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2025-2026 学年八年级下册数学单元自测
第二十章 勾股定理·能力提升
建议用时：60分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各
组数中，是“勾股数”的是（ ）
A． ， ， B．1.5，2，2.5 C．5，12，11 D．7，24，25
2．在 中， ，则 的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知 的三个内角 所对的三条边长分别为 ，则下列条件中，不能确定
是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1．手指沿折线
顺序解锁，则按此手势解锁一次手指滑过的路径长为（ ）
A．5 B． C． D．6
5．下列选项中，正确的是（ ）
A．在 中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10
B．若三角形的三边之比为 ，则该三角形是直角三角形
C． 的三边分别为 ，若 ，则 是直角
D．在 中，若 ，则 是直角三角形
6．如图，分别以 的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司当 ， 时，“希波克拉底月牙”的面积是（ ）
A．18 B．20 C．24 D．48
7．《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，末折
抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，
问折处高几尺？即：如图， 尺， 尺，设 为 尺，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是
（ ）
A． B．
C． 的面积为10 D．点A到直线 的距离是2
9．如图1所示，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，
两肘弯曲 ，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，此时绳长即为适合自己的绳长．将图1抽象成几何图
形如图2所示，已知在 中， ，过点 作 于点 ，若 米， 米，则
的长为（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
10．图1是第七届国际数学教育大会（ ）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形
（如图2所示）演化而成的．如果图2中 ，那么 的长为（ ）
A．2025 B． C． D．2024
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，在 中， ， ，垂足为 ， ， ，则 ．
12．如图，在 中， ， ， ，则 的长为 ．
13．如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度， ， ， ， 都是格点， 与 相交于点
，则 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司14．如图，在四边形 中， ，分别以四条边为边向外作四个正方形，面积分别记
为 ．若 ，则 ．
15．定义：在一个三角形中，我们把一条边上的高与这条边的边长的比值叫做这条边的高比系数，记为 ．
如果 中， ， ，那么边 的高比系数 ．
16．如图，在 中， ， ， ，点 为 的中点，点 是 边上动点，
将 沿直线 折叠，折叠后点 的对应点为 ， 与 交于 ，当 为直角三角形时，线
段 的长为 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．在 中， ， ， ， ．
(1)已知 ， ，求 ．
(2)已知 ， ，求 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司18．已知 ， ， 是 的三边长，且满足 ， ．
(1)试求 ， ， 的值；
(2)判断 的形状．
19．如图，已知某高速公路限速 ，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线
上的点 处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪 处正前方 的 处，经过
后，大巴车到达 处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离 为 ．
(1)求 的距离；
(2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据 ）
20．如图，四边形 为某工厂的平面图，经测量 ， ，且
．
(1)求 的度数；
(2)若直线 为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头
观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为 ，通过计算说明道路 被监控到的最
大范围为几千米．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司21．【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为 ，圆柱的高为 ，在圆柱的侧面上，过上底面
的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方．
(1)【操作发现】现将圆柱侧面沿 剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母）
(2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度．
(3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为 ， ， （即 ， ，
）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁
设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程． 木板的厚度忽略不计
22．如图，已知 中， ， ， ， 、 是 边上的两个动点，其中点
从点 开始沿 方向运动，且速度为每秒 ，点 从点 开始沿 方向运动，且速度为每秒
，它们同时出发，设出发的时间为 秒．
(1)当 秒时，求 的长（不要求化简）；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司(2)求出发时间为几秒时， 是等腰三角形？
(3)若 沿 方向运动，则当点 在边 上运动时，求能使 成为等腰三角形的运动时间．
23．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 ，较小的直角边长都为 ，斜
边长都为 ），大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ，由此推导出重要的勾股定
理：如果直角三角形两条直角边长为 ， ，斜边长为 ，则 ．
(1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理：
(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点 、 ， ，由于某种原
因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 （ 、 、 在同一
条直线上），并新修一条路 ，且 ．测得 千米， 千米，求新路 比原路
少多少千米?
(3)小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问
中若 时， ， ， ， ，设 ，可以求 的值，请帮小明写
出求 的过程．
24．【阅读理解】定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形这条边的
“中偏度值”．如图1中， 和 分别为 的边 上的高和中线， ， ，则
的边BC的“中偏度值”为
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司【尝试应用】如图2，在 中， ， ，
（1）边 的长为______， 边上的高的值为______；
（2）求 的边 的“中偏度值”；
【拓展延伸】如图3，点A为直线l上方一点，点A到直线l的距离 ，点B在直线l上，且 ，
若点C在直线l上，且
（3）请直接写出 的边BC的“中偏度值”．
25．如图，在长方形 中， ．
(1)如图①，将长方形 沿 翻折，使点A与点C重合，点D落在点 处，求BF的长；
(2)如图②，将 沿 翻折，若 交 于点E，求 的面积；
(3)如图③，P为 边上的一点，将 沿 翻折得到 ， ， 分别交 边于点E，F，且
，求 的长．
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