文档内容
专题20.6 勾股定理中的最短路径模型
（第二十章 勾股定理）
【人教版八下 新教材】
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知识简介 明确目标..........................................................................1
四大模型精讲...............................................................................1
模型精讲1.圆柱中的最短路径模型.........................................................1
模型精讲2.长方体中的最短路径模型.......................................................2
模型精讲3.阶梯中的最短路径模型.........................................................3
模型精讲4.将军饮马与空间最短路径模型...................................................3
模型分类讲练...............................................................................4
模型讲练一：圆柱中的最短路径模型.......................................................4
模型讲练二：长方体中的最短路径模型.....................................................5
模型讲练三：阶梯中的最短路径模型.......................................................7
模型讲练四：将军饮马与空间最短路径模型.................................................9
优选题闯关训练............................................................................11
勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、
生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可
以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短
路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化
为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。
模型精讲1.圆柱中的最短路径模型条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点
B。
结论：彩带最短需要厘米．
证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接 ，
根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是 的长度，
由勾股定理得， ，则这条丝线的最短长度是厘米，
注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；
2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。
模型精讲2.长方体中的最短路径模型
条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞
b）。
结论：蚂蚁爬行的最短路程是
证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时， ；则 ；
如图，当长方体的侧面按图乙展开时， ；
则 ；
如图，当长方体的侧面按图丙展开时， ；
则 ；
∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故 ＞ ＞
∴蚂蚁所行的最短路线长为 ，
注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论；
2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。
模型精讲3.阶梯中的最短路径模型
条件：如图一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端点，
点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。
结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点 的最短路程为
证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h，
∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到 点最短路程是此长方形的对角线的长，
则由勾股定理得 ；
则蚂蚁沿着台阶面爬到 点最短路程是 ．注意：展开—定点—连线—勾股定理
模型精讲4.将军饮马与空间最短路径模型
条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离
容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处，
结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。
证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点 ，过 作 交B的延长线于D，
则四边形 是矩形，∴ ， ，连接 ，则 即为最短距离，
∵由题意得， （ ）， =a（ ）， （ ），
在 中， （ ）．
注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定
理求解。
模型讲练一：圆柱中的最短路径模型
【典例分析】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，圆柱高9厘米，底面周长24厘米，一只蚂蚁在圆柱
底部外壁的点A处，点B在圆柱外壁与点A相对且距上表面4厘米处，这只蚂蚁从点A爬行到点B的最短路
程为 厘米．【变式训练1】（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，有一个圆柱形的礼盒，上下底面圆上有相对的
A，B两点，现要用一条丝带装饰礼盒，丝带沿侧面缠绕礼盒一圈，并且经过A，B两点．若礼盒高10cm，
底面圆的周长为48cm，那么需要丝带的长度最少为 cm．
【变式训练2】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，
如图所示，每根雕龙木柱高AD为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面
盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 米．
【变式训练3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，圆柱的底面周长为24cm，高AB为5cm，BC
是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿侧面爬行到点C，则爬行的最短路程为（ ）
A．29cm B．17cm C．13cm D．❑√601cm
【变式训练4】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图所示的示意图是滑板爱好者使用的U型池，该U
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型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 米的半圆，
π
AB=CD=16米，点E在CD上，CE=4米．若一名滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短距离为
（ ）A．18米 B．20米 C．30米 D．2❑√305米
模型讲练二：长方体中的最短路径模型
【典例分析】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，一个长方体形状的盒子（有盖）的长、宽、高
分别是6cm，3cm，2cm，一只蚂蚁想从盒底的点A处沿盒的外表面爬到盒顶的点B处，蚂蚁爬行的最短
路程是 cm．
【变式训练1】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着
长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ．
【变式训练2】（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点B与点
C的距离为2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．求蚂蚁需要爬行的最短距离．【变式训练3】（25-26八年级上·四川内江·期末）如图，若正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则
一只蚂蚁从M点沿盒子的表面爬行到A点的最短距离为（ ）
A．3 B．❑√13 C．❑√15 D．❑√17
【变式训练4】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长为3cm，
高为10cm．在其侧面从顶点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至顶点B停止，则彩条的长度最短为
（ ）
A．24cm B．25cm C．26cm D．27cm
模型讲练三：阶梯中的最短路径模型
【典例分析】（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图，在一个长AB为7m，宽AD为4m的长方形草
地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为1m的正方形，一只蚂
蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是多少？【变式训练1】（25-26八年级上·贵州·期末）【问题情境】
贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四
级台阶每一级的长、宽、高分别为15dm,3dm,2dm，如图1所示．A和B是这个四级台阶两个相对的端点，
若点A处有一只蚂蚁，它想到点B处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？
（1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接AB，经
过计算得到AB长度即为最短路程，则AB=______________dm．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是10cm，高是15cm，一只蚂蚁从点A出发沿着
玻璃杯的侧面到与点A相对的点B处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底6cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子
外壁，离杯子上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程是多少厘米？（杯
壁厚度不计）
【变式训练2】（2025八年级上·四川成都·专题练习）如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长
方体的木块，已知AD=12m，AB=3m，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1米的正方形，一
只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（ ）
A．13m B．10m C．6❑√5m D．3❑√17m【变式训练3】（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，A和B是一个三级台阶两个相对的端点，点A
处有一只蚂蚁想到点B处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为8，3和2，则这只蚂
蚁沿着台阶面爬行的最短路程为 ．
【变式训练4】（25-26八年级上·全国·期末）在一个长为5米、宽为3米的长方形草地ABCD上，放着
一个正三棱柱木块（如图），它的侧棱平行于AD，木块的主视图是边长为1米的正三角形．一只蚂蚁从点
A处到点C处需要走的最短路程是 米．
模型讲练四：将军饮马与空间最短路径模型
【典例分析】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，圆柱的高为13cm，底面周长为10cm，在圆柱
的下底面点A处有一只蚂蚁，它想吃到与点A相对、离上底面1cm的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬
行的最短路径示意图是（ ）
A． B．
C． D．【变式训练1】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，
图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题．
比如 的几何意义是以 ， 为直角边的直角三角形斜边长，故当 求 的
❑√a2+b2 a b 00）：
①解方程： ；
❑√36−x2+❑√64−x2=10
②求代数式 的最大值．
❑√(x+4) 2+16−❑√x2+1
【变式训练2】（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高
为12cm，底面周长为16cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．20cm B．❑√208cm C．10cm D．❑√292cm
【变式训练3】（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为
20dm，3dm，2dm，A和B是这个三级台阶两个相对的端点，若A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食
物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接AB，经过计算得到
AB长度即为最短路程，则AB= dm．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发沿
着玻璃杯的侧面到与点A相对的点B处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此
时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程
是多少厘米？（杯壁厚度不计）
【变式训练4】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图所示，已知圆柱的一个底面周长为36，高1
AB=5，点P在圆柱上底面的圆周上，点B距点P在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的 ，AC为
3
下底面圆的直径，小虫在圆柱外侧面爬行，从点A处爬到点P处，然后再从点P处爬到点C处，则小虫爬行
的最短路程为 ．
1．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，底面周长为12，高为8的圆柱体，在圆柱下底面A有一只
蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的食物B，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
2．（25-26八年级上·广东梅州·期中）某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行1.6km后，
再向北飞行1.2km抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．
若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（ ）
A．1.8km B．2.0km C．2.1km D．3.0km
3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，圆柱的底面周长是6cm，圆柱高为8cm，一只蚂蚁如果要
沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（ ）A．11cm B．❑√71cm C．10cm D．❑√73cm
4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，
每根雕龙木柱高AD为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到
达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（ ）
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
5．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，在等腰三角形ABC中 ，AB=AC=13，CD，AE分
120
别是△ABC的高和中线，CD= ，AE=12，F是AE上的一个动点，则BF+DF的最小值是（ ）
13
130 120
A． B． C．13 D．12
12 13
6．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，
底面周长为16cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容
器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．20cm B．❑√208cm C．10cm D．❑√292cm二、填空题
7．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池
32
可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 米的半圆，其边缘
π
AB=CD=16米，点E在CD上，CE=4米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为
米．
8．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，在底面周长约为6米的圆柱花柱上，有一串装饰彩灯从柱
底（点 A）沿花柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶（点 C），B为AC的中点．已知装饰彩灯部分的柱身高约
16米，则这串装饰彩灯至少长为 米．
9．（25-26八年级上·重庆·期中）如图是一个长2cm、宽1cm、高1cm的无盖长方体果盘，果盘侧面镂
空，用一个隔板（厚度忽略不计）卡在中间把果盘分成两个大小相等的正方体，若在果盘内部顶点B处有
一滴蜂蜜，果盘内部顶点A处的小蚂蚁想去吃蜂蜜（蚂蚁只能沿着底面和隔板表面行走，不能走边缘和镂
空侧面），则小蚂蚁所走的最短路径长为 ．
10．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，一个没有上盖的圆柱形食品盒，它的高等于10cm，底
面周长为24cm，在盒下底面的点A处有一只蚂蚁，想沿盒壁外部爬行吃到盒外部正对面中部点B处的食物．若蚂蚁爬行的速度为2cm/s．那么它至少需要 秒．
11．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯ABCD，因使用时间而
变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为2，已知AE+BF=6m，BC=5m，一只蚂蚁从
A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 m的路程．（π取3）
12．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）如图，由20个棱长为1的小正方体搭成一个组合体，蚂蚁
从左下角点A爬到右上角点B的最短路线长度的平方是 ．
13．（25-26八年级上·山东·期末）如图，等腰△ABC底边BC长为4cm，面积12 cm2，腰AB的垂直平
分线EF交AC于点F，若D为BC边上中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小值为
cm．14．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所
示，每根雕龙木柱高AD为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3
圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 米．
15．（25-26八年级上·北京西城·月考）如图，在等边△ABC中，点P、Q在边BC上，并且满足
BP=CQ，连接AP、AQ，点N为AC上一动点，连接PN、QN．若AB=6，则在点P从B运动到C的过
程中，PN+QN最短时，CN= ．
三、解答题
16．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯，因
造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中．(1)如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点
A，B为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的
示意图；
7
(2)在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为3m，扶手所在圆柱的底面半径为 m，求这一层圆形旋
6
转楼梯的扶手长度．（π取3）
17．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看
作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为5m的半圆，其边缘
AD=BC=12m（边缘的宽度忽略不计），一滑板爱好者从B点滑到D点，求他滑行的最短距离．
18．（25-26八年级上·贵州·期末）【问题情境】
贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四
级台阶每一级的长、宽、高分别为15dm,3dm,2dm，如图1所示．A和B是这个四级台阶两个相对的端点，
若点A处有一只蚂蚁，它想到点B处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？
（1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接AB，经
过计算得到AB长度即为最短路程，则AB=______________dm．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是10cm，高是15cm，一只蚂蚁从点A出发沿着
玻璃杯的侧面到与点A相对的点B处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底6cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子
外壁，离杯子上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程是多少厘米？（杯
壁厚度不计）19．（23-24八年级上·山东枣庄·月考）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时
难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着
十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．
某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析：
【提出问题】已知 ，求 的最小值
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