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专题 24.13 正多边形和圆（4 大知识点 7 类题型）（知识梳理与题型
分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】正多边形的概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
【要点提示】
判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.
如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
【知识点二】正多边形的重要元素
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正
多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3.正多边形的有关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是 ；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是 ；(3)正ｎ边形每个外角的度数是 .
(4)正ｎ边形半径R,边长a，边心距r的关系 ；
(5)正ｎ边形周长 ；
(6)正ｎ边形面积 ；
【要点提示】要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
【知识点三】正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正 n边形的中心；
当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于
相似比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
【要点提示】（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形
是圆的外切正多边形.
【知识点四】正多边形的画法
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以
等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形。在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成 4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各
边所对的弧(即作∠AOB的平分线交 于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边
形。
②正六、三、十二边形的作法。
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、
B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。
【要点提示】画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
【题型目录】
【题型1】正多边形与圆的有关计算............................................3；
【题型2】正多边形与圆的有关的证明..........................................4；
【题型3】正多边形的实际应用................................................5；
【题型4】与正多边形与圆有关作图............................................6；
【题型5】正多边形与圆有关综合..............................................7；
【题型6】直通中考..........................................................8；
【题型7】拓展延伸.........................................................10.第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】正多边形与圆的有关计算；
【例1】（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，正方形 的外接圆为 ，点P在劣弧 上
（不与点C重合）．
(1)求 的度数； (2)若 的半径为8，求正方形 的边长．
【变式1】（2024·福建泉州·模拟预测）如图，等边三角形 和正方形 均内接于 ，若
，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级下·广西钦州·期中）如图，正六边形的边长为1，顶点 与原点重合，将对角
线 绕点 顺时针旋转，使得点 落在数轴上的点 处，则点 表示的数是 ．
【题型2】正多边形与圆的有关的证明；【例2】（2023·上海静安·二模）如图，在矩形 中，点 是边 的中点， 是 的外接圆，
交边 于点 ．
(1)求证： ；(2)当 是以点 为中心的正六边形的一边时，求证： ．
【变式1】（2023九年级·全国·专题练习）如图， 是正八边形 的外接圆，则下列结论：
① ；② 的度数为 ；③ ．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【变式2】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接对角线AC，AD，则下列结论：①BC∥AD；
②∠BAE＝3∠CAD；③△BAC≌△EAD；④AC＝2CD.其中判断正确的是 (填序号)．
【题型3】正多边形的实际应用；
【例3】（2023·河北邯郸·二模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均
匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如 ）始终垂直于水平线l．
(1) ________°
(2)若 ， 的半径为10，小圆的半径都为1：
①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________；
②当圆心H到l的距离等于 时，求 的长；
③求证：在旋转过程中， 的长为定值，并求出这个定值．
【变式1】（2024·河北·模拟预测）某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底
面均为正六边形，六边形的边长为 ，目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我
们以6支彩铅为例，可以设计如图收纳方案一和收纳方案二，你认为底面积更小的是方案 ，两种
方案底面积差为 （结果保留根号）
【变式2】（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，某校园内有一个由两个相同的边长为 的正六边
形围成的花坛，现要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形花坛，则扩建后菱形花坛的周长为
．【题型4】与正多边形与圆有关作图；
【例4】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图， 是 中互相垂直的两条直径，以点A为圆
心， 为半径画弧，与 交于E、F两点．
(1)求证： 是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形．
【变式1】（2024·辽宁·模拟预测）在圆内接正六边形 中， ， 分别交 于点H，G．
(1)如图①，求证：点H，G三等分 ．
(2)如图②，操作并证明．
①尺规作图：过点O作 的垂线，垂足为K，以点O为圆心， 的长为半径作圆；（在图②中完成作
图，保留作图痕迹，不需要写作法）
②求证： 是①所作圆的切线．
【变式2】（2021九年级·河北·专题练习）如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形
ABCDE的部分尺规作图步骤如下：
①作出半径OF的中点H．
②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G．
③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E．
已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号）【题型5】正多边形与圆有关综合.
【例5】（2023·陕西西安·一模）如图，正六边形 内接于 ．
(1)若P是 上的动点，连接 ， ，求 的度数；
(2)已知 的面积为 ，求 的面积．
【变式1】（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形 内接于 ，则它的内切
圆半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式2】（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在圆内接正六边形 中， ， 分别交
于点 ， ，若该圆的半径为12，则线段 的长为 ．第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型6】直通中考
【例1】（2024·山东潍坊·中考真题）【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为 的正
方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合
适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为 的圆面．喷洒覆盖率 ， 为待喷洒区域面积，
为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为 的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率
______．（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为 的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半
径均为3m的自动喷洒装置； ，以此类推，如图5，设计安装 个喷洒半径均为 的自动喷洒装置．
与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并
给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率
．已知正方形 各边上依次取点F，G，H，E，使得 ，设 ，
的面积为 ，求 关于 的函数表达式，并求当 取得最小值时 的值．
【问题解决】
（4）该公司现有喷洒半径为 的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率 ？（直接写出结果即可）
【例2】（2022·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形 内接于⊙ ，阅读以下作图过程，并回答
下列问题，作法：如图2，①作直径 ；②以F为圆心， 为半径作圆弧，与⊙ 交于点M，N；③连
接 ．
(1)求 的度数．
(2) 是正三角形吗？请说明理由．
(3)从点A开始，以 长为半径，在⊙ 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
【题型7】拓展延伸
【例1】（2023·浙江台州·二模）如图1，五边形 是 的内接五边形， ，对角线
于点 ．
(1)①若 ，则 _______；
②猜想 和 的数量关系，并证明；
(2)如图2，当 经过圆心 时，若 ， ，求 ；
(3)作 于点 ，求 的值．
【例2】（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图①， ， 分别是半圆 的直径 上的点，点 ，在 上，且四边形 是正方形．
(1)若 ，则正方形 的面积为 ；
(2)如图②，点 ， ， 分别在 ， ， 上，连接 ， ，四边形 是正方形，且其面
积为16
①求 的值；
②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．直接写出正方形与正方形的面积比．
