专题3.2确定圆的条件(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上(浙教)

专题 3.2 确定圆的条件（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:19)................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:19)........................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:40)(cid:19)............................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:41)(cid:26)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:19)..............................................................................................................................11
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:19)..................................................................................................................................16
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:30)(cid:47)(cid:48)(cid:19)..............................................................................................................................21
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:19)......................................................................................................................25
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:26)(cid:19)..........................................................................................................................................30
知识点 三角形的外接圆
1. (cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:25)
(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:27)(cid:42)(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:58)(cid:39)(cid:26).
(cid:63)(cid:64)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:27)(cid:42)(cid:39)(cid:62)(cid:31)A(cid:65)B(cid:65)C(cid:36)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:58)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:10)
(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:31)1(cid:36)(cid:70)(cid:46)AB(cid:65)BC(cid:71)
(cid:31)2(cid:36)(cid:72)(cid:73)(cid:34)AB(cid:65)BC(cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)EF(cid:65)HG(cid:65)(cid:76)(cid:77)(cid:62)O(cid:71)
(cid:31)3(cid:36)(cid:78)(cid:76)(cid:62)O(cid:79)(cid:26)(cid:30)(cid:65)(cid:78)(cid:76)(cid:62)(cid:80)(cid:42)(cid:62)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:58)(cid:62)(cid:27)(cid:84)(cid:85)(cid:79)(cid:49)(cid:50)(cid:34)(cid:26)(cid:65) O(cid:86)(cid:79)(cid:87)(cid:37)(cid:88)
⊙
2. (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)
(cid:31)1(cid:36)(cid:63)(cid:64)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:42)(cid:39)(cid:89)(cid:62)(cid:27)(cid:26)(cid:90)(cid:91)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:65)(cid:92)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:39)(cid:26)(cid:27)(cid:93)(cid:46)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:88)
(cid:31)2(cid:36)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:30)(cid:65)(cid:94)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:30)(cid:65)(cid:94)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:28)(cid:95)(cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:27)(cid:76)(cid:62)(cid:88)
(cid:31)3(cid:36)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:30)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:10)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:30)(cid:80)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:39)(cid:89)(cid:62)(cid:27)(cid:84)(cid:85)(cid:98)(cid:99)(cid:65)(cid:99)(cid:77)(cid:100)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:88)
(cid:31)4(cid:36)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:30)(cid:27)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:21) (cid:104)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44) (cid:59)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44) (cid:105)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)
(cid:35)(cid:106)
(cid:101)(cid:102) (cid:45)(cid:30)(cid:56)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:93)(cid:107) (cid:45)(cid:30)(cid:94)(cid:108)(cid:95)(cid:27)(cid:81)(cid:62) (cid:45)(cid:30)(cid:56)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:107)
【题型1 判断确定圆的条件】
(cid:15)(cid:109)1(cid:19)(cid:31)2025·(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)·(cid:114)(cid:115)(cid:36)(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:116)(cid:117)(cid:60)(cid:118) (cid:65) (cid:65)(cid:62) (cid:56)(cid:60)(cid:118) (cid:61)(cid:65)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:24)(cid:27)(cid:94)(cid:31) (cid:36)
𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐶 𝐴𝐵
A(cid:88)(cid:63)(cid:64)(cid:62) (cid:65) (cid:65) (cid:65)(cid:124)(cid:38)(cid:34)(cid:58)(cid:39)(cid:26)
B(cid:88)(cid:63)(cid:64)(cid:62)𝐴(cid:65)𝐵(cid:65)𝐶(cid:65)(cid:124)(cid:38)(cid:34)(cid:58)(cid:39)(cid:26)
C(cid:88)(cid:63)(cid:64)(cid:62)𝐴(cid:65)(cid:78)𝐵 𝐷(cid:27)(cid:125)(cid:79)(cid:49)(cid:50)(cid:124)(cid:38)(cid:34)(cid:58)(cid:39)(cid:26)
D(cid:88)(cid:63)(cid:64)(cid:62)𝐴(cid:65) (cid:65)𝐴𝐷(cid:78) (cid:27)(cid:125)(cid:79)(cid:49)(cid:50)(cid:124)(cid:38)(cid:34)(cid:58)(cid:39)(cid:26)
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)B 𝐴 𝐵 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:27)(cid:94)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:65)(cid:132)(cid:133)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:27)(cid:42)(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:58)(cid:39)(cid:26)(cid:94)(cid:134)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:135)(cid:88)(cid:136)(cid:137)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:65)(cid:138)(cid:139)(cid:72)(cid:128)(cid:86)(cid:140)(cid:22)(cid:23)(cid:88)
(cid:15)(cid:141)(cid:134)(cid:19)(cid:134)(cid:10)A(cid:142)(cid:63)(cid:64)(cid:62) (cid:65) (cid:65) (cid:65)(cid:55)(cid:38)(cid:34)(cid:26)(cid:65)(cid:143)(cid:129)(cid:144)(cid:139)(cid:121)(cid:122)(cid:145)(cid:146)(cid:65)(cid:55)(cid:147)(cid:148)(cid:20)(cid:83)(cid:71)
B(cid:142)(cid:63)(cid:64)(cid:62) (cid:65) (cid:65) (cid:65)(cid:124)(cid:38)𝐴 (cid:34)𝐵(cid:58)(cid:39)𝐶(cid:26)(cid:65)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:24)(cid:65)(cid:147)(cid:148)(cid:20)(cid:83)(cid:71)
C(cid:142)(cid:63)(cid:64)(cid:62)𝐴(cid:65)(cid:78)𝐵 𝐷(cid:27)(cid:125)(cid:79)(cid:49)(cid:50)(cid:38)(cid:34)(cid:149)(cid:40)(cid:39)(cid:26)(cid:65)(cid:143)(cid:129)(cid:144)(cid:139)(cid:121)(cid:122)(cid:145)(cid:146)(cid:65)(cid:55)(cid:147)(cid:148)(cid:20)(cid:83)(cid:71)
D(cid:142)(cid:63)(cid:64)(cid:62)𝐴(cid:65) (cid:65)𝐴𝐷(cid:78) (cid:27)(cid:125)(cid:79)(cid:49)(cid:50)(cid:38)(cid:34)(cid:150)(cid:39)(cid:26)(cid:65)(cid:143)(cid:129)(cid:144)(cid:139)(cid:121)(cid:122)(cid:145)(cid:146)(cid:65)(cid:55)(cid:147)(cid:148)(cid:20)(cid:83)(cid:71)
(cid:143)(cid:144)(cid:10)B(cid:88)𝐴 𝐵 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:151)(cid:152)1-1(cid:19)(cid:31)24-25(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:61)·(cid:16)(cid:156)(cid:157)(cid:158)·(cid:159)(cid:118)(cid:160)(cid:161)(cid:36)(cid:69)(cid:35)(cid:94)(cid:58)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:27)(cid:26)(cid:44)(cid:166)(cid:167)(cid:65)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:80)(cid:58)(cid:162)
(cid:175)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:52)(cid:58)(cid:179)(cid:27)(cid:26)(cid:44)(cid:166)(cid:167)(cid:65)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:27)(cid:165)(cid:183)(cid:94)(cid:31) (cid:36)A(cid:88)① B(cid:88)② C(cid:88)③ D(cid:88)④
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)B
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:184)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:65)(cid:136)(cid:137)(cid:55)(cid:56)(cid:58)(cid:28)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:42)(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:58)(cid:39)(cid:26)(cid:86)(cid:140)(cid:134)(cid:185)(cid:65)(cid:134)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:135)(cid:94)(cid:132)(cid:160)(cid:186)
(cid:187)(cid:26)(cid:61)(cid:82)(cid:83)(cid:150)(cid:188)(cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:27)(cid:76)(cid:62)(cid:86)(cid:79)(cid:181)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:30)(cid:88)
(cid:15)(cid:141)(cid:134)(cid:19)(cid:134)(cid:10)(cid:136)(cid:137)(cid:74)(cid:50)(cid:25)(cid:189)(cid:27)(cid:190)(cid:191)(cid:10)(cid:188)(cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:192)(cid:64)(cid:26)(cid:30)(cid:65)(cid:124)(cid:170)(cid:193)(cid:58)(cid:118)(cid:194)(cid:65)(cid:86)(cid:140)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:30)(cid:195)(cid:49)(cid:50)(cid:65)
(cid:52)(cid:196)(cid:182)(cid:80)(cid:197)(cid:172)(cid:171)(cid:27)(cid:58)(cid:162)(cid:166)(cid:167)(cid:165)(cid:183)(cid:180)(cid:181)(cid:94) (cid:65)
∴ (cid:143)(cid:144)(cid:10)B(cid:88) ②
(cid:15)(cid:151)(cid:152)1-2(cid:19)(cid:75)(cid:198)(cid:61)(cid:193)(cid:199)(cid:39)(cid:62)(cid:65)(cid:64)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:83)3(cid:39)(cid:62)(cid:58)(cid:200)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:40)(cid:79)(cid:31)(cid:201)(cid:201)(cid:36)
A(cid:88)0(cid:202)3(cid:202)4 B(cid:88)0(cid:202)1(cid:202)3 C(cid:88)0(cid:202)1(cid:202)3(cid:202)4 D(cid:88)0(cid:202)1(cid:202)4
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)C
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:136)(cid:137)(cid:199)(cid:39)(cid:62)(cid:56)(cid:75)(cid:198)(cid:61)(cid:55)(cid:57)(cid:27)(cid:101)(cid:102)(cid:24)(cid:25)(cid:193)(cid:199)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:65)(cid:72)(cid:73)(cid:206)(cid:191)(cid:207)(cid:208)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:40)(cid:86)(cid:140)(cid:185)(cid:80)(cid:126)(cid:127).
(cid:15)(cid:141)(cid:134)(cid:19)(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:209)(cid:199)(cid:62)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:210)(cid:65)(cid:55)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:65)(cid:209)(cid:199)(cid:62)(cid:200)(cid:26)(cid:210)(cid:65)(cid:124)(cid:38)(cid:34)(cid:58)(cid:39)(cid:26)(cid:65)(cid:209)(cid:42)(cid:62)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)
(cid:60)(cid:61)(cid:210)(cid:65)(cid:140)(cid:78)(cid:34)(cid:42)(cid:39)(cid:26)(cid:65)(cid:209)(cid:199)(cid:62)(cid:55)(cid:200)(cid:26)(cid:210)(cid:65)(cid:211)(cid:212)(cid:193)(cid:42)(cid:62)(cid:200)(cid:60)(cid:210)(cid:65)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:199)(cid:39)(cid:26)(cid:88)
(cid:143)(cid:144)(cid:10)C(cid:88)
(cid:15)(cid:62)(cid:213)(cid:19)(cid:214)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:62)(cid:207)(cid:208)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:40)(cid:65)(cid:62)(cid:27)(cid:101)(cid:102)(cid:3)(cid:215)(cid:65)(cid:123)(cid:24)(cid:72)(cid:128)(cid:62)(cid:27)(cid:101)(cid:102)(cid:3)(cid:215)(cid:94)(cid:134)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:135).
(cid:15)(cid:151)(cid:152)1-3(cid:19)(cid:31)24-25(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:61)·(cid:16)(cid:156)(cid:216)(cid:158)·(cid:159)(cid:118)(cid:160)(cid:161)(cid:36)(cid:116)(cid:117) (1,2)(cid:65) ( )(cid:65) ( )(cid:42)(cid:62)(cid:140)(cid:78)(cid:24)(cid:25)(cid:58)(cid:39)(cid:26)(cid:65)
(cid:217)(cid:78)(cid:119) (cid:62)(cid:47)(cid:48)(cid:55)(cid:218)(cid:219)(cid:170)(cid:37)(cid:27)(cid:94)(cid:31) (cid:36) 𝑀 𝑁 3,−3 𝑃 𝑥,𝑦
A(cid:88)𝑃(3,5) B(cid:88)( ) C(cid:88)( ) D(cid:88)( )
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)C −3,5 −1,7 1,−3(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:130)(cid:131)(cid:184)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:220)(cid:58)(cid:221)(cid:222)(cid:40)(cid:35)(cid:223)(cid:175)(cid:62)(cid:27)(cid:3)(cid:215)(cid:65)(cid:134)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:135)(cid:94)(cid:184)(cid:134)“(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:27)(cid:42)(cid:62)(cid:24)(cid:25)
(cid:58)(cid:39)(cid:26)”(cid:65)(cid:224)(cid:225)(cid:55)(cid:178)(cid:88)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:25)(cid:215)(cid:40)(cid:122)(cid:37)(cid:229)(cid:59)(cid:60) (cid:27)(cid:134)(cid:128)(cid:152)(cid:65)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:62)(cid:233)(cid:234)(cid:222)(cid:40)(cid:134)(cid:128)(cid:152)(cid:65)(cid:136)(cid:137)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)
(cid:60)(cid:61)(cid:27)(cid:42)(cid:62)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:58)(cid:39)(cid:26)(cid:65)(cid:235)(cid:77) (cid:56)(cid:59)(cid:60) 𝑀𝑁(cid:61)(cid:65)(cid:140)(cid:117)(cid:126)(cid:127)(cid:88)
(cid:15)(cid:141)(cid:134)(cid:19)(cid:134)(cid:10)(cid:236)(cid:59)(cid:60) (cid:27)(cid:134)(cid:128)(cid:152)(−(cid:79)1,7=) + 𝑀(cid:65)𝑁
+ =2 𝑀𝑁 𝑦 𝑘𝑥 𝑏
+ = (cid:65)
𝑘 𝑏
∴ 3𝑘 =𝑏 5 −3
2
(cid:134)(cid:185) 9 (cid:65)
=
𝑘 −2
𝑏
5 9
= + (cid:65)
2 2
∴𝑦 − 𝑥 5 9
A(cid:142)(cid:209) =3(cid:65) = ×3+ = 5(cid:65)(cid:143)(3,5)(cid:55)(cid:56)(cid:59)(cid:60) (cid:61)(cid:65)(cid:136)(cid:137)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:42)(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:58)(cid:39)(cid:26)(cid:185)(3,5)
2 2
(cid:175) (1𝑥,2)(cid:65) (𝑦 −)(cid:140)(cid:78)(cid:24)(cid:25)(cid:58)−(cid:39)3(cid:26)≠(cid:65)(cid:143)(cid:129)(cid:144)(cid:139)(cid:55)(cid:147)(cid:148)(cid:20)(cid:83)𝑀(cid:71)𝑁
𝑀 𝑁 3,−3 5 9
B(cid:142)(cid:209) = (cid:65) = ×( )+ =12 5(cid:65)(cid:57)(cid:189)(cid:65)(cid:143)(cid:129)(cid:144)(cid:139)(cid:55)(cid:147)(cid:148)(cid:20)(cid:83)(cid:71)
2 2
𝑥 −3 𝑦 − −3 ≠
5 9
C(cid:142)(cid:209) = (cid:65) = ×( )+ =7(cid:65)(cid:143)( )(cid:56)(cid:59)(cid:60) (cid:61)(cid:65)(cid:143)(cid:55)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:58)(cid:39)(cid:26)(cid:65)(cid:143)(cid:129)(cid:144)(cid:139)(cid:147)(cid:148)(cid:20)(cid:83)(cid:71)
2 2
𝑥 −1 𝑦 − −1 −1,7 𝑀𝑁
5 9
D(cid:142) =1(cid:65) = ×1+ =2 (cid:65)(cid:57)(cid:189)(cid:65)(cid:143)(cid:129)(cid:144)(cid:139)(cid:55)(cid:147)(cid:148)(cid:20)(cid:83)(cid:88)
2 2
(cid:143)(cid:144)𝑥(cid:10)C(cid:88) 𝑦 − ≠−3
【题型2 确定圆心（尺规作图）】
(cid:15)(cid:109)2(cid:19)(cid:237)(cid:95)(cid:125)(cid:79)2(cid:27)(cid:52)(cid:123)(cid:238)(cid:44)ABCD (cid:195)(cid:95)(cid:125)(cid:79)4(cid:27)(cid:178)(cid:123)(cid:238)(cid:44) EFGH(cid:69)(cid:35)(cid:239)(cid:240)(cid:65)(cid:241)(cid:185)C(cid:142)E(cid:150)(cid:62)(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:148)(cid:65)
(cid:211)B(cid:142)C(cid:142)H(cid:42)(cid:62)(cid:200)(cid:60)(cid:65)(cid:214)(cid:210)(cid:63)(cid:64)A(cid:142)F(cid:142)G(cid:42)(cid:62)(cid:34)(cid:58)(cid:39)(cid:26)(cid:65)(cid:217)(cid:181)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:79) (cid:88)
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)2 5
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:30)(cid:65)(cid:235)(cid:20)(cid:83)(cid:140)(cid:117)(cid:65) = =2(cid:65) = = =4(cid:65)(cid:245) (cid:27)(cid:81)(cid:62) (cid:65)(cid:70)(cid:46)
(cid:65) (cid:65) (cid:65)(cid:235)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:140)(cid:185) = = =𝐴𝐵2 5(cid:65)𝐵𝐶(cid:140)(cid:117)(cid:62)𝐶(cid:79)𝐹 (cid:142)𝐶𝐻(cid:142) 𝐻(cid:42)𝐺(cid:62)(cid:87)(cid:34)(cid:26)(cid:27)𝐶𝐻(cid:26)(cid:30)(cid:65)(cid:248)𝑂(cid:249)(cid:140)(cid:185)
𝑂(cid:126)𝐴(cid:127)(cid:88)𝑂𝐹 𝑂𝐺 𝑂𝐴 𝑂𝐹 𝑂𝐺 𝑂 𝐴 𝐹 𝐺(cid:15)(cid:141)(cid:134)(cid:19)(cid:134)(cid:10)(cid:235)(cid:20)(cid:83)(cid:140)(cid:117)(cid:65) = =2(cid:65) = = =4(cid:65)
(cid:245) (cid:27)(cid:81)(cid:62) (cid:65)(cid:217) = 𝐴=𝐵2(cid:65)𝐵𝐶 =4(cid:65)𝐶𝐹 𝐶𝐻 𝐻𝐺
(cid:70)𝐶(cid:46)𝐻 (cid:65) 𝑂(cid:65) (cid:65)𝑂𝐶 𝑂𝐻 𝑂𝐵
𝑂𝐴 𝑂𝐹 𝑂𝐺
(cid:235)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:140)(cid:185)(cid:10) = + =2 5(cid:65) = =2 5(cid:65)
2 2
= = (cid:65)𝑂𝐴 𝐴𝐵 𝑂𝐵 𝑂𝐹 𝑂𝐺
∴(cid:86)𝑂(cid:10)𝐴(cid:62)𝑂(cid:79)𝐹 (cid:142)𝑂𝐺(cid:142) (cid:42)(cid:62)(cid:87)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:30)(cid:65)
(cid:217)(cid:181)(cid:26)𝑂(cid:27)(cid:49)𝐴(cid:50)(cid:79)𝐹2 𝐺5(cid:65)
(cid:143)(cid:126)(cid:127)(cid:79)(cid:10)2 5(cid:88)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)2-1(cid:19)(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:56)(cid:99)(cid:250) ABC(cid:81)(cid:65)AB(cid:251)AC(cid:251)2 5(cid:65)BC(cid:251)8(cid:65)(cid:252)(cid:119)(cid:120)(cid:67)(cid:68)(cid:34)(cid:35)(cid:10)①(cid:78)(cid:62)A(cid:79)(cid:26)(cid:30)(cid:65)(cid:253)(cid:209)
△ 1
(cid:27)(cid:125)(cid:225)(cid:79)(cid:49)(cid:50)(cid:34)(cid:194)(cid:65)(cid:72)(cid:73)(cid:76)AB(cid:65)AC(cid:77)(cid:62)E(cid:65)F(cid:65)(cid:230)(cid:72)(cid:73)(cid:78)(cid:62)E(cid:65)F(cid:79)(cid:26)(cid:30)(cid:65)(cid:178)(cid:77) EF(cid:27)(cid:125)(cid:79)(cid:49)(cid:50)(cid:34)(cid:194)(cid:98)(cid:76)
2
1
(cid:77)(cid:62)H(cid:65)(cid:34)(cid:254)(cid:60)AH(cid:71)②(cid:72)(cid:73)(cid:78)(cid:62)A(cid:65)B(cid:79)(cid:26)(cid:30)(cid:65)(cid:178)(cid:77) AB(cid:27)(cid:125)(cid:79)(cid:49)(cid:50)(cid:34)(cid:194)(cid:98)(cid:76)(cid:77)(cid:62)M(cid:65)N(cid:65)(cid:34)(cid:59)(cid:60)MN(cid:65)
2
(cid:76)(cid:254)(cid:60)AH(cid:77)(cid:62)O(cid:71)③(cid:78)(cid:62)O(cid:79)(cid:26)(cid:30)(cid:65)(cid:60)(cid:118)OA(cid:125)(cid:79)(cid:49)(cid:50)(cid:34)(cid:26)(cid:88)(cid:217) O(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:79) (cid:88)
⊙
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)5
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:236) (cid:76) (cid:77) (cid:88)(cid:134)(cid:59)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:37)(cid:229) (cid:65)(cid:230)(cid:56)Rt (cid:81)(cid:65)(cid:226)(cid:227)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:207)(cid:111)(cid:238)(cid:255)(cid:86)(cid:140)(cid:134)(cid:256)
(cid:257)(cid:20)(cid:88) 𝑂𝐴 𝐵𝐶 𝑇 𝐴𝑇 △𝑂𝐶𝑇
(cid:15)(cid:141)(cid:134)(cid:19)(cid:134)(cid:10)(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:236) (cid:76) (cid:77) (cid:88)(cid:49)(cid:50)(cid:79) (cid:65)
𝑂𝐴 𝐵𝐶 𝑇 𝑟= =2 5(cid:65) (cid:75)(cid:72) (cid:65)
∵𝐴𝐵 𝐴𝐶(cid:65) = 𝐴𝑂=4(cid:65)∠𝐵𝐴𝐶
∴𝐴𝑂⊥𝐵𝐶 𝐵𝑇 𝑇𝐶
= = (2 5) 4 =2(cid:65)
2
2 2 2
(cid:56)∴R𝐴t𝑇 𝐴𝐶(cid:81)−(cid:65)𝐶(cid:217)𝑇(cid:193) = − +4 (cid:65)
2 2 2
(cid:134)(cid:185)△=𝑂5𝐶(cid:65)𝑇 𝑟 (𝑟−2)
(cid:143)(cid:126)𝑟(cid:127)(cid:79)(cid:10)5(cid:88)
(cid:15)(cid:62)(cid:213)(cid:19)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:34)(cid:35)-(cid:258)(cid:259)(cid:34)(cid:35)(cid:65)(cid:99)(cid:250)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:65)(cid:74)(cid:50)(cid:25)(cid:189)(cid:99)(cid:117)(cid:260)(cid:65)(cid:134)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:135)(cid:94)(cid:189)(cid:134)(cid:20)(cid:83)(cid:65)(cid:261)(cid:262)(cid:263)
(cid:227)(cid:87)(cid:11)(cid:117)(cid:260)(cid:134)(cid:256)(cid:257)(cid:20)(cid:88)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)2-2(cid:19)(cid:31)24-25(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:61)·(cid:264)(cid:265)(cid:266)(cid:267)·(cid:268)(cid:81)(cid:36)(cid:69)(cid:35)(cid:87)(cid:106)(cid:65)(cid:269)(cid:270)(cid:27)(cid:26)(cid:44)(cid:271)(cid:183)(cid:61)(cid:65)(cid:188) (cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:76)(cid:194)
(cid:77)(cid:62)C(cid:65)(cid:76)(cid:188) (cid:77)(cid:62)D(cid:88) 𝐴𝐵 𝐴𝐵
𝐴𝐵
(1)(cid:37)(cid:34)(cid:214)(cid:270)(cid:183)(cid:87)(cid:56)(cid:27)(cid:26)(cid:31)(cid:55)(cid:272)(cid:34)(cid:122)(cid:65)(cid:273)(cid:274)(cid:34)(cid:35)(cid:275)(cid:276)(cid:36)(cid:71)
(2)(cid:116)(cid:117)(cid:10) =16(cid:65) =4(cid:88)(cid:37)(cid:31)1(cid:36)(cid:81)(cid:87)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:88)
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)(𝐴1𝐵)(cid:277)(cid:134)(cid:128) 𝐶𝐷
(2)(cid:214)(cid:270)(cid:183)(cid:87)(cid:56)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:79)10(cid:88)
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:26)(cid:27)(cid:74)(cid:50)(cid:25)(cid:189)(cid:65)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:65)(cid:132)(cid:160)(cid:186)(cid:187)(cid:278)(cid:64)(cid:74)(cid:50)(cid:25)(cid:189)(cid:279)(cid:26)(cid:30)(cid:65)(cid:278)(cid:64)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:207)(cid:280)(cid:238)(cid:255)(cid:37)(cid:95)
(cid:125)(cid:94)(cid:134)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:135)(cid:88)
(cid:31)1(cid:36)(cid:235)(cid:77) (cid:94)(cid:188) (cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:65)(cid:217)(cid:26)(cid:30)(cid:56)(cid:59)(cid:60) (cid:61)(cid:65)(cid:281)(cid:214)(cid:70)(cid:46) (cid:65)(cid:26)(cid:30)(cid:56) (cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:61)(cid:65)(cid:143)(cid:34)
𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐶(cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:65)(cid:76) (cid:77)(cid:62)O(cid:65)(cid:217)(cid:62)O(cid:282)(cid:94)(cid:87)(cid:37)(cid:27)(cid:26)(cid:30)(cid:71)
(cid:31)2(cid:36)(cid:70)(cid:46) (cid:65)(cid:236)(cid:49)𝐶𝐷(cid:50)(cid:79)x(cid:65)(cid:86) = = (cid:65)(cid:217) = = (cid:65)(cid:136)(cid:137) (cid:94) (cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:65)(cid:185)(cid:80)
𝐴𝑂 1 𝐴𝑂 𝐶𝑂 𝑥 𝐷𝑂 𝐶𝑂−𝐶𝐷 𝑥−4 𝐶𝐷 𝐴𝐵
=90°(cid:65) = =8(cid:65)(cid:281)(cid:214)(cid:56)Rt (cid:81)(cid:65)(cid:136)(cid:137)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:207)(cid:280)(cid:238)(cid:255)(cid:65)(cid:86)(cid:140)(cid:37)(cid:229)x(cid:27)(cid:283)(cid:65)(cid:86)(cid:79)(cid:214)(cid:270)(cid:183)
2
∠(cid:87)𝐴(cid:56)𝐷𝑂(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:88)𝐴𝐷 𝐴𝐵 △𝐴𝐷𝑂
(cid:15)(cid:141)(cid:134)(cid:19)(cid:31)1(cid:36)(cid:134)(cid:10)(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:62)O(cid:79)(cid:87)(cid:37)(cid:27)(cid:26)(cid:30)(cid:88)
(cid:31)2(cid:36)(cid:134)(cid:10)(cid:70)(cid:46) (cid:65)
𝐴𝑂
(cid:236)(cid:49)(cid:50)(cid:79)x(cid:65)(cid:86) = = (cid:65)
= 𝐴=𝑂 𝐶(cid:65)𝑂 𝑥
∴𝐷𝑂(cid:94) 𝐶𝑂(cid:27)−(cid:74)𝐶𝐷(cid:59)(cid:75)𝑥(cid:72)−4(cid:60)(cid:65)
∵𝐶𝐷 𝐴𝐵=90°(cid:65)
∴∠𝐴𝐷𝑂1 1
= = ×16=8(cid:65)
2 2
𝐴𝐷 𝐴𝐵
(cid:56)Rt (cid:81)(cid:65) + = (cid:65)
2 2 2
∴(cid:86)8 +△(𝐴𝐷𝑂) = 𝐴𝐷(cid:65) 𝐷𝑂 𝐴𝑂
2 2 2
(cid:134)(cid:185)(cid:10) 𝑥=−140(cid:65) 𝑥
(cid:214)(cid:270)(cid:183)𝑥(cid:87)(cid:56)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:79)10(cid:88)
(cid:15)∴ (cid:151)(cid:152)2-3(cid:19)(cid:31)24-25(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:61)·(cid:110)(cid:111)(cid:110)(cid:158)·(cid:268)(cid:81)(cid:36)“(cid:284)(cid:285)(cid:286)”(cid:94)(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:233)(cid:290)(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:27)(cid:294)(cid:196)(cid:65)(cid:163)(cid:295)(cid:79)“(cid:296)(cid:238)(cid:297)(cid:238)”(cid:88)(cid:52)
(cid:298)(cid:57)(cid:11)(cid:227)(cid:58)(cid:39)(cid:95)(cid:125)(cid:79)2 2(cid:27)(cid:123)(cid:238)(cid:44)(cid:299)(cid:183)(cid:300)(cid:34)(cid:229)(cid:69)(cid:35)①(cid:27)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:65)(cid:301)(cid:302)(cid:229)(cid:69)(cid:35)②(cid:27)(cid:303)(cid:304)(cid:305)(cid:35)(cid:44)(cid:88)(cid:64)(cid:181)(cid:35)(cid:44)(cid:27)
A(cid:65)B(cid:65)C(cid:42)(cid:39)(cid:89)(cid:62)(cid:34)(cid:26)(cid:65)(cid:217)(cid:92)(cid:39)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:125)(cid:79)(cid:31) (cid:36)3 2 5 73 73
A(cid:88) B(cid:88) C(cid:88) D(cid:88)
2 2 32 16
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)C
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:129)(cid:20)(cid:306)(cid:170)(cid:130)(cid:131)(cid:184)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:65)(cid:123)(cid:238)(cid:44)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:65)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:78)(cid:220)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:175)(cid:45)(cid:30)(cid:65) (cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)
(cid:76) (cid:77)(cid:62) (cid:65) (cid:79)(cid:26)(cid:30)(cid:65)(cid:70)(cid:46) (cid:65)(cid:307)(cid:37)(cid:185) =4(cid:65) =3(cid:65)(cid:226)(cid:227)(cid:74)(cid:50)(cid:25)(cid:189)(cid:37)(cid:185) (cid:27)(cid:125)(cid:65)(cid:56)R𝐴t𝐷 (cid:81)(cid:65)𝐵𝐶(cid:235)
(cid:246)𝐵(cid:247)𝐶(cid:25)(cid:189)(cid:37)𝐷(cid:134)𝑂(cid:86)(cid:140)(cid:65)(cid:134)(cid:20)(cid:27)(cid:3)𝑂(cid:135)𝐵(cid:94)(cid:34)(cid:229)(cid:253)𝐴(cid:209)𝐷(cid:27)(cid:308)(cid:309)(cid:60)𝐴𝐵(cid:65)(cid:207)(cid:280)(cid:59)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:88) 𝐵𝐷 △𝑂𝐵𝐷
(cid:15)(cid:141)(cid:134)(cid:19)(cid:134)(cid:10)(cid:69)(cid:35)(cid:65) (cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72) (cid:76) (cid:77)(cid:62) (cid:65) (cid:79)(cid:26)(cid:30)(cid:65)(cid:70)(cid:46) (cid:65)
𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐷 𝑂 𝑂𝐵
(cid:237)(cid:95)(cid:125)(cid:79)2 2(cid:27)(cid:123)(cid:238)(cid:44)(cid:72)(cid:310)(cid:208)(cid:27)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:302)(cid:208)(cid:184)(cid:58)(cid:39)(cid:303)(cid:304)(cid:305)(cid:35)(cid:44)(cid:65)
∵ =2+1+1=4(cid:65) =2+1=3(cid:65)
∴𝐴𝐷 1 3 𝐵𝐶
= = (cid:65)
2 2
∴(cid:236)𝐵(cid:181)𝐷(cid:26)(cid:27)𝐵(cid:49)𝐶(cid:50)(cid:125)(cid:94) (cid:65)(cid:217) = (cid:65) = (cid:65)
𝑥 𝑂𝐵 𝑥 𝑂𝐷 4−𝑥 3
(cid:56)Rt (cid:81)(cid:65)(cid:235)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:185) =( ) + (cid:65)
2 2
2 2
△𝑂7𝐵3𝐷 𝑥 4−𝑥
(cid:134)(cid:185) = (cid:65)
32
𝑥 73
(cid:181)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:125)(cid:94) (cid:65)
32
∴(cid:143)(cid:144)(cid:10)C(cid:88)
【题型3 求能确定的圆的个数】
(cid:15)(cid:109)3(cid:19)(cid:116)(cid:117)(cid:10)A(cid:65)B(cid:65)C(cid:65)D(cid:65)E(cid:311)(cid:39)(cid:62)(cid:81)(cid:149)(cid:82)(cid:312)(cid:42)(cid:62)(cid:200)(cid:60)(cid:65)(cid:149)(cid:82)(cid:312)(cid:199)(cid:62)(cid:200)(cid:26)(cid:65)(cid:313)(cid:314)(cid:64)(cid:100)(cid:81)(cid:27)(cid:42)(cid:62)(cid:34)(cid:26)(cid:65)(cid:51)
(cid:315)(cid:38)(cid:34)(cid:229)( )(cid:88)
A(cid:88)5(cid:39)(cid:26) B(cid:88)8(cid:39)(cid:26) C(cid:88)10(cid:39)(cid:26) D(cid:88)12(cid:39)(cid:26)
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)C
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:136)(cid:137)(cid:64)(cid:55)(cid:200)(cid:60)(cid:42)(cid:62)(cid:140)(cid:34)(cid:58)(cid:39)(cid:26)(cid:65)(cid:279)(cid:229)(cid:55)(cid:200)(cid:60)(cid:42)(cid:62)(cid:27)(cid:316)(cid:40)(cid:86)(cid:140)(cid:88)
(cid:15)(cid:141)(cid:134)(cid:19)(cid:134)(cid:10)(cid:64)(cid:100)(cid:81)(cid:27)(cid:42)(cid:62)(cid:34)(cid:26)(cid:65)(cid:51)(cid:315)(cid:38)(cid:34)(cid:229)10(cid:39)(cid:65)(cid:86)(cid:72)(cid:73)(cid:64)(cid:62)ABC(cid:142)ABD(cid:142)ABE(cid:142)ACD(cid:142)ACE(cid:142)ADE(cid:142)
BCD(cid:142)BCE(cid:142)BDE(cid:142)CDE(cid:27)(cid:26)(cid:88)(cid:143)(cid:144)C(cid:88)
(cid:15)(cid:62)(cid:213)(cid:19)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:42)(cid:62)(cid:200)(cid:26)(cid:257)(cid:20)(cid:65)(cid:186)(cid:187)(cid:131)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:40)(cid:238)(cid:122)(cid:94)(cid:134)(cid:20)(cid:3)(cid:135)(cid:88)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)3-1(cid:19)(cid:69)(cid:35)(cid:87)(cid:106)(cid:65)(cid:62)A(cid:65)B(cid:65)C(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:65)(cid:62)M(cid:56)AC(cid:45)(cid:65)(cid:63)(cid:64)(cid:35)(cid:81)(cid:27)(cid:42)(cid:39)(cid:62)(cid:34)(cid:26)(cid:65)(cid:140)(cid:78)(cid:34)
(cid:39)(cid:88)
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)3
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:136)(cid:137)“(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:27)(cid:42)(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:58)(cid:39)(cid:26)”(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:40)(cid:86)(cid:140)(cid:88)
(cid:15)(cid:141)(cid:134)(cid:19)(cid:64)A(cid:142)B(cid:142)M(cid:71)A(cid:142)C(cid:142)M(cid:71)B(cid:142)C(cid:142)M(cid:200)(cid:38)(cid:24)(cid:25)3(cid:39)(cid:26)(cid:65)
(cid:143)(cid:126)(cid:127)(cid:79)3(cid:88)
(cid:15)(cid:62)(cid:213)(cid:19)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:184)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:65)(cid:4)(cid:10)(cid:64)(cid:42)(cid:62)(cid:34)(cid:26)(cid:65)(cid:72)(cid:150)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:10)①(cid:42)(cid:62)(cid:200)(cid:60)(cid:71)②(cid:42)(cid:62)(cid:55)(cid:200)(cid:60)(cid:88)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)3-2(cid:19)(cid:116)(cid:117)(cid:62)A(cid:65)B(cid:195)(cid:59)(cid:60)l(cid:65)(cid:34)(cid:58)(cid:39)(cid:26)(cid:65)(cid:241)(cid:317)(cid:63)(cid:64)(cid:62)A(cid:195)(cid:62)B(cid:65)(cid:301)(cid:211)(cid:26)(cid:30)(cid:56)(cid:59)(cid:60)l(cid:61)(cid:88)
(cid:31)1(cid:36)(cid:209)(cid:59)(cid:60)l(cid:175)(cid:59)(cid:60) (cid:55)(cid:74)(cid:59)(cid:210)(cid:65)(cid:140)(cid:34)(cid:318)(cid:39)(cid:26)(cid:319)
(cid:31)2(cid:36)(cid:209)(cid:59)(cid:60)l(cid:175)(cid:59)(cid:60)𝐴𝐵(cid:74)(cid:59)(cid:320)(cid:55)(cid:63)(cid:64) (cid:27)(cid:81)(cid:62)(cid:210)(cid:65)(cid:140)(cid:34)(cid:318)(cid:39)(cid:26)(cid:319)
(cid:31)3(cid:36)(cid:209)(cid:59)(cid:60)l(cid:94)(cid:60)(cid:118)𝐴𝐵(cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)𝐴(cid:210)𝐵(cid:65)(cid:140)(cid:34)(cid:318)(cid:39)(cid:26)(cid:319)
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)(cid:31)1(cid:36)1(cid:39)(cid:71)(cid:31)𝐴𝐵2(cid:36)0(cid:39)(cid:71)(cid:31)3(cid:36)(cid:149)(cid:40)(cid:39)(cid:88)
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:31)1(cid:36)(cid:64)A(cid:142)B(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:30)(cid:56)(cid:60)(cid:118)AB(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)m(cid:61)(cid:65)(cid:249)(cid:59)(cid:60)m(cid:175)(cid:59)(cid:60)l(cid:124)(cid:193)1(cid:39)(cid:76)(cid:62)(cid:65)(cid:137)(cid:214)(cid:140)
(cid:185)(cid:126)(cid:127)(cid:71)
(cid:31)2(cid:36)(cid:64)A(cid:142)B(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:30)(cid:56)(cid:60)(cid:118)AB(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)m(cid:61)(cid:65)(cid:249)(cid:59)(cid:60)m(cid:175)(cid:59)(cid:60)l(cid:212)(cid:193)(cid:39)(cid:76)(cid:62)(cid:71)
(cid:31)3(cid:36)(cid:64)A(cid:142)B(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:30)(cid:56)(cid:60)(cid:118)AB(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)m(cid:61)(cid:65)(cid:249)(cid:59)(cid:60)m(cid:175)(cid:59)(cid:60)l(cid:244)(cid:148)(cid:65)(cid:86)(cid:59)(cid:60)l(cid:61)(cid:87)(cid:193)(cid:62)(cid:321)(cid:140)(cid:34)
(cid:79)(cid:63)(cid:64)A(cid:65)B(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:30)(cid:88)
(cid:15)(cid:141)(cid:134)(cid:19)(cid:134)(cid:10)(cid:31)1(cid:36)(cid:69)(cid:35)1(cid:65)(cid:64)A(cid:142)B(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:30)(cid:56)(cid:60)(cid:118)AB(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)m(cid:61)(cid:65)(cid:249)(cid:59)(cid:60)m(cid:175)(cid:59)(cid:60)l(cid:124)(cid:193)1(cid:39)(cid:76)
(cid:62)(cid:65)
(cid:209)(cid:59)(cid:60)l(cid:175)(cid:59)(cid:60)AB(cid:55)(cid:74)(cid:59)(cid:210)(cid:65)(cid:124)(cid:38)(cid:34)1(cid:39)(cid:26)(cid:71)
∴(cid:31)2(cid:36)(cid:69)(cid:35)2(cid:65)(cid:64)A(cid:142)B(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:30)(cid:56)(cid:60)(cid:118)AB(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)m(cid:61)(cid:65)(cid:249)(cid:59)(cid:60)m(cid:175)(cid:59)(cid:60)l(cid:212)(cid:193)(cid:39)(cid:76)(cid:62)(cid:65)
(cid:209)(cid:59)(cid:60)l(cid:175)(cid:59)(cid:60)AB(cid:74)(cid:59)(cid:320)(cid:55)(cid:63)(cid:64)AB(cid:27)(cid:81)(cid:62)(cid:210)(cid:65)(cid:55)(cid:38)(cid:34)(cid:26)(cid:71)
(cid:31)∴ 3(cid:36)(cid:69)(cid:35)3(cid:65)(cid:64)A(cid:142)B(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:30)(cid:56)(cid:60)(cid:118)AB(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)m(cid:61)(cid:65)(cid:249)(cid:59)(cid:60)m(cid:175)(cid:59)(cid:60)l(cid:244)(cid:148)(cid:65)(cid:86)(cid:59)(cid:60)l(cid:61)(cid:87)(cid:193)(cid:62)
(cid:321)(cid:140)(cid:34)(cid:79)(cid:63)(cid:64)A(cid:65)B(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:30)(cid:65)
(cid:209)(cid:59)(cid:60)l(cid:94)(cid:60)(cid:118)AB(cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:210)(cid:65)(cid:38)(cid:34)(cid:149)(cid:40)(cid:39)(cid:26)(cid:88)
∴(cid:15)(cid:62)(cid:213)(cid:19)(cid:129)(cid:20)(cid:306)(cid:170)(cid:130)(cid:131)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:65)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:27)(cid:42)(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:58)(cid:39)(cid:26)(cid:88)(cid:86)(cid:64)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:27)(cid:42)(cid:39)
(cid:62)(cid:193)(cid:211)(cid:124)(cid:193)(cid:58)(cid:39)(cid:26)(cid:65)(cid:64)(cid:58)(cid:62)(cid:140)(cid:41)(cid:149)(cid:40)(cid:39)(cid:26)(cid:65)(cid:64)(cid:150)(cid:62)(cid:322)(cid:38)(cid:41)(cid:149)(cid:40)(cid:39)(cid:26)(cid:65)(cid:64)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:27)(cid:42)(cid:62)(cid:38)(cid:41)(cid:211)(cid:124)
(cid:38)(cid:41)(cid:58)(cid:39)(cid:26)(cid:88)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)3-3(cid:19)(cid:323)(cid:324)(cid:56)(cid:69)(cid:35)(cid:87)(cid:106)(cid:27)12×12(cid:27)(cid:325)(cid:326)(cid:35)(cid:44)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:41)(cid:58)(cid:39)(cid:26)(cid:65)(cid:217)(cid:87)(cid:41)(cid:27)(cid:26)(cid:51)(cid:315)(cid:38)(cid:63)(cid:64)169(cid:39)(cid:326)(cid:62)(cid:81)(cid:27)
(cid:39)(cid:326)(cid:62)(cid:88)(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)16
130
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:78)(cid:58)(cid:39)(cid:52)(cid:123)(cid:238)(cid:44)(cid:27)(cid:81)(cid:30)(cid:79)(cid:26)(cid:30)(cid:88)(cid:133)(cid:26)(cid:30)(cid:47)(cid:48)(cid:79)(cid:31)0.5(cid:65)0.5(cid:36)(cid:65)(cid:245)(cid:49)(cid:50)(cid:79) (cid:65)(cid:41)(cid:35)(cid:86)(cid:140)(cid:134)(cid:126).
2
130
(cid:15)(cid:141)(cid:134)(cid:19)(cid:134)(cid:10)(cid:78)(cid:58)(cid:39)(cid:52)(cid:123)(cid:238)(cid:44)(cid:27)(cid:81)(cid:30)(cid:79)(cid:26)(cid:30)(cid:88)(cid:133)(cid:26)(cid:30)(cid:47)(cid:48)(cid:79)(cid:31)0.5(cid:65)0.5(cid:36)(cid:65)(cid:245)(cid:49)(cid:50)(cid:79) (cid:65)(cid:214)(cid:26)(cid:63)(cid:64)(cid:31)6(cid:65)
2
2(cid:36)(cid:65)(cid:31)5(cid:65)4(cid:36)(cid:65)(cid:31)4(cid:65)5(cid:36)(cid:65)(cid:31)2(cid:65)6(cid:36)(cid:65)(cid:31)﹣1(cid:65)6(cid:36)(cid:65)(cid:31)﹣3(cid:65)5(cid:36)(cid:65)(cid:31)﹣4(cid:65)4(cid:36)(cid:65)(cid:31)﹣5(cid:65)2(cid:36)(cid:65)(cid:31)﹣5(cid:65)
﹣1(cid:36)(cid:65)(cid:31)﹣4(cid:65)﹣3(cid:36)(cid:65)(cid:31)﹣3(cid:65)﹣4(cid:36)(cid:65)(cid:31)﹣1(cid:65)5(cid:36)(cid:65)(cid:31)2(cid:65)﹣5(cid:36)(cid:65)(cid:31)4(cid:65)﹣4(cid:36)(cid:65)(cid:31)5(cid:65)﹣3(cid:36)(cid:65)(cid:31)6(cid:65)
﹣1(cid:36)(cid:65)(cid:200)16(cid:39)(cid:326)(cid:62)(cid:88)
(cid:143)(cid:126)(cid:127)(cid:79)16
(cid:15)(cid:62)(cid:213)(cid:19)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:65)(cid:301)(cid:211)(cid:56)(cid:134)(cid:126)(cid:94)(cid:170)(cid:4)(cid:83)(cid:49)(cid:50)(cid:175)(cid:40)(cid:303)(cid:27)(cid:3)(cid:215).
【题型4 画圆（尺规作图）】
(cid:15)(cid:109)4(cid:19)(cid:31)24-25(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:61)·(cid:156)(cid:327)(cid:149)(cid:328)·(cid:159)(cid:118)(cid:160)(cid:161)(cid:36)(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:116)(cid:117)(cid:104)(cid:43) (cid:81)(cid:65) = (cid:88)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶
(1)(cid:323)(cid:56)(cid:35)1(cid:81)(cid:227)(cid:149)(cid:329)(cid:225)(cid:27)(cid:59)(cid:32)(cid:195)(cid:26)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:10)(cid:34) (cid:27)(cid:75)(cid:72)(cid:60) (cid:71)(cid:34) (cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26) (cid:71)(cid:31)(cid:55)(cid:272)(cid:34)(cid:122)(cid:65)
(cid:273)(cid:274)(cid:34)(cid:35)(cid:275)(cid:276)(cid:36) ∠𝐴𝐶𝐵 𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐶 ⊙𝑂
48
(2)(cid:56)(cid:31)1(cid:36)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:119)(cid:65)(cid:168) = (cid:65) (cid:27)(cid:59)(cid:50)(cid:79)10(cid:65)(cid:217) = (cid:88)(cid:31)(cid:69)(cid:330)(cid:41)(cid:331)(cid:35)(cid:65)(cid:323)(cid:241)(cid:227)(cid:35)2(cid:36)
5
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)(1)(cid:277)(cid:134)(cid:128) 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐴𝐶
(2)8
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:31)1(cid:36)(cid:226)(cid:227)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:229) (cid:27)(cid:43)(cid:75)(cid:72)(cid:60) (cid:65)(cid:34)(cid:60)(cid:118) (cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:76) (cid:77)(cid:62)O(cid:65)(cid:78)O(cid:79)(cid:26)(cid:30)(cid:65)
∠𝐴𝐶𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐶𝐷 𝑂𝐶(cid:79)(cid:49)(cid:50)(cid:34) (cid:86)(cid:140)(cid:88)
(cid:31)2(cid:36)(cid:70)(cid:46)⊙𝑂(cid:65)(cid:236)(cid:254)(cid:60) (cid:76) (cid:77)E(cid:88)(cid:226)(cid:227)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:37)(cid:229) (cid:65) (cid:65)(cid:230)(cid:226)(cid:227)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:37)(cid:229) (cid:65)(cid:140)(cid:185)(cid:332)(cid:191)(cid:88)
(cid:15)(cid:141)(cid:134)(cid:19)(cid:31)𝑂1𝐴(cid:36)(cid:134)(cid:10)(cid:69)(cid:35)𝐶𝐷(cid:65)(cid:254)𝐴(cid:60)𝐵 (cid:65) (cid:86)(cid:79)(cid:87)(cid:37)(cid:88) 𝑂𝐸 𝐶𝐸 𝐴𝐶
𝐶𝐷 ⊙𝑂
(cid:31)2(cid:36)(cid:134)(cid:10)(cid:70)(cid:46) (cid:65)(cid:236)(cid:254)(cid:60) (cid:76) (cid:77)E(cid:88)
𝑂𝐴 𝐶𝐷 𝐴𝐵48
= (cid:65) (cid:75)(cid:72) (cid:65) = (cid:65)
5
∵𝐶𝐴 𝐶𝐵 𝐶𝐷 ∠𝐴𝐶2𝐵4 𝐴𝐵
(cid:65) = = (cid:65)(cid:333) =5(cid:65)
5
∴𝐶𝐷⊥𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐵𝐸 7 𝑂𝐴
= = (cid:65)
5
2 2
∴𝑂𝐸 𝑂𝐴 −𝐴𝐸 7 32
= + =5+ = (cid:65)
5 5
∴𝐶𝐸 𝑂𝐶 𝑂𝐸
24 32
= + = + =8(cid:65)
5 2 5 2
2 2
∴(cid:143)𝐴(cid:126)𝐶(cid:127)(cid:79)𝐴(cid:10)𝐸8(cid:88) 𝐶𝐸
(cid:15)(cid:62)(cid:213)(cid:19)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:34)(cid:35)-(cid:258)(cid:259)(cid:34)(cid:35)(cid:65)(cid:34)(cid:43)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:65)(cid:60)(cid:118)(cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:65)(cid:99)(cid:250)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:65)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:65)(cid:42)(cid:43)
(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:99)(cid:117)(cid:260)(cid:65)(cid:134)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:135)(cid:94)(cid:123)(cid:24)(cid:34)(cid:229)(cid:35)(cid:44)(cid:65)(cid:226)(cid:227)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:134)(cid:256)(cid:257)(cid:20)(cid:88)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)4-1(cid:19)(cid:37)(cid:34)(cid:10) (cid:65)(cid:241)(cid:317)(cid:63)(cid:64)(cid:62)B(cid:195)(cid:62)C(cid:65)(cid:301)(cid:211)(cid:26)(cid:30)O(cid:56) (cid:27)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:61)(cid:88)
⊙𝑂 ∠𝐴
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)(cid:35)(cid:277)(cid:134)(cid:128)
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:214)(cid:20)(cid:306)(cid:170)(cid:130)(cid:131)(cid:184)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:65)(cid:26)(cid:27)(cid:334)(cid:129)(cid:96)(cid:97)(cid:65)(cid:132)(cid:160)(cid:186)(cid:187)(cid:335)(cid:277)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:94)(cid:134)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:135)(cid:88)
(cid:34)(cid:26)(cid:65)(cid:86)(cid:330)(cid:170)(cid:307)(cid:24)(cid:25)(cid:100)(cid:26)(cid:30)(cid:65)(cid:307)(cid:34) (cid:27)(cid:43)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:65)(cid:230)(cid:34)(cid:60)(cid:118) (cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:98)(cid:76)(cid:77)(cid:62) (cid:65)(cid:86) (cid:62)(cid:79)(cid:26)(cid:30)(cid:88)
(cid:15)(cid:141)(cid:134)(cid:19)(cid:134)(cid:10)(cid:69)(cid:35)(cid:65) (cid:86)(cid:79)(cid:87)(cid:37)∠(cid:88)𝐴 𝐵𝐶 𝑂 𝑂
⊙𝑂(cid:31)1(cid:36)(cid:34)(cid:229) (cid:27)(cid:43)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:65)
(cid:31)2(cid:36)(cid:34)(cid:229)∠(cid:60)𝐶(cid:118)𝐴𝐵 (cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:76)(cid:77) (cid:65) = (cid:65)
(cid:31)3(cid:36)(cid:86)(cid:78) (cid:62)(cid:79)𝐵𝐶(cid:26)(cid:30)(cid:65) (cid:79)(cid:49)(cid:50)(cid:65)(cid:34)𝑂(cid:26) 𝑂(cid:65)𝐵(cid:69)(cid:119)𝑂(cid:35)𝐶 (cid:87)(cid:106)(cid:10)
𝑂 𝑂𝐵 𝑂
(cid:15)(cid:151)(cid:152)4-2(cid:19)(cid:31)2025·(cid:336)(cid:337)(cid:25)(cid:338)·(cid:115)(cid:339)(cid:340)(cid:341)(cid:36)(cid:193)(cid:342)(cid:27)(cid:343)(cid:26)(cid:257)(cid:20)(cid:10)(cid:136)(cid:137)(cid:26)(cid:27)(cid:198)(cid:344)(cid:7)(cid:152) (cid:65)(cid:26)(cid:198)(cid:344)(cid:345)(cid:178)(cid:27)(cid:343)(cid:40)(cid:94)(cid:49)
2
(cid:50)(cid:345)(cid:178)(cid:343)(cid:40)(cid:27)(cid:75)(cid:238)(cid:65)(cid:322)(cid:282)(cid:94)(cid:49)(cid:50)(cid:345)(cid:178)2(cid:343)(cid:65)(cid:198)(cid:344)(cid:346)(cid:345)(cid:178)4(cid:343)(cid:88) π𝑟
(cid:180)(cid:227)(cid:10)(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:347)(cid:348)(cid:173)(cid:193)(cid:39)(cid:26)(cid:44)(cid:349)(cid:350)(cid:65)(cid:133)(cid:79) (cid:65)(cid:79)(cid:351)(cid:352)(cid:347)(cid:348)(cid:65)(cid:353)(cid:354)(cid:355)(cid:356)(cid:357)(cid:280)(cid:65)(cid:169)(cid:231)(cid:181)(cid:349)(cid:350)(cid:27)(cid:198)(cid:344)(cid:345)(cid:178)(cid:208)(cid:176)
(cid:177)(cid:198)(cid:344)(cid:27)8(cid:343)(cid:65)(cid:320)(cid:176)(cid:177)(cid:349)(cid:350)(cid:56)(cid:358)(cid:349)(cid:350)(cid:27)(cid:93)(cid:107)⊙(cid:65)𝑂(cid:323)(cid:324)(cid:136)(cid:137)(cid:359)(cid:360)(cid:27)(cid:236)(cid:361)(cid:27)(cid:67)(cid:68)(cid:65)(cid:362)(cid:208)(cid:119)(cid:198)(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:20)(cid:10)(cid:31)(cid:252)(cid:69)(cid:119)
(cid:67)(cid:68)(cid:362)(cid:208)(cid:65)(cid:273)(cid:274)(cid:34)(cid:35)(cid:275)(cid:276)(cid:36)
1
①(cid:56) (cid:81)(cid:34)(cid:59)(cid:50) (cid:65)(cid:72)(cid:73)(cid:78)(cid:62)A(cid:65)B(cid:79)(cid:26)(cid:30)(cid:65)(cid:178)(cid:77) (cid:27)(cid:125)(cid:79)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:194)(cid:65)(cid:150)(cid:194)(cid:56)(cid:59)(cid:50) (cid:61)(cid:238)(cid:76)(cid:77)(cid:62)C(cid:65)
2
(cid:34)(cid:254)(cid:60)⊙𝑂(cid:71) 𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐵
②(cid:363)(cid:125)𝑂(cid:59)𝐶(cid:50) (cid:65)(cid:56)(cid:363)(cid:125)(cid:60)(cid:61)(cid:364)(cid:245) = (cid:65)(cid:57)(cid:179)(cid:56)(cid:254)(cid:60) (cid:61)(cid:364)(cid:245) = (cid:65)(cid:70)(cid:46) (cid:71)
③(cid:78)(cid:62)O(cid:79)𝐴(cid:26)𝐵(cid:30)(cid:65) (cid:27)(cid:125)(cid:79)(cid:49)(cid:50)𝑂(cid:41)𝐷(cid:26)(cid:65)2𝑂(cid:178)𝐵 (cid:79)(cid:87)(cid:37)(cid:34)(cid:27)𝑂𝐶(cid:349)(cid:350)(cid:88) 𝑂𝐸 2𝑂𝐵 𝐷𝐸
𝐷𝐸 ⊙𝑂
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)(cid:277)(cid:134)(cid:128)
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:214)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:184)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:74)(cid:60)(cid:65)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:26)(cid:65)(cid:136)(cid:137)(cid:20)(cid:365)(cid:81)(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:238)(cid:122)(cid:37)(cid:134)(cid:86)(cid:140)(cid:88)
(cid:15)(cid:141)(cid:134)(cid:19)(cid:69)(cid:35)(cid:87)(cid:106)(cid:65)(cid:178) (cid:79)(cid:87)(cid:37)(cid:34)(cid:27)(cid:349)(cid:350)(cid:88)
⊙𝑂
(cid:15)(cid:151)(cid:152)4-3(cid:19)(cid:31)2025·(cid:156)(cid:327)(cid:366)(cid:158)·(cid:42)(cid:115)(cid:36)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:10)(cid:31)(cid:273)(cid:274)(cid:34)(cid:35)(cid:275)(cid:276)(cid:86)(cid:140)(cid:36)(1)(cid:323)(cid:56)(cid:35)①(cid:81)(cid:34)(cid:367)(cid:44) (cid:65)(cid:241)(cid:185)(cid:62)E(cid:56) (cid:61)(cid:65)(cid:62)F(cid:56) (cid:61)(cid:71)(cid:31)(cid:273)(cid:274)(cid:34)(cid:35)(cid:275)(cid:276)(cid:86)(cid:140)(cid:36)
(2)(cid:323)(cid:56)(cid:35)②(cid:81)(cid:78)(cid:368)(cid:44)𝐷𝐸𝐵𝐹(cid:27) (cid:95)(cid:79)(cid:95)(cid:34)𝐴(cid:367)𝐷(cid:44) (cid:65)(cid:241)𝐵(cid:185)𝐶(cid:62) (cid:56) (cid:61)(cid:71)(cid:31)(cid:273)(cid:274)(cid:34)(cid:35)(cid:275)(cid:276)(cid:86)(cid:140)(cid:36)
(3)(cid:323)(cid:56)(cid:35)③(cid:81)(cid:78)(cid:368)(cid:44)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:27)𝐴𝐷(cid:95)(cid:79)(cid:59)(cid:50)(cid:34) 𝐴𝐷(cid:65)𝐸𝐹(cid:301)(cid:56) (cid:61)𝐸(cid:24)𝐵(cid:25)𝐶(cid:62)P(cid:65)(cid:241)(cid:185) (cid:27)(cid:198)(cid:344)(cid:175)(cid:368)(cid:44) (cid:27)
(cid:198)(cid:344)(cid:98)(cid:99)(cid:88)(cid:31)(cid:272)(cid:229)(cid:192)(cid:170)𝐴(cid:27)𝐵𝐶(cid:369)𝐷(cid:370)(cid:121)𝐴𝐷(cid:196)(cid:36) ⊙𝑂 ⊙𝑂 Δ𝐵𝐶𝑃 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)(1)(cid:277)(cid:134)(cid:128)
(2)(cid:277)(cid:134)(cid:128)
(3)(cid:277)(cid:134)(cid:128)
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:34)(cid:35)−(cid:258)(cid:259)(cid:34)(cid:35)(cid:142)(cid:367)(cid:44)(cid:27)(cid:22)(cid:25)(cid:142)(cid:368)(cid:44)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:142)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:65)(cid:189)(cid:134)(cid:20)(cid:83)(cid:142)(cid:261)(cid:262)(cid:263)(cid:227)(cid:98)
(cid:3)(cid:117)(cid:260)(cid:94)(cid:134)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:135)(cid:88)
(cid:31)1(cid:36)(cid:70)(cid:46) (cid:65)(cid:34) (cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:65)(cid:76) (cid:77)(cid:62)E(cid:65)(cid:76) (cid:77)(cid:62)F(cid:65)(cid:70)(cid:46) (cid:65) (cid:65)(cid:217)(cid:199)(cid:95)(cid:44) (cid:79)(cid:87)(cid:37)(cid:71)
(cid:31)2(cid:36)(cid:78)(cid:62)𝐵D𝐷(cid:79)(cid:26)(cid:30)𝐵𝐷(cid:65) (cid:27)(cid:125)(cid:79)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:194)𝐴𝐷(cid:65)(cid:76) (cid:79)(cid:62)E𝐵(cid:65)𝐶(cid:230)(cid:72)(cid:73)(cid:78)(cid:62)E𝐵(cid:142)𝐸(cid:62)𝐷A𝐹(cid:79)(cid:26)(cid:30)(cid:65) (cid:27)𝐷𝐸(cid:125)𝐵(cid:79)𝐹(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:194)(cid:65)
(cid:150)(cid:194)(cid:76)(cid:77)(cid:62)F(cid:65)(cid:70)(cid:46) 𝐴(cid:142)𝐷 (cid:142) (cid:65)(cid:217)(cid:199)(cid:95)(cid:44)𝐵𝐶 (cid:79)(cid:87)(cid:37)(cid:71) 𝐴𝐷
(cid:31)3(cid:36)(cid:34)(cid:60)(cid:118) (cid:27)(cid:74)(cid:59)𝐷𝐸(cid:75)(cid:72)𝐸(cid:60)𝐹 𝐴𝐹(cid:65)(cid:76) (cid:77)(cid:62)𝐴O𝐷(cid:65)𝐸(cid:78)𝐹 (cid:62)O(cid:79)(cid:26)(cid:30)(cid:65) (cid:27)(cid:125)(cid:79)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:26)(cid:65)(cid:86)(cid:140)(cid:185) (cid:65)(cid:78)(cid:62)O
(cid:79)(cid:26)(cid:30)(cid:65) (cid:27)𝐴𝐷(cid:125)(cid:79)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:194)(cid:65)𝑀(cid:56)𝑁 (cid:27)𝐴(cid:61)𝐷(cid:238)(cid:76) (cid:77)(cid:62)E(cid:65)(cid:230)(cid:34) 𝐴𝑂= (cid:65)(cid:34)(cid:59)(cid:60) (cid:65)(cid:72)(cid:73)⊙(cid:76)𝑂 (cid:77)
𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝑀𝑁 ∠𝑀𝐸𝐹 ∠𝐸𝑂𝐷 𝐸𝐹 ⊙𝑂
(cid:62) (cid:142) (cid:65)(cid:86)(cid:140)(cid:37)(cid:134)(cid:88)
′ ″
𝑃 𝑃
(cid:15)(cid:141)(cid:134)(cid:19)(cid:31)1(cid:36)(cid:134)(cid:10)(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:367)(cid:44) (cid:79)(cid:87)(cid:37)(cid:88)
𝐷𝐸𝐵𝐹
(cid:371)(cid:196)(cid:69)(cid:119)(cid:10) (cid:94) (cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:65)
= (cid:65)∵𝐸𝐹=𝐵𝐷(cid:65)
∴(cid:236)𝐵𝐸 (cid:175)𝐷𝐸(cid:27)𝐵(cid:76)𝐹(cid:62)(cid:79)𝐷𝐹O(cid:65)
𝐸𝐹 𝐵𝐷= (cid:65)
∴(cid:56)𝐵𝑂(cid:368)(cid:44)𝐷𝑂 (cid:81)(cid:65) (cid:65)
∵ =𝐴𝐵𝐶𝐷 (cid:65)𝐴𝐷∥𝐵𝐶
∴∠𝐸𝐷𝑂=∠𝐹𝐵𝑂(cid:65)
∵∠𝐸𝑂𝐷 ∠𝐹𝑂𝐵 (ASA)(cid:65)
∴△𝐷=𝑂𝐸≌(cid:65)△𝐵𝑂𝐹
∴𝐷𝐸= 𝐵𝐹 = = (cid:65)
∴(cid:199)𝐵𝐸(cid:95)(cid:44)𝐷𝐸 𝐵(cid:94)𝐹(cid:367)(cid:44)𝐷𝐹(cid:88)
(cid:31)∴ 2(cid:36)(cid:69)(cid:35)𝐵𝐸(cid:65)𝐷(cid:367)𝐹 (cid:44) (cid:86)(cid:79)(cid:87)(cid:37)(cid:88)
𝐴𝐷𝐸𝐹
(cid:371)(cid:196)(cid:69)(cid:119)(cid:10)(cid:235)(cid:34)(cid:35)(cid:140)(cid:185) = = = (cid:65)
(cid:199)(cid:95)(cid:44) (cid:94)(cid:367)(cid:44)(cid:88)𝐴𝐷 𝐷𝐹 𝐴𝐹 𝐸𝐹
(cid:31)∴ 3(cid:36)(cid:134)(cid:10)𝐴𝐷(cid:69)𝐸(cid:35)𝐹 (cid:65)
①(cid:34)(cid:60)(cid:118) (cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60) (cid:65)(cid:76) (cid:77)(cid:62)O(cid:65)(cid:78)(cid:62)O(cid:79)(cid:26)(cid:30)(cid:65) (cid:27)(cid:125)(cid:79)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:26)(cid:65)(cid:86)(cid:140)(cid:185) (cid:71)
②(cid:78)(cid:62)O𝐴(cid:79)𝐷(cid:26)(cid:30)(cid:65) (cid:27)(cid:125)𝑀(cid:79)𝑁(cid:49)(cid:50)(cid:41)𝐴(cid:194)𝐷(cid:65)(cid:56) (cid:27)(cid:61)(cid:238)(cid:76) (cid:77)(cid:62)𝐴E𝑂(cid:71) ⊙𝑂
𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝑀𝑁
③(cid:34) = (cid:65)(cid:34)(cid:59)(cid:60) (cid:65)(cid:72)(cid:73)(cid:76) (cid:77)(cid:62) (cid:142) (cid:88)
′ ″
∠𝑀𝐸𝐹 ∠𝐸𝑂𝐷 𝐸𝐹 ⊙𝑂 𝑃 𝑃
(cid:62) (cid:142) (cid:86)(cid:79)(cid:87)(cid:37)(cid:88)
′ ″
∴ 𝑃 𝑃(cid:371)(cid:196)(cid:69)(cid:119)(cid:10)(cid:236) (cid:175) (cid:76)(cid:77)(cid:62)G(cid:65)
𝑀𝑁 𝐵𝐶
= (cid:65)
∵∠𝑀𝐸𝐹(cid:65)∠𝐸𝑂𝐷
∴(cid:56)𝐸𝐹(cid:368)∥𝐴(cid:44)𝐷 (cid:81)(cid:65) (cid:65)
∵ 𝐴𝐵𝐶(cid:65)𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶
∴(cid:235)𝐸(cid:34)𝐹∥(cid:35)𝐴𝐷(cid:140)∥(cid:117)𝐵𝐶 (cid:65)
(cid:65)𝑀𝑁⊥𝐴𝐷 (cid:65)
∴(cid:235)𝑀(cid:34)𝑁(cid:35)⊥(cid:140)𝐸𝐹(cid:117) 𝑀𝑁=⊥𝐵𝐶(cid:65)
= =𝑂𝐸 (cid:65)𝐴𝐵
∴𝑂𝐺= 𝐴𝐵 (cid:65)𝑂𝐸
∴𝐸𝐺 2𝐴𝐵 1
= = = = (cid:88)
2 矩形
′ ″
∴𝑆△𝐵𝐶𝑃 𝑆△𝐵𝐶𝑃 𝐵𝐶⋅𝐸𝐺 𝐵𝐶⋅𝐴𝐵 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷
【题型5 三角形的外接圆】
(cid:15)(cid:109)5(cid:19)(cid:31)24-25(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:61)·(cid:16)(cid:156)(cid:216)(cid:158)·(cid:159)(cid:118)(cid:160)(cid:161)(cid:36)(cid:116)(cid:117) (cid:94)(cid:26)(cid:93)(cid:46)(cid:99)(cid:250)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:65)(cid:317)(cid:27)(cid:372)(cid:95)(cid:125)(cid:94)8(cid:65)(cid:168)(cid:26)(cid:27)
(cid:49)(cid:50)(cid:94)5(cid:65)(cid:217) (cid:27)(cid:198)(cid:344)(cid:94)(cid:31) (cid:36) △𝐴𝐵𝐶
A(cid:88)32(cid:202)1△6 𝐴𝐵𝐶 B(cid:88)32(cid:202)8 C(cid:88)8(cid:202)16 D(cid:88)24(cid:202)32
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)B
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:184)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:65)(cid:99)(cid:250)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:195)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:99)(cid:117)(cid:260)(cid:27)(cid:373)(cid:148)(cid:180)(cid:227)(cid:65)(cid:72)(cid:103)(cid:206)(cid:191)(cid:94)(cid:134)(cid:126)
(cid:129)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:135)(cid:71)(cid:116)(cid:117) (cid:94)(cid:99)(cid:250)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:65)(cid:136)(cid:137)(cid:99)(cid:250)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:65)(cid:168)(cid:64)A(cid:34)(cid:372)(cid:95) (cid:27)(cid:74)(cid:60) (cid:65)(cid:217) (cid:87)(cid:56)
(cid:59)(cid:60)(cid:192)(cid:64)(cid:26)(cid:30)O(cid:71)(cid:56)△R𝐴t𝐵𝐶 (cid:81)(cid:65)(cid:235)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:140)(cid:37)(cid:229) (cid:27)(cid:125)(cid:65)(cid:248)(cid:249)(cid:140)(cid:37)(cid:229) 𝐵(cid:27)𝐶(cid:198)(cid:344)(cid:65)𝐴(cid:330)𝐷(cid:4)(cid:83)(cid:129)𝐴𝐷(cid:20)(cid:27)
(cid:72)(cid:104)(cid:43)(cid:195)(cid:105)(cid:43)(cid:42)△(cid:43)(cid:44)𝑂𝐵(cid:150)𝐷(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:88) 𝑂𝐷 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)△(cid:141)𝐴𝐵(cid:134)𝐶(cid:19)(cid:134)(cid:10)(cid:69)(cid:35)①(cid:65)(cid:64)A(cid:34) (cid:77)D(cid:65)(cid:217) (cid:192)(cid:64)(cid:62)O(cid:65)(cid:70)(cid:46) (cid:65)
𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝑂𝐵(cid:56)Rt (cid:81)(cid:65) = =4(cid:65)
△𝑂𝐵𝐷 𝑂𝐵 5,𝐵𝐷
(cid:235)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:185)(cid:10) = =3(cid:65)(cid:217) = + =8(cid:65)
2 2
1 𝑂𝐷 𝑂𝐵 −𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝑂𝐴 𝑂𝐷
= =32(cid:71)
2
(cid:69)∴(cid:35)𝑆 ② △𝐴𝐵 (cid:65) 𝐶 𝐵𝐶·𝐴𝐷
(cid:57)(cid:31)1(cid:36)(cid:140)(cid:37)(cid:185) =3(cid:65)(cid:217) = =2(cid:65)
1 𝑂𝐷 𝐴𝐷 𝑂𝐴−𝑂𝐷
= =8(cid:65)
2
(cid:373)∴(cid:61)𝑆(cid:65) △𝐴𝐵𝐶 𝐵(cid:27)𝐶·(cid:198)𝐴𝐷(cid:344)(cid:94)32(cid:202)8(cid:65)
(cid:143)(cid:144)(cid:10)B△(cid:88)𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:151)(cid:152)5-1(cid:19)(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:42)(cid:43)(cid:44)ABC(cid:94) O(cid:27)(cid:93)(cid:46)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:65)BO(cid:175)AC(cid:98)(cid:76)(cid:77)(cid:62)D(cid:65)(cid:236) ABC(cid:251)m ABD﹣45°(cid:65) ADB
(cid:251)n ABD+45°(cid:65)(cid:217)m(cid:142)n(cid:27)(cid:99)(cid:374)(cid:3)(cid:215)⊙(cid:79) (cid:88) ∠ ∠ ∠
∠
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)m＝n+2．(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:70)(cid:46)OA(cid:142)OC(cid:65)(cid:69)(cid:119)(cid:35)(cid:87)(cid:106)(cid:65)(cid:185)(cid:80) OAB＝ ABD＝ 1， OCA＝ OAC＝ 2， DBC＝ OCB＝ 3(cid:65)
(cid:248)(cid:249)(cid:185)(cid:80) 1+ 3＝m 1﹣45°，2 3+ 2＝n 1∠+45°由此∠即可解∠出m∠和n的关∠系． ∠ ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:141)(cid:134)(cid:19)解∠ ：∠设∠A∠BD＝∠1，∠∠OA∠C＝∠∠2，∠OCB＝∠3，
∵△ABC内接于 O，
∴点O是△ABC⊙的外心，
∴∠OAB＝∠ABD＝∠1，∠OCA＝∠OAC＝∠2，∠DBC＝∠OCB＝∠3，
∵∠ABC＝m∠ABD﹣45°，
∴∠1+∠3＝m∠1﹣45° ，
∵∠ADB＝n∠ABD+45°①，
∴2∠3+∠2＝n∠1+45° ，
∵ ABC+ BCA+ CAB=1②80°，
即∠2 1+2∠2+2 3∠＝180°，
∴ 1∠+ 2+∠ 3=9∠0°，
∴由∠ ∠得∠∠3＝n∠1+∠1﹣45°＝（n+1）∠1﹣45° ，
把 ②代入 得：∠1+（n+1）∠1﹣45°＝m∠1﹣45°③，
∴③（n+2）①∠1＝m∠1，
即m＝n+2．
故答案为：m＝n+2．
(cid:15)(cid:62)(cid:213)(cid:19)本题借助圆内半径相等得到等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握圆的对称性等基本性质是解决
本题的关键．
(cid:15)(cid:151)(cid:152)5-2(cid:19)(cid:31)24-25(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:61)·(cid:375)(cid:376)(cid:156)(cid:377)(cid:378)(cid:156)·(cid:268)(cid:81)(cid:36)(cid:49)(cid:50)(cid:79)6(cid:27) (cid:94)(cid:104)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44) (cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:65)
= (cid:65)(cid:70)(cid:46) (cid:65) (cid:65)(cid:363)(cid:125) (cid:76)(cid:188) (cid:77)(cid:62)D(cid:65)(cid:168) (cid:94)(cid:59)⊙(cid:43)𝑂(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:65)(cid:217)(cid:188) 𝐴𝐵(cid:27)𝐶(cid:125)(cid:79) (cid:88)
𝐴(cid:15)𝐵(cid:126)(cid:127)𝐴(cid:19)𝐶6 2(cid:202)6𝑂𝐵3 𝑂𝐶 𝐶𝑂 𝐴𝐵 △𝑂𝐵𝐷 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:184)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:175)(cid:45)(cid:30)(cid:65)(cid:99)(cid:95)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:22)(cid:25)(cid:195)(cid:96)(cid:97)(cid:65)(cid:99)(cid:250)(cid:59)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:71)(cid:123)(cid:24)(cid:27)(cid:34)(cid:229)(cid:35)(cid:44)(cid:94)(cid:134)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:135)(cid:88)(cid:69)(cid:35)1(cid:65)(cid:209) =90°(cid:210)(cid:65)(cid:140)(cid:185) (cid:94)(cid:99)(cid:95)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:65)(cid:134)(cid:59)(cid:43) (cid:140)(cid:37)(cid:134)(cid:71)(cid:69)
(cid:35)2(cid:65)(cid:209) =90°(cid:65)(cid:190)(cid:229) (cid:94)∠𝑂(cid:99)𝐷(cid:250)𝐵(cid:59)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:65)(cid:134)△𝐴𝐵𝐶 (cid:140)(cid:37)(cid:134)(cid:88) △𝑂𝐵𝐷
(cid:15)(cid:141)(cid:134)(cid:19)∠(cid:134)𝐷(cid:10)𝑂𝐵(cid:69)(cid:35)1(cid:65)(cid:209) △𝐵=𝑂9𝐶0°(cid:210)(cid:65) △𝐵𝑂𝐶
∠𝑂𝐷𝐵
(cid:86) (cid:65)
𝐶𝐷=⊥𝐴𝐵(cid:65)
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐷(cid:65)
∴𝐴𝐶 =𝐵𝐶(cid:65)
∵𝐴𝐵 𝐴(cid:94)𝐶 (cid:99)(cid:95)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:65)
∴△𝐴𝐵𝐶=60°(cid:65)
∴∠𝐴𝐵𝐶 =30°(cid:65)
∴∠𝐵𝐶=𝐷 (cid:65)
∵𝑂𝐵 𝑂=𝐶 =30°(cid:65)
∴∠𝑂𝐵𝐶 =∠30𝑂°𝐶(cid:65)𝐵
∴∠𝐷𝐵=𝑂6(cid:65)
∵𝑂𝐵 1
= =3(cid:65)
2
∴𝑂𝐷 𝑂𝐷
= =3 3(cid:65)
2 2
∴𝐵𝐷= 𝑂𝐵= −𝑂𝐷=6 3(cid:65)
∴(cid:69)𝐵(cid:35)𝐶 2(cid:65)𝐴(cid:209)𝐵 2𝐵𝐷=90°(cid:65)
∠𝐷𝑂𝐵
=90°(cid:65)
∴∠𝐵𝑂𝐶 (cid:94)(cid:99)(cid:250)(cid:59)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:65)
∴△𝐵𝑂𝐶= 2 =6 2(cid:65)
(cid:373)∴𝐵(cid:61)𝐶(cid:87)(cid:379)(cid:10)𝑂(cid:168)𝐶 (cid:94)(cid:59)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:65)(cid:217)(cid:188) (cid:27)(cid:125)(cid:79)6 2(cid:202)6 3(cid:65)
(cid:143)(cid:126)(cid:127)(cid:79)(cid:10)6 2△(cid:202)𝑂6𝐵𝐷3(cid:88) 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:151)(cid:152)5-3(cid:19)(cid:40)(cid:11)(cid:262)(cid:291)(cid:380)(cid:61)(cid:65)(cid:153)(cid:31)1(cid:36)(cid:381)(cid:57)(cid:11)(cid:56)(cid:382)(cid:383)Rt (cid:31) =90°(cid:36)(cid:195)(cid:99)(cid:250) (cid:31) = (cid:36)(cid:27)
(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:210)(cid:65)(cid:193)(cid:78)(cid:119)(cid:294)(cid:384)(cid:10) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 △𝐷𝐸𝐹 𝐹𝐷 𝐹𝐸
(cid:52)(cid:196)(cid:121)“(cid:209) = (cid:65) = (cid:210)(cid:65)(cid:92)(cid:150)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:94)(cid:99)(cid:26)”(cid:71)
(cid:52)(cid:242)(cid:121)“(cid:209)∠𝐴𝐵𝐶 =∠𝐷𝐹𝐸(cid:65)𝐴𝐶 =𝐷𝐸(cid:210)(cid:65)(cid:92)(cid:150)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:94)(cid:99)(cid:26)”(cid:88)
(cid:324)(cid:385)(cid:79)(cid:121)(cid:122)𝑆△(cid:123)𝐴(cid:24)𝐵𝐶(cid:27)(cid:94)𝑆△(cid:31)𝐷𝐸 𝐹 (cid:36)𝐴𝐶 𝐷𝐸
A(cid:88)(cid:52)(cid:196)(cid:304)(cid:52)(cid:242)(cid:55)(cid:304) B(cid:88)(cid:52)(cid:242)(cid:304)(cid:52)(cid:196)(cid:55)(cid:304)
C(cid:88)(cid:52)(cid:196)(cid:52)(cid:242)(cid:386)(cid:304) D(cid:88)(cid:52)(cid:196)(cid:52)(cid:242)(cid:386)(cid:55)(cid:304)
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)A
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:129)(cid:20)(cid:306)(cid:170)(cid:130)(cid:131)(cid:184)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:142)(cid:99)(cid:250)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:142)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:387)(cid:99)(cid:27)(cid:22)(cid:25)(cid:175)(cid:96)(cid:97)(cid:142)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:93)
(cid:43)(cid:195)(cid:25)(cid:189)(cid:142)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:95)(cid:3)(cid:215)(cid:65)(cid:133) (cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:26)(cid:30)(cid:79) (cid:31)(cid:69)(cid:35)1(cid:36)(cid:65) (cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:26)(cid:30)(cid:79) (cid:31)(cid:69)(cid:35)2(cid:36)(cid:65)
△𝐴𝐵𝐶
𝑂1
△𝐷𝐸𝐹
𝑂2
(cid:236) = = (cid:65)(cid:217) = (cid:65) = (cid:65)(cid:371)(cid:196) = (cid:65) = (cid:65)(cid:230)(cid:371)
2
𝛼
(cid:196)∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐷𝐹𝐸 𝛼(cid:65)(cid:86)(cid:140)∠𝑂(cid:22) 1 (cid:23)𝐴𝐶(cid:52)(cid:196)9(cid:27)0°(cid:121)−𝛼(cid:122)(cid:65)∠(cid:41)𝐷𝐹(cid:229)𝑂(cid:35) 2 (cid:44)(cid:65)(cid:226)(cid:227)(cid:42)∠𝑂(cid:43) 1 (cid:44)𝐴𝐶(cid:42)(cid:95)∠(cid:3)𝑂2 (cid:215)𝐷(cid:86)𝐸 (cid:140)∠(cid:22)𝑂(cid:23) 1𝐶(cid:52)𝐴(cid:242)(cid:27)∠𝑂(cid:121) 2𝐸(cid:122)𝐷(cid:65)(cid:185)(cid:80)
(cid:126)(cid:127)△(cid:65)𝑂1(cid:132)𝐴(cid:160)𝐶≌(cid:186)△(cid:187)𝑂(cid:78)2𝐷(cid:61)𝐸(cid:117)(cid:260)(cid:62)(cid:301)(cid:261)(cid:262)(cid:263)(cid:227)(cid:94)(cid:134)(cid:214)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:135)(cid:88)
(cid:15)(cid:141)(cid:134)(cid:19)(cid:134)(cid:10)(cid:69)(cid:35)(cid:65)
(cid:65)
(cid:133) (cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:26)(cid:30)(cid:79) (cid:31)(cid:69)(cid:35)1(cid:36)(cid:65) (cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:26)(cid:30)(cid:79) (cid:31)(cid:69)(cid:35)2(cid:36)(cid:65)
(cid:236)△𝐴𝐵𝐶= = (cid:65)𝑂(cid:217)1 = △𝐷(cid:65)𝐸𝐹 𝑂2
∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐷𝐹𝐸 𝛼 ∠𝑂1𝐴𝐶 90°−𝛼(cid:79)(cid:99)(cid:250)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:65)
∵△𝐷(cid:56)𝐸(cid:372)𝐹 (cid:95) (cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:61)(cid:65)
∴𝑂(cid:235) 2 (cid:99)(cid:250)(cid:42)(cid:43)𝐷𝐸(cid:44)(cid:27)(cid:42)(cid:60)(cid:148)(cid:58)(cid:140)(cid:185)(cid:10) (cid:75)(cid:72) (cid:65)
∴
𝑂2
𝐹 ∠𝐷𝐹𝐸
= (cid:65)
2
𝛼
∴∠𝐷𝐹𝑂2
=90°(cid:65) = (cid:65)
∵∠𝐵𝐶𝐴= (cid:65) 𝑂1 𝐴 𝑂1𝐵
∴𝐶𝑂1 𝑂=1𝐴 = (cid:65)
∴∠𝑂1𝐴=𝐶 ∠(cid:65)𝑂1𝐶𝐴 90°−𝛼
∵𝑂2𝐷 𝑂2𝐹
= = (cid:65)
2
𝛼
∴∠𝐷𝐹= 𝑂2 (cid:65)∠𝐹𝐷𝑂2
∵𝐷𝐹 𝐸𝐹
= = (cid:65)
2 2
180°−𝛼 𝛼
∴∠𝐹𝐷𝐸 90°−
= = (cid:65)
2 2
𝛼 𝛼
∴∠𝑂2𝐷
=
𝐸 9(cid:65)0°− − 90°−𝛼
∵𝑂2𝐷 𝑂=2𝐸 = (cid:65)
∴∠𝑂2𝐸𝐷= ∠𝑂2𝐷𝐸(cid:65) 90°−𝛼= (cid:65)
∴∠𝑂1=𝐴𝐶 (cid:65)∠𝑂2𝐷𝐸 ∠𝑂1𝐶𝐴 ∠𝑂2𝐸𝐷
∵𝐴𝐶 𝐷𝐸 (cid:65)
∴△𝑂1𝐴𝐶=≌△𝑂(cid:65)2𝐷(cid:143)𝐸(cid:52)(cid:196)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:24)(cid:65)
(cid:69)∴△(cid:35)𝑂3 1(cid:65)𝐴(cid:209) 𝑂2𝐷 = (cid:65) = (cid:210)(cid:65)(cid:235)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:95)(cid:3)(cid:215)(cid:140)(cid:185)(cid:10) > + (cid:65)(cid:143)(cid:52)(cid:242)(cid:121)(cid:122)(cid:145)(cid:146)(cid:65)
(cid:143)(cid:144)(cid:10)A(cid:88)𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐷𝐸𝐹 𝐴𝐶 𝐷𝐸 𝑂1 𝐴 𝑂2𝐴 𝑂1𝑂2
【题型6 求三角形外心坐标】
(cid:15)(cid:109)6(cid:19)(cid:31)24-25(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:61)·(cid:264)(cid:265)(cid:388)(cid:389)·(cid:268)(cid:390)(cid:36)(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:56)(cid:75)(cid:198)(cid:59)(cid:43)(cid:47)(cid:48)(cid:215)(cid:81)(cid:65)(cid:58)(cid:28)(cid:26)(cid:194)(cid:63)(cid:64)(cid:176)(cid:62)
(cid:42)(cid:62)(cid:65)(cid:217)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:81)(cid:145)(cid:146)(cid:27)(cid:94)(cid:31) (cid:36) 𝑂,𝐴(4,0),𝐵(4,3)5 3
A(cid:88)(cid:92)(cid:28)(cid:26)(cid:194)(cid:87)(cid:56)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:79) B(cid:88)(cid:92)(cid:28)(cid:26)(cid:194)(cid:87)(cid:56)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:30)(cid:79) 2,
2 2
C(cid:88)(cid:62) (cid:56)(cid:92)(cid:28)(cid:26)(cid:194)(cid:87)(cid:56)(cid:26)(cid:61) D(cid:88)(cid:62) (cid:56)(cid:92)(cid:28)(cid:26)(cid:194)(cid:87)(cid:56)(cid:26)(cid:61)
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)𝑁D(0,3) 𝑀(2,5)
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:129)(cid:20)(cid:306)(cid:170)(cid:130)(cid:131)(cid:184)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:142)(cid:62)(cid:195)(cid:26)(cid:27)(cid:101)(cid:102)(cid:3)(cid:215)(cid:142)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:99)(cid:93)(cid:391),(cid:132)(cid:160)(cid:186)(cid:187)(cid:98)(cid:3)(cid:117)(cid:260)(cid:94)(cid:134)(cid:20)
(cid:27)(cid:3)(cid:135)(cid:88)
(cid:136)(cid:137)(cid:62)(cid:175)(cid:26)(cid:27)(cid:101)(cid:102)(cid:3)(cid:215)(cid:65)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:220)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:361)(cid:392)(cid:134)(cid:126)(cid:86)(cid:140)(cid:88)
(cid:15)(cid:141)(cid:134)(cid:19)(cid:134)(cid:10)(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:70)(cid:46) (cid:65)(cid:34) (cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60) (cid:65)(cid:74)(cid:219)(cid:72)(cid:73)(cid:79) (cid:65) (cid:98)(cid:76)(cid:77)(cid:62) (cid:65)
𝐴𝐵 𝑂𝐴,𝐴𝐵 𝐶𝑀,𝐸𝐹 𝐶,𝐸 𝐶𝑀,𝐸𝐹 𝐷
(cid:217)(cid:62) (cid:79)(cid:26)(cid:194)(cid:87)(cid:56)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:30)(cid:65)
𝐷 ,
∴𝐸 𝐹∥𝑂𝐴,𝑂𝑁∥𝐶(cid:65)𝑀∥𝐴𝐵
∵ 𝐴(4,30),𝐵(4,3)
2, (cid:65)
2
(cid:143)∴(cid:144)𝐷 (cid:139)B(cid:123)(cid:24)(cid:65)
(cid:70)(cid:46) (cid:65)
𝑂𝐷 3 5
= 2 + = (cid:65)
2 2 2
2
∴𝑂𝐷 5
(cid:92)(cid:28)(cid:26)(cid:194)(cid:87)(cid:56)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:79) (cid:65)
2
(cid:143)∴(cid:144)(cid:139)A(cid:123)(cid:24)(cid:65)(cid:70)(cid:46) (cid:65)
𝐷𝑁 3 5
= ( ) + = (cid:65)
2 2 2
2
∴𝐷(cid:62)𝑁 (cid:56)2−(cid:92)0(cid:28)(cid:26)(cid:194)3−(cid:87)(cid:56)(cid:26)(cid:61)(cid:65)
(cid:143)∴(cid:144)(cid:139)𝑁(0C,3(cid:123))(cid:24)(cid:65)
(2,5)(cid:65)
∵𝑀 3 7
= = (cid:65)
2 2
∴𝐷
7
𝑀5 5−
> (cid:65)
2 2
∵(cid:62) (cid:56)(cid:92)(cid:28)(cid:26)(cid:194)(cid:87)(cid:56)(cid:26)(cid:45)(cid:65)
(cid:143)∴(cid:144)(cid:139)𝑀(D2,5(cid:145))(cid:146)(cid:65)
(cid:143)(cid:144)(cid:10) D(cid:88)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)6-1(cid:19)(cid:31)24-25(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:61)·(cid:264)(cid:393)(cid:394)(cid:395)·(cid:268)(cid:390)(cid:36)(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:56)(cid:235)(cid:52)(cid:123)(cid:238)(cid:44)(cid:316)(cid:208)(cid:27)(cid:325)(cid:326)(cid:35)(cid:81)(cid:111)(cid:396)(cid:58)(cid:39)(cid:75)(cid:198)(cid:59)(cid:43)(cid:47)(cid:48)
(cid:215)(cid:65)(cid:58)(cid:28)(cid:26)(cid:194)(cid:63)(cid:64)(cid:326)(cid:62) (0,2)(cid:65) (4,2)(cid:65) (6,0)(cid:88)(cid:26)(cid:30)(cid:79) (cid:65)(cid:217) (cid:27)(cid:47)(cid:48)(cid:94) (cid:88)
𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐷
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)((cid:129)2,(cid:20)−2(cid:306))(cid:170)(cid:130)(cid:131)(cid:74)(cid:50)(cid:25)(cid:189)(cid:65)(cid:62)(cid:27)(cid:47)(cid:48)(cid:65)(cid:278)(cid:64)(cid:34)(cid:35)(cid:65)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:30)(cid:27)(cid:101)(cid:102)(cid:94)(cid:134)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:135)(cid:88)
(cid:279)(cid:80) (cid:65) (cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:27)(cid:76)(cid:62)(cid:86)(cid:79)(cid:26)(cid:30)(cid:65)(cid:230)(cid:37)(cid:100)(cid:47)(cid:48)(cid:86)(cid:140)(cid:88)
(cid:15)(cid:141)(cid:134)𝐴𝐵(cid:19)(cid:134)𝐵𝐶(cid:10)(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:70)(cid:46) (cid:65)(cid:72)(cid:73)(cid:34) (cid:65) (cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:76)(cid:77)(cid:62) (cid:65)
𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐷
(cid:235)(cid:35)(cid:140)(cid:185) (cid:62)(cid:47)(cid:48)(cid:79) (cid:65)
𝐷 (2,−2)(cid:143)(cid:126)(cid:127)(cid:79)(cid:10) (cid:71)
(2,−2) 1
(cid:15)(cid:151)(cid:152)6-2(cid:19)(cid:31)24-25(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:61)·(cid:156)(cid:327)(cid:397)(cid:158)·(cid:268)(cid:81)(cid:36)(cid:56)(cid:75)(cid:198)(cid:59)(cid:43)(cid:47)(cid:48)(cid:215) (cid:81)(cid:65)(cid:59)(cid:60) = +2(cid:72)(cid:73)(cid:76)x(cid:303)(cid:65)y
2
(cid:303)(cid:77)(cid:62)A(cid:65)(cid:62)B(cid:65)(cid:217) (cid:27)(cid:45)(cid:30)(cid:47)(cid:48)(cid:94) (cid:88) 𝑥𝑂𝑦 𝑦 − 𝑥
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)(2,1) △𝐴𝐵𝑂
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:27)(cid:94)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:94)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:175)(cid:45)(cid:30)(cid:65)(cid:186)(cid:187)(cid:26)(cid:398)(cid:43)(cid:25)(cid:189)(cid:142)(cid:59)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:30)(cid:27)(cid:25)(cid:399)(cid:94)(cid:134)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:135)(cid:88)
(cid:136)(cid:137)(cid:58)(cid:221)(cid:222)(cid:40)(cid:35)(cid:223)(cid:61)(cid:62)(cid:27)(cid:47)(cid:48)(cid:400)(cid:401)(cid:37)(cid:229)(cid:62)A(cid:65)(cid:62)B(cid:27)(cid:47)(cid:48)(cid:65)(cid:230)(cid:136)(cid:137)(cid:59)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:30)(cid:94)(cid:108)(cid:95)(cid:27)(cid:81)(cid:62)(cid:134)(cid:126)(cid:86)(cid:140)(cid:88)
1
(cid:15)(cid:141)(cid:134)(cid:19)(cid:134)(cid:10) = +2(cid:65)
2
∵𝑦 − 𝑥
1
(cid:209) =0(cid:210)(cid:65) =2(cid:65)(cid:209) =0(cid:210)(cid:65) +2=0(cid:65)(cid:134)(cid:185)(cid:10) =4(cid:65)
2
∴ 𝑥 𝑦 𝑦 − 𝑥 𝑥
1
(cid:59)(cid:60) = +2(cid:77)x(cid:303)(cid:27)(cid:76)(cid:62)A(cid:27)(cid:47)(cid:48)(cid:79)(4,0)(cid:65)(cid:77)y(cid:303)(cid:27)(cid:76)(cid:62)B(cid:27)(cid:47)(cid:48)(cid:79)(0,2)(cid:65)
2
∴ 𝑦 =−90𝑥°(cid:65)
∵∠𝐴𝑂𝐵 (cid:79)(cid:59)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:65)
∴△𝐴𝑂𝐵(cid:27)(cid:45)(cid:30)(cid:79)(cid:108)(cid:95) (cid:27)(cid:81)(cid:62)(cid:65)(cid:86)(2,1)(cid:65)
∴(cid:143)△(cid:126)𝐴(cid:127)𝐵(cid:79)𝑂(cid:10)(2,1)(cid:88) 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:151)(cid:152)6-3(cid:19)(cid:69)(cid:35)(cid:65) (cid:65) (cid:65) (cid:65) (cid:65)(cid:217) (cid:45)(cid:30)(cid:27)(cid:47)(cid:48)(cid:79)(cid:31) (cid:36)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴(−1,3) 𝐵(−2,−2) 𝐶(4,−2) △𝐴𝐵𝐶
A(cid:88)(0,0) B(cid:88)(1,1) C(cid:88)(1,0) D(cid:88)
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)C (1,−2)
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:245)(cid:326)(cid:62) (cid:65) (cid:65) (cid:65) (cid:65)(cid:211)(cid:59)(cid:60) (cid:94)(cid:60)(cid:118) (cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:65)(cid:199)(cid:95)(cid:44) (cid:94)(cid:123)(cid:238)(cid:44)(cid:65)(cid:217)(cid:140)(cid:185)
(cid:65) (cid:27)(cid:76)(cid:62)(cid:79) (cid:79) 𝐸 𝐹(cid:27)𝐺(cid:45)(cid:30)𝐻(cid:65)(cid:230)(cid:72)(cid:73)(cid:37)𝐺𝐻(cid:134) (cid:65)𝐵𝐶(cid:27)(cid:134)(cid:128)(cid:152)(cid:86)(cid:140)(cid:185)(cid:80)(cid:126)(cid:127)(cid:88)𝐴𝐹𝐶𝐸
𝐺(cid:15)𝐻(cid:141)(cid:134)𝐸𝐹(cid:19)(cid:134)(cid:10)(cid:69)(cid:35)𝑄(cid:65)(cid:245)△(cid:326)𝐴(cid:62)𝐵𝐶(cid:65) (cid:65) (cid:65) (cid:65)(cid:217)(cid:59)(cid:60)𝐺𝐻(cid:94)𝐸(cid:60)𝐹(cid:118) (cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:65)(cid:199)(cid:95)(cid:44) (cid:94)(cid:123)(cid:238)(cid:44)(cid:65)
𝐸 𝐹 𝐺 𝐻 𝐺𝐻 𝐵𝐶 𝐴𝐹𝐶𝐸(cid:59)(cid:60) (cid:94)(cid:60)(cid:118) (cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:65)
(cid:133)∴ (cid:65)𝐸𝐹 (cid:27)(cid:76)(cid:62)𝐴𝐶(cid:79) (cid:65)(cid:217) (cid:79) (cid:27)(cid:45)(cid:30)(cid:65)
𝐺𝐻 𝐸𝐹(cid:65) 𝑄(cid:65) 𝑄 △(cid:65)𝐴𝐵𝐶
∵(cid:59)𝐴((cid:60)−1,3)(cid:79)𝐵=(−12(cid:65),−2()4,3𝐶)((cid:65)4,−(2) )(cid:65)
∴(cid:236)(cid:59)(cid:60)𝐺𝐻 (cid:79)𝑥 = 𝐸+ (cid:65) 𝐹 −1,−2
+𝐸𝐹 =𝑦3 𝑘𝑥 𝑏 =1
+ = (cid:65)(cid:134)(cid:185)(cid:10) = (cid:65)
4𝑘 𝑏 𝑘
∴(cid:59)−(cid:60)𝑘 𝑏(cid:79) −=2 (cid:65) 𝑏 −1
∴(cid:209) =𝐸1𝐹(cid:210)(cid:65)𝑦 =𝑥−0(cid:65)1
𝑥(1,0)(cid:65)(cid:86)𝑦 (cid:27)(cid:45)(cid:30)(cid:47)(cid:48)(cid:79)(cid:10)(1,0)(cid:88)
(cid:143)∴𝑄(cid:144)C(cid:88) △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:62)(cid:213)(cid:19)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:27)(cid:94)(cid:47)(cid:48)(cid:175)(cid:35)(cid:44)(cid:65)(cid:123)(cid:238)(cid:44)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:65)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:30)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:65)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:25)(cid:215)(cid:40)(cid:122)(cid:37)(cid:134)(cid:58)(cid:221)(cid:222)(cid:40)
(cid:27)(cid:134)(cid:128)(cid:152)(cid:65)(cid:186)(cid:187)“(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:30)(cid:94)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:42)(cid:95)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:27)(cid:76)(cid:62)”(cid:94)(cid:134)(cid:129)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:135)(cid:88)
【题型7 求三角形外接圆的半径】
(cid:15)(cid:109)7(cid:19)(cid:69)(cid:35)(cid:87)(cid:106)(cid:65) (cid:27)(cid:42)(cid:39)(cid:89)(cid:62)(cid:27)(cid:47)(cid:48)(cid:72)(cid:73)(cid:79) ( )(cid:142) ( )(cid:142) ( )(cid:65)(cid:217) (cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:49)(cid:50)
(cid:27)(cid:125)(cid:79)(cid:31) (cid:36). △𝐴𝐵𝐶 𝐴 −1,3 𝐵 −2,−2 𝐶 4,−2 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:88)3 2 B(cid:88)2 3 C(cid:88) 10 D(cid:88) 13(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)D
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:30)(cid:94)(cid:42)(cid:95)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:27)(cid:76)(cid:62)(cid:65)(cid:236) (cid:27)(cid:45)(cid:30)(cid:79)M(cid:65)(cid:235)B(cid:65)C(cid:27)(cid:47)(cid:48)(cid:140)(cid:117)M(cid:192)(cid:56)(cid:59)(cid:60) =1
(cid:61)(cid:65)(cid:235)(cid:35)(cid:140)(cid:117)(cid:60)(cid:118) (cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:62)(1,0)(cid:65)(cid:235)(cid:214)△(cid:140)𝐴(cid:185)𝐵𝐶(1,0)(cid:65)(cid:64)(cid:62)M(cid:34) (cid:77)(cid:62)D(cid:65)(cid:70)(cid:46) (cid:65)𝑥
(cid:235)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:37)(cid:229) 𝐴(cid:27)𝐶(cid:125)(cid:86)(cid:140)(cid:88) 𝑀 𝑀𝐷⊥𝐵𝐶 𝑀𝐵
(cid:15)(cid:141)(cid:134)(cid:19)(cid:134)(cid:10)(cid:236)𝑀𝐵 (cid:27)(cid:45)(cid:30)(cid:79)M(cid:65)
( )(cid:142) △( 𝐴𝐵𝐶)(cid:65)
∵ 𝐵 −2,−2 𝐶 4,−24
M(cid:192)(cid:56)(cid:59)(cid:60) = =1(cid:61)(cid:65)
2
−2+
(cid:235)∴(cid:35)(cid:140)(cid:117)(cid:65)(cid:60)(cid:118)𝑥 (cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:62)(1,0)(cid:65)
(1,0)(cid:65) 𝐴𝐶
(cid:69)∴(cid:35)𝑀(cid:65)(cid:64)(cid:62)M(cid:34) (cid:77)(cid:62)D(cid:65)(cid:70)(cid:46) (cid:65)
𝑀𝐷⊥𝐵𝐶 𝑀𝐵
Rt (cid:81)(cid:65) =2(cid:65) =3(cid:65)
△𝑀𝐵𝐷 𝑀𝐷 𝐵𝐷
(cid:235)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:185)(cid:10) = + = 2 +3 = 13(cid:65)
2 2 2 2
(cid:86) (cid:45)(cid:46)(cid:26)𝑀(cid:49)𝐵(cid:50)(cid:27)(cid:125)𝑀(cid:79)𝐷 13 𝐵(cid:88)𝐷
(cid:143)(cid:144)△D𝐴(cid:88)𝐵𝐶
(cid:15)(cid:62)(cid:213)(cid:19)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:65)(cid:38)(cid:402)(cid:136)(cid:137)(cid:325)(cid:326)(cid:195)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:89)(cid:62)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:229) (cid:45)(cid:30)(cid:27)(cid:101)(cid:102)(cid:94)(cid:134)
(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:135)(cid:88) △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:151)(cid:152)7-1(cid:19)(cid:231)(cid:58)(cid:28)(cid:125)2m(cid:27)(cid:403)(cid:404)(cid:405)(cid:208)(cid:89)(cid:43)(cid:79)120°(cid:27)(cid:99)(cid:250)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:65)(cid:313)(cid:314)(cid:92)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:79) m(cid:88)
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19) 3)
(4−2 1
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:236)(cid:99)(cid:250) (cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:26)(cid:30)(cid:79)O(cid:65)(cid:70)(cid:46) (cid:142) (cid:65) (cid:76) (cid:77)(cid:62)D(cid:65)(cid:217) (cid:65) =
2
△𝐴𝐵𝐶 𝑂𝐵 𝑂𝐴 𝑂𝐴 𝐵𝐶 𝑂𝐴⊥𝐵𝐶 ∠𝑂𝐴𝐵
1
=60°(cid:65)(cid:143) = (cid:65)(cid:230)(cid:37)(cid:371) (cid:94)(cid:99)(cid:95)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:65)(cid:185) = = (cid:65)(cid:217) = (cid:65)(cid:236)
2
∠𝐵𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐷 △𝑂𝐴𝐵 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝑂𝐴
1
= = (cid:65)(cid:217) = (cid:65)(cid:230)(cid:235)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:86)(cid:140)(cid:37)(cid:134)(cid:88)
2
𝑂(cid:15)𝐴(cid:141)(cid:134)𝐴(cid:19)𝐵(cid:69)(cid:35)𝑥(cid:65)(cid:236)𝐴(cid:99)𝐷(cid:250) 𝑥 (cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:26)(cid:30)(cid:79)O(cid:65)(cid:70)(cid:46) (cid:142) (cid:65) (cid:76) (cid:77)(cid:62)D(cid:65)
△𝐴𝐵𝐶 𝑂𝐵 𝑂𝐴 𝑂𝐴 𝐵𝐶1
(cid:217) (cid:65) = =60°(cid:65)
2
𝑂𝐴=⊥𝐵𝐶(cid:65)∠𝑂𝐴𝐵 ∠𝐵𝐴𝐶
∴𝐵𝐷 𝐶(cid:94)𝐷 (cid:99)(cid:95)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:65)
∴△𝑂=𝐴𝐵 = (cid:65)
∴𝑂𝐴 𝑂1𝐵 𝐴𝐵
= (cid:65)
2
∴𝐴𝐷 𝑂𝐴
1
(cid:236) = = m(cid:65)(cid:217) = m(cid:65)
2
𝑂𝐴 𝐴𝐵 𝑥 𝐴𝐷 𝑥
1 3
= = = m(cid:65)
2 2 2
2 2 2
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐵=−𝐴3𝐷m(cid:65) 𝑥 − 𝑥 𝑥
(cid:235)∴𝐵(cid:20)𝐶(cid:83)(cid:185)2𝐵(cid:10)𝐷 + +𝑥 3 =2(cid:65)
(cid:134)(cid:185)(cid:10) = 𝑥 𝑥3(cid:65) 𝑥
𝑥 4−2
(cid:86)(cid:92)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:79)(cid:10)( 3)m
4−2
(cid:143)(cid:126)(cid:127)(cid:79)(cid:10)( 3)(cid:88)
4−2
(cid:15)(cid:62)(cid:213)(cid:19)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:184)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:142)(cid:99)(cid:95)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:22)(cid:25)(cid:175)(cid:96)(cid:97)(cid:142)(cid:99)(cid:250)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:220)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:99)(cid:117)(cid:260)(cid:65)(cid:132)
(cid:160)(cid:186)(cid:187)(cid:117)(cid:260)(cid:62)(cid:94)(cid:134)(cid:20)(cid:3)(cid:135)(cid:88)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)7-2(cid:19)(cid:31)24-25(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:61)·(cid:156)(cid:327)(cid:149)(cid:328)·(cid:268)(cid:81)(cid:36)(cid:56)Rt (cid:81)(cid:65) =90°(cid:65) =6(cid:65) =8(cid:65)(cid:62)D(cid:65)E(cid:65)F
(cid:72)(cid:73)(cid:94) (cid:65) (cid:65) (cid:27)(cid:81)(cid:62)(cid:65)(cid:217) (cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:49)(cid:50)△(cid:79)𝐴 𝐵 𝐶 (cid:88)∠𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐴𝐵5 𝐵𝐶 𝐴𝐶 △𝐷𝐸𝐹
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)
2
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:184)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:175)(cid:45)(cid:30)(cid:65)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:81)(cid:101)(cid:60)(cid:25)(cid:189)(cid:65)(cid:56)Rt (cid:81)(cid:65)(cid:226)(cid:227)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:140)(cid:185)
1 △𝐴𝐵𝐶
=10(cid:65)(cid:406)(cid:407)(cid:226)(cid:227)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:81)(cid:101)(cid:60)(cid:25)(cid:189)(cid:140)(cid:185)(cid:10) = =5(cid:65) (cid:65) (cid:65)(cid:408)(cid:249)(cid:226)(cid:227)(cid:75)(cid:409)(cid:60)(cid:27)(cid:96)(cid:97)
2
𝐴(cid:140)𝐵(cid:185) = =90°(cid:65)(cid:86)(cid:140)(cid:134)(cid:126)(cid:65)(cid:353)(cid:24)(cid:132)(cid:160)𝐸(cid:410)𝐹 (cid:248)(cid:409)𝐴𝐵(cid:361)(cid:392)(cid:94)(cid:134)𝐷(cid:20)𝐸(cid:27)∥𝐴(cid:3)𝐶(cid:135)𝐷(cid:88)𝐹∥𝐵𝐶
(cid:15)(cid:141)∠(cid:134)𝐷(cid:19)𝐸𝐵(cid:69)(cid:35)∠(cid:10)𝐸𝐷𝐹=90°(cid:65) =6(cid:65) =8(cid:65)
∵∠𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶
= + = 6 +8 =10(cid:65)
2 2 2 2
∴(cid:62)𝐴𝐵E(cid:65)F𝐴(cid:72)𝐶(cid:73)(cid:94)𝐵𝐶 (cid:65) (cid:27)(cid:81)(cid:62)(cid:65)
∵ (cid:94) (cid:27)(cid:81)𝐵𝐶(cid:101)(cid:60)𝐴(cid:65)𝐶
∴𝐸𝐹 △1 𝐴𝐵𝐶
= =5(cid:65)
2
∴(cid:62)𝐸𝐹D(cid:65)𝐴E𝐵(cid:72)(cid:73)(cid:94) (cid:65) (cid:27)(cid:81)(cid:62)(cid:65)
∵ (cid:94) (cid:27)(cid:81)𝐴𝐵(cid:101)(cid:60)𝐵(cid:65)𝐶
∴𝐷𝐸 △(cid:65)𝐴𝐵𝐶
∴𝐷𝐸∥𝐴𝐶= =90°(cid:65)
∴(cid:62)∠𝐷D𝐸(cid:65)𝐵 F(cid:72)∠𝐶(cid:73)(cid:94) (cid:65) (cid:27)(cid:81)(cid:62)(cid:65)
∵ (cid:94) (cid:27)(cid:81)𝐴(cid:101)𝐵 (cid:60)𝐴(cid:65)𝐶
∴𝐷𝐹 △(cid:65)𝐴𝐵𝐶
∴𝐷𝐹∥𝐵𝐶= =90°(cid:65)
∴∠𝐷𝐸𝐵 ∠𝐸𝐷𝐹 1 1 5
(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:49)(cid:50)= = ×5= (cid:65)
2 2 2
∴△𝐷𝐸𝐹 5 𝐸𝐹
(cid:143)(cid:126)(cid:127)(cid:79)(cid:10) (cid:88)
2
(cid:15)(cid:151)(cid:152)7-3(cid:19)(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:56) (cid:81)(cid:65) = (cid:65)(cid:62) (cid:79) (cid:61)(cid:58)(cid:62)(cid:65) = =6(cid:65) = =10(cid:65)(cid:217) (cid:27)
(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:79)(cid:31) (cid:36) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐸 𝐶𝐷 𝐶𝐴 △𝐴𝐸𝐷
10 11
A(cid:88)3 B(cid:88) C(cid:88) D(cid:88)4
3 3
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)B(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:307)(cid:34)(cid:308)(cid:309)(cid:60)(cid:65)(cid:230)(cid:136)(cid:137)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:78)(cid:220)(cid:74)(cid:50)(cid:25)(cid:189)(cid:140)(cid:78)(cid:185)(cid:80) (cid:142) (cid:142) (cid:42)(cid:411)(cid:412)(cid:413)(cid:27)(cid:3)(cid:215)(cid:65)
(cid:51)(cid:407)(cid:226)(cid:227)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:37)(cid:229)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:88) 𝑂𝑀 𝑂𝐷 𝐷𝑀
(cid:15)(cid:141)(cid:134)(cid:19)(cid:134)(cid:10)(cid:69)(cid:35)(cid:87)(cid:106)
=
∵𝐵𝐸 𝐵=𝐷
∴∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐵𝐷𝐸
∴∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐸𝐷𝐹=180°(cid:65) + =180°
∵∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐴𝐹𝐷 ∠𝐸𝐷𝐹 ∠𝐸𝐴𝐹
∴∠𝐸𝐴=𝐹 ∠𝐴𝐹𝐷
∴𝐵𝐴=𝐵𝐹(cid:65) =
∵𝐶𝐷=𝐶𝐴 =𝐴𝐵 =𝐴𝐶 (cid:65) =
∴(cid:56)𝐵𝐴 𝐵𝐹 (cid:175)𝐶𝐴 𝐶𝐷(cid:81) ∠𝐵 ∠𝐶
∴ △=𝐵𝐴𝐹 △𝐶𝐴𝐷
=
𝐵𝐴= 𝐶𝐴
∴ ∠𝐵 ∠𝐶
𝐵𝐹 𝐶𝐷 ( )
∴△𝐵=𝐴𝐹≌△𝐶𝐴𝐷 𝑆𝐴𝑆
∴(cid:34)𝐴𝐹 𝐴𝐷 (cid:65)(cid:74)(cid:219)(cid:79)
∴ 𝐴𝑀⊥𝐷𝐹 1 𝑀
(cid:217) = =
2
𝐷𝑀(cid:64)(cid:45)𝐹(cid:46)𝑀(cid:26)(cid:26)𝐷(cid:30)𝐹(cid:65)(cid:236)(cid:26)(cid:30)(cid:79) (cid:65)(cid:70)(cid:46)
∴𝐴𝑀= =6(cid:65) = =1𝑂0 𝑂𝐷
∵𝐵𝐷= 𝐵𝐸+ =𝐶𝐴16 𝐶𝐷
∴𝐵𝐶 𝐶𝐷(cid:65)𝐵𝐷=
∵𝐴𝑀⊥𝐵𝐶 𝐴𝐵1 𝐴𝐶
= = =8
2
∴𝐵𝑀 𝐶𝑀 𝐵𝐶= 10 8 =6(cid:65) = =2
2 2
∴(cid:236)𝐴𝑀 = −= (cid:65)(cid:217) 𝐷𝑀= 8−6
∴(cid:56)𝑂𝐴 𝑂𝐷 (cid:81)𝑅 +𝑂𝑀 6=−𝑅
2 2 2
∴(cid:86) 𝑅𝑡=△(𝑂𝐷𝑀) +𝑂𝑀2 𝐷𝑀 𝑂𝐷
2 2 2
𝑅 10 6−𝑅
=
3
∴𝑅 10
(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:79)(cid:10)
3
∴(cid:143)(cid:144)B
(cid:15)(cid:62)(cid:213)(cid:19)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:27)(cid:94)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:65)(cid:99)(cid:250)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:10)(cid:99)(cid:95)(cid:304)(cid:99)(cid:43)(cid:65)(cid:387)(cid:99)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:96)(cid:97)(cid:195)(cid:22)(cid:25)(cid:99)
(cid:98)(cid:3)(cid:117)(cid:260)(cid:62)(cid:65)(cid:226)(cid:227)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:91)(cid:229)(cid:308)(cid:309)(cid:60)(cid:94)(cid:134)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:135)(cid:88)
【题型8 最小覆盖圆】
(cid:15)(cid:109)8(cid:19)(cid:287)(cid:360)(cid:237)(cid:38)(cid:362)(cid:387)(cid:53)(cid:54)(cid:414)(cid:75)(cid:198)(cid:35)(cid:44)(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:26)(cid:305)(cid:79)(cid:181)(cid:75)(cid:198)(cid:35)(cid:44)(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:26)(cid:88)(cid:109)(cid:69)(cid:60)(cid:118)AB(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:26)
(cid:282)(cid:94)(cid:78)(cid:60)(cid:118)AB(cid:79)(cid:59)(cid:50)(cid:27)(cid:26)(cid:88)
(cid:31)1(cid:36)(cid:323)(cid:72)(cid:73)(cid:34)(cid:229)(cid:119)(cid:35)(cid:81)(cid:150)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:26)(cid:31)(cid:170)(cid:37)(cid:227)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:65)(cid:273)(cid:274)(cid:34)(cid:35)(cid:275)(cid:276)(cid:65)(cid:55)(cid:272)(cid:34)(cid:122)(cid:36)(cid:71)
(cid:31)2(cid:36)(cid:415)(cid:383)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:26)(cid:193)(cid:312)(cid:33)(cid:416)(cid:319)(cid:323)(cid:272)(cid:229)(cid:324)(cid:87)(cid:185)(cid:80)(cid:27)(cid:332)(cid:191)(cid:31)(cid:55)(cid:170)(cid:37)(cid:371)(cid:196)(cid:36)(cid:88)
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)(1)(cid:277)(cid:134)(cid:128);(2) (cid:104)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:31)(cid:195)(cid:59)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:36)(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:26)(cid:94)(cid:100)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:71)(cid:105)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:26)
(cid:94)(cid:78)(cid:100)(cid:51)(cid:125)(cid:95)(cid:79)(cid:59)(cid:50)(cid:27)(cid:26)
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:417)(cid:58)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:94)(cid:104)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:65)(cid:313)(cid:314)(cid:317)(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:26)(cid:180)(cid:181)(cid:94)(cid:42)(cid:43)(cid:44)ABC(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:71)
(cid:417)(cid:114)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:94)(cid:105)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:65)(cid:313)(cid:314)(cid:317)(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:26)(cid:180)(cid:181)(cid:94)(cid:78)BC(cid:79)(cid:59)(cid:50)(cid:27)(cid:26)(cid:88)
(cid:15)(cid:141)(cid:134)(cid:19)(cid:134)(cid:10)(cid:31)1(cid:36)(cid:69)(cid:35)(cid:71)
(cid:31)2(cid:36)(cid:104)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:31)(cid:195)(cid:59)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:36)(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:26)(cid:94)(cid:100)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:71)(cid:105)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:26)(cid:94)(cid:78)(cid:100)(cid:51)(cid:125)(cid:95)(cid:79)(cid:59)
(cid:50)(cid:27)(cid:26)(cid:71)(cid:15)(cid:62)(cid:213)(cid:19)(cid:129)(cid:20)(cid:332)(cid:148)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:34)(cid:35)(cid:65)(cid:3)(cid:135)(cid:170)(cid:418)(cid:185)(cid:312)(cid:79)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:26)(cid:88)(cid:117)(cid:419)(cid:168)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:79)(cid:104)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:65)
(cid:217)(cid:100)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:26)(cid:79)(cid:100)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:71)(cid:168)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:79)(cid:59)(cid:43)(cid:202)(cid:105)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:65)(cid:217)(cid:100)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:26)(cid:94)(cid:78)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:51)(cid:125)(cid:95)(cid:31)(cid:59)(cid:43)(cid:202)
(cid:105)(cid:43)(cid:87)(cid:304)(cid:27)(cid:95)(cid:36)(cid:79)(cid:59)(cid:50)(cid:27)(cid:26)(cid:88)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)8-1(cid:19)(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:237) (cid:240)(cid:56)(cid:232)(cid:39)(cid:52)(cid:123)(cid:238)(cid:44)(cid:27)(cid:95)(cid:125)(cid:79)1(cid:27)(cid:325)(cid:326)(cid:81)(cid:65)(cid:62)A(cid:142)B(cid:142)C(cid:321)(cid:420)(cid:56)(cid:326)(cid:62)(cid:61)(cid:65)(cid:227)(cid:58)(cid:39)
(cid:26)(cid:198)(cid:171)(cid:53)(cid:54) (cid:65)(cid:38)△(cid:402)𝐴(cid:362)𝐵𝐶(cid:387)(cid:53)(cid:54)(cid:92)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:26)(cid:198)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:94) (cid:88)
△𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19) 5
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:129)(cid:20)(cid:306)(cid:170)(cid:130)(cid:131)(cid:184)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:65)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:88)(cid:136)(cid:137)(cid:20)(cid:83)(cid:140)(cid:185)(cid:38)(cid:402)(cid:362)(cid:387)(cid:53)(cid:54)(cid:92)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:26)(cid:79)
(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:65)(cid:26)(cid:30) (cid:101)(cid:77) (cid:195) (cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:27)(cid:76)(cid:62)(cid:421)(cid:65)(cid:37)(cid:229) (cid:65)(cid:86)(cid:140)(cid:37)(cid:134)(cid:88)
(cid:15)△(cid:141)𝐴𝐵(cid:134)𝐶(cid:19)(cid:134)(cid:10)(cid:69)(cid:35)(cid:65)𝑂 (cid:142)𝐴𝐶(cid:142)𝐴𝐵(cid:321)(cid:79)1×2(cid:325)(cid:326)(cid:27)(cid:304)(cid:43)(cid:60)(cid:125)(cid:65) 𝐴=𝑂 = (cid:65)(cid:143)(cid:62) (cid:79) (cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:26)
(cid:30)(cid:65)(cid:217) (cid:79)(cid:49)(cid:50)(cid:65) 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑂𝐶 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑂𝐶 𝑂 △𝐴𝐵𝐶
𝑂𝐴
(cid:143)(cid:38)(cid:362)(cid:387)(cid:53)(cid:54)(cid:181)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:26)(cid:198)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:94) 2 +1 = 5(cid:88)
2 2
(cid:143)(cid:126)(cid:127)(cid:79)(cid:10) 5(cid:88)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)8-2(cid:19) ABC(cid:81)(cid:65)AB = AC = 10 cm(cid:65)BC = 16 cm(cid:65)(cid:168)(cid:170)(cid:422)(cid:58)(cid:423)(cid:26)(cid:44)(cid:299)(cid:183)(cid:54)(cid:424)(cid:92)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:65)(cid:217)(cid:26)(cid:44)(cid:299)(cid:183)
(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:49)(cid:50)(cid:79)△ cm(cid:88)
25
(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)
3
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:168)(cid:170)(cid:422)(cid:58)(cid:423)(cid:26)(cid:44)(cid:299)(cid:183)(cid:54)(cid:424)(cid:92)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:65)(cid:217)(cid:26)(cid:44)(cid:299)(cid:183)(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:49)(cid:50)(cid:79)(cid:181)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:65)(cid:69)(cid:119)(cid:35)
(cid:87)(cid:106)(cid:65)(cid:236)(cid:181)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:30)(cid:79)O(cid:65)(cid:70)(cid:46)AO(cid:301)(cid:363)(cid:125)(cid:76)BC(cid:77)D(cid:65)(cid:70)(cid:46)OB(cid:65)(cid:136)(cid:137)(cid:20)(cid:83)(cid:86)(cid:140)(cid:37)(cid:229)BD(cid:65)(cid:226)(cid:227)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:86)
(cid:140)(cid:37)(cid:229)AD(cid:65)(cid:236)(cid:26)O(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:79)r(cid:65)(cid:226)(cid:227)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:120)(cid:229)(cid:238)(cid:255)(cid:86)(cid:140)(cid:37)(cid:229)(cid:332)(cid:191)(cid:88)(cid:15)(cid:141)(cid:134)(cid:19)(cid:134)(cid:10)(cid:168)(cid:170)(cid:422)(cid:58)(cid:423)(cid:26)(cid:44)(cid:299)(cid:183)(cid:54)(cid:424)(cid:92)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:65)(cid:217)(cid:26)(cid:44)(cid:299)(cid:183)(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:49)(cid:50)(cid:79)(cid:181)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:65)(cid:69)
(cid:119)(cid:35)(cid:87)(cid:106)(cid:65)(cid:236)(cid:181)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:30)(cid:79)O(cid:65)(cid:70)(cid:46)AO(cid:301)(cid:363)(cid:125)(cid:76)BC(cid:77)D(cid:65)(cid:70)(cid:46)OB
AB = AC = 10 cm(cid:65)BC = 16 cm(cid:65)O(cid:79) ABC(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:30)
∵AD(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)BC(cid:65) △
∴ 1
BD= BC=8
2
∴
(cid:56)Rt ABD(cid:81)(cid:65)AD= =6
2 2
(cid:236)(cid:26)O△(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:79)r(cid:65)(cid:217)𝐴O𝐵A=−O𝐵B=𝐷r(cid:65)OD=AD(cid:425)OA=6-r
(cid:56)Rt OBD(cid:81)(cid:65)OB2=OD2(cid:426)BD2
(cid:86)r2=△(cid:31)6-r(cid:36)2(cid:426)82
25
(cid:134)(cid:185)(cid:10)r=
3
25
(cid:86)(cid:26)(cid:44)(cid:299)(cid:183)(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:49)(cid:50)(cid:79) cm
3
25
(cid:143)(cid:126)(cid:127)(cid:79)(cid:10) (cid:88)
3
(cid:15)(cid:62)(cid:213)(cid:19)(cid:214)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:27)(cid:94)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:142)(cid:99)(cid:250)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:195)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:65)(cid:186)(cid:187)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:142)
(cid:99)(cid:250)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:195)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:94)(cid:134)(cid:256)(cid:214)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:135)(cid:88)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)8-3(cid:19)(cid:31)24-25(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:61)·(cid:156)(cid:327)(cid:427)(cid:428)·(cid:159)(cid:118)(cid:160)(cid:161)(cid:36)(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:75)(cid:198)(cid:59)(cid:43)(cid:47)(cid:48)(cid:215)(cid:81)(cid:193)(cid:58)(cid:39) (cid:88)
△𝐴𝐵𝐶
(1)(cid:226)(cid:227)(cid:325)(cid:326)(cid:65)(cid:124)(cid:227)(cid:149)(cid:329)(cid:225)(cid:27)(cid:59)(cid:32)(cid:34)(cid:229) (cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:30)O(cid:65)(cid:301)(cid:272)(cid:229)(cid:26)(cid:30)(cid:47)(cid:48)(cid:94)______(cid:71)
．．．
(2)(cid:22)(cid:23)(cid:62) (cid:175) (cid:27)(cid:101)(cid:102)(cid:3)(cid:215)(cid:65)(cid:121)△(cid:196)𝐴(cid:189)𝐵𝐶(cid:235)(cid:71)
(3) 𝐸(cid:51)(2(cid:52),0(cid:53)) (cid:54)⊙(cid:26)(cid:27)𝑂(cid:49)(cid:50)(cid:79)______(cid:88)
△𝐴𝐵𝐶(cid:15)(cid:126)(cid:127)(cid:19)(1) (1,5)(cid:65)(cid:35)(cid:277)(cid:134)(cid:128)
(2)(cid:62) (cid:56)𝑂(cid:26)(cid:45)
(3) 1𝐸0(2,0)
(cid:15)(cid:72)(cid:128)(cid:19)(cid:31)1(cid:36)(cid:72)(cid:73)(cid:34) (cid:95)(cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:65)(cid:76)(cid:62)(cid:86)(cid:79)(cid:26)(cid:30)O(cid:71)
(cid:31)2(cid:36)(cid:227)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:72)(cid:73)𝐴(cid:37)𝐵(cid:229),𝐵𝐶 (cid:65) (cid:65)(cid:429)(cid:430)(cid:86)(cid:140)(cid:71)
(cid:31)3(cid:36)(cid:245) (cid:81)(cid:62)P(cid:65)(cid:70)(cid:46) 𝑂(cid:65)𝐸 𝑂𝐴 (cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:79) (cid:27)(cid:125)(cid:65)(cid:227)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:37)(cid:134)(cid:86)(cid:140)(cid:88)
(cid:15)(cid:141)(cid:134)(cid:19)𝐴(cid:31)𝐶1(cid:36) 𝑂𝑃 △𝐴𝐵𝐶 𝑃𝐶
(cid:72)(cid:73)(cid:34) (cid:95)(cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:65)(cid:98)(cid:76)(cid:77)(cid:62) (1,5)
(cid:31)2(cid:36) 𝐴𝐵(1,𝐵,5𝐶)(cid:65) 𝑂
=∵𝑂26 𝐸(2,0)
∴(cid:235)𝑂(cid:35)𝐸(cid:140)(cid:185)(cid:10)
= 20𝐴(−1,1)
∴𝑂𝐴>
∴(cid:62)𝑂𝐸 𝑂𝐴(cid:56)(cid:26)(cid:45)(cid:71)
∴(cid:31)3(cid:36)𝐸((cid:245)2,0) (cid:81)(cid:62)P(cid:65)(cid:70)(cid:46) (cid:65)
(cid:51)𝐴𝐶(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)𝑂(cid:79)𝑃 (cid:27)(cid:125)(cid:65)
△𝐴𝐵𝐶 𝑃𝐶
= 1 +3 = 10
2 2
∴(cid:15)𝑃(cid:62)𝐶(cid:213)(cid:19)(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:246)(cid:247)(cid:25)(cid:189)(cid:65)(cid:62)(cid:175)(cid:26)(cid:27)(cid:101)(cid:102)(cid:3)(cid:215)(cid:65)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:99)(cid:65)(cid:261)(cid:262)(cid:263)(cid:227)(cid:87)(cid:11)(cid:117)(cid:260)(cid:94)(cid:3)(cid:135)(cid:88)