文档文本内容
专题 2.6 勾股定理的逆定理（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:19)............................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:19)....................................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:19)........................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:39)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:45)(cid:19)............................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:52)(cid:53)(cid:19)................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:54)(cid:55)(cid:19)................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:19)................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:61)(cid:62)(cid:52)(cid:63)(cid:19)........................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:53)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:46)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:39)(cid:19)............................................................................9
知识点1 直角三角形的判别条件 +
A
A
科
全
★
1. 定义：如果三角形的三边 ， ， 满足 + = 众那么 号 这个三角形是直角三角形(cid:71)（此判别条件也称
公
注
， 关2 2 2
为勾股定理的逆定理） 𝑎 𝑏源𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
资
辅
教
2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法：
从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余
从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方
知识点2 勾股数
1. 勾股数
定义 满足 + = 的三个正整数，称为勾股数
2 2 2
三𝑎个数都𝑏 是正𝑐整数
满足条件
①两个较小整数的平方和等于最大整数的平方
②勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍
拓展
为勾股数.
， ， +1（ 大于1的全部数）；
常见形式
2 2
①𝑛 −，1 2𝑛 ，𝑛 +1𝑛（n为正整数）等
2 2
2. 判断勾股数的方法步②骤4𝑛: 4𝑛 −1 4𝑛(1)确定三个是正整数；
(2)确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大的数的平方与另外两个较小的数的平方和；
(3)进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数,否则不是(cid:71)
【题型1 判断三边能否构成直角三角形】
(cid:15)(cid:72)1(cid:19)(cid:73)2025·(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)·(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:67)(cid:46)(cid:44)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:41)(cid:83)(cid:67)(cid:87)12(cid:46)(cid:85)(cid:86)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:26)(cid:94)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:31)(cid:32)
(cid:46)(cid:95)(cid:73) (cid:80)
A(cid:71)6(cid:96)9 B(cid:71)9(cid:96)15 C(cid:71)10(cid:96)16 D(cid:71)15(cid:96)18
(cid:15)(cid:97)(cid:98)1-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:81)·(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)·(cid:106)(cid:38)(cid:80)(cid:107)(cid:81)(cid:82)(cid:108)(cid:94)(cid:35)(cid:87)(cid:25)(cid:83)(cid:96)(cid:109)(cid:107)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:95)(cid:73)(cid:110)(cid:110)(cid:80)
A(cid:71)2(cid:96)3(cid:96)4 B(cid:71)3(cid:96)4(cid:96)6 C(cid:71)6(cid:96)8(cid:96)10 D(cid:71)7(cid:96)24(cid:96)26
(cid:15)(cid:97)(cid:98)1-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:81)·(cid:111)(cid:112)(cid:76)(cid:113)·(cid:106)(cid:38)(cid:80)(cid:42)(cid:43)a(cid:114)b(cid:114)c(cid:95)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:96)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)( ) +( 12)
2 2
+| |=0(cid:96)(cid:119)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:32)(cid:120)(cid:95)(cid:73) (cid:80) 𝑎−9 𝑏−
A𝑐−(cid:71)1(cid:30)5 (cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32) B(cid:71)(cid:121)(cid:25)(cid:24)(cid:31)(cid:32)
C(cid:71)(cid:122)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32) D(cid:71)(cid:123)(cid:41)(cid:124)(cid:125)(cid:92)(cid:121)(cid:46)(cid:121)(cid:124)(cid:24)(cid:31)(cid:32)
+
A
A
科
(cid:15)(cid:97)(cid:98)1-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:81)·(cid:126)(cid:127)(cid:24)(cid:55)·(cid:106)(cid:38)(cid:80)(cid:42)(cid:43) (cid:96) (cid:96) (cid:95)
★
全(cid:46)(cid:24)(cid:84)(cid:25)(cid:96)(cid:119)(cid:81)(cid:82)(cid:84)(cid:128)(cid:26)(cid:22)(cid:49)
号
众
公
注
(cid:87)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:95)(cid:73) (cid:80) 关 𝑎 𝑏 𝑐 △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
，
源
资
辅
A(cid:71) =1:2:3 教 B(cid:71)( + ) +( ) =2
2 2 2
C(cid:71)𝑎:𝑏:𝑐 =2:3:4 D(cid:71) 𝑎 =𝑏 =𝑎−𝑏 𝑐
【题型
∠2 𝐴 :∠
勾
𝐵
股
:∠
数
𝐶
】
∠𝐴 ∠𝐵 2∠𝐶
(cid:15)(cid:72)2(cid:19)(cid:73)2023·(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:129)·(cid:38)(cid:130)(cid:131)(cid:20)(cid:80)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:95)(cid:132)(cid:26)(cid:29)(cid:87)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:84)(cid:25)(cid:83)(cid:46)(cid:24)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:35)(cid:96)(cid:136)(cid:137)(cid:40)(cid:138)(cid:139)(cid:91)
(cid:140)(cid:141)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:7)(cid:98)(cid:46)(cid:95)(cid:38)(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:35)(cid:11)(cid:145)(cid:70)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:71)(cid:152)(cid:153)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a(cid:96)b(cid:96)c(cid:96)(cid:60)(cid:38) (cid:96) (cid:154)(cid:155)(cid:156) (cid:96) = 1
2
2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑚 −
1 (cid:96) = 1 + 1 (cid:96) (cid:95)(cid:157)(cid:156)1(cid:46)(cid:158)(cid:35)(cid:96)(cid:119) = (cid:73)(cid:48)(cid:159) (cid:46)(cid:98)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:80)(cid:71)
2 2 2
2
(cid:15)(cid:97)𝑐(cid:98)2 𝑚 -1(cid:19)(cid:73)24- 𝑚 25(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:81)·(cid:163)(cid:76)(cid:164)(cid:165)𝑏 ·(cid:106)(cid:38)(cid:80)(cid:166)(cid:142)(cid:95)(cid:167)(cid:168)(cid:169)𝑚(cid:53)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:142)(cid:170)(cid:171)(cid:139)(cid:96)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:156)(cid:166)(cid:142)(cid:143)(cid:144)
(cid:145)(cid:176)(cid:46)(cid:35)(cid:11)(cid:145)(cid:70)(cid:146)(cid:164)(cid:177)(cid:149)(cid:178)(cid:151)(cid:38)(cid:96)(cid:81)(cid:82)(cid:108)(cid:94)(cid:35)(cid:38)(cid:96)(cid:95)“(cid:33)(cid:34)(cid:35)”(cid:46)(cid:95)(cid:73) (cid:80)
A(cid:71)5(cid:96)12(cid:96)11 B(cid:71)6(cid:96)8(cid:96)10 C(cid:71)7(cid:96)8(cid:96)9 D(cid:71)15(cid:96)17(cid:96)18
(cid:15)(cid:97)(cid:98)2-2(cid:19)(cid:73)23-24(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:81)·(cid:163)(cid:103)(cid:179)(cid:49)·(cid:106)(cid:38)(cid:80)(cid:180)8(cid:96)15(cid:96) (cid:95)(cid:139)(cid:94)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:96)(cid:119) (cid:46)(cid:63)(cid:87) (cid:71)
(cid:15)(cid:97)(cid:98)2-3(cid:19)(cid:73)22-23(cid:181)(cid:100)(cid:101)(cid:40)·(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:185)·(cid:106)(cid:38)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:186)(cid:187)(cid:10)𝑥 𝑥
(cid:188)(cid:87)0.6(cid:96)0.8(cid:96)1(cid:125)(cid:95)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:96)(cid:189)(cid:107)(cid:107)0.6(cid:96)0.8(cid:96)1(cid:87)(cid:25)(cid:46)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:125)(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)
①(cid:180)a(cid:96)b(cid:96)c(cid:95)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:96)(cid:190) > (cid:96) > (cid:96)(cid:119)(cid:191)(cid:153) + =
2 2 2
② 𝑐 𝑏 𝑐 𝑎 𝑎 𝑏 𝑐(cid:188)(cid:107)0.5(cid:96)1.2(cid:96)1.3(cid:87)(cid:25)(cid:83)(cid:46)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:189)(cid:107)0.5(cid:96)1.2(cid:96)1.3(cid:95)(cid:33)(cid:34)(cid:35)
③(cid:180)(cid:24)(cid:133)(cid:135)(cid:35)a(cid:96)b(cid:96)c(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:24)(cid:84)(cid:25)(cid:96)(cid:119) (cid:96) (cid:96) (cid:191)(cid:95)(cid:33)(cid:34)(cid:35)
④(cid:60)(cid:38)(cid:134)(cid:192)(cid:46)(cid:95) (cid:73)(cid:193)(cid:194)(cid:9)(cid:80)(cid:71) 3𝑎 3𝑏 3𝑐
【题型3 网格中判断直角三角形】
(cid:15)(cid:72)3(cid:19)(cid:115)(cid:39)(cid:96)(cid:195)(cid:139)(cid:133)6×6(cid:46)(cid:134)(cid:196)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:96)(cid:153)(cid:24)(cid:133)(cid:37)(cid:45)(cid:24)(cid:31)(cid:32)((cid:197)(cid:45)(cid:195)(cid:36)(cid:37)(cid:46)(cid:198)(cid:45)(cid:40))(cid:96)(cid:60)(cid:38)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)
(cid:133)(cid:35)(cid:95) (cid:73) (cid:80)
A(cid:71)0 B(cid:71)1 C(cid:71)2 D(cid:71)3
(cid:15)(cid:97)(cid:98)3-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:40)·(cid:126)(cid:127)(cid:199)(cid:200)·(cid:201)(cid:86)(cid:202)(cid:203)(cid:80)(cid:115)(cid:39)(cid:189)(cid:162)(cid:96)(cid:195)4×4(cid:46)(cid:134)(cid:196)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:39)(cid:38)(cid:96)(cid:155)(cid:134)(cid:196)(cid:32)(cid:46)(cid:197)
+
A
(cid:45)(cid:204)(cid:87)(cid:37)(cid:45)(cid:96) (cid:46)(cid:197)(cid:45)(cid:205)(cid:195)(cid:37)(cid:45)(cid:40)(cid:96)(cid:206)(cid:133)(cid:155)(cid:134)(cid:196)(cid:32)(cid:46)(cid:25)(cid:83)(cid:154)(cid:87)1(cid:96)(cid:119)科 A(cid:46)(cid:32)(cid:120)(cid:207)(cid:208)(cid:167)(cid:209)(cid:192)(cid:46)(cid:95)(cid:73) (cid:80)
全
★
号
众
△𝐴𝐵𝐶 公 △𝐴𝐵𝐶
注
关
，
源
资
辅
教
A(cid:71)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32) B(cid:71)(cid:121)(cid:124)(cid:24)(cid:31)(cid:32) C(cid:71)(cid:121)(cid:124)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32) D(cid:71)(cid:121)(cid:25)(cid:24)(cid:31)(cid:32)
(cid:15)(cid:97)(cid:98)3-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:40)·(cid:210)(cid:142)·(cid:106)(cid:38)(cid:80)(cid:115)(cid:39)(cid:189)(cid:162)(cid:46)(cid:95)(cid:134)(cid:196)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:96)(cid:119) = °(cid:73)(cid:45) (cid:96) (cid:96)
(cid:96) (cid:96) (cid:87)(cid:36)(cid:37)(cid:85)(cid:198)(cid:45)(cid:80)(cid:71) ∠𝑀𝐷𝐶−∠𝑀𝐴𝐵 𝐴 𝐵
𝐶 𝐷 𝑀
(cid:15)(cid:97)(cid:98)3-3(cid:19)(cid:73)2025·(cid:163)(cid:103)(cid:211)(cid:185)·(cid:79)(cid:212)(cid:213)(cid:214)(cid:80)(cid:39)(cid:95)(cid:215)(cid:155)(cid:134)(cid:196)(cid:32)(cid:216)(cid:29)(cid:46)(cid:36)(cid:37)(cid:96) (cid:44)(cid:45)(cid:154)(cid:195)(cid:37)(cid:45)(cid:40)(cid:96) (cid:44)(cid:45)(cid:154)(cid:87)
(cid:155)(cid:134)(cid:196)(cid:32)(cid:139)(cid:25)(cid:46)(cid:38)(cid:45)(cid:96)(cid:30)(cid:85) (cid:41)(cid:30)(cid:85) (cid:198)(cid:156)(cid:45) (cid:96)(cid:119) =(cid:73) (cid:80) 𝐴,𝐵 𝐶,𝐷
𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐸 ∠𝐵𝐸𝐷A(cid:71)60° B(cid:71)75° C(cid:71)90° D(cid:71)105°
【题型4 图形上与已知两点构成直角三角形的点】
(cid:15)(cid:72)4(cid:19)(cid:45) A(cid:73)2(cid:96)m(cid:80)(cid:96)B(cid:73)2(cid:96)m-5(cid:80)(cid:195)(cid:217)(cid:218)(cid:30)(cid:31)(cid:219)(cid:220)(cid:221)(cid:38)(cid:96)(cid:45)O(cid:87)(cid:219)(cid:220)(cid:222)(cid:45)(cid:71)(cid:180) ABO(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)
(cid:119)m(cid:46)(cid:63)(cid:125)(cid:109)(cid:26)(cid:95)(cid:73) (cid:80) △
A(cid:71)4 B(cid:71)2 C(cid:71)1 D(cid:71)0
(cid:15)(cid:97)(cid:98)4-1(cid:19)(cid:42)(cid:43)(cid:45) (cid:46)(cid:219)(cid:220)(cid:87)(3,5)(cid:96)(cid:45) (cid:195) (cid:223)(cid:40)(cid:96)(cid:190) =13(cid:96)(cid:224)(cid:225)(cid:45) (cid:46)(cid:219)(cid:220)(cid:87) .
(cid:15)(cid:97)(cid:98)4-2(cid:19)(cid:195)(cid:217)(cid:218)(cid:30)𝐴 (cid:31)(cid:219)(cid:220)(cid:221)(cid:38)(cid:96)(cid:45)A𝐵(cid:46)(cid:219)𝑥(cid:220)(cid:87)(1(cid:96)𝐴1)𝐵(cid:96)(cid:45)B(cid:46)(cid:219)(cid:220)(cid:87)𝐵(11(cid:96)1)(cid:96)(cid:45)C(cid:226)(cid:30)(cid:85)AB(cid:46)(cid:227)(cid:228)(cid:87)
5(cid:96)(cid:190) ABC(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:119)(cid:117)(cid:118)(cid:84)(cid:128)(cid:46)C(cid:45)(cid:153)((cid:110)(cid:110))
A(cid:71)△4(cid:133) B(cid:71)5(cid:133) C(cid:71)6(cid:133) D(cid:71)8(cid:133)
(cid:15)(cid:97)(cid:98)4-3(cid:19)(cid:45) (cid:195) (cid:223)(cid:40)(cid:96) (4,1)(cid:114) (1,4)(cid:96)(cid:115)(cid:116) (cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:52)(cid:45) (cid:46)
A
(cid:219)+(cid:220)(cid:71)
A
科
全
★
【题型5 利用 𝑃 勾股 𝑦 定理的逆 𝐴 定理求 𝐵 解】 △ 公 𝐴𝐵众𝑃 号 𝑃
注
关
，
源
(cid:15)(cid:72)5(cid:19)(cid:73)24-25(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:81)辅·(cid:126)(cid:127)资(cid:229)(cid:230)·(cid:106)(cid:38)(cid:80)(cid:115)(cid:39)(cid:96)(cid:195) (cid:38)(cid:96) =90°(cid:96) = (cid:96) (cid:95) (cid:231)(cid:46)
教
(cid:139)(cid:45)(cid:96)(cid:190) =1(cid:96) =2(cid:96) =3(cid:96)(cid:119) (cid:46)(cid:67)(cid:35)(cid:87)△(cid:73)𝐴(cid:110)𝐵𝐶(cid:110)(cid:80) ∠𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝑃 △𝐴𝐵𝐶
𝑃𝐵 𝑃𝐶 𝑃𝐴 ∠𝐵𝑃𝐶
A(cid:71)120° B(cid:71)135° C(cid:71)140° D(cid:71)150°
(cid:15)(cid:97)(cid:98)5-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:40)·(cid:16)(cid:74)(cid:232)(cid:200)·(cid:106)(cid:38)(cid:80)(cid:115)(cid:39)(cid:96)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:233)(cid:234) (cid:46)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:235)(cid:236)(cid:87) =6(cid:96) =8(cid:96)
=10(cid:96)(cid:152)(cid:237)(cid:25) (cid:238) (cid:239)(cid:240)(cid:96)(cid:241)(cid:172)(cid:242)(cid:195)(cid:25) (cid:40)(cid:96)(cid:45) (cid:41)(cid:45) (cid:243)(cid:62)(cid:96)𝐴𝐵(cid:52)𝐶 (cid:46)(cid:83)(cid:71) 𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐶 𝐸 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:97)(cid:98)5-2(cid:19)(cid:115)(cid:39)(cid:96)(cid:195)(cid:111)(cid:25)(cid:32)ABCD(cid:38)(cid:96)AB(cid:10)BC(cid:10)CD(cid:10)DA=2(cid:10)2(cid:10)3(cid:10)1(cid:96)(cid:190) ABC=90°(cid:96)(cid:119) DAB(cid:46)(cid:67)(cid:35)
(cid:95) °(cid:71) ∠ ∠(cid:15)(cid:97)(cid:98)5-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:81)·(cid:244)(cid:245)(cid:62)(cid:246)·(cid:106)(cid:38)(cid:80)(cid:115)(cid:39)(cid:96)(cid:195) (cid:38)(cid:96) = = = (cid:46)(cid:217)(cid:235)(cid:85)
(cid:198) (cid:156)(cid:45) (cid:96)(cid:45) (cid:96) (cid:235)(cid:236)(cid:87)(cid:85)(cid:86) (cid:96)(cid:25) (cid:40)(cid:46)(cid:247)(cid:45)(cid:71)(cid:119)△𝑂𝐴𝐵+ (cid:46)𝑂𝐴(cid:167)(cid:155)3(cid:63),𝑂(cid:87)𝐵(cid:73)(cid:110)4,(cid:110)𝐴𝐵(cid:80) 5,∠𝑂𝐴𝐵
𝐴𝐶 𝑂𝐵 𝐶 𝑃 𝑄 𝐴𝐶 𝑂𝐴 𝑂𝑃 𝑃𝑄
A(cid:71)2 B(cid:71)2.4 C(cid:71)2.5 D(cid:71)2.6
【题型6 利用勾股定理的逆定理证明】
+
A
(cid:15)(cid:72)6(cid:19)(cid:73)24-25(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:81)·(cid:182)(cid:248)(cid:249)(cid:250)·(cid:201)(cid:86)(cid:202)(cid:203)(cid:80)(cid:49)(cid:251)(cid:10)(cid:195) (cid:38)(cid:96)(cid:180)科=A(cid:96) = (cid:96) = (cid:96)(cid:190)a(cid:96)
全
★
号
众
b(cid:96)c(cid:117)(cid:118) + = (cid:96)(cid:119)(cid:204)(cid:252)(cid:133)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:87)“(cid:253)(cid:33)(cid:34)公(cid:24)(cid:31)(cid:32)△”(cid:71)𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝑎 𝐴𝐶 𝑏 𝐴𝐵 𝑐
注
关
，
2 2 源
(cid:254)(cid:255)(cid:256)(cid:107)(cid:40)𝑎𝑐(cid:49)(cid:251)𝑎(cid:53)(cid:64)𝑏(cid:81)(cid:82)辅(cid:257)(cid:20)资(cid:10)
教
(1)(cid:115)(cid:39)1(cid:96)(cid:180)(cid:121)(cid:124)(cid:24)(cid:31)(cid:32) (cid:95)“(cid:253)(cid:33)(cid:34)(cid:24)(cid:31)(cid:32)”(cid:96) = (cid:96) > (cid:96)(cid:52) (cid:46)(cid:67)(cid:35)(cid:71)
(2)(cid:115)(cid:39)2(cid:96)(cid:195) (cid:38)(cid:96)𝐴𝐵𝐶= (cid:96)(cid:190) > 𝐴𝐵(cid:96)D𝐵(cid:95)𝐶 AB𝐴𝐶(cid:40)(cid:46)𝐴(cid:45)𝐵(cid:96)(cid:93)∠(cid:258)𝐶CD(cid:96)(cid:117)(cid:118) = (cid:96)(cid:259)(cid:45) (cid:70)
(cid:96)(cid:260)(cid:118)△(cid:87)𝐴𝐵(cid:71)𝐶(cid:52)(cid:54)∠(cid:10)𝐵 2∠𝐴(cid:87)“(cid:253)∠(cid:33)𝐴𝐶(cid:34)𝐵(cid:24)(cid:31)∠(cid:32)𝐴”(cid:71) 𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐶
(cid:15)𝐶𝐸(cid:97)⊥(cid:98)𝐴𝐵6-1(cid:19)(cid:73)22-𝐸23(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:81)△·(cid:163)𝐴𝐵(cid:76)𝐶(cid:261)(cid:262)·(cid:106)(cid:38)(cid:80)(cid:115)(cid:39)(cid:96) (cid:38)(cid:96) (cid:46)(cid:260)(cid:30)(cid:217)(cid:235)(cid:85) (cid:235)(cid:236)(cid:198) (cid:114) (cid:156)(cid:45)
D(cid:96)E(cid:96)(cid:190) = (cid:71) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐵
2 2 2
𝐴𝐷 −𝐷𝐶 𝐵𝐶(1)(cid:52)(cid:54)(cid:10) =90°(cid:263)
(2)(cid:180) =∠8𝐶(cid:96) =4(cid:96)(cid:52) (cid:46)(cid:83)(cid:71)
(cid:15)(cid:97)(cid:98)𝐴𝐶6-2(cid:19)(cid:73)𝐵2𝐶4-25(cid:99)(cid:100)(cid:101)𝐴𝐷(cid:81)·(cid:163)(cid:103)(cid:264)(cid:182)·(cid:106)(cid:38)(cid:80)(cid:42)(cid:43) (cid:46)(cid:24)(cid:25) = ( >1)(cid:96) = (cid:96) = +1(cid:71)
2 2
(1)(cid:52)(cid:54)(cid:10) (cid:95) (cid:46)(cid:167)(cid:83)(cid:25)(cid:263) △𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑛 −1 𝑛 𝑏 2𝑛 𝑐 𝑛
(2)(cid:52)(cid:54)(cid:10)𝑐 △𝐴(cid:95)𝐵𝐶(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:263)
(3)(cid:30)(cid:258)(cid:265)(cid:141)△(cid:139)𝐴𝐵(cid:94)𝐶(cid:117)(cid:118) (cid:46)(cid:24)(cid:25)(cid:83)(cid:96)(cid:60)(cid:38)(cid:159)(cid:134)(cid:135)(cid:35)12(cid:71)
(cid:15)(cid:97)(cid:98)6-3(cid:19)(cid:73)2025·(cid:163)△(cid:103)𝐴(cid:266)𝐵𝐶(cid:267)·(cid:139)(cid:79)(cid:80)(cid:15)(cid:257)(cid:20)(cid:268)(cid:141)(cid:19)
(cid:73)1(cid:80)(cid:115)(cid:39)1(cid:96) (cid:269) (cid:205)(cid:95)(cid:121)(cid:25)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:45) (cid:195) (cid:231)(cid:270)(cid:96)(cid:93)(cid:258) (cid:96) (cid:96) (cid:71)
(cid:52)(cid:54)(cid:10) =△𝐴𝐵(cid:263)𝐶 △𝐷𝐶𝐸 𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 A𝐴𝐸+𝐵𝐷
A
科
全
★
①(cid:180) 𝐵𝐷=15𝐴0𝐸°(cid:96)(cid:52)(cid:54)(cid:10) = + (cid:263) 众 号
公
注
2 2 关2
②(cid:15)(cid:257)(cid:20)∠𝐴(cid:271)𝐷(cid:272)𝐶(cid:19) 𝐵𝐷 源𝐴𝐷 ， 𝐶𝐷
资
辅
教
(cid:73)2(cid:80)(cid:115)(cid:39)2(cid:71) (cid:269) (cid:205)(cid:95)(cid:121)(cid:25)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:45) (cid:195) (cid:273)(cid:270)(cid:96)(cid:180) = + (cid:274)(cid:275)(cid:29)(cid:276)(cid:96)(cid:52)
2 2 2
(cid:46)(cid:67)(cid:35)(cid:71) △𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐶𝐸 𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐶𝐷 ∠𝐴𝐷𝐶
【题型7 勾股定理的逆定理实际应用】
(cid:15)(cid:72)7(cid:19)(cid:73)24-25(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:81)·(cid:277)(cid:278)(cid:279)(cid:222)·(cid:106)(cid:38)(cid:80)(cid:115)(cid:39)(cid:96)(cid:139)(cid:280)(cid:65)(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:195)(cid:285)(cid:38)(cid:45)A(cid:286)(cid:96)(cid:45)A(cid:41)(cid:287)(cid:218)(cid:40)(cid:45)B(cid:171)(cid:288)
(cid:46)(cid:227)(cid:228) =20(cid:289)(cid:96)(cid:45)A(cid:41)(cid:287)(cid:218)(cid:40)(cid:45)C(cid:73)(cid:45)B(cid:114)C(cid:286)(cid:156)(cid:290)(cid:139)(cid:291)(cid:217)(cid:218)(cid:40)(cid:80)(cid:46)(cid:227)(cid:228) =25(cid:289)(cid:96)(cid:190) =15(cid:289)(cid:71)
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶
(1)(cid:52) (cid:46)(cid:67)(cid:35)(cid:263)
(2)(cid:152)(cid:252)∠𝐴(cid:280)𝐵𝐶(cid:65)(cid:281)(cid:282)(cid:238) (cid:189)(cid:195)(cid:30)(cid:85)(cid:292)(cid:81)(cid:293)(cid:294)(cid:295)(cid:45)D(cid:286)(cid:96)(cid:180)(cid:45)D(cid:296)(cid:297)(cid:195)(cid:25) (cid:46)(cid:260)(cid:30)(cid:217)(cid:235)(cid:85)(cid:40)(cid:96)(cid:93)(cid:258) (cid:96)(cid:52)(cid:252)(cid:280)
(cid:65)(cid:281)(cid:282)(cid:292)(cid:81)(cid:293)(cid:294)(cid:46)(cid:227)𝐴𝐵(cid:228)(cid:73) (cid:46)(cid:83)(cid:80)(cid:71) 𝐴𝐶 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:97)(cid:98)7-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:99)(cid:100)𝐴(cid:101)𝐷(cid:81)·(cid:74)(cid:248)(cid:298)(cid:200)·(cid:201)(cid:86)(cid:202)(cid:203)(cid:80)(cid:115)(cid:39)(cid:96)(cid:299)(cid:155)(cid:300)(cid:46)(cid:44)(cid:133)(cid:301)(cid:302) (cid:96) (cid:303)(cid:156)(cid:155)(cid:304) (cid:46)(cid:290)(cid:305)(cid:96)(cid:44)
𝐴 𝐵 𝐴𝐶(cid:133)(cid:301)(cid:302)(cid:171)(cid:288)(cid:46)(cid:227)(cid:228) =25m(cid:71)(cid:152)(cid:306)(cid:87)(cid:301)(cid:302)(cid:307)(cid:308)(cid:309)(cid:291)(cid:310)(cid:311) (cid:96) (cid:96)(cid:309)(cid:291)(cid:45) (cid:195)(cid:155)(cid:304) (cid:40)(cid:96)(cid:309)(cid:291)(cid:45) (cid:226) (cid:46)
(cid:227)(cid:228) =12m(cid:96)𝐴𝐵 =15m(cid:71) 𝐴𝑀 𝐵𝑀 𝑀 𝐴𝐶 𝑀 𝐴𝐵
𝑀𝑁 𝐵𝑀
(1)(cid:52)(cid:309)(cid:291)(cid:45) (cid:226)(cid:301)(cid:302) (cid:312)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:46)(cid:310)(cid:311)(cid:83) (cid:71)
(2)(cid:52)(cid:54)(cid:10) 𝑀 =90𝐴°(cid:71) 𝐴𝑀
(cid:15)(cid:97)(cid:98)7-2∠(cid:19)𝐵𝑀(cid:73)𝐴24-25(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:40)·(cid:163)(cid:76)(cid:313)(cid:314)·(cid:106)(cid:315)(cid:80)(cid:299)(cid:249)(cid:247)(cid:316)(cid:107)(cid:317)(cid:179)(cid:114)(cid:318)(cid:319)(cid:114)(cid:320)(cid:321)(cid:87)(cid:141)(cid:322)(cid:45)(cid:96)(cid:323)(cid:249)(cid:247)(cid:324)(cid:325)(cid:326)(cid:300)(cid:327)
(cid:294)(cid:169)(cid:328)(cid:329)(cid:308)(cid:330)(cid:71)(cid:115)(cid:39)(cid:96)(cid:111)(cid:25)(cid:32) (cid:87)(cid:325)(cid:331)(cid:300)(cid:332)(cid:96)(cid:111)(cid:164)(cid:95)(cid:333)(cid:311)(cid:96) (cid:96)(cid:38)(cid:288)(cid:95)(cid:334)(cid:335)(cid:336)(cid:337)(cid:300)(cid:332)(cid:96)(cid:87)(cid:338)(cid:339)(cid:340)
(cid:341)(cid:96)(cid:38)(cid:288)(cid:342)(cid:343)(cid:169)(cid:344)(cid:26)(cid:345)(cid:317)(cid:179)(cid:346)𝐴(cid:247)𝐵(cid:333)𝐶𝐷(cid:311) (cid:96)(cid:178)(cid:214)(cid:347) =9(cid:96) =𝐴1𝐵2(cid:96)⊥𝐵𝐶 =8(cid:96) =17(cid:71)
𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐷
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
(1)(cid:52)(cid:54)(cid:10) (cid:71) 关
，
源
资
辅
(2)(cid:52)(cid:111)(cid:25)(cid:32)𝐴𝐶⊥𝐶𝐷(cid:46)(cid:218)教(cid:348)(cid:71)
(cid:15)(cid:97)(cid:98)7-3(cid:19)𝐴(cid:166)𝐵𝐶(cid:349)𝐷(cid:350)(cid:351)(cid:178)(cid:352)(cid:353)(cid:185)(cid:354)(cid:355)(cid:356)(cid:357)(cid:358)(cid:96)(cid:185)(cid:354)(cid:95)(cid:139)(cid:336)(cid:359)(cid:275)(cid:360)(cid:361)(cid:96)(cid:172)(cid:107)(cid:185)(cid:354)(cid:38)(cid:329)(cid:87)(cid:362)(cid:329)(cid:195)(cid:164)(cid:363)(cid:40)(cid:364)(cid:289)(cid:46)(cid:365)
(cid:363)(cid:231)(cid:32)(cid:29)(cid:366)(cid:367)(cid:356)(cid:368)(cid:96)(cid:153)(cid:366)(cid:369)(cid:46)(cid:370)(cid:371)(cid:372)(cid:71)(cid:115)(cid:39)(cid:96)(cid:153)(cid:139)(cid:185)(cid:354)(cid:38)(cid:329)(cid:238)(cid:183)(cid:248)(cid:196)(cid:292)AB(cid:215)(cid:45)A(cid:294)(cid:373)(cid:292)(cid:45)B(cid:96)(cid:42)(cid:43)(cid:45)C(cid:87)
(cid:139)(cid:374)(cid:375)(cid:96)(cid:190)(cid:45)C(cid:41)(cid:30)(cid:85)AB(cid:40)(cid:44)(cid:45)A(cid:96)B(cid:46)(cid:227)(cid:228)(cid:235)(cid:236)(cid:87)300km(cid:269)400km(cid:96)(cid:190) =500km(cid:96)(cid:107)(cid:185)(cid:354)(cid:38)(cid:329)(cid:87)(cid:362)
(cid:329)(cid:164)(cid:363)250km(cid:107)(cid:231)(cid:87)(cid:353)(cid:357)(cid:358)(cid:300)(cid:332)(cid:71) 𝐴𝐵
(1)(cid:52)(cid:54)(cid:10) =90°(cid:263)
(2)(cid:374)(cid:375)C∠(cid:353)𝐴(cid:185)𝐶𝐵(cid:354)(cid:357)(cid:358)(cid:376)(cid:377)(cid:87)(cid:378)(cid:225)(cid:377)
(3)(cid:180)(cid:185)(cid:354)(cid:46)(cid:379)(cid:67)(cid:87)40km/h(cid:96)(cid:119)(cid:185)(cid:354)(cid:357)(cid:358)(cid:380)(cid:374)(cid:375)(cid:381)(cid:382)(cid:46)(cid:383)(cid:288)(cid:153)(cid:384)(cid:83)(cid:377)【题型8 勾股定理及其逆定理的综合求值】
(cid:15)(cid:72)8(cid:19)(cid:73)24-25(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:81)·(cid:244)(cid:245)(cid:385)(cid:244)·(cid:106)(cid:38)(cid:80)(cid:115)(cid:81)(cid:39)(cid:96)(cid:11)(cid:386)(cid:153)(cid:139)(cid:387)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:285)(cid:287) (cid:96)(cid:330)(cid:388)(cid:237)(cid:252)(cid:387)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:285)(cid:287)(cid:235)
(cid:389)(cid:29)(cid:111)(cid:25)(cid:32) (cid:269)(cid:24)(cid:31)(cid:32) (cid:96)(cid:235)(cid:236)(cid:390)(cid:391)(cid:44)(cid:336)(cid:125)(cid:290)(cid:46)(cid:334)(cid:335)(cid:71)(cid:178)(cid:214)(cid:347)(cid:96) 𝐴=𝐵𝐶90°(cid:96) =15(cid:96) =20(cid:96)
=35(cid:96)𝐴𝐵𝐷=𝐸40(cid:96) =𝐸5𝐷(cid:96)𝐶(cid:52)(cid:111)(cid:25)(cid:32) (cid:46)(cid:218)(cid:348)(cid:71)(cid:73)(cid:392)(cid:303)(cid:10)(cid:289)(cid:80) ∠𝐸𝐷𝐶 𝐷𝐶 𝐷𝐸
𝐷𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐴𝐵𝐷𝐸
(cid:15)(cid:97)(cid:98)8-1(cid:19)(cid:115)(cid:39) =90°(cid:96) =20(cid:96) =15(cid:96) =7(cid:96) =24(cid:96)(cid:52) (cid:46)(cid:67)(cid:35)(cid:71)
∠𝐵 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐷 ∠𝐷
+
A
A
科
(cid:15)(cid:97)(cid:98)8-2(cid:19)(cid:115)(cid:39)(cid:96)(cid:153)(cid:139)(cid:387)(cid:111)(cid:25)(cid:32)(cid:334)(cid:393) (cid:96) =90°(cid:96) ★=全4m(cid:96) =13m(cid:96) =12m(cid:96) =3
号
众
公
注
m(cid:96)(cid:380)(cid:334)(cid:393)(cid:46)(cid:218)(cid:348)(cid:87) m (cid:71) 𝐴𝐵𝐶关𝐷 ∠𝐴𝐷𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐷𝐶
，
源
辅2 资
教
(cid:15)(cid:97)(cid:98)8-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:81)·(cid:394)(cid:248)(cid:395)(cid:200)·(cid:106)(cid:38)(cid:80)(cid:15)(cid:396)(cid:397)(cid:41)(cid:398)(cid:130)(cid:19)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:399)(cid:400)(cid:401)(cid:402)(cid:403)(cid:96)(cid:172)(cid:46)(cid:54)(cid:187)(cid:384)(cid:336)(cid:384)(cid:404)(cid:96)
(cid:60)(cid:405)(cid:403)(cid:108)(cid:153)(cid:125)(cid:290)(cid:71)(cid:195)(cid:327)(cid:294)(cid:146)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:151)(cid:139)(cid:148)(cid:11)(cid:203)(cid:383)(cid:96)(cid:406)(cid:407)(cid:408)(cid:409)(cid:290)(cid:11)(cid:410)(cid:327)(cid:294)(cid:271)(cid:272)(cid:411)(cid:247)(cid:10)(cid:115)(cid:39)1(cid:96)(cid:252)(cid:95)(cid:48)(cid:233)(cid:234)(cid:412)
(cid:29)(cid:46)(cid:111)(cid:133)(cid:210)(cid:121)(cid:46)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:73)(cid:44)(cid:84)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:83)(cid:235)(cid:236)(cid:87)a(cid:96) > (cid:96)(cid:413)(cid:25)(cid:83)(cid:87)c(cid:80)(cid:269)(cid:139)(cid:133)(cid:25)(cid:83)(cid:87)c(cid:46)(cid:134)(cid:196)(cid:32)(cid:96)
(cid:254)(cid:414)(cid:237)(cid:172)(cid:410)(cid:216)(cid:29)(cid:139)(cid:133)(cid:39)(cid:32)(cid:96)(cid:380)(cid:39)(cid:32)(cid:26)(cid:415)(cid:54)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:71) 𝑏(𝑏 𝑎)
(cid:15)(cid:416)(cid:417)(cid:19)(1)(cid:115)(cid:39)2(cid:96)(cid:252)(cid:95)(cid:155)(cid:418)(cid:290)(cid:11)(cid:216)(cid:29)(cid:46)(cid:39)(cid:32)(cid:71)(cid:254)(cid:414)(cid:47)(cid:48)(cid:39)2(cid:415)(cid:54)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:71)
(2)(cid:139)(cid:133)(cid:419)(cid:128)(cid:46)(cid:32)(cid:120)(cid:115)(cid:39)3(cid:189)(cid:162)(cid:96)(cid:420)(cid:421)(cid:69)(cid:49)(cid:96)(cid:419)(cid:128)(cid:38) (cid:269) (cid:205)(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:96)(cid:422)(cid:95)(cid:62)(cid:37)(cid:419)(cid:128)(cid:71)(cid:115)(cid:39)4(cid:189)(cid:162)(cid:96)(cid:423)
(cid:281)(cid:407)(cid:424)(cid:214)(cid:425)(cid:419)(cid:128) =90°(cid:96) =39cm(cid:96) =3∠6𝐴cm𝐵𝐷(cid:96) ∠𝐶=9cm(cid:96) =12cm(cid:96)(cid:252)(cid:133)(cid:419)(cid:128)(cid:426)(cid:62)(cid:306)(cid:52)(cid:376)(cid:377)
(cid:254)(cid:22)(cid:23)(cid:427)(cid:186)(cid:55)(cid:50)∠(cid:215)𝐴(cid:71)𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷
【题型9 利用勾股定理及其逆定理解决无刻度的尺规作图】
(cid:15)(cid:72)9(cid:19)(cid:73)24-25(cid:181)(cid:100)(cid:101)(cid:40)·(cid:74)(cid:248)(cid:428)(cid:200)·(cid:201)(cid:86)(cid:202)(cid:203)(cid:80)(cid:85)(cid:86) (cid:46)(cid:367)(cid:45) (cid:96) (cid:195)6×6(cid:46)(cid:134)(cid:196)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:46)(cid:37)(cid:45)(cid:73)(cid:36)(cid:37)(cid:85)(cid:46)
(cid:198)(cid:45)(cid:80)(cid:40)(cid:96)(cid:254)(cid:429)(cid:48)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:46)(cid:30)(cid:68)(cid:195)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:420)(cid:306)(cid:52)(cid:70)(cid:39)𝐴(cid:71)𝐵 𝐴 𝐵
(1)(cid:195)(cid:39) (cid:38)(cid:430)(cid:141)(cid:37)(cid:45) (cid:96)(cid:427)(cid:93)(cid:258) (cid:96) (cid:96)(cid:241) = + (cid:263)
2 2 2 A +
(2)(cid:195)(cid:39)①(cid:38)(cid:70)(cid:141) 𝐶 (cid:46)(cid:431) (cid:96)𝐴𝐶(cid:427)(cid:30)𝐵𝐶(cid:258)(cid:265)(cid:141)𝐴𝐶 (cid:46)(cid:83)𝐴𝐵(cid:87)___𝐵_𝐶____(cid:71) 科 A
全
★
号
众
(cid:15)(cid:97)(cid:98)②9-1(cid:19)(cid:73)202△5·𝐴(cid:182)𝐵(cid:183)𝐶 (cid:432)(cid:200)𝐶·𝐻(cid:79)(cid:212)(cid:213)(cid:214)(cid:80)(cid:115)(cid:39)𝐶(cid:189)𝐻(cid:162)公(cid:46)(cid:36)(cid:37)(cid:95)(cid:134)(cid:196)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:96)(cid:119) + = (cid:73)(cid:45) (cid:96)
注
关
，
源
(cid:96) (cid:95)(cid:36)(cid:37)(cid:85)(cid:198)(cid:45)(cid:80)(cid:96)(cid:254)辅(cid:433)(cid:48)资(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:46)(cid:30)(cid:68)(cid:96)(cid:195)(cid:115)(cid:39)(cid:189)(cid:162)(cid:46)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:96)(cid:434)(cid:141)(cid:53)∠(cid:64)𝑃(cid:380)𝐴𝐵(cid:20)(cid:46)∠(cid:3)𝑃(cid:435)𝐵𝐴(cid:398)(cid:304)(cid:46)(cid:93)(cid:85)(cid:71)𝐴
教
𝐵 𝑃
(cid:15)(cid:97)(cid:98)9-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:40)·(cid:74)(cid:248)(cid:277)(cid:244)·(cid:106)(cid:315)(cid:80)(cid:115)(cid:39)(cid:95)4×4(cid:134)(cid:196)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:96)(cid:42)(cid:43)(cid:37)(cid:45)A(cid:96)B(cid:96)(cid:254)(cid:48)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:30)(cid:68)
(cid:420)(cid:306)(cid:52)(cid:70)(cid:39)(cid:71)
(1)(cid:195)(cid:39)1(cid:38)(cid:96)(cid:107) (cid:87)(cid:124)(cid:96)(cid:70)(cid:121)(cid:124) (cid:263)
(2)(cid:195)(cid:39)2(cid:38)(cid:96)(cid:107)𝐴𝐵(cid:87)(cid:413)(cid:25)(cid:96)(cid:70)(cid:30)(cid:31)△𝐴𝐵𝐶 (cid:96)(cid:241)(cid:60)(cid:218)(cid:348)(cid:167)(cid:155)(cid:71)
(cid:15)(cid:97)(cid:98)9-3(cid:19)(cid:73)24𝐴-𝐵25(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:40)·(cid:277)(cid:278)(cid:83)△(cid:436)𝐴𝐵·(cid:201)𝑀(cid:86)(cid:202)(cid:203)(cid:80)(cid:39) (cid:114)(cid:39) (cid:114)(cid:39) (cid:95)3×3(cid:46)(cid:134)(cid:196)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:96)(cid:206)(cid:133)(cid:155)(cid:134)(cid:196)
(cid:32)(cid:46)(cid:25)(cid:83)(cid:205)(cid:87)1(cid:71)(cid:85)(cid:86) (cid:46)(cid:367)(cid:45)(cid:195)(cid:37)(cid:45)(cid:40)(cid:71)(cid:433)(cid:48)(cid:65)(cid:66)(cid:67)①(cid:46)(cid:30)(cid:68)②(cid:96)(cid:195)(cid:140)(cid:49)③(cid:46)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:420)(cid:306)(cid:52)(cid:434)(cid:39)(cid:96)(cid:189)(cid:434)(cid:39)(cid:32)(cid:46)
𝐴𝐵(cid:197)(cid:45)(cid:154)(cid:195)(cid:37)(cid:45)(cid:40)(cid:96)(cid:125)(cid:306)(cid:52)(cid:265)(cid:141)(cid:434)(cid:187)(cid:96)(cid:427)(cid:179)(cid:437)(cid:70)(cid:39)(cid:438)(cid:439)(cid:71)
(1)(cid:195)(cid:39) (cid:38)(cid:107)AB(cid:87)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:434)(cid:139)(cid:133)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:241)(cid:172)(cid:46)(cid:218)(cid:348)(cid:87)3(cid:71)
(2)(cid:195)(cid:39)①(cid:38)(cid:107)AB(cid:87)(cid:25)(cid:434)(cid:139)(cid:133)(cid:121)(cid:124)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(cid:241)(cid:172)(cid:46)(cid:218)(cid:348)(cid:87)3(cid:71)
(3)(cid:195)(cid:39)②(cid:38)(cid:107)AB(cid:87)(cid:413)(cid:25)(cid:434)(cid:139)(cid:133)(cid:121)(cid:124)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:71)
③
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
