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专题 17.4 运用勾股定理解决最短路径问题【八大题型】
【人教版】
【题型1 正方体中的最短路径】..............................................................................................................................1
【题型2 长方体中的最短路径】..............................................................................................................................2
【题型3 圆柱中的最短路径】..................................................................................................................................3
【题型4 圆锥中的最短路径】..................................................................................................................................4
【题型5 台阶中的最短路径】..................................................................................................................................6
【题型6 由垂线段最短求最短路径】......................................................................................................................7
【题型7 由将军饮马求最短路径】..........................................................................................................................8
【题型8 不规则图形中求最短路径】......................................................................................................................9
【题型1 正方体中的最短路径】
【例1】（23-24八年级·江西抚州·阶段练习）如图，在棱长为3cm的正方体上有一些线段，把所有的面都
分成9个小正方形，每个小正方形的边长都为1cm．若一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面A点沿表面
爬行至右侧B点最少要花多长时间？
【变式1-1】（23-24八年级·四川乐山·期末）如图，正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则一只蚂蚁
从M点沿盒子的表面爬行到A点的最短距离为（ ）A．❑√12 B．❑√13 C．❑√14 D．❑√17
【变式1-2】（23-24八年级·山东青岛·期中）如图，有一棱长为3dm的正方体盒子，现要按图中箭头所指
方向从点A到点D拉一条捆绑线绳，使线绳经过ABFE、BCGF、EFGH、CDHG四个面，则所需捆绑线
绳的长至少为（ ）dm．
A．15 B．9 C．3❑√13 D．5❑√10
【变式1-3】（23-24八年级·河南郑州·期中）棱长分别为5cm，3cm两个正方体如图放置，点P在E F
1 1
1
上，且E P= E F ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是
1 3 1 1
．
【题型2 长方体中的最短路径】
【例2】（23-24八年级·黑龙江佳木斯·期末）如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木
块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点A相对的顶点B处吃
食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）A． B． C． D．
(3+2❑√13)cm ❑√97cm ❑√85cm ❑√109cm
【变式2-1】（23-24八年级·全国·竞赛）如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，
为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点A开始经过四个侧
面绕到上底面的顶点B，如果缠绕的圈数是n，那么用在该建筑物上的灯线最短需要 米．
【变式2-2】（23-24八年级·安徽阜阳·期末）如图，在一个边长为6cm的正方形纸片ABCD上，放着一根
长方体木块，已知该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1cm的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块
到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 cm．
【变式2-3】（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，一个长方体蛋糕盒的长、宽、商分别为
40cm、30cm、20cm，点E到点D的距离为10cm．现有一只蚂蚁从点B出发，沿着长方体的表面爬行到
点E处，则蚂蚁需要爬行的最短距离是（ ）
A．10❑√29cm B．10❑√37cm C．50cm D．45cm
【题型3 圆柱中的最短路径】
【例3】（23-24八年级·广西北海·期中）如图，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，
若BC=6，点P移动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为（ ）A．4 B．4π C．8 D．10
【变式3-1】（23-24八年级·四川成都·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为12dm，圆柱高为9dm，在
圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 dm．
【变式3-2】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，圆柱底面圆的周长为6cm，CD、AB分别是上、下底面
的直径，高BC=3cm，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为
cm．
【变式3-3】（23-24八年级·广西河池·阶段练习）如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高AB=5，P点
1
位于圆周顶面 处，小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬回C点，则小虫爬行的最短路程为
3
．【题型4 圆锥中的最短路径】
【例4】（23-24八年级·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线
PB的中点，蚂蚁在圆锥侧面上从A爬到C的最短距离是 ．
【变式4-1】（23-24八年级·河北保定·期末）如图，小明用半径为20，圆心角为θ的扇形，围成了一个底
面半径r为5的圆锥.
（1）扇形的圆心角θ为 ；
（2）一只蜘蛛从圆锥底面圆周上一点A出发，沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是 .
【变式4-2】（23-24·内蒙古赤峰·中考真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，
这个圆锥的底面圆周长为20π cm，母线AB长为30cm，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中
需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度
是（ ）
v
A．30 cm B．30❑√3 cm C．60 cm D．20π cm
【变式4-3】（23-24八年级·安徽·单元测试）如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母
线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为（ ）A． B．2 C．3 D．4
【题型5 台阶中的最短路径】
【例5】（23-24八年级·重庆九龙坡·期中）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60cm、
30cm、10cm．A和B是台阶两个相对的端点，在B点有一只蚂蚁，想到A点去觅食，那么它爬行的最短路
程是（ ）
A．60cm B．80cm C．100cm D．140cm
【变式5-1】（23-24八年级·河北廊坊·阶段练习）如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、
宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点
处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（ ）
A．10dm B．20dm C．30dm D．36dm
3
【变式5-2】（23-24八年级·山东烟台·期中）如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为4m，
4
1
m和 m，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的
4
最短路线长度为（ ）A．3.5m B．4.5m C．5m D．5.5m
【变式5-3】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是20cm、长
是50cm、宽是40cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B，其爬行的最短线路的长度是 ．
【题型6 由垂线段最短求最短路径】
【例6】（12-13八年级·浙江杭州·阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D，E
分别是AB、AC的中点，在CD上找一点P，连接AP、EP，当AP+EP最小时，这个最小值是
．
【变式6-1】（23-24八年级·广西梧州·期中）如下图，某国道通过A、B两个村庄，而C村庄离国道较远，
为了相应政府“村村通公路”的号召，C村决定采用自己筹集一部分，政府补贴一部分的方法修建一条水
泥路直通国道，已知C村到A、B两村的距离分别为6km、8km，A，B两村的距离为10km，那么这条水
泥路的最短距离为多少？
【变式6-2】（23-24·四川宜宾·模拟预测）如图A，B，C为三个村庄，A，B两村沿河而建且相距17千
米，A，C相距5❑√2千米，B，C相距13千米，C村需从河边修建一条引水渠到村庄，每千米造价1.5万元，则费用最低为（ ）万元
15
A．6 B． ❑√2 C．4.5 D．7.5
2
【变式6-3】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，
BC=4，AB=5，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为
．
【题型7 由将军饮马求最短路径】
【例7】（23-24八年级·福建宁德·阶段练习）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他
的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短
路径是 km．
【变式7-1】（23-24八年级·云南昭通·期中）如图，河CD的同侧有A、B两个村，且AB=2❑√13km，A、
B两村到河的距离分别为AC=2km，BD=6km．现要在河边CD上建一水厂分别向A、B两村输送自来
水，铺设水管的工程费每千米需2000元．请你在河岸CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并
求出铺设水管的总费用w（元）．【变式7-2】（15-16八年级·江苏无锡·阶段练习）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．
千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造
发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，∠DAB=∠B=90°，
AC⊥DE．请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面
积之间的关系，可得到勾股定理：
S =
梯形ABCD
______，
S =______，
△EBC
S =______，
四边形AECD
则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理a2+b2=c2．
知识运用：
（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），
AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=25千米，BC=16千米，则两个村庄的距离为______千
米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供应站P，使
得PC=PD，求出AP的距离．
知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式 的最小值 ．
❑√x2+9+❑√(16−x) 2+81 (0
