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专题 13 正多边形与圆、弧长和面积（课后小练）
满分100分 时间：45分钟 姓名：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共24分)
1．(本题4分)（2022·河北唐山·九年级期末）正六边形的中心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角是：360°÷6=60°．
【详解】解：正六边形的中心角是：360°÷6=60°．
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角．此题比较简单，注意准确掌握定义是关键．
2．(本题4分)（2022·福建·厦门市第十一中学九年级开学考试）一个正多边形的半径与边长相等，则这个
正多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得 ，再根据正多边形的中心角
与边数的关系即可得．
【详解】解：如图，由题意得： ，
是等边三角形，
，
则这个正多边形的边数为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的中心角与边数的关系是解题关键．
3．(本题4分)（2022·河南新乡·九年级期末）如图， 的外切正六边形 的边心距的长度为 ，
那么正六边形 的周长为（ ）A．2 B．6 C．12 D．
【答案】C
【分析】过点O作OG⊥AB，垂足为G，根据边心距得到OG= ，证明△OAB是等边三角形，利用勾股定
理求出AB，从而可得周长．
【详解】解：如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，
由题意可得：OG= ，
在正六边形ABCDEF中，∠AOB= =60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA= =2，
∴正六边形ABCDEF的周长为2×6=12，
故选：C．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出△OAB是等边三角形是解答此题的关键．
4．(本题4分)（2022·河北廊坊·二模）如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为 ）重合在一起，下
面一张保持不动，将上面一张纸片六边形 沿水平方向向左平移 个单位长度，则上面正六边
形纸片面积与折线 扫过的面积（阴影部分面积）之比是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 ， ， ，交于点O．连接 交 于点G．连接 ．由于六边形
是正六边形，可得：六边相等，六个内角相等，可求出各内角的度数为： ．由于点O是
正六边形的中心，可得： ．可证出 ．所以
是等边三角形，四边形 是菱形，同理可得出：四边形 是菱形，四边形
是菱形，且这三个菱形全等．由于四边形 是菱形，所以 ．在等边三角形 中，
边长为2a，可求出 ．所以 ，可求出
．由题意得： 、 、 ，三点共线，四边形 是平行四边形，
所以 ，可求出
所以 ．
【详解】解：连接 ， ， ，交于点O
连接 交 点G，连接
六边形 是正六边形
点O是正六边形的中心
在 和 中四边形 是菱形
同理可证：四边形 是菱形，四边形 是菱形
菱形 菱形 菱形
四边形 是菱形
， ，
，
在 中，
六边形 是正六边形
由平移得： 、 、 ，三点共线，四边形 是平行四边形，
同理：四边形 是平行四边形，且
故选A．【点睛】本题主要考查知识点，正多边形的性质以及平移的性质．正多边形是各边相等，各内角相等的多
边形．平移的图形，原点和对应点的连线等于平移的距离，原线段与对应线段平行且相等．掌握正多边形
的性质和平移的性质是解决本题的关键．
5．(本题4分)（2022·江苏·景山中学三模）已知正六边形的边长为4，则这个正六边形的半径为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据正六边形的特征和正三角形的性质计算求值即可；
【详解】解：∵正六边形的六条边平分整个外接圆，
∴每条边所对的圆心角为360°÷6=60°，
∴每条边的两个端点与外接圆圆心的连线构成等边三角形，
∴外接圆半径=正六边形边长=4，
故选： A．
【点睛】本题考查了正六边形和圆，等边三角形的判定和性质；掌握正六边形中心角的计算方法是解题关
键．
6．(本题4分)（2022·河北保定·二模）正六边形 边长为2，分别以对角线 和 为边作正方形，
则图中两个阴影部分的面积差 的值为（ ）A．8 B． C．4 D．0
【答案】C
【分析】求出两个正方形的面积，可得结论．
【详解】解：如图，
∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴AD＝4，OD= ，
∴CD= ，EC=2CD=2 ，
∴AD为边的正方形的面积为16，EC为边的正方形的面积为12，
∵a＋空白＝16，b＋空白＝12，
∴两个阴影部分的面积差a−b＝16−12＝4，
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形与圆，正方形的性质等知识，具体的规划是灵活运用所学知识解决问题，属于
中考常考题型．
第II卷（非选择题）
二、填空题(共20分)
7．(本题5分)（2021·宁夏银川·一模）已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后所得的扇形的圆心角为
120°，则该圆锥的母线长等于_________________．
【答案】15
【分析】根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得．
【详解】解：设圆锥的母线长为R，
由题意得 ，
解得：R=15．
故答案为：15．【点睛】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧
长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相
等关系，列方程求解．
8．(本题5分)（2022·内蒙古呼伦贝尔·九年级期末）如图，从一块直径是 m的圆形铁皮上剪出一个圆心
角为90°的扇形，将其围成一个圆锥，圆锥底面圆的半径是__________m．
【答案】
【分析】首先求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求解．
【详解】解：连接BC、AO，
∵⊙O的直径为 m，
∴半径是 m，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴BC⊥AO，AO＝BO＝ m，
在Rt ABO中，AB＝ m，
△
∴圆锥底面圆的弧长 ，
设圆锥底面圆的半径是r，
则 ，
∴ m，
故答案为： ．【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，
理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
9．(本题5分)（2022·河北邯郸·九年级期末）如图，将 ABC绕点C顺时针旋转120°得到 A'B'C，已知
△ △
AC=3，BC=2，则 =__________；线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________．
【答案】 ##
【分析】根据弧长公式可求得 的长；根据图形可以得出AB扫过的图形的面积=S ACA+S ABC-S
扇形 ′ 扇形
△
BCB-S ABC，由旋转的性质就可以得出S ABC=S ABC就可以得出AB扫过的图形的面积=S ACA-S
′ ′ ′ ′ ′ 扇形 ′ 扇
BCB求△出其值即可． △ △
形 ′
【详解】解：∵△ABC绕点C旋转120°得到 A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C， △
∴S ABC=S ABC，∠BCB′=∠ACA′=120°．
′ ′
△ △
∴ 的长为: 2π；
∵AB扫过的图形的面积=S ACA+S ABC-S BCB-S ABC，
扇形 ′ 扇形 ′ ′ ′
∴AB扫过的图形的面积=S ACA-S△ BCB， △
扇形 ′ 扇形 ′
∴AB扫过的图形的面积= ．
故答案为：2π； ．
【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，弧长公式以及扇形的面积公式的运用，
解答时根据旋转的性质求解是关键．
10．(本题5分)（2021·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知圆锥的母线长是9cm，它的侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的高为 _____cm．
【答案】6
【分析】设圆锥底面半径为 ，那么圆锥底面圆周长为 ，所以侧面展开图的弧长为 ，然
后利用扇形的面积公式即可得到关于 的方程，解方程即可求得圆锥底面圆的半径，然后利用勾股定理求
得圆锥的高即可．
【详解】解：设圆锥底面半径为 ，
那么圆锥底面圆周长为 ，
所以侧面展开图的弧长为 ，
，
解得： ，
圆锥的高为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识和圆锥侧面面积的计算，解题的关键是正确理解圆锥的侧面
展开图与原来的扇形之间的关系，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
三、解答题(共56分)
11．(本题10分)（2022·陕西师大附中模拟预测）如图，已知AC为 的直径．请用尺规作图法，作出
的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法）
【答案】见解析
【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形．
【详解】解：如图，正方形ABCD为所作．
∵BD垂直平分AC，AC为 的直径，
∴BD为 的直径，
∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC，
∴四边形ABCD是 的内接正方形．【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的
基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定．
12．(本题10分)（2022·全国·九年级）如图，正五边形 内接于 ，点F在 上，求 的度
数．
【答案】
【分析】如图所示，连接OC、OD，由正五边形的性质可得 的度数，由圆周角与圆心角的关系：在
同圆或等圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出答案．
【详解】
如图所示，连接OC、OD，
五边形 是正五边形，
，
．
【点睛】本题考查正多边形和圆以及圆周角定理，解题关键是构造弧CD所对的圆心角．
13．(本题12分)（2021·湖南·长沙市中雅培粹学校九年级阶段练习）如图，点A，B，C在直径为2的⊙O上，∠BAC＝45°．
(1)求弧BC的长度；
(2)求图中阴影部分的面积．（结果中保留π）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接OB，OC．根据∠BOC＝2∠A，∠A＝45°，可得∠BOC＝90°，根据⊙O的直径为2，可
得OB＝OC＝1，即利用弧长公式即可求解答案；
（2）根据∠BOC＝90°，可知△BOC是直角三角形，根据OB＝OC＝1，即可求出△BOC的面积和扇形
OBC的面积，再根据S ＝S OBC﹣S OBC即可求解．
阴 扇形
△
（1）如图，连接OB，OC． ∵∠BOC＝2∠A，∠A＝45°，∴∠BOC＝90°，∵⊙O
的直径为2，∴OB＝OC＝1，∴ ；
（2）∵∠BOC＝90°，∴△BOC是直角三角形，∵⊙O的直径为2，∴OB＝OC＝1，∴△BOC的面积为
，∵ ，即S ＝S OBC﹣S OBC
阴 扇形
△
＝ ．【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、扇形面积公式等知识，掌握圆周角定理证明出∠BOC＝90°是
解答本题的关键．
14．(本题12分)（2022·吉林通化·九年级期末）如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1
个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点， 的顶点均在格点上．将 绕点 顺时针旋转 ，
得到 ．
(1)画出 ；
(2)边 在旋转过程中扫过的图形面积为______．
【答案】(1)图见解析
(2)
【分析】（1）利用旋转的性质找出点 和点 的对应点即可画出图形；
（2）根据扇形的面积公式计算即可．
(1)
解：如图，∵小正方形的边长为1个单位长度，
∴ ， ，
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴点 和点 是一组对应点，
∵ ， ，
∴点 和点 是一组对应点，
连接 ， ， ，
则 即为所作．(2)
由（1）知：边 在旋转过程中扫过的图形面积就是以 的长为半径，圆心角为 的扇形的面积，
∵ ，
∴边 在旋转过程中扫过的图形面积为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了作图—旋转变换，扇形的面积计算，旋转的性质，勾股定理及勾股定理逆定理等
知识，旋转的性质：旋转后的图形与原图形全等；对应线段与旋转中心形成的角叫做旋转角，各旋转角都
相等；对应点到旋转中心距离相等．准确画出旋转后的图形是解题的关键．
15．(本题12分)（2022·江苏扬州·七年级期中）小明和小华在进行探究性学习：小明在半径为r的半圆中
画两个直径均为r的小半圆（如图1），小华在半径为r的半圆中画两个直径分别为a、b的小半圆（如图
2），分别计算剩余的阴影部分面积 和 ，并比较它们的大小．
(1)用r的代表式表示阴影部分的面积 _________；
(2)用a、b的代数式表示阴影部分的面积 _________；
(3)设 ，那么（ ）；A. ；B． ；C． ；D． 与 的大小关系无法确定
(4)请对你在（3）中得到的结论进行验证，说明其道理．
【答案】(1)
(2)
(3)C
(4)答案见解析
【分析】（1）用半径为r的半圆的面积减去直径为r的圆的面积即可；
（2）用直径为（a+b）的半圆的面积减去直径为a的半圆的面积，再减去直径为b的半圆的面积即可；
（3）（4）将a＝r+c，b＝r﹣c，代入S，然后与S 比较即可．
2 1
（1）
解：S＝ ；
1
（2）
解：S＝
2
，
，
故答案为： ；
（3）
解：选：B；
（4）
解：将a＝r+c，b＝r﹣c，代入S，得：
2
S＝ ，
2
∵c＞0，
∴r2＞r2﹣c2，
即S＞S．
1 2故选B．
【点睛】本题考查了列代数式表示图形的面积，解题的关键是：结合图形分清各个半圆的半径及熟记圆的
面积公式．
