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专题 24.8 正多边形和圆【十一大题型】
【人教版】
【题型1 求正多边形中心角】..................................................................................................................................1
【题型2 求正多边形的边数】..................................................................................................................................2
【题型3 正多边形与圆中求角度】..........................................................................................................................3
【题型4 正多边形与圆中求面积】..........................................................................................................................5
【题型5 正多边形与圆中求周长】..........................................................................................................................6
【题型7 正多边形与圆中求边心距、边长】.........................................................................................................8
【题型8 正多边形与圆中求最值】..........................................................................................................................9
【题型9 尺规作图-正多边形】..............................................................................................................................10
【题型10 正多边形与圆中的规律问题】................................................................................................................11
【题型11 多边形与圆中的证明】............................................................................................................................12
【知识点 正多边形和圆】
（1）正多边形的有关计算
中心角 边心距 周长 面积
O
B
为边数； 为边心距； 为半径； 为边长 A
（2）正多边形每个内角度数为 ，每个外角度数为
【题型1 求正多边形中心角】
【例1】（2023秋·广东广州·九年级校考期中）下列图形中，绕它的中心旋转60°后可以和原图形重合的是
（ ）
A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．正三角形
【变式1-1】（2023秋·河北唐山·九年级统考期中）若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的
中心角是（ ）A．45° B．60° C．90° D．120°
【变式1-2】（2023秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若∠BOC
是正n边形的一个中心角，则n的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【变式1-3】（2023秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，正五边形ABCDE和正三角形APQ都内接于
⊙O，则P´C的度数为 °．
【题型2 求正多边形的边数】
【例2】（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正
多边形的中心，若∠ADB=18°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
【变式2-1】（2023秋·湖北十堰·九年级统考期末）如图，AB,BC和AC分别为⊙O内接正方形，正六边
形和正n边形的一边，则n是（ ）．A．六 B．八 C．十 D．十二
【变式2-2】（2023秋·山东济南·九年级统考期末）如图，四边形ABCD为 O的内接正四边形，△AEF为
O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n⊙的值为（ ）
⊙
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式2-3】（2023秋·安徽安庆·九年级校联考期末）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，
AB=AD,∠C=120°，点E在弧AD上，连接OD、OE、AE、DE．
（1）∠AED的度数为 ．
（2）当∠DOE=90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为 ．
【题型3 正多边形与圆中求角度】
【例3】（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，P为弧AB上的
一点（点P不与点A，B重合），则∠DPF的度数为（ ）A．22.5° B．30° C．40° D．45°
【变式3-1】（2023秋·浙江嘉兴·九年级统考期末）如图，正六边形ABCDEF和正方形AGDH都内接于
⊙O，连接BG，则弦BG所对圆周角的度数为（ ）
A．15° B．30° C．15°或165° D．30°或150°
【变式3-2】（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，AF是⊙O的直
径，P是⊙O上的一点（不与点B，F重合），则∠BPF的度数为 °．
【变式3-3】（2023春·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图所示，在正五边形ABCDE中，F是CD的中点，
点G在线段AF上运动，连接EG，DG，当△DEG的周长最小时，∠EGD的度数为 ．【题型4 正多边形与圆中求面积】
【例4】（2023春·河北衡水·九年级校考期中）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，分别以其对角
线AD、FB为边作正方形，则两个阴影部分的面积差S -S 的值为（ ）
1 2
A．0 B．1 C．3 D．2
【变式4-1】（2023秋·山东滨州·九年级统考期中）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张
开的开口b=10√3mm，则这个正六边形的面积为（ ）
20√3
A．25√3mm2 B．75√3mm2 C．150√3mm2 D． mm2
3
【变式4-2】（2023秋·福建宁德·九年级统考期末）将三个正六边形按如图方式摆放，若小正六边形的面积
是6，则大正六边形的面积是
【变式4-3】（2023秋·广东湛江·九年级校考期末）如图，在⊙O的内接正六边形ABCDEF中，AB=√3，
则图中阴影部分的面积为 ．【题型5 正多边形与圆中求周长】
【例5】（2023秋·四川广安·九年级统考期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于
6π，则正六边形的周长为（ ）
A．6√3 B．6√6 C．3 D．18
【变式5-1】（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）如图，BF、CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，
若正六边形ABCDEF的边长是a，则四边形BCEF的周长是 ．（用含a的代数式表示）
【变式5-2】（2023春·浙江台州·九年级校考期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同
学们更深刻的了解π的意义．
(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆√3
度”k ．如图，正三角形ABC的边长为1，求得其内切圆的半径为 ，因此k =___________；
n 6 3
(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”k 、k ；
4 6
(3)[总结]随着n的增大，k 具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括．
n
【变式5-3】（2023春·福建福州·九年级统考期中）如图，点G，H，I，J，K，L分别是正六边形
ABCDEF各边的中点，则六边形GHIJKL与六边形ABCDEF的周长比为 ．
【题型6 正多边形与圆中求半径】
【例6】（2023秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，已知⊙O的内接正方形ABCD的边长为1，则⊙O
的半径为（ ）
√2 1
A．√2 B． C．1 D．
2 2
【变式6-1】（2023秋·青海海东·九年级统考期末）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的
面积为16cm2，则该半圆的半径为 ．
【变式6-2】（2023秋·河南许昌·九年级统考期末）若正方形的外接圆的半径为4，则这个正方形内切圆的
半径为 ．
【变式6-3】（2023秋·天津红桥·九年级统考期末）若一个正六边形的边长为2，则其外接圆与内切圆的半
径分别为（ ）
A．2，1 B．2，√3 C．√3，2 D．2√3，3【题型7 正多边形与圆中求边心距、边长】
【例7】（2023秋·贵州黔西·九年级统考期中）已知四个正六边形按如图所示摆放在图中，顶点A，B，
C，D，E，F均在⊙O上，连接AD．若两个大正六边形的边长均为4，两个小正六边形全等，则小正六边
形的边长是（ ）
A．3-√13 B．√13-1 C．√13+1 D．2√3-1
【变式7-1】（2023秋·河北石家庄·九年级校考期中）如图，半径为2的⊙O是正六边形ABCDEF的外接
圆，则边心距OM的长度为（ ）
3
A．1 B．√3 C． D．2
2
【变式7-2】（2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）圆内接正六边形与圆外切正三
角形的边长之比为 ．
【变式7-3】（2023秋·山东济宁·九年级校考期末）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于
点G，已知半径为√3，则EG的长为 ．【题型8 正多边形与圆中求最值】
【例8】（2023秋·新疆阿克苏·九年级统考期末）如图，已知正六边形ABCDEF的边长是6，点P是AD
上一动点，则PE+PF的最小值是 ．
【变式8-1】（2023秋·浙江杭州·九年级期末）如图所示，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为
（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点，
把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（ ）
A．3-√3 B．2 C．4-√3 D．1
【变式8-2】（2023春·江苏·九年级期末）如图，⊙O半径为√2，正方形ABCD内接于⊙O，点E在AD´C
上运动，连接BE，作AF⊥ BE，垂足为F，连接CF.则CF长的最小值为 .
【变式8-3】（2023秋·浙江台州·九年级校联考期末）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为
2，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形
中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD
边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M之间距离的最小值是 ．【题型9 尺规作图-正多边形】
【例9】（2023·全国·九年级专题练习）已如：⊙O与⊙O上的一点A
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．
【变式9-1】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知AC为⊙O的直径．请用尺规作图法，作出⊙O的
内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法）
【变式9-2】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形
ABCDE的部分尺规作图步骤如下：
①作出半径OF的中点H．
②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G．
③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E．
已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号）【变式9-3】（2023春·全国·九年级专题练习）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图：
(1)在图1中，画出CD的中点G；
(2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形．
【题型10 正多边形与圆中的规律问题】
【例10】（2023春·山东威海·九年级校联考期中）如图，正六边形A B C D E F 的边长为2，正六边
1 1 1 1 1 1
形A B C D E F 的外接圆与正六边形A B C D E F 的各边相切，正六边形A B C D E F 的外接
2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3
圆与正六边形A B C D E F 的各边相切……按这样的规律进行下去，A B C D E F 的边长为
2 2 2 2 2 2 10 10 10 10 10 10
．
【变式10-1】（2023秋·九年级单元测试）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更
深刻的了解π的意义．
(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆
√3
度”k ．如图，正三角形ABC的边长为1，求得其内切圆的半径为 ，因此k =___________；
n 6 3
(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”k 、k ；
4 6
(3)[总结]随着n的增大，k 具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括．
n【变式10-2】（2023春·宁夏银川·九年级校联考期中）如图，∠MON=60°，作边长为1的正六边形
A B C D E F ，边A B 、F E 分别在射线OM、ON上，边C D 所在的直线分别交OM、ON于点A 、
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
F ，以A F 为边作正六边形A B C D E F ，边C D 所在的直线分别交OM、ON于点A 、F ，再以
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3
A F 为边作正六边形A B C D E F ，…，依此规律，经第n次作图后，点B 到ON的距离是 ．
3 3 3 3 3 3 3 3 n
【变式10-3】（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知⊙O的半径为a，按照下列步骤作图：（1）作⊙O的
内接正方形ABCD（如图1）；（2）作正方形ABCD的内接圆，再作较小圆的内接正方形A B C D （如
1 1 1 1
图2）；（3）作正方形A B C D 的内接圆，再作其内接正方形A B C D （如图3）；…；依次作下去，
1 1 1 1 2 2 2 2
则正方形A B C D 的边长是 ．
n n n n
【题型11 多边形与圆中的证明】
【例11】（2023秋·陕西渭南·九年级校考期中）如图，已知AB、BC、CD是⊙O的内接正十边形的边，
连接AD、OB、OC，求证：AD∥BC．
【变式11-2】（2023秋·九年级课时练习）已知，如图， ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、
AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，证明：五边形AEBCF△是⊙O的内接正五边形．【变式11-3】（2023秋·九年级单元测试）（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧
BC上一动点，求证：PA=PB+PC．
下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法．
证明：在AP上截取AE=CP，连接BE
∵△ABC是正三角形
∴AB=CB
∵∠1和∠2的同弧圆周角
∴∠1=∠2
∴△ABE≌△CBP
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PC+ √2PB．
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者
之间有何数量关系，直接写出结论．
