文档文本内容
专题 02 利用勾股定理求立体图形中的最短路径（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)2024(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:20)................................................................................................1
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:39)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:20)................................................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:40)(cid:41)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:20)....................................................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:40)(cid:42)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:20)....................................................................................................7
【题型1 利用勾股定理求正方体中的最短路径】
1(cid:43)(cid:44)24-25(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)·(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:53)(cid:33)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:39)(cid:64)3(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:65)(cid:66)(cid:34) (cid:67)(cid:68)(cid:65)(cid:66)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72) (cid:67)(cid:57)(cid:73)
(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:71)(cid:78)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:79)(cid:34)(cid:39)(cid:64)(cid:44) (cid:54) 𝐴 𝐵
A(cid:43)9 B(cid:43)3+ 3 C(cid:43)3 5 D(cid:43)3 3
2(cid:43)(cid:44)24-25(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:80)·(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:52)·(cid:53)(cid:33)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:64)(cid:58)(cid:84)(cid:85)(cid:39)(cid:86)6(cid:34)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:87)(cid:66)(cid:57)(cid:67) (cid:88)(cid:80)(cid:89)(cid:70)(cid:34)(cid:85)(cid:80)(cid:57) =2(cid:57)
(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62) (cid:67)(cid:90)(cid:91)(cid:68)(cid:87)(cid:66)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:78)(cid:72)(cid:67) (cid:57)(cid:92)(cid:60)(cid:61)(cid:71)(cid:78)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:93)(cid:64)(cid:44) (cid:54)𝑄 𝐴𝑄
𝑃 𝑄
A(cid:43)6 B(cid:43)8 C(cid:43)10 D(cid:43)12
3(cid:43)(cid:44)24-25(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:80)·(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:33)·(cid:53)(cid:33)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:68)(cid:97)(cid:63)(cid:39)(cid:86)2(cid:34)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:67) A(cid:90)(cid:91)(cid:57)(cid:98)(cid:99)3(cid:84)
(cid:70)(cid:71)(cid:78)(cid:72)(cid:67)B(cid:57)(cid:92)(cid:75)(cid:100)(cid:101)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:34)(cid:39)(cid:86)(cid:44) (cid:54)
教辅资源，关注公众号★全科AA+A(cid:43)3 5 B(cid:43) 17 C(cid:43)2 10 D(cid:43)2 13
4(cid:43)(cid:44)24-25(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:80)·(cid:94)(cid:50)(cid:102)(cid:103)·(cid:53)(cid:33)(cid:54)(cid:85)(cid:39)(cid:104)(cid:105)(cid:86)8cm(cid:57)6cm(cid:34)(cid:106)(cid:84)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:55)(cid:56)(cid:107)(cid:108)(cid:57)(cid:67)A(cid:57)B(cid:57)C(cid:88)(cid:109)(cid:58)(cid:110)
(cid:79)(cid:80)(cid:57)(cid:111)(cid:67)E(cid:88)(cid:85)BF(cid:80)(cid:57)(cid:67)P(cid:64)(cid:85)DK(cid:34)(cid:112)(cid:113)(cid:67)D(cid:34)(cid:114)(cid:115)(cid:104)(cid:67)(cid:43)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:77)(cid:68)(cid:97)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:67)A(cid:71)
(cid:72)(cid:67)P(cid:57)(cid:75)(cid:71)(cid:78)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:116)(cid:117)(cid:64)(cid:44) (cid:54)
A(cid:43)20cm B(cid:43)8 2cm C(cid:43)2 73cm D(cid:43)2 65cm
5(cid:43)(cid:44)2023·(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)·(cid:58)(cid:122)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:24)7(cid:84)(cid:85)(cid:39)(cid:86)1(cid:34)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:123)(cid:124)(cid:58)(cid:84)(cid:125)(cid:126)(cid:32)(cid:57)(cid:68)(cid:97)(cid:127)(cid:125)(cid:126)(cid:32)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:67)M
(cid:72)(cid:67)N(cid:34)(cid:128)(cid:129)(cid:37)(cid:38)(cid:33)(cid:57)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:34)(cid:39)(cid:64)(cid:44) (cid:54)
A(cid:43)5 B(cid:43) 5+2 2 C(cid:43)2 5+1 D(cid:43)2+ 2+ 5
6(cid:43)(cid:44)2025(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)·(cid:130)(cid:131)·(cid:132)(cid:21)(cid:133)(cid:134)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:135)(cid:136)(cid:34)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:137)(cid:138)(cid:34)(cid:85)(cid:39)(cid:86)2(cid:57) (cid:34)(cid:33)(cid:67)(cid:86)M(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)
(cid:62)(cid:137)(cid:139)(cid:34)(cid:67)D(cid:68)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:34)(cid:137)(cid:140)(cid:71)(cid:72)(cid:137)(cid:141)(cid:34)(cid:67)M(cid:44)(cid:137)(cid:140)(cid:34)(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:54)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:71)(cid:78)(cid:34)𝐵(cid:35)𝐶(cid:36)(cid:116)(cid:117)(cid:64) (cid:43)
教辅资源,关注公众号•全科AA+
7(cid:43)(cid:44)2025·(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)·(cid:58)(cid:122)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)A(cid:57)B(cid:104)(cid:105)(cid:64)(cid:85)(cid:39)(cid:86)1(cid:34)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:106)(cid:84)(cid:146)(cid:147)(cid:34)(cid:70)(cid:34)(cid:33)(cid:148)(cid:43)(cid:149)(cid:150)(cid:84)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:34)(cid:69)
(cid:70)(cid:151)(cid:152)(cid:124)(cid:153)(cid:70)(cid:56)(cid:154)(cid:155)(cid:57)(cid:67)A(cid:57)B(cid:156)(cid:157)(cid:34)(cid:35)(cid:18)(cid:116)(cid:117)(cid:64) (cid:43)
教辅资源，关注公众号★全科AA+8(cid:43)(cid:44)2025·(cid:118)(cid:119)(cid:158)(cid:159)·(cid:122)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:24)3(cid:84)(cid:85)(cid:39)(cid:86)1(cid:34)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:123)(cid:124)(cid:58)(cid:84)(cid:125)(cid:126)(cid:32)(cid:57)(cid:68)(cid:97)(cid:127)(cid:125)(cid:126)(cid:32)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:62)
(cid:67) (cid:72)(cid:67) (cid:34)(cid:128)(cid:129)(cid:37)(cid:38)(cid:33)(cid:57)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:34)(cid:39)(cid:64) (cid:43)
𝐴 𝐵
9(cid:43)(cid:44)23-24(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:80)·(cid:118)(cid:95)(cid:163)(cid:52)·(cid:164)(cid:165)(cid:133)(cid:134)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:88)(cid:85)(cid:39)(cid:86)3cm(cid:34)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:80)(cid:129)(cid:58)(cid:166)(cid:79)(cid:165)(cid:57)(cid:167)(cid:128)(cid:129)(cid:34)(cid:70)(cid:168)(cid:104)(cid:124)
9(cid:84)(cid:169)(cid:30)(cid:31)(cid:154)(cid:57)(cid:170)(cid:84)(cid:169)(cid:30)(cid:31)(cid:154)(cid:34)(cid:63)(cid:39)(cid:168)(cid:86)1cm(cid:43)(cid:171)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:170)(cid:172)(cid:71)(cid:78)2cm(cid:57)(cid:92)(cid:75)(cid:62)(cid:48)(cid:89)(cid:70) (cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:78)(cid:173)
(cid:174)(cid:175) (cid:67)(cid:35)(cid:176)(cid:77)(cid:177)(cid:178)(cid:39)(cid:179)(cid:157)(cid:180) 𝐴
𝐵
【题型2 利用勾股定理求长方体中的最短路径】
教辅资源,关注公众号•全科AA+
1(cid:43)(cid:44)2025(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)·(cid:181)(cid:120)·(cid:132)(cid:21)(cid:133)(cid:134)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:39)(cid:31)(cid:32)(cid:34)(cid:89)(cid:70)(cid:64)(cid:63)(cid:39)(cid:86)6(cid:34)(cid:30)(cid:31)(cid:154)(cid:57)(cid:175)(cid:70)(cid:168)(cid:64)(cid:39)(cid:86)13(cid:34)(cid:39)(cid:31)(cid:154)(cid:57)
(cid:67) (cid:64) (cid:34)(cid:33)(cid:67)(cid:57)(cid:88)(cid:39)(cid:31)(cid:32)(cid:48)(cid:89)(cid:70)(cid:34) (cid:67)(cid:182)(cid:129)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:57)(cid:75)(cid:183)(cid:184)(cid:72)(cid:80)(cid:89)(cid:70)(cid:67) (cid:182)(cid:34)(cid:185)(cid:186)(cid:57)(cid:92)(cid:68)(cid:97)(cid:69)(cid:70)(cid:76)(cid:77)(cid:71)
(cid:78)𝐷(cid:34)(cid:35)𝐵(cid:36)𝐶(cid:37)(cid:93) (cid:34)(cid:187)(cid:86)(cid:44) (cid:54) 𝐴 𝐷
𝑛
A(cid:43)2 73 B(cid:43)5 10 C(cid:43) 370 D(cid:43) 205
2(cid:43)(cid:55)(cid:56)(cid:64)(cid:107)(cid:88)(cid:188)(cid:70)(cid:80)(cid:34)(cid:58)(cid:84)(cid:39)(cid:31)(cid:32)(cid:137)(cid:138)(cid:57)(cid:189)(cid:33) =8cm(cid:57) =4cm(cid:57) =6cm(cid:57)(cid:67) (cid:88)(cid:85) (cid:80)(cid:57)(cid:190)
=2cm(cid:57)(cid:67) (cid:64) (cid:34)(cid:33)(cid:67)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:77)(cid:68)(cid:97)𝐴(cid:39)𝐵(cid:31)(cid:154)(cid:137)(cid:138)(cid:34)𝐵𝐶(cid:139)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:67)𝐵𝐹(cid:71)(cid:78)(cid:72)(cid:67) (cid:57)𝑀(cid:75)(cid:76)(cid:77)𝐴(cid:71)𝐵 (cid:78)(cid:34)(cid:35)(cid:36)
𝐴(cid:37)𝑀(cid:93)(cid:86)((cid:191)(cid:191)) 𝑁 𝐹𝐺 𝑀 𝑁
教辅资源，关注公众号★全科AA+A(cid:43)10cm B(cid:43)4 5cm C(cid:43)6 2cm D(cid:43) 2 13cm
3(cid:43)(cid:44)24-25(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:80)·(cid:192)(cid:193)(cid:39)(cid:194)·(cid:53)(cid:33)(cid:54)(cid:149)(cid:39)(cid:31)(cid:154)(cid:65)(cid:195) (cid:196)(cid:55)(cid:56)(cid:128)(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:57)(cid:200)(cid:201)
= = = = =1(cid:57)(cid:92)(cid:60)(cid:61)(cid:88)(cid:65)(cid:195)𝐴(cid:80)𝐵(cid:62)𝐶𝐷(cid:67) (cid:182)(cid:71)(cid:72)(cid:67) (cid:182)(cid:76)(cid:77)(cid:202)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:93)(cid:64)(cid:44) (cid:54)
𝐴𝐷 6,𝐴𝐺 𝐻𝐵 2.5,𝐸𝐺 𝐸𝐻 𝐴 𝐶
A(cid:43) 61 B(cid:43) 85 C(cid:43)10 D(cid:43) 113
4(cid:43)(cid:44)22-23(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)·(cid:141)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:206)(cid:178)(cid:207)·(cid:164)(cid:165)(cid:133)(cid:134)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:110)(cid:208)(cid:85)(cid:41)(cid:175)(cid:85)(cid:39)(cid:86)4cm(cid:57)(cid:89)(cid:70)(cid:64)(cid:39)(cid:86)5cm(cid:209)(cid:86)3cm
(cid:34)(cid:39)(cid:31)(cid:154)(cid:43)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:111)(cid:67)A(cid:90)(cid:91)(cid:68)(cid:85)(cid:41)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:111)(cid:67)B(cid:43)(cid:92)(cid:60)(cid:61)(cid:98)(cid:99)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:93) cm
5(cid:43)(cid:39)(cid:31)(cid:32)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:214)(cid:57)(cid:39)(cid:215)(cid:209)(cid:215)(cid:216)(cid:104)(cid:105)(cid:86)16cm(cid:215)6cm(cid:217)6cm(cid:57)(cid:88)(cid:214)(cid:141)(cid:67) (cid:182)(cid:129)(cid:58)(cid:169)(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:57)(cid:223)(cid:179)(cid:58)(cid:59)
(cid:60)(cid:61)(cid:30)(cid:224)(cid:88)(cid:214)(cid:139)(cid:140)(cid:57)(cid:88)(cid:39)(cid:31)(cid:154) (cid:33)(cid:148)(cid:34)(cid:30)(cid:80)(cid:31)2cm(cid:182)(cid:57)(cid:92)(cid:60)(cid:225)(cid:72)(cid:226)(cid:219)(cid:220)𝐸(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:116)(cid:117)(cid:64) cm(cid:43)
𝐴𝐵𝐶𝐷
6(cid:43)(cid:44)24-25(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:80)·(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:230)·(cid:164)(cid:165)(cid:133)(cid:134)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:88)(cid:58)(cid:84)(cid:39)4(cid:231)(cid:57)(cid:209)2(cid:231)(cid:34)(cid:39)(cid:31)(cid:154)(cid:232)(cid:188)(cid:80)(cid:57)(cid:107)(cid:97)(cid:58)(cid:233)(cid:39)(cid:31)(cid:32)
(cid:34)(cid:87)(cid:218)(cid:57)(cid:75)(cid:34)(cid:85)(cid:217)(cid:232)(cid:188)(cid:209) (cid:153)(cid:78)(cid:190)(cid:85)(cid:39)(cid:18)(cid:234) (cid:57)(cid:87)(cid:218)(cid:62)(cid:30)(cid:70)(cid:235)(cid:64)(cid:63)(cid:39)(cid:86)40(cid:236)(cid:231)(cid:34)(cid:30)(cid:31)(cid:154)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:67)A
(cid:182)(cid:72)(cid:226)(cid:67)C(cid:182)(cid:76)(cid:77)(cid:202)(cid:34)(cid:35)𝐴(cid:36)𝐷(cid:37)(cid:93)(cid:64) (cid:231)𝐴(cid:43)𝐷
教辅资源，关注公众号★全科AA+7(cid:43)(cid:44)22-23(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:80)·(cid:237)(cid:95)(cid:95)(cid:238)·(cid:164)(cid:165)(cid:133)(cid:134)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:89)(cid:70)(cid:86)(cid:30)(cid:31)(cid:154)(cid:34)(cid:135)(cid:136)(cid:39)(cid:31)(cid:154)(cid:137)(cid:138)(cid:34)(cid:39)(cid:215)(cid:209)(cid:215)(cid:216)(cid:104)(cid:105)(cid:86)
．．
20cm(cid:57)20cm(cid:57)30cm(cid:57)(cid:239) = =20cm(cid:57) =30cm(cid:57)(cid:240)(cid:88)(cid:111)(cid:67) (cid:182)(cid:129)(cid:58)(cid:241)(cid:186)(cid:242)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:55)(cid:243)(cid:77)(cid:68)(cid:97)(cid:39)(cid:31)
(cid:32)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:111)(cid:67) (cid:71)(cid:72) (cid:182)𝐸(cid:244)𝐹(cid:184)𝐹(cid:186)𝐺(cid:242)(cid:57)(cid:29)(cid:76)(cid:77)𝐶𝐺(cid:71)(cid:78)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:116)(cid:117)(cid:43)(cid:44)𝐶(cid:4)(cid:10)(cid:89)(cid:70)(cid:245)(cid:246)(cid:71)(cid:78)(cid:54)
𝐸 𝐶
【题型3 利用勾股定理求圆柱中的最短路径】
教辅资源,关注公众号•全科AA+
1(cid:43)(cid:44)24-25(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)·(cid:141)(cid:203)(cid:204)(cid:247)(cid:227)·(cid:53)(cid:33)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:34)(cid:89)(cid:70)(cid:248)(cid:39)(cid:86)6cm(cid:57) (cid:64)(cid:89)(cid:70)(cid:40)(cid:34)(cid:110)(cid:38)(cid:57)(cid:88)(cid:40)(cid:41)(cid:69)(cid:70)
(cid:34)(cid:216) (cid:80)(cid:129)(cid:58)(cid:67) (cid:57) = (cid:57) =6cm(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)A(cid:67)(cid:90)(cid:91)(cid:57)(cid:68)(cid:40)(cid:41)𝐴(cid:34)𝐵(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:78)(cid:72)(cid:67) (cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:93)(cid:64)
(cid:44) 𝐵(cid:54)𝐶 𝐷 𝐵𝐷 2𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐷
A(cid:43)6cm B(cid:43)5cm C(cid:43)3cm D(cid:43)2 13cm
2(cid:43)(cid:44)24-25(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:80)·(cid:49)(cid:50)(cid:249)(cid:250)·(cid:53)(cid:33)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:150)(cid:64)(cid:58)(cid:84)(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:224)(cid:255)(cid:256)(cid:24)(cid:34)U(cid:22)(cid:257)(cid:34)(cid:197)(cid:258)(cid:56)(cid:57)(cid:127)U(cid:22)(cid:257)(cid:245)
40
(cid:246)(cid:235)(cid:124)(cid:64)(cid:39)(cid:31)(cid:32)(cid:244)(cid:259)(cid:58)(cid:84)“(cid:260)(cid:40)(cid:41)”(cid:261)(cid:124)(cid:57)(cid:33)(cid:157)(cid:245)(cid:251)(cid:252)(cid:78)(cid:262)(cid:104)(cid:34)(cid:263)(cid:70)(cid:64)(cid:110)(cid:38)(cid:86) m(cid:34)(cid:260)(cid:40)(cid:57)(cid:189)(cid:63)(cid:264)
= =20m(cid:57)(cid:67)E(cid:88) (cid:80)(cid:57) =5m(cid:57)(cid:58)(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:224)(cid:255)(cid:62)A(cid:67)(cid:252)(cid:72)E(cid:67)(cid:57)𝜋(cid:92)(cid:265)(cid:252)(cid:78)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:116)(cid:117)(cid:266)(cid:86)
𝐴(cid:44)𝐵 (cid:54)𝐶m𝐷(cid:43)(cid:44)(cid:63)(cid:264)(cid:262)(cid:104)(cid:34)(cid:142)𝐶(cid:143)𝐷(cid:267)(cid:14)𝐶(cid:144)𝐸(cid:145)(cid:54)
A(cid:43)25 B(cid:43)5 73 C(cid:43)35 D(cid:43)20 2
4
3(cid:43)(cid:44)23-24(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:80)·(cid:268)(cid:52)(cid:269)(cid:50)(cid:120)·(cid:152)(cid:11)(cid:270)(cid:271)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:128)(cid:197)(cid:57)(cid:40)(cid:41)(cid:89)(cid:70)(cid:260)(cid:38)(cid:86) cm(cid:57)(cid:216)(cid:86)18cm(cid:57)(cid:67) (cid:57) (cid:104)(cid:105)(cid:64)
(cid:40)(cid:41)(cid:106)(cid:89)(cid:70)(cid:40)(cid:248)(cid:80)(cid:34)(cid:67)(cid:57)(cid:190) (cid:57) (cid:88)(cid:109)(cid:58)(cid:272)(cid:79)(cid:80)(cid:57)(cid:24)(cid:58)(cid:233)(cid:273)(cid:79)(cid:62) (cid:67)(cid:274)(cid:97)(cid:40)π(cid:41)(cid:175)(cid:70)(cid:275)3(cid:276)(cid:72) (cid:67)(cid:57)𝐴(cid:92)(cid:150)𝐵(cid:233)(cid:273)(cid:79)
𝐴 𝐵 𝐴 𝐵
教辅资源，关注公众号★全科AA+(cid:34)(cid:39)(cid:143)(cid:35)(cid:36)(cid:86)(cid:44)(cid:191)(cid:191)(cid:54)
A(cid:43)24cm B(cid:43)30cm C(cid:43)18cm D(cid:43)27cm
4(cid:43)(cid:44)23-24(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)·(cid:181)(cid:120)(cid:277)(cid:278)·(cid:53)(cid:222)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:171)(cid:40)(cid:41)(cid:34)(cid:89)(cid:70)(cid:248)(cid:39)(cid:64)9cm(cid:57)(cid:216)(cid:64)12cm(cid:57)(cid:62)(cid:40)(cid:41)(cid:89)(cid:262)A(cid:182)(cid:68)(cid:175)
(cid:70)(cid:279)(cid:275)(cid:58)(cid:276)(cid:280)(cid:79)(cid:72)(cid:111)(cid:262)B(cid:182)(cid:57)(cid:92)(cid:150)(cid:281)(cid:280)(cid:79)(cid:34)(cid:35)(cid:169)(cid:39)(cid:143)(cid:64) cm(cid:43)
5(cid:43)(cid:44)2025(cid:282)(cid:46)(cid:47)(cid:48)·(cid:130)(cid:131)·(cid:132)(cid:21)(cid:133)(cid:134)(cid:54)2024(cid:46)12(cid:283)4(cid:284)(cid:57)(cid:285)(cid:131)(cid:34)“(cid:194)(cid:286)”(cid:287)(cid:288)(cid:124)(cid:289)(cid:57)(cid:86)(cid:290)(cid:291)(cid:292)(cid:286)(cid:284)(cid:293)(cid:294)(cid:57)(cid:169)
(cid:295)(cid:296)(cid:145)(cid:297)(cid:298)(cid:299)(cid:58)(cid:281)(cid:300)(cid:301)(cid:57)(cid:196)(cid:55)(cid:56)(cid:128)(cid:197)(cid:34)(cid:31)(cid:302)(cid:62)(cid:40)(cid:41)(cid:34)(cid:67) (cid:182)(cid:279)(cid:275)(cid:72)(cid:40)(cid:41)(cid:34)(cid:67) (cid:182)(cid:44)(cid:67) (cid:88)(cid:48)(cid:89)(cid:70)(cid:57)(cid:67) (cid:88)(cid:80)(cid:89)
(cid:70)(cid:57)(cid:67) (cid:88)(cid:67) (cid:34)(cid:30)(cid:80)(cid:31)(cid:54)(cid:57)(cid:171)(cid:40)(cid:41)(cid:34)(cid:89)(cid:70)(cid:248)(cid:39)(cid:86)5dm(cid:57)𝐴(cid:216)(cid:86)7dm(cid:57)(cid:92)(cid:76)(cid:77)(cid:298)𝐵(cid:299)(cid:300)(cid:301)(cid:34)𝐴 (cid:39)(cid:143)(cid:35)(cid:36)(cid:86) 𝐵 dm(cid:43)
𝐵 𝐴
6(cid:43)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:40)(cid:41)(cid:34)(cid:89)(cid:70)(cid:248)(cid:39)(cid:86)24(cid:236)(cid:231)(cid:57)(cid:216) (cid:86)5(cid:236)(cid:231)(cid:57) (cid:64)(cid:89)(cid:70)(cid:110)(cid:38)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:67) (cid:90)(cid:91)(cid:68)(cid:97)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:34)
(cid:175)(cid:70)(cid:71)(cid:78)(cid:72)(cid:67) (cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:93)(cid:64) (cid:43)𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴
𝐶
7(cid:43)(cid:44)24-25(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:80)·(cid:181)(cid:120)(cid:303)(cid:52)·(cid:53)(cid:222)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:128)(cid:197)(cid:57)(cid:188)(cid:70)(cid:80)(cid:304)(cid:290)(cid:58)(cid:218)(cid:39)(cid:31)(cid:154)(cid:188)(cid:305) (cid:57)(cid:306)(cid:256)(cid:24)(cid:179)(cid:157)(cid:39)(cid:261)(cid:307)(cid:154)(cid:57)
8 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:33)(cid:157)(cid:154)(cid:124)(cid:58)(cid:84)(cid:260)(cid:40)(cid:41)(cid:34)(cid:308)(cid:309)(cid:57)(cid:260)(cid:40)(cid:41)(cid:34)(cid:89)(cid:70)(cid:110)(cid:38)(cid:86) m(cid:57)(cid:200)(cid:201) + =20m(cid:57) =10m(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62) (cid:67)
(cid:71)(cid:72) (cid:67)(cid:57)(cid:190)(cid:310)(cid:311)(cid:312)(cid:99)(cid:260)(cid:40)(cid:41)(cid:308)(cid:309)(cid:57)(cid:92)(cid:75)(cid:173)(cid:176)(cid:77)(cid:202) π m(cid:34)(cid:37)𝐴(cid:93)𝐸(cid:43)𝐵𝐹 𝐵𝐶 𝐴
𝐶
教辅资源，关注公众号★全科AA+8(cid:43)(cid:44)24-25(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)·(cid:94)(cid:50)(cid:313)(cid:314)·(cid:164)(cid:165)(cid:133)(cid:134)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:64)(cid:315)(cid:316)(cid:317)(cid:53)(cid:91)(cid:240)(cid:318)(cid:319)(cid:320)(cid:34)(cid:321)(cid:77)(cid:322)(cid:11)(cid:27)(cid:28)(cid:156)(cid:58)(cid:57)(cid:64)(cid:24)(cid:323)(cid:322)
(cid:324)(cid:183)(cid:325)(cid:326)(cid:125)(cid:126)(cid:327)(cid:21)(cid:321)(cid:77)(cid:34)(cid:328)(cid:329)(cid:156)(cid:58)(cid:57)(cid:330)(cid:64)(cid:322)(cid:154)(cid:331)(cid:332)(cid:34)(cid:333)(cid:301)(cid:156)(cid:58)(cid:57)(cid:75)(cid:144)(cid:334)(cid:306)(cid:319)(cid:320)(cid:31)(cid:335)(cid:336)(cid:90)(cid:144)(cid:337)(cid:338)(cid:339)(cid:97)(cid:315)(cid:340)(cid:57)
(cid:341)(cid:306)(cid:86)(cid:342)(cid:24)(cid:49)(cid:343)(cid:261)(cid:256)(cid:315)(cid:344)(cid:345)(cid:43)
(1)(cid:342)(cid:24)(cid:58)(cid:10)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:327)(cid:21)
6
(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:67) (cid:68)(cid:40)(cid:41)(cid:175)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:146)(cid:346)(cid:58)(cid:175)(cid:33)(cid:67) (cid:182)(cid:57)(cid:55)(cid:243)(cid:40)(cid:41)(cid:34)(cid:216)(cid:86)16cm(cid:57)(cid:40)(cid:41)(cid:34)(cid:89)(cid:70)(cid:260)(cid:38)(cid:86) cm(cid:57)
(cid:73)(cid:74)(cid:35)(cid:36)(cid:34)(cid:37)(cid:79)(cid:39)(cid:64)_ 𝐴 _____(cid:347) 𝐵 π
(2)(cid:342)(cid:24)(cid:348)(cid:10)(cid:325)(cid:326)(cid:349)(cid:350)(cid:327)(cid:21)(cid:43)
(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:351)(cid:7)(cid:352)(cid:129)(cid:58)(cid:353)(cid:354)(cid:57)(cid:353)(cid:354)(cid:355)(cid:356)(cid:179)(cid:57)(cid:357)(cid:253)(cid:117)(cid:188)(cid:34)(cid:358)(cid:110)(cid:216)(cid:143) =0.5m(cid:57)(cid:149)(cid:75)(cid:359)(cid:360)(cid:361)2m(cid:173) (cid:182)(cid:179)(cid:57)(cid:239)(cid:362)(cid:153)(cid:116)
(cid:117) =2m(cid:57)(cid:357)(cid:253)(cid:117)(cid:188)(cid:34)(cid:358)(cid:110)(cid:216)(cid:143) =1.5m(cid:57)(cid:75)(cid:34)(cid:363)(cid:364)(cid:365)(cid:366)𝐵(cid:367)𝐸 (cid:110)(cid:57)(cid:29)(cid:363)(cid:364) (cid:34)(cid:39)(cid:43) 𝐶
【 𝐶 题 𝐷 型4 利用勾股定理求圆锥中的 𝐶𝐹 最短路径】 𝐴𝐶
教辅资源,关注公众号•全科AA+
1(cid:43)(cid:44)2023·(cid:141)(cid:203)(cid:204)(cid:368)(cid:369)·(cid:33)(cid:270)(cid:370)(cid:21)(cid:54)(cid:351)(cid:371)(cid:11)(cid:372)(cid:69)(cid:373)(cid:374)(cid:375)(cid:376)(cid:57)(cid:77)(cid:377)(cid:378)(cid:58)(cid:111)(cid:40)(cid:42)(cid:154)(cid:34)(cid:169)(cid:379)(cid:380)(cid:43)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:150)(cid:84)(cid:40)(cid:42)(cid:34)
(cid:89)(cid:70)(cid:40)(cid:248)(cid:39)(cid:86)20 cm(cid:57)(cid:272)(cid:79) (cid:39)(cid:86)30cm(cid:57)(cid:86)(cid:290)(cid:256)(cid:380)(cid:138)(cid:341)(cid:381)(cid:382)(cid:57)(cid:77)(cid:383)(cid:384)(cid:300)(cid:301)(cid:385)(cid:78)(cid:386)(cid:387)(cid:57)(cid:189)(cid:33)(cid:76)(cid:77)(cid:383)(cid:384)(cid:58)(cid:281)
(cid:62)(cid:67)A(cid:182)(cid:152)(cid:365)(cid:57)π(cid:275)(cid:175)(cid:70)(cid:58)(cid:248)(cid:388)𝐴(cid:389)𝐵 (cid:72)(cid:67)A(cid:34)(cid:300)(cid:301)(cid:44)(cid:300)(cid:301)(cid:209)(cid:143)(cid:267)(cid:14)(cid:144)(cid:145)(cid:54)(cid:57)(cid:150)(cid:281)(cid:300)(cid:301)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:39)(cid:143)(cid:64)(cid:44) (cid:54)
v
A(cid:43)30 cm B(cid:43)30 3 cm C(cid:43)60 cm D(cid:43)20 cm
2(cid:43)(cid:44)24-25(cid:282)(cid:46)(cid:47)(cid:48)·(cid:130)(cid:131)·(cid:53)(cid:222)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:40)(cid:42)(cid:34)(cid:390)(cid:263)(cid:70)(cid:64)(cid:63)(cid:39)(cid:86)8cm(cid:34)(cid:30)(cid:114)π(cid:391)(cid:154) (cid:57) (cid:64)(cid:272)(cid:79) (cid:34)(cid:33)(cid:67)(cid:57)
(cid:92)(cid:88)(cid:40)(cid:42)(cid:34)(cid:175)(cid:70)(cid:80)(cid:62) (cid:67)(cid:72) (cid:67)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:79)(cid:34)(cid:39)(cid:86) (cid:43) 𝐴𝐵𝐶 𝑃 𝐴𝐶
𝐵 𝑃
教辅资源，关注公众号★全科AA+3(cid:43)(cid:44)24-25(cid:282)(cid:46)(cid:47)(cid:48)·(cid:130)(cid:131)·(cid:53)(cid:222)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:64)(cid:58)(cid:84)(cid:24)(cid:392)(cid:393)(cid:394)(cid:231)(cid:177)(cid:34)(cid:40)(cid:42)(cid:154)(cid:65)(cid:395)(cid:57)(cid:65)(cid:395)(cid:152)(cid:211)(cid:40)(cid:34)(cid:110)(cid:38) (cid:39)(cid:86)8cm(cid:57)
(cid:272)(cid:79) ( )(cid:39)(cid:86)8cm(cid:43)(cid:88)(cid:272)(cid:79) (cid:80)(cid:34)(cid:67)A(cid:182)(cid:129)(cid:58)(cid:218)(cid:394)(cid:231)(cid:177)(cid:396)(cid:397)(cid:57)(cid:190) =2cm(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:395)𝐸(cid:211)𝐹(cid:34)(cid:67)E(cid:182)
(cid:68)(cid:40)𝑂(cid:42)𝐸(cid:69)𝑂(cid:70)𝐹(cid:71)(cid:78)(cid:72)A(cid:67)(cid:57)(cid:92)(cid:223)(cid:60)𝑂𝐹(cid:61)(cid:71)(cid:78)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:116)(cid:117)(cid:86) cm(cid:43) 𝐹𝐴
4(cid:43)(cid:44)22-23(cid:282)(cid:46)(cid:47)(cid:80)·(cid:181)(cid:16)(cid:398)(cid:27)·(cid:53)(cid:222)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:169)(cid:320)(cid:24)(cid:260)(cid:38)(cid:86)20(cid:57)(cid:40)(cid:148)(cid:391)(cid:86) (cid:34)(cid:399)(cid:154)(cid:57)(cid:400)(cid:124)(cid:290)(cid:58)(cid:84)(cid:89)(cid:70)(cid:260)(cid:38)r
(cid:86)5(cid:34)(cid:40)(cid:42). 𝜃
(cid:44)1(cid:54)(cid:399)(cid:154)(cid:34)(cid:40)(cid:148)(cid:391) (cid:86) (cid:347)
(cid:44)2(cid:54)(cid:58)(cid:59)(cid:401)(cid:402)(cid:62)(cid:40)𝜃(cid:42)(cid:89)(cid:70)(cid:40)(cid:248)(cid:80)(cid:58)(cid:67)A(cid:90)(cid:91)(cid:57)(cid:68)(cid:40)(cid:42)(cid:34)(cid:175)(cid:70)(cid:71)(cid:78)(cid:58)(cid:248)(cid:155)(cid:389)(cid:72)(cid:67)A(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:93)(cid:64) .
5(cid:43)(cid:44)24-25(cid:282)(cid:46)(cid:47)(cid:80)·(cid:268)(cid:52)(cid:268)(cid:403)·(cid:53)(cid:33)(cid:54)(cid:200)(cid:201)(cid:40)(cid:42)(cid:34)(cid:89)(cid:70)(cid:260)(cid:38)(cid:86) =20cm(cid:57)(cid:216) =20 15cm(cid:57)(cid:240)(cid:129)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)
(cid:89)(cid:63)(cid:80)(cid:58)(cid:67)A(cid:90)(cid:91)(cid:57)(cid:88)(cid:175)(cid:70)(cid:80)(cid:71)(cid:78)(cid:58)(cid:248)(cid:155)(cid:388)(cid:389)(cid:72)A(cid:67)(cid:43) 𝑟 ℎ
(1)(cid:29)(cid:40)(cid:42)(cid:34)(cid:130)(cid:70)(cid:404)(cid:347)
(2)(cid:29)(cid:60)(cid:61)(cid:71)(cid:78)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:116)(cid:117)(cid:43)
6(cid:43)(cid:55)(cid:56)(cid:128)(cid:197)(cid:57)(cid:40)(cid:42)(cid:34)(cid:272)(cid:79)(cid:39)(cid:86)4(cid:57)(cid:89)(cid:70)(cid:40)(cid:260)(cid:38)(cid:86)1(cid:57)(cid:171)(cid:58)(cid:169)(cid:405)P(cid:62)A(cid:67)(cid:152)(cid:365)(cid:275)(cid:97)(cid:40)(cid:42)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:78)(cid:58)(cid:276)(cid:72) (cid:34)
(cid:33)(cid:67)C(cid:57)(cid:29)(cid:169)(cid:405)(cid:71)(cid:78)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:116)(cid:117)(cid:64)(cid:178)(cid:176)? 𝑆𝐴
教辅资源，关注公众号★全科AA+教辅资源，关注公众号★全科AA+
