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专题01 勾股定理中的最短路径模型
勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活
实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两
大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先
画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，
然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。
模型1.圆柱中的最短路径模型
【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下：
计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定
理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周
长的一半进行计算。
注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；
2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023春·山东临沂·八年级统考期末）如图，已知圆柱底面的周长为 ，圆柱高为 ，在圆柱的侧面
上，过点 和点 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）A． B． C． D．
例2．（2023·湖北十堰·统考一模）如图，这是一个供滑板爱好者使用的 形池，该 形池可以看作是一个
长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为 的半圆，其边缘
（边缘的宽度忽略不计），点 在 上， 一滑板爱好者从 点滑到 点，则他滑行的最短距离
为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023春·四川德阳·八年级校考期中）如图，圆柱底面半径为 ，高为 ，点A，B分别是圆柱
两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这
根棉线的长度最短为___________cm．
模型2.长方体中的最短路径模型
【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下：计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理
进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。
注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论；
2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2022·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）如图所示，在正三棱柱 中，已知
， ，一只蚂蚁从A点出发绕三棱柱侧面两圈到达点 ，则蚂蚁爬行的最短距离为
（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·广东·八年级校考期中）如图，长方体的长、宽、高分别为 ．如果一只小虫从
点 开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点 处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（
）A．5 B．4 C．6 D．7
例3．（2023秋·绵阳市·八年级专题练习）如图，一个长方体盒子，其中 ， ， 为 上靠
近 的三等分点，在大长方体盒子上有一个小长方体盒子， ， ， ，一只蚂蚁要沿着长
方体盒子的表面从点 爬行到 点，它爬行的最短路程为 ．
例4．（2023·湖北十堰·统考模拟预测）如图，一大楼的外墙面 与地面 垂直，点 在墙面上，
若 米，点 到 的距离是6米，有一只蚂蚁要从点 爬到点 ，它的最短行程是（ ）米
A．16 B． C．15 D．14
模型3.阶梯中的最短路径模型
【模型解读】阶梯中最短路径基本模型如下：注意：展开—定点—连线—勾股定理
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023秋·四川宜宾·八年级统考期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是4米、
0.7米、0.3米，A、B是这个台阶上两个相对的顶点，A点处有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物，则
蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是________米．
例2．（2023春·四川成都·九年级校考阶段练习）如图所示， 是长方形地面，长 ，宽
．中间竖有一堵砖墙高 ．一只蚂蚱从 点爬到 点，它必须翻过中间那堵墙，则它要
走的路程s取值范围是________．
例3．（2023春·重庆八年级课时练习）在一个长为 米, 宽为 米的长方形草地 上, 如图堆放着
一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽 ，木块的主视图是边长为1 米的正三角形， 一只
蚂蚁从 点 处到 处需要走的最短路程是______米．模型4.将军饮马与最短路径模型
【模型解读】将军饮马与最短路径基本模型如下：
解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决。
注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定
理求解。
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为 ，底面周长为 ，在
杯内壁离杯底 的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 且与蜂蜜相对的点A
处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（ ） ．（杯壁厚度不计）
A．20 B．25 C．30 D．40
例2.（2022·陕西·八年级期中）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高AB60cm，水深AE 40cm，
在水面线EF上紧贴内壁G处有一粒食物，且EG60cm，一只小虫想从水缸外的A处沿水缸壁爬到水缸
内的G处吃掉食物．（1）你认为小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短，请你画出它爬行的
最短路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）．例3．（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所
在直线 的距离分别为 ， ， ．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，
使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（ ）
A． B． C． D．
课后专项训练
1．（2023·辽宁沈阳·八年级校考期中）有一个如图所示的上底面是敞口的长方体透明玻璃鱼缸，其长
，高 ，宽 ，在顶点 处有一块面包屑，一只蚂蚁想从鱼缸外的 点沿鱼
缸侧面吃面包屑，蚂蚁爬行的最短路线长是（ ） ．A． B． C． D．
2．（2023春·广西玉林·八年级统考期末）如图，圆柱形玻璃杯高为 ，底面周长为 ，在杯内壁离
杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁
从外壁 处到内壁 处的最短距离（杯壁厚度不计）为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·山西吕梁·八年级统考阶段练习）如图，正方体的棱长为 ，已知点B与点C之间的距离为
，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川成都·八年级校考期中）有一圆柱体如图，高 ，底面周长 ， 处有一蚂蚁，若蚂蚁
欲爬行到 处，求蚂蚁爬行的最短距离为( )A．3 B． C．8 D．5
5．（2023·陕西榆林·八年级校考期中）如图，圆柱的底面周长为 ， 是底面圆的直径，在圆柱表面
的高 上有一点 ，且 ， ．一只蚂蚁从点 出发，沿着圆柱体的表面爬行到点 的
最短路程是 ．
6．（2023·江苏·八年级专题练习）如图是一个长为6cm、宽为3cm、高为4cm的长方体木块．一只蚂蚁要
沿着长方体的表面从左下角的点A处爬行至右上角的点B处，那么这只蚂蚁所走的最短路线的长为
cm．
7．（2023春·湖南永州·八年级校考阶段练习）如图，有一个长方体，长、宽、高分别为6，4，4，在长方
体的底面A处，有一蚂蚁，它想吃长方体上面与A相对的B点处的食物，那么最短需要爬行的路程是
．
8．（2023春·陕西西安·八年级统考期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高 厘米，底面周长厘米，在杯口内壁离杯口 厘米的 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁， 的相对方向有一小虫 ，小虫
离杯底的垂直距离为 厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是 厘米．
9．（2023春·重庆江津·八年级校考阶段练习）如图，圆柱的底面周长为10， ，动点 从A点出发，
沿着圆柱的侧面移动到点 ，则移动的最短距离为
10．（2023春·吉林·八年级统考期中）如图，已知圆柱底面直径 ，高 ．小虫在圆柱
表面爬行，先从点C爬行到点A．再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为 ．
11．（2023春·安徽芜湖·八年级校考阶段练习）已知 ，且x，y均为正数，则 的最
小值是 ．
12．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和
3寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路
线长度是 寸．13．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，圆柱底面半径为 ，高为 ，点A，B分别是圆柱两底
面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉
线的长度最短为 cm．
14．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体
去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘 ，点 在
上， ．一名滑雪爱好者从 点滑到 点时，他滑行的最短路程约为 （ 取3）．
15．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，长方体盒子的长、宽、高分别为4 ，3 ，5
．
（1）一根长7 的木棒能否放人盒子里？__________（选填“能”或“不能”）（2）一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，蚂蚁爬行的最短行程为__________ ．
16．（2023春·山东临沂·八年级统考期中）如图，透明圆柱的底面半径为6厘米，高为12厘米，蚂蚁在圆
柱侧面爬行．从圆柱的内侧点 爬到圆柱的外侧点 处吃食物，那么它爬行最短路程是 厘米．
17．（2022·内蒙古包头·九年级统考自主招生）圆柱的高为 ，底面半径为 ，点B离地面 ，一
只蜘蛛以 的速度从底面上的点A处绕曲面到达点B捕食被网到的昆虫，蜘蛛到昆虫所在点B所用最
短时间是多少？（π取3）
18．（2023春·广西贺州·八年级统考期中）如图，某工厂 前面有一条笔直的公路 ，原来有两条路 ，
可以从工厂 到达公路，经测量 ， ， ，现需要修建一条路，使工厂
到公路的路程最短．请你用尺规作图画出最短路径（不写画法，保留作图痕迹），并求出新建路的长．
19．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离
分别为 ， ， ，现在要在河岸 上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要
求水厂E到A、B两村的距离之和最短．(1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．
20．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求
代数式最小值的问题，如，“求代数式 的最小值”．小强同学发现 可看作两
直角边分别为x和2的直角三角形斜边长， 可看作两直角边分别是 和4的直角三角形的
斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段AB的长，进而求得 的最小值
是______．
（2）类比迁移：已知a，b均为正数，且 ．求 的最小值．
（3）方法应用：已知a，b均为正数，且 ， ， 是三角形的三边长，求这个三
角形的面积（用含a，b的代数式表示）．
