专题2.8正多边形和圆(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上(苏科)

专题 2.8 正多边形和圆（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:19)............................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:20)(cid:19)................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:24)(cid:35)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:30)(cid:29)(cid:3)(cid:45)(cid:19)..........................................................................................10
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:24)(cid:35)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:24)(cid:44)(cid:46)(cid:29)(cid:3)(cid:45)(cid:19)..........................................................................................13
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:29)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:39)(cid:20)(cid:19)..................................................................................................17
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:42)(cid:51)(cid:37)(cid:52)(cid:30)(cid:53)(cid:54)(cid:45)(cid:29)(cid:55)(cid:56)(cid:19)..........................................................................................22
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:43)(cid:29)(cid:57)(cid:58)(cid:19)......................................................................................................................27
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:43)(cid:29)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:20)(cid:19)..............................................................................................................33
知识点1 正多边形及有关概念
1. (cid:61)(cid:24)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:61)(cid:30)(cid:65)(cid:62)(cid:63)(cid:29)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:66)(cid:67)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:68)
2. (cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:10)(cid:71)(cid:27)(cid:72)(cid:73)n(cid:74)n≥3)(cid:63)(cid:75)(cid:64)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:70)(cid:61)(cid:63)(cid:72)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:29)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:27)(cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:22)n(cid:24)(cid:25)(cid:64)
(cid:84)(cid:85)(cid:27)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:22)n(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:86)(cid:70)(cid:27)(cid:68)
3. (cid:42)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:3)(cid:29)(cid:87)(cid:88)
(cid:74)1(cid:89)(cid:43)(cid:44)(cid:64)(cid:90)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:86)(cid:70)(cid:27)(cid:29)(cid:27)(cid:44)(cid:91)
(cid:74)2(cid:89)(cid:40)(cid:41)(cid:64)(cid:90)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:86)(cid:70)(cid:27)(cid:29)(cid:40)(cid:41)(cid:91)
(cid:74)3(cid:89)(cid:43)(cid:44)(cid:30)(cid:64)(cid:90)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:92)(cid:93)(cid:24)(cid:94)(cid:95)(cid:29)(cid:27)(cid:44)(cid:30)(cid:91)
(cid:74)4(cid:89)(cid:24)(cid:44)(cid:46)(cid:64)(cid:90)(cid:43)(cid:44)(cid:81)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:93)(cid:24)(cid:29)(cid:46)(cid:96)(cid:68)知识点2 正多边形的有关计算
(cid:97)(cid:22)n(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:40)(cid:41)(cid:98)R(cid:64)(cid:24)(cid:35)(cid:98)a(cid:64)(cid:24)(cid:44)(cid:46)(cid:98)r(cid:64)(cid:99) (cid:100)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:98)(cid:102)(cid:10)
° °
(cid:74)1(cid:89)(cid:92)(cid:85)(cid:69)(cid:30)(cid:98) (cid:91)(cid:92)(cid:85)(cid:43)(cid:44)(cid:30)(cid:98) (cid:91)(cid:92)(cid:85)
(𝒏−𝟐)⋅𝟏𝟖𝟎 𝟑𝟔𝟎
𝒏 𝒏
°
(cid:86)(cid:30)(cid:98) (cid:91)
𝟑𝟔𝟎
𝒏
(cid:74)2(cid:89)(cid:40)(cid:41)(cid:36)(cid:24)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:44)(cid:46)(cid:29)(cid:3)(cid:45)(cid:98) = +( )
2
2 2 𝑎 2
𝑅 𝑟
(cid:74)3(cid:89)(cid:34)(cid:35) = (cid:91)(cid:37)(cid:38) = 1 = 1
2 2
𝑙 𝑛𝑎 𝑆 𝑎𝑟𝑛 𝑙𝑟
知识点3 正多边形的画法
(cid:103)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:3)(cid:104)(cid:83)(cid:63)(cid:72)(cid:27)(cid:34)(cid:64)(cid:63)(cid:72)(cid:27)(cid:34)(cid:28)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:10)
1. (cid:109)(cid:110)(cid:30)(cid:111)(cid:63)(cid:72)
(cid:112)(cid:79)(cid:10)(cid:74)1(cid:89)(cid:113)(cid:100)(cid:103)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:91)
(cid:74)2(cid:89)(cid:24)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:64)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:119)(cid:126)(cid:127)(cid:68)
360° 1
(cid:128)(cid:129)(cid:10)(cid:74)1(cid:89)(cid:109)(cid:110)(cid:30)(cid:111)(cid:103)(cid:93)(cid:85)(cid:63)(cid:130) (cid:29)(cid:27)(cid:44)(cid:30)(cid:64)(cid:84)(cid:85)(cid:30)(cid:94)(cid:95)(cid:29)(cid:131)(cid:82)(cid:83)(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:29) (cid:91)
(cid:74)2(cid:89)(cid:132)(cid:27)(cid:133)(cid:76)(cid:77)(cid:134)(cid:135)(cid:42)(cid:84)(cid:136)(cid:131)(cid:62)(cid:63)𝑛(cid:29)(cid:131)(cid:64)(cid:82)(cid:80)(cid:81)(cid:27)(cid:29)n(cid:63)(cid:72)(cid:79)(cid:91) 𝑛
(cid:74)3(cid:89)(cid:137)(cid:77)(cid:78)(cid:70)(cid:61)(cid:63)(cid:72)(cid:79)(cid:64)(cid:90)(cid:80)(cid:81)(cid:27)(cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:22)n(cid:24)(cid:25)(cid:68)
2. (cid:109)(cid:47)(cid:48)(cid:63)(cid:72)
(cid:112)(cid:79)(cid:10)(cid:74)1(cid:89)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:27)(cid:115)(cid:116)(cid:63)(cid:72)(cid:64)(cid:141)(cid:142)(cid:93)(cid:143)(cid:112)(cid:144)(cid:29)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:64)(cid:145)(cid:22)(cid:146)(cid:36)(cid:147)(cid:36)(cid:148)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:64)(cid:22)(cid:149)(cid:36)(cid:101)(cid:36)(cid:148)(cid:150)(cid:24)(cid:25)
(cid:63)(cid:91)(cid:74)2(cid:89)(cid:49)(cid:50)(cid:151)(cid:125)(cid:152)(cid:153)(cid:68)
(cid:103)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:128)(cid:129)(cid:10)(cid:74)1(cid:89)(cid:49)(cid:52)(cid:41)AD(cid:91)
(cid:74)2(cid:89)(cid:72)(cid:154)(cid:100)A(cid:64)D(cid:98)(cid:27)(cid:44)(cid:64)OA(cid:35)(cid:98)(cid:40)(cid:41)(cid:103)(cid:131)(cid:64)(cid:72)(cid:154)(cid:155) O(cid:130)(cid:79)B(cid:64)F(cid:64)C(cid:64)E(cid:91)
(cid:74)3(cid:89)(cid:137)(cid:77)(cid:78)(cid:70)AB(cid:64)BC(cid:64)CD(cid:64)DE(cid:64)EF(cid:64)FA(cid:64)(cid:80)(cid:22)(cid:101)(cid:24)⊙(cid:25)ABCDEF(cid:68)【题型1 正多边形和圆有关的角度计算】
(cid:15)(cid:102)1(cid:19)(cid:74)2025·(cid:146)(cid:156)(cid:157)(cid:158)·(cid:93)(cid:159)(cid:89)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:22)(cid:160)(cid:24)(cid:25) (cid:69)(cid:70)(cid:130) (cid:64)(cid:79) (cid:98) (cid:29)(cid:43)(cid:79)(cid:64)(cid:99) =(cid:74) (cid:89)
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 ⊙𝑂 𝐹 𝐴𝐸 ∠𝐴𝐵𝐹
A(cid:68)9° B(cid:68)12° C(cid:68)18° D(cid:68)36°
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19)C
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:43)(cid:44)(cid:30)(cid:36)(cid:27)(cid:44)(cid:30)(cid:42)(cid:131)(cid:29)(cid:3)(cid:45)(cid:36)(cid:27)(cid:34)(cid:30)(cid:168)(cid:169)(cid:64)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:27)(cid:44)(cid:30)(cid:42)(cid:131)(cid:29)(cid:3)(cid:45)(cid:83)
(cid:174)(cid:20)(cid:3)(cid:104)(cid:68)(cid:78)(cid:70) (cid:64)(cid:175)(cid:176)(cid:114) =72°(cid:64)(cid:177)(cid:176)(cid:114) =36°(cid:64)(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:27)(cid:34)(cid:30)(cid:168)(cid:169)(cid:90)(cid:113)(cid:80)(cid:68)
(cid:15)(cid:182)(cid:174)(cid:19)(cid:174)(cid:10)(cid:145)𝑂(cid:50)𝐴(cid:64),𝑂(cid:78)𝐸,(cid:70)𝑂𝐹 ∠(cid:64)𝐴𝑂𝐸 ∠𝐴𝑂𝐹
𝑂𝐴,𝑂𝐸,𝑂𝐹
(cid:22)(cid:160)(cid:24)(cid:25) (cid:69)(cid:70)(cid:130) (cid:64)
∵ 3𝐴6𝐵0°𝐶𝐷𝐸 ⊙𝑂
= =72°(cid:64)
5
∴∠𝐴(cid:29)𝑂𝐸(cid:31)(cid:117)(cid:98)72°(cid:64)
∴(cid:79)𝐴𝐸 (cid:98) (cid:29)(cid:43)(cid:79)(cid:64)
∵ 𝐹 𝐴𝐸 1
(cid:29)(cid:31)(cid:117)(cid:98) ×72°=36°(cid:64)
2
∴𝐴𝐹 =36°(cid:64)
∴∠𝐴𝑂𝐹 1
(cid:183)(cid:27)(cid:34)(cid:30)(cid:168)(cid:169)(cid:80)(cid:10) = =18°(cid:64)
2
(cid:184)(cid:185)(cid:10)C(cid:68) ∠𝐴𝐵𝐹 ∠𝐴𝑂𝐹
(cid:15)(cid:186)(cid:187)1-1(cid:19)(cid:74)24-25(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:191)·(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:195)·(cid:196)(cid:197)(cid:171)(cid:198)(cid:89)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:22)(cid:160)(cid:24)(cid:25) (cid:69)(cid:70)(cid:130) (cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:64)(cid:99)
(cid:29)(cid:31)(cid:117)(cid:98)(cid:74) (cid:89) 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 ⊙𝑂 𝑂𝐶 ∠𝐵𝐶𝑂A(cid:68)36° B(cid:68)48° C(cid:68)54° D(cid:68)60°
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19)C
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:29)(cid:83)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:64)(cid:63)(cid:199)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:202)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:69)(cid:30)(cid:26)(cid:168)(cid:169)(cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:64)(cid:180)(cid:181)(cid:22)(cid:160)(cid:24)(cid:25)(cid:29)
1 𝑂𝐵
(cid:200)(cid:201)(cid:113)(cid:80) = ×360°=72°(cid:64)(cid:183) = (cid:64)(cid:203)(cid:109)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:69)(cid:30)(cid:26)(cid:168)(cid:169)(cid:90)(cid:113)(cid:176)(cid:174)(cid:68)
5
(cid:15)(cid:182)(cid:174)(cid:19)∠(cid:174)𝐵(cid:10)𝑂𝐶(cid:78)(cid:70) (cid:64) 𝑂𝐵 𝑂𝐶
𝑂𝐵
(cid:160)(cid:24)(cid:25) (cid:98)(cid:22)(cid:160)(cid:24)(cid:25)(cid:64)
∵ 𝐴𝐵1𝐶𝐷𝐸
= ×360°=72°(cid:64)
5
∴∠𝐵𝑂=𝐶 (cid:64)
∵𝑂𝐵 𝑂𝐶 1
= = ( )=54°(cid:64)
2
∴(cid:184)∠(cid:185)𝐵𝑂(cid:10)𝐶C(cid:68)∠𝐶𝐵𝑂 180°−∠𝐵𝑂𝐶
(cid:15)(cid:186)(cid:187)1-2(cid:19)(cid:74)24-25(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:133)·(cid:204)(cid:205)(cid:206)(cid:207)·(cid:208)(cid:209)(cid:89)(cid:145)(cid:50)(cid:64) (cid:83) (cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:160)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:93)(cid:136)(cid:24)(cid:64) (cid:83)(cid:210)(cid:131) (cid:133)
(cid:29)(cid:105)(cid:79)(cid:64)(cid:211)(cid:79) (cid:132)(cid:79) (cid:29)(cid:212)(cid:213)(cid:68)(cid:214) =120°(cid:64)(cid:99) 𝐴𝐵(cid:29)(cid:31)⊙(cid:117)𝑂(cid:98) °(cid:68) 𝐵, 𝐶 𝐴𝐶𝐷
𝐶 𝐵 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19)24
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:29)(cid:83)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:64)(cid:27)(cid:34)(cid:30)(cid:168)(cid:169)(cid:64)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:69)(cid:30)(cid:26)(cid:168)(cid:169)(cid:64)(cid:180)(cid:181)(cid:20)(cid:116)(cid:49)(cid:114)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:64)(cid:218)(cid:219)(cid:114)(cid:27)(cid:44)
(cid:30)(cid:83)(cid:174)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:104)(cid:68)(cid:78)(cid:70) (cid:64) (cid:64)(cid:183) (cid:83) (cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:160)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:93)(cid:136)(cid:24)(cid:113)(cid:80)(cid:114) (cid:29)(cid:31)(cid:117)(cid:64)(cid:183)(cid:27)(cid:34)(cid:30)(cid:168)(cid:169)(cid:90)(cid:113)(cid:80)(cid:114) (cid:29)(cid:31)
(cid:117)(cid:64)𝑂(cid:220)𝐴(cid:221)(cid:113)𝑂𝐵(cid:183)(cid:149)(cid:30)𝐴(cid:25)𝐵(cid:69)(cid:30)⊙(cid:26)𝑂(cid:168)(cid:169)(cid:176)(cid:174)(cid:68) ∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐴𝐶𝐵
(cid:15)(cid:182)(cid:174)(cid:19)(cid:174)(cid:10)(cid:78)(cid:70) (cid:64) (cid:64)
𝑂𝐴 𝑂𝐵
(cid:83) (cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:160)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:93)(cid:136)(cid:24)(cid:64)
360° ∵𝐴𝐵 ⊙𝑂
= =72°(cid:64)
5
∴∠𝐴𝑂𝐵
1 72°
= = =36°(cid:64)
2 2
∴∠𝐴𝐶𝐵=1∠2𝐴0°𝑂(cid:64)𝐵
∵∠𝐴𝐵𝐶= =24°(cid:64)
(cid:184)∴(cid:161)∠𝐵(cid:162)𝐴𝐶(cid:98)(cid:10)12840(cid:68)°−120°−36°
(cid:15)(cid:186)(cid:187)1-3(cid:19)(cid:74)2025·(cid:222)(cid:16)(cid:223)(cid:193)·(cid:150)(cid:159)(cid:89)(cid:145)(cid:50)(cid:64) (cid:83) (cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:148)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:93)(cid:136)(cid:24)(cid:64)(cid:52)(cid:217) (cid:224)(cid:225)(cid:79) (cid:211)(cid:42) (cid:62)(cid:226)(cid:64)
(cid:99) (cid:29)(cid:31)(cid:117)(cid:98)(cid:74) (cid:89) 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝑙 𝐵 ⊙𝑂
∠1
A(cid:68)16° B(cid:68)18° C(cid:68)20° D(cid:68)36°
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19)B
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(cid:227)(cid:228)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:36)(cid:27)(cid:29)(cid:226)(cid:217)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:36)(cid:63)(cid:199)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:63)(cid:229)(cid:230)(cid:79)(cid:64)(cid:172)(cid:173)(cid:27)(cid:29)(cid:226)(cid:217)
(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:83)(cid:174)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:104)(cid:68)(cid:78)(cid:70) (cid:36) (cid:64)(cid:99) = (cid:64)(cid:180)(cid:181)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:113)(cid:80) =36°(cid:64)(cid:177)(cid:180)(cid:181)(cid:63)(cid:199)(cid:149)
(cid:30)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:100)(cid:202)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:69)(cid:30)𝑂(cid:26)𝐵(cid:168)(cid:169)𝑂(cid:113)𝐴 (cid:80) 𝑂𝐵 =𝑂7𝐴2°(cid:64)(cid:183)(cid:226)(cid:217)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:113)(cid:80) ∠𝐴=𝑂9𝐵0°(cid:64)(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:181)
= (cid:176)(cid:174)(cid:90)(cid:113)(cid:68) ∠𝑂𝐵𝐴 ∠𝑂𝐵𝐶
∠(cid:15)1(cid:182)(cid:174)∠(cid:19)𝑂𝐵(cid:174)𝐶(cid:10)−∠(cid:145)𝑂(cid:50)𝐵𝐴(cid:78)(cid:70) (cid:36) (cid:64)(cid:99) = (cid:64)
(cid:83) (cid:69)(cid:70)(cid:22)∶(cid:148)(cid:24)𝑂(cid:25)𝐵(cid:29)(cid:93)𝑂𝐴(cid:136)(cid:24)(cid:64)𝑂𝐵 𝑂𝐴
∵𝐴𝐵 ⊙𝑂360°
= =36°(cid:68)
10
∴∠𝐴𝑂𝐵=
∵ 𝑂𝐵 𝑂𝐴1
= ( )=72°(cid:68)
2
∶(cid:183)∴(cid:226)∠𝑂(cid:217)𝐵(cid:29)𝐴(cid:200)(cid:201)(cid:113)18(cid:80)0°−∠𝐴𝑂𝐵 =90°(cid:64)
= ∠𝑂𝐵𝐶= =18°(cid:68)
(cid:184)∴(cid:185)∠1B(cid:68)∠𝑂𝐵𝐶−∠𝑂𝐵𝐴 90°−72°
∶
【题型2 正多边形和圆有关的周长、面积问题】
(cid:15)(cid:102)2(cid:19)(cid:74)2025·(cid:207)(cid:231)·(cid:93)(cid:159)(cid:89)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:22)(cid:147)(cid:24)(cid:25) (cid:69)(cid:70)(cid:130) (cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:64) (cid:68)(cid:214) (cid:29)(cid:40)(cid:41)(cid:98)2(cid:64)
(cid:99)(cid:217)(cid:197) (cid:64) (cid:42) (cid:232)(cid:73)(cid:29)(cid:50)(cid:25)(cid:74)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:72)(cid:89)𝐴(cid:37)𝐵𝐶(cid:38)𝐷𝐸(cid:98)𝐹(cid:74)𝐺𝐻 (cid:89) ⊙𝑂 𝐴𝐷 𝐺𝐷 ⊙𝑂
𝐴𝐷 𝐺𝐷 𝐴𝐺
A(cid:68) B(cid:68) +2 3 C(cid:68) +2 2 D(cid:68) + 2
2
𝜋
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19)C 𝜋 𝜋 𝜋
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:29)(cid:83)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:42)(cid:27)(cid:64)(cid:176)(cid:174)(cid:236)(cid:25)(cid:37)(cid:38)(cid:64)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:29)(cid:43)(cid:217)(cid:63)(cid:72)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:37)(cid:38)(cid:64)(cid:49)(cid:114)(cid:56)(cid:237)(cid:29)(cid:215)(cid:216)(cid:217)
360°
(cid:83)(cid:174)(cid:164)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:104)(cid:68)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:64) (cid:155)(cid:130)(cid:79) (cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:64) (cid:64)(cid:113)(cid:80) (cid:225)(cid:27)(cid:44)(cid:64) = =
8
𝐴𝐺 𝐷𝐻 𝐾 𝑂𝐴 𝑂𝐺 𝐷𝐻 ∠𝐴𝑂𝐻 ∠𝐺𝑂𝐻
=45°(cid:64)(cid:220)(cid:93)(cid:128)(cid:176)(cid:174) = = 2= = (cid:64)(cid:238)(cid:56) =2 + (cid:113)(cid:80)(cid:161)(cid:162)(cid:68)
阴影 扇形
(cid:15)(cid:182)(cid:174)(cid:19)(cid:174)(cid:10)(cid:145)(cid:50)(cid:64)𝑆(cid:78)△𝐴(cid:70)𝑂𝐷 (cid:64)𝑆△𝐴𝑂(cid:155)𝐻 (cid:130)(cid:79) (cid:64)𝑆(cid:78)△(cid:70)𝐺𝑂𝐻 (cid:64)𝑆△𝐷𝑂(cid:64)𝐺 𝑆 𝑆△𝐴𝑂𝐷 𝑆 𝐴𝑂𝐺
𝐴𝐺 𝐷𝐻 𝐾 𝑂𝐴 𝑂𝐺(cid:22)(cid:147)(cid:24)(cid:25) (cid:69)(cid:70)(cid:130) (cid:64)
∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 ⊙3𝑂60°
(cid:225)(cid:27)(cid:44)(cid:64) = = =45°(cid:64)
8
∴𝐷𝐻 =90°(cid:64)∠𝐴𝑂𝐻 ∠𝐺𝑂𝐻
∴∠𝐴𝑂=𝐺 =2(cid:64)
∵𝑂𝐴 𝑂𝐺(cid:64) = =45°(cid:64)
∴𝑂𝐻⊥𝐴𝐺 ∠𝑂2𝐴𝐺 ∠𝑂𝐺𝐴
= = = 2(cid:64)
2
∴𝐺𝐾 𝐴𝐾 𝑂𝐴 1
= = ×2× 2= 2= = (cid:64)
2
∴𝑆△𝐴𝑂𝐷 𝑆△𝐴𝑂𝐻 𝑆△𝐺𝑂𝐻 𝑆△𝐷𝑂𝐺
90 ×2
=2 + =2 2+ = +2 2(cid:91)
阴影 扇形 360 2
π
(cid:184)∴𝑆(cid:185)(cid:10)C(cid:68)𝑆△𝐴𝑂𝐷 𝑆 𝐴𝑂𝐺 π
(cid:15)(cid:186)(cid:187)2-1(cid:19)(cid:74)2025·(cid:222)(cid:16)(cid:16)(cid:193)·(cid:150)(cid:159)(cid:89)(cid:239)(cid:240)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:109)(cid:130)(cid:244)(cid:245)(cid:36)(cid:246)(cid:247)(cid:36)(cid:248)(cid:249)(cid:63)(cid:107)(cid:37)(cid:64)(cid:250)(cid:117)(cid:11)(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:132)
(cid:11)(cid:198)(cid:167)(cid:239)(cid:240)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:29)(cid:229)(cid:230)(cid:179)(cid:255)(cid:80)(cid:256)(cid:257)(cid:64)(cid:97)(cid:32)(cid:167)(cid:145)(cid:50)2(cid:29)(cid:258)(cid:259)(cid:50)(cid:25)(cid:64)(cid:260)(cid:261)(cid:165)(cid:29)(cid:253)(cid:262)(cid:263)(cid:114)(cid:100)(cid:191)(cid:39)(cid:20)(cid:10)(cid:145)(cid:50)3(cid:64)(cid:22)
(cid:160)(cid:24)(cid:25) (cid:29)(cid:24)(cid:35)(cid:98)3(cid:64)(cid:72)(cid:154)(cid:100) (cid:26) (cid:98)(cid:27)(cid:44)(cid:64)3(cid:98)(cid:40)(cid:41)(cid:49) (cid:26) (cid:155)(cid:130)(cid:79) (cid:64)(cid:264)(cid:120)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:72)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:98) (cid:68)
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 𝐴 𝐸 𝐵𝑃𝐸 𝐴𝑃𝐷 𝑃
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19) +3/ 3+
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:164)2𝜋(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:63)(cid:24)2(cid:149)𝜋(cid:30)(cid:25)(cid:29)(cid:265)(cid:168)(cid:202)(cid:200)(cid:201)(cid:64)(cid:131)(cid:35)(cid:7)(cid:187)(cid:68)(cid:78)(cid:70) (cid:64) (cid:64)(cid:180)(cid:181)(cid:49)(cid:50)(cid:113)(cid:80) (cid:83)(cid:63)(cid:24)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:64)
(cid:80)(cid:81) = =60°(cid:64)(cid:180)(cid:181)(cid:131)(cid:35)(cid:7)(cid:187)(cid:176)(cid:114) = (cid:64) =𝐴𝑃(cid:64)(cid:220)𝐸𝑃(cid:221)(cid:90)(cid:113)(cid:174)(cid:161)(cid:68) △𝐴𝑃𝐸
(cid:15)(cid:182)∠(cid:174)𝑃(cid:19)𝐴𝐸(cid:174)(cid:10)∠(cid:78)𝐴(cid:70)𝐸𝑃 (cid:64) (cid:64) 𝐴𝑃 𝜋 𝑃𝐸 𝜋
𝐴𝑃 𝐸𝑃(cid:183)(cid:49)(cid:50)(cid:113)(cid:80) = =3(cid:64) = =3(cid:64)
= =𝐴𝑃 (cid:64)𝐴𝐸 𝐸𝑃 𝐸𝐴
∴𝐴𝑃 𝐴(cid:83)𝐸 (cid:63)𝐸(cid:24)𝑃(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:64)
∴△𝐴𝑃𝐸= =60°(cid:64)
∴∠𝑃𝐴𝐸 ×∠60𝐴𝐸𝑃 ×60
= = (cid:64) = = (cid:64)
180 180
3𝜋 3𝜋
∴(cid:233) 𝐴𝑃 (cid:234)(cid:235)(cid:72)(cid:29)(cid:34)(cid:35)𝜋(cid:98) 𝑃𝐸 + + 𝜋 = + +3= +3(cid:68)
∴(cid:184)(cid:161)(cid:162)(cid:98)(cid:10) +3(cid:68)𝐴𝑃 𝑃𝐸 𝐴𝐸 𝜋 𝜋 2𝜋
(cid:15)(cid:186)(cid:187)2-2(cid:19)2𝜋(cid:266)(cid:267)(cid:132)(cid:268)(cid:188)(cid:269)(cid:33)(cid:270)(cid:4)(cid:271)(cid:43)(cid:272)(cid:273)“(cid:274)(cid:27)(cid:270)”(cid:64)(cid:203)(cid:109)(cid:27)(cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:275)(cid:153)(cid:168)(cid:27)(cid:34)(cid:276)(cid:68)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:69)(cid:235)(cid:23)
(cid:24)(cid:25)(cid:98) (cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:148)(cid:150)(cid:24)(cid:25)(cid:64)(cid:214) (cid:29)(cid:40)(cid:41)(cid:98)2(cid:64)(cid:99)(cid:84)(cid:85)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:148)(cid:150)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:98)(cid:74) (cid:89)
⊙𝑂 ⊙𝑂
A(cid:68)1 B(cid:68)6 3 C(cid:68)12 D(cid:68)4
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19)C π
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:42)(cid:27)(cid:64)(cid:277)30°(cid:30)(cid:29)(cid:52)(cid:30)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:63)(cid:229)(cid:230)(cid:79)(cid:64)(cid:174)(cid:278)(cid:264)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:104)(cid:83)(cid:170)(cid:171)(cid:279)(cid:109)(cid:84)
(cid:143)(cid:229)(cid:230)(cid:79)(cid:68)
(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:225)(cid:79)A(cid:49) (cid:130) (cid:64)(cid:80)(cid:81)(cid:27)(cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:148)(cid:150)(cid:24)(cid:29)(cid:27)(cid:44)(cid:30)(cid:98)30°(cid:64)(cid:180)(cid:181)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:7)(cid:187)(cid:90)(cid:113)(cid:176)(cid:114)(cid:238)(cid:280)(cid:68)
(cid:15)(cid:182)(cid:174)(cid:19)(cid:174)(cid:10)(cid:183)𝐴(cid:20)𝐶(cid:116)⊥(cid:113)𝑂𝐵(cid:49)(cid:50)𝐶(cid:145)(cid:191)(cid:64)(cid:225)(cid:79)A(cid:49) (cid:130) (cid:64)
𝐴𝐶⊥𝑂𝐵 𝐶360°
(cid:27)(cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:148)(cid:150)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:27)(cid:44)(cid:30)(cid:98) =30°(cid:64) =2(cid:64)
12
∵ 1 𝑂𝐴
= =1(cid:64)
2
∴𝐴𝐶 𝑂𝐴
1
= ×2×1=1(cid:64)
2
(cid:90)∴𝑆(cid:84) △𝑂 (cid:85) 𝐴𝐵 (cid:27)(cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:148)(cid:150)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:98)12×1=12(cid:64)
(cid:184)(cid:185)(cid:10)C
(cid:15)(cid:186)(cid:187)2-3(cid:19)(cid:74)24-25(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:133)·(cid:204)(cid:205)(cid:281)(cid:282)·(cid:208)(cid:209)(cid:89)(cid:183)(cid:101)(cid:283)(cid:62)(cid:284)(cid:29)(cid:277)30°(cid:29)(cid:52)(cid:30)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:285)(cid:73)(cid:93)(cid:85)(cid:119)(cid:29)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:64)
(cid:69)(cid:235)(cid:286)(cid:191)(cid:93)(cid:85)(cid:253)(cid:29)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:287)(cid:288)(cid:64)(cid:214)(cid:289)(cid:52)(cid:30)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:59)(cid:290)(cid:29)(cid:24)(cid:35)(cid:98)1(cid:64)(cid:291)(cid:292)(cid:253)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:98) (cid:64)(cid:34)(cid:35)
(cid:98) (cid:68)
3 3
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19) 6
2
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(cid:227)(cid:228)(cid:165)(cid:166)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:64)(cid:63)(cid:24)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:29)(cid:265)(cid:168)(cid:42)(cid:200)(cid:201)(cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:64)(cid:57)(cid:58) (cid:22)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:64)
(cid:80) = = =1,(cid:78)(cid:70) (cid:80) (cid:83)(cid:63)(cid:24)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:64)(cid:176)(cid:114)(cid:37)(cid:38)(cid:90)𝐴(cid:113)𝐶(cid:80),𝐶𝑀(cid:174) △𝑀𝐶𝑁
(cid:15)𝑂(cid:182)𝑁(cid:174)(cid:19)𝑂(cid:174)𝑀(cid:10)(cid:78)𝑀(cid:70)𝑁 (cid:64)(cid:145)𝑂𝑀(cid:50),(cid:64)𝑂𝑁, △𝑀𝑂𝑁
𝐴𝐶,𝐶𝑀
(cid:101)(cid:24)(cid:25) (cid:83)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:64)
∵ =𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 =
∴∠𝐴𝐵𝐶=120°,𝐴=𝐵 30𝐵°(cid:64)𝐶,
∴∠𝐵𝐴𝐶 =∠3𝐵0𝐶°,𝐴
∵∠𝐵𝐴(cid:132)𝑀 (cid:133)(cid:64)
∴(cid:284)𝐴(cid:169)𝑀(cid:113)(cid:80)𝐴𝐶(cid:64) (cid:132) (cid:133)(cid:64)
(cid:149)(cid:79)𝐶(cid:293)𝑀(cid:217)(cid:64)𝐴𝐶
∴𝐴,𝑀,𝐶=30°,
∴∠𝐵𝐶𝐴 = =60°,
∴(cid:294)∠𝑁𝐶𝑀 =90°−30° =60°,
∠𝑀𝑁𝐶=6900°,°−30°
∴∠𝑁𝑀𝐶 (cid:22)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:64)
∴△𝑀=𝐶𝑁 =1,
∴(cid:253)𝑀𝑁(cid:22)(cid:101)𝐶(cid:24)𝑁(cid:25)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:98)1×6=6(cid:91)
∴(cid:78)(cid:70) (cid:99) =60°,
𝑂𝑀,𝑂(cid:83)𝑁(cid:63), (cid:24)∠𝑀(cid:149)𝑂(cid:30)𝑁(cid:25)(cid:64)
∴△𝑀=𝑂𝑁 = =1,
∴(cid:225)𝑂(cid:79)𝑁 (cid:49)𝑂𝑀 𝑀𝑁(cid:130)(cid:79)P(cid:64)
𝑂 1𝑂𝑃⊥𝑀1𝑁
= = ,
2 2
∴𝑃𝑁 𝑀𝑁
1 3
= = 1 =
2 2 2
2 2 2
∴𝑂𝑃 𝑂1𝑁 −𝑃𝑁 1 − 3 3
= = ×1× = (cid:64)
2 2 2 4
∴𝑆Δ𝑀𝑂𝑁 𝑀𝑁⋅𝑂𝑃 3 3 3
(cid:253)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:98)=6 =6× = (cid:64)
4 2
∴ 𝑆Δ𝑀𝑂𝑁
3 3
(cid:184)(cid:161)(cid:162)(cid:98)(cid:10)6(cid:91)
2
【题型3 正多边形的边长、半径与中心角的关系】
(cid:15)(cid:102)3(cid:19)(cid:74)2025·(cid:295)(cid:267)(cid:56)(cid:296)·(cid:93)(cid:159)(cid:89)(cid:145)(cid:50)1(cid:64)(cid:84)(cid:83)(cid:43)(cid:297)(cid:298)(cid:244)(cid:245)(cid:43)(cid:29)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:299)(cid:300)(cid:97)(cid:32)(cid:50)(cid:64)(cid:50)2(cid:83)(cid:183)(cid:301)(cid:302)(cid:303)(cid:221)(cid:73)
2
(cid:29)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25) (cid:64) (cid:83)(cid:304)(cid:29)(cid:86)(cid:70)(cid:27)(cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:64) (cid:64)(cid:49) (cid:68)(cid:214)(cid:305)(cid:131) (cid:29)(cid:35)(cid:98) (cid:64)(cid:99) = (cid:68)
3
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 ⊙𝑂 𝑂𝐶 𝑂𝐷 𝑂𝐺⊥𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝜋 𝑂𝐺
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19) 3
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:175)(cid:176)(cid:114)(cid:43)(cid:44)(cid:30) =60°(cid:64)(cid:177)(cid:180)(cid:181)(cid:131)(cid:35)(cid:7)(cid:187)(cid:176)(cid:80)(cid:40)(cid:41)(cid:98)2(cid:64)(cid:178)(cid:179)(cid:174)Rt (cid:90)(cid:113)(cid:68)
(cid:15)(cid:182)(cid:174)(cid:19)(cid:174)(cid:10) (cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)∠𝐶𝑂𝐷 (cid:64) (cid:83)(cid:304)(cid:29)(cid:86)(cid:70)(cid:27)(cid:64) △𝑂𝐺𝐷
∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 ⊙𝑂360°
(cid:43)(cid:44)(cid:30) = =60°(cid:64)
6
∴ ∠𝐶𝑂𝐷 2
(cid:305)(cid:131) (cid:29)(cid:35)(cid:98) (cid:64)
3
∵2 𝐶𝐷 × 𝜋
= (cid:64)
3 180
60𝜋 𝑂𝐷
(cid:174)∴ 𝜋(cid:80)(cid:10) =2(cid:64)
𝑂𝐷(cid:64) =
∵𝑂𝐺⊥𝐶𝐷1 𝑂𝐶 𝑂𝐷
= =30°(cid:64)
2
∴∠𝐺𝑂
=
𝐷 3(cid:64)∠𝐶𝑂𝐷
∴(cid:184)𝑂(cid:161)𝐺(cid:162)(cid:98)(cid:10) 3(cid:68)
(cid:15)(cid:79)(cid:306)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:27)(cid:27)(cid:42)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:64)(cid:43)(cid:44)(cid:30)(cid:29)(cid:176)(cid:174)(cid:64)(cid:131)(cid:35)(cid:7)(cid:187)(cid:64)(cid:55)(cid:56)(cid:200)(cid:125)(cid:307)(cid:64)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:229)(cid:230)(cid:79)(cid:83)(cid:174)(cid:20)(cid:29)
(cid:3)(cid:104)(cid:68)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)3-1(cid:19)(cid:214)(cid:93)(cid:85)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:24)(cid:44)(cid:46)(cid:83)(cid:24)(cid:35)(cid:29)(cid:93)(cid:40)(cid:64)(cid:99)(cid:84)(cid:85)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:43)(cid:44)(cid:30)(cid:29)(cid:31)(cid:117)(cid:83) °(cid:68)
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19)90
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:27)(cid:42)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:62)(cid:3)(cid:87)(cid:88)(cid:64)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:24)(cid:44)(cid:46)(cid:29)(cid:87)(cid:88)(cid:83)(cid:174)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:104)(cid:68)(cid:183)(cid:20)(cid:116)(cid:80)(cid:64)
1 1
(cid:64) = (cid:64)(cid:180)(cid:181)(cid:149)(cid:217)(cid:56)(cid:93)(cid:80)(cid:81) = = (cid:64)(cid:291)(cid:292) = = (cid:64)(cid:308)(cid:221) (cid:309)
2 2
𝑂(cid:98)𝑁(cid:63)⊥(cid:199)𝐴(cid:52)𝐵(cid:30)𝑂(cid:149)𝑁(cid:30)(cid:25)𝐴(cid:64)𝐵(cid:90)(cid:113)(cid:176)(cid:174)(cid:68) 𝐴𝑁 𝐵𝑁 𝐴𝐵 𝐴𝑁 𝐵𝑁 𝑂𝑁 △𝑂𝐴𝑁,△𝑂𝑁𝐵
1
(cid:15)(cid:182)(cid:174)(cid:19)(cid:174)(cid:10)(cid:183)(cid:20)(cid:116)(cid:80)(cid:64) (cid:64) = (cid:64)
2
𝑂𝑁⊥𝐴𝐵 𝑂𝑁 𝐴𝐵
= (cid:64)
∵𝑂𝐴 𝑂𝐵 1
= = (cid:64)
2
∴𝐴𝑁=𝐵𝑁= 𝐴𝐵(cid:64)
∴𝐴𝑁 𝐵𝑁(cid:64) 𝑂𝑁
∵𝑂𝑁⊥𝐴𝐵 (cid:309)(cid:98)(cid:63)(cid:199)(cid:52)(cid:30)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:64)
∴△𝑂𝐴𝑁=,△45𝑂°𝑁+𝐵45°=90°(cid:64)
∴(cid:84)∠𝐴(cid:85)𝑂𝐵(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:43)(cid:44)(cid:30)(cid:29)(cid:31)(cid:117)(cid:83)90°(cid:64)
∴(cid:184)(cid:161)(cid:162)(cid:98)(cid:10)90(cid:68)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)3-2(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:22)(cid:147)(cid:24)(cid:25) (cid:69)(cid:70)(cid:130) (cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:64) (cid:64)(cid:99) = °(cid:68)
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 ⊙𝑂 𝐴𝑂 𝐵𝑂 ∠𝐹𝐸𝐷−∠𝐴𝑂𝐵
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19)90
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:42)(cid:27)(cid:64)(cid:176)(cid:80)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:92)(cid:85)(cid:69)(cid:30)(cid:31)(cid:117)(cid:26)(cid:43)(cid:44)(cid:30)(cid:31)(cid:117)(cid:64)(cid:62)(cid:310)(cid:90)(cid:113)(cid:64)(cid:170)(cid:229)(cid:176)(cid:80)(cid:22)
(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:62)(cid:3)(cid:30)(cid:31)(cid:83)(cid:174)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:104)(cid:68)
360°
(cid:15)(cid:182)(cid:174)(cid:19)(cid:174)(cid:10)(cid:132)(cid:22)(cid:147)(cid:24)(cid:25) (cid:43)(cid:64)(cid:92)(cid:93)(cid:69)(cid:30)(cid:29)(cid:31)(cid:117)(cid:311)(cid:98) =135°(cid:64)
8
𝐴36𝐵0°𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 180°−
(cid:92)(cid:93)(cid:85)(cid:43)(cid:44)(cid:30)(cid:29)(cid:31)(cid:117)(cid:311)(cid:98) =45°(cid:68)
8
= =90°(cid:68)
(cid:184)∴(cid:161)∠𝐹(cid:162)𝐸𝐷(cid:98)−(cid:10)∠9𝐴0𝑂(cid:68)𝐵 135°−45°
(cid:15)(cid:186)(cid:187)3-3(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:22)(cid:160)(cid:24)(cid:25) (cid:69)(cid:70)(cid:130) (cid:64)(cid:225)(cid:79)D(cid:49) (cid:29)(cid:226)(cid:217)(cid:155) (cid:29)(cid:312)(cid:35)(cid:217)(cid:130)(cid:79)F(cid:68)(cid:99) (cid:29)(cid:31)(cid:117)
(cid:98) (cid:68) 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 ⊙𝑂 ⊙𝑂 𝐴𝐸 ∠𝐹
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19)72°
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(cid:227)(cid:228)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:42)(cid:27)(cid:64)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:69)(cid:30)(cid:26)(cid:168)(cid:169)(cid:64)(cid:226)(cid:217)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:64)
(cid:175)(cid:176)(cid:114)(cid:43)(cid:44)(cid:30) (cid:29)(cid:31)(cid:117)(cid:64)(cid:90)(cid:113)(cid:176)(cid:114) (cid:64)(cid:177)(cid:180)(cid:181)(cid:226)(cid:217)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:113)(cid:176) (cid:64)(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:86)(cid:30)(cid:26)(cid:168)
(cid:169)(cid:176)(cid:114) (cid:64)∠(cid:59)𝐷𝑂(cid:179)𝐸(cid:180)(cid:181)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:69)(cid:30)(cid:26)(cid:168)∠𝑂(cid:169)𝐷(cid:80)𝐸(cid:114)(cid:161)(cid:162)(cid:68) ∠𝐷𝐸𝐹
(cid:15)(cid:182)(cid:174)∠(cid:19)𝐷(cid:174)𝐸𝐹(cid:10)(cid:145)(cid:50)(cid:94)(cid:313)(cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:64)
(cid:22)(cid:160)(cid:24)(cid:25) (cid:69)(cid:70)(cid:130) (cid:64)𝑂𝐷,𝑂𝐸
∵ 3𝐴6𝐵0°𝐶𝐷𝐸 ⊙𝑂
= =72°(cid:68)
5
∴∠𝐷𝑂=𝐸 (cid:64)
∵𝐷𝑂 𝐸𝑂= =54°(cid:68)
2
180°−72°
∴∠𝑂(cid:83)𝐷𝐸 (cid:29)(cid:226)(cid:217)(cid:64)
∵𝐷𝐹 ⊙=𝑂90°(cid:64)
∴∠𝑂𝐷𝐹= =36°(cid:68)
∴∠𝐸𝐷𝐹(cid:83)(cid:22)90(cid:160)°−(cid:24)5(cid:25)4° (cid:29)(cid:86)(cid:30)(cid:64)
∵∠𝐷𝐸𝐹 360° 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸
= =72°(cid:64)
5
∴∠𝐷𝐸=𝐹 = =72°(cid:68)
∴(cid:184)∠(cid:161)𝐹(cid:162)(cid:98)18(cid:10)0°7−2∠°(cid:68)𝐸𝐷𝐹−∠𝐷𝐸𝐹 180°−36°−72°
【题型4 正多边形的边长、半径与边心距的关系】
(cid:15)(cid:102)4(cid:19)(cid:74)24-25(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:133)·(cid:295)(cid:267)(cid:314)(cid:207)·(cid:208)(cid:209)(cid:89)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25) (cid:69)(cid:70)(cid:130) (cid:64) (cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:98) (cid:64)(cid:99)(cid:24)
(cid:44)(cid:46) (cid:29)(cid:35)(cid:98)(cid:74) (cid:89) 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 ⊙𝑂 ⊙𝑂 4𝜋
𝑂𝑀
3 1
A(cid:68) 3 B(cid:68) C(cid:68) D(cid:68)2 3
2 2
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19)A
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:36)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:36)(cid:315)(cid:41)(cid:168)(cid:169)(cid:36)(cid:316)(cid:317)(cid:168)(cid:169)(cid:36)(cid:63)(cid:24)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:29)(cid:265)(cid:168)(cid:42)(cid:200)(cid:201)(cid:91)
(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:64)(cid:57)(cid:58)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:83)(cid:63)(cid:24)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:26)(cid:279)(cid:109)(cid:315)(cid:41)(cid:168)(cid:169)(cid:176)(cid:114)(cid:83)(cid:174)(cid:278)(cid:39)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:104)(cid:68)
(cid:183)(cid:27)(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:176)(cid:114) = =2(cid:64)(cid:57)(cid:58) (cid:83)(cid:63)(cid:24)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:64)(cid:80)(cid:81) = = =2(cid:64)(cid:183)(cid:315)(cid:41)(cid:168)(cid:169)(cid:80)(cid:81)
1 𝑂𝐴 𝑂𝐵 △𝑂𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝑂𝐴 𝑂𝐵
= = =1(cid:64)(cid:177)(cid:183)(cid:316)(cid:317)(cid:168)(cid:169)(cid:176)(cid:114) (cid:90)(cid:113)(cid:68)
2
𝐴(cid:15)𝑀(cid:182)(cid:174)𝐵(cid:19)𝑀(cid:174)(cid:10)𝐴𝐵 (cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:98) (cid:64) 𝑂𝑀
∵⊙𝑂 4𝜋= =2
∴(cid:101)𝑂𝐴(cid:24)(cid:25)𝑂𝐵 (cid:98)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:64)
∵ 𝐴𝐵3𝐶60𝐷°𝐸𝐹
= =60°(cid:64)
6
∴∠𝐴𝑂𝐵 (cid:83)(cid:63)(cid:24)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:64)
∴△𝑂=𝐴𝐵 = =2
∴𝐴𝐵 𝑂𝐴(cid:64) 𝑂𝐵
∵𝑂𝑀⊥𝐴𝐵 1
= = =1(cid:64)
2
∴𝐴𝑀 𝐵𝑀 𝐴𝐵
= 2 1 = 3(cid:64)
2 2
∴(cid:184)𝑂(cid:185)𝑀(cid:10)A(cid:68) −
(cid:15)(cid:186)(cid:187)4-1(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:24)(cid:35)(cid:98)2(cid:29)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25) (cid:69)(cid:70)(cid:130) (cid:64)(cid:99)(cid:304)(cid:29)(cid:24)(cid:44)(cid:46)(cid:98) (cid:68)
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 ⊙𝑂
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19) 3
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:64)(cid:180)(cid:181)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:100)(cid:202)(cid:316)(cid:317)(cid:168)(cid:169)(cid:220)(cid:318)(cid:32)(cid:33)(cid:90)(cid:113)(cid:68)(cid:172)(cid:173)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)
(cid:100)(cid:202)(cid:316)(cid:317)(cid:168)(cid:169)(cid:83)(cid:174)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:104)(cid:68)
(cid:15)(cid:182)(cid:174)(cid:19)(cid:174)(cid:10)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:64) (cid:64)(cid:225)(cid:79) (cid:49) (cid:130)(cid:79) (cid:64)
𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑂 𝑂𝑀⊥𝐴𝐵 𝑀
(cid:24)(cid:35)(cid:98)2(cid:29)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25) (cid:69)(cid:70)(cid:130) (cid:64)
∵ 360° 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 ⊙𝑂
= =60°(cid:64) = (cid:64) =2(cid:64)
6
∴∠𝐴𝑂𝐵 (cid:83)(cid:63)(cid:24)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:64)𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝐴𝐵
∴△𝐴=𝑂𝐵 =2(cid:64)
∴𝑂𝐴 𝐴𝐵(cid:64)
∵𝑂𝑀⊥𝐴𝐵1 1
= = = ×2=1(cid:64)
2 2
∴(cid:132)𝐴R𝑀t 𝐵𝑀 (cid:43)(cid:64)𝐴𝐵 =2(cid:64) =1(cid:64)
△𝐴𝑂𝑀 𝑂𝐴 𝐴𝑀
= = 2 1 = 3(cid:64)
2 2 2 2
∴(cid:304)𝑂𝑀(cid:29)(cid:24)(cid:44)𝑂(cid:46)𝐴(cid:98)−𝐴3𝑀(cid:68) −
∴(cid:184)(cid:161)(cid:162)(cid:98)(cid:10) 3(cid:68)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)4-2(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25) (cid:69)(cid:70)(cid:130) (cid:64)(cid:79)P(cid:132) (cid:133)(cid:211)(cid:79)P(cid:42)(cid:79)A(cid:64)(cid:79)B(cid:138)(cid:319)(cid:56)(cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:64)
⏜
(cid:64) (cid:64)(cid:109)(cid:63)(cid:187)(cid:320)(cid:313) (cid:36) 𝐴(cid:36)𝐵𝐶𝐷𝐸(cid:321)𝐹(cid:322)(cid:29)(cid:117)(cid:110)⊙(cid:3)𝑂(cid:45)(cid:83) 𝐴𝐵(cid:68) 𝑃𝐴
𝑃𝐵 𝑃𝐶 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐶
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19) = + 3
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)𝑃(cid:164)𝐶(cid:20)(cid:165)𝑃(cid:167)𝐴(cid:166)(cid:22)(cid:23)𝑃𝐵(cid:24)(cid:25)(cid:42)(cid:27)(cid:64)(cid:323)(cid:63)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:29)(cid:265)(cid:168)(cid:26)(cid:200)(cid:201)(cid:64)(cid:27)(cid:34)(cid:30)(cid:168)(cid:169)(cid:64)(cid:63)(cid:199)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:64)(cid:174)(cid:52)(cid:30)
(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:64)(cid:22)(cid:153)(cid:324)(cid:49)(cid:114)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:83)(cid:174)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:104)(cid:68)
( )×180°
(cid:183)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25) (cid:69)(cid:70)(cid:130) (cid:64)(cid:80)(cid:81) = (cid:64) = =120°(cid:64)(cid:132) (cid:133)(cid:134)(cid:135) = (cid:64)(cid:180)(cid:181)
8
6−2
(cid:323)(cid:63)(cid:149)(cid:30)(cid:25)𝐴(cid:29)𝐵(cid:200)𝐶𝐷(cid:201)𝐸(cid:80)𝐹(cid:81) =⊙𝑂(cid:64) 𝐴𝐵= 𝐵𝐶 (cid:64)∠(cid:176)𝐴𝐵(cid:80)𝐶 = =30°(cid:64)(cid:225)𝑃𝐶(cid:49) 𝐶𝑄 (cid:130)𝐴𝑃(cid:64)(cid:180)(cid:181)(cid:52)
𝐵𝑄 𝐵𝑃 ∠𝐶𝐵𝑄3 ∠𝐴𝐵𝑃 ∠𝐵𝑃𝑄 ∠𝐵𝑄𝑃 𝐵 𝐵𝐻⊥𝑃𝑄 𝐻
(cid:30)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:80)(cid:81) = (cid:64) = (cid:64)(cid:176)(cid:80) = 3 (cid:64)(cid:63)(cid:110)(cid:325)(cid:326)(cid:80)(cid:81)(cid:238)(cid:280)(cid:68)
2
(cid:15)(cid:182)(cid:174)(cid:19)(cid:174)(cid:10) (cid:22)(cid:101)𝑃(cid:24)𝑄(cid:25) 2𝑃𝐻 𝑃(cid:69)𝐻(cid:70)(cid:130)𝑃𝐵 (cid:64) 𝑃𝑄 𝑃𝐵
∵ ( 𝐴)𝐵×𝐶18𝐷0°𝐸𝐹 ⊙𝑂
= (cid:64) = =120°(cid:64)
6
6−2
(cid:132)∴𝐴𝐵(cid:133)(cid:134)𝐵(cid:135)𝐶 ∠𝐴=𝐵𝐶 (cid:64)
(cid:132)𝑃𝐶 (cid:42)𝐶𝑄 𝐴(cid:43)𝑃 (cid:64)
△𝐴𝑃=𝐵 △𝐶𝑄𝐵
= (cid:64)
𝐴𝑃 =𝐶𝑄
∠𝑃𝐴𝐵 ∠𝑄𝐶𝐵
𝐴𝐵 𝐵𝐶 (SAS)(cid:64)
∴△𝐴𝑃=𝐵≌△(cid:64)𝐶𝑄𝐵 = (cid:64)
∴𝐵𝑄 𝐵=𝑃12∠0°𝐶(cid:64)𝐵𝑄 ∠𝐴𝐵𝑃
∵∠𝐴𝐵𝐶= + = + =120°(cid:64)
∴∠𝑃𝐵𝑄=∠𝑃𝐵𝐴 =∠3𝐴0°𝐵(cid:64)𝑄 ∠𝐴𝐵𝑄 ∠𝐶𝐵𝑄
(cid:225)∴∠(cid:49)𝐵𝑃𝑄 ∠𝐵𝑄(cid:130)𝑃 (cid:64)
𝐵 𝐵𝐻⊥𝑃𝑄 𝐻 3
= (cid:64) = (cid:64)
2
∴𝑃𝑄=2𝑃3𝐻 (cid:64)𝑃𝐻 𝑃𝐵
∴𝑃𝑄= 𝑃+𝐵 = + 3 (cid:64)
(cid:184)∴(cid:161)𝑃𝐶(cid:162)(cid:98)𝐶(cid:10)𝑄 𝑃=𝑄 𝐴+𝑃 3 𝑃(cid:68)𝐵
𝑃𝐶 𝐴𝑃 𝑃𝐵
(cid:15)(cid:186)(cid:187)4-3(cid:19)(cid:74)2025(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:191)·(cid:323)(cid:297)·(cid:327)(cid:20)(cid:171)(cid:198)(cid:89)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:328)(cid:229) (cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:63)(cid:130) cm(cid:64)(cid:99)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)
(cid:29)(cid:24)(cid:44)(cid:46) (cid:29)(cid:35)(cid:98) (cid:68) ⊙𝑂 8𝜋 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹
𝑂𝑀
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19)2 3cm
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:64)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:64)(cid:316)(cid:317)(cid:168)(cid:169)(cid:64)(cid:63)(cid:24)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:29)(cid:265)(cid:168)(cid:42)(cid:200)(cid:201)(cid:64)(cid:78)(cid:70)
(cid:36) (cid:64)(cid:183)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25) (cid:113)(cid:176)(cid:114) =60°(cid:64)(cid:57)(cid:58) (cid:83)(cid:63)(cid:24)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:64)(cid:220)(cid:221)(cid:113)(cid:176)(cid:114) =30°(cid:64)
𝑂𝐶 𝑂𝐷 1 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 ∠𝐶𝑂𝐷 3 △𝐶𝑂𝐷 ∠𝐶𝑂𝑀
(cid:99)(cid:28) = (cid:64)(cid:178)(cid:179)(cid:329)(cid:225)(cid:316)(cid:317)(cid:168)(cid:169)(cid:80) = (cid:64)(cid:97) = (cid:64)(cid:99) = (cid:64) = 3 (cid:64)(cid:177)(cid:183)(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:7)(cid:187)
2 2
(cid:176)(cid:114)𝐶(cid:29)𝑀(cid:60)(cid:90)𝑂(cid:113)𝐶(cid:64)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:229)(cid:230)(cid:79)(cid:29)(cid:243)𝑂(cid:109)𝑀(cid:83)(cid:174)(cid:20)𝑂(cid:29)𝐶(cid:3)(cid:104)𝑂(cid:68)𝐶 2𝑥 𝐶𝑀 𝑥 𝑂𝑀 𝑥
(cid:15)(cid:182)𝑥(cid:174)(cid:19)(cid:174)(cid:10)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:36) (cid:64)
𝑂𝐶 𝑂𝐷(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25) (cid:83)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:64)
∵ =6𝐴0𝐵°𝐶(cid:64)𝐷𝐸𝐹
∴∠𝐶𝑂=𝐷 (cid:64)
∵𝑂𝐶 𝑂(cid:83)𝐷 (cid:63)(cid:24)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:64)
∴△𝐶𝑂𝐷 (cid:64)
∵𝑂𝑀⊥𝐶𝐷1
= =30°(cid:64) =90°(cid:64)
2
∴∠𝐶𝑂𝑀 ∠𝐶𝑂𝐷 ∠𝐶𝑀𝑂
1
= (cid:64)
2
∴𝐶𝑀 𝑂𝐶
(cid:183)(cid:316)(cid:317)(cid:168)(cid:169)(cid:80)(cid:10) = + (cid:64)
2 2 2
1 𝑂𝐶 𝐶𝑀 𝑂𝑀
= + (cid:64)
2 2
2 2
∴𝑂𝐶
3
𝑂𝐶 𝑂𝑀
= (cid:64)
2
(cid:97)∴𝑂𝑀 = 𝑂(cid:64)𝐶(cid:99) = (cid:64) = 3 (cid:64)
𝑂𝐶 (cid:29)2(cid:34)𝑥(cid:35)(cid:63)𝐶(cid:130)𝑀 cm𝑥(cid:64)𝑂𝑀 𝑥
∵⊙×𝑂 = (cid:64)(cid:174)8𝜋(cid:80)(cid:10) =2(cid:64)
∴2𝜋 =2𝑥3 8=𝜋2 3(cid:64) 𝑥
(cid:184)∴𝑂(cid:161)𝑀(cid:162)(cid:98)(cid:10)𝑥2 3cm(cid:68)
【题型5 正多边形和圆有关的尺规作图问题】
(cid:15)(cid:102)5(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:132) O(cid:43)(cid:64)MF(cid:98)(cid:52)(cid:41)(cid:64)OA MF(cid:64)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:160)(cid:24)(cid:25)ABCDE(cid:29)(cid:235)(cid:72)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:128)(cid:129)(cid:145)(cid:191)(cid:10)
(cid:49)(cid:114)(cid:40)(cid:41)OF(cid:29)⊙(cid:43)(cid:79)H(cid:68) ⊥
①(cid:100)(cid:79)H(cid:98)(cid:27)(cid:44)(cid:64)HA(cid:98)(cid:40)(cid:41)(cid:49)(cid:27)(cid:131)(cid:64)(cid:155)(cid:52)(cid:41)MF(cid:130)(cid:79)G(cid:68)
②AG(cid:35)(cid:90)(cid:98)(cid:22)(cid:160)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:24)(cid:35)(cid:36)(cid:76)(cid:77)(cid:49)(cid:114)(cid:61)(cid:63)(cid:72)(cid:79)B(cid:64)C(cid:64)D(cid:64)E(cid:68)
(cid:328)③(cid:229) O(cid:29)(cid:40)(cid:41)R(cid:330)2(cid:64)(cid:99)AB2(cid:330) (cid:68)(cid:74)(cid:238)(cid:331)(cid:332)(cid:286)(cid:180)(cid:9)(cid:89)
⊙(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19) 5
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)1(cid:78)0(cid:70)−2AG(cid:64)(cid:183)(cid:49)(cid:50)(cid:113)(cid:229)(cid:64)OA(cid:330)2(cid:64)H(cid:98)OF(cid:43)(cid:79)(cid:64)(cid:113)(cid:176)OH==1(cid:64)(cid:183)(cid:316)(cid:317)(cid:168)(cid:169)(cid:80)AH(cid:330)
+ = 5(cid:64)(cid:113)(cid:176)OG(cid:330) 5﹣1(cid:64)(cid:183)(cid:316)(cid:317)(cid:168)(cid:169)AB2(cid:330)AG2(cid:330)OA2+OG2(cid:330)4+(cid:74) 5﹣1(cid:89)2(cid:330)10﹣2 5(cid:90)(cid:113)(cid:68)
2 2
(cid:15)𝑂(cid:182)𝐴(cid:174)(cid:19)𝑂(cid:174)𝐻(cid:10)(cid:78)(cid:70)AG(cid:64)(cid:183)(cid:49)(cid:50)(cid:113)(cid:229)(cid:64)OA(cid:330)2(cid:64)OH(cid:330)1(cid:64)H(cid:98)OF(cid:43)(cid:79)(cid:64)
OH= 1 = 1 ×2=1(cid:64)
2 2
∴ 𝑂𝐹
(cid:132)Rt OAH(cid:43)(cid:64)(cid:183)(cid:316)(cid:317)(cid:168)(cid:169)
AH(cid:330)△ + = 2 +1 = 5(cid:64)
2 2 2 2
∴ 𝑂𝐴 𝑂𝐻
AH(cid:330)HG(cid:330) 5(cid:64)
∵OG(cid:330)GH﹣OH(cid:330) 5﹣1(cid:64)
(cid:132)∴ Rt AOG(cid:43)(cid:64)(cid:183)(cid:316)(cid:317)(cid:168)(cid:169)(cid:80)(cid:64)
AB2(cid:330)△AG2(cid:330)OA2+OG2(cid:330)4+(cid:74) 5﹣1(cid:89)2(cid:330)10﹣2 5(cid:68)
(cid:184)∴ (cid:161)(cid:162)(cid:98)(cid:10)10﹣2 5(cid:68)
(cid:15)(cid:79)(cid:306)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:160)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:107)(cid:108)(cid:42)(cid:128)(cid:129)(cid:64)(cid:217)(cid:197)(cid:315)(cid:52)(cid:51)(cid:72)(cid:217)(cid:64)(cid:316)(cid:317)(cid:168)(cid:169)(cid:64)(cid:49)(cid:27)(cid:131)(cid:64)(cid:172)(cid:173)(cid:27)(cid:69)
(cid:70)(cid:22)(cid:160)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:107)(cid:108)(cid:42)(cid:128)(cid:129)(cid:64)(cid:217)(cid:197)(cid:315)(cid:52)(cid:51)(cid:72)(cid:217)(cid:64)(cid:316)(cid:317)(cid:168)(cid:169)(cid:64)(cid:49)(cid:27)(cid:131)(cid:29)(cid:107)(cid:108)(cid:83)(cid:174)(cid:20)(cid:3)(cid:104)(cid:68)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)5-1(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:328)(cid:229) O(cid:64)(cid:109)(cid:47)(cid:48)(cid:49) O(cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:146)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:68)(cid:74)(cid:333)(cid:114)(cid:238)(cid:280)(cid:64)(cid:138)(cid:333)(cid:49)(cid:108)(cid:64)(cid:332)(cid:286)(cid:49)(cid:50)(cid:334)(cid:335)(cid:64)
(cid:336)(cid:71)(cid:49)(cid:50)(cid:334)(cid:335)(cid:109)(cid:337)(cid:338)(cid:339)(cid:340)⊙(cid:341)(cid:342)(cid:337)(cid:89) ⊙(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19)(cid:161)(cid:162)(cid:343)(cid:174)(cid:163)(cid:68)
(cid:15)(cid:182)(cid:174)(cid:19)(cid:103)(cid:27)(cid:29)(cid:93)(cid:136)(cid:52)(cid:41)AC(cid:64)(cid:49)(cid:84)(cid:136)(cid:52)(cid:41)(cid:29)(cid:43)(cid:315)(cid:217)(cid:155) O(cid:130)(cid:79)BD(cid:64)(cid:78)(cid:238)ABCD(cid:82)(cid:83)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:146)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:68)
(cid:344)(cid:20)(cid:174)(cid:163)(cid:10)(cid:145)(cid:50)(cid:94)(cid:313)(cid:64)(cid:146)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:90)(cid:98)(cid:94)(cid:176)(cid:10) ⊙
(cid:15)(cid:186)(cid:187)5-2(cid:19)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:10)(cid:145)(cid:50)(cid:64)AD(cid:98) O(cid:29)(cid:52)(cid:41)(cid:345)
⊙
(1)(cid:176)(cid:49)(cid:10) O(cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)ABCDEF.((cid:228)(cid:176)(cid:10)(cid:138)(cid:333)(cid:49)(cid:108),(cid:332)(cid:286)(cid:49)(cid:50)(cid:334)(cid:335))(cid:91)
(2)(cid:328)(cid:229)(cid:78)⊙(cid:70)DF(cid:64) O(cid:29)(cid:40)(cid:41)(cid:98)4(cid:64)(cid:176)DF(cid:29)(cid:35)(cid:345)
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19)(cid:74)1(cid:89)(cid:343)(cid:174)⊙(cid:163)(cid:91)(cid:74)2(cid:89)4 3
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:74)1(cid:89)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:132) O(cid:133)(cid:76)(cid:77)(cid:134)(cid:135)(cid:101)(cid:197)(cid:346)(cid:64)(cid:347)(cid:304)(cid:348)(cid:311)(cid:63)(cid:130)OA(cid:64)(cid:349)(cid:221)(cid:80)(cid:81)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)ABCDEF(cid:91)
(cid:74)2(cid:89)(cid:78)(cid:70)OF(cid:64)(cid:113)(cid:80) O⊙FE(cid:83)(cid:63)(cid:24)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:64)(cid:24)(cid:35)(cid:98)4(cid:64)(cid:113)(cid:176)(cid:80) OEF=60°(cid:64) DFE=30°(cid:64)(cid:97)BE(cid:42)DF(cid:155)(cid:130)G
(cid:79)(cid:64)(cid:113)(cid:80) FGE=90°(cid:64)△(cid:90)(cid:113)(cid:176)(cid:80)FG(cid:29)(cid:35)(cid:64)(cid:220)(cid:221)(cid:176)(cid:80)FD(cid:29)(cid:35). ∠ ∠
(cid:15)(cid:182)(cid:174)(cid:19)∠(cid:74)1(cid:89)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)ABCDEF(cid:98)(cid:94)(cid:49)(cid:91)(cid:74)2(cid:89)(cid:78)(cid:70)OF(cid:64)(cid:97)BE(cid:42)DF(cid:155)(cid:130)G(cid:79)
(cid:101)(cid:24)(cid:25)ABCDEF(cid:98)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)
∵ FOE=60°(cid:64)DF=DE(cid:64) DEF=120°
∴∠DFE=30° ∠
∴O∠E=OF
∵ FOE(cid:98)(cid:63)(cid:24)(cid:149)(cid:30)(cid:25)
∴E△F=OE=4(cid:64) OEF=60°
∴ FGE=90° ∠
∴∠ 1
EG= OE=2
2
∴
FG= =2 3
2 2
∴FD=2F𝐸G𝐹=4−𝐸3𝐺
∴(cid:15)(cid:79)(cid:306)(cid:19)(cid:264)(cid:20)(cid:227)(cid:228)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:350)(cid:351)(cid:49)(cid:50)(cid:202)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:64)(cid:3)(cid:104)(cid:83)(cid:172)(cid:173)(cid:27)(cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:24)(cid:35)(cid:63)(cid:130)(cid:27)(cid:29)(cid:40)(cid:41)(cid:68)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)5-3(cid:19)(cid:132)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25) (cid:43)(cid:64) (cid:64) (cid:72)(cid:154)(cid:155) (cid:130)(cid:79)H(cid:64)G(cid:68)
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 𝐴𝐶 𝐸𝐶 𝐵𝐷(1)(cid:145)(cid:50)①(cid:64)(cid:176)(cid:57)(cid:10)(cid:79)H(cid:64)G(cid:149)(cid:63)(cid:72) (cid:68)
(2)(cid:145)(cid:50)②(cid:64)(cid:352)(cid:49)(cid:336)(cid:57)(cid:58)(cid:68) 𝐵𝐷
①(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:10)(cid:225)(cid:79)O(cid:49) (cid:29)(cid:315)(cid:217)(cid:64)(cid:315)(cid:353)(cid:98)K(cid:64)(cid:100)(cid:79)O(cid:98)(cid:27)(cid:44)(cid:64) (cid:29)(cid:35)(cid:98)(cid:40)(cid:41)(cid:49)(cid:27)(cid:91)(cid:74)(cid:132)(cid:50)②(cid:43)(cid:354)(cid:73)(cid:49)(cid:50)(cid:64)
(cid:332)(cid:286)(cid:49)(cid:50)(cid:334)(cid:335)(cid:64)(cid:138)(cid:355)(cid:228)(cid:333)𝐴(cid:49)𝐶 (cid:108)(cid:89) 𝑂𝐾
②(cid:176)(cid:57)(cid:10) (cid:83)①(cid:94)(cid:49)(cid:27)(cid:29)(cid:226)(cid:217)(cid:68)
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19)(1𝐶)𝐸(cid:343)(cid:174)(cid:163)
(2)①(cid:343)(cid:174)(cid:163)(cid:91)②(cid:343)(cid:174)(cid:163)
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:74)1(cid:89)(cid:183)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:57)(cid:58) = = = (cid:64)(cid:113)(cid:80) (cid:64)(cid:177)
(cid:57)(cid:58) (cid:83)(cid:63)(cid:24)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:64)(cid:349)(cid:221)(cid:113)(cid:80)(cid:238)∠𝐶(cid:280)𝐷(cid:91)𝐺 ∠𝐶𝐵𝐻,𝐶𝐷 𝐶𝐵,∠𝐷𝐶𝐺 ∠𝐵𝐶𝐻 △𝐶𝐷𝐺≌△𝐶𝐵𝐻
(cid:74)2(cid:89)△①𝐶(cid:356)𝐺𝐻(cid:357)(cid:20)(cid:358)(cid:29)(cid:228)(cid:176)(cid:49)(cid:217)(cid:197) (cid:29)(cid:315)(cid:52)(cid:51)(cid:72)(cid:217)(cid:64)(cid:177)(cid:49)(cid:27)(cid:90)(cid:113)(cid:91)②(cid:225)(cid:79)O(cid:49) (cid:64)(cid:315)(cid:353)(cid:98)P(cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:64)
(cid:57)(cid:58) = =30°(cid:68)(cid:238)(cid:56)𝐴𝐶 (cid:64) (cid:64) = (cid:68)(cid:349)(cid:221)(cid:113)(cid:80)(cid:238)𝑂(cid:280)𝑃(cid:91)⊥𝐶𝐸 𝑂𝐶
(cid:15)(cid:182)∠(cid:174)𝑃(cid:19)𝐶𝑂(cid:74)1(cid:89)∠(cid:57)𝐾𝐶(cid:58)𝑂(cid:10)(cid:132)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:22)𝑂(cid:101)𝐾(cid:24)⊥(cid:25)𝐴𝐶 𝑂𝑃⊥(cid:43)𝐶𝐸(cid:64) 𝑂𝑃 𝑂𝐾
= = = = = 𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐸𝐹120°(cid:64)
𝐶𝐷 𝐵𝐶= 𝐴𝐵 =𝐷𝐸,∠𝐶𝐷=𝐸 ∠𝐷𝐶=𝐵 30∠°(cid:64)𝐴𝐵𝐶
∴∠𝐶𝐷𝐵= ∠𝐶𝐵𝐷 ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸 = = (cid:68)
∴(cid:132)∠𝐴𝐶𝐸 (cid:26)120°−30°(cid:43)−3(cid:64)0° 60°,𝐶𝐺 𝐷𝐺,𝐶𝐻 𝐵𝐻
△𝐶=𝐷𝐺 △𝐶𝐵𝐻= = (cid:64)
∠𝐶𝐷𝐺 ∠𝐶𝐵𝐻,𝐶𝐷(cid:68) 𝐶𝐵,∠𝐷𝐶𝐺 ∠𝐵𝐶𝐻
∴△𝐶=𝐷𝐺≌(cid:68)△𝐶𝐵𝐻
∴𝐶𝐺 𝐶𝐻(cid:83)(cid:63)(cid:24)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:64)
∴△𝐶=𝐺𝐻 = = = (cid:68)
∴(cid:79)𝐶𝐺H(cid:64)𝐻G𝐺(cid:149)(cid:63)𝐷𝐺(cid:72) 𝐶(cid:68)𝐻 𝐵𝐻
(cid:74)∴ 2(cid:89)①(cid:174)(cid:10)(cid:145)(cid:50)𝐵(cid:64)𝐷(cid:90)(cid:98)(cid:94)(cid:176)(cid:49)(cid:68)②(cid:57)(cid:58)(cid:10)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:225)(cid:79)O(cid:49) (cid:64)(cid:315)(cid:353)(cid:98)P(cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:64)(cid:99) = =60°(cid:68)
(cid:183)(cid:74)1(cid:89)(cid:229)(cid:64) = 𝑂=𝑃⊥30𝐶°𝐸(cid:64) 𝑂𝐶 ∠𝐷𝐶𝑂 ∠𝐵𝐶𝑂
= ∠𝐸𝐶=𝐷 30∠°(cid:68)𝐴𝐶𝐵
∴∠𝑃𝐶𝑂 (cid:64)∠𝐾𝐶𝑂 (cid:64)
∵𝑂𝐾=⊥𝐴𝐶(cid:68)𝑂𝑃⊥𝐶𝐸
∴𝑂CE𝑃(cid:83)①𝑂𝐾(cid:94)(cid:49)(cid:27)(cid:29)(cid:226)(cid:217)(cid:68)
∴(cid:15)(cid:79)(cid:306)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:29)(cid:83)(cid:323)(cid:63)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:29)(cid:265)(cid:168)(cid:42)(cid:200)(cid:201)(cid:64)(cid:63)(cid:199)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:64)(cid:27)(cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:64)(cid:226)(cid:217)(cid:29)(cid:265)
(cid:168)(cid:64)(cid:49)(cid:217)(cid:197)(cid:29)(cid:315)(cid:52)(cid:51)(cid:72)(cid:217)(cid:64)(cid:172)(cid:173)(cid:100)(cid:133)(cid:359)(cid:360)(cid:229)(cid:230)(cid:83)(cid:174)(cid:164)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:104)(cid:68)
【题型6 正多边形和圆与平面直角坐标系的综合】
(cid:15)(cid:102)6(cid:19)(cid:132)(cid:205)(cid:361)(cid:362)(cid:363)(cid:364)(cid:365)(cid:366)(cid:187)(cid:26)(cid:367)(cid:366)(cid:187)(cid:43)(cid:64)(cid:93)(cid:368)“(cid:369)(cid:370)”(cid:29)(cid:184)(cid:371)(cid:372)(cid:373)(cid:167)“(cid:374)(cid:375)(cid:119)(cid:284)(cid:64)(cid:376)(cid:191)(cid:93)(cid:377)”(cid:29)(cid:227)(cid:20)(cid:64)(cid:378)(cid:374)(cid:375)
(cid:379)(cid:8)(cid:257)(cid:380)(cid:167)(cid:43)(cid:297)(cid:381)(cid:29)(cid:382)(cid:383)(cid:64)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:328)(cid:229)“(cid:369)(cid:370)”(cid:50)(cid:162)(cid:74)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25) (cid:89)(cid:29)(cid:24)(cid:35)(cid:83)4(cid:68)
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹
(cid:74)1(cid:89)(cid:145)(cid:50)1(cid:64)(cid:49)(cid:114)“(cid:369)(cid:370)”(cid:50)(cid:162)(cid:29)(cid:86)(cid:70)(cid:27)(cid:64)(cid:99) (cid:35)(cid:98) (cid:91)
(cid:74)2(cid:89)(cid:145)(cid:50)2(cid:64)(cid:140)“(cid:369)(cid:370)”(cid:50)(cid:162)(cid:384)(cid:132)(cid:51)(cid:37)(cid:52)(cid:30)(cid:53)𝐵(cid:54)𝐶(cid:45)(cid:43)(cid:64)(cid:214) (cid:42) (cid:385)(cid:315)(cid:52)(cid:64)(cid:386)(cid:79) (cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:98)( )(cid:64)(cid:99)(cid:386)(cid:79) (cid:29)
(cid:53)(cid:54)(cid:98) (cid:68) 𝐴𝐵 𝑥 𝐴 2,−3 𝐶
4
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19) 3,3
3
π 2−2
360°
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:74)1(cid:89)(cid:145)(cid:50)1(cid:64)(cid:387)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25) (cid:86)(cid:70)(cid:27)(cid:29)(cid:27)(cid:44)(cid:98)(cid:79) (cid:64)(cid:183)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:80) = =60°(cid:64)
6
(cid:83)(cid:63)(cid:24)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:64)(cid:90)(cid:113)(cid:80)(cid:27)(cid:29)𝐴(cid:40)𝐵𝐶(cid:41)𝐷(cid:63)𝐸𝐹(cid:130)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:24)(cid:35)(cid:64) 𝑂 (cid:177) 1 (cid:180)(cid:181)(cid:176)(cid:131)(cid:7)(cid:187)(cid:176)(cid:174)∠(cid:90)𝐵𝑂(cid:113) 1 (cid:91)𝐶
(cid:74)△2𝑂(cid:89)1𝐵(cid:145)𝐶(cid:50)2(cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:155) (cid:130)(cid:79) (cid:64) (cid:155) (cid:385)(cid:130)(cid:79) (cid:64)(cid:183)(cid:74)1(cid:89)(cid:80)(cid:27)(cid:29)(cid:40)(cid:41)(cid:63)(cid:130)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:24)(cid:35)(cid:64)(cid:90)(cid:113)(cid:80)(cid:146)(cid:24)
𝐵𝐷 𝐶𝐹 𝐺 𝐴𝐵 𝑥 𝐻 1
(cid:25) (cid:83)(cid:388)(cid:25)(cid:64)(cid:146)(cid:24)(cid:25) (cid:83)(cid:388)(cid:25)(cid:64)(cid:180)(cid:181)(cid:388)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:64)(cid:113)(cid:80) (cid:64) = = (cid:64) (cid:64)
2
(cid:220)𝑂(cid:221)𝐵(cid:80)𝐶𝐷(cid:81) (cid:385)(cid:64) 𝑂1 (cid:385)𝐴𝐵(cid:64)𝐶(cid:203)(cid:109)(cid:316)(cid:317)(cid:168)(cid:169)(cid:176)(cid:114) (cid:29)(cid:60)(cid:64)(cid:177)(cid:180) 𝑂 (cid:181) 1 𝐶(cid:79)⊥𝐵(cid:53)𝐷(cid:54)(cid:176)𝐶𝐺(cid:114) 𝑂(cid:64) 1𝐺 (cid:29)𝑂(cid:60) 1𝐶(cid:64)(cid:178) 𝑂1 (cid:179)𝐶∥(cid:79)𝐴𝐵(cid:29)
(cid:389)(cid:53)(cid:54)(cid:98)𝑂1 𝐶+⊥𝑥 (cid:29)(cid:60)𝐵(cid:64)𝐺∥(cid:390)𝑥(cid:53)(cid:54)(cid:98) (cid:29)(cid:60)𝐵(cid:64)𝐺(cid:90)(cid:113)(cid:80)(cid:114)(cid:161)(cid:162)(cid:68)𝐴 𝑂𝐻 𝐵𝐻 𝐶
(cid:15)(cid:182)(cid:174)(cid:19)𝐶(cid:174)𝐻(cid:10)(cid:74)𝐵1𝐻(cid:89)(cid:145)(cid:50)1(cid:64)(cid:387)(cid:22)(cid:101)−(cid:24)(𝐵(cid:25)𝐺−𝑂𝐻) (cid:86)(cid:70)(cid:27)(cid:29)(cid:27)(cid:44)(cid:98)(cid:79) (cid:64)
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹
𝑂1(cid:369)(cid:370)(cid:83)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:64)
∵ 360°
(cid:94)(cid:95)(cid:29)(cid:27)(cid:44)(cid:30) = =60°(cid:64)
6
∴ 𝐵𝐶 = (cid:64) ∠𝐵𝑂1𝐶
∵ 𝑂1𝐵 𝑂(cid:83)1𝐶(cid:63)(cid:24)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:64)
∴ △𝑂1=𝐵𝐶 = =4(cid:64)
∴ 𝑂1𝐵1 𝑂1𝐶 𝐵𝐶4
= × ×4= (cid:64)
6 3
∴ 𝐵𝐶 42𝜋 𝜋
(cid:184)(cid:161)(cid:162)(cid:98)(cid:10) (cid:91)
3
(cid:74)2(cid:89)(cid:145)(cid:50)2(cid:64)𝜋(cid:78)(cid:70) (cid:155) (cid:130)(cid:79) (cid:64) (cid:155) (cid:385)(cid:130)(cid:79) (cid:64)
𝐵𝐷 𝐶𝐹 𝐺 𝐴𝐵 𝑥 𝐻
(cid:183)(cid:74)1(cid:89)(cid:80)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25) (cid:86)(cid:70)(cid:27)(cid:29)(cid:40)(cid:41)(cid:63)(cid:130)(cid:301)(cid:24)(cid:35)(cid:64)
∵(cid:146)(cid:24)(cid:25) (cid:83)(cid:388)(cid:25)𝐴(cid:64)𝐵(cid:146)𝐶𝐷(cid:24)𝐸(cid:25)𝐹 (cid:83)(cid:388)(cid:25)(cid:64)
∴ 𝑂𝐵𝐶𝐷 1
𝑂1
𝐴𝐵1𝐶
(cid:64) = = = ×4=2(cid:64) (cid:64)
2 2
∴ 𝑂1𝐶⊥𝐵(cid:385)𝐷(cid:64)𝐶𝐺 𝑂1𝐺 𝑂1𝐶 𝑂1 𝐶∥𝐴𝐵
∵ 𝐴𝐵⊥𝑥 (cid:385)(cid:64) (cid:385)(cid:64)
∴ 𝑂1𝐶⊥𝑥 𝐵𝐺∥𝑥
(cid:132)Rt (cid:43)(cid:64) = = 4 2 =2 3(cid:64)
2 2 2 2
(cid:79)△(cid:53)𝐵(cid:54)𝐶𝐺(cid:98)( 𝐵𝐺)(cid:64) 𝐵𝐶 −𝐶𝐺 −
∵ 𝐴 =3(cid:64) 2,−=3 2(cid:64)
∴ 𝐴𝐻= 𝑂𝐻= =1(cid:64)
∴𝐵𝐻 𝐴𝐵−𝐴𝐻 4−3(cid:79) (cid:29)(cid:390)(cid:53)(cid:54) = = 3 = 3(cid:64)
(cid:79)∴ (cid:29)𝐶(cid:389)(cid:53)(cid:54) 𝑥= 𝐶 −+(𝐵𝐺−=𝑂𝐻1)+2−=(23(cid:64)−2) 2−2
𝐶(cid:79)
(cid:53)(cid:54)(cid:98)𝑦𝐶
𝐵3𝐻,3)(cid:64)𝐶𝐺
(cid:184)∴(cid:161)(cid:162)𝐶 (cid:98)(cid:10) (2−23,3)(cid:68)
(cid:15)(cid:79)(cid:306)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(2−(cid:165)2(cid:166)(cid:167)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:42)(cid:86)(cid:70)(cid:27)(cid:29)(cid:3)(cid:45)(cid:64)(cid:176)(cid:131)(cid:29)(cid:35)(cid:31)(cid:64)(cid:316)(cid:317)(cid:168)(cid:169)(cid:64)(cid:174)(cid:20)(cid:3)(cid:104)(cid:83)(cid:172)(cid:173)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:64)
(cid:131)(cid:35)(cid:7)(cid:187)(cid:64)(cid:56)(cid:169)(cid:391)(cid:392)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:219)(cid:52)(cid:30)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:64)(cid:203)(cid:109)(cid:316)(cid:317)(cid:168)(cid:169)(cid:176)(cid:217)(cid:197)(cid:35)(cid:31)(cid:64)(cid:336)(cid:203)(cid:109)(cid:217)(cid:197)(cid:35)(cid:31)(cid:176)(cid:79)(cid:53)(cid:54)(cid:68)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)6-1(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:132)(cid:51)(cid:37)(cid:52)(cid:30)(cid:53)(cid:54)(cid:45)(cid:43)(cid:64)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25) (cid:29)(cid:24)(cid:35)(cid:83)2(cid:64)(cid:99)(cid:304)(cid:29)(cid:86)(cid:70)(cid:27)(cid:27)(cid:44) (cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:83) (cid:68)
𝑂𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 𝑃
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19) 1, 3 .
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:225)(cid:79)P(cid:49)PF OA(cid:64)(cid:315)(cid:353)(cid:98)F(cid:64)(cid:32)(cid:33)PF(cid:64)OF(cid:29)(cid:35)(cid:31)(cid:90)(cid:113).
(cid:15)(cid:182)(cid:174)(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:225)(cid:79)⊥P(cid:49)PF OA(cid:64)(cid:315)(cid:353)(cid:98)F(cid:64)
(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25) (cid:29)(cid:24)(cid:35)(cid:83)⊥2(cid:64)
∵OA=2(cid:64) O𝑂P𝐴A𝐵=𝐶6𝐷0°𝐸(cid:64)
∴OP=2(cid:64)∠OPF=30°(cid:64)
∴OF=1(cid:64)P∠F= 3(cid:64)
∴(cid:79)P(cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:98)(cid:74)1(cid:64) 3(cid:89)(cid:64)
(cid:184)∴ (cid:161)(cid:162)(cid:98)(cid:10)(cid:74)1(cid:64) 3(cid:89).
(cid:15)(cid:79)(cid:306)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:64)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:24)(cid:35)(cid:63)(cid:130)(cid:86)(cid:70)(cid:27)(cid:29)(cid:40)(cid:41)(cid:64)(cid:43)(cid:44)(cid:30)(cid:98)60°(cid:83)(cid:174)(cid:20)(cid:29)
(cid:3)(cid:104).
(cid:15)(cid:186)(cid:187)6-2(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:140)(cid:69)(cid:70)(cid:130) O(cid:29)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)ABCDEF(cid:384)(cid:132)(cid:52)(cid:30)(cid:53)(cid:54)(cid:45)(cid:43)(cid:64)(cid:27)(cid:44)O(cid:42)(cid:53)(cid:54)(cid:393)(cid:79)(cid:319)(cid:56)(cid:64)(cid:214)A(cid:79)
(cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:98)(cid:74)﹣1，0(cid:89)(cid:64)(cid:99)(cid:50)(cid:43)⊙(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:72)(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:98) (cid:74)(cid:238)(cid:331)(cid:332)(cid:286) (cid:180)(cid:9)(cid:89)3
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19)
4
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:78)(cid:70)BO(cid:64)CO(cid:64)(cid:99)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:72)(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:63)(cid:130) OBC(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:64)(cid:178)(cid:179)(cid:183)(cid:101)(cid:24)(cid:25)ABCDEF(cid:98)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:80)(cid:81) OBC
(cid:98)(cid:63)(cid:24)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:64)(cid:178)(cid:179)(cid:176)(cid:80) OBC(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:90)(cid:113)(cid:68)△ △
(cid:15)(cid:182)(cid:174)(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:78)(cid:70)BO(cid:64)△CO(cid:68)
(cid:101)(cid:24)(cid:25)ABCDEF(cid:98)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:64)
∵ OBC(cid:83)(cid:63)(cid:24)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:68)
∴A△(cid:79)(cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:98)(cid:74)−1(cid:64)0(cid:89)(cid:64)
∵OA(cid:330)1(cid:68)
∴BC(cid:330)1(cid:68)
∴OB(cid:330)OC(cid:64)OD BC(cid:64)
∵ ⊥ 1
BOD(cid:330) COD(cid:330)30°(cid:64)BD(cid:330)DC(cid:330) (cid:64)
2
∴∠ ∠
3
OD(cid:330) 3BD(cid:330) (cid:68)
2
∴ 1 3 3
(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:72)(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:330)S (cid:330) ×1× (cid:330) (cid:68)
OBC 2 2 4
△
∴
3
(cid:184)(cid:161)(cid:162)(cid:98) .
4
(cid:15)(cid:79)(cid:306)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(cid:227)(cid:228)(cid:165)(cid:166)(cid:29)(cid:83)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:64)(cid:174)(cid:161)(cid:164)(cid:20)(cid:227)(cid:228)(cid:243)(cid:109)(cid:167)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:36)(cid:63)(cid:24)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:64)(cid:394)
(cid:373)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:72)(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:63)(cid:130) OBC(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:83)(cid:174)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:104)(cid:68)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)6-3(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64) O△(cid:29)(cid:40)(cid:41)(cid:98)2(cid:64)(cid:27)(cid:44)O(cid:132)(cid:53)(cid:54)(cid:393)(cid:79)(cid:64)(cid:22)(cid:107)(cid:25)ABCD(cid:29)(cid:24)(cid:35)(cid:98)2(cid:64)(cid:79)A(cid:36)B(cid:132)(cid:395)(cid:150)(cid:303)(cid:142)(cid:64)
(cid:79)C(cid:36)D(cid:132) O(cid:133)(cid:64)⊙(cid:211)(cid:79)D(cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:98)(cid:74)0(cid:64)2(cid:89)(cid:64)(cid:373)(cid:140)(cid:22)(cid:107)(cid:25)ABCD(cid:396)(cid:79)C(cid:356)(cid:397)(cid:120)(cid:398)(cid:107)(cid:399)(cid:400)(cid:401)150°(cid:64)(cid:79)B(cid:279)
⊙(cid:402)(cid:81)(cid:167) O(cid:133)(cid:29)(cid:79)B (cid:403)(cid:64)(cid:79)A(cid:36)D(cid:72)(cid:154)(cid:279)(cid:402)(cid:81)(cid:167)(cid:79)A (cid:36)D (cid:403)(cid:64)(cid:90)(cid:80)(cid:81)(cid:22)(cid:107)(cid:25)A B C D(cid:74)(cid:79)C (cid:42)C(cid:319)(cid:56)(cid:89)(cid:91)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:177)(cid:140)(cid:22)(cid:107)⊙(cid:25)A B C D (cid:396)(cid:79)B (cid:356)(cid:397)(cid:120)(cid:398)(cid:107)(cid:399)(cid:400)(cid:401)150°(cid:64)(cid:79)A (cid:279)(cid:402)(cid:81)(cid:167) O(cid:133)(cid:29)(cid:79)A (cid:403)(cid:64)(cid:79)D (cid:36)C (cid:72)(cid:154)(cid:279)
1 1 1 1 1 1 2 1 1
(cid:402)(cid:81)(cid:167)(cid:79)D (cid:36)C (cid:403)(cid:64)(cid:90)(cid:80)(cid:81)(cid:22)(cid:107)(cid:25)A B C D (cid:74)(cid:79)B (cid:42)B (cid:319)(cid:56)(cid:89)(cid:64)…(cid:64)⊙(cid:356)(cid:133)(cid:404)(cid:107)(cid:108)(cid:400)(cid:401)2020(cid:77)(cid:179)(cid:64)(cid:79)A
2 2 2 2 2 2 2 1 2020
(cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:98) (cid:68)
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19)(cid:74)2+ 3(cid:64)﹣1(cid:89)
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:183)(cid:20)(cid:116)(cid:394)(cid:373)(cid:400)(cid:401)12(cid:77)(cid:93)(cid:85)(cid:405)(cid:406)(cid:64)(cid:183)2020÷12(cid:330)168(cid:407)(cid:117)(cid:98)4(cid:64)(cid:408)(cid:114)A (cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:42)A (cid:62)(cid:284)(cid:64)(cid:183)(cid:264)(cid:90)
2020 4
(cid:113)(cid:174)(cid:278)(cid:39)(cid:20)
(cid:15)(cid:182)(cid:174)(cid:19)(cid:174)(cid:10)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:183)(cid:20)(cid:116)(cid:394)(cid:373)12(cid:77)(cid:93)(cid:85)(cid:405)(cid:406)(cid:64)
2020÷12(cid:330)168(cid:407)(cid:117)(cid:98)4(cid:64)
∵A (cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:42)A (cid:62)(cid:284)(cid:64)
2020 4
∴ O(cid:29)(cid:40)(cid:41)(cid:98)2(cid:64)(cid:22)(cid:107)(cid:25)ABCD(cid:29)(cid:24)(cid:35)(cid:98)2(cid:64)
∵⊙ =2(cid:64) =1(cid:64)
(cid:294)∴𝑂𝐶4 =𝐸9𝐶04°(cid:64)
∵∠𝑂𝐸𝐶4
= = 2 1 = 3(cid:64)
2 2 2 2
∴𝑂𝐸=2 𝑂 + 𝐶4 3 −(cid:64)𝐸𝐶4 −
∴A𝑂(cid:74)𝐹2+ 3(cid:64)﹣1(cid:89)(cid:64)
4
∴A (cid:74)2+ 3(cid:64)﹣1(cid:89)(cid:64)
2020
∴(cid:184)(cid:161)(cid:162)(cid:98)(cid:10)(cid:74)2+ 3(cid:64)﹣1(cid:89)(cid:68)
(cid:15)(cid:79)(cid:306)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:53)(cid:54)(cid:42)(cid:50)(cid:25)(cid:29)(cid:186)(cid:409)——(cid:400)(cid:401)(cid:64)(cid:410)(cid:130)(cid:48)(cid:411)(cid:200)(cid:39)(cid:20)(cid:64)(cid:174)(cid:278)(cid:39)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:104)(cid:83)(cid:412)(cid:81)(cid:400)(cid:401)(cid:29)(cid:48)(cid:411)(cid:68)
【题型7 正多边形和圆中的证明】
(cid:15)(cid:102)7(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:328)(cid:229) (cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:148)(cid:24)(cid:25) (cid:64) (cid:155) (cid:64) (cid:130) (cid:64) (cid:64)(cid:176)(cid:57)(cid:10)
⊙𝑂 𝐴𝐵𝐶𝐷⋯ 𝐴𝐷 𝑂𝐵 𝑂𝐶 𝑀 𝑁
(1) (cid:91)
(2)𝑀𝑁∥+𝐵𝐶 = (cid:68)
(cid:15)(cid:161)𝑀𝑁(cid:162)(cid:19)𝐵(1𝐶)(cid:57)(cid:58)𝑂(cid:343)𝐵 (cid:182)(cid:174)
(2)(cid:57)(cid:58)(cid:343)(cid:182)(cid:174)
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:74)1(cid:89)(cid:180)(cid:181)(cid:27)(cid:44)(cid:30)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:113)(cid:80) = = =36°(cid:64)
=108°(cid:64) = =36°(cid:64)∠𝐴(cid:183)𝑂(cid:264)𝐵(cid:113)(cid:80)∠𝐵𝑂𝐶 ∠=𝐶𝑂𝐷 =72°(cid:64)(cid:180)(cid:181)(cid:284)(cid:131)(cid:94)(cid:95)(cid:27)(cid:44)(cid:30)(cid:83)(cid:27)(cid:34)(cid:30)(cid:29)2
∠(cid:413)𝐴(cid:113)𝑂𝐷(cid:80) =3∠6𝑂°𝐴(cid:64)𝐷(cid:180)(cid:181)∠(cid:149)𝑂𝐷(cid:30)𝐴(cid:25)(cid:69)(cid:30)(cid:26)(cid:113)(cid:80) ∠𝑂=𝑀𝑁72°(cid:64)∠(cid:180)𝑂𝑁(cid:181)𝑀(cid:22)(cid:148)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:64)(cid:69)(cid:30)(cid:26)(cid:168)(cid:169)(cid:113)(cid:80)
=∠𝐵1𝐴4𝐷4°(cid:64)(cid:183)(cid:264)(cid:113)(cid:80) =72°(cid:64)(cid:180)(cid:181)(cid:51)∠𝐴(cid:318)𝐵(cid:217)𝑀(cid:29)(cid:265)(cid:168)(cid:90)(cid:113)(cid:176)(cid:174)(cid:91)
∠(cid:74)𝐴2𝐵(cid:89)𝐶(cid:180)(cid:181)(cid:74)1(cid:89)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:64)∠(cid:113)𝑂(cid:80)𝐵𝐶 = = (cid:64) = =72°(cid:64)(cid:177)(cid:180)(cid:181) = = = +
(cid:90)(cid:113)(cid:176)(cid:174)(cid:68) 𝐴𝑀 𝐴𝐵 𝐵𝐶 ∠𝐴𝑂𝑁 ∠𝐴𝑁𝑂 𝐴𝑁 𝐴𝑂 𝑂𝐵 𝐴𝑀 𝑀𝑁
(cid:15)(cid:182)(cid:174)(cid:19)(cid:74)1(cid:89)(cid:57)(cid:58)(cid:10)(cid:145)(cid:50)(cid:94)(cid:313)(cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:64) (cid:64)(cid:99) = = = (cid:64)
𝑂𝐴 𝑂𝐷 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑂𝐶 𝑂𝐷
(cid:64) (cid:64) (cid:83)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:148)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:24)(cid:35)(cid:64)
∵𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 360°
= = (cid:64) = = = =36°(cid:64)
10
∴𝐴𝐵 𝐵=𝐶36°𝐶+𝐷36∠°𝐴+𝑂3𝐵6°=∠𝐵10𝑂8𝐶°(cid:64)∠𝐶𝑂𝐷
∴∠𝐴𝑂𝐷1
= = ( )=36°(cid:64)
2
∴∠𝑂𝐴𝐷 =∠𝑂𝐷𝐴 =3 1 6 8 ° 0 = °−∠𝐴𝑂𝐷 = (cid:64)
∴∠𝑀𝐴𝑂 ∠𝑀𝑂𝐴 ∠𝐴𝑀𝐵 ∠𝐷𝑁𝐶
= + =36°+36°=72°(cid:64) = (cid:64)
⏜ ⏜
∵∠𝐵𝑂𝐷 1∠𝐵𝑂𝐶 ∠𝐶𝑂𝐷 𝐵𝐷 𝐵𝐷
= =36°(cid:64)
2
∴∠𝐵𝐴𝐷 = ∠𝐵𝑂𝐷 = =72°(cid:64)
∴(cid:69)∠𝐴(cid:70)𝐵𝑀(cid:22)(cid:148)(cid:24)18(cid:25)0°(cid:64)−∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐴𝑀𝐵 180°−36°−72°
∵ 180°×( )
= =144°(cid:64)
10
10−2
∴∠𝐴𝐵𝐶 = = =72°(cid:64)
∴∠𝑂𝐵𝐶 =∠𝐴𝐵𝐶−=∠𝐴7𝐵2𝑀°(cid:64) 144°−72°
∴∠𝑂𝑀𝑁 (cid:91)∠𝑂𝐵𝐶
∴(cid:74)𝑀2𝑁(cid:89)∥(cid:57)𝐵(cid:58)𝐶(cid:10)(cid:183)(cid:74)1(cid:89)(cid:113)(cid:229)(cid:64) = =72°(cid:64)
= (cid:64) ∠𝐴𝑀𝐵 ∠𝐴𝐵𝑀
∴𝐴𝑀= 𝐴𝐵(cid:64)
∵𝐴𝐵 =𝐵𝐶(cid:64)
∴𝐴𝑀 𝐵=𝐶 + =36°+36°=72°= (cid:64)
∵∠𝐴𝑂=𝑁 ∠=𝐴𝑂𝐵 +∠𝐵𝑂𝐶= (cid:64) ∠𝐴𝑁𝑂
∴𝐴𝑂 +𝐴𝑁 =𝐴𝑀(cid:68) 𝑀𝑁 𝑂𝐵
∴(cid:15)𝑀(cid:79)𝑁(cid:306)(cid:19)𝐵(cid:164)𝐶 (cid:20)𝑂(cid:227)𝐵(cid:228)(cid:165)(cid:166)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:42)(cid:27)(cid:29)(cid:55)(cid:56)(cid:64)(cid:172)(cid:173)(cid:22)(cid:23)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:64)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:69)(cid:30)(cid:26)(cid:168)(cid:169)(cid:64)(cid:27)(cid:44)(cid:30)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:64)(cid:63)
(cid:199)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:64)(cid:284)(cid:131)(cid:94)(cid:95)(cid:27)(cid:44)(cid:30)(cid:42)(cid:27)(cid:34)(cid:30)(cid:29)(cid:3)(cid:45)(cid:64)(cid:51)(cid:318)(cid:217)(cid:29)(cid:265)(cid:168)(cid:63)(cid:229)(cid:230)(cid:64)(cid:50)(cid:25)(cid:238)(cid:56)(cid:72)(cid:163)(cid:83)(cid:174)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:104)(cid:68)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)7-1(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:22)(cid:107)(cid:25) (cid:69)(cid:70)(cid:130) (cid:64)M(cid:98)(cid:131) (cid:43)(cid:79)(cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:68)
𝐴𝐵𝐶𝐷 ⊙𝑂 𝐴𝐷 𝐵𝑀,𝐶𝑀
(1)(cid:176)(cid:57)(cid:10) = (cid:91)
(2)(cid:78)(cid:70) 𝐵(cid:36)𝑀 𝐶(cid:64)𝑀(cid:176) (cid:29)(cid:31)(cid:117)(cid:68)
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19)𝑂𝐵(1)(cid:343)𝑂(cid:174)𝑀(cid:163) ∠𝐵𝑂𝑀(2)135°
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:36)(cid:27)(cid:44)(cid:30)(cid:36)(cid:131)(cid:36)(cid:346)(cid:29)(cid:3)(cid:45)(cid:168)(cid:169)(cid:64)(cid:172)(cid:173)(cid:22)(cid:107)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:36)(cid:27)(cid:44)(cid:30)(cid:36)(cid:131)(cid:36)(cid:346)
(cid:29)(cid:3)(cid:45)(cid:168)(cid:169)(cid:83)(cid:174)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:104)(cid:68)
(cid:74)1(cid:89)(cid:180)(cid:181)(cid:22)(cid:107)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:80)(cid:81) = (cid:64)(cid:180)(cid:181)(cid:27)(cid:44)(cid:30)(cid:36)(cid:131)(cid:36)(cid:346)(cid:29)(cid:3)(cid:45)(cid:80)(cid:81) = (cid:64)(cid:80)(cid:81) = (cid:64)(cid:90)(cid:113)(cid:80)
(cid:81)(cid:238)(cid:280)(cid:91) 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐵𝑀 𝐶𝑀
(cid:74)2(cid:89)(cid:78)(cid:70) (cid:36) (cid:36) (cid:64)(cid:180)(cid:181)(cid:22)(cid:107)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:176)(cid:114) (cid:26) (cid:64)(cid:32)(cid:33)(cid:90)(cid:113)(cid:68)
(cid:15)(cid:182)(cid:174)(cid:19)(cid:74)𝑂1𝐴(cid:89) 𝑂(cid:146)𝐵(cid:24)(cid:25)𝑂𝑀 (cid:83)(cid:22)(cid:107)(cid:25)(cid:64) ∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐴𝑂𝑀
= (cid:64) ∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝐴𝐵=𝐶𝐷(cid:68)
∴M𝐴𝐵(cid:98) 𝐶𝐷(cid:29)(cid:43)(cid:79)(cid:64)
∵ =𝐴𝐷 (cid:64)
∴𝐴𝑀 =𝐷𝑀(cid:64)
∴𝐵𝑀=𝐶𝑀(cid:91)
∴(cid:74)𝐵2𝑀(cid:89)(cid:78)𝐶(cid:70)𝑀 (cid:36) (cid:36) (cid:68)
(cid:146)(cid:24)(cid:25) 𝑂𝐴 (cid:83)𝑂(cid:22)𝐵(cid:107)𝑂(cid:25)𝑀(cid:64)
∵ =𝐴𝐵9𝐶0𝐷°(cid:68)
∴M∠𝐴(cid:98)𝑂𝐵(cid:131) (cid:29)(cid:43)(cid:79)(cid:64)
∵ 𝐴=𝐷45°(cid:64)
∴∠𝐴𝑂𝑀 = + =135°(cid:68)
∴∠𝐵𝑂𝑀 ∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐴𝑂𝑀
(cid:15)(cid:186)(cid:187)7-2(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:101)(cid:24)(cid:25)ABCDEF(cid:83) O(cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:68)
⊙(1)(cid:176)(cid:57)(cid:10)(cid:132)(cid:101)(cid:24)(cid:25)ABCDEF(cid:43)(cid:64)(cid:225)(cid:386)(cid:79)A(cid:29)(cid:149)(cid:136)(cid:95)(cid:30)(cid:217)(cid:146)(cid:63)(cid:72) BAF(cid:68)
∠
(2)(cid:97) O(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:98)S (cid:64)(cid:101)(cid:24)(cid:25)ABCDEF(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:98)S (cid:64)(cid:176) (cid:29)(cid:60)(cid:74)(cid:238)(cid:331)(cid:332)(cid:286)π(cid:89)(cid:68)
1 2
𝑆1
⊙ 𝑆2
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19)(1)证明见解析
2 3
(2)
9
𝜋
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:74)1(cid:89)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:78)(cid:70)AE(cid:64)AD(cid:64)AC(cid:64)(cid:180)(cid:181)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:80)(cid:81)EF(cid:330)ED(cid:330)CD(cid:330)BC(cid:64)(cid:176)(cid:80) = =
= (cid:64)(cid:130)(cid:83)(cid:80)(cid:81) FAE(cid:330) EAD(cid:330) DAC(cid:330) CAB(cid:64)(cid:90)(cid:113)(cid:80)(cid:81)(cid:238)(cid:280)(cid:91) 𝐸𝐹 𝐸𝐷 𝐶𝐷
(cid:74)2𝐵(cid:89)𝐶(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:225)O(cid:49)∠ OG D∠E(cid:130)G(cid:64)∠(cid:78)(cid:70)OE∠(cid:64)(cid:97) O(cid:29)(cid:40)(cid:41)(cid:98)r(cid:64)(cid:408)(cid:114) ODE(cid:83)(cid:63)(cid:24)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:64)(cid:80)(cid:81)DE(cid:330)OD(cid:330)
r(cid:64) OED(cid:330)60°(cid:64)(cid:180)(cid:181)(cid:316) ⊥ (cid:317)(cid:168)(cid:169)(cid:80)(cid:81)OG= ⊙ = 3 r(cid:64)(cid:180)(cid:181)(cid:149)(cid:30) △ (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:7)(cid:187)(cid:90)(cid:113)(cid:80)(cid:81)(cid:238)(cid:280)(cid:68)
2
2 2
(cid:15)(cid:182)∠(cid:174)(cid:19)(cid:74)1(cid:89)(cid:57)(cid:58)(cid:10)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:78)(cid:70)AE(cid:64)AD(cid:64)𝑂
A
𝐸 C(cid:64)−𝐸𝐺
(cid:101)(cid:24)(cid:25)ABCDEF(cid:83) O(cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:64)
∵EF(cid:330)ED(cid:330)CD(cid:330)BC(cid:64)⊙
∴ = = = (cid:64)
∴𝐸𝐹FAE(cid:330)𝐸𝐷 EA𝐶D𝐷(cid:330) D𝐵𝐶AC(cid:330) CAB(cid:64)
∴∠(cid:225)(cid:386)(cid:79)A∠(cid:29)(cid:149)(cid:136)∠(cid:95)(cid:30)(cid:217)(cid:146)∠(cid:63)(cid:72) BAF(cid:91)
(cid:74)∴ 2(cid:89)(cid:174)(cid:10)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:225)O(cid:49)OG D∠E(cid:130)G(cid:64)(cid:78)(cid:70)OE(cid:64)
(cid:97) O(cid:29)(cid:40)(cid:41)(cid:98)r(cid:64) ⊥
⊙
DOE=360° =60°(cid:64)OD(cid:330)OE(cid:330)r(cid:64)
6
∵∠
ODE(cid:83)(cid:63)(cid:24)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:64)
∴△DE(cid:330)OD(cid:330)r(cid:64) OED(cid:330)60°(cid:64)
∴ EOG(cid:330)30°(cid:64)∠
∴∠ 1
EG= r(cid:64)
2
∴
OG= = 3 r(cid:64)
2
2 2
∴ 𝑂𝐸 −𝐸𝐺
(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)ABCDEF(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:330)6× 1 ×r× 3 r= 3 3 r2(cid:64)
2 2 2
∴ O(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:330)πr2(cid:64)
∵⊙= = 2 3 (cid:68)
3 32 9
𝑆1 𝜋2𝑟 𝜋
∴ (cid:15) 𝑆2 (cid:79)(cid:306)(cid:19)𝑟(cid:164) 2 (cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:42)(cid:27)(cid:64)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:64)(cid:316)(cid:317)(cid:168)(cid:169)(cid:64)(cid:22)(cid:153)(cid:29)(cid:49)(cid:114)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:83)(cid:174)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:104)(cid:68)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)7-3(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:132) (cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:147)(cid:24)(cid:25) (cid:43)(cid:64) =2(cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:68)
⊙𝑂 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 𝐴𝐵 𝐷𝐺
(1)(cid:176)(cid:57) (cid:91)
(2) (cid:29)𝐷(cid:35)𝐺∥(cid:98)𝐴 𝐵(cid:414) (cid:414)(cid:68)
(cid:15)(cid:161)𝐷𝐺(cid:162)(cid:19)(1)(cid:343)(cid:174)(cid:163)
(2)2 2+2
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:74)1(cid:89)(cid:78)(cid:70) (cid:64)(cid:175)(cid:57)(cid:58) = = = = = = = (cid:64)(cid:113)(cid:80) = (cid:64)(cid:349)(cid:221)(cid:113)
(cid:80)(cid:238)(cid:280)(cid:91) 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐷𝐸 𝐸𝐹 𝐹𝐺 𝐺𝐻 𝐴𝐻 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐴𝐷𝐺
(cid:74)2(cid:89)(cid:49) (cid:64) (cid:64)(cid:57)(cid:58) = = 2(cid:64) = = 2(cid:64)(cid:146)(cid:24)(cid:25) (cid:83)(cid:415)(cid:25)(cid:64)(cid:349)(cid:221)(cid:113)(cid:80)(cid:161)(cid:162)(cid:68)
(cid:15)(cid:182)(cid:174)(cid:19)𝐸(cid:74)𝑃⊥1(cid:89)𝐷(cid:57)𝐺 (cid:58)𝐹(cid:10)𝑄(cid:78)⊥(cid:70)𝐷𝐺 (cid:64)(cid:22)(cid:147)𝑄𝐺(cid:24)(cid:25)𝑄𝐹 𝐷𝑃(cid:64) 𝐸𝑃 𝑃𝑄𝐹𝐸
= = = = 𝐴𝐷= = =𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:64)𝐸𝐹𝐺𝐻
∴𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐷𝐸 𝐸𝐹 𝐹𝐺 𝐺𝐻 𝐴𝐻180° 180°
= ×2=45°(cid:64) = ×2=45°(cid:64)
8 8
∵ ∠𝐵𝐴𝐷= (cid:64) ∠𝐴𝐷𝐺
∴ ∠𝐵𝐴𝐷(cid:68) ∠𝐴𝐷𝐺
∴(cid:74)𝐷2𝐺(cid:89)∥𝐴𝐵 = = = =2(cid:64)(cid:284)(cid:169)(cid:113)(cid:57)(cid:10) (cid:64) (cid:64)
(cid:146)(cid:24)∵(cid:25)𝐷𝐸 𝐸(cid:98)𝐹(cid:63)(cid:199)𝐹𝐺(cid:416)(cid:25)𝐴(cid:64)𝐵 𝐸𝐹∥𝐷𝐺 𝐸𝐹∥𝐴𝐵
∴ 𝐷𝐺=𝐹𝐸 =135°(cid:64)
(cid:49)∴ ∠𝐺𝐹𝐸 (cid:64)∠𝐷𝐸𝐹 (cid:64)
𝐸𝑃⊥𝐷𝐺 𝐹𝑄⊥𝐷𝐺
(cid:64)
∵𝐸 𝐹∥𝐷𝐺 = =45°(cid:64)
(cid:132)∴R∠t𝐷𝐺𝐹 (cid:43)18(cid:64)0°−135°=45°(cid:64) =2(cid:64)
△=𝑄𝐺𝐹= 2∠(cid:64)𝐷𝐺𝐹 𝐺𝐹
(cid:284)∴(cid:169)𝑄𝐺(cid:113)(cid:80)𝑄𝐹 = = 2(cid:64)
(cid:64)𝐷𝑃 𝐸𝑃 (cid:64) (cid:64)
∵(cid:146)𝐸𝐹(cid:24)∥𝐷(cid:25)𝐺 𝐸𝑃⊥(cid:83)𝐷(cid:415)𝐺(cid:25)(cid:64)𝐹𝑄⊥𝐷𝐺
∴ =𝑃𝑄𝐹=𝐸2(cid:64)
∴𝑃𝑄 =𝐸𝐹2+ 2+2=2 2+2(cid:68)
∴𝐷𝐺(cid:15)(cid:79)(cid:306)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:29)(cid:83)(cid:27)(cid:42)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:229)(cid:230)(cid:64)(cid:27)(cid:34)(cid:30)(cid:168)(cid:169)(cid:29)(cid:243)(cid:109)(cid:64)(cid:415)(cid:25)(cid:29)(cid:265)(cid:168)(cid:42)(cid:200)(cid:201)(cid:64)(cid:316)(cid:317)(cid:168)(cid:169)(cid:29)(cid:243)(cid:109)(cid:64)
(cid:172)(cid:173)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:83)(cid:174)(cid:164)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:104)(cid:68)
【题型8 正多边形和圆中的最值问题】
(cid:15)(cid:102)8(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:22)(cid:107)(cid:25) (cid:69)(cid:70)(cid:130) (cid:64)(cid:217)(cid:197) (cid:132)(cid:95)(cid:30)(cid:217) (cid:133)(cid:279)(cid:402)(cid:64)(cid:214) (cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:98) (cid:64) =1(cid:64)(cid:99)
(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:59)(cid:253)(cid:60)(cid:83)𝐴𝐵 𝐶 𝐷 (cid:68) ⊙𝑂 𝑀𝑁 𝐵𝐷 ⊙𝑂 2𝜋 𝑀𝑁
△𝐴𝑀𝑁
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19)4
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:183)(cid:22)(cid:107)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:64)(cid:229)(cid:79) (cid:83)(cid:79) (cid:3)(cid:130) (cid:29)(cid:95)(cid:417)(cid:79)(cid:64)(cid:225)(cid:79) (cid:49) (cid:64)(cid:211)(cid:347) =1(cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:155)
′ ′ ′
(cid:130)(cid:79) (cid:64)(cid:135) =1(cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:36) 𝐶 (cid:64)(cid:99)𝐴(cid:79) (cid:36)𝐵𝐷(cid:98)(cid:94)(cid:176)(cid:79)(cid:64)(cid:220)(cid:221)𝐶(cid:176)(cid:174)𝐶(cid:68)𝐴 ∥𝐵𝐷 𝐶𝐴 𝐴𝐴 𝐵𝐷
(cid:15)(cid:182)𝑁(cid:174)(cid:19)(cid:174)𝑁(cid:10)𝑀 (cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:98)𝐴𝑀 (cid:64)𝐶(cid:99)𝑀(cid:27)(cid:29)(cid:40)𝑀(cid:41)(cid:98)𝑁2(cid:64)(cid:99) =2 2= (cid:64)
(cid:183)(cid:22)(cid:107)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)⊙(cid:64)𝑂(cid:229)(cid:79) (cid:83)(cid:79)2𝜋(cid:3)(cid:130) (cid:29)(cid:95)(cid:417)(cid:79)(cid:64) 𝐵𝐷 𝐴𝐶
(cid:225)(cid:79) (cid:49) (cid:64)(cid:211)(cid:347)𝐶 =𝐴1(cid:64) 𝐵𝐷
′ ′
(cid:78)(cid:70)𝐶 𝐶(cid:155)𝐴 ∥(cid:130)𝐵𝐷(cid:79) (cid:64)(cid:135)𝐶𝐴 =1(cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:36) (cid:64)(cid:99)(cid:79) (cid:36) (cid:98)(cid:94)(cid:176)(cid:79)(cid:64)
′
𝐴𝐴 𝐵𝐷 𝑁 𝑁𝑀 𝐴𝑀 𝐶𝑀 𝑀 𝑁
(cid:169)(cid:183)(cid:10) (cid:64)(cid:211) = (cid:64)(cid:99)(cid:146)(cid:24)(cid:25) (cid:98)(cid:51)(cid:318)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:64)
′ ′ ′
(cid:99) =∵𝐴 𝐶=∥𝑀𝑁(cid:64) 𝐴 𝐶 𝑀𝑁 𝑀𝐶𝐴 𝑁
′
(cid:184)𝐴 𝑁 𝐶(cid:29)𝑀(cid:34)(cid:35)𝐴𝑀= + + = +1(cid:98)(cid:59)(cid:253)(cid:64)
′
△𝐴𝑀𝑁 𝐴𝑀 𝐴𝑁 𝑀𝑁 𝐴𝐴
(cid:99) = (2 2) +1 =3(cid:64)
′ 2 2
(cid:99)𝐴 𝐴 (cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:59)(cid:253)(cid:60)(cid:98)3+1=4(cid:64)
(cid:184)(cid:161)△(cid:162)𝐴𝑀(cid:98)𝑁(cid:10)4(cid:68)(cid:15)(cid:79)(cid:306)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:27)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:36)(cid:385)(cid:95)(cid:417)(cid:200)(cid:201)(cid:36)(cid:51)(cid:318)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:202)(cid:316)(cid:317)(cid:168)(cid:169)(cid:63)(cid:64)(cid:153)(cid:168)(cid:79)M(cid:36)N(cid:29)(cid:418)(cid:419)(cid:83)(cid:164)(cid:20)
(cid:174)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:104)(cid:68)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)8-1(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:79)P(cid:98) (cid:133)(cid:93)(cid:79)(cid:64)(cid:78)(cid:70)OP(cid:64)(cid:211) =4(cid:64)(cid:79)A(cid:98)OP(cid:133)(cid:93)(cid:402)(cid:79)(cid:64)(cid:79)B(cid:98) (cid:133)(cid:93)(cid:402)(cid:79)(cid:64)
(cid:78)(cid:70)AB(cid:64)(cid:100)(cid:217)(cid:197)AB(cid:98)(cid:24)(cid:132)⊙𝑂 (cid:69)(cid:218)(cid:219)(cid:415)(cid:25)ABCD(cid:64)(cid:211)𝑂𝑃(cid:79)C(cid:132) (cid:133)(cid:64)(cid:99)(cid:415)(cid:25)ABCD(cid:37)(cid:38)(cid:29)(cid:59)⊙(cid:119)𝑂(cid:60)(cid:98) (cid:68)
⊙𝑂 ⊙𝑂
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19)32
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:180)(cid:181)(cid:420)(cid:27)(cid:29)(cid:40)(cid:41)(cid:153)(cid:168)(cid:100)(cid:179)(cid:64)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:107)(cid:25)(cid:83)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:415)(cid:25)(cid:43)(cid:37)(cid:38)(cid:59)(cid:119)(cid:29)(cid:64)(cid:220)(cid:221)(cid:176)(cid:80)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:107)(cid:25)(cid:29)
(cid:37)(cid:38)(cid:64)(cid:99)(cid:415)(cid:25)ABCD(cid:37)(cid:38)(cid:29)(cid:59)(cid:119)(cid:60)(cid:98)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:107)(cid:25)(cid:37)(cid:38)(cid:64)(cid:181)(cid:264)(cid:176)(cid:174)(cid:90)(cid:113)(cid:68)
(cid:15)(cid:182)(cid:174)(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:146)(cid:24)(cid:25)BCEF(cid:83)(cid:27)O(cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:107)(cid:25)(cid:64)(cid:420)(cid:27)(cid:29)(cid:40)(cid:41)(cid:153)(cid:168)(cid:100)(cid:179)(cid:64)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:107)(cid:25)(cid:83)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:415)(cid:25)(cid:43)
(cid:37)(cid:38)(cid:59)(cid:119)(cid:29)(cid:91)
(cid:79)A(cid:64)D(cid:72)(cid:154)(cid:83)(cid:22)(cid:107)(cid:25)(cid:29)(cid:95)(cid:24)BF(cid:64)CE(cid:29)(cid:43)(cid:79)(cid:64)
(cid:264)(cid:120)(cid:415)(cid:25)ABCD(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:421)(cid:422)(cid:83)(cid:22)(cid:107)(cid:25)BCEF(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:64)
(cid:27)O(cid:29)(cid:52)(cid:41)PQ(cid:421)(cid:422)(cid:224)(cid:225)(cid:79)A(cid:64)D(cid:64)
(cid:78)(cid:70)BE (cid:64)
(cid:146)(cid:24)(cid:25)BCEF(cid:83)(cid:27)O(cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:107)(cid:25)(cid:64)OP=4(cid:64)
∵BE = PQ = 2OP =8(cid:64)BC = CE(cid:64)
∴ C= 90°(cid:64)
∵B∠C2 + CE2 = 2BO2 = BE2 = 8 (cid:64)
2
∴BC2=32(cid:64)(cid:90)S BCEF=32(cid:64)
(cid:22)(cid:107)(cid:25)
(cid:145)∴(cid:50)(cid:64)(cid:420) (cid:319)(cid:56)(cid:120)(cid:64)(cid:420) (cid:146)(cid:79)(cid:311)(cid:132)(cid:27)(cid:133)(cid:120)(cid:64)(cid:146)(cid:24)(cid:25) (cid:83)(cid:22)(cid:107)(cid:25)
𝑃,𝐴 𝐴,𝐵,𝐶,𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:415)(cid:25)ABCD(cid:37)(cid:38)(cid:29)(cid:59)(cid:119)(cid:60)(cid:98)32(cid:68)
(cid:184)(cid:161)(cid:162)(cid:98)(cid:10)32(cid:68)
(cid:15)(cid:79)(cid:306)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:64)(cid:140)(cid:39)(cid:20)(cid:401)(cid:409)(cid:98)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:174)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:104)(cid:68)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)8-2(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64) (cid:40)(cid:41)(cid:98) 2(cid:64)(cid:22)(cid:107)(cid:25) (cid:69)(cid:70)(cid:130) (cid:64)(cid:79) (cid:132) (cid:133)(cid:279)(cid:402)(cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:64)(cid:49) (cid:64)
(cid:315)(cid:353)(cid:98) (cid:64)(cid:78)(cid:70) .(cid:99)⊙𝑂(cid:35)(cid:29)(cid:59)(cid:253)(cid:60)(cid:98) 𝐴.𝐵𝐶𝐷 ⊙𝑂 𝐸 𝐴𝐷𝐶 𝐵𝐸 𝐴𝐹⊥ 𝐵𝐸
𝐹 𝐶𝐹 𝐶𝐹
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19) 5
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(cid:175)(cid:176)−1(cid:80)(cid:22)(cid:107)(cid:25)(cid:29)(cid:24)(cid:35)(cid:64)(cid:135)AB(cid:29)(cid:43)(cid:79)G(cid:64)(cid:78)(cid:70)GF(cid:64)CG(cid:64)(cid:420)(cid:79)C(cid:36)F(cid:36)G(cid:132)(cid:284)(cid:93)(cid:52)(cid:217)(cid:133)(cid:120)(cid:64)(cid:180)(cid:181)(cid:105)(cid:79)
(cid:321)(cid:322)(cid:217)(cid:197)(cid:59)(cid:290)(cid:64)(cid:99)CF(cid:28)(cid:59)(cid:253)(cid:60)(cid:64)(cid:264)(cid:120)(cid:90)(cid:113)(cid:176)(cid:80)(cid:84)(cid:85)(cid:60).
(cid:15)(cid:182)(cid:174)(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:78)(cid:70)OA(cid:36)OD(cid:64)(cid:135)AB(cid:29)(cid:43)(cid:79)G(cid:64)(cid:78)(cid:70)GF(cid:64)CG(cid:64)
ABCD(cid:83)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:107)(cid:25)(cid:64) = = 2(cid:64)
∵ =90°(cid:64) 𝑂𝐴 𝑂𝐷
∴∠𝐴𝑂𝐷
= + = 2( 2) =2(cid:64)
2
2 2
∴A𝐴F𝐷 BE(cid:64)𝑂𝐴 𝑂𝐷
∵ ⊥ =90°(cid:64)
∴∠𝐴𝐹𝐵1
= =1(cid:64)
2
∴𝐺𝐹 𝐴𝐵
= + = 1 +2 = 5(cid:64)
2 2 2 2
𝐶(cid:420)𝐺(cid:79)C(cid:36)𝐵F𝐺(cid:36)G(cid:132)𝐵𝐶(cid:284)(cid:93)(cid:52)(cid:217)(cid:133)(cid:120)(cid:64)CF(cid:28)(cid:59)(cid:253)(cid:60)(cid:64)(cid:145)(cid:191)(cid:50)(cid:10)
(cid:59)(cid:253)(cid:60)(cid:83)(cid:10) 5 (cid:64)
(cid:184)(cid:161)(cid:162)(cid:98)(cid:10) 5−1(cid:68)
(cid:15)(cid:79)(cid:306)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(cid:227)−1(cid:228)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:22)(cid:107)(cid:25)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:64)(cid:316)(cid:317)(cid:168)(cid:169)(cid:64)(cid:52)(cid:30)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:423)(cid:24)(cid:133)(cid:29)(cid:43)(cid:217)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:64)(cid:180)(cid:181)(cid:105)(cid:79)(cid:321)(cid:322)(cid:217)(cid:197)
(cid:59)(cid:290)(cid:153)(cid:168)CF(cid:29)(cid:59)(cid:253)(cid:60)(cid:83)(cid:174)(cid:278)(cid:164)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:104)(cid:68)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)8-3(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64) (cid:98)(cid:63)(cid:24) (cid:29)(cid:86)(cid:70)(cid:27)(cid:64)(cid:40)(cid:41)(cid:98)2(cid:64)(cid:79) (cid:132)(cid:305)(cid:131) (cid:133)(cid:279)(cid:402)(cid:74)(cid:138)(cid:42)(cid:79) (cid:319)(cid:56)(cid:89)(cid:64)(cid:78)(cid:70)
⏜
(cid:64) (cid:64) (cid:68) ⊙𝑂 𝛥𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝐴,𝐵
𝐷𝐴 𝐷𝐵 𝐷𝐶
(cid:74)1(cid:89)(cid:176)(cid:57)(cid:10) (cid:83) (cid:29)(cid:51)(cid:72)(cid:217)(cid:91)
(cid:74)2(cid:89)(cid:146)(cid:24)(cid:25)𝐷𝐶 ∠(cid:29)𝐴(cid:37)𝐷𝐵(cid:38) (cid:83)(cid:217)(cid:197) (cid:29)(cid:35) (cid:29)(cid:424)(cid:117)(cid:425)(cid:426)(cid:145)(cid:331)(cid:83)(cid:64)(cid:176)(cid:114)(cid:424)(cid:117)(cid:174)(cid:163)(cid:187)(cid:91)(cid:145)(cid:331)(cid:138)(cid:83)(cid:64)(cid:427)(cid:428)(cid:58)(cid:169)(cid:183)(cid:91)
(cid:74)3(cid:89)(cid:214)(cid:79) 𝐴(cid:72)𝐷𝐵(cid:154)𝐶(cid:132)(cid:217)(cid:197)𝑆 (cid:64) (cid:133)𝐷(cid:279)𝐶 (cid:402)(cid:74)𝑥(cid:138)(cid:277)(cid:429)(cid:79)(cid:89)(cid:64)(cid:224)(cid:225)(cid:430)(cid:431)(cid:394)(cid:373)(cid:64)(cid:79) (cid:279)(cid:402)(cid:81)(cid:92)(cid:93)(cid:85)(cid:153)(cid:168)(cid:29)(cid:418)(cid:419)(cid:64)
(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:28)(cid:59)𝑀(cid:253),𝑁(cid:60) (cid:64)(cid:432)(cid:433)(cid:79)𝐶𝐴(cid:29)𝐶(cid:279)𝐵(cid:402)(cid:64) (cid:29)(cid:60)(cid:364)(cid:394)(cid:124)(cid:186)(cid:409)(cid:64)(cid:176)(cid:94)(cid:28) (cid:60)(cid:43)(cid:29)(cid:59)𝐷(cid:119)(cid:60)(cid:68) 𝛥𝐷𝑀𝑁
(cid:15)(cid:161)(cid:162)(cid:19)(1)(cid:182)(cid:343)
𝑡
(cid:174)(cid:163)(cid:91)(2)(cid:83)
𝐷
(cid:64) =
𝑡3
(2 3< 4)(cid:91)(3)4 3
𝑡
4
2
(cid:15)(cid:72)(cid:163)(cid:19)(1)(cid:180)(cid:181)(cid:63)(cid:131)(cid:95)(cid:63)(cid:30)(cid:29)(cid:200)𝑆(cid:201)(cid:57)(cid:58)𝑥(cid:90)(cid:113)(cid:91) 𝑥≤
(2)(cid:312)(cid:35)DA(cid:81)E,(cid:378)AE=DB,(cid:57)(cid:58) EAC DBC,(cid:90)(cid:113)(cid:320)(cid:313)(cid:114)S(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:91)
(3)(cid:49)(cid:79)D(cid:3)(cid:130)(cid:52)(cid:217)BC(cid:36)AC(cid:29)(cid:95)△(cid:417)(cid:79)≌D△(cid:36)D (cid:64)(cid:420)D (cid:36)M(cid:36)N(cid:36)D(cid:293)(cid:217)(cid:120) DMN(cid:135)(cid:59)(cid:253)(cid:60)(cid:64)(cid:113)(cid:80)t=D D (cid:64)
1 2 1 1 2
(cid:28)(cid:95)(cid:417)(cid:200)(cid:408)(cid:114)(cid:132)(cid:63)(cid:199) D CD (cid:43),t= 3 (cid:64)D(cid:42)O(cid:36)C(cid:293)(cid:217)(cid:120)t(cid:135)(cid:59)(cid:119)(cid:60)(cid:90)(cid:113)△(cid:33)(cid:114)(cid:68)
1 2
△ 𝑥(cid:15)(cid:182)(cid:174)(cid:19)(1) ABC(cid:98)(cid:63)(cid:24)(cid:149)(cid:30)(cid:25),BC=AC(cid:64)
∵△ 1
= ,(cid:311)(cid:98) (cid:27)(cid:64)
3
⏜ ⏜
∴ 𝐴A𝐶OC=𝐵𝐶BOC=120°(cid:64)
∴∠ADC=∠BDC=60°(cid:64)
∴D∠C(cid:83) A∠DB(cid:29)(cid:30)(cid:51)(cid:72)(cid:217)(cid:68)
∴(2)(cid:83)(cid:68)∠
(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:312)(cid:35)DA(cid:434)(cid:79)E(cid:64)(cid:347)(cid:80)AE=DB(cid:68)
(cid:78)(cid:70)EC(cid:64)(cid:99) EAC=180°(cid:435) DAC(cid:330) DBC(cid:68)
AE(cid:330)DB(cid:64)∠EAC(cid:330) DBC∠,AC(cid:330)BC∠(cid:64)
∵ EAC D∠BC(SAS∠)(cid:64)
∴△E= C≌D△B= ADC=60°(cid:64)
(cid:184)∴∠ E∠DC(cid:83)(cid:63)∠(cid:24)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:64)
△ 3
DC=x(cid:64) (cid:180)(cid:181)(cid:63)(cid:24)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:29)(cid:112)(cid:144)(cid:200)(cid:113)(cid:229)DC(cid:24)(cid:133)(cid:29)(cid:436)(cid:98)
2
∵ ∴ 𝑥
= + = + = = 1 3 = 3 (2 3< 4)(cid:68)
2 2 4
2
∴𝑆 𝑆△𝐷𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐷𝐶 𝑆△𝐸𝐴𝐶 𝑆△𝐴𝐷𝐶 𝑆△𝐶𝐷𝐸 ⋅𝑥⋅ 𝑥 𝑥 𝑥≤
(3)(cid:76)(cid:77)(cid:49)(cid:79)D(cid:3)(cid:130)(cid:52)(cid:217)BC(cid:36)AC(cid:29)(cid:95)(cid:417)(cid:79)D (cid:36)D ,(cid:180)(cid:181)(cid:95)(cid:417)(cid:200)
1 2
C =DM+MN+ND=D M+MN+ND (cid:68)
DMN 1 2
△
D (cid:36)M(cid:36)N(cid:36)D(cid:293)(cid:217)(cid:120) DMN(cid:135)(cid:59)(cid:253)(cid:60)t,(cid:264)(cid:120)t=D D ,
1 1 2
(cid:183)∴ (cid:95)(cid:417)(cid:28)D C=DC=D C=△x(cid:64) D CB= DCB(cid:64) D CA= DCA,
1 2 1 2
D CD = D CB+ BCA+ D∠ CA= D∠CB+60°∠+ DCA=∠120°(cid:68)
1 2 1 2
∴∠CD D =∠CD D =∠60°(cid:64) ∠ ∠ ∠
1 2 2 1
∴∠ ∠(cid:132)(cid:63)(cid:199) D CD (cid:43),(cid:49)CH D D (cid:64)
1 2 1 2
(cid:99)(cid:132)Rt △ D CH(cid:43)(cid:64)(cid:180)(cid:181) ⊥ 30°(cid:112)(cid:144)(cid:52)(cid:30)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:29)(cid:151)(cid:102)(cid:113)(cid:80)D H= 3 = 3 (cid:64)
1 1 2 2
△ 𝐶𝐷1 𝑥
(cid:284)(cid:169)D H= 3 = 3
2 2 2
𝐶𝐷2 𝑥
t=D D = 3 = 3 (cid:68)
1 2
∴x(cid:135)(cid:59)(cid:119)(cid:60)(cid:120)𝐷𝐶,t(cid:135)(cid:59)(cid:119)𝑥 (cid:60)(cid:68)
(cid:90)∴ D(cid:42)O(cid:36)C(cid:293)(cid:217)(cid:120)t(cid:135)(cid:59)(cid:119)(cid:60),x=4(cid:68)
(cid:94)(cid:28)t(cid:60)(cid:43)(cid:29)(cid:59)(cid:119)(cid:60)(cid:98)4 3(cid:68)
(cid:15)(cid:79)(cid:306)(cid:19)(cid:164)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:27)(cid:42)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:55)(cid:56)(cid:100)(cid:202)(cid:402)(cid:79)(cid:39)(cid:20)(cid:64)(cid:3)(cid:104)(cid:132)(cid:130)(cid:238)(cid:56)(cid:20)(cid:116)(cid:49)(cid:114)(cid:56)(cid:169)(cid:29)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:401)(cid:437)(cid:328)(cid:229)(cid:110)(cid:68)