文档文本内容
专题 2.6 直线与圆的位置关系（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:19)................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:28)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:19)................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:34)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:19)............................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:19)................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:53)(cid:35)(cid:36)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:24)(cid:25)(cid:57)(cid:27)(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:19)............................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:58)(cid:59)(cid:24)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:24)(cid:25)(cid:57)(cid:27)(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:19)............................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:52)(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:62)(cid:63)(cid:19)....................................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:65)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:66)(cid:67)(cid:62)(cid:63)(cid:19)............................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:34)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:42)(cid:26)(cid:24)(cid:25)(cid:70)(cid:52)(cid:71)(cid:27)(cid:41)(cid:72)(cid:73)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:19)......................................................................................10
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:68)(cid:69)(cid:42)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:52)(cid:71)(cid:74)(cid:75)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:19)..............................................................................................11
知识点1 直线与圆的位置关系
位置关系 相交 相切 相离
2 1 0
公共点个数
d与r关系 d＜r d＝r d＞r
公共点名称 割点 切点
直线名称 割线 切线
知识点2 切线的判定定理和性质定理
1. (cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:64)(cid:76)(cid:10)(cid:72)(cid:73)(cid:35)(cid:36)(cid:28)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:59)(cid:24)(cid:81)(cid:82)(cid:48)(cid:35)(cid:36)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:57)(cid:27)(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:83)
2. (cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:64)(cid:76)(cid:28)(cid:84)(cid:85)
(cid:86)1(cid:87)(cid:72)(cid:73)(cid:27)(cid:41)(cid:80)(cid:59)(cid:24)(cid:81)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:88)(cid:72)(cid:73)(cid:52)(cid:89)(cid:83)
(cid:86)2(cid:87)(cid:72)(cid:73)(cid:52)(cid:89)(cid:80)(cid:59)(cid:24)(cid:81)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:88)(cid:72)(cid:73)(cid:27)(cid:41)(cid:83)
3. (cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:64)(cid:76)(cid:27)(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:59)(cid:24)(cid:81)(cid:73)(cid:52)(cid:89)(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:83)
4. (cid:54)(cid:55)(cid:24)(cid:25)(cid:57)(cid:27)(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:90)(cid:91)
一看 (cid:92)(cid:63)(cid:93)(cid:89)(cid:94)(cid:95)(cid:10)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:28)(cid:7)(cid:99)(cid:89)
二算 (cid:92)(cid:63)(cid:95)(cid:100)(cid:3)(cid:31)(cid:10)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:101)(cid:81)(cid:27)(cid:28)(cid:35)(cid:36)
三说明 (cid:92)(cid:63)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:64)(cid:76)(cid:10)(cid:24)(cid:25)(cid:72)(cid:73)(cid:35)(cid:36)(cid:28)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:59)(cid:24)(cid:81)(cid:82)(cid:48)(cid:35)(cid:36)
【题型1 判断直线与圆的的位置关系】
(cid:15)(cid:102)1(cid:19)(cid:86)24-25(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)·(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)·(cid:111)(cid:112)(cid:87)(cid:113) (cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:51)5(cid:114)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:98)(cid:48)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:51)2.5(cid:114)(cid:115)(cid:82)(cid:48)(cid:24)(cid:25)
(cid:57)(cid:86) (cid:87) ⊙𝑂
A(cid:83) B(cid:83) C(cid:83) D(cid:83)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)𝑙11-1(cid:19)(cid:86)24-25(cid:103)(cid:104)(cid:105)𝑙2(cid:106)·(cid:118)(cid:119)(cid:118)(cid:120)·(cid:111)(cid:112)(cid:87)“(cid:121)𝑙3(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:114)(cid:128)(cid:129)(cid:123)𝑙4(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)”(cid:114)(cid:132)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:28)(cid:121)(cid:122)(cid:137)(cid:138)
(cid:139)(cid:114)(cid:140)(cid:141)(cid:26)(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:25)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:27)(cid:26)(cid:24)(cid:25)(cid:114)(cid:149)(cid:150)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:57) (cid:83)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)1-2(cid:19)(cid:151)Rt (cid:139)(cid:114) =90°(cid:114) =3(cid:114) =4(cid:114)(cid:152) (cid:51)(cid:27)(cid:41)(cid:114)2.4(cid:51)(cid:35)(cid:36)(cid:58) (cid:114)(cid:115) (cid:65) (cid:28)
(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:57) △(cid:83)𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐶 ⊙𝐶 ⊙𝐶 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:116)(cid:117)1-3(cid:19)(cid:132)(cid:134)(cid:114)(cid:151) (cid:139)(cid:114) = =5(cid:114) =8(cid:114)(cid:152)A(cid:51)(cid:27)(cid:41)(cid:58)(cid:98)(cid:94)(cid:35)(cid:36)(cid:51)3(cid:28)(cid:27)(cid:114)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:85)(cid:139)(cid:156)
(cid:157)(cid:28)(cid:57)(cid:86) (cid:87) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶
A(cid:83)(cid:89)B(cid:151) (cid:158) B(cid:83)(cid:24)(cid:25) (cid:26) (cid:70)(cid:44)
C(cid:83)(cid:89)C(cid:151)⊙𝐴(cid:106) D(cid:83)(cid:24)(cid:25)𝐵𝐶(cid:26)⊙𝐴(cid:70)(cid:52)
⊙𝐴 𝐵𝐶 ⊙𝐴【题型2 已知直线与圆的的位置关系求半径的取值范围】
(cid:15)(cid:102)2(cid:19)(cid:151)Rt (cid:139)(cid:114) =90°(cid:114) =3(cid:114) =4(cid:114)(cid:113)(cid:152) (cid:89)(cid:51)(cid:27)(cid:41)(cid:114) (cid:51)(cid:35)(cid:36)(cid:159)(cid:58)(cid:28)(cid:27)(cid:26)(cid:160)(cid:144) (cid:161)(cid:96)(cid:98)
(cid:94)(cid:7)(cid:99)(cid:89)(cid:114)(cid:115)△(cid:28)𝐴(cid:39)𝐵𝐶(cid:40)(cid:57) ∠ 𝐶 (cid:83) 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐶 𝑟 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:116)(cid:117)2-1(cid:19)(cid:32)𝑟(cid:33) O(cid:65)(cid:24)(cid:25)L(cid:70)(cid:93)(cid:114)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:24)(cid:25)L(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:51)10cm(cid:114)(cid:115) O(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:146)(cid:162)(cid:51)(cid:86) (cid:87)
A(cid:83)8cm ⊙ B(cid:83)9cm C(cid:83)10cm D(cid:83)⊙11cm
(cid:15)(cid:116)(cid:117)2-2(cid:19)(cid:132)(cid:134)(cid:114)(cid:151)(cid:163)(cid:164)ABCD(cid:139)(cid:114)AD BC(cid:114) B(cid:165)90°(cid:114)AD(cid:165)2(cid:114)AB(cid:165)4(cid:114)BC(cid:165)6(cid:114)(cid:89)O(cid:57)(cid:144)BC(cid:106)(cid:98)(cid:89)(cid:114)
(cid:152)O(cid:51)(cid:27)(cid:41)(cid:114)OC(cid:51)(cid:35)(cid:36)(cid:28) O(cid:114)(cid:26)(cid:144)AD∥(cid:161)(cid:96)(cid:98)∠(cid:94)(cid:7)(cid:99)(cid:89)(cid:114)(cid:115)OC(cid:28)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:57)(cid:86)(cid:166)(cid:166)(cid:87)
⊙
13 13 14 14
A(cid:83)4(cid:167)OC≤ B(cid:83)4≤OC≤ C(cid:83)4(cid:167)OC D(cid:83)4≤OC
3 3 3 3
(cid:15)(cid:116)(cid:117)2-3(cid:19)(cid:86)24-25(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)·(cid:123)(cid:16)(cid:168)(cid:120)·(cid:111)(cid:139)(cid:87)(cid:132)(cid:134)(cid:114)(cid:32) ≤ (cid:33) =45°(cid:114)(cid:89)O ≤ (cid:151) (cid:106)(cid:114)(cid:80) =4 2(cid:114)(cid:152)(cid:89)
O(cid:51)(cid:27)(cid:41)(cid:114)r(cid:51)(cid:35)(cid:36)(cid:169) (cid:83)(cid:113) (cid:26)(cid:170)(cid:25) (cid:96)1(cid:94)(cid:7)(cid:99)(cid:89)∠(cid:114)𝐵𝐴(cid:115)𝐶r(cid:28)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:57) 𝐴 𝐶 (cid:83) 𝐴𝑂
⊙𝑂 ⊙𝑂 𝐴𝐵
【题型3 已知直线与圆的的位置关系求圆心到直线的距离】
(cid:15)(cid:102)3(cid:19)(cid:132)(cid:134)(cid:114)(cid:32)(cid:33) O(cid:57)(cid:152)(cid:95)(cid:171)(cid:28)(cid:172)(cid:89)O(cid:51)(cid:27)(cid:41)(cid:114)(cid:152)3(cid:51)(cid:35)(cid:36)(cid:28)(cid:27)(cid:114) AOB(cid:165)45°(cid:114)(cid:89)P(cid:151)(cid:95)(cid:171)(cid:106)(cid:74)(cid:75)(cid:83)(cid:113)
(cid:73)(cid:89)P(cid:26)OA(cid:68)(cid:173)(cid:28)⊙(cid:24)(cid:25)(cid:26) O(cid:96)(cid:7)(cid:99)(cid:89)(cid:114)(cid:174)(cid:89)P(cid:151)(cid:95)(cid:171)(cid:106)(cid:175)(cid:176)(cid:28)(cid:95)(cid:51)∠x(cid:83)(cid:115)x(cid:28)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:57)(cid:86)(cid:166)(cid:166)(cid:87)
⊙
A(cid:83)0≤x≤3 2 B(cid:83)x(cid:177)3 2 C(cid:83)﹣3≤x≤3 D(cid:83)﹣3 2≤x≤3 2(cid:114)(cid:80)x ≠0
(cid:15)(cid:116)(cid:117)3-1(cid:19)(cid:27) (cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:51)5(cid:114)(cid:113)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:178)(cid:27)(cid:70)(cid:44)(cid:114)(cid:115)(cid:27)(cid:41) (cid:42)(cid:178)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:146)(cid:162)(cid:57)(cid:86) (cid:87)
A(cid:83)2.5 𝑂 B(cid:83) 5 C(cid:83)5 𝑂 D(cid:83)63
(cid:15)(cid:116)(cid:117)3-2(cid:19)(cid:132)(cid:134)(cid:114)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:25)y= x(cid:179)3(cid:26)x(cid:171)(cid:180)y(cid:171)(cid:181)(cid:182)(cid:93)(cid:81)A(cid:180)B(cid:183)(cid:89)(cid:114)P(cid:57)(cid:152)C (0(cid:114)2) (cid:51)(cid:27)(cid:41)(cid:114)(cid:35)(cid:36)(cid:51)1
4
(cid:28)(cid:27)(cid:106)(cid:98)(cid:75)(cid:89)(cid:114)(cid:53)(cid:155)PA(cid:180)PB(cid:83)(cid:115) PAB(cid:184)(cid:185)(cid:28)(cid:186)(cid:187)(cid:38)(cid:57) (cid:83)
△
(cid:15)(cid:116)(cid:117)3-3(cid:19)(cid:151)(cid:24)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:31) (cid:139)(cid:114)(cid:191)(cid:81)(cid:24)(cid:25) (cid:10) (cid:165) + (cid:114)(cid:192)(cid:122)(cid:132)(cid:153)(cid:64)(cid:193)(cid:10)(cid:113)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:56)(cid:94)(cid:27)(cid:70)(cid:93)(cid:114)(cid:89) (cid:28)
(cid:189)(cid:190)(cid:51) (cid:114)(cid:113) (cid:28)(cid:35)𝑥𝑂(cid:36)𝑦(cid:51)2(cid:114)(cid:24)(cid:25) (cid:3)(cid:81)𝑙 𝑦 𝑘(cid:28)𝑥“(cid:27)𝑏(cid:194)(cid:43)”(cid:28)(cid:186)(cid:195)(cid:38)(cid:51)2 2(cid:114)(cid:115)𝑙(cid:28)(cid:38)(cid:51) (cid:83) 𝑀
(−1,0) ⊙𝑀 𝑙 ⊙𝑀 𝑏
【题型4 判断或补全条件使直线为切线的条件】
(cid:15)(cid:102)4(cid:19)(cid:132)(cid:134)(cid:114) (cid:57) (cid:28)(cid:24)(cid:36)(cid:114)C(cid:57) (cid:106)(cid:98)(cid:89)(cid:114)D(cid:57) (cid:77)(cid:98)(cid:89)(cid:114)(cid:73)(cid:89)A(cid:58) (cid:114)(cid:59)(cid:196)(cid:51)E(cid:114)(cid:53)(cid:197)
(cid:83)(cid:113)(cid:50) (cid:52)𝐴𝐵 (cid:81)⊙(cid:89)𝑂C(cid:114)(cid:198)(cid:199)(cid:28)(cid:153)(cid:154)⊙(cid:48)𝑂(cid:49)(cid:139)(cid:114)(cid:200)(cid:156)(cid:157)(cid:28)⊙(cid:57)𝑂(cid:86)(cid:166)(cid:166)(cid:87) 𝐴𝐸⊥𝐶𝐷
𝑂𝐶 𝐶𝐷 ⊙𝑂
A(cid:83) B(cid:83) = C(cid:83) = D(cid:83) =
(cid:15)(cid:116)(cid:117)𝑂4𝐶-1∥(cid:19)𝐴𝐸(cid:132)(cid:134)(cid:114)A(cid:180)B(cid:57)∠𝑂𝐴O𝐶(cid:106)(cid:28)∠𝐶(cid:183)𝐴(cid:89)𝐸(cid:114)AC(cid:57)∠(cid:73)𝑂𝐶A𝐴(cid:89)(cid:28)∠(cid:98)𝐶𝐴(cid:48)𝐸(cid:24)(cid:25)(cid:114)(cid:132)𝑂(cid:201)𝐴 A𝐴O𝐶B=120°(cid:114)(cid:202)(cid:203)(cid:204) CAB(cid:28)(cid:205)
(cid:95)(cid:101)(cid:81) (cid:205)(cid:71)(cid:114)AC(cid:206)(cid:162)⊙(cid:148)(cid:51) O(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:83) ∠ ∠
⊙(cid:15)(cid:116)(cid:117)4-2(cid:19)(cid:151)(cid:153)(cid:134)(cid:139)(cid:114) (cid:57) (cid:28)(cid:24)(cid:36)(cid:114)(cid:207)(cid:50)(cid:208)(cid:24)(cid:25) (cid:57) (cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:114)(cid:209)(cid:207)(cid:198)(cid:199)(cid:28)(cid:98)(cid:94)(cid:48)(cid:49)
(cid:57) (cid:83)(cid:86)(cid:210)(cid:98)(cid:94)(cid:48)(cid:49)𝐴(cid:211)𝐵 (cid:146)⊙(cid:87)𝑂 𝐴𝑇 ⊙𝑂
(cid:15)(cid:116)(cid:117)4-3(cid:19)(cid:132)(cid:134)(cid:114)(cid:89)C(cid:151)(cid:152) (cid:51)(cid:24)(cid:36)(cid:28)(cid:35)(cid:27)(cid:106) =6(cid:114) =30°(cid:114)(cid:89)D(cid:151)(cid:25)(cid:212) (cid:106)(cid:74)(cid:75)(cid:114)(cid:89)E(cid:26)(cid:89)D
(cid:3)(cid:81) (cid:191)(cid:213)(cid:114) (cid:81)(cid:89)D𝐴(cid:114)𝐵(cid:79)(cid:93) (cid:28)(cid:214)(cid:215)(cid:25)𝐴(cid:81)𝐵(cid:89)F(cid:114)∠(cid:204)𝐴𝐵𝐶(cid:215)(cid:205)(cid:51) 𝐴𝐵 (cid:71)(cid:114) (cid:26)(cid:35)(cid:27)(cid:70)(cid:52)(cid:83)
𝐴𝐶 𝐷𝐹⊥𝐷𝐸 𝐸𝐶 𝐴𝐷 𝐸𝐹
【题型5 连半径证明某直线是圆的切线】
(cid:15)(cid:102)5(cid:19)(cid:86)24-25(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)·(cid:107)(cid:108)(cid:216)(cid:217)(cid:3)·(cid:111)(cid:112)(cid:87)(cid:132)(cid:134)(cid:10)(cid:101)(cid:218) (cid:114)(cid:152)(cid:218) (cid:51)(cid:24)(cid:36)(cid:58) (cid:93)(cid:219)(cid:144) (cid:81)P(cid:114)
(cid:114)(cid:59)(cid:196)(cid:51)E(cid:83)(cid:34)(cid:54)(cid:10) (cid:57) (cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:83) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐵𝐶
𝑃𝐸⊥𝐴𝐶 𝑃𝐸 ⊙𝑂
(cid:15)(cid:116)(cid:117)5-1(cid:19)(cid:86)2025·(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:223)·(cid:98)(cid:224)(cid:87)(cid:132)(cid:134)(cid:114) (cid:158)(cid:197)(cid:81) (cid:114) (cid:57) (cid:106)(cid:98)(cid:89)(cid:114) = (cid:83) (cid:57) (cid:77)(cid:98)(cid:89)(cid:114)
= (cid:114) = (cid:114)(cid:53)(cid:197) (cid:83)△𝐴𝐵𝐶 ⊙𝑂 𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐸 ⊙𝑂
∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐶𝐴𝐷 ∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐴𝐶𝐵 𝐵𝐸
(1)(cid:113) =2(cid:114) =6(cid:114)(cid:34) (cid:28)(cid:215)(cid:225)
𝐶𝐷 𝐷𝐸 𝐵𝐷(2)(cid:34)(cid:54)(cid:10) (cid:57) (cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:83)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)5-2𝐸(cid:19)𝐵(cid:86)2⊙02𝑂5·(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:141)·(cid:229)(cid:224)(cid:87)(cid:132)(cid:134)(cid:114) (cid:57) (cid:28)(cid:77)(cid:197)(cid:27) (cid:28)(cid:24)(cid:36)(cid:114)(cid:89)D(cid:51) (cid:106)(cid:98)(cid:89)(cid:114)(cid:73)(cid:89)D
(cid:58) (cid:81)(cid:89)D(cid:114)(cid:93) (cid:28)(cid:214)(cid:215)(cid:25)(cid:81)(cid:89)E(cid:114)(cid:89)𝐴𝐵F(cid:51)△(cid:25)𝐴(cid:212)𝐵𝐶 (cid:106)(cid:98)(cid:89)(cid:114)⊙(cid:80)𝑂 = (cid:83)(cid:34)(cid:54)(cid:10)𝑂𝐵(cid:57) (cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:225)
𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐷𝐸 𝐶𝐹 𝐸𝐹 𝐶𝐹 ⊙𝑂
(cid:15)(cid:116)(cid:117)5-3(cid:19)(cid:86)2025(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:153)·(cid:230)(cid:123)·(cid:231)(cid:20)(cid:232)(cid:233)(cid:87)(cid:132)(cid:134)(cid:114) (cid:51) (cid:28)(cid:24)(cid:36)(cid:114)(cid:234)(cid:144)(cid:164) (cid:57)(cid:235)(cid:164)(cid:114)(cid:53)(cid:197) (cid:114)(cid:214)
(cid:215) (cid:93) (cid:81)E(cid:114)(cid:53)(cid:197) (cid:83)(cid:34)(cid:54)(cid:10) (cid:51) (cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:83)𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝑂𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷
𝐴𝐷 ⊙𝑂 𝐶𝐸 𝐶𝐸 ⊙𝑂
【题型6 作垂直证明某直线是圆的切线】
(cid:15)(cid:102)6(cid:19)(cid:132)(cid:134)(cid:114)O(cid:51)(cid:156)(cid:90)(cid:164)ABCD(cid:191)(cid:188)(cid:25)(cid:106)(cid:98)(cid:89)(cid:114)(cid:152)O(cid:51)(cid:27)(cid:41)(cid:114)OA(cid:28)(cid:215)(cid:51)(cid:35)(cid:36)(cid:28) O(cid:26)CD(cid:70)(cid:52)(cid:81)(cid:89)M(cid:114)
⊙
(cid:86)1(cid:87)(cid:34)(cid:54)(cid:10)BC(cid:26) O(cid:70)(cid:52)(cid:225)
(cid:86)2(cid:87)(cid:113)(cid:156)(cid:90)(cid:164)(cid:28)(cid:144)⊙(cid:215)(cid:51)1(cid:114)(cid:34) O(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:83)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)6-1(cid:19)(cid:132)(cid:134)(cid:114) (cid:57) ⊙ (cid:28)(cid:188)(cid:68)(cid:181)(cid:25)(cid:114) =90°(cid:114)(cid:152)(cid:89) (cid:51)(cid:27)(cid:41)(cid:114) (cid:51)(cid:35)(cid:36)(cid:169)(cid:27)(cid:114)(cid:73)(cid:89) (cid:58)
(cid:28)(cid:59)(cid:25)(cid:114)(cid:93) (cid:28)(cid:214)(cid:215)𝐴𝑂(cid:25)(cid:81)𝑅(cid:89)𝑡△(cid:83)𝐴𝐵(cid:34)𝐶(cid:54)(cid:10) (cid:57) ∠(cid:28)𝐴(cid:52)𝐶𝐵(cid:25) 𝑂 𝑂𝐶 𝐵 𝐴𝑂
𝐴𝑂 𝐷 𝐴𝐵 ⊙𝑂
(cid:15)(cid:116)(cid:117)6-2(cid:19)(cid:132)(cid:134)(cid:114)(cid:151)Rt ABC(cid:139)(cid:114) B(cid:165)90°(cid:114) BAC(cid:28)(cid:68)(cid:181)(cid:25)(cid:93)BC(cid:81)(cid:89)D(cid:114)E(cid:51)AB(cid:106)(cid:28)(cid:98)(cid:89)(cid:114)DE(cid:165)
DC(cid:114)(cid:152)D(cid:51)(cid:27)(cid:41)(cid:114)DB(cid:215)△(cid:51)(cid:35)(cid:36)(cid:58) ∠D(cid:83) ∠
⊙(cid:86)1(cid:87)(cid:34)(cid:54)(cid:10)AC(cid:57) D(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:225)
(cid:86)2(cid:87)(cid:34)(cid:25)(cid:212)AC(cid:28)⊙(cid:215)(cid:83)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)6-3(cid:19)(cid:132)(cid:134)1(cid:114) (cid:51)(cid:101)(cid:218)(cid:229)(cid:188)(cid:164)(cid:114) (cid:57)(cid:219)(cid:144) (cid:28)(cid:139)(cid:89)(cid:114)(cid:218) (cid:26) (cid:70)(cid:52)(cid:81)(cid:89) (cid:114)(cid:219) (cid:93) (cid:81)(cid:89)
(cid:114) (cid:83) △𝐴𝐵𝐶 𝑂 𝐵𝐶 𝐴𝐵 □𝑂 𝐷 𝐵𝐶 ⊙𝑂
𝐸 𝐹
(cid:86)1(cid:87)(cid:34)(cid:54)(cid:10) (cid:57) (cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:225)
(cid:86)2(cid:87)(cid:132)(cid:134)2(cid:114)𝐴𝐶(cid:53)(cid:197)⊙𝑂(cid:114) (cid:114) (cid:93) (cid:81)(cid:89) (cid:114)(cid:89) (cid:57)(cid:236) (cid:28)(cid:139)(cid:89)(cid:114)(cid:113) =2(cid:114) =4(cid:114)(cid:34) (cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:83)
【题型7 切线性质 𝐴 的 𝐹 应 𝐷 用 𝐹 】 𝐴𝐹 ⊙𝑂 𝐺 𝐷 𝐸𝐺 𝐴𝐷 𝐴𝐹 ⊙𝑂
(cid:15)(cid:102)7(cid:19)(cid:86)24-25(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)·(cid:123)(cid:237)(cid:238)(cid:239)·(cid:240)(cid:212)(cid:232)(cid:233)(cid:87)(cid:132)(cid:134)(cid:114) (cid:26) (cid:28)(cid:144) (cid:70)(cid:52)(cid:114)(cid:52)(cid:89)(cid:51)B(cid:83) (cid:241)
(cid:242)(cid:89) B (cid:243)(cid:244)(cid:71)(cid:245)(cid:90)(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:208)(cid:42) (cid:114)(cid:50)(cid:89) (cid:249)(cid:151) ⊙𝑂(cid:106)(cid:114)△(cid:144)𝑂𝐴𝐵(cid:93)(cid:25)𝐴(cid:212)𝐵 (cid:81)(cid:89)C(cid:83)(cid:113) =2△5°(cid:114)𝑂𝐴(cid:115)𝐵
′ ′ ′ ′ ′
= °(cid:83) △𝑂 𝐴 𝐵 𝑂 ⊙𝑂 𝐴 𝐵 𝐴𝑂 ∠𝐴
∠𝑂𝐶𝐵
(cid:15)(cid:116)(cid:117)7-1(cid:19)(cid:86)2025·(cid:250)(cid:251)·(cid:139)(cid:252)(cid:253)(cid:20)(cid:87)(cid:132)(cid:134)(cid:114) (cid:28)(cid:254)(cid:89) (cid:114) (cid:151) (cid:106)(cid:114)(cid:27)(cid:41) (cid:151)(cid:144) (cid:106)(cid:114)
=120°(cid:114) (cid:26) (cid:70)(cid:52)(cid:81)(cid:89) (cid:114)(cid:53)(cid:197) △(cid:83)𝐴𝐵𝐶 𝐴 𝐶 ⊙𝑂 𝑂 𝐴𝐵
∠𝐴𝐶𝐵 𝐵𝐶 ⊙𝑂 𝐶 𝑂𝐶(1)(cid:34) (cid:28)(cid:205)(cid:95)(cid:225)
(2)(cid:34)(cid:54)∠𝐴(cid:10)𝐶𝑂 = (cid:83)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)7-2𝐴(cid:19)𝐶(cid:86)2𝐵0𝐶25·(cid:255)(cid:256)·(cid:257)(cid:224)(cid:87)(cid:132)(cid:134)(cid:114)(cid:151) (cid:139)(cid:114) = (cid:114) (cid:72)(cid:73)(cid:89)C(cid:80)(cid:26) (cid:70)(cid:52)(cid:81)(cid:89)B(cid:114)(cid:93) (cid:81)
(cid:89)D(cid:114)(cid:53)(cid:197) (cid:114) (cid:114) (cid:83)(cid:113) =40°△(cid:114)𝐴(cid:115)𝐵𝐶 (cid:28)𝐴𝐶(cid:205)(cid:95)𝐵(cid:57)𝐶(cid:86) ⊙ (cid:87)𝑂 𝐴𝐵 𝐴𝐶
𝐵𝐷 𝑂𝐶 𝑂𝐷 ∠𝐴𝐵𝐷 ∠𝐶𝑂𝐷
A(cid:83)40° B(cid:83)50° C(cid:83)60° D(cid:83)70°
(cid:15)(cid:116)(cid:117)7-3(cid:19)(cid:86)24-25(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)·(cid:250)(cid:258)(cid:259)(cid:260)·(cid:111)(cid:112)(cid:87)(cid:132)(cid:134)(cid:114)(cid:32)(cid:33) (cid:114)(cid:152) (cid:51)(cid:24)(cid:36)(cid:28) (cid:26) (cid:114) (cid:181)(cid:182)(cid:93)(cid:81)
(cid:89)D(cid:114)E(cid:114) (cid:26)(cid:73)E(cid:89)(cid:28)(cid:52)(cid:25) (cid:59)(cid:24)(cid:114)(cid:59)(cid:196)(cid:51)F(cid:83) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐵𝐶 𝐴𝐶
𝐴𝐹 𝐸𝐹
(1)(cid:34)(cid:54)(cid:10) (cid:68)(cid:181) (cid:225)
(2)(cid:204) =𝐴𝐶 (cid:71)(cid:114)∠(cid:34)𝐵𝐴(cid:54)𝐹(cid:10) = (cid:83)
【题型
𝐵𝐶8 𝐴
切
𝐶
线的判定和性
𝐶𝐷
质的
𝐶
综
𝐸
合应用】
(cid:15)(cid:102)8(cid:19)(cid:86)24-25(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)·(cid:123)(cid:237)(cid:251)(cid:260)·(cid:111)(cid:112)(cid:87)(cid:132)(cid:134)(cid:114) (cid:57) (cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:114) (cid:51)(cid:52)(cid:89)(cid:114)(cid:73)(cid:89) (cid:58) (cid:93) (cid:81)
(cid:89) (cid:114)(cid:53)(cid:197) (cid:114)(cid:261)(cid:262)(cid:63)(cid:263)(cid:264)(cid:205)(cid:28)(cid:24)(cid:265)(cid:114)(cid:243)(cid:153)(cid:154)(cid:207)(cid:34)𝐴(cid:169)𝐵(cid:134)(cid:86)⊙(cid:266)𝑂(cid:267)(cid:58)(cid:134)(cid:268)(cid:269)𝐵(cid:114)(cid:200)(cid:210)(cid:58)(cid:91)(cid:87)(cid:83)𝐵 𝐵𝐶∥𝑂𝐴 ⊙𝑂
𝐶 𝑂𝐶(1)(cid:151)(cid:134)1(cid:139)(cid:58) (cid:28)(cid:68)(cid:181)(cid:25) (cid:225)
(2)(cid:151)(cid:134)2(cid:139)(cid:58)∠𝐶 (cid:28)(cid:52)(cid:25)𝐶𝐷(cid:86)(cid:52)(cid:89) (cid:200)(cid:26) (cid:255)(cid:67)(cid:87)(cid:83)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)8-1(cid:19)(cid:132)⊙(cid:134)𝑂(cid:114)AB(cid:57)𝐴𝐸O(cid:28)(cid:24)(cid:36)𝐸(cid:114)(cid:270)𝐵CD AB(cid:81)(cid:89)E(cid:114)(cid:80)DC(cid:165)AD(cid:83)(cid:73)(cid:89)A(cid:58) O(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:114)(cid:73)(cid:89)C(cid:58)
DA(cid:28)(cid:68)(cid:173)(cid:25)(cid:114)(cid:183)(cid:24)(cid:25)(cid:93)(cid:81)⊙(cid:89)F(cid:114)FC(cid:28)(cid:214)(cid:215)(cid:25)⊥(cid:93)AB(cid:28)(cid:214)(cid:215)(cid:25)(cid:81)(cid:89)G(cid:83) ⊙
(1)(cid:34)(cid:54)(cid:10)FG(cid:26) O(cid:70)(cid:52)(cid:225)
(2)(cid:53)(cid:197)EF(cid:114)(cid:113)⊙AF(cid:165)2(cid:114)(cid:34)EF(cid:28)(cid:215)(cid:83)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)8-2(cid:19)(cid:32)(cid:33)(cid:10)(cid:132)(cid:134)(cid:114) (cid:73)(cid:156)(cid:90)(cid:164) (cid:28)(cid:254)(cid:89) (cid:114)(cid:80)(cid:26) (cid:144)(cid:70)(cid:52)(cid:81)(cid:89) (cid:83)(cid:89) (cid:57) (cid:26) (cid:28)(cid:93)(cid:89)(cid:114)
⊙𝑂 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴,𝐵 1𝐶𝐷 𝐸 𝐹 𝐵𝐶 ⊙𝑂
(cid:53)(cid:197) (cid:114) (cid:114) (cid:114)(cid:89) (cid:57) (cid:214)(cid:215)(cid:25)(cid:106)(cid:98)(cid:89)(cid:114)(cid:53)(cid:197) (cid:114)(cid:80) + =90°(cid:83)
2
𝑂𝐵 𝑂𝐹 𝐴𝐹 𝐺 𝐴𝐵 𝐹𝐺 ∠𝐺 ∠𝐵𝑂𝐹
(1)(cid:34)(cid:54)(cid:10) (cid:57) (cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:225)
(2)(cid:132)(cid:201)(cid:156)(cid:90)𝐹𝐺(cid:164)(cid:144)⊙(cid:215)𝑂(cid:51)8(cid:114)(cid:34) (cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:83)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)8-3(cid:19)(cid:132)(cid:134)(cid:114)(cid:32)(cid:33) (cid:57)⊙𝑂 (cid:106)(cid:98)(cid:89)(cid:114) (cid:57)(cid:24)(cid:36)(cid:114) (cid:28)(cid:68)(cid:181)(cid:25)(cid:93) (cid:81)(cid:89) (cid:114) (cid:28)(cid:52)(cid:25) (cid:93) (cid:28)
(cid:214)(cid:215)(cid:25)(cid:81)(cid:89) (cid:114)(cid:53)(cid:197) (cid:114)𝐷 (cid:83)⊙𝑂 𝐴𝐵 ∠𝐵𝐴𝐷 ⊙𝑂 𝐸 ⊙𝑂 𝐵𝐶 𝑂𝐸
𝐶 𝑂𝐷 𝐶𝐷(1)(cid:34)(cid:54)(cid:10) (cid:51) (cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:83)
(2)(cid:113) =𝐶2𝐷(cid:114) ⊙𝑂
①(cid:113)𝐴𝐵 (cid:114)(cid:115) =________(cid:83)
②(cid:58)𝐴𝐸∥𝐶𝐷(cid:3)(cid:81)𝐵(cid:24)𝐶(cid:25) (cid:191)(cid:213)(cid:28) (cid:114)(cid:53)(cid:197) (cid:114) (cid:114)(cid:204)(cid:234)(cid:144)(cid:164) (cid:57)(cid:271)(cid:164)(cid:71)(cid:114)(cid:34) (cid:28)(cid:215)(cid:83)
【题型
△9𝐴 𝐸
求
𝑂
圆平移到
𝑂
与
𝐸
直线相切
△
时
𝐹𝐸
圆
𝑂
心经过的
𝐵𝐹
距离
𝐵
】
𝐸 𝐵𝐸𝑂𝐹 𝐶𝐸
(cid:15)(cid:102)9(cid:19)(cid:132)(cid:134)(cid:114)(cid:24)(cid:25) (cid:114) (cid:70)(cid:93)(cid:81)(cid:89)O(cid:114) =30°(cid:114)(cid:35)(cid:36)(cid:51)1cm(cid:28) (cid:28)(cid:27)(cid:41)(cid:151)(cid:24)(cid:25) (cid:106)(cid:114)(cid:272)(cid:273)(cid:71)(cid:114)
=6cm(cid:83)(cid:132)(cid:201) 𝐴(cid:152)𝐵1c𝐶m𝐷/s(cid:28)(cid:274)(cid:205)(cid:246)(cid:275)(cid:74)∠(cid:75)𝐴𝑂(cid:114)𝐶(cid:202)(cid:203)(cid:204) (cid:28)(cid:74)(cid:75)(cid:71)(cid:276)⊙(s)𝑃(cid:277)(cid:196)(cid:48)(cid:49) 𝐴 𝐵 (cid:71)(cid:114)
𝑃𝑂 (cid:26)(cid:24)(cid:25) (cid:70)⊙(cid:93)(cid:83)𝑃 ⊙𝑃 𝑡
⊙𝑃 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:116)(cid:117)9-1(cid:19)(cid:86)24-25(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)·(cid:234)(cid:278)(cid:251)(cid:279)·(cid:111)(cid:139)(cid:87)(cid:132)(cid:134)(cid:114)(cid:151)(cid:68)(cid:184)(cid:24)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:31) (cid:139)(cid:114)(cid:35)(cid:36)(cid:51)2(cid:28) (cid:28)(cid:27)(cid:41)P
(cid:28)(cid:189)(cid:190)(cid:51)( )(cid:114)(cid:241) P(cid:280)x(cid:171)(cid:156)(cid:90)(cid:246)(cid:68)(cid:69)(cid:114)(cid:50) (cid:26)y(cid:171)(cid:70)(cid:52)(cid:114)(cid:115)(cid:68)(cid:69)𝑥(cid:28)𝑂𝑦(cid:43)(cid:44)(cid:51)(cid:86) (cid:87) ⊙𝑃
−3,0 ⊙ ⊙𝑃
A(cid:83)1 B(cid:83)1(cid:45)5 C(cid:83)3 D(cid:83)3(cid:45)5
(cid:15)(cid:116)(cid:117)9-2(cid:19)(cid:132)(cid:134)(cid:114) (cid:139)(cid:114) =90°(cid:114) =6(cid:114) =8(cid:114)(cid:35)(cid:36)(cid:51)1(cid:28) (cid:26) (cid:114) (cid:70)(cid:52)(cid:114)(cid:204) (cid:280)(cid:144)
(cid:68)(cid:69)(cid:281)(cid:26) (cid:70)(cid:52)𝑅(cid:71)𝑡(cid:114)𝛥𝐴(cid:115)𝐶𝐵 (cid:68)∠(cid:69)𝐶 (cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:51)𝐴(cid:86)𝐶 (cid:87) 𝐵𝐶 ⊙𝑂 𝐴𝐶 𝐵𝐶 ⊙𝑂
𝐶𝐵 𝐴𝐵 ⊙𝑂A(cid:83)3 B(cid:83)4 C(cid:83)5 D(cid:83)6
(cid:15)(cid:116)(cid:117)9-3(cid:19)(cid:132)(cid:134)(cid:114)(cid:151)(cid:144)(cid:215)(cid:51)6cm(cid:28)(cid:271)(cid:164)ABCD(cid:139)(cid:114) =60°(cid:114)(cid:35)(cid:36)(cid:51)1cm(cid:28) P(cid:280)(cid:282)(cid:170)(cid:25)AC(cid:152)1cm/s
(cid:28)(cid:274)(cid:205)(cid:74)(cid:75)(cid:114)(cid:74)(cid:75)(cid:28)(cid:71)(cid:276)(cid:51)t(cid:114) =1cm(cid:83) (cid:115)(cid:75)(cid:89)P∠𝐵(cid:74)𝐴(cid:75)𝐷(cid:71)(cid:276) (cid:86)(cid:283)(cid:29)(cid:10)s(cid:87)(cid:71)⊙(cid:114) P(cid:26)(cid:271)(cid:164)ABCD(cid:28)(cid:144)
(cid:284)(cid:96)(cid:93)(cid:89)(cid:83) 𝑃𝐴 ⊙
【题型10 求直线平移到与圆相切时运动的距离】
(cid:15)(cid:102)10(cid:19)(cid:86)24-25(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)·(cid:123)(cid:16)(cid:251)(cid:285)·(cid:240)(cid:212)(cid:232)(cid:233)(cid:87)(cid:32)(cid:33) (cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:51)5cm(cid:114)(cid:89) (cid:42)(cid:24)(cid:25) (cid:28)(cid:43)(cid:44) (cid:51)7cm(cid:83)(cid:286)
(cid:24)(cid:25) (cid:246)(cid:106)(cid:68)(cid:69) cm(cid:114)(cid:206)(cid:162)(cid:50) (cid:26) (cid:70)(cid:52)? ⊙𝑂 𝑂 𝑙 𝑂𝑃
𝑙 𝑙 ⊙𝑂
(cid:15)(cid:116)(cid:117)10-1(cid:19)(cid:132)(cid:134)(cid:114) O(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:51)4 cm(cid:114)(cid:24)(cid:25)l OA(cid:114)(cid:59)(cid:196)(cid:51)O(cid:114)(cid:115)(cid:24)(cid:25)l(cid:280)(cid:170)(cid:25)OA(cid:90)(cid:246)(cid:68)(cid:69) cm(cid:71)(cid:26)
O(cid:70)(cid:52)(cid:83) ⊙ ⊥
⊙
(cid:15)(cid:116)(cid:117)10-2(cid:19)(cid:132)(cid:134)(cid:114) (cid:35)(cid:36) =10cm(cid:114)(cid:24)(cid:25) (cid:114)(cid:59)(cid:196)(cid:51)H(cid:114)(cid:80)l(cid:93) (cid:81)A(cid:114)B(cid:183)(cid:89)(cid:114) =16cm(cid:114)
(cid:241)(cid:24)(cid:25)l(cid:280) (cid:159)(cid:151)(cid:24)(cid:25)⊙(cid:246)𝑂(cid:153)(cid:68)(cid:69)𝑂𝐶(cid:114)(cid:113)l(cid:287)(cid:288)(cid:26) 𝑙⊥(cid:70)𝑂(cid:52)𝐶 (cid:71)(cid:114)(cid:115)(cid:68)(cid:69)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:51)⊙(cid:86)𝑂 (cid:87) 𝐴𝐵
𝑂𝐶 ⊙𝑂A(cid:83)2cm B(cid:83)4cm C(cid:83)6cm D(cid:83)16cm
(cid:15)(cid:116)(cid:117)10-3(cid:19)(cid:132)(cid:134)(cid:114)(cid:24)(cid:25) (cid:114) (cid:26) (cid:65) (cid:181)(cid:182)(cid:70)(cid:52)(cid:81)(cid:89) (cid:65)(cid:89) (cid:83)(cid:89) (cid:65)(cid:89) (cid:181)(cid:182)(cid:57) (cid:65) (cid:106)(cid:28)(cid:75)(cid:89)(cid:114)
(cid:280) (cid:65) (cid:68)(cid:69)(cid:83) (cid:28)(cid:35)(cid:36)𝑙1 (cid:51)∥𝑙1 2 (cid:114)⊙1𝑂=6𝑙0 1 °(cid:83)𝑙(cid:153) 2 (cid:154)(cid:155)(cid:85)(cid:289)(cid:290)(cid:28)𝐴(cid:57)(cid:86) 𝐵 (cid:87)(cid:83)𝑀 𝑁 𝑙1 𝑙2 𝑀𝑁
𝑙1 𝑙2
⊙𝑂 ∠
4 3
A(cid:83) = B(cid:83)(cid:113) (cid:26) (cid:70)(cid:52)(cid:114)(cid:115) = 3
3
C(cid:83)(cid:113)𝑀𝑁 =90°(cid:114)(cid:115) (cid:26) (cid:70)(cid:52) D(cid:83) (cid:65)𝑀𝑁(cid:28)(cid:43)⊙(cid:44)𝑂(cid:51)2 𝐴𝑀
∠𝑀𝑂𝑁 𝑀𝑁 ⊙𝑂
𝑙1 𝑙2
