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第 11 讲 高考难点突破三：圆锥曲线的综
合问题（最值、范围问题）(精讲）
目录
第一部分：典型例题剖析
题型一：椭圆中的最值、范围问题
角度1：椭圆中最值问题
角度2：椭圆中参数范围问题
题型二：双曲线中的最值、范围问题
角度1：双曲线中最值问题
角度2：双曲线中参数范围问题
题型三：抛物线中的最值、范围问题
角度1：抛物线中最值问题
角度2：抛物线中参数范围问题
题型一：椭圆中的最值、范围问题
角度1：椭圆中最值问题典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线
交椭圆于 两点，过 的直线交椭圆于 两点，且 .求四边形面积的最小值.
【答案】 .
当直线 斜率 存在且不为0时，设 方程为： ，联立
，
设 ,则 ，
由弦长公式可得 ；
因为 ,故 ，进而可得
所以四边形的面积为
,
因为 ，即 ，
，当且仅当 时，等号成立，
当直线 斜率不存在或者为0时，此时四边形的面积为∴四边形面积的最小值为 .
例题2．（2022·安徽·合肥一中高二期末）已知椭圆 ， ， 分别为左右焦点，点
， 在椭圆E上.
(1)求椭圆 的离心率；
(2)过左焦点 且不垂直于坐标轴的直线 交椭圆 于 ， 两点，若 的中点为 ， 为原点，直线
交直线 于点 ，求 取最大值时直线 的方程.
【答案】(1) (2)
(1)解：将 ， 代入椭圆方程，
解得 ，所以椭圆 的方程为 ，
又 ，所以
(2)解：设直线 方程为 ， ， ，
联立 可得 ；
则 ，且 ， ，
设 的中点 ，则 ， ，
∴ 坐标为 ， ，
因此直线 的方程为 ，从而点 为 ，又 ， ，
所以 ，令 ，则 ，
因此当 ，即 时， 最大值为3.
所以 的最大值为 ，此时，直线l的方程为 .
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，过椭圆 右焦点并
垂直于 轴的直线 交椭圆 于 ， （点 位于 轴上方）两点，且 （ 为坐标原点）的
面积为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 交椭圆 于 ， （ ， 异于点 ）两点，且直线 与 的斜率之积为 ，求点 到
直线 距离的最大值．
【答案】(1) (2)
(1)由题意可得 ，∴由题意可得 且 ，解得 ， ，
∴椭圆的方程为： ．
(2)解法1：由（1）可得 ，
当直线 没有斜率时，设方程为： ，则 ，此时
，化简得： 又 ，解得 或 （舍
去），此时P到直线l的距离为
设直线l有斜率时，设 ， ，设其方程为： ，联立可得 且整理可得：
，
，且 ， ，，整理可得： ，
整理可得 ，整理可得 ，
即 ， 或 ，
若 ，则直线方程为： ，直线恒过 ，与P点重合，
若 ，则直线方程为： ，∴直线恒过定点 ，∴P到直线l的距离的
最大值为 的值为 ，
由于
∴点P到直线l距离的最大值 ．
解法2：公共点 ，左移1个单位，下移 个单位， ，
， ，
，等式两边同时除以 ，
， ， ， ，
过 ，右移1个单位，上移 个单位，过 ，∴P到直线l的距离的最大值为
的值为 ，
由于
∴点P到直线l距离的最大值 ．同类题型归类练
1．（2022·四川成都·高二期末（理））已知椭圆 与抛物线 有相同的焦点 .
(1)求椭圆的方程；
(2) 为坐标原点，过焦点 的直线 交椭圆于 ， 两点，求 面积的最大值.
【答案】(1) (2)
(1) 椭圆 与抛物线 有相同的焦点 ，
即 且 ，
，
椭圆的方程为： .
(2)由（1）可知 的坐标为 .
显然 的斜率不为0.
设直线 的方程为： ，设 ， .
联立 ,可得 ,
恒成立，
， ,
,.
当且仅当 ,即 时取等号,
面积的最大值为 .
2．（2022·江苏·高二）已知椭圆C： 的离心率为 ，左，右焦点分别为 ， ，O
为坐标原点，点Q在椭圆C上，且满足 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设P为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆C相交于M，N两点（M，N两点异于P点），且PM⊥PN，求
的最大值．
【答案】(1) (2)
(1)解：因为椭圆的离心率为 ，
又点Q在椭圆C上，且满足 ，
所以 ，即 ，
则 ， ，
所以椭圆方程为： ；
(2)由题意知，直线l的斜率不为0，则不妨设直线l的方程为 ．
联立得 ，消去x得 ，
，化简整理，得 ．
设 ， ，则 ， ．
∵PM⊥PN，
∴ ．
∵ ， ， ，得 ，
将 ， 代入上式，得 ，得 ，
解得 或 （舍去），
∴直线l的方程为 ，则直线l恒过点 ，
∴ ．
设 ，则 ， ，
易知 在 上单调递增，
∴当 时， 取得最大值为 ．
又 ，
∴ ．
3．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知在平面直角坐标系中有两定点 ， ，
平面上一动点 到两定点的距离之和为 ．
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线，分别与 交于 ， ， ， 四点，求四边形 面积的最小值．
【答案】(1) (2)
(1)因为 （ ），
所以 点轨迹是以 为焦点， 为长轴长的椭圆，
所以 ， ， ，
所以轨迹方程为 ；
(2)当一条直线斜率不存在时， 代入椭圆方程得 ， ，因此弦长
，另一直线斜率为0， ，
；当两条直线斜率都存在且不为0时，设直线 方程为 ， ， ，
由 ，得 ，
所以 ， ，
，
由于 ，所以直线 斜率为 ，同理 ，
，
令 ，则 ， ，
因为 ，所以 ， ，
综上， ，
的最小值为 ．
角度2：椭圆中参数范围问题
典型例题
例题1．（2022·四川遂宁·三模（文））已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，
坐标原点为O，离心率 ，过 且垂直于 轴的直线与 交于 两点， ；过 且斜率为
的直线 与C交于 ， 点．
(1)求 的标准方程；
(2)令 ， 的中点为 ，若存在点 （ ），使得 ，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)(1)由题意可得：过 且垂直于 轴的直线与 交于 两点，所以 ，所以
.
又有 ， ，解得： .
所以 的标准方程为 .
(2)由（1）可知： .可设直线PQ: .设 ，则
，消去y，可得： .
因为 在椭圆内，所以直线PQ与椭圆恒有两个交点，.
.
设 ，则 ，即 .
直线PQ的方向向量为 ， .
因为 ，所以 .
所以 .
因为 ，所以 ，解得： 或 .
即 的取值范围为 .
例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆 经过点 ，点
为椭圆 的右焦点，过点 与坐标轴不垂直的直线 交椭圆于 、 两点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2)存在， .
(1)由题意， ，解得 ，
所以椭圆方程为 ．
(2)设 ， ，直线l为 ，
联立直线与椭圆 得： ， 恒成立，
所以 ， ，而 ，即 ，
化简得 ，又 ， 且 ，
所以 ，化简得： 且 ，
所以m的取值范围为 ．
例题3．（2022·陕西西安·模拟预测（文））已知椭圆 的离心率为 ， 是其右焦
点，直线 与椭圆交于 ， 两点， ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设 ，若 为锐角，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
(1)设 为椭圆的左焦点，连接 ，由椭圆的对称性可知， ，
所以 ，所以 ，
又 ， ，解得 ，所以椭圆的标准方程为： ．
(2)设点 ， ，则 ， ，联立直线与椭圆的方程整理得： ，
所以 ， ， ，
因为 为锐角，所以 ，
所以 ，
整理得： ，解得： ，或 ，
所以实数 的取值范围为： 或 .
同类题型归类练
1．（2022·上海市建平中学高二期末）已知椭圆 ： ，焦点为 ､ ，过x轴上的一点M（m，
0）（ ）作直线l交椭圆于A､B两点.
(1)若点M在椭圆内，
①求多边形 的周长；
②求 的最小值 的表达式；
(2)是否存在与x轴不重合的直线l，使得 成立？如果存在，求出m的取值范围；如
果不存在，请说明理由.
【答案】(1)① ；②
(2)
（1）①由椭圆 ： 知， ，所以 ，根据椭圆的定义知，多边
形 的周长为： .②设 ，则
= ，其中 ，令
，①当 ，即 时， ，②当 即 ， ，③当 即 ，
，综上： .
（2）存在直线l，使得 成立.理由如下：设直线l的方程为 ，由
得 . ，化简得 .
设 ， ，则 ， .若 成立，即
，等价于 .所以 . ，
， ，化简得 ，即
，代入 中， ，恒成立，所以 或 ，所
以实数m的取值范围是 .
2．（2022·北京东城·三模）已知椭圆 的左焦点为 ，长轴长为 .过右焦点
的直线 交椭圆C于 两点，直线 分别交直线 于点 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)设线段 中点为 ，当点 位于 轴异侧时，求 到直线 的距离的取值范围.
【答案】(1) (2)
(1)由题可知 解得 .
故椭圆C的方程为 .
(2)当直线l的斜率不存在时，T到直线 的距离为1.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 .联立 消y，得 .
由 及题意，可得 .
设 ，则 .
直线 的方程为 ，
令 ，得 ，则 .
同理， .
因为点M，N位于x轴异侧，所以 .
即
，
解得 .
线段 中点T的横坐标为t，则 .
T到直线 的距离为 .
由 ，得 ，故 .
综上，T到直线 的距离的取值范围为 .
3．（2022·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）已知 分别是长轴长为4的椭圆C：
的左右焦点， 是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于 的一个动点，O为坐
标原点，点M为线段 的中点，且直线 与OM的斜率的积恒为 ．
(1)求椭圆C的方程(2)设过点 且不与坐标轴垂直的直线 交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N
的横坐标的取值范围是 ，求线段AB长的取值范围．
【答案】(1) (2)
(1)由已知， ，记 ，
因为 ，所以 ，
又点 在椭圆上，故 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以椭圆方程为 .
(2)设直线 ，联立直线与椭圆方程 ，
得 ，设 .
由韦达定理可得 ，
可得 ，
所以 的中点为 ，
所以线段AB的垂直平分线方程为 ，
所以 ，由已知条件得： ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
所以题型二：双曲线中的最值、范围问题
角度1：双曲线中最值问题
典型例题
例题1．（2022·浙江·高三专题练习）设双曲线 的右顶点为 ，虚轴长为 ，两准
线间的距离为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)设动直线 与双曲线 交于 两点，已知 ，设点 到动直线 的距离为 ，求 的最大值.
【答案】(1) (2)
(1)解：依题意可得 ，解得 ，所以双曲线方程为
(2)解：由（1）可知 ，依题意可知 ，设 ， ， ，
，则有 ， ，所以 ， ，所
以 ， ，
作差得 ，又 的方程为 ，所以 过定点 ，
所以 ，即 的最大值为 ；
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知点 ， ，双曲线 上除顶点外任一点 满足
直线 与 的斜率之积为4.
(1)求 的方程；
(2)若直线 过 上的一点 ,且与 的渐近线相交于 ， 两点，点 ， 分别位于第一、第二象限，
，求 的最小值.
【答案】(1) (2)1
(1)由题意得 ，即 ，
整理得 ，因为双曲线的顶点坐标满足上式，
所以C的方程为 .
(2)由（1）可知，曲线C的渐近线方程为 ，
设点 ， ， ， ， ，
由 ，得 ，
整理得 ， ①，
把①代入 ，整理得 ②，
因为 ，
，
所以 .由 ，得 ，
则 ，
当且仅当 时等号成立，所以 的最小值是1.
例题3．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知双曲线 （ ， ）的左､右焦点分
别为 ､ ，双曲线 的右顶点 在圆 上，且 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)动直线 与双曲线 恰有1个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ､ ，设 为坐标原点.
①求证：点 与点 的横坐标的积为定值；
②求△ 周长的最小值.
【答案】(1) ；(2)①证明见解析；②6.
(1)设双曲线 的半焦距为 ，
由 在圆 上，得： ，
由 ，得： ，
所以 ，则双曲线 的标准方程为 .(2)①当直线 的斜率存在时，设其方程为 ，显然 ，
联立 ，消去 得： ，
由直线 与双曲线 有且只有一个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分别相交知：直线 与双曲线的渐近
线不平行，所以 且 ，
于是得 ，则 ，
双曲线 的渐近线为 ，
联立 ，消去 得： ，
设 ， ，则 .
当直线 的斜率不存在时， ，故 ，
综上，点 与点 的横坐标的积为定值3.
②法1：由①， ，
则
，当且仅当 时取等号，
所以△ 周长的最小值为6.
法2：由① ，
则 ， ，
在△ 中，由余弦定理 ，
所以△ 的周长为
，当且仅当 时取等号，
所以△ 的周长的最小值为6.
同类题型归类练
1．（2022·江苏南通·模拟预测）已知双曲线C： 的左右顶点分别为 ，，两条准线之间的距离为1．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若点P为右准线上一点，直线PA与C交于A，M，直线PB与C交于B，N，求点B到直线MN的距离
的最大值．
【答案】(1) (2)1
(1)由题意得 ．设双曲线C的焦距为2c，则 ，所以 ．
所以 ，
所以双曲线C的标准方程 ．
(2)设 ，则直线PA的方程为： ．
由 ，得 ．
因为直线PA与C交于A，M，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
，
所以 ．
因为直线PB的方程为
由 ，得 ．
因为直线PB与C交于B，N，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
，所以 ．
所以当 时，直线MN的方程为
．
令 ，得 ．
所以直线MN过定点 ．
当 时， ，所以直线MN过定点 ．
所以当 时，点B到直线MN的距离取得最大值为1．
2．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知曲线 上任意一点 满足方程
，
(1)求曲线 的方程；
(2)若直线 与曲线 在 轴左､右两侧的交点分别是 ，且 ，求 的最小值.
【答案】(1) (2)8
(1)解：设 ，
则 ，等价于 ，
曲线 为以 为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为 ，
故曲线 的方程为： ；
(2)解：由题意可得直线 的斜率存在且不为0，可设直线 的方程为 ，
则直线 的方程为 ，由 ，得 ，
所以 ，同理可得， ，
所以 ，
，
当且仅当 时取等号，
所以当 时， 取得最小值8.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 ： 和圆 ： （其中原点 为
圆心），过双曲线 上一点 引圆 的两条切线，切点分别为 、 ．
（1）若双曲线 上存在点 ，使得 ，求双曲线离心率 的取值范围；
（2）求直线 的方程；
（3）求三角形 面积的最大值．
【答案】（1） ； （2） ；（3） ．
（1）因为 ，所以 ，所以 ．
由 及圆的性质，可知四边形 是正方形，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
故双曲线离心率 的取值范围为 ．
（2）因为 ，
所以以点 为圆心， 为半径的圆 的方程为 ．
因为圆 与圆 两圆的公共弦所在的直线即为直线 ，
所以联立方程组 ，
消去 ， ，即得直线 的方程为 ．
（3）由（2）知，直线 的方程为 ，所以点 到直线 的距离为 ．
因为 ，
所以三角形 的面积 ．
因为点 在双曲线 上，
所以 ，即 ．
设 ，
所以 ．
因为 ，
所以当 时， ，当 时， ．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．当 ，即 时，
，当 ，即 时， ．
综上可知，当 时， ；当 时， ．
角度2：双曲线中参数范围问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 与圆 交于点
第一象限 ，曲线 为 、 上取满足 的部分．
（1）若 ，求 的值；
（2）当 ， 与x轴交点记作点 、 ， 是曲线 上一点，且在第一象限，且 ，求
；（3）过点 斜率为 的直线 与曲线 只有两个交点，记为 、 ，用 表示 ，并
求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ， ．
（1）由 ，点A为曲线 与曲线 的交点，
联立 ，解得 ， ；
（2）由题意可得 ， 为曲线 的两个焦点，
由双曲线的定义可得 ，
又 ， ，
所以 ，
因为 ，则 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理可得
，
由 ，可得 ；
（3）设直线 ，可得原点O到直线l的距离 ，
所以直线l是圆的切线，设切点为M，
所以 ，并设 与圆 联立，
可得 ，
可得 ， ，即 ，
注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行，
所以只有当 时，直线l才能与曲线 有两个交点，由 ，可得 ，
所以有 ，解得 或 舍去 ，
因为 为 在 上的投影可得， ，
所以 ，
则 ．
例题2．（2022·全国·高二期末）如图，在平面直角坐标系 中，已知等轴双曲线
的左顶点 ，过右焦点 且垂直于 轴的直线与 交于 ， 两点，若
的面积为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）若直线 与双曲线 的左，右两支分别交于 ， 两点，与双曲线 的两条渐近线分别
交于 ， 两点，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
解：（1）因为双曲线 为等轴双曲线，
所以 ，设双曲线的焦距为2c， ，
故 ，即 ．
因为BC过右焦点F，且垂直于x轴，
将 代入 ，可得 ，故 ．
将 的面积为 ，
所以 ，即 ，所以 ， ，故双曲线E的方程为 ．
（2）依题意，直线 与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，
联立方程组 消去y可得， ，
所以 解得 ，且
所以
．
联立方程组 得 ，同理 ，
所以 ．
所以 ，其中 ，
所以 ．
例题3．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知椭圆 的左、右两个顶点分别为 、 ，曲线
是以 、 两点为顶点，焦距为 的双曲线，设点 在第一象限且在曲线 上，直线 与椭圆相交于
另一点 .
（1）求曲线 的方程；
（2）设 、 两点的横坐标分别为 、 ，求证 为一定值；
（3）设△ 与△ （其中 为坐标原点）的面积分别为 与 ，且 ，求 的取值范
围.【答案】（1） ；（2）证明见解析， ；（3） .
（1）由椭圆方程可得： ， ，即双曲线 中，
又双曲线焦距为
曲线 的方程为：
（2）由题意可知，直线 斜率存在，则可设
联立 得：
，
椭圆与直线联立得： 可得：
，即 为定值
（3）由（2）可设 ，
则 ，
又点 在双曲线 上 ，解得：
又 位于第一象限
，
令
在 上单调递减，在 上单调递增
，
的取值范围为
同类题型归类练1．（2022·上海普陀·二模）设 ， 分别是双曲线 的左、右两焦点，过点 的
直线 （ ）与 的右支交于 ， 两点， 过点 ，且它的虚轴的端点与焦点的
距离为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)当 时，求实数 的值；
(3)设点 关于坐标原点 的对称点为 ，当 时，求 面积 的值.
【答案】(1) ；(2) ；(3) .
(1)由 过点 ，且它的虚轴的端点与焦点的距离为 ，
所以 ，即 ，
则所求的双曲线 的方程为 .
(2)因为直线 过点 ，所以 ，
由 得：等腰三角形 底边 上的高的大小为 ，
又 到直线 的距离等于等腰三角形 底边上的高，则 ，
即 ，则 .
(3)设 ， ，
由 得： ，
则 ， ，又 ，即 ，
则 ， ，即 ，则 ，
又 关于坐标原点 的对称点为 ，
则 .则所求的 面积为 .
2．（2022·上海市延安中学高二期末）已知双曲线C经过点 ，它的两条渐近线分别为
和 .
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左､右焦点分别为 ､ ，过左焦点 作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求 周长
的取值范围.
【答案】(1) (2)
(1)设双曲线C的方程为 ，
代入点 ，得 ，
所以双曲线C的标准方程为 .
(2)双曲线C的左焦点为 ，
设 ､ ，
①若直线l的斜率不存在，则 ，得A､B的坐标分别为 和 ，
此时 的周长为 .
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为 ，
由 得 ，
因为直线l交双曲线的左支于A､B两点，所以 ，
得
设 的周长为z，
，
设 ，由 ，得 ，
， ，
所以 ，
综上，由①②可得 的周长的取值范围 .
3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知双曲线 的左焦点为 ，右顶点为
，点 是其渐近线上的一点，且以 为直径的圆过点 ， ，点 为坐标原点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)当点 在 轴上方时，过点 作 轴的垂线与 轴相交于点 ，设直线 与双曲线
相交于不同的两点 、 ，若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2) 或(1)解： ， ，双曲线 的渐近线方程为 ，
以 为直径的圆过点 ，所以， ，
不妨取点 在 上，设点 ， ， ，
因为 ，则 ，可得 ，则点 ,
，则 ， ，则 ，
所以，双曲线 的标准方程为 .
(2)解：由题意可知 ，设 、 ，
线段 中点 ，联立 得 ，
依题意 ，即 ①，
由韦达定理可得 ， ，
则 ， ，
， ， ，
所以， ②，
又 ③，由①②③得： 或 .
题型三：抛物线中的最值、范围问题
角度1：抛物线中最值问题
典型例题
例题1．（2022·贵州·毕节市第一中学高二阶段练习（文））过抛物线 的焦点且斜率为
的直线 与抛物线 交于 、 两点， .
（1）求抛物线 的方程；
（2）点 为抛物线 上一点，且 ，求 面积的最大值.【答案】（1） ；（2） .
（1）抛物线 的焦点为 ，直线 的方程为 ．
设 、 ．由 ，得 ．
， ，
故 ，所以 ，
因此抛物线 的方程为 ；
（2）由（1）得 的方程为 .
到直线 的距离为 .
因 ，所以 ，
所以 ，
因此 ，所以 面积的最大值为 .
例题2．（2022·河南洛阳·三模（文））已知抛物线 ： ， 是 上位于第一象限内的动点，
且 到点 的距离的最小值为 .直线 与 交于另一点 ， 是 上位于直线 下方的动点.
(1)求 的值；
(2)当 ，且 面积最大时，求 外接圆的标准方程.
【答案】(1)
(2)
(1)设 ，则 ，
整理得到： ，
故当 时， ，故 ，(2)由（1）可得 且 ，故直线 的斜率为 ，
设 ，
由 可得 ，故 或 ，
因为 在 轴下方，故 ，所以 ，故 ，
设 ，其中
又 到直线 的距离为 ，
因为 ，故 的取值范围为 ，
故 的最大值为 ，此时 面积最大，
且 面积最大时 即 ，
因为 ，所以 关于 轴对称，故 外接圆的圆心在 轴上，
设 外接圆的圆心为 ，设 ，
故 即 ，解得 ，
故圆的半径为 ，
故 外接圆的方程为： .
同类题型归类练
1．（2022·浙江·高三专题练习）如图所示，过抛物线 的焦点 作互相垂直的直线 ， ， 交抛物
线于 ， 两点（ 在 轴上方）， 交抛物线于 ， 两点，交其准线于点 ．（1）求四边形 的面积的最小值；
（2）若直线 与 轴的交点为 ，求 面积的最小值．
【答案】（1）32；（2） ．
（1）由已知可知直线 的斜率必存在，
设直线 的斜率为 ，抛物线 的焦点 ，
则 与抛物线相联立，
，
设 ， ，则 ，
，
同理， ，则四边形 的面积为
，
当且仅当 时，四边形 的面积的最小值为32．
（2）解：由题意可得 ，
令 ，得 .
由 ， ，得 ，又 ，
所以
.
所以.
记 ，
则 ，
解得 ，即 ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 .
2．（2022·江西赣州·一模（文））已知点 在曲线 上.
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)过原点的直线 与（1）中的曲线 交于 、 两点，求 的最大值与最小值.
【答案】(1)
(2)最小值为 ，最大值为
(1)解：由题意，点 在曲线 上，可得 ，
令 ，可得 ，
设 ，则 ，
即动点 的轨迹 的方程 .
(2)解：由题意，设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
要直线 与曲线 交于 、 两点，则方程 在 上有两解，
设 ，可得 ，解得 ，设 ，则 ，且
又由 ，
因为 ，
又因为 ，所以 的最小值为 ，最大值为 .
角度2：抛物线中参数范围问题
典型例题
例题1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ．直线 与抛物线 相
切于点 且与 轴交于点 ，点 是点 关于点 的对称点，直线 与抛物线 交于另一点 ，与准线
交于点 ．
(1)证明：直线 直线 ;
(2)设 的面积分别为 ，若 ，求点 的横坐标的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2) .
(1)不妨设 且 ，而在 上 ，则 ，
所以切线斜率为 ， ，则切线为 ，
整理得 ，令 得： ，由题意 ，则 ．
所以 ，则直线 直线 ，得证．(2)由（1）知： ， ，
所以 ，则 ，
直线
将 代入 得： ，
，即 ，
在 中取 得： ，
所以 ，又 ，
化简得： ，解得 ，
，故 的横坐标的取值范围 ．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 到
的距离为3，
(1)求抛物线 的方程和点 的坐标；
(2)设过点 且斜率为 的直线 与抛物线 交于不同的两点 ， ．若 ， 求
斜率 的取值范围．
【答案】(1) ， (2)
(1)由题意知 ，得 ，
所以抛物线C的方程为 ．
将点 代入 ，得 ，
所以点A的坐标为 ．
(2)直线 与抛物线 联立，消去y得 ，
，解得 或 ．
设 ，则有 ，则 ，即 ，又 ．
所以 ，则
因为 ，设 ，则 ，
因为 ，则
所以
因为 或 ，所以k的取值范围是
例题3．（2022·浙江·海亮高级中学模拟预测）已知抛物线 的焦点是 ，如图，过点
作抛物线 的两条切线，切点分别是 和 ，线段 的中点为 ．
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)求证：直线 轴；
(3)以线段 为直径作圆，交直线 于 ，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)证明见解析(3)
(1)设抛物线的方程为 ，
由题意可得 ，所以 ，所以抛物线方程 .
(2)由（1） ，因为 ，设 ，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立上述两直线方程，得 点坐标 ，
又因为 点为线段 的中点，所以 点坐标 ，
因为 ，所以直线 轴：
(3)因为点 ，所以 ，则 ，圆心 ，
直线 的斜率为 ，直线 方程为 ，
，得 ， ， ，
圆心到直线 的距离为 ，半径 ，
，令 ，
在 时单调递减， ．
同类题型归类练
1．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线
的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点，过线段
的中点M且与x轴平行的直线依次交直线 ， ，l于点P，Q，N．
(1)求证： ；
(2)若线段 上的任意一点均在以点Q为圆心、线段 长为半径的圆内或圆上，若 ，求实数的取值范围；
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)解：设 ，
则 ，
由于A，F，B三点共线，则 ，整理得 ，
又 ，
则 ，同理可得
则 ，
，所以 ，即证；
(2)解：若线段 上的任意一点均在以点Q为圆心、线段 长为半径的圆内或圆上，
即 ，则 ，
化简得 ， ，
即
可得 ，又因为 ，
，
可得 ， ， ，
， ，即2．（2022·全国·高二课时练习）已知两个定点 、 的坐标分别为 和 ，动点 满足
（ 为坐标原点）．
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)设点 为 轴上一定点，求点 与轨迹 上点之间距离的最小值 ；
(3)过点 的直线 与轨迹 在 轴上方部分交于 、 两点，线段 的垂直平分线与 轴交于 点，
求 点横坐标的取值范围．
【答案】(1) (2) (3)
(1)设 ， ， ， ， ，
，因为 ，
则 ，所以 ，即 ．
(2)设轨迹 ： 上任一点为 ，所以 ，
所以 ，
令 ，对称轴为： ，
当 ，即 时， 在区间 单调递增，所以 时， 取得最小值，即 ，
所以 ，
当 ，即 时， 在区间 单调递减，在区间 单调递增，
所以 时， 取得最小值，即 ，
所以 ，所以
(3)当直线 的斜率不存在时，此时 ： 与轨迹 不会有两个交点，故不满足题意；
当直线 的斜率存在时，设 ： ， 、 ，代入 ，
得 ，即 ，所以 ， ，
，
因为直线 与轨迹 在 轴上方部分交于 、 两点，所以 ，得 ，
即 ；又 、 两点在 轴上方，所以 ， ，即 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 中点 ，即 ，
所以垂直平分线为 ，
令 ，得 ，因为 ，所以 ，
所以 在 时单调递增，
所以 ，即 ，
所以 点横坐标的取值范围为： .
3．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知抛物线 上一点 ，抛物线 的焦点 在以
为直径的圆上（ 为坐标原点）.
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 引圆 的两条切线 、 ，切线 、 与抛物线 的另一交点
分别为 、 ，线段 中点的横坐标记为 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
(1)由已知条件可得 ， ，
解得 ，所以，抛物线的方程为 .
(2)由题意可知，过 引圆 的切线斜率存在，
设切线 的方程为 ，
则圆心 到切线 的距离 ，
整理得， .，
设切线 的方程为 ,
同理可得 .
所以， 是方程 的两根，
.设 ， ，
由 ，得 ，
由韦达定理知 ，
所以 ，同理可得 .
设点 的横坐标为 ，则
.
设 ，则 ，
所以 ，对称轴 ，则
