文档内容
专题 20.1 勾股定理
1. 掌握勾股定理的内容并能够熟练的应用；
教学目标
2. 掌握勾股定理的验证方法，并能够熟练的进行相关应用。
1. 重点
（1）勾股定理；
（2）勾股定理的应用。
教学重难点 2. 难点
（1）在没有明确斜边的直角三角形中，要进行分类讨论（易错点）；
（2）利用勾股定理的证明求值，一般情况下要结合整式乘法中的乘法公式进行；
（3）等面积法的应用。知识点01 勾股定理
1. 文字描述：
在直角三角形中， 两直角边的平方的和等于斜边的平方 。
2. 几何语言：
如图。若直角三角形的两直角边分别是 ，斜边是 ，则有：
a2+b2=c2
。
变形式： ❑√a2+b2 ；
❑√c2−b2 ；
❑√c2−a2 。
【即学即练1】
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别表示∠A、∠B、∠C的对边．
（1）已知a＝3，b＝2，求c；
（2）已知c=❑√11，a=❑√7，求b．
【答案】（1）c=❑√13；
（2）b＝2．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，a＝3，b＝2，
∴a2+b2＝c2，即c2＝32+22＝13，
∴c=❑√13；
（2）∵c=❑√11，a=❑√7，∠C＝90°，
∴b2=(❑√11) 2 −(❑√7) 2=4，
∴b＝2．
【即学即练2】
2．如图，在3×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线的交点，则下列线段长度最长的是（ ）
A．AB B．AC C．AD D．AE【答案】B
【解答】解：由图可知AB=❑√32+12=❑√10，
AC=❑√32+32=❑√18，
AD=❑√32+22=❑√13，
AE=❑√42+12=❑√17．
∵❑√18＞❑√17＞❑√13＞❑√10．
∴AC最长，
故选：B．
知识点02 勾股定理的验证
1．利用等面积法进行勾股定理的验证：
验证图形 整体法表示面积 部分加和法表示面积 验证式子
1
(a+b) 2 。 4× ab+c2 。
2
1
c2 。 4× ab+(b−a) 2 。
2
1 1 1
(a+b) 2 。 2× ab+ c2 。
2 2 2
【即学即练1】
3．我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等
的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解答】解：选项A：如图，
大正方形的面积等于四个三角形的面积加两小正方形的面积，
1
∴4× ab+a2+b2＝（a+b）2，
2
故选项A不能得出勾股定理，符合题意；
选项B：如图，
大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
1
∴4× ab+c2＝（a+b）2，
2
整理得a2+b2＝c2，
故选项B能得出勾股定理，不符合题意；
选项C：如图，
1 1 1
由图可得 ab + ab+c2＝6× ab+（a﹣b）2，
2 2 2
整理得a2+b2＝c2，
故选项C能得出勾股定理，不符合题意；
选项D：如图，由图可知S正方形ABDE ＝4S△ABC +S正方形FCHG ，
∵大正方形的面积＝c2，小正方形的面积＝（a﹣b）2，
1
∴4× ab+（a﹣b）2＝（a+b）2，
2
即c2＝a2+b2，
故选项D能得出勾股定理，不符合题意；
故选：A．
【即学即练2】
4．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而设计的几何图形．该图由四个全等的直角三角形
（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中大正方形的面
积为13，小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（ ）
A．a+b＝5 B．ab＝8 C．a2+b2＝12 D．a﹣b＝2
【答案】A
1
【解答】解：由题意得， ab×4+（b﹣a）2＝13，（b﹣a）2＝1，
2
∴2ab＝12，
∵（b+a）2＝（b﹣a）2+4ab＝1+24＝25，
∴b+a＝5（负值已舍），
故选：A．
题型01 利用勾股定理求直角三角形的边
【典例1】直角三角形两个直角边分别为3和4，则斜边长为（ ）
A．❑√7 B．5 C．7 D．8
【答案】B
【解答】解：直角三角形两个直角边分别为3和4，由勾股定理得：斜边长为：❑√32+42=5，
故选：B．
【变式 1】已知一个直角三角形的两条直角边长分别是 3 和 5，那么这个三角形的第三条边的长为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．❑√34
【答案】D
【解答】解：∵一个直角三角形的两条直角边长分别是3和5，
∴这个三角形的第三条边的长=❑√32+52=❑√34，
故选：D．
【变式2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c是△ABC的三边长．
（1）已知a＝5，b＝12，求c；
（2）已知c＝25，b＝7，求a；
（3）若c＝40，a：b＝3：4，求a，b．
【答案】（1）13；
（2）24；
（3）a＝24，b＝32．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠C＝90°，
∵a＝5，b＝12，
∴c=❑√a2+b2=❑√52+122=13；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，
∵c＝25，a＝7，
∴b=❑√c2−a2=❑√252−72=24；
（3）在△ABC中，∠C＝90°，
设a＝3x，则b＝4x，
根据勾股定理得：c=❑√a2+b2=❑√(3x) 2+(4x) 2=5x，
∴5x＝40，
∴x＝8，
∴a＝3x＝24，b＝4x＝32．
题型02 利用勾股定理求其他线段长度【典例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若
AC＝6，BC＝8，则AE的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理得：AB=❑√AC2+BC2=❑√62+82=10，
∵AD＝BD，DE平分∠ADB，
1
∴AE＝EB= AB＝5，
2
故选：C．
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，E为线段BC上一点，连结
DE，且∠BED＝∠A，若AC＝8，BE＝3，则CE的长是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】A
【解答】解：过D作DF⊥AC于F，
∵∠B＝90°，CD平分∠ACB，
∴DF＝DB，
又∠AFD＝∠B＝90°，∠BED＝∠A，
∴△ADF≌△EDB（AAS），
∴AF＝BE＝3，
又AC＝8，∴CF＝AC﹣AF＝5，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD＝∠BCD，
又∠B＝∠DFC＝90°，CD＝CD，
∴△BCD≌△FCD（AAS），
∴BC＝FC＝5，
∴CE＝BC﹣BE＝2，
故选：A．
【变式2】如图，数轴上点A，B分别对应1，2．PQ⊥AB于点B，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交
PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点D．则BD的长为 ❑√5− 2 ．
【答案】❑√5−2．
【解答】解：如图所示：连接OC，
由题意可得：OB＝2，BC＝1，
则OC=❑√22+12=❑√5，
∴BD＝OD﹣OB＝OC﹣OB=❑√5−2．
故答案为：❑√5−2．
【变式3】如图，△ABC中，∠B平分线BH和边AB的垂直平分线DE交于点E，已知点E到BC边距离为
2，AB＝8，那么点E和点A之间的距离为 2❑√5 ．
【答案】2❑√5．
【解答】解：如图，∠B平分线BH和边AB的垂直平分线DE交于点E，过点E作EG⊥BC，1
∴AD＝BD= AB，∠ADE＝90°，
2
∵AB＝8，
∴AD＝BD＝4，
∵BH平分∠ABC，∠EGB＝90°，EG＝2，
∴DE＝EG＝2，
在直角三角形ADE中，由勾股定理得：AE=❑√DE2+AD2=❑√22+42=2❑√5，
∴点E和点A之间的距离为2❑√5．
故答案为：2❑√5．
题型03 判断勾股定理的证明图
【典例1】我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能验证勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A、这个图无法证明勾股定理，故本选项符合题意；
1
B、∵4× ab+(b−a) 2=c2 ，
2
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
1
C、∵4× ab+c2=(a+b) 2 ，
2
∴整理得：a2+b2＝c2，
即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
1 1 1 1
D、∵ ab+ c2+ ab= (a+b)(a+b)，
2 2 2 2
∴整理得：a2+b2＝c2，
即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；故选：A．
【变式 1】勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
1 1
【解答】解：A、梯形的面积为： （a+b）（a+b）= （a2+b2）+ab，
2 2
1 1 1
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为： ab×2+ c2＝ab+ c2，
2 2 2
1 1
∴ （a2+b2）+ab＝ab + c2，
2 2
∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为：（a+b）2；
1
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为： ab×4+c2＝2ab+c2，
2
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理；
C、大正方形的面积为：（a+b）2，
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴C选项不能证明勾股定理；
D、大正方形的面积为：c2，
1
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为： ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，
2
∴a2+b2＝c2，故D选项能证明勾股定理；
故选：C．
【变式2】（1）材料学习：勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图 1，图2的图形，验证著名的勾股
定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．材料中的方法体现
的数学思想是C ．A．函数思想
B．分类讨论思想
C．数形结合思想
D．整体思想
（2）灵活运用：某同学提出了一种证明勾股定理的方法，如图3，点B是正方形ACDE边CD上一点，
连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，该同学用面
积不变的方法证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．（提示，可连接BF试试）
【答案】（1）C；
（2）见解答．
【解答】（1）解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，体现的数学思想是数形结合思想，
故答案为：C；
（2）证明：如图，连接BF，
∵AC＝b，
∴正方形ACDE的面积为b2，
∵CD＝DE＝AC＝b，BC＝a，EF＝BC＝a，
∴BD＝CD﹣BC＝b﹣a，DF＝DE+EF＝a+b，
∵∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠BAE＝90°，
∵∠BAC＝∠EAE，
∴∠EAF+∠BAE＝90°，
∴△BAF为等腰直角三角形，
1 1 1 1
∴四边形ABDF的面积为： c2+ （b﹣a）（a+b）= c2+ （b2﹣a2），
2 2 2 2
∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，1 1
∴b2= c2+ （b2﹣a2），
2 2
1 1 1
∴b2= c2+ b2− a2，
2 2 2
1 1 1
∴ a2+ b2= c2，
2 2 2
∴a2+b2＝c2．
题型04 利用勾股定理的证明求值
【典例1】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明图解．该图由四个
全等的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若
图中直角三角形的面积为3，中间小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（ ）
A．a+b＝5 B．ab＝8 C．a2+b2＝12 D．a﹣b＝2
【答案】A
1
【解答】解：由题意得， ab＝3，（b﹣a）2＝1，
2
∴ab＝6，a2+b2＝（b﹣a）2+2ab＝1+12＝13，
∵a（b+a）2＝（b﹣a）2+4ab＝1+24＝25，
∴b+a＝5（负值已舍），
故选：A．
【变式1】青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的
图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青
方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图 2，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方
形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝3，a2+b2＝29，则图2中的阴影部分面积为 1 0 ．【答案】10
【解答】解：如图2，
∵朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，
∴GD＝GH＝a，CD＝BC＝b，
∵朱入与朱出的三角形全等，
∴△FNK≌△GHI，
∴FN＝GH＝a，
∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，
∴△IJC≌△KAM，△GFN≌△CMB，
∴S△IJC ＝S△KAM ，BM＝FN＝a，
∴阴影部分面积为S四边形GDJI +S△KAM +S△BCM
＝S四边形GDJI +S△IJC +S△BCM
＝S△GDC +S△BCM
1 1
= GD⋅CD+ BM⋅BC
2 2
1 1
= ab+ ab
2 2＝ab，
∵b﹣a＝3，a2+b2＝29，
(a2+b2 )−(b−a) 2 29−32
∴ab= = =10，
2 2
即阴影部分的面积为10，
故答案为：10．
【变式2】如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四
个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，
四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，H是DE的中点．若AD的长为5，则阴影部分的面积为（
）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，
∴E，F，G分别为AF，BG，CH的中点，
AE＝EH＝DH＝HG＝CG＝FG＝BF＝EF，
1
∴S =S =S =S = S ，ED＝2AE，
△AEH △DHG △CGF △BFE 2 正 方 形EFGH
∴S阴影 ＝3×S正方形EFGH ，
依题意，∠AED＝90°，
∴AD2＝DE2+AE2＝4AE2+AE2＝5AE2，
∵AD的长为5，
∴25＝5AE2，
∴AE=❑√5（负值已舍去），
即EH=AE=❑√5，
∴S =(❑√5) 2=5，
正 方 形EFGH
∴S阴影 ＝3×5＝15，
故选：A．
【变式3】中国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，已知正方形
ABCD和正方形BEFG，A、B、E三点在一条直线上．现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形CHIE．
若正方形ABCD和正方形BEFG的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则AE的长为（ ）A．22 B．20 C．18 D．16
【答案】B
【解答】解：如图：
设BC＝b，EF＝a，
∴a2+b2＝220，
∵四边形BEFG、四边形CHIE和ABCD都是正方形，
∴BC＝AB＝b，BG＝BE＝EF＝a，∠EBC＝90°，∠CEI＝90°，CE＝EI，
∴∠CEB+∠ECB＝90°，∠CEB+∠KEI＝90°．
∴∠ECB＝∠IEK，
在△ECB和△IEK中，
{∠EBC=∠IKE
)
CE=EI ，
∠ECB=∠IEK
∴△ECB≌△IEK（AAS），
1
∴S =S = ab，
△ECB △IEK 2
∵将正方形ABCD和正方形BEFG裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形CHIE，
∴S正方形HCEI ＝a2+b2，S阴影 ＝S正方形HCEI ﹣（S△ECB +S△IEK ）＝a2+b2﹣ab＝130．
∴ab＝90，
∴a2+b2+2ab＝（a+b）2＝220+2×90＝400，即a+b＝20，
∴AE＝a+b＝20．
故选：B．1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝10，AC＝8，则BC的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．2
【答案】B
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC=❑√AB2−AC2=❑√102−82=6，
故选：B．
2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝2，则AC2的值为（ ）
A．4 B．16 C．32 D．40
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝2，
∴AC2＝AB2﹣BC2＝36﹣4＝32，
故选：C．
3．已知一个直角三角形三边长的平方和为800，则斜边长为（ ）
A．80 B．60 C．40 D．20
【答案】D
【解答】解：设该直角三角形的两直角边的长为a和b，斜边长为c，
由勾股定理得a2+b2＝c2，
∵该直角三角形三边长的平方和为800，
∴a2+b2+c2＝800，
∴c2+c2＝800，
∴c2＝400，
∴c＝20或c＝﹣20（舍去），
∴该直角三角形的斜边长为20，
故选：D．
4．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C1
【解答】解：A、中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4× ab，
2
∴化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理，本选项不符合题意；
1 1 1
B、梯形的面积= （a+b）（a+b）＝2× ab+ c2，
2 2 2
∴化简得，a2+b2＝c2，不符合题意；
C、不能证明勾股定理，本选项符合题意；
D、中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×ab，
∴化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理，本选项不符合题意．
故选：C．
5．如图，在 Rt△ABC中，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝90°，过点 B作BD⊥AC 于点 D，则 BD的长为
（ ）
2❑√5 ❑√5
A．❑√5 B．2 C． D．
5 5
【答案】C
【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝90°，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√12+22=❑√5，
∵BD⊥AC，
1 1 1 1
∴S = AB⋅BC= AC⋅BD，即 ×1×2= ×❑√5BD，
△ABC 2 2 2 2
2❑√5
解得BD= ．
5
故选：C．
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且AC+AD＝50，BD＝18，CD＝10，则AB的长为（ ）
A．30 B．24 C．18 D．32
【答案】A
【解答】解：由AC+AD＝50，得AC＝50﹣AD，在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2，即（50﹣AD）2＝AD2+102，
解得AD＝24，
在Rt△ABD中，AB=❑√AD2+BD2=30，
故选：A．
7．在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，D为AC边的中点，E为BC边上任意一点．若AC＝4，CE＝
DE，则CE的长为（ ）
❑√3 2❑√3 4❑√3
A． B． C． D．❑√3
3 3 3
【答案】B
【解答】解：如图，过点E作EF⊥CD于点F，
∵CE＝DE，
1
∴CF＝DF= CD，
2
∵AC＝4，D为AC边的中点，
∴CD＝2，
∴CF＝1，
又∵∠C＝30°，
1
∴EF= CE，
2
❑√3
∴CF= CE=1，
2
2❑√3
∴CE= ．
3
故选：B．
8．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙
地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab
＝6，则图中大正方形的边长为（ ）A．5 B．❑√13 C．4 D．3
【答案】B
【解答】解：∵ab＝6，
1
∴直角三角形的面积是 ab＝3，
2
∵小正方形的面积是1，
∴大正方形的面积＝1+4×3＝13，
∴大正方形的边长为❑√13，
故选：B．
9．如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是 81，小正方形的面积
是25，若用x，y表示直角三角形的两条直角边（x＞y），请观察图案，下列式子不正确的是（ ）
A．x﹣y＝5 B．x2+y2＝81 C．x+y＝12 D．xy＝28
【答案】C
【解答】解：由图形可得，x2+y2＝81，（x﹣y）2＝25，故B正确，不符合题意；
∴x﹣y＝5，故A正确，不符合题意；
∵（x﹣y）2＝25，
∴x2﹣2xy+y2＝25，
∴81﹣2xy＝25，
∴2xy＝56，
∴xy＝28，故D正确，不符合题意；
∵（x+y）2＝x2+y2+2xy＝81+56＝137，
∴x+ y=❑√137，故C错误，符合题意；
故选：C．
10．某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的
弦图，图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKJ的面积分别记为S ，S ，S ．S +S +S ＝150，
1 2 3 1 2 3
则EF的长是（ ）A．4❑√2 B．5 C．5❑√2 D．5❑√3
【答案】C
【解答】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则：c2＝a2+b2，
由题意，得：S ＝（a+b）2，S ＝c2，S ＝（a﹣b）2，
1 2 3
∴S +S +S ＝（a+b）2+c2+（a﹣b）2，
1 2 3
＝a2+2ab+b2+c2+a2﹣2ab+b2
＝c2+c2+c2
＝3c2＝150，
∴c2＝50，
即EF2＝50，
∴EF＝5❑√2，
故选：C．
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，MN是BC的中垂线，交AB于点E．如果AC＝2，BC＝6，那么
△ACE的周长为 2+ 2❑√10 ．
【答案】2+2❑√10．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝6，
由勾股定理得：AB=❑√AC2+BC2=❑√22+62=2❑√10，
∵MN是BC的中垂线，
∴CE＝BE，
∴△ACE的周长为：AC+AE+CE＝AC+AE+BE＝AC+AB＝2+2❑√10，
故答案为：2+2❑√10．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连接AD，若
12
AB＝6，AC＝10，则△ABD的面积为 ．
512
【答案】 ．
5
【解答】解：如图，延长BD，交AC于E，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，AC＝10，
由勾股定理得：BC=❑√AC2−BC2=❑√102−62=8，
1
∴S△ABC =
2
×6×8＝24，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ECD，
在△BDC和△BDE中，
{∠BCD=∠ECD
)
CD=CD ，
∠BDC=∠EDC
∴△BDC≌△BDE（ASA），
∴CE＝BC＝8，BD＝DE，
1 24
∴S△ABE =
5
S△ABC =
5
，
∵BD＝DE，
1 12
∴S△ABD =
2
S△ABE =
5
，
12
故答案为： ．
5
13．我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵
爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为
49，小正方形面积为4，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则：xy＝ 49 ；（x+y）2＝
94 ．【答案】49，94．
【解答】解：大正方形的面积是49，则其边长是7，利用勾股定理可得x2+y2＝49，
1
根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积＝大正方形的面积，即 4× xy+4＝49，化简得xy
2
45
= ，
2
故③说法错误，不符合题意；
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝49+45＝94，
故答案为：49，94．
14．在“赵爽弦图”中，AC＝5，将四个全等直角三角形中的较长直角边CA向外延长一倍（即AD＝
AC），得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为68，则AB的长为 ❑√69
．
【答案】❑√69．
【解答】解：根据题意得，AD＝AC＝5，CD＝5×2＝10，4（BD+AD）＝68，
∴BD＝12，
∵∠BCD＝90°，
∴BC=❑√BD2−CD2=❑√122−102=2❑√11，
∴AB=❑√BC2+AC2=❑√ (2❑√11) 2+52=❑√69，
则AB的长为❑√69．
故答案为：❑√69．
15．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝BC，AC＝16，BO是AC边上的高，BO＝6，动点P、Q分别在边
AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，CP的长为
39
6 或 ．
439
【答案】6或 ．
4
【解答】解：当△PQB为等腰三角形时，分为3种情况：
①当PB＝PQ时，如图1，
∵△ABC为等腰三角形，AB＝BC，AC＝16，BO是AC边上的高，BO＝6，
∴AO＝OC＝8，
在直角三角形AOB中，由勾股定理得：BC=AB=❑√62+82=10，
∴∠BAO＝∠BCO，
∵∠BPQ＝∠BAO，
∴∠BPQ＝∠BCO，
∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ＝∠BCO+∠CBP，
∴∠APQ＝∠CBP，
在△APQ和△CBP中，
{∠BAO=∠BCP
)
∠APQ=∠CBP ，
PB=PQ
∴△APQ≌△CBP（AAS），
∴AP＝BC＝10，
∴CP＝AC﹣AP＝16﹣10＝6；
②当BQ＝BP时，
则∠BPQ＝∠BQP，
∵∠BPQ＝∠BAO，
∴∠BAO＝∠BQP，
根据三角形外角性质得：∠BQP＞∠BAO，
∴这种情况不存在；
③如图2，当QB＝QP时，∠QBP＝∠BPQ＝∠BAO，
∴PB＝PA，
设OP＝x，则PB＝PA＝8﹣x，
在Rt△OBP中，由勾股定理得：PB2＝OP2+OB2，
∴（8﹣x）2＝x2+62，
7
解得：x= ，
4
7
∴OP= ，
4
7 39
∴PC=OP+OC= +8= ，
4 4
39
综上所述，CP的长为6或 ．
4
39
故答案为：6或 ．
4
16．已知△ABC中，∠C＝90°，a，b为直角边，c为斜边．
（1）若a＝1，b＝2，求c；
（2）若a＝4，c＝5，求b．
【答案】（1）❑√5；
（2）3．
【解答】解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，a，b为直角边，c为斜边，a＝1，b＝2，
由勾股定理得：c=❑√a2+b2=❑√12+22=❑√5；
（2）∵a，b为直角边，c为斜边，a＝4，c＝5，
由勾股定理得：b=❑√c2−a2=❑√52−42=3．
17．如图，AD是等边△ABC的中线，DF⊥AC交AB的延长线于点E，垂足为点F．（1）求证：BD＝
BE；
（2）连接CE，若AC＝2，则CE的长度为 ❑√7 ．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）❑√7．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝∠CBA＝60°，
∵DF⊥AC，
∴∠AFE＝∠CFE＝90°，
∴∠CAB+∠AEF＝90°，
∴∠AEF＝30°，
∵∠AEF+∠BDE＝∠CBA，
∴∠BDE＝30°＝∠AEF，
∴BD＝BE；
（2）解：∵AD是等边△ABC的中线，AC＝2，
1 1
∴AB＝BC＝AC＝2，BD= BC= AC＝1，
2 2
∴BE＝BD＝1，
∴AE＝AB+BE＝3，
∵∠AEF＝30°，∠AFE＝90°，
1 3
∴AF= AE= ，
2 2
1 3❑√3
∴CF＝AC﹣AF= ，EF=❑√AE2−AF2= ，
2 2
√ 1 2 3❑√3
∴CE=❑√CF2+EF2=❑( ) +( ) 2=❑√7，
2 2
故答案为：❑√7．
18．【定义新知】
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”．
【应用探究】
（1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=❑√3，AC＝2．求证：△ABC是“奇异三角形”；
（2）已知，等腰△ABC是“奇异三角形”，AB＝AC＝20，求底边BC的长．（结果保留根号）【答案】（1）见解析；
（2）10❑√6或8❑√5．
【解答】（1）证明：如图，BD为三角形ABC底边AC上的中线，
1
则CD= AC=1，
2
又∵BC=❑√3，
∴BD=❑√12+(❑√3) 2=2=AC，
∴△ABC是“奇异三角形”；
（2）解：分两种情况：如图，当腰上的中线BD＝AC时，则AB＝BD，过B作BE⊥AD于E
∵AB＝AC＝20，
1 1
∴BD＝20，ED= AD= AC=5，
2 4
∴CE＝10+5＝15，
∴Rt△BDE中，BE2＝BD2﹣DE2＝375，
∴Rt△BCE中，BC=❑√BE2+CE2=❑√375+225=❑√600=10❑√6；
如图，当底边上的中线AD＝BC 时，则AD⊥BC，且AD＝2BD，
设BD＝x，则x2+（2x）2＝202，∴x2＝80，
又∵x＞0，
∴x=❑√80=4❑√5，
∴BC=2x=8❑√5，
综上所述，底边BC的长为10❑√6或8❑√5．
19．图1是著名的赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法：一种是 c2；另一种是四个直角三角形与中
1 1
间小正方形的面积之和，即 ab×4+(b−a) 2 ，从而得到等式c2= ab×4+(b−a) 2 ，化简便得勾股定
2 2
理a2+b2＝c2．这种用两种求法来表示同一个量，从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
（1）如图2，在6×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，连接其中三个不同小正方形的各一个顶点，
可得到△ABC．
①AB的长为 5 ．
②请利用“双求法”，求边AB上的高CD．
（2）如图3，在△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC＝4，求边BC上的高AD．
16
【答案】（1）①5；② ；
5
（2）12．
【解答】解：（1）①由勾股定理得：AB=❑√32+42=5，
∴AB的长为5，
故答案为：5；
②过点A作AH⊥BC于点H，如图2所示：
依题意得：BC＝4，AH＝4，1 1
由三角形面积公式得：S△ABC =
2
AB•CD =
2
BC•AH，
BC⋅AH 4×4 16
∴CD= = = ，
BC 5 5
16
∴边AB上的高CD的长为 ；
5
16
∴故答案为： ；
5
（2）设CD＝a，
在△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC＝4，
∵AD是BC边上的高，
∴点D在BC的延长线上，△ACD和△ABD都是直角三角形，
∴BD＝BC+a＝4+a，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣a2，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣（4+a）2，
∴132﹣a2＝152﹣（4+a）2，
解得：a＝5，
∴AD=❑√132−a2=❑√132−52=12，
边BC上的高AD为12．
20．
项目背景 某校八年级数学兴趣小组成员自主开展“勾股定理”数学项目研究．
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角三角形ABC的三条边为边分别向外作正
方形，边BC，边AC，边AB的长分别用a，b，c来表示．
素材
解决问题
（1）为了计算图2中正方形ABDE的面积，对这个正方形ABDE适当割补后得到与原
任务一
直角三角形全等的4个直角三角形和正方形FKHG，请用图2验证勾股定理．（2）为了计算图3中正方形ABDE的面积，对这个正方形ABDE适当割补后得到与原
直角三角形全等的4个直角三角形和正方形CNML，请用图3验证勾股定理．
任务二
（3）对图4中正方形ABDE适当割补后得到与原直角三角形全等的8个直角三角形和
正方形FKHG及正方形CNML．求图4中所有正方形的面积和（结果用只含c的代数式
表示）．
任务三
【答案】（1）a2+b2＝c2；
（2）a2+b2＝c2；
（3）4c2．
【解答】解：（1）根据题意可知，RT△ABC≌RT△ABF≌RT△DBK，
∴AC＝BF＝b，BK＝CB＝AF＝a，
∴FK＝b﹣a，
∵S正方形ABDE ＝S正方形FKHG +4S△AFB ，
1
∴AB2＝FK2+4× ×AF×BF，
2
1
∴c2＝（b﹣a）2+4× ×ab，
2
∴a2+b2＝c2；
（2）根据题意可知，RT△ABC≌RT△BDN，∴AC＝BN＝b，
∵S正方形ABDE ＝S正方形LCNM ﹣4S△ABC ，
1
∴AB2＝CN2﹣4× AC×BC，
2
∴c2＝（a+b）2﹣2ab，
∴a2+b2＝c2；
（3）根据题意可知，RT△ABC≌RT△ABF≌RT△DBK≌RT△BDN，
∴AC＝BN＝BF＝b，BK＝CB＝AF＝a，
∴FK＝b﹣a，CN＝CB+BN＝a+b，
∵S总 ＝S正方形LCNM +S正方形AEDB +S正方形FKHG +S正方形OTCA +S正方形CSRB ，
∴S总 ＝CN2+AB2+FK2+AC2+BC2
＝（a+b）2+c2+（a﹣b）2+b2+a2
＝3（a2+b2）+c2，
∵c2＝a2+b2，
∴S总 ＝3c2+c2＝4c2．
