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专题08 反比例函数常见几何模型归纳（七大模型）
【模型1：定值矩形与定值三角形】
【模型2：平行线之间的定值三角形】
【模型3：“重叠型”定值矩形/定值三角形】
【模型4：“喇叭三角形”】
【模型5：中点模型】
【模型6：比例模型】
【模型7：相等模型】
【模型1：定值矩形与定值三角形】
【方法点拨】
k
【典例1】如图，反比例函数在第一象限，△OAB的面积是1.5，则反比例函数y= 中，k是（ ）
x
A．1.5 B．−1.5 C．3 D．−3
【答案】C1
【分析】本题考查了反比例函数中k与几何图形面积的计算，根据题意，S = |k)，由此即可求解．
△OAB 2
1
【详解】解：根据反比例函数图象与几何图形的面积的关系可得，S = |k)，且反比例函数图象在
△OAB 2
第一象限，即k>0，
1
∴
k=1.5，
2
解得，k=3，
故选：C ．
k
【变式1-1】如图，点A为反比例函数y= 图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，若△ABO
x
的面积为4，则k的值为（ ）
A．8 B．4 C．−4 D．−8
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义和反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的几何意
义进行计算即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及k值的几何意义是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：S =4，
△AOB
|k)
∴ =4，
2
∴|k)=8，
∵反比例函数位于第二象限，
∴k=−8，
故选：D．
k
【变式1-2】如图，点A是反比例函数y= (x>0)的图象上一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点
xC是x轴上任意一点，S =2，则k的值为（ ）
△ABC
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数中k的几何意义，过A作AD⊥x轴于D，连接AD，如图所示，即可得到
k
=S =S =2，从而得到答案，熟记反比例函数中k的几何意义是解决问题的关键．
2 △ABD △ABC
【详解】解：过A作AD⊥x轴于D，连接BD、OA，如图所示：
∵ A y y B
过点 作 轴的垂线交 轴于点 ，
k
∴ =S =S =S =2，解得k=4，
2 △ABO △ABD △ABC
故选：A．
【模型2：平行线之间的定值三角形】
【方法点拨】
6
【典例2】如图，点A 在反比例函数y=− (x<0)上，过点A作AB∥x轴，交y 轴于点C，交反比例
xk
函数y= (x>0)于点 B．若AC=2BC，则k 的值为（ ）
x
A．6 B．−6 C．−3 D．3
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数k值的几何意义，连接OA,OB，易得S =3，根据同高三角形的面积
△AOC
比等底边比，求出S 的面积，即可得出k 的值．
△BOC
【详解】解：连接OA,OB，
∵AB∥x轴，
∴AB⊥ y轴，
6 k
∵点A 在反比例函数y=− (x<0)上，点 B在反比例函数y= (x>0)上，
x x
k
∴ S =3,S = ，
△AOC △BOC 2
∵AC=2BC，
∴
S :S =2:1，
△AOC △BOC
1 3 k
∴ S = S = = ，
△BOC 2 △AOC 2 2
∴k=3；
故选：D．
2k
【变式2-1】如图，点A，B关于y轴对称，S =8，点A在双曲线 y= 上，则k的值为（ ）
AOB xA．4 B．−4 C．8 D．−8
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，求得S =4和利用反比例函数系数的几何意义求
△AOC
出k值是解题的关键．记AB与y轴的交点为C，先据轴对称求得S =4，由反比例函数系数的几何意
△AOC
义，即可求出|2k)，再根据反比例函数在第二象限有图象即可确定2k的符号，即可求解．
【详解】解：如下图，记AB与y轴的交点为C，
∵ A B y
点 ， 关于 轴对称，
∴ AB⊥ y轴，且AC=BC，
1 1
∴ S = S = ×8=4，
△AOC 2 △AOB 2
1
∵ S = ·|2k)，
△AOC 2
1
∴ ×|2k)=4，
2
∴ |2k)=8，
2k
∵ y= 在第二象限，
x
∴ 2k=−8，
∴ k=−4，
故选：B．
3 k
【变式2-2】如图，点A是函数y=− （x<0）图象上一点，点B是y= （k>0，x>0）图象上一点，
x x
点C在x轴上，连结AB，CA，CB．若AB∥x轴，S =4，则k=（ ）．
△ACBA．4 B．2 C．2.5 D．5
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，读懂题意，数形结合是解决问题的关键．
3 k
连接OA、OB，如图所示，得到S =S ，再结合反比例函数k的几何意义即可得到 + =4，
△ABC △ABO 2 2
解方程即可得到答案．
【详解】解：连接OA、OB，如图所示：
∵AB∥x
轴，
3 k
∴S =S = + ，
△ABC △ABO 2 2
∵ S =4，
△ACB
3 k
∴ + =4，解得k=5，
2 2
故选：D．
k
【变式2-3】如图，点A是反比例函数y= 的图象上的一点，过点A作AB⊥ y轴于点B，点C、D在x
x
轴上，且BC∥AD，若四边形ABCD的面积为3，则k的值为（ ）A．−6 B．−3 C．−1.5 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，设点A的坐标为(m,n)，根据平行四边形的判定和性质定
理即可得到结论．
【详解】设点A的坐标为(m,n)，
∵AB⊥ y轴，CD⊥ y轴，
∴AB∥CD，
∵BC∥AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴平行四边形ABCD的面积=AB⋅OB=−mn=3，
∴k=mn=−3．
故选：B．
【模型3：“重叠型”定值矩形/定值三角形】
【方法点拨】
6 k
【典例3】如图，点A在双曲线y= （x＞0）上，点B在双曲线y= （x＞0）上，AB/ / x轴，分别过
x x
点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是15，则k的值为（ ）
A．21 B．18 C．15 D．9
【答案】A
【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义进行思考，需要做出辅助线构造矩形ADOE，再根据
S −S =S 进行求解．
矩形BCOE 矩形ADOE 矩形ABCD【详解】解：延长BA交y轴于E，如图，
∵S =|k|，S =|6|=6，S −S =S ，
矩形BCOE 矩形ADOE 矩形BCOE 矩形ADOE 矩形ABCD
∴
S
矩形BCOE
−S
矩形ADOE
=15，
即|k|−6=15，
∵k＞0，
∴k=21．
故选：A．
k
【点睛】本题考查反比例函数的比例系数的几何意义，即反比例函数y= 图象中任取一点，过这一个
x
点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．解题关键构造矩形．
8 k
【变式3-1】反比例函数y = 和y = (k≠0)在第一象限的图象如图所示，A，B分别为y ，y 图象上
1 x 2 x 1 2
两点，且AB∥x轴，若△AOB的面积为2，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．12
【答案】A
【分析】此题考查反比例函数比例系数与几何图形及面积关系，延长AB交y轴于点C，根据比例系数
的几何意义，得到S =2，进而得到S =4−2=2，即可求出k=2S =4．
△AOB △BOC △BOC
【详解】解：延长AB交y轴于点C，
∵点A在y 图象上，
1
1
∴S = ×8=4，
△AOC 2∵S =2，
△AOB
∴
S =4−2=2，
△BOC
∵点B在y 图象上，
2
∴
k=2S =4，
△BOC
故选：A．
k 3
【变式3-2】如图，A是反比例函数y= 图像上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数y=− 的
x x
图像于点B，点C在x轴上，且S =2，则k的值为（ ）
△ABC
A．7 B．−7 C．−5 D．5
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得出
S −S =S =2是正确解答的关键．
△AOM △BOM △ABC
1 3 1
根据反比例函数系数k的几何意义可得S = ×|−3)= ，S = |k)，根据平行线的性质和三角
△BOM 2 2 △AOM 2
形的面积公式可得S =S =2，根据S −S =2，求出k的值即可．
△OAB △CAB △AOM △BOM
1 3 1
【详解】解：如图，连接OA、OB，延长AB交y轴于M，则S = ×|−3)= ，S = |k)，
△BOM 2 2 △AOM 2∵AB∥x
轴，
∴S =S =2，
△OAB △CAB
即S −S =2，
△AOM △BOM
1 3
∴ |k)− =2，
2 2
∵k<0，
∴k=−7，
故选：B．
4 k
【变式3-3】如图，点A在双曲线y= 上，点B在双曲线y= (k≠0)上，AB∥x轴，交y轴于点C．
x x
若AB=2AC，则k的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，得出四边形ACOD是矩形，四边形BCOE是矩
形，得出 =4， ，根据AB=2AC，即BC=3AC，即可求得矩形BCOE的面积，根据反比
S S =k
矩 形ACOD 矩 形BCOE
例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【详解】过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，
∵AB∥x轴，
∴四边形ACOD是矩形，四边形BCOE是矩形，∵AB=2AC，
∴BC=3AC，
4
∵点A在双曲线y= 上，
x
∴S =4，
矩 形ACOD
同理S =k，
矩 形BCOE
∴矩形S =3S =12，
矩 形BCOE矩 形ACOD
∴k=12，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数k的几何意义，作出辅助线，构建矩
形是解题的关键．
【模型4：“喇叭三角形”】
【方法点拨】
4
【典例4】如图，点A，B，在反比例函数y= 的图象上，连接OA，OB，分别过点A，B作x轴的垂
x
AM
线，垂足分别为M，N，图中两块阴影部分面积分别为S 、S ；若S =1，则 = ．
1 2 1 BN【答案】❑√2
【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作
1
垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积为 |k|是解答此题的关键．利用k的几何意
2
义求出△OAM、△OBN的面积，然后求出△OCM的面积，利用相似三角形的性质得到
S OM 2 即可求解．
△OCM
=( )
S ON
△OBN
【详解】解：设OB交AM于点C，
∵分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，
∴
S =S =2，
△OAM △OBN
∴
S =S −S =2−1=1，
△OCM △OAM 1
又∵AM∥BN，
∴△OCM∽△OBN，
∴ S △OCM
=(
OM
)
2
=
1，
S ON 2
△OBN
OM ❑√2
∴ = ，
ON 2
又∵OM⋅AM=ON⋅BN，
AM ON
∴ = =❑√2．
BN OM故答案为：❑√2
【变式4-1】如图是一个反比例函数（x＞0）的图象，点 A（2，4）在图象上，AC⊥x轴于
C，当点A运动到图象上的点B（4，2）处，BD⊥x轴于D，△AOC与△BOD重叠部分的
面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解答】解：如图所示：
∵点A（2，4），点B（4，2），AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
∴点C的坐标为（2，0），点D的坐标为（4，0），AC∥BD，
∴△OCE∽△ODB，
∴ ，
即
解得CE＝1，
∴ ，
即△AOC与△BOD重叠部分的面积为1．
故选：A．
【模型5：中点模型】【方法点拨】
条件：A/B两点分别位 上不同两点，延长AB交x轴与点F，B位AF的中点
结论：
①▲ACF~▲BDF，且相似比为 。本质为BD十▲ACF中位线
②C、D为线段OF的三等分，即OC=CD=DF
③
④
k
【典例5】如图，A，B是双曲线y= (x>0)上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，
x
交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为(m,2)，则m的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数中k的几何意义以及反比例函数图象上点的特征，解答关键是利用三角形
的中线性质得出△AOC的面积．先根据三角形的中线将三角形面积平分求得△AOC的面积，再根据反
比例函数中系数k的几何意义求出k值，进而得出反比例函数解析式，将点B坐标代入解析式即可求解m值．
【详解】解：∵D为AC的中点，△AOD的面积为3，
∴△AOC的面积为2×3=6，
k
∵A，B是双曲线y= 上的两点，AC⊥x轴于点C，
x
k
∴ =6，
2
解得：k=12，
12
∴y= ，
x
12 12
将点B(m,2)代入y= 中，得2= ，
x m
∴m=6，
故选：C．
k
【变式5-1】如图，双曲线y= (k>0)经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与边AB相交于点C，若
x
△OBC的面积为6，则k的值为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的综合运用，关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形
面积的特点以及根据面积转化求出k的值．
过D点作x轴的垂线交x轴于E点，设出点D的坐标，根据中点可表示点B的坐标，进而表达点C的
坐标，根据面积公式，建立方程，可求出k的值．
【详解】解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，k
设D点的横坐标为x,纵坐标就为 ，
x
∵D为OB的中点．
( 2k)，
∴B 2x,
x
( k )，
∴C 2x,
2x
3k
∴BC= ，OA=2x，
2x
1 3k
∴S= ⋅ ⋅2x=6，
2 2x
∴k=4．
故选：A．
【变式5-2】如图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在
k
x轴、y轴上，双曲线y= （k≠0，x>0）经过AB、BC的中点N、F，连接ON、OF、NF．若
x
S =3，则k的值是（ ）
△BFN
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，先求出点N坐标，利用待定系数法即可解决问题；求出点N坐标是解题的关键．
【详解】解：∵N、F是AB、BC的中点，
1 1
∴BF= BC， BN= AB，
2 2
∵S =3，
△BFN
1 1 1 1
∴ BF·BN= × BC× AB=3，
2 2 2 2
∴BC⋅AB=24，
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA=AB=BC=CO=2❑√6，
∵N是AB中点，
∴AN=BN=❑√6，
∴ ，
N(2❑√6,❑√6)
k
把N(2❑√6,❑√6)代入y= ，得到k=12，
x
故选：D．
k
【变式5-3】如图，反比例函数y= (k≠0,x>0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D，若矩
x
形OABC的面积为12，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，三角形中位线的性质，解题的关键是求
出△ODE的面积．
1
过点D作DE⊥OA于点E，连接OD，由矩形的性质可知：S = S =6，从而可求出
△AOC 2 矩形OABC
△ODE的面积，利用反比例函数中k的几何意义即可求出k的值．【详解】
解：过点D作DE⊥OA于点E，连接OD，
1
由矩形的性质可知：S = S =6，
△AOC 2 矩形OABC
∵矩形OABC的对角线AC的中点D，
∴OD=AD
∵DE⊥OA
∴OE=AE
∴ED是△ACO的中位线，
1
∴ED= CO，
2
1 3
∴S = S =
△ODE 4 △ACO 2
1 3
∴ |k|= ，
2 2
∵k>0
∴k=3
故选：B．
【变式5-4】如图，直角坐标系中，O为原点，等腰△AOB的顶点B在x轴上，AO=AB，反比例函数
k
y= (k>0)在第一象限内的图象经过AB的中点C，若ΔAOB的面积是12，则k的值是（ ）
xA．4.5 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【分析】分别过点A、点C作OB的垂线，垂足分别为点D、点C，根据等腰三角形的性质得OD=BD，
1 3
而点C为AB的中点，利用三角形中位线的性质得到ED=BE，CE= AD，则OE= OB，再根据三
2 4
1
角形的面积公式得到 AD·OB=12，易得CE·OE=9，设C点坐标为(x,y)，即可得到
2
k=xy=CE·OE=9．
【详解】解：分别过点A、点C作OB的垂线，垂足分别为点D、点E，如图，
∵AO=AB，
∴OD=BD，
又∵点C为AB的中点，
且CE∥AD，
∴CE为ΔADB的中位线，
1
∴ED=BE，CE= AD，
2
3
∴OE= OB，
4
∵△AOB的面积是12，
1
∴ AD·OB=12，
2
4
∴CE· OE=12，
3
∴CE·OE=9，
k
设C点坐标为(x,y)，而点C在反比例函数y= (k>0)的图象上，
x∴k=xy=CE·OE=9．
故选：C．
k
【点睛】本题考查了确定反比例函数y= (k≠0)的k值的方法：通过几何方法得到其图象上某点的横
x
纵坐标之积即可．也考查了等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质．
【模型6：比例模型】
【方法点拨】
条 件 ： M 是 点 反 比 例 函 数 上 一 点 ， 且 满 足 ，
，AB与x轴交反比例与C点；
结论：作MH与X轴交于H，连接MC，OC，如上右图所示
① ，
②OMH~▲OAB，且相似比为③
k
【典例6】如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，点A的坐标为（2，1），BO＝2❑√5，反比例函数y＝ 的
x
图象经过点B，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．4 D．﹣8
【答案】D
【分析】根据∠AOB=90°，先过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，构造相似三角形，再利用相似三角
形的对应边成比例，列出比例式进行计算，求得点B的坐标，进而得出k的值．
【详解】过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，垂足分别为C、D，
则∠OCA＝∠BDO＝90°，
∴∠DBO+∠BOD＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∴△DBO∽△COA，
BO BD DO
∴ ＝ ＝ ，
OA OC CA∵点A的坐标为（2，1），
∴AC＝1，OC＝2，
∴AO＝ ＝ ，
❑√12 +22 ❑√5
2❑√5 BD DO
∴ ＝ ＝ ，即BD＝4，DO＝2，
❑√5 2 1
∴B（﹣2，4），
k
∵反比例函数y＝ 的图象经过点B，
x
∴k的值为﹣2×4＝﹣8．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形，注意：反比例函数图象上
的点（x，y）的横、纵坐标的积是定值k，即xy=k，这是解决问题的关键．
9 k
【变式6-1】如图，已知B、A分别在反比例函数y=− ，y= 上，当AO⊥BO时，BO:AO=3:4，
x x
则k为（ ）
A．8 B．16 C．20 D．32
【答案】B
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据三角形的相似即可求得k的值．
k 9
【详解】解：设点A的坐标为（a， ），点B的坐标为（b，﹣ ），
a b
作BC⊥x轴于点C，作AD⊥x轴于点D，∵∠AOB＝90°，∠BOC＋∠OBC＝90°，
∴∠BOC＋∠AOD＝90°，
∴∠BOC＝∠OAD，
∵∠BCO＝∠ODA＝90°，BO：AO＝3：4，
∴△BOC∽△OAD，
OC BC OB
∴ = = ，
AD OD AO
9
−
−b b 3
即 = = ，
k a 4
a
解得，k＝16，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【模型7：相等模型】
【方法点拨]
条件：一函数 与反比例函数 交于点A和点B
结论：①AC=BD
②
③过点B作BE⊥x轴，作AF⊥y轴，则OE=FC
50 k
【典例7】如图，已知矩形OABC的面积为 ，它的对角线OB与双曲线y= 相交于点D，且
3 x
OB:OD=5:3，则k的值为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的性质，
理解矩形的面积与反比例函数的解析式之间的关系是解决本题的关键．
设D的坐标是(3m,3n)，则B的坐标是(5m,5n)，根据矩形OABC的面积即可求得mn的值，把D的
坐标代入函数解析式，即可求得k的值．
【详解】解：设D的坐标是(3m,3n)，则B的坐标是(5m,5n)．
50 50
∵矩形OABC的面积为 ，5m×5n= ，
3 3
2
∴mn= .
3
把D的坐标代入函数解析式得：
k
3n= ，
3m
2
k=9mn=9× =6.
3
故选：D．
【变式7-1】如图，点A、B在反比例函数y＝ 的图象上，A、B的纵坐标分别是2和4，连接OA、OB，
则△OAB的面积是 6 ．
【答案】6．
【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，设AD⊥x轴于点D，如图所示：∵点A、B在反比例函数y＝ 的图象上，
∴△BOC的面积＝△AOD的面积＝ ＝4，
∴△OAB的面积＝四边形BCDA的面积，
将A、B的纵坐标2和4，分别代入反比例函数解析式，
得A、B的横坐标分别是4和2，
∴BC＝4，AD＝2，CD＝4﹣2＝2，
∴四边形BCDA的面积＝（4+2）×2÷2＝6，
∴△OAB的面积＝6，
故答案为：6．
【变式7-2】如图，双曲线y＝ 经过点A（2，2）、B（4，m），则△AOB的面积为 3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，如图，
∵双曲线y＝ 经过点A（2，2），
∴k＝2×2＝4，
而点B（4，m）在y＝ 上，
∴4•m＝4，解得m＝1，
即B点坐标为（4，1），
∴S ＝S +S ﹣S
△AOB △AOC 梯形ABDC △BOD＝ OC•AC+ ×（AC+BD）×CD﹣ ×OD×BD
＝ ×2×2+ ×（2+1）×（4﹣2）﹣ ×4×1
＝3．
故答案为：3．
