文档文本内容
专题 1.6 平面向量的线性运算（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:24)(cid:27)(cid:28)(cid:19)................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:19)........................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:34)(cid:35)(cid:22)(cid:23)(cid:36)(cid:27)(cid:19)........................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23)(cid:19)................................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:32)(cid:19)............................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:19)........................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:51)(cid:52)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:53)(cid:24)(cid:54)(cid:42)(cid:19)............................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:55)(cid:40)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:52)(cid:52)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:53)(cid:24)(cid:54)(cid:42)(cid:19)....................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:60)(cid:61)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:19)........................................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:62)(cid:63)(cid:34)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:22)(cid:23)(cid:19)......................................................................................................................9
知识点1 实数与向量相乘
1. (cid:64)k(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:25)(cid:69) (cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:70)(cid:71)k(cid:72) (cid:73)(cid:26)(cid:74)(cid:75)(cid:24)(cid:76)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:77)(cid:61) (cid:78)
(cid:79)(cid:80) 0(cid:69)(cid:81) 0(cid:69)𝑎(cid:70)(cid:71) (cid:24)(cid:82)(cid:83)| |𝑎=| || |(cid:84) (cid:24)(cid:85)(cid:22)(cid:10)(cid:86) >0(cid:87)(cid:69)𝑘𝑎 (cid:72) (cid:88)(cid:85)(cid:22)(cid:84)(cid:86) <0(cid:87)(cid:69)
(cid:72) (cid:89)𝑘(cid:85)≠(cid:22)(cid:78) 𝑎≠ 𝑘𝑎 𝑘𝑎 𝒌 𝒂 𝑘𝑎 𝑘 𝑘𝑎 𝑎 𝑘 𝑘𝑎
(cid:79)𝑎(cid:80) =0(cid:90) =0(cid:69)(cid:70)(cid:71) = (cid:78)
2. (cid:91)𝑘(cid:92)(cid:68)(cid:25)(cid:72)𝑎(cid:22)(cid:23)(cid:73)(cid:26)(cid:24)𝑘(cid:93)𝑎 (cid:94)𝟎(cid:69)(cid:95)(cid:44) (cid:96) (cid:78)
3. (cid:68)(cid:25)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:73)(cid:26)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:31)(cid:32)(cid:33) 𝑘𝑎 𝑎
(cid:64)m(cid:101)n(cid:102)(cid:68)(cid:25)(cid:69)(cid:103)
(cid:104)1(cid:105) ( ) =( ) (cid:84)
(cid:104)2(cid:105)𝑚( 𝑛+𝑎 ) =𝑚𝑛 𝑎+ (cid:84)
(cid:104)3(cid:105) 𝑚 +𝑛 𝑎)= 𝑚𝑎+𝑛𝑎(cid:78)
4. (cid:34)(cid:35)𝑚(cid:22)(𝑎(cid:23)(cid:36)𝑏(cid:27)(cid:10)𝑚(cid:79)𝑎(cid:80)(cid:22)𝑚𝑏(cid:23) (cid:72)(cid:106)(cid:107)(cid:22)(cid:23) (cid:34)(cid:35)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:108)(cid:52)(cid:109)(cid:66)(cid:24)(cid:68)(cid:25)m(cid:69)(cid:110) = (cid:78)
知识点2 向量的线性运算 𝑏 𝑎 𝑏 𝒎𝒂
1. (cid:22)(cid:23)(cid:111)(cid:112)(cid:101)(cid:113)(cid:112)(cid:101)(cid:68)(cid:25)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:73)(cid:26)(cid:114)(cid:29)(cid:115)(cid:116)(cid:24)(cid:117)(cid:46)(cid:31)(cid:32)(cid:118)(cid:119)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:32)(cid:78)(cid:79)3 +2 (cid:101) (cid:101)3( +
𝑎 𝑏 𝑎−2𝑏 𝑎5 )、 3 +( 3 )(cid:120)(cid:69)(cid:121)(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:32)(cid:78)
2 2
2.𝑏
(cid:66)(cid:122)
−
(cid:123)
𝑎
(cid:124)(cid:69)
𝑎−
(cid:79)(cid:80)
𝑏
(cid:101) (cid:65)(cid:125)(cid:67)(cid:126)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:69) (cid:65)(cid:34)(cid:39)(cid:127)(cid:24)(cid:66)(cid:67)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:70)(cid:71) (cid:95)(cid:114)(cid:42) (cid:101) (cid:47)(cid:48)(cid:69)(cid:128)(cid:81)(cid:129)(cid:130)(cid:131)
(cid:30)(cid:47)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:27)(cid:57) =𝑎 𝑏+ (cid:24)(cid:135)(cid:133)(cid:69)(cid:30)(cid:53)x(cid:101)y𝑐(cid:65)(cid:68)(cid:25)(cid:78) 𝑐 𝑎 𝑏
3. (cid:79)(cid:80) (cid:101) (cid:65)(cid:125)𝑐(cid:67)(cid:126)𝑥𝑎(cid:34)(cid:35)𝑦(cid:24)𝑏 (cid:22)(cid:23)(cid:69) = + ( 、是实数)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:22)(cid:23) (cid:136)(cid:65)(cid:22)(cid:23) (cid:72) (cid:24)(cid:46)(cid:57)(cid:84)(cid:137)(cid:95)
(cid:114)(cid:124)(cid:22)(cid:23)𝑎 (cid:55)𝑏(cid:28)(cid:102) (cid:101) (cid:125)(cid:67)(cid:22)(cid:23)(cid:69)𝑐(cid:138)(cid:87)𝑚(cid:69)𝑎(cid:22)(cid:23)𝑛𝑏 𝑚(cid:72)𝑛 (cid:65)(cid:22)(cid:23) (cid:55)(cid:139)(cid:52) (cid:101)𝑐(cid:85)(cid:22)(cid:140)(cid:24)(cid:55)𝑚𝑎(cid:22)(cid:23)𝑛(cid:69)𝑏 + (cid:65)(cid:22)
(cid:23) (cid:3)(cid:141) 𝑐(cid:101) (cid:24)(cid:55)𝑚(cid:28)𝑎(cid:133)(cid:78)𝑛𝑏 𝑚𝑎 𝑛𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑚𝑎 𝑛𝑏
4. 𝑐(cid:82)(cid:83)(cid:102)𝑎(cid:142)𝑏(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:118)(cid:119)(cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23)(cid:78)(cid:64) (cid:102)(cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:103)| |= (cid:78)
(cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23)(cid:143)(cid:144)(cid:25)(cid:67)(cid:84)(cid:126)(cid:88)(cid:24)(cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23)(cid:69)𝑒(cid:65)(cid:145)(cid:115)(cid:116)(cid:24)(cid:85)(cid:22)(cid:126)𝑒 (cid:88)(cid:78)𝟏(cid:146)(cid:141)(cid:147)(cid:93)(cid:106)(cid:107)(cid:22)(cid:23) (cid:69)(cid:72)(cid:148)(cid:88)(cid:85)(cid:22)(cid:24)(cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23)
(cid:77)(cid:61) (cid:78)(cid:149)(cid:68)(cid:25)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:76)(cid:69)(cid:95)(cid:44) =| | (cid:69) =1 (cid:78) 𝑎
| |
𝑎0 𝑎 𝑎 𝑎0 𝑎0 𝑎𝑎
【题型1 向量的数乘的理解】
(cid:15)(cid:59)1(cid:19)(cid:104)22-23(cid:150)(cid:151)(cid:152)·(cid:140)(cid:153)·(cid:154)(cid:155)(cid:61)(cid:156)(cid:105)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:52)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135) (cid:53)(cid:69)E(cid:101)F(cid:101)G(cid:101)H(cid:55)(cid:139)(cid:102)(cid:160)(cid:159)(cid:24)(cid:53)(cid:161)(cid:69)
(cid:72) (cid:73)(cid:162)(cid:141)(cid:161)O(cid:78)(cid:64) = (cid:69) = (cid:69)(cid:163)(cid:42)(cid:22)(cid:23) (cid:90) (cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:101) (cid:69)(cid:128)(cid:164)(cid:63)(cid:157)(cid:53)(cid:72) (cid:73)(cid:120)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:78) 𝐸𝐺
𝐹𝐻 𝐴𝐵 𝑎 𝐴𝐷 𝑏 𝑎 𝑏 𝑂𝐸 𝑂𝐹 𝑂𝐺
1
(cid:15)(cid:165)(cid:133)1-1(cid:19)(cid:43)(cid:44)(cid:106)(cid:107)(cid:22)(cid:23) (cid:69)(cid:60)(cid:61)3 (cid:101) (cid:101) (cid:78)
2
𝑎 𝑎 −2𝑎 − 𝑎
(cid:15)(cid:165)(cid:133)1-2(cid:19)(cid:104)2024·(cid:140)(cid:153)(cid:166)(cid:167)·(cid:168)(cid:169)(cid:105)(cid:43)(cid:44)(cid:52)(cid:170)(cid:135) (cid:53)(cid:69) (cid:69)(cid:161) (cid:101) (cid:55)(cid:139)(cid:65)(cid:159) (cid:101) (cid:24)(cid:53)(cid:161)(cid:69)
= (cid:69)(cid:64) = (cid:69)(cid:70)(cid:71) = (cid:78)(cid:104)(cid:42)(cid:171)𝐴𝐵(cid:24)𝐶𝐷(cid:133)(cid:172)(cid:47)𝐴(cid:48)𝐷∥(cid:105)𝐵𝐶 𝐸 𝐹 𝐴𝐵 𝐶𝐷
𝐵(cid:15)𝐶(cid:165)(cid:133)2𝐴1𝐷-3(cid:19)(cid:104)𝐴2𝐷2-23𝑎(cid:173)(cid:151)(cid:152)(cid:140)𝐸·𝐹(cid:140)(cid:153)(cid:174)(cid:175)·(cid:176)(cid:56)(cid:177)(cid:178)𝑎(cid:105)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135) (cid:69) = (cid:69)(cid:161)E(cid:52)(cid:159)
(cid:140)(cid:69) (cid:34)(cid:55) (cid:78) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐶 2𝐴𝐵 𝐵𝐶
𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐷
(1)(cid:164)(cid:63)(cid:72) (cid:73)(cid:120)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:65) (cid:84)
(2)(cid:60)(cid:61)(cid:10)𝐵𝐸 (cid:104)(cid:179)(cid:60)(cid:180)(cid:181)(cid:61)(cid:157)(cid:182)(cid:183)(cid:105)(cid:84)
(3)(cid:184)(cid:185) 𝐴(cid:69)𝐷(cid:79)−𝐷(cid:80)𝐶| |=5,| |=6(cid:69)(cid:70)(cid:71)| + |(cid:186) (cid:78)
𝐷𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐷𝐶 𝐶𝐸【题型2 向量的数乘及其运算律】
(cid:15)(cid:59)2(cid:19)(cid:79)(cid:80) =0(cid:90)(cid:187) =0(cid:69)(cid:70)(cid:71) = (cid:78)
(cid:15)(cid:165)(cid:133)2-1(cid:19)(cid:68)𝑚(cid:25)(cid:72)(cid:22)(cid:23)𝑎(cid:73)(cid:26)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)𝑚(cid:31)𝑎 (cid:32)(cid:33)(cid:10)(cid:64) (cid:101) (cid:102)(cid:68)(cid:25)(cid:69)(cid:106)(cid:107)(cid:22)(cid:23) (cid:101) (cid:69)(cid:103)
(cid:104)1(cid:105) ( )= (cid:78) 𝑚 𝑛 𝑎 𝑏
(cid:104)2(cid:105)𝑚( 𝑛+𝑎 ) = (cid:78)
𝑚 𝑛 𝑎
(cid:104)3(cid:105) + = (cid:78)
𝑚 𝑎 𝑏
1
(cid:15)(cid:165)(cid:133)2-2(cid:19)(cid:188)(cid:32)(cid:10)2 (3 )= ； ( )= (cid:84)5 2 +3 = (cid:78)
2
⋅ 𝑎 − 𝑎−4𝑏 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:165)(cid:133)2-3(cid:19)(cid:79)(cid:80)(cid:22)(cid:23) (cid:101) (cid:101) (cid:97)(cid:98)(cid:3)(cid:189)(cid:133)4 =0(cid:69)(cid:70)(cid:71) = (cid:78)(cid:104)(cid:42)(cid:22)(cid:23) (cid:101) (cid:47)(cid:48)(cid:105)
𝑎 𝑏 𝑥 𝑎− 𝑏−2𝑥 𝑥 𝑎 𝑏
【题型3 平行向量定理】
(cid:15)(cid:59)3(cid:19)(cid:104)24-25(cid:173)(cid:151)(cid:152)(cid:99)·(cid:140)(cid:153)(cid:190)(cid:35)·(cid:155)(cid:191)(cid:105)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:52)(cid:170)(cid:135) (cid:53)(cid:69) (cid:69) = (cid:69) (cid:69)(cid:99)(cid:100)(cid:192)(cid:193)
(cid:53)(cid:194)(cid:195)(cid:24)(cid:65)(cid:104) (cid:105) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵∥𝐷𝐸
A(cid:78) (cid:72) (cid:65)(cid:73)(cid:120)(cid:22)(cid:23) B(cid:78) + =0
C(cid:78)𝐴𝐵(cid:72)𝐷𝐶(cid:65)(cid:73)(cid:89)(cid:22)(cid:23) D(cid:78)𝐵𝐴(cid:72)𝐷𝐸(cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:22)(cid:23)
𝐴𝐷 𝐵𝐶 1 𝐴𝐷 𝐶𝐸
(cid:15)(cid:165)(cid:133)3-1(cid:19)(cid:43)(cid:44) =5 (cid:69) = (cid:69)(cid:163)(cid:196)(cid:139)(cid:22)(cid:23) (cid:72) (cid:65)(cid:197)(cid:34)(cid:35)(cid:69)(cid:198)(cid:34)(cid:35)(cid:65)(cid:88)(cid:22)(cid:34)(cid:35)(cid:199)(cid:65)(cid:89)(cid:22)(cid:34)(cid:35)(cid:200)
2
(cid:15)(cid:165)(cid:133)3-2(cid:19)(cid:104)24- 𝑎 25(cid:150) 𝑐 (cid:151)(cid:152) 𝑏 (cid:140)·−(cid:140)(cid:153) 𝑐 (cid:201)(cid:36)·(cid:155)(cid:53)(cid:105)(cid:43) 𝑎 (cid:44)(cid:22) 𝑏 (cid:23) (cid:90) (cid:65)(cid:202)(cid:126)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:106)(cid:107)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:79)(cid:80) =3 +2 , =
1 1 𝑎 𝑏 𝑛 𝑎 𝑏𝑚 −
(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:22)(cid:23) (cid:72) (cid:65)(cid:197)(cid:34)(cid:35)(cid:200)
3 2
(cid:203)
𝑎−(cid:10) 𝑏
.(cid:104)(cid:204)“(cid:65)”
𝑛
(cid:90)“
𝑚
(cid:126)(cid:65)”(cid:105)
(cid:15)(cid:165)(cid:133)3-3(cid:19)(cid:104)22-23(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:140)·(cid:140)(cid:153)(cid:201)(cid:36)·(cid:155)(cid:53)(cid:105)(cid:82)(cid:83)(cid:102) (cid:24)2(cid:205)(cid:69)(cid:81)(cid:72) (cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:65) (cid:78)
𝑎 𝑎
【题型4 单位向量】
(cid:15)(cid:59)4(cid:19)(cid:79)(cid:80)(cid:22)(cid:23) (cid:72)(cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23) (cid:24)(cid:85)(cid:22)(cid:73)(cid:89)(cid:69)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:102)3(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:42)(cid:22)(cid:23) (cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23) (cid:102)(cid:104)(cid:206)(cid:206)(cid:105)
A(cid:78) =3 𝑎 B(cid:78) =𝑒 C(cid:78) =3 D(cid:78)𝑒 = 𝑎
𝑎 𝑒 𝑎 −3𝑒 𝑒 𝑎 𝑒 −3𝑎 | |
(cid:15)(cid:165)(cid:133)4-1(cid:19)(cid:104)24-25(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:140)·(cid:140)(cid:153)·(cid:176)(cid:56)(cid:177)(cid:178)(cid:105)(cid:79)(cid:80)(cid:125)(cid:67)(cid:106)(cid:107)(cid:22)(cid:23) (cid:72) (cid:24)(cid:85)(cid:22)(cid:73)(cid:89)(cid:69)(cid:81)| | (cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:99)(cid:100)
(cid:124)(cid:112)(cid:207)(cid:208)(cid:24)(cid:65)(cid:104) (cid:105) 𝑎 𝑏 𝑎 ≠ 𝑏A(cid:78) (cid:72) (cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:22)(cid:23) B(cid:78) (cid:24)(cid:85)(cid:22)(cid:72) (cid:24)(cid:85)(cid:22)(cid:73)(cid:88)
𝑎−𝑏 𝑎 | | 𝑎−𝑏 | | 𝑏
C(cid:78)(cid:198) = ,(cid:103)| |=2 D(cid:78)(cid:198)| |=2 (cid:69)(cid:103) =
(cid:15)(cid:165)(cid:133)4-𝑎2(cid:19)(cid:104)−222 𝑏 -23(cid:150) 𝑎 (cid:151)(cid:152)(cid:140) 𝑏 ·(cid:140)(cid:153)(cid:209)(cid:210)·(cid:155)(cid:53)(cid:105)(cid:198)(cid:22)(cid:23) 𝑎 (cid:72)(cid:37) 𝑏 (cid:38)(cid:22)(cid:23) 𝑎 (cid:24)−(cid:85)2(cid:22) 𝑏 (cid:73)(cid:88)(cid:69)(cid:81)| |=2(cid:69)(cid:103)
= (cid:78)(cid:104)(cid:42) (cid:47)(cid:48)(cid:105) 𝑎 𝑒 𝑎 𝑎
𝑒 1
(cid:15)(cid:165)(cid:133)4-3(cid:19)(cid:104)24-25(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:140)·(cid:140)(cid:153)·(cid:155)(cid:53)(cid:105)(cid:198)(cid:22)(cid:23) (cid:72)(cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23) (cid:24)(cid:85)(cid:22)(cid:73)(cid:89)(cid:69)(cid:81)| |= | |(cid:69)(cid:103) =
2
𝑏 𝑒 𝑏 𝑒 𝑏
(cid:104)(cid:42) (cid:47)(cid:48)(cid:105)
𝑒
【题型5 平面向量的线性运算】
1 1 1
(cid:15)(cid:59)5(cid:19)(cid:188)(cid:32)(cid:10)(cid:104)1(cid:105)2 + 2 + (cid:84)
3 2 4
1 2 5 1 𝑎 𝑏 −5 𝑎 𝑏
(cid:104)2(cid:105) + (cid:78)
3 3 6 2
𝑎− 𝑏 − 𝑎 𝑏 1
(cid:15)(cid:165)(cid:133)5-1(cid:19)(cid:104)2025·(cid:140)(cid:153)(cid:211)(cid:212)·(cid:66)(cid:169)(cid:105)(cid:188)(cid:32)(cid:10)3 + =
2
𝑎 𝑏 − 𝑎−2𝑏
(cid:15)(cid:165)(cid:133)5-2(cid:19)(cid:104)2025·(cid:140)(cid:153)(cid:211)(cid:212)·(cid:66)(cid:169)(cid:105)(cid:43)(cid:44)(cid:213)(cid:40) (cid:140)(cid:168)(cid:161) (cid:101) (cid:101) (cid:69)(cid:81) =
1
(cid:69)(cid:99)(cid:100)(cid:124)(cid:112)(cid:194)(cid:195)(cid:24)(cid:65)(cid:104) (cid:105)
2
A(cid:78) = B(cid:78) = C𝑙(cid:78) = 𝐴 2 𝐵 𝐶 𝐴 D 𝐵 (cid:78) 𝐴 = 𝐶 2
(cid:15)(cid:165)(cid:133)𝐴5𝐵-3(cid:19)(cid:188)𝐶𝐵(cid:32)(cid:10) 𝐵𝐶 𝐵𝐴 𝐶𝐴 𝐵𝐶 𝐶𝐴 𝐵𝐴
1 1
(cid:104)1(cid:105) + 4 +2 (cid:84)
3 5
− 𝑎 2 𝑎− 𝑏 1 𝑏 3
(cid:104)2(cid:105) 2 +3 + (cid:78)
3 2 4
𝑎− 𝑏 𝑐 − − 𝑎 𝑏−2𝑐
【题型6 用已知向量的线性组合表示向量】
(cid:15)(cid:59)6(cid:19)(cid:104)23-24(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:140)·(cid:140)(cid:153)·(cid:176)(cid:56)(cid:177)(cid:178)(cid:105)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:43)(cid:44) (cid:101) (cid:73)(cid:162)(cid:141)(cid:161) (cid:69)(cid:214) (cid:61) (cid:162) (cid:141)
(cid:161) (cid:69) =1:3(cid:78) 𝐴𝐵∥𝐶𝐷,𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐸 𝐸 𝐸𝐹∥𝐶𝐷 𝐵𝐷
𝐹 𝐴𝐵:𝐶𝐷
(1)(cid:60) (cid:24)(cid:215)(cid:84)
𝐸𝐹
𝐶𝐷
(2)(cid:64) = (cid:69) = (cid:69)(cid:42)(cid:22)(cid:23) (cid:101)(cid:47)(cid:48) (cid:78)
(cid:15)(cid:165)(cid:133)𝐶𝐷6-1(cid:19)𝑎(cid:104)𝐵2𝐹024(cid:173)𝑏 (cid:151)(cid:152)(cid:99)·(cid:140)𝑎(cid:153)𝑏·(cid:216)(cid:20)(cid:177)𝐸𝐶(cid:178)(cid:105)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135) (cid:24)(cid:146)(cid:217)(cid:40)(cid:73)(cid:162)(cid:141)(cid:161) (cid:69)(cid:161) (cid:65)(cid:159)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑂 𝐸 𝐵𝐶(cid:24)(cid:53)(cid:161)(cid:69)(cid:184)(cid:185) (cid:162) (cid:141)(cid:161) (cid:78)(cid:64) = (cid:69) = (cid:69)
𝐷𝐸 𝐴𝐶 𝐺 𝐴𝐷 𝑎 𝐷𝐶 𝑏
(1)(cid:163)(cid:42) (cid:101) (cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23) (cid:84)
(2)(cid:163)(cid:42)𝑎(cid:101)𝑏(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)𝑂𝐶(cid:78)
(cid:15)(cid:165)(cid:133)𝑎6-2(cid:19)𝑏 (cid:43)(cid:44)(cid:10)(cid:79)𝐷(cid:157)𝐺(cid:69) (cid:53)(cid:69)(cid:161)D(cid:65)(cid:159) (cid:24)(cid:53)(cid:161)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶
1
(1)(cid:64) = (cid:69) = (cid:78)(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:69)(cid:221)(cid:60)(cid:61)(cid:10) 3
4
(2)(cid:42) 𝐵 (cid:101) 𝐴 (cid:24) 𝑎 (cid:40)(cid:41) 𝐵𝐶 (cid:45)(cid:46) 𝑏 (cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23) (cid:78) 𝑎−𝑏 −2 𝑎− 𝑏
(cid:15)(cid:165)(cid:133)𝑎 6𝑏-3(cid:19)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:43)(cid:44)(cid:10)(cid:52) 𝐵𝐷 (cid:53)(cid:69)(cid:161)E(cid:101)F(cid:52)(cid:146)(cid:217)(cid:40) (cid:140)(cid:69)(cid:81) = (cid:78)
▱𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐷 𝐵𝐸 𝐷𝐹
(1)(cid:52)(cid:157)(cid:53)(cid:62)(cid:63)(cid:22)(cid:23) (cid:24)(cid:222)(cid:22)(cid:23)(cid:128)(cid:204)(cid:223)(cid:10) =__________(cid:84)
(2)(cid:157)(cid:53)(cid:72) (cid:34)(cid:35)(cid:24)𝐴(cid:22)𝐵(cid:23)−𝐵(cid:65)𝐶(cid:10)__________(cid:84) 𝐴𝐵−𝐵𝐶
(3)(cid:198) =𝐵𝐶(cid:69) = (cid:69) = (cid:69)(cid:42) (cid:69) (cid:69) (cid:47)(cid:48) =__________(cid:78)
𝐴𝐵 𝑎 𝐴𝐷 𝑏 𝐵𝐸 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝐷𝐸
【题型7 重心性质在平面向量中的应用】
(cid:15)(cid:59)7(cid:19)(cid:104)23-24(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:140)·(cid:140)(cid:153)(cid:224)(cid:225)·(cid:155)(cid:53)(cid:105)(cid:79)(cid:157)(cid:69) (cid:101) (cid:65) (cid:24)(cid:159) (cid:101) (cid:140)(cid:24)(cid:53)(cid:40)(cid:69) (cid:101) (cid:73)(cid:162)(cid:141)
(cid:161)G(cid:69)(cid:184)(cid:185) (cid:69)(cid:64) = (cid:69) = (cid:78) 𝐴𝐷 𝐵𝐸 △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐸
𝐷𝐸 𝐴𝐵 𝑎 𝐴𝐶 𝑏(1)(cid:42)(cid:226)(cid:42) (cid:69) (cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23) (cid:227) (cid:84)
(2)(cid:52)(cid:157)(cid:53)(cid:69)𝑎 (cid:62)𝑏(cid:63)(cid:22)(cid:23) 𝐵(cid:52)𝐷 (cid:227)𝐵𝐺(cid:85)(cid:22)(cid:140)(cid:24)(cid:55)(cid:22)(cid:23)(cid:78)(cid:104)(cid:126)(cid:179)(cid:60)(cid:164)(cid:61)(cid:112)(cid:69)(cid:228)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:61)(cid:157)(cid:182)(cid:183)(cid:69)(cid:128)(cid:164)(cid:212)(cid:192)(cid:193)(cid:105)
(cid:15)(cid:165)(cid:133)7-1(cid:19)(cid:104)24-25𝐴(cid:150)𝐺(cid:151)(cid:152)𝑎(cid:140)𝑏·(cid:140)(cid:153)·(cid:176)(cid:56)(cid:177)(cid:178)(cid:105)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:43)(cid:44) (cid:53)(cid:69)(cid:161) (cid:101) (cid:55)(cid:139)(cid:52)(cid:159) (cid:227) (cid:140)(cid:69)
(cid:69)(cid:81) (cid:229)(cid:214) (cid:24)(cid:49)(cid:50) (cid:78) △𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐷𝐸∥
𝐵𝐶 𝐷𝐸 △𝐴𝐵𝐶 𝐺
(1)(cid:64) = (cid:69) =____________(cid:104)(cid:42)(cid:22)(cid:23) (cid:47)(cid:48)(cid:105)(cid:84)
(2)(cid:79)(cid:80)𝐵𝐶 𝑎 =𝐷𝐸 (cid:69) =12(cid:69)(cid:60)(cid:159) (cid:24)(cid:82)𝑎(cid:78)
(cid:15)(cid:165)(cid:133)∠7-𝐴2𝐶(cid:19)𝐷(cid:79)(cid:157)∠(cid:69)𝐵(cid:52)𝐴𝐵 (cid:53)(cid:69)(cid:161)𝐴(cid:65)𝐶 (cid:24)(cid:49)(cid:50)(cid:69)(cid:230)(cid:192) (cid:69)(cid:230)(cid:192) (cid:128)(cid:231)(cid:82)(cid:162)(cid:159) (cid:141)(cid:161) (cid:69)(cid:214)(cid:161) (cid:61) //
(cid:162)(cid:159) (cid:141)(cid:161) (cid:78) △𝐴𝐵𝐶 𝐺 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐺 𝐵𝐺 𝐴𝐶 𝐷 𝐺 𝐺𝐸 𝐵𝐶
(cid:104)1(cid:105)𝐴(cid:79)𝐶(cid:80) 𝐸= (cid:69) = (cid:69)(cid:42) (cid:101) (cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23) (cid:84)
(cid:104)2(cid:105)(cid:86) 𝐴𝐵 𝑎(cid:69) 𝐴𝐶=6𝑏(cid:69) 𝑎 =𝑏 45°(cid:87)(cid:69)(cid:60)𝐵𝐺 (cid:24)(cid:82)(cid:78)
𝐴𝐺⊥𝐵𝐷 𝐵𝐺 ∠𝐺𝐴𝐷 𝐴𝐸
(cid:15)(cid:165)(cid:133)7-3(cid:19)(cid:104)23-24(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:140)·(cid:140)(cid:153)(cid:232)(cid:233)·(cid:155)(cid:191)(cid:105)(cid:43)(cid:44)(cid:10)(cid:79)(cid:157)(cid:69) (cid:65) (cid:24)(cid:53)(cid:40)(cid:69)(cid:161) (cid:65)(cid:49)(cid:50)(cid:69)(cid:161) (cid:101) (cid:55)
(cid:139)(cid:52)(cid:159) (cid:227) (cid:140)(cid:69)(cid:158)(cid:159)(cid:135) (cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:78) 𝐴𝑀 △𝐴𝐵𝐶 𝐺 𝐷 𝐸
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐸𝐺𝐷
(1)(cid:60)(cid:234)(cid:10) (cid:84)
𝐷𝐸∥𝐴𝐶(2)(cid:64) = (cid:69) = (cid:69)(cid:42)(cid:22)(cid:23) (cid:69) (cid:47)(cid:48) = (cid:78)
𝐵𝐴 𝑎 𝐵𝐶 𝑏 𝑎 𝑏 𝐷𝐸
【题型8 平行线分线段成比例在在平面向量中的应用】
5
(cid:15)(cid:59)8(cid:19)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)ABCD(cid:24)(cid:159)AD(cid:140)(cid:24)(cid:66)(cid:161)(cid:69)(cid:81) = (cid:69)CE(cid:162)BD(cid:161)E(cid:69)BF(cid:186)15(cid:78)
3
𝐴𝐸
(cid:104)1(cid:105)(cid:60)DF(cid:24)(cid:82)(cid:84) 𝐸𝐷
(cid:104)2(cid:105)(cid:79)(cid:80) (cid:186) (cid:69) (cid:186) (cid:69)(cid:42) (cid:101) (cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23) (cid:78)
𝐵𝐴 𝑎 𝐴𝐷 𝑏 𝑎 𝑏 𝐶𝐹
(cid:15)(cid:165)(cid:133)8-1(cid:19)(cid:104)22-23(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:140)·(cid:140)(cid:153)(cid:235)(cid:167)·(cid:155)(cid:53)(cid:105)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:52) (cid:53)(cid:69)(cid:161)D(cid:101)E(cid:55)(cid:139)(cid:52)(cid:159) (cid:101) (cid:140)(cid:69)(cid:79)(cid:80)
2 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶
(cid:69)(cid:81) = (cid:78)
3
𝐷𝐸∥𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐵𝐶
(1)(cid:79)(cid:80) =6(cid:69)(cid:60) (cid:24)(cid:82)(cid:84)
𝐴𝐶 𝐶𝐸
(2)(cid:64) = (cid:69) = (cid:69)(cid:60) (cid:104)(cid:42)(cid:22)(cid:23) (cid:69) (cid:47)(cid:48)(cid:105)(cid:78)
⃑
(cid:15)(cid:165)(cid:133)𝐴𝐵8-2(cid:19)𝑎 (cid:79)𝐴(cid:157)𝐶(cid:69)(cid:43)𝑏(cid:44)(cid:34)𝐷(cid:35)𝐸(cid:158)(cid:159)(cid:135) 𝑎 (cid:53)𝑏 (cid:69)(cid:161) (cid:65)(cid:159) (cid:24)(cid:53)(cid:161)(cid:69) (cid:72) (cid:73)(cid:162)(cid:141)(cid:161) (cid:69)(cid:64) = (cid:69) =
(cid:69)(cid:70)(cid:71) (cid:52) (cid:85)(cid:22)(cid:140)(cid:24)(cid:55)(cid:22)(cid:23)(cid:65) 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 (cid:69)(cid:52) 𝐸(cid:85)(cid:22)𝐵(cid:140)𝐶(cid:24)(cid:55)(cid:22)(cid:23)(cid:65)𝐷𝐸 𝐴 𝐶 (cid:104)(cid:55)(cid:139)𝐹(cid:42) (cid:69)𝐴(cid:47)𝐵(cid:48)(cid:105)𝑎 (cid:78)𝐵𝐶
𝑏 𝐹𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:165)(cid:133)8-3(cid:19)(cid:79)(cid:157)(cid:69) (cid:101) (cid:65) (cid:24)(cid:159) (cid:140)(cid:24)(cid:161)(cid:69) (cid:101) (cid:55)(cid:139)(cid:65)(cid:159) (cid:101) (cid:140)(cid:24)(cid:161)(cid:69)(cid:81)(cid:97)(cid:98) = = (cid:69)
// (cid:69) // (cid:78)𝐷 𝐸 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐹 𝐺 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐸𝐵
𝐷𝐹 𝐵𝐶 𝐸𝐺 𝐴𝐶(cid:104)1(cid:105)(cid:60)(cid:234)(cid:10)(cid:158)(cid:159)(cid:135) (cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)(cid:84)
(cid:104)2(cid:105)(cid:230)(cid:192) (cid:69)(cid:64) 𝐹𝐷=𝐵𝐺(cid:69) = (cid:69)(cid:226)(cid:42)(cid:22)(cid:23) (cid:101) (cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23) (cid:78)
【题型9 𝐷 求 𝐺 作平面 𝐴𝐹 向量 𝑎 】 𝐶𝐺 𝑏 𝑎 𝑏 𝐷𝐺
(cid:15)(cid:59)9(cid:19)(cid:104)23-24(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:140)·(cid:140)(cid:153)(cid:190)(cid:35)·(cid:155)(cid:53)(cid:105)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:52)(cid:170)(cid:135) (cid:53)(cid:69) (cid:69) (cid:72) (cid:162)(cid:141)(cid:161)O(cid:69)
=1:2. 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐷
𝐴𝑂:𝑂𝐶
(1)(cid:64) = (cid:69) = (cid:69)(cid:163)(cid:42)(cid:22)(cid:23) (cid:101) (cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23) (cid:84)
𝐴𝐵 𝑎 𝐴𝐷 7𝑏 3 𝑎 𝑏 𝑂𝐷
(2)(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:69)(cid:221)(cid:60)(cid:61)(cid:10) + + (cid:104)(cid:213)(cid:185)(cid:61)(cid:52)(cid:157)(cid:53)(cid:105)
2 2
(cid:15)(cid:165)(cid:133)9-1(cid:19)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:34)(cid:35) 𝑎 (cid:158)(cid:159) 𝑏 (cid:135)− 𝑎 (cid:53)𝑏 (cid:69)(cid:161) (cid:65) (cid:159)(cid:24)(cid:53)(cid:161)(cid:69)(cid:230)(cid:192) (cid:128)(cid:231)(cid:82)(cid:69)(cid:72) (cid:24)(cid:231)(cid:82)(cid:40)(cid:162)(cid:141)(cid:161) (cid:78)(cid:64)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐴𝐵 𝐹
= (cid:69) = (cid:78)
→
𝐷𝐴 𝑎 𝐵𝐹 𝑏
(1)(cid:164)(cid:63)(cid:74)(cid:143)(cid:72) (cid:73)(cid:120)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:10)________(cid:84)
(2)(cid:163)(cid:42)(cid:22)(cid:23) (cid:101)𝐷𝐶(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23) (cid:69)(cid:103) =________(cid:84)
(3)(cid:52)(cid:157)(cid:53)(cid:60)(cid:61)𝑎 (cid:10)𝑏 + (cid:78)𝐷𝐹(cid:104)(cid:126)(cid:179)𝐷(cid:60)𝐹(cid:164)(cid:61)(cid:112)(cid:69)(cid:228)(cid:179)(cid:164)(cid:63)(cid:192)(cid:80)(cid:105)
𝐷𝐴 𝐷𝐶 1
(cid:15)(cid:165)(cid:133)9-2(cid:19)(cid:104)23-24(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:140)·(cid:140)(cid:153)(cid:209)(cid:210)·(cid:155)(cid:53)(cid:105)(cid:43)(cid:44)(cid:10)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:52)(cid:170)(cid:135) (cid:53)(cid:69) = (cid:69)(cid:161) (cid:65)
3
(cid:159) (cid:24)(cid:53)(cid:161)(cid:69) = , = (cid:78) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶,𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝑀
𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝑎𝐴𝐵 𝑏
(1)(cid:204)(cid:223)(cid:10) =________(cid:69) =________(cid:78)(cid:104)(cid:192)(cid:80)(cid:42) (cid:101)(cid:47)(cid:48)(cid:105)(cid:78)
𝐶𝑀 𝑀𝐴 1 5 𝑎 𝑏
(2)(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:69)(cid:128)(cid:52)(cid:157)(cid:53)(cid:60)(cid:61)(cid:22)(cid:23)3 (cid:24)(cid:192)(cid:80)(cid:78)(cid:104)(cid:126)(cid:179)(cid:60)(cid:164)(cid:61)(cid:112)(cid:69)(cid:228)(cid:179)(cid:145)(cid:63)(cid:157)(cid:53)(cid:47)(cid:48)(cid:192)(cid:193)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:105)
2 2
𝑎− 𝑏 − 𝑎−𝑏(cid:15)(cid:165)(cid:133)9-3(cid:19)(cid:104)24-25(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:140)·(cid:140)(cid:153)(cid:201)(cid:36)·(cid:176)(cid:56)(cid:177)(cid:178)(cid:105)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:52) (cid:53)(cid:69)(cid:161) (cid:102)(cid:159) (cid:24)(cid:53)(cid:161)(cid:69)(cid:64) = , =
(cid:69) △𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝑎 𝐵𝐷
𝑏
(1)(cid:163)(cid:42)(cid:22)(cid:23) , (cid:47)(cid:48)(cid:99)(cid:100)(cid:22)(cid:23)(cid:10) =________(cid:84) =________(cid:84)
(2)(cid:60)(cid:61)(cid:10) 𝑎 𝑏 (cid:78)(cid:104)(cid:62)(cid:157)(cid:47)(cid:48)(cid:128)𝐴𝐵(cid:164)(cid:63)(cid:192)(cid:193)(cid:69)(cid:126)(cid:236)𝐶(cid:164)𝐵(cid:61)(cid:112)(cid:105)
【题型10
𝐵 𝐷
画
−𝐴
出
𝐶
平面向量的分向量】
(cid:15)(cid:59)10(cid:19)(cid:79)(cid:157)(cid:69)E(cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:158)(cid:159)(cid:135)ABCD(cid:24)(cid:159)BA(cid:231)(cid:82)(cid:40)(cid:140)(cid:24)(cid:66)(cid:161)(cid:69)CE(cid:162)AD(cid:141)(cid:161)F(cid:69)(cid:162)BD(cid:141)(cid:161)G(cid:69)AE(cid:10)
AB(cid:186)1(cid:10)3(cid:69)(cid:64) (cid:186) (cid:69) (cid:186) (cid:78)
(cid:104)1(cid:105)(cid:42)(cid:22)(cid:23) (cid:101)𝐵𝐴(cid:55)𝑎(cid:139)(cid:47)𝐵(cid:48)𝐶(cid:99)𝑏(cid:100)(cid:22)(cid:23)(cid:10)
(cid:186)(cid:206) (cid:206)(cid:69)𝑎 (cid:186)𝑏(cid:206) (cid:206)(cid:69) (cid:186)(cid:206) (cid:206)(cid:84)
𝐴(cid:104)𝐸2(cid:105)(cid:52)(cid:157)(cid:53)𝐸(cid:60)𝐶(cid:61)(cid:22)(cid:23) (cid:55)𝐸𝐺(cid:139)(cid:52) (cid:101) (cid:85)(cid:22)(cid:140)(cid:24)(cid:55)(cid:22)(cid:23)(cid:78)(cid:104)(cid:126)(cid:164)(cid:61)(cid:112)(cid:69)(cid:228)(cid:179)(cid:164)(cid:63)(cid:62)(cid:157)(cid:192)(cid:80)(cid:105)
𝐵𝐺 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:165)(cid:133)10-1(cid:19)(cid:104)22-23(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:140)·(cid:140)(cid:153)(cid:166)(cid:167)·(cid:155)(cid:53)(cid:105)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:43)(cid:44) (cid:53)(cid:69) = (cid:69) = (cid:69) (cid:69)(cid:161)D(cid:65)
2 △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐴 𝑎 𝐵𝐶 𝑏 𝐷𝐸∥𝐵𝐶
(cid:159) (cid:140)(cid:24)(cid:66)(cid:161)(cid:69) = (cid:78)
3
𝐴𝐷
𝐴𝐵 𝐷𝐵
(1)(cid:226)(cid:213)(cid:185)(cid:164)(cid:63)(cid:22)(cid:23) (cid:3)(cid:141) (cid:101) (cid:24)(cid:55)(cid:28)(cid:133)(cid:69) =______(cid:84)
(2)(cid:52)(cid:157)(cid:53)(cid:61)(cid:63)(cid:22)(cid:23)𝐴𝐸(cid:55)(cid:139)(cid:52)𝑎 (cid:101)𝑏 (cid:85)(cid:22)(cid:140)(cid:24)(cid:55)𝐴𝐸(cid:22)(cid:23)(cid:78)(cid:104)(cid:95)(cid:114)(cid:126)(cid:164)(cid:61)(cid:112)(cid:69)(cid:228)(cid:236)(cid:237)(cid:164)(cid:63)(cid:192)(cid:193)(cid:105)
(cid:15)(cid:165)(cid:133)10-2(cid:19)(cid:104)22-𝐶2𝐸3(cid:150)(cid:151)(cid:152)𝑎(cid:140)·𝑏(cid:140)(cid:153)·(cid:155)(cid:53)(cid:105)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:52)(cid:120)(cid:238)(cid:170)(cid:135)ABCD(cid:53)(cid:69) (cid:69)
𝐴𝐷∥𝐵𝐶= (cid:78) =1:3(cid:78)(cid:64) = (cid:69) = (cid:78)
𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐷:𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝑎 𝐴𝐷 𝑏
(1)(cid:204)(cid:223)(cid:10) = (cid:84) = (cid:84) = (cid:84)(cid:104)(cid:42) (cid:101) (cid:47)(cid:48)(cid:105)
(2)(cid:61) (cid:52)𝐶𝐵(cid:101) (cid:85)(cid:22)𝐵(cid:140)𝐷(cid:24)(cid:55)(cid:22)𝐶(cid:23)𝐷(cid:104)(cid:126)(cid:179)(cid:60)(cid:164)𝑎(cid:61)(cid:112)𝑏(cid:69)(cid:228)(cid:179)(cid:145)(cid:63)(cid:212)(cid:195)(cid:24)(cid:192)(cid:193)(cid:105)(cid:78)
𝐴𝐶 𝑎 𝑏 2
(cid:15)(cid:165)(cid:133)10-3(cid:19)(cid:79)(cid:157)(cid:69)(cid:43)(cid:44)(cid:52) ABC(cid:53)(cid:69) = (cid:69) = (cid:69)(cid:161)D(cid:65)(cid:159)BC(cid:140)(cid:24)(cid:66)(cid:161)(cid:69) = (cid:78)
3
𝐵𝐷
△ 𝐴𝐵 𝑎 𝐴𝐶 𝑏 𝐶𝐷
(1)(cid:163)(cid:42) (cid:227) (cid:47)(cid:48) (cid:69)(cid:239)=______(cid:84)
(2)(cid:52)(cid:157)(cid:53)𝑎 (cid:55)𝑏(cid:139)(cid:61)(cid:63)𝐶𝐷(cid:22)(cid:23) (cid:52) (cid:101) (cid:85)(cid:22)(cid:140)(cid:24)(cid:55)(cid:22)(cid:23)(cid:69)(cid:128)(cid:55)(cid:139)(cid:42) (cid:101) (cid:47)(cid:48)(cid:78)(cid:104)(cid:164)(cid:63)(cid:192)(cid:193)(cid:69)(cid:126)(cid:179)(cid:60)(cid:164)(cid:61)(cid:112)(cid:105)(cid:78)
𝐴𝐷 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
