文档内容
第二十四章 圆
专题19 正多边形与圆重难点题型专训（八大题型）
【题型目录】
题型一 正多边形与圆之求角的度数
题型二 正多边形与圆之求线段长
题型三 正多边形与圆之求半径
题型四 正多边形与圆之求面积
题型五 正多边形与圆之求周长
题型六 正多边形与圆的实际应用
题型七 正多边形与圆的规律问题
题型八 正多边形与圆中的证明
【知识梳理】
知识点、正多边形与圆
（一）正多边形及有关概念
（1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。
（2）正多边形的画法：把圆 等分（ ），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，
这个圆就是这个正多边形的外接圆。
（3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。
（4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。
中心角
半径R
α
（5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。
O
边心距
（6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。
中心 r
（二）正多边形的有关计算
（1）正 边形的每个内角都等于
（2）正 边形的每个中心角都等于
（3）正 边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示，
设正 边形的半径为 一边 ，边心距 ，则有 正
边形
的周长 面积O
M
A B
【经典例题一 正多边形与圆之求角的度数】
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 与正五边形 的两边 ， 相切于 ， 两点，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，正六边形 内接于 ，点P在 上，点Q是 的
中点，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，正五边形 内接于 ，点 在弧 上，则 的度
数为 ．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图所示，在正五边形 中， 是 的中点，点 在线段上运动，连接 ，当 的周长最小时， 的度数为 ．
5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，正方形 内接于 ，连接 ，点F是 的中点，过
点D作 的切线与 的延长线相交于点G．
(1)试判断 与 的位置关系，并说明理由．
(2)求 的度数．
6．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，正五边形 的两条对角线 相交于点F．
(1)求 的度数；
(2)求证：四边形 为菱形．
【经典例题二 正多边形与圆之求线段长】1．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，已知 的半径为4，则该圆内接正六边形 的
边心距 （ ）
A． B． C． D．3
2．（2023·河北石家庄·统考二模）如图，在边长为 的正六边形 中，连接BE， ，相交于
点O，若点 分别为 ， 的中点，则 的长为（ ）
A．6 B． C．8 D．9
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，正八边形的边长为2，对角线 、 相交于点 ．则线段
的长为 ．
4．（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，正六边形的半径为 ，点 在边 上运动，连接 ，则
的长度可以是 （只写出一个满足条件的值即可）．5．（2023·河北邯郸·校考二模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大
圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分
布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如 ）始终垂直于水平线l．
(1) ________°
(2)若 ， 的半径为10，小圆的半径都为1：
①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________；
②当圆心H到l的距离等于 时，求 的长；
③求证：在旋转过程中， 的长为定值，并求出这个定值．
6．（2023秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图， 的半径为4，将该圆等分成8份，连接 ， 并
延长交于点 ．(1)连接 ，直接写出 和 的位置关系___________；
(2)求证： ；
(3)求 的长；
【经典例题三 正多边形与圆之求半径】
1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，圆内接正六边形 的周长为 ，则该正六边形的内切
圆半径为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·云南临沧·九年级统考期末）如图， 的内接正方形 的边长为4，则 的半径为
（ ）
A． B． C． D．2
3．（2023秋·甘肃庆阳·九年级统考期末）如果一个正六边形的周长等于 ，那么这个正六边形的内切
圆半径等于 ．
4．（2023·浙江温州·校联考三模）图1是由两个正六边形组成的壁挂置物架，轴对称仙人堂盆栽放置在木
板上，图2是其示意图．两个正六边形的边 与 ， 与 均在同一直线上．木板 （木
板厚度忽略不计）， ，则 的长为 ．盆栽由矩形 和圆弧 组成，且 ， ，恰好在同一直线上，已知 ，圆弧最高点 到 的距离与线段 的长度之比为 ，则圆
弧 的半径为 ．
5．（2022春·九年级课时练习）已知正六边形 内接于 ，图中阴影部分的面积为 ，则
的半径为多少？
6．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD内接于 O，∠ABC＝135°，AC＝4，求 O的
半径长． ⊙ ⊙
【经典例题四 正多边形与圆之求面积】
1．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）如图，已知正六边形 的边长为 ，分别以其对角线 、
为边作正方形，则两个阴影部分的面积差 的值为（ ）A．0 B．1 C．3 D．2
2．（2023·重庆·九年级统考学业考试）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展
现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六
边形 ）的外接圆，若已知该外接圆的半径是4，则正六边形 的面积是（ ）
A． B．24 C． D．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割
圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，已知 的半径为2，则 的
内接正六边形 的面积为 ．
4．（2023·江苏·九年级假期作业）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆
术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设 的半径为 ，若用 的内接正
六边形的面积来近似估计 的面积，则 的面积约为 ．5．（2023春·山东泰安·八年级肥城市实验中学校考期中）我们学习了平面图形的镶嵌，即用形状、大小完
全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．
镶嵌平面的图形有很多，值得我们研究的问题也有许多！如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三
角形的平面镶嵌图，如果整个镶嵌图三角形ABC的面积为75，则图中阴影部分的面积是多少？
6．（2023·浙江杭州·校联考二模）已知 的直径 ，弦 与弦 交于点E，且 ，垂足
为点F．
(1)如图1，若 ，求 的长．
(2)如图2，若E为弦 的中点，求证： ．
(3)连结 、 、 ，若 是 的内接正n边形的一边， 是 的内接正 边形的一边，求
的面积．
【经典例题五 正多边形与圆之求周长】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，若一个正六边形的对角线 的长为10，则正六边形的周长（
）
A．5 B．6 C．30 D．36
2．（2023春·江苏苏州·九年级专题练习）如图，正六边形 内接于⊙ ，若⊙ 的半径为6，则
的周长是( )
A． B． C． D．
3．（2023春·福建福州·九年级统考期中）如图，点 ， ， ， ， ， 分别是正六边形 各
边的中点，则六边形 与六边形 的周长比为 ．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AC、AD为正六边形ABCDEF的两条对角线，若该正六边形的
边长为2，则△ACD的周长为 ．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 是 的直径， ， 是 的弦， ，
延长 到 ，连接 ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)以 为边的圆内接正多边形的周长等于________．
6．（2021秋·江西南昌·九年级校联考阶段练习）如图，有一个亭子．它的地基是半径为4m的正六边形，
求地基的周长和面积．
【经典例题六 正多边形与圆的实际应用】
1．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为4的正六边
形 的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟一次跳1个顶点，黑跳棋按逆
时针方向3秒钟一次跳1个顶点，经过2022秒钟后停止跳动，此时两枚跳棋之间的距离是（ ）A．8 B． C．4 D．0
2．（2023春·山西·九年级专题练习）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现
了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4
的正六边形 ）放在平面直角坐标系中，若 与 轴垂直，顶点A的坐标为 ，则顶点 的
坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图①，蜜蜂的蜂巢结
构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为正六边形．如图②
是一部分巢房的截面图，建立平面直角坐标系，已知点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ．
4．（2023·浙江·九年级假期作业）如图1，将一个正方形纸片沿虚线对折两次，得到图2，按照图2所示剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，展开后得到一个如图3所示的正八边形 ，将前下的四
个等腰直角三角形拼成一个正方形 ，放在正八边形内部， 与 重合， 为 的中点，连接
．
（1）图1中的正方形纸片边长为 ；
（2）将正方形 绕点 顺时针旋转 度， 与 重合，此时 长为 ．
5．（2023·江苏·九年级假期作业）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务：
克罗狄斯•托勒密（约90年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他
还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的
乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有 ．
任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 ．
（2）如图2，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝2，求对角线BD的长．
6．（2021春·黑龙江鸡西·八年级统考期末）探究题：
（1） 都相等， 都相等的多边形叫做正多边形；
（2）如图，格点长方形MNPQ的各点分布在边长均为1的等边三角形组成的网格上，请在格点长方形
MNPQ内画出一个面积最大的格点正六边形ABCDEF，并简要说明它是正六边形的理由；（3）正六边形有 条对角线，它的外角和为 度．
【经典例题七 正多边形与圆的规律问题】
1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点 同时出发，沿正
六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第 次
相遇地点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南南阳·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形 的边 在 轴正半轴上，
顶点 在 轴正半轴上， ．将正六边形 绕原点 顺时针旋转，每次旋转 ，经过第
次旋转后，顶点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
3．（2023·河北沧州·模拟预测）某数学小组在一个半径为2的圆形场地上做探究实践活动．
（1）如图1，小组将圆形场地分为12等份．机器人从一个点到另外一个点均是直线行走．
①机器人从点 走到点 的路程为 ；
②机器人从点 到点 走了两条不同的路线．路线1： ；路线2： ，路线
1的长记为 ，路线2的长记为 ，则 ；（填“>”“<”或“=”）
（2）如图2，机器人从 出发，沿与半径 夹角为 的方向行走，走到场地边缘 后，再沿与 夹角
为 的方向折向行走至 ，…按照这样的方式，机器人走到 时第一次超过 ，且 ，则
．
4．（2023·山东菏泽·统考二模）如图，边长为4的正六边形 的中心与原点 重合， 轴，
交 轴于点 ，将 绕点 顺时针旋转，每次旋转 ，则第2023次旋转结束时，点 的坐标为
．5．（2023秋·九年级单元测试）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解
的意义．
(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆
度” ．如图，正三角形 的边长为1，求得其内切圆的半径为 ，因此 ___________；
(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度” ；
(3)[总结]随着n的增大， 具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括．
6．（2023秋·全国·九年级专题练习）【阅读理解】如图1， 为等边 的中心角，将 绕
点 逆时针旋转一个角度 ， 的两边与三角形的边 ， 分别交于点 ， ．
设等边 的面积为 ，通过证明可得 ，则
．(1)【类比探究】如图2， 为正方形 的中心角，将 绕点 逆时针旋转一个角度
， 的两边与正方形的边 ， 分别交于点 ， ．若正方形 的面积为 ，
请用含 的式子表示四边形 的面积（写出具体探究过程）．
(2)【拓展应用】如图3， 为正六边形 的中心角，将 绕点 逆时针旋转一个角度
， 的两边与正六边形的边 ， 分别交于点 ， ．若四边形 面积为
，请直接写出正六边形 的面积
(3)【猜想结论】如图4， 为正 边形 ……的中心角，将 绕点 逆时针旋转一个角度
， 的两边与正 边形的边 ， 分别交于点 ， ．若四边形 面积
为 ，请用含 、 的式子表示正 边形 ……的面积．
【经典例题八 正多边形与圆中的证明】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图所示，正五边形的对角线AC和BE相交于点M．
（1）求证：AC∥ED；
（2）求证：ME＝AE．2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知等腰 中，AB＝AC．
（1）如图1，若 为 的外接圆，求证： ；
（2）如图2，若 ， ，I为 的内心，连接IC，过点I作 交AC于点D，
求ID的长．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知：射线
求作： ，使得点 在射线 上， ， ．
作法：如图，①在射线 上取一点 ，以 为圆心， 长为半径作圆，与射线 相交于点 ；②以
为圆心， 为半径作弧，在射线 上方交⊙ 于点 ；③连接 ， ．则 即为所求的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 ．
∵ 为⊙ 的直径，∴ __________ ．
∵ ，
∴ 等边三角形．
∴ ．
∵点 ， 都在⊙ 上，
∴ ．（ ）（填推理的依据）
∴ ．
即为所求的三角形．
4．（2021·全国·九年级假期作业）如图，正方形 内接于 ， 为 任意一点，连接 、 ．
（1）求 的度数．
（2）如图2，过点 作 交 于点 ，连接 ， ， ，求 的长度．
5．（2022春·云南昆明·九年级昆明市第三中学统考阶段练习）已知正方形 的边长为 ．(1)将正方形 对折，折痕为 ，如图①把这个正方形展平，再将点 折到折痕 上的点 的位置，
折痕为 ．
①判断 的形状，并说明理由；
②求 的长；
(2)如图②当 时，在点 由点 移动到 中点的过程中，直接写出 面积的取值范围．
6．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点P是等边三角形 中 边上的动点（
），作 的外接圆交 于点D．点E是圆上一点，且 ，连接 交 于点F．
(1)求证：
(2)当点P运动变化时， 的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求 的度数．(3)探究线段 、 、 之间的数量关系，并证明．
