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专题24.29 正多边形和圆（知识梳理与考点分类讲解）
【要点一】正多边形的概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
构成正多边形的条件： (1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相
等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
【要点二】正多边形的相关概念
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边
形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3.正多边形的有关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是 ；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是 ；
(3)正ｎ边形每个外角的度数是.
要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
【要点三】正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当
边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相
似比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆
的外切正多边形.
【要点四】正多边形的画法
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等
分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形.
在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成 4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边
所对的弧(即作∠AOB的平分线交 于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.
②正六、三、十二边形的作法.
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B
为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….
要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
【考点一】正多边形与圆➼➻求正多边形的中心角
【例1】如图，正方形 内接于 ，连接 ，点F是 的中点，过点D作 的切线与
的延长线相交于点G．
（1）试判断 与 的位置关系，并说明理由．（2）求 的度数．【答案】（1） ,理由见分析；（2）
【分析】（1）连接 ，可得 ，根据切线的定义可得 ，即可得出结论
．
（2）根据正方形的性质可得， ， ，则 ．根据点F是 的中点，可
得 ．最后根据平行线的性质可得 ．
（1）解： ．
理由：如图，连接 ，
∵正方形 内接于 ，
∴ ．
∵ 与 相切于点D，
∴ ，即 ．
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ．
∵点F是 的中点，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．【点拨】本题主要考查了圆的内接正多边形，平行线的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是掌握
圆内接正多边形的中心角 ，同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，以及平
行线的判定和性质．
【举一返三】
【变式1】如图，五边形 是 的内接正五边形，则正五边形中心角 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式： 计算即可．
解：∵五边形 是 的内接正五边形，
∴五边形 的中心角 的度数为 ，
故选D．
【点拨】本题考查圆内接正多边形的中心角．熟练掌握正多边形的中心角的计算公式： ，是解题
的关键．
【变式2】如图，点O是正六边形 的中心，以 为边构造正五边形 ，则
．
【答案】 /48度
【分析】连接 ，根据正六边形的性质得出 是等边三角形，得到 ，再根据正五边
形的内角和求出 的度数，即可得到答案．解：连接 ,
∵点O是正六边形 的中心，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了正多边形的性质，多边形的内角和公式，正确掌握正多边形的性质是解题的关键．
【考点二】正多边形与圆➼➻求正多边形的边数
【例2】【阅读理解】如图1， 为等边 的中心角，将 绕点O逆时针旋转一个角
度 ， 的两边与三角形的边 分别交于点 ．设等边 的面积为S，通
过证明可得 ，则 ．
【类比探究】如图2， 为正方形 的中心角，将 绕点O逆时针旋转一个角度
， 的两边与正方形的边 分别交于点 ．若正方形 的面积为S，请
用含S的式子表示四边形 的面积（写出具体探究过程）．
【拓展应用】如图3， 为正六边形 的中心角，将 绕点O逆时针旋转一个角度
， 的两边与正六边形的边 分别交于点 ．若四边形 面积为 ，请
直接写出正六边形 的面积．【答案】【类比探究】四边形 的面积= ．【拓展应用】6
【分析】类比探究：通过证明可得 ，则
．
拓展应用：通过证明可得 ，则
．
解：类比探究：如图2，∵ 为正方形 的中心角，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，
∵ 绕点O逆时针旋转一个角度 ， 的两边与正方形的边 分别
交于点
∴∠BOM=∠CON，
∴ BOM≌ CON，
△ △
∴ ．
拓展应用：如图3，∵ 为正六边形 EF的中心角，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°，
∵ 绕点O逆时针旋转一个角度 ， 的两边与正方形的边 分别交于点
∴∠BOM=∠CON，
∴ BOM≌ CON，
△ △
∴ ．
∵四边形 面积为 ，
∴正六边形 的面积为6 ．
【点拨】本题考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练
掌握旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键．
【举一返三】
【变式1】如果一个正多边形的中心角是 ，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】根据正多边形的边数 周角 中心角，计算即可得解．
解：这个多边形的边数是 ，
故选：C．
【点拨】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的
关键．
【变式2】如图， 内接于 ， ，弦 是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的
边数是 ．【答案】5
【分析】如图所示，连接 ，由圆周角定理得到 ，则该多边形的中心角为 ，由
此即可得到答案．
解：如图所示，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴该正多边形是正五边形，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是构造同弧所对的圆心角，难度不大．
【考点三】正多边形与圆➼➻证明★★求解
【例3】已知 的直径 ，弦 与弦 交于点E，且 ，垂足为点F．
（1）如图1，若 ，求 的长．
（2）如图2，若E为弦 的中点，求证： ．
（3）连结 、 、 ，若 是 的内接正n边形的一边， 是 的内接正 边形的一边，
求 的面积．
【答案】（1） ；（2）见分析；（3）
【分析】（1）先根据垂径定理和弧、圆心角的关系可求得 ，进而利用含30度角的直角
三角形的性质求解即可；（2）先根据垂径定理得到 ，再利用三角形的中位线性质得到 ， ，证明
得到 即可证得结论；
（3）先求得 、 、 所对的圆心角的度数，再利用含30度角的直角三角形的性质求得 ，
，进而求得 即可求解．
（1）解：如图1，∵ ，垂足为点F， ，
∴ ，则 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：如图2，连接 ，
∵ 为直径， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 、 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图，连接 ，∵ 是 的内接正n边形的一边， 是 的内接正 边形的一边，
∴ ，
则 ，
解得： ．
经检验： 是原方程的根．
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，则 ，
则 ，
．
【点拨】本题考查圆的综合，涉及垂径定理，圆周角定理，弧、圆心角的关系、含30度角的直角三角
形的性质，三角形的中位线性质，全等三角形的判定与性质、正多边形的中心角等知识，熟练掌握圆的相
关知识的运用是解答的关键．
【举一返三】
【变式1】如图，正六边形 内接于 ，点P在 上，点Q是 的中点，则 的度
数为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，根据圆内接正六边形的性质和点Q是 的中点，得到
， ，得到 ，根据圆周角定理即可得到
的度数．
解：如图，连接 ，
∵正六边形 内接于 ，Q是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】此题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，熟练掌握正多边形和圆的知识是解题的关键．
【变式2】如图所示，在正五边形 中， 是 的中点，点 在线段 上运动，连接
，当 的周长最小时， 的度数为 ．
【答案】
【分析】根据对称的定义得出当点 在同一条直线上时， 的周长最小，由正五边形的性质可得 ，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得 ，
再由等腰三角形的性质和三角形外角的定义进行计算即可得到答案．
解：如图，当点 在同一条直线上时， 的周长最小，
，
五边形 是正五边形，
， ，
，
是 的中点，
是正五边形 的一条对称轴，
，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了正多边形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、三角形外角的定
义、对称的性质，熟练掌握正多边形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、三角形外角的定义、
对称的性质，是解题的关键．
【考点四】尺规作图➼➻画正多边形
【例4】已知：射线
求作： ，使得点 在射线 上， ， ．
作法：如图，①在射线 上取一点 ，以 为圆心， 长为半径作圆，与射线 相交于点 ；②
以 为圆心， 为半径作弧，在射线 上方交⊙ 于点 ；③连接 ， ．则 即为所求的三
角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 ．
∵ 为⊙ 的直径，
∴ __________ ．
∵ ，
∴ 等边三角形．
∴ ．
∵点 ， 都在⊙ 上，
∴ ．（ ）（填推理的依据）
∴ ．
即为所求的三角形．
【答案】（1）见分析；（2）90；一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
【分析】（1）以点C为圆心，OC长为半径画弧线，交圆于一点即为点D，连接AD，补全图形即可；
（2）证明：连接 ．由 为⊙ 的直径，得到 90 ．证明 等边三角形，得到
，由此得到 即为所求的三角形．
解：（1）补全的图形如图所示：
（2）证明：连接 ．
∵ 为⊙ 的直径，∴ 90 ．
∵ ，
∴ 等边三角形．
∴ ．
∵点 ， 都在⊙ 上，
∴ ．（一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）（填推理的依据）
∴ ．
即为所求的三角形．
故答案为：90；一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
．
【点拨】此题考查尺规作图，等边三角形的判定及性质，圆周角等于同弧所对圆心角的一半，直径所
对的圆周角是直角，熟记各定理是解题的关键．
【举一返三】
【变式1】如图， 为 直径，作 的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：1．作 的中垂线，交圆 于 两点；2．作 的中垂线，交圆 于 两点；3．顺次连接
六个点，六边形即为所求；
乙：1．以 为圆心， 长为半径作弧，交圆 于 两点；2．以 为圆心， 长为半径作弧，交
圆 于 两点；3．顺次连接 六个点，六边形即为所求；
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．两人都不对 D．两人都对
【答案】D
【分析】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，
乙的做法根据等边三角的内角是60 ，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等
°
解：甲：
∵BF是中垂线
∴四边形OCDE是菱形
∴△OCD, △OED都是等边三角形，
同理可得 △OAB, △OAF也是等边三角形
∴∠BOC ∠EOF 60
∴△OBC=, △OEF=也是° 等边三角形
∴内接六 边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形
乙：
∵AB AO BO AF OF
∴△O=AB,=△OA=F都=是等边三角形，同理可得△OCD, △OED也是等边三角形
∴∠BOC ∠EOF 60
∴△OBC=, △OEF=也是° 等边三角形
∴内接六 边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形
故选D
【点拨】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等
【变式2】如图， 、 、 是 上顺次三点，若 、 、 分别是 内接正三角形、正方
形、正 边形的一边，则 ．
【答案】12
【分析】如图，连接OA、OC、OB，根据角的转换求出中心角 即可解决问题．
解：如图，连接OA、OC、OB．
∵若AC、AB分别是 内接正三角形、正方形的一边，
∴ ， ，
∴ ，
由题意得： ，
∴ 12，
故答案为：12．
【点拨】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，一次连接各分点所
得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆，熟练的掌握正多边形的有关
概念是解答本题的关键．
