专题2.6勾股定理的逆定理(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》8上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》8上(浙教)

专题 2.6 勾股定理的逆定理（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:19)............................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:19)....................................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:19)........................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:39)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:45)(cid:19)............................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:52)(cid:53)(cid:19)..............................................................................................................11
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:54)(cid:55)(cid:19)..............................................................................................................15
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:19)..............................................................................................................20
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:61)(cid:62)(cid:52)(cid:63)(cid:19)......................................................................................................24
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:53)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:46)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:39)(cid:19)..........................................................................28
知识点1 直角三角形的判别条件 +
A
A
科
全
★
1. (cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:8)(cid:12) (cid:13) (cid:13) (cid:14)(cid:15) + = 众(cid:16)(cid:17) 号 (cid:18)(cid:19)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:20)(cid:21)(cid:9)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:71)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
公
注
， 关2 2 2
(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:3)(cid:33)(cid:11)(cid:34)(cid:3)(cid:33)(cid:35) 𝑎 𝑏源𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
资
辅
教
2. (cid:24)(cid:36)(cid:37)(cid:19)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:20)(cid:38)(cid:30)(cid:21)(cid:9)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:39)(cid:40)(cid:5)
(cid:41)(cid:9)(cid:42)(cid:43)(cid:24)(cid:36) (cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:44)(cid:45)(cid:37)(cid:19)(cid:9)(cid:20)(cid:21)(cid:9)(cid:13)(cid:46)(cid:47)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:44)(cid:45)(cid:48)(cid:19)(cid:9)(cid:49)(cid:50)
(cid:41)(cid:12)(cid:51)(cid:43)(cid:24)(cid:36) (cid:48)(cid:26)(cid:52)(cid:53)(cid:12)(cid:11)(cid:54)(cid:39)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:51)(cid:12)(cid:11)(cid:54)(cid:39)
知识点2 勾股数
1. (cid:31)(cid:32)(cid:59)
(cid:3)(cid:4) (cid:14)(cid:15) + = (cid:11)(cid:8)(cid:19)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:13)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:59)
2 2 2
(cid:8)𝑎(cid:19)(cid:59)(cid:62)𝑏 (cid:20)(cid:60)𝑐(cid:61)(cid:59)
(cid:14)(cid:15)(cid:26)(cid:27)
①(cid:48)(cid:19)(cid:52)(cid:63)(cid:61)(cid:59)(cid:11)(cid:54)(cid:39)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:64)(cid:61)(cid:59)(cid:11)(cid:54)(cid:39)
②(cid:31)(cid:32)(cid:59)(cid:11)(cid:61)(cid:59)(cid:67)(cid:68)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:59)(cid:13)(cid:6)3(cid:13)4(cid:13)5(cid:11)2(cid:67)6(cid:13)8(cid:13)10(cid:68)
(cid:65)(cid:66)
(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:59).
(cid:13) (cid:13) +1(cid:22) (cid:64)(cid:57)1(cid:11)(cid:72)(cid:73)(cid:59)(cid:35)(cid:74)
(cid:69)(cid:70)(cid:10)(cid:71)
2 2
①𝑛 −(cid:13)1 2𝑛 (cid:13)𝑛 +1𝑛(cid:22)n(cid:30)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:35)(cid:56)
2 2
2. (cid:24)(cid:36)(cid:31)(cid:32)(cid:59)(cid:11)(cid:39)(cid:40)(cid:75)②(cid:76)4𝑛: 4𝑛 −1 4𝑛(1)(cid:77)(cid:3)(cid:8)(cid:19)(cid:20)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:74)
(2)(cid:77)(cid:3)(cid:58)(cid:64)(cid:11)(cid:59)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:48)(cid:19)(cid:52)(cid:63)(cid:11)(cid:59)(cid:13)(cid:82)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:58)(cid:64)(cid:11)(cid:59)(cid:11)(cid:54)(cid:39)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:48)(cid:19)(cid:52)(cid:63)(cid:11)(cid:59)(cid:11)(cid:54)(cid:39)(cid:55)(cid:74)
(3)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:52)(cid:13)(cid:88)(cid:58)(cid:64)(cid:59)(cid:11)(cid:54)(cid:39)(cid:56)(cid:57)(cid:80)(cid:81)(cid:48)(cid:19)(cid:52)(cid:63)(cid:59)(cid:11)(cid:54)(cid:39)(cid:55)(cid:13)(cid:89)(cid:20)(cid:31)(cid:32)(cid:59),(cid:38)(cid:89)(cid:90)(cid:20)(cid:71)
【题型1 判断三边能否构成直角三角形】
(cid:15)(cid:72)1(cid:19)(cid:73)2025·(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)·(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:67)(cid:46)(cid:44)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:41)(cid:83)(cid:67)(cid:87)12(cid:46)(cid:85)(cid:86)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:26)(cid:94)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:31)(cid:32)
(cid:46)(cid:95)(cid:73) (cid:80)
A(cid:71)6(cid:96)9 B(cid:71)9(cid:96)15 C(cid:71)10(cid:96)16 D(cid:71)15(cid:96)18
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)B
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:107)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:96)(cid:109)(cid:110)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:53)(cid:20)
(cid:46)(cid:3)(cid:111)(cid:71)
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10)A(cid:113)6 +9 12 (cid:96)(cid:114)(cid:26)(cid:94)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:114)(cid:118)(cid:62)(cid:20)(cid:119)(cid:120)
2 2 2
B(cid:113)9 +12 =15 (cid:96)(cid:26)(cid:94)≠(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:62)(cid:20)(cid:119)(cid:120)
2 2 2
C(cid:113)10 +12 16 (cid:96)(cid:114)(cid:26)(cid:94)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:114)(cid:118)(cid:62)(cid:20)(cid:119)(cid:120)
+
A
2 2 2 科 A
D(cid:113)12 +15 ≠ 18 (cid:96)(cid:114)(cid:26)(cid:94)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:114)(cid:118)(cid:62)(cid:20)(cid:119) ★ (cid:120)全
号
众
2 2 2 公
注
(cid:115)(cid:116)(cid:10)B(cid:71) ≠ 关
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:121)(cid:122)1-1(cid:19)(cid:73)24-25教(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:81)·(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:129)·(cid:130)(cid:38)(cid:80)(cid:131)(cid:81)(cid:82)(cid:132)(cid:94)(cid:35)(cid:87)(cid:25)(cid:83)(cid:96)(cid:108)(cid:131)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:95)(cid:73)(cid:133)(cid:133)(cid:80)
A(cid:71)2(cid:96)3(cid:96)4 B(cid:71)3(cid:96)4(cid:96)6 C(cid:71)6(cid:96)8(cid:96)10 D(cid:71)7(cid:96)24(cid:96)26
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)C
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:101)(cid:20)(cid:134)(cid:135)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:111)(cid:95)(cid:109)(cid:110)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:71)(cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)
(cid:50)(cid:136)(cid:117)(cid:137)(cid:138)(cid:22)(cid:23)(cid:107)(cid:108)(cid:71)
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10)A. 2 +3 =13(cid:96)4 =16(cid:96)2 +3 4 (cid:96)
2 2 2 2 2 2
(cid:139)(cid:116)(cid:117)(cid:24)(cid:140)(cid:35)(cid:106)∵(cid:114)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:115)(cid:114)(cid:118)(cid:62)(cid:20)(cid:119)≠(cid:120)
∴B. 3 +4 =25(cid:96)6 =36(cid:96)3 +4 6 (cid:96)
2 2 2 2 2 2
(cid:139)(cid:116)∵ (cid:117)(cid:24)(cid:140)(cid:35)(cid:106)(cid:114)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)≠(cid:115)(cid:114)(cid:118)(cid:62)(cid:20)(cid:119)(cid:120)
∴C. 6 +8 =100(cid:96)10 =100(cid:96)6 +8 =10 (cid:96)
2 2 2 2 2 2
(cid:139)(cid:116)∵ (cid:117)(cid:24)(cid:140)(cid:35)(cid:106)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:115)(cid:118)(cid:62)(cid:20)(cid:119)(cid:120)
∴D. 7 +24 =625(cid:96)26 =676(cid:96)7 +24 26 (cid:96)
2 2 2 2 2 2
(cid:139)(cid:116)∵ (cid:117)(cid:24)(cid:140)(cid:35)(cid:106)(cid:114)(cid:114)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:115)(cid:114)≠(cid:118)(cid:62)(cid:20)(cid:119)(cid:120)
∴(cid:115)(cid:116)(cid:10)C(cid:71)(cid:15)(cid:121)(cid:122)1-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:81)·(cid:141)(cid:142)(cid:76)(cid:143)·(cid:130)(cid:38)(cid:80)(cid:42)(cid:43)a(cid:113)b(cid:113)c(cid:95)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:96)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:147)( ) +( 12)
2 2
+| |=0(cid:96)(cid:148)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:32)(cid:149)(cid:95)(cid:73) (cid:80) 𝑎−9 𝑏−
A𝑐−(cid:71)1(cid:30)5 (cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32) B(cid:71)(cid:150)(cid:25)(cid:24)(cid:31)(cid:32)
C(cid:71)(cid:151)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32) D(cid:71)(cid:152)(cid:41)(cid:153)(cid:114)(cid:92)(cid:150)(cid:46)(cid:150)(cid:153)(cid:24)(cid:31)(cid:32)
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)A
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:101)(cid:20)(cid:134)(cid:135)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:35)(cid:46)(cid:157)(cid:158)(cid:96)(cid:159)(cid:140)(cid:155)(cid:156)(cid:35)(cid:46)(cid:154)(cid:87)0(cid:96)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:159)(cid:140)(cid:155)(cid:156)(cid:35)(cid:46)(cid:63)(cid:163)(cid:87)0(cid:96)
(cid:106)(cid:164)(cid:108)(cid:165) =0(cid:96) =0(cid:96) =0(cid:96)(cid:148) =9(cid:96) =12(cid:96) =15(cid:96)(cid:137)(cid:166)(cid:108)(cid:54)(cid:55) + = (cid:96)(cid:148)(cid:139)(cid:24)
2 2 2
(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:30)𝑎(cid:31)−(cid:24)9(cid:31)(cid:32)(cid:71)𝑏−12 𝑐−15 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10) ( ) +( 12) +| |=0(cid:96)( ) 0(cid:96)( 12) 0(cid:96)| | 0(cid:96)
2 2 2 2
( ) =( ∵1𝑎2−)9=| 𝑏−|=0(cid:96)𝑐−15 𝑎−9 ≥ 𝑏− ≥ 𝑐−15 ≥
2 2
∴ 𝑎−9=0(cid:96)𝑏− =0(cid:96)𝑐−15 =0(cid:96)
∴𝑎−=99(cid:96) =𝑏−121(cid:96)2 =15𝑐(cid:96)−15
∴𝑎 + 𝑏=9 +1𝑐2 =81+144=225(cid:96) =15 =225(cid:96)
2 2 2 2 2 2 A +
∴𝑎 +𝑏 = (cid:96) 𝑐 科 A
全
★
2 2 2 众 号
∴(cid:139)𝑎 (cid:24)(cid:31)𝑏(cid:32)(cid:95)𝑐(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96) 公
注
关
，
源
∴(cid:115)(cid:116)(cid:10)A(cid:71) 辅 资
教
(cid:15)(cid:121)(cid:122)1-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:81)·(cid:167)(cid:168)(cid:24)(cid:55)·(cid:130)(cid:38)(cid:80)(cid:42)(cid:43) (cid:96) (cid:96) (cid:95) (cid:46)(cid:24)(cid:84)(cid:25)(cid:96)(cid:148)(cid:81)(cid:82)(cid:84)(cid:169)(cid:26)(cid:22)(cid:49)
(cid:87)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:95)(cid:73) (cid:80) 𝑎 𝑏 𝑐 △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:71) =1:2:3 B(cid:71)( + ) +( ) =2
2 2 2
C(cid:71)𝑎:𝑏:𝑐 =2:3:4 D(cid:71) 𝑎 =𝑏 =𝑎−𝑏 𝑐
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)∠𝐴B:∠𝐵:∠𝐶 ∠𝐴 ∠𝐵 2∠𝐶
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:101)(cid:20)(cid:134)(cid:135)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:131)(cid:59)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:170)(cid:31)(cid:154)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:171)(cid:172)(cid:58)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:53)(cid:20)(cid:46)
(cid:3)(cid:111)(cid:71)
(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:131)(cid:59)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:170)(cid:31)(cid:154)(cid:49)(cid:50)(cid:136)(cid:117)(cid:99)(cid:100)(cid:22)(cid:23)(cid:107)(cid:108)(cid:53)(cid:97)(cid:71)
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10)A(cid:71)(cid:173) =1:2:3(cid:96)(cid:174) = = = (cid:96)(cid:148) +4 9 (cid:96)(cid:107) + (cid:96)(cid:26)(cid:22)(cid:49)
2 2 2 2 2 2
(cid:114)(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:114)𝑎(cid:62):𝑏:(cid:20)𝑐 (cid:119)(cid:120) 𝑎 𝑘,𝑏 2𝑘,𝑐 3𝑘 𝑘 𝑘 ≠ 𝑘 𝑎 𝑏 ≠𝑐 △𝐴𝐵𝐶
B(cid:71)(cid:173)( + ) +( ) =2 (cid:108)(cid:165) + = (cid:96)(cid:26)(cid:22)(cid:49) (cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:118)(cid:62)(cid:20)(cid:119)(cid:120)
2 2 2 2 2 2
C(cid:71)(cid:173) 𝑎 𝑏 =𝑎2−:𝑏3:4(cid:108)(cid:165)𝑐 =4𝑎0°(cid:96)𝑏 =𝑐60°(cid:96) =△80𝐴°(cid:96)𝐵𝐶(cid:114)(cid:26)(cid:22)(cid:49) (cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:114)(cid:62)(cid:20)(cid:119)(cid:120)
D(cid:71)(cid:173)∠𝐴:∠=𝐵:∠𝐶= (cid:108)(cid:165) ∠𝐴=72°(cid:96) ∠𝐵=72°(cid:96) ∠𝐶=36°(cid:96)(cid:114)(cid:26)(cid:22)(cid:49) △𝐴𝐵(cid:95)𝐶(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:114)(cid:62)(cid:20)(cid:119)(cid:71)
∠𝐴 ∠𝐵 2∠𝐶 ∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶 △𝐴𝐵𝐶(cid:115)(cid:116)(cid:10)B(cid:71)
【题型2 勾股数】
(cid:15)(cid:72)2(cid:19)(cid:73)2023·(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:175)·(cid:38)(cid:102)(cid:176)(cid:20)(cid:80)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:95)(cid:177)(cid:26)(cid:29)(cid:87)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:84)(cid:25)(cid:83)(cid:46)(cid:24)(cid:140)(cid:178)(cid:179)(cid:35)(cid:96)(cid:180)(cid:181)(cid:40)(cid:182)(cid:183)(cid:91)
(cid:184)(cid:185)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:7)(cid:122)(cid:46)(cid:95)(cid:38)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:35)(cid:11)(cid:189)(cid:70)(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:71)(cid:196)(cid:197)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a(cid:96)b(cid:96)c(cid:96)(cid:60)(cid:38) (cid:96) (cid:198)(cid:199)(cid:200) (cid:96) = 1
2
2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑚 −
1 (cid:96) = 1 + 1 (cid:96) (cid:95)(cid:201)(cid:200)1(cid:46)(cid:202)(cid:35)(cid:96)(cid:148) = (cid:73)(cid:48)(cid:203) (cid:46)(cid:122)(cid:204)(cid:205)(cid:206)(cid:80)(cid:71)
2 2 2
2
(cid:15)(cid:97)𝑐(cid:98)(cid:19)𝑚 𝑚 𝑏 𝑚
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)𝑚(cid:105)(cid:106)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:157)(cid:158)(cid:96)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:199)(cid:200)(cid:207)(cid:25)(cid:165)(cid:208) (cid:96) (cid:87)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:96) (cid:87)(cid:207)(cid:25)(cid:96)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:107)(cid:108)(cid:165)(cid:208)
(cid:46)(cid:63)(cid:71) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10)(cid:173)(cid:200)(cid:196)(cid:197)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a(cid:96)b(cid:96)c(cid:96)(cid:60)(cid:38) (cid:96) (cid:198)(cid:199)(cid:200) (cid:96)
(cid:96) (cid:87)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:96) (cid:87)(cid:207)(cid:25)(cid:96) 𝑎 𝑏 𝑐
∴ 𝑎+𝑏 = (cid:96) 𝑐
2 2 2
∴𝑎 ( 1 𝑏 1 ) 𝑐 + =( 1 + 1 ) (cid:96)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 A A +
(cid:165) ∴ (cid:208) 1𝑚 − 1 + 𝑏 1 + = 𝑚 1 + 1 + 1 (cid:96) 号 ★ 全 科
4 2 4 4 2 4 众
公
4 2 2 4 2 注
关
=
𝑚 −(cid:96)𝑚 𝑏 𝑚
源
𝑚 ，
资
辅
2 2 教
∴𝑏=±𝑚(cid:96)
∴𝑏 (cid:95)(cid:201)𝑚(cid:200)1(cid:46)(cid:202)(cid:35)(cid:96)
∵ 𝑚= (cid:71)
(cid:115)∴(cid:97)𝑏 (cid:98)𝑚(cid:87)(cid:10) (cid:71)
(cid:15)(cid:45)(cid:209)(cid:19)(cid:101)𝑚(cid:20)(cid:102)(cid:103)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:58)(cid:48)(cid:96)(cid:99)(cid:210)(cid:211) (cid:96) (cid:87)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:96) (cid:87)(cid:207)(cid:25)(cid:95)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:111)(cid:71)
(cid:15)(cid:121)(cid:122)2-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:81)·(cid:212)(cid:76)(cid:213)(cid:214)·(cid:130)(cid:38)𝑎(cid:80)𝑏(cid:215)(cid:186)(cid:95)(cid:216)(cid:217)(cid:104)𝑐(cid:53)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:186)(cid:218)(cid:219)(cid:183)(cid:96)(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:200)(cid:215)(cid:186)(cid:187)(cid:188)
(cid:189)(cid:224)(cid:46)(cid:35)(cid:11)(cid:189)(cid:70)(cid:190)(cid:213)(cid:225)(cid:193)(cid:226)(cid:195)(cid:38)(cid:96)(cid:81)(cid:82)(cid:132)(cid:94)(cid:35)(cid:38)(cid:96)(cid:95)“(cid:33)(cid:34)(cid:35)”(cid:46)(cid:95)(cid:73) (cid:80)
A(cid:71)5(cid:96)12(cid:96)11 B(cid:71)6(cid:96)8(cid:96)10 C(cid:71)7(cid:96)8(cid:96)9 D(cid:71)15(cid:96)17(cid:96)18
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)B
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:103)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:96)(cid:171)(cid:43)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:46)(cid:49)(cid:227)(cid:95)(cid:178)(cid:228)(cid:53)(cid:97)(cid:164)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:111)(cid:71)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:46)(cid:49)(cid:227)(cid:96)(cid:24)(cid:140)(cid:178)(cid:179)(cid:35)(cid:96)
(cid:44)(cid:140)(cid:229)(cid:199)(cid:35)(cid:46)(cid:230)(cid:231)(cid:154)(cid:150)(cid:200)(cid:229)(cid:201)(cid:35)(cid:46)(cid:230)(cid:231)(cid:96)(cid:162)(cid:24)(cid:140)(cid:178)(cid:179)(cid:35)(cid:28)(cid:29)(cid:183)(cid:94)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:96)(cid:137)(cid:138)(cid:22)(cid:49)(cid:107)(cid:108)(cid:71)
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10)A(cid:113)5 +11 12 (cid:96)(cid:115)(cid:114)(cid:95)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:96)(cid:114)(cid:118)(cid:62)(cid:20)(cid:119)(cid:120)
2 2 2
B(cid:113)6 +8 =10 (cid:96)(cid:115)(cid:95)(cid:33)≠(cid:34)(cid:35)(cid:96)(cid:118)(cid:62)(cid:20)(cid:119)(cid:120)
2 2 2C(cid:113)7 +8 9 (cid:96)(cid:115)(cid:114)(cid:95)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:96)(cid:114)(cid:118)(cid:62)(cid:20)(cid:119)(cid:120)
2 2 2
D(cid:113)15 +17≠ 18 (cid:96)(cid:115)(cid:114)(cid:95)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:96)(cid:114)(cid:118)(cid:62)(cid:20)(cid:119)(cid:96)
2 2 2
(cid:115)(cid:116)(cid:10)B(cid:71) ≠
(cid:15)(cid:121)(cid:122)2-2(cid:19)(cid:73)23-24(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:81)·(cid:212)(cid:127)(cid:232)(cid:49)·(cid:130)(cid:38)(cid:80)(cid:233)8(cid:96)15(cid:96) (cid:95)(cid:183)(cid:94)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:96)(cid:148) (cid:46)(cid:63)(cid:87) (cid:71)
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)17 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:46)(cid:49)(cid:227)(cid:96)(cid:99) (cid:87)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:154)(cid:207)(cid:25)(cid:44)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:99)(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:96)(cid:240)(cid:173)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:46)(cid:49)(cid:227)(cid:165)(cid:185)(cid:97)(cid:98)
(cid:107)(cid:108)(cid:96)(cid:53)(cid:20)(cid:3)(cid:111)(cid:95)(cid:109)(cid:110)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:46)(cid:49)(cid:227)(cid:95)(cid:108)𝑥(cid:131)(cid:28)(cid:29)(cid:183)(cid:140)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:46)(cid:183)(cid:94)(cid:178)(cid:179)(cid:35)(cid:71)
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10)(cid:241) (cid:87)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:242)(cid:96) =161(cid:96)x(cid:114)(cid:95)(cid:178)(cid:179)(cid:35)(cid:96)(cid:114)(cid:118)(cid:62)(cid:20)(cid:119)(cid:96)
2
(cid:241) (cid:87)(cid:207)(cid:25)(cid:242)(cid:96) 𝑥=17(cid:96)(cid:95)(cid:178)(cid:179)(cid:35)𝑥 (cid:96)(cid:118)(cid:62)(cid:20)(cid:119)(cid:96)
(cid:61)𝑥(cid:40)(cid:96)(cid:233)8(cid:96)15𝑥(cid:96) (cid:95)(cid:183)(cid:94)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:96)(cid:148) (cid:46)(cid:63)(cid:87)17(cid:96)
(cid:115)(cid:97)(cid:98)(cid:87)(cid:10)17(cid:71) 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:121)(cid:122)2-3(cid:19)(cid:73)22-23(cid:243)(cid:124)(cid:125)(cid:40)·(cid:244)(cid:245)(cid:246)(cid:247)·(cid:130)(cid:38)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:248)(cid:249)(cid:10)
(cid:250)(cid:87)0.6(cid:96)0.8(cid:96)1(cid:114)(cid:95)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:96)(cid:251)(cid:131)(cid:131)0.6(cid:96)0.8(cid:96)1(cid:87)(cid:25)(cid:46)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:114)(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)
+
A
①(cid:233)a(cid:96)b(cid:96)c(cid:95)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:96)(cid:252) > (cid:96) > (cid:96)(cid:148)(cid:253)(cid:197) + = 科 A
全
★
2 众2 号2
②(cid:250)(cid:131)0.5(cid:96)1.2(cid:96)1.3(cid:87)(cid:25)(cid:83)𝑐(cid:46)(cid:24)𝑏(cid:31)(cid:32)𝑐 (cid:95)𝑎(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)𝑎公(cid:96)(cid:251)𝑏(cid:131)0.𝑐5(cid:96)1.2(cid:96)1.3(cid:95)(cid:33)(cid:34)(cid:35)
注
关
，
源
③(cid:233)(cid:24)(cid:140)(cid:179)(cid:35)a(cid:96)b(cid:96)c(cid:95)辅(cid:30)(cid:31)资(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:24)(cid:84)(cid:25)(cid:96)(cid:148) (cid:96) (cid:96) (cid:253)(cid:95)(cid:33)(cid:34)(cid:35)
教
④(cid:60)(cid:38)(cid:178)(cid:228)(cid:46)(cid:95) (cid:73)(cid:254)(cid:255)(cid:9)(cid:80)(cid:71) 3𝑎 3𝑏 3𝑐
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19) /
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:256)②(cid:22)④(cid:23)④(cid:95)②(cid:27)(cid:87)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:96)(cid:253)(cid:257)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:95)(cid:178)(cid:179)(cid:35)(cid:96)(cid:258)(cid:242)(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:54)(cid:44)(cid:199)(cid:25)(cid:46)(cid:230)(cid:231)(cid:154)(cid:95)(cid:27)(cid:150)(cid:200)(cid:216)(cid:83)(cid:25)
(cid:46)(cid:230)(cid:231)(cid:71)
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10) (cid:262)(cid:263)0.6(cid:96)0.8(cid:96)1(cid:114)(cid:95)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:96)(cid:264)(cid:95)0.6 +0.8 =1 (cid:96)(cid:251)(cid:131)(cid:131)0.6(cid:96)0.8(cid:96)1(cid:87)(cid:25)(cid:46)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)
2 2 2
(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)①(cid:115) (cid:248)(cid:249)(cid:265)(cid:266)(cid:120)
(cid:233)a(cid:96)b(cid:96)c(cid:95)①(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:96)(cid:252) > (cid:96) > (cid:96)(cid:148)(cid:253)(cid:197) + = (cid:96)(cid:115) (cid:248)(cid:249)(cid:178)(cid:228)(cid:120)
2 2 2
②(cid:250)(cid:87)0.5(cid:96)1.2(cid:96)1.3(cid:163)(cid:114)(cid:95)𝑐(cid:178)(cid:179)𝑏(cid:35)(cid:96)𝑐 (cid:251)𝑎(cid:131)0.5(cid:96)1.2𝑎(cid:96)1.3𝑏(cid:114)(cid:95)𝑐(cid:33)(cid:34)(cid:35)②(cid:96)(cid:115) (cid:248)(cid:249)(cid:265)(cid:266)(cid:120)
③(cid:233)(cid:24)(cid:140)(cid:179)(cid:35)a(cid:96)b(cid:96)c(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:96)(cid:148) (cid:96) (cid:96) (cid:183)(cid:49)(cid:95)(cid:33)(cid:34)③(cid:35)(cid:96)(cid:115) (cid:248)(cid:249)(cid:178)(cid:228)(cid:71)
(cid:115)④(cid:97)(cid:98)(cid:87)(cid:10) (cid:71) 3𝑎 3𝑏 3𝑐 ④
(cid:15)(cid:45)(cid:209)(cid:19)(cid:101)②(cid:20)(cid:134)④(cid:135)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:10)(cid:146)(cid:147) + = (cid:46)(cid:24)(cid:140)(cid:178)(cid:179)(cid:35)(cid:96)(cid:267)(cid:87)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:71)(cid:4)(cid:119)(cid:10)(cid:24)(cid:140)(cid:35)(cid:253)(cid:257)(cid:95)(cid:178)(cid:179)
2 2 2
(cid:35)(cid:96)(cid:72)(cid:144)(cid:10)2.5(cid:113)6(cid:113)6.5(cid:146)(cid:147) + = 𝑎(cid:96)(cid:264)𝑏(cid:95)(cid:220)𝑐(cid:268)(cid:114)(cid:95)(cid:178)(cid:179)(cid:35)(cid:96)(cid:251)(cid:131)(cid:220)(cid:268)(cid:114)(cid:95)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:71)
2 2 2
𝑎 𝑏 𝑐【题型3 网格中判断直角三角形】
(cid:15)(cid:72)3(cid:19)(cid:144)(cid:39)(cid:96)(cid:269)(cid:183)(cid:140)6×6(cid:46)(cid:178)(cid:231)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:96)(cid:197)(cid:24)(cid:140)(cid:37)(cid:45)(cid:24)(cid:31)(cid:32)((cid:270)(cid:45)(cid:269)(cid:36)(cid:37)(cid:46)(cid:271)(cid:45)(cid:40))(cid:96)(cid:60)(cid:38)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)
(cid:140)(cid:35)(cid:95) (cid:73) (cid:80)
A(cid:71)0 B(cid:71)1 C(cid:71)2 D(cid:71)3
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)C
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:136)(cid:140)(cid:22)(cid:23)(cid:107)(cid:108)(cid:120)
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)(cid:144)(cid:39)(cid:251)(cid:206)(cid:10)
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
=2 +1 =5(cid:96) =3 +1 =10(cid:96) =2 +1 =5(cid:96)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
∵𝐴𝐵 + = (cid:96) 𝐴𝐶 𝐵𝐶
2 2 2
∴𝐴𝐵 𝐵(cid:95)𝐶(cid:30)(cid:31)𝐴(cid:24)𝐶(cid:31)(cid:32)(cid:120)
∴△𝐴𝐵=𝐶3 +1 =10(cid:96) =2 +1 =5(cid:96) =3 +2 =13(cid:96)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
∵𝐷𝐸 + (cid:96) 𝐸𝐹 𝐷𝐹
2 2 2
∴𝐷𝐹 𝐸(cid:114)𝐹(cid:95)≠(cid:30)𝐷(cid:31)𝐹(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:120)
∴△𝐷𝐸=𝐹3 +3 =18(cid:96) =2 +2 =8(cid:96) =5 +1 =26(cid:96)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
∵𝑃𝑀 + = (cid:96) 𝑁𝑀 𝑃𝑁
2 2 2
∴𝑃𝑀 𝑀(cid:95)𝑁(cid:30)(cid:31)𝑃(cid:24)𝑁(cid:31)(cid:32)(cid:120)
(cid:115)∴△(cid:97)𝑃(cid:98)𝑀(cid:116)𝑁C(cid:71)
(cid:15)(cid:45)(cid:209)(cid:19)(cid:101)(cid:20)(cid:134)(cid:135)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:58)(cid:48)(cid:96)(cid:272)(cid:228)(cid:273)(cid:193)(cid:95)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:111)(cid:71)(cid:15)(cid:121)(cid:122)3-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:40)·(cid:167)(cid:168)(cid:274)(cid:275)·(cid:276)(cid:86)(cid:172)(cid:277)(cid:80)(cid:144)(cid:39)(cid:251)(cid:206)(cid:96)(cid:269)4×4(cid:46)(cid:178)(cid:231)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:39)(cid:38)(cid:96)(cid:199)(cid:178)(cid:231)(cid:32)(cid:46)(cid:270)
(cid:45)(cid:267)(cid:87)(cid:37)(cid:45)(cid:96) (cid:46)(cid:270)(cid:45)(cid:163)(cid:269)(cid:37)(cid:45)(cid:40)(cid:96)(cid:278)(cid:140)(cid:199)(cid:178)(cid:231)(cid:32)(cid:46)(cid:25)(cid:83)(cid:198)(cid:87)1(cid:96)(cid:148) (cid:46)(cid:32)(cid:149)(cid:279)(cid:280)(cid:216)(cid:272)(cid:228)(cid:46)(cid:95)(cid:73) (cid:80)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:71)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32) B(cid:71)(cid:150)(cid:153)(cid:24)(cid:31)(cid:32) C(cid:71)(cid:150)(cid:153)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32) D(cid:71)(cid:150)(cid:25)(cid:24)(cid:31)(cid:32)
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)C
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:71)(cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:99)(cid:281)(cid:52)(cid:185)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:46)(cid:83)(cid:67)(cid:96)(cid:240)(cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)
(cid:49)(cid:50)(cid:107)(cid:108)(cid:52)(cid:53)(cid:71)
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10) (cid:25)(cid:83)(cid:87)1(cid:46)(cid:178)(cid:231)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:96)(cid:45)A(cid:96)B(cid:96)C(cid:198)(cid:269)(cid:37)(cid:45)(cid:40)(cid:96)
=2 +∵4 =20(cid:96) =1 +3 =10(cid:96) =1 +3 =10(cid:96)
+
A
2 2 2 2 2 2 2 2 2 科 A
∴𝐴𝐵 + = (cid:96) 𝐴𝐶 𝐵𝐶 ★ 全
号
众
2 2 2 公
注
∴𝐴𝐶 𝐵=𝐶90°(cid:252)𝐴𝐵 = (cid:96) 关
，
源
资
辅
∴∠𝐴𝐶𝐵(cid:87)(cid:150)(cid:153)(cid:30)𝐴(cid:31)𝐶(cid:24)教(cid:31)𝐵𝐶(cid:32)(cid:96)
(cid:115)∴△(cid:116)𝐴(cid:10)𝐵C𝐶(cid:71)
(cid:15)(cid:121)(cid:122)3-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:40)·(cid:282)(cid:186)·(cid:130)(cid:38)(cid:80)(cid:144)(cid:39)(cid:251)(cid:206)(cid:46)(cid:95)(cid:178)(cid:231)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:96)(cid:148) = °(cid:73)(cid:45) (cid:96) (cid:96)
(cid:96) (cid:96) (cid:87)(cid:36)(cid:37)(cid:85)(cid:271)(cid:45)(cid:80)(cid:71) ∠𝑀𝐷𝐶−∠𝑀𝐴𝐵 𝐴 𝐵
𝐶 𝐷 𝑀
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)45
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:150)(cid:153)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:157)(cid:158)(cid:96)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:111)(cid:95)(cid:109)(cid:110)(cid:92)(cid:3)(cid:43)(cid:283)(cid:284)(cid:35)(cid:32)(cid:285)(cid:62)(cid:71)(cid:269)
(cid:30)(cid:85) (cid:40)(cid:286)(cid:45) (cid:96)(cid:287)(cid:165) = (cid:96)(cid:93)(cid:288) (cid:96)(cid:289)(cid:45) (cid:70) (cid:96)(cid:271) (cid:46)(cid:290)(cid:83)(cid:85)(cid:200)(cid:45) (cid:96)(cid:165)(cid:208)
𝐴𝐵= 𝐸(cid:96)(cid:291)(cid:185)𝐸𝑀 𝐷𝑀 =𝐷𝐸 (cid:96)(cid:105)𝐸(cid:106)(cid:33)𝐸𝐹(cid:34)⊥(cid:49)𝐶𝐷(cid:50)(cid:46)(cid:51)𝐶(cid:49)𝐷(cid:50)(cid:54)(cid:55) 𝐷(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:285)(cid:62)
∠𝑀𝐴=𝐵 ∠(cid:96)𝐸(cid:107)𝐷𝐹(cid:108)(cid:52)(cid:53)(cid:71)∠𝑀𝐷𝐶−∠𝑀𝐴𝐵 ∠𝐸𝐷𝑀 △𝐷𝐸𝑀
(cid:15)𝐸𝑀(cid:112)(cid:53)𝐷(cid:19)𝑀(cid:53)(cid:10)(cid:144)(cid:39)(cid:96)(cid:269)(cid:30)(cid:85) (cid:40)(cid:286)(cid:45) (cid:96)(cid:287)(cid:165) = (cid:96)(cid:93)(cid:288) (cid:96)(cid:289)(cid:45) (cid:70) (cid:96)(cid:271) (cid:46)(cid:290)(cid:83)(cid:85)(cid:200)(cid:45) (cid:96)
𝐴𝐵 𝐸 𝐸𝑀 𝐷𝑀 𝐷𝐸 𝐸 𝐸𝐹⊥𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐹(cid:173)(cid:39)(cid:108)(cid:43)(cid:96) = (cid:96)
∠𝑀𝐴𝐵 =∠𝐸𝐷𝐹 = (cid:96)
∴ ∠𝑀𝐷𝐶=−∠𝑀𝐴=𝐵 1 ∠+𝑀2𝐷𝐶=−∠5(cid:96)𝐸𝐷𝐹 =∠𝐸1𝐷𝑀+3 =10(cid:96)
2 2 2 2 2 2 2
∵ 𝑀𝐸 + 𝑀𝐷 = (cid:96) 𝐷𝐸
2 2 2
∴ 𝐸𝑀 𝐷(cid:95)𝑀(cid:30)(cid:31)𝐷(cid:24)𝐸(cid:31)(cid:32)(cid:96)
∴ △𝐷=𝐸𝑀 (cid:96)
∵ 𝐸𝑀 𝐷=𝑀45°(cid:96)(cid:107) =45°
(cid:115)∴(cid:97)∠(cid:98)𝐸𝐷(cid:87)𝑀(cid:10)45(cid:71) ∠𝑀𝐷𝐶−∠𝑀𝐴𝐵
(cid:15)(cid:121)(cid:122)3-3(cid:19)(cid:73)2025·(cid:212)(cid:127)(cid:292)(cid:247)·(cid:79)(cid:293)(cid:294)(cid:295)(cid:80)(cid:39)(cid:95)(cid:173)(cid:199)(cid:178)(cid:231)(cid:32)(cid:296)(cid:29)(cid:46)(cid:36)(cid:37)(cid:96) (cid:44)(cid:45)(cid:198)(cid:269)(cid:37)(cid:45)(cid:40)(cid:96) (cid:44)(cid:45)(cid:198)(cid:87)
(cid:199)(cid:178)(cid:231)(cid:32)(cid:183)(cid:25)(cid:46)(cid:38)(cid:45)(cid:96)(cid:30)(cid:85) (cid:41)(cid:30)(cid:85) (cid:271)(cid:200)(cid:45) (cid:96)(cid:148) =(cid:73) (cid:80) 𝐴,𝐵 𝐶,𝐷
+
A
A
科
𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐸 ∠𝐵𝐸𝐷 ★ 全
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
A(cid:71)60° B(cid:71)75° C(cid:71)90° D(cid:71)105°
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)C
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:103)(cid:230)(cid:297)(cid:46)(cid:157)(cid:158)(cid:96)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:175)(cid:289)(cid:230)(cid:297)(cid:96)(cid:298)(cid:45)C(cid:113)D(cid:297)(cid:208)(cid:37)(cid:45)(cid:95)(cid:299)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:111)(cid:71)
1
(cid:298) (cid:300)(cid:81)(cid:230)(cid:297)(cid:183)(cid:37)(cid:96)(cid:240)(cid:300)(cid:301)(cid:230)(cid:297) (cid:37)(cid:96)(cid:165)(cid:208) (cid:96)(cid:93)(cid:288) (cid:96)(cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:54)(cid:55) =90°(cid:96)(cid:107)
2
(cid:108)𝐶(cid:173)𝐷(cid:230)(cid:138)(cid:85)(cid:46)(cid:157)(cid:158)(cid:52)(cid:165) = =90 𝐺 °(cid:96)𝐹(cid:302)(cid:166)(cid:52)𝐺(cid:165)𝐵 (cid:71) ∠𝐵𝐹𝐺
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10)(cid:144)(cid:39)(cid:96)(cid:230)(cid:297)∠𝐵𝐸𝐶(cid:303) ∠𝐵(cid:304)𝐹(cid:96)𝐺(cid:148) (cid:198)(cid:269)(cid:178)(cid:231)(cid:32)(cid:37)∠𝐵(cid:45)𝐸(cid:40)𝐷(cid:96)(cid:93)(cid:288) (cid:96)
𝐶𝐷 𝐹𝐺 𝐹,𝐺 𝐺𝐵
(cid:174)(cid:199)(cid:178)(cid:231)(cid:32)(cid:46)(cid:25)(cid:83)(cid:87)1(cid:96)(cid:173)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:165)(cid:10)
=1 +2 =5(cid:96) =1 +2 =5(cid:96) =1 +3 =10(cid:96)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
𝐵𝐹 𝐺𝐹 𝐵𝐺+ =
2 2 2
∴𝐵𝐹 𝐺=𝐹90° 𝐵𝐺
∴(cid:230)∠𝐵(cid:297)𝐹𝐺 (cid:303) (cid:304)(cid:96)(cid:71)
∵ 𝐶𝐷 𝐹𝐺
∴𝐶𝐷∥𝐺𝐹= =90°
∴∠𝐵𝐸𝐶 =∠90𝐵°𝐹𝐺
∴(cid:115)∠(cid:116)𝐵𝐸(cid:10)𝐷C(cid:71)
【题型4 图形上与已知两点构成直角三角形的点】
(cid:15)(cid:72)4(cid:19)(cid:45) A(cid:73)2(cid:96)m(cid:80)(cid:96)B(cid:73)2(cid:96)m-5(cid:80)(cid:269)(cid:230)(cid:305)(cid:30)(cid:31)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:38)(cid:96)(cid:45)O(cid:87)(cid:306)(cid:307)(cid:309)(cid:45)(cid:71)(cid:233) ABO(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)
(cid:148)m(cid:46)(cid:63)(cid:114)(cid:108)(cid:26)(cid:95)(cid:73) (cid:80) △
A(cid:71)4 B(cid:71)2 C(cid:71)1 D(cid:71)0
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)B
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:99) OAB(cid:310)90°(cid:96) OBA(cid:310)90°(cid:96) AOB(cid:310)90°(cid:24)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:102)(cid:311)(cid:10)(cid:241) OAB(cid:310)90°(cid:242)(cid:96)(cid:45)A(cid:269)x(cid:312)(cid:40)(cid:96)(cid:137)(cid:166)
+
A
A
科
(cid:108)(cid:165)(cid:185)m(cid:310)∠0(cid:120)(cid:241) OBA(cid:310)∠90°(cid:242)(cid:96)(cid:45)B(cid:269)∠x(cid:312)(cid:40)(cid:96)(cid:137)(cid:166)(cid:108)(cid:165)(cid:185)m★ (cid:310)5全(cid:120)(cid:241)∠ AOB(cid:310)90°(cid:242)(cid:96)(cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:108)(cid:165)
号
众
公
注
(cid:185)(cid:3)(cid:200)m(cid:46)(cid:183)(cid:313)(cid:78)∠(cid:91)(cid:231)(cid:314)(cid:96)(cid:53)(cid:219)(cid:107)(cid:108)(cid:165)(cid:185)关m(cid:46)(cid:63)(cid:71)(cid:61)(cid:40)(cid:96)(cid:315)(cid:316)(cid:141)(cid:140)(cid:116)(cid:117)∠(cid:107)(cid:108)(cid:165)(cid:185)(cid:285)(cid:239)(cid:71)
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)
(cid:53)(cid:10)(cid:99)(cid:24)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:102)(cid:311)(cid:73)(cid:144)(cid:39)(cid:251)(cid:206)(cid:80)(cid:10)
(cid:241) OAB(cid:310)90°(cid:242)(cid:96)m(cid:310)0(cid:120)
(cid:241)∠OBA(cid:310)90°(cid:242)(cid:96)m−5(cid:310)0(cid:96)(cid:53)(cid:165)(cid:10)m(cid:310)5(cid:120)
(cid:241)∠AOB(cid:310)90°(cid:242)(cid:96)AB2(cid:310)OA2(cid:317)OB2(cid:96)(cid:107)25(cid:310)4(cid:317)m2(cid:317)4(cid:317)m2−10m(cid:317)25(cid:96)
(cid:53)∠(cid:165)(cid:10)m (cid:310)1(cid:96)m (cid:310)4(cid:71)
1 2(cid:61)(cid:40)(cid:251)(cid:280)(cid:10)m(cid:46)(cid:63)(cid:108)(cid:131)(cid:87)0(cid:96)5(cid:96)1(cid:96)4(cid:71)
(cid:115)(cid:116)B(cid:71)
(cid:15)(cid:45)(cid:209)(cid:19)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:306)(cid:307)(cid:41)(cid:39)(cid:32)(cid:157)(cid:158)(cid:131)(cid:59)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:99) OAB(cid:310)90°(cid:96) OBA(cid:310)90°(cid:96) AOB(cid:310)90°(cid:24)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:52)
(cid:185)m(cid:46)(cid:63)(cid:95)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:111)(cid:71) ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:121)(cid:122)4-1(cid:19)(cid:42)(cid:43)(cid:45) (cid:46)(cid:306)(cid:307)(cid:87)(3,5)(cid:96)(cid:45) (cid:269) (cid:312)(cid:40)(cid:96)(cid:252) =13(cid:96)(cid:160)(cid:161)(cid:45) (cid:46)(cid:306)(cid:307)(cid:87) .
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)( )(cid:318)(1𝐴5,0) 𝐵 𝑥 𝐴𝐵 𝐵
−9,0
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:91)(cid:92)B(cid:11)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:30)t(cid:13)(cid:96)(cid:97)(cid:48)(cid:92)(cid:98)(cid:11)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:71)(cid:102)(cid:103) +5 =13(cid:13)(cid:41)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)t(cid:11)(cid:109).
2 2
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)(cid:110)(cid:5)(cid:91)(cid:92)B(cid:11)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:30)t(cid:13) (3−𝑡)
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:102) +5 =169(cid:13)(cid:115) =12.
2 2 2
(cid:116)(cid:106)3-t=12((cid:46)3−3𝑡-)t=-12(cid:117) (3−𝑡)
t=-9(cid:46)t=15.
∴(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:30)( )(cid:318)(15,0)(cid:71)
(cid:15)(cid:121)(cid:122)4-2−(cid:19)9(cid:269),0(cid:230)(cid:305)(cid:30)(cid:31)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:38)(cid:96)(cid:45)A(cid:46)(cid:306)(cid:307)(cid:87)(1(cid:96)1)(cid:96)(cid:45)B(cid:46)(cid:306)(cid:307)(cid:87)(11(cid:96)1)(cid:96)(cid:45)C(cid:208)(cid:30)(cid:85)AB(cid:46)(cid:319)(cid:320)(cid:87)
+
A
A
科
5(cid:96)(cid:252) ABC(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:148)(cid:146)(cid:147)(cid:84)(cid:169)(cid:46)C(cid:45)(cid:197)((cid:133)(cid:133))
★
全
号
众
公
注
A(cid:71)△4(cid:140) B(cid:71)5(cid:140) 关C(cid:71)6(cid:140) D(cid:71)8(cid:140)
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)C 教
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:241) A=90°(cid:242)(cid:96)(cid:146)(cid:147)(cid:84)(cid:169)(cid:46)C(cid:45)2(cid:140)(cid:120)(cid:241) B=90°(cid:242)(cid:96)(cid:146)(cid:147)(cid:84)(cid:169)(cid:46)C(cid:45)2(cid:140)(cid:120)(cid:241) C=90°(cid:242)(cid:96)(cid:146)(cid:147)(cid:84)
(cid:169)(cid:46)C(cid:45)2∠(cid:140)(cid:71)(cid:251)(cid:131)(cid:321)(cid:197)6(cid:140)(cid:71) ∠ ∠
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19) (cid:45)A(cid:96)B(cid:46)(cid:322)(cid:306)(cid:307)(cid:92)(cid:150)(cid:96)
AB x(cid:312)∵(cid:96)
∴(cid:45)C∥ (cid:208)AB(cid:319)(cid:320)(cid:87)5(cid:96)AB=10(cid:96)
∵(cid:45)C(cid:269)(cid:230)(cid:138)(cid:200)AB(cid:46)(cid:44)(cid:84)(cid:30)(cid:85)(cid:40)(cid:96)
∴(cid:289)(cid:45)A(cid:46)(cid:323)(cid:85)(cid:41)(cid:160)(cid:44)(cid:84)(cid:30)(cid:85)(cid:197)2(cid:140)(cid:271)(cid:45)(cid:96)(cid:289)(cid:45)B(cid:46)(cid:323)(cid:85)(cid:41)(cid:160)(cid:44)(cid:84)(cid:30)(cid:85)(cid:197)2(cid:140)(cid:271)(cid:45)(cid:96)(cid:131)AB(cid:87)(cid:30)(cid:324)(cid:46)(cid:325)(cid:41)(cid:160)
∴(cid:44)(cid:84)(cid:30)(cid:85)(cid:197)(cid:326)(cid:197)2(cid:140)(cid:271)(cid:45)(cid:73)(cid:162)(cid:44)(cid:140)(cid:44)(cid:45)(cid:269)(cid:85)(cid:86)AB(cid:46)(cid:323)(cid:30)(cid:230)(cid:99)(cid:85)(cid:40)(cid:80)(cid:96)
(cid:146)(cid:147)(cid:84)(cid:169)(cid:46)C(cid:45)(cid:321)(cid:96)6(cid:140)(cid:71)
∴(cid:115)(cid:116)C(cid:71)
(cid:15)(cid:45)(cid:209)(cid:19)(cid:48)(cid:208)(cid:46)(cid:43)(cid:283)(cid:45)(cid:87)(cid:10)(cid:208)(cid:183)(cid:84)(cid:30)(cid:85)(cid:319)(cid:320)(cid:87)(cid:327)(cid:140)(cid:49)(cid:63)(cid:46)(cid:30)(cid:85)(cid:197)(cid:44)(cid:84)(cid:71) ABC(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:220)(cid:46)(cid:328)(cid:119)(cid:183)
(cid:140)(cid:270)(cid:45)(cid:163)(cid:197)(cid:108)(cid:26)(cid:87)(cid:30)(cid:31)(cid:270)(cid:45)(cid:71) △
(cid:15)(cid:121)(cid:122)4-3(cid:19)(cid:45) (cid:269) (cid:312)(cid:40)(cid:96) (4,1)(cid:113) (1,4)(cid:96)(cid:144)(cid:145) (cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:52)(cid:45) (cid:46)(cid:306)(cid:307)(cid:71)
𝑃 𝑦 𝐴 𝐵 △𝐴𝐵𝑃 𝑃(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)(cid:45) (cid:46)(cid:306)(cid:307)(cid:87)(0,3)(cid:318)( )
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:101)(cid:20)𝑃(cid:102)(cid:103)(cid:46)(cid:95)(cid:44)(cid:45)(cid:319)(cid:320)0,(cid:41)−3(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:105)(cid:106)A(cid:113)B(cid:306)(cid:307)(cid:28)(cid:329)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:330)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:44)(cid:45)(cid:331)(cid:319)(cid:320)
(cid:7)(cid:122)(cid:96)(cid:99)(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:107)(cid:108)(cid:52)(cid:185)(cid:45)P(cid:306)(cid:307)
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)(cid:174)(cid:45) (cid:46)(cid:306)(cid:307)(cid:87)( )(cid:96)(cid:99)(cid:44)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:10)
(cid:241)(cid:45) (cid:87)(cid:30)(cid:31)𝑃(cid:270)(cid:45)(cid:242)(cid:96)(cid:45)0,𝑥(cid:269) (cid:312)(cid:178)(cid:332)(cid:312)(cid:96)
①(cid:70) 𝐵(cid:312)(cid:200) (cid:96) (cid:312)(cid:200)𝑃 (cid:96)𝑦 (cid:312)(cid:200) (cid:96)(cid:144)(cid:39)(cid:251)(cid:206)(cid:10)
𝐴𝐷⊥𝑦 𝐷 𝐵𝐸⊥𝑦 𝐸 𝐵𝐹⊥𝑥 𝐹
(cid:173)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:165) + = (cid:96)
2 2 2
(cid:107)1 +( ) +𝑃3𝐵 +𝐴3𝐵=(𝑃𝐴 ) +4 (cid:96)(cid:53)(cid:165) =3(cid:96)
2 2 2 2 2 2
(cid:45) (cid:46)(cid:306)4(cid:307)−𝑥(cid:87)(0,3)(cid:71) 𝑥−1 𝑥 A +
A
科
全
★
∴ (cid:241)𝑃(cid:45) (cid:87)(cid:30)(cid:31)(cid:270)(cid:45)(cid:242)(cid:96)(cid:45) (cid:269) (cid:312)(cid:156)(cid:332)(cid:312)(cid:96)(cid:70) (cid:312) 众 (cid:200) (cid:96)号 (cid:312)(cid:200) (cid:96)(cid:144)(cid:39)(cid:251)(cid:206)(cid:10)
公
注
关
，
② 𝐴 𝑃 𝑦 源 𝐴𝐷⊥𝑦 𝐷 𝐵𝐸⊥𝑦 𝐸
资
辅
教
(cid:173)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:165) + = (cid:96)
2 2 2
(cid:107)4 +( ) +𝑃3𝐴 +𝐴3𝐵=(𝑃𝐵 ) +1 (cid:96)(cid:53)(cid:165) = (cid:96)
2 2 2 2 2 2
(cid:45) (cid:46)(cid:306)1(cid:307)−𝑥(cid:87)( )(cid:71) 4−𝑥 𝑥 −3
∴(cid:61)(cid:40)𝑃(cid:251)(cid:280)(cid:96)(cid:144)(cid:145)0,−3 (cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:160)(cid:161)(cid:45) (cid:46)(cid:306)(cid:307)(cid:87)(0,3)(cid:318)( )(cid:71)
(cid:15)(cid:45)(cid:209)(cid:19)(cid:101)(cid:20)(cid:46)(cid:3)△(cid:111)𝐴𝐵(cid:95)𝑃(cid:99)(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:45)P(cid:46)(cid:235)(cid:236)(cid:96)(cid:284)𝑃(cid:333)(cid:334)(cid:330)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)0,(cid:154)−3(cid:44)(cid:45)(cid:331)(cid:319)(cid:320)(cid:7)(cid:122)(cid:71)
【题型5 利用勾股定理的逆定理求解】
(cid:15)(cid:72)5(cid:19)(cid:73)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:81)·(cid:167)(cid:168)(cid:335)(cid:336)·(cid:130)(cid:38)(cid:80)(cid:144)(cid:39)(cid:96)(cid:269) (cid:38)(cid:96) =90°(cid:96) = (cid:96) (cid:95) (cid:170)(cid:46)
(cid:183)(cid:45)(cid:96)(cid:252) =1(cid:96) =2(cid:96) =3(cid:96)(cid:148) (cid:46)(cid:67)(cid:35)(cid:87)△(cid:73)𝐴(cid:133)𝐵𝐶(cid:133)(cid:80) ∠𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝑃 △𝐴𝐵𝐶
𝑃𝐵 𝑃𝐶 𝑃𝐴 ∠𝐵𝑃𝐶A(cid:71)120° B(cid:71)135° C(cid:71)140° D(cid:71)150°
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)B
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:101)(cid:20)(cid:134)(cid:135)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:337)(cid:338)(cid:46)(cid:157)(cid:158)(cid:96)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:150)(cid:153)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:22)(cid:49)(cid:41)(cid:157)(cid:158)(cid:96)(cid:171)(cid:222)(cid:132)(cid:157)(cid:158)(cid:284)(cid:70)
(cid:339)(cid:340)(cid:85)(cid:28)(cid:329)(cid:185)(cid:150)(cid:153)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:154)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:111)(cid:71)
(cid:298) (cid:341) (cid:45)(cid:337)(cid:338)90°(cid:96)(cid:105)(cid:106)(cid:337)(cid:338)(cid:46)(cid:157)(cid:158)(cid:108)(cid:165)(cid:185) =45°(cid:96)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:108)(cid:54)(cid:185) =90°(cid:96)(cid:302)(cid:166)(cid:108)
(cid:165)(cid:185)△(cid:97)𝐴𝐶(cid:98)𝑃(cid:71)𝐶 ∠𝑄𝑃𝐶 ∠𝑃𝐵𝑄
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)(cid:144)(cid:39)(cid:96)(cid:298) (cid:341) (cid:45)(cid:337)(cid:338)90°(cid:96)(cid:165) (cid:96)(cid:93)(cid:288) (cid:96)
△𝐴𝐶𝑃 𝐶 △𝐵𝐶𝑄 𝑃𝑄
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
(cid:173)(cid:337)(cid:338)(cid:46)(cid:157)(cid:158)(cid:108)(cid:43)(cid:10)Rt 辅 资Rt (cid:96) =90°(cid:96)
教
= =2(cid:96) = △𝐴=𝐶3𝐵(cid:96)∽ △𝑃=𝐶𝑄 ∠𝑃(cid:96)𝐶𝑄
∴𝐶𝑄 =𝐶𝑃 + 𝐵𝑄=8𝑃(cid:96)𝐴(cid:252) ∠𝑄=𝐵4𝐶5°(cid:96)∠𝑃𝐴𝐶
2 2 2
(cid:269)∴𝑃𝑄 𝐶(cid:38)𝑄(cid:96)𝐶𝑃 + =∠8𝑄+𝑃1𝐶=9(cid:96)
2 2
△𝐵+𝑃𝑄 =𝑃𝐵 (cid:96)𝑃𝑄
2 2 2
∴𝑃𝐵 𝑃=𝑄90°(cid:96)𝐵𝑄
∴∠𝑄𝑃𝐵= + =135°(cid:71)
∴(cid:115)∠(cid:116)𝐵𝑃B𝐶(cid:71) ∠𝑄𝑃𝐵 ∠𝑄𝑃𝐶
(cid:15)(cid:121)(cid:122)5-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:40)·(cid:16)(cid:74)(cid:342)(cid:275)·(cid:130)(cid:38)(cid:80)(cid:144)(cid:39)(cid:96)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:343)(cid:344) (cid:46)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:99)(cid:281)(cid:87) =6(cid:96) =8(cid:96)
=10(cid:96)(cid:196)(cid:298)(cid:25) (cid:345) (cid:346)(cid:347)(cid:96)(cid:287)(cid:220)(cid:348)(cid:269)(cid:25) (cid:40)(cid:96)(cid:45) (cid:41)(cid:45) (cid:349)(cid:62)(cid:96)𝐴𝐵(cid:52)𝐶 (cid:46)(cid:83)(cid:71) 𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐶 𝐸 𝐶𝐷(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)3
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:113)(cid:346)(cid:347)(cid:350)(cid:20)(cid:96)(cid:171)(cid:172)(cid:109)(cid:110)(cid:157)(cid:158)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:111)(cid:71)
(cid:351)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:165)(cid:185) (cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96) =90°(cid:96)(cid:240)(cid:105)(cid:106)(cid:346)(cid:347)(cid:165)(cid:185)
= = =90°(cid:96)△(cid:263)(cid:352)𝐴𝐵(cid:174)𝐶 = = (cid:96)(cid:105)∠𝐴(cid:106)𝐶(cid:33)𝐵 (cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:107)(cid:108)(cid:165)(cid:185)(cid:97)(cid:98)(cid:71)
(cid:15)𝐴𝐸(cid:112)(cid:53)𝐴(cid:19)𝐶(cid:53)(cid:10)6,∠(cid:269)𝐴𝐸𝐷 (cid:38)(cid:96) = 𝐷𝐸 =𝐶𝐷 =𝑥 10(cid:96)
+ = △𝐴(cid:96)𝐵𝐶 𝐴𝐶 6,𝐵𝐶 8,𝐴𝐵
2 2 2
∴𝐴𝐶 𝐵(cid:95)𝐶(cid:30)(cid:31)(cid:24)𝐴𝐵(cid:31)(cid:32)(cid:96) =90°(cid:96)
∴△𝐴𝐵𝐶(cid:95) (cid:353)(cid:346)(cid:166)∠(cid:29)𝐴(cid:96)𝐶𝐵
∵△𝐴𝐸=𝐷 △=𝐴𝐶𝐷 =90°(cid:96)
(cid:174)∴𝐴𝐸 =𝐴𝐶 =6,(cid:96)∠𝐴𝐸𝐷
𝐷𝐸= 𝐶𝐷 𝑥 = =4(cid:96)
(cid:269)∴R𝐵t𝐸 𝐴𝐵−(cid:38)𝐴(cid:96)𝐸 10−=6 + (cid:96)(cid:107)( ) =4 + (cid:96)
2 2 2 2 2 2
(cid:53)(cid:165)△=𝐵3𝐷(cid:71)𝐸 𝐵𝐷 𝐷𝐸 𝐵𝐸 8−𝑥 𝑥
+
A
(cid:115)CD𝑥(cid:46)(cid:83)(cid:87)3(cid:71) 科 A
全
★
号
众
(cid:15)(cid:121)(cid:122)5-2(cid:19)(cid:144)(cid:39)(cid:96)(cid:269)(cid:141)(cid:25)(cid:32)ABCD(cid:38)(cid:96)AB(cid:10)BC(cid:10)公CD(cid:10)DA=2(cid:10)2(cid:10)3(cid:10)1(cid:96)(cid:252) ABC=90°(cid:96)(cid:148) DAB(cid:46)(cid:67)(cid:35)
注
关
，
源
(cid:95) °(cid:71) 辅 资 ∠ ∠
教
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)135°
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:173)(cid:42)(cid:43)(cid:108)(cid:165)AB=BC(cid:96)(cid:302)(cid:166)(cid:108)(cid:52)(cid:165) BAC(cid:46)(cid:67)(cid:35).(cid:174)AB(cid:310)2x (cid:96)(cid:175)(cid:289)(cid:273)(cid:193)(cid:54)(cid:55)AC2+AD2=CD2(cid:96)(cid:302)(cid:166)
(cid:54)(cid:165) ACD(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:107)(cid:108)(cid:165)(cid:208) DAC∠=90°(cid:96)(cid:302)(cid:166)(cid:52)(cid:165) DAB(cid:46)(cid:67)(cid:35)(cid:71)
(cid:15)(cid:112)(cid:53)△(cid:19)(cid:53)(cid:10) AB(cid:10)BC(cid:10)CD(cid:10)DA=2(cid:10)∠ 2(cid:10)3(cid:10)1(cid:96)(cid:252) ABC=∠90°(cid:96)
AB=BC(cid:96) ∵ ∠
∴ BAC= ACB=45°(cid:96)
∴∠(cid:174)AB(cid:310)∠2x(cid:96)(cid:148)BC(cid:310)2x(cid:96)CD=3x(cid:96)DA=x,
∴AC2=AB2+BC2=(2x)2+(2x)2=8x2
∴(cid:354)CD2-AD2=(3x)2-x2=8x2
AC2= CD2-AD2
∴AC2+AD2=CD2
∵ ACD(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)
∴△DAC=90°(cid:96)
∴∠DAB=45°+90°=135°(cid:71)
∴(cid:115)∠(cid:97)(cid:98)(cid:95)(cid:10)135°.
(cid:15)(cid:45)(cid:209)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(cid:134)(cid:135)(cid:102)(cid:103)(cid:11)(cid:355)(cid:315)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:50)(cid:53)(cid:154)(cid:330)(cid:48)(cid:26)(cid:356)(cid:96)(cid:178)(cid:228)(cid:165)(cid:185) DAC=90°(cid:95)(cid:53)(cid:20)(cid:3)(cid:111)(cid:71)
(cid:15)(cid:121)(cid:122)5-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:81)·(cid:357)(cid:358)(cid:62)(cid:359)·(cid:130)(cid:38)(cid:80)(cid:144)(cid:39)(cid:96)(cid:269) (cid:38)∠(cid:96) = = = (cid:46)(cid:230)(cid:99)(cid:85)
(cid:271) (cid:200)(cid:45) (cid:96)(cid:45) (cid:96) (cid:99)(cid:281)(cid:87)(cid:85)(cid:86) (cid:96)(cid:25) (cid:40)(cid:46)(cid:360)(cid:45)(cid:71)(cid:148)△𝑂𝐴𝐵+ (cid:46)𝑂𝐴(cid:216)(cid:199)3(cid:63),𝑂(cid:87)𝐵(cid:73)(cid:133)4,(cid:133)𝐴𝐵(cid:80) 5,∠𝑂𝐴𝐵
𝐴𝐶 𝑂𝐵 𝐶 𝑃 𝑄 𝐴𝐶 𝑂𝐴 𝑂𝑃 𝑃𝑄
+
A
A
科
全
★
号
众
A(cid:71)2 B(cid:71)2.4 C(cid:71)2.公5 D(cid:71)2.6
注
关
，
源
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)B 辅 资
教
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:31)(cid:230)(cid:99)(cid:85)(cid:46)(cid:157)(cid:158)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:323)(cid:85)(cid:86)(cid:216)(cid:361)(cid:96)(cid:312)(cid:315)(cid:267)(cid:46)(cid:157)(cid:158)(cid:96)(cid:171)(cid:172)(cid:109)(cid:110)(cid:43)(cid:283)
(cid:45)(cid:96)(cid:47)(cid:48)(cid:312)(cid:315)(cid:267)(cid:157)(cid:158)(cid:52)(cid:53)(cid:216)(cid:63)(cid:350)(cid:20)(cid:95)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:111)(cid:71)
(cid:351)(cid:173)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:165)(cid:208) (cid:96)(cid:70) (cid:271) (cid:200)(cid:45) (cid:96)(cid:105)(cid:106)(cid:31)(cid:230)(cid:99)(cid:85)(cid:157)(cid:158)(cid:49)(cid:50)(cid:165)(cid:208) = (cid:96)(cid:240)(cid:173)(cid:150)
(cid:305)(cid:362)(cid:249)(cid:52)(cid:185) (cid:96)(cid:70)(cid:45) (cid:3)(cid:200)𝑂𝐴⊥(cid:46)𝑂𝐵(cid:315)(cid:267)(cid:45)𝐶𝐷(cid:96)⊥𝐴(cid:148)𝐵(cid:269)(cid:45)𝐴𝐵 (cid:269) 𝐷(cid:40)(cid:96)(cid:148) = (cid:96)(cid:289)(cid:45) (cid:70) 𝐶𝑂 𝐶(cid:271)𝐷 (cid:200)(cid:45)
′ ′ ′
H(cid:96)(cid:160)(cid:161) 𝑂+𝐶 = 𝑄 + 𝐴𝐶 (cid:96)(cid:115)𝑄(cid:241)(cid:45) (cid:113) (cid:113)𝑄 (cid:24)𝐴𝐵(cid:45)(cid:321)(cid:85)(cid:252)𝑃(cid:45)𝑄 (cid:41)𝑃𝑄(cid:45) (cid:349)(cid:62)(cid:242)𝑂(cid:96)𝑂𝐻⊥+𝐴𝐵 =𝐴𝐵 +
′ ′ ′ ′
(cid:216)(cid:199)(cid:96) 𝑂𝑃(cid:87)(cid:216)𝑃(cid:199)𝑄(cid:63)(cid:96)𝑂(cid:240)𝑃 (cid:173)𝑃(cid:150)𝑄(cid:305)≥(cid:362)𝑂(cid:249)𝐻(cid:107)(cid:108)(cid:52)(cid:53)(cid:71)𝑂 𝑃 𝑄 𝑄 𝐻 𝑂𝑃 𝑃𝑄 𝑂𝑃 𝑃𝑄
(cid:15)(cid:112)(cid:53)𝑂(cid:19)𝐻(cid:53)(cid:10) = = =5
+ ∵=𝑂𝐴 3(cid:96),𝑂𝐵 4,𝐴𝐵
2 2 2
∴ 𝑂𝐴 𝑂(cid:95)𝐵(cid:30)(cid:31)𝐴(cid:24)𝐵(cid:31)(cid:32)(cid:96) (cid:96)
(cid:70)∴ △𝑂𝐴𝐵(cid:271) (cid:200)(cid:45) (cid:96) 𝑂𝐴⊥𝑂𝐵
𝐶𝐷⊥𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐷= =90°(cid:96)
(cid:354)∴ ∠ 𝑂 (cid:95)∠𝐶𝐷𝐴 (cid:46)(cid:230)(cid:99)(cid:85)(cid:96)
∵ 𝐴=𝐶 ∠(cid:71)𝑂𝐴𝐵
∴ 𝐶𝑂 𝐶 = 𝐷1 = 1 (cid:96)
2 2
∴ 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵·𝐶𝐷 𝐵𝐶·𝐴𝑂
(cid:107) 1 ×5× = 1 ×3= 1 ( )×3= 1 ( )×3(cid:96)
2 2 2 2
𝑂𝐶 𝐵𝐶 𝑂𝐵−𝑂𝐶 4−𝑂𝐶
3
= (cid:96)
2
∴ 𝑂𝐶(cid:95) (cid:46)(cid:230)(cid:99)(cid:85)(cid:96)(cid:45) (cid:87) (cid:40)(cid:360)(cid:45)(cid:96)(cid:70)(cid:45) (cid:3)(cid:200) (cid:46)(cid:315)(cid:267)(cid:45) (cid:96)(cid:148)(cid:269)(cid:45) (cid:269) (cid:40)(cid:96)
′ ′
∵ 𝐴𝐶 =∠𝑂𝐴𝐵(cid:71) 𝑄 𝑂𝐴 𝑄 𝐴𝐶 𝑄 𝑄 𝐴𝐵
′
∴ 𝑃𝑄 𝑃𝑄
(cid:289)(cid:45) (cid:70) (cid:271) (cid:200)(cid:45)H(cid:96)
+
A
A
科
𝑂+ 𝑂𝐻=⊥𝐴𝐵+ 𝐴𝐵 ★ 全
号
众
′ 公
注
(cid:241)∴𝑂(cid:45)𝑃 (cid:113)𝑃𝑄(cid:113) 𝑂(cid:24)𝑃 (cid:45)𝑃(cid:321)𝑄(cid:85)≥(cid:252)𝑂(cid:45)𝐻 (cid:41)(cid:45) (cid:349)(cid:62)(cid:242)关(cid:96) + = + (cid:216)(cid:199)(cid:96) (cid:87)(cid:216)(cid:199)(cid:63)(cid:71)
，
源
′ 辅 资′ ′
(cid:173)(cid:73)𝑂1(cid:80)(cid:108)𝑃(cid:43)𝑄(cid:96) 教(cid:95)(cid:30)(cid:31)𝑄(cid:24)(cid:31)(cid:32)𝐻(cid:96) 𝑂𝑃 𝑃𝑄 𝑂𝑃 𝑃𝑄 𝑂𝐻
= 1 △𝑂𝐴 = 𝐵 1 (cid:96)
2 2
∴ 𝑆△𝐴𝑂𝐵 𝑂𝐵·𝑂𝐴 𝑂𝐻·𝐴𝐵
1 1
×4×3= ×5
2 2
∴ 𝑂𝐻
(cid:53)(cid:165)(cid:10) =2.4(cid:71)
(cid:115)(cid:116)(cid:10)B𝑂(cid:71)𝐻
【题型6 利用勾股定理的逆定理证明】
(cid:15)(cid:72)6(cid:19)(cid:73)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:81)·(cid:244)(cid:363)(cid:330)(cid:364)·(cid:276)(cid:86)(cid:172)(cid:277)(cid:80)(cid:49)(cid:227)(cid:10)(cid:269) (cid:38)(cid:96)(cid:233) = (cid:96) = (cid:96) = (cid:96)(cid:252)a(cid:96)
b(cid:96)c(cid:146)(cid:147) + = (cid:96)(cid:148)(cid:267)(cid:162)(cid:140)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:87)“(cid:237)(cid:33)(cid:34)(cid:24)(cid:31)(cid:32)△”(cid:71)𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝑎 𝐴𝐶 𝑏 𝐴𝐵 𝑐
2 2
(cid:365)(cid:105)(cid:106)(cid:131)(cid:40)𝑎𝑐(cid:49)(cid:227)𝑎(cid:53)(cid:64)𝑏(cid:81)(cid:82)(cid:350)(cid:20)(cid:10)(1)(cid:144)(cid:39)1(cid:96)(cid:233)(cid:150)(cid:153)(cid:24)(cid:31)(cid:32) (cid:95)“(cid:237)(cid:33)(cid:34)(cid:24)(cid:31)(cid:32)”(cid:96) = (cid:96) > (cid:96)(cid:52) (cid:46)(cid:67)(cid:35)(cid:71)
(2)(cid:144)(cid:39)2(cid:96)(cid:269) (cid:38)(cid:96)𝐴𝐵𝐶= (cid:96)(cid:252) > 𝐴𝐵(cid:96)D𝐵(cid:95)𝐶 AB𝐴𝐶(cid:40)(cid:46)𝐴(cid:45)𝐵(cid:96)(cid:93)∠(cid:288)𝐶CD(cid:96)(cid:146)(cid:147) = (cid:96)(cid:289)(cid:45) (cid:70)
(cid:96)(cid:323)(cid:147)△(cid:87)𝐴𝐵(cid:71)𝐶(cid:52)(cid:54)∠(cid:10)𝐵 2∠𝐴(cid:87)“(cid:237)∠(cid:33)𝐴𝐶(cid:34)𝐵(cid:24)(cid:31)∠(cid:32)𝐴”(cid:71) 𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐶
(cid:15)𝐶𝐸(cid:97)⊥(cid:98)𝐴𝐵(cid:19)(1)45° 𝐸 △𝐴𝐵𝐶
(2)(cid:366)(cid:53)(cid:100)
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:150)(cid:153)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:22)(cid:49)(cid:59)(cid:157)(cid:158)(cid:96)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:150)(cid:43)(cid:283)(cid:45)(cid:96)(cid:171)(cid:367)(cid:109)(cid:110)(cid:132)(cid:157)(cid:158)(cid:95)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:111)(cid:71)
(cid:73)1(cid:80)(cid:174) = (cid:96) = (cid:96) = (cid:96)(cid:105)(cid:106)(cid:237)(cid:33)(cid:34)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:368)(cid:369) + = (cid:96)(cid:370) = (cid:188)(cid:371)(cid:330)(cid:193)(cid:52)(cid:53)(cid:107)(cid:108)(cid:71)
2 2
(cid:73)2(cid:80)(cid:174)𝐵𝐶=𝑎(cid:96)𝐴𝐶=𝑏(cid:96)𝐴𝐵=𝑐(cid:96)(cid:47)(cid:48)(cid:31)(cid:46)(cid:150)(cid:372)(cid:188)(cid:373)(cid:54)(cid:185) 𝑎𝑐= 𝑎 (cid:96)𝑏(cid:165)(cid:208) 𝑎 =𝑐 = (cid:96)(cid:47)(cid:48)(cid:150)(cid:153)(cid:24)(cid:31)
𝐵𝐶 𝑎 𝐴𝐶 𝑏 𝐴𝐵 𝑐 ∠𝐵 ∠𝐶𝐷𝐵 𝐶𝐷 𝐶𝐵 𝑎
(cid:32)(cid:46)(cid:157)(cid:158)(cid:165)(cid:208) = = (cid:96)(cid:240)(cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:82)(cid:122)(cid:52)(cid:53)(cid:107)(cid:108)(cid:71)
2
𝑐−𝑎
𝐷𝐸 𝐵𝐸
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)(cid:73)1(cid:80)(cid:53)(cid:10)(cid:174) = (cid:96) = (cid:96) = (cid:96)
(cid:95)“(cid:237)(cid:33)(cid:34)(cid:24)(cid:31)𝐵𝐶(cid:32)”(cid:96)𝑎 𝐴𝐶 𝑏 𝐴𝐵 𝑐
∵△+𝐴𝐵𝐶 = (cid:96)
2 2
∴𝑎𝑐 =𝑎 (cid:96)𝑏
+
A
A
科
∵𝐴𝐵= (cid:96)𝐵𝐶 ★ 全
号
众
公
注
∴𝑎 +𝑐 = (cid:96) 关
，
源
2 2 2 辅 资
∴𝑐 =𝑎90°(cid:96)𝑏 教
∴∠𝐵 (cid:95)(cid:150)(cid:153)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)
∴△𝐴=𝐵4𝐶5°(cid:120)
∴(cid:73)∠2𝐶(cid:80)(cid:54)(cid:55)(cid:10)(cid:174) = (cid:96) = (cid:96) = (cid:96)
= (cid:96) 𝐵𝐶 𝑎 𝐴𝐶 𝑏 𝐴𝐵 𝑐
∵𝐴𝐷= 𝐶𝐷 (cid:96)
∴∠𝐴 ∠=𝐷𝐶𝐴+ = (cid:96)
∴(cid:354)∠𝐶𝐷𝐵= ∠𝐴(cid:96)∠𝐷𝐶𝐴 2∠𝐴
∵∠=𝐵 2∠𝐴(cid:96)
∴∠𝐵= ∠𝐶𝐷=𝐵 (cid:96)
∴𝐶𝐷 =𝐶𝐵 =𝑎(cid:96)
∴𝐴𝐷 𝐶𝐷(cid:96) 𝑎
∵𝐶𝐸⊥𝐴𝐵
= = (cid:96)
2
𝑐−𝑎
∴𝐷𝐸 𝐵𝐸(cid:269)Rt (cid:38)(cid:96) = + = + = (cid:96)(cid:173)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:165) = = (cid:96)
2 2 2 2
𝑐−𝑎 𝑐+𝑎 2 2 2 2 𝑎+𝑐
△𝐴𝐸𝐶 𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝑎 𝐶𝐸 𝐴𝐶 −𝐴𝐸 𝑏 −
(cid:269)Rt (cid:38)(cid:96)(cid:173)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:165) = = (cid:96)
2 2
𝑐−𝑎
2 2 2 2
△𝐶𝐸𝐷 𝐶𝐸 𝐶𝐷 −𝐷𝐸 𝑎 −
= (cid:96)
2 2 2 2
2 𝑎+𝑐 2 𝑐−𝑎
∴𝑏 −= + (cid:96)𝑎 −
2 2
∴𝑏 𝑎(cid:87)“𝑎(cid:237)𝑐(cid:33)(cid:34)(cid:24)(cid:31)(cid:32)”(cid:71)
∴(cid:15)△(cid:121)𝐴(cid:122)𝐵𝐶6-1(cid:19)(cid:73)22-23(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:81)·(cid:212)(cid:76)(cid:374)(cid:375)·(cid:130)(cid:38)(cid:80)(cid:144)(cid:39)(cid:96) (cid:38)(cid:96) (cid:46)(cid:323)(cid:30)(cid:230)(cid:99)(cid:85) (cid:99)(cid:281)(cid:271) (cid:113) (cid:200)(cid:45)
D(cid:96)E(cid:96)(cid:252) = (cid:71) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐵
2 2 2
𝐴𝐷 −𝐷𝐶 𝐵𝐶
(1)(cid:52)(cid:54)(cid:10) =90°(cid:120)
+
A
(2)(cid:233) =∠8𝐶(cid:96) =4(cid:96)(cid:52) (cid:46)(cid:83)(cid:71) 科 A
全
★
号
众
(cid:15)(cid:97)(cid:98)𝐴𝐶(cid:19)(1)(cid:54)(cid:55)𝐵𝐶(cid:366)(cid:53)(cid:100) 𝐴𝐷 公
注
关
，
源
(2)5 辅 资
教
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:73)1(cid:80)(cid:173)(cid:85)(cid:86)(cid:323)(cid:30)(cid:230)(cid:99)(cid:85)(cid:46)(cid:157)(cid:158)(cid:165)(cid:208) = (cid:96)(cid:240)(cid:285)(cid:62) = (cid:54)(cid:55) (cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)
2 2 2
(cid:107)(cid:108)(cid:54)(cid:55)(cid:285)(cid:239)(cid:120) 𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐷 −𝐷𝐶 𝐵𝐶 △𝐵𝐶𝐷
(cid:73)2(cid:80)(cid:174) = = (cid:96)(cid:148) = (cid:96)(cid:263)(cid:352)(cid:105)(cid:106) = (cid:168)(cid:376)(cid:231)(cid:314)(cid:52)(cid:53)(cid:107)(cid:108)(cid:71)
2 2 2
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)𝐴(cid:73)𝐷1(cid:80)𝐵(cid:54)𝐷(cid:55)(cid:10)𝑥(cid:144)(cid:39)𝐶(cid:251)𝐷(cid:206)(cid:96)8−(cid:93)𝑥(cid:288) (cid:96) 𝐵𝐷 −𝐷𝐶 𝐵𝐶
𝐵𝐷
(cid:323)(cid:30)(cid:230)(cid:99) (cid:96)
∵𝐷𝐸 = (cid:96) 𝐴𝐵
∴𝐴𝐷 𝐵𝐷 = (cid:96)
2 2 2
∵𝐴𝐷 −𝐷𝐶 =𝐵𝐶 (cid:96)
2 2 2
∴𝐵𝐷 −𝐷(cid:95)𝐶(cid:30)(cid:31)𝐵(cid:24)𝐶(cid:31)(cid:32)(cid:96)
∴△𝐵𝐶𝐷=90°(cid:120)
(cid:73)∴2∠(cid:80)𝐶(cid:53)(cid:10)(cid:174) = = (cid:96)(cid:148) = = (cid:96)
(cid:173)(cid:73)1(cid:80)(cid:165) 𝐴𝐷 𝐵𝐷= 𝑥 (cid:96) 𝐶𝐷 𝐴𝐶−𝐴𝐷 8−𝑥
2 2 2
( 𝐵)𝐷=−4𝐷𝐶(cid:96) 𝐵𝐶
2 2 2
(cid:53)∴𝑥(cid:165)− 8=−5𝑥(cid:96)
𝑥=5(cid:71)
∴(cid:15)𝐴(cid:45)𝐷(cid:209)(cid:19)(cid:101)(cid:20)(cid:134)(cid:135)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:323)(cid:30)(cid:230)(cid:99)(cid:85)(cid:46)(cid:157)(cid:158)(cid:113)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:150)(cid:43)(cid:283)(cid:96)(cid:95)(cid:349)(cid:135)(cid:102)(cid:45)(cid:96)(cid:377)(cid:67)(cid:229)(cid:378)(cid:96)(cid:379)(cid:380)
(cid:339)(cid:340)(cid:85)(cid:95)(cid:53)(cid:20)(cid:3)(cid:111)(cid:71)
(cid:15)(cid:121)(cid:122)6-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:81)·(cid:212)(cid:127)(cid:381)(cid:244)·(cid:130)(cid:38)(cid:80)(cid:42)(cid:43) (cid:46)(cid:24)(cid:25) = ( >1)(cid:96) = (cid:96) = +1(cid:71)
2 2
(1)(cid:52)(cid:54)(cid:10) (cid:95) (cid:46)(cid:216)(cid:83)(cid:25)(cid:120) △𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑛 −1 𝑛 𝑏 2𝑛 𝑐 𝑛
(2)(cid:52)(cid:54)(cid:10)𝑐 △𝐴(cid:95)𝐵𝐶(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:120)
(3)(cid:30)(cid:288)(cid:382)(cid:185)△(cid:183)𝐴𝐵(cid:94)𝐶(cid:146)(cid:147) (cid:46)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:96)(cid:60)(cid:38)(cid:203)(cid:178)(cid:179)(cid:35)12(cid:71)
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)(1)(cid:366)(cid:53)(cid:100) △𝐴𝐵𝐶
+
A
(2)(cid:366)(cid:53)(cid:100) 科 A
全
★
号
众
(3)12(cid:96)35(cid:96)37 公
注
关
，
源
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:33)(cid:34)辅(cid:49)(cid:50)资(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:58)(cid:48)(cid:113)(cid:179)(cid:122)(cid:383)(cid:62)(cid:330)(cid:193)(cid:154)(cid:384)(cid:249)(cid:7)(cid:122)(cid:96)(cid:171)(cid:172)(cid:109)(cid:110)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:95)
教
(cid:3)(cid:111)(cid:71)
(cid:73)1(cid:80)(cid:99)(cid:281)(cid:54)(cid:55) > (cid:96) > (cid:96)(cid:107)(cid:108)(cid:54)(cid:55)(cid:285)(cid:239)(cid:120)
(cid:73)2(cid:80)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:34)𝑐(cid:49)(cid:50)𝑎(cid:46)(cid:51)𝑐(cid:49)(cid:50)𝑏 (cid:137)(cid:138)(cid:54)(cid:55)(cid:107)(cid:108)(cid:120)
(cid:73)3(cid:80)(cid:241) = =12(cid:242)(cid:96)(cid:107) =6(cid:96)(cid:52)(cid:185)(cid:164)(cid:242) =35(cid:96) =37(cid:107)(cid:108)(cid:71)
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)𝑏(cid:73)12(cid:80)𝑛(cid:53)(cid:10) =𝑛( +1) ( 𝑎)= +𝑐 +1=2>0
2 2 2 2
> (cid:96) ∵𝑐−𝑎 𝑛 − 𝑛 −1 𝑛 1−𝑛
∴𝑐 >𝑎1(cid:96)
∵𝑛 >0
∴𝑛−1=( +1) =( ) >0(cid:96)
2 2
∴𝑐−>𝑏 (cid:96)𝑛 −2𝑛 𝑛−1
∴(cid:61)𝑐(cid:40)(cid:108)𝑏(cid:43)(cid:96) (cid:95) (cid:46)(cid:216)(cid:83)(cid:25)(cid:120)
(cid:73)2(cid:80) =𝑐( △+𝐴1𝐵)𝐶(cid:96) + =( ) +( ) = +1+4 = +2 +1=( +1) (cid:96)
2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2
+∵𝑐 = 𝑛(cid:96) 𝑎 𝑏 𝑛 −1 2𝑛 𝑛 −2𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
2 2 2
∴𝑎 𝑏 𝑐(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:120)
∴(cid:73)△3(cid:80)𝐴𝐵(cid:53)𝐶(cid:10)(cid:241) = =12(cid:242)(cid:96)(cid:107) =6(cid:96)
(cid:148)(cid:164)(cid:242) = 𝑏 2=𝑛6 =35(cid:96)𝑛 = +1=6 +1=37(cid:96)
2 2 2 2
𝑎(cid:46)(cid:24)𝑛 (cid:25)−1(cid:83)(cid:87)12−(cid:96)135(cid:96)37(cid:71)𝑐 𝑛
∴(cid:15)△(cid:121)𝐴(cid:122)𝐵𝐶6-3(cid:19)(cid:73)2025·(cid:212)(cid:127)(cid:385)(cid:386)·(cid:183)(cid:79)(cid:80)(cid:15)(cid:350)(cid:20)(cid:387)(cid:185)(cid:19)
(cid:73)1(cid:80)(cid:144)(cid:39)1(cid:96) (cid:154) (cid:163)(cid:95)(cid:150)(cid:25)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:45) (cid:269) (cid:170)(cid:388)(cid:96)(cid:93)(cid:288) (cid:96) (cid:96) (cid:71)
(cid:52)(cid:54)(cid:10) =△𝐴𝐵(cid:120)𝐶 △𝐷𝐶𝐸 𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐵𝐷
①(cid:233) 𝐵𝐷=15𝐴0𝐸°(cid:96)(cid:52)(cid:54)(cid:10) = + (cid:120)
2 2 2
②(cid:15)(cid:350)(cid:20)∠𝐴(cid:389)𝐷(cid:390)𝐶(cid:19) 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐶𝐷 A +
A
科
全
★
(cid:73)2(cid:80)(cid:144)(cid:39)2(cid:71) (cid:154) (cid:163)(cid:95)(cid:150)(cid:25)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:45) (cid:269) 众 号(cid:391)(cid:388)(cid:96)(cid:233) = + (cid:392)(cid:263)(cid:29)(cid:376)(cid:96)(cid:52)
公
注
关 2 2 2
(cid:46)(cid:67)(cid:35)(cid:71) △𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐶𝐸 源 ， 𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐶𝐷 ∠𝐴𝐷𝐶
资
辅
教
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)(cid:73)1(cid:80) (cid:366)(cid:53)(cid:100)(cid:120) (cid:366)(cid:53)(cid:100)(cid:120)(cid:73)2(cid:80)30°(cid:71)
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:101)(cid:20)(cid:102)①(cid:103)(cid:104)(cid:282)(cid:150)(cid:24)②(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:22)(cid:49)(cid:41)(cid:157)(cid:158)(cid:96)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:59)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:150)(cid:25)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:157)(cid:158)(cid:96)(cid:109)(cid:110)(cid:43)(cid:283)(cid:45)(cid:46)(cid:58)
(cid:48)(cid:95)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:111)(cid:71)
(cid:73)1(cid:80) (cid:173)(cid:150)(cid:25)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:157)(cid:158)(cid:108)(cid:165) = (cid:96) = (cid:96) = =60°(cid:96)(cid:263)(cid:352)(cid:47)(cid:48)“SAS”(cid:54)(cid:55)
① (cid:107)(cid:108)(cid:120) 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐶𝐷 𝐶𝐸 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐸𝐶𝐷
△(cid:173)𝐷𝐶𝐵≌△=𝐸𝐶1𝐴50°(cid:96)(cid:148) = =90°(cid:96)(cid:240)(cid:175)(cid:289)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:165) + = (cid:96)(cid:354) = (cid:96)
2 2 2
②(cid:302)(cid:166)(cid:52)∠𝐴(cid:54)𝐷(cid:120)𝐶 ∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐸𝐷𝐶 𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐸 𝐴𝐸 𝐵𝐷
(cid:73)2(cid:80)(cid:54)(cid:55) (SAS)(cid:96)(cid:148)(cid:197) = (cid:96)(cid:354) = + (cid:96)(cid:148) = + (cid:96)(cid:302)(cid:166)(cid:165)(cid:185)
2 2 2 2 2 2
=90△°(cid:96)𝐷(cid:216)𝐶𝐵(cid:352)≌(cid:48)△(cid:31)𝐸(cid:67)𝐶𝐴(cid:154)(cid:393)(cid:107)(cid:108)(cid:52)(cid:53)𝐵(cid:71)𝐷 𝐴𝐸 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐷𝐸
(cid:15)∠𝐴(cid:112)𝐷𝐸(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10)(cid:73)1(cid:80)(cid:54)(cid:55)(cid:10) (cid:154) (cid:163)(cid:95)(cid:150)(cid:25)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)
= (cid:96) = (cid:96) ①∵=△𝐴𝐵𝐶 =△60𝐷°(cid:96)𝐶𝐸
∴𝐵𝐶 𝐴=𝐶 𝐶𝐷 𝐶𝐸 =∠𝐴𝐶𝐵 (cid:96)∠𝐸𝐶𝐷
∴∠𝐷𝐶𝐵 60°−∠𝐷(𝐶SA𝐴S)(cid:96)∠𝐸𝐶𝐴
∴△𝐷𝐶𝐵≌△𝐸𝐶𝐴= (cid:120)
∴𝐵𝐷 𝐴𝐸 (cid:95)(cid:150)(cid:25)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)
②∵△𝐷=𝐶𝐸60°(cid:96) = (cid:96)
∴∠𝐸𝐷𝐶 =150°(cid:96)𝐷𝐸 𝐶𝐷
∵∠𝐴𝐷𝐶 = =90°(cid:96)
∴∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴=𝐷𝐶−∠(cid:96)𝐸𝐷𝐶
2 2 2
(cid:173)∴𝐴𝐷 (cid:43)𝐷𝐸= 𝐴(cid:96)𝐸
① =𝐴𝐸 𝐵+𝐷 (cid:120)
2 2 2
∴(cid:73)𝐵2𝐷(cid:80)(cid:53)(cid:10)𝐴𝐷 𝐶𝐷(cid:154) (cid:163)(cid:95)(cid:150)(cid:25)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)
= (cid:96)△𝐴𝐵=𝐶 △=𝐷𝐶𝐸(cid:96) = =60°= (cid:96)
∴𝐵𝐶 𝐴=𝐶60𝐶°𝐷+ 𝐶𝐸 =𝐷𝐸 ∠𝐴(cid:96)𝐶𝐵 ∠𝐸𝐶𝐷 ∠𝐶𝐷𝐸
∴∠𝐷𝐶𝐵 ∠(𝐴S𝐶A𝐷S)(cid:96)∠𝐸𝐶𝐴
∴△𝐷=𝐶𝐵≌(cid:96)△𝐸𝐶𝐴
+
A
∴𝐵𝐷 =𝐴𝐸 + (cid:96) 科 A
全
★
2 2 2 众 号
∵𝐵𝐷 = 𝐴𝐷 +𝐶𝐷 (cid:96) 公
注
关
，
2 2 2 源
∴𝐴𝐸 =𝐴𝐷90°(cid:96)𝐷𝐸 辅 资
教
∴∠𝐴𝐷𝐸= =30°(cid:71)
∴
【
∠
题
𝐴𝐷
型
𝐶7 ∠
勾
𝐴
股
𝐷𝐸
定
−
理
∠𝐶
的
𝐷
逆
𝐸
定理实际应用】
(cid:15)(cid:72)7(cid:19)(cid:73)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:81)·(cid:394)(cid:395)(cid:396)(cid:309)·(cid:130)(cid:38)(cid:80)(cid:144)(cid:39)(cid:96)(cid:183)(cid:397)(cid:65)(cid:398)(cid:399)(cid:337)(cid:400)(cid:269)(cid:401)(cid:38)(cid:45)A(cid:304)(cid:96)(cid:45)A(cid:41)(cid:402)(cid:305)(cid:40)(cid:45)B(cid:219)(cid:331)
(cid:46)(cid:319)(cid:320) =20(cid:403)(cid:96)(cid:45)A(cid:41)(cid:402)(cid:305)(cid:40)(cid:45)C(cid:73)(cid:45)B(cid:113)C(cid:304)(cid:200)(cid:258)(cid:183)(cid:404)(cid:230)(cid:305)(cid:40)(cid:80)(cid:46)(cid:319)(cid:320) =25(cid:403)(cid:96)(cid:252) =15(cid:403)(cid:71)
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶
(1)(cid:52) (cid:46)(cid:67)(cid:35)(cid:120)
(2)(cid:196)(cid:162)∠𝐴(cid:397)𝐵𝐶(cid:65)(cid:398)(cid:399)(cid:345) (cid:251)(cid:269)(cid:30)(cid:85)(cid:300)(cid:81)(cid:405)(cid:138)(cid:303)(cid:45)D(cid:304)(cid:96)(cid:233)(cid:45)D(cid:406)(cid:407)(cid:269)(cid:25) (cid:46)(cid:323)(cid:30)(cid:230)(cid:99)(cid:85)(cid:40)(cid:96)(cid:93)(cid:288) (cid:96)(cid:52)(cid:162)(cid:397)
(cid:65)(cid:398)(cid:399)(cid:300)(cid:81)(cid:405)(cid:138)(cid:46)(cid:319)𝐴𝐵(cid:320)(cid:73) (cid:46)(cid:83)(cid:80)(cid:71) 𝐴𝐶 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)(1)90° 𝐴𝐷125
(2) (cid:403)
8
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:101)(cid:20)(cid:134)(cid:135)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:154)(cid:85)(cid:86)(cid:323)(cid:30)(cid:230)(cid:99)(cid:85)(cid:46)(cid:157)(cid:158)(cid:96)(cid:171)(cid:172)(cid:46)(cid:109)(cid:110)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:154)(cid:85)
(cid:86)(cid:323)(cid:30)(cid:230)(cid:99)(cid:85)(cid:46)(cid:157)(cid:158)(cid:95)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:111)(cid:71)
(cid:73)1(cid:80)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:107)(cid:108)(cid:53)(cid:97)(cid:120)
(cid:73)2(cid:80)(cid:269)Rt (cid:38)(cid:96)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:107)(cid:108)(cid:53)(cid:97)(cid:71)
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)(cid:73)△1(cid:80)𝐵𝐷(cid:53)𝐶(cid:10) + =20 +15 =625(cid:96) =25 =625(cid:96)
2 2 2 2 2 2
+ = (cid:96)∵𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐶
2 2 2
∴𝐴𝐵 (cid:95)𝐵𝐶(cid:30)(cid:31)(cid:24)𝐴𝐶(cid:31)(cid:32)(cid:96) =90°(cid:120)
(cid:73)∴△2(cid:80)𝐴𝐵(cid:174)𝐶 = (cid:403)(cid:96)(cid:233)(cid:45)∠(cid:406)𝐴𝐵(cid:407)𝐶(cid:269)(cid:25) (cid:46)(cid:323)(cid:30)(cid:230)(cid:99)(cid:85)(cid:40)(cid:96)
(cid:148) =𝐴𝐷 =𝑥(cid:403)(cid:96) 𝐷=( )(cid:403)𝐴𝐶(cid:96)
(cid:269)𝐶R𝐷t 𝐴𝐷(cid:38)(cid:96)𝑥 𝐵=𝐷 2+0−𝑥(cid:96)
2 2 2
△=𝐵(𝐷𝐶 ) 𝐷+𝐶15 (cid:96)𝐵𝐷 𝐵𝐶
2 2 2
(cid:53)
∴
(cid:165)
𝑥
=
21205−
.
𝑥
+
8 A A
科
全
(cid:97)(cid:10) 𝑥 (cid:162)(cid:397)(cid:65)(cid:398)(cid:399)(cid:300)(cid:81)(cid:405)(cid:138)(cid:46)(cid:319)(cid:320)( (cid:46)(cid:83)(cid:80)(cid:87) 125 (cid:403)公(cid:71) 众 号 ★
注8
关
，
源
(cid:15)(cid:121)(cid:122)7-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:123)(cid:124)辅(cid:125)(cid:81)资·(cid:74)𝐴(cid:363)𝐷(cid:408)(cid:275)·(cid:276)(cid:86)(cid:172)(cid:277)(cid:80)(cid:144)(cid:39)(cid:96)(cid:327)(cid:199)(cid:409)(cid:46)(cid:44)(cid:140)(cid:410)(cid:411) (cid:96) (cid:412)(cid:200)(cid:199)(cid:413) (cid:46)(cid:258)(cid:414)(cid:96)(cid:44)
教
(cid:140)(cid:410)(cid:411)(cid:219)(cid:331)(cid:46)(cid:319)(cid:320) =25m(cid:71)(cid:196)(cid:135)(cid:87)(cid:410)(cid:411)(cid:415)(cid:174)(cid:416)(cid:404)(cid:417)(cid:418) (cid:96) (cid:96)(cid:416)(cid:404)(cid:45) (cid:269)𝐴(cid:199)(cid:413)𝐵 (cid:40)(cid:96)(cid:416)𝐴(cid:404)𝐶(cid:45) (cid:208) (cid:46)
(cid:319)(cid:320) =12m(cid:96)𝐴𝐵 =15m(cid:71) 𝐴𝑀 𝐵𝑀 𝑀 𝐴𝐶 𝑀 𝐴𝐵
𝑀𝑁 𝐵𝑀
(1)(cid:52)(cid:416)(cid:404)(cid:45) (cid:208)(cid:410)(cid:411) (cid:260)(cid:135)(cid:415)(cid:174)(cid:46)(cid:417)(cid:418)(cid:83) (cid:71)
(2)(cid:52)(cid:54)(cid:10) 𝑀 =90𝐴°(cid:71) 𝐴𝑀
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)(∠1𝐵)(cid:416)𝑀(cid:404)𝐴(cid:45) (cid:208)(cid:410)(cid:411) (cid:260)(cid:135)(cid:415)(cid:174)(cid:46)(cid:417)(cid:418)(cid:83) (cid:87)20m(cid:120)
(2)(cid:366)(cid:112)(cid:53)(cid:71) 𝑀 𝐴 𝐴𝑀
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:154)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:171)(cid:172)(cid:109)(cid:110)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:154)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:111)(cid:96)
(cid:135)(cid:4)(cid:119)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:37)(cid:122)(cid:71)
(cid:73)1(cid:80)(cid:269)Rt (cid:38)(cid:96)(cid:351)(cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:52)(cid:185) (cid:96)(cid:302)(cid:166)(cid:52)(cid:185) (cid:96)(cid:240)(cid:269)Rt (cid:38)(cid:96)(cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:52)(cid:185) (cid:120)
△𝑀𝑁𝐵 𝐵𝑁 𝐴𝑁 △𝐴𝑁𝑀 𝐴𝑀(cid:73)2(cid:80)(cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:54)(cid:55) (cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:240)(cid:105)(cid:106)(cid:207)(cid:25)(cid:251)(cid:315)(cid:46)(cid:31)(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:302)(cid:166)(cid:165)(cid:208) =90°(cid:71)
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)(cid:73)1(cid:80)(cid:53)(cid:10)(cid:173)(cid:20)(cid:119)(cid:108)(cid:43)(cid:10)△𝐴𝑀𝐵 (cid:96) ∠𝐵𝑀𝐴
(cid:269)Rt (cid:38)(cid:96) = 𝑀𝑁=⊥1𝐴5𝐵 12 =81(cid:96)
2 2 2 2 2
△=𝑀9𝑁m𝐵(cid:96) 𝐵𝑁 𝐵𝑀 −𝑀𝑁 −
∴𝐵𝑁= = =16m(cid:96)
(cid:269)∴R𝐴t𝑁 𝐴𝐵−(cid:38)𝐵𝑁(cid:96) 25−=9 + =16 +12 =400(cid:96)
2 2 2 2 2
△=𝐴2𝑁0𝑀m(cid:96) 𝐴𝑀 𝐴𝑁 𝑀𝑁
∴𝐴(cid:416)𝑀(cid:404)(cid:45) (cid:208)(cid:410)(cid:411) (cid:260)(cid:135)(cid:415)(cid:174)(cid:46)(cid:417)(cid:418)(cid:83) (cid:87)20m(cid:120)
(cid:73)∴2(cid:80)(cid:54)(cid:55)𝑀(cid:10) 𝐴=20m(cid:96) =15m𝐴(cid:96)𝑀 =25m(cid:96)
+ ∵=𝐴𝑀20 +15 =𝐵𝑀25 = (cid:96)𝐴𝐵
2 2 2 2 2 2
∴𝐴𝑀 𝐵(cid:95)𝑀(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96) =90𝐴°(cid:71)𝐵
(cid:15)∴△(cid:121)𝐴(cid:122)𝑀7𝐵-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:123)(cid:124)∠(cid:125)𝐵(cid:40)𝑀·𝐴(cid:212)(cid:76)(cid:419)(cid:420)·(cid:130)(cid:421)(cid:80)(cid:327)(cid:330)(cid:360)(cid:422)(cid:131)(cid:423)(cid:232)(cid:113)(cid:424)(cid:425)(cid:113)(cid:426)(cid:427)(cid:87)(cid:185)(cid:428)(cid:45)(cid:96)(cid:315)(cid:330)(cid:360)(cid:429)(cid:430)(cid:431)(cid:409)(cid:137)
(cid:138)(cid:104)(cid:432)(cid:433)(cid:174)(cid:273)(cid:71)(cid:144)(cid:39)(cid:96)(cid:141)(cid:25)(cid:32) (cid:87)(cid:430)(cid:434)(cid:409)(cid:435)(cid:96)(cid:141)(cid:213)(cid:95)(cid:436)(cid:418)(cid:96) (cid:96)(cid:38)(cid:331)(cid:95)(cid:437)(cid:438)(cid:234)(cid:439)(cid:409)(cid:435)(cid:96)(cid:87)(cid:440)(cid:441)(cid:442)
+
A
(cid:443)(cid:96)(cid:38)(cid:331)(cid:444)(cid:445)(cid:104)(cid:446)(cid:26)(cid:447)(cid:423)(cid:232)(cid:448)𝐴(cid:360)𝐵(cid:436)𝐶𝐷(cid:418) (cid:96)(cid:226)(cid:295)(cid:372) =9(cid:96) =𝐴1𝐵2(cid:96)⊥𝐵𝐶科=8A(cid:96) =17(cid:71)
全
★
号
众
𝐴𝐶 𝐴𝐵公 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐷
注
关
，
源
资
辅
教
(1)(cid:52)(cid:54)(cid:10) (cid:71)
(2)(cid:52)(cid:141)(cid:25)(cid:32)𝐴𝐶⊥𝐶𝐷(cid:46)(cid:305)(cid:362)(cid:71)
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)(1)𝐴(cid:366)𝐵(cid:53)𝐶𝐷(cid:100)
(2)114
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:101)(cid:20)(cid:134)(cid:135)(cid:102)(cid:103)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:330)(cid:48)(cid:96)(cid:109)(cid:110)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:273)(cid:193)(cid:95)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:111)(cid:71)
(cid:73)1(cid:80)(cid:330)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:165)(cid:208) =225(cid:96)(cid:240)(cid:330)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:165)(cid:208) (cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:173)(cid:164)(cid:107)(cid:108)(cid:52)(cid:53)(cid:120)
2
(cid:73)2(cid:80)(cid:105)(cid:106) = 𝐴𝐶 + (cid:96)(cid:188)(cid:371)(cid:273)(cid:193)(cid:107)(cid:108)(cid:52)(cid:53)(cid:71) △𝐴𝐶𝐷
四边形
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)(cid:73)𝑆1(cid:80)(cid:54)𝐴(cid:55)𝐵𝐶(cid:10)𝐷 (cid:269)𝑆R△t𝐴𝐵𝐶 𝑆(cid:38)△𝐴(cid:96)𝐶𝐷 =9(cid:96) =12(cid:96)
(cid:173)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:165) = △+𝐴𝐵𝐶=9𝐴+𝐵12 =𝐵2𝐶25(cid:96)
2 2 2 2 2
=17 =2𝐴8𝐶9(cid:96) 𝐴𝐵=6𝐵4𝐶(cid:96)
2 2 2
∵𝐴𝐷 = + =𝐶2𝐷89(cid:96)
2 2 2
∴𝐴𝐷 𝐶(cid:95)𝐷(cid:30)(cid:31)𝐴(cid:24)𝐶(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:252) =90°(cid:96)
∴△𝐴𝐶𝐷 ∠𝐴𝐶𝐷(cid:71)
∴(cid:73)𝐴2𝐶(cid:80)⊥(cid:53)𝐶(cid:10)𝐷 (cid:173)(cid:73)1(cid:80)(cid:96)(cid:108)(cid:165) =15(cid:96) =90°(cid:96)
= + 𝐴𝐶 ∠𝐴𝐶𝐷
四边形
∴𝑆1 𝐴𝐵𝐶𝐷 1𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐶𝐷
= +
2 2
1𝐴𝐵⋅𝐵𝐶 1𝐴𝐶⋅𝐶𝐷
= ×9×12+ ×15×8
2 2
=114(cid:71)
(cid:15)(cid:121)(cid:122)7-3(cid:19)(cid:215)(cid:449)(cid:450)(cid:451)(cid:226)(cid:452)(cid:453)(cid:247)(cid:454)(cid:455)(cid:456)(cid:457)(cid:458)(cid:96)(cid:247)(cid:454)(cid:95)(cid:183)(cid:234)(cid:459)(cid:263)(cid:460)(cid:461)(cid:96)(cid:220)(cid:131)(cid:247)(cid:454)(cid:38)(cid:433)(cid:87)(cid:325)(cid:433)(cid:269)(cid:213)(cid:462)(cid:40)(cid:463)(cid:403)(cid:46)(cid:464)
(cid:462)(cid:170)(cid:32)(cid:29)(cid:465)(cid:466)(cid:456)(cid:467)(cid:96)(cid:197)(cid:465)(cid:468)(cid:46)(cid:469)(cid:470)(cid:356)(cid:71)(cid:144)(cid:39)(cid:96)(cid:197)(cid:183)(cid:247)(cid:454)(cid:38)(cid:433)(cid:345)(cid:245)(cid:363)(cid:231)(cid:300)AB(cid:173)(cid:45)A(cid:138)(cid:471)(cid:300)(cid:45)B(cid:96)(cid:42)(cid:43)(cid:45)C(cid:87)
(cid:183)(cid:472)(cid:473)(cid:96)(cid:252)(cid:45)C(cid:41)(cid:30)(cid:85)AB(cid:40)(cid:44)(cid:45)A(cid:96)B(cid:46)(cid:319)(cid:320)(cid:99)(cid:281)(cid:87)300km(cid:154)400km(cid:96)(cid:252) =500km(cid:96)(cid:131)(cid:247)(cid:454)(cid:38)(cid:433)(cid:87)(cid:325)
(cid:433)(cid:213)(cid:462)250km(cid:131)(cid:170)(cid:87)(cid:453)(cid:457)(cid:458)(cid:409)(cid:435)(cid:71) 𝐴𝐵
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
(1)(cid:52)(cid:54)(cid:10) =90°(cid:120) 源 ，
资
辅
教
(2)(cid:472)(cid:473)C∠(cid:453)𝐴(cid:247)𝐶𝐵(cid:454)(cid:457)(cid:458)(cid:474)(cid:475)(cid:87)(cid:476)(cid:161)(cid:475)
(3)(cid:233)(cid:247)(cid:454)(cid:46)(cid:477)(cid:67)(cid:87)40km/h(cid:96)(cid:148)(cid:247)(cid:454)(cid:457)(cid:458)(cid:139)(cid:472)(cid:473)(cid:478)(cid:479)(cid:46)(cid:242)(cid:331)(cid:197)(cid:480)(cid:83)(cid:475)
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)(1)(cid:366)(cid:53)(cid:100)
(2)(cid:472)(cid:473)C(cid:453)(cid:247)(cid:454)(cid:457)(cid:458)(cid:96)(cid:50)(cid:173)(cid:366)(cid:53)(cid:100)
(3)3.5h
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:73)1(cid:80)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:107)(cid:108)(cid:52)(cid:53)(cid:120)
(cid:73)2(cid:80)(cid:289)(cid:45)C(cid:70) (cid:200)D(cid:71)(cid:105)(cid:106)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:305)(cid:362)(cid:96)(cid:108)(cid:165) 1 = 1 (cid:96)(cid:107)(cid:108)(cid:52)(cid:53)(cid:120)
2 2
(cid:73)3(cid:80)(cid:269)(cid:85)(cid:86)AB𝐶(cid:40)𝐷⊥(cid:286)𝐴(cid:45)𝐵E(cid:96)F(cid:96)(cid:287) =250km(cid:96) =250km(cid:96)𝐴𝐶(cid:148)⋅(cid:247)𝐵𝐶(cid:454)(cid:38)(cid:433)𝐴𝐵(cid:269)⋅(cid:85)𝐶𝐷(cid:86)EF(cid:40)(cid:242)(cid:178)(cid:407)(cid:457)(cid:458)C(cid:473)
(cid:214)(cid:71)(cid:105)(cid:106)(cid:150)(cid:153)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:157)(cid:158)(cid:108)(cid:165)E𝐸D𝐶=FD(cid:96)(cid:263)(cid:352)(cid:105)𝐹(cid:106)𝐶(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:108)(cid:165) =70(km)(cid:96)(cid:302)(cid:166)(cid:165)(cid:208) =140km(cid:96)(cid:107)
(cid:108)(cid:52)(cid:53)(cid:71) 𝐸𝐷 𝐸𝐹
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)(cid:73)1(cid:80)(cid:53)(cid:10) =300km(cid:96) =400km(cid:96) =500km(cid:96)
+ = (cid:71)∵𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵
2 2 2
∴𝐴𝐶 𝐵(cid:95)𝐶(cid:30)(cid:31)𝐴(cid:24)𝐵(cid:31)(cid:32)(cid:96)
∴△𝐴𝐵𝐶=90°(cid:120)
(cid:73)∴∠2𝐴(cid:80)𝐶𝐵(cid:53)(cid:10)(cid:472)(cid:473)C(cid:453)(cid:247)(cid:454)(cid:457)(cid:458)(cid:71)(cid:50)(cid:173)(cid:144)(cid:81)(cid:10)
(cid:144)(cid:39)(cid:96)(cid:289)(cid:45)C(cid:70) (cid:200)D(cid:71)
= 1 𝐶𝐷 = ⊥1𝐴𝐵 (cid:96)
2 2
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶 𝐴𝐵⋅𝐶𝐷
= = 300×400 =240(km)(cid:71)
500
𝐴𝐶⋅𝐵𝐶
∴𝐶 25 𝐷 0>2 𝐴 4 𝐵 0(cid:96)
∵(cid:472)(cid:473)C(cid:453)(cid:208)(cid:247)(cid:454)(cid:457)(cid:458)(cid:71)
∴
(cid:73)3(cid:80)(cid:53)(cid:10)(cid:144)(cid:39)(cid:96)(cid:269)(cid:85)(cid:86)AB(cid:40)(cid:286)(cid:45)E(cid:96)F(cid:96)(cid:287) =250km(cid:96) =250km(cid:96)(cid:148)(cid:247)(cid:454)(cid:38)(cid:433)(cid:269)(cid:85)(cid:86)EF(cid:40)(cid:242)(cid:178)(cid:407)
+
A
A
科
(cid:457)(cid:458)C(cid:473)(cid:214)(cid:71) 𝐸𝐶 𝐹𝐶★ 全
号
众
公
EC=FC(cid:96) 关 注
，
源
资
辅
∴CD AB(cid:96) 教
∵ED=⊥FD(cid:96)
∴(cid:269) (cid:38)(cid:96)(cid:173)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:165)(cid:10)
𝑅=𝑡△70𝐶(𝐸k𝐷m)(cid:96)
𝐸𝐷 =140km(cid:96)
∴(cid:247)𝐸𝐹(cid:454)(cid:46)(cid:477)(cid:67)(cid:87)40km/h(cid:96)
∵140÷40=3.5(h)(cid:71)
∴(cid:247)(cid:454)(cid:457)(cid:458)(cid:139)(cid:472)(cid:473)(cid:478)(cid:479)(cid:46)(cid:242)(cid:331)(cid:87)3.5h (cid:71)
∴(cid:15)(cid:45)(cid:209)(cid:19)(cid:101)(cid:20)(cid:134)(cid:135)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:96)(cid:150)(cid:153)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:157)(cid:158)(cid:96)(cid:171)(cid:172)(cid:109)(cid:110)(cid:33)(cid:34)(cid:49)
(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:178)(cid:228)(cid:28)(cid:329)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:111)(cid:71)
【题型8 勾股定理及其逆定理的综合求值】
(cid:15)(cid:72)8(cid:19)(cid:73)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:81)·(cid:357)(cid:358)(cid:481)(cid:357)·(cid:130)(cid:38)(cid:80)(cid:144)(cid:81)(cid:39)(cid:96)(cid:11)(cid:482)(cid:197)(cid:183)(cid:483)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:401)(cid:402) (cid:96)(cid:273)(cid:484)(cid:298)(cid:162)(cid:483)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:401)(cid:402)(cid:99)
(cid:485)(cid:29)(cid:141)(cid:25)(cid:32) (cid:154)(cid:24)(cid:31)(cid:32) (cid:96)(cid:99)(cid:281)(cid:486)(cid:487)(cid:44)(cid:234)(cid:114)(cid:258)(cid:46)(cid:437)(cid:438)(cid:71)(cid:226)(cid:295)(cid:372)(cid:96) 𝐴=𝐵𝐶90°(cid:96) =15(cid:96) =20(cid:96)
𝐴𝐵𝐷𝐸 𝐸𝐷𝐶 ∠𝐸𝐷𝐶 𝐷𝐶 𝐷𝐸=35(cid:96) =40(cid:96) =5(cid:96)(cid:52)(cid:141)(cid:25)(cid:32) (cid:46)(cid:305)(cid:362)(cid:71)(cid:73)(cid:488)(cid:412)(cid:10)(cid:403)(cid:80)
𝐷𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐴𝐵𝐷𝐸
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)450m
2
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:351)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:193)(cid:185) (cid:46)(cid:83)(cid:96)(cid:137)(cid:166)(cid:108)(cid:131)(cid:165)(cid:208) (cid:46)(cid:132)(cid:25)(cid:83)(cid:96)(cid:240)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:165)(cid:208)(cid:164)(cid:24)
(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:137)(cid:166)(cid:165)(cid:208)𝐸(cid:251)𝐶(cid:52)(cid:305)(cid:362)(cid:87) (cid:46)(cid:305)(cid:362)△(cid:440)𝐴𝐵(cid:489)𝐶 (cid:46)(cid:305)(cid:362)(cid:96)(cid:107)(cid:108)(cid:165)(cid:208)(cid:97)(cid:98)(cid:120)
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10) =90°(cid:96) =15(cid:96)△𝐴=𝐵𝐶20(cid:96) △𝐸𝐷𝐶
=25(cid:96) ∵∠𝐸𝐷𝐶 𝐷𝐶 𝐷𝐸
∴𝐶𝐸 = + =30(cid:96)
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐸+ 𝐶𝐸=50(cid:96) =40
∵𝐵𝐶 +𝐷𝐵 =𝐷𝐶2500= 𝐴𝐵(cid:96)
2 2 2
∴𝐴𝐵 (cid:95)𝐴𝐶(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)𝐵(cid:252)𝐶 =90°
+
A
A
科
∴△ 四 𝐴 边 𝐵 形 𝐶 = ∠𝐴=450(m ) 号 ★ 全
众
2 公
∴(cid:15)𝑆(cid:45)(cid:209)(cid:19)𝐴𝐵(cid:101)𝐷𝐸(cid:20)(cid:134)𝑆(cid:135)△𝐴(cid:102)𝐵𝐶(cid:103)−𝑆(cid:104)△(cid:33)𝐶𝐷(cid:34)𝐸 (cid:49)(cid:50)(cid:154)(cid:33)(cid:34)(cid:49)关(cid:50)(cid:46) 注 (cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:53)(cid:64)(cid:164)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:111)(cid:95)(cid:62)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:71)
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:121)(cid:122)8-1(cid:19)(cid:144)(cid:39) 教=90°(cid:96) =20(cid:96) =15(cid:96) =7(cid:96) =24(cid:96)(cid:52) (cid:46)(cid:67)(cid:35)(cid:71)
∠𝐵 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐷 ∠𝐷
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19) =90°
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)∠(cid:101)𝐷(cid:20)(cid:102)(cid:103)(cid:46)(cid:95)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:93)(cid:288) (cid:96)(cid:351)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:52)(cid:185) (cid:46)(cid:63)(cid:96)(cid:240)(cid:173)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)
2
(cid:49)(cid:50)(cid:22)(cid:23)(cid:185) (cid:46)(cid:32)(cid:149)(cid:107)(cid:108)(cid:71) 𝐴𝐶 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10)△(cid:144)𝐴𝐶(cid:39)𝐷(cid:96)(cid:93)(cid:288) (cid:96)
𝐴𝐶=90°(cid:96) =20(cid:96) =15(cid:96)
∵∠𝐵 = +𝐴𝐵 =20𝐵𝐶+15 =625(cid:96)
2 2 2 2 2
∴𝐴𝐶 =7𝐴(cid:96)𝐵 =𝐵𝐶24(cid:96)
∵𝐶𝐷 + 𝐴𝐷=7 +24 =625= (cid:96)
2 2 2 2 2
∴𝐶𝐷 𝐴(cid:95)𝐷(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96) 𝐴𝐶
∴△𝐴=𝐶𝐷90°(cid:71)
∴(cid:15)∠(cid:121)𝐷(cid:122)8-2(cid:19)(cid:144)(cid:39)(cid:96)(cid:197)(cid:183)(cid:483)(cid:141)(cid:25)(cid:32)(cid:437)(cid:490) (cid:96) =90°(cid:96) =4m(cid:96) =13m(cid:96) =12m(cid:96) =3
m(cid:96)(cid:139)(cid:437)(cid:490)(cid:46)(cid:305)(cid:362)(cid:87) m (cid:71) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐷𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐷𝐶
2
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)24
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:330)(cid:48)(cid:96)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:22)(cid:49)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:101)(cid:20)(cid:38)(cid:22)(cid:23)
(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:111)(cid:71)
(cid:93)△(cid:288)𝐴𝐵𝐶(cid:96)(cid:105)(cid:106)(cid:53)(cid:30)(cid:31) (cid:52) (cid:46)(cid:83)(cid:67)(cid:96)(cid:52)(cid:54) (cid:87)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:105)(cid:106)(cid:141)(cid:25)(cid:32) (cid:46)(cid:305)(cid:362)= (cid:305)
(cid:362) 𝐴𝐶 (cid:305)(cid:362)(cid:107)(cid:108)(cid:273)△(cid:193)𝐴(cid:71)𝐷𝐶 𝐴𝐶 △𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐵𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)−(cid:112)△(cid:53)(cid:19)𝐴𝐶(cid:144)𝐷(cid:39)(cid:96)(cid:93)(cid:288) (cid:71)
𝐴𝐶
=4m =3m =90°(cid:96)
∵𝐷𝐴=5m(cid:96),𝐶𝐷 ,∠𝐷
∴𝐴𝐶 =3×4× 1 =6(m )(cid:96)
2
2
∴𝑆△𝐴𝐶𝐷(cid:269) (cid:38)(cid:96) =5m =12m =13m(cid:96)
△𝐴𝐵+𝐶 =∵𝐴𝐶 (cid:96) ,𝐵𝐶 ,𝐴𝐵
2 2 2
∴𝐴𝐶 𝐵(cid:87)𝐶(cid:30)(cid:31)(cid:24)𝐴𝐵(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:252) =90°(cid:96)
∴
R
△
t
𝐴𝐵𝐶
(cid:46)(cid:305)(cid:362)=12×5
∠
×
𝐴1𝐶𝐵
=30(m )(cid:96)
2
2
∴ △𝐴𝐵𝐶
(cid:141)(cid:25)(cid:32) (cid:46)(cid:305)(cid:362)= =24(m )(cid:71)
2
∵(cid:115)(cid:97)(cid:98)(cid:87)𝐴(cid:10)𝐵𝐶2𝐷4(cid:71) 30−6
(cid:15)(cid:121)(cid:122)8-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:81)·(cid:491)(cid:363)(cid:492)(cid:275)·(cid:130)(cid:38)(cid:80)(cid:15)(cid:493)(cid:494)(cid:41)(cid:495)(cid:102)(cid:19)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:496)(cid:497)(cid:166)(cid:498)(cid:499)(cid:96)(cid:220)(cid:46)(cid:54)(cid:249)(cid:480)(cid:234)(cid:480)(cid:500)(cid:96)
(cid:60)(cid:501)(cid:499)(cid:132)(cid:197)(cid:114)(cid:258)(cid:71)(cid:269)(cid:137)(cid:138)(cid:190)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:195)(cid:183)(cid:192)(cid:11)(cid:277)(cid:242)(cid:96)(cid:502)(cid:503)(cid:504)(cid:505)(cid:258)(cid:11)(cid:268)(cid:137)(cid:138)(cid:389)(cid:390)(cid:334)(cid:360)(cid:10)(cid:144)(cid:39)1(cid:96)(cid:162)(cid:95)(cid:48)(cid:343)(cid:344)(cid:506)
(cid:29)(cid:46)(cid:141)(cid:140)(cid:282)(cid:150)(cid:46)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:73)(cid:44)(cid:84)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:83)(cid:99)(cid:281)(cid:87)a(cid:96) > (cid:96)(cid:207)(cid:25)(cid:83)(cid:87)c(cid:80)(cid:154)(cid:183)(cid:140)(cid:25)(cid:83)(cid:87)c(cid:46)(cid:178)(cid:231)(cid:32)(cid:96)
(cid:365)(cid:507)(cid:298)(cid:220)(cid:268)(cid:296)(cid:29)(cid:183)(cid:140)(cid:39)(cid:32)(cid:96)(cid:139)(cid:39)(cid:32)(cid:26)(cid:261)(cid:54)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:71) 𝑏(𝑏 𝑎)
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:328)(cid:508)(cid:19)
(1)(cid:144)(cid:39)2(cid:96)(cid:162)(cid:95)(cid:199)(cid:509)(cid:258)(cid:11)(cid:296)(cid:29)(cid:46)(cid:39)(cid:32)(cid:71)(cid:365)(cid:507)(cid:47)(cid:48)(cid:39)2(cid:261)(cid:54)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:71)
(2)(cid:183)(cid:140)(cid:510)(cid:169)(cid:46)(cid:32)(cid:149)(cid:144)(cid:39)3(cid:251)(cid:206)(cid:96)(cid:511)(cid:316)(cid:69)(cid:49)(cid:96)(cid:510)(cid:169)(cid:38) (cid:154) (cid:163)(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:96)(cid:512)(cid:95)(cid:62)(cid:37)(cid:510)(cid:169)(cid:71)(cid:144)(cid:39)4(cid:251)(cid:206)(cid:96)(cid:513)
(cid:398)(cid:503)(cid:514)(cid:295)(cid:165)(cid:510)(cid:169) =90°(cid:96) =39cm(cid:96) =3∠6𝐴cm𝐵𝐷(cid:96) ∠𝐶=9cm(cid:96) =12cm(cid:96)(cid:162)(cid:140)(cid:510)(cid:169)(cid:118)(cid:62)(cid:135)(cid:52)(cid:474)(cid:475)
(cid:365)(cid:22)(cid:23)(cid:284)(cid:248)(cid:55)(cid:50)∠(cid:173)𝐴(cid:71)𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)(1)(cid:366)(cid:53)(cid:100)
(2)(cid:162)(cid:140)(cid:510)(cid:169)(cid:118)(cid:62)(cid:135)(cid:52)(cid:96)(cid:50)(cid:173)(cid:366)(cid:53)(cid:100)
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:101)(cid:20)(cid:134)(cid:135)(cid:102)(cid:103)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:54)(cid:55)(cid:113)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:58)(cid:48)(cid:150)(cid:43)(cid:283)(cid:45)(cid:96)(cid:109)(cid:110)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:70)(cid:48)(cid:95)
(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:111)(cid:71)
(cid:73)1(cid:80) (cid:105)(cid:106)(cid:39)2(cid:48)(cid:44)(cid:234)(cid:231)(cid:249)(cid:205)(cid:206)(cid:185)(cid:201)(cid:178)(cid:231)(cid:32)(cid:46)(cid:305)(cid:362)(cid:96)(cid:263)(cid:352)(cid:137)(cid:138)(cid:179)(cid:50)(cid:107)(cid:108)(cid:53)(cid:97)(cid:120)
(cid:73)2(cid:80)①(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:261)(cid:54)(cid:154)(cid:95)(cid:27)(cid:87)(cid:30)(cid:31)(cid:107)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:162)(cid:140)(cid:510)(cid:169)(cid:95)(cid:27)(cid:118)(cid:62)(cid:135)(cid:52)(cid:71)
1
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)(cid:73)1(cid:80)(cid:53)(cid:10) (cid:105)(cid:106)(cid:39)2(cid:10)(cid:201)(cid:178)(cid:231)(cid:32)(cid:305)(cid:362)(cid:108)(cid:205)(cid:206)(cid:87)(cid:10) (cid:318) ×4+ (cid:96)
2
2 2
∵ 𝑐 𝑎𝑏 (𝑏−𝑎)
1 ×4+ = (cid:96)(cid:107) + + = (cid:96)
2
2 2 2 2 2
∴ 𝑎𝑏 (𝑏−𝑎) 𝑐 2𝑎𝑏 𝑏 −2𝑎𝑏 𝑎 𝑐+ = (cid:71)
2 2 2
(cid:73)∴𝑎2(cid:80)(cid:53)𝑏(cid:10)(cid:162)𝑐(cid:140)(cid:510)(cid:169)(cid:118)(cid:62)(cid:135)(cid:52)(cid:96)(cid:50)(cid:173)(cid:144)(cid:81)(cid:10)
(cid:269)Rt (cid:38)(cid:96)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:108)(cid:165)(cid:10)
=△𝐴𝐵𝐷 =39 36 =225(cid:96)
2 2 2 2 2
(cid:269)𝐵𝐷 𝐴𝐷(cid:38)−(cid:96)𝐴𝐵 + −=9 +12 =225
2 2 2 2
△𝐵+𝐶𝐷 =𝐵𝐶 (cid:71)𝐶 𝐷
2 2 2
∴𝐵𝐶 𝐶(cid:95)𝐷(cid:30)(cid:31)𝐵(cid:24)𝐷(cid:31)(cid:32)(cid:96) (cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:71)(cid:252) =90°
∴(cid:162)△(cid:140)𝐵𝐶(cid:510)𝐷(cid:169)(cid:118)(cid:62)(cid:135)(cid:52)(cid:71) ∠𝐶 ∠𝐴𝐵𝐷
∴ 【题型9 利用勾股定理及其逆定理解决无刻度的尺规作图】
(cid:15)(cid:72)9(cid:19)(cid:73)24-25(cid:243)(cid:124)(cid:125)(cid:40)·(cid:74)(cid:363)(cid:515)(cid:275)·(cid:276)(cid:86)(cid:172)(cid:277)(cid:80)(cid:85)(cid:86) (cid:46)(cid:466)(cid:45) (cid:96) (cid:269)6×6(cid:46)(cid:178)(cid:231)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:46)(cid:37)(cid:45)(cid:73)(cid:36)(cid:37)(cid:85)(cid:46)
(cid:271)(cid:45)(cid:80)(cid:40)(cid:96)(cid:365)(cid:516)(cid:48)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:46)(cid:30)(cid:68)(cid:269)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:511)(cid:135)(cid:52)(cid:70)(cid:39)𝐴(cid:71)𝐵 𝐴 𝐵
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
辅
资
教
(1)(cid:269)(cid:39) (cid:38)(cid:517)(cid:185)(cid:37)(cid:45) (cid:96)(cid:284)(cid:93)(cid:288) (cid:96) (cid:96)(cid:287) = + (cid:120)
2 2 2
(2)(cid:269)(cid:39)①(cid:38)(cid:70)(cid:185) 𝐶 (cid:46)(cid:518) (cid:96)𝐴𝐶(cid:284)(cid:30)𝐵𝐶(cid:288)(cid:382)(cid:185)𝐴𝐶 (cid:46)(cid:83)𝐴𝐵(cid:87)___𝐵_𝐶____(cid:71)
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)②(1)(cid:366)(cid:53)(cid:100)△𝐴𝐵𝐶 𝐶𝐻 𝐶𝐻
(2)(cid:366)(cid:53)(cid:100)(cid:96) = 16
5
𝐶𝐻
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:73)1(cid:80)(cid:144)(cid:39) (cid:96)(cid:173)(cid:20)(cid:119)(cid:43)(cid:96) =2 +4 =20(cid:96) =2 +1 =5(cid:96) =3 +4 =25(cid:96)(cid:148)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= + (cid:96)(cid:37)(cid:45)①(cid:96) (cid:96) (cid:107)(cid:87)𝐴(cid:251)𝐵(cid:70)(cid:120) 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐶
2 2
(cid:73)2𝐴(cid:80)𝐵(cid:144)(cid:39)𝐵𝐶 (cid:96)(cid:70) 𝐶 𝐴(cid:96)𝐶 𝐵(cid:113)𝐶 (cid:46)(cid:271)(cid:45)(cid:87) (cid:96)(cid:54)(cid:55) (SAS)(cid:96)(cid:148) = (cid:96)(cid:108)(cid:52)
= ② ( △𝐵𝐶+𝐷 𝐶𝐷 )=𝐴𝐵90°(cid:96)(cid:107) 𝐻(cid:87) △(cid:46)𝐶𝐵(cid:518)𝐷(cid:96)≌(cid:173)△(cid:33)𝐴𝐸(cid:34)𝐵(cid:49)(cid:50)(cid:165)(cid:96) ∠𝐵=𝐶𝐷5(cid:96)(cid:173)∠(cid:20)𝐸𝐴(cid:119)𝐵(cid:43)(cid:96) =
∠1𝐵𝐻 × 𝐶 1 = 801°− ∠ × 𝐵𝐶𝐷 (cid:96)(cid:107) ∠1𝐴 × 𝐵𝐸 5× = 1 × 𝐶 4 𝐻 ×4 △ (cid:96) 𝐴 (cid:273) 𝐵 (cid:193) 𝐶 (cid:52)(cid:53)(cid:107)(cid:108)(cid:71) 𝐴𝐵 𝑆△𝐴𝐵𝐶
2 2 2 2
(cid:15)𝐴(cid:112)𝐵 (cid:53)𝐶(cid:19)𝐻(cid:73)1(cid:80)𝐵(cid:53)𝐶 (cid:10)𝐴(cid:144)𝐸(cid:39) (cid:96) 𝐶𝐻
①(cid:173)(cid:20)(cid:119)(cid:43)(cid:96) =2 +4 =20(cid:96) =2 +1 =5(cid:96) =3 +4 =25(cid:96)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
= 𝐴𝐵+ (cid:96) 𝐵𝐶 𝐴𝐶
2 2 2
∴(cid:37)𝐴𝐶(cid:45) (cid:96)𝐴𝐵 (cid:96)𝐵𝐶(cid:107)(cid:87)(cid:251)(cid:70)(cid:120)
∴(cid:73)2(cid:80)(cid:53)𝐶 (cid:10)𝐴(cid:144)𝐶(cid:39)𝐵𝐶(cid:96)(cid:70) (cid:96) (cid:113) (cid:46)(cid:271)(cid:45)(cid:87) (cid:96)
② △𝐵𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐻
+
A
A
科
全
★
号
众
=4= (cid:96) =90°= (cid:96) =3 注 = 公(cid:96)
关
，
源
∵𝐶𝐵 𝐴𝐸 ∠(𝐶S𝐵A𝐷S)(cid:96)辅 资∠𝐴𝐸𝐵 𝐵𝐷 𝐸𝐵
教
∴△𝐶𝐵𝐷=≌△𝐴𝐸(cid:96)𝐵
∴∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐸𝐴𝐵= + =90°(cid:96)
∴∠𝐵𝐶𝐷 =∠𝐴𝐵𝐸 ( ∠𝐸𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐸)=90°(cid:96)
∴∠𝐵𝐻(cid:87)𝐶 180(cid:46)°−(cid:518)∠(cid:96)𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐸
∴(cid:173)𝐶(cid:33)𝐻(cid:34)(cid:49)△(cid:50)𝐴𝐵(cid:165)𝐶(cid:96) =5(cid:96)
= 1 × 𝐴𝐵 = 1 × (cid:96)(cid:107) 1 ×5× = 1 ×4×4(cid:96)
2 2 2 2
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐻 𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐶𝐻
16
(cid:53)(cid:165)(cid:96) = (cid:71)
5
(cid:15)(cid:45)(cid:209)𝐶(cid:19)𝐻(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:282)(cid:150)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:22)(cid:49)(cid:41)(cid:157)(cid:158)(cid:96)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:170)(cid:31)(cid:154)(cid:49)(cid:50)(cid:150)(cid:43)
(cid:283)(cid:71)(cid:171)(cid:172)(cid:109)(cid:110)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:282)(cid:150)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:22)(cid:49)(cid:41)(cid:157)(cid:158)(cid:96)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:170)(cid:31)(cid:154)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:111)(cid:71)
(cid:15)(cid:121)(cid:122)9-1(cid:19)(cid:73)2025·(cid:244)(cid:245)(cid:519)(cid:275)·(cid:79)(cid:293)(cid:294)(cid:295)(cid:80)(cid:144)(cid:39)(cid:251)(cid:206)(cid:46)(cid:36)(cid:37)(cid:95)(cid:178)(cid:231)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:96)(cid:148) + = (cid:73)(cid:45) (cid:96)
(cid:96) (cid:95)(cid:36)(cid:37)(cid:85)(cid:271)(cid:45)(cid:80)(cid:96)(cid:365)(cid:326)(cid:48)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:46)(cid:30)(cid:68)(cid:96)(cid:269)(cid:144)(cid:39)(cid:251)(cid:206)(cid:46)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:96)(cid:520)(cid:185)(cid:53)∠(cid:64)𝑃(cid:139)𝐴𝐵(cid:20)(cid:46)∠(cid:3)𝑃(cid:111)𝐵𝐴(cid:495)(cid:413)(cid:46)(cid:93)(cid:85)(cid:71)𝐴
𝐵 𝑃(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)45°(cid:318)45(cid:67)
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:391)(cid:31)(cid:46)(cid:157)(cid:158)(cid:96)(cid:150)(cid:153)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:22)(cid:49)(cid:154)(cid:157)(cid:158)(cid:96)
(cid:290)(cid:83) (cid:271)(cid:37)(cid:45)(cid:200) (cid:96)(cid:93)(cid:288) (cid:96)(cid:105)(cid:106)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:165)(cid:208) = =1 +2 =5(cid:96) =1 +3 =10(cid:96)(cid:52)(cid:165)
2 2 2 2 2 2 2 2
+ 𝐴𝑃= (cid:96)(cid:200)𝐷(cid:95)(cid:165)(cid:208)𝐵𝐷 =90°(cid:96)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:31)𝑃(cid:32)𝐷(cid:391)(cid:31)𝐵(cid:46)𝐷(cid:157)(cid:158)(cid:107)(cid:108)(cid:165)(cid:208)(cid:285)(cid:239)𝑃(cid:96)𝐵(cid:178)(cid:228)(cid:46)(cid:70)(cid:185)(cid:339)(cid:340)(cid:85)(cid:95)(cid:53)(cid:20)𝑃𝐷(cid:46)
2 2
(cid:3)𝐷(cid:111)𝐵(cid:71) 𝑃𝐵 ∠𝑃𝐷𝐵
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10)(cid:290)(cid:83) (cid:271)(cid:37)(cid:45)(cid:200) (cid:96)(cid:93)(cid:288) (cid:96)
𝐴𝑃 𝐷 𝐵𝐷
= =1 +2 =5(cid:96) =1 +3 =10(cid:96)
2 2 2 2 2 2 2
∴𝑃𝐷 + 𝐵𝐷 = (cid:96) 𝑃𝐵
2 2 2
∴𝑃𝐷 𝐷=𝐵90°(cid:96)𝑃𝐵 A +
A
科
全
★
∴∠𝑃𝐷𝐵 (cid:87)(cid:150)(cid:153)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96) 众 号
公
注
关
∴△𝑃𝐵𝐷= + =45°(cid:96)源 ，
资
辅
教
(cid:115)∴∠(cid:97)𝐷𝑃(cid:98)𝐵(cid:87)(cid:10)∠4𝑃5𝐴°𝐵(cid:71) ∠𝑃𝐵𝐴
(cid:15)(cid:121)(cid:122)9-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:40)·(cid:74)(cid:363)(cid:394)(cid:357)·(cid:130)(cid:421)(cid:80)(cid:144)(cid:39)(cid:95)4×4(cid:178)(cid:231)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:96)(cid:42)(cid:43)(cid:37)(cid:45)A(cid:96)B(cid:96)(cid:365)(cid:48)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:30)(cid:68)
(cid:511)(cid:135)(cid:52)(cid:70)(cid:39)(cid:71)
(1)(cid:269)(cid:39)1(cid:38)(cid:96)(cid:131) (cid:87)(cid:153)(cid:96)(cid:70)(cid:150)(cid:153) (cid:120)
(2)(cid:269)(cid:39)2(cid:38)(cid:96)(cid:131)𝐴𝐵(cid:87)(cid:207)(cid:25)(cid:96)(cid:70)(cid:30)(cid:31)△𝐴𝐵𝐶 (cid:96)(cid:287)(cid:60)(cid:305)(cid:362)(cid:216)(cid:199)(cid:71)
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)(1)(cid:366)(cid:112)𝐴(cid:53)𝐵 △𝐴𝐵𝑀
(2)(cid:366)(cid:112)(cid:53)
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:101)(cid:20)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:150)(cid:153)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:49)(cid:227)(cid:59)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:96)(cid:171)(cid:172)(cid:109)(cid:110)(cid:150)(cid:153)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:49)(cid:227)(cid:59)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:111)(cid:71)
(cid:73)1(cid:80)(cid:105)(cid:106)(cid:150)(cid:153)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:49)(cid:227)(cid:96)(cid:137)(cid:138)(cid:70)(cid:39)(cid:96)(cid:107)(cid:108)(cid:165)(cid:53)(cid:120)
(cid:73)2(cid:80)(cid:105)(cid:106)(cid:305)(cid:362)(cid:216)(cid:199)(cid:96)(cid:148) (cid:46)(cid:63)(cid:216)(cid:199)(cid:96)(cid:252)(cid:284)(cid:252)(cid:146)(cid:147)(cid:131) (cid:87)(cid:207)(cid:25)(cid:96)(cid:70)(cid:30)(cid:31) (cid:162)(cid:140)(cid:84)(cid:169)(cid:96)(cid:285)(cid:62)(cid:33)(cid:34)(cid:49)
(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:70)(cid:39)(cid:107)(cid:108)(cid:71) 𝐴𝑀·𝐵𝑀 𝐴𝐵 △𝐴𝐵𝑀
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)(cid:73)1(cid:80)(cid:53)(cid:10)(cid:150)(cid:153) (cid:144)(cid:39)(cid:251)(cid:206)(cid:10)
△𝐴𝐵𝐶
(cid:73)2(cid:80)(cid:53)(cid:10)(cid:30)(cid:31) (cid:144)(cid:39)(cid:251)(cid:206)(cid:10)
△𝐴𝐵𝑀
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:121)(cid:122)9-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:123)教(cid:124)(cid:125)(cid:40)·(cid:394)(cid:395)(cid:83)(cid:521)·(cid:276)(cid:86)(cid:172)(cid:277)(cid:80)(cid:39) (cid:113)(cid:39) (cid:113)(cid:39) (cid:95)3×3(cid:46)(cid:178)(cid:231)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:96)(cid:278)(cid:140)(cid:199)(cid:178)(cid:231)
(cid:32)(cid:46)(cid:25)(cid:83)(cid:163)(cid:87)1(cid:71)(cid:85)(cid:86) (cid:46)(cid:466)(cid:45)(cid:269)(cid:37)(cid:45)(cid:40)(cid:71)(cid:326)(cid:48)(cid:65)(cid:66)(cid:67)①(cid:46)(cid:30)(cid:68)②(cid:96)(cid:269)(cid:184)(cid:49)③(cid:46)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:511)(cid:135)(cid:52)(cid:520)(cid:39)(cid:96)(cid:251)(cid:520)(cid:39)(cid:32)(cid:46)
(cid:270)(cid:45)(cid:198)(cid:269)(cid:37)(cid:45)(cid:40)(cid:96)(cid:114)(cid:135)𝐴(cid:52)𝐵(cid:382)(cid:185)(cid:520)(cid:249)(cid:96)(cid:284)(cid:232)(cid:522)(cid:70)(cid:39)(cid:523)(cid:524)(cid:71)
(1)(cid:269)(cid:39) (cid:38)(cid:131)AB(cid:87)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:520)(cid:183)(cid:140)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:287)(cid:220)(cid:46)(cid:305)(cid:362)(cid:87)3(cid:71)
(2)(cid:269)(cid:39)①(cid:38)(cid:131)AB(cid:87)(cid:25)(cid:520)(cid:183)(cid:140)(cid:150)(cid:153)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:287)(cid:220)(cid:46)(cid:305)(cid:362)(cid:87)3(cid:71)
(3)(cid:269)(cid:39)②(cid:38)(cid:131)AB(cid:87)(cid:207)(cid:25)(cid:520)(cid:183)(cid:140)(cid:150)(cid:153)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:71)
(cid:15)(cid:97)(cid:98)(cid:19)③(1)(cid:366)(cid:53)(cid:100)
(2)(cid:366)(cid:53)(cid:100)(3)(cid:366)(cid:53)(cid:100)
(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:19)(cid:101)(cid:20)(cid:134)(cid:135)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:37)(cid:45)(cid:520)(cid:39)(cid:113)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:113)(cid:150)(cid:153)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:49)(cid:227)(cid:150)(cid:43)(cid:283)(cid:45)(cid:71)(cid:109)(cid:110)(cid:92)(cid:3)(cid:49)(cid:227)(cid:29)(cid:87)(cid:53)(cid:20)(cid:46)
(cid:3)(cid:111)(cid:71)
(cid:73)1(cid:80)(cid:105)(cid:106)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:49)(cid:227)(cid:131)(cid:59)(cid:305)(cid:362)(cid:87)3(cid:520)(cid:185)(cid:251)(cid:52)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:107)(cid:108)(cid:120)
(cid:73)2(cid:80)(cid:105)(cid:106)(cid:150)(cid:153)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:49)(cid:227)(cid:131)(cid:59)(cid:305)(cid:362)(cid:87)3(cid:520)(cid:185)(cid:251)(cid:52)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:107)(cid:108)(cid:120)
(cid:73)3(cid:80)(cid:105)(cid:106)(cid:150)(cid:153)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:49)(cid:227)(cid:520)(cid:185)(cid:251)(cid:52)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:107)(cid:108)(cid:71)
(cid:15)(cid:112)(cid:53)(cid:19)(cid:73)1(cid:80)(cid:53)(cid:10)(cid:144)(cid:39) (cid:113)(cid:39) (cid:107)(cid:87)(cid:251)(cid:52)(cid:71)
① ②
+
A
(cid:73)2(cid:80)(cid:53)(cid:10)(cid:144)(cid:39) (cid:107)(cid:87)(cid:251)(cid:52)(cid:71) 科 A
全
★
号
众
③ 公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:73)3(cid:80)(cid:53)(cid:10)(cid:144)(cid:39) (cid:107)(cid:87)(cid:251)(cid:52)(cid:71)
④