专题2.3垂径定理(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上(苏科)_专题2.3垂径定理(讲义)

专题 2.3 垂径定理（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19)........................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:19)............................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:34)(cid:19)....................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:19)..........................................................................................................................12
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:19)..........................................................................................................................15
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:20)(cid:19)..............................................................................................................20
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:45)(cid:20)(cid:19)..............................................................................................................25
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:19)..................................................................................................................28
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:23)(cid:19)..........................................................................................................................32
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:19)..............................................................................................................................36
知识点 垂径定理
1. (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:24)(cid:59)(cid:60)(cid:44)(cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)
(cid:77)AM =BM
①CD是直径
如图，
②CD AB
(cid:79) = C
⇒
⊥ (cid:78)𝐴𝐶 =𝐵
𝐴𝐷 𝐵𝐷
2. (cid:71)(cid:72)
(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:59)(cid:25)(cid:76)(cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:24)(cid:59)(cid:60)(cid:44)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)①CD是直径
(cid:77)CD AB
如上图，②AM =BM
(cid:79) ⊥= C
（AB不是直径）
⇒ (cid:78)𝐴𝐶 =𝐵
𝐴𝐷 𝐵𝐷
(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:62)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:68)(cid:59)(cid:35)(cid:87)(cid:88) (cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:47)(cid:73)(cid:59)(cid:25)(cid:76)(cid:91) (cid:24)(cid:59)(cid:60)(cid:44)(cid:91) (cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:73)(cid:92)(cid:59)(cid:25)(cid:76)(cid:91) (cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:65)(cid:66)
(cid:53)(cid:93)(cid:69)(cid:91)(cid:78)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:94)(cid:69)(cid:95)①(cid:96)(cid:97)(cid:67)(cid:68)(cid:98)(cid:99)(cid:62)(cid:100)(cid:87)(cid:88)②(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:68)(cid:98)(cid:99)③(cid:62)(cid:104)(cid:105)“(cid:83)(cid:106)(cid:107)(cid:103)”(cid:70) ④
【题型1 利用垂径定理判断正误】
(cid:15)(cid:108)1(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:110)(cid:83) O(cid:53)(cid:59)(cid:25)AB (cid:44)CD(cid:60)(cid:50)E(cid:62)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:95)(cid:86)(cid:26)(cid:30)(cid:115)(cid:53)(cid:75)(cid:73) (cid:76)
⊙ ⊥
1
A(cid:70)AE(cid:116)OE B(cid:70)CE(cid:116)DE C(cid:70)OE(cid:116) CE D(cid:70) AOC(cid:116)60°
2
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)B ∠
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:10)(cid:24)(cid:59)(cid:60)(cid:44)(cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:69)(cid:32)(cid:122)(cid:70)
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:122)(cid:10) (cid:59)(cid:25)AB (cid:44)CD
CE(cid:116)DE ∵ ⊥
∴(cid:124)(cid:125)B.
(cid:15)(cid:50)(cid:126)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:127)(cid:20)(cid:130)(cid:60)(cid:131)(cid:132)(cid:56)(cid:23)(cid:20)(cid:62)(cid:133)(cid:134)(cid:11)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:140)(cid:82)(cid:141)(cid:142)(cid:70)
(cid:15)(cid:143)(cid:144)1-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)·(cid:153)(cid:95)(cid:76)(cid:111)(cid:112)(cid:154)(cid:20)(cid:30)(cid:115)(cid:53)(cid:75)(cid:73) (cid:76)
A(cid:70)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:53)(cid:59)(cid:35)(cid:155)(cid:24)(cid:59)(cid:60)(cid:44)
B(cid:70)(cid:24)(cid:59)(cid:60)(cid:44)(cid:53)(cid:59)(cid:35)(cid:42)(cid:61)(cid:44)
C(cid:70)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:53)(cid:59)(cid:35)(cid:155)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:67)(cid:68)(cid:69)
D(cid:70)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:155)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:67)(cid:68)(cid:69)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)A
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:156)(cid:154)(cid:20)(cid:157)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:158)(cid:101)(cid:107)(cid:114)(cid:75)(cid:122)(cid:159)(cid:45)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:160)(cid:70)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:161)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:107)(cid:114)(cid:162)(cid:43)(cid:28)(cid:29)(cid:140)(cid:82)(cid:70)
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:122)(cid:10)A(cid:163)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:53)(cid:59)(cid:35)(cid:155)(cid:24)(cid:59)(cid:60)(cid:44)(cid:62)(cid:164)(cid:165)(cid:20)(cid:97)(cid:91)
B(cid:163)(cid:24)(cid:59)(cid:60)(cid:44)(cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:62)(cid:124)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:31)(cid:62)(cid:74)(cid:164)(cid:165)(cid:20)(cid:97)(cid:91)C(cid:163)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:155)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:62)(cid:124)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:31)(cid:62)(cid:74)(cid:164)(cid:165)(cid:20)(cid:97)(cid:91)
D(cid:163)(cid:42)(cid:61)(cid:44)((cid:74)(cid:75)(cid:59)(cid:25))(cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:155)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:62)(cid:124)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:31)(cid:62)(cid:74)(cid:164)(cid:165)(cid:20)(cid:97)(cid:91)
(cid:124)(cid:125)(cid:10)A(cid:70)
(cid:15)(cid:143)(cid:144)1-2(cid:19)(cid:73)2025·(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:173)·(cid:103)(cid:174)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62) (cid:163) (cid:175) (cid:148)(cid:62)(cid:176)(cid:177) (cid:62) (cid:62) (cid:70) (cid:53)(cid:42)(cid:61)(cid:35)(cid:178) (cid:60)(cid:50)
(cid:62)(cid:178) (cid:60)(cid:50) (cid:62)(cid:176)(cid:177) (cid:62) (cid:70)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:169)𝐴 (cid:31)𝐵(cid:53)(cid:75)⊙(cid:73)𝑂(cid:179)(cid:179)(cid:76) 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝐴𝐵 ∠𝐴𝑂𝐵 𝐴𝐵
𝐶 ⊙𝑂 𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐷
A(cid:70) = B(cid:70) C(cid:70) = D(cid:70) =
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)𝐴𝐶C 𝐵𝐶 𝑂𝐷⊥𝐴𝐵 𝑂𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐷
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:180)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:156)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:122)(cid:117)(cid:140)(cid:82)(cid:70)
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:122)(cid:10) (cid:53)(cid:42)(cid:61)(cid:35)(cid:178) (cid:60)(cid:50) (cid:62) (cid:75)(cid:181)(cid:25)(cid:62)
= ∵∠(cid:62)𝐴𝑂𝐵 = (cid:62) 𝐴=𝐵 (cid:62)𝐶 𝑂𝐷 (cid:62)(cid:124)A(cid:163)B(cid:163)D(cid:30)(cid:115)(cid:91)
∴(cid:125)∠(cid:182)𝐴𝑂C𝐷(cid:74)(cid:183)∠(cid:184)𝐵𝑂(cid:185)𝐷(cid:62)𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝑂𝐷⊥𝐴𝐵
(cid:124)(cid:125)(cid:10)C(cid:70)
(cid:15)(cid:143)(cid:144)1-3(cid:19)(cid:73)2022(cid:145)(cid:146)(cid:147)·(cid:149)(cid:150)·(cid:186)(cid:20)(cid:137)(cid:187)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)AB(cid:188)(cid:181)(cid:48)O(cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:62)AC(cid:62)AD(cid:189)(cid:75)(cid:44)(cid:62)(cid:64)AC(cid:42)(cid:61)
BAD(cid:62)(cid:190)(cid:111)(cid:112)(cid:191)(cid:144)(cid:30)(cid:115)(cid:53)(cid:75)(cid:73) (cid:76)
∠
A(cid:70)AB+AD(cid:116)2AC B(cid:70)AB+AD(cid:192)2AC
C(cid:70)AC(cid:116)AB•AD D(cid:70)AC(cid:192)AB•AD
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)B
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:90)(cid:50)O(cid:193)OM AD(cid:60)(cid:50)M(cid:62)(cid:178)AC(cid:60)(cid:50)N(cid:62)(cid:176)(cid:177)OC(cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:158)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:103)(cid:195)(cid:53)(cid:3)(cid:196)(cid:32)(cid:122)(cid:28)(cid:29)
(cid:140)(cid:82)(cid:70) ⊥
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:122)(cid:10)(cid:90)(cid:50)O(cid:193)OM AD(cid:60)(cid:50)M(cid:62)(cid:178)AC(cid:60)(cid:50)N(cid:62)(cid:176)(cid:177)OC(cid:62)(cid:84)(cid:109)(cid:65)(cid:197)(cid:10)
⊥(cid:190) OMA(cid:116)90°(cid:62)AM(cid:116)DM(cid:62)
∠ 1
AN(cid:198)AM(cid:116) AD(cid:62)
2
∴OA(cid:116)OC(cid:62)
∵ OAC(cid:116) OCA(cid:62)
∴A∠C(cid:42)(cid:61)∠BAD(cid:62)
∵ DAC(cid:116)∠OAC(cid:62)
∴∠OCA(cid:116)∠DAC(cid:62)
∴A∠D OC(cid:62)∠
∴ OM∥A(cid:116) CON(cid:116)90°(cid:62)
∴∠ ∠1
CN(cid:198)OC(cid:116) AB(cid:62)
2
∴AB+AD(cid:192)2(cid:73)CN+AN(cid:76)(cid:116)2AC(cid:62)
∴(cid:124)(cid:125)(cid:10)B(cid:70)
(cid:15)(cid:50)(cid:126)(cid:19)(cid:81)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:156)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:136)(cid:199)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:63)(cid:193)(cid:200)(cid:165)(cid:27)(cid:53)(cid:201)(cid:202)(cid:35)(cid:75)(cid:122)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:160)(cid:70)
【题型2 利用垂径定理求角度】
(cid:15)(cid:108)2(cid:19)(cid:73)22-23(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:203)(cid:204)(cid:203)(cid:152)·(cid:205)(cid:36)(cid:137)(cid:187)(cid:76)(cid:110)(cid:83) O(cid:53)(cid:181)(cid:25)(cid:188)2(cid:62)(cid:44) (cid:163) (cid:37)(cid:61)(cid:206)(cid:188)2 2(cid:161)2 3(cid:62)(cid:190)
(cid:53)(cid:34)(cid:52)(cid:188)(cid:73)(cid:179)(cid:179)(cid:76) ⊙ 𝐴𝐵 𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶
A(cid:70)30° B(cid:70)45° C(cid:70)15°(cid:207)75° D(cid:70)30°(cid:207)45°
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)C
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:120)(cid:121)(cid:48)(cid:53)(cid:208)(cid:66)(cid:105)(cid:98)(cid:83)(cid:209)(cid:67)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:10)(cid:67)(cid:44)(cid:175)(cid:48)(cid:47)(cid:53)(cid:86)(cid:213)(cid:161)(cid:67)(cid:44)(cid:175)(cid:48)(cid:47)(cid:53)(cid:67)(cid:213)(cid:62)(cid:214)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:215)
30(cid:34)(cid:33)(cid:53)(cid:59)(cid:33)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:53)(cid:98)(cid:99)(cid:161)(cid:216)(cid:217)(cid:59)(cid:33)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:53)(cid:28)(cid:26)(cid:161)(cid:98)(cid:99)(cid:122)(cid:117)(cid:140)(cid:82)(cid:70)
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:122)(cid:10)(cid:90)(cid:50)O(cid:193) (cid:60)E(cid:62) (cid:60)D(cid:62)
(cid:61)(cid:218)(cid:219)(cid:114)(cid:10)(cid:220)(cid:67)(cid:44)(cid:175)(cid:48)(cid:47)𝑂𝐸(cid:53)⊥(cid:46)𝐴(cid:86)𝐶(cid:213)(cid:62)(cid:84)𝑂(cid:109)𝐷(cid:62)⊥𝐴𝐵1 1
=2(cid:62) = = 3(cid:62) = = 2(cid:62)
2 2
∴𝑂𝐴 𝐴𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐵
= =1(cid:62) = = 2(cid:62)
2 2 2 2
∴𝑂𝐸 1 𝑂𝐴 −𝐴𝐸 𝑂𝐷 𝑂𝐴 −𝐴𝐷
= (cid:62) = (cid:62)
2
∴𝑂𝐸 =𝑂𝐴30°𝑂(cid:62)𝐷 𝐴𝐷=45°(cid:62)
∴∠𝑂𝐴𝐸= ∠𝑂𝐴𝐷 =15°(cid:91)
∴(cid:220)∠(cid:67)𝐵𝐴(cid:44)𝐶(cid:175)(cid:48)∠(cid:47)𝑂𝐴(cid:53)𝐷(cid:67)−∠(cid:213)𝑂(cid:62)𝐴𝐸(cid:84)(cid:109)(cid:62)
1 1
=2(cid:62) = = 3(cid:62) = = 2(cid:62)
2 2
∴𝑂𝐴 𝐴𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐵
= =1(cid:62) = = 2(cid:62)
2 2 2 2
∴𝑂𝐸 1 𝑂𝐴 −𝐴𝐸 𝑂𝐷 𝑂𝐴 −𝐴𝐷
= (cid:62) = (cid:62)
2
∴𝑂𝐸 =𝑂𝐴30°𝑂(cid:62)𝐷 𝐴𝐷=45°(cid:62)
∴∠𝑂𝐴𝐸= ∠+𝑂𝐴𝐷 =75°(cid:70)
∴∠𝐵𝐴𝐶(cid:53)(cid:34)∠(cid:52)𝑂(cid:188)𝐴𝐷15°(cid:207)∠𝑂75𝐴°𝐸(cid:70)
∠(cid:124)𝐵(cid:125)𝐴𝐶C(cid:70)
(cid:15)(cid:50)(cid:126)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:215)30(cid:34)(cid:33)(cid:53)(cid:59)(cid:33)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:53)(cid:98)(cid:99)(cid:62)(cid:216)(cid:217)(cid:59)(cid:33)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:53)(cid:28)(cid:26)(cid:161)(cid:98)(cid:99)(cid:70)(cid:22)(cid:23)(cid:61)(cid:218)(cid:219)
(cid:114)(cid:53)(cid:221)(cid:222)(cid:63)(cid:30)(cid:115)(cid:53)(cid:223)(cid:200)(cid:109)(cid:194)(cid:161)(cid:193)(cid:200)(cid:201)(cid:202)(cid:35)(cid:75)(cid:122)(cid:20)(cid:3)(cid:160)(cid:70)
(cid:15)(cid:143)(cid:144)2-1(cid:19)(cid:73)2023·(cid:224)(cid:171)(cid:225)(cid:226)·(cid:174)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62) (cid:75) (cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:62) (cid:75) (cid:53)(cid:44)(cid:62)(cid:64) = (cid:62)
=52°(cid:62)(cid:190) (cid:53)(cid:34)(cid:52)(cid:188)(cid:73)(cid:179)(cid:76) 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐶𝐷 ⊙𝑂 𝐶𝐸 𝐷𝐸
∠𝐶𝑂𝐵 ∠𝐷𝐶𝑂A(cid:70)52° B(cid:70)50° C(cid:70)48° D(cid:70)38°
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)D
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:48)(cid:53)(cid:98)(cid:99)(cid:158)(cid:56)(cid:23)(cid:62)(cid:122)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:160)(cid:75)(cid:138)(cid:139)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:158)(cid:107)(cid:114)(cid:70)
(cid:184)(cid:185) =90°(cid:62)(cid:22)(cid:23)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:230)(cid:33)(cid:161)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:122)(cid:70)
(cid:15)(cid:123)∠(cid:122)𝐶(cid:19)𝐸𝑂(cid:122)(cid:10) (cid:75)(cid:59)(cid:25)(cid:62) = (cid:62)
(cid:62) ∵𝐴𝐵 𝐶𝐸 𝐸𝐷
∴𝐴𝐵⊥𝐶=𝐷90°(cid:62)
∴∠𝐶𝐸𝑂 = =38°(cid:62)
(cid:124)∴(cid:125)∠𝐷(cid:10)𝐶𝑂D(cid:70) 90°−52°
(cid:15)(cid:143)(cid:144)2-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:111)·(cid:231)(cid:171)(cid:232)(cid:233)·(cid:153)(cid:95)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62) (cid:75) (cid:53)(cid:44)(cid:62)(cid:181)(cid:25) (cid:62) (cid:62)(cid:190) (cid:53)
(cid:34)(cid:52)(cid:188)(cid:73) (cid:76) 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝑂𝐶⊥𝐴𝐵 𝐴𝐶∥𝑂𝐵 ∠𝐵𝑂𝐶
A(cid:70)30° B(cid:70)45° C(cid:70)60° D(cid:70)75°
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)C
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:156)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:163)(cid:234)(cid:216)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:53)(cid:28)(cid:26)(cid:161)(cid:98)(cid:99)(cid:163)(cid:216)(cid:195)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:53)(cid:28)(cid:26)(cid:157)(cid:98)(cid:99)(cid:70)(cid:176)(cid:177) (cid:62)(cid:22)(cid:23)(cid:234)(cid:216)
(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:53)(cid:98)(cid:99)(cid:184)(cid:185) (cid:75)(cid:216)(cid:195)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:140)(cid:82)(cid:122)(cid:159)(cid:45)(cid:20)(cid:70) 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:122)(cid:10)(cid:84)(cid:109)(cid:62)△(cid:176)𝑂𝐵(cid:177)𝐶 (cid:62)(cid:235) (cid:178) (cid:60)K(cid:70)
𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝑂𝐶(cid:62)
∵𝑂𝐶⊥=𝐴𝐵 (cid:62)
∴𝐴𝐾 𝐵𝐾(cid:62)
∵𝐴𝐶∥=𝑂𝐵 (cid:62)
∴∠𝐴 ∠=𝑂𝐵𝐾 (cid:62)
∵∠𝐴𝐾𝐶 ∠𝐵𝐾𝐶 (ASA)(cid:62)
∴△𝐴=𝐾𝐶≌(cid:62)△𝐵𝐾𝑂
∴𝑂𝐾 𝐾𝐶(cid:62)
∵𝐵𝐾⊥=𝑂𝐶(cid:62)
∴𝐵𝑂=𝐵𝐶(cid:62)
∵𝑂𝐵=𝑂𝐶= (cid:62)
∴𝑂𝐵 𝑂(cid:75)𝐶 (cid:216)(cid:195)𝐵𝐶(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:62)
∴△𝐵𝑂𝐶=60°(cid:62)
(cid:124)∴∠(cid:125)𝐵𝑂(cid:10)𝐶C(cid:70)
(cid:15)(cid:143)(cid:144)2-3(cid:19)(cid:73)23-24(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:150)(cid:236)(cid:237)(cid:152)·(cid:153)(cid:238)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:110)(cid:83) (cid:53)(cid:67)(cid:44) (cid:163) (cid:239)(cid:178)(cid:60) (cid:62)(cid:64)(cid:50) (cid:188) (cid:53)(cid:95)(cid:50)(cid:62)
(cid:240) =32°(cid:62)(cid:190) (cid:53)(cid:34)(cid:52)(cid:188) (cid:70) ⊙𝑂 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐸 𝐴 𝐶𝐷
∠𝑂𝐵𝐴 ∠𝐶𝐸𝐴
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)58°/58(cid:34)
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:241)(cid:242)(cid:128)(cid:129)(cid:243)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:58)(cid:62)(cid:176)(cid:177) (cid:178) (cid:60)(cid:50)F(cid:62)(cid:190)(cid:80)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:244) (cid:62)(cid:80) = (cid:244)
= =32°(cid:62)(cid:214)(cid:120)(cid:121)(cid:59)(cid:33)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:67)(cid:245)(cid:33)𝑂(cid:246)𝐴(cid:247)𝐶(cid:82)𝐷(cid:32)(cid:58)(cid:70) 𝑂𝐴⊥𝐶𝐷 𝑂𝐴 𝑂𝐵
∠(cid:15)𝑂(cid:123)𝐴𝐵(cid:122)(cid:19)∠(cid:122)𝑂(cid:10)𝐵𝐴(cid:176)(cid:177) (cid:178) (cid:60)(cid:50)F(cid:62)(cid:84)(cid:109)(cid:62)
𝑂𝐴 𝐶𝐷(cid:50)A(cid:188) (cid:53)(cid:95)(cid:50)(cid:62)
∵ 𝐶(cid:62)𝐷
∴𝑂𝐴⊥𝐶+𝐷 =90°(cid:62)
∴∠𝐹𝐴=𝐸 ∠(cid:62)𝐴𝐸𝐹
∵𝑂𝐴 𝑂=𝐵 =32°(cid:62)
∴∠𝑂𝐴𝐵= ∠𝑂𝐵𝐴 = =58°,
∴(cid:140)∠𝐴𝐸𝐹 =9508°−°(cid:62)∠𝐹𝐴𝐸 90°−32°
(cid:124)∠(cid:117)𝐶(cid:118)𝐸𝐴(cid:188)(cid:10)58°(cid:70)
【题型3 利用垂径定理求线段长度】
(cid:15)(cid:108)3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:248)(cid:236)(cid:236)(cid:249)·(cid:205)(cid:36)(cid:137)(cid:187)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62) (cid:89)(cid:90)(cid:50) (0,0)(cid:62)(cid:178)y(cid:208)(cid:60)(cid:50)A(cid:62)(cid:240) ( )(cid:62)
(cid:44) (cid:37)(cid:188)(cid:73) (cid:76) ⊙𝑃 𝑂 𝑃 −10,−8
𝑂𝐴
A(cid:70)8 B(cid:70)10 C(cid:70)16 D(cid:70)20
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)C
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:156)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:3)(cid:160)(cid:75)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:10)(cid:24)(cid:59)(cid:60)(cid:44)(cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:42)(cid:61)(cid:250)(cid:68)(cid:44)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:65)(cid:66)
(cid:53)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)
(cid:90)P(cid:50)(cid:193) (cid:60)H(cid:50)(cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:244) = (cid:62)(cid:251)(cid:252)(cid:22)(cid:23)P(cid:50)(cid:40)(cid:41)(cid:244)(cid:253) =8(cid:62)(cid:254)(cid:255)(cid:244)(cid:253) =16(cid:70)
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:122)𝑃𝐻(cid:10)⊥(cid:90)𝑂𝐴P(cid:50)(cid:193) (cid:60)H(cid:50)(cid:62)(cid:84)𝑂(cid:109)𝐻(cid:62) 𝐵𝐻 𝑂𝐻 𝑂𝐴
𝑃𝐻⊥𝑂𝐴(cid:190) = (cid:62)
𝑂(𝐻 𝐴𝐻)(cid:62)
∵𝑃 −=108,−(cid:62)8
∴𝑂𝐻= =16(cid:70)
∴(cid:124)𝑂(cid:125)𝐴(cid:10)C2(cid:70)𝑂𝐻
(cid:15)(cid:143)(cid:144)3-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:256)(cid:152)(cid:257)(cid:258)·(cid:153)(cid:95)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:175) (cid:95)(cid:62) (cid:60)(cid:50) (cid:62) =4(cid:62) =1(cid:62)(cid:190)
(cid:57)(cid:37)(cid:53)(cid:44)(cid:37)(cid:75)(cid:73) (cid:76) ⊙𝑂 𝑂𝐶⊥𝐴𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝑂𝐶 ⊙𝑂
A(cid:70)2 3 B(cid:70) 10 C(cid:70) 17 D(cid:70)2 5
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)D
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:161)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:261)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:161)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:200) (cid:53)(cid:37)(cid:62)(cid:214)(cid:32)(cid:48)(cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:140)(cid:82)(cid:70)
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:175) (cid:95)(cid:62) (cid:62) 𝑂𝐵
⊙1 𝑂 𝑂𝐶⊥𝐴𝐵
= = =2(cid:62)
2
∴𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵
(cid:175)Rt (cid:95)(cid:62) = + = 5(cid:62)
2 2
△(cid:53)𝑂(cid:59)𝐶𝐵(cid:25)(cid:188) 𝑂𝐵
=2
𝑂
5
𝐶(cid:62) 𝐵𝐶
∴(cid:140)⊙𝑂 (cid:57)(cid:37)(cid:53)(cid:44)2(cid:37)𝑂𝐵(cid:75)2 5(cid:70)
(cid:124)(cid:125)⊙(cid:10)𝑂D(cid:70)
(cid:15)(cid:143)(cid:144)3-2(cid:19)(cid:73)2025·(cid:231)(cid:171)(cid:37)(cid:262)·(cid:103)(cid:174)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62) (cid:163) (cid:163) (cid:75) (cid:148)(cid:53)(cid:50)(cid:62) (cid:62)(cid:24)(cid:263)(cid:188)(cid:50) (cid:62) (cid:62)(cid:240)
=6(cid:62)(cid:190) (cid:53)(cid:37)(cid:188)(cid:73) (cid:76) 𝐴 𝐵 𝐶 ⊙𝑂 𝑂𝐶⊥𝐴𝐵 𝐷 𝐵𝐶∥𝑂𝐴
𝐵𝐶 𝑂𝐷A(cid:70)3 3 B(cid:70)3 C(cid:70)2 3 D(cid:70)4
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)B
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:264)(cid:90)(cid:176)(cid:177) (cid:62)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:163)(cid:42)(cid:43)(cid:35)(cid:98)(cid:99)(cid:161)(cid:216)(cid:217)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:98)(cid:99)(cid:62)(cid:107)(cid:265)(cid:200) (cid:157) (cid:53)(cid:3)(cid:196)(cid:266)(cid:32)(cid:122)(cid:70)
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:122)(cid:10)(cid:176)(cid:177)𝑂𝐵(cid:62) 𝑂𝐷 𝐵𝐶
𝑂𝐵
(cid:62) =
= (cid:62) =90° (cid:70) = (cid:62)
∵𝑂𝐶⊥𝐴𝐵 𝑂𝐴 𝑂𝐵
∴𝐴𝐷 𝐵𝐷(cid:62)∠𝐴𝐷𝑂 ∠𝐴𝑂𝐷 ∠𝐵𝑂𝐷
∵𝐵𝐶∥𝑂𝐴= = (cid:70)
(cid:267)∴∠𝐴𝑂𝐷= ∠𝐵=𝐶𝐷 (cid:62)∠𝐵𝑂𝐷
∵𝑂𝐴 =𝑂𝐵 𝑂=𝐶 (cid:70)
∴∠𝑂𝐵𝐶(cid:75)(cid:216)∠𝐵(cid:195)𝐶(cid:103)𝐷(cid:33)(cid:194)∠𝐵(cid:62)𝑂𝐶
∴△𝑂=𝐵𝐶 =6
∴𝑂𝐶 𝐵𝐶(cid:62) (cid:75)(cid:216)(cid:195)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:62)
∵𝑂𝐶⊥𝐴1𝐵 △𝑂𝐵𝐶
= =3 (cid:70)
2
(cid:124)∴(cid:125)𝑂𝐷(cid:10)B (cid:70)𝑂𝐶
(cid:15)(cid:50)(cid:126)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:241)(cid:242)(cid:128)(cid:129)(cid:156)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:163)(cid:42)(cid:43)(cid:35)(cid:53)(cid:98)(cid:99)(cid:163)(cid:216)(cid:217)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:53)(cid:98)(cid:99)(cid:268)(cid:158)(cid:216)(cid:195)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:53)(cid:28)(cid:26)(cid:158)(cid:98)(cid:99)(cid:62)(cid:136)
(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:161)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:34)(cid:163)(cid:195)(cid:53)(cid:3)(cid:196)(cid:107)(cid:265)(cid:35)(cid:36)(cid:269)(cid:53)(cid:52)(cid:270)(cid:3)(cid:196)(cid:75)(cid:122)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:160)(cid:70)
(cid:15)(cid:143)(cid:144)3-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:111)·(cid:231)(cid:271)(cid:272)(cid:273)·(cid:205)(cid:36)(cid:137)(cid:187)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:110)(cid:83)(cid:50)A(cid:62)C(cid:62)D(cid:175) (cid:148)(cid:62)(cid:50)B(cid:175) (cid:230)(cid:62)
(cid:161) (cid:274)(cid:188)(cid:59)(cid:33)(cid:62) =2(cid:62) =6(cid:62) =4(cid:62)(cid:190) (cid:53)(cid:181)(cid:25)(cid:188)(cid:73) (cid:76) ⊙𝑂 ⊙𝑂 ∠𝐵
∠𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 ⊙𝑂A(cid:70)5 B(cid:70)3 2 C(cid:70)2 5 D(cid:70) 21
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)C
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:90)(cid:50)O(cid:193) (cid:60)(cid:50)E(cid:62)(cid:275)(cid:37) (cid:62)(cid:106)(cid:35)(cid:178)(cid:60)(cid:50)F(cid:62)(cid:244)(cid:253)(cid:276)(cid:195)(cid:194) (cid:75)(cid:277)(cid:194)(cid:62)(cid:235) = (cid:190)
= (cid:62)(cid:176)(cid:177) 𝑂𝐸⊥(cid:62)𝐶𝐷(cid:22)(cid:23)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:122)𝐴(cid:117)𝐵,(cid:140)𝐸𝑂(cid:82)(cid:70) 𝐵𝐶𝐸𝐹 𝑂𝐹 𝑥
𝑂(cid:15)𝐸(cid:123)(cid:122)6(cid:19)−𝑥(cid:122)(cid:10)(cid:90)(cid:50)𝑂𝐴O,𝑂(cid:193)𝐶 (cid:60)(cid:50)E(cid:62)(cid:275)(cid:37) (cid:62)(cid:106)(cid:35)(cid:178)(cid:60)(cid:50)F(cid:62)
(cid:161) (cid:274)(cid:188)(cid:59)(cid:33)(cid:62) 𝑂𝐸⊥𝐶𝐷 𝐴𝐵,𝐸𝑂
∵(cid:276)∠𝐵(cid:195)(cid:194)∠𝐶 (cid:75)(cid:277)(cid:194)(cid:62)
∴ =9𝐵0𝐶°(cid:62)𝐸𝐹 = (cid:62) = (cid:62)
∴∠𝐹 =2(cid:62) 𝐵=𝐶 6(cid:62)𝐸𝐹 =𝐵𝐹4(cid:62)𝐶𝐸
∵𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷1
=6(cid:62) = = =2(cid:62) = + =4(cid:62)
2
∴(cid:235)𝐸𝐹 = (cid:190)𝐵𝐹 =𝐶𝐸 (cid:62)𝐶𝐷 𝐴𝐹 𝐴𝐵 𝐵𝐹
(cid:176)𝑂(cid:177)𝐹 𝑥 (cid:62)𝑂𝐸 6−𝑥
𝑂𝐴=,𝑂𝐶 + = + (cid:62)
2 2 2 2 2 2
∴𝑂𝐴= 𝐴𝐹(cid:62) 𝑂𝐹 ,𝑂𝐶 𝐶𝐸 𝑂𝐸
∵𝑂𝐴 +𝑂𝐶 = + (cid:62)
2 2 2 2
∴𝐴4𝐹+ 𝑂𝐹=2 𝐶+𝐸( 𝑂)𝐸(cid:62)
2 2 2 2
∴(cid:122)(cid:244) =𝑥 2(cid:62) 6−𝑥
𝑥
= + = 4 +2 =2 5(cid:62)
2 2 2 2
∴(cid:124)𝑂(cid:125)𝐴(cid:10)C(cid:70)𝐴𝐹 𝑂𝐹(cid:15)(cid:50)(cid:126)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:156)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:56)(cid:23)(cid:62)(cid:277)(cid:194)(cid:53)(cid:28)(cid:26)(cid:161)(cid:98)(cid:99)(cid:62)(cid:48)(cid:53)(cid:98)(cid:99)(cid:62)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:122)(cid:278)(cid:279)(cid:62)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:24)(cid:25)
(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:75)(cid:122)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:160)(cid:70)
【题型4 利用垂径定理求面积】
(cid:15)(cid:108)4(cid:19)(cid:73)23-24(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:231)(cid:271)(cid:280)(cid:281)·(cid:153)(cid:95)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:175)(cid:181)(cid:25)(cid:188)1(cid:53) (cid:95)(cid:209)(cid:103)(cid:68)(cid:44)(cid:62)(cid:282)(cid:283)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:48)(cid:47)(cid:33)(cid:61)(cid:206)
(cid:188)60°(cid:62)90°(cid:62)120°(cid:62)(cid:284)(cid:285)(cid:268)(cid:250)(cid:103)(cid:68)(cid:44)(cid:37)(cid:188)(cid:195)(cid:37)(cid:53)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:53)(cid:38)(cid:39)(cid:75) ⊙ 𝑂 (cid:70)
2
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)
2
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:176)(cid:177) (cid:62) (cid:62) (cid:62) (cid:62) (cid:62) (cid:62)(cid:193) (cid:60) (cid:62)(cid:190)
= = = 𝑂=𝐴 𝑂𝐵= 𝑂𝐶=1𝑂(cid:62)𝐷 𝑂𝐸 =𝑂6𝐹0°(cid:62) 𝑂𝑀⊥=𝐸𝐹90°𝑀(cid:62) =120°(cid:62) (cid:75)(cid:216)(cid:195)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:62)
𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑂𝐶 𝑂𝐷 𝑂𝐸 𝑂𝐹 ∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐶𝑂𝐷 ∠𝐸𝑂𝐹 △𝐴𝑂𝐵
(cid:75)(cid:216)(cid:217)(cid:59)(cid:33)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:62) =1(cid:62) = 2(cid:62) = 3(cid:62)(cid:80)1 +( 2) =3=( 3) (cid:62)(cid:82)(cid:83)(cid:180)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:75)(cid:268)
2 2 2
1△
(cid:62)
𝐶𝑂2𝐷(cid:188)(cid:59)(cid:33)(cid:195)(cid:53)(cid:59)(cid:33)(cid:103)(cid:33)(cid:194)𝐴(cid:62)𝐵(cid:251)(cid:252)(cid:32)𝐶(cid:38)𝐷(cid:39)(cid:140)(cid:82)(cid:70)𝐸𝐹
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:122)(cid:10)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:176)(cid:177) (cid:62) (cid:62) (cid:62) (cid:62) (cid:62) (cid:62)(cid:193) (cid:60) (cid:62)
𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑂𝐶 𝑂𝐷 𝑂𝐸 𝑂𝐹 𝑂𝑀⊥𝐸𝐹 𝑀
= = = = = =1(cid:62)
∴𝑂𝐴 𝑂=𝐵60°𝑂(cid:62)𝐶 𝑂𝐷=9𝑂0𝐸°(cid:62) 𝑂𝐹 =120°(cid:62)
∴∠𝐴𝑂𝐵 (cid:75)(cid:216)(cid:195)(cid:103)∠𝐶(cid:33)𝑂(cid:194)𝐷(cid:62) ∠(cid:75)𝐸𝑂(cid:216)𝐹(cid:217)(cid:59)(cid:33)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:62)
∴△𝐴𝑂𝐵 △𝐶𝑂𝐷
= =1(cid:62) = + = 2(cid:62)
2 2
∴𝐴𝐵 𝑂=𝐴120°(cid:62)𝐶𝐷 = 𝑂𝐶(cid:62) 𝑂𝐷
∵∠𝐸𝑂𝐹 𝑂𝐸 1𝑂𝐹
=30°(cid:62) = (cid:62)
2
∴∠𝑂𝐹𝐸
1
1𝐹𝑀 𝐸𝐹
= = (cid:62)
2 2
∴𝑂𝑀 𝑂𝐹
3
(cid:80)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:244) = = (cid:62)
2
2 2
𝐹𝑀 𝑂𝐹 −𝑂𝑀= 3(cid:62)
∴(cid:103)𝐸𝐹(cid:68)(cid:44)(cid:286)(cid:142)(cid:53)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:53)(cid:103)(cid:68)(cid:195)(cid:53)(cid:37)(cid:188)1(cid:62) 3(cid:62) 2(cid:62)
∴
1 +( 2) =3=( 3) (cid:62)
2 2
2
∵(cid:180)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:75)(cid:268)1(cid:62) 2(cid:188)(cid:59)(cid:33)(cid:195)(cid:53)(cid:59)(cid:33)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:62)
∴ 1× 2 2
(cid:38)(cid:39)(cid:188) = (cid:62)
2 2
∴ 2
(cid:124)(cid:117)(cid:118)(cid:188)(cid:10) (cid:70)
2
(cid:15)(cid:50)(cid:126)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:156)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:216)(cid:217)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:53)(cid:28)(cid:26)(cid:157)(cid:98)(cid:99)(cid:62)(cid:216)(cid:195)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:53)(cid:28)(cid:26)(cid:157)(cid:98)(cid:99)(cid:62)(cid:215)30°(cid:53)(cid:59)(cid:33)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:62)
(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:287)(cid:26)(cid:27)(cid:216)(cid:83)(cid:288)(cid:70)(cid:30)(cid:115)(cid:32)(cid:122)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:34)(cid:75)(cid:122)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:160)(cid:70)
(cid:15)(cid:143)(cid:144)4-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:248)(cid:236)(cid:289)(cid:171)·(cid:153)(cid:95)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62) (cid:75) (cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:62)(cid:44) (cid:60)(cid:50) (cid:62)(cid:176)(cid:177) (cid:62) (cid:62)
(cid:240) =8cm(cid:62) =2cm(cid:62)(cid:190) (cid:53)(cid:38)(cid:39)(cid:75)(cid:73) (cid:76) 𝐴𝐶 ⊙𝑂 𝐵𝐷⊥𝐴𝐶 𝐸 𝐵𝐶 𝑂𝐵
𝐵𝐷 𝐴𝐸 △𝑂𝐵𝐶
A(cid:70)10cm B(cid:70)20cm C(cid:70)40cm D(cid:70)5cm
2 2 2 2
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)A
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:241)(cid:242)(cid:128)(cid:129)(cid:156)(cid:48)(cid:53)(cid:131)(cid:127)(cid:98)(cid:99)(cid:163)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:163)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:216)(cid:83)(cid:288)(cid:50)(cid:62)(cid:138)(cid:139)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:75)(cid:122)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:160)(cid:70)(cid:80)
1
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:82)(cid:244) = =4cm(cid:62)(cid:214)(cid:120)(cid:121)(cid:48)(cid:53)(cid:98)(cid:99)(cid:82)(cid:244) = (cid:62)(cid:214)(cid:120)(cid:121)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:112)(cid:278)(cid:279)(cid:32)(cid:244) =5cm(cid:62)
2
(cid:140) = =𝐵5𝐸cm(cid:62)𝐵(cid:57)𝐷(cid:252)(cid:120)(cid:121)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:53)(cid:38)(cid:39)(cid:7)(cid:144)(cid:32)(cid:122)(cid:140)𝑂𝐸(cid:82)(cid:70)𝑂𝐵−2 𝑂𝐵
(cid:15)(cid:123)𝑂𝐶(cid:122)(cid:19)𝑂(cid:122)𝐵(cid:10) (cid:75) (cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:62)(cid:44) (cid:60)(cid:50) (cid:62)
1 ∵𝐴𝐶 ⊙𝑂 𝐵𝐷⊥𝐴𝐶 𝐸
= =4cm(cid:62)
2
∴𝐵𝐸 𝐵𝐷
= = = (cid:62) = + (cid:62)
2 2 2
∵𝑂𝐸 =𝑂4𝐴−+𝐴𝐸( 𝑂𝐵)−𝐴(cid:62)𝐸(cid:122)(cid:244)𝑂(cid:10)𝐵−2 =𝑂5𝐵cm(cid:62)𝐵𝐸 𝑂𝐸
2 2 2
∴𝑂𝐵= =5c𝑂m𝐵(cid:62)−2 𝑂𝐵
∴𝑂𝐶 𝑂𝐵 1 1
(cid:53)(cid:38)(cid:39)(cid:75) = ×5×4=10cm (cid:70)
2 2
2
∴(cid:124)△(cid:125)𝑂(cid:10)𝐵A𝐶(cid:70) 𝑂𝐶⋅𝐵𝐸(cid:15)(cid:143)(cid:144)4-2(cid:19)(cid:73)2025·(cid:231)(cid:271)·(cid:106)(cid:174)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:110)(cid:83)(cid:277)(cid:194) (cid:53)(cid:290)(cid:50)B(cid:62)C(cid:175)(cid:181)(cid:25)(cid:188)5(cid:53)(cid:181)(cid:48)O(cid:148)(cid:62)(cid:290)(cid:50)A(cid:62)D(cid:175)
(cid:59)(cid:25) (cid:148)(cid:70)(cid:240) =2(cid:62)(cid:190)(cid:277)(cid:194) (cid:53)(cid:38)(cid:39)(cid:216)(cid:60)(cid:73)𝐴𝐵 𝐶 𝐷(cid:76)
𝐸𝐹 𝐸𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷
A(cid:70)21 B(cid:70)22 C(cid:70)23 D(cid:70)24
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)D
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:277)(cid:194)(cid:53)(cid:28)(cid:26)(cid:157)(cid:98)(cid:99)(cid:163)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:163)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:277)(cid:194)(cid:53)(cid:28)(cid:26)(cid:157)(cid:98)(cid:99)(cid:75)(cid:122)(cid:117)(cid:53)(cid:3)(cid:160)(cid:70)(cid:176)
(cid:177) (cid:62)(cid:90) (cid:60)H(cid:62)(cid:190) = (cid:62)(cid:82)(cid:184)(cid:185)(cid:276)(cid:195)(cid:194) (cid:75)(cid:277)(cid:194)(cid:244) = =3(cid:62)(cid:190) =6(cid:62)(cid:214)(cid:22)(cid:23)(cid:259)(cid:260)
(cid:26)𝑂(cid:27)𝐶(cid:32)(cid:244)𝑂𝐻(cid:62)⊥(cid:162)𝐵(cid:255)𝐶 (cid:22)(cid:23)(cid:277)(cid:194)𝐶(cid:98)𝐻(cid:99)(cid:32)𝐵𝐻(cid:122)(cid:140)(cid:82)(cid:70) 𝐶𝐷𝑂𝐻 𝐶𝐻 𝑂𝐷 𝐵𝐶
𝐶𝐷 1
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:122)(cid:10)(cid:176)(cid:177) (cid:62)(cid:90) (cid:60)H(cid:62)(cid:190) = = (cid:62) =90°(cid:62)
2
𝑂𝐶 𝑂𝐻⊥𝐵𝐶 𝐶𝐻 𝐵𝐻 𝐵𝐶 ∠𝑂𝐻𝐶
(cid:277)(cid:194) (cid:53)(cid:290)(cid:50)B(cid:62)C(cid:175)(cid:181)(cid:25)(cid:188)5(cid:53)(cid:181)(cid:48)O(cid:148)(cid:62) =2(cid:62)
∵ =𝐴𝐵𝐶𝐷 =3(cid:62) = = =90𝐸°𝐷(cid:62)
∴(cid:276)𝑂𝐷(cid:195)(cid:194)𝑂𝐸−𝐸𝐷(cid:75)(cid:277)(cid:194)(cid:62)∠𝐶𝐷𝑂 ∠𝐷𝐶𝐻 ∠𝑂𝐻𝐶
∴ = 𝐶𝐷=𝑂𝐻3(cid:62)(cid:190) = =6(cid:62)
∴𝐶𝐻 𝑂𝐷 𝐵𝐶 2𝐶𝐻
(cid:175)Rt (cid:95)(cid:62) = = 5 3 =4(cid:62)
2 2 2 2
(cid:277)(cid:194)△𝐶𝐷𝑂(cid:53)(cid:38)(cid:39)𝐶𝐷(cid:216)(cid:60)4𝑂×𝐶6−=𝑂2𝐷4(cid:62) −
∴(cid:124)(cid:125)(cid:10)𝐴D𝐵(cid:70)𝐶𝐷
(cid:15)(cid:143)(cid:144)4-3(cid:19)(cid:73)23-24(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:276)(cid:291)(cid:292)(cid:293)·(cid:153)(cid:95)(cid:76)(cid:110)(cid:83) (cid:53)(cid:103)(cid:51)(cid:290)(cid:50)(cid:189)(cid:175)(cid:48)O(cid:148)(cid:62)(cid:50)O(cid:253) (cid:53)(cid:294)(cid:295)(cid:188)3(cid:62)
=8(cid:64) = (cid:62)(cid:190) (cid:53)(cid:38)(cid:39)= (cid:70) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵
𝐴(cid:15)𝐵(cid:117)(cid:118)(cid:19)3𝐶2𝐴(cid:207)8𝐶𝐵 △𝐴𝐵𝐶
1
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:156)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:268)(cid:158)(cid:216)(cid:217)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:53)(cid:98)(cid:99)(cid:62)(cid:121)(cid:81)(cid:244) (cid:62) = =4(cid:62)(cid:64) (cid:175) (cid:148)(cid:62)
2
′ ′
(cid:113)(cid:165)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:268)(cid:158)(cid:61)(cid:218)(cid:219)(cid:114)(cid:221)(cid:222)(cid:140)(cid:82)(cid:193)(cid:117)(cid:70) 𝐶𝐶 ⊥𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐶𝐶
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:122)(cid:10)(cid:84)(cid:109)(cid:65)(cid:197)(cid:10)(cid:176)(cid:177) (cid:178) (cid:60)(cid:50)D
′
𝐶𝐶 𝐴𝐷(cid:296)(cid:188) = (cid:62)
𝐶𝐴 𝐶𝐵 1
(cid:65)(cid:268) (cid:62) = =4(cid:62)(cid:64) (cid:175) (cid:148)
2
′ ′
(cid:296)(cid:188)𝐶(cid:50)𝐶 O⊥(cid:253)𝐴𝐵 (cid:53)𝐴(cid:294)𝐷(cid:295)(cid:188)𝐴𝐵3(cid:62) ⊙𝑂 𝐶𝐶
(cid:65)(cid:268) =3𝐴(cid:62)𝐵
(cid:220)(cid:50)𝑂(cid:175)𝐷(cid:94)(cid:69) (cid:148)(cid:297)(cid:62)
𝐶 𝐴𝐵
(cid:190) = + = 16+9=5(cid:62)
2 2
𝐴=𝑂 𝐴=𝐷2(cid:62)𝑂𝐷
𝐶𝐷 5−3 1
(cid:65)(cid:268) (cid:53)(cid:38)(cid:39)= ×8×2=8(cid:62)
2
(cid:220)(cid:50)△(cid:175)𝐴(cid:93)𝐵𝐶(cid:69) (cid:148)(cid:297)(cid:62)(cid:140)(cid:188)(cid:50) (cid:62)
′
𝐶 𝐴𝐵 𝐶
(cid:190) = + = 16+9=5= (cid:62)
2 2 ′
(cid:284)𝐴(cid:285)𝑂 =𝐴3𝐷+5𝑂=𝐷8(cid:62) 𝐶 𝑂
′
𝐶 𝐷 1
(cid:65)(cid:268) (cid:53)(cid:38)(cid:39)= ×8×8=32(cid:62)
2
(cid:298)(cid:148)(cid:10)△𝐴𝐵𝐶 (cid:53)(cid:38)(cid:39)(cid:188)32(cid:207)8(cid:62)
(cid:124)(cid:117)(cid:118)(cid:188)△(cid:10)𝐴𝐵32𝐶(cid:207)8(cid:70)
【题型5 利用垂径定理求坐标】
(cid:15)(cid:108)5(cid:19)(cid:73)2025·(cid:150)(cid:236)(cid:171)(cid:299)·(cid:86)(cid:174)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:50) ( )(cid:62) ( )(cid:62)(cid:181)(cid:25)(cid:188)5(cid:53) (cid:89)(cid:90)(cid:50) (cid:62) (cid:62)(cid:190)(cid:50) (cid:53)(cid:40)(cid:41)
(cid:188)(cid:73) (cid:76) 𝑀 0,−2 𝑁 0,−8 ⊙𝐴 𝑀 𝑁 𝐴A(cid:70)( ) B(cid:70)( ) C(cid:70)( ) D(cid:70)( )
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)−D5,−4 −4,−6 −6,−4 −4,−5
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:277)(cid:194)(cid:53)(cid:28)(cid:26)(cid:157)(cid:98)(cid:99)(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:158)(cid:101)(cid:56)(cid:23)(cid:75)(cid:122)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:160)(cid:70)(cid:176)
(cid:177) (cid:62)(cid:90)(cid:50) (cid:193) (cid:60)(cid:50) (cid:62) (cid:208)(cid:60)(cid:50) (cid:62)(cid:82)(cid:244)(cid:276)(cid:195)(cid:194) (cid:75)(cid:277)(cid:194)(cid:62)(cid:244)(cid:200) = (cid:62) = (cid:62)(cid:22)
(cid:23)𝐴𝑀( )(cid:62)𝐴 (𝐴𝐸⊥)(cid:62)𝑀𝑁(cid:82)(cid:244) 𝐸 =𝐴2𝐹(cid:62)⊥𝑥 =8(cid:62)𝐹 = 𝐴𝐹=𝑂6𝐸(cid:62)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝐴𝐸(cid:82)(cid:244)𝑂𝐹 (cid:62)𝐴(cid:190)𝐹(cid:82)(cid:244)𝑂𝐸 (cid:62)
(cid:22)𝑀(cid:23)(cid:259)0,(cid:260)−2(cid:26)(cid:27)𝑁(cid:82)0(cid:244),−8 (cid:62)(cid:140)(cid:82)(cid:244)𝑂𝑀(cid:70) 𝑂𝑁 𝑀𝑁 𝑂𝑁−𝑂𝑀 𝑀𝐸 𝑂𝐸
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:122)(cid:10)(cid:84)(cid:109)𝐴(cid:62)𝐸(cid:176)(cid:177) (cid:62)(cid:90)(cid:50) (cid:193) (cid:60)(cid:50) (cid:62) (cid:208)(cid:60)(cid:50) (cid:62)
𝐴𝑀 𝐴 𝐴𝐸⊥𝑀𝑁 𝐸 𝐴𝐹⊥𝑥 𝐹
(cid:267) =90°(cid:62)
(cid:276)∵(cid:195)∠𝐹(cid:194)𝑂𝑁 (cid:75)(cid:277)(cid:194)(cid:62)
∴ = 𝐴𝐹(cid:62)𝑂𝐸 = (cid:62)
∴𝐴𝐸( 𝑂𝐹)(cid:62)𝐴(𝐹 𝑂)𝐸(cid:62)
∵𝑀 0=,−22(cid:62) 𝑁 0=,−88(cid:62)
∴𝑂𝑀 = 𝑂𝑁 =6(cid:62)
∴𝑀𝑁 𝑂𝑁(cid:62)−𝑂𝑀
∵𝐴𝐸⊥𝑀𝑁 1
= = =3(cid:62)
2
∴𝐸𝑀= 𝐸𝑁= 𝑀𝑁+ =5(cid:62)
∴𝐴𝐹 (cid:53)𝑂(cid:181)𝐸(cid:25)(cid:188)𝑂𝑀5(cid:62)𝐸𝑀
∵⊙𝐴=5(cid:62)
∴𝐴𝑀= =4(cid:62)
2 2
∴𝐴𝐸 =4(cid:62)𝐴𝑀 −𝑀𝐸
∴𝑂(𝐹 )(cid:62)
(cid:124)∴𝐴(cid:125)−(cid:10)4,D−(cid:70)5
(cid:15)(cid:143)(cid:144)5-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:234)(cid:300)·(cid:153)(cid:238)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:175)(cid:42)(cid:38)(cid:59)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:196)(cid:95)(cid:62)(cid:181)(cid:25)(cid:188)5(cid:53) (cid:89)(cid:90)(cid:50) ( )(cid:62)
( )(cid:62)(cid:190)(cid:50) (cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:188) (cid:70) ⊙𝐴 𝐵 0,−1 𝐶
0,−7 𝐴
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)( )
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:127)4,(cid:20)−4(cid:128)(cid:129)(cid:156)(cid:40)(cid:41)(cid:157)(cid:109)(cid:194)(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:122)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:160)(cid:75)(cid:30)(cid:115)(cid:193)(cid:200)(cid:201)(cid:202)(cid:35)(cid:70)(cid:90)(cid:50) (cid:193)
1 𝐴 𝐴𝐻⊥𝐵𝐶
(cid:60)(cid:50) (cid:62)(cid:176)(cid:177) (cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:244)(cid:253) = = (cid:62)(cid:80) ( )(cid:62) ( )(cid:62)(cid:82)(cid:244) =1(cid:62) =7(cid:62)
2
=𝐻6(cid:62)(cid:107)(cid:200)𝐴𝐶 = =3(cid:62)(cid:214)(cid:120)(cid:121)𝐶(cid:259)𝐻(cid:260)(cid:26)𝐵(cid:27)𝐻(cid:32)(cid:200)𝐵𝐶 =4𝐵(cid:62) 0 (cid:140) ,− (cid:82) 1 (cid:32)(cid:122)𝐶(cid:70) 0,−7 𝑂𝐵 𝑂𝐶
𝐵(cid:15)𝐶(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:122)(cid:10)(cid:84)𝐶𝐻(cid:109)(cid:62)𝐵(cid:90)𝐻(cid:50) (cid:193) (cid:60)(cid:50) (cid:62)(cid:176)(cid:177)𝐴𝐻(cid:62)
𝐴 𝐴𝐻⊥𝐵𝐶 𝐻 𝐴𝐶
1
= = (cid:62)
2
( )(cid:62) ( )(cid:62) ∴ 𝐶𝐻 𝐵𝐻 𝐵𝐶
∵ 𝐵 0=,−11(cid:62) 𝐶 0=,−77(cid:62)
∴ 𝑂𝐵= 𝑂𝐶 = =6(cid:62)
∴ 𝐵𝐶 =𝑂𝐶−=𝑂𝐵3(cid:62) 7−1
∴ 𝐶𝐻 =𝐵𝐻+ =1+3=4(cid:62)
∴ 𝑂𝐻=5𝑂(cid:62)𝐵 𝐵𝐻
∵ 𝐴𝐶= = 5 3 =4(cid:62)
2 2 2 2
∴ 𝐴𝐻(cid:53)(cid:40)(cid:41)𝐴(cid:188)𝐶(−𝐶𝐻)(cid:62) −
(cid:124)∴(cid:117)𝐴(cid:118)(cid:188)(cid:10)( 4,−)(cid:70)4
(cid:15)(cid:143)(cid:144)5-2(cid:19)4(cid:73),−244-25(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:301)(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:305)·(cid:153)(cid:95)(cid:76)(cid:175)(cid:42)(cid:38)(cid:59)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:196)(cid:95)(cid:62) (cid:53)(cid:48)(cid:47)(cid:40)(cid:41)(cid:75) >3)(cid:62)
(cid:181)(cid:25)(cid:188)3(cid:62)(cid:306)(cid:52) = (cid:53)(cid:109)(cid:307)(cid:308) (cid:309)(cid:244)(cid:53)(cid:44) (cid:53)(cid:37)(cid:188)2 3(cid:62)(cid:190) (cid:53)(cid:58)(cid:75) ⊙ 𝑃(cid:70) (3,𝑎)(𝑎
𝑦 𝑥 ⊙𝑃 𝐴𝐵 𝑎
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)3+2 3/2 3+3
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:156)(cid:86)(cid:310)(cid:306)(cid:52)(cid:53)(cid:298)(cid:165)(cid:56)(cid:23)(cid:62)(cid:311)(cid:158)(cid:48)(cid:53)(cid:98)(cid:99)(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:216)(cid:217)(cid:59)(cid:33)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:53)(cid:98)(cid:99)(cid:62)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)
(cid:216)(cid:62)(cid:32)(cid:244)(cid:50) (cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:75)(cid:122)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:160)(cid:70)
(cid:193) (cid:208)(cid:60)𝐷(cid:50)(cid:62)(cid:178) (cid:60)(cid:50) (cid:62)(cid:193) (cid:60)(cid:50) (cid:62)(cid:176)(cid:177) (cid:62)(cid:80)(cid:60) =3(cid:62) = (cid:62)(cid:244)(cid:253)(cid:50) (cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:188)(3,3)(cid:62)
𝑃𝐶⊥𝑥 𝐴𝐵 𝐷 𝑃𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸 𝑃𝐵 𝑂𝐶 1 𝑃𝐶 𝑎 𝐷
(cid:190) (cid:62) (cid:188)(cid:216)(cid:217)(cid:59)(cid:33)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:244)(cid:253) = = = 3(cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:244)(cid:253) =
2
6(cid:62)△(cid:190)𝑂𝐶𝐷 = △ 2 𝑃𝐸𝐷 =2 3(cid:62)(cid:140)(cid:82)(cid:244)(cid:253)(cid:117)(cid:118)(cid:70) 𝐴𝐸 𝐵𝐸 𝐴𝐵 𝑃𝐸
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)𝑃𝐷(cid:122)(cid:10)(cid:84)(cid:109)𝑃𝐸(cid:62)(cid:193) (cid:208)(cid:60)(cid:50) (cid:62)(cid:178) (cid:60)(cid:50) (cid:62)(cid:193) (cid:60)(cid:50) (cid:62)(cid:176)(cid:177) (cid:62)
𝑃𝐶⊥𝑥 𝐶 𝐴𝐵 𝐷 𝑃𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸 𝑃𝐵
(cid:53)(cid:48)(cid:47)(cid:40)(cid:41)(cid:75) >3)(cid:62)
∵ ⊙=𝑃 = (cid:62) (3,𝑎)(𝑎
(cid:312)∴𝑂𝐶=3(cid:313)3,𝑃(cid:314)𝐶 =𝑎 (cid:244) =3(cid:62)
𝑥(cid:50) (cid:53)(cid:40)(cid:41)𝑦(cid:188)(3𝑥,3)𝑦(cid:62)
∴ 𝐷=3(cid:62)
∴𝐶𝐷 (cid:188)(cid:216)(cid:217)(cid:59)(cid:33)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:62)
∴△𝑂𝐶𝐷 (cid:62)
∵𝑃𝐸⊥𝐴𝐵1
(cid:188)(cid:216)(cid:217)(cid:59)(cid:33)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:62) = = = 3(cid:62)
2
∴△𝑃𝐸=𝐷3(cid:62) 𝐴𝐸 𝐵𝐸 𝐴𝐵
∵𝑃𝐵
= = = 6(cid:62)
2 2
∴𝑃𝐸 = 2𝑃𝐵 −=𝐵𝐸2× 69−=32 3(cid:62)
∴𝑃𝐷= 𝑃+𝐸 =3+2 3(cid:62)
∴𝑃𝐶=3𝐶+𝐷2 3𝑃(cid:62)𝐷
(cid:124)∴(cid:117)𝑎 (cid:118)(cid:188)(cid:10)3+2 3 (cid:70)
(cid:15)(cid:143)(cid:144)5-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:315)(cid:316)(cid:317)(cid:318)·(cid:153)(cid:238)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:175)(cid:42)(cid:38)(cid:59)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:196)(cid:95)(cid:62)(cid:30)(cid:278)(cid:194) (cid:53)(cid:290)(cid:50) (cid:62) (cid:61)(cid:206)
(cid:175) (cid:208)(cid:62) (cid:208)(cid:148)(cid:62)(cid:268) (cid:188)(cid:44)(cid:53) (cid:157) (cid:208)(cid:239)(cid:319)(cid:62)(cid:240)(cid:50) (cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:188)(0,8)(cid:62)(cid:190)(cid:48)(cid:47) (cid:53)(cid:40)(cid:41)𝐴(cid:188)𝐵(cid:73)𝐶𝑂 (cid:76) 𝐴 𝐶
𝑦 𝑥 𝐴𝐵 ⊙𝑀 𝑥 𝐴 𝑀
A(cid:70)( ) B(cid:70)( ) C(cid:70)( ) D(cid:70)( )
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)−A4,5 −5,4 −4,4 −4,3
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:156)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:163)(cid:40)(cid:41)(cid:157)(cid:109)(cid:194)(cid:98)(cid:99)(cid:163)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:158)(cid:30)(cid:278)(cid:194)(cid:53)(cid:98)(cid:99)(cid:70)(cid:90)(cid:50)M(cid:193) (cid:60)D(cid:62)(cid:176)
(cid:177) (cid:70)(cid:235) (cid:53)(cid:181)(cid:25)(cid:188)R(cid:62)(cid:296)(cid:188)(cid:276)(cid:195)(cid:194) (cid:188)(cid:30)(cid:278)(cid:194)(cid:62)(cid:290)(cid:50)A(cid:62)C(cid:175)(cid:40)(cid:41)(cid:208)(cid:148)(cid:62)(cid:268)(cid:195) 𝑀𝐷(cid:188)⊥(cid:44)𝐴(cid:53)𝐵 (cid:157)x
𝐴𝑀 ⊙𝑀 𝑂𝐴𝐵𝐶 1 𝐴𝐵 ⊙𝑀
(cid:208)(cid:239)(cid:319)(cid:62)(cid:50)A(cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:188)(0,8)(cid:62)(cid:65)(cid:268) = = =4(cid:62) = (cid:62)(cid:175)Rt (cid:95)(cid:62)(cid:22)(cid:23)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:140)(cid:82)
2
(cid:244)(cid:253)(cid:3)(cid:60)R(cid:53)(cid:278)(cid:279)(cid:62)(cid:122)(cid:320)(cid:140)(cid:82)(cid:70) 𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐵 𝐷𝑀 8−𝑅 △𝐴𝐷𝑀
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:122)(cid:10)(cid:90)(cid:50)M(cid:193) (cid:60)D(cid:62)(cid:178) (cid:60)(cid:50)E(cid:70)(cid:176)(cid:177) (cid:62)(cid:235) (cid:53)(cid:181)(cid:25)(cid:188)R(cid:70)
𝑀𝐷⊥𝐴𝐵 𝑂𝐶 𝐴𝑀 ⊙𝑀
(cid:268)(cid:195) (cid:188)(cid:44)(cid:53) (cid:157)x(cid:208)(cid:239)(cid:319)(cid:62) (cid:62)
∵ 𝐴𝐵 (cid:62) ⊙𝑀 𝐴𝐵∥𝑂𝐶
∴𝐷𝐸(cid:75)⊥𝐶𝑂 (cid:59)(cid:25)(cid:53)(cid:86)(cid:321)(cid:61)(cid:91)
∴𝐷𝐸 ⊙𝑀(cid:276)(cid:195)(cid:194) (cid:188)(cid:30)(cid:278)(cid:194)(cid:62)(cid:290)(cid:50)A(cid:62)C(cid:175)(cid:40)(cid:41)(cid:208)(cid:148)(cid:62)(cid:50)A(cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:188)(0,8)(cid:62)
∵ = 𝑂𝐴=𝐵𝐶 = =8(cid:62) = (cid:91)
∴𝑂𝐴 =𝐴𝐵 =𝐶4𝐵(cid:73)(cid:24)𝑂(cid:25)𝐶(cid:26)(cid:27)(cid:76)(cid:91)𝐷𝑀 8−𝑅
(cid:175)∴𝐴R𝐷t 𝐵𝐷 (cid:95)(cid:62)
(cid:120)(cid:121)(cid:259)△(cid:260)𝐴𝐷(cid:26)𝑀(cid:27)(cid:82)(cid:244) = + (cid:62)
2 2 2
=( ) +4𝐴(cid:62)𝑀 𝐷𝑀 𝐴𝐷
2 2 2
(cid:122)∴𝑅(cid:244)(cid:10) 8=−𝑅5(cid:70)
( 𝑅)(cid:70)
∴(cid:124)𝑀(cid:125)−(cid:10)4A,5(cid:70)
【题型6 利用垂径定理求平行弦问题】
(cid:15)(cid:108)6(cid:19)(cid:175)(cid:48)(cid:322)(cid:194)(cid:323)(cid:324)(cid:230)(cid:325)(cid:209)(cid:86)(cid:326)(cid:323)(cid:62)(cid:309)(cid:38)(cid:84)(cid:109)(cid:65)(cid:197)(cid:62)(cid:110)(cid:83)(cid:309)(cid:38) O(cid:181)(cid:25)(cid:188)5cm(cid:62)(cid:323)(cid:38)(cid:327)AB(cid:188)6cm(cid:62)(cid:84)(cid:85)
(cid:214)(cid:4)(cid:314)(cid:86)(cid:326)(cid:323)(cid:252)(cid:62)(cid:323)(cid:38)(cid:327)(cid:143)(cid:188)8cm(cid:62)(cid:190)(cid:323)(cid:38)AB(cid:148)(cid:328)(cid:156)(cid:73) (cid:76)cm ⊙
A(cid:70)1 B(cid:70)3 C(cid:70)3(cid:207)4 D(cid:70)1(cid:207)7
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)D
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:61)(cid:67)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:32)(cid:122)(cid:10)①(cid:84)(cid:109)1(cid:62)(cid:327)(cid:34)(cid:188)8cm(cid:53)(cid:323)(cid:38) (cid:62)(cid:193) (cid:157) (cid:163) (cid:53)(cid:178)(cid:50)(cid:188) (cid:163) (cid:62)(cid:82)(cid:83)
1 1 𝐶𝐷 𝑂𝑁⊥𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝑀 𝑁
(cid:62) = = =4cm(cid:62) = = =3cm(cid:62)(cid:175) (cid:95)(cid:62)(cid:80)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:244) =
2 2
𝑂𝑀⊥𝐶𝐷 𝐶𝑀 𝑀𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝑁 𝐵𝑁 𝐴𝐵 𝑅𝑡△𝐵𝑂𝑁 𝑂𝑁
(cid:62)(cid:122)(cid:244) (cid:53)(cid:58)(cid:62)(cid:175) (cid:95)(cid:62)(cid:80)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:244) = (cid:62)(cid:122)(cid:244) (cid:53)(cid:58)(cid:62)(cid:329)(cid:330)
2 2 2 2
(cid:140)𝑂(cid:82)𝐵(cid:91)−②𝐵𝑁(cid:84)(cid:109)2(cid:62)𝑂(cid:327)𝑁(cid:34)(cid:188)8cm𝑅(cid:53)𝑡(cid:323)△(cid:38)𝐷𝑂𝑀(cid:62)(cid:193) (cid:157) 𝑂(cid:163)𝑀 (cid:53)(cid:178)𝑂𝐷(cid:50)(cid:188)−𝐷𝑀(cid:163) (cid:62)(cid:176)(cid:177)𝑂𝑀 (cid:62)(cid:80)(cid:20)(cid:97)(cid:83)𝑂𝑁−𝑂𝑀
1 𝐸𝐹 𝑃𝑁1⊥𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐸𝐹 𝑁 𝑃 𝑂𝐵
(cid:62) = = =4cm(cid:62) = = =3cm(cid:62)(cid:175) (cid:95)(cid:62)(cid:80)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:244) =
2 2
𝑃𝑁⊥𝐴𝐵 𝐸𝑃 𝑃𝐹 𝐸𝐹 𝐴𝑁 𝐵𝑁 𝐴𝐵 𝑅𝑡△𝐵𝑂𝑁 𝑂𝑁
(cid:62)(cid:175) (cid:95)(cid:62)(cid:80)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:244) = (cid:62)(cid:329)(cid:330) = + (cid:140)(cid:82)(cid:70)
2 2 2 2
(cid:15)𝑂(cid:123)𝐵(cid:122)−(cid:19)𝐵(cid:122)𝑁(cid:10)(cid:61)(cid:67)𝑅𝑡(cid:210)△(cid:211)𝐸(cid:212)𝑃𝑂(cid:32)(cid:122)(cid:10)①(cid:84)(cid:109)1(cid:62)(cid:327)𝑂(cid:34)𝑃 (cid:188)8𝑂cm𝐸(cid:53)−(cid:323)𝐸𝑃(cid:38) (cid:62)(cid:193)𝑁𝑃 𝑂𝑁(cid:157)𝑂𝑃(cid:163) (cid:53)(cid:178)(cid:50)(cid:188) (cid:163)
𝐶𝐷 𝑂𝑁⊥𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝑀 𝑁1 1
(cid:80)(cid:20)(cid:97)(cid:83) (cid:62) = = =4cm(cid:62) = = =3cm
2 2
𝑂𝑀⊥𝐶𝐷 𝐶𝑀 𝑀𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝑁 𝐵𝑁 𝐴𝐵
(cid:175) (cid:95)(cid:62)(cid:80)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:244) = =4cm
2 2
𝑅𝑡△𝐵𝑂𝑁 𝑂𝑁 𝑂𝐵 −𝐵𝑁
(cid:175) (cid:95)(cid:62)(cid:80)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:244) = =3cm
2 2
𝑅𝑡△=𝐷𝑂𝑀 =1cm 𝑂𝑀 𝑂𝐷 −𝐷𝑀
∴②𝑀(cid:84)𝑁(cid:109)𝑂2(cid:62)𝑁−(cid:327)𝑂(cid:34)𝑀(cid:188)8cm(cid:53)(cid:323)(cid:38) (cid:62)(cid:193) (cid:157) (cid:163) (cid:53)(cid:178)(cid:50)(cid:188) (cid:163) (cid:62)(cid:176)(cid:177)
𝐸𝐹 𝑃𝑁⊥𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐸𝐹 𝑁 𝑃 𝑂𝐵
1 1
(cid:80)(cid:20)(cid:97)(cid:83) (cid:62) = = =4cm(cid:62) = = =3cm
2 2
𝑃𝑁⊥𝐴𝐵 𝐸𝑃 𝑃𝐹 𝐸𝐹 𝐴𝑁 𝐵𝑁 𝐴𝐵
(cid:175) (cid:95)(cid:62)(cid:80)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:244) = =4cm
2 2
𝑅𝑡△𝐵𝑂𝑁 𝑂𝑁 𝑂𝐵 −𝐵𝑁
(cid:175) (cid:95)(cid:62)(cid:80)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:244) = =3cm
2 2
𝑅𝑡=△𝐸𝑃𝑂+ =7cm 𝑂𝑃 𝑂𝐸 −𝐸𝑃
∴(cid:323)𝑁𝑃(cid:38)A𝑂B𝑁(cid:148)(cid:328)𝑂(cid:253)𝑃 CD(cid:62)(cid:148)(cid:328)(cid:156)1cm(cid:62)(cid:323)(cid:38)AB(cid:148)(cid:328)(cid:253)EF(cid:62)(cid:148)(cid:328)(cid:156)7cm(cid:91)
∴(cid:124)(cid:125)D(cid:70)
(cid:15)(cid:50)(cid:126)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:156)(cid:48)(cid:53)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:122)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:160)(cid:175)(cid:60)(cid:66)(cid:67)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:234)(cid:38)(cid:128)(cid:331)(cid:70)(cid:15)(cid:143)(cid:144)6-1(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:277)(cid:194)ABCD(cid:157)(cid:48)(cid:47)(cid:175)AB(cid:148)(cid:53)(cid:332)O(cid:178)(cid:60)(cid:50)G(cid:62)B(cid:62)F(cid:62)E(cid:62) GB =5(cid:62)EF =4(cid:62)(cid:284)(cid:285)AD =_____(cid:70)
3
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)
2
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:176)(cid:177)OF(cid:62)(cid:90)(cid:50)O(cid:193)OH EF(cid:62)(cid:24)(cid:263)(cid:188)H(cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:175) OHF(cid:95)(cid:62)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:329)(cid:330)(cid:70)
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:176)(cid:177)OF(cid:62)(cid:90)(cid:50)O⊥(cid:193)OH EF(cid:62)(cid:24)(cid:263)(cid:188)H(cid:62) △
1 ⊥
(cid:190)EH=FH= EF=2(cid:62)
2
GB=5(cid:62)
∵ 5
OF=OB= (cid:62)
2
(cid:175)∴ OHF(cid:95)(cid:62)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:244)
△ 5 3
OH= ( ) 2 = (cid:62)
2 2
2
2
(cid:276)(cid:195)(cid:194)AB−CD(cid:75)(cid:277)(cid:194)(cid:62)
∵(cid:276)(cid:195)(cid:194)OADH(cid:333)(cid:75)(cid:277)(cid:194)(cid:62)
∴ 3
AD=OH= (cid:62)
2
∴ 3
(cid:124)(cid:117)(cid:118)(cid:188)(cid:10) (cid:70)
2
(cid:15)(cid:50)(cid:126)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:156)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:163)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:67)(cid:51)(cid:26)(cid:27)(cid:75)(cid:122)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:160)(cid:70)
(cid:15)(cid:143)(cid:144)6-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:334)(cid:335)(cid:150)(cid:336)(cid:337)(cid:150)·(cid:153)(cid:238)(cid:76)(cid:110)(cid:83) (cid:53)(cid:181)(cid:25)(cid:188)13(cid:62)(cid:44) (cid:42)(cid:43)(cid:60)(cid:44) (cid:62) =10(cid:62)
=24(cid:62) (cid:161) (cid:320)(cid:269)(cid:53)(cid:294)(cid:295)(cid:75) (cid:70) ⊙𝑂 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐶𝐷
𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐶𝐷(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)7(cid:207)17
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:241)(cid:242)(cid:128)(cid:129)(cid:156)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:61)(cid:220) (cid:53)(cid:48)(cid:47)O(cid:338)(cid:60) (cid:163) (cid:320)(cid:269)(cid:297)(cid:62)(cid:220) (cid:53)(cid:48)(cid:47)O
(cid:74)(cid:175)(cid:67)(cid:42)(cid:43)(cid:44) (cid:163) (cid:320)(cid:269)(cid:297)(cid:62)(cid:67)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:61)(cid:206)(cid:22)(cid:23)(cid:259)(cid:260)⊙(cid:26)𝑂(cid:27)(cid:161)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)𝐴(cid:200)𝐵(cid:50)𝐶O𝐷(cid:253) (cid:161) (cid:53)⊙(cid:294)𝑂(cid:295)(cid:62)(cid:121)(cid:81)(cid:82)
(cid:244)(cid:117)(cid:118)(cid:70) 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:122)(cid:10)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:220) (cid:53)(cid:48)(cid:47)O(cid:338)(cid:60) (cid:163) (cid:320)(cid:269)(cid:297)(cid:62)(cid:193) (cid:60)(cid:50)E(cid:62)(cid:63)(cid:275)(cid:37) (cid:62)(cid:178) (cid:60)F(cid:50)(cid:70)(cid:61)
(cid:206)(cid:176)(cid:177) (cid:163) (cid:70) ⊙𝑂 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝑂𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸𝑂 𝐶𝐷
𝐴𝑂(cid:62)𝐶𝑂
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷
(cid:62)
∴𝐸𝐹⊥=𝐶1𝐷0(cid:62) =24(cid:62)
∵𝐶𝐷 1 𝐴𝐵 1
= =12(cid:62) = =5(cid:62)
2 2
∴𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝐶𝐹 𝐶𝐷
(cid:175)Rt (cid:95)(cid:62)(cid:80)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:244) = =5(cid:62)
2 2
△𝐴𝐸𝑂 𝑂𝐸 𝑂𝐴 −𝐴𝐸
(cid:175)Rt (cid:95)(cid:62)(cid:80)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:244) = =12(cid:62)
2 2
=△𝐶𝐹𝑂+ =5+12=17𝑂(cid:62)𝐸 𝑂𝐶 −𝐶𝐹
∴𝐸𝐹(cid:161)𝑂𝐸(cid:320)(cid:269)𝑂(cid:53)𝐹(cid:294)(cid:295)(cid:188)17(cid:91)
∴(cid:84)𝐴(cid:109)𝐵(cid:65)𝐶(cid:197)𝐷(cid:62)(cid:220) (cid:53)(cid:48)(cid:47)O(cid:74)(cid:175)(cid:67)(cid:42)(cid:43)(cid:44) (cid:163) (cid:320)(cid:269)(cid:73)(cid:140)(cid:44) (cid:163) (cid:175)(cid:48)(cid:47)O(cid:53)(cid:46)(cid:213)(cid:76)(cid:297)(cid:62)
(cid:46)(cid:27)(cid:82)(cid:244)(cid:10) ⊙=𝑂12(cid:62) =5(cid:62) 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷
= 𝑂𝐹 =7(cid:62) 𝑂𝐸
∴𝐸𝐹(cid:161)𝑂𝐹(cid:320)−𝑂(cid:269)𝐸(cid:53)(cid:294)(cid:295)(cid:188)7(cid:91)
(cid:298)∴𝐴(cid:148)𝐵(cid:65)𝐶(cid:339)𝐷(cid:62) (cid:161) (cid:320)(cid:269)(cid:53)(cid:294)(cid:295)(cid:188)7(cid:207)17(cid:70)
𝐴𝐵 𝐶𝐷
(cid:124)(cid:117)(cid:118)(cid:188)(cid:10)7(cid:207)17(cid:70)(cid:15)(cid:143)(cid:144)6-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:170)(cid:271)(cid:340)(cid:341)(cid:305)·(cid:153)(cid:95)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62) (cid:53)(cid:181)(cid:25)(cid:188)3(cid:62)(cid:44) =2 3,Rt (cid:53)(cid:59)(cid:33)(cid:290)
(cid:50)B(cid:175)(cid:44) (cid:148)(cid:243)(cid:342)(cid:73)(cid:82)(cid:157)(cid:50)M(cid:62)N(cid:343)(cid:165)(cid:76)(cid:62)(cid:50)A(cid:62)C(cid:344)(cid:345)⊙(cid:175)𝑂 (cid:148)(cid:62)(cid:64) =𝑀3𝑁(cid:70)(cid:3)(cid:60)(cid:346)(cid:346)△(cid:161)𝐴(cid:347)𝐵(cid:347)𝐶(cid:53)(cid:167)(cid:168)(cid:28)
(cid:29)(cid:30)(cid:115)(cid:53)(cid:75)𝑀𝑁(cid:73) (cid:76) ⊙𝑂 𝐴𝐵
(cid:346)(cid:346)(cid:167)(cid:10)“(cid:220)(cid:50)B(cid:157)(cid:50)M(cid:62)(cid:50)N(cid:343)(cid:165)(cid:297)(cid:62) (cid:53)(cid:34)(cid:52)(cid:75)30°(cid:70)”
(cid:347)(cid:347)(cid:167)(cid:10)“(cid:176)(cid:177) (cid:62)(cid:220) (cid:157)(cid:44) (cid:42)(cid:43)(cid:297)(cid:62)∠𝐶(cid:50)B(cid:253) (cid:53)(cid:294)(cid:295)(cid:188)2(cid:70)”
A(cid:70)(cid:346)(cid:346)(cid:30)(cid:115)𝑂𝐴(cid:62)(cid:347)(cid:347)𝑂(cid:169)𝐴 (cid:31) 𝑀𝑁 B(cid:70)(cid:346)𝑂(cid:346)𝐴 (cid:169)(cid:31)(cid:62)(cid:347)(cid:347)(cid:30)(cid:115)
C(cid:70)(cid:346)(cid:346)(cid:30)(cid:115)(cid:62)(cid:347)(cid:347)(cid:333)(cid:30)(cid:115) D(cid:70)(cid:346)(cid:346)(cid:169)(cid:31)(cid:62)(cid:347)(cid:347)(cid:333)(cid:169)(cid:31)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)A
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:241)(cid:242)(cid:128)(cid:129)(cid:156)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:216)(cid:195)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:53)(cid:98)(cid:99)(cid:157)(cid:28)(cid:26)(cid:62)(cid:48)(cid:53)(cid:131)(cid:127)(cid:98)(cid:99)(cid:62)(cid:62)(cid:220)(cid:50)B(cid:157)(cid:50)M
(cid:343)(cid:165)(cid:297)(cid:62)(cid:176)(cid:177) (cid:62)(cid:82)(cid:184)(cid:185) (cid:75)(cid:216)(cid:195)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:62)(cid:121)(cid:81)(cid:32)(cid:200) (cid:53)(cid:34)(cid:52)(cid:62)(cid:162)(cid:86)(cid:348)(cid:82)(cid:32)(cid:200) (cid:53)(cid:34)(cid:52)(cid:91)(cid:90)(cid:50)O(cid:193)
(cid:60)D𝑂(cid:62)𝐵(cid:176)(cid:177) (cid:62)△(cid:22)(cid:23)𝐴𝑂(cid:24)𝐵(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:161)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:200) ∠(cid:53)𝐴(cid:37)(cid:140)(cid:82)(cid:32)(cid:200)(cid:220) (cid:157)(cid:44) ∠𝐶(cid:42)(cid:43)(cid:297)(cid:62)(cid:50)B(cid:253)
𝑂(cid:53)𝐷(cid:294)⊥(cid:295)𝑀(cid:62)𝑁(cid:121)(cid:81)(cid:82)(cid:244)(cid:117)(cid:118)𝑂𝑀(cid:70) 𝑂𝐷 𝑂𝐴 𝑀𝑁 𝑂𝐴
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:122)(cid:10)(cid:84)(cid:109)(cid:65)(cid:197)(cid:62)(cid:220)(cid:50)B(cid:157)(cid:50)M(cid:343)(cid:165)(cid:297)(cid:62)(cid:176)(cid:177) (cid:62)
= = =3(cid:62) 𝑂𝐵
∵𝑂𝐴 𝑂(cid:75)𝐵 (cid:216)(cid:195)𝐴𝐵(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:62)
∴△𝐴=𝑂𝐵60°(cid:62)
∴∠𝐴 =90°(cid:62)
∵∠𝐴𝐵=𝐶30°(cid:91)
∴(cid:46)∠(cid:27)𝐶(cid:82)(cid:244)(cid:220)(cid:50)B(cid:157)(cid:50)N(cid:343)(cid:165)(cid:297)(cid:62) =30°(cid:62)(cid:124)(cid:346)(cid:346)(cid:53)(cid:167)(cid:168)(cid:30)(cid:115)(cid:91)
∠𝐶
(cid:84)(cid:109)(cid:65)(cid:197)(cid:62)(cid:90)(cid:50)O(cid:193) (cid:60)D(cid:62)(cid:176)(cid:177) (cid:62)
1 𝑂𝐷⊥𝑀𝑁 𝑂𝑀
= = 3(cid:62) =90°(cid:62)
2
∴𝐷𝑀 𝑀𝑁 ∠𝑂𝐷𝑀= = 6(cid:62)
2 2
∴𝑂𝐷 𝑂(cid:62)𝑀 −𝐷𝑀
∵(cid:50)𝑀𝑁B∥(cid:253)𝑂𝐴 (cid:53)(cid:294)(cid:295)(cid:188) 6(cid:62)(cid:124)(cid:347)(cid:347)(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:31)(cid:62)
∴(cid:124)(cid:125)(cid:10)A(cid:70)𝑂𝐴
【题型7 利用垂径定理求同心圆问题】
(cid:15)(cid:108)7(cid:19) (cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:86)(cid:349)(cid:350)(cid:53)(cid:69)(cid:194)(cid:351)(cid:205)(cid:62)(cid:254)(cid:148)(cid:352)(cid:111)(cid:353)(cid:75)(cid:86)(cid:286)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:308)(cid:86)(cid:68)(cid:59)(cid:35)(cid:65)(cid:309)(cid:244)(cid:53)(cid:86)(cid:286)(cid:48)(cid:69)(cid:70)(cid:110)(cid:83)(cid:354)(cid:51)(cid:351)
(cid:205)(cid:327)(cid:34)(cid:188)32cm(cid:73)(cid:140)(cid:239)(cid:355)(cid:67)(cid:69)(cid:181)(cid:25)(cid:239)(cid:356)32cm(cid:76)(cid:62)(cid:229)(cid:244)AB=200cm(cid:62)AC=BD=40cm(cid:62)(cid:190)(cid:69)AB(cid:65)(cid:175)(cid:53)(cid:48)(cid:53)(cid:181)(cid:25)(cid:188)
cm
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)134
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:80)(cid:60)(cid:65)(cid:209)(cid:53)(cid:357)(cid:194)(cid:75)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:62)(cid:223)(cid:200)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:48)(cid:47)(cid:62)(cid:235)(cid:69)AB(cid:65)(cid:175)(cid:53)(cid:48)(cid:53)(cid:181)(cid:25)(cid:188)r(cid:62)(cid:22)(cid:23)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:112)(cid:200)(cid:278)
(cid:279)(cid:140)(cid:82)(cid:122)(cid:117)(cid:70)
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:122)(cid:10)(cid:235)(cid:69)AB(cid:65)(cid:175)(cid:53)(cid:48)(cid:53)(cid:181)(cid:25)(cid:188)r(cid:62)(cid:84)(cid:109)(cid:70)(cid:193)OE AB(cid:60)E(cid:62)(cid:176)(cid:177)OA(cid:62)OC(cid:62)(cid:190)OA=r(cid:62)OC=r+32(cid:62)
⊥
OE AB(cid:62)
∵AE=⊥EB=100cm(cid:62)
∴(cid:175)RT OAE(cid:95) = = 100 (cid:62)
2 2 2 2 2
(cid:175)RT△OCE(cid:95)(cid:62)𝑂𝐸 =𝑂𝐴 −𝐴𝐸 =𝑟 (−+32) 140 (cid:62)
2 2 2 2 2
(cid:190) △100 =( 𝑂+𝐸32) 𝑂𝐶14−0𝐶 𝐸 𝑟 −
2 2 2 2
𝑟 − 𝑟 −(cid:122)(cid:244)(cid:10)r=134(cid:70)
(cid:124)(cid:117)(cid:118)(cid:188)(cid:10)134(cid:70)
(cid:15)(cid:50)(cid:126)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:216)(cid:83)(cid:288)(cid:62)(cid:122)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:160)(cid:75)(cid:11)(cid:358)(cid:359)(cid:360)(cid:361)(cid:23)(cid:201)(cid:202)(cid:35)(cid:62)(cid:362)(cid:363)(cid:59)(cid:33)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:122)(cid:159)(cid:45)(cid:20)(cid:70)
(cid:15)(cid:143)(cid:144)7-1(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:67)(cid:51)(cid:48)(cid:189)(cid:268)(cid:50)O(cid:188)(cid:48)(cid:47)(cid:70)
(cid:32)(cid:184)(cid:10) = (cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)𝐴(cid:19)𝐶(cid:90)(cid:50)𝐵𝐷O(cid:193) (cid:60)E(cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:82)(cid:244) = (cid:62) = (cid:62)(cid:140)(cid:82)(cid:244)(cid:253)(cid:113)(cid:85)(cid:70)
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:90)(cid:50)O(cid:193)𝑂O𝐸E⊥A𝐴B𝐵(cid:60)E(cid:62) 𝐸𝐶 𝐸𝐷 𝐸𝐴 𝐸𝐵
⊥
(cid:175)(cid:364) O(cid:95)(cid:62) OE CD(cid:62) EC=ED(cid:70)
(cid:175)(cid:365)⊙O(cid:95)(cid:62)∵OE⊥AB(cid:62)∴EA=EB(cid:70)
AC=⊙BD(cid:70) ∵ ⊥ ∴
∴(cid:15)(cid:50)(cid:126)(cid:19)(cid:122)(cid:117)(cid:127)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:160)(cid:75)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:10)(cid:24)(cid:59)(cid:60)(cid:44)(cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:69)(cid:70)
(cid:15)(cid:143)(cid:144)7-2(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:67)(cid:51)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:53)(cid:181)(cid:25)(cid:61)(cid:206)(cid:188)2(cid:161)4(cid:62)(cid:277)(cid:194) (cid:53)(cid:195) (cid:161) (cid:61)(cid:206)(cid:75)(cid:67)(cid:48)(cid:53)(cid:44)(cid:62)(cid:190)(cid:277)(cid:194)
(cid:38)(cid:39)(cid:53)(cid:57)(cid:365)(cid:58)(cid:75) (cid:70) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)16
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:90)(cid:50)O(cid:193)OP AB(cid:60)P(cid:63)(cid:366)(cid:367)(cid:275)(cid:37)(cid:178)CD(cid:60)N(cid:62)(cid:193)OM AD(cid:60)(cid:50)M(cid:62)(cid:176)(cid:177)OA(cid:163)OD(cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:38)(cid:39)(cid:320)(cid:269)(cid:53)
1 ⊥ 1 ⊥
(cid:3)(cid:196)(cid:244)(cid:200)S = S = S (cid:62)(cid:254)(cid:255)(cid:244)(cid:200)S (cid:57)(cid:365)(cid:297)(cid:62)S (cid:333)(cid:57)(cid:365)(cid:62)(cid:90)(cid:50)D(cid:193)AO(cid:195)(cid:148)(cid:53)(cid:368)h(cid:62)
AOD 2 (cid:277)(cid:194)APND 4 (cid:277)(cid:194)ABCD (cid:277)(cid:194)ABCD AOD
△ △(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:35)(cid:36)(cid:57)(cid:369)(cid:82)(cid:244)h≤OD(cid:62)(cid:22)(cid:23)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:53)(cid:38)(cid:39)(cid:7)(cid:144)(cid:140)(cid:82)(cid:32)(cid:200)S
AOD
(cid:53)(cid:57)(cid:365)(cid:58)(cid:62)(cid:254)(cid:255)(cid:32)(cid:200)(cid:113)(cid:114)(cid:70)
△
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:122)(cid:10)(cid:90)(cid:50)O(cid:193)OP AB(cid:60)P(cid:63)(cid:366)(cid:367)(cid:275)(cid:37)(cid:178)CD(cid:60)N(cid:62)(cid:193)OM AD(cid:60)(cid:50)M(cid:62)(cid:176)(cid:177)OA(cid:163)OD
⊥ ⊥
AO=2(cid:62)OD=4(cid:62)(cid:276)(cid:195)(cid:194)APND(cid:161)(cid:276)(cid:195)(cid:194)PBCN(cid:188)(cid:277)(cid:194)(cid:62)PN CD(cid:62)
∴OM=AP ⊥
∴(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:82)(cid:244)(cid:10)(cid:50)P(cid:161)(cid:50)N(cid:61)(cid:206)(cid:188)AB(cid:161)CD(cid:53)(cid:95)(cid:50)(cid:62)
1
S = S
(cid:277)(cid:194)APND 2 (cid:277)(cid:194)ABCD
∴ AOD(cid:53)(cid:368)OM(cid:216)(cid:60)(cid:277)(cid:194)APND(cid:53)(cid:327)(cid:62) AOD(cid:53)(cid:233)(cid:188)(cid:277)(cid:194)APND(cid:53)(cid:37)
∵△ 1 1 △
S = S = S
AOD 2 (cid:277)(cid:194)APND 4 (cid:277)(cid:194)ABCD
△
∴S (cid:57)(cid:365)(cid:297)(cid:62)S (cid:333)(cid:57)(cid:365)
(cid:277)(cid:194)ABCD AOD
△
(cid:90)∴ (cid:50)D(cid:193)AO(cid:195)(cid:148)(cid:53)(cid:368)h(cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:35)(cid:36)(cid:57)(cid:369)(cid:82)(cid:244)h≤OD(cid:73)(cid:220)(cid:64)(cid:370)(cid:220)OD OA(cid:297)(cid:62)(cid:371)(cid:216)(cid:9)(cid:76)
1 1 1 ⊥
S AOD = 2 AO·h≤ 2 AO·OD= 2 ×2×4=4
△
(cid:124)∴ S (cid:53)(cid:57)(cid:365)(cid:58)(cid:188)4
AOD
△
1
S (cid:53)(cid:57)(cid:365)(cid:58)(cid:188)4÷ =16
(cid:277)(cid:194)ABCD 4
∴(cid:124)(cid:117)(cid:118)(cid:188)(cid:10)16(cid:70)
(cid:15)(cid:50)(cid:126)(cid:19)(cid:81)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:53)(cid:75)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:163)(cid:191)(cid:109)(cid:194)(cid:38)(cid:39)(cid:53)(cid:3)(cid:196)(cid:161)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:38)(cid:39)(cid:53)(cid:57)(cid:58)(cid:45)(cid:20)(cid:62)(cid:138)(cid:139)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:163)(cid:22)(cid:23)(cid:195)(cid:53)
(cid:3)(cid:196)(cid:107)(cid:265)(cid:38)(cid:39)(cid:3)(cid:196)(cid:161)(cid:24)(cid:35)(cid:36)(cid:57)(cid:369)(cid:75)(cid:122)(cid:159)(cid:81)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:160)(cid:70)
(cid:15)(cid:143)(cid:144)7-3(cid:19)(cid:368)(cid:372)(cid:373)(cid:98)(cid:374)(cid:375)(cid:376)(cid:75)(cid:377)SARS(cid:373)(cid:378)(cid:379)(cid:380)(cid:381)(cid:34)(cid:382)(cid:383)(cid:53)(cid:379)(cid:380)(cid:373)(cid:70)
(cid:73)1(cid:76)(cid:384)(cid:385)(cid:386)(cid:387)(cid:209)8(cid:388)(cid:133)(cid:389)(cid:62)(cid:390)(cid:235)(cid:209)1(cid:133)(cid:389)(cid:244)(cid:156)(cid:374)(cid:375)(cid:376)(cid:62)(cid:84)(cid:85)(cid:74)(cid:391)(cid:371)(cid:96)(cid:392)(cid:393)(cid:394)(cid:395)(cid:396)(cid:62)(cid:284)(cid:285)(cid:62)(cid:253)(cid:397)(cid:106)(cid:398)(cid:399)(cid:172)(cid:400)
(cid:373)(cid:389)10(cid:133)(cid:62)(cid:253)(cid:397)(cid:103)(cid:398)(cid:267)(cid:399)(cid:172)(cid:400)(cid:373)(cid:389)100(cid:133)(cid:62)(cid:268)(cid:252)(cid:354)(cid:398)(cid:172)(cid:400)(cid:373)(cid:389)(cid:52)(cid:401)(cid:310)(cid:218)(cid:107)(cid:62)(cid:402)(cid:45)(cid:10)(cid:253)(cid:397)(cid:276)(cid:398)(cid:62)(cid:403)(cid:209)(cid:404)(cid:405)(cid:133)
(cid:389)(cid:244)(cid:156)(cid:374)(cid:375)(cid:376)(cid:373)(cid:406)(cid:253)(cid:397)(cid:407)(cid:398)(cid:62)(cid:180)(cid:385)(cid:386)(cid:387)(cid:65)(cid:209)(cid:389)(cid:189)(cid:358)(cid:308)(cid:376)(cid:380)(cid:406)
(cid:73)2(cid:76)(cid:188)(cid:393)(cid:408)(cid:374)(cid:375)(cid:376)(cid:409)(cid:275)(cid:62)(cid:410)(cid:411)(cid:412)(cid:26)(cid:10)(cid:295)(cid:413)(cid:50)3(cid:414)(cid:415)(cid:416)(cid:417)(cid:230)(cid:188)(cid:418)(cid:419)(cid:420)(cid:62)(cid:65)(cid:209)(cid:374)(cid:218)(cid:234)(cid:321)(cid:418)(cid:419)(cid:91)(cid:295)(cid:413)(cid:50)3(cid:421)5(cid:414)
(cid:415)(cid:416)(cid:417)(cid:230)(cid:188)(cid:422)(cid:413)(cid:420)(cid:62)(cid:65)(cid:209)(cid:53)(cid:374)(cid:218)(cid:423)(cid:424)(cid:422)(cid:413)(cid:91)(cid:46)(cid:297)(cid:62)(cid:66)(cid:418)(cid:419)(cid:420)(cid:161)(cid:422)(cid:413)(cid:420)(cid:230)(cid:53)(cid:425)(cid:426)(cid:163)(cid:427)(cid:428)(cid:54)(cid:43)(cid:234)(cid:429)(cid:430)(cid:431)(cid:27)(cid:70)(cid:432)
(cid:209)(cid:86)(cid:68)(cid:433)(cid:59)(cid:53)(cid:7)(cid:428)AB(cid:264)(cid:90)(cid:374)(cid:375)(cid:376)(cid:373)(cid:420)(cid:62)(cid:84)(cid:109)(cid:62)O(cid:188)(cid:413)(cid:50)(cid:62)(cid:175)(cid:418)(cid:419)(cid:420)(cid:230)(cid:53)(cid:7)(cid:428)CD(cid:37)(cid:188)4(cid:414)(cid:415)(cid:62)(cid:45)(cid:250)(cid:68)(cid:7)(cid:428)(cid:175)(cid:180)(cid:422)(cid:413)(cid:420)(cid:230)(cid:209)(cid:404)(cid:405)(cid:414)(cid:415)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(1)6;(2)4 5 .
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:73)1(cid:76)(cid:120)(cid:121)(cid:20)−(cid:434)4 (cid:53)(cid:435)(cid:339)(cid:62)(cid:397)(cid:86)(cid:398)(cid:53)(cid:52)(cid:75)1(cid:62)(cid:397)(cid:106)(cid:398)(cid:75)11(cid:62)(cid:397)(cid:103)(cid:398)(cid:75)111(cid:62)(cid:296)(cid:255)(cid:397)(cid:407)(cid:398)(cid:100)(cid:75)(cid:209)(cid:407)(cid:51)(cid:91)
(cid:73)2(cid:76)(cid:90)(cid:50)O(cid:193)OE CD(cid:178)CD(cid:60)E(cid:62)(cid:176)(cid:177)OC(cid:163)OA(cid:62)(cid:175)Rt OCE(cid:95)(cid:62)(cid:100)(cid:82)(cid:268)(cid:32)(cid:200)OE(cid:62)(cid:175)Rt OAE(cid:95)(cid:32)(cid:200)
AE(cid:62)(cid:162)(cid:255)(cid:32)(cid:200)AC(cid:62)⊥(cid:162)(cid:255)(cid:32)(cid:200)(cid:70) △ △
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:122)(cid:10)(cid:73)1(cid:76)(cid:80)(cid:20)(cid:97)(cid:82)(cid:83)(cid:62)(cid:253)(cid:397)4(cid:398)(cid:244)(cid:374)(cid:375)(cid:376)(cid:373)(cid:389)(cid:52)(cid:188)1+10+100+1000=1111(cid:62)
(cid:253)(cid:397)5(cid:398)(cid:244)(cid:374)(cid:375)(cid:376)(cid:373)(cid:389)(cid:52)(cid:188)10000+1111=11111
(cid:253)(cid:397)6(cid:398)(cid:244)(cid:374)(cid:375)(cid:376)(cid:373)(cid:389)(cid:52)(cid:188)100000+11111=111111(cid:198)80000
(cid:65)(cid:268)(cid:62)(cid:253)(cid:397)6(cid:398)(cid:65)(cid:209)(cid:389)(cid:189)(cid:358)(cid:308)(cid:376)(cid:380)(cid:91)
(cid:73)2(cid:76)(cid:90)(cid:50)O(cid:193)OE CD(cid:178)CD(cid:60)E(cid:62)(cid:176)(cid:177)OC(cid:163)OA(cid:70)
⊥
OA=5(cid:62)OC=3(cid:62)CD=4(cid:62)
∵CE=2(cid:70)
(cid:175)∴ Rt OCE(cid:95)(cid:62)AE= =2 5 (cid:62)
2 2
AC=△AE-CE=2 5 𝑂(cid:62)𝐴 −𝑂𝐸
∴AC=BD(cid:62) −2
∵AC+BD=4 5 (cid:70)
(cid:117)∴ (cid:10)(cid:250)(cid:68)(cid:7)(cid:428)−(cid:175)4(cid:180)(cid:422)(cid:413)(cid:420)(cid:230)(cid:209)(cid:73)4 5−4(cid:76)(cid:414)(cid:415)(cid:70)
【题型8 利用垂径定理求整点个数】
(cid:15)(cid:108)8(cid:19)(cid:73)2022·(cid:170)(cid:271)(cid:281)(cid:436)(cid:426)·(cid:86)(cid:174)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)AB(cid:75) C(cid:53)(cid:44)(cid:62)(cid:59)(cid:25)MN AB(cid:60)(cid:50)O(cid:62)MN=10(cid:62)AB=8(cid:62)(cid:84)(cid:109)(cid:268)O
⊙ ⊥(cid:188)(cid:166)(cid:50)(cid:204)(cid:437)(cid:40)(cid:41)(cid:196)(cid:70)(cid:438)(cid:283)(cid:312)(cid:439)(cid:440)(cid:40)(cid:41)(cid:189)(cid:75)(cid:49)(cid:52)(cid:53)(cid:50)(cid:441)(cid:442)(cid:49)(cid:52)(cid:50)(cid:62)(cid:190)(cid:35)(cid:36)OC(cid:37)(cid:75) (cid:62) C(cid:148)(cid:53)(cid:49)(cid:52)(cid:50)(cid:209)
(cid:51)(cid:70) ⊙
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19) 3 12
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:90)C(cid:193)(cid:59)(cid:25)UL x(cid:208)(cid:62)(cid:176)(cid:177)AC(cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:200)AO=BO=4(cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:200)OC(cid:62)(cid:214)(cid:244)(cid:200)(cid:117)
(cid:118)(cid:140)(cid:82)(cid:70) ∥
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:122)(cid:10)(cid:90)C(cid:193)(cid:59)(cid:25)UL x(cid:208)(cid:62)
∥
1
(cid:176)(cid:177)CA(cid:62)(cid:190)AC= ×10=5(cid:62)
2
MN(cid:90)(cid:48)(cid:47)C(cid:62)MN AB(cid:62)AB=8(cid:62)
∵AO=BO=4(cid:62) AOC=⊥90°(cid:62)
∴ ∠
(cid:80)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:244)(cid:10)CO= = 5 4 =3(cid:62)
2 2 2 2
ON=5-3=2(cid:62)OM=5+3=8𝐴(cid:62)𝐶 −𝐴𝑂 −
(cid:140)∴ A(cid:73)-4(cid:62)0(cid:76)(cid:62)B(cid:73)4(cid:62)0(cid:76)(cid:62)M(cid:73)0(cid:62)8(cid:76)(cid:62)N(cid:73)0(cid:62)-2(cid:76)(cid:62)
(cid:46)(cid:27)(cid:443)(cid:209)(cid:44)QR=AB=8(cid:62)(cid:44)WE=TS=6(cid:62)(cid:64)WE(cid:163)TS(cid:163)QR(cid:189)(cid:42)(cid:43)(cid:60)x(cid:208)(cid:62)
Q(cid:73)-4(cid:62)6(cid:76)(cid:62)R(cid:73)4(cid:62)6(cid:76)(cid:62)W(cid:73)-3(cid:62)7(cid:76)(cid:62)E(cid:73)3(cid:62)7(cid:76)(cid:62)T(cid:73)-3(cid:62)-1(cid:76)(cid:62)S(cid:73)3(cid:62)-1(cid:76)(cid:62)U(cid:73)-5(cid:62)3(cid:76)(cid:62)L(cid:73)5(cid:62)3(cid:76)(cid:62)
(cid:140)(cid:403)12(cid:51)(cid:50)(cid:62)
(cid:124)(cid:117)(cid:118)(cid:188)(cid:10)3(cid:91)12(cid:70)
(cid:15)(cid:50)(cid:126)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:156)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:163)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:161)(cid:40)(cid:41)(cid:157)(cid:109)(cid:194)(cid:53)(cid:98)(cid:99)(cid:62)(cid:183)(cid:444)(cid:200)(cid:164)(cid:165)(cid:68)(cid:445)(cid:53)(cid:65)(cid:209)(cid:50)(cid:75)(cid:122)(cid:81)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:160)(cid:70)(cid:15)(cid:143)(cid:144)8-1(cid:19)(cid:73)2024(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:150)(cid:16)·(cid:186)(cid:20)(cid:137)(cid:187)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:110)(cid:83) (cid:53)(cid:181)(cid:25)(cid:188)10(cid:62) (cid:53)(cid:86)(cid:68)(cid:44) =16(cid:62)(cid:240)
(cid:230)(cid:53)(cid:86)(cid:50)P(cid:446)(cid:447)(cid:175) (cid:148)(cid:62)(cid:190)(cid:35)(cid:36) (cid:53)(cid:37)(cid:34)(cid:188)(cid:49)(cid:52)(cid:53)(cid:58)(cid:209)(cid:73)⊙ 𝑂(cid:76) ⊙𝑂 𝐴𝐵 ⊙𝑂
𝐴𝐵 𝑂𝑃
A(cid:70)2(cid:51) B(cid:70)3(cid:51) C(cid:70)4(cid:51) D(cid:70)5(cid:51)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)C
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:156)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:176)(cid:177) (cid:62)(cid:90)(cid:50)O(cid:193) (cid:60)(cid:50) (cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:200) (cid:62)
′ ′ ′
(cid:120)(cid:121)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:200) (cid:62)(cid:32)(cid:200) (cid:53)(cid:416)(cid:417)(cid:62)(cid:329)(cid:330)(cid:140)(cid:82)𝑂𝐴(cid:70) 𝑂𝑃 ⊥𝐴𝐵 𝑃 𝐴𝑃
′
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:122)(cid:10)(cid:84)(cid:109)𝑂(cid:62)𝑃(cid:176)(cid:177) (cid:62)𝑂(cid:90)𝑃 (cid:50)O(cid:193) (cid:60)(cid:50) (cid:62)
′ ′
𝑂𝐴 𝑂𝑃 ⊥𝐴𝐵 𝑃
1
(cid:190) = =8(cid:62)
2
′
𝐴𝑃 𝐴𝐵
(cid:80)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:244)(cid:10) = = 10 8 =6(cid:62)
′ 2 2 2 2
(cid:190)6 <10(cid:62)𝑂𝑃 𝑂𝐴 −𝑃𝐴 −
(cid:35)(cid:36)≤𝑂𝑃(cid:53)(cid:37)(cid:34)(cid:188)(cid:49)(cid:52)(cid:53)(cid:58)(cid:209)6(cid:163)7(cid:163)8(cid:163)9(cid:403)4(cid:51)(cid:62)
(cid:124)∴ (cid:125)(cid:10)𝑂C𝑃(cid:70)
(cid:15)(cid:143)(cid:144)8-2(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:59)(cid:25)(cid:188)10(cid:53) (cid:230)(cid:209)(cid:86)(cid:50) (cid:62)(cid:64) =3(cid:62)(cid:190)(cid:89)(cid:90) (cid:50)(cid:53)(cid:65)(cid:209)(cid:44)(cid:95)(cid:37)(cid:34)(cid:188)(cid:49)(cid:52)(cid:53)(cid:209)
(cid:68)(cid:70) ⊙𝑂 𝑃 𝑂𝑃 𝑃(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)4
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:90)(cid:50) (cid:53)(cid:44)(cid:209)(cid:448)(cid:52)(cid:68)(cid:62)(cid:32)(cid:200)(cid:57)(cid:37)(cid:53)(cid:44)(cid:161)(cid:57)(cid:369)(cid:53)(cid:44)(cid:62)(cid:214)(cid:28)(cid:29)(cid:37)(cid:34)(cid:188)(cid:49)(cid:52)(cid:53)(cid:44)(cid:53)(cid:68)(cid:52)(cid:140)(cid:82)(cid:70)
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:90)(cid:50)𝑃(cid:193)(cid:59)(cid:25) (cid:62)(cid:193)(cid:44) (cid:62)
𝑃 𝐴𝐵 𝐶𝐷⊥𝐴𝐵
(cid:190) =10(cid:75)(cid:90)(cid:50) (cid:53)(cid:57)(cid:37)(cid:53)(cid:44)(cid:62) =8(cid:75)(cid:90)(cid:50) (cid:53)(cid:57)(cid:369)(cid:53)(cid:44)(cid:62)
(cid:37)𝐴(cid:34)𝐵(cid:188)(cid:49)(cid:52)(cid:53)(cid:44)(cid:37)𝑃(cid:443)(cid:209)9(cid:62) 𝐶𝐷 𝑃
∴(cid:90)(cid:50) (cid:64)(cid:37)(cid:34)(cid:188)9(cid:53)(cid:44)(cid:209)2(cid:68)(cid:62)
∵(cid:89)(cid:90)𝑃(cid:50)(cid:53)(cid:65)(cid:209)(cid:44)(cid:95)(cid:37)(cid:34)(cid:188)(cid:49)(cid:52)(cid:53)(cid:209)4(cid:68)(cid:70)
(cid:124)∴ (cid:117)(cid:118)𝑃(cid:75)4(cid:70)
(cid:15)(cid:50)(cid:126)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:241)(cid:242)(cid:128)(cid:129)(cid:156)(cid:48)(cid:53)(cid:131)(cid:127)(cid:98)(cid:99)(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:83)(cid:427)(cid:59)(cid:25)(cid:75)(cid:48)(cid:95)(cid:57)(cid:37)(cid:53)(cid:44)(cid:62)(cid:90)(cid:50) (cid:157)(cid:48)(cid:24)(cid:59)(cid:53)(cid:44)(cid:75)(cid:57)(cid:369)
(cid:53)(cid:44)(cid:75)(cid:122)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:160)(cid:70) 𝑃
(cid:15)(cid:143)(cid:144)8-3(cid:19)(cid:73)23-24(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:150)(cid:16)(cid:449)(cid:150)·(cid:205)(cid:36)(cid:137)(cid:187)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:175)(cid:42)(cid:38)(cid:59)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:196) (cid:95)(cid:62)(cid:268)(cid:166)(cid:50)O(cid:188)(cid:48)(cid:47)(cid:53)(cid:48)
𝑥𝑂𝑦
(cid:90)(cid:50) 13(cid:62)0 (cid:62)(cid:59)(cid:35) = +4( 0)(cid:157) (cid:178)(cid:60)B(cid:163)C(cid:67)(cid:50)(cid:62)(cid:190)(cid:44) (cid:53)(cid:37)(cid:188)(cid:49)(cid:52)(cid:53)(cid:209) (cid:68)(cid:70)
𝐴 𝑦 𝑘𝑥−3𝑘 𝑘≠ ⊙𝑂 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)4
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:120)(cid:121)(cid:59)(cid:35) = +4(cid:155)(cid:90)(cid:50) (cid:62)(cid:32)(cid:200)(cid:57)(cid:369)(cid:53)(cid:44) (cid:75)(cid:90)(cid:50) (cid:64)(cid:157)(cid:180)(cid:48)(cid:59)(cid:25)(cid:24)(cid:59)(cid:53)(cid:44)(cid:62)(cid:57)(cid:37)(cid:44)
(cid:75)(cid:48)(cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:62)(cid:244)(cid:200)𝑦(cid:44) 𝑘(cid:53)𝑥−(cid:371)3𝑘(cid:58)(cid:416)(cid:417)(cid:62)(cid:214)(cid:120)𝐷((cid:121)3,(cid:44)4) (cid:53)(cid:37)(cid:188)(cid:49)(cid:52)(cid:62)𝐶(cid:140)𝐵(cid:82)(cid:244)(cid:200)(cid:117)𝐷(cid:118)(cid:70) 𝐶𝐵
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:122)(cid:10) (cid:220) =𝐶𝐵3(cid:297)(cid:62) = +4=𝐵𝐶 +4=4
(cid:59)(cid:35) = ∵ +𝑥4(cid:155)(cid:90)(cid:50) 𝑦 𝑘𝑥(cid:62)−3𝑘 3𝑘−3𝑘
∴ (cid:57)(cid:369)𝑦(cid:53)(cid:44)𝑘𝑥−(cid:75)3𝑘(cid:90)(cid:50) (cid:64)(cid:157)(cid:180)𝐷((cid:48)3,(cid:59)4)(cid:25)(cid:24)(cid:59)(cid:53)(cid:44)(cid:62)(cid:57)(cid:37)(cid:44) (cid:75) (cid:75)(cid:59)(cid:25)(cid:62)
(cid:220)∴(cid:44) (cid:57)(cid:369)𝐶(cid:297)𝐵(cid:62) 𝐷 𝐶𝐵 ⊙𝑂
(cid:176)(cid:177)𝐶𝐵(cid:62) (cid:62)
𝑂𝐵 𝑂𝐷(cid:190) (cid:62)
𝑂(cid:50)𝐷⊥(cid:53)𝐵(cid:40)𝐶(cid:41)(cid:75)(3,4)(cid:62)
∵ 𝐷
= 3 +4 =5(cid:62)
2 2
∴𝑂(cid:268)𝐷(cid:166)(cid:50) (cid:188)(cid:48)(cid:47)(cid:53)(cid:48)(cid:90)(cid:50) (cid:62)
∵(cid:48)(cid:53)(cid:181)𝑂(cid:25)(cid:188)13(cid:62) 𝐴(13,0)
∴ =13(cid:62)
∴𝑂𝐵
= = 13 5 =12(cid:62)
2 2 2 2
∴𝐵𝐷= 𝑂𝐵=−2𝑂4𝐷(cid:62) −
∴𝐵𝐶(cid:53)(cid:37)2𝐵(cid:53)𝐷(cid:57)(cid:364)(cid:58)(cid:188)24(cid:91)
(cid:220)∴(cid:44)𝐵𝐶 (cid:57)(cid:37)(cid:297)(cid:62)(cid:190) = =2×13=26(cid:62)
24 𝐶𝐵 26 𝐶𝐵 2𝑂𝐴
∴(cid:44) ≤(cid:53)𝐶𝐵(cid:37)≤(cid:188)(cid:49)(cid:52)
∵ 𝐵=𝐶 24(cid:207)25(cid:207) 26(cid:73)(cid:101)(cid:95)(cid:75)25(cid:53)(cid:209)(cid:67)(cid:68)(cid:76)(cid:62)
∴(cid:44)𝐵𝐶 (cid:53)(cid:37)(cid:188)(cid:49)(cid:52)(cid:53)(cid:209)4(cid:68)(cid:62)
∴(cid:124)(cid:117)𝐵(cid:118)𝐶(cid:188)(cid:10)4(cid:70)
(cid:15)(cid:50)(cid:126)(cid:19)(cid:81)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:53)(cid:75)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:86)(cid:310)(cid:306)(cid:52)(cid:109)(cid:307)(cid:62)(cid:23)(cid:253)(cid:53)(cid:83)(cid:288)(cid:50)(cid:75)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:163)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:163)(cid:48)(cid:53)(cid:209)(cid:3)(cid:98)(cid:99)(cid:62)
(cid:3)(cid:160)(cid:75)(cid:32)(cid:200) (cid:57)(cid:369)(cid:163)(cid:57)(cid:37)(cid:297)(cid:53)(cid:58)(cid:70)
【题型9 垂 𝐵𝐶 径定理的实际应用】
(cid:15)(cid:108)9(cid:19)(cid:73)24-25(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:249)(cid:450)(cid:451)(cid:249)·(cid:205)(cid:36)(cid:137)(cid:187)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:209)(cid:86)(cid:51)(cid:233)(cid:321)(cid:452)(cid:453)(cid:194)(cid:53)(cid:454)(cid:455)(cid:62)(cid:453)(cid:53)(cid:181)(cid:25)(cid:188)5cm(cid:62)(cid:455)(cid:230)(cid:456)
(cid:457)(cid:110)(cid:89)(cid:90)(cid:181)(cid:62)(cid:57)(cid:365)(cid:458)(cid:34) =7cm(cid:62)(cid:190)(cid:309)(cid:38)(cid:48)(cid:95)(cid:44) (cid:53)(cid:37)(cid:188)(cid:73) (cid:76)
𝐶𝐷 𝐴𝐵A(cid:70)4cm B(cid:70)4 6cm C(cid:70)2 21cm D(cid:70)2 29cm
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)C
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:156)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:56)(cid:23)(cid:161)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:56)(cid:23)(cid:62)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:161)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:75)(cid:122)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:160)(cid:70)(cid:80)
1
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:244) = = (cid:62)(cid:214)(cid:80)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:244) (cid:62)(cid:162)(cid:255)(cid:141)(cid:142)(cid:122)(cid:117)(cid:70)
2
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:122)𝐴(cid:10)𝐶(cid:176)(cid:177)𝐵𝐶 (cid:62)𝐴𝐵 𝐴𝐶
𝑂𝐴
(cid:80)(cid:20)(cid:97)(cid:244)(cid:10) (cid:62)
𝑂1𝐶⊥𝐴𝐵
= = (cid:62) =90°(cid:62)
2
∴𝐴𝐶 =𝐵𝐶 =5𝐴c𝐵m(cid:62) ∠𝑂𝐶=𝐴 7cm(cid:62)
∵𝑂𝐴= 𝑂𝐷 = 𝐶𝐷=2(cm)(cid:62)
∴𝑂𝐶 𝑂𝐷−𝐶𝐷 7−5
(cid:175)Rt (cid:95)(cid:62)(cid:80)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:244)(cid:10) = 5 2 = 21(cm)(cid:62)
2 2
= △𝑂𝐴𝐶 =2 21cm(cid:70) 𝐴𝐶 −
∴(cid:309)𝐴𝐵(cid:38)(cid:48)2(cid:95)𝐴𝐶(cid:44) (cid:53)(cid:37)(cid:188)2 21cm(cid:70)
∴(cid:124)(cid:125)(cid:10)C(cid:70) 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:143)(cid:144)9-1(cid:19)(cid:73)2023·(cid:302)(cid:459)(cid:95)(cid:460)·(cid:103)(cid:174)(cid:76)(cid:438)(cid:300)(cid:461)(cid:313)(cid:462)(cid:463)(cid:52)(cid:11)(cid:462)(cid:193)(cid:464)(cid:145)(cid:465)(cid:330)(cid:466)(cid:467)(cid:468)(cid:403)(cid:469)(cid:470)(cid:156)246(cid:51)(cid:52)(cid:11)(cid:45)(cid:20)(cid:62)(cid:250)
(cid:326)(cid:45)(cid:20)(cid:53)(cid:330)(cid:168)(cid:242)(cid:377)(cid:471)(cid:472)(cid:46)(cid:218)(cid:330)(cid:168)(cid:473)1500(cid:146)(cid:70)(cid:101)(cid:95)(cid:209)(cid:250)(cid:474)(cid:86)(cid:51)(cid:45)(cid:20)(cid:10)“(cid:475)(cid:209)(cid:48)(cid:476)(cid:62)(cid:477)(cid:175)(cid:478)(cid:95)(cid:62)(cid:74)(cid:83)(cid:365)(cid:364)(cid:62)(cid:268)
(cid:479)(cid:479)(cid:320)(cid:62)(cid:458)(cid:86)(cid:480)(cid:62)(cid:479)(cid:427)(cid:37)(cid:86)(cid:481)(cid:62)(cid:45)(cid:25)(cid:407)(cid:392)(cid:406)”(cid:23)(cid:52)(cid:11)(cid:482)(cid:483)(cid:82)(cid:268)(cid:484)(cid:339)(cid:188)(cid:10)“(cid:84)(cid:109)(cid:62) (cid:188) (cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:62)(cid:44)
(cid:60)(cid:50)E(cid:62) =2(cid:480)(cid:62) =8(cid:480)(cid:73)(cid:4)(cid:10)1(cid:481)=10(cid:480)(cid:76)(cid:62)(cid:190)(cid:82)(cid:244)(cid:59)(cid:25) (cid:53)(cid:37)(cid:188) 𝐶𝐷(cid:481)(cid:70)⊙”𝑂 𝐴𝐵⊥𝐶𝐷
𝐶𝐸 𝐴𝐵 𝐶𝐷(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)1
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:241)(cid:242)(cid:128)(cid:129)(cid:156)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:161)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:244)(cid:200) (cid:53)(cid:37)(cid:62)(cid:235)(cid:181)(cid:25)(cid:188)r(cid:480)(cid:62)(cid:214)(cid:22)(cid:23)(cid:259)(cid:260)(cid:26)
(cid:27)(cid:204)(cid:437)(cid:278)(cid:279)(cid:32)(cid:122)(cid:140)(cid:82)(cid:70) 𝐴𝐸
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:122)(cid:10)(cid:84)(cid:109)(cid:65)(cid:197)(cid:62)(cid:176)(cid:177) (cid:62)
𝑂𝐴
(cid:62)
(cid:80)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:83)(cid:62)(cid:50)E(cid:75) ∵𝐴(cid:53)𝐵(cid:95)⊥(cid:50)𝐶𝐷(cid:62)
∴ 1 𝐴𝐵
= =4(cid:480)(cid:62)
2
(cid:235)∴(cid:181)𝐴(cid:25)𝐸(cid:188)r 𝐴(cid:480)𝐵(cid:62)(cid:190) =( )(cid:480)
(cid:175)Rt (cid:95)(cid:62)(cid:80)𝑂(cid:259)𝐸(cid:260)(cid:26)𝑟(cid:27)−(cid:244)2 (cid:62) = + (cid:62)
2 2 2
=△4𝐴𝐸+𝐶( ) (cid:62) 𝑂𝐴 𝐴𝐸 𝑂𝐸
2 2 2
∴(cid:122)𝑟(cid:244)(cid:10) =5𝑟(cid:62)−2
𝑟= =10(cid:62)
(cid:140)∴(cid:48)𝐶(cid:53)𝐷(cid:59)(cid:25)2𝑟(cid:188)10(cid:480)(cid:62)(cid:140)(cid:188)1(cid:481)(cid:70)
(cid:124)(cid:117)(cid:118)(cid:188)(cid:10)1(cid:70)
(cid:15)(cid:143)(cid:144)9-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:149)(cid:150)(cid:485)(cid:486)·(cid:153)(cid:238)(cid:76)(cid:84)(cid:109)①(cid:75)(cid:364)(cid:487)(cid:488)(cid:489)(cid:489)(cid:442)(cid:53)(cid:86)(cid:51)(cid:490)(cid:491)(cid:492)(cid:62)(cid:109)②(cid:75)(cid:282)(cid:53)(cid:309)(cid:38)(cid:109)(cid:62)
(cid:24)(cid:59)(cid:493)(cid:494)(cid:53)(cid:490)(cid:491)(cid:157)(cid:492)(cid:495)(cid:496)(cid:497)(cid:67)(cid:498)(cid:499)(cid:53)(cid:178)(cid:50)(cid:188) (cid:62) (cid:62) =32cm (cid:62)(cid:490)(cid:491)(cid:59)(cid:25)(cid:188)40cm(cid:62)(cid:190)(cid:490)(cid:491)(cid:57)(cid:500)(cid:50) (cid:253)
(cid:53)(cid:294)(cid:295)(cid:75) cm(cid:70) 𝐴 𝐵 𝐴𝐵 𝐶 𝐴𝐵(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)8
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:156)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:359)(cid:360)(cid:201)(cid:202)(cid:35)(cid:362)(cid:363)(cid:59)(cid:33)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:75)(cid:122)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:160)(cid:70)
1
(cid:235)(cid:48)(cid:53)(cid:48)(cid:47)(cid:188) (cid:62)(cid:176)(cid:177) (cid:62) (cid:178) (cid:60)(cid:50) (cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:244)(cid:253) = =16cm(cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:32)
2
(cid:200) =12cm𝑂(cid:62)(cid:140)(cid:82)(cid:244)𝐴(cid:253)𝐵,(cid:117)𝑂𝐴(cid:118),𝑂(cid:70)𝐶 𝑂𝐶 𝐴𝐵 𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:123)𝑂𝐷(cid:122)(cid:19)(cid:122)(cid:10)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:235)(cid:48)(cid:53)(cid:48)(cid:47)(cid:188) (cid:62)(cid:176)(cid:177) (cid:62) (cid:178) (cid:60)(cid:50) (cid:62)
(cid:120)(cid:121)(cid:20)(cid:97)(cid:244) = =20cm(cid:62) 𝑂 (cid:62) 𝐴𝐵,𝑂𝐴,𝑂𝐶 𝑂𝐶 𝐴𝐵 𝐷
=32c𝑂m𝐴(cid:62) 𝑂𝐶 𝑂𝐶⊥𝐴𝐵
∵𝐴𝐵 1 1
= = ×32=16cm(cid:62)
2 2
∴𝐴𝐷 𝐴𝐵
= = 20 16 =12cm(cid:62)
2 2 2 2
∴𝑂𝐷 𝑂𝐴 −𝐴𝐷 −
= = =8cm(cid:62)
(cid:490)∴(cid:491)𝐶𝐷(cid:57)(cid:500)𝑂(cid:50)𝐶−(cid:253)𝑂𝐷 (cid:53)20(cid:294)−(cid:295)12(cid:75)8 cm(cid:62)
(cid:124)(cid:117)(cid:118)(cid:188)(cid:10)𝐶8(cid:70)𝐴𝐵
(cid:15)(cid:143)(cid:144)9-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:149)(cid:150)(cid:346)(cid:486)·(cid:153)(cid:238)(cid:76)(cid:501)(cid:502)(cid:175)(cid:464)(cid:503)(cid:504)(cid:433)(cid:505)(cid:467)(cid:95)(cid:469)(cid:506)(cid:156)(cid:329)(cid:330)(cid:48)(cid:69)(cid:37)(cid:34)(cid:53)“(cid:358)(cid:48)(cid:466)”(cid:62)(cid:241)
(cid:242)(cid:221)(cid:428)(cid:75)(cid:507)(cid:321)(cid:268)(cid:59)(cid:313)(cid:508)(cid:62)(cid:162)(cid:43)(cid:509)(cid:510)(cid:329)(cid:330)(cid:70)(cid:84)(cid:109)(cid:62) (cid:75)(cid:268) (cid:188)(cid:48)(cid:47)(cid:163) (cid:188)(cid:181)(cid:25)(cid:53)(cid:48)(cid:69)(cid:62) (cid:75)(cid:44) (cid:53)(cid:95)(cid:50)(cid:62) (cid:75)
𝐴𝐵 𝑂 𝑂𝐴 𝐶 𝐴𝐵 𝐷
(cid:53)(cid:95)(cid:50)(cid:62)(cid:190) (cid:37)(cid:34)(cid:53)(cid:509)(cid:510)(cid:58) = + (cid:70)(cid:240) =2(cid:62) =8(cid:62)(cid:190) =(cid:73) (cid:76)
2
𝐶𝐷
𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝑙 𝐴𝐵 𝑂𝐴 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝑙A(cid:70)8.8 B(cid:70)8.7 C(cid:70)8.6 D(cid:70)8.5
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)A
1
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:176)(cid:177) (cid:62)(cid:80) (cid:75)(cid:44) (cid:53)(cid:95)(cid:50)(cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:244)(cid:253) (cid:62) = =4(cid:91)(cid:80) (cid:75) (cid:53)(cid:95)(cid:50)(cid:62)(cid:120)(cid:121)
2
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:244)(cid:253)𝑂𝐶 𝐶(cid:91)(cid:120)(cid:121)𝐴𝐵(cid:89)(cid:90)(cid:59)(cid:35)(cid:511)(cid:86)(cid:50)(cid:209)(cid:64)(cid:133)(cid:209)(cid:86)(cid:68)𝑂(cid:59)𝐶⊥(cid:35)𝐴(cid:157)𝐵(cid:110)(cid:83)𝐴𝐶(cid:59)(cid:35)(cid:24)𝐴𝐵(cid:59)(cid:62)(cid:244)(cid:253)(cid:50)𝐷 O 𝐴 (cid:62) 𝐵 C(cid:62)D(cid:103)(cid:50)(cid:403)
(cid:35)(cid:62)(cid:235) = 𝑂(cid:62)𝐷(cid:190)⊥𝐴𝐵= = (cid:62)(cid:252)(cid:120)(cid:121)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:244)(cid:253) =( ) +4 (cid:62)(cid:32)(cid:244) (cid:53)(cid:365)(cid:364)(cid:62)(cid:313)(cid:314)(cid:7)
2 2 2
(cid:144)(cid:329)(cid:330)𝑂(cid:140)𝐴(cid:82)(cid:70)𝑥 𝑂𝐶 𝑂𝐷−𝐶𝐷 𝑥−2 𝑥 𝑥−2 𝑂𝐴
(cid:127)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:156)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:158)(cid:101)(cid:107)(cid:114)(cid:62)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:67)(cid:51)(cid:26)(cid:27)(cid:75)(cid:122)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:160)(cid:70)
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:122)(cid:10)(cid:176)(cid:177) (cid:62)
(cid:50) (cid:75)(cid:44) (cid:53)(cid:95)(cid:50)𝑂(cid:62)𝐶
∵ 𝐶 𝐴𝐵 1
(cid:62) = =4(cid:91)
2
∴𝑂𝐶(cid:75)⊥𝐴(cid:53)𝐵 (cid:95)𝐴(cid:50)𝐶(cid:62) 𝐴𝐵
∵𝐷 𝐴𝐵 (cid:91)
∴(cid:120)𝑂(cid:121)𝐷(cid:89)⊥(cid:90)𝐴𝐵(cid:59)(cid:35)(cid:511)(cid:86)(cid:50)(cid:209)(cid:64)(cid:133)(cid:209)(cid:86)(cid:68)(cid:59)(cid:35)(cid:157)(cid:110)(cid:83)(cid:59)(cid:35)(cid:24)(cid:59)(cid:62)(cid:244)(cid:253)(cid:50)O(cid:62)C(cid:62)D(cid:103)(cid:50)(cid:403)(cid:35)(cid:62)
(cid:235) = (cid:62)(cid:190) = = (cid:62)
𝑂𝐴=(𝑥 ) 𝑂+𝐶4 (cid:62)𝑂𝐷−𝐶𝐷 𝑥−2
2 2 2
(cid:122)∴𝑥(cid:244) =𝑥5−(cid:91)2
𝑥=5(cid:62)
∴𝑂𝐴 2
=8+ =8.8(cid:62)
52
∴(cid:124)𝑙(cid:125)(cid:10)A(cid:70)
【题型10 利用垂径定理求最值】
(cid:15)(cid:108)10(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:110)(cid:83) O(cid:53)(cid:181)(cid:25)(cid:188)5(cid:62)P(cid:75)(cid:59)(cid:25)AB(cid:53)(cid:275)(cid:37)(cid:35)(cid:148)(cid:86)(cid:50)(cid:62)BP=1(cid:62)CD(cid:75) O(cid:53)(cid:86)(cid:68)(cid:44)(cid:62)CD=6(cid:62)
(cid:268)PC(cid:62)PD(cid:188)(cid:239)(cid:355)(cid:67)(cid:195)⊙(cid:193)(cid:42)(cid:43)(cid:276)(cid:195)(cid:194)PCED(cid:62)(cid:220)C(cid:62)D(cid:50)(cid:175)(cid:48)(cid:512)(cid:148)(cid:243)(cid:342)(cid:297)(cid:62)(cid:35)(cid:36)PE(cid:37)(cid:53)⊙(cid:57)(cid:364)(cid:58)(cid:75) (cid:70)(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)4
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:176)(cid:177)OC(cid:62)(cid:235)CD(cid:157)PE(cid:178)(cid:60)(cid:50)K(cid:62)(cid:176)(cid:177)OK(cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:42)(cid:43)(cid:276)(cid:195)(cid:194)(cid:53)(cid:98)(cid:99)(cid:113)(cid:165)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:200)OK(cid:53)(cid:37)(cid:62)(cid:175)
(cid:103)(cid:33)(cid:194)PKO(cid:95)(cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:53)(cid:103)(cid:195)(cid:3)(cid:196)(cid:244)(cid:253)(cid:35)(cid:36)PK(cid:53)(cid:371)(cid:58)(cid:416)(cid:417)(cid:62)(cid:214)(cid:80) = (cid:62)(cid:244)(cid:253)(cid:113)(cid:85)(cid:70)
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:122)(cid:10)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:176)(cid:177)OC(cid:62)(cid:235)CD(cid:157)PE(cid:178)(cid:60)(cid:50)K(cid:62)(cid:176)(cid:177)OK(cid:62) 𝑃𝐸 2𝑃𝐾
(cid:276)(cid:195)(cid:194)PCED(cid:75)(cid:42)(cid:43)(cid:276)(cid:195)(cid:194)(cid:62)
∵ = (cid:62) = (cid:62)
∴(cid:120)𝐸𝐾(cid:121)(cid:24)𝑃(cid:25)𝐾(cid:26)𝐶(cid:27)𝐾 𝐷𝐾
(cid:175)∴ (cid:95)(cid:62)𝑂𝐾⊥=𝐶𝐷5(cid:62) =3(cid:62)
𝑅𝑡△𝐶𝑂𝐾 𝑂𝐶 𝐶𝐾
= 5 3 =4(cid:62)
2 3
∴𝑂𝐾= +− =5+1=6(cid:62)
∵𝑂𝑃 𝑂𝐵 𝑃𝐵6+4(cid:62)(cid:140)2 10(cid:62)
∴6−4=≤𝑃𝐾(cid:62)≤ ≤𝑃𝐾≤
∵𝑃4𝐸 2𝑃𝐾20(cid:62)
∴(cid:35)≤(cid:36)𝑃P𝐸E≤(cid:53)(cid:57)(cid:364)(cid:58)(cid:75)4(cid:70)
∴(cid:124)(cid:117)(cid:118)(cid:75)(cid:10)4(cid:70)
(cid:15)(cid:50)(cid:126)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:35)(cid:36)(cid:57)(cid:58)(cid:45)(cid:20)(cid:62)(cid:122)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:160)(cid:75)(cid:138)(cid:139)(cid:42)(cid:43)(cid:276)(cid:195)(cid:194)(cid:53)(cid:98)(cid:99)(cid:161)(cid:48)(cid:53)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:214)(cid:22)(cid:23)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:103)
(cid:195)(cid:53)(cid:52)(cid:270)(cid:3)(cid:196)(cid:32)(cid:200)(cid:35)(cid:36)(cid:53)(cid:371)(cid:58)(cid:416)(cid:417)(cid:254)(cid:255)(cid:244)(cid:253)(cid:57)(cid:364)(cid:58)(cid:70)(cid:15)(cid:143)(cid:144)10-1(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:175) O(cid:95)(cid:62)AD(cid:188)(cid:59)(cid:25)(cid:62)(cid:44)BC AD(cid:60)(cid:50)H(cid:62)(cid:176)(cid:177)OB(cid:62)(cid:110)(cid:83)OB(cid:116)2cm(cid:62) OBC(cid:116)30°(cid:62)
(cid:342)(cid:50)E(cid:175)(cid:59)(cid:25)AD(cid:148)(cid:254)⊙D(cid:367)A(cid:268)1cm/s(cid:53)(cid:381)(cid:34)(cid:442)(cid:513)⊥(cid:381)(cid:243)(cid:342)(cid:62)(cid:243)(cid:342)(cid:297)(cid:269)(cid:188)ts(cid:62)(cid:220) OBE(cid:116)30°(cid:297)(cid:62)∠t(cid:53)(cid:58)(cid:188) (cid:70)
∠
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)1(cid:207)4/4(cid:207)1
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:61)(cid:67)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:219)(cid:114)(cid:62)(cid:80)(cid:59)(cid:33)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:53)(cid:98)(cid:99)(cid:82)(cid:32)(cid:122)(cid:70)
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:122)(cid:10)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:220)(cid:50) (cid:157)(cid:50) (cid:343)(cid:165)(cid:297)(cid:62)
𝐸 𝐻
= (cid:62) =30°(cid:62) (cid:62)
∵𝑂𝐵 =2𝑐𝑚 (cid:62)∠𝑂𝐵𝐶 𝐵𝐶⊥𝐴𝐷
∴𝑂𝐻= 1(𝑐𝑚)(cid:62)
∴𝐷=𝐸 1(cid:62)(𝑐𝑚)
(cid:84)∴(cid:109)𝑡 (cid:62)1(cid:220)𝑠(cid:50) (cid:161)(cid:50) (cid:343)(cid:165)(cid:297)(cid:62)(cid:176)(cid:177) (cid:62)
′
=𝐸 𝐴 =60°(cid:62) 𝐴𝐵= (cid:62)
∵∠𝐵𝑂𝐻=3900°°(cid:62)−∠𝑂𝐵𝐶 𝑂𝐵 𝑂𝐴
∴∠𝑂𝐵=𝐴 (cid:62)
∴𝐷=𝐸 4(cid:62)(𝑐𝑚)
(cid:298)∴(cid:148)𝑡 (cid:65)4(cid:339)𝑠(cid:10) =1(cid:207)4(cid:62)
(cid:124)(cid:117)(cid:118)(cid:188)(cid:10)𝑡1(cid:207)4(cid:70)
(cid:15)(cid:50)(cid:126)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:156)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:215)30°(cid:33)(cid:53)(cid:59)(cid:33)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:53)(cid:98)(cid:99)(cid:62)(cid:122)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:160)(cid:75)(cid:22)(cid:23)(cid:61)(cid:218)(cid:219)(cid:114)(cid:221)(cid:222)(cid:122)(cid:159)(cid:45)(cid:20)(cid:70)
(cid:15)(cid:143)(cid:144)10-2(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:175) (cid:95)(cid:62)(cid:59)(cid:25) =8(cid:62)(cid:44) =3(cid:62)(cid:50) (cid:75) (cid:53)(cid:95)(cid:50)(cid:62)(cid:90)(cid:50) (cid:193) (cid:60)(cid:50) (cid:62)(cid:240)(cid:50)
(cid:163) (cid:175) (cid:148)(cid:243)(cid:342)(cid:73)(cid:50)⊙(cid:163)𝑂 (cid:157)(cid:50) (cid:163)𝐴𝐵(cid:74)(cid:343)(cid:165)(cid:76)(cid:62)𝐶𝐷(cid:190) (cid:53)(cid:57)(cid:365)𝐸(cid:58)𝐶(cid:75)𝐷(cid:73) (cid:76) 𝐶 𝐶𝐹⊥𝐴𝐵 𝐹
𝐶 𝐷 ⊙𝑂 𝐶 𝐷 𝐴 𝐵 𝐸𝐹9 8
A(cid:70) B(cid:70)4 C(cid:70) D(cid:70)6
2 3
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)B
1
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:275)(cid:37)CF(cid:178) (cid:60)T(cid:62)(cid:176)(cid:177)DT(cid:62)(cid:22)(cid:23)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:53)(cid:95)(cid:338)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:184)(cid:185) = (cid:62)(cid:220)DT(cid:75)(cid:59)(cid:25)(cid:297)(cid:62)EF(cid:53)
2
(cid:58)(cid:57)(cid:365)(cid:70) ⊙𝑂 𝐸𝐹 𝐷𝑇
(cid:15)(cid:123)(cid:122)(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:65)(cid:197)(cid:62)(cid:275)(cid:37)CF(cid:178) (cid:60)T(cid:62)(cid:176)(cid:177)DT(cid:62)
AB(cid:75)(cid:59)(cid:25)(cid:62)AB CT(cid:62) ⊙𝑂
∵CF=FT(cid:62) ⊥
∴DE=EC(cid:62)
∵ 1
= (cid:62)
2
(cid:220)∴𝐸𝐹DT(cid:75)𝐷(cid:59)𝑇(cid:25)(cid:297)(cid:62)EF(cid:53)(cid:58)(cid:57)(cid:365)(cid:62)
1
(cid:81)(cid:297)(cid:62)EF(cid:57)(cid:365)(cid:58)(cid:188) = ×8=4(cid:62)
2
(cid:124)(cid:125)(cid:10)B(cid:70) 𝐸𝐹
【点睛】本题考查了垂径定理，三角形的中位线定理等，根据中点构造中位线进行转换是解题关键．
(cid:15)(cid:143)(cid:144)10-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:111)·(cid:249)(cid:450)(cid:514)(cid:152)·(cid:515)(cid:11)(cid:128)(cid:516)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:175)(cid:42)(cid:38)(cid:59)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:196)(cid:95)(cid:62)(cid:268)(cid:50) (0,1)(cid:188)(cid:48)(cid:47)(cid:62)(cid:181)
(cid:25)(cid:188)2(cid:53)(cid:48)(cid:157) (cid:208)(cid:178)(cid:60) (cid:67)(cid:50)(cid:62)(cid:157) (cid:208)(cid:178)(cid:60) (cid:67)(cid:50)(cid:62)(cid:50) (cid:188) (cid:148)(cid:86)(cid:342)(cid:50)(cid:62) (cid:60)(cid:50)𝐺(cid:62)(cid:190)(cid:50) (cid:175) (cid:148)
(cid:243)(cid:342)(cid:90)(cid:279)(cid:95)(cid:62)𝑥(cid:35)(cid:36) 𝐴(cid:53),𝐵(cid:37)(cid:53)(cid:57)(cid:364)(cid:58)𝑦(cid:188)(cid:73) 𝐶(cid:76),𝐷 𝐸 ⊙𝐺 𝐶𝐹⊥𝐴𝐸 𝐹 𝐸 ⊙𝐺
𝐹𝐺A(cid:70) 5 B(cid:70) 3 C(cid:70) 5+2 D(cid:70) 3+1
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)B−2 −1
(cid:15)(cid:61)(cid:119)(cid:19)(cid:127)(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:156)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:215)30°(cid:33)(cid:59)(cid:33)(cid:103)(cid:33)(cid:194)(cid:62)(cid:259)(cid:260)(cid:26)(cid:27)(cid:62)(cid:30)(cid:115)(cid:359)(cid:360)(cid:201)(cid:202)(cid:35)(cid:75)(cid:122)(cid:20)(cid:53)(cid:3)(cid:160).
(cid:176)(cid:177) (cid:62)(cid:193) (cid:62)(cid:176)(cid:177) (cid:62)(cid:80) (cid:82)(cid:83)(cid:62)(cid:50) (cid:175)(cid:268) (cid:188)(cid:59)(cid:25)(cid:53)(cid:48) (cid:148)(cid:517)(cid:342)(cid:62)(cid:220)(cid:50) (cid:175)(cid:53) (cid:275)(cid:37)(cid:35)(cid:148)
(cid:297)(cid:62)𝐴𝐶(cid:53)(cid:37)𝐺(cid:57)𝑀(cid:364)⊥(cid:62)𝐴(cid:120)𝐶(cid:121)(cid:215)30𝐴°𝐺(cid:33)(cid:59)(cid:33)𝐶(cid:103)𝐹⊥(cid:33)𝐴(cid:194)𝐸(cid:158)(cid:259)(cid:260)(cid:26)𝐹(cid:27)(cid:32)(cid:200)𝐴𝐶 (cid:62) (cid:62)(cid:140)𝑀(cid:82)(cid:244)(cid:253)(cid:117)(cid:118). 𝐹 𝑀𝐺
(cid:15)(cid:123)𝐹(cid:122)𝐺(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:176)(cid:177) (cid:62)(cid:90)(cid:50) (cid:193) (cid:60)(cid:50) (cid:62)(cid:176)(cid:177) 𝐹(cid:70)𝑀 𝑀𝐺
(cid:62) 𝐴𝐶 𝐺 𝐺𝑀⊥𝐴𝐶 𝑀 𝐴𝐺
∵𝐺𝑂⊥=𝐴𝐵(cid:70)
(cid:175)∴R𝑂t𝐴 𝑂𝐵(cid:95)(cid:62)
△=𝐴2𝐺(cid:62)𝑂 =1(cid:62)
∵𝐴𝐺 𝑂𝐺
= (cid:62) = 2 1 = 3(cid:62)
2 2
∴𝐴𝐺 2=𝑂𝐺30°(cid:62)𝑂𝐴 = − =2 3(cid:62) =60°(cid:70)
∴∠𝐺𝐴=𝑂 (cid:62) 𝐴𝐵 2𝐴𝑂 ∠𝐴𝐺𝑂
∵𝐺𝐶 𝐺=𝐴 (cid:70)
∴∠𝐺𝐶𝐴 =∠𝐺𝐴𝐶 + (cid:62)
∵∠𝐴𝐺𝑂= ∠𝐺𝐶𝐴=∠30𝐺°𝐴(cid:62)𝐶
∴∠𝐺𝐶𝐴 ∠𝐺𝐴𝐶 1
= =2 3(cid:62) = =1(cid:70)
2
∴𝐴𝐶 2𝐴(cid:62)𝑂 𝑀𝐺 𝐶𝐺
∵𝐶𝐹⊥𝐴=𝐸90°(cid:62)
(cid:50)∴∠(cid:175)𝐴𝐹(cid:268)𝐶 (cid:188)(cid:59)(cid:25)(cid:53) (cid:148)(cid:243)(cid:342)(cid:62)
𝐹 =𝐴𝐶3(cid:70) ⊙𝑀
(cid:220)∴(cid:50)𝐹𝑀(cid:175) (cid:53)(cid:275)(cid:37)(cid:35)(cid:148)(cid:297)(cid:62) (cid:53)(cid:37)(cid:57)(cid:364)(cid:62)(cid:57)(cid:364)(cid:58)(cid:188) = 3 (cid:70)
(cid:124)(cid:125)𝐹(cid:10)B(cid:70)𝑀𝐺 𝐹𝐺 𝐹𝑀−𝑀𝐺 −1