文档文本内容
专题 2.8 正多边形和圆（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:19)............................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:20)(cid:19)................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:24)(cid:35)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:30)(cid:29)(cid:3)(cid:45)(cid:19)............................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:24)(cid:35)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:24)(cid:44)(cid:46)(cid:29)(cid:3)(cid:45)(cid:19)............................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:29)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:39)(cid:20)(cid:19)....................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:42)(cid:51)(cid:37)(cid:52)(cid:30)(cid:53)(cid:54)(cid:45)(cid:29)(cid:55)(cid:56)(cid:19)............................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:43)(cid:29)(cid:57)(cid:58)(cid:19)........................................................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:43)(cid:29)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:20)(cid:19)..............................................................................................................10
知识点1 正多边形及有关概念
1. (cid:61)(cid:24)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:61)(cid:30)(cid:65)(cid:62)(cid:63)(cid:29)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:66)(cid:67)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:68)
2. (cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:10)(cid:71)(cid:27)(cid:72)(cid:73)n(cid:74)n ≥3)(cid:63)(cid:75)(cid:64)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:70)(cid:61)(cid:63)(cid:72)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:29)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:27)(cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:22)n(cid:24)(cid:25)(cid:64)
(cid:84)(cid:85)(cid:27)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:22)n(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:86)(cid:70)(cid:27)(cid:68)
3. (cid:42)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:3)(cid:29)(cid:87)(cid:88)
(cid:74)1(cid:89)(cid:43)(cid:44)(cid:64)(cid:90)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:86)(cid:70)(cid:27)(cid:29)(cid:27)(cid:44)(cid:91)
(cid:74)2(cid:89)(cid:40)(cid:41)(cid:64)(cid:90)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:86)(cid:70)(cid:27)(cid:29)(cid:40)(cid:41)(cid:91)
(cid:74)3(cid:89)(cid:43)(cid:44)(cid:30)(cid:64)(cid:90)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:92)(cid:93)(cid:24)(cid:94)(cid:95)(cid:29)(cid:27)(cid:44)(cid:30)(cid:91)
(cid:74)4(cid:89)(cid:24)(cid:44)(cid:46)(cid:64)(cid:90)(cid:43)(cid:44)(cid:81)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:93)(cid:24)(cid:29)(cid:46)(cid:96)(cid:68)知识点2 正多边形的有关计算
(cid:97)(cid:22)n(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:40)(cid:41)(cid:98)R(cid:64)(cid:24)(cid:35)(cid:98)a(cid:64)(cid:24)(cid:44)(cid:46)(cid:98)r(cid:64)(cid:99) (cid:100)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:98)(cid:102)(cid:10)
° °
(cid:74)1(cid:89)(cid:92)(cid:85)(cid:69)(cid:30)(cid:98) (cid:91)(cid:92)(cid:85)(cid:43)(cid:44)(cid:30)(cid:98) (cid:91)(cid:92)(cid:85)
(𝒏−𝟐)⋅𝟏𝟖𝟎 𝟑𝟔𝟎
𝒏 𝒏
°
(cid:86)(cid:30)(cid:98) (cid:91)
𝟑𝟔𝟎
𝒏
(cid:74)2(cid:89)(cid:40)(cid:41)(cid:36)(cid:24)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:44)(cid:46)(cid:29)(cid:3)(cid:45)(cid:98) = +( )
2
2 2 𝑎 2
𝑅 𝑟
(cid:74)3(cid:89)(cid:34)(cid:35) = (cid:91)(cid:37)(cid:38) = 1 = 1
2 2
𝑙 𝑛𝑎 𝑆 𝑎𝑟𝑛 𝑙𝑟
知识点3 正多边形的画法
(cid:103)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:3)(cid:104)(cid:83)(cid:63)(cid:72)(cid:27)(cid:34)(cid:64)(cid:63)(cid:72)(cid:27)(cid:34)(cid:28)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:10)
1. (cid:109)(cid:110)(cid:30)(cid:111)(cid:63)(cid:72)
(cid:112)(cid:79)(cid:10)(cid:74)1(cid:89)(cid:113)(cid:100)(cid:103)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:91)
(cid:74)2(cid:89)(cid:24)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:64)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:119)(cid:126)(cid:127)(cid:68)
360° 1
(cid:128)(cid:129)(cid:10)(cid:74)1(cid:89)(cid:109)(cid:110)(cid:30)(cid:111)(cid:103)(cid:93)(cid:85)(cid:63)(cid:130) (cid:29)(cid:27)(cid:44)(cid:30)(cid:64)(cid:84)(cid:85)(cid:30)(cid:94)(cid:95)(cid:29)(cid:131)(cid:82)(cid:83)(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:29) (cid:91)
(cid:74)2(cid:89)(cid:132)(cid:27)(cid:133)(cid:76)(cid:77)(cid:134)(cid:135)(cid:42)(cid:84)(cid:136)(cid:131)(cid:62)(cid:63)𝑛(cid:29)(cid:131)(cid:64)(cid:82)(cid:80)(cid:81)(cid:27)(cid:29)n(cid:63)(cid:72)(cid:79)(cid:91) 𝑛
(cid:74)3(cid:89)(cid:137)(cid:77)(cid:78)(cid:70)(cid:61)(cid:63)(cid:72)(cid:79)(cid:64)(cid:90)(cid:80)(cid:81)(cid:27)(cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:22)n(cid:24)(cid:25)(cid:68)
2. (cid:109)(cid:47)(cid:48)(cid:63)(cid:72)
(cid:112)(cid:79)(cid:10)(cid:74)1(cid:89)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:27)(cid:115)(cid:116)(cid:63)(cid:72)(cid:64)(cid:141)(cid:142)(cid:93)(cid:143)(cid:112)(cid:144)(cid:29)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:64)(cid:145)(cid:22)(cid:146)(cid:36)(cid:147)(cid:36)(cid:148)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:64)(cid:22)(cid:149)(cid:36)(cid:101)(cid:36)(cid:148)(cid:150)(cid:24)(cid:25)
(cid:63)(cid:91)(cid:74)2(cid:89)(cid:49)(cid:50)(cid:151)(cid:125)(cid:152)(cid:153)(cid:68)
(cid:103)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:128)(cid:129)(cid:10)(cid:74)1(cid:89)(cid:49)(cid:52)(cid:41)AD(cid:91)
(cid:74)2(cid:89)(cid:72)(cid:154)(cid:100)A(cid:64)D(cid:98)(cid:27)(cid:44)(cid:64)OA(cid:35)(cid:98)(cid:40)(cid:41)(cid:103)(cid:131)(cid:64)(cid:72)(cid:154)(cid:155) O(cid:130)(cid:79)B(cid:64)F(cid:64)C(cid:64)E(cid:91)
(cid:74)3(cid:89)(cid:137)(cid:77)(cid:78)(cid:70)AB(cid:64)BC(cid:64)CD(cid:64)DE(cid:64)EF(cid:64)FA(cid:64)(cid:80)(cid:22)(cid:101)(cid:24)⊙(cid:25)ABCDEF(cid:68)【题型1 正多边形和圆有关的角度计算】
(cid:15)(cid:102)1(cid:19)(cid:74)2025·(cid:146)(cid:156)(cid:157)(cid:158)·(cid:93)(cid:159)(cid:89)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:22)(cid:160)(cid:24)(cid:25) (cid:69)(cid:70)(cid:130) (cid:64)(cid:79) (cid:98) (cid:29)(cid:43)(cid:79)(cid:64)(cid:99) =(cid:74) (cid:89)
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 ⊙𝑂 𝐹 𝐴𝐸 ∠𝐴𝐵𝐹
A(cid:68)9° B(cid:68)12° C(cid:68)18° D(cid:68)36°
(cid:15)(cid:161)(cid:162)1-1(cid:19)(cid:74)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:166)·(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)·(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:89)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:22)(cid:160)(cid:24)(cid:25) (cid:69)(cid:70)(cid:130) (cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:64)(cid:99)
(cid:29)(cid:31)(cid:117)(cid:98)(cid:74) (cid:89) 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 ⊙𝑂 𝑂𝐶 ∠𝐵𝐶𝑂
A(cid:68)36° B(cid:68)48° C(cid:68)54° D(cid:68)60°
(cid:15)(cid:161)(cid:162)1-2(cid:19)(cid:74)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:133)·(cid:175)(cid:176)(cid:177)(cid:178)·(cid:179)(cid:180)(cid:89)(cid:145)(cid:50)(cid:64) (cid:83) (cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:160)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:93)(cid:136)(cid:24)(cid:64) (cid:83)(cid:181)(cid:131) (cid:133)
(cid:29)(cid:105)(cid:79)(cid:64)(cid:182)(cid:79) (cid:132)(cid:79) (cid:29)(cid:183)(cid:184)(cid:68)(cid:185) =120°(cid:64)(cid:99) 𝐴𝐵(cid:29)(cid:31)⊙(cid:117)𝑂(cid:98) °(cid:68) 𝐵, 𝐶 𝐴𝐶𝐷
𝐶 𝐵 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶
(cid:15)(cid:161)(cid:162)1-3(cid:19)(cid:74)2025·(cid:186)(cid:16)(cid:187)(cid:168)·(cid:150)(cid:159)(cid:89)(cid:145)(cid:50)(cid:64) (cid:83) (cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:148)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:93)(cid:136)(cid:24)(cid:64)(cid:52)(cid:188) (cid:189)(cid:190)(cid:79) (cid:182)(cid:42) (cid:62)(cid:191)(cid:64)
(cid:99) (cid:29)(cid:31)(cid:117)(cid:98)(cid:74) (cid:89) 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝑙 𝐵 ⊙𝑂
∠1
A(cid:68)16° B(cid:68)18° C(cid:68)20° D(cid:68)36°【题型2 正多边形和圆有关的周长、面积问题】
(cid:15)(cid:102)2(cid:19)(cid:74)2025·(cid:178)(cid:192)·(cid:93)(cid:159)(cid:89)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:22)(cid:147)(cid:24)(cid:25) (cid:69)(cid:70)(cid:130) (cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:64) (cid:68)(cid:185) (cid:29)(cid:40)(cid:41)(cid:98)2(cid:64)
(cid:99)(cid:188)(cid:172) (cid:64) (cid:42) (cid:193)(cid:73)(cid:29)(cid:50)(cid:25)(cid:74)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:72)(cid:89)𝐴(cid:37)𝐵𝐶(cid:38)𝐷𝐸(cid:98)𝐹(cid:74)𝐺𝐻 (cid:89) ⊙𝑂 𝐴𝐷 𝐺𝐷 ⊙𝑂
𝐴𝐷 𝐺𝐷 𝐴𝐺
A(cid:68) B(cid:68) +2 3 C(cid:68) +2 2 D(cid:68) + 2
2
𝜋
(cid:15)(cid:161)(cid:162)2-1(cid:19)(cid:74)2025·(cid:186)(cid:16)(cid:16)𝜋(cid:168)·(cid:150)(cid:159)(cid:89)(cid:197)(cid:198)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:199)𝜋(cid:200)(cid:201)(cid:109)(cid:130)(cid:202)(cid:203)(cid:36)(cid:204)(cid:205)(cid:36)𝜋(cid:206)(cid:207)(cid:63)(cid:107)(cid:37)(cid:64)(cid:208)(cid:117)(cid:11)(cid:209)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:132)
(cid:11)(cid:174)(cid:213)(cid:197)(cid:198)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:29)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:80)(cid:218)(cid:219)(cid:64)(cid:97)(cid:32)(cid:213)(cid:145)(cid:50)2(cid:29)(cid:220)(cid:221)(cid:50)(cid:25)(cid:64)(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:29)(cid:211)(cid:225)(cid:226)(cid:114)(cid:100)(cid:166)(cid:39)(cid:20)(cid:10)(cid:145)(cid:50)3(cid:64)(cid:22)
(cid:160)(cid:24)(cid:25) (cid:29)(cid:24)(cid:35)(cid:98)3(cid:64)(cid:72)(cid:154)(cid:100) (cid:26) (cid:98)(cid:27)(cid:44)(cid:64)3(cid:98)(cid:40)(cid:41)(cid:49) (cid:26) (cid:155)(cid:130)(cid:79) (cid:64)(cid:227)(cid:120)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:72)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:98) (cid:68)
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 𝐴 𝐸 𝐵𝑃𝐸 𝐴𝑃𝐷 𝑃
(cid:15)(cid:161)(cid:162)2-2(cid:19)(cid:228)(cid:229)(cid:132)(cid:230)(cid:163)(cid:231)(cid:33)(cid:232)(cid:4)(cid:233)(cid:43)(cid:234)(cid:235)“(cid:236)(cid:27)(cid:232)”(cid:64)(cid:237)(cid:109)(cid:27)(cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:238)(cid:153)(cid:239)(cid:27)(cid:34)(cid:240)(cid:68)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:69)(cid:196)(cid:23)
(cid:24)(cid:25)(cid:98) (cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:148)(cid:150)(cid:24)(cid:25)(cid:64)(cid:185) (cid:29)(cid:40)(cid:41)(cid:98)2(cid:64)(cid:99)(cid:84)(cid:85)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:148)(cid:150)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:98)(cid:74) (cid:89)
⊙𝑂 ⊙𝑂
A(cid:68)1 B(cid:68)6 3 C(cid:68)12 D(cid:68)4
(cid:15)(cid:161)(cid:162)2-3(cid:19)(cid:74)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:133)·(cid:175)(cid:176)(cid:241)(cid:242)·(cid:179)(cid:180)(cid:89)(cid:243)(cid:101)(cid:244)(cid:62)(cid:245)(cid:29)(cid:246)30°(cid:29)(cid:52)(cid:30)π(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:247)(cid:73)(cid:93)(cid:85)(cid:119)(cid:29)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:64)
(cid:69)(cid:196)(cid:248)(cid:166)(cid:93)(cid:85)(cid:211)(cid:29)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:249)(cid:250)(cid:64)(cid:185)(cid:251)(cid:52)(cid:30)(cid:149)(cid:30)(cid:25)(cid:59)(cid:252)(cid:29)(cid:24)(cid:35)(cid:98)1(cid:64)(cid:253)(cid:254)(cid:211)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:98) (cid:64)(cid:34)(cid:35)
(cid:98) (cid:68)【题型3 正多边形的边长、半径与中心角的关系】
(cid:15)(cid:102)3(cid:19)(cid:74)2025·(cid:255)(cid:229)(cid:56)(cid:256)·(cid:93)(cid:159)(cid:89)(cid:145)(cid:50)1(cid:64)(cid:84)(cid:83)(cid:43)(cid:257)(cid:258)(cid:202)(cid:203)(cid:43)(cid:29)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:259)(cid:260)(cid:97)(cid:32)(cid:50)(cid:64)(cid:50)2(cid:83)(cid:243)(cid:261)(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:73)
2
(cid:29)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25) (cid:64) (cid:83)(cid:265)(cid:29)(cid:86)(cid:70)(cid:27)(cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:64) (cid:64)(cid:49) (cid:68)(cid:185)(cid:266)(cid:131) (cid:29)(cid:35)(cid:98) (cid:64)(cid:99) = (cid:68)
3
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 ⊙𝑂 𝑂𝐶 𝑂𝐷 𝑂𝐺⊥𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝜋 𝑂𝐺
(cid:15)(cid:161)(cid:162)3-1(cid:19)(cid:185)(cid:93)(cid:85)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:24)(cid:44)(cid:46)(cid:83)(cid:24)(cid:35)(cid:29)(cid:93)(cid:40)(cid:64)(cid:99)(cid:84)(cid:85)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:43)(cid:44)(cid:30)(cid:29)(cid:31)(cid:117)(cid:83) °(cid:68)
(cid:15)(cid:161)(cid:162)3-2(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:22)(cid:147)(cid:24)(cid:25) (cid:69)(cid:70)(cid:130) (cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:64) (cid:64)(cid:99) = °(cid:68)
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 ⊙𝑂 𝐴𝑂 𝐵𝑂 ∠𝐹𝐸𝐷−∠𝐴𝑂𝐵
(cid:15)(cid:161)(cid:162)3-3(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:22)(cid:160)(cid:24)(cid:25) (cid:69)(cid:70)(cid:130) (cid:64)(cid:190)(cid:79)D(cid:49) (cid:29)(cid:191)(cid:188)(cid:155) (cid:29)(cid:267)(cid:35)(cid:188)(cid:130)(cid:79)F(cid:68)(cid:99) (cid:29)(cid:31)(cid:117)
(cid:98) (cid:68) 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 ⊙𝑂 ⊙𝑂 𝐴𝐸 ∠𝐹
【题型4 正多边形的边长、半径与边心距的关系】
(cid:15)(cid:102)4(cid:19)(cid:74)24-25(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:133)·(cid:255)(cid:229)(cid:268)(cid:178)·(cid:179)(cid:180)(cid:89)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25) (cid:69)(cid:70)(cid:130) (cid:64) (cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:98) (cid:64)(cid:99)(cid:24)
(cid:44)(cid:46) (cid:29)(cid:35)(cid:98)(cid:74) (cid:89) 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 ⊙𝑂 ⊙𝑂 4𝜋
𝑂𝑀3 1
A(cid:68) 3 B(cid:68) C(cid:68) D(cid:68)2 3
2 2
(cid:15)(cid:161)(cid:162)4-1(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:24)(cid:35)(cid:98)2(cid:29)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25) (cid:69)(cid:70)(cid:130) (cid:64)(cid:99)(cid:265)(cid:29)(cid:24)(cid:44)(cid:46)(cid:98) (cid:68)
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 ⊙𝑂
(cid:15)(cid:161)(cid:162)4-2(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25) (cid:69)(cid:70)(cid:130) (cid:64)(cid:79)P(cid:132) (cid:133)(cid:182)(cid:79)P(cid:42)(cid:79)A(cid:64)(cid:79)B(cid:138)(cid:269)(cid:56)(cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:64)
⏜
(cid:64) (cid:64)(cid:109)(cid:63)(cid:162)(cid:270)(cid:271) (cid:36) 𝐴(cid:36)𝐵𝐶𝐷𝐸(cid:272)𝐹(cid:273)(cid:29)(cid:117)(cid:110)⊙(cid:3)𝑂(cid:45)(cid:83) 𝐴𝐵(cid:68) 𝑃𝐴
𝑃𝐵 𝑃𝐶 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐶
(cid:15)(cid:161)(cid:162)4-3(cid:19)(cid:74)2025(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:166)·(cid:274)(cid:257)·(cid:275)(cid:20)(cid:173)(cid:174)(cid:89)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:276)(cid:214) (cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:63)(cid:130) cm(cid:64)(cid:99)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)
(cid:29)(cid:24)(cid:44)(cid:46) (cid:29)(cid:35)(cid:98) (cid:68) ⊙𝑂 8𝜋 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹
𝑂𝑀
【题型5 正多边形和圆有关的尺规作图问题】
(cid:15)(cid:102)5(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:132) O(cid:43)(cid:64)MF(cid:98)(cid:52)(cid:41)(cid:64)OA MF(cid:64)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:160)(cid:24)(cid:25)ABCDE(cid:29)(cid:196)(cid:72)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:128)(cid:129)(cid:145)(cid:166)(cid:10)
(cid:49)(cid:114)(cid:40)(cid:41)OF(cid:29)⊙(cid:43)(cid:79)H(cid:68) ⊥
①(cid:100)(cid:79)H(cid:98)(cid:27)(cid:44)(cid:64)HA(cid:98)(cid:40)(cid:41)(cid:49)(cid:27)(cid:131)(cid:64)(cid:155)(cid:52)(cid:41)MF(cid:130)(cid:79)G(cid:68)
②AG(cid:35)(cid:90)(cid:98)(cid:22)(cid:160)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:24)(cid:35)(cid:36)(cid:76)(cid:77)(cid:49)(cid:114)(cid:61)(cid:63)(cid:72)(cid:79)B(cid:64)C(cid:64)D(cid:64)E(cid:68)
(cid:276)③(cid:214) O(cid:29)(cid:40)(cid:41)R(cid:277)2(cid:64)(cid:99)AB2(cid:277) (cid:68)(cid:74)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:248)(cid:281)(cid:9)(cid:89)
⊙
(cid:15)(cid:161)(cid:162)5-1(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:276)(cid:214) O(cid:64)(cid:109)(cid:47)(cid:48)(cid:49) O(cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:146)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:68)(cid:74)(cid:282)(cid:114)(cid:278)(cid:283)(cid:64)(cid:138)(cid:282)(cid:49)(cid:108)(cid:64)(cid:280)(cid:248)(cid:49)(cid:50)(cid:284)(cid:285)(cid:64)
(cid:286)(cid:71)(cid:49)(cid:50)(cid:284)(cid:285)(cid:109)(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:290)⊙(cid:291)(cid:292)(cid:287)(cid:89) ⊙
(cid:15)(cid:161)(cid:162)5-2(cid:19)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:10)(cid:145)(cid:50)(cid:64)AD(cid:98) O(cid:29)(cid:52)(cid:41)(cid:293)
⊙
(1)(cid:294)(cid:49)(cid:10) O(cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)ABCDEF.((cid:295)(cid:294)(cid:10)(cid:138)(cid:282)(cid:49)(cid:108),(cid:280)(cid:248)(cid:49)(cid:50)(cid:284)(cid:285))(cid:91)
(2)(cid:276)(cid:214)(cid:78)⊙(cid:70)DF(cid:64) O(cid:29)(cid:40)(cid:41)(cid:98)4(cid:64)(cid:294)DF(cid:29)(cid:35)(cid:293)
(cid:15)(cid:161)(cid:162)5-3(cid:19)(cid:132)(cid:27)(cid:69)⊙(cid:70)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25) (cid:43)(cid:64) (cid:64) (cid:72)(cid:154)(cid:155) (cid:130)(cid:79)H(cid:64)G(cid:68)
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 𝐴𝐶 𝐸𝐶 𝐵𝐷(1)(cid:145)(cid:50)①(cid:64)(cid:294)(cid:57)(cid:10)(cid:79)H(cid:64)G(cid:149)(cid:63)(cid:72) (cid:68)
(2)(cid:145)(cid:50)②(cid:64)(cid:296)(cid:49)(cid:286)(cid:57)(cid:58)(cid:68) 𝐵𝐷
①(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:10)(cid:190)(cid:79)O(cid:49) (cid:29)(cid:297)(cid:188)(cid:64)(cid:297)(cid:298)(cid:98)K(cid:64)(cid:100)(cid:79)O(cid:98)(cid:27)(cid:44)(cid:64) (cid:29)(cid:35)(cid:98)(cid:40)(cid:41)(cid:49)(cid:27)(cid:91)(cid:74)(cid:132)(cid:50)②(cid:43)(cid:299)(cid:73)(cid:49)(cid:50)(cid:64)
(cid:280)(cid:248)(cid:49)(cid:50)(cid:284)(cid:285)(cid:64)(cid:138)(cid:300)(cid:295)(cid:282)𝐴(cid:49)𝐶 (cid:108)(cid:89) 𝑂𝐾
②(cid:294)(cid:57)(cid:10) (cid:83)①(cid:94)(cid:49)(cid:27)(cid:29)(cid:191)(cid:188)(cid:68)
【题型6 𝐶 正 𝐸 多边形和圆与平面直角坐标系的综合】
(cid:15)(cid:102)6(cid:19)(cid:132)(cid:176)(cid:301)(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:305)(cid:306)(cid:162)(cid:26)(cid:307)(cid:306)(cid:162)(cid:43)(cid:64)(cid:93)(cid:308)“(cid:309)(cid:310)”(cid:29)(cid:311)(cid:312)(cid:313)(cid:314)(cid:213)“(cid:315)(cid:316)(cid:119)(cid:245)(cid:64)(cid:317)(cid:166)(cid:93)(cid:318)”(cid:29)(cid:319)(cid:20)(cid:64)(cid:320)(cid:315)(cid:316)
(cid:321)(cid:8)(cid:219)(cid:322)(cid:213)(cid:43)(cid:257)(cid:323)(cid:29)(cid:324)(cid:325)(cid:64)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:276)(cid:214)“(cid:309)(cid:310)”(cid:50)(cid:326)(cid:74)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25) (cid:89)(cid:29)(cid:24)(cid:35)(cid:83)4(cid:68)
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹
(cid:74)1(cid:89)(cid:145)(cid:50)1(cid:64)(cid:49)(cid:114)“(cid:309)(cid:310)”(cid:50)(cid:326)(cid:29)(cid:86)(cid:70)(cid:27)(cid:64)(cid:99) (cid:35)(cid:98) (cid:91)
(cid:74)2(cid:89)(cid:145)(cid:50)2(cid:64)(cid:140)“(cid:309)(cid:310)”(cid:50)(cid:326)(cid:327)(cid:132)(cid:51)(cid:37)(cid:52)(cid:30)(cid:53)𝐵(cid:54)𝐶(cid:45)(cid:43)(cid:64)(cid:185) (cid:42) (cid:328)(cid:297)(cid:52)(cid:64)(cid:329)(cid:79) (cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:98)( )(cid:64)(cid:99)(cid:329)(cid:79) (cid:29)
(cid:53)(cid:54)(cid:98) (cid:68) 𝐴𝐵 𝑥 𝐴 2,−3 𝐶
(cid:15)(cid:161)(cid:162)6-1(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:132)(cid:51)(cid:37)(cid:52)(cid:30)(cid:53)(cid:54)(cid:45)(cid:43)(cid:64)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25) (cid:29)(cid:24)(cid:35)(cid:83)2(cid:64)(cid:99)(cid:265)(cid:29)(cid:86)(cid:70)(cid:27)(cid:27)(cid:44) (cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:83) (cid:68)
𝑂𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 𝑃
(cid:15)(cid:161)(cid:162)6-2(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:140)(cid:69)(cid:70)(cid:130) O(cid:29)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)ABCDEF(cid:327)(cid:132)(cid:52)(cid:30)(cid:53)(cid:54)(cid:45)(cid:43)(cid:64)(cid:27)(cid:44)O(cid:42)(cid:53)(cid:54)(cid:330)(cid:79)(cid:269)(cid:56)(cid:64)(cid:185)A(cid:79)
(cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:98)(cid:74)﹣1，0(cid:89)(cid:64)(cid:99)(cid:50)(cid:43)⊙(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:72)(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:98) (cid:74)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:248) (cid:281)(cid:9)(cid:89)(cid:15)(cid:161)(cid:162)6-3(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64) O(cid:29)(cid:40)(cid:41)(cid:98)2(cid:64)(cid:27)(cid:44)O(cid:132)(cid:53)(cid:54)(cid:330)(cid:79)(cid:64)(cid:22)(cid:107)(cid:25)ABCD(cid:29)(cid:24)(cid:35)(cid:98)2(cid:64)(cid:79)A(cid:36)B(cid:132)(cid:331)(cid:150)(cid:263)(cid:142)(cid:64)
(cid:79)C(cid:36)D(cid:132) O(cid:133)(cid:64)⊙(cid:182)(cid:79)D(cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:98)(cid:74)0(cid:64)2(cid:89)(cid:64)(cid:314)(cid:140)(cid:22)(cid:107)(cid:25)ABCD(cid:332)(cid:79)C(cid:333)(cid:334)(cid:120)(cid:335)(cid:107)(cid:336)(cid:337)(cid:338)150°(cid:64)(cid:79)B(cid:339)
(cid:340)(cid:81)(cid:213) O⊙(cid:133)(cid:29)(cid:79)B (cid:341)(cid:64)(cid:79)A(cid:36)D(cid:72)(cid:154)(cid:339)(cid:340)(cid:81)(cid:213)(cid:79)A (cid:36)D (cid:341)(cid:64)(cid:90)(cid:80)(cid:81)(cid:22)(cid:107)(cid:25)A B C D(cid:74)(cid:79)C (cid:42)C(cid:269)(cid:56)(cid:89)(cid:91)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:342)(cid:140)(cid:22)(cid:107)⊙(cid:25)A B C D (cid:332)(cid:79)B (cid:333)(cid:334)(cid:120)(cid:335)(cid:107)(cid:336)(cid:337)(cid:338)150°(cid:64)(cid:79)A (cid:339)(cid:340)(cid:81)(cid:213) O(cid:133)(cid:29)(cid:79)A (cid:341)(cid:64)(cid:79)D (cid:36)C (cid:72)(cid:154)(cid:339)
1 1 1 1 1 1 2 1 1
(cid:340)(cid:81)(cid:213)(cid:79)D (cid:36)C (cid:341)(cid:64)(cid:90)(cid:80)(cid:81)(cid:22)(cid:107)(cid:25)A B C D(cid:74)(cid:79)B (cid:42)B (cid:269)(cid:56)(cid:89)(cid:64)…(cid:64)⊙(cid:333)(cid:133)(cid:343)(cid:107)(cid:108)(cid:337)(cid:338)2020(cid:77)(cid:216)(cid:64)(cid:79)A
2 2 2 2 2 2 2 1 2020
(cid:29)(cid:53)(cid:54)(cid:98) (cid:68)
【题型7 正多边形和圆中的证明】
(cid:15)(cid:102)7(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:276)(cid:214) (cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:148)(cid:24)(cid:25) (cid:64) (cid:155) (cid:64) (cid:130) (cid:64) (cid:64)(cid:294)(cid:57)(cid:10)
⊙𝑂 𝐴𝐵𝐶𝐷⋯ 𝐴𝐷 𝑂𝐵 𝑂𝐶 𝑀 𝑁
(1) (cid:91)
(2)𝑀𝑁∥+𝐵𝐶 = (cid:68)
(cid:15)(cid:161)𝑀𝑁(cid:162)7-𝐵1𝐶(cid:19)(cid:145)𝑂(cid:50)𝐵(cid:64)(cid:22)(cid:107)(cid:25) (cid:69)(cid:70)(cid:130) (cid:64)M(cid:98)(cid:131) (cid:43)(cid:79)(cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:68)
𝐴𝐵𝐶𝐷 ⊙𝑂 𝐴𝐷 𝐵𝑀,𝐶𝑀(1)(cid:294)(cid:57)(cid:10) = (cid:91)
(2)(cid:78)(cid:70) 𝐵(cid:36)𝑀 𝐶(cid:64)𝑀(cid:294) (cid:29)(cid:31)(cid:117)(cid:68)
(cid:15)(cid:161)(cid:162)𝑂7-𝐵2(cid:19)𝑂(cid:145)𝑀(cid:50)(cid:64)(cid:101)∠(cid:24)𝐵𝑂(cid:25)𝑀ABCDEF(cid:83) O(cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:68)
⊙
(1)(cid:294)(cid:57)(cid:10)(cid:132)(cid:101)(cid:24)(cid:25)ABCDEF(cid:43)(cid:64)(cid:190)(cid:329)(cid:79)A(cid:29)(cid:149)(cid:136)(cid:95)(cid:30)(cid:188)(cid:146)(cid:63)(cid:72) BAF(cid:68)
(2)(cid:97) O(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:98)S
1
(cid:64)(cid:101)(cid:24)(cid:25)ABCDEF(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:98)S
2
(cid:64)(cid:294) (cid:29)(cid:60)(cid:74) ∠ (cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:248)π(cid:89)(cid:68)
𝑆1
⊙ 𝑆2
(cid:15)(cid:161)(cid:162)7-3(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:132) (cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:22)(cid:147)(cid:24)(cid:25) (cid:43)(cid:64) =2(cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:68)
⊙𝑂 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 𝐴𝐵 𝐷𝐺
(1)(cid:294)(cid:57) (cid:91)
(2) (cid:29)𝐷(cid:35)𝐺∥(cid:98)𝐴 𝐵(cid:344) (cid:344)(cid:68)
【题 𝐷𝐺 型8 正多边形和圆中的最值问题】
(cid:15)(cid:102)8(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:22)(cid:107)(cid:25) (cid:69)(cid:70)(cid:130) (cid:64)(cid:188)(cid:172) (cid:132)(cid:95)(cid:30)(cid:188) (cid:133)(cid:339)(cid:340)(cid:64)(cid:185) (cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:98) (cid:64) =1(cid:64)(cid:99)
(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:59)(cid:211)(cid:60)(cid:83)𝐴𝐵 𝐶 𝐷 (cid:68) ⊙𝑂 𝑀𝑁 𝐵𝐷 ⊙𝑂 2𝜋 𝑀𝑁
△𝐴𝑀𝑁(cid:15)(cid:161)(cid:162)8-1(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64)(cid:79)P(cid:98) (cid:133)(cid:93)(cid:79)(cid:64)(cid:78)(cid:70)OP(cid:64)(cid:182) =4(cid:64)(cid:79)A(cid:98)OP(cid:133)(cid:93)(cid:340)(cid:79)(cid:64)(cid:79)B(cid:98) (cid:133)(cid:93)(cid:340)(cid:79)(cid:64)
(cid:78)(cid:70)AB(cid:64)(cid:100)(cid:188)(cid:172)AB(cid:98)(cid:24)(cid:132)⊙𝑂 (cid:69)(cid:345)(cid:346)(cid:347)(cid:25)ABCD(cid:64)(cid:182)𝑂𝑃(cid:79)C(cid:132) (cid:133)(cid:64)(cid:99)(cid:347)(cid:25)ABCD(cid:37)(cid:38)(cid:29)(cid:59)⊙(cid:119)𝑂(cid:60)(cid:98) (cid:68)
⊙𝑂 ⊙𝑂
(cid:15)(cid:161)(cid:162)8-2(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64) (cid:40)(cid:41)(cid:98) 2(cid:64)(cid:22)(cid:107)(cid:25) (cid:69)(cid:70)(cid:130) (cid:64)(cid:79) (cid:132) (cid:133)(cid:339)(cid:340)(cid:64)(cid:78)(cid:70) (cid:64)(cid:49) (cid:64)
(cid:297)(cid:298)(cid:98) (cid:64)(cid:78)(cid:70) .(cid:99)⊙𝑂(cid:35)(cid:29)(cid:59)(cid:211)(cid:60)(cid:98) 𝐴.𝐵𝐶𝐷 ⊙𝑂 𝐸 𝐴𝐷𝐶 𝐵𝐸 𝐴𝐹⊥ 𝐵𝐸
𝐹 𝐶𝐹 𝐶𝐹
(cid:15)(cid:161)(cid:162)8-3(cid:19)(cid:145)(cid:50)(cid:64) (cid:98)(cid:63)(cid:24) (cid:29)(cid:86)(cid:70)(cid:27)(cid:64)(cid:40)(cid:41)(cid:98)2(cid:64)(cid:79) (cid:132)(cid:266)(cid:131) (cid:133)(cid:339)(cid:340)(cid:74)(cid:138)(cid:42)(cid:79) (cid:269)(cid:56)(cid:89)(cid:64)(cid:78)(cid:70)
⏜
(cid:64) (cid:64) (cid:68) ⊙𝑂 𝛥𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝐴,𝐵
𝐷𝐴 𝐷𝐵 𝐷𝐶
(cid:74)1(cid:89)(cid:294)(cid:57)(cid:10) (cid:83) (cid:29)(cid:51)(cid:72)(cid:188)(cid:91)
(cid:74)2(cid:89)(cid:146)(cid:24)(cid:25)𝐷𝐶 ∠(cid:29)𝐴(cid:37)𝐷𝐵(cid:38) (cid:83)(cid:188)(cid:172) (cid:29)(cid:35) (cid:29)(cid:348)(cid:117)(cid:349)(cid:350)(cid:145)(cid:279)(cid:83)(cid:64)(cid:294)(cid:114)(cid:348)(cid:117)(cid:351)(cid:352)(cid:162)(cid:91)(cid:145)(cid:279)(cid:138)(cid:83)(cid:64)(cid:353)(cid:354)(cid:58)(cid:355)(cid:243)(cid:91)
(cid:74)3(cid:89)(cid:185)(cid:79) 𝐴(cid:72)𝐷𝐵(cid:154)𝐶(cid:132)(cid:188)(cid:172)𝑆 (cid:64) (cid:133)𝐷(cid:339)𝐶 (cid:340)(cid:74)𝑥(cid:138)(cid:246)(cid:356)(cid:79)(cid:89)(cid:64)(cid:189)(cid:190)(cid:357)(cid:358)(cid:359)(cid:314)(cid:64)(cid:79) (cid:339)(cid:340)(cid:81)(cid:92)(cid:93)(cid:85)(cid:153)(cid:239)(cid:29)(cid:360)(cid:361)(cid:64)
(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:28)(cid:59)𝑀(cid:211),𝑁(cid:60) (cid:64)(cid:362)(cid:363)(cid:79)𝐶𝐴(cid:29)𝐶(cid:339)𝐵(cid:340)(cid:64) (cid:29)(cid:60)(cid:304)(cid:359)(cid:124)(cid:161)(cid:364)(cid:64)(cid:294)(cid:94)(cid:28) (cid:60)(cid:43)(cid:29)(cid:59)𝐷(cid:119)(cid:60)(cid:68) 𝛥𝐷𝑀𝑁
𝑡 𝐷 𝑡 𝑡
