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第二十章 勾股定理
知识点01 勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a，b c a2 b2 c2
如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为 ，斜边长为 ，那么 .
知识点02 勾股定理证明
（1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中 ，所以 .（2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中 ，所以 .
（3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以 .
知识点03 勾股定理逆定理
a，b，c a2 b2 c2
1.定义：如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
c
（1）首先确定最大边（如 ）.
c2 a2 b2 c2 a2 b2
（2）验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若
c2 a2 b2
，则△ABC不是直角三角形.
知识点04 勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
知识点05 勾股定理的应用
1.解决实际问题：勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直
角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边
的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.
2.平面展开图-最短路径问题
几何体中最短路径基本模型如下：
基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用
勾股定理求解
易错点1 勾股定理与网格问题**易错总结**
1. **格点距离误算**：直接数格子当长度，忽略网格单位长度，误将格点数当距离。
2. **直角三角形误判**：仅凭视觉认为三点构成直角，未用勾股定理逆定理验证。
3. **面积计算错误**：在网格中构造直角三角形时，直角边找错导致斜边计算错误。
4. **无理数表示不当**：计算结果为无理数时，未化为最简二次根式或精确值。
**注意事项**：
- **明确单位**：确认每个小方格边长(通常为1)，用坐标差计算距离。
- **逆定理验证**：先算三边平方，看是否满足 \(a^2+b^2=c^2\)。
- **构造技巧**：斜着线段用直角三角形网格法求长度。
- **结果化简**：根式要化为最简形式，分母有理化。
【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1， ， ， 三
点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．点 到直线 的距离是2
【变式】（24-25八年级下·广东珠海·月考）如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格， 的三
个顶点都在网格中的格点上．
(1)求 的周长；(2)判断 的形状，并求 边 上的高；
(3)若以点A，B，C，D为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有D点的位置．
易错点2 勾股定理与折叠问题
**易错总结**
1. **对应关系混乱**：折叠后哪些边相等、哪些角相等找不准，常将不对应的边当作相等。
2. **方程设列不当**：未知数设错(如直接设所求线段，而不设中间量)，导致方程复杂难解。
3. **勾股定理用错三角形**：在非直角三角形中用勾股定理，或找错直角边。
4. **忽略折叠性质**：折叠前后图形全等，但折叠后有些点、线位置变化未考虑。
**注意事项**：
- **标等量**：折叠后相等的边、角在图上标出相同符号。
- **找直角三角形**：在图中找出含未知数的直角三角形，用勾股列方程。
- **巧设未知数**：通常设所求线段为x，用含x的式子表示其他边。
- **验证合理性**：解出的边长要符合三角形三边关系。
【例2】（25-26八年级上·河南·期末）在长方形 中， ， ，点 在 边上， ，
将 沿 折叠，点 的对应点为点 ，若点 恰好落在长方形 的对称轴上，则 ．
【变式】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在 中， ，点 为 上一个动点，
连接 ，将 沿 折叠得到 ，点 的对应点为 ，连接 ，若 ， ，当
为直角三角形时，线段 的长为 ．
易错点3 验证勾股定理证明方法
**易错总结**1. **面积关系错误**：用不同方法表示同一个图形面积时，漏掉某些部分或重复计算。
2. **图形构造偏差**：拼图验证时，图形拼接不严谨，导致边角关系对应错误。
3. **代数化简出错**：得到面积等式后，代数恒等变形时符号、系数处理错误。
4. **特殊化局限**：仅用等腰直角三角形验证，误以为对所有直角三角形成立。
**注意事项**：
- **同一图形两种算法**：用两种方法计算整个图形面积，列等式。
- **图形准确**：拼图时确保三角形全等，四边形为正方形。
- **代数仔细**：展开、合并同类项要步步为营，避免跳步。
- **一般性验证**：用字母表示边长，推导过程不依赖具体数值。
【例3】（25-26八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考
美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角
形较长直角边为 ，较短直角边为 ，斜边长 ，用面积法得到直角三角形三边长 、 、 之间的一个重
要结论： ．
(1)已知： ， ， ， ．求证 ．
下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整：
证明：∵四个直角三角形全等，且 ， ，
∴正方形 的边长为__________，
∵ ，且 （等面积法），
∴ __________＋__________ ，
∴ ．
(2)如图2，四边形 是直角梯形， ， ， ， ，
其中 ， ．
①求证： ；②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形 的面积，并证明： ．
(3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，
若 ， ，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________．
【变式】（25-26八年级上·上海奉贤·期末）综合与实践
勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠，被誉为“几何学的基石”．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，
其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至还有国
家总统（如美国前总统加菲尔德）．
某数学兴趣小组对勾股定理的证明方法也非常感兴趣，对勾股定理的证明进行了以下探究活动：
探究活动一：
（1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成 ，用它可以证明勾股定理，思路是
大正方形的面积有两种求法，一种是等于 ，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，
即___________（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论 ．
如图2是美国前总统加菲尔德的证法的图形，梯形面积可以等于___________或___________、___________
（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论 ．
探究活动二：
（2）受总统证法的启发，数学兴趣小组发现把总统证法中其中一个直角三角形进行平移后拼成一个新的
图形（如图3），也可以证明．梯形 面积，一种等于___________，另一种等于直角三角形 和四
边形 的面积和，即___________（其中四边形 的面积用仅含 的代数式表示）（答案不需要整
理），从而得到等式并化简得出结论 ．
数学兴趣小组发现利用两个全等的直角三角形拼成一个合适的图形就可以完成证明，于是想到把赵爽弦图
中的四个全等直角三角形中只取其中 和 拼出四边形 （如图4）尝试证明，请你帮
助完成证明（简要说理）．探究活动三：
（3）数学兴趣小组通过上述探究活动发现了所拼成的图形中两个直角三角形的两条斜边的位置关系是
___________；请你设计一个利用两个全等的直角三角形拼成的合适的图形（与以上如图形不重复），画
出图形并简要说理．
易错点4 勾股定理与逆定理的综合问题
**易错总结**
1. **定理选择混淆**：已知直角三角形求边用逆定理，已知三边判直角用定理，方向常颠倒。
2. **最大边误判**：用逆定理判断直角时，未先找出最大边，误将小边平方和与大边平方比较。
3. **隐含直角忽略**：图形中有直角未标出，需先证明垂直才能用勾股定理计算。
4. **多解情况遗漏**：已知两边求第三边时，未考虑第三边是直角边或斜边两种情况。
**注意事项**：
- **分清已知求证**：明确已知的是边关系还是直角关系，再选定理。
- **先比大小**：判断直角时，先找出最长边，再验证平方关系。
- **证垂再用勾股**：需垂直才能用勾股定理，先证明垂直。
- **分类讨论**：已知两边未指明直角边时，分情况计算第三边。
【例4】（25-26八年级上·陕西西安·月考）小明坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路
线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是 和 ．已知 ，
，点C在点B的正东方 处，点D在点C的正北方 处．
(1)试判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)如果小亮沿着 的路线跑，爸爸沿着 的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更
短．
【变式】（25-26八年级上·河北保定·期末）某小区计划在临街的拐角建造一块绿地（图中阴影部分），并
在绿地中开辟一条小路 ．下图是施工图纸， ，其中 的长度不小心被污染了，但知道 比 长 ．
(1)请你帮忙计算出 的长度；
(2)判断 的度数并说明理由；
(3)求这片绿地（即四边形 ）的面积是多少？（小路忽略不计）
一、单选题
1．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在长方形 中， ，将 沿 折叠，
使点 恰好落在对角线 上的点 处，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定
理的是（ ）
A． B． C． D．3．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点 ， ， 都
在格点上，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）把等腰直角 按如图所示的方式折叠，已知 ，则
下列说法：① 平分 ；② 是等腰三角形；③ ；④ 的周长等于 的长．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
二、填空题
5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，长方形纸片 ，将这张长方形纸片翻折，
点 落到 边点 处，点 落到点 处，折痕交边 于点E，F，若 ，则 的长为
．6．（25-26八年级上·山西晋中·期末）如图，在 中，点 在边 上，已知 ， ，
，点 在 上，且 ，若 ，则 的长为 ．
7．（25-26八年级上·天津南开·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点
叫格点． 的顶点A，B，C均在格点上．
（1） 度；
（2）取格点D，连接 ，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在线段 上画出点P，使得
，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
8．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，已知等腰 中， ， ，E是 上的一
个动点，将 沿着 折叠到 处，再将边 折叠到与 重合，折痕为 ，当 是等腰
三角形时， 的长是 ．三、解答题
9．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在 中，点 在边 上，连接 ， ，
， ， ．
(1)求证： ；
(2)求 的面积．
10．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C
均在格点上．
(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)求 的面积．
11．（25-26八年级上·山东日照·期末）如图1是某超市的购物车，如图2为其侧面简化示意图，测得支架
， ，两轮中心的距离 ，滚轮半径 ．
(1)判断支架 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离 ， ，且 ， 和 都与地面平
行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离（结果保留小数点后一位， ）．12．（25-26八年级上·江苏苏州·周测）已知 ， ， ， 为坐标原点．
(1) 的面积为______；
(2)判断 的形状并说明理由；
(3)在 轴上有一点 ，使得 是等腰三角形，直接写出点 的坐标．
13．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在 中 ， ， ，且m，n满足
，D，E分别是边 ， 上的动点，连接 ．将 沿直线 折叠得到 ，
点F恰好落在边 上．
(1)求证： 是直角三角形；
(2)如图1，若D为 的中点，求证： ；
(3)如图2，若F为 的中点，判断线段 ， 与 之间的数量关系，并说明理由．
14．（25-26八年级上·上海松江·期末）综合与实践
【阅读理解】
背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着智慧．赵爽的证明方法是：制作四个全等的直角三角形，
直角边长分别记为a、b（ ），斜边长记为c．用这四个直角三角形拼成如图1所示的正方形（赵爽弦
图）．用它可以证明勾股定理．证明思路是：大正方形的面积有两种求法，方法1：利用正方形面积公式
算得大正方形面积为 ；方法2：把大正方形面积看作四个直角三角形与中间一个小正方形的面积之和．再根据以上结果，就可以证明勾股定理．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我
们称之为“双求法”．
（1）请根据上面的叙述，给出勾股定理证明过程．
【方法运用】
根据背景介绍，探索勾股定理新的证法：把两个全等的直角三角形 和 如图2放置（其中B、
D、C在同一条直线上，A、F、D在同一条直线上），其中 ， ， ，
延长 与 交于点E．
（2）连接 ，请利用“双求法”证明： ；
【应用拓展】
（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，测得 米，
米．后来为了方便村民就近取水，决定在河边新建第三个取水点H（A、H、B在同一条直线上），
要求 的长度最短．求新修道路 的长．
