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第 02 讲 相似三角形的性质及其判定
课程标准 学习目标
1. 掌握相似三角形的定义及其表示方法。
①相似三角形的定义
2. 掌握相似三角形的性质并能够熟练应用。
②相似三角形的性质
3. 掌握相似三角形的判定并能够熟练的判定相似三角
③相似三角形的判定
形。
知识点01 相似三角形的定义与性质
1. 相似三角形的定义：
如果两个三角形的对应边的比 ，对应角 ，那么这两个三角形相似。用符号
“∽”来表示。若△ABC相似于△DEF，A对应D，B对应E，C对应F。则表示为△ABC∽△EDF。对应边的比
叫做这两个三角形的 。
2. 相似三角形的性质：
①相似三角形的对应角 ，对应边的比 。②相似三角形（多边形）的周长的比等于 ；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角
平分线、对应边上的高）的比也等于 。
③相似三角形的面积的比等于 。
题型考点：①求相似三角形的相似比。②利用相似三角形的性质求值。
【即学即练1】
1．已知△ABC∽△DEF，若∠A＝30°，∠B＝80°，则∠F的度数为（ ）
A．30° B．80° C．70° D．60°
【即学即练2】
2．如图，△ADE∽△ABC，若AD＝1，BD＝2，则△ADE与△ABC的相似比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：2
【即学即练3】
3．若两个相似三角形的周长之比是1：2，则它们的面积之比是（ ）
A．1：2 B．1： C．2：1 D．1：4
【即学即练4】
4．如图，△ABC∽△ADE，S△ABC ：S四边形BDEC ＝1：2其中CB＝ ，DE的长为（ ）
A．6 B． C． D．5
【即学即练5】
5．若△ABC∽△DEF，△ABC的面积为 81cm2，△DEF 的面积为 36cm2，且 AB＝12cm，则 DE＝
cm．
【即学即练6】
6．如图，△ABC，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，且AD＝ AB，在AC上取一点E，使以A、D、E
为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（ ）
A． B．10
C． 或10 D．以上答案都不对
知识点02 相似三角形判定的预备定理
1. 判定预备定理内容：平行于三角形其中一边的直线与另两边或两边的延长线相交，所得到的三角形与原三角形 。
图1 图2
如图1：△AOE∽△ABC；如图2，△AOB∽△COD
题型考点：①利用预备定理进行相似三角形的判定。
【即学即练1】
7．如图，在△ABC中，点D在AB上，AD：BD＝1：2，DE∥BC交AC于E，下列结论中不正确的是（
）
A．BC＝3DE B．△ADE∽△ABC
C． D．
【即学即练2】
8．如图，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，求证：△ADE∽△DBF．
知识点03 相似三角形的判定定理1—三边成比例的两个三角形相似
1. 三边对应成比例的两个三角形相似：若两个三角形三边的 相等，则这两个三角形相似。
题型考点：①利用判定定理1判定三角形相似。
【即学即练1】
9．一个三角形的三边长分别为12cm，8cm，7cm，另一个三角形的三边长分别为16cm，24cm，14cm，这
两个三角形相似吗？为什么？
【即学即练2】
10．如图，O是△ABC内一点，D，E，F分别OA，OB，OC，上的点，DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC．求
证：△DEF∽△ABC．
知识点04 相似三角形的判定定理2—两边及其夹角判定
1. 判定定理2的内容：
两个三角形的两组对应边的 相等且这两组对应边的 相等的两个三角形相似。
题型考点：①利用判定定理2判定三角形相似。
【即学即练1】
11．如图，点C在△ADE的边DE上，∠1＝∠2， ，请说明△ABC∽△ADE．
【即学即练2】
12．如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB＝2，BD＝1，DC＝3，求证：△ABD∽△CBA．【即学即练3】
13．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝8，点P从B点出发沿BA方向以每秒1个单位移动，点Q从A出发
沿AC方向以每秒2个单位移动，当它们到达A、C后停止运动．试问经过几秒后，△ABC与△APQ相
似？请说明理由．
知识点05 相似三角形的判定定理3—两角判定
2. 判定定理3的内容：
两个三角形的两个角对应 ，则这两个三角形相似。题型考点：①利用判定定理3判定三角形相似。
【即学即练1】
14．如图，已知在△ABC 与△DEF 中，∠C＝54°，∠A＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°，求证：
△ABC∽△DEF．
【即学即练2】
15．已知：如图，∠1＝∠2＝∠3，求证：△ABC∽△ADE．
【即学即练3】
16．已知：如图AB为 O的直径，弦AC、BD相交于点P，
（1）证明图中的相似三角形；
⊙
（2）若AB＝3，CD＝1，AC＝2，求AP的长．
题型01 相似三角形的性质求线段
【典例1】
在△ABC中，BC＝15cm，CA＝45cm，AB＝63cm，另一个和它相似的三角形的最短边是5cm，则最长边是
（ ）A．18cm B．21cm C．24cm D．19.5cm
【典例2】
如图，在三角形ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一点AD＝12，在AB上取一点E，使A、D、E三
点组成的三角形与ABC相似，则AE＝ ．
【典例3】
如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF
的长．
【典例4】
如图，已知△AOB∽△DOC，OA＝2，AD＝9，OB＝5，DC＝12．求AB，OC的长．
题型02 相似三角形的性质求周长与面积
【典例1】
若△ABC∽△DEF，且面积比为4：9，其中△ABC的周长为6cm，则△DEF的周长是（ ）
A．4cm B．9cm
C．13.5cm D．9cm或13.5cm
【典例2】
两个相似三角形，其周长之比为3：2，则其面积比为（ ）A． B．3：2 C．9：4 D．不能确定
【典例3】
在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，则缩印出的三角形的面积是原
图中三角形面积的（ ）
A． B． C． D．
【典例4】
已知△ABC的三边分别是5，6，7，则与它相似△A′B′C′的最短边为10，则△A′B′C′的周长是
．
题型03 相似三角形的判定
【典例1】
如图，点C，F在线段BD上，AB∥DE， ，求证：△ABC∽△EDF．
【典例2】
如图，点D是△ABC外一点，∠DAE＝∠BAC，∠AEC+∠ACB＝180°．求证：△DAB∽△EAC．
【典例3】
如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点P在BC上，且∠APD＝90°．
求证：△ABP∽△PCD．【典例4】
在△ABC中，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F，E，连接EF．求证：
（1）△BAF∽△BCE；
（2）△BEF∽△BCA．
【典例5】
如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，点P由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，
同时点Q由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s，连接PQ，设运动时间为t
（s），解答下列问题：
（1）△BPQ的面积可能是为5cm2吗？为什么？
（2）在点P，Q的运动过程中，当t为何值时，△BPQ与△ABC相
似？并说明理由．
题型04 相似三角形的判定与性质
【典例1】
如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8．在BC的延长线上取一点B，使CE＝ BC，连接AE，AE与CD
交于点F．
（1）求证：△ADF∽△ECF；
（2）求DF的长．【典例2】
如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的长．
【典例3】
如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点，DF⊥AE于点E．
（1）求证： ；
（2）若AB＝4，BC＝6，求AF的长．【典例4】
小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题：
（1）如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，若∠ACP＝∠B，求证：△ACP∽△ABC；
（2）如图2，已知∠A＝81°，AC2＝AB•AD，BC＝BD，求∠ABC的度数．
题型04 相似三角形的应用
【典例1】
同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板
与光屏间距离的一半，当蜡烛火焰的高度AB为1.6cm时，所成的像A′B'的高度为（ ）
A．0.8cm B．2.4cm C．3.2cm D．4.8cm【典例2】
如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．如果标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12m，则楼高CD是
（ ）
典例2 典例3
A．9m B．9.6m C．10.2m D．11.2mm
【典例3】
如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边 DF保持
水平，边DE与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中DE＝18cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的
高度为1.8m，他与“步云阁”的水平距离CD为114m，则“步云阁”的高度AB是（ ）
A．74.2m B．77.8m C．79.6m D．79.8m
【典例4】
四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托
勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一
方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望
井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H．图2中，四
分仪为正方形ABCD．方井为矩形BEFG．若测量员从四分仪
中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2.5．则井深BG
为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
1．两个相似三角形的周长之比是 ，则它们的面积之比为（ ）
A．1：3 B．3：1 C． D．
2．如图，△ABC∽△ADE，S△ABC ：S四边形BDEC ＝1：2，其中 ，DE的长为（ ）A． B． C． D．6
3．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C． ＝ D． ＝
4．图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB∥CD，根
据图2中的数据可得x的值为（ ）
A．0.8 B．0.96 C．1 D．1.08
5．新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在5×5
的网格图形中，点A、B、C、D为不同的点且都在格点上，如果∠ADC＝∠ABC，那么图中所有符合要
求的格点D的个数是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
6．如图，点A，B，C，D为 O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE＝2，CD＝3，则AC
的长为（ ）
⊙
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
7．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝8，对角线AC与BD交于点O，点E是DC的延长线的一
个动点，连接OE交BC于点F，当CE＝1时，BF的长是（ ）A．6 B．6.2 C．6.75 D．7
8．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接CE，过点C作CF⊥CE交AD的延长线于点F，连接
EF，EF分别交CD、AC于点G、H，M是EF中点，连接DM，则下列结论：①BE＝DF；③FH•GE
＝CE2；③∠CDM＝45°；④若AE＝AH，则 ，正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
9．D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，如果∠A＝45°，AB＝2，AD＝1，AC＝3，那么要使△ABC和
△ADE相似，则AE＝ ．
10．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，如图所
示，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的
眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，则
旗杆AB的高度为 m．
11．将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边
形纸片ABCD如图所示，其中∠A＝∠C＝90°，AB＝7厘米，BC＝9厘米，CD＝2厘米，那么原来的直
角三角形纸片的面积是 平方厘米．
12．如图，四边形ABCD是正方形，点F是边AB上的一点，连接DF，点E是边BC延长线上的一点，且
DF⊥DE，连接AC交EF于点Q，若 ，AF＝1，则EF的长为 ．13．某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度AB．如图，塔前有一棵高4米的小树CD，
发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD＝57米，D、E之间有一个花圃距
离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿BE后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，
EG＝2.4米，测量者眼睛到地面的距离 FG为1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，点B、D、
E、G在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度AB．（平面镜的大小厚度忽略不计）
14．如图， ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形：
▱
（2）若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝3，求 的值．15．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A坐标为（0，3），顶点C坐标为（8，0），直线 交
AB于点D，点P从O点出发，沿射线OD方向以每秒a个单位长度的速度移动，同时点Q从C点出发
沿x轴向原点O方向以每秒1个单位长度的速度移动，当点Q到达点O时，点P停止移动．连接BP、
CP，设运动时间为t秒．
（1）点D的坐标为 ；
（2）当CP⊥OD时，求直线CP的表达式；（3）在点P、Q在运动的过程中，是否存在以点O、P、Q为顶点的三角形与△BCQ相似．若存在，请
直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
