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专题 24.8 正多边形与圆【十大题型】
【人教版】
【题型1 正多边形与圆中求角度】.......................................................................................................................1
【题型2 正多边形与圆中求线段长度】...............................................................................................................3
【题型3 正多边形与圆中求半径】.......................................................................................................................4
【题型4 正多边形与圆中求面积】.......................................................................................................................5
【题型5 正多边形与圆中求周长】.......................................................................................................................6
【题型6 确定正多边形的边数】...........................................................................................................................6
【题型7 正多边形与圆中的实际应用】...............................................................................................................7
【题型8 正多边形与圆中的规律问题】...............................................................................................................8
【题型9 正多边形与圆中求最值】.....................................................................................................................10
【题型10 正多边形与圆中的证明】.....................................................................................................................11
【知识点1 正多边形与圆】
（1）正多边形的有关计算
中心角 边心距 周长 面积
O
B
为边数； 为边心距； 为半径； 为边长 A
（2）正多边形每个内角度数为 ，每个外角度数为
【题型1 正多边形与圆中求角度】
【例1】（2022春•株洲期末）如图，正五边形 ABCDE和正三角形 AMN都是⊙O的内接多边形，则
∠BOM的度数是（ ）A．36° B．45° C．48° D．60°
【变式1-1】（2022•长春一模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在^AF上，则∠CMD的大小为
（ ）
A．60° B．45° C．30° D．15°
【变式1-2】（2022春•福州期中）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画
圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是 ．
【变式1-3】（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则
∠BOH的度数为 度．【题型2 正多边形与圆中求线段长度】
【例2】（2022•雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（
）
3 3√3
A．3√3 B． C． D．3
2 2
【变式2-1】（2022秋•西城区期末）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形
ABCD的边长为（ ）A．4 B．8 C．2√2 D．4√2
【变式2-2】（2022•德城区模拟）已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点 A，B，C，D，E，F在圆上．
若两个大正六边形的边长均为4，则小正六边形的边长是（ ）
A．3-√13 B．√13-1 C．√13+1 D．2√3-1
【变式 2-3】（2022•凉山州）如图，等边三角形 ABC 和正方形 ADEF 都内接于⊙O，则 AD：AB＝
（ ）
A．2√2：√3 B．√2：√3 C．√3：√2 D．√3：2√2
【题型3 正多边形与圆中求半径】
【例3】（2022春•临海市期末）如图，以点O为圆心的两个同心圆把以OA为半径的大圆O的面积三等分，
这两个圆的半径分别为OB，OC．则OA：OB：OC的值是（ ）
A．3：2：1 B．9：4：1 C．√3：√2：1 D．3：√6：√2
【变式3-1】（2022•虹口区二模）如果正三角形的边心距是2，那么它的半径是 ．
【变式3-2】（2022•钦州模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AC，已知AC＝6，则圆的半径
是（ ）A．3 B．6 C．2√3 D．4√3
【变式3-3】（2022•碑林区校级模拟）如图：⊙O与正六边形ABCDEF的两边AB和EF相切于点B和点E
两点，若正六边形的边长是√3，则⊙O的半径长是（ ）
A．1 B．√3 C．2 D．3
【题型4 正多边形与圆中求面积】
【例4】（2022•泗水县三模）如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为 4，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8√3 B．12√3 C．16 D．16√3
【变式4-1】（2022秋•宣化区期末）如图，已知⊙O的周长等于6π，则它的内接正六边形ABCDEF的面
积是（ ）
27√3 27√3 9√3
A． B． C． D．27√3
2 4 4
【变式4-2】（2022•庐阳区校级一模）如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为1，则图中阴影部分的面积为（ ）
3√3 5√3
A． B．√3 C． D．2√3
4 4
【变式4-3】（2022秋•庐江县期末）⊙O半径为4，以⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距
为边作一个三角形，则所得三角形的面积是（ ）
A．√2 B．√3 C．2√2 D．2√3
【题型5 正多边形与圆中求周长】
【例5】（2022•和平区一模）如图，若⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆，则正方形
ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为（ ）
A．2√2：3 B．√2：1 C．√2：√3 D．1：√3
【变式5-1】（2022•鼓楼区校级模拟）正六边形的周长为12，则它的外接圆的内接正三角形的周长为（
）
A．2√3 B．3√3 C．6√3 D．6
【变式5-2】（2022秋•梅河口市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，若OC长为
2cm，则正六形ABCDEF的周长为 cm．
【变式5-3】（2022•旌阳区模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为6，则△ADE的
周长是（ ）A．9+3√3 B．12+6√3 C．18+3√3 D．18+6√3
【题型6 确定正多边形的边数】
【例6】（2022•宽城县一模）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在^AB上，且BC是⊙O内接
正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
【变式6-1】（2022秋•滨江区期末）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边
形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式6-2】（2022•息烽县二模）如图，AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆
内接正n边形的一边，则n等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【变式6-3】（2022秋•钢城区期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正
三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（ ）A．8 B．10 C．12 D．15
【题型7 正多边形与圆中的实际应用】
【例7】（2022•安国市一模）2019年版一元硬币的直径约为22.25mm，则用它能完全覆盖住的正方形的边
长最大不能超过（ ）
89√2 89√3
A．11.125mm B．22.25mm C． mm D． mm
8 8
【变式7-1】（2022秋•门头沟区期末）颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承
德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为
2米的正六边形，那么这个地基的周长是 米．
【变式7-2】（2022秋•东城区期末）斛是中国古代的一种量器．据《汉书•律历志》记载：“斛底，方而
圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个
同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸
五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为 尺．
【变式7-3】（2022•清苑区一模）某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均
为正六边形，六边形边长为1cm．目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅为例，可以设计如图的两种收纳方案；
（1）如果要装6支彩铅，在以上两种方案里，你认为更小的底面积是 cm．
（2）如果你要装12只彩铅，要求相邻彩铅拼接无空隙，请设计一种最佳的布局，并使用圆形来设计底
面，则底面半径的最小值为 √13 cm．
【题型8 正多边形与圆中的规律问题】
【例8】（2022秋•椒江区校级月考）已知正方形MNKO和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在
正六边形外边，使OK边与AB边重合，如图所示．按下列步骤操作：
将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转，使KN边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针
旋转，使NM边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点M在图中直角坐
标系中的纵坐标可能是（ ）
A．2.2 B．﹣2.2 C．2.3 D．﹣2.3
【变式8-1】（2022秋•铁锋区期末）如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边
AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋
转60°，那么经过第2022次旋转后，顶点D的坐标为 ．【变式8-2】（2022•江西模拟）如图，我们把先作正方形ABCD的内切圆，再作这个内切圆的内接正方形
ABC D ．称为第一次数学操作，接下来，作正方形ABC D 的内切圆，再作这个内切圆的内接正方形
1 1 1 1 1 1 1 1
ABC D ，称为第二次数学操作，按此规律如此下去，…，当完成第 n次数学操作后，得到正方形
2 2 2 2
A B
A n B n∁n D n ，则 n n的值为（ ）
AB
√2 1 √3 3
A．（ ）n B．（ ）n C．（ ）n D．（ ）n
2 2 2 4
【变式8-3】（2022•威海）如图，正六边形ABC DEF 的边长为2，正六边形ABC DEF 的外接圆与正
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
六边形ABC DEF 的各边相切，正六边形ABC DEF 的外接圆与正六边形ABC DEF 的各边相切，
1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2
…按这样的规律进行下去，A B C D E F 的边长为（ ）
10 10 10 10 10 10
243 81√3 81 81√3
A． B． C． D．
29 29 29 28
【题型9 正多边形与圆中求最值】
【例9】（2022•南山区三模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的
面积为8π，MN＝2，则△AMN周长的最小值是（ ）A．6 B．8 C．9 D．10
【变式9-1】（2022•观山湖区一模）如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB＝4，当∠APB＝90°时，
连接PD，则线段PD的最小值是（ ）
A．2√11-2 B．2√13-2 C．6 D．4√3
【变式9-2】（2022•浙江自主招生）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是弧AB上的一动点
（不与A、B重合），点F是弧BC上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF
＝90°，则△GBH周长的最小值为 ．
【变式9-3】（2022秋•广陵区期末）如图，⊙O半径为√2，正方形ABCD内接于⊙O，点E在^ADC上运
动，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为 ．
【题型10 正多边形与圆中的证明】
【例10】如图，⊙O的内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BE相交于点F．
（1）求∠BAC的度数．
（2）求证：四边形CDEF为菱形．【变式10-1】已知：如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD、CE分别平分
∠ABC、∠ACB．
求证：五边形AEBCD是正五边形．
【变式10-2】（2022•河南模拟）如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从
A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t
（s）．
（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；
（2）填空：
①当t＝ s时，四边形PBQE为菱形；
②当t＝ s时，四边形PBQE为矩形．
【变式10-3】（2022•张家口一模）（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为^BC上一动
点，求证：PA＝PB+PC．
下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法．
证明：在AP上截取AE＝CP，连接BE
∵△ABC是正三角形
∴AB＝CB
∵∠1和∠2的同弧圆周角
∴∠1＝∠2
∴△ABE≌△CBP
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为^BC上一动点，求证：PA＝PC+√2PB．（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为^BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者
之间有何数量关系，直接写出结论．
