文档文本内容
专题 3.1 圆（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:19)................................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:19)........................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:29)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:19)............................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:29)(cid:22)(cid:38)(cid:3)(cid:23)(cid:39)(cid:40)(cid:19)....................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:33)(cid:34)(cid:22)(cid:23)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:19)....................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:33)(cid:34)(cid:22)(cid:23)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:35)(cid:47)(cid:46)(cid:19)....................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:33)(cid:34)(cid:22)(cid:23)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:35)(cid:48)(cid:49)(cid:19)....................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:33)(cid:34)(cid:22)(cid:23)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:19)....................................................................................................................9
知识点1 圆的定义及表示方法
1. (cid:52)(cid:53)(cid:10)
(cid:54)1(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:43)(cid:52)(cid:53)(cid:10)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)OA(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:52)(cid:23)(cid:59)(cid:60)(cid:70)(cid:28)O(cid:71)(cid:72)(cid:59)(cid:73)(cid:64)(cid:74)(cid:59)(cid:60)(cid:70)(cid:28)A(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:23)(cid:78)(cid:76)
(cid:79)(cid:80)(cid:22)(cid:64)(cid:81)(cid:69)(cid:52)(cid:23)(cid:70)(cid:28)O(cid:79)(cid:80)(cid:22)(cid:82)(cid:64)(cid:65)(cid:66)OA(cid:79)(cid:80)(cid:36)(cid:37)(cid:83)
“(cid:22)”(cid:84)(cid:85)“(cid:22)(cid:73)”(cid:54)(cid:59)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:65)(cid:55)(cid:90)(cid:91)(cid:84)“(cid:22)(cid:62)”(cid:83)
(cid:54)2(cid:55)(cid:92)(cid:93)(cid:43)(cid:52)(cid:53)(cid:10)(cid:94)(cid:22)(cid:82)(cid:95)O(cid:96)(cid:36)(cid:37)(cid:95)r(cid:23)(cid:22)(cid:97)(cid:77)(cid:84)(cid:75)(cid:38)(cid:98)(cid:52)(cid:28)O(cid:23)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:52)(cid:47)r(cid:23)(cid:28)(cid:23)(cid:92)(cid:93)(cid:83)
(cid:22)(cid:82)(cid:10)(cid:103)(cid:52)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:64)
(cid:103)(cid:52)(cid:59)(cid:60)(cid:22)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:60)(cid:105)(cid:107)
(cid:36)(cid:37)(cid:10)(cid:103)(cid:52)(cid:22)(cid:23)(cid:108)(cid:109)(cid:83)
2. (cid:22)(cid:23)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)
(cid:116)(cid:28)O(cid:95)(cid:22)(cid:82)(cid:23)(cid:22)(cid:64)(cid:117)(cid:118)“ O”(cid:64)(cid:121)(cid:118)“(cid:22)O”(cid:83)
3. (cid:22)(cid:23)(cid:123)(cid:43) ⊙
(cid:54)1(cid:55)(cid:22)(cid:124)(cid:125)(cid:28)(cid:98)(cid:52)(cid:28)(cid:54)(cid:22)(cid:82)O(cid:55)(cid:23)(cid:99)(cid:100)(cid:126)(cid:101)(cid:102)(cid:52)(cid:47)(cid:54)(cid:36)(cid:37)r(cid:55)(cid:127)
(cid:54)2(cid:55)(cid:75)(cid:38)(cid:98)(cid:22)(cid:82)(cid:23)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:36)(cid:37)(cid:23)(cid:28)(cid:126)(cid:58)(cid:128)(cid:59)(cid:60)(cid:22)(cid:124)(cid:127)(cid:54)3(cid:55)(cid:22)(cid:124)(cid:129)(cid:130)(cid:106)(cid:28)(cid:131)(cid:22)(cid:82)(cid:132)(cid:77)(cid:23)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:84)(cid:101)(cid:134)(cid:133)(cid:45)(cid:76)(cid:83)
知识点2 点与圆的位置关系
(cid:135) O(cid:23)(cid:36)(cid:37)(cid:95)r(cid:64)(cid:28)P(cid:98)(cid:22)(cid:82)(cid:23)(cid:99)(cid:100)(cid:95)d(cid:64)(cid:136)(cid:28)(cid:29)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:32)(cid:95)
点⊙在圆内 < ；
点 在圆上 = ；
点𝑃在圆外⟺𝑑>𝑟(cid:83)
𝑃 ⟺𝑑 𝑟
𝑃 ⟺𝑑 𝑟
知识点3 圆的有关概念
1. (cid:137)(cid:29)(cid:138)(cid:37)
(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:124)(cid:129)(cid:130)(cid:106)(cid:28)(cid:23)(cid:65)(cid:66)(cid:79)(cid:80)(cid:137)(cid:54)(cid:141)(cid:78)(cid:142)AB(cid:55)(cid:64)(cid:143)(cid:144)(cid:22)(cid:82)(cid:23)(cid:137)(cid:79)(cid:80)(cid:138)(cid:37)(cid:54)(cid:141)(cid:78)(cid:142)AC(cid:55)(cid:83)
2. (cid:145)(cid:96)(cid:36)(cid:22)(cid:96)(cid:146)(cid:145)(cid:96)(cid:147)(cid:145)(cid:96)(cid:22)(cid:82)(cid:45)
(cid:54)1(cid:55)(cid:22)(cid:124)(cid:129)(cid:130)(cid:106)(cid:28)(cid:148)(cid:23)(cid:149)(cid:150)(cid:79)(cid:80)(cid:22)(cid:145)(cid:64)(cid:151)(cid:152)(cid:145)(cid:83)
(cid:54)2(cid:55)(cid:22)(cid:23)(cid:129)(cid:130)(cid:59)(cid:86)(cid:138)(cid:37)(cid:23)(cid:106)(cid:60)(cid:70)(cid:28)(cid:153)(cid:22)(cid:150)(cid:77)(cid:106)(cid:86)(cid:145)(cid:64)(cid:154)(cid:59)(cid:86)(cid:145)(cid:126)(cid:79)(cid:80)(cid:36)(cid:22)(cid:83)
(cid:147)(cid:145)(cid:10)(cid:108)(cid:102)(cid:36)(cid:22)(cid:23)(cid:145)(cid:79)(cid:80)(cid:147)(cid:145)(cid:64)(cid:34)(cid:133)(cid:60)(cid:28)(cid:112)(cid:113)(cid:54)(cid:141)(cid:78)(cid:142) )
(cid:54)3(cid:55)(cid:145)
(cid:146)(cid:145)(cid:10)(cid:109)(cid:102)(cid:36)(cid:22)(cid:23)(cid:145)(cid:79)(cid:80)(cid:146)(cid:145)(cid:64)(cid:34)(cid:106)(cid:60)(cid:28)(cid:112)(cid:113)(cid:54)(cid:141)(cid:78)(cid:142) )
𝐴𝐵𝐶
(cid:54)4(cid:55)(cid:22)(cid:82)(cid:45)(cid:10)(cid:155)(cid:28)(cid:58)(cid:22)(cid:82)(cid:23)(cid:45)(cid:79)(cid:80)(cid:22)(cid:82)(cid:45)(cid:83)
𝐴𝐵
3. (cid:128)(cid:82)(cid:22)(cid:96)(cid:101)(cid:22)(cid:29)(cid:101)(cid:145)
(cid:22)(cid:82)(cid:156)(cid:128)(cid:64)(cid:36)(cid:37)(cid:91)(cid:156)(cid:101)(cid:23)(cid:106)(cid:60)(cid:22)(cid:79)(cid:80)(cid:128)(cid:82)(cid:22)(cid:83)
(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:93)(cid:23)(cid:106)(cid:60)(cid:22)(cid:79)(cid:80)(cid:101)(cid:22)(cid:64)(cid:36)(cid:37)(cid:156)(cid:101)(cid:23)(cid:106)(cid:60)(cid:22)(cid:84)(cid:101)(cid:22)(cid:83)(cid:58)(cid:128)(cid:22)(cid:160)(cid:101)(cid:22)(cid:142)(cid:64)(cid:157)(cid:158)(cid:161)(cid:156)(cid:159)(cid:93)(cid:23)(cid:145)(cid:79)(cid:80)(cid:101)(cid:145)(cid:83)
(cid:128)(cid:22)(cid:160)(cid:101)(cid:22)(cid:23)(cid:36)(cid:37)(cid:156)(cid:101)(cid:83)
【题型1 圆的认识】
(cid:15)(cid:162)1(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:169)·(cid:170)(cid:11)(cid:171)(cid:172)(cid:55)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:115)(cid:10)①(cid:128)(cid:59)(cid:22)(cid:124)(cid:23)(cid:28)(cid:98)(cid:22)(cid:82)(cid:23)(cid:99)(cid:100)(cid:156)(cid:101)(cid:127)②(cid:141)(cid:176)(cid:177)
(cid:178)(cid:60)(cid:28)(cid:98)(cid:59)(cid:60)(cid:52)(cid:28)(cid:23)(cid:99)(cid:100)(cid:156)(cid:101)(cid:64)(cid:136)(cid:179)(cid:178)(cid:60)(cid:28)(cid:180)(cid:22)(cid:127)③(cid:36)(cid:37)(cid:103)(cid:52)(cid:181)(cid:64)(cid:22)(cid:182)(cid:103)(cid:52)(cid:181)(cid:64)(cid:81)(cid:142)(cid:183)(cid:103)(cid:23)(cid:84)(cid:54) (cid:55)
A(cid:83)①② B(cid:83)①③ C(cid:83)②③ D(cid:83)①②③
(cid:15)(cid:184)(cid:185)1-1(cid:19)(cid:54)23-24(cid:186)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:124)(cid:187)(cid:188)(cid:189)·(cid:190)(cid:191)(cid:55)(cid:98)(cid:28) (cid:23)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)2(cid:192)(cid:193)(cid:23)(cid:28)(cid:23)(cid:194)(cid:195)(cid:84) (cid:83)
(cid:15)(cid:184)(cid:185)1-2(cid:19)(cid:54)23-24(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:173)·(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:199)·(cid:170)(cid:11)(cid:171)(cid:172)(cid:55)𝐴(cid:173)(cid:174)(cid:86)(cid:200)(cid:142)(cid:64)(cid:157)(cid:103)(cid:52)(cid:59)(cid:60)(cid:22)(cid:23)(cid:84)(cid:54) (cid:55)
A(cid:83)(cid:116)(cid:28) (cid:95)(cid:22)(cid:82) B(cid:83)(cid:116)10cm(cid:47)(cid:95)(cid:36)(cid:37)
C(cid:83)(cid:116)(cid:28)𝑂(cid:95)(cid:22)(cid:82)(cid:64)10cm(cid:47)(cid:95)(cid:36)(cid:37) D(cid:83)(cid:143)(cid:144)(cid:201)(cid:202)(cid:28)
𝑂 𝑀(cid:15)(cid:184)(cid:185)1-3(cid:19)(cid:141)(cid:78)(cid:75)(cid:113)(cid:64)(cid:58)(cid:203)(cid:204)(cid:76)ABCD (cid:64) B= D=90°(cid:64)(cid:35)(cid:205)(cid:10)A(cid:96)B(cid:96)C(cid:96)D(cid:203)(cid:28)(cid:58)(cid:128)(cid:59)(cid:60)(cid:22)(cid:124)(cid:83)
∠ ∠
【题型2 判断点与圆的位置关系】
(cid:15)(cid:162)2(cid:19)(cid:54)2025(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:173)·(cid:206)(cid:207)·(cid:208)(cid:20)(cid:209)(cid:210)(cid:55)(cid:211)(cid:76) (cid:142)(cid:64) =8(cid:64) =3 5(cid:64)(cid:28) (cid:58)(cid:204) (cid:124)(cid:64)(cid:212)
= (cid:64)(cid:141)(cid:176)(cid:22) (cid:84)(cid:116)(cid:28) (cid:95)(cid:22)(cid:82)(cid:64) (cid:95)(cid:36)(cid:37)𝐴(cid:23)𝐵𝐶(cid:22)𝐷(cid:64)(cid:213)(cid:214)𝐴𝐵(cid:173)(cid:174)(cid:26)(cid:27)𝐵𝐶(cid:183)(cid:103)(cid:23)(cid:84)(cid:54) 𝑃(cid:55) 𝐴𝐵
𝐵𝑃A(cid:83)3(cid:28)𝐴𝑃(cid:96) (cid:215)(cid:58)(cid:22)𝑃 (cid:216) 𝑃 𝑃𝐷 B(cid:83)(cid:28) (cid:58)(cid:22) (cid:216)(cid:96)(cid:28) (cid:58)(cid:22) (cid:63)
C(cid:83)(cid:28)𝐵(cid:58)(cid:22)𝐶 (cid:63)(cid:96)(cid:28)𝑃 (cid:58)(cid:22) (cid:216) D(cid:83)(cid:28)𝐵(cid:96) (cid:215)𝑃(cid:58)(cid:22) (cid:63)𝐶 𝑃
(cid:15)(cid:184)(cid:185)2-𝐵1(cid:19)(cid:54)2𝑃4-25(cid:163)(cid:164)𝐶 (cid:165)(cid:124)𝑃·(cid:16)(cid:166)(cid:217)(cid:218)·(cid:190)(cid:142)(cid:55)(cid:219) 𝐵 (cid:23)𝐶(cid:36)(cid:37)(cid:95)𝑃5(cid:64)(cid:22)(cid:82) (cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:84)(1,2)(cid:64)(cid:28) (cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:84)
(5,4)(cid:64)(cid:213)(cid:214)(cid:28) (cid:58) (cid:54)(cid:220)“(cid:22)(cid:63)”“(cid:22)(cid:124)”(cid:160)“(cid:22)(cid:216)⊙”(cid:55)𝐴(cid:83) 𝐴 𝑃
(cid:15)(cid:184)(cid:185)2-2(cid:19)(cid:54)𝑃24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:166)(cid:167)(cid:221)(cid:222)·(cid:190)(cid:191)(cid:55)(cid:201)(cid:202) (cid:23)(cid:36)(cid:37)(cid:84)(cid:114)(cid:223) =0(cid:23)(cid:224)(cid:64)(cid:212)(cid:28)A(cid:98)(cid:22)(cid:82)
2
(cid:23)(cid:99)(cid:100)(cid:95)6(cid:64)(cid:136)(cid:28)A(cid:58)(cid:54) (cid:55) ⊙𝑂 𝑥 −5𝑥−24
𝑂 A(cid:83) (cid:124) B(cid:83) (cid:63) C(cid:83) (cid:216) D(cid:83)(cid:225)(cid:115)(cid:103)(cid:52)
(cid:15)(cid:184)(cid:185)⊙2-3𝑂(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)⊙(cid:124)𝑂·(cid:166)(cid:167)(cid:226)(cid:218)·(cid:227)(cid:66)(cid:209)(cid:210)⊙(cid:55)(cid:58)𝑂(cid:101)(cid:204) (cid:142)(cid:64)(cid:28)A(cid:58)(cid:116) (cid:204)(cid:95)(cid:138)(cid:37)(cid:23)(cid:22) (cid:83)(cid:54)(cid:220)
“(cid:124)”“(cid:63)”(cid:160)“(cid:216)”(cid:55) △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶
【题型3 利用点与圆的位置关系求半径】
(cid:15)(cid:162)3(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:228)(cid:218)(cid:229)(cid:53)·(cid:190)(cid:191)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64)(cid:58)Rt (cid:142)(cid:64) =90°(cid:64) =3(cid:64) =4(cid:64)(cid:28)P(cid:84)
(cid:204)(cid:124)(cid:23)(cid:59)(cid:60)(cid:230)(cid:28)(cid:64)(cid:116)(cid:28)P(cid:95)(cid:22)(cid:82)(cid:64) (cid:47)(cid:95)(cid:36)(cid:37)(cid:118)(cid:22)(cid:64)(cid:219)△(cid:231)𝐴(cid:28)𝐵𝐶C(cid:58) ∠𝐶 (cid:63)(cid:212)(cid:28)B𝐵𝐶(cid:58) (cid:216)𝐴𝐶(cid:64)(cid:136) (cid:23)(cid:36)(cid:37)𝐴(cid:232)𝐶
(cid:116)(cid:84)(cid:54) (cid:55) 𝑃𝐴 ⊙𝑃 ⊙𝑃 ⊙𝑃
3 12 25
A(cid:83) B(cid:83)2 C(cid:83) D(cid:83)
2 5 8
(cid:15)(cid:184)(cid:185)3-1(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:236)·(cid:227)(cid:66)(cid:209)(cid:210)(cid:55)(cid:22)(cid:216)(cid:59)(cid:28)(cid:98)(cid:22)(cid:23)(cid:50)(cid:108)(cid:99)(cid:100)(cid:84)8(cid:64)(cid:50)(cid:109)(cid:99)(cid:100)(cid:84)2(cid:64)(cid:136)(cid:179)(cid:60)(cid:22)(cid:23)(cid:36)(cid:37)(cid:95)(cid:54) (cid:55)
A(cid:83)6 B(cid:83)3 C(cid:83)8 D(cid:83)4
(cid:15)(cid:184)(cid:185)3-2(cid:19)(cid:54)23-24(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:173)·(cid:206)(cid:207)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:172)(cid:55)(cid:201)(cid:202)(cid:211)(cid:76) (cid:142)(cid:64) =4(cid:64) =3(cid:64)(cid:116)(cid:28)B(cid:95)(cid:22)(cid:82)r(cid:95)(cid:36)
(cid:37)(cid:118)(cid:22)(cid:64)(cid:212) (cid:29)(cid:204) (cid:38)(cid:240)(cid:59)(cid:7)(cid:180)(cid:28)(cid:64)(cid:136)r(cid:23)(cid:241)(cid:51)(cid:242)(cid:243)(cid:95)𝐴(cid:54)𝐵𝐶 𝐷 (cid:55) 𝐴𝐵 𝐵𝐶
⊙𝐵 𝐶𝐷
A(cid:83)3 4 B(cid:83)3 (cid:244)5 C(cid:83)3 <4 D(cid:83)3 5
(cid:15)(cid:184)(cid:185)3-≤3(cid:19)𝑟(cid:54)≤2024·(cid:203)(cid:245)(cid:246)(cid:247)≤·(cid:248)𝑟 (cid:249)(cid:250)(cid:239)(cid:55)(cid:58)Rt ≤𝑟(cid:142)(cid:64) =90°(cid:64) =≤3𝑟(cid:64)≤ =4(cid:64)D(cid:95) (cid:23)(cid:142)(cid:28)(cid:83)(cid:116)
A(cid:95)(cid:22)(cid:82)(cid:64)r(cid:95)(cid:36)(cid:37)(cid:118) A(cid:64)(cid:219)B(cid:96)C(cid:96)D(cid:133)(cid:28)(cid:142)△(cid:251)𝐴(cid:38)𝐵(cid:59)𝐶 (cid:28)(cid:58)∠𝐶 (cid:63)(cid:64)(cid:136)𝐵𝐶 (cid:23)(cid:36)𝐴(cid:37)𝐶 r(cid:23)(cid:241)(cid:51)(cid:242)𝐴(cid:243)𝐵(cid:84)(cid:54) (cid:55)
A(cid:83)2.5< 4 ⊙B(cid:83)2.5< <4 C(cid:83)2.5 4⊙𝐴 D(cid:83)⊙2.5𝐴 <4
【题型4 与 𝑟 圆 ≤ 有关的概念】 𝑟 ≤𝑟≤ ≤𝑟
(cid:15)(cid:162)4(cid:19)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:115)(cid:142)(cid:64)(cid:183)(cid:103)(cid:23)(cid:84)(cid:54) (cid:55)
A(cid:83)(cid:47)(cid:46)(cid:156)(cid:101)(cid:23)(cid:106)(cid:86)(cid:145)(cid:84)(cid:101)(cid:145) B(cid:83)(cid:147)(cid:145)(cid:59)(cid:52)(cid:108)(cid:102)(cid:146)(cid:145)
C(cid:83)(cid:91)(cid:128)(cid:23)(cid:22)(cid:142)(cid:91)(cid:232)(cid:157)(cid:38)(cid:156)(cid:101)(cid:23)(cid:137) D(cid:83)(cid:138)(cid:37)(cid:84)(cid:59)(cid:60)(cid:22)(cid:142)(cid:50)(cid:47)(cid:23)(cid:137)
(cid:15)(cid:184)(cid:185)4-1(cid:19)(cid:54)23-24(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:206)(cid:207)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:172)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64)(cid:58) (cid:142)(cid:64)
⊙𝑂
(cid:54)1(cid:55)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:10) (cid:83)
(cid:54)2(cid:55)(cid:138)(cid:37)(cid:38)(cid:10) (cid:83)
(cid:54)3(cid:55)(cid:137)(cid:38)(cid:10) (cid:83)
(cid:54)4(cid:55)(cid:146)(cid:145) (cid:252)(cid:253)(cid:23)(cid:147)(cid:145)(cid:84) (cid:64)(cid:68)(cid:254)(cid:255)(cid:256)(cid:257)(cid:77)(cid:59)(cid:60)(cid:258)(cid:259)(cid:23)(cid:22)(cid:83)
(cid:15)(cid:184)(cid:185)4-2(cid:19)𝐵(cid:109)𝐶 (cid:260)(cid:58)(cid:36)(cid:37)(cid:95)5(cid:23)(cid:22)(cid:142)(cid:239)(cid:261)(cid:137) (cid:23)(cid:47)(cid:46)(cid:64)(cid:173)(cid:174)(cid:239)(cid:261)(cid:262)(cid:176)(cid:142)(cid:59)(cid:52)(cid:84)(cid:263)(cid:264)(cid:23)(cid:84)(cid:54) (cid:55)
A(cid:83)4 B(cid:83)5 𝐴𝐵C(cid:83)10 D(cid:83)11
(cid:15)(cid:184)(cid:185)4-3(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:265)(cid:266)(cid:267)(cid:168)·(cid:190)(cid:142)(cid:55)(cid:173)(cid:174)(cid:268)(cid:20)(cid:142)(cid:64)(cid:183)(cid:103)(cid:23)(cid:84)(cid:54) (cid:55)
①(cid:36)(cid:22)(cid:84)(cid:145)(cid:127)②(cid:137)(cid:84)(cid:22)(cid:124)(cid:106)(cid:28)(cid:269)(cid:148)(cid:23)(cid:149)(cid:150)(cid:127)③(cid:36)(cid:37)(cid:84)(cid:137)(cid:127)④(cid:58)(cid:128)(cid:22)(cid:160)(cid:101)(cid:22)(cid:142)(cid:64)(cid:138)(cid:37)(cid:84)(cid:50)(cid:47)(cid:23)(cid:137)(cid:127)⑤(cid:58)(cid:128)(cid:59)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:98)(cid:52)(cid:28)(cid:23)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:52)(cid:47)(cid:23)(cid:28)(cid:126)(cid:58)(cid:128)(cid:59)(cid:60)(cid:22)(cid:124)(cid:83)
A(cid:83)①②③ B(cid:83)①③④ C(cid:83)①④⑤ D(cid:83)②④⑤
【题型5 利用圆的基本性质求角度】
(cid:15)(cid:162)5(cid:19)(cid:54)2025·(cid:270)(cid:271)(cid:271)(cid:265)·(cid:248)(cid:249)(cid:250)(cid:239)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64) (cid:96) (cid:84) (cid:23)(cid:137)(cid:64)(cid:212) = (cid:64)(cid:219) =84°(cid:64)(cid:136) (cid:23)
(cid:46)(cid:272)(cid:95)(cid:54)(cid:273)(cid:273)(cid:55) 𝐴𝐵 𝐶𝐷 ⊙𝑂 𝐴𝐵 𝐶𝐷 ∠𝐵𝑂𝐷 ∠𝐴𝐶𝑂
A(cid:83)38° B(cid:83)46° C(cid:83)44° D(cid:83)48°
(cid:15)(cid:184)(cid:185)5-1(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:203)(cid:245)(cid:274)(cid:275)·(cid:190)(cid:191)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64) (cid:84) (cid:23)(cid:138)(cid:37)(cid:64) (cid:64) =30°(cid:64)(cid:136)
(cid:101)(cid:102)(cid:54) (cid:55) 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐴𝐵⊥𝐶𝐷 ∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶
A(cid:83)30° B(cid:83)40° C(cid:83)50° D(cid:83)60°
(cid:15)(cid:184)(cid:185)5-2(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:276)(cid:277)·(cid:190)(cid:142)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64)(cid:58) (cid:142)(cid:64) =90°(cid:64) =40°(cid:64)(cid:116)C(cid:95)(cid:22)(cid:82)(cid:64)
(cid:95)(cid:36)(cid:37)(cid:23)(cid:22)(cid:278) (cid:102)(cid:28)D(cid:64)(cid:139)(cid:140) (cid:64)(cid:136) =(cid:54) (cid:55)△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴 𝐶𝐵
𝐴𝐵 𝐶𝐷 ∠𝐴𝐶𝐷
A(cid:83)15° B(cid:83)10° C(cid:83)12° D(cid:83)50°
(cid:15)(cid:184)(cid:185)5-3(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:173)·(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:282)·(cid:190)(cid:142)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64)(cid:201)(cid:202)(cid:28)A(cid:64)D(cid:64)C(cid:58) (cid:124)(cid:64)(cid:139)(cid:140) (cid:64)(cid:219)
(cid:203)(cid:204)(cid:76) (cid:84)(cid:283)(cid:76)(cid:64)(cid:136) (cid:23)(cid:46)(cid:272)(cid:84)(cid:54) (cid:55) ⊙𝑂 𝑂𝐴,𝑂𝐶,𝐴𝐷,𝐶𝐷
𝐴𝑂𝐶𝐷 ∠𝐴𝑂𝐶A(cid:83)150° B(cid:83)120° C(cid:83)90° D(cid:83)60°
【题型6 利用圆的基本性质求长度】
(cid:15)(cid:162)6(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:16)(cid:166)(cid:284)(cid:285)·(cid:227)(cid:66)(cid:209)(cid:210)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64)(cid:58) (cid:142)(cid:64)(cid:138)(cid:37) =20(cid:64)(cid:183)(cid:114)(cid:76) (cid:23)(cid:203)(cid:60)(cid:155)(cid:28)
(cid:126)(cid:150)(cid:286)(cid:58)(cid:36)(cid:37) (cid:96) (cid:287) (cid:124)(cid:64)(cid:212) =45°(cid:64)(cid:136) ⊙=(cid:54)𝑂(cid:273)(cid:273)(cid:55) 𝑀𝑁 𝐴𝐵𝐶𝐷
𝑂𝑃 𝑂𝑀 ⊙𝑂 ∠𝑃𝑂𝑀 𝐴𝐵
A(cid:83)4 B(cid:83)2 5 C(cid:83)2 6 D(cid:83)6
(cid:15)(cid:184)(cid:185)6-1(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:233)(cid:234)(cid:288)(cid:218)·(cid:190)(cid:142)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64) (cid:84) (cid:23)(cid:138)(cid:37)(cid:64)(cid:28) (cid:58) (cid:124)(cid:64) (cid:64)(cid:289)(cid:290)(cid:95)
(cid:64)(cid:201)(cid:202) =4(cid:64) =3(cid:64)(cid:136) (cid:23)(cid:51)(cid:95)(cid:54) (cid:55) 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐶 ⊙𝑂 𝐶𝐷⊥𝐴𝐵
𝐷 𝐶𝐷 𝑂𝐷 𝐴𝐵
A(cid:83)6 B(cid:83)7 C(cid:83)8 D(cid:83)10
(cid:15)(cid:184)(cid:185)6-2(cid:19)(cid:54)24-25(cid:186)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:291)(cid:292)(cid:47)(cid:293)·(cid:227)(cid:66)(cid:209)(cid:210)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64)(cid:58) (cid:142) =75°(cid:64) (cid:102)(cid:28) (cid:64)(cid:278) (cid:102)
(cid:28) (cid:64) = (cid:64)(cid:116)(cid:28) (cid:95)(cid:22)(cid:82) (cid:47)(cid:95)(cid:36)(cid:37)(cid:118)(cid:145)(cid:64)(cid:278) (cid:102)(cid:28) (cid:64)△(cid:139)𝐴(cid:262)𝐵𝐶 (cid:278)∠𝐵 (cid:102)(cid:28) (cid:83)𝐷(cid:219)𝐸⊥𝐴𝐶= =𝐸 2(cid:64)(cid:136)𝐴𝐵
(cid:47)𝑀(cid:95)(cid:54)𝐴 𝐸 (cid:55) 𝐶𝐸 𝐶 𝐶𝐴 𝐷𝐸 𝐹 𝐶𝐹 𝐴𝐵 𝐺 𝐶𝐺 𝐹𝐺 𝐴𝐵A(cid:83)2 B(cid:83)4 C(cid:83)2 3 D(cid:83)4 3
(cid:15)(cid:184)(cid:185)6-3(cid:19)(cid:54)2024·(cid:203)(cid:245)(cid:294)(cid:247)·(cid:248)(cid:249)(cid:250)(cid:239)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64)(cid:201)(cid:202) (cid:95) (cid:23)(cid:216)(cid:140)(cid:22)(cid:64) = (cid:64)(cid:138)(cid:37) (cid:278) (cid:102)(cid:28)
E(cid:64)(cid:219) =1:4(cid:64)(cid:136) =(cid:54) (cid:55)(cid:83) ⊙𝑂 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶
𝐷𝐸:𝐴𝐷 𝐵𝐸:𝐴𝐵
A(cid:83)1:2 B(cid:83)1:3 C(cid:83)2:3 D(cid:83)1:4
【题型7 利用圆的基本性质求坐标】
(cid:15)(cid:162)7(cid:19)(cid:54)2025·(cid:284)(cid:295)(cid:296)(cid:245)·(cid:248)(cid:249)(cid:250)(cid:239)(cid:55)(cid:109)(cid:297)(cid:128)(cid:11)(cid:58)(cid:61)(cid:62)(cid:138)(cid:45)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:142)(cid:298)(cid:23)(cid:299)(cid:300)(cid:301)(cid:301)(cid:49)(cid:141)(cid:78)(cid:75)(cid:113)(cid:64)(cid:219)(cid:28) (cid:23)(cid:48)(cid:49)
𝐴
(cid:95) 0(cid:64)4 (cid:64)(cid:136)(cid:28) (cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:95) (cid:83)
𝐵
(cid:15)(cid:184)(cid:185)7-1(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:173)·(cid:302)(cid:197)(cid:303)(cid:304)·(cid:227)(cid:66)(cid:209)(cid:210)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64)(cid:138)(cid:65)l(cid:29) (cid:156)(cid:278)(cid:102)(cid:28)A(cid:64)B(cid:64)(cid:28)A(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:95)
(3,1)(cid:64)(cid:136)(cid:28)B(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:95) (cid:83) ⊙𝑂(cid:15)(cid:184)(cid:185)7-2(cid:19)(cid:54)2025·(cid:305)(cid:284)(cid:108)(cid:139)·(cid:59)(cid:248)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64)(cid:58)(cid:61)(cid:62)(cid:138)(cid:45)(cid:48)(cid:49)(cid:32) (cid:142)(cid:64)(cid:116)(cid:28)O(cid:95)(cid:22)(cid:82)(cid:64)(cid:306)(cid:307)(cid:47)(cid:95)(cid:36)(cid:37)(cid:118)(cid:145)(cid:64)
𝑥𝑂𝑦 1
(cid:278)x(cid:308)(cid:309)(cid:36)(cid:308)(cid:102)(cid:28)A(cid:64)(cid:278)y(cid:308)(cid:183)(cid:36)(cid:308)(cid:102)(cid:28)B(cid:127)(cid:310)(cid:150)(cid:286)(cid:116)(cid:28)O(cid:64)B(cid:95)(cid:22)(cid:82)(cid:64)(cid:108)(cid:102) (cid:23)(cid:47)(cid:95)(cid:36)(cid:37)(cid:118)(cid:145)(cid:64)(cid:106)(cid:145)(cid:156)
2
(cid:278)(cid:102)(cid:28)C(cid:64)D(cid:64)(cid:138)(cid:65) (cid:29) (cid:156)(cid:278)(cid:102)(cid:28)E(cid:83)(cid:219) =2(cid:64)(cid:136)(cid:28)E(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:95)(cid:54) (cid:55) 𝑂𝐵
𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝑂𝐴
A(cid:83)( ) B(cid:83) 3,1 C(cid:83) 3 D(cid:83)( )
(cid:15)(cid:184)(cid:185)7−-32(cid:19),1(cid:54)2025·(cid:247)(cid:234)(cid:311)(cid:312)− ·(cid:59)(cid:248)(cid:55)(cid:252)(cid:102)(cid:28)P(cid:131)(cid:65)−(cid:66)1, (cid:64)(cid:313)(cid:314)(cid:141)(cid:173)(cid:52)(cid:53)(cid:10)−(cid:219)1,2(cid:94)(cid:65)(cid:66) (cid:67)(cid:28)P(cid:71)(cid:72)(cid:232)(cid:116)(cid:315)(cid:98)
(cid:23)(cid:137) (cid:54) (cid:64) (cid:150)(cid:286)(cid:84)A(cid:64)B(cid:23)(cid:252)(cid:253)(cid:28)(cid:55)(cid:64)(cid:136)(cid:152)𝐴(cid:65)𝐵 (cid:66) (cid:84) (cid:23)(cid:116)(cid:28)P(cid:95)(cid:142)(cid:82)𝐴𝐵(cid:23)“(cid:131)(cid:316)(cid:65)(cid:66)”(cid:83)(cid:141)(cid:78)(cid:64)
(cid:58)⊙(cid:61)𝑂(cid:62)(cid:138)(cid:45)𝐴1 (cid:48)𝐵1 (cid:49)(cid:32)𝐴1 𝐵(cid:142) 1 (cid:64) (cid:23)(cid:36)(cid:37)(cid:95)1(cid:64)(cid:28) ( )(cid:64) (𝐴𝐵 )⊙(cid:64)𝑂( )(cid:23)(cid:64)(cid:139)(cid:140) (cid:64)(cid:201)(cid:202)(cid:65)(cid:66) (cid:84)
(cid:23)(cid:116)(cid:28)P(cid:95)(cid:142)(cid:82)(cid:23)𝑥“(cid:131)𝑂𝑦(cid:316)(cid:65)(cid:66)⊙”(cid:64)𝑂(cid:136)(cid:28) (cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:84)𝑃(cid:54)− 1 (cid:55),1 𝐴 −2,3 𝐵 −1,2 𝐴𝐵 𝐴𝐵 ⊙𝑂
𝐴1
A(cid:83)(0,1) B(cid:83)( ) C(cid:83)(1,0) D(cid:83)( )
0,−1 −1,0【题型8 利用圆的基本性质求最值】
(cid:15)(cid:162)8(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:124)·(cid:187)(cid:168)·(cid:190)(cid:142)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64)(cid:211)(cid:76) (cid:142)(cid:64) =4(cid:64) =3(cid:64)(cid:230)(cid:28) (cid:150)(cid:286)(cid:317)(cid:28) (cid:128)(cid:318)(cid:314)
(cid:319)(cid:64)(cid:215)(cid:116)(cid:154)(cid:320)1(cid:60)(cid:237)(cid:30)(cid:47)(cid:46)(cid:23)(cid:321)(cid:46)(cid:150)(cid:286)(cid:322) (cid:323)(cid:324)𝐴𝐵(cid:28)𝐶𝐷 (cid:325)(cid:230)𝐴𝐵(cid:64)(cid:144)(cid:28) 𝐵𝐶(cid:118)(cid:138)(cid:65)l(cid:64)(cid:144)𝐸(cid:28),𝐹A(cid:118)(cid:138)(cid:65)𝐴l,𝐶(cid:23)(cid:289)(cid:65)(cid:64)
(cid:289)(cid:290)(cid:95)G(cid:64)(cid:136) (cid:23)(cid:50)(cid:108)(cid:51)(cid:95)(cid:54) (cid:55) 𝐴𝐵,𝐶𝐷 𝐵,𝐷 𝐸,𝐹
𝐴𝐺
5 3
A(cid:83) B(cid:83) C(cid:83)5 D(cid:83)3
2 2
(cid:15)(cid:184)(cid:185)8-1(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:173)·(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:199)·(cid:190)(cid:191)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64) (cid:96) (cid:95) (cid:124)(cid:106)(cid:28)(cid:64) =90°(cid:64) (cid:95) (cid:124)(cid:59)(cid:230)
(cid:28)(cid:54)(cid:91)(cid:29) (cid:64) (cid:159)(cid:93)(cid:55)(cid:64) (cid:95) (cid:23)(cid:142)(cid:28)(cid:83)(cid:219) (cid:23)(cid:36)(cid:37)(cid:95)𝐴2(cid:64)𝐵(cid:136)⊙𝑂(cid:23)(cid:50)(cid:108)(cid:51)(cid:95)∠(cid:54)𝐴𝑂 𝐵 (cid:55) 𝐶 ⊙𝑂
𝐴 𝐵 𝐷 𝐴𝐶 ⊙𝑂 𝐵𝐷
A(cid:83)1+ 5 B(cid:83) 5
C(cid:83)3 D(cid:83)2 5
(cid:15)(cid:184)(cid:185)8-2(cid:19)(cid:54)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:173)·(cid:265)(cid:266)(cid:221)(cid:218)·(cid:190)(cid:142)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64)(cid:58)(cid:211)(cid:76) (cid:142)(cid:64)(cid:201)(cid:202) =5(cid:64) =12(cid:64) (cid:84) (cid:204)
(cid:124)(cid:59)(cid:230)(cid:28)(cid:54)(cid:28) (cid:91)(cid:29)(cid:28) (cid:64) (cid:159)(cid:93)(cid:55)(cid:64)(cid:139)(cid:140) (cid:64)(cid:118)(cid:28) (cid:3)(cid:102)(cid:138)(cid:65)𝐴𝐵𝐶(cid:23)𝐷(cid:252)(cid:152)(cid:28) (cid:64)𝐴𝐵(cid:136)(cid:65)(cid:66) 𝐵𝐶(cid:23)(cid:50)(cid:109)(cid:51)𝑃(cid:95)(cid:54)𝐵 𝐶 (cid:55)
𝑃 𝐵 𝐶 𝐴𝑃 𝐵 𝐴𝑃 𝑀 𝑀𝐶
13
A(cid:83) 26 B(cid:83) C(cid:83)7 D(cid:83)8
2
(cid:15)(cid:184)(cid:185)8-3(cid:19)(cid:54)2025·(cid:187)(cid:168)·(cid:59)(cid:248)(cid:55)(cid:141)(cid:78)(cid:64) (cid:84)(cid:211)(cid:76) > (cid:23)(cid:204) (cid:124)(cid:59)(cid:230)(cid:28)(cid:64) (cid:84) (cid:23)(cid:142)(cid:28)(cid:64)(cid:139)(cid:140)
(cid:64)(cid:94) (cid:322) (cid:75)(cid:58)(cid:138)(cid:65)(cid:326)(cid:327)(cid:64)(cid:28)𝑃(cid:23)(cid:252)(cid:253)(cid:28)𝐴𝐵(cid:84)𝐶(cid:28)𝐷(𝐴(cid:64)𝐵(cid:139)(cid:140)𝐴𝐷)(cid:83)(cid:201)𝐴(cid:202)𝐵 =2 10(cid:64)𝐹(cid:307)𝐵(cid:65)𝐶(cid:66) (cid:23)(cid:50)(cid:109)(cid:51)(cid:95)
𝐷1𝑃(cid:318)(cid:64)(cid:204)△𝐷(cid:23)𝐴𝑃(cid:47)(cid:95)𝐷(cid:54)𝑃 (cid:55) 𝐴 𝐸 𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐸𝐹
𝐵𝐶A(cid:83)9 B(cid:83)8 C(cid:83)7 D(cid:83)6
