专题2.6直线与圆的位置关系(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上(苏科)

专题 2.6 直线与圆的位置关系（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:19)................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:28)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:19)................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:34)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:19)............................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:19)..............................................................................................11
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:53)(cid:35)(cid:36)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:24)(cid:25)(cid:57)(cid:27)(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:19)..........................................................................................................15
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:58)(cid:59)(cid:24)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:24)(cid:25)(cid:57)(cid:27)(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:19)..........................................................................................................20
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:52)(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:62)(cid:63)(cid:19)..................................................................................................................................25
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:65)(cid:60)(cid:61)(cid:28)(cid:66)(cid:67)(cid:62)(cid:63)(cid:19)..........................................................................................................29
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:34)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:42)(cid:26)(cid:24)(cid:25)(cid:70)(cid:52)(cid:71)(cid:27)(cid:41)(cid:72)(cid:73)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:19)......................................................................................36
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:68)(cid:69)(cid:42)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:52)(cid:71)(cid:74)(cid:75)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:19)..............................................................................................41
知识点1 直线与圆的位置关系
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2 1 0
d与r关系 d＜r d＝r d＞r
公共点名称 割点 切点
直线名称 割线 切线
知识点2 切线的判定定理和性质定理
1. (cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:64)(cid:76)(cid:10)(cid:72)(cid:73)(cid:35)(cid:36)(cid:28)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:59)(cid:24)(cid:81)(cid:82)(cid:48)(cid:35)(cid:36)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:57)(cid:27)(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:83)
2. (cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:64)(cid:76)(cid:28)(cid:84)(cid:85)
(cid:86)1(cid:87)(cid:72)(cid:73)(cid:27)(cid:41)(cid:80)(cid:59)(cid:24)(cid:81)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:88)(cid:72)(cid:73)(cid:52)(cid:89)(cid:83)
(cid:86)2(cid:87)(cid:72)(cid:73)(cid:52)(cid:89)(cid:80)(cid:59)(cid:24)(cid:81)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:88)(cid:72)(cid:73)(cid:27)(cid:41)(cid:83)
3. (cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:64)(cid:76)(cid:27)(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:59)(cid:24)(cid:81)(cid:73)(cid:52)(cid:89)(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:83)
4. (cid:54)(cid:55)(cid:24)(cid:25)(cid:57)(cid:27)(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:90)(cid:91)
一看 (cid:92)(cid:63)(cid:93)(cid:89)(cid:94)(cid:95)(cid:10)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:28)(cid:7)(cid:99)(cid:89)
二算 (cid:92)(cid:63)(cid:95)(cid:100)(cid:3)(cid:31)(cid:10)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:101)(cid:81)(cid:27)(cid:28)(cid:35)(cid:36)
三说明 (cid:92)(cid:63)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:64)(cid:76)(cid:10)(cid:24)(cid:25)(cid:72)(cid:73)(cid:35)(cid:36)(cid:28)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:59)(cid:24)(cid:81)(cid:82)(cid:48)(cid:35)(cid:36)
【题型1 判断直线与圆的的位置关系】
(cid:15)(cid:102)1(cid:19)(cid:86)24-25(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)·(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)·(cid:111)(cid:112)(cid:87)(cid:113) (cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:51)5(cid:114)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:98)(cid:48)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:51)2.5(cid:114)(cid:115)(cid:82)(cid:48)(cid:24)(cid:25)
(cid:57)(cid:86) (cid:87) ⊙𝑂
A(cid:83) B(cid:83) C(cid:83) D(cid:83)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)𝑙1
B
𝑙2 𝑙3 𝑙4
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:22)(cid:64)(cid:90)(cid:91)(cid:114)(cid:122)(cid:123)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:26)(cid:27)(cid:35)(cid:36)(cid:28)(cid:124)(cid:125)(cid:114)(cid:126)(cid:64)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:114)(cid:127)(cid:128)(cid:67)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:22)(cid:23)(cid:83)(cid:133)(cid:20)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:114)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:28)(cid:22)(cid:64)
(cid:90)(cid:91)(cid:57)(cid:143)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:144)(cid:83)
(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19)(cid:143)(cid:10) (cid:27) (cid:35)(cid:36) =5(cid:114)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:43)(cid:44) =2.5(cid:114)
< (cid:83) ∵ 𝑂 𝑟 𝑑
∴𝑑(cid:146) <𝑟 (cid:71)(cid:114)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:93)(cid:114)
∵(cid:82)𝑑(cid:48)(cid:24)𝑟(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:70)(cid:93)(cid:114)(cid:128)(cid:67)(cid:129)(cid:130)(cid:147)(cid:33)(cid:57) (cid:83)
(cid:148)∴(cid:149)(cid:10)B(cid:83) 𝑂 𝑙2
(cid:15)(cid:150)(cid:151)1-1(cid:19)(cid:86)24-25(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)·(cid:152)(cid:153)(cid:152)(cid:154)·(cid:111)(cid:112)(cid:87)“(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:114)(cid:162)(cid:163)(cid:157)(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:167)”(cid:114)(cid:166)(cid:129)(cid:168)(cid:169)(cid:28)(cid:155)(cid:156)(cid:170)(cid:171)
(cid:172)(cid:114)(cid:173)(cid:174)(cid:26)(cid:175)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:25)(cid:147)(cid:179)(cid:180)(cid:27)(cid:26)(cid:24)(cid:25)(cid:114)(cid:181)(cid:182)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:57) (cid:83)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)(cid:70)(cid:44)(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:114)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:114)(cid:183)(cid:147)(cid:143)(cid:116)(cid:83)
(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19)(cid:143)(cid:10)(cid:184)(cid:20)(cid:147)(cid:33)(cid:114)(cid:173)(cid:174)(cid:26)(cid:175)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:25)(cid:147)(cid:179)(cid:180)(cid:28)(cid:27)(cid:65)(cid:24)(cid:25)(cid:185)(cid:96)(cid:7)(cid:99)(cid:89)(cid:114)(cid:186)(cid:187)(cid:173)(cid:174)(cid:65)(cid:175)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:25)(cid:179)(cid:180)(cid:28)
(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:57)(cid:70)(cid:44)(cid:83)
(cid:148)(cid:116)(cid:117)(cid:51)(cid:10)(cid:70)(cid:44)(cid:83)
(cid:15)(cid:150)(cid:151)1-2(cid:19)(cid:188)Rt (cid:172)(cid:114) =90°(cid:114) =3(cid:114) =4(cid:114)(cid:187) (cid:51)(cid:27)(cid:41)(cid:114)2.4(cid:51)(cid:35)(cid:36)(cid:58) (cid:114)(cid:115) (cid:65) (cid:28)
(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:57) △(cid:83)𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐶 ⊙𝐶 ⊙𝐶 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)(cid:70)(cid:52)
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:189)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:114)(cid:73)C(cid:58) (cid:81)D(cid:114)(cid:120)(cid:121)(cid:190)(cid:191)(cid:64)(cid:76)(cid:34)(cid:156) (cid:114)(cid:120)(cid:121)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:194)(cid:195)
(cid:7)(cid:151)(cid:34)(cid:156) (cid:114)(cid:65) (cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:122)(cid:123)(cid:183)(cid:147)(cid:83) 𝐶𝐷⊥𝐴𝐵 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19)𝐶(cid:143)𝐷(cid:10)(cid:73)C⊙(cid:58)𝐶 (cid:81)D(cid:114)
𝐶𝐷⊥𝐴𝐵
(cid:188)Rt (cid:172)(cid:114)(cid:184)(cid:190)(cid:191)(cid:64)(cid:76)(cid:196)(cid:10) = 3 +4 =5(cid:114)
2 2
△𝐴𝐵𝐶 1 𝐴𝐵1
(cid:184)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:194)(cid:195)(cid:7)(cid:151)(cid:196)(cid:10) ×3×4= ×5× (cid:114)
2 2
=2.4(cid:114) 𝐶𝐷
∴C𝐶𝐷(cid:42) (cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:101)(cid:81) (cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:197)(cid:114)
∴ 𝐴(cid:65)𝐵 (cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)⊙(cid:57)𝐶(cid:70)(cid:52)(cid:114)
∴(cid:148)⊙(cid:116)(cid:117)𝐶 (cid:51)𝐴(cid:10)𝐵(cid:70)(cid:52)(cid:83)
(cid:15)(cid:150)(cid:151)1-3(cid:19)(cid:166)(cid:129)(cid:114)(cid:188) (cid:172)(cid:114) = =5(cid:114) =8(cid:114)(cid:187)A(cid:51)(cid:27)(cid:41)(cid:58)(cid:98)(cid:94)(cid:35)(cid:36)(cid:51)3(cid:28)(cid:27)(cid:114)(cid:198)(cid:199)(cid:128)(cid:85)(cid:172)(cid:200)
(cid:126)(cid:28)(cid:57)(cid:86) (cid:87) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶
A(cid:83)(cid:89)B(cid:188) (cid:201) B(cid:83)(cid:24)(cid:25) (cid:26) (cid:70)(cid:44)
C(cid:83)(cid:89)C(cid:188)⊙𝐴(cid:106) D(cid:83)(cid:24)(cid:25)𝐵𝐶(cid:26)⊙𝐴(cid:70)(cid:52)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)D ⊙𝐴 𝐵𝐶 ⊙𝐴(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:114)(cid:73)A(cid:89)(cid:58) (cid:81)H(cid:114)(cid:166)(cid:129)(cid:114)(cid:92)(cid:63)(cid:101)(cid:202)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:196)(cid:42)
1 𝐴𝐻⊥𝐵𝐶
= = =4(cid:114)(cid:115)(cid:92)(cid:63)(cid:190)(cid:191)(cid:64)(cid:76)(cid:147)(cid:203)(cid:204)(cid:156) =3(cid:114)(cid:205)(cid:206)(cid:120)(cid:121)(cid:89)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:90)(cid:91)(cid:207)A(cid:149)(cid:208)
2
(cid:65)𝐵𝐻B(cid:149)𝐶(cid:208)𝐻(cid:131)(cid:132)𝐵(cid:22)𝐶(cid:23)(cid:209)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:207)𝐴C𝐻(cid:149)(cid:208)(cid:65)D(cid:149)(cid:208)(cid:131)(cid:132)(cid:22)(cid:23)(cid:83)(cid:210) (cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:51)r(cid:114)(cid:27)(cid:41)O(cid:42)
(cid:24)(cid:25)l(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:51)d(cid:114)(cid:113)(cid:24)(cid:25)l(cid:65) (cid:70)(cid:93) < (cid:209)(cid:24)(cid:25)l(cid:65) (cid:70)(cid:52) = (cid:209)(cid:24)⊙(cid:25)𝑂l(cid:65) (cid:70)(cid:44) > (cid:83)
(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19)(cid:143)(cid:10)(cid:73)A(cid:89)(cid:58) ⊙(cid:81)𝑂H(cid:114)(cid:166)⇔(cid:129)𝑑(cid:114) 𝑟 ⊙𝑂 ⇔𝑑 𝑟 ⊙𝑂 ⇔𝑑 𝑟
= (cid:114) 𝐴𝐻⊥𝐵𝐶
∵𝐴𝐵 𝐴𝐶 1
= = =4(cid:114)
2
∴𝐵𝐻 𝐶𝐻 𝐵𝐶
(cid:188)Rt (cid:172)(cid:114) = = 5 4 =3(cid:114)
2 2 2 2
△=𝐴5𝐵(cid:211)𝐻3(cid:114) 𝐴𝐻 𝐴𝐵 −𝐵𝐻 −
∵B𝐴(cid:89)𝐵(cid:188) (cid:77)(cid:114)(cid:186)(cid:187)A(cid:149)(cid:208)(cid:212)(cid:213)(cid:67)(cid:20)(cid:214)(cid:209)
∴ =5⊙>𝐴3(cid:114)
∵C𝐴(cid:89)𝐶(cid:188) (cid:77)(cid:114)(cid:186)(cid:187)C(cid:149)(cid:208)(cid:212)(cid:213)(cid:67)(cid:20)(cid:214)(cid:209)
∴ =3⊙(cid:114)𝐴 (cid:114)
∴(cid:24)𝐴(cid:25)𝐻 (cid:26) 𝐴𝐻⊥(cid:70)𝐵(cid:52)𝐶(cid:114)(cid:186)(cid:187)D(cid:149)(cid:208)(cid:213)(cid:67)(cid:20)(cid:214)(cid:114)B(cid:149)(cid:208)(cid:212)(cid:213)(cid:67)(cid:20)(cid:214)(cid:83)
∴(cid:148)(cid:149)(cid:10)𝐵D𝐶(cid:83) ⊙𝐴
【题型2 已知直线与圆的的位置关系求半径的取值范围】
(cid:15)(cid:102)2(cid:19)(cid:188)Rt (cid:172)(cid:114) =90°(cid:114) =3(cid:114) =4(cid:114)(cid:113)(cid:187) (cid:89)(cid:51)(cid:27)(cid:41)(cid:114) (cid:51)(cid:35)(cid:36)(cid:186)(cid:58)(cid:28)(cid:27)(cid:26)(cid:215)(cid:177) (cid:216)(cid:96)(cid:98)
(cid:94)(cid:7)(cid:99)(cid:89)(cid:114)(cid:115)△(cid:28)𝐴(cid:39)𝐵𝐶(cid:40)(cid:57) ∠ 𝐶 (cid:83) 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐶 𝑟 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)3< 𝑟 4(cid:45) =2.4
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:217)𝑟≤(cid:135)(cid:118)(cid:218)𝑟(cid:219)(cid:220)(cid:221)(cid:131)(cid:132)(cid:222)(cid:85)(cid:10) (cid:27)(cid:26)(cid:215)(cid:177) (cid:70)(cid:52)(cid:71)(cid:114) (cid:89) (cid:188)(cid:27)(cid:201)(cid:223)(cid:224)(cid:89) (cid:188)(cid:27)(cid:106)(cid:45)(cid:27)(cid:77)(cid:71)(cid:83)(cid:225)
(cid:226)(cid:120)(cid:121)(cid:190)(cid:191)(cid:64)(cid:76)(cid:34)(cid:156)(cid:215)(cid:177) (cid:28)(cid:197)(cid:114)(cid:127)(cid:120)(cid:121)①(cid:27)(cid:26)(cid:215)(cid:177) 𝐴𝐵(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)②(cid:26)(cid:7)(cid:99)𝐴(cid:89)(cid:95)(cid:100)(cid:227)(cid:228)(cid:28)𝐵(cid:229)(cid:31)(cid:131)(cid:132)(cid:118)(cid:230)(cid:222)
(cid:85)(cid:83)(cid:231)(cid:172)(cid:114)(cid:27)(cid:26)(cid:215)(cid:177) (cid:70)𝐴(cid:52)𝐵(cid:71)(cid:28)(cid:35)(cid:36) (cid:28)(cid:197)(cid:147)(cid:92)(cid:63)𝐴(cid:192)𝐵(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:194)(cid:195)(cid:7)(cid:151)(cid:34)(cid:156)(cid:83)
(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19)(cid:143)(cid:10)(cid:166)(cid:129)(cid:114)𝐴(cid:188)𝐵Rt (cid:172)(cid:114)𝐶𝐷
△𝐴𝐵𝐶(cid:120)(cid:121)(cid:190)(cid:191)(cid:64)(cid:76)(cid:114) = + = 3 +4 =5(cid:114)
2 2 2 2
(cid:118)(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:221)(cid:10) 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶
(cid:27)(cid:26)(cid:215)(cid:177) (cid:70)(cid:52)(cid:71)(cid:114)
①(cid:53)(cid:232)(cid:27)(cid:41) (cid:26)𝐴(cid:52)𝐵(cid:89) (cid:114)
(cid:120)(cid:121)(cid:52)(cid:25)(cid:28)𝐶 (cid:60)(cid:61)(cid:147)𝐷(cid:33)(cid:10) (cid:114)
1 𝐶𝐷1⊥𝐴𝐵
= × × = × × (cid:114)
2 2
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶 × 𝐴𝐶3×4𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐷
= = =2.4(cid:114)
5
𝐴𝐶 𝐵𝐶
(cid:183)∴𝐶𝐷=2.4(cid:209)𝐴𝐵
𝑟 (cid:89) (cid:188)(cid:27)(cid:201)(cid:223)(cid:224)(cid:89) (cid:188)(cid:27)(cid:106)(cid:45)(cid:27)(cid:77)(cid:71)(cid:114)
②(cid:233)(cid:71) 𝐴< (cid:114) 𝐵
(cid:183)3<𝐴𝐶 𝑟4(cid:114)≤𝐵𝐶
>𝑟≤ (cid:114)
∵𝐵(cid:233)𝐶(cid:71)(cid:187)𝐴𝐶(cid:89)(cid:51)(cid:27)(cid:41)(cid:114) (cid:51)(cid:35)(cid:36)(cid:186)(cid:58)(cid:28)(cid:27)(cid:26)(cid:215)(cid:177) (cid:216)(cid:96)(cid:98)(cid:94)(cid:7)(cid:99)(cid:89)(cid:209)
(cid:148)∴(cid:116)(cid:117)(cid:51)(cid:10)𝐶 3< 4(cid:45)𝑟 =2.4(cid:83) 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:89)(cid:234)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:134)𝑟(cid:135)≤(cid:136)(cid:137)(cid:138)𝑟 (cid:190)(cid:191)(cid:64)(cid:76)(cid:114)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:194)(cid:195)(cid:7)(cid:151)(cid:114)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:101)(cid:33)(cid:235)(cid:89)(cid:114)(cid:74)
(cid:63)(cid:118)(cid:230)(cid:222)(cid:85)(cid:236)(cid:237)(cid:143)(cid:238)(cid:239)(cid:20)(cid:57)(cid:143)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:144)(cid:83)
(cid:15)(cid:150)(cid:151)2-1(cid:19)(cid:32)(cid:33) O(cid:65)(cid:24)(cid:25)L(cid:70)(cid:93)(cid:114)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:24)(cid:25)L(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:51)10cm(cid:114)(cid:115) O(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:147)(cid:240)(cid:51)(cid:86) (cid:87)
A(cid:83)8cm ⊙ B(cid:83)9cm C(cid:83)10cm D(cid:83)⊙11cm
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)D
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:120)(cid:121)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:51)d(cid:114)(cid:113) < (cid:114)(cid:115)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:93)(cid:209)(cid:113) = (cid:114)(cid:115)(cid:24)(cid:25)(cid:81)(cid:27)(cid:70)(cid:52)(cid:209)(cid:113) > (cid:114)(cid:115)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:44)(cid:83) 𝑑 𝑟 𝑑 𝑟 𝑑 𝑟
(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19)(cid:143)(cid:10)(cid:210)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:51)d(cid:114)
(cid:65)(cid:24)(cid:25) (cid:70)(cid:93)(cid:114)
∵⊙<𝑂 𝐿
∴𝑑 =𝑟10cm(cid:114)
∵𝑑>10cm(cid:114)
∴𝑟(cid:216)(cid:96)(cid:149)(cid:208)D(cid:213)(cid:67)(cid:48)(cid:49)(cid:114)
(cid:148)∴(cid:149)(cid:10)D(cid:83)
(cid:15)(cid:89)(cid:234)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:114)(cid:143)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:144)(cid:57)(cid:139)(cid:241)(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:26)(cid:95)(cid:100)(cid:227)(cid:228)(cid:28)(cid:229)(cid:31)(cid:10)
< (cid:114)(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:27)(cid:70)(cid:93)(cid:209) = (cid:114)(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:27)(cid:70)(cid:52)(cid:209) > (cid:114)(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:27)(cid:70)(cid:44)(cid:83)
𝑑(cid:15)(cid:150)𝑟(cid:151)2-2(cid:19)(cid:166)(cid:129)(cid:114)(cid:188)(cid:242)𝑑(cid:130)A𝑟BCD(cid:172)(cid:114)AD BC(cid:114)𝑑B(cid:243)𝑟90°(cid:114)AD(cid:243)2(cid:114)AB(cid:243)4(cid:114)BC(cid:243)6(cid:114)(cid:89)O(cid:57)(cid:177)BC(cid:106)(cid:98)(cid:89)(cid:114)
(cid:187)O(cid:51)(cid:27)(cid:41)(cid:114)OC(cid:51)(cid:35)(cid:36)(cid:28) O(cid:114)(cid:26)(cid:177)AD∥(cid:216)(cid:96)(cid:98)∠(cid:94)(cid:7)(cid:99)(cid:89)(cid:114)(cid:115)OC(cid:28)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:57)(cid:86)(cid:244)(cid:244)(cid:87)
⊙
13 13 14 14
A(cid:83)4(cid:245)OC≤ B(cid:83)4≤OC≤ C(cid:83)4(cid:245)OC D(cid:83)4≤OC
3 3 3 3
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)B ≤ ≤
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:58)DE BC(cid:81)E(cid:114)(cid:146) O(cid:26)(cid:177)AD(cid:70)(cid:52)(cid:71)(cid:114)(cid:27)(cid:41)O(cid:26)E(cid:246)(cid:67)(cid:114)(cid:183)OC(cid:243)4(cid:209)(cid:146)OA(cid:243)OC(cid:71)(cid:114) O(cid:26)
⊥ ⊙ ⊙ 13
AD(cid:93)(cid:81)(cid:89)A(cid:114)(cid:210)OA(cid:243)OC(cid:243)x(cid:114)(cid:115)OB(cid:243)6﹣x(cid:114)(cid:188)Rt ABO(cid:172)(cid:114)(cid:184)(cid:190)(cid:191)(cid:64)(cid:76)(cid:196)(cid:156)(cid:90)(cid:247)(cid:114)(cid:143)(cid:90)(cid:247)(cid:196)(cid:156)OC(cid:243) (cid:209)
3
(cid:183)(cid:147)(cid:196)(cid:156)(cid:128)(cid:85)(cid:83) △
(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19)(cid:58)DE BC(cid:81)E(cid:114)(cid:166)(cid:129)(cid:186)(cid:248)(cid:10)
(cid:115)DE(cid:243)AB(cid:243)4(cid:114)⊥BE(cid:243)AD(cid:243)2(cid:114)
CE(cid:243)4(cid:243)DE(cid:114)
(cid:146)∴ O(cid:26)(cid:177)AD(cid:70)(cid:52)(cid:71)(cid:114)(cid:52)(cid:89)(cid:51)D(cid:114)(cid:27)(cid:41)O(cid:26)E(cid:246)(cid:67)(cid:114)(cid:183)OC(cid:243)4(cid:209)
(cid:146)⊙OA(cid:243)OC(cid:71)(cid:114) O(cid:26)AD(cid:93)(cid:81)(cid:89)A(cid:114)
(cid:210)OA(cid:243)OC(cid:243)x(cid:114)⊙(cid:115)OB(cid:243)6﹣x(cid:114)
(cid:188)Rt ABO(cid:172)(cid:114)(cid:184)(cid:190)(cid:191)(cid:64)(cid:76)(cid:196)(cid:10)42+(cid:86)6﹣x(cid:87)2(cid:243)x2(cid:114)
△ 13
(cid:143)(cid:196)(cid:10)x(cid:243) (cid:209)
3
13
(cid:187)O(cid:51)(cid:27)(cid:41)(cid:114)OC(cid:51)(cid:35)(cid:36)(cid:28) O(cid:114)(cid:26)(cid:177)AD(cid:216)(cid:96)(cid:98)(cid:94)(cid:7)(cid:99)(cid:89)(cid:114)(cid:115)OC(cid:28)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:57)4≤x≤ (cid:209)
3
∴(cid:148)(cid:149)B(cid:83) ⊙(cid:15)(cid:89)(cid:234)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:224)(cid:24)(cid:193)(cid:242)(cid:130)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:224)(cid:190)(cid:191)(cid:64)(cid:76)(cid:101)(cid:33)(cid:235)(cid:209)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:24)(cid:193)(cid:242)(cid:130)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:114)
(cid:118)(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:85)(cid:57)(cid:143)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:144)(cid:83)
(cid:15)(cid:150)(cid:151)2-3(cid:19)(cid:86)24-25(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)·(cid:157)(cid:16)(cid:249)(cid:154)·(cid:111)(cid:172)(cid:87)(cid:166)(cid:129)(cid:114)(cid:32)(cid:33) =45°(cid:114)(cid:89)O(cid:188) (cid:106)(cid:114)(cid:80) =4 2(cid:114)(cid:187)(cid:89)
O(cid:51)(cid:27)(cid:41)(cid:114)r(cid:51)(cid:35)(cid:36)(cid:250) (cid:83)(cid:113) (cid:26)(cid:251)(cid:25) (cid:96)1(cid:94)(cid:7)(cid:99)(cid:89)∠(cid:114)𝐵𝐴(cid:115)𝐶r(cid:28)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:57) 𝐴 𝐶 (cid:83) 𝐴𝑂
⊙𝑂 ⊙𝑂 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19) =4(cid:45) >4 2
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)𝑟(cid:133)(cid:20)(cid:136)(cid:137)𝑟(cid:138)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:114)(cid:143)(cid:20)(cid:3)(cid:144)(cid:57)(cid:141)(cid:142)(cid:113) < (cid:114)(cid:115)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:93)(cid:209)(cid:113) = (cid:114)(cid:115)(cid:24)(cid:25)(cid:81)
(cid:27)(cid:70)(cid:52)(cid:209)(cid:113) > (cid:114)(cid:115)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:44)(cid:83)(cid:118)(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:85)(cid:10)①(cid:146) 𝑑 (cid:26)𝑟 (cid:70)(cid:52)(cid:71)(cid:114)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:24)(cid:25)𝑑(cid:28)(cid:43)𝑟 (cid:44)(cid:101)(cid:81)(cid:27)
(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:209)②𝑑(cid:146) 𝑟 (cid:65)(cid:251)(cid:25) (cid:70)(cid:93)(cid:114)(cid:252)(cid:253)(cid:98)(cid:94)(cid:93)(cid:89)(cid:188) (cid:28)(cid:254)(cid:197)⊙(cid:25)(cid:106)𝑂(cid:71)𝐴(cid:114)𝐵(cid:27)(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:124)(cid:81) (cid:83)
(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19)(cid:143)(cid:10)①⊙(cid:166)𝑂(cid:129)(cid:114)(cid:146)𝐴𝐵 (cid:26) (cid:70)(cid:52)(cid:71)(cid:114) (cid:26)𝐴(cid:251)𝐵(cid:25) (cid:96)1(cid:94)(cid:7)(cid:99)(cid:89)(cid:114) 𝐴𝑂
⊙𝑂 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐴𝐵
=90°(cid:114)
=45°(cid:114) ∴∠𝑂𝐷𝐴
∵∠𝐵𝐴𝐶 (cid:57)(cid:101)(cid:202)(cid:24)(cid:193)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:114)
∴△𝐴𝐷𝑂
= (cid:114) = + = 2 (cid:114)
2 2
∴𝐷𝐴
=4
𝐷𝑂 2(cid:114)𝐴𝑂 𝐷𝐴 𝐷𝑂 𝐷𝑂
∵𝐴𝑂 =4(cid:114)
(cid:183)∴(cid:27)𝐷𝑂(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:57)4(cid:209)②(cid:166)(cid:129)(cid:114)(cid:146) (cid:65)(cid:251)(cid:25) (cid:70)(cid:93)(cid:114)(cid:252)(cid:253)(cid:98)(cid:94)(cid:93)(cid:89)(cid:188) (cid:28)(cid:254)(cid:197)(cid:25)(cid:106)(cid:71)(cid:114) (cid:26)(cid:251)(cid:25) (cid:96)1(cid:94)(cid:7)(cid:99)(cid:89)(cid:114)
⊙𝑂 𝐴𝐵 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐴𝐵
(cid:89) (cid:188) (cid:201)(cid:114)
(cid:35)(cid:36) >4 2(cid:114)
∴ 𝐴 ⊙𝑂
(cid:66)∴(cid:106)(cid:147)(cid:33)𝑟 (cid:114) (cid:26)(cid:251)(cid:25) (cid:96)1(cid:94)(cid:7)(cid:99)(cid:89)(cid:114)(cid:115)r(cid:28)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:57) =4(cid:45) >4 2(cid:114)
(cid:148)(cid:116)(cid:117)(cid:51)(cid:10)⊙=𝑂4(cid:45) >𝐴4𝐵2(cid:83) 𝑟 𝑟
【题型3 已 𝑟 知直线 𝑟 与圆的的位置关系求圆心到直线的距离】
(cid:15)(cid:102)3(cid:19)(cid:166)(cid:129)(cid:114)(cid:32)(cid:33) O(cid:57)(cid:187)(cid:95)(cid:255)(cid:28)(cid:256)(cid:89)O(cid:51)(cid:27)(cid:41)(cid:114)(cid:187)3(cid:51)(cid:35)(cid:36)(cid:28)(cid:27)(cid:114) AOB(cid:243)45°(cid:114)(cid:89)P(cid:188)(cid:95)(cid:255)(cid:106)(cid:74)(cid:75)(cid:83)(cid:113)
(cid:73)(cid:89)P(cid:26)OA(cid:68)(cid:132)(cid:28)⊙(cid:24)(cid:25)(cid:26) O(cid:96)(cid:7)(cid:99)(cid:89)(cid:114)(cid:210)(cid:89)P(cid:188)(cid:95)(cid:255)(cid:106)(cid:257)(cid:248)(cid:28)(cid:95)(cid:51)∠x(cid:83)(cid:115)x(cid:28)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:57)(cid:86)(cid:244)(cid:244)(cid:87)
⊙
A(cid:83)0≤x≤3 2 B(cid:83)x(cid:211)3 2 C(cid:83)﹣3≤x≤3 D(cid:83)﹣3 2≤x≤3 2(cid:114)(cid:80)x ≠0
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)D
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:225)(cid:226)(cid:58)(cid:156)(cid:27)(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:114)(cid:34)(cid:156)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:52)(cid:71)(cid:28)P(cid:28)(cid:37)(cid:38)(cid:114)(cid:127)(cid:128)(cid:67)(cid:129)(cid:258)(cid:147)(cid:196)(cid:156)P(cid:28)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:114)(cid:183)(cid:147)(cid:196)
(cid:156)(cid:116)(cid:117)(cid:83)
(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19)(cid:143)(cid:10) (cid:35)(cid:36)(cid:51)1(cid:28)(cid:27)(cid:114) AOB(cid:243)45°(cid:114)(cid:73)(cid:89)P(cid:80)(cid:26)OA(cid:68)(cid:132)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:26) O(cid:96)(cid:7)(cid:99)(cid:89)(cid:114)
(cid:146)P′C(cid:26)(cid:27)(cid:70)∵(cid:52)(cid:71)(cid:114)(cid:52)(cid:89)(cid:51)C(cid:114)∠ ⊙
∴OC P′C(cid:114)
C∴O(cid:243)⊥3(cid:114) P′OC(cid:243)45°(cid:114)
OP′(cid:243)3 2∠(cid:114)
(cid:73)(cid:89)P(cid:80)(cid:26)OA(cid:68)(cid:132)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:26) O(cid:96)(cid:7)(cid:99)(cid:89)(cid:114)(cid:183)0(cid:245)x≤3 2(cid:114)
∴(cid:259)(cid:76)(cid:147)(cid:196)(cid:10) ⊙
(cid:73)(cid:89)P(cid:80)(cid:26)OA(cid:68)(cid:132)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:26) O(cid:96)(cid:7)(cid:99)(cid:89)(cid:114)(cid:183)﹣3 2≤x(cid:245)0(cid:114)
(cid:66)(cid:106)(cid:186)(cid:260)(cid:10)﹣3 2≤x≤3 2(cid:114)(cid:80)⊙x≠0(cid:83)
(cid:148)(cid:149)D(cid:83)(cid:15)(cid:89)(cid:234)(cid:19)(cid:233)(cid:20)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:114)(cid:58)(cid:156)(cid:52)(cid:25)(cid:261)(cid:156)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:96)(cid:93)(cid:89)(cid:28)(cid:118)(cid:262)(cid:89)(cid:57)(cid:143)(cid:238)(cid:239)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:144)(cid:83)
(cid:15)(cid:150)(cid:151)3-1(cid:19)(cid:27) (cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:51)5(cid:114)(cid:113)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:263)(cid:27)(cid:70)(cid:44)(cid:114)(cid:115)(cid:27)(cid:41) (cid:42)(cid:263)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:147)(cid:240)(cid:57)(cid:86) (cid:87)
A(cid:83)2.5 𝑂 B(cid:83) 5 C(cid:83)5 𝑂 D(cid:83)6
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)D
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:44)(cid:71)(cid:114)(cid:147)(cid:33)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:124)(cid:81)(cid:35)(cid:36)(cid:114)(cid:81)(cid:57)(cid:96) > (cid:209)
(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19) (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:44)(cid:114)(cid:80)(cid:27) (cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:51)5(cid:114) 𝑑 𝑟
> (cid:114)∵ 𝑂
(cid:183)∴𝑑 >𝑟5.
(cid:264)𝑑(cid:94)(cid:149)(cid:208)(cid:172)(cid:216)(cid:96)D(cid:149)(cid:208)(cid:213)(cid:67).
(cid:148)(cid:149):D.
(cid:15)(cid:89)(cid:234)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:136)(cid:137)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:10)(cid:210) O(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:51)r(cid:114)(cid:27)(cid:41)O(cid:42)(cid:24)(cid:25)l(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:51)d. (cid:24)(cid:25)l(cid:65) O(cid:70)
(cid:93) d< (cid:24)(cid:25)l(cid:65) O(cid:70)(cid:52) d= (cid:24)(cid:25)⊙l(cid:65) O(cid:70)(cid:44) d>r(cid:83) ① ⊙
⇔ r② ⊙ ⇔3 r③ ⊙ ⇔
(cid:15)(cid:150)(cid:151)3-2(cid:19)(cid:166)(cid:129)(cid:114)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:25)y= x(cid:265)3(cid:26)x(cid:255)(cid:224)y(cid:255)(cid:118)(cid:266)(cid:93)(cid:81)A(cid:224)B(cid:218)(cid:89)(cid:114)P(cid:57)(cid:187)C (0(cid:114)2) (cid:51)(cid:27)(cid:41)(cid:114)(cid:35)(cid:36)(cid:51)1
4
(cid:28)(cid:27)(cid:106)(cid:98)(cid:75)(cid:89)(cid:114)(cid:53)(cid:128)PA(cid:224)PB(cid:83)(cid:115) PAB(cid:194)(cid:195)(cid:28)(cid:267)(cid:124)(cid:38)(cid:57) (cid:83)
△
25
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)
2
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:34)(cid:156)A(cid:224)B(cid:28)(cid:268)(cid:269)(cid:114)(cid:120)(cid:121)(cid:190)(cid:191)(cid:64)(cid:76)(cid:34)(cid:156)AB(cid:114)(cid:34)(cid:156)(cid:89)C(cid:42)AB(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:114)(cid:183)(cid:147)(cid:34)(cid:156)(cid:27)C(cid:106)(cid:89)(cid:42)AB(cid:28)(cid:267)
(cid:124)(cid:43)(cid:44)(cid:114)(cid:120)(cid:121)(cid:194)(cid:195)(cid:7)(cid:151)(cid:34)(cid:156)(cid:183)(cid:147)(cid:83)(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19)
3
(cid:143)(cid:10) (cid:24)(cid:25) = (cid:26)x(cid:255)(cid:224)y(cid:255)(cid:118)(cid:266)(cid:93)(cid:81)A(cid:224)B(cid:218)(cid:89)(cid:114)
4
A(cid:89)∵(cid:28)(cid:268)(cid:269)𝑦(cid:51)(cid:86)𝑥−4(cid:114)30(cid:87)(cid:114)B(cid:89)(cid:28)(cid:268)(cid:269)(cid:51)(cid:86)0(cid:114)-3(cid:87)(cid:114)
∴(cid:183)OA=4(cid:114)OB=3(cid:114)(cid:184)(cid:190)(cid:191)(cid:64)(cid:76)(cid:196)(cid:10)AB=5
(cid:73)C(cid:58)CM AB(cid:81)M(cid:114)(cid:53)(cid:232)AC(cid:114)
⊥ 1 1 1
(cid:115)(cid:184)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:194)(cid:195)(cid:7)(cid:151)(cid:196)(cid:10) × × = × × + × ×
2 2 2
1 1 𝐴 1 𝐵 𝐶𝑀 𝑂𝐴 𝑂𝐶 𝑂𝐴 𝑂𝐵
(cid:183)(cid:10) ×5× = ×4×2+ ×3×4(cid:114)
2 2 2
=4(cid:114) 𝐶𝑀
∴𝐶𝑀 3
(cid:27)C(cid:106)(cid:89)(cid:42)(cid:24)(cid:25) = (cid:28)(cid:267)(cid:124)(cid:43)(cid:44)(cid:57)(cid:10)1+4=5(cid:114)
4
∴ 𝑦 𝑥1−3 25
PAB(cid:194)(cid:195)(cid:28)(cid:267)(cid:124)(cid:38)(cid:57) ×5×5= (cid:209)
2 2
∴△ 25
(cid:148)(cid:116)(cid:117)(cid:51) (cid:83)
2
(cid:15)(cid:89)(cid:234)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:194)(cid:195)(cid:114)(cid:190)(cid:191)(cid:64)(cid:76)(cid:101)(cid:33)(cid:235)(cid:114)(cid:143)(cid:233)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:144)(cid:57)(cid:34)(cid:156)(cid:27)(cid:106)(cid:28)(cid:89)(cid:42)(cid:24)(cid:25)AB(cid:28)(cid:267)(cid:124)(cid:43)(cid:44)(cid:83)
(cid:15)(cid:150)(cid:151)3-3(cid:19)(cid:188)(cid:24)(cid:193)(cid:268)(cid:269)(cid:31) (cid:172)(cid:114)(cid:207)(cid:81)(cid:24)(cid:25) (cid:10) (cid:243) + (cid:114)(cid:270)(cid:156)(cid:166)(cid:198)(cid:64)(cid:271)(cid:10)(cid:113)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:56)(cid:94)(cid:27)(cid:70)(cid:93)(cid:114)(cid:89) (cid:28)
(cid:268)(cid:269)(cid:51) (cid:114)(cid:113) (cid:28)(cid:35)𝑥𝑂(cid:36)𝑦(cid:51)2(cid:114)(cid:24)(cid:25) (cid:3)(cid:81)𝑙 𝑦 𝑘(cid:28)𝑥“(cid:27)𝑏(cid:272)(cid:43)”(cid:28)(cid:267)(cid:125)(cid:38)(cid:51)2 2(cid:114)(cid:115)𝑙(cid:28)(cid:38)(cid:51) (cid:83) 𝑀
(−1,0) ⊙𝑀 𝑙 ⊙𝑀 𝑏
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)±1
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:166)(cid:129)(cid:186)(cid:248)(cid:114)(cid:210)(cid:24)(cid:25) (cid:26) (cid:93)(cid:81) (cid:224) (cid:114)(cid:73)(cid:89) (cid:58) (cid:81) (cid:114)(cid:53)(cid:232) (cid:114)(cid:226)(cid:54)(cid:55)(cid:146)(cid:89) (cid:26)(cid:89) (cid:246)(cid:67)
𝑙 ⊙𝑀 𝐵 𝐶 𝑀 𝑀𝐷⊥𝐵𝐶 𝐸 𝑀𝐵 𝐸 𝐷(cid:71)(cid:114) (cid:267)(cid:125)(cid:114)(cid:183)(cid:233)(cid:71) (cid:267)(cid:125)(cid:114)(cid:127)(cid:184) =2 2(cid:34)(cid:156) = 2(cid:114)(cid:147)(cid:196)1+ =2(cid:114)(cid:143)(cid:196) =±1(cid:83)
最小
2
(cid:15)(cid:145)𝑀(cid:143)𝐸(cid:19)(cid:143)(cid:10)(cid:166)(cid:129)(cid:186)(cid:248)𝐵(cid:114)𝐶(cid:210)(cid:24)(cid:25) (cid:26) 𝐵𝐶 (cid:93)(cid:81) (cid:224) (cid:114)(cid:73)𝑀(cid:89)𝐷 (cid:58) (cid:81) (cid:114)𝑏 (cid:53)(cid:232) (cid:114) 𝑏
𝑙 ⊙𝑀 𝐵 𝐶 𝑀 𝑀𝐷⊥𝐵𝐶 𝐸 𝑀𝐵
(cid:243) (cid:114)
∵𝑀𝐵(cid:243)𝑀𝐶(cid:114)
∴𝐵𝐶 2𝐵𝐸
(cid:188)Rt (cid:172)(cid:114)(cid:184)(cid:190)(cid:191)(cid:64)(cid:76)(cid:196) = = (cid:114)
2 2 2
(cid:146) △(cid:267)𝑀(cid:125)𝐵𝐸(cid:71)(cid:114) (cid:267)(cid:124). 𝐵𝐸 𝐵𝑀 −𝑀𝐸 4−𝑀𝐸
∴ 𝑀𝐸 (cid:114) 𝐵𝐸
∵(cid:146)𝑀𝐸(cid:89)≤(cid:26)𝑀(cid:89)𝐷 (cid:246)(cid:67)(cid:71)(cid:114) (cid:267)(cid:124)(cid:114)
∴(cid:24)(cid:25)𝐸(cid:3)(cid:81) 𝐷 (cid:28)“(cid:27)(cid:272)𝑀(cid:43)𝐸”(cid:28)(cid:267)(cid:125)(cid:38)(cid:51)2 2(cid:114)(cid:183) =2 2(cid:114)
最小
∵ 𝑙 1 ⊙𝑀 𝐵𝐶
= = 2(cid:114)
2
∴𝐵𝐷 𝐵𝐶
= = 2.
2 2
∴𝑀𝐷 (cid:114)𝑀𝐵 −𝐵𝐷
∵𝐷1(+0,𝑏)=2(cid:114)
2
∴(cid:143)(cid:196) 𝑏=±1(cid:83)
(cid:148)(cid:116)𝑏(cid:117)(cid:51)(cid:10)±1(cid:83)
(cid:15)(cid:89)(cid:234)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:114)(cid:59)(cid:36)(cid:64)(cid:76)(cid:114)(cid:98)(cid:273)(cid:274)(cid:95)(cid:26)(cid:275)(cid:276)(cid:66)(cid:67)(cid:114)(cid:190)(cid:191)(cid:64)(cid:76)(cid:101)(cid:101)(cid:114)(cid:200)(cid:126)(cid:76)
(cid:143)(cid:20)(cid:214)(cid:92)(cid:63)(cid:95)(cid:130)(cid:128)(cid:67)(cid:28)(cid:236)(cid:237)(cid:34)(cid:143)(cid:57)(cid:143)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:144)(cid:83)
【题型4 判断或补全条件使直线为切线的条件】
(cid:15)(cid:102)4(cid:19)(cid:166)(cid:129)(cid:114) (cid:57) (cid:28)(cid:24)(cid:36)(cid:114)C(cid:57) (cid:106)(cid:98)(cid:89)(cid:114)D(cid:57) (cid:77)(cid:98)(cid:89)(cid:114)(cid:73)(cid:89)A(cid:58) (cid:114)(cid:59)(cid:277)(cid:51)E(cid:114)(cid:53)(cid:232)
(cid:83)(cid:113)(cid:50) (cid:52)𝐴𝐵 (cid:81)⊙(cid:89)𝑂C(cid:114)(cid:278)(cid:279)(cid:28)(cid:198)(cid:199)⊙(cid:48)𝑂(cid:49)(cid:172)(cid:114)(cid:212)(cid:200)(cid:126)(cid:28)⊙(cid:57)𝑂(cid:86)(cid:244)(cid:244)(cid:87) 𝐴𝐸⊥𝐶𝐷
𝑂𝐶 𝐶𝐷 ⊙𝑂A(cid:83) B(cid:83) = C(cid:83) = D(cid:83) =
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)𝑂𝐶D∥𝐴𝐸 ∠𝑂𝐴𝐶 ∠𝐶𝐴𝐸 ∠𝑂𝐶𝐴 ∠𝐶𝐴𝐸 𝑂𝐴 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:120)(cid:121)(cid:27)(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:224)(cid:68)(cid:132)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:26)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:280)(cid:208)(cid:22)(cid:64)(cid:183)(cid:147)(cid:196)(cid:42)(cid:116)(cid:117)(cid:83)
(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19)(cid:143)(cid:10)A(cid:224) (cid:114)
=90°(cid:114) ∵𝐴𝐸⊥𝐶𝐷
∴(cid:146)∠𝐴𝐸𝐷 (cid:71)(cid:114)(cid:115) =90°(cid:114)(cid:183) (cid:114)
𝑂𝐶(cid:52)∥𝐴𝐸 (cid:81)(cid:89)∠C𝑂(cid:114)𝐶(cid:263)𝐷(cid:149)(cid:208)(cid:200)(cid:126)(cid:114)𝑂(cid:212)𝐶(cid:213)⊥𝐷(cid:67)𝐸(cid:20)(cid:214)(cid:209)
∴B(cid:224)𝐶𝐷 ⊙𝑂 (cid:114)
∵𝐴𝐸=⊥𝐶90𝐷°(cid:114)(cid:115) + =90°(cid:114)
∴∠𝐴𝐸=𝐷 (cid:114) ∠𝐶𝐴𝐸 ∠𝐴𝐶𝐸
∵𝑂𝐴 𝑂=𝐶 (cid:114)
∴(cid:146)∠𝑂𝐴𝐶 =∠𝑂𝐶𝐴 (cid:71)(cid:114)(cid:115) + =90°(cid:114)(cid:183) (cid:114)
∠𝑂(cid:52)𝐴𝐶 ∠(cid:81)𝐶(cid:89)𝐴𝐸C(cid:114)(cid:263)(cid:149)∠(cid:208)𝑂𝐶(cid:200)𝐴(cid:126)(cid:114)∠𝐴(cid:212)𝐶(cid:213)𝐸(cid:67)(cid:20)(cid:214)(cid:209) 𝑂𝐶⊥𝐷𝐸
∴C(cid:224)𝐶𝐷(cid:146) ⊙𝑂 = (cid:71)(cid:114) (cid:114)
∠𝑂𝐶(cid:114)𝐴 ∠𝐶𝐴𝐸 𝑂𝐶∥𝐴𝐸
∵𝐴𝐸⊥𝐶=𝐷90°(cid:114)
∴∠𝐴𝐸𝐷 =90°(cid:114)(cid:183) (cid:114)
∴∠𝑂(cid:52)𝐶𝐷 (cid:81)(cid:89)C(cid:114)𝑂𝐶(cid:263)⊥(cid:149)𝐷(cid:208)𝐸(cid:200)(cid:126)(cid:114)(cid:212)(cid:213)(cid:67)(cid:20)(cid:214)(cid:209)
∴D𝐶(cid:224)𝐷(cid:146) ⊙=𝑂 (cid:71)(cid:114)(cid:184) = (cid:196)(cid:42) = = (cid:114)
𝑂𝐴(cid:57)(cid:101)𝐴(cid:202)𝐶 (cid:192)(cid:193)(cid:130)𝑂(cid:114)𝐴(cid:281)(cid:91)𝑂𝐶(cid:126)(cid:64) 𝑂𝐴 =𝑂𝐶90°(cid:114)𝐴𝐶
∴(cid:212)△(cid:240)𝑂𝐴(cid:196)𝐶(cid:42) (cid:52) (cid:81)(cid:89)C(cid:114)(cid:263)(cid:149)∠(cid:208)𝑂(cid:212)𝐶𝐷(cid:200)(cid:126)(cid:114)(cid:213)(cid:67)(cid:20)(cid:214)(cid:83)
∴(cid:148)(cid:149)(cid:10)D(cid:83)𝐶𝐷 ⊙𝑂
(cid:15)(cid:89)(cid:234)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:136)(cid:137)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:114)(cid:68)(cid:132)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:26)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:139)(cid:168)(cid:27)(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:57)(cid:143)(cid:238)(cid:239)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:144)(cid:83)
(cid:15)(cid:150)(cid:151)4-1(cid:19)(cid:166)(cid:129)(cid:114)A(cid:224)B(cid:57) O(cid:106)(cid:28)(cid:218)(cid:89)(cid:114)AC(cid:57)(cid:73)A(cid:89)(cid:28)(cid:98)(cid:48)(cid:24)(cid:25)(cid:114)(cid:166)(cid:282) AOB=120°(cid:114)(cid:283)(cid:284)(cid:146) CAB(cid:28)(cid:285)
(cid:95)(cid:101)(cid:81) (cid:285)(cid:71)(cid:114)AC(cid:286)(cid:240)⊙(cid:180)(cid:51) O(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:83) ∠ ∠
⊙(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)60
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:184)(cid:32)(cid:33)(cid:147)(cid:34)(cid:196) OAB(cid:28)(cid:285)(cid:95)(cid:114)(cid:287)(cid:51)OA AC(cid:114)AC(cid:286)(cid:240)(cid:180)(cid:51) O(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:114)(cid:288)(cid:289)(cid:147)(cid:34)(cid:196) CAB(cid:28)(cid:285)(cid:95)(cid:83)
(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19)(cid:143)(cid:10) AOB(cid:172)∠(cid:114)OA=OB(cid:114) AOB=120°⊥(cid:114) ⊙ ∠
∵△ 1 ∠
= = ( )=30°(cid:114)
2
∴(cid:146)∠𝑂O𝐴𝐵A AC∠𝑂(cid:183)𝐵𝐴OAC=19800°(cid:71)°−(cid:114)∠𝐴 A 𝑂 C 𝐵(cid:286)(cid:240)(cid:180)(cid:51) O(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:114)
∵(cid:146) CA⊥B(cid:28)(cid:285)∠(cid:95)(cid:101)(cid:81)60°(cid:114)(cid:183)OA AC(cid:71)(cid:114)⊙AC(cid:286)(cid:240)(cid:180)(cid:51) O(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:83)
(cid:148)∴ (cid:116)∠(cid:117)(cid:51)(cid:10)60(cid:83) ⊥ ⊙
(cid:15)(cid:89)(cid:234)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:114)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:201)(cid:193)(cid:65)(cid:64)(cid:76)(cid:114)(cid:101)(cid:202)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:141)(cid:142)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:64)(cid:76)(cid:57)(cid:143)(cid:116)(cid:233)
(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:144)(cid:83)
(cid:15)(cid:150)(cid:151)4-2(cid:19)(cid:188)(cid:198)(cid:129)(cid:172)(cid:114) (cid:57) (cid:28)(cid:24)(cid:36)(cid:114)(cid:135)(cid:50)(cid:196)(cid:24)(cid:25) (cid:57) (cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:114)(cid:217)(cid:135)(cid:278)(cid:279)(cid:28)(cid:98)(cid:94)(cid:48)(cid:49)
(cid:57) (cid:83)(cid:86)(cid:290)(cid:98)(cid:94)(cid:48)(cid:49)𝐴(cid:183)𝐵 (cid:147)⊙(cid:87)𝑂 𝐴𝑇 ⊙𝑂
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19) ABT= ATB=45°(cid:86)(cid:116)(cid:117)(cid:212)(cid:97)(cid:98)(cid:87)
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:120)∠ (cid:121)(cid:52)∠(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:48)(cid:49)(cid:114)(cid:216)(cid:217)(cid:135)(cid:196)(cid:42) BAT=90°(cid:183)(cid:147)(cid:34)(cid:143)(cid:114)(cid:287)(cid:233)(cid:216)(cid:217)(cid:135)(cid:278)(cid:279)(cid:48)(cid:49)(cid:10) ABT= ATB=45°(cid:183)
(cid:147)(cid:83) ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19)(cid:143)(cid:10)(cid:278)(cid:279)(cid:48)(cid:49)(cid:10) ABT= ATB=45°(cid:114)
ABT= ATB=45°(cid:114) ∠ ∠
∵∠BAT=∠90°(cid:114)
∴(cid:291)∠ AB(cid:57)(cid:27)O(cid:28)(cid:24)(cid:36)(cid:114)
A∵T(cid:57)(cid:27)O(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:114)
∴(cid:148)(cid:116)(cid:117)(cid:51)(cid:10) ABT= ATB=45°(cid:86)(cid:116)(cid:117)(cid:212)(cid:97)(cid:98)(cid:87)(cid:83)
∠ ∠
(cid:15)(cid:89)(cid:234)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:27)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:114)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:201)(cid:193)(cid:65)(cid:64)(cid:76)(cid:114)(cid:139)(cid:33)(cid:27)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:48)(cid:49)(cid:57)(cid:143)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:144)(cid:83)
(cid:15)(cid:150)(cid:151)4-3(cid:19)(cid:166)(cid:129)(cid:114)(cid:89)C(cid:188)(cid:187) (cid:51)(cid:24)(cid:36)(cid:28)(cid:35)(cid:27)(cid:106) =6(cid:114) =30°(cid:114)(cid:89)D(cid:188)(cid:25)(cid:292) (cid:106)(cid:74)(cid:75)(cid:114)(cid:89)E(cid:26)(cid:89)D
(cid:3)(cid:81) (cid:207)(cid:293)(cid:114) (cid:81)(cid:89)D𝐴(cid:114)𝐵(cid:79)(cid:93) (cid:28)(cid:254)(cid:197)(cid:25)𝐴(cid:81)𝐵(cid:89)F(cid:114)∠(cid:146)𝐴𝐵𝐶(cid:197)(cid:285)(cid:51) 𝐴𝐵 (cid:71)(cid:114) (cid:26)(cid:35)(cid:27)(cid:70)(cid:52)(cid:83)
𝐴𝐶 𝐷𝐹⊥𝐷𝐸 𝐸𝐶 𝐴𝐷 𝐸𝐹
3
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19) /1.5
2
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:101)(cid:177)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:26)(cid:60)(cid:61)(cid:224)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:224)(cid:255)(cid:207)(cid:293)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:101)(cid:33)(cid:235)(cid:114)(cid:120)(cid:121)(cid:20)(cid:294)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:48)(cid:49)
(cid:79)(cid:128)(cid:67)(cid:129)(cid:130)(cid:278)(cid:279)(cid:295)(cid:146)(cid:28)(cid:296)(cid:297)(cid:25)(cid:57)(cid:143)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:144)(cid:83)
(cid:53)(cid:232) (cid:114) (cid:114)(cid:226)(cid:54)(cid:55) (cid:57)(cid:101)(cid:177)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:114)(cid:288)(cid:289)(cid:147)(cid:196) =60°(cid:114)(cid:205)(cid:206)(cid:92)(cid:63)(cid:101)(cid:202)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:192)(cid:25)(cid:67)(cid:98)(cid:60)(cid:61)
(cid:147)(cid:196)𝑂𝐶 𝐶=𝐷 30°(cid:114)(cid:131)(cid:289)△(cid:147)𝐴(cid:196)𝑂𝐶 =30°(cid:114)(cid:205)(cid:206)(cid:127)(cid:54) ∠𝐴𝐶=𝑂90°(cid:114)(cid:183)(cid:147)(cid:22)(cid:23)(cid:83)
∠𝐴𝐶𝐷 3 ∠𝐸𝐶𝐴 ∠𝑂𝐶𝐸
(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19)(cid:143)(cid:10)(cid:146) = (cid:71)(cid:114) (cid:26)(cid:35)(cid:27)(cid:70)(cid:52)(cid:83)
2
(cid:53)(cid:232) (cid:114) (cid:114) 𝐴𝐷 𝐸𝐹
𝑂𝐶 𝐶𝐷
(cid:51) (cid:24)(cid:36)(cid:114)
∵𝐴𝐵 ⊙=𝑂90°(cid:114)
∴∠𝐴𝐶𝐵=30°(cid:114)
∵∠𝐴𝐵𝐶=60°
∴∠𝐶𝐴=𝐵 (cid:114)
∵𝑂𝐴 𝑂(cid:57)𝐶 (cid:101)(cid:177)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:114)
∴△𝐴𝑂𝐶=60°(cid:114)
∴∠𝐴𝐶𝑂3
= (cid:114) =3(cid:114)
2
∵𝐴𝐷 𝑂𝐴 3 3
= = = (cid:114)
2 2
∴𝑂𝐷= 𝑂𝐴−(cid:114)𝐴𝐷 3−
∴𝐴𝐷 𝑂𝐷1
= =30°(cid:114)
2
∴(cid:89)∠𝐴E𝐶𝐷(cid:26)(cid:89)∠D𝐴(cid:3)𝐶𝑂(cid:81) (cid:207)(cid:293)(cid:114)
∵ = =𝐴3𝐶0°(cid:114)
∴∠𝐸𝐶𝐴 =∠𝐴𝐶𝐷+ =90°(cid:114)
∴∠𝑂𝐶𝐸 (cid:114)∠𝐸𝐶𝐴 ∠𝐴𝐶𝑂
∴𝑂𝐶(cid:57)⊥(cid:35)𝐸𝐹 (cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:114)
∵𝑂𝐶(cid:26)(cid:35)⊙𝑂(cid:70)(cid:52)(cid:114)
∴𝐸𝐹 ⊙3 𝑂
(cid:146) = (cid:71)(cid:114) (cid:26)(cid:35)(cid:27)(cid:70)(cid:52)(cid:83)
2
∴ 𝐴𝐷 3 𝐸𝐹
(cid:148)(cid:116)(cid:117)(cid:51)(cid:10) (cid:83)
2
【题型5 连半径证明某直线是圆的切线】
(cid:15)(cid:102)5(cid:19)(cid:86)24-25(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)·(cid:107)(cid:108)(cid:298)(cid:299)(cid:3)·(cid:111)(cid:112)(cid:87)(cid:166)(cid:129)(cid:10)(cid:101)(cid:202) (cid:114)(cid:187)(cid:202) (cid:51)(cid:24)(cid:36)(cid:58) (cid:93)(cid:300)(cid:177) (cid:81)P(cid:114)
(cid:114)(cid:59)(cid:277)(cid:51)E(cid:83)(cid:34)(cid:54)(cid:10) (cid:57) (cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:83) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐵𝐶
𝑃𝐸⊥𝐴𝐶 𝑃𝐸 ⊙𝑂
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)(cid:301)(cid:145)(cid:143)
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:53)(cid:232) (cid:114)(cid:84)(cid:156) =90°(cid:114)(cid:120)(cid:121)(cid:101)(cid:202)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:60)(cid:61)(cid:34)(cid:156) = (cid:114)(cid:120)(cid:121)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:172)(cid:29)(cid:25)(cid:64)(cid:76)(cid:34)(cid:156)
(cid:114)(cid:84)(cid:156) 𝑂𝑃 (cid:114)(cid:120)(cid:121)∠(cid:52)𝐵𝑃(cid:25)𝐴(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:84)(cid:156)(cid:183)(cid:147)(cid:83) 𝐵𝑃 𝑃𝐶 𝑂𝑃∥
𝐴(cid:15)𝐶(cid:145)(cid:143)(cid:19)(cid:54)𝑂𝑃(cid:55)⊥(cid:10)𝑃(cid:53)𝐸(cid:232) (cid:114)
𝑂𝑃(cid:57) (cid:28)(cid:24)(cid:36)(cid:114)
∵𝐴𝐵 ⊙=𝑂90°(cid:114)
∴∠𝐴𝑃=𝐵 (cid:114)
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶(cid:114)
∴𝐵𝑃 =𝐶𝑃(cid:114)
∵𝑂𝐵(cid:51) 𝑂𝐴 (cid:28)(cid:172)(cid:29)(cid:25)(cid:114)
∴𝑂𝑃 △(cid:114)𝐴𝐵𝐶
∴𝑂𝑃∥𝐴𝐶 (cid:114)
∵𝑃𝐸⊥𝐴𝐶(cid:114)
∴𝑂𝑃(cid:57)⊥(cid:35)𝑃𝐸(cid:36)(cid:114)
∵𝑃𝑂(cid:57) (cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:83)
∴(cid:15)𝑃(cid:89)𝐸(cid:234)(cid:19)⊙(cid:133)𝑂(cid:20)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:68)(cid:132)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:224)(cid:101)(cid:202)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:224)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:172)(cid:29)(cid:25)(cid:64)(cid:76)(cid:224)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:224)(cid:27)(cid:302)(cid:193)(cid:64)(cid:76)
(cid:101)(cid:33)(cid:235)(cid:89)(cid:28)(cid:74)(cid:63)(cid:114)(cid:240)(cid:66)(cid:67)(cid:74)(cid:63)(cid:82)(cid:303)(cid:60)(cid:61)(cid:131)(cid:132)(cid:84)(cid:76)(cid:57)(cid:143)(cid:233)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:144)(cid:114)(cid:4)(cid:214)(cid:54)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:90)(cid:91)(cid:10)(cid:33)(cid:304)(cid:73)(cid:27)(cid:106)(cid:98)(cid:89)(cid:114)
(cid:53)(cid:232)(cid:27)(cid:41)(cid:65)(cid:263)(cid:89)(cid:54)(cid:59)(cid:24)(cid:83)
(cid:15)(cid:150)(cid:151)5-1(cid:19)(cid:86)2025·(cid:305)(cid:306)(cid:307)(cid:308)·(cid:98)(cid:309)(cid:87)(cid:166)(cid:129)(cid:114) (cid:201)(cid:232)(cid:81) (cid:114) (cid:57) (cid:106)(cid:98)(cid:89)(cid:114) = (cid:83) (cid:57) (cid:77)(cid:98)(cid:89)(cid:114)
= (cid:114) = (cid:114)(cid:53)(cid:232) (cid:83)△𝐴𝐵𝐶 ⊙𝑂 𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐸 ⊙𝑂
∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐶𝐴𝐷 ∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐴𝐶𝐵 𝐵𝐸
(1)(cid:113) =2(cid:114) =6(cid:114)(cid:34) (cid:28)(cid:197)(cid:209)
(2)(cid:34)(cid:54)𝐶𝐷(cid:10) (cid:57)𝐷𝐸 (cid:28)(cid:52)(cid:25)𝐵(cid:83)𝐷
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)(𝐸1𝐵)4 ⊙𝑂
(2)(cid:301)(cid:143)(cid:119)(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:47)(cid:101)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:65)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:114)(cid:141)(cid:142)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:57)(cid:3)(cid:144)(cid:83)
(cid:86)1(cid:87)(cid:54)(cid:55) ASA)(cid:114)(cid:196)(cid:42) = =6(cid:114)(cid:183)(cid:147)(cid:34)(cid:143)(cid:209)
(cid:86)2(cid:87)(cid:53)(cid:232) △(cid:79)𝐴(cid:254)𝐷𝐸(cid:197)≌(cid:93)△𝐴𝐶𝐵(cid:81)( (cid:89) (cid:114)(cid:147)(cid:196)𝐵𝐶 𝐷+𝐸 =90°(cid:114) = (cid:114) = (cid:114)(cid:186)(cid:187)
+ 𝐵𝑂 =90°(cid:114)⊙(cid:128)(cid:67)𝑂(cid:52)(cid:25)𝐹(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:183)∠(cid:147)𝐴𝐹(cid:34)𝐵(cid:143)(cid:83)∠𝐴𝐵𝐹 ∠𝐴𝐹𝐵 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐴𝐹𝐵
(cid:15)∠𝐴(cid:145)𝐵𝐹(cid:143)(cid:19)∠(cid:86)𝐴1𝐵(cid:87)𝐸(cid:143)(cid:10) = (cid:114)
+ = ∵∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐴(cid:114)𝐷(cid:183) = (cid:114)
(cid:291)∴∠𝐵𝐴𝐸 ∠=𝐵𝐴𝐷 (cid:114)∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵(cid:114)𝐴𝐷 ∠𝐸𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
∵∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐴𝐶𝐵ASA𝐴)𝐷(cid:114) 𝐴𝐶
∴△𝐴𝐷=𝐸≅△=𝐴6𝐶(cid:114)𝐵(
∴𝐵𝐶 =𝐷𝐸 = =4(cid:209)
(cid:86)∴2𝐵(cid:87)𝐷(cid:54)(cid:55)𝐵𝐶(cid:10)−(cid:53)𝐶𝐷(cid:232) 6−(cid:79)2(cid:254)(cid:197)(cid:93) (cid:81)(cid:89) (cid:114)(cid:53)(cid:232) (cid:114)
𝐵𝑂 ⊙𝑂 𝐹 𝐴𝐹
(cid:57) (cid:28)(cid:24)(cid:36)(cid:114)
∵𝐵𝐹 ⊙=𝑂90°(cid:114)
∴∠𝐵𝐴𝐹+ =90°(cid:114)
∴∠𝐴𝐹𝐵 ∠𝐴𝐵𝐹
= (cid:114)
⏜ ⏜
∵𝐴𝐵 𝐴=𝐵 (cid:114)
∴(cid:184)∠(cid:86)𝐴𝐹1𝐵(cid:87)(cid:33)∠𝐴𝐶𝐵 ASA)
= (cid:114)△𝐴𝐷𝐸≅△𝐴𝐶𝐵(
∴𝐴𝐸 𝐴𝐵= (cid:114)
(cid:291)∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐵𝐸(cid:114)
∠𝐵𝐴𝐸 =∠𝐶𝐴𝐷(cid:114)
∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐶𝐵(cid:114)
∴∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐹𝐵=90°(cid:114)
∴∠𝐴𝐵𝐹 ∠𝐴𝐵𝐸(cid:114)
∴𝑂𝐵(cid:57)⊥𝐵𝐸 (cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:83)
(cid:15)∴(cid:150)𝐸𝐵(cid:151)5⊙-2(cid:19)𝑂(cid:86)2025·(cid:310)(cid:311)(cid:312)(cid:174)·(cid:192)(cid:309)(cid:87)(cid:166)(cid:129)(cid:114) (cid:57) (cid:28)(cid:77)(cid:232)(cid:27) (cid:28)(cid:24)(cid:36)(cid:114)(cid:89)D(cid:51) (cid:106)(cid:98)(cid:89)(cid:114)(cid:73)(cid:89)D
(cid:58) (cid:81)(cid:89)D(cid:114)(cid:93) (cid:28)(cid:254)(cid:197)(cid:25)(cid:81)(cid:89)E(cid:114)(cid:89)𝐴𝐵F(cid:51)△(cid:25)𝐴(cid:292)𝐵𝐶 (cid:106)(cid:98)(cid:89)(cid:114)⊙(cid:80)𝑂 = (cid:83)(cid:34)(cid:54)(cid:10)𝑂𝐵(cid:57) (cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:209)
𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐷𝐸 𝐶𝐹 𝐸𝐹 𝐶𝐹 ⊙𝑂
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)(cid:301)(cid:143)(cid:119)
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:20)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:114)(cid:101)(cid:202)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:64)(cid:76)(cid:57)(cid:143)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:144)(cid:209)
(cid:53)(cid:128) (cid:114)(cid:120)(cid:121) = (cid:114)(cid:147)(cid:196) = (cid:114)(cid:120)(cid:121) = (cid:114)(cid:147)(cid:196) = (cid:114)(cid:184) (cid:114)(cid:147)(cid:196)
+𝑂𝐶 =90°𝑂(cid:114)𝐴(cid:131)(cid:289)𝑂(cid:196)𝐶 (cid:156) ∠𝐴=9∠0𝑂°(cid:114)𝐶𝐴(cid:183)(cid:147)(cid:196)(cid:54)𝐶(cid:83)𝐹 𝐸𝐹 ∠𝐸 ∠𝐹𝐶𝐸 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵
∠(cid:15)𝐴(cid:145)(cid:143)∠(cid:19)𝐸(cid:86)1(cid:87)(cid:54)(cid:55)(cid:10)(cid:53)(cid:232)∠𝑂(cid:114)𝐶𝐹
𝑂𝐶
= (cid:114)
∵𝑂𝐴= 𝑂𝐶 (cid:114)
∴∠𝐴= ∠𝑂(cid:114)𝐶𝐴
∵𝐶𝐹 =𝐸𝐹 (cid:114)
∴∠𝐸 ∠𝐹(cid:81)𝐶𝐸(cid:89)D(cid:114)
∵𝐷𝐸⊥𝐴=𝐵90°(cid:114)
∴∠𝑂𝐷+𝐸 =90°(cid:114)
∴∠𝐴 ∠+𝐸 =90°(cid:114)
∴∠𝑂𝐶𝐴+∠𝐹𝐶𝐸+ =180°(cid:114)
∵∠𝑂𝐶𝐴=∠90𝑂°𝐶(cid:114)𝐹(cid:183)∠𝐹𝐶𝐸 (cid:114)
∴∠𝑂(cid:57)𝐶𝐹 (cid:28)(cid:35)(cid:36)𝑂(cid:114)𝐶⊥𝐶𝐹
∵𝑂𝐶(cid:57)⊙𝑂(cid:28)(cid:52)(cid:25).
∴𝐶𝐹 ⊙𝑂(cid:15)(cid:150)(cid:151)5-3(cid:19)(cid:86)2025(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:198)·(cid:313)(cid:157)·(cid:314)(cid:20)(cid:140)(cid:315)(cid:87)(cid:166)(cid:129)(cid:114) (cid:51) (cid:28)(cid:24)(cid:36)(cid:114)(cid:264)(cid:177)(cid:130) (cid:57)(cid:316)(cid:130)(cid:114)(cid:53)(cid:232) (cid:114)(cid:254)
(cid:197) (cid:93) (cid:81)E(cid:114)(cid:53)(cid:232) (cid:83)(cid:34)(cid:54)(cid:10) (cid:51) (cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:83)𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝑂𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷
𝐴𝐷 ⊙𝑂 𝐶𝐸 𝐶𝐸 ⊙𝑂
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)(cid:301)(cid:143)(cid:119)
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:136)(cid:137)(cid:27)(cid:302)(cid:193)(cid:64)(cid:76)(cid:114)(cid:27)(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:114)(cid:47)(cid:101)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:65)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:316)(cid:130)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:101)(cid:8)(cid:317)(cid:33)(cid:235)(cid:89)(cid:114)
(cid:139)(cid:241)(cid:141)(cid:142)(cid:187)(cid:106)(cid:33)(cid:235)(cid:89)(cid:57)(cid:143)(cid:20)(cid:3)(cid:144)(cid:83)(cid:53)(cid:232) (cid:224) (cid:114)(cid:120)(cid:121)(cid:316)(cid:130)(cid:60)(cid:61)(cid:65)(cid:27)(cid:35)(cid:36)(cid:70)(cid:101)(cid:114)(cid:84)(cid:156) = (cid:114)(cid:131)(cid:289)
(cid:196)(cid:42) = (cid:114)(cid:205)(cid:206)(cid:120)(cid:121) (cid:114)(cid:147)(cid:187)(cid:84)𝑂𝐶(cid:156) 𝐵𝐸 = (cid:114)(cid:267)(cid:206)(cid:318)(cid:73)(cid:54)(cid:55) ∠𝐶𝐷𝐸 (cid:183)∠(cid:147)𝐴(cid:34)𝐸𝑂(cid:143)(cid:83)
(cid:15)(cid:145)𝑂(cid:143)𝑃(cid:19)(cid:54)𝐶(cid:55)𝑃(cid:10)(cid:166)(cid:129)(cid:10)(cid:53)𝑂(cid:232)𝐵∥𝐶𝐷(cid:224) (cid:114) (cid:114)∠𝐶(cid:93)𝑂𝐸(cid:81)(cid:89)∠P𝐵(cid:114)𝑂𝐶 △𝐵𝑂𝐶≌△𝐸𝑂𝐶
𝑂𝐶 𝐵𝐸 𝑂𝐸 𝐶𝐷
(cid:264)(cid:177)(cid:130) (cid:57)(cid:316)(cid:130)(cid:114)
∵ 𝑂(cid:114)𝐵𝐶𝐷 =90°(cid:114) = (cid:114)
∴𝑂𝐵∥𝐶𝐷(cid:114)∠𝑂𝐵𝐶 𝑂𝐵 𝐶𝐷
∵𝑂𝐵∥=𝐶𝐷 (cid:114)
∴(cid:188)∠𝐴 ∠(cid:172)𝐶𝐷(cid:114)𝐸 = = (cid:114)
∵ ⊙=𝑂 (cid:114)𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑂𝐸
∴𝑂𝐸 =𝐶𝐷(cid:114)
∵𝑂𝐴= 𝑂𝐸 (cid:114)
∴∠𝐴 ∠=𝐴𝐸𝑂 (cid:114)
∴∠𝐶𝐷=𝐸 (cid:114)∠𝐴𝐸𝑂
∴𝐷𝑃= 𝑃𝐸(cid:114)
∵𝑂𝐸=𝐶𝐷(cid:114)
∴𝑂𝑃 𝐶=𝑃 (cid:114)
∴∠𝐶𝑂𝐸 (cid:114)∠𝐷𝐶𝑂
∵𝑂𝐵∥𝐶𝐷= (cid:114)
∴∠𝐷𝐶𝑂= ∠𝐵𝑂𝐶(cid:114)
(cid:188)∴∠𝐶𝑂𝐸 (cid:65)∠𝐵𝑂𝐶 (cid:172)(cid:114)
△𝐵𝑂=𝐶 △𝐸𝑂𝐶
= (cid:114)
𝑂𝐵=𝑂𝐸
𝐶𝑂 𝐶𝑂
∠𝐵𝑂𝐶 ∠𝐶𝑂𝐸 (cid:114)
∴△𝐵𝑂𝐶=≌△𝐸𝑂𝐶=90°(cid:114)
∴∠𝐶𝐸𝑂 (cid:114)∠𝑂𝐵𝐶
∴(cid:291)𝐶𝐸⊥(cid:51)𝑂𝐸 (cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:114)
∵𝑂(cid:51)𝐸 ⊙(cid:28)𝑂(cid:52)(cid:25)(cid:83)
∴
【
𝐶
题
𝐸
型
⊙6 𝑂
作垂直证明某直线是圆的切线】
(cid:15)(cid:102)6(cid:19)(cid:166)(cid:129)(cid:114)O(cid:51)(cid:200)(cid:90)(cid:130)ABCD(cid:207)(cid:193)(cid:25)(cid:106)(cid:98)(cid:89)(cid:114)(cid:187)O(cid:51)(cid:27)(cid:41)(cid:114)OA(cid:28)(cid:197)(cid:51)(cid:35)(cid:36)(cid:28) O(cid:26)CD(cid:70)(cid:52)(cid:81)(cid:89)M(cid:114)
⊙
(cid:86)1(cid:87)(cid:34)(cid:54)(cid:10)BC(cid:26) O(cid:70)(cid:52)(cid:209)
(cid:86)2(cid:87)(cid:113)(cid:200)(cid:90)(cid:130)(cid:28)(cid:177)⊙(cid:197)(cid:51)1(cid:114)(cid:34) O(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:83)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)(cid:86)1(cid:87)(cid:54)(cid:55)(cid:301)(cid:143)(cid:119)(cid:209)(cid:86)⊙2(cid:87) 2.
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:86)1(cid:87)(cid:73) (cid:58) (cid:81) 2(cid:184)−(cid:200)(cid:90)(cid:130)ABCD(cid:114)(cid:147)(cid:196) = =45°, (cid:54)(cid:55) (cid:127)(cid:54)(cid:55)
= (cid:288)(cid:289)(cid:147)𝑂(cid:196)(cid:128)𝑂𝐻(cid:85)⊥(cid:209)𝐵𝐶 𝐻, ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐶𝐷 𝑂𝑀⊥𝐶𝐷,
(cid:86)𝑂𝑀2(cid:87)(cid:200)𝑂(cid:90)𝐻,(cid:130)ABCD(cid:114)(cid:147)(cid:196) = =45°, (cid:34)(cid:143) = + = 2, (cid:127)(cid:54)(cid:55) = = (cid:34)(cid:143)
2 2
= + = 2 (cid:92)(cid:63)∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵=𝐴𝐶 (cid:199)(cid:90)(cid:247)(cid:114)(cid:143)𝐴𝐶(cid:90)(cid:247)(cid:147)𝐴𝐵(cid:196)(cid:116)(cid:117)𝐵𝐶(cid:83) 𝑂𝐻 𝐶𝐻 𝑟,
2 2
𝑂(cid:15)𝐶(cid:145)(cid:143)(cid:19)𝑟 (cid:143)(cid:10)𝑟(cid:86)1(cid:87)(cid:73)𝑟, (cid:58) 𝑂𝐴 𝑂(cid:81)𝐶 𝐴𝐶,
(cid:200)(cid:90)(cid:130)ABCD(cid:114) 𝑂 𝑂𝐻⊥𝐵𝐶 𝐻,
∵ = =45°,
∴∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐶𝐷(cid:57) (cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:114)
∵𝐶𝐷 ⊙𝑂
∴𝑂𝑀⊥=𝐶𝐷,
∴𝑂𝑀(cid:51) 𝑂𝐻,(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:114)
∵𝑂 B𝑀C(cid:26)⊙O𝑂(cid:70)(cid:52)(cid:209)
(cid:86)∴2(cid:87) ⊙(cid:200)(cid:90)(cid:130)ABCD(cid:114)
=∵ = =90°, = =45°,
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶 1+,∠𝐵 = 2, ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐵𝐴𝐶
2 2
∴𝐴𝐶 𝐴𝐵 (cid:210) 𝐵𝐶(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:51)
∵𝑂𝐻⊥𝐵=𝐶, ⊙𝑂=45°, 𝑟,
∴∠𝑂𝐻=𝐶 ∠=𝑂𝐶𝐻
∴𝑂𝐻= 𝐶𝐻 +𝑟, = 2
2 2
∴𝑂𝐶+ 𝑟 = 𝑟 𝑟,
∵𝑂𝐴+ 2𝑂𝐶= 𝐴2𝐶, ,
2
∴𝑟 𝑟
= = 2( 2 = 2.
2+1
∴(cid:15)𝑟(cid:89)(cid:234)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:136)(cid:137)(cid:28)(cid:57)−(cid:200)1(cid:90)) (cid:130)2(cid:28)−(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:27)(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:114)(cid:190)(cid:191)(cid:64)(cid:76)(cid:28)(cid:62)(cid:63)(cid:114)(cid:101)(cid:202)(cid:24)(cid:193)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:26)(cid:60)(cid:61)(cid:114)
(cid:193)(cid:68)(cid:118)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:319)(cid:273)(cid:120)(cid:151)(cid:28)(cid:74)(cid:204)(cid:114)(cid:141)(cid:142)(cid:187)(cid:106)(cid:33)(cid:235)(cid:57)(cid:143)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:144)(cid:83)
(cid:15)(cid:150)(cid:151)6-1(cid:19)(cid:166)(cid:129)(cid:114) (cid:57) (cid:28)(cid:193)(cid:68)(cid:118)(cid:25)(cid:114) =90°(cid:114)(cid:187)(cid:89) (cid:51)(cid:27)(cid:41)(cid:114) (cid:51)(cid:35)(cid:36)(cid:250)(cid:27)(cid:114)(cid:73)(cid:89) (cid:58)
(cid:28)(cid:59)(cid:25)(cid:114)(cid:93) (cid:28)(cid:254)(cid:197)𝐴𝑂(cid:25)(cid:81)𝑅(cid:89)𝑡△(cid:83)𝐴𝐵(cid:34)𝐶(cid:54)(cid:10) (cid:57) ∠(cid:28)𝐴(cid:52)𝐶𝐵(cid:25) 𝑂 𝑂𝐶 𝐵 𝐴𝑂
𝐴𝑂 𝐷 𝐴𝐵 ⊙𝑂(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)(cid:54)(cid:55)(cid:10)(cid:73)(cid:89)(cid:58)OE AB(cid:114)(cid:59)(cid:277)(cid:51)(cid:89)(cid:114)(cid:166)(cid:129)(cid:114)
⊥
AEO=90°(cid:114)
(cid:184)∴∠(cid:58)(cid:129)(cid:33)(cid:114)AC(cid:57) O(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:114)(cid:80) ACB=90°(cid:114)
AEO= ACO=⊙90°(cid:114) ∠
∴∠AO(cid:57) B∠AC(cid:28)(cid:193)(cid:68)(cid:118)(cid:25)(cid:114)
∵OE=O∠C(cid:114)
∴AB(cid:57) O(cid:28)(cid:52)(cid:25)
(cid:15)∴(cid:118)(cid:119)(cid:19)⊙(cid:133)(cid:20)(cid:136)(cid:137)(cid:28)(cid:57)(cid:193)(cid:68)(cid:118)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:96)(cid:3)(cid:33)(cid:235).
(cid:73)(cid:89)(cid:58)OE AB(cid:114)(cid:59)(cid:277)(cid:51)(cid:89)(cid:114)(cid:120)(cid:121)(cid:193)(cid:68)(cid:118)(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:64)(cid:76)(cid:147)(cid:196)OE=OC(cid:114)(cid:288)(cid:289)(cid:147)(cid:33)AB(cid:51) O(cid:28)(cid:52)(cid:25)((cid:58)(cid:59)(cid:24)(cid:54)(cid:70)
(cid:101)). ⊥ ⊙
(cid:15)(cid:150)(cid:151)6-2(cid:19)(cid:166)(cid:129)(cid:114)(cid:188)Rt ABC(cid:172)(cid:114) B(cid:243)90°(cid:114) BAC(cid:28)(cid:68)(cid:118)(cid:25)(cid:93)BC(cid:81)(cid:89)D(cid:114)E(cid:51)AB(cid:106)(cid:28)(cid:98)(cid:89)(cid:114)DE(cid:243)
DC(cid:114)(cid:187)D(cid:51)(cid:27)(cid:41)(cid:114)DB(cid:197)△(cid:51)(cid:35)(cid:36)(cid:58) ∠D(cid:83) ∠
(cid:86)1(cid:87)(cid:34)(cid:54)(cid:10)AC(cid:57) D(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:209) ⊙
(cid:86)2(cid:87)(cid:34)(cid:25)(cid:292)AC(cid:28)⊙(cid:197)(cid:83)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)(cid:86)1(cid:87)(cid:54)(cid:55)(cid:301)(cid:143)(cid:119)(cid:209)(cid:86)2(cid:87)8
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:86)1(cid:87)(cid:73)(cid:89)D(cid:58)DF AC(cid:81)F(cid:114)(cid:120)(cid:121)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:147)(cid:196) B=90°(cid:114)(cid:183)AB BC(cid:114)(cid:205)(cid:206)(cid:120)(cid:121)(cid:193)(cid:68)(cid:118)(cid:25)(cid:28)(cid:60)
(cid:61)(cid:147)(cid:196)DE=DF(cid:114)(cid:288)(cid:289)(cid:54)(cid:196)(cid:128)⊥(cid:85)(cid:209) ∠ ⊥
(cid:86)2(cid:87)(cid:120)(cid:121)(cid:32)(cid:33)DE=DC(cid:65)(cid:86)1(cid:87)(cid:28)(cid:128)(cid:85)(cid:147)(cid:33)DF AC(cid:114)AB BC(cid:187)(cid:320)(cid:35)(cid:36)DB=DF(cid:114)(cid:196)(cid:54)Rt BDE Rt DCF
⊥ ⊥ △ ≌ △(cid:86)HL(cid:87)(cid:114)(cid:131)(cid:289)(cid:196)(cid:54)EB=FC,(cid:127)(cid:184)AB=AF(cid:114)(cid:147)(cid:33)AC=AF+FC=AB+EB=8(cid:83)
(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19)(cid:143)(cid:10)(cid:86)1(cid:87)(cid:73)(cid:89)D(cid:58)DF AC(cid:81)F(cid:209)
⊥
AB(cid:51) D(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:114)
∵ B=90⊙°(cid:114)
∴A∠B BC
∴AD⊥(cid:68)(cid:118) BAC(cid:114)DF AC(cid:114)
∵BD=DF(cid:114)∠ ⊥
∴AC(cid:26)(cid:27)D(cid:70)(cid:52)(cid:209)
∴(cid:86)2(cid:87)(cid:188) BDE(cid:65) DCF(cid:172)(cid:209)
BD=DF△(cid:114)DE=DC△(cid:114)
∵Rt BDE Rt DCF(cid:86)HL(cid:87)(cid:114)
∴EB△=FC(cid:83)≌ △
∴AB=AF(cid:114)
∵AB+EB=AF+FC(cid:114)
∴(cid:183)AB+EB=AC(cid:114)
AC=5+3=8(cid:83)
∴(cid:15)(cid:89)(cid:234)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:136)(cid:137)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:26)(cid:22)(cid:64)(cid:114)(cid:24)(cid:193)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:47)(cid:101)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:26)(cid:60)(cid:61)(cid:83)
(cid:15)(cid:150)(cid:151)6-3(cid:19)(cid:166)(cid:129)1(cid:114) (cid:51)(cid:101)(cid:202)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:114) (cid:57)(cid:300)(cid:177) (cid:28)(cid:172)(cid:89)(cid:114)(cid:202) (cid:26) (cid:70)(cid:52)(cid:81)(cid:89) (cid:114)(cid:300) (cid:93) (cid:81)(cid:89)
(cid:114) (cid:83) △𝐴𝐵𝐶 𝑂 𝐵𝐶 𝐴𝐵 □𝑂 𝐷 𝐵𝐶 ⊙𝑂
𝐸 𝐹(cid:86)1(cid:87)(cid:34)(cid:54)(cid:10) (cid:57) (cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:209)
(cid:86)2(cid:87)(cid:166)(cid:129)2(cid:114)𝐴𝐶(cid:53)(cid:232)⊙𝑂(cid:114) (cid:114) (cid:93) (cid:81)(cid:89) (cid:114)(cid:89) (cid:57)(cid:321) (cid:28)(cid:172)(cid:89)(cid:114)(cid:113) =2(cid:114) =4(cid:114)(cid:34) (cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:83)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)(cid:86)1(cid:87)(cid:54)(cid:55)𝐴(cid:301)𝐹(cid:143)𝐷(cid:119)𝐹(cid:209)(cid:86)𝐴𝐹2(cid:87)⊙𝑂(cid:28)(cid:35)(cid:36)𝐺 (cid:51)2𝐷.5(cid:83) 𝐸𝐺 𝐴𝐷 𝐴𝐹 ⊙𝑂
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:86)1(cid:87)(cid:53)(cid:232) (cid:114) (cid:114)(cid:73) (cid:58)⊙𝑂 (cid:81)(cid:89) (cid:114)(cid:120)(cid:121)(cid:192)(cid:25)(cid:67)(cid:98)(cid:147)(cid:196) = (cid:114)(cid:205)(cid:206)(cid:120)(cid:121)(cid:193)(cid:68)(cid:118)(cid:25)
(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:147)(cid:196) = 𝑂(cid:114)𝐴 (cid:205)𝑂(cid:206)𝐷(cid:120)(cid:121)(cid:52)𝑂(cid:25)𝑂(cid:28)𝐻(cid:22)⊥(cid:64)𝐴𝐶(cid:64)(cid:76)(cid:183)𝐻(cid:147)(cid:54)(cid:156)(cid:128)(cid:85)(cid:209) ∠𝐵𝐴𝑂 ∠𝐶𝐴𝑂
(cid:86)2(cid:87)(cid:53)(cid:232) 𝑂𝐻(cid:114)(cid:73)𝑂𝐷(cid:58) (cid:81)(cid:89) (cid:114)(cid:120)(cid:121)(cid:68)(cid:132)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:54)(cid:156) // (cid:114)(cid:54)(cid:156) (cid:114)(cid:120)(cid:121)(cid:193)(cid:68)(cid:118)(cid:25)(cid:28)(cid:60)
(cid:61)(cid:147)(cid:196) 𝑂=𝐷 =𝐷2(cid:114)𝐷(cid:205)𝐾(cid:206)⊥(cid:92)𝐵𝐶(cid:63)HL𝐾(cid:54)(cid:156) (cid:114)𝑂𝐷(cid:288)(cid:289)𝐴(cid:196)𝐹(cid:156) =𝐴𝐹⊥=𝐴𝐵4(cid:114)(cid:210) (cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:51) (cid:114)
(cid:120)(cid:121)(cid:190)𝐴(cid:191)𝐷(cid:64)(cid:76)𝐷(cid:199)𝐾(cid:156)(cid:90)(cid:247)(cid:183)(cid:147)(cid:34)(cid:156)(cid:128)(cid:85)(cid:83) 𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐹≅𝑅𝑡△𝐾𝐷𝐹 𝐹𝐾 𝐴𝐹 ⊙𝑂 𝑥
(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19)(cid:86)1(cid:87)(cid:54)(cid:55)(cid:10)(cid:166)(cid:129)(cid:114)(cid:53)(cid:232) (cid:114) (cid:114)(cid:73) (cid:58) (cid:81)(cid:89) (cid:83)
𝑂𝐴 𝑂𝐷 𝑂 𝑂𝐻⊥𝐴𝐶 𝐻
= (cid:114) (cid:57)(cid:300)(cid:177) (cid:28)(cid:172)(cid:89)(cid:114)
∵𝐴𝐵 𝐴=𝐶 𝑂 (cid:114) 𝐵𝐶
∴∠𝐵(cid:57)𝐴𝑂 ∠(cid:28)𝐶𝐴(cid:52)𝑂(cid:25)(cid:114)
∵𝐴𝐵 ⊙𝑂(cid:114)
∴𝑂𝐷⊥=𝐴𝐵 (cid:83)
∴𝑂𝐻(cid:57) 𝑂𝐷(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:209)
∴(cid:86)𝐴2𝐶(cid:87)(cid:143)⊙(cid:10)𝑂(cid:166)(cid:129)2(cid:114)(cid:53)(cid:232) (cid:114)(cid:73) (cid:58) (cid:81)(cid:89) (cid:83)
(cid:89) (cid:57) (cid:28)(cid:172)(cid:89)(cid:114) 𝑂𝐷 𝐷 𝐷𝐾⊥𝐵𝐶 𝐾
∵ 𝐷 𝐸=𝐺 = (cid:114)
∴∠𝐴𝐹//𝐷 ∠𝐷𝐹𝐾 ∠𝑂𝐷𝐹
∴𝑂𝐷 𝐴𝐹(cid:114)
∴𝐴𝐹⊥=𝐴𝐵 =2
∴(cid:188)𝐴𝐷 𝐷𝐾 (cid:65) (cid:172)(cid:114)
𝑅𝑡=△𝐴𝐷𝐹 𝑅𝑡△𝐾𝐷𝐹
=
𝐴𝐷 𝐷𝐾
𝐷𝐹 𝐷𝐹
∴𝑅𝑡△=𝐴𝐷𝐹=≅𝑅4𝑡△𝐾𝐷𝐹
∴𝐹𝐾 𝐴𝐹(cid:210) (cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:51)
(cid:184)(cid:190)⊙(cid:191)𝑂(cid:64)(cid:76)(cid:196)(cid:10)D𝑥K2(cid:322)OK2=OD2
(cid:183)2 +( ) = (cid:114)
2 2 2
(cid:143)(cid:196)(cid:10) 4=−2𝑥.5(cid:83) 𝑥
(cid:28)(cid:35)𝑥 (cid:36)(cid:51)2.5(cid:83)
∴□𝑂
(cid:15)(cid:89)(cid:234)(cid:19)(cid:233)(cid:20)(cid:136)(cid:137)(cid:28)(cid:57)(cid:101)(cid:202)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:224)(cid:193)(cid:68)(cid:118)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:224)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:320)(cid:60)(cid:61)(cid:224)(cid:47)(cid:101)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:320)(cid:60)
(cid:61)(cid:65)(cid:190)(cid:191)(cid:64)(cid:76)(cid:114)(cid:141)(cid:142)(cid:101)(cid:202)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:224)(cid:193)(cid:68)(cid:118)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:224)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:320)(cid:60)(cid:61)(cid:224)(cid:47)(cid:101)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:320)(cid:60)(cid:61)
(cid:65)(cid:190)(cid:191)(cid:64)(cid:76)(cid:57)(cid:143)(cid:238)(cid:233)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:144)(cid:83)
【题型7 切线性质的应用】
(cid:15)(cid:102)7(cid:19)(cid:86)24-25(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)·(cid:157)(cid:323)(cid:324)(cid:325)·(cid:326)(cid:292)(cid:140)(cid:315)(cid:87)(cid:166)(cid:129)(cid:114) (cid:26) (cid:28)(cid:177) (cid:70)(cid:52)(cid:114)(cid:52)(cid:89)(cid:51)B(cid:83) (cid:327)
(cid:328)(cid:89) B (cid:329)(cid:330)(cid:71)(cid:331)(cid:90)(cid:332)(cid:333)(cid:334)(cid:196)(cid:42) (cid:114)(cid:50)(cid:89) (cid:335)(cid:188) ⊙𝑂(cid:106)(cid:114)△(cid:177)𝑂𝐴𝐵(cid:93)(cid:25)𝐴(cid:292)𝐵 (cid:81)(cid:89)C(cid:83)(cid:113) =2△5°(cid:114)𝑂𝐴(cid:115)𝐵
′ ′ ′ ′ ′
= °(cid:83) △𝑂 𝐴 𝐵 𝑂 ⊙𝑂 𝐴 𝐵 𝐴𝑂 ∠𝐴
∠𝑂𝐶𝐵
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)85
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:10)(cid:27)(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:59)(cid:24)(cid:81)(cid:72)(cid:73)(cid:52)(cid:89)(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:83)(cid:336)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:333)(cid:334)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:83)(cid:120)(cid:121)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:60)
(cid:61)(cid:196)(cid:42) =90°(cid:114)(cid:53)(cid:232) (cid:114)(cid:166)(cid:129)(cid:114)(cid:127)(cid:120)(cid:121)(cid:333)(cid:334)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:196) = =25°(cid:114) = (cid:114) =
′ ′ ′ ′
(cid:114)(cid:115)∠(cid:22)𝑂(cid:23)𝐵𝐴 (cid:51)(cid:101)(cid:177)𝑂(cid:192)𝑂(cid:193)(cid:130)(cid:196)(cid:42) =60°(cid:114)(cid:186)(cid:187) ∠𝐴 =∠𝐴60°(cid:114)(cid:205)(cid:206)∠(cid:92)𝐴(cid:63)𝐵𝐴(cid:192)(cid:193)(cid:130)∠𝑂(cid:77)𝐵(cid:193)𝑂(cid:60)(cid:61)𝐵𝑂(cid:203)(cid:204)𝐵
′ ′ ′ ′
𝑂 (cid:83) △𝑂𝑂 𝐵 ∠𝑂𝐵𝑂 ∠𝐴𝐵𝐴
∠(cid:15)𝑂(cid:145)𝐶𝐵(cid:143)(cid:19)(cid:143)(cid:10) (cid:26) (cid:28)(cid:177) (cid:70)(cid:52)(cid:114)
(cid:114) ∵⊙𝑂 △𝑂𝐴𝐵 𝐴𝐵
∴𝑂𝐵⊥𝐴=𝐵90°(cid:114)
∴∠𝑂𝐵𝐴(cid:53)(cid:232) (cid:114)(cid:166)(cid:129)(cid:114)
′
𝑂𝑂
(cid:328)(cid:89)B(cid:329)(cid:330)(cid:71)(cid:331)(cid:90)(cid:332)(cid:333)(cid:334)(cid:196)(cid:42) (cid:114)
′ ′
∵△𝑂=𝐴𝐵 =25°(cid:114) = (cid:114)△𝑂=𝐴 𝐵 (cid:114)
′ ′ ′ ′
∴∠𝐴 =∠𝐴 (cid:114) ∠𝐴𝐵𝐴 ∠𝑂𝐵𝑂 𝐵𝑂 𝐵𝑂
′
∵𝑂𝐵 𝑂𝑂(cid:51)(cid:101)(cid:177)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:114)
′
∴△𝑂𝑂 𝐵=60°(cid:114)
′
∴∠𝑂𝐵𝑂 =60°(cid:114)
′
∴∠𝐴𝐵𝐴 = + =25°+60°=85°(cid:83)
∴(cid:148)∠(cid:116)𝑂𝐶(cid:117)𝐵(cid:51)(cid:10)∠8𝐴5(cid:83)∠𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:150)(cid:151)7-1(cid:19)(cid:86)2025·(cid:337)(cid:338)·(cid:172)(cid:136)(cid:339)(cid:20)(cid:87)(cid:166)(cid:129)(cid:114) (cid:28)(cid:340)(cid:89) (cid:114) (cid:188) (cid:106)(cid:114)(cid:27)(cid:41) (cid:188)(cid:177) (cid:106)(cid:114)
=120°(cid:114) (cid:26) (cid:70)(cid:52)(cid:81)(cid:89) (cid:114)(cid:53)(cid:232) △(cid:83)𝐴𝐵𝐶 𝐴 𝐶 ⊙𝑂 𝑂 𝐴𝐵
∠𝐴𝐶𝐵 𝐵𝐶 ⊙𝑂 𝐶 𝑂𝐶
(1)(cid:34) (cid:28)(cid:285)(cid:95)(cid:209)
(2)(cid:34)(cid:54)∠𝐴(cid:10)𝐶𝑂 = (cid:83)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)(𝐴1𝐶)30°𝐵𝐶
(2)(cid:301)(cid:143)(cid:119)
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:201)(cid:193)(cid:65)(cid:64)(cid:76)(cid:114)(cid:101)(cid:202)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:26)(cid:22)(cid:64)(cid:114)(cid:139)(cid:33)(cid:70)(cid:3)(cid:33)(cid:235)(cid:57)(cid:143)
(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:144)(cid:83)
(cid:86)1(cid:87)(cid:184)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:196)(cid:42) =90°(cid:114)(cid:121)(cid:233)(cid:120)(cid:121)(cid:193)(cid:28)(cid:65)(cid:341)(cid:3)(cid:31)(cid:147)(cid:196)(cid:116)(cid:117)(cid:209)
(cid:86)2(cid:87)(cid:184)(cid:101)(cid:177)(cid:207)(cid:101)(cid:193)(cid:196)(cid:42)∠𝑂𝐶𝐵= =30°(cid:114)(cid:127)(cid:184)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:201)(cid:193)(cid:65)(cid:64)(cid:76)(cid:147)(cid:196) =30°(cid:114)(cid:115)(cid:147)(cid:54)(cid:55) = (cid:114)
(cid:131)(cid:289)(cid:147)(cid:54)(cid:55) = (cid:83) ∠𝑂𝐴𝐶 ∠𝐴𝐶𝑂 ∠𝐵 ∠𝐴 ∠𝐵
(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19)(cid:86)𝐴1(cid:87)𝐶(cid:143)(cid:10)𝐵𝐶 (cid:26) (cid:70)(cid:52)(cid:26)(cid:89) (cid:114)
∵𝐵𝐶 ⊙𝑂 𝐶(cid:114)
∴𝑂𝐶⊥𝐵=𝐶90°(cid:114)
∴∠𝑂𝐶𝐵=120°(cid:114)
∵∠𝐴𝐶𝐵 = = =30°;
∴(cid:86)∠2𝐴(cid:87)𝐶𝑂(cid:54)(cid:55)∠(cid:10)𝐴𝐶𝐵−=∠𝑂𝐶𝐵(cid:114) 120°−90°
= ∵𝑂𝐴=3𝑂0𝐶°(cid:114)
∴∠𝑂𝐴𝐶=1∠2𝐴0𝐶°𝑂(cid:114) + + =180°(cid:114)
∵∠𝐴𝐶=𝐵30°(cid:114) ∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐴𝐶𝐵
∴∠𝐵= (cid:114)
∴∠𝐴= ∠𝐵(cid:83)
(cid:15)∴𝐴(cid:150)𝐶(cid:151)𝐵7-𝐶2(cid:19)(cid:86)2025·(cid:246)(cid:342)·(cid:319)(cid:309)(cid:87)(cid:166)(cid:129)(cid:114)(cid:188) (cid:172)(cid:114) = (cid:114) (cid:72)(cid:73)(cid:89)C(cid:80)(cid:26) (cid:70)(cid:52)(cid:81)(cid:89)B(cid:114)(cid:93) (cid:81)
(cid:89)D(cid:114)(cid:53)(cid:232) (cid:114) (cid:114) (cid:83)(cid:113) =40°△(cid:114)𝐴(cid:115)𝐵𝐶 (cid:28)𝐴𝐶(cid:285)(cid:95)𝐵(cid:57)𝐶(cid:86) ⊙ (cid:87)𝑂 𝐴𝐵 𝐴𝐶
𝐵𝐷 𝑂𝐶 𝑂𝐷 ∠𝐴𝐵𝐷 ∠𝐶𝑂𝐷
A(cid:83)40° B(cid:83)50° C(cid:83)60° D(cid:83)70°
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)C
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:27)(cid:302)(cid:193)(cid:64)(cid:76)(cid:114)(cid:101)(cid:177)(cid:207)(cid:101)(cid:193)(cid:83)(cid:92)(cid:63)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:34)(cid:196) =90°(cid:114)(cid:34)(cid:196)
=50°(cid:114)(cid:92)(cid:63)(cid:101)(cid:177)(cid:207)(cid:101)(cid:193)(cid:34)(cid:196) =50°(cid:114)(cid:92)(cid:63)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:201)(cid:193)(cid:65)(cid:64)(cid:76)(cid:34)(cid:196) ∠𝐴=𝐵8𝑂0°(cid:114)(cid:92)(cid:63)(cid:27)(cid:302)(cid:193)(cid:64)
∠(cid:76)𝑂(cid:34)𝐵𝐷(cid:196) =40°(cid:114)(cid:127)(cid:92)(cid:63)(cid:101)(cid:177)(cid:207)(cid:101)∠𝑂(cid:193)𝐷(cid:65)𝐵(cid:27)(cid:302)(cid:193)(cid:64)(cid:76)(cid:183)(cid:147)(cid:34)(cid:143)(cid:83) ∠𝐵𝑂𝐷
(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19)∠𝐵(cid:143)𝐶𝐷(cid:10)(cid:53)(cid:232) (cid:114)
𝑂𝐵(cid:57) (cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:114)
∵𝐴𝐵 ⊙𝑂(cid:183) =90°(cid:114)
∴𝑂𝐵⊥𝐴=𝐵40∠°𝐴(cid:114)𝐵𝑂
∵∠𝐴𝐵𝐷 =50°(cid:114)
∴∠𝑂𝐵=𝐷 (cid:114)
∵𝑂𝐵 𝑂=𝐷 =50°(cid:114)
∴∠𝑂𝐵𝐷=∠𝑂𝐷𝐵 =80°(cid:114)
∴∠𝐵𝑂=𝐷 1(cid:114)80°−50°−50°
∵𝐵𝐷 𝐵𝐷1
= =40°(cid:114)
2
∴∠𝐵𝐶=𝐷 (cid:114)∠𝐵𝑂𝐷
∵𝐴𝐶 𝐵𝐶 1
= = ( )=70°(cid:114)
2
∴∠𝐴 ∠=𝐶𝐵𝐴 180° = −∠ 30 𝐵 ° 𝐶(cid:114)𝐷
∴∠𝐶𝐵=𝐷 (cid:114)70°−∠𝐴𝐵𝐷
∵𝐶𝐷 𝐶=𝐷 =60°(cid:114)
∴(cid:148)∠(cid:149)𝐶𝑂(cid:10)𝐷C(cid:83)2∠𝐶𝐵𝐷
(cid:15)(cid:150)(cid:151)7-3(cid:19)(cid:86)24-25(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)·(cid:337)(cid:343)(cid:344)(cid:345)·(cid:111)(cid:112)(cid:87)(cid:166)(cid:129)(cid:114)(cid:32)(cid:33) (cid:114)(cid:187) (cid:51)(cid:24)(cid:36)(cid:28) (cid:26) (cid:114) (cid:118)(cid:266)(cid:93)(cid:81)
(cid:89)D(cid:114)E(cid:114) (cid:26)(cid:73)E(cid:89)(cid:28)(cid:52)(cid:25) (cid:59)(cid:24)(cid:114)(cid:59)(cid:277)(cid:51)F(cid:83) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐵𝐶 𝐴𝐶
𝐴𝐹 𝐸𝐹
(1)(cid:34)(cid:54)(cid:10) (cid:68)(cid:118) (cid:209)
(2)(cid:146) =𝐴𝐶 (cid:71)(cid:114)∠(cid:34)𝐵𝐴(cid:54)𝐹(cid:10) = (cid:83)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)𝐵𝐶(cid:19)(1𝐴)(cid:54)𝐶(cid:55)(cid:301)(cid:143)(cid:119) 𝐶𝐷 𝐶𝐸
(2)(cid:54)(cid:55)(cid:301)(cid:143)(cid:119)
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:47)(cid:101)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:65)(cid:60)(cid:61)(cid:83)
(cid:86)1(cid:87)(cid:92)(cid:63)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:34)(cid:196) =90°(cid:114)(cid:92)(cid:63)(cid:68)(cid:132)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:34)(cid:196) = (cid:114)(cid:127)(cid:101)(cid:177)(cid:207)(cid:101)(cid:193)(cid:183)(cid:147)(cid:196)(cid:42)
= (cid:114)(cid:183)(cid:147)(cid:196)(cid:42)∠𝑂(cid:68)𝐸𝐹(cid:118) (cid:209) ∠𝐹𝐴𝐸 ∠𝐴𝐸𝑂
∠𝐹𝐴𝐸 ∠𝑂𝐴𝐸 𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐹(cid:86)2(cid:87)(cid:54)(cid:55) = (cid:114)(cid:84)(cid:156) = (cid:114)(cid:183)(cid:147)(cid:54)(cid:55) = (cid:83)
(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19)(cid:86)∠1𝐴(cid:87)𝑂𝐸(cid:54)(cid:55)∠(cid:10)𝐵(cid:53)𝑂𝐷(cid:232) (cid:114)𝐵𝐷 𝐴𝐸 𝐶𝐷 𝐶𝐸
𝑂𝐸
(cid:51) (cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:114)
∵𝐸𝐹 ⊙(cid:114)𝑂
∴𝑂𝐸⊥𝐸=𝐹90°(cid:114)
∴(cid:291)∠𝑂𝐸𝐹 (cid:114)
∵𝐴𝐹⊥=𝐸9𝐹0°(cid:114)
∴∠𝐴𝐹𝐸 = =90°(cid:114)
∴∠𝑂𝐸𝐹 (cid:114)∠𝐴𝐹𝐸
∴𝐴𝐹∥𝑂𝐸= (cid:114)
∴(cid:291)∠𝐹𝐴𝐸= ∠𝐴(cid:114)𝐸𝑂
∵𝑂𝐸 =𝑂𝐴 (cid:114)
∴∠𝑂𝐴𝐸= ∠𝐴𝐸𝑂(cid:114)
∴(cid:183)∠𝐹𝐴(cid:68)𝐸(cid:118)∠𝑂𝐴𝐸(cid:209)
(cid:86)2𝐴(cid:87)𝐶(cid:54)(cid:55)∠(cid:10)𝐵(cid:53)𝐴𝐹(cid:232) (cid:114)
= (cid:114) 𝑂𝐷
∵𝐵𝐶 𝐴=𝐶 (cid:114)
∴∠𝑂𝐴=𝐸 ∠=𝐴𝐵𝐶 = (cid:114)
∵𝑂𝐴 𝑂=𝐸 𝑂𝐵= 𝑂𝐷 =
∴∠𝑂𝐸𝐴=∠𝑂𝐴𝐸(cid:114)∠𝑂𝐵𝐷 ∠𝑂𝐷𝐵
∴∠𝐴𝑂=𝐸 ∠(cid:114)𝐵𝑂𝐷
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐸(cid:83)
∴
【
𝐶
题
𝐷
型
𝐶8 𝐸
切线的判定和性质的综合应用】
(cid:15)(cid:102)8(cid:19)(cid:86)24-25(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)·(cid:157)(cid:323)(cid:338)(cid:345)·(cid:111)(cid:112)(cid:87)(cid:166)(cid:129)(cid:114) (cid:57) (cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:114) (cid:51)(cid:52)(cid:89)(cid:114)(cid:73)(cid:89) (cid:58) (cid:93) (cid:81)
𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐵 𝐵 𝐵𝐶∥𝑂𝐴 ⊙𝑂(cid:89) (cid:114)(cid:53)(cid:232) (cid:114)(cid:346)(cid:347)(cid:63)(cid:281)(cid:348)(cid:285)(cid:28)(cid:24)(cid:349)(cid:114)(cid:329)(cid:198)(cid:199)(cid:135)(cid:34)(cid:250)(cid:129)(cid:86)(cid:350)(cid:351)(cid:58)(cid:129)(cid:352)(cid:353)(cid:114)(cid:212)(cid:290)(cid:58)(cid:91)(cid:87)(cid:83)
𝐶 𝑂𝐶
(1)(cid:188)(cid:129)1(cid:172)(cid:58) (cid:28)(cid:68)(cid:118)(cid:25) (cid:209)
(2)(cid:188)(cid:129)2(cid:172)(cid:58)∠𝐶 (cid:28)(cid:52)(cid:25)𝐶𝐷(cid:86)(cid:52)(cid:89) (cid:212)(cid:26) (cid:246)(cid:67)(cid:87)(cid:83)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)(1)(cid:58)(cid:129)⊙(cid:301)𝑂(cid:145)(cid:143) 𝐴𝐸 𝐸 𝐵
(2)(cid:58)(cid:129)(cid:301)(cid:145)(cid:143)
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:86)1(cid:87)(cid:166)(cid:129)(cid:186)(cid:248)(cid:114)(cid:210) (cid:26) (cid:93)(cid:81)(cid:89) (cid:114)(cid:53)(cid:232) (cid:114)(cid:120)(cid:121)(cid:101)(cid:177)(cid:207)(cid:101)(cid:193)(cid:114)(cid:68)(cid:132)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:183)(cid:147)(cid:34)(cid:143)(cid:209)
(cid:86)2(cid:87)(cid:166)(cid:129)(cid:186)(cid:248)(cid:114)(cid:254)(cid:197) (cid:93) ⊙(cid:81)𝑂(cid:89)𝑂𝐴(cid:114)(cid:53)(cid:232) 𝐷 (cid:114)(cid:147)𝐶𝐷(cid:54) (SAS)(cid:114)(cid:196)(cid:42) = (cid:114)(cid:184)
(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:183)(cid:147)(cid:34)(cid:143)(cid:83)𝐶𝑂 ⊙𝑂 𝐸 𝐴𝐸,𝑂𝐵 △𝐴𝑂𝐸≌△𝐴𝑂𝐵 ∠𝐴𝐸𝑂 ∠𝐴𝐵𝑂
(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19)(cid:86)1(cid:87)(cid:143)(cid:10)(cid:166)(cid:129)(cid:186)(cid:248)(cid:114)(cid:210) (cid:26) (cid:93)(cid:81)(cid:89) (cid:114)(cid:53)(cid:232) (cid:114)
⊙𝑂 𝑂𝐴 𝐷 𝐶𝐷
= (cid:114)
∵𝑂𝐶 𝑂=𝐷 (cid:114)
∴∠𝑂𝐶𝐷 (cid:114)∠𝑂𝐷𝐶
∵𝐵𝐶∥𝑂𝐴= (cid:114)
∴∠𝑂𝐷𝐶=∠𝐵𝐶𝐷(cid:114)
∴∠𝑂(cid:57)𝐶𝐷 ∠𝐵(cid:28)𝐶𝐷(cid:193)(cid:68)(cid:118)(cid:25)(cid:114)
∴𝐶𝐷(cid:183)∠(cid:51)𝐵(cid:186)𝐶𝑂(cid:34)(cid:58)(cid:58)(cid:129)(cid:209)
(cid:86)∴𝐶2𝐷(cid:87)(cid:143)(cid:10)(cid:166)(cid:129)(cid:186)(cid:248)(cid:114)(cid:254)(cid:197) (cid:93) (cid:81)(cid:89) (cid:114)(cid:53)(cid:232) (cid:114)
𝐶𝑂 ⊙𝑂 𝐸 𝐴𝐸,𝑂𝐵
= (cid:114)
∵𝑂𝐵 𝑂𝐶= (cid:114)
∴∠𝑂𝐶𝐵 (cid:114)∠𝑂𝐵𝐶
∵𝐵𝐶∥𝑂𝐴= = (cid:114)
∴∠𝐸𝑂𝐴=∠𝑂𝐶𝐵,(cid:114)∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝑂𝐵𝐶
(cid:188)∴∠𝐸𝑂𝐴 (cid:65)∠𝐵𝑂𝐴 (cid:172)(cid:114)
△𝐴𝑂=𝐸 △𝐴𝑂𝐵
= (cid:114)
𝑂𝐸 =𝑂𝐵
∠𝐸𝑂𝐴 ∠𝐵𝑂𝐴
𝑂𝐴 𝑂𝐴 (SAS)(cid:114)
∴△𝐴𝑂𝐸=≌△𝐴𝑂(cid:114)𝐵
∴∠𝐴(cid:57)𝐸𝑂 ∠(cid:28)𝐴𝐵(cid:52)𝑂(cid:25)(cid:114) (cid:51)(cid:52)(cid:89)(cid:114)
∵𝐴𝐵 ⊙=𝑂90°(cid:114) 𝐵
∴∠𝐴𝐵𝑂=90°(cid:114)(cid:80) (cid:57)(cid:35)(cid:36)(cid:114)(cid:89) (cid:57)(cid:35)(cid:36)(cid:77)(cid:78)(cid:89)(cid:114)
∴∠𝐴(cid:57)𝐸𝑂 (cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:114)𝑂𝐸(cid:183) (cid:57)(cid:186)(cid:34)(cid:58)𝐸 (cid:129)(cid:130)(cid:83)
∴(cid:15)𝐴(cid:89)𝐸(cid:234)(cid:19)⊙(cid:133)𝑂(cid:20)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)𝐴(cid:27)𝐸(cid:28)(cid:354)(cid:355)(cid:33)(cid:235)(cid:114)(cid:101)(cid:202)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:64)(cid:271)(cid:114)(cid:68)(cid:132)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:65)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:47)(cid:101)(cid:192)(cid:193)
(cid:130)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:65)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:141)(cid:142)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:65)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:47)(cid:101)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:65)(cid:60)(cid:61)(cid:57)(cid:143)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:144)(cid:83)
(cid:15)(cid:150)(cid:151)8-1(cid:19)(cid:166)(cid:129)(cid:114)AB(cid:57) O(cid:28)(cid:24)(cid:36)(cid:114)(cid:356)CD AB(cid:81)(cid:89)E(cid:114)(cid:80)DC(cid:243)AD(cid:83)(cid:73)(cid:89)A(cid:58) O(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:114)(cid:73)(cid:89)C(cid:58)
DA(cid:28)(cid:68)(cid:132)(cid:25)(cid:114)(cid:218)(cid:24)(cid:25)(cid:93)(cid:81)⊙(cid:89)F(cid:114)FC(cid:28)(cid:254)(cid:197)(cid:25)⊥(cid:93)AB(cid:28)(cid:254)(cid:197)(cid:25)(cid:81)(cid:89)G(cid:83) ⊙
(1)(cid:34)(cid:54)(cid:10)FG(cid:26) O(cid:70)(cid:52)(cid:209)
(2)(cid:53)(cid:232)EF(cid:114)(cid:113)⊙AF(cid:243)2(cid:114)(cid:34)EF(cid:28)(cid:197)(cid:83)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)(1)(cid:301)(cid:143)(cid:119)
(2) = 7
(cid:15)(cid:118)𝐸𝐹(cid:119)(cid:19)(cid:86)1(cid:87)(cid:53)(cid:232)OC(cid:114)AC(cid:83)(cid:226)(cid:54)(cid:55) ACD(cid:51)(cid:101)(cid:177)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:83)(cid:147)(cid:196) ACO= OAC=30°(cid:83)(cid:127)(cid:184)FG DA(cid:114)(cid:147)(cid:196)
ACF= DAC=60°(cid:83)(cid:288)(cid:289)(cid:196)(cid:42) OCF=90△°(cid:83)(cid:183)(cid:147)(cid:34)(cid:54)(cid:209) ∠ ∠ ∥
(cid:86)∠ 2(cid:87)(cid:120)∠(cid:121)AD FG(cid:114)(cid:147)(cid:196) AG∠F= DAE=30°(cid:83)(cid:127)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:193)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:147)(cid:196)FG=2AF=4(cid:114)
∥ ∠ ∠= =2 3(cid:83)(cid:127)(cid:54)(cid:196) ADE GCE(cid:83)(cid:147)(cid:196)AE=GE= 3(cid:83)(cid:205)(cid:206)(cid:184)(cid:190)(cid:191)(cid:64)(cid:76)(cid:114)(cid:183)(cid:147)(cid:34)(cid:143)(cid:83)
2 2
𝐴(cid:15)𝐺(cid:145)(cid:143)(cid:19)𝐹𝐺(cid:86)1−(cid:87)𝐴𝐹(cid:54)(cid:55)(cid:10)(cid:53)(cid:232)OC(cid:114)A△C(cid:83) ≌△
AB(cid:57) O(cid:28)(cid:24)(cid:36)(cid:114)CD AB(cid:114)
∵CE=D⊙E(cid:114)AD=AC(cid:83) ⊥
∴DC=AD(cid:114)
∵DC=AD=AC(cid:83)
∴ ACD(cid:51)(cid:101)(cid:177)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:83)
∴△D= DCA= DAC=60°(cid:83)
∴∠AO∠C=30°(cid:114)∠
∴O∠A=OC(cid:114)
∵ ACO= OAC=30°(cid:83)
∴F∠G DA(cid:114)∠
∵ AC∥F= DAC=60°(cid:83)
∴∠OCF=∠90°(cid:83)
∴O∠C FG(cid:83)
∴OC⊥(cid:51)(cid:35)(cid:36)(cid:114)
∵FG(cid:26) O(cid:70)(cid:52)(cid:83)
(cid:86)∴ 2(cid:87)(cid:143)⊙AD FG(cid:114)
AGF=∶∵DAE∥=30°(cid:83)
∴A∠F(cid:51) ∠O(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:114)
∵ FAG⊙=90°(cid:114)
∴F∠G=2AF=4(cid:114)
∴
= =2 3(cid:83)
2 2
(cid:188)∴𝐴𝐺ADE𝐹(cid:65)𝐺 −G𝐴C𝐹E(cid:172)(cid:114)
△ △AGF= DAE=30°(cid:83) CEG= AED(cid:114)DE=CE(cid:114)
∵∠ADE ∠ GCE(cid:83) ∠ ∠
∴A△E=GE≌=△3(cid:83)
∴
= + = 7(cid:83)
2 2
∴(cid:15)𝐸(cid:89)𝐹(cid:234)(cid:19)𝐴(cid:133)𝐸(cid:20)(cid:134)𝐴(cid:135)𝐹(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:59)(cid:36)(cid:64)(cid:76)(cid:114)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:65)(cid:22)(cid:64)(cid:114)(cid:24)(cid:193)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:101)(cid:177)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:65)(cid:60)(cid:61)(cid:114)
(cid:47)(cid:101)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:65)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:190)(cid:191)(cid:64)(cid:76)(cid:114)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:59)(cid:36)(cid:64)(cid:76)(cid:114)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:65)(cid:22)(cid:64)(cid:114)(cid:24)(cid:193)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:101)(cid:177)
(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:65)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:47)(cid:101)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:65)(cid:60)(cid:61)(cid:57)(cid:143)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:144)(cid:83)
(cid:15)(cid:150)(cid:151)8-2(cid:19)(cid:32)(cid:33)(cid:10)(cid:166)(cid:129)(cid:114) (cid:73)(cid:200)(cid:90)(cid:130) (cid:28)(cid:340)(cid:89) (cid:114)(cid:80)(cid:26) (cid:177)(cid:70)(cid:52)(cid:81)(cid:89) (cid:83)(cid:89) (cid:57) (cid:26) (cid:28)(cid:93)(cid:89)(cid:114)
⊙𝑂 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴,𝐵 1𝐶𝐷 𝐸 𝐹 𝐵𝐶 ⊙𝑂
(cid:53)(cid:232) (cid:114) (cid:114) (cid:114)(cid:89) (cid:57) (cid:254)(cid:197)(cid:25)(cid:106)(cid:98)(cid:89)(cid:114)(cid:53)(cid:232) (cid:114)(cid:80) + =90°(cid:83)
2
𝑂𝐵 𝑂𝐹 𝐴𝐹 𝐺 𝐴𝐵 𝐹𝐺 ∠𝐺 ∠𝐵𝑂𝐹
(1)(cid:34)(cid:54)(cid:10) (cid:57) (cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:209)
(2)(cid:166)(cid:282)(cid:200)(cid:90)𝐹𝐺(cid:130)(cid:177)⊙(cid:197)𝑂(cid:51)8(cid:114)(cid:34) (cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:83)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)(1)(cid:301)(cid:143)(cid:119) ⊙𝑂
(2)5
1
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:86)1(cid:87)(cid:120)(cid:121)(cid:264)(cid:177)(cid:130) (cid:57)(cid:200)(cid:90)(cid:130)(cid:114)(cid:147)(cid:196) (cid:57) (cid:28)(cid:24)(cid:36)(cid:114)(cid:120)(cid:121)(cid:27)(cid:302)(cid:193)(cid:64)(cid:76)(cid:147)(cid:196) = (cid:114)
2
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐹 ⊙𝑂 ∠𝐵𝐴𝐹 ∠𝐵𝑂𝐹
1
(cid:127)(cid:120)(cid:121) + =90°(cid:114)(cid:147)(cid:196) + =90°(cid:114)(cid:147)(cid:54) (cid:114)(cid:184)(cid:233)(cid:183)(cid:147)(cid:34)(cid:54)(cid:209)
2
(cid:86)2(cid:87)(cid:166)∠(cid:129)𝐺(cid:186)(cid:248)∠(cid:114)𝐵𝑂(cid:53)𝐹(cid:232) (cid:114)(cid:73) (cid:58)∠𝐵𝐴𝐹 ∠(cid:81)𝐺 (cid:114)(cid:147)(cid:196)(cid:264)(cid:177)(cid:130)𝐴𝐹⊥𝐹𝐺(cid:57)(cid:316)(cid:130)(cid:114)(cid:147)(cid:34)(cid:156) (cid:28)(cid:197)(cid:114)(cid:210)
= = = (cid:114)(cid:147)𝑂𝐸(cid:63)(cid:357) 𝑂(cid:28)(cid:151)𝑂(cid:358)𝐻(cid:257)⊥(cid:248)𝐵𝐶 (cid:114)𝐻(cid:188)Rt (cid:172)𝑂(cid:114)𝐸𝐶(cid:120)𝐻(cid:121)(cid:190)(cid:191)(cid:64)(cid:76)(cid:183)(cid:147)(cid:34)𝑂𝐻(cid:143)(cid:83)
𝑂(cid:15)𝐵(cid:145)(cid:143)𝑂(cid:19)𝐸(cid:86)1𝐶(cid:87)𝐻(cid:54)(cid:55)𝑟(cid:10) (cid:264)(cid:177)(cid:130)𝑟 (cid:57)(cid:200)(cid:90)𝐵𝐻(cid:130)(cid:114) △𝐵𝑂𝐻
=90°(cid:114) ∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴∠𝐴(cid:57)𝐵𝐹 (cid:28)(cid:24)(cid:36)(cid:114)
∴𝐴𝐹 ⊙𝑂1 1
= (cid:114) + =90°(cid:114)
2 2
∵∠𝐵𝐴𝐹+ ∠𝐵=𝑂𝐹90°(cid:114)∠𝐺 ∠𝐵𝑂𝐹
∴∠𝐵𝐴𝐹=∠90𝐺°(cid:114)(cid:183)
∴∠𝐴𝐹𝐺 𝐴𝐹⊥𝐹𝐺(cid:57) (cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:83)
∴(cid:86)𝐹2𝐺(cid:87)(cid:143)⊙(cid:10)𝑂(cid:166)(cid:129)(cid:186)(cid:248)(cid:114)(cid:53)(cid:232) (cid:114)
(cid:26) (cid:70)(cid:52)(cid:81)(cid:89) (cid:114)(cid:183)𝑂𝐸(cid:57) (cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:114)
∵⊙𝑂 𝐶𝐷 𝐸 𝐶𝐷 ⊙𝑂
(cid:114)(cid:80) = (cid:86)(cid:27)(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:70)(cid:101)(cid:87)(cid:114)
∴(cid:73)𝑂𝐸(cid:58)⊥𝐶𝐷 𝑂(cid:81)𝐵 (cid:114)𝑂(cid:115)𝐹(cid:264)(cid:177)(cid:130) (cid:57)(cid:316)(cid:130)(cid:114) = (cid:114)
𝑂 =𝑂𝐻⊥𝐵𝐶= 𝐻 (cid:114) 𝑂𝐸𝐶𝐻 𝐵𝐻 𝐹𝐻
∴𝑂𝐻= 𝐶𝐸,𝐶𝐻=8𝑂(cid:114)𝐸(cid:183) (cid:118)(cid:266)(cid:57) (cid:28)(cid:172)(cid:89)(cid:114)
∵𝐴𝑂 𝑂1𝐹,𝐴𝐵 𝑂,𝐻 𝐴𝐹,𝐵𝐹
= =4(cid:114)
2
∴(cid:210)𝑂𝐻 = 𝐴𝐵= = (cid:114)
𝑂𝐵= 𝑂𝐸 𝐶𝐻= 𝑟 (cid:114)
(cid:188)∴𝐵R𝐻t 𝐵𝐶−𝑂(cid:172)𝐸(cid:114) 8−𝑟
△=𝐵𝑂𝐻 + (cid:114)
2 2 2
∵𝑂𝐵= 𝐵𝐻 +𝑂4𝐻(cid:114)
2 2 2
∴𝑟=5((cid:83)8−𝑟)
∴(cid:15)𝑟(cid:89)(cid:234)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:27)(cid:26)(cid:200)(cid:90)(cid:130)(cid:28)(cid:66)(cid:67)(cid:114)(cid:141)(cid:142)(cid:200)(cid:90)(cid:130)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:54)(cid:55)(cid:65)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:190)(cid:191)(cid:64)(cid:76)(cid:101)(cid:33)(cid:235)(cid:57)(cid:143)
(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:144)(cid:83)
(cid:15)(cid:150)(cid:151)8-3(cid:19)(cid:166)(cid:129)(cid:114)(cid:32)(cid:33) (cid:57) (cid:106)(cid:98)(cid:89)(cid:114) (cid:57)(cid:24)(cid:36)(cid:114) (cid:28)(cid:68)(cid:118)(cid:25)(cid:93) (cid:81)(cid:89) (cid:114) (cid:28)(cid:52)(cid:25) (cid:93) (cid:28)
(cid:254)(cid:197)(cid:25)(cid:81)(cid:89) (cid:114)(cid:53)(cid:232) (cid:114)𝐷 (cid:83)⊙𝑂 𝐴𝐵 ∠𝐵𝐴𝐷 ⊙𝑂 𝐸 ⊙𝑂 𝐵𝐶 𝑂𝐸
𝐶 𝑂𝐷 𝐶𝐷(1)(cid:34)(cid:54)(cid:10) (cid:51) (cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:83)
(2)(cid:113) =𝐶2𝐷(cid:114) ⊙𝑂
①(cid:113)𝐴𝐵 (cid:114)(cid:115) =________(cid:83)
②(cid:58)𝐴𝐸∥𝐶𝐷(cid:3)(cid:81)𝐵(cid:24)𝐶(cid:25) (cid:207)(cid:293)(cid:28) (cid:114)(cid:53)(cid:232) (cid:114) (cid:114)(cid:146)(cid:264)(cid:177)(cid:130) (cid:57)(cid:359)(cid:130)(cid:71)(cid:114)(cid:34) (cid:28)(cid:197)(cid:83)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)△(cid:19)𝐴(𝐸1)𝑂(cid:301)(cid:145)(cid:143) 𝑂𝐸 △𝐹𝐸𝑂 𝐵𝐹 𝐵𝐸 𝐵𝐸𝑂𝐹 𝐶𝐸
(2)① 3(cid:209)② =1
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:86)1(cid:87)𝐶(cid:226)𝐸 (cid:184)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:196)(cid:42) =90°(cid:114)(cid:184)(cid:193)(cid:68)(cid:118)(cid:25)(cid:28)(cid:64)(cid:271)(cid:196)(cid:42) = (cid:114)(cid:127)(cid:184)(cid:27)(cid:302)(cid:193)(cid:64)(cid:76)
(cid:196)(cid:42) = (cid:114) = ∠𝑂𝐵(cid:114)𝐶(cid:115) = (cid:114)(cid:54)(cid:55) ∠𝐷𝐴𝐸 ∠(S𝐵A𝐴S𝐸)(cid:196)(cid:42)
∠𝐷=𝑂𝐸 2∠=𝐷9𝐴0𝐸°(cid:114)∠(cid:183)𝐵(cid:147)𝑂𝐸(cid:54)(cid:55)2(cid:128)∠𝐵(cid:85)𝐴(cid:209)𝐸 ∠𝐷𝑂𝐸 ∠𝐵𝑂𝐸 △𝑂𝐷𝐶≌△𝑂𝐵𝐶
∠(cid:86)𝑂2𝐷(cid:87)𝐶①(cid:226)∠𝑂(cid:54)𝐵(cid:55)𝐶 (cid:114)(cid:115)(cid:184)(cid:59)(cid:36)(cid:64)(cid:76)(cid:147)(cid:196) = (cid:114)(cid:115) = = =60°(cid:114)(cid:131)(cid:289)(cid:34)(cid:156)
𝑂𝐷⊥𝐴𝐸 3 𝐴𝐷 𝐷𝐸 ∠𝐴𝑂𝐷 ∠𝐷𝑂𝐸 ∠𝐵𝑂𝐸
=30°(cid:114)(cid:183)(cid:147)(cid:196)(cid:42) = 3 = = 3(cid:209)
2
∠②𝐵𝐶(cid:166)𝑂(cid:129)(cid:186)(cid:248)(cid:114)(cid:184)(cid:359)(cid:130)(cid:28)(cid:60)𝐵𝐶(cid:61)(cid:147)(cid:196)𝑂𝐵 = 𝐴𝐵=1(cid:114) = (cid:114)(cid:131)(cid:289)(cid:54)(cid:55) = (cid:114)(cid:183)(cid:147)(cid:196)(cid:42)
= =1(cid:83) 𝐵𝐸 𝑂𝐸 ∠𝐸𝑂𝐵 ∠𝐸𝐵𝑂 ∠𝐵𝐶𝐸 ∠𝐶𝐵𝐸
(cid:15)𝐶𝐸(cid:145)(cid:143)𝐵(cid:19)𝐸(cid:86)1(cid:87)(cid:54)(cid:55)(cid:10) (cid:57) (cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:114)
(cid:114) ∵𝐵𝐶 ⊙𝑂
∴𝐵𝐶⊥𝑂=𝐵90°(cid:114)
∴∠𝑂(cid:57)𝐵𝐶 (cid:28)(cid:68)(cid:118)(cid:25)(cid:114)
∵𝐴𝐸 ∠=𝐵𝐴𝐷 (cid:114)
∴(cid:291)∠𝐷𝐴𝐸 ∠=𝐵𝐴𝐸 (cid:114) = (cid:114)
∵∠𝐷𝑂=𝐸 2∠𝐷(cid:114)𝐴𝐸 ∠𝐵𝑂𝐸 2∠𝐵𝐴𝐸
∴(cid:291)∠𝐷𝑂𝐸= ∠𝐵(cid:114)𝑂𝐸 = (cid:114)
∵𝑂𝐷 𝑂𝐵 𝑂𝐶(SA𝑂S)𝐶(cid:114)
∴△𝑂𝐷𝐶=≌△𝑂𝐵𝐶=90°(cid:114)
∴(cid:291)∠𝑂𝐷(cid:57)𝐶 ∠𝑂(cid:106)𝐵(cid:98)𝐶(cid:89)(cid:114)
∵𝐷(cid:51) ⊙𝑂(cid:28)(cid:52)(cid:25)(cid:209)
∴(cid:86)𝐶2𝐷(cid:87)(cid:143)⊙(cid:10)𝑂① (cid:114) (cid:114)
(cid:114) ∵𝐶𝐷∥𝐴𝐸 𝑂𝐷⊥𝐶𝐷
∴𝑂𝐷⊥=𝐴𝐸(cid:114)
∴𝐴𝐷 𝐷=𝐸 = (cid:114)
∴∠𝐴𝑂𝐷 ∠𝐷𝑂𝐸 ∠𝐵𝑂𝐸(cid:291) + + =180°(cid:114)
∵∠𝐴𝑂=𝐷 ∠𝐷𝑂𝐸= ∠𝐵𝑂𝐸=60°(cid:114)
∴∠𝐴𝑂𝐷=3∠0𝐷°𝑂(cid:114)𝐸 ∠𝐵𝑂𝐸
∴∠𝐵𝐶𝑂 3
= 3 = = 3(cid:114)
2
∴(cid:148)𝐵(cid:116)𝐶(cid:117)(cid:51)(cid:10)𝑂𝐵3(cid:209) 𝐴𝐵
②(cid:166)(cid:129)(cid:186)(cid:248)(cid:10)
(cid:264)(cid:177)(cid:130) (cid:57)(cid:359)(cid:130)(cid:114)
∵ = 𝐵𝐸=𝑂𝐹1(cid:114) = (cid:114)
∴𝐵𝐸 𝑂+𝐸 =∠𝐸9𝑂0𝐵°(cid:114) ∠𝐸𝐵𝑂+ =90°(cid:114)
∵∠𝐸𝑂𝐵=∠𝐵𝐶𝐸(cid:114) ∠𝐸𝐵𝑂 ∠𝐶𝐵𝐸
∴∠𝐵𝐶=𝐸 ∠=𝐶𝐵1(cid:83)𝐸
∴(cid:15)𝐶(cid:89)𝐸(cid:234)(cid:19)𝐵𝐸(cid:133)(cid:20)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:26)(cid:22)(cid:64)(cid:114)(cid:59)(cid:36)(cid:64)(cid:76)(cid:114)(cid:27)(cid:302)(cid:193)(cid:64)(cid:76)(cid:114)(cid:359)(cid:130)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:101)(cid:177)(cid:207)(cid:101)(cid:193)(cid:114)(cid:190)(cid:191)(cid:64)
(cid:76)(cid:114)(cid:357)30(cid:285)(cid:193)(cid:28)(cid:24)(cid:193)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:139)(cid:33)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:26)(cid:22)(cid:64)(cid:64)(cid:76)(cid:57)(cid:143)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:144)(cid:83)
【题型9 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】
(cid:15)(cid:102)9(cid:19)(cid:166)(cid:129)(cid:114)(cid:24)(cid:25) (cid:114) (cid:70)(cid:93)(cid:81)(cid:89)O(cid:114) =30°(cid:114)(cid:35)(cid:36)(cid:51)1cm(cid:28) (cid:28)(cid:27)(cid:41)(cid:188)(cid:24)(cid:25) (cid:106)(cid:114)(cid:360)(cid:361)(cid:71)(cid:114)
=6cm(cid:83)(cid:166)(cid:282) 𝐴(cid:187)𝐵1c𝐶m𝐷/s(cid:28)(cid:362)(cid:285)(cid:332)(cid:363)(cid:74)∠(cid:75)𝐴𝑂(cid:114)𝐶(cid:283)(cid:284)(cid:146) (cid:28)(cid:74)(cid:75)(cid:71)(cid:228)⊙(s)𝑃(cid:364)(cid:277)(cid:48)(cid:49) 𝐴 𝐵 (cid:71)(cid:114)
𝑃𝑂 (cid:26)(cid:24)(cid:25) (cid:70)⊙(cid:93)(cid:83)𝑃 ⊙𝑃 𝑡
⊙𝑃 𝐶𝐷(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)4< <8
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:134)𝑡 (cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:114)(cid:118)(cid:146)(cid:89)P(cid:188)(cid:251)(cid:25)OA(cid:65)(cid:89)P(cid:188)(cid:251)(cid:25)OB(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:221)(cid:131)(cid:132)(cid:203)(cid:204)(cid:57)
(cid:143)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:144)(cid:83)
(cid:34)(cid:196)(cid:146) (cid:29)(cid:81)(cid:89)O(cid:28)(cid:365)(cid:177)(cid:26)CD(cid:70)(cid:52)(cid:71)t(cid:28)(cid:38)(cid:65) (cid:29)(cid:81)(cid:89)O(cid:28)(cid:363)(cid:177)(cid:26)CD(cid:70)(cid:52)(cid:71)t(cid:28)(cid:38)(cid:114)(cid:218)(cid:38)(cid:227)(cid:228)(cid:183)(cid:51)
(cid:70)(cid:93)(cid:83)⊙𝑃 ⊙𝑃
(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19)(cid:143)(cid:10)(cid:146)(cid:89)P(cid:188)(cid:251)(cid:25) (cid:71)(cid:114) (cid:26) (cid:70)(cid:52)(cid:114)(cid:166)(cid:129)(cid:114)(cid:73)P(cid:58) (cid:81)E(cid:114)
𝑂𝐴 ⊙𝑃 𝐶𝐷 𝑃𝐸⊥𝐶𝐷
=1cm(cid:114)
∴𝑃𝐸 =30°(cid:114)
∵∠𝐴𝑂=𝐶 =2cm(cid:114)
∴𝑂𝑃 (cid:28)2(cid:27)𝑃𝐸(cid:41)(cid:188)(cid:24)(cid:25) (cid:106)(cid:332)(cid:363)(cid:69)(cid:75)(cid:138)( )cm(cid:206)(cid:26) (cid:70)(cid:52)(cid:114)
∴⊙𝑃 𝐴𝐵 6−2 𝐶𝐷
(cid:69)(cid:75)(cid:186)(cid:63)(cid:28)(cid:71)(cid:228)= =4(cid:86)(cid:366)(cid:87)(cid:209)
1
6−2
∴(cid:146)⊙(cid:89)𝑃P(cid:188)(cid:251)(cid:25) (cid:71)(cid:114) (cid:26) (cid:70)(cid:52)(cid:114)(cid:166)(cid:129)(cid:114)(cid:73)P(cid:58) (cid:26)F(cid:114)
=1cm(cid:114)𝑂𝐵 ⊙𝑃 𝐶𝐷 𝑃𝐸⊥𝐶𝐷
∴𝑃𝐹 = =30°(cid:114)
∵∠𝐴𝑂=𝐶 ∠𝐷=𝑂2𝐵cm(cid:114)
∴𝑂𝑃 (cid:28)2(cid:27)𝑃𝐹(cid:41)(cid:188)(cid:24)(cid:25) (cid:106)(cid:332)(cid:363)(cid:69)(cid:75)(cid:138)(6+2)cm(cid:206)(cid:26) (cid:70)(cid:52)(cid:114)
∴⊙𝑃 𝐴𝐵 6 2 𝐶𝐷
(cid:69)(cid:75)(cid:186)(cid:63)(cid:28)(cid:71)(cid:228)= =8(cid:86)(cid:366)(cid:87)(cid:83)
1
+
∴(cid:146)⊙𝑃 (cid:28)(cid:74)(cid:75)(cid:71)(cid:228) (cid:86)s(cid:87)(cid:364)(cid:277)(cid:48)(cid:49)4< <8(cid:71)(cid:114) (cid:26)(cid:24)(cid:25) (cid:70)(cid:93)(cid:83)
∴ ⊙𝑃 𝑡 𝑡 ⊙𝑃 𝐶𝐷(cid:148)(cid:116)(cid:117)(cid:51)(cid:10)4< <8(cid:83)
(cid:15)(cid:150)(cid:151)9-1(cid:19)(cid:86)2𝑡4-25(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)·(cid:264)(cid:367)(cid:338)(cid:368)·(cid:111)(cid:172)(cid:87)(cid:166)(cid:129)(cid:114)(cid:188)(cid:68)(cid:194)(cid:24)(cid:193)(cid:268)(cid:269)(cid:31) (cid:172)(cid:114)(cid:35)(cid:36)(cid:51)2(cid:28) (cid:28)(cid:27)(cid:41)P
(cid:28)(cid:268)(cid:269)(cid:51)( )(cid:114)(cid:327) P(cid:369)x(cid:255)(cid:200)(cid:90)(cid:332)(cid:68)(cid:69)(cid:114)(cid:50) (cid:26)y(cid:255)(cid:70)(cid:52)(cid:114)(cid:115)(cid:68)(cid:69)𝑥(cid:28)𝑂(cid:43)𝑦 (cid:44)(cid:51)(cid:86) (cid:87) ⊙𝑃
−3,0 ⊙ ⊙𝑃
A(cid:83)1 B(cid:83)1(cid:45)5 C(cid:83)3 D(cid:83)3(cid:45)5
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)B
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:68)(cid:69)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:114)(cid:143)(cid:20)(cid:3)(cid:144)(cid:57)(cid:141)(cid:142)(cid:146)(cid:27)(cid:26)(cid:24)(cid:25)(cid:70)(cid:52)(cid:71)(cid:114)(cid:89)(cid:42)(cid:27)(cid:41)(cid:28)
(cid:43)(cid:44)(cid:101)(cid:81)(cid:27)(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:83)(cid:118)(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:85)(cid:10) (cid:29)(cid:81) (cid:255)(cid:365)(cid:370)(cid:65) (cid:29)(cid:81) (cid:255)(cid:363)(cid:370)(cid:114)(cid:120)(cid:121)(cid:68)(cid:69)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:65)(cid:27)(cid:28)(cid:52)(cid:25)
(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:118)(cid:266)(cid:34)(cid:143)(cid:114)(cid:183)(cid:147)(cid:196)(cid:42)(cid:116)(cid:117)(cid:83) ⊙𝑃 𝑦 ⊙𝑃 𝑦
(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19)(cid:143)(cid:10) (cid:28)(cid:27)(cid:41)P(cid:28)(cid:268)(cid:269)(cid:51) (cid:114)
=3(cid:114) ⊙𝑃 (−3,0)
∴𝑂𝑃 (cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:51)2(cid:114)
∵⊙𝑃= =2(cid:114)
∴𝐴𝑃 =𝐵1(cid:114)𝑃 =5(cid:114)
∴𝑂(cid:146)𝐴 (cid:29)(cid:81)𝑂𝐵(cid:255)(cid:365)(cid:370)(cid:80)(cid:26) (cid:255)(cid:70)(cid:52)(cid:71)(cid:114)(cid:68)(cid:69)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:51)1(cid:114)
(cid:146)∴ ⊙(cid:29)𝑃(cid:81) (cid:255)𝑦(cid:363)(cid:370)(cid:80)(cid:26) (cid:255)𝑦(cid:70)(cid:52)(cid:71)(cid:114)(cid:68)(cid:69)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:51)5(cid:114)
(cid:68)⊙(cid:69)𝑃(cid:28)(cid:43)(cid:44)𝑦 (cid:51)1(cid:45)5(cid:114) 𝑦
(cid:148)∴(cid:149)(cid:10)B(cid:83)
(cid:15)(cid:150)(cid:151)9-2(cid:19)(cid:166)(cid:129)(cid:114) (cid:172)(cid:114) =90°(cid:114) =6(cid:114) =8(cid:114)(cid:35)(cid:36)(cid:51)1(cid:28) (cid:26) (cid:114) (cid:70)(cid:52)(cid:114)(cid:146) (cid:369)(cid:177)
(cid:68)(cid:69)(cid:371)(cid:26) (cid:70)(cid:52)(cid:71)𝑅𝑡(cid:114)𝛥𝐴(cid:115)𝐶𝐵 (cid:68)∠(cid:69)𝐶(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:51)𝐴(cid:86)𝐶 (cid:87) 𝐵𝐶 ⊙𝑂 𝐴𝐶 𝐵𝐶 ⊙𝑂
𝐶𝐵 𝐴𝐵 ⊙𝑂A(cid:83)3 B(cid:83)4 C(cid:83)5 D(cid:83)6
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)B
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:53)(cid:232)OA(cid:114)OB(cid:114)OC(cid:114)(cid:210)(cid:233)(cid:71)(cid:89)O(cid:42)AC(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:51)h(cid:114)(cid:120)(cid:121)S =S +S +S (cid:114)(cid:34)(cid:156)
ABC AOC BOC AOB
△ △ △ △
S (cid:114)(cid:183)(cid:147)(cid:34)(cid:156)h(cid:114)(cid:183)(cid:147)(cid:196)(cid:42)(cid:116)(cid:117)(cid:83)
AOC
△
(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19)(cid:146) (cid:26)AB(cid:114)BC(cid:70)(cid:52)(cid:71)(cid:114)(cid:166)(cid:129)(cid:114)(cid:53)(cid:128)OA(cid:114)OB(cid:114)OC(cid:114)
⊙𝑂
(cid:210)(cid:233)(cid:71)(cid:89)O(cid:42)AC(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:51)h(cid:114)
AC=6(cid:114)BC=8(cid:114) ACB=90°(cid:114)
∵ ∠
AB= + =10(cid:114)
2 2
∴S =𝐴S𝐶 +𝐵S𝐶 +S (cid:114)
ABC AOC BOC AOB
△ △ △ △
∴1 1
AC·BC=S + (cid:86)AB+BC(cid:87)×1(cid:114)
2 AOC 2
△
∴1 1
×6×8=S + ×(cid:86)8+10(cid:87)×1(cid:114)
2 AOC 2
△
∴
1 1
S =24-9=15= AC·h= ×6×h(cid:114)
AOC 2 2
△
∴h=5(cid:114)
∴ (cid:28)(cid:68)(cid:69)(cid:43)(cid:44)(cid:51)5-1=4(cid:114)
(cid:148)∴⊙(cid:149)(cid:10)𝑂 B(cid:83)
(cid:15)(cid:89)(cid:234)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:194)(cid:195)(cid:114)(cid:190)(cid:191)(cid:64)(cid:76)(cid:114)(cid:141)(cid:142)(cid:33)(cid:235)(cid:89)(cid:57)(cid:143)(cid:20)(cid:3)(cid:144)(cid:83)
(cid:15)(cid:150)(cid:151)9-3(cid:19)(cid:166)(cid:129)(cid:114)(cid:188)(cid:177)(cid:197)(cid:51)6cm(cid:28)(cid:359)(cid:130)ABCD(cid:172)(cid:114) =60°(cid:114)(cid:35)(cid:36)(cid:51)1cm(cid:28) P(cid:369)(cid:372)(cid:251)(cid:25)AC(cid:187)1cm/s
(cid:28)(cid:362)(cid:285)(cid:74)(cid:75)(cid:114)(cid:74)(cid:75)(cid:28)(cid:71)(cid:228)(cid:51)t(cid:114) =1cm(cid:83) (cid:115)(cid:75)(cid:89)P∠(cid:74)𝐵𝐴(cid:75)𝐷(cid:71)(cid:228) (cid:86)(cid:373)(cid:29)(cid:10)s(cid:87)(cid:71)⊙(cid:114) P(cid:26)(cid:359)(cid:130)ABCD(cid:28)(cid:177)
𝑃𝐴 ⊙(cid:185)(cid:96)(cid:93)(cid:89)(cid:83)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)3< <6 3 (cid:45) >6 3+2(cid:83)
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:58)(cid:156)𝑡 P(cid:74)(cid:75)−(cid:73)1(cid:247)𝑡(cid:172)(cid:374)(cid:375)(cid:26)(cid:359)(cid:130)(cid:96)(cid:93)(cid:89)(cid:71)(cid:28)(cid:129)(cid:130)(cid:114)(cid:34)(cid:156)P
1
(cid:114)P
2
(cid:114)P
3
(cid:26)P(cid:89)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:114)(cid:147)(cid:196)(cid:156)(cid:74)(cid:75)(cid:71)(cid:228)(cid:114)
(cid:288)(cid:289)(cid:196)(cid:156)(cid:281)(cid:93)⊙(cid:89)(cid:71)(cid:28)(cid:71)(cid:228)(cid:39)(cid:40)(cid:83)
(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19)(cid:166)(cid:129)(cid:186)(cid:248)(cid:114) P(cid:74)(cid:75)(cid:73)(cid:247)(cid:172)(cid:374)(cid:375)(cid:26)(cid:26)(cid:359)(cid:130)(cid:96)(cid:93)(cid:89)(cid:71)(cid:96)(cid:192)(cid:94)(cid:29)(cid:30)(cid:10)P (cid:114)P (cid:114)P (cid:114)
1 2 3
⊙
(cid:53)(cid:232)BD(cid:114)(cid:26)AC(cid:93)(cid:81)(cid:89)H(cid:114)
(cid:264)(cid:177)(cid:130)ABCD(cid:51)(cid:359)(cid:130)(cid:114) BAD=60°
∵BD AC(cid:114)AH=HC(cid:114) DAC∠=30°
∴(cid:188)R⊥t ADH(cid:172)(cid:114)AD=∠6cm
△ 3
AH=AD cos30°=6× =3 3cm
2
∴AC=2AH=⋅6 3cm
∴①(cid:146)P(cid:74)(cid:75)(cid:42)P
1
(cid:71)(cid:114)(cid:27)(cid:26)AD(cid:70)(cid:52)(cid:26)(cid:89)E(cid:114)(cid:53)(cid:232)P
1
E(cid:114)
P E AD
1
(cid:188)∴ Rt⊥ AP E(cid:172)(cid:114)P E=PA=1cm(cid:114) P AE=30°
1 1 1
P A=△2 P E=2cm(cid:114) ∠
1 1
∴P P= P A+PA=3cm
1 1
∴ 3
P(cid:74)(cid:75)(cid:42)P (cid:29)(cid:30)(cid:71)(cid:114)(cid:71)(cid:228)t = =3s
1 1 1
∴ ②(cid:146)P(cid:74)(cid:75)(cid:42)P
2
(cid:71)(cid:114)(cid:27)(cid:26)CD(cid:70)(cid:52)(cid:26)(cid:89)F(cid:114)(cid:53)(cid:232)P
2
F(cid:114)
P F CD
2
(cid:259)∴ ①⊥(cid:147)(cid:196)P
2
C=2cm(cid:114)(cid:233)(cid:71)P A=AC-P C=(6 3 )cm(cid:114)P P=P A+PA=(6 3 )cm
2 2 2 2
−2 6 3 −1
P(cid:74)(cid:75)(cid:42)P (cid:29)(cid:30)(cid:71)(cid:114)(cid:71)(cid:228)t = =(6 3 )s
2 2 1
−1
∴ ③(cid:146)P(cid:74)(cid:75)(cid:42)P
3
(cid:71)(cid:114)(cid:89)C(cid:188)(cid:27)(cid:106)(cid:80)(cid:27)(cid:41)(cid:188)−(cid:89)1 C(cid:28)(cid:363)(cid:370)(cid:114)
(cid:233)(cid:71)P P=P C+AC+PA=1+6 3+1=(6 3+2)cm
3 3
6 3 2
P(cid:74)(cid:75)(cid:42)P (cid:29)(cid:30)(cid:71)(cid:114)(cid:71)(cid:228)t = =(6 3+2)s
3 3 1
+
∴(cid:184)(cid:129)(cid:147)(cid:33)(cid:114)(cid:146)(cid:27)P(cid:74)(cid:75)(cid:42)P P (cid:227)(cid:228)(cid:86)(cid:212)(cid:357)P (cid:224)P (cid:87)(cid:114)(cid:45)(cid:376)(cid:74)(cid:75)(cid:42)P (cid:363)(cid:370)(cid:71)(cid:114)(cid:26)(cid:359)(cid:130)(cid:28)(cid:177)(cid:281)(cid:93)(cid:89)(cid:114)
1 2 1 2 3
(cid:75)(cid:89)P(cid:74)(cid:75)(cid:71)(cid:228)3< <6 3 (cid:45) >6 3+2
(cid:148)∴ (cid:116)(cid:117)(cid:51)(cid:10)3< <6 𝑡3 (cid:45) −>16 𝑡3+2(cid:83)
(cid:15)(cid:89)(cid:234)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:136)𝑡(cid:137)(cid:138)(cid:27)(cid:26)−(cid:24)1 (cid:25)𝑡(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:114)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:58)(cid:156)(cid:307)(cid:262)(cid:89)(cid:28)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:118)(cid:119)(cid:57)(cid:143)(cid:20)(cid:28)(cid:3)
(cid:144)(cid:83)
【题型10 求直线平移到与圆相切时运动的距离】
(cid:15)(cid:102)10(cid:19)(cid:86)24-25(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)·(cid:157)(cid:16)(cid:338)(cid:377)·(cid:326)(cid:292)(cid:140)(cid:315)(cid:87)(cid:32)(cid:33) (cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:51)5cm(cid:114)(cid:89) (cid:42)(cid:24)(cid:25) (cid:28)(cid:43)(cid:44) (cid:51)7cm(cid:83)(cid:378)
(cid:24)(cid:25) (cid:332)(cid:106)(cid:68)(cid:69) cm(cid:114)(cid:286)(cid:240)(cid:50) (cid:26) (cid:70)(cid:52)? ⊙𝑂 𝑂 𝑙 𝑂𝑃
𝑙 𝑙 ⊙𝑂
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)2(cid:45)12/12(cid:45)2
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:136)(cid:137)(cid:28)(cid:57)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:114)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:31)(cid:183)(cid:147)(cid:34)(cid:143)(cid:83)
(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19)(cid:143)(cid:10)(cid:379)(cid:380)(cid:129)(cid:130)(cid:10) (cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:51)5cm(cid:114)(cid:89) (cid:42)(cid:24)(cid:25) (cid:28)(cid:43)(cid:44) (cid:51)7cm(cid:83)
(cid:378)(cid:24)(cid:25) (cid:332)(cid:106)(cid:68)(cid:69) =∵2c⊙m(cid:45)𝑂7+5=12cm(cid:286)(cid:240)𝑂(cid:50) (cid:26) 𝑙 (cid:70)(cid:52)(cid:114)𝑂𝑃
∴(cid:148)(cid:116)(cid:117)(cid:51)𝑙(cid:10)2(cid:45)12(cid:83)7−5 𝑙 ⊙𝑂
(cid:15)(cid:150)(cid:151)10-1(cid:19)(cid:166)(cid:129)(cid:114) O(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:51)4 cm(cid:114)(cid:24)(cid:25)l OA(cid:114)(cid:59)(cid:277)(cid:51)O(cid:114)(cid:115)(cid:24)(cid:25)l(cid:369)(cid:251)(cid:25)OA(cid:90)(cid:332)(cid:68)(cid:69) cm(cid:71)(cid:26)
O(cid:70)(cid:52)(cid:83) ⊙ ⊥
⊙
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)4(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:24)(cid:25)l(cid:26) O(cid:70)(cid:52)(cid:71)(cid:114)(cid:24)(cid:25)(cid:42)(cid:27)(cid:41)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:101)(cid:81)(cid:27)(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:114)(cid:287)(cid:289)(cid:24)(cid:25)l(cid:369)(cid:251)(cid:25)OA(cid:90)(cid:332)(cid:68)(cid:69)4cm(cid:71)(cid:26)
O(cid:70)(cid:52)(cid:83) ⊙
⊙(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19) (cid:24)(cid:25)(cid:42)(cid:27)(cid:41)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:101)(cid:81)(cid:27)(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:114)(cid:24)(cid:25)l(cid:26) O(cid:70)(cid:52)(cid:114)
(cid:24)(cid:25)l(cid:369)∵(cid:251)(cid:25)OA(cid:90)(cid:332)(cid:68)(cid:69)4cm(cid:71)(cid:26) O(cid:70)(cid:52). ⊙
∴(cid:148)(cid:116)(cid:117)(cid:51)4. ⊙
(cid:15)(cid:89)(cid:234)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:136)(cid:137)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:60)(cid:61).
(cid:15)(cid:150)(cid:151)10-2(cid:19)(cid:166)(cid:129)(cid:114) (cid:35)(cid:36) =10cm(cid:114)(cid:24)(cid:25) (cid:114)(cid:59)(cid:277)(cid:51)H(cid:114)(cid:80)l(cid:93) (cid:81)A(cid:114)B(cid:218)(cid:89)(cid:114) =16cm(cid:114)
(cid:327)(cid:24)(cid:25)l(cid:369) (cid:186)(cid:188)(cid:24)(cid:25)⊙(cid:332)𝑂(cid:198)(cid:68)(cid:69)𝑂𝐶(cid:114)(cid:113)l(cid:374)(cid:375)(cid:26) 𝑙⊥(cid:70)𝑂(cid:52)𝐶 (cid:71)(cid:114)(cid:115)(cid:68)(cid:69)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:51)⊙(cid:86)𝑂 (cid:87) 𝐴𝐵
𝑂𝐶 ⊙𝑂
A(cid:83)2cm B(cid:83)4cm C(cid:83)6cm D(cid:83)16cm
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)B
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:53)(cid:232) (cid:114)(cid:184)(cid:59)(cid:36)(cid:64)(cid:76)(cid:65)(cid:190)(cid:191)(cid:64)(cid:76)(cid:196) =6(cid:114)(cid:146)(cid:89)H(cid:68)(cid:69)(cid:42)(cid:89)C(cid:71)(cid:114)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:52)(cid:114)(cid:34)(cid:196)
= 𝑂=𝐴2cm(cid:83) 𝑂𝐻
(cid:15)𝐶𝐻(cid:145)(cid:143)𝑂(cid:19)𝐶−(cid:143)𝑂(cid:10)𝐻(cid:53)(cid:232) (cid:114)
(cid:114) 𝑂𝐴
∵𝑙⊥𝑂𝐶1
= =8(cid:114) = =10(cid:114)
2
∴𝐴𝐻 𝐴𝐵 𝑂𝐴 𝑂𝐶
= = 10 8 =6(cid:114)
2 2 2 2
∴(cid:327)𝑂𝐻(cid:24)(cid:25)l𝑂(cid:369)𝐴 −𝐴(cid:186)𝐻(cid:188)(cid:24)(cid:25)(cid:332)(cid:198)−(cid:68)(cid:69)(cid:114)(cid:113)l(cid:374)(cid:375)(cid:26) (cid:70)(cid:52)(cid:71)(cid:114)
∵ = 𝑂𝐶 =4cm(cid:114) ⊙𝑂
∴(cid:183)𝐶(cid:24)𝐻(cid:25)(cid:188)𝑂𝐶(cid:256)−(cid:96)𝑂𝐻(cid:29)(cid:30)(cid:332)(cid:198)(cid:69)(cid:75)4cm(cid:206)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:52)(cid:83)
(cid:148)(cid:149)(cid:10)B(cid:83)(cid:15)(cid:89)(cid:234)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:92)(cid:63)(cid:138)(cid:59)(cid:36)(cid:64)(cid:76)(cid:114)(cid:190)(cid:191)(cid:64)(cid:76)(cid:114)(cid:320)(cid:52)(cid:25)(cid:28)(cid:381)(cid:382)(cid:34)(cid:143)(cid:114)(cid:200)(cid:126)(cid:141)(cid:142)(cid:383)(cid:64)(cid:76)(cid:79)(cid:62)(cid:63)(cid:57)(cid:143)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:144)(cid:83)
(cid:15)(cid:150)(cid:151)10-3(cid:19)(cid:166)(cid:129)(cid:114)(cid:24)(cid:25) (cid:114) (cid:26) (cid:65) (cid:118)(cid:266)(cid:70)(cid:52)(cid:81)(cid:89) (cid:65)(cid:89) (cid:83)(cid:89) (cid:65)(cid:89) (cid:118)(cid:266)(cid:57) (cid:65) (cid:106)(cid:28)(cid:75)(cid:89)(cid:114)
(cid:369) (cid:65) (cid:68)(cid:69)(cid:83) (cid:28)(cid:35)(cid:36)𝑙1 (cid:51)∥𝑙1 2 (cid:114)⊙1𝑂=6𝑙0 1 °(cid:83)𝑙(cid:198) 2 (cid:199)(cid:128)(cid:85)(cid:384)(cid:385)(cid:28)𝐴(cid:57)(cid:86) 𝐵 (cid:87)(cid:83)𝑀 𝑁 𝑙1 𝑙2 𝑀𝑁
𝑙1 𝑙2
⊙𝑂 ∠
4 3
A(cid:83) = B(cid:83)(cid:113) (cid:26) (cid:70)(cid:52)(cid:114)(cid:115) = 3
3
C(cid:83)(cid:113)𝑀𝑁 =90°(cid:114)(cid:115) (cid:26) (cid:70)(cid:52) D(cid:83) (cid:65)𝑀𝑁(cid:28)(cid:43)⊙(cid:44)𝑂(cid:51)2 𝐴𝑀
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:19)∠B𝑀𝑂𝑁 𝑀𝑁 ⊙𝑂 𝑙1 𝑙2
(cid:15)(cid:118)(cid:119)(cid:19)(cid:120)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:70)(cid:3)(cid:33)(cid:235)(cid:114)(cid:280)(cid:98)(cid:22)(cid:23)(cid:83)
4 3
(cid:15)(cid:145)(cid:143)(cid:19)(cid:143)(cid:10)A(cid:224)(cid:68)(cid:69) (cid:50)(cid:89) (cid:26) (cid:246)(cid:67)(cid:114) 1=60°(cid:114) =2(cid:114)(cid:143)(cid:24)(cid:193)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:196) = (cid:114)(cid:200)(cid:126)(cid:209)
3
𝑀𝑁 𝐵 𝑁 ∠ 𝐴𝐵 3𝑀𝑁
B(cid:224)(cid:146) (cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:52)(cid:71)(cid:114) (cid:114) (cid:188) (cid:365)(cid:370)(cid:187)(cid:320) (cid:114) (cid:188) (cid:114) (cid:363)(cid:370)(cid:71)(cid:114) = 3(cid:45) (cid:114)(cid:384)(cid:385)(cid:209)
3
C(cid:224)(cid:113)𝑀𝑁 =90°(cid:114)(cid:53)𝑀(cid:232) 𝑁(cid:79)(cid:254)𝐴𝐵(cid:197)(cid:93) (cid:81)𝑀(cid:89) (cid:114)𝑁(cid:115)𝐴 𝐵 𝐴𝑀(cid:114)(cid:148) = (cid:114) (cid:114)(cid:148)
(cid:106)∠(cid:28)𝑀(cid:386)𝑂(cid:51)𝑁1(cid:114)(cid:183) (cid:42) 𝑁(cid:28)𝑂(cid:43)(cid:44)(cid:101)(cid:81)(cid:35)𝑀(cid:36)𝐴 (cid:83)(cid:200)𝐶(cid:126)(cid:209) △𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝑁 𝐶𝑂 𝑁𝑂 △𝑀𝑂𝑁≌△𝑀𝑂𝐶
𝑀D(cid:224)𝑁 (cid:114)(cid:218)(cid:68)(cid:132)(cid:25)𝑂(cid:227)𝑀(cid:228)𝑁(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:51)(cid:25)(cid:292) (cid:28)(cid:197)(cid:114)(cid:183)(cid:24)(cid:36) =2(cid:114)(cid:200)(cid:126)(cid:83)
𝑙1 ∥𝑙2
𝐴𝐵 𝐴𝐵
(cid:148)(cid:149)(cid:10)B(cid:83)
(cid:15)(cid:89)(cid:234)(cid:19)(cid:133)(cid:20)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:52)(cid:28)(cid:22)(cid:23)(cid:90)(cid:91)(cid:65)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:47)(cid:101)(cid:192)(cid:193)(cid:130)(cid:28)(cid:22)(cid:64)(cid:320)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:68)(cid:132)(cid:25)(cid:228)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:114)(cid:139)(cid:140)
(cid:141)(cid:142)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:52)(cid:28)(cid:22)(cid:23)(cid:90)(cid:91)(cid:65)(cid:60)(cid:61)(cid:57)(cid:143)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:144)(cid:83)