(cid:3)(cid:141) (cid:24)(cid:85)(cid:245)(cid:177)(cid:95)(cid:28)(cid:190)(cid:246)(cid:20)(cid:78)
𝑎− 𝑏−2𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) 4 =0(cid:69)
4 +2 =
∵0(cid:69) 𝑎− 𝑏−2𝑥
∴2𝑎−=𝑏 𝑥 (cid:69)
∴ 𝑥 1𝑏−4𝑎
=
2
∴𝑥 𝑏−2𝑎
1
(cid:207)(cid:165)(cid:166)(cid:102)(cid:10) (cid:78)
2
(cid:15)(cid:161)(cid:181)(cid:19)(cid:182)(cid:20)𝑏−(cid:183)2(cid:184)𝑎(cid:24)(cid:65)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:247)(cid:248)(cid:102)(cid:3)(cid:141) (cid:24)(cid:85)(cid:245)(cid:123)(cid:28)(cid:190)(cid:246)(cid:20)(cid:65)(cid:28)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:191)(cid:78)
𝑥
【题型3 平行向量定理】
(cid:15)(cid:59)3(cid:19)(cid:104)24-25(cid:208)(cid:151)(cid:152)(cid:99)·(cid:140)(cid:153)(cid:249)(cid:35)·(cid:155)(cid:250)(cid:105)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:52)(cid:204)(cid:135) (cid:53)(cid:69) (cid:69) = (cid:69) (cid:69)(cid:99)(cid:100)(cid:251)(cid:252)
(cid:53)(cid:253)(cid:198)(cid:24)(cid:65)(cid:104) (cid:105) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵∥𝐷𝐸
A(cid:78) (cid:72) (cid:65)(cid:73)(cid:120)(cid:22)(cid:23) B(cid:78) + =0
C(cid:78)𝐴𝐵(cid:72)𝐷𝐶(cid:65)(cid:73)(cid:89)(cid:22)(cid:23) D(cid:78)𝐵𝐴(cid:72)𝐷𝐸(cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:22)(cid:23)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)𝐴(cid:19)𝐷D 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐶𝐸
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:182)(cid:20)(cid:183)(cid:184)(cid:196)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:44)(cid:185)(cid:78)(cid:182)(cid:20)(cid:254)(cid:83)(cid:126)(cid:222)(cid:69)(cid:28)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:191)(cid:65)(cid:235)(cid:77)(cid:73)(cid:120)(cid:22)(cid:23)(cid:72)(cid:73)(cid:89)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:114)(cid:29)(cid:34)(cid:35)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:36)(cid:94)(cid:78)
(cid:91)(cid:92)(cid:120)(cid:226)(cid:204)(cid:135)(cid:24)(cid:41)(cid:51)(cid:69)(cid:177)(cid:95)(cid:75) = (cid:69)(cid:227)(cid:228)(cid:91)(cid:92)(cid:73)(cid:120)(cid:22)(cid:23)(cid:72)(cid:73)(cid:89)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:114)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:36)(cid:94)(cid:69)(cid:177)(cid:95)(cid:60)(cid:75)(cid:165)
(cid:166)(cid:78) 𝐴𝐶 𝐵𝐷
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)A(cid:101) = (cid:69)(cid:255) (cid:126)(cid:34)(cid:35)(cid:141) (cid:69)(cid:52) (cid:72) (cid:65)(cid:126)(cid:73)(cid:120)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:207)(cid:195)(cid:256)(cid:257)(cid:126)(cid:258)(cid:46)(cid:20)(cid:93)(cid:84)
B(cid:101) + =0(cid:69)𝐴(cid:207)𝐵 (cid:195)𝐶(cid:256)𝐷(cid:257)(cid:126)(cid:258)𝐴𝐵(cid:46)(cid:20)(cid:93)(cid:84) 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐷𝐶
𝐵𝐴 𝐷𝐸
C(cid:101) (cid:72) (cid:85)(cid:22)(cid:73)(cid:88)(cid:69)(cid:255) (cid:69)(cid:103) (cid:72) (cid:126)(cid:65)(cid:73)(cid:89)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:207)(cid:195)(cid:256)(cid:257)(cid:126)(cid:258)(cid:46)(cid:20)(cid:93)(cid:84)
⃗
D(cid:101)𝐴(cid:149)𝐷 𝐵𝐶 (cid:44)(cid:69) (cid:72) 𝐴(cid:65)𝐷(cid:34)≠(cid:35)𝐵(cid:22)𝐶(cid:23)(cid:69)𝐴(cid:207)𝐷(cid:195)(cid:256)𝐵𝐶(cid:257)(cid:258)(cid:46)(cid:20)(cid:93)(cid:78)
(cid:207)(cid:256)(cid:10)𝐴D𝐷(cid:78)∥𝐶𝐸 𝐴𝐷 𝐶𝐸1
(cid:15)(cid:192)(cid:133)3-1(cid:19)(cid:43)(cid:44) =5 (cid:69) = (cid:69)(cid:163)(cid:173)(cid:139)(cid:22)(cid:23) (cid:72) (cid:65)(cid:259)(cid:34)(cid:35)(cid:69)(cid:260)(cid:34)(cid:35)(cid:65)(cid:88)(cid:22)(cid:34)(cid:35)(cid:261)(cid:65)(cid:89)(cid:22)(cid:34)(cid:35)(cid:262)
2
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19) (cid:69) (cid:72) 𝑎 (cid:89) 𝑐 (cid:22)(cid:34) 𝑏 (cid:35)− 𝑐 𝑎 𝑏
𝑎∥𝑏 𝑎 𝑏 1
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:91)(cid:92) =5 , = (cid:69)(cid:95)(cid:60)(cid:75) = (cid:69)(cid:175)(cid:91)(cid:92)(cid:68)(cid:25)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:76)(cid:24)(cid:93)(cid:94)(cid:237)(cid:35)(cid:173)(cid:176)(cid:177)(cid:95).
2
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) 𝑎 (cid:69) 𝑐𝑏 (cid:72) (cid:89)−(cid:22) 𝑐 (cid:34)(cid:35)(cid:69)(cid:27) 𝑎 (cid:149)(cid:79)−(cid:99)1(cid:10)0𝑏
𝑎1∥𝑏 𝑎 𝑏
=5 , =
2
∵𝑎
=
𝑐𝑏 (cid:69)− 𝑐
∴𝑎 (cid:69)−(cid:81)10𝑏(cid:72) (cid:89)(cid:22)(cid:34)(cid:35)(cid:78)
(cid:15)∴𝑎(cid:161)∥𝑏(cid:181)(cid:19)(cid:195)𝑎 (cid:20)𝑏(cid:183)(cid:184)(cid:22)(cid:23)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:173)(cid:176)(cid:69)(cid:197)(cid:198)(cid:68)(cid:25)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:76)(cid:24)(cid:93)(cid:94)(cid:65)(cid:28)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:191).
(cid:15)(cid:192)(cid:133)3-2(cid:19)(cid:104)24-25(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:140)·(cid:140)(cid:153)(cid:263)(cid:36)·(cid:155)(cid:53)(cid:105)(cid:43)(cid:44)(cid:22)(cid:23) (cid:90) (cid:65)(cid:179)(cid:126)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:106)(cid:107)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:79)(cid:80) =3 +2 , =
1 1 𝑎 𝑏 𝑛 𝑎 𝑏𝑚 −
(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:22)(cid:23) (cid:72) (cid:65)(cid:259)(cid:34)(cid:35)(cid:262)
3 2
(cid:165)
𝑎−(cid:10) 𝑏
.(cid:104)(cid:264)“(cid:65)”
𝑛
(cid:90)“
𝑚
(cid:126)(cid:65)”(cid:105)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(cid:126)(cid:65)
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:265)(cid:214)(cid:183)(cid:184)(cid:196)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:32)(cid:78)(cid:260)(cid:22)(cid:23) (cid:72) (cid:34)(cid:35)(cid:69)(cid:103) = (cid:104)k(cid:102)(cid:130)(cid:25)(cid:69)(cid:81) 0(cid:105)(cid:69)(cid:92)(cid:182)(cid:95)(cid:75)
(cid:165)(cid:166)(cid:78) 𝑛 𝑚 𝑛 𝑘𝑚 𝑘≠
1 1
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) =3 +2 , = (cid:69)
3 2
(cid:104)k(cid:102)∵(cid:130) 𝑛 (cid:25)(cid:69) 𝑎 (cid:81) 𝑏𝑚 0(cid:105)(cid:69)− 𝑎− 𝑏
∴(cid:22)𝑛≠(cid:23)𝑘𝑚(cid:72) (cid:126)(cid:65)(cid:34)(cid:35) 𝑘≠
∴(cid:15)(cid:192)(cid:133)𝑛3-3𝑚(cid:19)(cid:104)22-23(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:140)·(cid:140)(cid:153)(cid:263)(cid:36)·(cid:155)(cid:53)(cid:105)(cid:82)(cid:83)(cid:102) (cid:24)2(cid:194)(cid:69)(cid:81)(cid:72) (cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:65) (cid:78)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)2 (cid:90) / (cid:90)2 𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:91)𝑎(cid:92)(cid:22)−2(cid:23)𝑎(cid:24)−(cid:85)2𝑎(cid:22)(cid:73)(cid:88)𝑎(cid:90)(cid:73)(cid:89)(cid:69)(cid:177)(cid:95)(cid:60)(cid:28)(cid:78)
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:82)(cid:83)(cid:102) (cid:24)2(cid:194)(cid:69)(cid:81)(cid:72) (cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:65)2 (cid:90) (cid:69)
(cid:207)(cid:165)(cid:166)(cid:102)(cid:10)2 (cid:90) (cid:78)𝑎 𝑎 𝑎 −2𝑎
(cid:15)(cid:161)(cid:181)(cid:19)(cid:195)(cid:20)𝑎(cid:265)(cid:214)−2(cid:183)𝑎(cid:184)(cid:196)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:4)(cid:93)(cid:214)(cid:55)(cid:266)(cid:267)(cid:252)(cid:10)(cid:34)(cid:35)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:85)(cid:22)(cid:143)(cid:73)(cid:88)(cid:85)(cid:22)(cid:174)(cid:73)(cid:89)(cid:85)(cid:22)(cid:125)(cid:268)(cid:269)(cid:270)(cid:78)
【题型4 单位向量】
(cid:15)(cid:59)4(cid:19)(cid:79)(cid:80)(cid:22)(cid:23) (cid:72)(cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23) (cid:24)(cid:85)(cid:22)(cid:73)(cid:89)(cid:69)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:102)3(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:42)(cid:22)(cid:23) (cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23) (cid:102)(cid:104)(cid:271)(cid:271)(cid:105)
A(cid:78) =3 𝑎 B(cid:78) =𝑒 C(cid:78) =3 D(cid:78)𝑒 = 𝑎
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)𝑎 B 𝑒 𝑎 −3𝑒 𝑒 𝑎 𝑒 −3𝑎(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:91)(cid:92)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:36)(cid:94)(cid:28)(cid:165)(cid:177)(cid:95)(cid:78)
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) (cid:22)(cid:23) (cid:102)(cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:22)(cid:23) (cid:72)(cid:22)(cid:23) (cid:85)(cid:22)(cid:73)(cid:89)(cid:69)
= (cid:78) ∵ 𝑒 𝑎 𝑒
∴(cid:207)𝑎(cid:256)B−(cid:78)3𝑒
(cid:15)(cid:161)(cid:181)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:183)(cid:184)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:41)(cid:51)(cid:69)(cid:28)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:191)(cid:65)(cid:272)(cid:273)(cid:31)(cid:42)(cid:74)(cid:11)(cid:44)(cid:185)(cid:28)(cid:190)(cid:246)(cid:20)(cid:78)
| |
(cid:15)(cid:192)(cid:133)4-1(cid:19)(cid:104)24-25(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:140)·(cid:140)(cid:153)·(cid:211)(cid:56)(cid:212)(cid:213)(cid:105)(cid:79)(cid:80)(cid:125)(cid:67)(cid:106)(cid:107)(cid:22)(cid:23) (cid:72) (cid:24)(cid:85)(cid:22)(cid:73)(cid:89)(cid:69)(cid:81)| | (cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:99)(cid:100)
(cid:124)(cid:112)(cid:274)(cid:275)(cid:24)(cid:65)(cid:104) (cid:105) 𝑎 𝑏 𝑎 ≠ 𝑏
A(cid:78) (cid:72) (cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:22)(cid:23) B(cid:78) (cid:24)(cid:85)(cid:22)(cid:72) (cid:24)(cid:85)(cid:22)(cid:73)(cid:88)
𝑎−𝑏 𝑎 | | 𝑎−𝑏 | | 𝑏
C(cid:78)(cid:260) = ,(cid:103)| |=2 D(cid:78)(cid:260)| |=2 (cid:69)(cid:103) =
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)𝑎B −2𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 −2𝑏
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:183)(cid:184)(cid:196)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:36)(cid:94)(cid:84)(cid:64) = (cid:81) <0(cid:69)(cid:103) =( ) (cid:69)(cid:177)(cid:95)(cid:173)(cid:176)A(cid:69)B(cid:256)(cid:257)(cid:69)(cid:91)(cid:92)(cid:22)
(cid:23)(cid:73)(cid:120)(cid:69)(cid:103)(cid:148)(cid:116)(cid:24)(cid:203)(cid:73)(cid:120)(cid:69)(cid:177)(cid:95)(cid:173)(cid:176)A(cid:256)𝑎(cid:257)(cid:69)𝜆(cid:91)𝑏(cid:92)𝜆(cid:203)(cid:73)(cid:120)(cid:69)(cid:81)𝑎−(cid:85)𝑏(cid:22)(cid:73)1(cid:89)−(cid:177)𝜆 (cid:95)𝑎 (cid:173)(cid:176)D(cid:256)(cid:257)(cid:69)(cid:92)(cid:182)(cid:177)(cid:95)(cid:60)(cid:28)(cid:78)
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) (cid:125)(cid:67)(cid:106)(cid:107)(cid:22)(cid:23) (cid:72) (cid:24)(cid:85)(cid:22)(cid:73)(cid:89)(cid:69)
(cid:64) = (cid:81) <∵0(cid:69) 𝑎 𝑏
𝑎 =𝜆𝑏( 𝜆 ) (cid:69)
∴A𝑎−. 𝑏 (cid:72)1−(cid:65)𝜆 (cid:34)𝑎 (cid:35)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:207)(cid:276)(cid:256)(cid:257)(cid:253)(cid:198)(cid:69)(cid:126)(cid:258)(cid:46)(cid:20)(cid:93)(cid:84)
B∴. 𝑎−(cid:24)𝑏 (cid:85)𝑎(cid:22)(cid:72) (cid:24)(cid:85)(cid:22)(cid:73)(cid:88)(cid:69)(cid:207)(cid:276)(cid:256)(cid:257)(cid:126)(cid:253)(cid:198)(cid:69)(cid:258)(cid:46)(cid:20)(cid:93)(cid:84)
C. (cid:260)
𝑎−𝑏
= ,(cid:103)
𝑎
| |=2
| |
(cid:69)(cid:207)(cid:276)(cid:256)(cid:257)(cid:253)(cid:198)(cid:69)(cid:126)(cid:258)(cid:46)(cid:20)(cid:93)(cid:84)
𝑎 −2| 𝑏 | 𝑎 𝑏
D. (cid:260)| |=2 (cid:69)(cid:103) = (cid:69)(cid:207)(cid:276)(cid:256)(cid:257)(cid:253)(cid:198)(cid:69)(cid:126)(cid:258)(cid:46)(cid:20)(cid:93)(cid:84)
(cid:207)(cid:256)(cid:10) 𝑎 B(cid:78) 𝑏 𝑎 −2𝑏
(cid:15)(cid:192)(cid:133)4-2(cid:19)(cid:104)22-23(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:140)·(cid:140)(cid:153)(cid:277)(cid:278)·(cid:155)(cid:53)(cid:105)(cid:260)(cid:22)(cid:23) (cid:72)(cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23) (cid:24)(cid:85)(cid:22)(cid:73)(cid:88)(cid:69)(cid:81)| |=2(cid:69)(cid:103)
= (cid:78)(cid:104)(cid:42) (cid:47)(cid:48)(cid:105) 𝑎 𝑒 𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)2 𝑒
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:91)𝑒(cid:92)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:47)(cid:48)(cid:85)(cid:112)(cid:95)(cid:279)(cid:220)(cid:237)(cid:35)(cid:28)(cid:165)(cid:78)
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) (cid:22)(cid:23) (cid:72)(cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23) (cid:24)(cid:85)(cid:22)(cid:73)(cid:88)(cid:69)(cid:81)| |=2(cid:69)
=2 (cid:78) ∵ 𝑎 𝑒 𝑎
∴(cid:207)𝑎(cid:165)(cid:166)𝑒(cid:102)(cid:10)2 (cid:78)
(cid:15)(cid:161)(cid:181)(cid:19)(cid:195)(cid:20)𝑒(cid:183)(cid:184)(cid:24)(cid:65)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:44)(cid:185)(cid:69)(cid:177)(cid:82)(cid:83)(cid:126)(cid:102)0(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:118)(cid:119)(cid:106)(cid:107)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:22)(cid:23)(cid:280)(cid:281)(cid:82)(cid:83)(cid:29)(cid:85)(cid:22)(cid:69)(cid:172)(cid:82)(cid:83)(cid:120)(cid:141)1(cid:67)(cid:37)(cid:38)(cid:82)(cid:83)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:118)(cid:119)(cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:4)(cid:93)(cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23)(cid:282)(cid:283)(cid:36)(cid:222)(cid:223)(cid:284)(cid:283)(cid:36)(cid:85)(cid:22)(cid:78)
1
(cid:15)(cid:192)(cid:133)4-3(cid:19)(cid:104)24-25(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:140)·(cid:140)(cid:153)·(cid:155)(cid:53)(cid:105)(cid:260)(cid:22)(cid:23) (cid:72)(cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23) (cid:24)(cid:85)(cid:22)(cid:73)(cid:89)(cid:69)(cid:81)| |= | |(cid:69)(cid:103) =
2
𝑏 𝑒 𝑏 𝑒 𝑏
(cid:104)(cid:42) (cid:47)(cid:48)(cid:105)
𝑒 1
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)
2
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)−(cid:195)(cid:20) 𝑒 (cid:183)(cid:184)(cid:24)(cid:65)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:44)(cid:185)(cid:69)(cid:177)(cid:82)(cid:83)(cid:126)(cid:102)0(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:118)(cid:119)(cid:106)(cid:107)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:22)(cid:23)(cid:280)(cid:281)(cid:82)(cid:83)(cid:29)(cid:85)(cid:22)(cid:69)(cid:172)(cid:82)
(cid:83)(cid:120)(cid:141)1(cid:67)(cid:37)(cid:38)(cid:82)(cid:83)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:118)(cid:119)(cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23)(cid:78)(cid:91)(cid:92)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:47)(cid:48)(cid:85)(cid:112)(cid:95)(cid:279)(cid:220)(cid:237)(cid:35)(cid:28)(cid:165)(cid:78)
1
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) (cid:22)(cid:23) (cid:72)(cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23) (cid:24)(cid:85)(cid:22)(cid:73)(cid:89)(cid:69)(cid:81)| |= | |(cid:69)
2
∵ 𝑏 𝑒 𝑏 𝑒
1
= (cid:78)
2
∴𝑏 − 𝑒
1
(cid:207)(cid:165)(cid:166)(cid:102)(cid:10) (cid:78)
2
− 𝑒
【题型5 平面向量的线性运算】
1 1 1
(cid:15)(cid:59)5(cid:19)(cid:238)(cid:32)(cid:10)(cid:104)1(cid:105)2 + 2 + (cid:84)
3 2 4
1 2 5 1 𝑎 𝑏 −5 𝑎 𝑏
(cid:104)2(cid:105) + (cid:78)
3 3 6 2
𝑎− 𝑏 −28 𝑎 1 𝑏 1 7
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(cid:104)1(cid:105) (cid:84)(cid:104)2(cid:105)
3 4 2 6
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:205)(cid:143)(cid:22)−(cid:23)(cid:24) 𝑎−(cid:285) 𝑏 (cid:257)(cid:133)(cid:31)(cid:32)−(cid:69)(cid:72) 𝑎−(cid:285) 𝑏 (cid:257)(cid:133)(cid:31)(cid:32)(cid:66)(cid:286)
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(1)
1 1 1 2 5
2 + 2 + = + -10 -
3 2 4 3 4
2 𝑎 8 1 𝑏 −5 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
=
3 4
(2−) 𝑎− 𝑏
1 2 5 1 1 7
+ =
3 3 6 2 2 6
(cid:15)(cid:161) 𝑎−(cid:181)(cid:19) 𝑏 (cid:195)−(cid:20)𝑎(cid:183)(cid:184)(cid:22)𝑏 (cid:23)−(cid:24)𝑎(cid:111)−(cid:113)𝑏(cid:31)(cid:32)(cid:69)(cid:52)(cid:287)(cid:281)(cid:9)(cid:87)(cid:214)(cid:4)(cid:93)(cid:253)(cid:288)(cid:9).
1
(cid:15)(cid:192)(cid:133)5-1(cid:19)(cid:104)2025·(cid:140)(cid:153)(cid:289)(cid:197)·(cid:66)(cid:203)(cid:105)(cid:238)(cid:32)(cid:10)3 + =
2
5 𝑎 𝑏 − 𝑎−2𝑏
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19) +4
2
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:195)𝑎(cid:20)(cid:183)𝑏(cid:184)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:111)(cid:113)(cid:112)(cid:103)(cid:69)(cid:28)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:191)(cid:65)(cid:235)(cid:212)(cid:186)(cid:187)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:111)(cid:113)(cid:112)(cid:103)(cid:69)(cid:4)(cid:93)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:111)
(cid:113)(cid:290)(cid:46)(cid:111)(cid:112)(cid:162)(cid:291)(cid:33)(cid:114)(cid:29)(cid:251)(cid:46)(cid:33)(cid:69)(cid:290)(cid:46)(cid:287)(cid:281)(cid:9)(cid:112)(cid:103)(cid:78)(cid:91)(cid:92)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:111)(cid:112)(cid:112)(cid:103)(cid:238)(cid:32)(cid:177)(cid:95)(cid:78)1
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)3 +
2
1 𝑎 𝑏 − 𝑎−2𝑏
=3 +3 +
2
𝑎 𝑏− 𝑎 𝑏
5
= +4 (cid:69)
2
𝑎 𝑏
5
(cid:207)(cid:165)(cid:166)(cid:102)(cid:10) +4 (cid:78)
2
𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:192)(cid:133)5-2(cid:19)(cid:104)2025·(cid:140)(cid:153)(cid:289)(cid:197)·(cid:66)(cid:203)(cid:105)(cid:43)(cid:44)(cid:279)(cid:40) (cid:140)(cid:202)(cid:161) (cid:101) (cid:101) (cid:69)(cid:81) =
1
(cid:69)(cid:99)(cid:100)(cid:124)(cid:112)(cid:253)(cid:198)(cid:24)(cid:65)(cid:104) (cid:105)
2
A(cid:78) = B(cid:78) = C𝑙(cid:78) = 𝐴 2 𝐵 𝐶 𝐴 D 𝐵 (cid:78) 𝐴 = 𝐶 2
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)𝐴𝐵D 𝐶𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐴 𝐶𝐴 𝐵𝐶 𝐶𝐴 𝐵𝐴
| | 1| |
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:182)(cid:20)(cid:183)(cid:184)(cid:196)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:78)(cid:62)(cid:63)(cid:157)(cid:135)(cid:69)(cid:149)(cid:20)(cid:93)(cid:75)(cid:168) (cid:72) (cid:85)(cid:22)(cid:73)(cid:88)(cid:69)(cid:81) = (cid:69)(cid:177) (cid:65) (cid:24)(cid:53)(cid:161)(cid:69)
2
(cid:91)(cid:92)(cid:157)(cid:135)(cid:237)(cid:35)(cid:173)(cid:176)(cid:177)(cid:95)(cid:78) 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:79)(cid:157)(cid:69)
1
= (cid:69)
2
∵𝐴𝐵 𝐴𝐶
| | 1| |
(cid:72) (cid:85)(cid:22)(cid:73)(cid:88)(cid:69)(cid:81) = (cid:69)(cid:177) (cid:65) (cid:24)(cid:53)(cid:161)(cid:69)
2
∴𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 (cid:69) = (cid:69) 𝐴𝐵 =2 𝐴 (cid:69) 𝐶 = 𝐵 2 𝐴𝐶(cid:69)
∴(cid:292)𝐴(cid:140)𝐵(cid:95)(cid:44)𝐵𝐶(cid:69)(cid:282)𝐵(cid:143)𝐶 𝐴=𝐵2𝐶𝐴(cid:253)(cid:198)𝐶(cid:69)𝐵 𝐶𝐴 𝐵𝐴
(cid:207)(cid:256)(cid:10)D(cid:78) 𝐶𝐴 𝐵𝐴
(cid:15)(cid:192)(cid:133)5-3(cid:19)(cid:238)(cid:32)(cid:10)
1 1
(cid:104)1(cid:105) + 4 +2 (cid:84)
3 5
− 𝑎 2 𝑎− 𝑏 1 𝑏 3
(cid:104)2(cid:105) 2 +3 + (cid:78)
3 2 4
𝑎− 𝑏 11 𝑐 −9 − 𝑎 5 𝑏− 1 2 7 𝑐
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(cid:104)1(cid:105) + (cid:104)2(cid:105) +5
3 5 2 12
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:104)1(cid:105)(cid:104)𝑎 2(cid:105)(cid:91)𝑏(cid:92)(cid:22)(cid:23)(cid:24)𝑎(cid:111)−(cid:113)𝑏(cid:31)(cid:32)𝑐(cid:177)(cid:95)(cid:60)(cid:63)(cid:251)(cid:80)(cid:84)
1 1 1 1 11 9 11 9
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:104)1(cid:105) + 4 +2 = +4 +2 = + (cid:84) +
3 5 3 5 3 5 3 5
2 − 𝑎 𝑎 1 − 𝑏 3 𝑏 − 𝑎 2 𝑎− 𝑏 1 𝑏 3 𝑎 𝑏 5 1 𝑎 7 𝑏
(cid:104)2(cid:105) 2 +3 + =2 +3 + +2 = +5 .
3 2 4 3 2 4 2 12
(cid:15)(cid:161)(cid:181)(cid:19) 𝑎 (cid:195)−(cid:20) 𝑏 (cid:265)(cid:214) 𝑐 (cid:183)−(cid:184)(cid:22)−(cid:23)𝑎(cid:24)(cid:111)𝑏(cid:113)−(cid:31)2𝑐(cid:32)(cid:69)(cid:11)𝑎(cid:293)−(cid:294)𝑏(cid:214)(cid:295)𝑐 (cid:296)(cid:238)𝑎−(cid:32)(cid:177)𝑏 (cid:95).𝑐 𝑎− 𝑏 𝑐【题型6 用已知向量的线性组合表示向量】
(cid:15)(cid:59)6(cid:19)(cid:104)23-24(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:140)·(cid:140)(cid:153)·(cid:211)(cid:56)(cid:212)(cid:213)(cid:105)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:43)(cid:44) (cid:101) (cid:73)(cid:162)(cid:141)(cid:161) (cid:69)(cid:297) (cid:61) (cid:162) (cid:141)
(cid:161) (cid:69) =1:3(cid:78) 𝐴𝐵∥𝐶𝐷,𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐸 𝐸 𝐸𝐹∥𝐶𝐷 𝐵𝐷
𝐹 𝐴𝐵:𝐶𝐷
(1)(cid:60) (cid:24)(cid:298)(cid:84)
𝐸𝐹
𝐶𝐷
(2)(cid:64) = (cid:69) = (cid:69)(cid:42)(cid:22)(cid:23) (cid:101)(cid:47)(cid:48) (cid:78)
𝐶𝐷 𝑎1 𝐵𝐹 𝑏 𝑎 𝑏 𝐸𝐶
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(1)
4
3
(2)3
4
(cid:15)(cid:55) 𝑏 (cid:167)−(cid:19) 𝑎 (cid:195)(cid:20)(cid:265)(cid:214)(cid:183)(cid:184)(cid:73)(cid:234)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:24)(cid:173)(cid:36)(cid:174)(cid:41)(cid:51)(cid:114)(cid:29)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:111)(cid:113)(cid:31)(cid:32)(cid:78)
(cid:104)1(cid:105)(cid:91)(cid:92)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:24)(cid:41)(cid:51)(cid:69)(cid:95)(cid:229)(cid:197) (cid:174) (cid:69)(cid:75)(cid:168) = (cid:174) = (cid:69)(cid:177)(cid:95)(cid:75)(cid:63)
𝐵𝐸 𝐸𝐹
(cid:251)(cid:252)(cid:84) △𝐴𝐵𝐸∼△𝐷𝐶𝐸 △𝐵𝐸𝐹∼△𝐵𝐶𝐷 𝐶𝐸 3𝐵𝐸 𝐵𝐶 𝐶𝐷
1 1 1 1 1
(cid:104)2(cid:105)(cid:91)(cid:92)(1)(cid:53)(cid:251)(cid:252)(cid:75) = (cid:69)(cid:103)(cid:143) = = (cid:69)(cid:237)(cid:66)(cid:299)(cid:60)(cid:75) = (cid:69)(cid:149) = (cid:69)(cid:251)(cid:46)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
4 4 4 4 3
𝐵𝐸
(cid:111)(cid:113)(cid:31)(cid:32)(cid:177)(cid:95)(cid:75)(cid:63)(cid:251)(cid:252)𝐸(cid:177)𝐹(cid:95)(cid:60)𝐶(cid:75)𝐷(cid:165)(cid:166)(cid:78)𝐸𝐹 𝐶𝐷 𝑎 𝐵𝐸 𝑏− 𝑎 𝐶𝐸
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:104)1(cid:105)(cid:28)(cid:10) (cid:69)
= (cid:69) ∵𝐴𝐵=∥𝐶𝐷 (cid:69)
∴∠𝐸𝐴𝐵 𝐸𝐷𝐶 ∠(cid:69)𝐴𝐵𝐸 ∠𝐷𝐶𝐸
∴△𝐴𝐵𝐸∼△1𝐷𝐶𝐸
= = (cid:69)
3
𝐴𝐵 𝐵𝐸
∴𝐷𝐶 = 𝐶𝐸 (cid:69)
∴𝐶𝐸 3(cid:69)𝐵𝐸
∵𝐸𝐹∥𝐶𝐷= (cid:69)
∴∠𝐵𝐸=𝐹 ∠(cid:69)𝐵𝐶𝐷
∵∠𝐵 ∠𝐵 (cid:69)
∴△𝐵𝐸𝐹∼△𝐵𝐶𝐷
= (cid:69)
𝐵𝐸 𝐸𝐹
∴𝐵𝐶 𝐶𝐷= + = + = (cid:69)
∵𝐵𝐶 1𝐵𝐸 𝐶𝐸 𝐵𝐸 3𝐵𝐸 4𝐵𝐸
= (cid:78)
4
𝐸𝐹
∴𝐶𝐷
1 1 1
(cid:104)2(cid:105)(cid:149)(cid:104)1(cid:105)(cid:75) = (cid:69)(cid:103) = = (cid:69)
4 4 4
+ =
(cid:69)𝐸𝐹 𝐶𝐷 𝐸𝐹 𝐶𝐷 𝑎
∵𝐵𝐸 𝐸𝐹 𝐵𝐹 1
= = (cid:69)
4
∴𝐵𝐸 𝐵𝐹−𝐸𝐹
1
𝑏− 𝑎
(cid:149)(cid:104)1(cid:105)(cid:75) = (cid:69)
3
𝐵𝐸
𝐶𝐸
= (cid:69)
∴ (cid:103) 𝐶 E 𝐸 C= 3 3 𝐵 B 𝐸 E=3× b − 1a =3b− 3 a(cid:78)
4 4
(cid:15)(cid:192)(cid:133)6-1(cid:19)(cid:104)2024(cid:208)(cid:151)(cid:152)(cid:99)·(cid:140)(cid:153)·(cid:300)(cid:20)(cid:212)(cid:213)(cid:105)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135) (cid:24)(cid:146)(cid:224)(cid:40)(cid:73)(cid:162)(cid:141)(cid:161) (cid:69)(cid:161) (cid:65)(cid:159)
(cid:24)(cid:53)(cid:161)(cid:69)(cid:219)(cid:220) (cid:162) (cid:141)(cid:161) (cid:78)(cid:64) = (cid:69) = (cid:69) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑂 𝐸 𝐵𝐶
𝐷𝐸 𝐴𝐶 𝐺 𝐴𝐷 𝑎 𝐷𝐶 𝑏
(1)(cid:163)(cid:42) (cid:101) (cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23) (cid:84)
(2)(cid:163)(cid:42)𝑎(cid:101)𝑏(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)𝑂𝐶(cid:78)
𝑎 𝑏1 1 𝐷𝐺
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(1) +
2 2
𝑎 𝑏
2 1
(2)
3 3
(cid:15)(cid:55) 𝑏 (cid:167)−(cid:19) 𝑎 (cid:182)(cid:20)(cid:183)(cid:184)(cid:196)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:44)(cid:185)(cid:101)(cid:73)(cid:234)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:24)(cid:173)(cid:36)(cid:72)(cid:41)(cid:51)(cid:114)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:24)(cid:41)(cid:51)(cid:78)(cid:4)(cid:93)(cid:186)(cid:187)(cid:202)(cid:224)(cid:135)
(cid:112)(cid:103)(cid:24)(cid:54)(cid:42)(cid:65)(cid:3)(cid:191)(cid:78)
(cid:104)1(cid:105)(cid:149) = (cid:69) = (cid:69)(cid:301)(cid:42)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:112)(cid:103)(cid:69)(cid:95)(cid:60)(cid:75) (cid:69)(cid:233)(cid:149)(cid:158)(cid:159)(cid:135) (cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:69)(cid:91)(cid:92)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)
(cid:24)(cid:146)(cid:224)(cid:40)𝐴(cid:179)𝐷(cid:73)(cid:34)𝑎 (cid:55)𝐷(cid:69)𝐶(cid:177)(cid:95)𝑏(cid:60)(cid:75)(cid:165)(cid:166)(cid:84) 𝐴𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:104)2(cid:105)(cid:302)(cid:75) (cid:69)(cid:227)(cid:228)(cid:149)(cid:73)(cid:234)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:24)(cid:146)(cid:54)(cid:159)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:69)(cid:229)(cid:75) = =2:1(cid:69)(cid:303)(cid:172)(cid:60)(cid:75) (cid:69)
(cid:103)(cid:95)(cid:60)(cid:75)(cid:165)△(cid:166)𝐴(cid:78)𝐷𝐺∽△𝐶𝐸𝐺 𝐴𝐺:𝐶𝐺 𝐴𝐷:𝐶𝐸 𝐴𝐺
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:104)1(cid:105)(cid:28)(cid:10) = (cid:69) = (cid:69)
= + =∵ +𝐴𝐷(cid:69)𝑎 𝐷𝐶 𝑏
∴(cid:158)𝐴(cid:159)𝐶(cid:135)𝐴𝐷 𝐷(cid:65)𝐶(cid:34)(cid:35)𝑎(cid:158)(cid:159)𝑏(cid:135)(cid:69)
∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷1 1 1 1
= = ( + )= + (cid:84)
2 2 2 2
(cid:104)∴2(cid:105) 𝑂𝐶 (cid:158) 𝐴 (cid:159) 𝐶 (cid:135) 𝑎 (cid:65) 𝑏 (cid:34)(cid:35)(cid:158) 𝑎 (cid:159)(cid:135) 𝑏 (cid:69)
∵ (cid:69) 𝐴=𝐵𝐶𝐷(cid:69)
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐴𝐷 (cid:69)𝐵𝐶
∴△𝐴𝐷𝐺∽=△𝐶𝐸𝐺(cid:69)
∴𝐴(cid:161)𝐺:𝐶(cid:65)𝐺(cid:159) 𝐴𝐷(cid:24):𝐶(cid:53)𝐸(cid:161)(cid:69)
∵ 𝐸 =𝐵2𝐶:1(cid:69)
∴𝐴𝐷:𝐶𝐸=2:1(cid:69)
∴𝐴𝐺:𝐶𝐺=2:3(cid:69)
∴𝐴𝐺:𝐴𝐶 2 2 2
= = + (cid:69)
3 3 3
∴ 𝐴𝐺 𝐴𝐶 𝑎 𝑏
2 2 2 1
= = + = (cid:78)
3 3 3 3
(cid:15)∴(cid:192) 𝐷 (cid:133) 𝐺 6-2𝐴 (cid:19) 𝐺−(cid:43) 𝐴 (cid:44) 𝐷 (cid:10)(cid:79) 𝑎 (cid:157)(cid:69) 𝑏−𝑎 (cid:53) 𝑏−(cid:69) 𝑎 (cid:161)D(cid:65)(cid:159) (cid:24)(cid:53)(cid:161)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶
1
(1)(cid:64) = (cid:69) = (cid:78)(cid:304)(cid:248)(cid:305)(cid:69)(cid:175)(cid:60)(cid:61)(cid:10) 3
4
(2)(cid:42) 𝐵 (cid:101) 𝐴 (cid:24) 𝑎 (cid:40)(cid:41) 𝐵𝐶 (cid:45)(cid:46) 𝑏 (cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23) (cid:78) 𝑎−𝑏 −2 𝑎− 𝑏
𝑎 𝑏 1 𝐵𝐷
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(1) (cid:69)(cid:61)(cid:157)(cid:193)(cid:28)(cid:167)
2
𝑎− 𝑏
1 1
(2) = +
2 2
𝐵𝐷 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:265)(cid:214)(cid:183)(cid:184)(cid:196)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:32)(cid:10)
1
(cid:104)1(cid:105)(cid:304)(cid:301)(cid:42)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:238)(cid:32)(cid:112)(cid:103)(cid:248)(cid:305)(cid:75)(cid:168)(cid:242)(cid:133)(cid:24)(cid:251)(cid:80)(cid:102) (cid:69)(cid:225) (cid:53)(cid:161)H(cid:69)(cid:219)(cid:220) (cid:69)(cid:103) (cid:177)(cid:102)(cid:74)(cid:60)(cid:84)
2
(cid:104)2(cid:105)(cid:306)(cid:304)(cid:60)(cid:63) (cid:69)(cid:175)(cid:91)(cid:92)(cid:161)D(cid:65)(cid:159) (cid:24)(cid:53)(cid:161)(cid:69)(cid:60)(cid:63) 𝑎− 𝑏 (cid:69)(cid:91)𝐵(cid:92)𝐶 = + 𝐴(cid:238)𝐻(cid:32)(cid:177) 𝐻 (cid:95) 𝐴 (cid:28)(cid:190)(cid:246)(cid:20)(cid:78)
𝐴𝐶 1 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝐵𝐴 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:104)1(cid:105)(cid:28)(cid:10) 3
4
1 𝑎−𝑏 −2 𝑎− 𝑏
=3 +
2
𝑎−𝑏−2𝑎 𝑏1
= (cid:78)
2
(cid:79)(cid:157)
𝑎−(cid:69)(cid:225) 𝑏
(cid:53)(cid:161)H(cid:69)(cid:219)(cid:220) (cid:69)(cid:103) (cid:177)(cid:102)(cid:74)(cid:60)(cid:78)
H(cid:102) (cid:24)𝐵𝐶(cid:53)(cid:161)(cid:69) 𝐴𝐻 𝐻𝐴
∵ 𝐵𝐶1 1
= = (cid:69)
2 2
∴𝐵𝐻
=
𝐵𝐶
+
𝑏
(cid:69)
∵𝐵𝐴 𝐵𝐻 𝐻𝐴 1
= =
2
∴𝐻𝐴 𝐵𝐴−𝐵𝐻 𝑎− 𝑏
(cid:104)2(cid:105)(cid:28)(cid:10) (cid:161)D(cid:65)(cid:159) (cid:24)(cid:53)(cid:161)(cid:69)
1 ∵ 𝐴𝐶
= (cid:69)
2
∴𝐴𝐷
=
𝐴𝐶
= (cid:69)
∵𝐴𝐶 𝐵1𝐶−𝐵𝐴 𝑏−𝑎
= (cid:69)
2
∴ 𝐴𝐷 = 𝑏 + −𝑎 (cid:69)
∵𝐵𝐷 𝐵𝐴 1𝐴𝐷 1 1
= + = + (cid:78)
2 2 2
(cid:15)∴ (cid:192) 𝐵𝐷 (cid:133)6𝑎-3(cid:19)(cid:79) 𝑏 (cid:157)−(cid:69) 𝑎 (cid:43)(cid:44) 𝑎 (cid:10)(cid:52) 𝑏 (cid:53)(cid:69)(cid:161)E(cid:101)F(cid:52)(cid:146)(cid:224)(cid:40) (cid:140)(cid:69)(cid:81) = (cid:78)
▱𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐷 𝐵𝐸 𝐷𝐹
(1)(cid:52)(cid:157)(cid:53)(cid:62)(cid:63)(cid:22)(cid:23) (cid:24)(cid:307)(cid:22)(cid:23)(cid:128)(cid:264)(cid:308)(cid:10) =__________(cid:84)
(2)(cid:157)(cid:53)(cid:72) (cid:34)(cid:35)(cid:24)𝐴(cid:22)𝐵(cid:23)−𝐵(cid:65)𝐶(cid:10)__________(cid:84) 𝐴𝐵−𝐵𝐶
(3)(cid:260) =𝐵𝐶(cid:69) = (cid:69) = (cid:69)(cid:42) (cid:69) (cid:69) (cid:47)(cid:48) =__________(cid:78)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)𝐴𝐵(cid:19)(1𝑎) 𝐴(cid:84)𝐷 𝑏 𝐵𝐸 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝐷𝐸
(2) (cid:90) (cid:84)𝐷𝐵
𝐴𝐷 𝐷𝐴(3) + + (cid:78)
(cid:15)(cid:55)−𝑏(cid:167)(cid:19)𝑎(cid:104)1𝑐(cid:105)(cid:301)(cid:42)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:24)(cid:41)(cid:51)(cid:114)(cid:29)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:112)(cid:103)(cid:60)(cid:28)(cid:177)(cid:95)(cid:84)
(cid:104)2(cid:105)(cid:91)(cid:92)(cid:34)(cid:35)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:36)(cid:94)(cid:173)(cid:176)(cid:177)(cid:95)(cid:84)
(cid:104)3(cid:105)(cid:301)(cid:42)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:112)(cid:103)(cid:60)(cid:28)(cid:177)(cid:95)(cid:78)
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:104)1(cid:105)(cid:28)(cid:10) (cid:158)(cid:159)(cid:135) (cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:69)
= (cid:69) ∵(cid:69) 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝐴 𝐷 𝐵𝐶=𝐴𝐷∥𝐶𝐵 = (cid:69)
(cid:207)∴(cid:165)𝐴(cid:166)𝐵−(cid:102)𝐵(cid:10)𝐶 𝐴(cid:84)𝐵−𝐴𝐷 𝐷𝐵
(cid:104)2(cid:105)(cid:28)(cid:10)(cid:157)𝐷(cid:53)𝐵(cid:72) (cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:65) (cid:90) (cid:69)
(cid:207)(cid:165)(cid:166)(cid:102)(cid:10) (cid:90)𝐵𝐶(cid:84) 𝐴𝐷 𝐷𝐴
(cid:104)3(cid:105)(cid:28)(cid:10) 𝐴 𝐷 𝐷=𝐴 + (cid:69) = + (cid:69)
= ∵ +𝐷𝐸 +𝐷𝐴 =𝐴𝐸 +𝐴𝐸 +𝐴(cid:69)𝐵 𝐵𝐸
(cid:207)∴(cid:165)𝐷(cid:166)𝐸(cid:102)(cid:10)𝐷𝐴 +𝐴𝐵 +𝐵(cid:78)𝐸 −𝑏 𝑎 𝑐
(cid:15)(cid:161)(cid:181)(cid:19)(cid:195)(cid:20)−𝑏(cid:183)(cid:184)𝑎(cid:61)(cid:157)𝑐−(cid:309)(cid:310)(cid:61)(cid:157)(cid:69)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:24)(cid:41)(cid:51)(cid:69)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:112)(cid:103)(cid:120)(cid:44)(cid:185)(cid:69)(cid:28)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:191)(cid:65)(cid:186)(cid:187)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:112)(cid:103)(cid:78)
【题型7 重心性质在平面向量中的应用】
(cid:15)(cid:59)7(cid:19)(cid:104)23-24(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:140)·(cid:140)(cid:153)(cid:311)(cid:312)·(cid:155)(cid:53)(cid:105)(cid:79)(cid:157)(cid:69) (cid:101) (cid:65) (cid:24)(cid:159) (cid:101) (cid:140)(cid:24)(cid:53)(cid:40)(cid:69) (cid:101) (cid:73)(cid:162)(cid:141)
(cid:161)G(cid:69)(cid:219)(cid:220) (cid:69)(cid:64) = (cid:69) = (cid:78) 𝐴𝐷 𝐵𝐸 △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐸
𝐷𝐸 𝐴𝐵 𝑎 𝐴𝐶 𝑏
(1)(cid:42)(cid:313)(cid:42) (cid:69) (cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23) (cid:174) (cid:84)
(2)(cid:52)(cid:157)(cid:53)(cid:69)𝑎 (cid:62)𝑏(cid:63)(cid:22)(cid:23) 𝐵(cid:52)𝐷 (cid:174)𝐵𝐺(cid:85)(cid:22)(cid:140)(cid:24)(cid:55)(cid:22)(cid:23)(cid:78)(cid:104)(cid:126)(cid:214)(cid:60)(cid:164)(cid:61)(cid:112)(cid:69)(cid:255)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:61)(cid:157)(cid:217)(cid:218)(cid:69)(cid:128)(cid:164)(cid:197)(cid:251)(cid:252)(cid:105)
1 𝐴1𝐺 𝑎 𝑏 2 1
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(1) = (cid:69) = +
2 2 3 3
(2)(cid:193)(cid:28)(cid:167)(cid:157)(cid:69) 𝐵𝐷 = 𝑏− 𝑎 + 𝐵𝐺 (cid:78) − 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:104)1(cid:105)𝐴(cid:91)𝐺(cid:92)(cid:34)𝐴𝑀(cid:39)(cid:22)𝐴(cid:23)𝑁(cid:31)(cid:32)(cid:112)(cid:103)(cid:177)(cid:95)(cid:60)(cid:63)(cid:165)(cid:166)(cid:84)
(cid:104)2(cid:105)(cid:91)(cid:92)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:314)(cid:195)(cid:36)(cid:27)(cid:237)(cid:35)(cid:60)(cid:28)(cid:177)(cid:95)(cid:78)
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:104)1(cid:105) (cid:69) (cid:55)(cid:139)(cid:65)(cid:159) (cid:69) (cid:140)(cid:24)(cid:53)(cid:40)(cid:69)
(cid:65) (cid:24)(cid:49)∵𝐴(cid:50)𝐷(cid:69)𝐵𝐸(cid:65) 𝐵(cid:24)𝐶(cid:53)(cid:38)𝐴𝐶(cid:40)(cid:69)
∴𝐺 △𝐴𝐵𝐶 𝐷𝐸 △𝐴𝐵𝐶2 1
= (cid:69) = (cid:69)
3 2
∴𝐵𝐺 𝐵𝐸 𝐸𝐷 𝐴𝐵
1
= (cid:69)
→ 2→
∴𝐸𝐷 𝑎
1
=
→ 2→
∴𝐷𝐸 = − 𝑎 + = + (cid:69)
∵𝐵𝐸 𝐵𝐴 𝐴1𝐸 𝐵𝐴 𝐴𝐶
= + (cid:69)
→ → 2→
∴𝐵𝐸 −𝑎 𝑏
2 1 2 1
= + = + (cid:69)
→ 3 → 2→ 3→ 3→
∴𝐵𝐺 −𝑎 𝑏1 − 𝑎 𝑏 1 1 1 1
= = + = = (cid:78)
2 2 2 2 2
𝐵 (cid:104) 𝐷 2(cid:105)(cid:61) 𝐴𝐷 (cid:157)−(cid:79) 𝐴𝐵 (cid:99)(cid:10) 𝐴𝐵 (cid:69) 𝐴𝐶 (cid:177)−(cid:102) 𝐴 (cid:74) 𝐵 (cid:60)(cid:84) 𝐴𝐶− 𝐴𝐵 𝑏− 𝑎
𝐴𝑀 𝐴𝑁
= + (cid:78)
∴(cid:15)𝐴(cid:161)𝐺(cid:181)(cid:19)𝐴𝑀(cid:182)(cid:20)𝐴(cid:183)𝑁(cid:184)(cid:196)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:28)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:191)(cid:65)(cid:235)(cid:212)(cid:31)(cid:42)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:112)(cid:103)(cid:78)
(cid:15)(cid:192)(cid:133)7-1(cid:19)(cid:104)24-25(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:140)·(cid:140)(cid:153)·(cid:211)(cid:56)(cid:212)(cid:213)(cid:105)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:43)(cid:44) (cid:53)(cid:69)(cid:161) (cid:101) (cid:55)(cid:139)(cid:52)(cid:159) (cid:174) (cid:140)(cid:69)
(cid:69)(cid:81) (cid:315)(cid:297) (cid:24)(cid:49)(cid:50) (cid:78) △𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐷𝐸∥
𝐵𝐶 𝐷𝐸 △𝐴𝐵𝐶 𝐺
(1)(cid:64) = (cid:69) =____________(cid:104)(cid:42)(cid:22)(cid:23) (cid:47)(cid:48)(cid:105)(cid:84)
(2)(cid:79)(cid:80)𝐵𝐶 𝑎 =𝐷𝐸 (cid:69) =12(cid:69)(cid:60)(cid:159) (cid:24)(cid:82)𝑎(cid:78)
∠𝐴𝐶𝐷2 ∠𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(1)
3
𝑎
(2)4 6
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:183)(cid:184)(cid:196)(cid:73)(cid:234)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:24)(cid:173)(cid:36)(cid:72)(cid:41)(cid:51)(cid:69)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:49)(cid:50)(cid:24)(cid:41)(cid:51)(cid:69)(cid:114)(cid:29)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:32)(cid:69)(cid:292)(cid:46)(cid:31)(cid:42)(cid:160)(cid:44)
(cid:185)(cid:161)(cid:65)(cid:28)(cid:165)(cid:195)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:191)(cid:78)(cid:104)1(cid:105)(cid:219)(cid:220) (cid:128)(cid:316)(cid:82)(cid:162) (cid:141)(cid:161) (cid:69)(cid:149) (cid:69) (cid:95)(cid:75) = (cid:69)(cid:149)(cid:49)(cid:50)(cid:24)(cid:41)(cid:51)(cid:95)(cid:75) =
𝐴𝐺 𝐷𝐸 𝐴𝐺
2 𝐴𝐺 2 𝐵𝐶 𝐹 △𝐴𝐷𝐺∽△𝐴𝐵𝐹 △𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐹 𝐵𝐶 𝐴𝐹
(cid:69)(cid:237)(cid:172)(cid:95)(cid:60)(cid:63) = (cid:84)
3 3
(cid:104)2(cid:105)(cid:301)(cid:42)(cid:104)1(cid:105)𝐷(cid:60)𝐸(cid:63) 𝑎 (cid:24)(cid:82)(cid:69)(cid:175)(cid:91)(cid:92) (cid:177)(cid:95)(cid:60)(cid:63) (cid:24)(cid:82)(cid:78)
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:104)1(cid:105)(cid:28)(cid:10)(cid:219)𝐴(cid:220)𝐷 (cid:128)(cid:316)(cid:82)(cid:162) △(cid:141)𝐴(cid:161)𝐶𝐷(cid:78)∽△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶
𝐴𝐺 𝐵𝐶 𝐹
(cid:69)
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶 (cid:69) (cid:69)
∴△𝐴𝐷𝐺∽△𝐴𝐵𝐹 △𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶
= (cid:69) = (cid:69)
𝐴𝐷 𝐴𝐺 𝐴𝐷 𝐷𝐸
∴𝐴𝐵 𝐴𝐹 𝐴𝐵 𝐵𝐶
= = (cid:78)
𝐴𝐷 𝐴𝐺 𝐷𝐸
∴𝐴𝐵(cid:65) 𝐴𝐹 𝐵 (cid:24) 𝐶 (cid:49)(cid:50)(cid:69)
∵𝐺 △2𝐴𝐵𝐶
= (cid:69)
3
𝐴𝐺
∴𝐴𝐹 2
= = (cid:69)
3
𝐴𝐷 𝐷𝐸
∴𝐴𝐵
=
𝐵𝐶(cid:69)
∵𝐵𝐶 2𝑎
= (cid:78)
3
𝐷𝐸 𝑎
2
(cid:207)(cid:165)(cid:166)(cid:102)(cid:10) (cid:78)
3
𝑎 2
(cid:104)2(cid:105)(cid:28)(cid:10) = (cid:69) =12(cid:69)
3
𝐴𝐷
=8(cid:78)∵𝐴𝐵 𝐴𝐵
∴𝐴𝐷 = (cid:69) = (cid:69)
∵∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐵 ∠𝐶(cid:69)𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
∴△𝐴𝐶𝐷∽△𝐴𝐵𝐶
= (cid:69)
𝐴𝐶 𝐴𝐷
∴𝐴𝐵 𝐴 8 𝐶
= (cid:69)
12
𝐴𝐶
∴ = 𝐴 4 𝐶 6(cid:78)
∴𝐴𝐶(cid:15)(cid:192)(cid:133)7-2(cid:19)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:52) (cid:53)(cid:69)(cid:161) (cid:65) (cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:69)(cid:317)(cid:251) (cid:69)(cid:317)(cid:251) (cid:128)(cid:316)(cid:82)(cid:162)(cid:159) (cid:141)(cid:161) (cid:69)(cid:297)(cid:161) (cid:61) //
(cid:162)(cid:159) (cid:141)(cid:161) (cid:78) △𝐴𝐵𝐶 𝐺 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐺 𝐵𝐺 𝐴𝐶 𝐷 𝐺 𝐺𝐸 𝐵𝐶
(cid:104)1(cid:105)𝐴(cid:79)𝐶(cid:80) 𝐸= (cid:69) = (cid:69)(cid:42) (cid:101) (cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23) (cid:84)
(cid:104)2(cid:105)(cid:86) 𝐴𝐵 𝑎(cid:69) 𝐴𝐶=6𝑏(cid:69) 𝑎 =𝑏 45°(cid:87)(cid:69)(cid:60)𝐵𝐺 (cid:24)(cid:82)(cid:78)
𝐴𝐺⊥𝐵𝐷 𝐵𝐺 ∠𝐺𝐴𝐷 𝐴𝐸
2 1
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(cid:104)1(cid:105) = + (cid:84)(cid:104)2(cid:105) =4 2.
3 3
𝐵𝐺 − 𝑎 𝑏 𝐴𝐸
1 2 1
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:104)1(cid:105)(cid:149)G(cid:65)(cid:49)(cid:50)(cid:69)(cid:95)(cid:75) = (cid:69) = (cid:69) (cid:318)(cid:102) = + (cid:69)(cid:95)(cid:75) = + (cid:69) (cid:237)(cid:172)
→ 2→ → 3 → → → → → → 2→
𝐴𝐷 𝑏 𝐵𝐺 𝐵𝐷 𝐵𝐷 𝐵𝐴 𝐴𝐷 𝐵𝐷 −𝑎 𝑏
(cid:60)(cid:63) (cid:84)
→
(cid:104)2(cid:105)𝐵(cid:91)𝐺(cid:92)G(cid:65)(cid:49)(cid:50)(cid:69)(cid:60)(cid:63)DG=3(cid:69)(cid:318)(cid:102) AGD(cid:65)(cid:120)(cid:226)(cid:279)(cid:224)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:69)(cid:231)(cid:232)(cid:36)(cid:27)(cid:238)(cid:32)(cid:63)AD=3 2(cid:69)(cid:149)AD=DC(cid:69)
DC=3DE(cid:60)(cid:63)DE= 2(cid:69)(cid:73)(cid:111)(cid:177)(cid:95)(cid:78) △
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:104)1(cid:105) = + (cid:69)
→ → →
(cid:161)G(cid:65)Rt ABC(cid:24)∵(cid:49)𝐵𝐷(cid:50)(cid:69)𝐵𝐴 𝐴𝐷
∵ 1 △
AD(cid:221) AC(cid:69)
2
∴
= (cid:69) = (cid:69)
→ → → →
∵𝐴𝐵 𝑎
1
𝐴𝐶 𝑏
= (cid:69)
→ 2→
∴𝐴𝐷 𝑎
1
= +
→ → 2→
∴𝐵𝐷 −𝑎 𝑏
2 2 1
= = + )(cid:69)
→ 3 → 3 → 2→
∴𝐵𝐺 𝐵𝐷 (−𝑎 𝑏
2 1
= + (cid:78)
→ 3→ 3→
𝐵(cid:104)𝐺2(cid:105)−G𝑎(cid:65)(cid:202)𝑏(cid:224)(cid:135)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:69)
BG=2∵GD(cid:69)AD=DC(cid:69)
∴BG=6(cid:69)
∵GD=3(cid:69)
∴
(cid:69)
=45°
(cid:69)
∵𝐴𝐺⊥𝐵𝐷 ∠𝐺𝐴𝐷AG=GD=3(cid:69)
∴
= 3 +3 =3 2(cid:69)
2 2
∴𝐴𝐷// (cid:69)
∵𝐺𝐸 𝐵𝐶 1
= = (cid:69)
3
𝐷𝐸 𝐺𝐷
∴ D 𝐷𝐶 E= 𝐵 2 𝐷 (cid:69)
∴AE=AD+DE=4 2
∴(cid:15)(cid:161)(cid:181)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:183)(cid:184)(cid:196)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:101)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:101)(cid:231)(cid:232)(cid:36)(cid:27)(cid:114)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:55)(cid:40)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:36)(cid:27)(cid:84)(cid:235)(cid:212)(cid:186)(cid:187)(cid:202)(cid:224)(cid:135)
(cid:49)(cid:50)(cid:24)(cid:41)(cid:51)(cid:114)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:55)(cid:40)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:36)(cid:27)(cid:69)(cid:319)(cid:320)(cid:235)(cid:212)(cid:31)(cid:42)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:101)(cid:231)(cid:232)(cid:36)(cid:27)(cid:28)(cid:20)(cid:65)(cid:3)(cid:191)(cid:78)
(cid:15)(cid:192)(cid:133)7-3(cid:19)(cid:104)23-24(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:140)·(cid:140)(cid:153)(cid:321)(cid:322)·(cid:155)(cid:250)(cid:105)(cid:43)(cid:44)(cid:10)(cid:79)(cid:157)(cid:69) (cid:65) (cid:24)(cid:53)(cid:40)(cid:69)(cid:161) (cid:65)(cid:49)(cid:50)(cid:69)(cid:161) (cid:101) (cid:55)
(cid:139)(cid:52)(cid:159) (cid:174) (cid:140)(cid:69)(cid:158)(cid:159)(cid:135) (cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:78) 𝐴𝑀 △𝐴𝐵𝐶 𝐺 𝐷 𝐸
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐸𝐺𝐷
(1)(cid:60)(cid:229)(cid:10) (cid:84)
(2)(cid:64) =𝐷𝐸(cid:69)∥𝐴𝐶 = (cid:69)(cid:42)(cid:22)(cid:23) (cid:69) (cid:47)(cid:48) = (cid:78)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)𝐵𝐴(cid:19)(1𝑎)(cid:229)(cid:197)𝐵𝐶(cid:193)(cid:28)𝑏(cid:167)(cid:84) 𝑎 𝑏 𝐷𝐸
1
(2) (cid:78)
3
(cid:15)(cid:55) 𝑏 (cid:167)−(cid:19) 𝑎 (cid:104)1(cid:105)(cid:149)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:49)(cid:50)(cid:24)(cid:41)(cid:51)(cid:75)(cid:168) = (cid:69)(cid:149)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:24)(cid:41)(cid:51)(cid:75)(cid:168) (cid:69) (cid:69)(cid:323)(cid:63)
2 𝐴𝐺 12𝐺𝑀 1 𝐺𝐸∥𝐴𝐵 𝐷𝐺∥𝐵𝑀
= (cid:69)(cid:75)(cid:168) = (cid:69)(cid:172) = (cid:69)(cid:75)(cid:168) = (cid:69)(cid:149) (cid:69)(cid:323)(cid:63) = (cid:75)
3 2 3
𝐵𝐸:𝐸𝑀
1
𝐴𝐺:𝐺𝑀 𝐵𝐸 𝑀𝐵 1𝑀𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐸 𝐵𝐶 𝐷𝐺∥𝐵𝑀 𝐵𝐷:𝐴𝐷 𝑀𝐺:𝐴𝐺
(cid:168) = (cid:69)(cid:318)(cid:182) = = (cid:69)(cid:172) = (cid:69)(cid:323)(cid:63) (cid:69)(cid:75)(cid:168) = (cid:69)
3 3
(cid:177)𝐵(cid:95)𝐷(cid:229)(cid:197)𝐵𝐴 (cid:69) 𝐵𝐷:𝐵𝐴 𝐵𝐸:𝐵𝐶 ∠𝐷𝐵𝐸 ∠𝐴𝐵𝐶 △𝐵𝐷𝐸∽△𝐵𝐴𝐶 ∠𝐵𝐷𝐸 ∠𝐵𝐴𝐶
(cid:104)2(cid:105)(cid:149)(cid:34)𝐷(cid:39)𝐸∥(cid:22)𝐴𝐶(cid:23)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:112)(cid:103)(cid:69)(cid:177)(cid:95)(cid:60)(cid:28)(cid:84)
(cid:195)(cid:20)(cid:183)(cid:184)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:69)(cid:73)(cid:234)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:24)(cid:173)(cid:36)(cid:174)(cid:41)(cid:51)(cid:69)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:24)(cid:41)(cid:51)(cid:69)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:69) (cid:3)(cid:191)(cid:65)(cid:229)(cid:197)
(cid:69)(cid:186)(cid:187)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:112)(cid:103)(cid:78)
(cid:15)△(cid:178)𝐵𝐷(cid:28)𝐸(cid:19)∽(cid:104)△1𝐵(cid:105)𝐴𝐶 (cid:65) (cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:69)
= (cid:69) ∵𝐺 △𝐴𝐵𝐶
∴𝐴𝐺 2𝐺𝑀(cid:158)(cid:159)(cid:135) (cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:69)
∵ 𝐵(cid:69)𝐸𝐺𝐷 (cid:69)
∴ 𝐺𝐸∥𝐴𝐵 =𝐷𝐺∥𝐵𝑀
∴ 𝐵𝐸=:𝐸𝑀 (cid:69)𝐴𝐺:𝐺𝑀
∴𝐵𝐸 22𝑀𝐸
= (cid:69)
3
∴𝐵𝐸(cid:65) 𝑀𝐵 (cid:24)(cid:53)(cid:40)(cid:69)
∵𝐴𝑀 △1 𝐴𝐵𝐶
= (cid:69)
2
∴𝑀𝐵 𝐵𝐶
1
= (cid:69)
3
∴ 𝐵𝐸 𝐵𝐶(cid:69)
∵ 𝐷𝐺∥𝐵𝑀 (cid:69)
∴△𝐴𝐷𝐺=∽△𝐴𝐵𝑀(cid:69)
∴𝐴𝐷:𝐴𝐵 =𝐴𝐺:𝐴𝑀(cid:69)
∴G𝐵𝐷(cid:65):𝐴𝐷 𝑀(cid:24)𝐺:𝐴(cid:49)𝐺(cid:50)(cid:69)
∵ △1𝐴𝐵𝐶
= (cid:69)
2
∴𝑀𝐺 𝐴𝐺
1
= (cid:69)
2
∴𝐵𝐷 𝐴𝐷
1
= (cid:69)
3
∴𝐵𝐷 𝐵𝐴 1
= = (cid:69)
3
∴𝐵𝐷:𝐵𝐴= 𝐵𝐸:𝐵𝐶(cid:69)
∵∠𝐷𝐵𝐸 ∠𝐴𝐵𝐶 (cid:69)
∴△𝐵𝐷𝐸=∽△𝐵𝐴𝐶
∴∠𝐵𝐷𝐸 (cid:69)∠𝐵𝐴𝐶
∴(cid:104)𝐷2𝐸(cid:105)∥𝐴𝐶 = (cid:69) = (cid:69)
=∵ 𝐵𝐴(cid:69)𝑎 𝐵𝐶 𝑏
∴𝐴𝐶 𝑏−𝑎 (cid:69)
∵△𝐵𝐷𝐸=∽△𝐵𝐴𝐶=1:3(cid:69)
∴𝐷𝐸:𝐴𝐶1 𝐵𝐷:𝐵𝐴
= (cid:69)
3
∴𝐷𝐸 𝐴𝐶(cid:69)
∵𝐷𝐸∥𝐴𝐶1 1
= = (cid:69)
3 3
∴𝐷𝐸 𝐴𝐶 𝑏−𝑎
1
(cid:207)(cid:165)(cid:166)(cid:102)(cid:10) (cid:78)
3
𝑏−𝑎
【题型8 平行线分线段成比例在在平面向量中的应用】
5
(cid:15)(cid:59)8(cid:19)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)ABCD(cid:24)(cid:159)AD(cid:140)(cid:24)(cid:66)(cid:161)(cid:69)(cid:81) = (cid:69)CE(cid:162)BD(cid:161)E(cid:69)BF(cid:221)15(cid:78)
3
𝐴𝐸
(cid:104)1(cid:105)(cid:60)DF(cid:24)(cid:82)(cid:84) 𝐸𝐷
(cid:104)2(cid:105)(cid:79)(cid:80) (cid:221) (cid:69) (cid:221) (cid:69)(cid:42) (cid:101) (cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23) (cid:78)
𝐵𝐴 𝑎 𝐴𝐷 𝑏 𝑎 𝑏 𝐶𝐹
45 3 8
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(cid:104)1(cid:105) (cid:84)(cid:104)2(cid:105) =
8 11 11
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:104)1(cid:105)(cid:301)(cid:42)(cid:34)(cid:35)(cid:158)𝐶𝐹(cid:159)(cid:135)(cid:24)𝑏(cid:41)−(cid:51)𝑎(cid:114)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:55)(cid:40)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:36)(cid:27)(cid:29)(cid:323)(cid:252)(cid:60)(cid:28)(cid:177)(cid:95)(cid:84)
(cid:104)2(cid:105)(cid:301)(cid:42)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:112)(cid:103)(cid:60)(cid:63) (cid:69)(cid:95)(cid:75)(cid:251)(cid:252)(cid:78)
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:104)1(cid:105) (cid:158)(cid:159)(cid:135)𝐶𝐸ABCD(cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:69)
AD BC(cid:69)AD(cid:221)BC(cid:69)∵
∴ ∥ 5
= (cid:69)
3
𝐴𝐸
∵A𝐷𝐸D BC
∵ ∥ 3
= = (cid:104)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:55)(cid:40)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:36)(cid:27)(cid:24)(cid:323)(cid:252)(cid:105)(cid:69)
8
𝐷𝐸 𝐷𝐹
∴𝐵𝐶 3 𝐹𝐵
=
15 8
𝐷𝐹
∴
45
DF(cid:221) (cid:84)
8
∴(cid:104)2(cid:105) (cid:158)(cid:159)(cid:135)ABCD(cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:69)
AD B∵C(cid:69)AB CD(cid:69)AB(cid:221)CD(cid:69)AD(cid:221)BC(cid:69)
∴ ∥= = (cid:69)∥
∴𝐶𝐷 5𝐵𝐴 𝑎
= (cid:69) (cid:221)
3
𝐴𝐸
∵𝐸𝐷 3 𝐴𝐷 𝑏
=
8
𝐸𝐷
∴𝐴𝐷3
= (cid:69)
8
∴𝐸𝐷 𝑏
3
= + = (cid:69)
8
∴𝐶𝐸 𝐸𝐷
3
𝐷𝐶 𝑏−𝑎
= = (cid:69)
8
𝐸𝐹 𝐷𝐸
∵𝐶𝐹 𝐶
8
𝐵
CF(cid:221) CE(cid:69)
11
∴ 3 8
= (cid:78)
11 11
∴(cid:15) 𝐶 (cid:161) 𝐹 (cid:181)(cid:19) 𝑏 (cid:195)−(cid:20)(cid:183) 𝑎 (cid:184)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:24)(cid:41)(cid:51)(cid:69)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:55)(cid:40)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:36)(cid:27)(cid:29)(cid:323)(cid:252)(cid:120)(cid:44)(cid:185)(cid:69)(cid:28)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:191)(cid:65)
(cid:186)(cid:187)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:112)(cid:103)(cid:60)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:78)
(cid:15)(cid:192)(cid:133)8-1(cid:19)(cid:104)22-23(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:140)·(cid:140)(cid:153)(cid:324)(cid:201)·(cid:155)(cid:53)(cid:105)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:52) (cid:53)(cid:69)(cid:161)D(cid:101)E(cid:55)(cid:139)(cid:52)(cid:159) (cid:101) (cid:140)(cid:69)(cid:79)(cid:80)
2 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶
(cid:69)(cid:81) = (cid:78)
3
𝐷𝐸∥𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐵𝐶
(1)(cid:79)(cid:80) =6(cid:69)(cid:60) (cid:24)(cid:82)(cid:84)
𝐴𝐶 𝐶𝐸
(2)(cid:64) = (cid:69) = (cid:69)(cid:60) (cid:104)(cid:42)(cid:22)(cid:23) (cid:69) (cid:47)(cid:48)(cid:105)(cid:78)
⃑
(cid:15)(cid:165)(cid:166)𝐴𝐵(cid:19)(1𝑎)2 𝐴𝐶 𝑏 𝐷𝐸 𝑎 𝑏
2
(2) ( )
3
(cid:15)(cid:55) 𝑏 (cid:167)−(cid:19) 𝑎 (cid:104)1(cid:105)(cid:149)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:325)(cid:40)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:75) (cid:24)(cid:82)(cid:83)(cid:84)
(cid:104)2(cid:105)(cid:301)(cid:42)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:112)(cid:103)(cid:28)(cid:165)(cid:78) 𝐶𝐸
2
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:104)1(cid:105) (cid:69)(cid:81) = (cid:69)
3
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐵𝐶
= (cid:69)
𝐷𝐸 𝐴𝐸
∴𝐵𝐶 𝐴
2
𝐶
= (cid:69)(cid:81) =6(cid:69)
3
∵𝐷𝐸=4𝐵(cid:69)𝐶 𝐴𝐶
∴𝐴𝐸= =2
∴(cid:104)𝐶2𝐸(cid:105) 𝐴𝐶−=𝐴𝐸(cid:69) = (cid:69)
=∵𝐴𝐵 𝑎 =𝐴𝐶 (cid:69)𝑏
∴𝐵𝐶 𝐴𝐶−𝐴𝐵 𝑏−𝑎2
(cid:69)(cid:81) = (cid:78)
3
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐵𝐶
2 2
= = ( )
3 3
∴(cid:15) 𝐷 (cid:161) 𝐸 (cid:181)(cid:19) 𝐵 (cid:195) 𝐶 (cid:20)(cid:183)(cid:184) 𝑏−(cid:196) 𝑎 (cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:55)(cid:40)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:36)(cid:27)(cid:174)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:32)(cid:69)(cid:186)(cid:187)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:112)(cid:103)(cid:174)(cid:34)(cid:35)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:36)(cid:94)(cid:65)(cid:28)(cid:190)(cid:246)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:191)(cid:78)
(cid:15)(cid:192)(cid:133)8-2(cid:19)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135) (cid:53)(cid:69)(cid:161) (cid:65)(cid:159) (cid:24)(cid:53)(cid:161)(cid:69) (cid:72) (cid:73)(cid:162)(cid:141)(cid:161) (cid:69)(cid:64) = (cid:69) =
(cid:69)(cid:70)(cid:71) (cid:52) (cid:85)(cid:22)(cid:140)(cid:24)(cid:55)(cid:22)(cid:23)(cid:65) 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 (cid:69)(cid:52) 𝐸(cid:85)(cid:22)𝐵(cid:140)𝐶(cid:24)(cid:55)(cid:22)(cid:23)(cid:65)𝐷𝐸 𝐴 𝐶 (cid:104)(cid:55)(cid:139)𝐹(cid:42) (cid:69)𝐴(cid:47)𝐵(cid:48)(cid:105)𝑎 (cid:78)𝐵𝐶
𝑏 𝐹𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝑎 𝑏
2 1
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)
3 3
− 𝑎 𝑏
2 2
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:91)(cid:92)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:24)(cid:41)(cid:51)(cid:75)(cid:168) = = (cid:69)(cid:251)(cid:46) (cid:102) (cid:53)(cid:161)(cid:323)(cid:63) (cid:69)(cid:75)(cid:168) = (cid:69) =
3 3
𝐴𝐷 𝐷𝐹 𝐴𝐹
1 𝐸𝐶 𝐸𝐹 𝐹𝐶 𝐸 𝐵𝐶 𝐹𝐺∥𝐸𝐶 𝐹𝐺 𝐸𝐶 𝐷𝐺
(cid:69)(cid:74)(cid:114) = (cid:69) = (cid:237)(cid:172)(cid:75)(cid:168)(cid:251)(cid:252)(cid:78)
3
𝐷𝐶 𝐹𝐺 𝐵𝐶 𝐹𝐻 𝐺𝐷
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:79)(cid:157)(cid:69) (cid:52) (cid:85)(cid:22)(cid:140)(cid:24)(cid:55)(cid:22)(cid:23)(cid:102) (cid:69)(cid:52) (cid:85)(cid:22)(cid:140)(cid:24)(cid:55)(cid:22)(cid:23)(cid:65) (cid:69)
𝐹𝐷 𝐴𝐵 𝐹𝐻 𝐵𝐶 𝐹𝐺
(cid:158)(cid:159)(cid:135) (cid:102)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:69)
∵ 𝐴(cid:69)𝐵𝐶𝐷
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶
= = (cid:69)
𝐴𝐷 𝐷𝐹 𝐴𝐹
∴𝐸𝐶(cid:102) 𝐸𝐹(cid:53)(cid:161) 𝐹 (cid:69) 𝐶
∵𝐸 𝐵𝐶1 1
= = (cid:69)
2 2
∴𝐸𝐶 𝐵𝐶 2 𝐴𝐷
= = (cid:69)
1
𝐷𝐹 𝐴𝐷
∴𝐸𝐹 𝐸𝐶(cid:69)
∴𝐹𝐺∥𝐸𝐶 2
= = = (cid:69)
3
𝐹𝐺 𝐷𝐺 𝐷𝐹
∴𝐸𝐶 𝐷𝐶 𝐷𝐸2 2
= (cid:69) = (cid:69)
3 3
∴𝐹𝐺 𝐸𝐶 𝐷𝐺 𝐷𝐶
2 1 1 1 2 2
= = = (cid:69) = = (cid:69)
3 2 3 3 3 3
∴𝐹𝐺 ⋅ 𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝑏 𝐷𝐺 𝐴𝐵 𝑎
2
= = (cid:69)
3
∴𝐹𝐻 𝐺𝐷 − 𝑎 2 1
(cid:52) (cid:85)(cid:22)(cid:140)(cid:24)(cid:55)(cid:22)(cid:23)(cid:102) (cid:69)(cid:52) (cid:85)(cid:22)(cid:140)(cid:24)(cid:55)(cid:22)(cid:23)(cid:65) (cid:69)
3 3
∴𝐹𝐷 𝐴𝐵 2 1 − 𝑎 𝐵𝐶 𝑏
(cid:207)(cid:165)(cid:166)(cid:102)(cid:10) (cid:69) (cid:78)
3 3
(cid:15)(cid:161)(cid:181)(cid:19)(cid:195)(cid:20)−(cid:183)𝑎(cid:184)(cid:196)𝑏 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:32)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:24)(cid:41)(cid:51)(cid:69)(cid:235)(cid:212)(cid:54)(cid:42)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:173)(cid:176)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:40)(cid:56)(cid:65)(cid:28)(cid:165)(cid:195)(cid:20)(cid:24)
(cid:3)(cid:191)(cid:78)
(cid:15)(cid:192)(cid:133)8-3(cid:19)(cid:79)(cid:157)(cid:69) (cid:101) (cid:65) (cid:24)(cid:159) (cid:140)(cid:24)(cid:161)(cid:69) (cid:101) (cid:55)(cid:139)(cid:65)(cid:159) (cid:101) (cid:140)(cid:24)(cid:161)(cid:69)(cid:81)(cid:97)(cid:98) = = (cid:69)
// (cid:69) // (cid:78)𝐷 𝐸 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐹 𝐺 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐸𝐵
𝐷𝐹 𝐵𝐶 𝐸𝐺 𝐴𝐶
(cid:104)1(cid:105)(cid:60)(cid:229)(cid:10)(cid:158)(cid:159)(cid:135) (cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:84)
(cid:104)2(cid:105)(cid:317)(cid:251) (cid:69)(cid:64) 𝐹𝐷=𝐵𝐺(cid:69) = (cid:69)(cid:313)(cid:42)(cid:22)(cid:23) (cid:101) (cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23) (cid:78)
𝐷𝐺 𝐴𝐹1 𝑎 𝐶𝐺 𝑏 1 𝑎 𝑏 𝐷𝐺
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(cid:104)1(cid:105) = (cid:84)(cid:104)2(cid:105) =2 +
3 2
𝐵𝐺
𝐵𝐶 𝐷𝐺 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:104)1(cid:105)(cid:149)AD=DE=EB(cid:69)DF BC(cid:69)EG AC(cid:69)(cid:91)(cid:92)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:55)(cid:40)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:36)(cid:27)(cid:69)(cid:302)(cid:75) = (cid:69)(cid:103)(cid:95)(cid:173)(cid:36)
𝐴𝐹 𝐵𝐺
FG AB(cid:69)(cid:177)(cid:95)(cid:229)(cid:197)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:84) ∥ ∥ 𝐴𝐶 𝐵𝐶
(cid:104)2∥(cid:105)(cid:149)DF BC(cid:69)FG AB(cid:69)(cid:91)(cid:92)(cid:104)1(cid:105)(cid:53)(cid:40)(cid:56)(cid:24)(cid:3)(cid:199)(cid:29)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:28)(cid:112)(cid:177)(cid:95)(cid:60)(cid:75)(cid:165)(cid:166)(cid:78)
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:104)∥1(cid:105)(cid:229)(cid:197)∥(cid:10) = = (cid:69)
1 ∵𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐸𝐵
= = (cid:84)
3
𝐴𝐷 𝐵𝐸
∴𝐴𝐵 // 𝐴𝐵(cid:69) // (cid:69)
∵𝐷𝐹 𝐵𝐶 𝐸1𝐺 𝐴𝐶 1
= = (cid:69) = = (cid:69)
3 3
𝐴𝐹 𝐴𝐷 𝐵𝐺 𝐵𝐸
∴𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐵
=
𝐴𝐹 𝐵𝐺
∴𝐴𝐶
//A
𝐵𝐶
B
∴𝐹𝐺(cid:233) //
(cid:158)∵(cid:159)𝐷𝐹(cid:135)𝐵𝐶 (cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:78)
∴(cid:104)2(cid:105) 𝐹𝐷=𝐵𝐺(cid:69) = (cid:69)
∵𝐴𝐹 𝑎 𝐶3𝐺 𝑏
=3 (cid:69) = (cid:69)
2
∴𝐴𝐶 𝑎 𝐶𝐵 𝑏
3
= + =3 + (cid:69)
2
∴𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐶𝐵 𝑎 𝑏
2
(cid:177)(cid:10) = =2 + (cid:84)
3
𝐷𝐵 𝐴𝐵 𝑎 𝑏
1 1
(cid:207)(cid:10) = = 2 + =2 + (cid:78)
2 2
(cid:15)(cid:161)
𝐷
(cid:181)
𝐺
(cid:19)
𝐷
(cid:182)
𝐵 (cid:20)−𝐵
(cid:183)
𝐺
(cid:184)(cid:196)(cid:34)
𝑎
(cid:39)(cid:22)
𝑏−(cid:23)(cid:24) 𝑏
(cid:44)(cid:185)
𝑎
(cid:114)(cid:29)
𝑏
(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:55)(cid:40)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:36)(cid:27)(cid:78)(cid:182)(cid:20)(cid:254)(cid:83)(cid:290)(cid:53)(cid:69)(cid:4)(cid:93)(cid:186)(cid:187)(cid:25)(cid:135)(cid:251)(cid:46)(cid:326)
(cid:327)(cid:24)(cid:54)(cid:42)(cid:78)
【题型9 求作平面向量】
(cid:15)(cid:59)9(cid:19)(cid:104)23-24(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:140)·(cid:140)(cid:153)(cid:249)(cid:35)·(cid:155)(cid:53)(cid:105)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:52)(cid:204)(cid:135) (cid:53)(cid:69) (cid:69) (cid:72) (cid:162)(cid:141)(cid:161)O(cid:69)
=1:2. 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐷
𝐴𝑂:𝑂𝐶
(1)(cid:64) = (cid:69) = (cid:69)(cid:163)(cid:42)(cid:22)(cid:23) (cid:101) (cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23) (cid:84)
𝐴𝐵 𝑎 𝐴𝐷 7𝑏 3 𝑎 𝑏 𝑂𝐷
(2)(cid:304)(cid:248)(cid:305)(cid:69)(cid:175)(cid:60)(cid:61)(cid:10) + + (cid:104)(cid:279)(cid:220)(cid:61)(cid:52)(cid:157)(cid:53)(cid:105)
2 2
1 1 𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(1) =
3 3
𝑂𝐷 𝑏− 𝑎
7 3 1
(2) + + =2 (cid:69)(cid:61)(cid:157)(cid:193)(cid:28)(cid:167)
2 2 2
(cid:15)(cid:55)(cid:167)𝑎 (cid:19)𝑏(cid:182)−(cid:20)(cid:183)𝑎(cid:184)(cid:196)𝑏(cid:34)(cid:39)(cid:22)𝑎−(cid:23)𝑏(cid:24)(cid:44)(cid:185)(cid:78)
1
(cid:104)1(cid:105)(cid:149) (cid:69) =1:2(cid:69)(cid:95)(cid:75) = = (cid:69)(cid:91)(cid:92) = = + (cid:60)(cid:28)(cid:177)(cid:95)(cid:84)
3
𝑂𝐷 𝐴𝑂
(cid:104)2(cid:105)(cid:301)𝐴(cid:42)𝐷(cid:34)∥𝐵(cid:39)𝐶(cid:22)(cid:23)𝐴𝑂(cid:24):𝑂(cid:31)𝐶(cid:32)(cid:112)(cid:103)(cid:60)(cid:28)(cid:177) 𝐵 (cid:95) 𝐷 (cid:60)𝐴(cid:75)𝐶(cid:165)(cid:166)(cid:78) 𝑂𝐷 𝐵𝐷 𝐵𝐴 𝐴𝐷
1
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:104)1(cid:105)(cid:28)(cid:10) = (cid:69)
2
𝐴𝑂
1 ∵𝑂𝐶
= (cid:69)
3
𝐴𝑂
∴ 𝐴𝐶 (cid:69)
∵ 𝐴𝐷∥𝐵𝐶1
= = (cid:69)
3
𝑂𝐷 𝐴𝑂
∴ 𝐵𝐷 = 𝐴𝐶 (cid:69) = (cid:69)
∵ 𝐴𝐵= 𝑎(cid:69)𝐴𝐷 𝑏
∴𝐵𝐴 −1 𝑎 1 1 1
= = + = + = (cid:84)
⃗ 3 ⃗ ⃗ ⃗ 3 → → 3→ 3→
∴ 𝑂𝐷 𝐵𝐷 7 𝐵𝐴 𝐴𝐷3 −𝑎 7 𝑏 3𝑏−3𝑎 1
(cid:104)2(cid:105)(cid:28)(cid:10) + + = + =2 (cid:69)
2 2 2 2 2 2
(cid:79)(cid:157)(cid:74)(cid:48)(cid:10)∵(cid:161)E 𝑎(cid:102) 𝑏(cid:24)−(cid:53)𝑎(cid:161)(cid:69)𝑏(cid:316)(cid:82) 𝑎(cid:69)𝑏(cid:110)−(cid:75)𝑎− 𝑏 = 𝑎(cid:69)− 𝑏
𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐵𝐹
1 1
= = (cid:69) =2 =2 (cid:69)
2 2
∴ 𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝑏 𝐵𝐹 𝐴𝐵 𝑎
1
= =2 (cid:78)
2
(cid:15)∴(cid:192) 𝐴 (cid:133) 𝐹−9𝐴-1𝐸 (cid:19)(cid:79) 𝐸 (cid:157) 𝐹 (cid:69)(cid:34) 𝑎 (cid:35)−(cid:158) 𝑏 (cid:159)(cid:135) (cid:53)(cid:69)(cid:161) (cid:65) (cid:159)(cid:24)(cid:53)(cid:161)(cid:69)(cid:317)(cid:251) (cid:128)(cid:316)(cid:82)(cid:69)(cid:72) (cid:24)(cid:316)(cid:82)(cid:40)(cid:162)(cid:141)(cid:161) (cid:78)(cid:64)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐴𝐵 𝐹
= (cid:69) = (cid:78)
→
𝐷𝐴 𝑎 𝐵𝐹 𝑏
(1)(cid:164)(cid:63)(cid:74)(cid:143)(cid:72) (cid:73)(cid:120)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:10)________(cid:84)
(2)(cid:163)(cid:42)(cid:22)(cid:23) (cid:101)𝐷𝐶(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23) (cid:69)(cid:103) =________(cid:84)
(3)(cid:52)(cid:157)(cid:53)(cid:60)(cid:61)𝑎 (cid:10)𝑏 + (cid:78)𝐷𝐹(cid:104)(cid:126)(cid:214)𝐷(cid:60)𝐹(cid:164)(cid:61)(cid:112)(cid:69)(cid:255)(cid:214)(cid:164)(cid:63)(cid:251)(cid:80)(cid:105)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(1) (cid:69)𝐷𝐴 𝐷𝐶
(2) +2 𝐴𝐵 𝐵𝐹
(3)(cid:193)𝑎 (cid:28)(cid:167)𝑏(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:104)1(cid:105)(cid:91)(cid:92)(cid:120)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:36)(cid:94)(cid:173)(cid:176)(cid:328)(cid:329)(cid:84)
(cid:104)2(cid:105)(cid:91)(cid:92)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:174)(cid:7)(cid:133)(cid:238)(cid:32)(cid:84)
(cid:104)3(cid:105)(cid:91)(cid:92)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:174)(cid:7)(cid:133)(cid:238)(cid:32)(cid:78)
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:104)1(cid:105)(cid:72) (cid:73)(cid:120)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:10) (cid:69) (cid:69)
(cid:207)(cid:165)(cid:166)(cid:102)(cid:10) (cid:69)𝐷𝐶(cid:78) 𝐴𝐵 𝐵𝐹
(cid:104)2(cid:105) =𝐴𝐵 +𝐵𝐹 = +2 (cid:69)
(cid:207)(cid:165)(cid:166)𝐷(cid:102)𝐹(cid:10)𝐷+𝐴2 (cid:78)𝐴𝐹 𝑎 𝑏
(cid:104)3(cid:105) +𝑎 =𝑏 + = (cid:69)
∵𝐷𝐴 𝐷𝐶 𝐷𝐴 𝐴𝐵 𝐷𝐵
(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:317)(cid:251) (cid:69) (cid:177)(cid:102)(cid:74)(cid:60)(cid:78)
∴(cid:15)(cid:161)(cid:181)(cid:19)(cid:195)(cid:20)𝐷(cid:183)𝐵(cid:184)𝐷(cid:196)𝐵(cid:22)(cid:23)(cid:177)(cid:330)(cid:143)(cid:222)(cid:223)(cid:174)(cid:85)(cid:22)(cid:24)(cid:23)(cid:69)(cid:73)(cid:120)(cid:22)(cid:23)(cid:177)(cid:85)(cid:22)(cid:73)(cid:88)(cid:81)(cid:71)(cid:73)(cid:120)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:174)(cid:69)(cid:253)(cid:198)
(cid:27)(cid:28)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:73)(cid:3)(cid:188)(cid:189)(cid:69)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:112)(cid:238)(cid:32)(cid:7)(cid:133)(cid:65)(cid:28)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:191)(cid:78)
1
(cid:15)(cid:192)(cid:133)9-2(cid:19)(cid:104)23-24(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:140)·(cid:140)(cid:153)(cid:277)(cid:278)·(cid:155)(cid:53)(cid:105)(cid:43)(cid:44)(cid:10)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:52)(cid:204)(cid:135) (cid:53)(cid:69) = (cid:69)(cid:161) (cid:65)
3
(cid:159) (cid:24)(cid:53)(cid:161)(cid:69) = , = (cid:78) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶,𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝑀
𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝑎𝐴𝐵 𝑏
(1)(cid:264)(cid:308)(cid:10) =________(cid:69) =________(cid:78)(cid:104)(cid:251)(cid:80)(cid:42) (cid:101)(cid:47)(cid:48)(cid:105)(cid:78)
𝐶𝑀 𝑀𝐴 1 5 𝑎 𝑏
(2)(cid:304)(cid:248)(cid:305)(cid:69)(cid:128)(cid:52)(cid:157)(cid:53)(cid:60)(cid:61)(cid:22)(cid:23)3 (cid:24)(cid:251)(cid:80)(cid:78)(cid:104)(cid:126)(cid:214)(cid:60)(cid:164)(cid:61)(cid:112)(cid:69)(cid:255)(cid:214)(cid:145)(cid:63)(cid:157)(cid:53)(cid:47)(cid:48)(cid:251)(cid:252)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:105)
2 2
3 3 𝑎− 𝑏 − 𝑎−𝑏
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(1) (cid:84)
2 2
− 𝑎 − 𝑎−𝑏
1
(2) + (cid:84)(cid:61)(cid:157)(cid:193)(cid:28)(cid:167)
2
𝑎 𝑏
1
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:104)1(cid:105)(cid:149)(cid:52)(cid:204)(cid:135) (cid:53)(cid:69) (cid:69) = (cid:69)(cid:95)(cid:60)(cid:75) (cid:69)(cid:227)(cid:228)(cid:149)(cid:161) (cid:65)(cid:159) (cid:24)(cid:53)(cid:161)(cid:69)(cid:60)(cid:75) (cid:69)
3
(cid:175)(cid:301)(cid:42)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:112)(cid:103)(cid:60)(cid:28)(cid:177)𝐴(cid:95)𝐵𝐶(cid:60)𝐷(cid:75) 𝐴(cid:84)𝐷∥𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝑀 𝐵𝐶 𝐶𝑀
𝑀𝐴(cid:104)2(cid:105)(cid:304)(cid:248)(cid:305)(cid:69)(cid:227)(cid:228)(cid:301)(cid:42)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:112)(cid:103)(cid:61)(cid:157)(cid:60)(cid:28)(cid:177)(cid:95)(cid:78)
1
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:104)1(cid:105)(cid:28)(cid:10) (cid:52)(cid:204)(cid:135) (cid:53)(cid:69) (cid:69) = (cid:69) = (cid:69)
3
=3 =3
(cid:69)∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝑎
∴(cid:161)𝐵𝐶(cid:65)(cid:159)𝐴𝐷(cid:24)(cid:53)𝑎(cid:161)(cid:69)
∵ 𝑀 1𝐵𝐶 3
= = (cid:84)
2 2
∴ 𝑀𝐶 𝐵𝐶 𝑎
3
(cid:177) =
2
𝐶𝑀 − 𝑎
3
= = + )= (cid:84)
2
∴ 𝑀𝐴 −𝐴𝑀 −(𝐴𝐵 𝐵𝑀 − 𝑎−𝑏
3 3
(cid:207)(cid:165)(cid:166)(cid:102)(cid:10) (cid:84) (cid:84)
2 2
− 𝑎 − 𝑎−𝑏
1 5
(cid:104)2(cid:105)3 (cid:69)
2 2
3 𝑎−5 𝑏 −5 𝑎−𝑏
=3 + (cid:69)
2 2 2
1
𝑎− 𝑏− 𝑎 𝑏
= + (cid:69)
2
𝑎 𝑏
(cid:79)(cid:157)(cid:74)(cid:48)(cid:69)(cid:225) (cid:24)(cid:53)(cid:161)E(cid:69)(cid:297)(cid:161)E(cid:61) (cid:24)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:162) (cid:141)F(cid:161)(cid:69)(cid:219)(cid:220) (cid:69)
1 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐹
(cid:177)(cid:69) = (cid:69)
2
𝐴𝐸 𝑎
(cid:69)
(cid:158)(cid:159)(cid:135) (cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:69)
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶
∴ 𝐴𝐵𝐹𝐸 1
(cid:149)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:112)(cid:103)(cid:95)(cid:75)(cid:69) = + (cid:69)
2
𝐴𝐹 𝑎 𝑏
(cid:207)(cid:157)(cid:53) (cid:177)(cid:102)(cid:74)(cid:60)(cid:78)
(cid:15)(cid:161)(cid:181)𝐴(cid:19)𝐹(cid:182)(cid:20)(cid:183)(cid:184)(cid:196)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:44)(cid:185)(cid:114)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:24)(cid:41)(cid:51)(cid:78)(cid:4)(cid:93)(cid:186)(cid:187)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:112)(cid:103)(cid:72)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:112)(cid:103)(cid:24)(cid:54)
(cid:42)(cid:65)(cid:28)(cid:182)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:191)(cid:78)
(cid:15)(cid:192)(cid:133)9-3(cid:19)(cid:104)24-25(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:140)·(cid:140)(cid:153)(cid:263)(cid:36)·(cid:211)(cid:56)(cid:212)(cid:213)(cid:105)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:52) (cid:53)(cid:69)(cid:161) (cid:102)(cid:159) (cid:24)(cid:53)(cid:161)(cid:69)(cid:64) = , =
(cid:69) △𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝑎 𝐵𝐷
𝑏(1)(cid:163)(cid:42)(cid:22)(cid:23) , (cid:47)(cid:48)(cid:99)(cid:100)(cid:22)(cid:23)(cid:10) =________(cid:84) =________(cid:84)
(2)(cid:60)(cid:61)(cid:10) 𝑎 𝑏 (cid:78)(cid:104)(cid:62)(cid:157)(cid:47)(cid:48)(cid:128)𝐴𝐵(cid:164)(cid:63)(cid:251)(cid:252)(cid:69)(cid:126)(cid:331)𝐶(cid:164)𝐵(cid:61)(cid:112)(cid:105)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(𝐵1𝐷) −𝐴𝐶(cid:84) (cid:84)
(2)(cid:178)(cid:193)(cid:28)(cid:167)𝑎−𝑏 −𝑎−𝑏
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:265)(cid:214)(cid:183)(cid:184)(cid:196)(cid:61)(cid:157)−(cid:309)(cid:310)(cid:61)(cid:157)(cid:69)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:120)(cid:44)(cid:185)(cid:161)(cid:69)
(cid:104)1(cid:105)(cid:91)(cid:92)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:112)(cid:103)(cid:69)(cid:149) = (cid:177)(cid:95)(cid:60)(cid:75) (cid:24)(cid:298)(cid:69)(cid:149)(cid:161)D(cid:102)(cid:159) (cid:24)(cid:53)(cid:161)(cid:69)(cid:72) = + (cid:177)(cid:95)(cid:60)
(cid:75) (cid:24)(cid:298)(cid:84) 𝐴𝐵 𝐴𝐷−𝐵𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐷𝐶
(cid:104)𝐶2(cid:105)𝐵(cid:61) (cid:69)(cid:81) = (cid:69)(cid:103) = (cid:84)
(cid:235)(cid:212)(cid:186)(cid:187)𝐶(cid:202)𝐸∥(cid:224)𝐵(cid:135)𝐷(cid:112)(cid:103)𝐶(cid:24)𝐸(cid:54)(cid:42)𝐵(cid:65)𝐷(cid:28)(cid:190)𝐸(cid:182)𝐴(cid:20)(cid:24)𝐵(cid:3)𝐷−(cid:191)𝐴(cid:78)𝐶
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:104)1(cid:105)(cid:149)(cid:20)(cid:93)(cid:44)(cid:69) = = (cid:69)
(cid:161)D(cid:102)(cid:159) (cid:24)(cid:53)(cid:161)(cid:69) 𝐴=𝐵 (cid:69)𝐴𝐷−𝐵𝐷 𝑎−𝑏
∵ = (cid:69)𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝑎
∴𝐶𝐷= −𝑎 = (cid:69)
∴(cid:207)𝐶(cid:165)𝐵(cid:166)(cid:102)𝐶𝐷(cid:10)−𝐵𝐷 (cid:84)−𝑎−𝑏(cid:84)
(cid:104)2(cid:105)(cid:61)(cid:157)(cid:79)𝑎(cid:99)−𝑏(cid:10)(cid:61)−𝑎−𝑏 (cid:69)(cid:81) = (cid:69)
𝐶𝐸∥𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝐵𝐷
EA=BD AC(cid:78)
∴ 【题型10 − 画出平面向量的分向量】
(cid:15)(cid:59)10(cid:19)(cid:79)(cid:157)(cid:69)E(cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)ABCD(cid:24)(cid:159)BA(cid:316)(cid:82)(cid:40)(cid:140)(cid:24)(cid:66)(cid:161)(cid:69)CE(cid:162)AD(cid:141)(cid:161)F(cid:69)(cid:162)BD(cid:141)(cid:161)G(cid:69)AE(cid:10)
AB(cid:221)1(cid:10)3(cid:69)(cid:64) (cid:221) (cid:69) (cid:221) (cid:78)
𝐵𝐴 𝑎 𝐵𝐶 𝑏(cid:104)1(cid:105)(cid:42)(cid:22)(cid:23) (cid:101) (cid:55)(cid:139)(cid:47)(cid:48)(cid:99)(cid:100)(cid:22)(cid:23)(cid:10)
(cid:221)(cid:271) (cid:271)(cid:69)𝑎 (cid:221)𝑏(cid:271) (cid:271)(cid:69) (cid:221)(cid:271) (cid:271)(cid:84)
𝐴(cid:104)𝐸2(cid:105)(cid:52)(cid:157)(cid:53)𝐸(cid:60)𝐶(cid:61)(cid:22)(cid:23) (cid:55)𝐸𝐺(cid:139)(cid:52) (cid:101) (cid:85)(cid:22)(cid:140)(cid:24)(cid:55)(cid:22)(cid:23)(cid:78)(cid:104)(cid:126)(cid:164)(cid:61)(cid:112)(cid:69)(cid:255)(cid:214)(cid:164)(cid:63)(cid:62)(cid:157)(cid:251)(cid:80)(cid:105)
𝐵𝐺 𝑎 𝑏
1 4 4 16
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(cid:104)1(cid:105) (cid:69) ﹣ (cid:69) ﹣ (cid:84)(cid:104)2(cid:105)(cid:193)(cid:28)(cid:167)
3 3 7 21
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎
1 4
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:104)1(cid:105)(cid:91)(cid:92)AE(cid:221) BA(cid:177)(cid:95)(cid:60)(cid:63) (cid:69)(cid:91)(cid:92) (cid:221) + (cid:177)(cid:95)(cid:60)(cid:63) (cid:69)(cid:304)(cid:229)(cid:197)EG(cid:221) EC(cid:69)(cid:177)(cid:95)(cid:60)(cid:63) (cid:84)
3 → 7
(cid:104)2(cid:105)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:297)(cid:161)G(cid:61)GM AB(cid:69)GN BC𝐴(cid:69)𝐸 (cid:91)(cid:92)(cid:34)𝐸(cid:35)𝐶(cid:158)𝐸(cid:159)𝐵(cid:135)𝐵(cid:112)𝐶(cid:103)(cid:177)(cid:95)(cid:60)𝐸(cid:75)𝐶(cid:165)(cid:166)(cid:78) 𝐸𝐺
∥ 1∥
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:104)1(cid:105) (cid:221) (cid:69)AE(cid:221) BA(cid:69)
3
1
∵𝐵𝐴 𝑎
(cid:221) (cid:69)
3
∴𝐴𝐸 𝑎
4
(cid:221) + (cid:69) (cid:221)﹣ (cid:69) (cid:221) (cid:69)
3
∵𝐸𝐶 𝐸𝐵 𝐵𝐶 𝐸𝐵 𝑎 𝐵𝐶 𝑏
4
(cid:221) ﹣ (cid:69)
3
∴ C 𝐸𝐶 D E 𝑏 B(cid:69) 𝑎
∵EG(cid:10)∥ CG(cid:221)EB(cid:10)CD(cid:221)4(cid:10)3(cid:69)
∴EG(cid:10)EC(cid:221)4(cid:10)7(cid:69)
∴ 4 16
(cid:221) ﹣ (cid:69)
7 21
∴𝐸𝐺 𝑏 𝑎
1 4 4 16
(cid:207)(cid:165)(cid:166)(cid:102)(cid:10) (cid:69) ﹣ (cid:69) ﹣ (cid:84)
3 3 7 21
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎
(cid:104)2(cid:105)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:297)(cid:161)G(cid:61)GM AB(cid:162)BC(cid:141)M(cid:69)GN BC(cid:162)AB(cid:141)N(cid:69)(cid:103)(cid:22)(cid:23) (cid:101) (cid:65)(cid:22)(cid:23) (cid:55)(cid:139)(cid:52) (cid:69) (cid:85)(cid:22)
(cid:140)(cid:24)(cid:55)(cid:22)(cid:23)(cid:78) ∥ ∥ 𝐵𝑁 𝐵𝑀 𝐵𝐺 𝑎 𝑏(cid:15)(cid:161)(cid:181)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:183)(cid:184)(cid:196)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:24)(cid:41)(cid:51)(cid:101)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:55)(cid:40)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:36)(cid:27)(cid:101)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:32)(cid:174)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:112)(cid:103)(cid:120)
(cid:44)(cid:185)(cid:69)(cid:235)(cid:212)(cid:186)(cid:187)(cid:140)(cid:332)(cid:44)(cid:185)(cid:65)(cid:28)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:191)(cid:78)
(cid:15)(cid:192)(cid:133)10-1(cid:19)(cid:104)22-23(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:140)·(cid:140)(cid:153)(cid:200)(cid:201)·(cid:155)(cid:53)(cid:105)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:43)(cid:44) (cid:53)(cid:69) = (cid:69) = (cid:69) (cid:69)(cid:161)D(cid:65)
2 △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐴 𝑎 𝐵𝐶 𝑏 𝐷𝐸∥𝐵𝐶
(cid:159) (cid:140)(cid:24)(cid:66)(cid:161)(cid:69) = (cid:78)
3
𝐴𝐷
𝐴𝐵 𝐷𝐵
(1)(cid:313)(cid:279)(cid:220)(cid:164)(cid:63)(cid:22)(cid:23) (cid:3)(cid:141) (cid:101) (cid:24)(cid:55)(cid:28)(cid:133)(cid:69) =______(cid:84)
(2)(cid:52)(cid:157)(cid:53)(cid:61)(cid:63)(cid:22)(cid:23)𝐴𝐸(cid:55)(cid:139)(cid:52)𝑎 (cid:101)𝑏 (cid:85)(cid:22)(cid:140)(cid:24)(cid:55)𝐴𝐸(cid:22)(cid:23)(cid:78)(cid:104)(cid:95)(cid:114)(cid:126)(cid:164)(cid:61)(cid:112)(cid:69)(cid:255)(cid:331)(cid:333)(cid:164)(cid:63)(cid:251)(cid:252)(cid:105)
2 2 𝐶𝐸 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(1)
5 5
(2)(cid:193)(cid:28)(cid:167)
𝑏− 𝑎
2 2 2 2
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:104)1(cid:105)(cid:306)(cid:304)(cid:91)(cid:92) (cid:75)(cid:168) = = (cid:69)(cid:227)(cid:228)(cid:75)(cid:168) = (cid:69)(cid:230)(cid:228)(cid:91)(cid:92) = = (cid:60)(cid:28)(cid:177)(cid:95)(cid:84)
3 5 5 5
𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐴𝐸
(cid:104)2(cid:105)(cid:297)(cid:161)E(cid:55)(cid:139)(cid:61) 𝐷𝐸∥𝐵(cid:69)𝐶(cid:61)(cid:22)(cid:23) 𝐷𝐵 𝐸(cid:174)𝐶 (cid:69)(cid:91)(cid:92)(cid:22)(cid:23) 𝐴 (cid:111) 𝐶 (cid:112)(cid:24)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:112)(cid:103) 𝐴 (cid:60) 𝐸 (cid:28)(cid:177) 𝐴 (cid:95) 𝐶 (cid:78) 𝐵𝐶−𝐵𝐴
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:104)1(cid:105) 𝐸𝐹∥𝐴𝐵 𝐹𝐸 𝐶𝐹
2 ∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶
= =
3
𝐴𝐷 𝐴𝐸
∴𝐷𝐵 𝐸𝐶
2 2
= (cid:69)(cid:177) =
5 5
𝐴𝐸
∴𝐴𝐶 2 𝐴𝐸2 𝐴𝐶 2 2 2
= = = = (cid:84)
5 5 5 5 5
∴𝐴𝐸 𝐴𝐶
2 2
𝐵𝐶−𝐵𝐴 𝑏−𝑎 𝑏− 𝑎
(cid:207)(cid:165)(cid:166)(cid:102)(cid:10) (cid:78)
5 5
(cid:104)2(cid:105)(cid:22)(cid:23) 𝑏 (cid:52)− 𝑎 (cid:101) (cid:85)(cid:22)(cid:140)(cid:24)(cid:55)(cid:22)(cid:23)(cid:55)(cid:139)(cid:102) (cid:174) (cid:78)
𝐶𝐸 𝑎 𝑏 𝐹𝐸 𝐶𝐹
(cid:15)(cid:161)(cid:181)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:183)(cid:184)(cid:196)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:111)(cid:113)(cid:31)(cid:32)(cid:69)(cid:34)(cid:35)(cid:55)(cid:40)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:69)(cid:61)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:23)(cid:120)(cid:44)(cid:185)(cid:69)(cid:272)(cid:273)(cid:31)(cid:42)(cid:22)(cid:23)(cid:111)(cid:113)(cid:112)(cid:24)
(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:112)(cid:103)(cid:65)(cid:246)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:191)(cid:78)
(cid:15)(cid:192)(cid:133)10-2(cid:19)(cid:104)22-23(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:140)·(cid:140)(cid:153)·(cid:155)(cid:53)(cid:105)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:52)(cid:120)(cid:226)(cid:204)(cid:135)ABCD(cid:53)(cid:69) (cid:69)
𝐴𝐷∥𝐵𝐶= (cid:78) =1:3(cid:78)(cid:64) = (cid:69) = (cid:78)
𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐷:𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝑎 𝐴𝐷 𝑏
(1)(cid:264)(cid:308)(cid:10) = (cid:84) = (cid:84) = (cid:84)(cid:104)(cid:42) (cid:101) (cid:47)(cid:48)(cid:105)
(2)(cid:61) (cid:52)𝐶𝐵(cid:101) (cid:85)(cid:22)𝐵(cid:140)𝐷(cid:24)(cid:55)(cid:22)𝐶(cid:23)𝐷(cid:104)(cid:126)(cid:214)(cid:60)(cid:164)𝑎(cid:61)(cid:112)𝑏(cid:69)(cid:255)(cid:214)(cid:145)(cid:63)(cid:197)(cid:198)(cid:24)(cid:251)(cid:252)(cid:105)(cid:78)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)𝐴𝐶(cid:19)(1𝑎) 𝑏 (cid:84) (cid:84) (cid:84)
(2)(cid:193)(cid:178)(cid:28)(cid:84)−3𝑏 𝑏−𝑎 −𝑎−2𝑏
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:104)1(cid:105)(cid:149)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:32)(cid:237)(cid:35)(cid:238)(cid:32)(cid:69)(cid:177)(cid:95)(cid:60)(cid:63)(cid:165)(cid:166)(cid:84)
(cid:104)2(cid:105)(cid:219)(cid:220) (cid:69)(cid:304)(cid:60)(cid:63) (cid:69)(cid:227)(cid:228)(cid:175)(cid:62)(cid:63)(cid:55)(cid:22)(cid:23)(cid:177)(cid:95)(cid:78)
(cid:15)(cid:178)(cid:28)(cid:19)(cid:104)𝐴1𝐶(cid:105)(cid:28)(cid:10)(cid:52)(cid:120)𝐴𝐶(cid:226)(cid:204)(cid:135)ABCD(cid:53)(cid:69) (cid:69) = (cid:69)
=1:3(cid:69) = 𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐷
∵𝐴𝐷:=𝐵𝐶3 =3𝐴(cid:69)𝐷 𝑏
∴𝐵𝐶= 𝐴𝐷 = 𝑏 = (cid:84)
∴𝐶𝐵+ −𝐵𝐶= −(cid:69)3𝐴𝐷 −3𝑏
∵𝐴𝐵 =𝐵𝐷 𝐴𝐷= (cid:84)
∴𝐵𝐷+ 𝐴𝐷−=𝐴𝐵 (cid:69)𝑏−𝑎
∵𝐵𝐶 =𝐶𝐷 𝐵𝐷=( = (cid:84)
∴(cid:207)𝐶(cid:165)𝐷(cid:166)(cid:102)𝐵𝐷(cid:10)−𝐵𝐶 (cid:84) 𝑏−𝑎(cid:84))−3𝑏 −(cid:84)𝑎−2𝑏
(cid:104)2(cid:105)(cid:28)(cid:10)(cid:219)−(cid:220)3𝑏 (cid:69)𝑏−(cid:297)𝑎(cid:161)−C𝑎(cid:61)−2𝑏 (cid:69)(cid:162) (cid:24)(cid:316)(cid:82)(cid:40)(cid:141)(cid:161)E(cid:69)(cid:79)(cid:157)(cid:10)
(cid:103)(cid:158)(cid:159)(cid:135) 𝐴(cid:65)𝐶(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:69)𝐶𝐸∥𝐴𝐵 𝐴𝐷
𝐴𝐵𝐶𝐸
(cid:103) = =3 (cid:69)
𝐴𝐸+ 𝐵𝐶= 𝑏(cid:69)
∵𝐴𝐵=𝐵𝐶+3 𝐴(cid:84)𝐶
∴𝐴𝐶(cid:174)𝑎 (cid:65)𝑏 (cid:52) (cid:101) (cid:85)(cid:22)(cid:140)(cid:24)(cid:55)(cid:22)(cid:23)(cid:84)
∴𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐴𝐶 𝑎 𝑏(cid:15)(cid:161)(cid:181)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:183)(cid:184)(cid:120)(cid:226)(cid:204)(cid:135)(cid:24)(cid:41)(cid:51)(cid:69)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:32)(cid:120)(cid:44)(cid:185)(cid:69)(cid:28)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:191)(cid:65)(cid:235)(cid:212)(cid:186)(cid:187)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:112)(cid:103)(cid:78)
2
(cid:15)(cid:192)(cid:133)10-3(cid:19)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:43)(cid:44)(cid:52) ABC(cid:53)(cid:69) = (cid:69) = (cid:69)(cid:161)D(cid:65)(cid:159)BC(cid:140)(cid:24)(cid:66)(cid:161)(cid:69) = (cid:78)
3
𝐵𝐷
△ 𝐴𝐵 𝑎 𝐴𝐶 𝑏 𝐶𝐷
(1)(cid:163)(cid:42) (cid:174) (cid:47)(cid:48) (cid:69)(cid:177)=______(cid:84)
(2)(cid:52)(cid:157)(cid:53)𝑎 (cid:55)𝑏(cid:139)(cid:61)(cid:63)𝐶𝐷(cid:22)(cid:23) (cid:52) (cid:101) (cid:85)(cid:22)(cid:140)(cid:24)(cid:55)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:128)(cid:55)(cid:139)(cid:42) (cid:101) (cid:47)(cid:48)(cid:78)(cid:104)(cid:164)(cid:63)(cid:251)(cid:252)(cid:69)(cid:126)(cid:214)(cid:60)(cid:164)(cid:61)(cid:112)(cid:105)(cid:78)
3 3𝐴𝐷 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:19)(1) =
5 5
𝐶𝐷 𝑎− 𝑏
3 2
(2)(cid:193)(cid:28)(cid:167)(cid:69) = (cid:69) = (cid:78)
5 5
𝐴𝑀 𝑎 𝐴𝑁 𝑏
(cid:15)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:104)1(cid:105)(cid:301)(cid:42)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:112)(cid:103)(cid:60)(cid:63) (cid:69)(cid:175)(cid:251)(cid:46)(cid:43)(cid:44)(cid:95)(cid:75)(cid:165)(cid:166)(cid:84)
(cid:104)2(cid:105)(cid:61) (cid:69) (cid:69)(cid:103) (cid:101)𝐶𝐵(cid:177)(cid:102)(cid:74)(cid:60)(cid:84)(cid:302)(cid:229)(cid:158)(cid:159)(cid:135) (cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:69)(cid:95)(cid:75) = (cid:69)
𝐷𝑀∥𝐴𝐶 𝐷𝑁∥𝐴𝐵 𝐴𝑀 𝐴𝑁 3 𝐴𝑀𝐷2𝑁 𝐴𝑀 𝐷𝑁
= (cid:69)(cid:227)(cid:228)(cid:91)(cid:92)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:55)(cid:40)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63) = (cid:69) = (cid:69)(cid:237)(cid:172)(cid:95)(cid:75)(cid:165)(cid:166)(cid:78)
5 5
𝐴(cid:15)𝑁(cid:178)(cid:28)𝐷(cid:19)𝑀(cid:104)1(cid:105)(cid:28)(cid:10) = + (cid:69) = (cid:69)𝐷𝑁 = 𝐴(cid:69)𝐵 𝐷𝑀 𝐴𝐶
= (cid:69) ∵𝐶𝐵 𝐶𝐴 𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝑎 𝐴𝐶 𝑏
∴𝐶𝐵 2𝑎−𝑏
= (cid:69)
3
𝐵𝐷
∵𝐶𝐷
3
= (cid:69)
5
∴𝐶𝐷 𝐶𝐵
3 3
= (cid:69)
5 5
∴𝐶𝐷 𝑎− 𝑏
3 3
(cid:207)(cid:165)(cid:166)(cid:102)(cid:10) = (cid:84)
5 5
(cid:104)2(cid:105)(cid:28)(cid:10)(cid:79)
𝐶
(cid:157)
𝐷
(cid:69)(cid:61)
𝑎− 𝑏
(cid:69) (cid:69)(cid:103) (cid:101) (cid:177)(cid:102)(cid:74)(cid:60)(cid:69)
(cid:69) (cid:69)𝐷𝑀∥𝐴𝐶 𝐷𝑁∥𝐴𝐵 𝐴𝑀 𝐴𝑁
∵(cid:158)𝐷𝑀(cid:159)∥(cid:135)𝐴𝐶 𝐷𝑁∥(cid:65)𝐴𝐵(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:69)
∴ = 𝐴𝑀(cid:69)𝐷𝑁 = (cid:69)
∴𝐴𝑀 𝐷(cid:69)𝑁 𝐴𝑁 (cid:69)𝐷𝑀
∵𝐷𝑀∥𝐴𝐶 𝐷3𝑁∥𝐴𝐵 2
= = (cid:69) = = (cid:69)
5 5
𝐷𝑁 𝐶𝐷 𝐷𝑀 𝐵𝐷
∴𝐴𝐵 𝐶
3
𝐵 𝐴𝐶
2
𝐵𝐶
= (cid:69) = (cid:69)
5 5
∴𝐷𝑁 𝐴𝐵 𝐷𝑀 𝐴𝐶3 2
= (cid:69) = (cid:78)
5 5
∴𝐴𝑀 𝑎 𝐴𝑁 𝑏
(cid:15)(cid:161)(cid:181)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:183)(cid:184)(cid:196)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:69)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:24)(cid:173)(cid:36)(cid:174)(cid:41)(cid:51)(cid:69)(cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:55)(cid:40)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:69)(cid:235)(cid:212)(cid:186)(cid:187)(cid:202)(cid:224)(cid:135)(cid:112)(cid:103)
(cid:65)(cid:28)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:191)(cid:78)