专题 2.1 圆（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:19)................................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:19)........................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:29)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:19)............................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:29)(cid:22)(cid:38)(cid:3)(cid:23)(cid:39)(cid:40)(cid:19)....................................................................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:33)(cid:34)(cid:22)(cid:23)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:19)..................................................................................................................11
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:33)(cid:34)(cid:22)(cid:23)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:35)(cid:47)(cid:46)(cid:19)..................................................................................................................14
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:33)(cid:34)(cid:22)(cid:23)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:35)(cid:48)(cid:49)(cid:19)..................................................................................................................18
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:33)(cid:34)(cid:22)(cid:23)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:19)..................................................................................................................22
知识点1 圆的定义及表示方法
1. (cid:52)(cid:53)(cid:10)
(cid:54)1(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:43)(cid:52)(cid:53)(cid:10)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)OA(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:52)(cid:23)(cid:59)(cid:60)(cid:70)(cid:28)O(cid:71)(cid:72)(cid:59)(cid:73)(cid:64)(cid:74)(cid:59)(cid:60)(cid:70)(cid:28)A(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:23)(cid:78)(cid:76)
(cid:79)(cid:80)(cid:22)(cid:64)(cid:81)(cid:69)(cid:52)(cid:23)(cid:70)(cid:28)O(cid:79)(cid:80)(cid:22)(cid:82)(cid:64)(cid:65)(cid:66)OA(cid:79)(cid:80)(cid:36)(cid:37)(cid:83)
“(cid:22)”(cid:84)(cid:85)“(cid:22)(cid:73)”(cid:54)(cid:59)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:65)(cid:55)(cid:90)(cid:91)(cid:84)“(cid:22)(cid:62)”(cid:83)
(cid:54)2(cid:55)(cid:92)(cid:93)(cid:43)(cid:52)(cid:53)(cid:10)(cid:94)(cid:22)(cid:82)(cid:95)O(cid:96)(cid:36)(cid:37)(cid:95)r(cid:23)(cid:22)(cid:97)(cid:77)(cid:84)(cid:75)(cid:38)(cid:98)(cid:52)(cid:28)O(cid:23)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:52)(cid:47)r(cid:23)(cid:28)(cid:23)(cid:92)(cid:93)(cid:83)
(cid:22)(cid:82)(cid:10)(cid:103)(cid:52)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:64)
(cid:103)(cid:52)(cid:59)(cid:60)(cid:22)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:60)(cid:105)(cid:107)
(cid:36)(cid:37)(cid:10)(cid:103)(cid:52)(cid:22)(cid:23)(cid:108)(cid:109)(cid:83)
2. (cid:22)(cid:23)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)
(cid:116)(cid:28)O(cid:95)(cid:22)(cid:82)(cid:23)(cid:22)(cid:64)(cid:117)(cid:118)“ O”(cid:64)(cid:121)(cid:118)“(cid:22)O”(cid:83)
3. (cid:22)(cid:23)(cid:123)(cid:43) ⊙
(cid:54)1(cid:55)(cid:22)(cid:124)(cid:125)(cid:28)(cid:98)(cid:52)(cid:28)(cid:54)(cid:22)(cid:82)O(cid:55)(cid:23)(cid:99)(cid:100)(cid:126)(cid:101)(cid:102)(cid:52)(cid:47)(cid:54)(cid:36)(cid:37)r(cid:55)(cid:127)
(cid:54)2(cid:55)(cid:75)(cid:38)(cid:98)(cid:22)(cid:82)(cid:23)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:36)(cid:37)(cid:23)(cid:28)(cid:126)(cid:58)(cid:128)(cid:59)(cid:60)(cid:22)(cid:124)(cid:127)(cid:54)3(cid:55)(cid:22)(cid:124)(cid:129)(cid:130)(cid:106)(cid:28)(cid:131)(cid:22)(cid:82)(cid:132)(cid:77)(cid:23)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:84)(cid:101)(cid:134)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:83)
知识点2 点与圆的位置关系
(cid:135) O(cid:23)(cid:36)(cid:37)(cid:95)r(cid:64)(cid:28)P(cid:98)(cid:22)(cid:82)(cid:23)(cid:99)(cid:100)(cid:95)d(cid:64)(cid:136)(cid:28)(cid:29)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:95)
点 ⊙ 在圆内 < ；
点 在圆上 = ；
点𝑃在圆外⟺𝑑>𝑟(cid:83)
𝑃 ⟺𝑑 𝑟
𝑃 ⟺𝑑 𝑟
知识点3 圆的有关概念
1. (cid:137)(cid:29)(cid:138)(cid:37)
(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:124)(cid:129)(cid:130)(cid:106)(cid:28)(cid:23)(cid:65)(cid:66)(cid:79)(cid:80)(cid:137)(cid:54)(cid:141)(cid:78)(cid:142)AB(cid:55)(cid:64)(cid:143)(cid:144)(cid:22)(cid:82)(cid:23)(cid:137)(cid:79)(cid:80)(cid:138)(cid:37)(cid:54)(cid:141)(cid:78)(cid:142)AC(cid:55)(cid:83)
2. (cid:145)(cid:96)(cid:36)(cid:22)(cid:96)(cid:146)(cid:145)(cid:96)(cid:147)(cid:145)(cid:96)(cid:22)(cid:82)(cid:45)
(cid:54)1(cid:55)(cid:22)(cid:124)(cid:129)(cid:130)(cid:106)(cid:28)(cid:148)(cid:23)(cid:149)(cid:150)(cid:79)(cid:80)(cid:22)(cid:145)(cid:64)(cid:151)(cid:152)(cid:145)(cid:83)
(cid:54)2(cid:55)(cid:22)(cid:23)(cid:129)(cid:130)(cid:59)(cid:86)(cid:138)(cid:37)(cid:23)(cid:106)(cid:60)(cid:70)(cid:28)(cid:153)(cid:22)(cid:150)(cid:77)(cid:106)(cid:86)(cid:145)(cid:64)(cid:154)(cid:59)(cid:86)(cid:145)(cid:126)(cid:79)(cid:80)(cid:36)(cid:22)(cid:83)
(cid:147)(cid:145)(cid:10)(cid:108)(cid:102)(cid:36)(cid:22)(cid:23)(cid:145)(cid:79)(cid:80)(cid:147)(cid:145)(cid:64)(cid:34)(cid:133)(cid:60)(cid:28)(cid:112)(cid:113)(cid:54)(cid:141)(cid:78)(cid:142) )
(cid:54)3(cid:55)(cid:145)
(cid:146)(cid:145)(cid:10)(cid:109)(cid:102)(cid:36)(cid:22)(cid:23)(cid:145)(cid:79)(cid:80)(cid:146)(cid:145)(cid:64)(cid:34)(cid:106)(cid:60)(cid:28)(cid:112)(cid:113)(cid:54)(cid:141)(cid:78)(cid:142) )
𝐴𝐵𝐶
(cid:54)4(cid:55)(cid:22)(cid:82)(cid:45)(cid:10)(cid:155)(cid:28)(cid:58)(cid:22)(cid:82)(cid:23)(cid:45)(cid:79)(cid:80)(cid:22)(cid:82)(cid:45)(cid:83)
𝐴𝐵
3. (cid:128)(cid:82)(cid:22)(cid:96)(cid:101)(cid:22)(cid:29)(cid:101)(cid:145)
(cid:22)(cid:82)(cid:156)(cid:128)(cid:64)(cid:36)(cid:37)(cid:91)(cid:156)(cid:101)(cid:23)(cid:106)(cid:60)(cid:22)(cid:79)(cid:80)(cid:128)(cid:82)(cid:22)(cid:83)
(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:93)(cid:23)(cid:106)(cid:60)(cid:22)(cid:79)(cid:80)(cid:101)(cid:22)(cid:64)(cid:36)(cid:37)(cid:156)(cid:101)(cid:23)(cid:106)(cid:60)(cid:22)(cid:84)(cid:101)(cid:22)(cid:83)(cid:58)(cid:128)(cid:22)(cid:160)(cid:101)(cid:22)(cid:142)(cid:64)(cid:157)(cid:158)(cid:161)(cid:156)(cid:159)(cid:93)(cid:23)(cid:145)(cid:79)(cid:80)(cid:101)(cid:145)(cid:83)
(cid:128)(cid:22)(cid:160)(cid:101)(cid:22)(cid:23)(cid:36)(cid:37)(cid:156)(cid:101)(cid:83)
【题型1 圆的认识】
(cid:15)(cid:162)1(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:166)(cid:16)(cid:167)(cid:168)·(cid:169)(cid:11)(cid:170)(cid:171)(cid:55)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:115)(cid:10)①(cid:128)(cid:59)(cid:22)(cid:124)(cid:23)(cid:28)(cid:98)(cid:22)(cid:82)(cid:23)(cid:99)(cid:100)(cid:156)(cid:101)(cid:127)②(cid:141)(cid:175)(cid:176)
(cid:177)(cid:60)(cid:28)(cid:98)(cid:59)(cid:60)(cid:52)(cid:28)(cid:23)(cid:99)(cid:100)(cid:156)(cid:101)(cid:64)(cid:136)(cid:178)(cid:177)(cid:60)(cid:28)(cid:179)(cid:22)(cid:127)③(cid:36)(cid:37)(cid:103)(cid:52)(cid:180)(cid:64)(cid:22)(cid:181)(cid:103)(cid:52)(cid:180)(cid:64)(cid:81)(cid:142)(cid:182)(cid:103)(cid:23)(cid:84)(cid:54) (cid:55)
A(cid:83)①② B(cid:83)①③ C(cid:83)②③ D(cid:83)①②③
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)A
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:170)(cid:186)(cid:180)(cid:22)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:64)(cid:36)(cid:37)(cid:23)(cid:39)(cid:40)(cid:116)(cid:187)(cid:103)(cid:52)(cid:59)(cid:60)(cid:22)(cid:23)(cid:41)(cid:42)(cid:105)(cid:107)(cid:64)(cid:188)(cid:189)(cid:41)(cid:42)(cid:39)(cid:40)(cid:84)(cid:190)(cid:191)(cid:42)(cid:20)(cid:23)(cid:3)
(cid:192)(cid:83)(cid:193)(cid:194)(cid:22)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:64)(cid:36)(cid:37)(cid:64)(cid:103)(cid:52)(cid:59)(cid:60)(cid:22)(cid:23)(cid:41)(cid:42)(cid:105)(cid:107)(cid:195)(cid:196)(cid:26)(cid:52)(cid:197)(cid:198)(cid:83)
(cid:15)(cid:199)(cid:190)(cid:19)(cid:190)(cid:10)(cid:128)(cid:59)(cid:22)(cid:124)(cid:23)(cid:28)(cid:98)(cid:22)(cid:82)(cid:23)(cid:99)(cid:100)(cid:156)(cid:101)(cid:64)(cid:200)(cid:126)(cid:101)(cid:102)(cid:36)(cid:37)(cid:64)(cid:201)①(cid:182)(cid:103)(cid:127)(cid:141)(cid:175)(cid:176)(cid:177)(cid:60)(cid:28)(cid:98)(cid:59)(cid:60)(cid:52)(cid:28)(cid:23)(cid:99)(cid:100)(cid:156)(cid:101)(cid:64)(cid:136)(cid:178)(cid:177)(cid:60)(cid:28)(cid:179)(cid:22)(cid:64)(cid:201)②(cid:182)(cid:103)(cid:127)
(cid:22)(cid:82)(cid:131)(cid:36)(cid:37)(cid:179)(cid:128)(cid:103)(cid:52)(cid:59)(cid:60)(cid:22)(cid:64)(cid:36)(cid:37)(cid:103)(cid:52)(cid:180)(cid:64)(cid:22)(cid:82)(cid:30)(cid:31)(cid:91)(cid:103)(cid:52)(cid:64)(cid:22)(cid:202)(cid:91)(cid:157)(cid:103)(cid:52)(cid:64)(cid:201)③(cid:203)(cid:204)(cid:83)
(cid:201)(cid:205)(cid:10)A(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:207)1-1(cid:19)(cid:54)23-24(cid:208)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:124)(cid:209)(cid:210)(cid:211)·(cid:212)(cid:213)(cid:55)(cid:98)(cid:28) (cid:23)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)2(cid:214)(cid:215)(cid:23)(cid:28)(cid:23)(cid:216)(cid:217)(cid:84) (cid:83)
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)以点 为圆心，2厘米长为半径的圆 𝐴
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)(cid:20)𝐴(cid:170)(cid:186)(cid:180)(cid:216)(cid:217)(cid:64)(cid:218)(cid:105)(cid:84)(cid:219)(cid:22)(cid:23)(cid:216)(cid:217)(cid:52)(cid:53)(cid:23)(cid:170)(cid:186)(cid:64)(cid:220)(cid:221)(cid:151)(cid:222)(cid:83)(cid:193)(cid:194)(cid:22)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:190)(cid:183)(cid:83)
(cid:15)(cid:199)(cid:190)(cid:19)解：到点 的距离等于2厘米的点的轨迹是：以点 为圆心，2厘米长为半径的圆．
故答案为：以点 为𝐴圆心，2厘米长为半径的圆． 𝐴
(cid:15)(cid:206)(cid:207)1-2(cid:19)(cid:54)2𝐴3-24(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:172)·(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)·(cid:169)(cid:11)(cid:170)(cid:171)(cid:55)(cid:172)(cid:173)(cid:86)(cid:227)(cid:142)(cid:64)(cid:157)(cid:103)(cid:52)(cid:59)(cid:60)(cid:22)(cid:23)(cid:84)(cid:54) (cid:55)
A(cid:83)(cid:116)(cid:28) (cid:95)(cid:22)(cid:82) B(cid:83)(cid:116)10cm(cid:47)(cid:95)(cid:36)(cid:37)
C(cid:83)(cid:116)(cid:28)𝑂(cid:95)(cid:22)(cid:82)(cid:64)10cm(cid:47)(cid:95)(cid:36)(cid:37) D(cid:83)(cid:143)(cid:144)(cid:228)(cid:229)(cid:28)
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)C 𝑂 𝑀
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:170)(cid:186)(cid:180)(cid:103)(cid:52)(cid:22)(cid:23)(cid:86)(cid:227)(cid:64)(cid:103)(cid:52)(cid:22)(cid:105)(cid:230)(cid:231)(cid:103)(cid:52)(cid:22)(cid:23)(cid:22)(cid:82)(cid:64)(cid:232)(cid:233)(cid:202)(cid:105)(cid:103)(cid:52)(cid:36)(cid:37)(cid:83)(cid:103)(cid:52)(cid:59)(cid:60)(cid:22)(cid:38)(cid:106)(cid:60)
(cid:159)(cid:105)(cid:234)(cid:107)(cid:64)(cid:59)(cid:84)(cid:22)(cid:82)(cid:64)(cid:235)(cid:84)(cid:36)(cid:37)(cid:64)(cid:194)(cid:236)(cid:198)(cid:116)(cid:237)(cid:98)(cid:183)(cid:184)(cid:83)
(cid:15)(cid:199)(cid:190)(cid:19)A(cid:96)(cid:238)(cid:103)(cid:52)(cid:22)(cid:23)(cid:22)(cid:82)(cid:64)(cid:91)(cid:198)(cid:116)(cid:103)(cid:52)(cid:22)(cid:127)
B(cid:96)(cid:238)(cid:103)(cid:52)(cid:22)(cid:23)(cid:36)(cid:37)(cid:64)(cid:91)(cid:198)(cid:116)(cid:103)(cid:52)(cid:22)(cid:127)
C(cid:96)(cid:239)(cid:103)(cid:52)(cid:22)(cid:23)(cid:22)(cid:82)(cid:64)(cid:240)(cid:103)(cid:52)(cid:180)(cid:22)(cid:23)(cid:36)(cid:37)(cid:64)(cid:198)(cid:116)(cid:103)(cid:52)(cid:22)(cid:127)
D(cid:96)(cid:239)(cid:241)(cid:38)(cid:103)(cid:52)(cid:22)(cid:23)(cid:22)(cid:82)(cid:64)(cid:240)(cid:241)(cid:38)(cid:103)(cid:52)(cid:22)(cid:23)(cid:36)(cid:37)(cid:64)(cid:91)(cid:198)(cid:116)(cid:103)(cid:52)(cid:22)(cid:127)
(cid:201)(cid:205)(cid:10)C(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:207)1-3(cid:19)(cid:141)(cid:78)(cid:75)(cid:113)(cid:64)(cid:58)(cid:242)(cid:243)(cid:76)ABCD (cid:64) B= D=90°(cid:64)(cid:35)(cid:244)(cid:10)A(cid:96)B(cid:96)C(cid:96)D(cid:242)(cid:28)(cid:58)(cid:128)(cid:59)(cid:60)(cid:22)(cid:124)(cid:83)
∠ ∠
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)(cid:244)(cid:245)(cid:246)(cid:190)(cid:185)
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:193)(cid:194)(cid:22)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:195)(cid:196)(cid:26)(cid:27)(cid:197)(cid:198)(cid:64)(cid:22)(cid:23)(cid:52)(cid:53):(cid:61)(cid:62)(cid:124)(cid:98)(cid:52)(cid:28)(cid:23)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:52)(cid:47)(cid:23)(cid:75)(cid:38)(cid:28)(cid:247)(cid:77)(cid:23)(cid:78)(cid:76)(cid:79)(cid:80)
(cid:22). (cid:139)AC(cid:64)(cid:248)AC(cid:23)(cid:142)(cid:28)O(cid:64)(cid:139)(cid:140)OB(cid:96)OD(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:138)(cid:45)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:249)(cid:243)(cid:124)(cid:23)(cid:142)(cid:65)(cid:198)(cid:237)OB=OA=OC=OD(cid:64)(cid:197)(cid:198)(cid:250)(cid:251)
A(cid:96)B(cid:96)C(cid:96)D(cid:242)(cid:28)(cid:58)(cid:128)(cid:59)(cid:60)(cid:22)(cid:124)(cid:83)(cid:15)(cid:199)(cid:190)(cid:19)(cid:244)(cid:245)(cid:10)(cid:139)AC(cid:64)(cid:248)AC(cid:23)(cid:142)(cid:28)O(cid:64)(cid:139)(cid:140)OB(cid:96)OD(cid:64)
B= D=90°(cid:64)
∵∠ ∠1 1
OB= AC(cid:64)OD= AC(cid:83)(cid:197)OB=OA=OC=OD(cid:64)
2 2
∴ A(cid:96)B(cid:96)C(cid:96)D(cid:242)(cid:28)(cid:58)(cid:128)(cid:59)(cid:22)(cid:124)(cid:83)
(cid:15)∴ (cid:28)(cid:252)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:170)(cid:186)(cid:22)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:64)(cid:138)(cid:45)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:249)(cid:243)(cid:124)(cid:23)(cid:142)(cid:65)(cid:64)(cid:190)(cid:20)(cid:23)(cid:3)(cid:192)(cid:84)(cid:139)AC(cid:64)(cid:248)AC(cid:23)(cid:142)(cid:28)O(cid:64)(cid:139)(cid:140)OB(cid:96)
OD(cid:64)(cid:132)(cid:253)(cid:138)(cid:45)(cid:133)(cid:45)(cid:76).
【题型2 判断点与圆的位置关系】
(cid:15)(cid:162)2(cid:19)(cid:54)2025(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:172)·(cid:254)(cid:255)·(cid:256)(cid:20)(cid:257)(cid:258)(cid:55)(cid:259)(cid:76) (cid:142)(cid:64) =8(cid:64) =3 5(cid:64)(cid:28) (cid:58)(cid:243) (cid:124)(cid:64)(cid:200)
= (cid:64)(cid:141)(cid:175)(cid:22) (cid:84)(cid:116)(cid:28) (cid:95)(cid:22)(cid:82)(cid:64) (cid:95)(cid:36)(cid:37)𝐴(cid:23)𝐵𝐶(cid:22)𝐷(cid:64)(cid:260)(cid:261)𝐴𝐵(cid:172)(cid:173)(cid:26)(cid:27)𝐵𝐶(cid:182)(cid:103)(cid:23)(cid:84)(cid:54) 𝑃(cid:55) 𝐴𝐵
𝐵𝑃A(cid:83)3(cid:28)𝐴𝑃(cid:96) (cid:262)(cid:58)(cid:22)𝑃 (cid:263) 𝑃 𝑃𝐷 B(cid:83)(cid:28) (cid:58)(cid:22) (cid:263)(cid:96)(cid:28) (cid:58)(cid:22) (cid:63)
C(cid:83)(cid:28)𝐵(cid:58)(cid:22)𝐶 (cid:63)(cid:96)(cid:28)𝑃 (cid:58)(cid:22) (cid:263) D(cid:83)(cid:28)𝐵(cid:96) (cid:262)𝑃(cid:58)(cid:22) (cid:63)𝐶 𝑃
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)𝐵C 𝑃 𝐶 𝑃 𝐵 𝐶 𝑃
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:170)(cid:186)(cid:180)(cid:28)(cid:29)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:264) =8(cid:64) = (cid:237)(cid:98) =2(cid:64) =6(cid:64)(cid:265)(cid:193)(cid:194)(cid:266)(cid:267)(cid:52)(cid:268)(cid:64)(cid:269)(cid:270)(cid:251)
=7(cid:64) =9(cid:64)(cid:136) =6<7(cid:64) =𝐴𝐵9>7(cid:64)𝐵(cid:232)𝑃(cid:233)(cid:193)3𝐴(cid:194)𝑃(cid:28)(cid:29)(cid:22)𝐴𝑃(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:3)𝐵𝑃(cid:32)(cid:195)(cid:196)(cid:26)(cid:27)(cid:83)
𝑃(cid:15)𝐷(cid:199)(cid:190)(cid:19)(cid:190)𝑃𝐶(cid:10)(cid:141)(cid:78)(cid:64)(cid:139)𝑃𝐵(cid:140) (cid:64) (cid:64)𝑃𝐶
𝑃𝐶 𝑃𝐷
(cid:242)(cid:243)(cid:76) (cid:95)(cid:259)(cid:76)(cid:64)
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷3 5(cid:64)
∴𝐴𝐷 =𝐵8𝐶(cid:64)(cid:28) (cid:58)(cid:243) (cid:124)(cid:64)(cid:200) = (cid:64)
∵𝐴𝐵=2(cid:64) 𝑃=6(cid:64)𝐴𝐵 𝐵𝑃 3𝐴𝑃
∴𝐴𝑃 𝐵𝑃
= = + = (3 5) +2 =7(cid:64)
2
2 2 2
∴𝑟 𝑃𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝑃
= + = 6 +(3 5) =9(cid:64)
2
2 2 2
𝑃𝐶 =𝑃6𝐵<7(cid:64)𝐵𝐶 =9>7
∵𝑃(cid:28)𝐵 (cid:58)(cid:22) (cid:63)(cid:96)𝑃(cid:28)𝐶 (cid:58)(cid:22) (cid:263)
∴ 𝐵 𝑃 𝐶 𝑃(cid:201)(cid:205)(cid:10)C(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:207)2-1(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:271)(cid:166)(cid:272)(cid:273)·(cid:212)(cid:142)(cid:55)(cid:274) (cid:23)(cid:36)(cid:37)(cid:95)5(cid:64)(cid:22)(cid:82) (cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:84)(1,2)(cid:64)(cid:28) (cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:84)
(5,4)(cid:64)(cid:260)(cid:261)(cid:28) (cid:58) (cid:54)(cid:275)“(cid:22)(cid:63)”“(cid:22)(cid:124)”(cid:160)“(cid:22)(cid:263)⊙”(cid:55)𝐴(cid:83) 𝐴 𝑃
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)(cid:22)(cid:63)𝑃
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:170)(cid:186)(cid:28)(cid:29)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:64)(cid:193)(cid:194)(cid:106)(cid:28)(cid:148)(cid:23)(cid:99)(cid:100)(cid:7)(cid:207)(cid:35)(cid:251) (cid:23)(cid:47)(cid:64)(cid:265)(cid:29)5(cid:156)(cid:220)(cid:221)(cid:197)(cid:198)(cid:83)(cid:188)(cid:229)(cid:28)(cid:29)(cid:22)
(cid:23)(cid:133)(cid:276)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:84)(cid:190)(cid:20)(cid:23)(cid:3)(cid:192)(cid:83) 𝐴𝑃
(cid:15)(cid:199)(cid:190)(cid:19)(cid:190)(cid:10) (cid:22)(cid:82) (cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:84)(1,2)(cid:64)(cid:28) (cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:84)(5,4)(cid:64) (cid:23)(cid:36)(cid:37)(cid:95)5(cid:64)
∵ 𝐴 𝑃 ⊙𝐴
= ( ) +( ) =2 5<5(cid:64)
2 2
∴(cid:28)𝐴𝑃 (cid:58)(cid:22)(cid:63)5−(cid:83)1 4−2
∴(cid:201)(cid:183)𝑃(cid:184)(cid:95)(cid:10)(cid:22)(cid:63)(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:207)2-2(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:166)(cid:16)(cid:277)(cid:278)·(cid:212)(cid:213)(cid:55)(cid:228)(cid:229) (cid:23)(cid:36)(cid:37)(cid:84)(cid:114)(cid:279) =0(cid:23)(cid:193)(cid:64)(cid:200)(cid:28)A(cid:98)(cid:22)(cid:82)
2
(cid:23)(cid:99)(cid:100)(cid:95)6(cid:64)(cid:136)(cid:28)A(cid:58)(cid:54) (cid:55) ⊙𝑂 𝑥 −5𝑥−24
𝑂 A(cid:83) (cid:124) B(cid:83) (cid:63) C(cid:83) (cid:263) D(cid:83)(cid:280)(cid:115)(cid:103)(cid:52)
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)⊙B𝑂 ⊙𝑂 ⊙𝑂
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:218)(cid:105)(cid:170)(cid:186)(cid:180)(cid:190)(cid:59)(cid:281)(cid:235)(cid:282)(cid:114)(cid:279)(cid:96)(cid:28)(cid:29)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:101)(cid:229)(cid:25)(cid:28)(cid:64)(cid:283)(cid:284)(cid:26)(cid:52)(cid:28)(cid:29)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:23)(cid:26)
(cid:52)(cid:114)(cid:115)(cid:84)(cid:190)(cid:20)(cid:23)(cid:3)(cid:192)(cid:83)
(cid:231)(cid:193)(cid:194)(cid:20)(cid:130)(cid:35)(cid:237)(cid:114)(cid:279)(cid:23)(cid:193)(cid:64)(cid:285)(cid:90)(cid:237)(cid:98)(cid:22)(cid:23)(cid:36)(cid:37)(cid:64)(cid:265)(cid:193)(cid:194)(cid:36)(cid:37)r(cid:29)d(cid:23)(cid:51)(cid:23)(cid:108)(cid:109)(cid:3)(cid:32)(cid:197)(cid:198)(cid:190)(cid:183)(cid:83)
(cid:15)(cid:199)(cid:190)(cid:19)(cid:190)(cid:10)(cid:190)(cid:114)(cid:279) =0(cid:237)(cid:10) =8(cid:64) = (cid:54)(cid:286)(cid:287)(cid:55)
2
(cid:22)O(cid:23)(cid:36)(cid:37)(cid:84)8(cid:64) 𝑥 −5𝑥−24 𝑥1 𝑥2 −3
∴(cid:28)A(cid:98)(cid:22)(cid:82)O(cid:23)(cid:99)(cid:100)(cid:95)6(cid:64)6<8(cid:64)
∵(cid:28)A(cid:58)(cid:22)O(cid:63)(cid:83)
∴(cid:201)(cid:205)(cid:10)B(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:207)2-3(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:166)(cid:16)(cid:288)(cid:273)·(cid:289)(cid:66)(cid:257)(cid:258)(cid:55)(cid:58)(cid:101)(cid:243) (cid:142)(cid:64)(cid:28)A(cid:58)(cid:116) (cid:243)(cid:95)(cid:138)(cid:37)(cid:23)(cid:22) (cid:83)(cid:54)(cid:275)
“(cid:124)”“(cid:63)”(cid:160)“(cid:263)”(cid:55) △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)(cid:263)
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:218)(cid:105)(cid:170)(cid:186)(cid:180)(cid:28)(cid:131)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:96)(cid:101)(cid:243)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:64)(cid:266)(cid:267)(cid:52)(cid:268)(cid:101)(cid:229)(cid:25)(cid:28)(cid:64)(cid:220)(cid:221)(cid:36)(cid:37)(cid:131)A(cid:98)(cid:22)
(cid:82)(cid:23)(cid:99)(cid:100)(cid:290)(cid:148)(cid:23)(cid:108)(cid:109)(cid:3)(cid:32)(cid:197)(cid:198)(cid:237)(cid:190)(cid:64)(cid:188)(cid:257)(cid:283)(cid:284)(cid:28)(cid:131)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:96)(cid:101)(cid:243)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:84)(cid:190)(cid:20)(cid:23)(cid:3)(cid:192)(cid:83)
(cid:15)(cid:199)(cid:190)(cid:19)(cid:190)(cid:10)(cid:141)(cid:78)(cid:64) (cid:95)(cid:101)(cid:243)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:64)
△𝐴𝐵𝐶(cid:144)A(cid:118) (cid:102)(cid:28) (cid:64)(cid:136) = (cid:64)
𝐴(cid:95)𝐷⊥(cid:101)𝐵(cid:243)𝐶(cid:133)(cid:45)(cid:76)𝐷(cid:64) 𝐵𝐷 𝐶𝐷
∵△𝐴=𝐵𝐶60°(cid:64)
∴∠𝐵 =30°(cid:64)
∴∠𝐵𝐴𝐷1
= (cid:64)
2
∴𝐵𝐷 𝐴𝐵
= ( ) = 3 (cid:64)(cid:197)(cid:236)(cid:291) > (cid:64)
2 2
∴(cid:28)𝐴𝐷A(cid:58)(cid:116)2𝐵𝐷(cid:95)(cid:138)−𝐵(cid:37)𝐷(cid:23)(cid:22)(cid:263)(cid:64)𝐵𝐷 𝑑 𝑟
(cid:201)∴ (cid:183)(cid:184)(cid:95)(cid:10)𝐵(cid:263)𝐶(cid:83)
【题型3 利用点与圆的位置关系求半径】
(cid:15)(cid:162)3(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:292)(cid:273)(cid:293)(cid:53)·(cid:212)(cid:213)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64)(cid:58)Rt (cid:142)(cid:64) =90°(cid:64) =3(cid:64) =4(cid:64)(cid:28)P(cid:84)
(cid:243)(cid:124)(cid:23)(cid:59)(cid:60)(cid:294)(cid:28)(cid:64)(cid:116)(cid:28)P(cid:95)(cid:22)(cid:82)(cid:64) (cid:47)(cid:95)(cid:36)(cid:37)(cid:118)(cid:22)(cid:64)(cid:274)△(cid:295)𝐴(cid:28)𝐵𝐶C(cid:58) ∠𝐶 (cid:63)(cid:200)(cid:28)B𝐵𝐶(cid:58) (cid:263)𝐴𝐶(cid:64)(cid:136) (cid:23)(cid:36)(cid:37)𝐴(cid:198)𝐶
(cid:116)(cid:84)(cid:54) (cid:55) 𝑃𝐴 ⊙𝑃 ⊙𝑃 ⊙𝑃
3 12 25
A(cid:83) B(cid:83)2 C(cid:83) D(cid:83)
2 5 8
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)C
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:170)(cid:186)(cid:180)(cid:28)(cid:29)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:64)(cid:266)(cid:267)(cid:52)(cid:268)(cid:127)(cid:150)(cid:296)(cid:35)(cid:237) (cid:23)(cid:50)(cid:109)(cid:51)(cid:64)(cid:195)(cid:90)(cid:103)(cid:52) (cid:23)(cid:36)(cid:37)(cid:297)(cid:298)(cid:64)
(cid:197)(cid:198)(cid:35)(cid:190)(cid:83) 𝑃𝐶,𝑃𝐵 ⊙𝑃
(cid:15)(cid:199)(cid:190)(cid:19)(cid:190)(cid:10)(cid:135) (cid:23)(cid:36)(cid:37)(cid:95) (cid:64)(cid:197) = (cid:64)(cid:136) = = (cid:64)
⊙𝑃 𝑥 𝐴𝑃 𝑥 𝑃𝐶 𝐴𝐶−𝑃𝐶 4−𝑥(cid:28)C(cid:58) (cid:63)
∵ < ⊙(cid:64)𝑃(cid:197) < (cid:64)(cid:190)(cid:237)(cid:10) >2(cid:64)
∴(cid:139)𝑃(cid:140)𝐶 𝑃(cid:64)𝐴 4−𝑥 𝑥 𝑥
𝑃𝐵
(cid:58)Rt (cid:142)(cid:64) = +
2 2 2
(cid:299) △=𝑃𝐵𝐶= (cid:291)𝑃(cid:64)𝐵 𝑃𝐶 𝐵𝐶
𝑃=𝐵( 𝑃𝐴) +𝑥3
2 2 2
𝑥 4−𝑥 25
(cid:190)(cid:237)(cid:10) =
8
(cid:28)P(cid:84)𝑥 (cid:243)(cid:124)(cid:23)(cid:59)(cid:60)(cid:294)(cid:28)(cid:64) =3(cid:64)(cid:28)B(cid:58) (cid:263)
∵ 25 𝐴𝐶 𝐵𝐶 ⊙𝑃
<
8
∴𝑥 25 12
2< < (cid:64)(cid:300)(cid:93)(cid:205)(cid:301)(cid:198)(cid:237) (cid:23)(cid:36)(cid:37)(cid:198)(cid:116)(cid:84)
8 5
∴(cid:201)(cid:205)(cid:10)𝑥C(cid:83) ⊙𝑃
(cid:15)(cid:206)(cid:207)3-1(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:305)·(cid:289)(cid:66)(cid:257)(cid:258)(cid:55)(cid:22)(cid:263)(cid:59)(cid:28)(cid:98)(cid:22)(cid:23)(cid:50)(cid:108)(cid:99)(cid:100)(cid:84)8(cid:64)(cid:50)(cid:109)(cid:99)(cid:100)(cid:84)2(cid:64)(cid:136)(cid:178)(cid:60)(cid:22)
(cid:23)(cid:36)(cid:37)(cid:95)(cid:54) (cid:55)
A(cid:83)6 B(cid:83)3 C(cid:83)8 D(cid:83)4
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)B
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:218)(cid:105)(cid:170)(cid:186)(cid:28)(cid:29)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:64)(cid:283)(cid:284)(cid:22)(cid:263)(cid:59)(cid:28)(cid:98)(cid:22)(cid:23)(cid:50)(cid:108)(cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:50)(cid:109)(cid:99)(cid:100)(cid:290)(cid:306)(cid:95)(cid:138)(cid:37)(cid:95)(cid:190)(cid:20)(cid:23)
(cid:3)(cid:192)(cid:83)(cid:193)(cid:194)(cid:22)(cid:263)(cid:59)(cid:28)(cid:98)(cid:22)(cid:23)(cid:50)(cid:108)(cid:99)(cid:100)(cid:29)(cid:50)(cid:109)(cid:99)(cid:100)(cid:290)(cid:306)(cid:95)(cid:138)(cid:37)(cid:197)(cid:198)(cid:237)(cid:251)(cid:183)(cid:184)(cid:83)
(cid:15)(cid:199)(cid:190)(cid:19)(cid:190)(cid:10) (cid:22)(cid:263)(cid:59)(cid:28)(cid:98)(cid:22)(cid:23)(cid:50)(cid:108)(cid:99)(cid:100)(cid:84)8(cid:64)(cid:50)(cid:109)(cid:99)(cid:100)(cid:84)2(cid:64)
(cid:22)(cid:23)(cid:138)(cid:37)(cid:84)∵ =6(cid:64)
∴(cid:22)(cid:23)(cid:36)(cid:37)(cid:84)83(cid:83)−2
(cid:201)∴(cid:205)(cid:10)B(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:207)3-2(cid:19)(cid:54)23-24(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:172)·(cid:254)(cid:255)·(cid:222)(cid:281)(cid:307)(cid:171)(cid:55)(cid:228)(cid:229)(cid:259)(cid:76) (cid:142)(cid:64) =4(cid:64) =3(cid:64)(cid:116)(cid:28)B(cid:95)(cid:22)(cid:82)r(cid:95)(cid:36)
(cid:37)(cid:118)(cid:22)(cid:64)(cid:200) (cid:29)(cid:243) (cid:38)(cid:308)(cid:59)(cid:7)(cid:179)(cid:28)(cid:64)(cid:136)r(cid:23)(cid:248)(cid:51)(cid:297)(cid:298)(cid:95)𝐴(cid:54)𝐵𝐶 𝐷 (cid:55) 𝐴𝐵 𝐵𝐶
⊙𝐵 𝐶𝐷A(cid:83)3 4 B(cid:83)3 (cid:309)5 C(cid:83)3 <4 D(cid:83)3 5
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)≤D𝑟≤ ≤𝑟 ≤𝑟 ≤𝑟≤
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:236)(cid:20)(cid:170)(cid:186)(cid:180)(cid:28)(cid:29)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:116)(cid:187)(cid:259)(cid:76)(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:64)(cid:266)(cid:267)(cid:52)(cid:268)(cid:64)(cid:264)(cid:102) > > (cid:193)(cid:194)(cid:28)(cid:29)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:31)
(cid:3)(cid:32)(cid:237)(cid:98)3 5(cid:64)(cid:4)(cid:130)(cid:274)(cid:36)(cid:37)(cid:95)r(cid:64)(cid:28)(cid:98)(cid:22)(cid:82)(cid:23)(cid:99)(cid:100)(cid:95)d(cid:64)(cid:136)(cid:38)(cid:10)(cid:299) >𝐵𝐷(cid:291)(cid:64)𝐴(cid:28)𝐵(cid:58)(cid:22)𝐵(cid:263)𝐶,(cid:127) (cid:299) = (cid:291)(cid:64)(cid:28)
(cid:58)(cid:22)(cid:124)(cid:64)(cid:299)≤<𝑟≤(cid:291)(cid:64)(cid:28)(cid:58)(cid:22)(cid:63)(cid:83) 𝑑 𝑟 𝑑 𝑟
(cid:15)(cid:199)(cid:190)(cid:19)(cid:190)𝑑(cid:10)(cid:141)𝑥(cid:78)(cid:10)(cid:139)(cid:140) (cid:96) ,
𝐴𝐶 𝐵𝐷
(cid:259)(cid:76) (cid:142)(cid:64) = =3,
∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 4,𝐵𝐶
= = + =5,
2 2
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐶= 𝐴𝐵= 𝐵=𝐶4,
𝐴(cid:116)𝐷(cid:28)𝐵B𝐶(cid:95)(cid:22)3(cid:82),𝐶𝐷(cid:118)(cid:22)𝐴(cid:64)𝐵 (cid:29)(cid:243) (cid:38)(cid:308)(cid:59)(cid:7)(cid:179)(cid:28)(cid:64)
∵ (cid:23)(cid:36)(cid:37)r(cid:23)(cid:248)(cid:51)(cid:297)⊙(cid:298)𝐵(cid:84)(cid:10)3𝐶𝐷 5(cid:64)
∴(cid:201)⊙(cid:205)(cid:10)𝐵 D(cid:83) ≤𝑟≤
(cid:15)(cid:206)(cid:207)3-3(cid:19)(cid:54)2024·(cid:242)(cid:310)(cid:311)(cid:312)·(cid:313)(cid:314)(cid:315)(cid:307)(cid:55)(cid:58)Rt (cid:142)(cid:64) =90°(cid:64) =3(cid:64) =4(cid:64)D(cid:95) (cid:23)(cid:142)(cid:28)(cid:83)(cid:116)
A(cid:95)(cid:22)(cid:82)(cid:64)r(cid:95)(cid:36)(cid:37)(cid:118) A(cid:64)(cid:274)B(cid:96)C(cid:96)D(cid:133)(cid:28)(cid:142)△(cid:238)𝐴(cid:38)𝐵(cid:59)𝐶 (cid:28)(cid:58)∠𝐶 (cid:63)(cid:64)(cid:136)𝐵𝐶 (cid:23)(cid:36)𝐴(cid:37)𝐶 r(cid:23)(cid:248)(cid:51)(cid:297)𝐴(cid:298)𝐵(cid:84)(cid:54) (cid:55)
A(cid:83)2.5< 4 ⊙B(cid:83)2.5< <4 C(cid:83)2.5 4⊙𝐴 D(cid:83)⊙2.5𝐴 <4
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)A 𝑟≤ 𝑟 ≤𝑟≤ ≤𝑟
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:218)(cid:105)(cid:170)(cid:186)(cid:266)(cid:267)(cid:52)(cid:268)(cid:64)(cid:28)(cid:29)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:83)
(cid:264)(cid:266)(cid:267)(cid:52)(cid:268)(cid:198)(cid:35)(cid:237) (cid:23)(cid:47)(cid:64)(cid:195)(cid:90)(cid:237)(cid:98) (cid:23)(cid:47)(cid:83)(cid:265)(cid:193)(cid:194)(cid:20)(cid:130)(cid:316)(cid:251)(cid:151)(cid:222)(cid:113)(cid:130)(cid:78)(cid:64)(cid:264)(cid:78)(cid:76)(cid:198)(cid:229)(cid:299)r(cid:23)(cid:47)(cid:46)(cid:95) (cid:131)
(cid:47)(cid:46)(cid:290)(cid:148)(cid:291)(cid:64)B(cid:96)C𝐴(cid:96)𝐵D(cid:133)(cid:28)(cid:142)(cid:238)(cid:38)(cid:28)𝐴D𝐷(cid:58) (cid:63)(cid:64)(cid:194)(cid:236)(cid:197)(cid:198)(cid:190)(cid:183)(cid:83) 𝐴𝐷 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:199)(cid:190)(cid:19) (cid:58)Rt (cid:142)(cid:64) =3(cid:64) =4⊙(cid:64)𝐴
∵ △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐶= + = 4 +3 =5(cid:64)
2 2 2 2
∴D𝐴𝐵(cid:95) (cid:23)𝐴𝐶(cid:142)(cid:28)(cid:64)𝐵𝐶
∵ 𝐴𝐵1 5
= = (cid:83)
2 2
∴𝐴𝐷 𝐴𝐵
5
(cid:264)(cid:124)(cid:78)(cid:198)(cid:229)(cid:64)(cid:299) (cid:23)(cid:36)(cid:37) = = (cid:291)(cid:64)(cid:28)D(cid:58) (cid:124)(cid:64)
2
(cid:299) (cid:23)(cid:36)(cid:37) =⊙𝐴 =4(cid:291)(cid:64)𝑟 (cid:28)𝐴C𝐷(cid:58) (cid:124)(cid:64)(cid:28)D⊙(cid:58)(cid:22)𝐴(cid:63)(cid:64)
(cid:299)⊙𝐴(cid:23)(cid:36)(cid:37)𝑟=𝐴𝐶 =5(cid:291)(cid:64)(cid:28)B(cid:58)⊙𝐴(cid:124)(cid:64)(cid:28)C(cid:96)D(cid:58)(cid:22)(cid:63)(cid:64)
⊙𝐴 𝑟 𝐴5𝐵 ⊙𝐴
(cid:299) (cid:23)(cid:36)(cid:37)(cid:317)(cid:318) < 4(cid:291)(cid:64)(cid:28)D(cid:58) (cid:63)(cid:64)
2
(cid:299)⊙𝐴(cid:23)(cid:36)(cid:37)(cid:317)(cid:318)4<𝑟≤ 5(cid:291)(cid:64)(cid:28)C(cid:96)D⊙(cid:58)𝐴 (cid:63)(cid:64)
(cid:299)⊙𝐴(cid:23)(cid:36)(cid:37)(cid:317)(cid:318) >5𝑟(cid:291)≤(cid:64)(cid:28)B(cid:96)C(cid:96)D(cid:58) ⊙𝐴(cid:63)(cid:64)
⊙𝐴 𝑟 ⊙𝐴 5
(cid:274)B(cid:96)C(cid:96)D(cid:133)(cid:28)(cid:142)(cid:238)(cid:38)(cid:59)(cid:28)(cid:58) (cid:63)(cid:64)(cid:136) (cid:23)(cid:36)(cid:37)r(cid:23)(cid:248)(cid:51)(cid:297)(cid:298)(cid:84) < 4(cid:83)
2
∴(cid:201)(cid:205)(cid:10)A. ⊙𝐴 ⊙𝐴 𝑟≤
【题型4 与圆有关的概念】
(cid:15)(cid:162)4(cid:19)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:115)(cid:142)(cid:64)(cid:182)(cid:103)(cid:23)(cid:84)(cid:54) (cid:55)
A(cid:83)(cid:47)(cid:46)(cid:156)(cid:101)(cid:23)(cid:106)(cid:86)(cid:145)(cid:84)(cid:101)(cid:145) B(cid:83)(cid:147)(cid:145)(cid:59)(cid:52)(cid:108)(cid:102)(cid:146)(cid:145)
C(cid:83)(cid:91)(cid:128)(cid:23)(cid:22)(cid:142)(cid:91)(cid:198)(cid:157)(cid:38)(cid:156)(cid:101)(cid:23)(cid:137) D(cid:83)(cid:138)(cid:37)(cid:84)(cid:59)(cid:60)(cid:22)(cid:142)(cid:50)(cid:47)(cid:23)(cid:137)
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)D
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:170)(cid:186)(cid:180)(cid:101)(cid:145)(cid:96)(cid:101)(cid:137)(cid:23)(cid:39)(cid:40)(cid:64)(cid:147)(cid:145)(cid:96)(cid:146)(cid:145)(cid:108)(cid:109)(cid:23)(cid:220)(cid:221)(cid:64)(cid:137)(cid:29)(cid:138)(cid:37)(cid:23)(cid:3)(cid:32)(cid:64)(cid:188)(cid:257)(cid:283)(cid:284)(cid:116)(cid:124)(cid:229)(cid:25)(cid:28)
(cid:84)(cid:190)(cid:20)(cid:23)(cid:3)(cid:192)(cid:83)(cid:193)(cid:194)(cid:101)(cid:145)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:64)(cid:137)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:197)(cid:198)(cid:190)(cid:183)(cid:83)
(cid:15)(cid:199)(cid:190)(cid:19)(cid:190)(cid:10)A(cid:96)(cid:157)(cid:158)(cid:161)(cid:156)(cid:159)(cid:93)(cid:23)(cid:145)(cid:84)(cid:101)(cid:145)(cid:64)(cid:47)(cid:46)(cid:156)(cid:101)(cid:23)(cid:106)(cid:86)(cid:145)(cid:91)(cid:59)(cid:52)(cid:84)(cid:101)(cid:145)(cid:64)(cid:201)A(cid:205)(cid:301)(cid:203)(cid:204)(cid:127)
B(cid:96)(cid:106)(cid:145)(cid:274)(cid:91)(cid:58)(cid:128)(cid:22)(cid:160)(cid:101)(cid:22)(cid:142)(cid:64)(cid:136)(cid:300)(cid:319)(cid:91)(cid:59)(cid:52)(cid:77)(cid:320)(cid:64)(cid:201)B(cid:205)(cid:301)(cid:203)(cid:204)(cid:127)
C(cid:96)(cid:58)(cid:101)(cid:22)(cid:142)(cid:64)(cid:321)(cid:58)(cid:47)(cid:46)(cid:156)(cid:101)(cid:23)(cid:137)(cid:64)(cid:162)(cid:141)(cid:101)(cid:22)(cid:142)(cid:23)(cid:138)(cid:37)(cid:126)(cid:156)(cid:101)(cid:64)(cid:201)C(cid:205)(cid:301)(cid:203)(cid:204)(cid:127)
D(cid:96)(cid:138)(cid:37)(cid:84)(cid:59)(cid:60)(cid:22)(cid:142)(cid:50)(cid:47)(cid:23)(cid:137)(cid:64)(cid:182)(cid:103)(cid:64)(cid:201)D(cid:205)(cid:301)(cid:182)(cid:103)(cid:127)(cid:201)(cid:205)(cid:10)D(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:207)4-1(cid:19)(cid:54)23-24(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:254)(cid:255)·(cid:222)(cid:281)(cid:307)(cid:171)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64)(cid:58) (cid:142)(cid:64)
⊙𝑂
(cid:54)1(cid:55)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:10) (cid:83)
(cid:54)2(cid:55)(cid:138)(cid:37)(cid:38)(cid:10) (cid:83)
(cid:54)3(cid:55)(cid:137)(cid:38)(cid:10) (cid:83)
(cid:54)4(cid:55)(cid:146)(cid:145) (cid:219)(cid:322)(cid:23)(cid:147)(cid:145)(cid:84) (cid:64)(cid:68)(cid:323)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:77)(cid:59)(cid:60)(cid:327)(cid:328)(cid:23)(cid:22)(cid:83)
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19) 𝐵𝐶 (cid:64) (cid:64) (cid:64)
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:170)𝑂(cid:186)𝐴(cid:22)𝑂(cid:23)𝐵(cid:41)(cid:42)(cid:39)𝐴(cid:40)𝐵(cid:64)(cid:193)(cid:194)𝐴(cid:36)𝐵(cid:37)𝐴(cid:64)𝐶(cid:138)𝐵(cid:37)𝐶(cid:64)(cid:137)(cid:64)𝐵(cid:145)𝐴𝐶(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:64)(cid:329)(cid:59)(cid:195)(cid:196)(cid:26)(cid:27)(cid:197)(cid:198)(cid:83)
(cid:15)(cid:199)(cid:190)(cid:19)(cid:190)(cid:10)(cid:54)1(cid:55)(cid:36)(cid:37)(cid:38) (cid:64) (cid:127)
(cid:54)2(cid:55)(cid:138)(cid:37)(cid:38) (cid:127) 𝑂𝐴 𝑂𝐵
(cid:54)3(cid:55)(cid:137)(cid:38) 𝐴(cid:64)𝐵 (cid:64) (cid:127)
(cid:54)4(cid:55)(cid:146)(cid:145)𝐴 𝐵 (cid:219)𝐴𝐶(cid:322)(cid:23)𝐵𝐶(cid:147)(cid:145)(cid:84) (cid:127)
(cid:201)(cid:183)(cid:184)(cid:95)(cid:10)𝐵𝐶(cid:64) (cid:127) (cid:127) 𝐵(cid:64)𝐴𝐶 (cid:64) (cid:127)
(cid:15)(cid:206)(cid:207)4-2(cid:19)𝑂(cid:109)𝐴(cid:245)𝑂(cid:58)𝐵(cid:36)(cid:37)𝐴𝐵(cid:95)5𝐴𝐵(cid:23)(cid:22)𝐴(cid:142)𝐶(cid:307)𝐵(cid:330)𝐶(cid:137)𝐵𝐴(cid:23)𝐶 (cid:47)(cid:46)(cid:64)(cid:172)(cid:173)(cid:307)(cid:330)(cid:300)(cid:175)(cid:142)(cid:59)(cid:52)(cid:84)(cid:203)(cid:204)(cid:23)(cid:84)(cid:54) (cid:55)
A(cid:83)4 B(cid:83)5 𝐴𝐵C(cid:83)10 D(cid:83)11
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)D
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:193)(cid:194)(cid:138)(cid:37)(cid:84)(cid:22)(cid:142)(cid:50)(cid:47)(cid:23)(cid:137)(cid:197)(cid:198)(cid:35)(cid:190)(cid:83)
(cid:15)(cid:199)(cid:190)(cid:19)(cid:190)(cid:10) (cid:36)(cid:37)(cid:95)5(cid:23)(cid:22)(cid:64)(cid:138)(cid:37)(cid:95)10(cid:64)
(cid:58)(cid:36)(cid:37)(cid:95)5(cid:23)∵(cid:22)(cid:142)(cid:307)(cid:330)(cid:137)AB(cid:23)(cid:47)(cid:46)(cid:64)AB(cid:23)(cid:248)(cid:51)(cid:297)(cid:298)(cid:84)(cid:10)0<AB≤10(cid:64)
∴(cid:137)AB(cid:23)(cid:47)(cid:46)(cid:198)(cid:116)(cid:84)4(cid:64)5(cid:64)10(cid:64)(cid:91)(cid:198)(cid:157)(cid:95)11(cid:83)
∴(cid:201)(cid:205)(cid:10)D(cid:83)
(cid:15)(cid:28)(cid:252)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:170)(cid:186)(cid:180)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:64)(cid:283)(cid:284)(cid:137)(cid:29)(cid:138)(cid:37)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:84)(cid:190)(cid:20)(cid:23)(cid:3)(cid:192)(cid:83)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:124)(cid:129)(cid:130)(cid:106)(cid:28)(cid:23)(cid:65)(cid:66)(cid:79)(cid:137)(cid:64)(cid:143)(cid:144)
(cid:22)(cid:82)(cid:23)(cid:137)(cid:79)(cid:138)(cid:37)(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:207)4-3(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:331)(cid:332)(cid:333)(cid:167)·(cid:212)(cid:142)(cid:55)(cid:172)(cid:173)(cid:334)(cid:20)(cid:142)(cid:64)(cid:182)(cid:103)(cid:23)(cid:84)(cid:54) (cid:55)
①(cid:36)(cid:22)(cid:84)(cid:145)(cid:127)②(cid:137)(cid:84)(cid:22)(cid:124)(cid:106)(cid:28)(cid:290)(cid:148)(cid:23)(cid:149)(cid:150)(cid:127)③(cid:36)(cid:37)(cid:84)(cid:137)(cid:127)④(cid:58)(cid:128)(cid:22)(cid:160)(cid:101)(cid:22)(cid:142)(cid:64)(cid:138)(cid:37)(cid:84)(cid:50)(cid:47)(cid:23)(cid:137)(cid:127)⑤(cid:58)(cid:128)(cid:59)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:98)(cid:52)(cid:28)(cid:23)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:52)(cid:47)(cid:23)(cid:28)(cid:126)(cid:58)(cid:128)(cid:59)(cid:60)(cid:22)(cid:124)(cid:83)
A(cid:83)①②③ B(cid:83)①③④ C(cid:83)①④⑤ D(cid:83)②④⑤
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)C
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:170)(cid:186)(cid:334)(cid:20)(cid:29)(cid:52)(cid:268)(cid:64)(cid:193)(cid:194)(cid:36)(cid:22)(cid:131)(cid:145)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:219)①(cid:195)(cid:196)(cid:26)(cid:27)(cid:64)(cid:193)(cid:194)(cid:137)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:219)②③(cid:195)(cid:196)(cid:26)(cid:27)(cid:127)(cid:193)
(cid:194)(cid:138)(cid:37)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:219)④(cid:195)(cid:196)(cid:26)(cid:27)(cid:127)(cid:193)(cid:194)(cid:22)(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:219)⑤(cid:195)(cid:196)(cid:26)(cid:27)(cid:83)(cid:190)(cid:20)(cid:23)(cid:3)(cid:192)(cid:84)(cid:283)(cid:284)(cid:84)(cid:10)(cid:26)(cid:27)(cid:59)(cid:227)(cid:335)(cid:336)(cid:23)(cid:337)(cid:338)(cid:64)
(cid:79)(cid:80)(cid:334)(cid:20)(cid:83)(cid:339)(cid:340)(cid:334)(cid:20)(cid:126)(cid:84)(cid:264)(cid:20)(cid:135)(cid:131)(cid:300)(cid:319)(cid:106)(cid:149)(cid:150)(cid:247)(cid:77)(cid:64)(cid:20)(cid:135)(cid:84)(cid:228)(cid:229)(cid:335)(cid:301)(cid:64)(cid:300)(cid:319)(cid:84)(cid:264)(cid:228)(cid:229)(cid:335)(cid:301)(cid:250)(cid:251)(cid:23)(cid:335)(cid:301)(cid:64)(cid:59)
(cid:60)(cid:334)(cid:20)(cid:198)(cid:116)(cid:341)(cid:77)“(cid:141)(cid:175)…(cid:260)(cid:261)…”(cid:76)(cid:207)(cid:83)(cid:38)(cid:342)(cid:334)(cid:20)(cid:23)(cid:182)(cid:103)(cid:43)(cid:84)(cid:34)(cid:250)(cid:268)(cid:244)(cid:343)(cid:23)(cid:64)(cid:178)(cid:344)(cid:23)(cid:345)(cid:334)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:52)(cid:268)(cid:83)
(cid:15)(cid:199)(cid:190)(cid:19)(cid:190)(cid:10)(cid:36)(cid:22)(cid:84)(cid:145)(cid:64)(cid:201)(cid:334)(cid:20)①(cid:182)(cid:103)(cid:127)
(cid:137)(cid:84)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:124)(cid:129)(cid:130)(cid:106)(cid:28)(cid:290)(cid:148)(cid:23)(cid:65)(cid:66)(cid:64)(cid:201)(cid:334)(cid:20)②(cid:203)(cid:204)(cid:127)
(cid:36)(cid:37)(cid:91)(cid:84)(cid:137)(cid:64)(cid:201)(cid:334)(cid:20)③(cid:203)(cid:204)(cid:127)
(cid:138)(cid:37)(cid:84)(cid:22)(cid:142)(cid:50)(cid:47)(cid:23)(cid:137)(cid:64)(cid:201)(cid:334)(cid:20)④(cid:182)(cid:103)(cid:127)
(cid:58)(cid:128)(cid:59)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:98)(cid:52)(cid:28)(cid:23)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:52)(cid:47)(cid:23)(cid:28)(cid:126)(cid:58)(cid:128)(cid:59)(cid:60)(cid:22)(cid:124)(cid:64)(cid:201)(cid:334)(cid:20)⑤(cid:182)(cid:103)(cid:127)
(cid:182)(cid:103)(cid:23)(cid:84)①④⑤(cid:83)
∴(cid:201)(cid:205)(cid:10)C(cid:83)
【题型5 利用圆的基本性质求角度】
(cid:15)(cid:162)5(cid:19)(cid:54)2025·(cid:346)(cid:347)(cid:347)(cid:331)·(cid:313)(cid:314)(cid:315)(cid:307)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64) (cid:96) (cid:84) (cid:23)(cid:137)(cid:64)(cid:200) = (cid:64)(cid:274) =84°(cid:64)(cid:136) (cid:23)
(cid:46)(cid:348)(cid:95)(cid:54)(cid:349)(cid:349)(cid:55) 𝐴𝐵 𝐶𝐷 ⊙𝑂 𝐴𝐵 𝐶𝐷 ∠𝐵𝑂𝐷 ∠𝐴𝐶𝑂
A(cid:83)38° B(cid:83)46° C(cid:83)44° D(cid:83)48°
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)D
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:170)(cid:186)(cid:180)(cid:254)(cid:101)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:23)(cid:26)(cid:52)(cid:131)(cid:43)(cid:44)(cid:64)(cid:101)(cid:134)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:23)(cid:26)(cid:52)(cid:131)(cid:43)(cid:44)(cid:64)(cid:22)(cid:23)(cid:156)(cid:3)(cid:52)(cid:53)(cid:64)(cid:283)(cid:284)(cid:156)(cid:3)(cid:229)(cid:25)
(cid:28)(cid:84)(cid:190)(cid:20)(cid:3)(cid:192)(cid:83)(cid:231)(cid:244)(cid:245) (SSS)(cid:64)(cid:250)(cid:251) = =84°(cid:64)(cid:265)(cid:193)(cid:194)(cid:101)(cid:243)(cid:219)(cid:101)(cid:45)(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:35)(cid:190)(cid:197)
(cid:198)(cid:83) △𝐴𝑂𝐵≌△𝐶𝑂𝐷 ∠𝐵𝑂𝐷 ∠𝐴𝑂𝐶
(cid:15)(cid:199)(cid:190)(cid:19)(cid:190)(cid:10)(cid:58) (cid:131) (cid:142)(cid:64)
△𝐴𝑂𝐵 △𝐶𝑂𝐷=
= (cid:64)
𝑂𝐴= 𝑂𝐶
𝑂𝐵 𝑂𝐷
𝐴𝐵 𝐶𝐷 (SSS)(cid:64)
∴△𝐴𝑂𝐵≌=△𝐶𝑂𝐷(cid:64)
∴∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐶𝑂𝐷= (cid:64)
∴∠𝐴𝑂𝐵−=∠𝐴𝑂𝐷 =∠8𝐶4𝑂°𝐷(cid:64)−∠𝐴𝑂𝐷
∴∠𝐵𝑂=𝐷 (cid:64)∠𝐴𝑂𝐶
∵𝑂𝐴 𝑂𝐶
= = =48°(cid:64)
2
180°−∠𝐴𝑂𝐶
(cid:201)∴(cid:205)∠𝐴(cid:10)𝐶𝑂D(cid:83)∠𝐶𝐴𝑂
(cid:15)(cid:206)(cid:207)5-1(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:242)(cid:310)(cid:350)(cid:351)·(cid:212)(cid:213)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64) (cid:84) (cid:23)(cid:138)(cid:37)(cid:64) (cid:64) =30°(cid:64)(cid:136)
(cid:101)(cid:102)(cid:54) (cid:55) 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐴𝐵⊥𝐶𝐷 ∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶
A(cid:83)30° B(cid:83)40° C(cid:83)50° D(cid:83)60°
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)D
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:170)(cid:186)(cid:180)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:63)(cid:45)(cid:131)(cid:52)(cid:268)(cid:64)(cid:352)(cid:65)(cid:52)(cid:53)(cid:64)(cid:264) (cid:64)(cid:237)(cid:251) =90°(cid:64)(cid:193)(cid:194) =30°(cid:64)(cid:265)
(cid:264)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:63)(cid:45)(cid:131)(cid:52)(cid:268)(cid:269)(cid:270)(cid:197)(cid:198)(cid:237)(cid:190)(cid:83) 𝐴𝐵⊥𝐶𝐷 ∠𝐵𝐸𝐶 ∠𝐵𝐶𝐷
(cid:15)(cid:199)(cid:190)(cid:19)(cid:190)(cid:10) (cid:64)
=90°(cid:64)∵𝐴𝐵⊥𝐶𝐷
∴∠𝐵𝐸𝐶 =30°(cid:64)
∵∠𝐵𝐶𝐷= =60°(cid:83)
(cid:201)∴∠(cid:205)𝐴𝐵(cid:10)𝐶D(cid:83)180°−90°−30°
(cid:15)(cid:206)(cid:207)5-2(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:353)(cid:354)·(cid:212)(cid:142)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64)(cid:58) (cid:142)(cid:64) =90°(cid:64) =40°(cid:64)(cid:116)C(cid:95)(cid:22)(cid:82)(cid:64)
(cid:95)(cid:36)(cid:37)(cid:23)(cid:22)(cid:355) (cid:102)(cid:28)D(cid:64)(cid:139)(cid:140) (cid:64)(cid:136) =(cid:54) (cid:55)△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴 𝐶𝐵
𝐴𝐵 𝐶𝐷 ∠𝐴𝐶𝐷A(cid:83)15° B(cid:83)10° C(cid:83)12° D(cid:83)50°
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)B
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:170)(cid:186)(cid:180)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:23)(cid:63)(cid:45)(cid:131)(cid:52)(cid:268)(cid:131)(cid:101)(cid:134)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:64)(cid:84)(cid:41)(cid:356)(cid:229)(cid:25)(cid:220)(cid:221)(cid:151)(cid:222)(cid:83)(cid:231)(cid:35)(cid:237) =50°(cid:64)
(cid:265)(cid:264)(cid:101)(cid:134)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:35)(cid:251) = ×50°=80°(cid:64)(cid:136) (cid:29) (cid:161)(cid:357)(cid:83) ∠𝐵
(cid:15)(cid:199)(cid:190)(cid:19)(cid:190)(cid:10) =90°(cid:64)∠𝐵𝐶𝐷=4108°(cid:64)0°−2 ∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐵𝐶𝐷
=50°(cid:64) ∵∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴
∴∠𝐵= (cid:64)
∵𝐶𝐷 𝐶=𝐵 ×50°=80°(cid:64)
∴∠𝐵𝐶𝐷= 180°−2 =10°(cid:127)
∴(cid:201)∠(cid:205)𝐴𝐶(cid:10)𝐷B(cid:83)90°−80°
(cid:15)(cid:206)(cid:207)5-3(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:172)·(cid:358)(cid:359)(cid:360)(cid:361)·(cid:212)(cid:142)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64)(cid:228)(cid:229)(cid:28)A(cid:64)D(cid:64)C(cid:58) (cid:124)(cid:64)(cid:139)(cid:140) (cid:64)(cid:274)
(cid:242)(cid:243)(cid:76) (cid:84)(cid:362)(cid:76)(cid:64)(cid:136) (cid:23)(cid:46)(cid:348)(cid:84)(cid:54) (cid:55) ⊙𝑂 𝑂𝐴,𝑂𝐶,𝐴𝐷,𝐶𝐷
𝐴𝑂𝐶𝐷 ∠𝐴𝑂𝐶
A(cid:83)150° B(cid:83)120° C(cid:83)90° D(cid:83)60°
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)B
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:170)(cid:186)(cid:180)(cid:362)(cid:76)(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:64)(cid:101)(cid:243)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:23)(cid:26)(cid:52)(cid:29)(cid:43)(cid:44)(cid:64)(cid:231)(cid:139)(cid:140) (cid:64)(cid:300)(cid:93)(cid:36)(cid:37)(cid:156)(cid:101)(cid:116)(cid:187)(cid:362)(cid:76)(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:237)
= = = = (cid:64)(cid:201) (cid:126)(cid:84)(cid:101)(cid:243)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:64)(cid:197)(cid:198)𝐷(cid:118)𝑂(cid:183)(cid:83)
𝐴(cid:15)𝐷(cid:199)(cid:190)𝐷(cid:19)𝐶(cid:190)(cid:10)𝐶𝑂(cid:139)(cid:140)𝐷𝑂(cid:64)(cid:141)𝐴𝑂(cid:78)(cid:75)(cid:113)△(cid:10)𝐴𝑂𝐷,△𝐶𝑂𝐷
𝐷𝑂(cid:363)(cid:20)(cid:130)(cid:64) = = (cid:64)
(cid:242)(cid:243)(cid:76) 𝐷𝑂 (cid:84)𝑂(cid:362)𝐶(cid:76)(cid:64)𝑂𝐴
∵ = 𝐴𝑂=𝐶𝐷 (cid:64)
∴(cid:197)𝐴𝐷 =𝐷𝐶 =𝐶𝑂 = = (cid:64)
𝐴𝐷 𝐷𝐶 𝐶𝑂(cid:126)(cid:84)𝐷(cid:101)𝑂(cid:243)(cid:133)𝐴𝑂(cid:45)(cid:76)(cid:64)
∴△𝐴𝑂𝐷=,△60𝐶°𝑂=𝐷 (cid:64)
(cid:197)∴∠𝐴A𝑂O𝐷C=60°+∠6𝐶0𝑂°𝐷=120°(cid:64)
(cid:201)∠(cid:205)(cid:10)B
【题型6 利用圆的基本性质求长度】
(cid:15)(cid:162)6(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:271)(cid:166)(cid:364)(cid:365)·(cid:289)(cid:66)(cid:257)(cid:258)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64)(cid:58) (cid:142)(cid:64)(cid:138)(cid:37) =20(cid:64)(cid:182)(cid:114)(cid:76) (cid:23)(cid:242)(cid:60)(cid:155)(cid:28)
(cid:126)(cid:150)(cid:296)(cid:58)(cid:36)(cid:37) (cid:96) (cid:187) (cid:124)(cid:64)(cid:200) =45°(cid:64)(cid:136) ⊙=(cid:54)𝑂(cid:349)(cid:349)(cid:55) 𝑀𝑁 𝐴𝐵𝐶𝐷
𝑂𝑃 𝑂𝑀 ⊙𝑂 ∠𝑃𝑂𝑀 𝐴𝐵
A(cid:83)4 B(cid:83)2 5 C(cid:83)2 6 D(cid:83)6
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)B
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:218)(cid:105)(cid:170)(cid:186)(cid:180)(cid:22)(cid:23)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:96)(cid:182)(cid:114)(cid:76)(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:96)(cid:101)(cid:134)(cid:138)(cid:45)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:23)(cid:26)(cid:52)(cid:29)(cid:43)(cid:44)(cid:96)(cid:266)(cid:267)(cid:52)(cid:268)(cid:101)(cid:229)(cid:25)(cid:64)
(cid:190)(cid:20)(cid:23)(cid:3)(cid:192)(cid:84)(cid:182)(cid:103)(cid:118)(cid:251)(cid:366)(cid:367)(cid:65)(cid:64)(cid:132)(cid:253)(cid:29) (cid:156)(cid:3)(cid:23)(cid:138)(cid:45)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:83)(cid:231)(cid:300)(cid:93)(cid:182)(cid:114)(cid:76)(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:244)(cid:245) (cid:95)(cid:101)(cid:134)(cid:138)(cid:45)
(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:64)(cid:368)(cid:237) = (cid:64)(cid:135) = = 𝐴𝐵= = (cid:64)(cid:136) = (cid:64)(cid:58)Rt (cid:142)(cid:193)(cid:194)(cid:266)(cid:267)△(cid:52)𝑂𝐶(cid:268)𝐷(cid:35)(cid:237) (cid:23)(cid:51)(cid:64)
(cid:197)(cid:198)(cid:369)(cid:237)(cid:183)(cid:184)𝐶(cid:83)𝑂 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐶𝑂 𝑥 𝐵𝑂 2𝑥 △𝐴𝐵𝑂 𝑥
(cid:15)(cid:199)(cid:190)(cid:19)(cid:190)(cid:10)(cid:139)(cid:140) (cid:64)(cid:141)(cid:172)(cid:78)(cid:64)
𝑂𝐴(cid:242)(cid:243)(cid:76) (cid:84)(cid:182)(cid:114)(cid:76)(cid:64)
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷 (cid:64) = =90°(cid:64)
∴𝐴𝐵 𝐵=𝐶 𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶=90∠°𝐵(cid:64)𝐶𝐷
∴∠𝐷𝐶𝑂 =14850°°(cid:64)−∠𝐵𝐶𝐷
∵∠𝑃𝑂𝑀= =45°(cid:64)
∴∠𝐶𝐷𝑂=90°−∠(cid:64)𝑃𝑂𝑀
∴∠𝐶𝐷=𝑂 (cid:64)∠𝑃𝑂𝑀
∴(cid:138)𝐶𝑂(cid:37) 𝐶𝐷=20(cid:64)
∵ 𝑀1𝑁
= =10(cid:64)
2
∴(cid:135)𝑂𝐴 = 𝑀𝑁= = = (cid:64)(cid:136) = + = (cid:64)
(cid:58)𝐴Rt𝐵 𝐵𝐶 (cid:142)𝐶(cid:64)𝐷(cid:198)(cid:38)𝐶𝑂 +𝑥 𝐵=𝑂 𝐵(cid:64)𝐶 𝐶𝑂 2𝑥
2 2 2
(cid:197) △+(𝐴𝐵𝑂) =10 (cid:64)𝐴𝐵 𝐵𝑂 𝑂𝐴
2 2 2
(cid:190)(cid:237)𝑥 =22𝑥 5(cid:160) = 5(cid:54)(cid:286)(cid:287)(cid:55)(cid:64)
𝑥=2 5(cid:83) 𝑥 −2
∴(cid:201)𝐴(cid:205)𝐵(cid:10)B(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:207)6-1(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:302)(cid:303)(cid:370)(cid:273)·(cid:212)(cid:142)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64) (cid:84) (cid:23)(cid:138)(cid:37)(cid:64)(cid:28) (cid:58) (cid:124)(cid:64) (cid:64)(cid:352)(cid:318)(cid:95)
(cid:64)(cid:228)(cid:229) =4(cid:64) =3(cid:64)(cid:136) (cid:23)(cid:51)(cid:95)(cid:54) (cid:55) 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐶 ⊙𝑂 𝐶𝐷⊥𝐴𝐵
𝐷 𝐶𝐷 𝑂𝐷 𝐴𝐵
A(cid:83)6 B(cid:83)7 C(cid:83)8 D(cid:83)10
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)D(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:170)(cid:186)(cid:180)(cid:22)(cid:23)(cid:41)(cid:42)(cid:39)(cid:40)(cid:96)(cid:266)(cid:267)(cid:52)(cid:268)(cid:64)(cid:139)(cid:140) (cid:132)(cid:253)(cid:138)(cid:45)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:33)(cid:34)(cid:266)(cid:267)(cid:52)(cid:268)(cid:84)(cid:190)(cid:20)(cid:23)(cid:3)(cid:192)(cid:83)(cid:139)(cid:140)
(cid:64)(cid:58)Rt (cid:142)(cid:33)(cid:34)(cid:266)(cid:267)(cid:52)(cid:268)(cid:35)(cid:251) (cid:23)(cid:47)(cid:64)(cid:265)(cid:300)(cid:93)𝑂𝐶 (cid:84) (cid:23)(cid:138)(cid:37)(cid:197)(cid:198)(cid:237)(cid:251)(cid:183)(cid:184)(cid:83)
𝑂(cid:15)𝐶(cid:199)(cid:190)(cid:19)(cid:190)△(cid:10)𝑂(cid:141)𝐶𝐷(cid:78)(cid:64)(cid:139)(cid:140) (cid:64) 𝑂𝐶 𝐴𝐵 ⊙𝑂
𝑂𝐶
(cid:64)
=90°(cid:64) ∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵
∴∠𝐶𝐷=𝑂4(cid:64) =3(cid:64)
∵𝐶𝐷 𝑂𝐷
= + =5(cid:64)
2 2
∴𝑂𝐶(cid:84) 𝐶𝐷(cid:23)(cid:138)𝑂(cid:37)𝐷(cid:64)
∵𝐴𝐵=⊙𝑂 =10(cid:83)
(cid:201)∴(cid:205)𝐴𝐵(cid:10)D2(cid:83)𝑂𝐶
(cid:15)(cid:206)(cid:207)6-2(cid:19)(cid:54)24-25(cid:208)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:371)(cid:372)(cid:47)(cid:373)·(cid:289)(cid:66)(cid:257)(cid:258)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64)(cid:58) (cid:142) =75°(cid:64) (cid:102)(cid:28) (cid:64)(cid:355) (cid:102)
(cid:28) (cid:64) = (cid:64)(cid:116)(cid:28) (cid:95)(cid:22)(cid:82) (cid:47)(cid:95)(cid:36)(cid:37)(cid:118)(cid:145)(cid:64)(cid:355) (cid:102)(cid:28) (cid:64)△(cid:139)𝐴(cid:300)𝐵𝐶 (cid:355)∠𝐵 (cid:102)(cid:28) (cid:83)𝐷(cid:274)𝐸⊥𝐴𝐶= =𝐸 2(cid:64)(cid:136)𝐴𝐵
(cid:47)𝑀(cid:95)(cid:54)𝐴 𝐸 (cid:55) 𝐶𝐸 𝐶 𝐶𝐴 𝐷𝐸 𝐹 𝐶𝐹 𝐴𝐵 𝐺 𝐶𝐺 𝐹𝐺 𝐴𝐵
A(cid:83)2 B(cid:83)4 C(cid:83)2 3 D(cid:83)4 3
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)B
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:170)(cid:186)(cid:180)(cid:65)(cid:66)(cid:352)(cid:138)(cid:61)(cid:150)(cid:65)(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:96)(cid:101)(cid:243)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:23)(cid:26)(cid:52)(cid:131)(cid:43)(cid:44)(cid:96)(cid:101)(cid:134)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:116)(cid:187)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:63)
(cid:45)(cid:131)(cid:52)(cid:268)(cid:64)(cid:374)(cid:375)(cid:376)(cid:34)(cid:101)(cid:134)(cid:96)(cid:101)(cid:243)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:43)(cid:44)(cid:35)(cid:190)(cid:84)(cid:190)(cid:20)(cid:23)(cid:3)(cid:192)(cid:83)
(cid:139)(cid:140) (cid:64)(cid:193)(cid:194)(cid:65)(cid:66)(cid:352)(cid:138)(cid:61)(cid:150)(cid:65)(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:198)(cid:237) = (cid:64)(cid:300)(cid:93)(cid:20)(cid:130)(cid:244) (cid:84)(cid:101)(cid:243)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:64)(cid:193)(cid:194)(cid:101)(cid:243)(cid:133)(cid:45)(cid:76)“(cid:133)
(cid:65)(cid:93)𝐴(cid:59)𝐹”(cid:198)(cid:237) =30°(cid:64)(cid:58) (cid:142)(cid:133)(cid:45)𝐴𝐹(cid:76)(cid:63)𝐶(cid:45)𝐹(cid:131)(cid:52)(cid:268)(cid:35)(cid:251) △𝐴=𝐹𝐶 =75°(cid:64)(cid:237)(cid:251) = =4(cid:83)
(cid:15)(cid:199)(cid:190)(cid:19)(cid:190)(cid:10)∠(cid:139)𝐶𝐴(cid:140)𝐵 (cid:64)(cid:141)(cid:78)(cid:83)△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐶
𝐴𝐹= (cid:64)
= (cid:64) ∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐶,𝐴𝐸 𝐶𝐸
(cid:264)∴(cid:20)𝐴𝐹(cid:130)(cid:198)𝐶(cid:229)𝐹 = (cid:64)
= 𝐶=𝐹 𝐶=𝐴4(cid:64)
∴𝐴𝐹 𝐶(cid:84)𝐹(cid:101)(cid:243)𝐶𝐴(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:64)
∴△𝐴𝐹𝐶= =60°(cid:64)
∴∠𝐴𝐶=𝐹 ∠=𝐶𝐴2(cid:64)𝐹
∵𝐶𝐺 𝐹𝐺1
= =30°(cid:64)
2
∴∠𝐶=𝐴𝐵75°(cid:64)∠𝐶𝐴𝐹
∵∠𝐵 1
= = ( )=75°(cid:64)
2
∴∠𝐴=𝐶𝐵 =∠𝐵4(cid:64) 180°−∠𝐶𝐴𝐵
∴(cid:201)𝐴(cid:205)𝐵(cid:10)B𝐴(cid:83)𝐶
(cid:15)(cid:206)(cid:207)6-3(cid:19)(cid:54)2024·(cid:242)(cid:310)(cid:377)(cid:312)·(cid:313)(cid:314)(cid:315)(cid:307)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64)(cid:228)(cid:229) (cid:95) (cid:23)(cid:263)(cid:140)(cid:22)(cid:64) = (cid:64)(cid:138)(cid:37) (cid:355) (cid:102)(cid:28)
E(cid:64)(cid:274) =1:4(cid:64)(cid:136) =(cid:54) (cid:55)(cid:83) ⊙𝑂 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶
𝐷𝐸:𝐴𝐷 𝐵𝐸:𝐴𝐵
A(cid:83)1:2 B(cid:83)1:3 C(cid:83)2:3 D(cid:83)1:4
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)A
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:218)(cid:105)(cid:170)(cid:186)(cid:180)(cid:266)(cid:267)(cid:52)(cid:268)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:352)(cid:138)(cid:61)(cid:150)(cid:65)(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:29)(cid:26)(cid:52)(cid:64)(cid:22)(cid:23)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:64)(cid:231)(cid:244)(cid:245) (cid:352)(cid:138)(cid:61)(cid:150)
(cid:64)(cid:265)(cid:33)(cid:34)(cid:266)(cid:267)(cid:52)(cid:268)(cid:34) (cid:150)(cid:296)(cid:112)(cid:113)(cid:251) (cid:64) (cid:23)(cid:47)(cid:197)(cid:198)(cid:237)(cid:98)(cid:183)(cid:184)(cid:83) 𝐴𝑂
𝐵(cid:15)𝐶(cid:199)(cid:190)(cid:19)(cid:190)(cid:10)(cid:141)(cid:78)(cid:75)(cid:113)(cid:64)𝑂𝐵(cid:139)(cid:140) (cid:64) 𝐵(cid:64)𝐸 𝐴𝐵
𝑂𝐵 𝑂𝐶(cid:95) (cid:23)(cid:263)(cid:140)(cid:22)(cid:64)
∵⊙𝑂= △(cid:64)𝐴𝐵𝐶
∴𝑂𝐵= 𝑂𝐶(cid:64)
∵𝐴𝐵(cid:352)(cid:138)𝐴𝐶(cid:61)(cid:150) (cid:64)
∴𝐴𝑂 (cid:64) 𝐵𝐶
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶=1:4(cid:64)
∵𝐷𝐸:𝐴𝐷1
= (cid:64)
2
∴𝐷𝐸 𝑂𝐷
1 1
= = (cid:64)
2 2
∴𝑂𝐸 𝑂𝐷 𝑂𝐵
3
= (cid:64)
2
∴𝐴𝐸 𝑂𝐵
3
(cid:58)Rt (cid:142)(cid:64)(cid:264)(cid:266)(cid:267)(cid:52)(cid:268)(cid:237) = = (cid:64)
2
2 2
△𝑂𝐵𝐸 𝐵𝐸 𝑂𝐵 −𝑂𝐸 𝑂𝐵
(cid:58)Rt (cid:142)(cid:64)(cid:264)(cid:266)(cid:267)(cid:52)(cid:268)(cid:237) = + = 3 (cid:64)
2 2
BE:A△B𝐴=𝐵𝐸1：2(cid:64) 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐵𝐸 𝑂𝐵
(cid:201)∴ (cid:205)(cid:10)A(cid:83)
【题型7 利用圆的基本性质求坐标】
(cid:15)(cid:162)7(cid:19)(cid:54)2025·(cid:364)(cid:378)(cid:379)(cid:310)·(cid:313)(cid:314)(cid:315)(cid:307)(cid:55)(cid:109)(cid:380)(cid:128)(cid:11)(cid:58)(cid:61)(cid:62)(cid:138)(cid:45)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:142)(cid:316)(cid:23)(cid:381)(cid:382)(cid:383)(cid:383)(cid:49)(cid:141)(cid:78)(cid:75)(cid:113)(cid:64)(cid:274)(cid:28) (cid:23)(cid:48)(cid:49)
𝐴
(cid:95) 0(cid:64)4 (cid:64)(cid:136)(cid:28) (cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:95) (cid:83)
𝐵
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19) 2 3
,−2
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:218)(cid:105)(cid:170)(cid:186)(cid:103)(cid:52)(cid:28)(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:64)(cid:264)(cid:28) (cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:95) 0(cid:64)4 (cid:237) =4(cid:64)(cid:139)(cid:140) (cid:64)(cid:144)(cid:28)B(cid:118) (cid:384)(cid:102)(cid:28)
𝐴 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝐵𝐷⊥𝑥(cid:64)(cid:136) = =4(cid:64)(cid:265)(cid:35)(cid:251) =30°(cid:64)(cid:198)(cid:237) = =2 3(cid:64)(cid:285)(cid:90)(cid:237)(cid:28)B(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:83)
(cid:15)𝐷 (cid:199)(cid:190)𝑂(cid:19)𝐵(cid:190)(cid:10)𝑂(cid:139)𝐴 (cid:140) (cid:64)(cid:144)(cid:28)∠B𝐵(cid:118)𝑂𝐷 (cid:384)(cid:102)(cid:28) 𝐵(cid:64)𝐷(cid:141)(cid:78)2(cid:64),𝑂𝐷
𝑂𝐵 𝐵𝐷⊥𝑥 𝐷
(cid:28) (cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:95) 0(cid:64)4 (cid:64)
∵ 𝐴=4(cid:64)
∴𝑂𝐴 = =4(cid:64)
∴𝑂𝐵 𝑂𝐴1
= ×360°=120°(cid:64) =90°(cid:64)
3
∵∠𝐴𝑂𝐵 =30°(cid:64) ∠𝐴𝑂𝐷
∴∠𝐵𝑂𝐷1
= =2(cid:64)
2
∴𝐵𝐷 𝑂𝐵
= =2 3(cid:64)
2 2
∴(cid:28)𝑂𝐷(cid:385)(cid:84)(cid:386)𝑂(cid:242)𝐵(cid:387)−(cid:388)𝐵𝐷(cid:63)(cid:23)(cid:28)(cid:64)
∵(cid:28) (cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:95) 2 3 (cid:83)
∴(cid:201)(cid:183)𝐵(cid:184)(cid:95)(cid:10) 2 3 ,−(cid:83)2
(cid:15)(cid:206)(cid:207)7-1(cid:19)(cid:54)24,−-225(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:172)·(cid:389)(cid:224)(cid:390)(cid:391)·(cid:289)(cid:66)(cid:257)(cid:258)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64)(cid:138)(cid:65)l(cid:29) (cid:156)(cid:355)(cid:102)(cid:28)A(cid:64)B(cid:64)(cid:28)A(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:95)
(3,1)(cid:64)(cid:136)(cid:28)B(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:95) (cid:83) ⊙𝑂
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)( )
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)−(cid:20)3,−(cid:218)1(cid:105)(cid:170)(cid:186)(cid:180)(cid:3)(cid:102)(cid:392)(cid:28)(cid:219)(cid:152)(cid:23)(cid:28)(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:123)(cid:28)(cid:64)(cid:193)(cid:194)(cid:3)(cid:102)(cid:392)(cid:28)(cid:219)(cid:152)(cid:23)(cid:28)(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:123)(cid:28)(cid:10)(cid:106)(cid:60)(cid:28)(cid:3)(cid:102)(cid:392)(cid:28)(cid:219)(cid:152)(cid:291)(cid:64)(cid:68)(cid:323)(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:393)(cid:9)(cid:156)(cid:394)(cid:64)(cid:197)(cid:28) ( )(cid:3)(cid:102)(cid:392)(cid:28)O(cid:23)(cid:219)(cid:152)(cid:28)(cid:84) ( )(cid:64)(cid:194)(cid:236)(cid:190)(cid:183)(cid:197)(cid:198)(cid:83)
′
(cid:15)(cid:199)(cid:190)(cid:19)(cid:190)(cid:10)(cid:264)(cid:78)(cid:198)(cid:116)(cid:395)(cid:396)(cid:10)(cid:28)A(cid:29)(cid:28)B𝑃(cid:3)𝑥(cid:102),𝑦(cid:392)(cid:28)(cid:219)(cid:152)(cid:64) 𝑃 −𝑥,−𝑦
(cid:28)A(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:95)(3,1)(cid:64)
∵(cid:28)B(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:95)( )(cid:64)
∴(cid:201)(cid:183)(cid:184)(cid:95)(cid:10)( −3),−(cid:83)1
(cid:15)(cid:206)(cid:207)7-2(cid:19)−(cid:54)32,−0215·(cid:397)(cid:364)(cid:108)(cid:139)·(cid:59)(cid:313)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64)(cid:58)(cid:61)(cid:62)(cid:138)(cid:45)(cid:48)(cid:49)(cid:32) (cid:142)(cid:64)(cid:116)(cid:28)O(cid:95)(cid:22)(cid:82)(cid:64)(cid:398)(cid:299)(cid:47)(cid:95)(cid:36)(cid:37)(cid:118)(cid:145)(cid:64)
𝑥𝑂𝑦 1
(cid:355)x(cid:384)(cid:399)(cid:36)(cid:384)(cid:102)(cid:28)A(cid:64)(cid:355)y(cid:384)(cid:182)(cid:36)(cid:384)(cid:102)(cid:28)B(cid:127)(cid:265)(cid:150)(cid:296)(cid:116)(cid:28)O(cid:64)B(cid:95)(cid:22)(cid:82)(cid:64)(cid:108)(cid:102) (cid:23)(cid:47)(cid:95)(cid:36)(cid:37)(cid:118)(cid:145)(cid:64)(cid:106)(cid:145)(cid:156)
2
(cid:355)(cid:102)(cid:28)C(cid:64)D(cid:64)(cid:138)(cid:65) (cid:29) (cid:156)(cid:355)(cid:102)(cid:28)E(cid:83)(cid:274) =2(cid:64)(cid:136)(cid:28)E(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:95)(cid:54) (cid:55) 𝑂𝐵
𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝑂𝐴
A(cid:83)( ) B(cid:83) 3,1 C(cid:83) 3 D(cid:83)( )
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)−B2,1 − −1, −1,2
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:218)(cid:105)(cid:170)(cid:186)(cid:180)(cid:48)(cid:49)(cid:29)(cid:78)(cid:76)(cid:64)(cid:266)(cid:267)(cid:52)(cid:268)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:352)(cid:138)(cid:61)(cid:150)(cid:65)(cid:23)(cid:400)(cid:401)(cid:118)(cid:78)(cid:187)(cid:43)(cid:44)(cid:64)(cid:139)(cid:140) (cid:64)(cid:135) (cid:64)
1 1 𝑂𝐸 𝐷𝐸 𝑂𝐵
(cid:355)(cid:102) (cid:64)(cid:264)(cid:118)(cid:78)(cid:114)(cid:115)(cid:198)(cid:237) (cid:352)(cid:138)(cid:61)(cid:150) (cid:64)(cid:136) = = =1， =90°(cid:64)(cid:265)(cid:33)(cid:34)(cid:266)(cid:267)(cid:52)(cid:268)(cid:35)(cid:251)
2 2
(cid:23)(cid:47)𝐹(cid:197)(cid:198)(cid:237)(cid:98)(cid:183)(cid:184)(cid:83) 𝐶𝐷 𝑂𝐵 𝑂𝐹 𝑂𝐵 𝑂𝐴 ∠𝑂𝐹𝐸 𝐸𝐹
(cid:15)(cid:199)(cid:190)(cid:19)(cid:190)(cid:10)(cid:141)(cid:78)(cid:75)(cid:113)(cid:64)(cid:139)(cid:140) (cid:64)(cid:135) (cid:64) (cid:355)(cid:102) (cid:64)
(cid:264)(cid:118)(cid:78)(cid:114)(cid:115)(cid:198)(cid:237) (cid:352)(cid:138)(cid:61)(cid:150) 𝑂(cid:64)𝐸 𝐷𝐸 𝑂𝐵 𝐹
1 1 𝐶𝐷 𝑂𝐵
= = =1， =90°(cid:64)
2 2
∴(cid:240)𝑂𝐹 =𝑂𝐵 =𝑂2𝐴(cid:64) ∠𝑂𝐹𝐸
∵𝑂𝐸 𝑂𝐴
= = 3(cid:64)
2 2
∴(cid:28)𝐸𝐹 E(cid:23)(cid:48)𝑂𝐸(cid:49)(cid:95)−𝑂𝐹 3,1 (cid:64)
∴(cid:201)(cid:205)(cid:10)B(cid:83) −(cid:15)(cid:206)(cid:207)7-3(cid:19)(cid:54)2025·(cid:312)(cid:303)(cid:402)(cid:403)·(cid:59)(cid:313)(cid:55)(cid:219)(cid:102)(cid:28)P(cid:131)(cid:65)(cid:66) (cid:64)(cid:404)(cid:251)(cid:141)(cid:172)(cid:52)(cid:53)(cid:10)(cid:274)(cid:94)(cid:65)(cid:66) (cid:67)(cid:28)P(cid:71)(cid:72)(cid:198)(cid:116)(cid:237)(cid:98)
(cid:23)(cid:137) (cid:54) (cid:64) (cid:150)(cid:296)(cid:84)A(cid:64)B(cid:23)(cid:219)(cid:322)(cid:28)(cid:55)(cid:64)(cid:136)(cid:152)𝐴(cid:65)𝐵 (cid:66) (cid:84) (cid:23)(cid:116)(cid:28)P(cid:95)(cid:142)(cid:82)𝐴𝐵(cid:23)“(cid:131)(cid:405)(cid:65)(cid:66)”(cid:83)(cid:141)(cid:78)(cid:64)
(cid:58)⊙(cid:61)𝑂(cid:62)(cid:138)(cid:45)𝐴1 (cid:48)𝐵1 (cid:49)(cid:32)𝐴1 𝐵(cid:142) 1 (cid:64) (cid:23)(cid:36)(cid:37)(cid:95)1(cid:64)(cid:28) ( )(cid:64) (𝐴𝐵 )⊙(cid:64)𝑂( )(cid:23)(cid:64)(cid:139)(cid:140) (cid:64)(cid:228)(cid:229)(cid:65)(cid:66) (cid:84)
(cid:23)(cid:116)(cid:28)P(cid:95)(cid:142)(cid:82)(cid:23)𝑥“(cid:131)𝑂𝑦(cid:405)(cid:65)(cid:66)⊙”(cid:64)𝑂(cid:136)(cid:28) (cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:84)𝑃(cid:54)− 1 (cid:55),1 𝐴 −2,3 𝐵 −1,2 𝐴𝐵 𝐴𝐵 ⊙𝑂
𝐴1
A(cid:83)(0,1) B(cid:83)( ) C(cid:83)(1,0) D(cid:83)( )
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)B 0,−1 −1,0
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:218)(cid:105)(cid:170)(cid:186)(cid:180)(cid:48)(cid:49)(cid:29)(cid:78)(cid:76)(cid:206)(cid:406)—(cid:71)(cid:72)(cid:64)(cid:22)(cid:23)(cid:41)(cid:42)(cid:123)(cid:28)(cid:64)(cid:193)(cid:194)(cid:20)(cid:130)(cid:198)(cid:237) ( )(cid:64) (0,1)(cid:126)(cid:58)
(cid:124)(cid:64)(cid:264) =1(cid:64) = =1(cid:198)(cid:237)(cid:28)B(cid:238)(cid:157)(cid:58)C(cid:96)D(cid:178)(cid:106)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:128)(cid:268)(cid:28)A(cid:238)(cid:157)𝐶(cid:58)−(11,0,0)(cid:64)(𝐷 )(cid:178)(cid:106)(cid:60)⊙(cid:30)𝑂
(cid:31)(cid:64)(cid:195)𝑃(cid:90)𝐵(cid:103)(cid:52) (𝑃𝐶 )𝑃(cid:64)𝐷 ( )(cid:160) (1,0)(cid:64) (0,1)(cid:64)(cid:265)(cid:103)(cid:52)(cid:219)(cid:322)(cid:336)(cid:76)(cid:172)(cid:71)(cid:72)(cid:23)(cid:45)(cid:46)(cid:197)(cid:198)(cid:237)0,−(cid:98)1(cid:183)(cid:184)(cid:83)
(cid:15)(cid:199)(cid:190)(cid:19)(cid:190)(cid:10)𝐴1(0,−1)(cid:64)𝐵1( −1,0)(cid:64) 𝐴1 𝐵1
=1(cid:64) ∵𝑃 −1,1 𝐵 −1,2
∴𝑃𝐵 (cid:23)(cid:36)(cid:37)(cid:95)1(cid:64)
∵⊙( 𝑂 )(cid:64) (0,1)(cid:126)(cid:58) (cid:124)(cid:64)
∴(cid:141)𝐶(cid:78)−(cid:64)1,0 𝐷 ⊙𝑂= =1(cid:64)
∵(cid:146)𝑃𝐶(cid:145) 𝑃𝐷(cid:54)(cid:91)(cid:407)(cid:408)(cid:70)(cid:28)(cid:55)(cid:124)(cid:23)(cid:129)(cid:130)(cid:59)(cid:28)(cid:98)(cid:28)P(cid:23)(cid:99)(cid:100)(cid:126)(cid:109)(cid:102)1(cid:64)(cid:147)(cid:145) (cid:54)(cid:91)(cid:407)(cid:408)(cid:70)(cid:28)(cid:55)(cid:124)(cid:129)(cid:130)(cid:59)(cid:28)(cid:98)(cid:28)P
(cid:23)∴ (cid:99)(cid:100)𝐶(cid:108)𝐷(cid:102)1(cid:64) 𝐶𝐷
(cid:28)B(cid:238)(cid:157)(cid:58)C(cid:96)D(cid:178)(cid:106)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:64)
∴(cid:128)(cid:268)(cid:198)(cid:237)(cid:28)A(cid:238)(cid:157)(cid:58)(1,0)(cid:64)( )(cid:178)(cid:106)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:64)
( )(cid:64) ( )(cid:160) (1,00,)−(cid:64)1 (0,1)(cid:64)
∴(cid:299)𝐴1 0(,−1 )(cid:64)𝐵1 −( 1,0 )(cid:291)𝐴(cid:64) 1 (cid:236)(cid:291)(cid:71)𝐵(cid:72)1(cid:45)(cid:46)(cid:95)180(cid:46)(cid:64)(cid:393)(cid:93)(cid:20)(cid:130)(cid:64)
(cid:299)𝐴1 (01,,−0)1(cid:64) 𝐵(10,−1)1(cid:64),0(cid:236)(cid:291)(cid:28)A(cid:71)(cid:72)(cid:98)(cid:81)(cid:219)(cid:322)(cid:28)(cid:291)(cid:23)(cid:71)(cid:72)(cid:45)(cid:46)(cid:108)(cid:102)90(cid:46)(cid:64)(cid:28)B(cid:71)(cid:72)(cid:98)(cid:81)(cid:219)(cid:322)(cid:28)(cid:291)(cid:23)(cid:71)(cid:72)(cid:45)
(cid:95)𝐴910(cid:46)(cid:64)(cid:91)𝐵(cid:393)1(cid:93)(cid:20)(cid:130)(cid:64)
( )(cid:64) ( )(cid:64)
(cid:201)∴𝐴(cid:205)1 (cid:10)0,−B(cid:83)1 𝐵1 −1,0
【题型8 利用圆的基本性质求最值】
(cid:15)(cid:162)8(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:209)(cid:167)·(cid:212)(cid:142)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64)(cid:259)(cid:76) (cid:142)(cid:64) =4(cid:64) =3(cid:64)(cid:294)(cid:28) (cid:150)(cid:296)(cid:285)(cid:28) (cid:128)(cid:291)(cid:251)
(cid:395)(cid:64)(cid:262)(cid:116)(cid:154)(cid:409)1(cid:60)(cid:222)(cid:30)(cid:47)(cid:46)(cid:23)(cid:410)(cid:46)(cid:150)(cid:296)(cid:411) (cid:412)(cid:413)𝐴𝐵(cid:28)𝐶𝐷 (cid:376)(cid:294)𝐴𝐵(cid:64)(cid:144)(cid:28) 𝐵𝐶(cid:118)(cid:138)(cid:65)l(cid:64)(cid:144)𝐸(cid:28),𝐹A(cid:118)(cid:138)(cid:65)𝐴l,(cid:23)𝐶 (cid:352)(cid:65)(cid:64)
(cid:352)(cid:318)(cid:95)G(cid:64)(cid:136) (cid:23)(cid:50)(cid:108)(cid:51)(cid:95)(cid:54) (cid:55) 𝐴𝐵,𝐶𝐷 𝐵,𝐷 𝐸,𝐹
𝐴𝐺
5 3
A(cid:83) B(cid:83) C(cid:83)5 D(cid:83)3
2 2
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)A
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:218)(cid:105)(cid:170)(cid:186)(cid:180)(cid:259)(cid:76)(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:96)(cid:294)(cid:28)(cid:216)(cid:217)(cid:96)(cid:29)(cid:22)(cid:38)(cid:3)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:101)(cid:229)(cid:25)(cid:64)(cid:193)(cid:194)(cid:259)(cid:76)(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:116)(cid:187)(cid:138)(cid:45)
(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:249)(cid:243)(cid:142)(cid:65)(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:103)(cid:52)G(cid:23)(cid:216)(cid:217)(cid:84)(cid:42)(cid:20)(cid:190)(cid:20)(cid:23)(cid:3)(cid:192)(cid:83)(cid:139)(cid:140) (cid:355)(cid:102)(cid:28) (cid:64)(cid:248) (cid:142)(cid:28)(cid:95) (cid:64)(cid:139)(cid:140) (cid:64)
𝐴𝐶,𝐵𝐷 𝑂 𝑂𝐴 𝐻 𝐺𝐻(cid:193)(cid:194)(cid:138)(cid:45)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:249)(cid:243)(cid:142)(cid:65)(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:64)(cid:198)(cid:116)(cid:237)(cid:251) (cid:23)(cid:216)(cid:217)(cid:64)(cid:285)(cid:90)(cid:35)(cid:251) (cid:23)(cid:50)(cid:108)(cid:51)(cid:83)
(cid:15)(cid:199)(cid:190)(cid:19)(cid:139)(cid:140) (cid:355)(cid:102)(cid:28) (cid:64)(cid:248) (cid:142)(cid:28)(cid:95)𝐺(cid:64)(cid:139)(cid:140) (cid:64)(cid:141)(cid:78)(cid:75)𝐴(cid:113)𝐺(cid:64)
𝐴𝐶,𝐵𝐷 𝑂 𝑂𝐴 𝐻 𝐺𝐻
(cid:242)(cid:243)(cid:76) (cid:95)(cid:259)(cid:76)(cid:64)
= = (cid:64)
∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴∠𝐴𝐵𝐶 90°,𝑂𝐴 𝑂𝐶,𝐴𝐵∥𝐶𝐷
(cid:58)Rt (cid:142)(cid:64) = + = 4 +3 =5(cid:64)
2 2 2 2
∴ △𝐴𝐵𝐶1 𝐴𝐶5 𝐴𝐵 𝐴𝐶
= = = (cid:64)
2 2
∴𝑂𝐴 𝑂𝐶(cid:64) 𝐴𝐶
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷= (cid:64)
(cid:58)∴∠𝐸𝐴𝑂 (cid:29)∠𝐹𝐶𝑂 (cid:142)(cid:64)
△𝐴𝑂=𝐸 △𝐶𝑂𝐹
= (cid:64)
𝐴𝐸= 𝐶𝐹
∠𝐸𝐴𝑂 ∠𝐹𝐶𝑂
𝐴𝑂 𝐶𝑂 (cid:64)
∴ △𝐴𝑂=𝐸≌△𝐶𝑂(cid:64)𝐹
∴∠𝐴𝑂𝐸(cid:133)(cid:28)∠(cid:179)𝐶𝑂(cid:65)𝐹(cid:64)
∴𝑂,𝐸,𝐹 (cid:64) (cid:84) (cid:23)(cid:142)(cid:28)(cid:64)
∵𝐴𝐺⊥𝐸𝐹 𝐻 𝑂𝐵 1 5
(cid:58)Rt (cid:142)(cid:64) = = (cid:64)
2 4
∴ △𝐴𝐺𝑂 𝐺𝐻 𝐴5𝑂
(cid:23)(cid:216)(cid:217)(cid:95)(cid:116) (cid:95)(cid:22)(cid:82)(cid:64) (cid:95)(cid:36)(cid:37)(cid:197) (cid:95)(cid:138)(cid:37)(cid:23)(cid:22)(cid:145)(cid:64)
4
∴𝐺 𝐻 𝐴𝑂 5
(cid:23)(cid:50)(cid:108)(cid:51)(cid:95) (cid:23)(cid:47)(cid:64)(cid:197) = = (cid:83)
2
(cid:15)∴(cid:206)𝐴𝐺(cid:207)8-1(cid:19)(cid:54)24𝐴-2𝑂5(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:172)𝐴·𝐺(cid:223) m (cid:224) ax (cid:225)(cid:226)𝐴𝑂·(cid:212)(cid:213)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64) (cid:96) (cid:95) (cid:124)(cid:106)(cid:28)(cid:64) =90°(cid:64) (cid:95) (cid:124)(cid:59)(cid:294)
(cid:28)(cid:54)(cid:91)(cid:29) (cid:64) (cid:159)(cid:93)(cid:55)(cid:64) (cid:95) (cid:23)(cid:142)(cid:28)(cid:83)(cid:274) (cid:23)(cid:36)(cid:37)(cid:95)𝐴2(cid:64)𝐵(cid:136)⊙𝑂(cid:23)(cid:50)(cid:108)(cid:51)(cid:95)∠(cid:54)𝐴𝑂 𝐵 (cid:55) 𝐶 ⊙𝑂
𝐴 𝐵 𝐷 𝐴𝐶 ⊙𝑂 𝐵𝐷
A(cid:83)1+ 5 B(cid:83) 5C(cid:83)3 D(cid:83)2 5
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)A
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:170)(cid:186)(cid:180)(cid:142)(cid:30)(cid:65)(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:64)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:243)(cid:47)(cid:3)(cid:32)(cid:64)(cid:266)(cid:267)(cid:52)(cid:268)(cid:64)(cid:139)(cid:140) (cid:64)(cid:248) (cid:23)(cid:142)(cid:28) (cid:64)(cid:139)(cid:140) (cid:64)
1 𝐶𝑂 𝐴𝑂 𝐸 𝐷𝐸,𝐵𝐸
(cid:193)(cid:194)(cid:142)(cid:30)(cid:65)(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:198)(cid:237) = =1(cid:64)(cid:265)(cid:33)(cid:34)(cid:266)(cid:267)(cid:52)(cid:268)(cid:35)(cid:237) (cid:64)(cid:193)(cid:194)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:243)(cid:47)(cid:3)(cid:32)(cid:198)(cid:237) + (cid:64)
2
(cid:197)(cid:198)(cid:190)(cid:183)(cid:64)(cid:182)(cid:103)(cid:118)(cid:251)(cid:366)𝐷(cid:367)𝐸(cid:65)(cid:84)(cid:190)𝐶𝑂(cid:20)(cid:23)(cid:3)(cid:192)(cid:83) 𝐵𝐸 𝐷𝐵≤𝐷𝐸 𝐵𝐸
(cid:15)(cid:199)(cid:190)(cid:19)(cid:190)(cid:10)(cid:141)(cid:78)(cid:64)(cid:139)(cid:140) (cid:64)(cid:248) (cid:23)(cid:142)(cid:28) (cid:64)(cid:139)(cid:140) (cid:64)
𝐶𝑂 𝐴𝑂 𝐸 𝐷𝐸,𝐵𝐸
(cid:95) (cid:23)(cid:142)(cid:28)(cid:64) (cid:23)(cid:142)(cid:28)(cid:95) (cid:64)
∵𝐷 𝐴𝐶1 𝐴𝑂 1 𝐸
= =1(cid:64) = =1(cid:64)
2 2
∴𝐷𝐸 =𝐶𝑂90°(cid:64) 𝑂𝐸 𝐴𝑂
∵∠𝐴𝑂𝐵
= + = 5(cid:64)
2 2
(cid:193)∴(cid:194)𝐵𝐸(cid:133)(cid:45)(cid:76)𝑂(cid:243)𝐸 (cid:47)(cid:3)𝐵(cid:32)𝐸 (cid:198)(cid:237) + (cid:64)
(cid:23)(cid:50)(cid:108)(cid:51)(cid:95) + 𝐵=𝐸−𝐷5𝐸+≤1(cid:64)𝐵𝐷≤𝐵𝐸 𝐷𝐸
(cid:201)∴(cid:205)𝐵𝐷(cid:10)A(cid:83) 𝐵𝐸 𝐷𝐸
(cid:15)(cid:206)(cid:207)8-2(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:172)·(cid:331)(cid:332)(cid:277)(cid:273)·(cid:212)(cid:142)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64)(cid:58)(cid:259)(cid:76) (cid:142)(cid:64)(cid:228)(cid:229) =5(cid:64) =12(cid:64) (cid:84) (cid:243)
(cid:124)(cid:59)(cid:294)(cid:28)(cid:54)(cid:28) (cid:91)(cid:29)(cid:28) (cid:64) (cid:159)(cid:93)(cid:55)(cid:64)(cid:139)(cid:140) (cid:64)(cid:118)(cid:28) (cid:3)(cid:102)(cid:138)(cid:65)𝐴𝐵𝐶(cid:23)𝐷(cid:219)(cid:152)(cid:28) (cid:64)𝐴𝐵(cid:136)(cid:65)(cid:66) 𝐵𝐶(cid:23)(cid:50)(cid:109)(cid:51)𝑃(cid:95)(cid:54)𝐵 𝐶 (cid:55)
𝑃 𝐵 𝐶 𝐴𝑃 𝐵 𝐴𝑃 𝑀 𝑀𝐶
13
A(cid:83) 26 B(cid:83) C(cid:83)7 D(cid:83)8
2
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)D
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:218)(cid:105)(cid:170)(cid:186)(cid:180)(cid:384)(cid:219)(cid:152)(cid:43)(cid:44)(cid:96)(cid:22)(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:96)(cid:259)(cid:76)(cid:43)(cid:44)(cid:96)(cid:266)(cid:267)(cid:52)(cid:268)(cid:101)(cid:229)(cid:25)(cid:28)(cid:64)(cid:414)(cid:103)(cid:193)(cid:194)(cid:20)(cid:130)(cid:237)(cid:251)(cid:294)(cid:28)
(cid:216)(cid:217)(cid:84)(cid:190)(cid:20)(cid:23)(cid:3)(cid:192)(cid:83)
(cid:193)(cid:194)(cid:219)(cid:152)(cid:43)(cid:237)(cid:98)(cid:294)(cid:28)M(cid:23)(cid:216)(cid:217)(cid:84)(cid:58)(cid:116)A(cid:22)(cid:82)(cid:64)5(cid:95)(cid:36)(cid:37)(cid:23)(cid:22)(cid:124)(cid:64)(cid:193)(cid:194)(cid:28)(cid:22)(cid:313)(cid:21)(cid:64)(cid:58)(cid:259)(cid:76)(cid:142)(cid:33)(cid:34)(cid:266)(cid:267)(cid:52)(cid:268)(cid:35)(cid:251)(cid:65)(cid:66) (cid:23)(cid:50)(cid:109)(cid:51)(cid:197)(cid:198)(cid:83)
(cid:15)(cid:199)(cid:190)(cid:19)𝑀𝐶(cid:190)(cid:10)(cid:141)(cid:78)(cid:10)(cid:139)(cid:140) (cid:64)
𝐴𝑀
(cid:28)B(cid:131)M(cid:3)(cid:102) (cid:219)(cid:152)(cid:64)
∵ = =5(cid:64)𝐴𝑃
∴M𝐴𝐵(cid:58)(cid:116)𝐴𝑀A(cid:22)(cid:82)(cid:64)5(cid:95)(cid:36)(cid:37)(cid:23)(cid:22)(cid:124)(cid:64)
∴(cid:299)A(cid:64)M(cid:64)C(cid:133)(cid:28)(cid:179)(cid:65)(cid:291)(cid:64) (cid:50)(cid:415)(cid:64)
∴ 𝑀𝐶
(cid:58)(cid:259)(cid:76) (cid:142)(cid:64) = + = 5 +12 =13(cid:64) = =5(cid:64)
2 2 2 2
∵ =1𝐴3𝐵+𝐶𝐷5=8(cid:83)𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝑀
∴(cid:201)𝐶(cid:205)𝑀(cid:10)D(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:207)8-3(cid:19)(cid:54)2025·(cid:209)(cid:167)·(cid:59)(cid:313)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64) (cid:84)(cid:259)(cid:76) > (cid:23)(cid:243) (cid:124)(cid:59)(cid:294)(cid:28)(cid:64) (cid:84) (cid:23)(cid:142)(cid:28)(cid:64)(cid:139)(cid:140)
(cid:64)(cid:94) (cid:411) (cid:75)(cid:58)(cid:138)(cid:65)(cid:416)(cid:417)(cid:64)(cid:28) 𝑃(cid:23)(cid:219)(cid:322)(cid:28)𝐴𝐵(cid:84)𝐶(cid:28)𝐷(𝐴(cid:64)𝐵(cid:139)(cid:140)𝐴𝐷)(cid:83)(cid:228)𝐴(cid:229)𝐵 =2 10(cid:64)𝐹(cid:299)𝐵(cid:65)𝐶(cid:66) (cid:23)(cid:50)(cid:109)(cid:51)(cid:95)
𝐷1𝑃(cid:291)(cid:64)(cid:243)△𝐷(cid:23)𝐴𝑃(cid:47)(cid:95)𝐷(cid:54)𝑃 (cid:55) 𝐴 𝐸 𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐸𝐹
𝐵𝐶
A(cid:83)9 B(cid:83)8 C(cid:83)7 D(cid:83)6
(cid:15)(cid:183)(cid:184)(cid:19)D
(cid:15)(cid:150)(cid:185)(cid:19)(cid:264)(cid:259)(cid:76)(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:198)(cid:237) = =90°(cid:64) = (cid:64) = =2 10(cid:64)(cid:418)(cid:144)(cid:416)(cid:417)(cid:43)(cid:44)(cid:198)(cid:229)(cid:10)
= (cid:64) = (cid:64)∠(cid:136)𝑃𝐴(cid:38)𝐷(cid:28) ∠(cid:58)𝐶(cid:116)(cid:28) (cid:95)(cid:22)𝐴𝐷(cid:82)(cid:64)𝐵𝐶(cid:95)𝐶(cid:36)𝐷(cid:37)(cid:23)𝐴𝐵(cid:22)(cid:124)(cid:376)(cid:294)(cid:64)(cid:139)(cid:140) (cid:64)(cid:264)
∠𝑃𝐴+𝐷 ∠𝑃𝐸𝐷(cid:64)(cid:285)𝐴𝐷(cid:90)(cid:198)𝐸(cid:229)𝐷(cid:299)(cid:28) (cid:96)𝐸(cid:96) (cid:133)(cid:28)𝐷(cid:179)(cid:65)(cid:291)(cid:64) 𝐴𝐷(cid:38)(cid:50)(cid:109)(cid:51)(cid:64)(cid:232)(cid:233)(cid:135) = 𝐷(cid:64)𝐹(cid:136) = (cid:64)
𝐷𝐸=𝐸𝐹≥+𝐷𝐹= +1(cid:64)(cid:50)(cid:233)𝐷(cid:418)(cid:144)𝐸(cid:266)(cid:267)𝐹(cid:52)(cid:268)(cid:64)(cid:190)(cid:59)(cid:281)𝐸(cid:235)𝐹(cid:282)(cid:114)(cid:279)(cid:197)(cid:198)(cid:35)(cid:190)(cid:83)𝐵𝐶 2𝑥 𝐶𝐹 𝑥
𝐷(cid:15)𝐹(cid:199)(cid:190)𝐷(cid:19)𝐸(cid:190)(cid:10)𝐸𝐹(cid:242)(cid:243)2𝑥(cid:76) (cid:84)(cid:259)(cid:76)(cid:64)
∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷= =90°(cid:64) = (cid:64) = =2 10(cid:64)
∴(cid:264)∠(cid:416)𝑃𝐴(cid:417)𝐷(cid:43)(cid:44)∠(cid:198)𝐶(cid:229)(cid:10) 𝐴𝐷= 𝐵𝐶 𝐶(cid:64)𝐷 𝐴=𝐵 (cid:64)
(cid:28) (cid:58)(cid:116)(cid:28) (cid:95)(cid:22)(cid:82)∠𝑃(cid:64)𝐴𝐷 (cid:95)∠(cid:36)𝑃𝐸(cid:37)𝐷(cid:23)(cid:22)𝐴𝐷(cid:124)(cid:376)𝐸(cid:294)𝐷(cid:64)(cid:139)(cid:140) (cid:64)(cid:141)(cid:78)(cid:64)
∴ 𝐸 𝐷 𝐴𝐷 𝐷𝐹
+ (cid:64)
∵(cid:299)𝐷𝐸(cid:28) 𝐸(cid:96)𝐹≥(cid:96)𝐷𝐹(cid:133)(cid:28)(cid:179)(cid:65)(cid:291)(cid:64) (cid:38)(cid:50)(cid:109)(cid:51)(cid:64)(cid:197)(cid:236)(cid:291) =1(cid:64)(cid:141)(cid:78)(cid:64)
∴ 𝐷 𝐸 𝐹 𝐸𝐹 𝐸𝐹
(cid:84) (cid:23)(cid:142)(cid:28)(cid:64)
∵𝐹 𝐵𝐶1
= (cid:64)
2
∴(cid:135)𝐶𝐹 =𝐵𝐶(cid:64)(cid:136) = (cid:64) = + = +1(cid:64)
(cid:264)𝐵(cid:266)𝐶(cid:267)(cid:52)2(cid:268)𝑥 (cid:237)(cid:10)𝐶𝐹 =𝑥 𝐷𝐹+ 𝐷𝐸(cid:64)𝐸𝐹 2𝑥
2 2 2
𝐷𝐹 𝐶𝐷 𝐶𝐹
( +1) =(2 10) + (cid:64)(cid:328)(cid:268)(cid:237)(cid:10)3 + =0(cid:64)
2 2 2 2
∴ 2𝑥 13 𝑥 𝑥 4𝑥−39
(cid:190)(cid:237)(cid:10) = (cid:54)(cid:286)(cid:287)(cid:55)(cid:64) =3(cid:64)
3
=
𝑥1
=−2×3=6(cid:64)
𝑥2
∴(cid:201)𝐵(cid:205)𝐶(cid:10)D2(cid:83)𝑥
(cid:15)(cid:28)(cid:252)(cid:19)(cid:42)(cid:20)(cid:218)(cid:105)(cid:170)(cid:186)(cid:180)(cid:416)(cid:417)(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:64)(cid:259)(cid:76)(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:64)(cid:266)(cid:267)(cid:52)(cid:268)(cid:64)(cid:106)(cid:28)(cid:290)(cid:148)(cid:65)(cid:66)(cid:50)(cid:415)(cid:64)(cid:190)(cid:59)(cid:281)(cid:235)(cid:282)(cid:114)(cid:279)(cid:64)(cid:22)
(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:23)(cid:419)(cid:93)(cid:376)(cid:34)(cid:64)(cid:283)(cid:284)(cid:229)(cid:25)(cid:28)(cid:23)(cid:322)(cid:34)(cid:84)(cid:190)(cid:20)(cid:23)(cid:3)(cid:192)(cid:83)
