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专题 13 勾股定理之蚂蚁行程模型综合应用（3 大类
型）
解题思路
几何体中最短路径基本模型如下：
基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直
角三角形，利用勾股定理求解
【典例分析】
【典例1】如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等于4cm，在圆柱
下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，
需要爬行的最短路程是多少？．（ 取3）
π【变式1-1】如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，
一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（ ）
A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm
【变式1-2】如图，一圆柱体的底面周长为 24cm，高BD为5cm，BC是直径，
一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的侧面爬行到点C的最短路程大约是（ ）
A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm
【典例2】（2021春•望城区期末）如图，长方体的长为 15cm，宽为10cm，高
为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到
点B，则蚂蚁爬行的最短距离是 cm．
【变式2-1】正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到
M点的最短距离为（ ）A． B． C．5 D．2+
【变式2-2】有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁
要从长方体的一个顶点 A处沿长方体的表面爬到长方体上和 A相对的顶点B
处，则需要爬行的最短路径长为（ ）
A．5 cm B． cm C．4 cm D．3 cm
【典例3】如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、
0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到 B点去
吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是 米．
【变式3】如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 7寸、5寸和
3寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可
口的食物，则它所走的最短路线长度是 寸．【夯实基础】
1.长方体的长为15，宽为10，高为20，点B在棱上与点C的距离为5，如图，
一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点B，则需要爬行的最短距离
是（ ）
A． B． C．25 D．
2．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花
圃内走出了一条“路”，踩伤了花草，则他们仅仅少走了 步路．（假
设2步为1米）
3．如图，一座桥横跨一河，桥长40m，一艘小船自桥北头出发，向正南方驶去，
因水流原因到达南岸后，发现已偏离桥南头9m，则小船实际行驶的距离
为 m．
4．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸
箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是 cm．5．如图一只蚂蚁从长为5cm、宽为3cm，高是4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱
爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 cm．
6．如图是棱长为4cm的立方体木块，一只蚂蚁现在A点，若在B点处有一块糖，
它想尽快吃到这块糖，则蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路程是 cm．
7．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边
长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下底面点 A沿表面爬行至
侧面的B点，最少要用 秒钟．
8．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是 2米、0.3米、0.2米，
A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的
食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是 米．
9．如图，有一个圆柱形仓库，它的高为 10m，底面半径为4m，在圆柱形仓库
下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃相对一侧中点B处的食物，蚂蚁爬行的速度是50cm/min，那么蚂蚁吃到食物最少需要 min．（ 取3）
π
10．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA 的端点A到达A ，若圆柱底
1 1
面半径为 ，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为 ．
11．一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm，
（1）请问：长为12.5dm的铁棒能放进去吗？
（1）如果有﹣只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程．
