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2025-2026 学年八年级下册数学单元自测
第二十章 勾股定理·能力提升（参考答案）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D C B C D C A B
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．
12． /
13． / 度
14．
15．
16． 或
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．
【详解】（1）解： ， ， ，
，
．.............3分
（2）解： ， ， ，
，
．.............6分
18．
【详解】（1）解：设 ，则 ， ， ，
由 ，得：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1 / 10，
解得： ，
∴ ， ， ；.............3分
（2）解：∵ ，即 ，
∴ 是直角三角形．.............6分
19．
【详解】（1）解：由题意可知，在 中， ， ， ，则由勾股定理可
得 ，
的距离为 米；.............3分
（2）解：大巴车的速度为 ，
则 ，
，
大巴车超速了．.............6分
20．
【详解】（1）解：连接 ，
， ，
是等腰直角三角形，
， ，
，
在 中， ，
是直角三角形， ，
；.............3分
（2）解：过点 作 于 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2 / 10由轴对称的性质，得： ， ，
由（1）知， ，
，
是等腰直角三角形， ，
∴ ，
，
，
被监控到的道路长度为 ．.............6分
21．
【详解】（1）解：∵两点之间线段最短，
故选：A；.............2分
（2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及
高构成直角三角形．由勾股定理，得 ．
答：所需金属丝的最短长度为 ；............5分
（3）解：如图，先将长方体的侧面 和侧面 展开，再作点C关于 的对称点N，连接 交
于点M，则 ．
所以 ；
根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时， 的值最小，即 的值最小，此
时 就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3 / 10在 中， ，根据勾股定理，得：
．
所以最短路程为 ．.............8分
22．
【详解】（1）解：根据题意，得 ， ，
当 秒时， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∴ 的长为 ；.............2分
（2）解：根据题意， ， ，
∴ ，
∵ 是等腰三角形， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴出发时间为 秒时， 是等腰三角形；.............5分
（3）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 沿 方向运动，速度为每秒 ，且点Q在边 上，
∴ ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4 / 10∵ 是等腰三角形，
∴下面分3种情况讨论：
①当 时，此时 ，
∴ ，
解得 ；
②当 时，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
③当 时，
如图，过点B作 于点G，
则 ， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 5 / 10∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
∴综上所述，能使 成为等腰三角形的运动时间为9秒或8.25秒或9.9秒．.............8分
23．
【详解】（1）解：梯形 的面积为 ，也可以表示为
，
，即 ；.............2分
（2）设 ，
，
在 中， ，即 ，
解得 ，
即 （千米），
（千米），
答：新路 比原路 少 千米；.............5分
（3）设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
，即 ，
解得 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 6 / 10．.............8分
24．
【详解】解：（1）在 中， ， ， ，
，
设BC边上的高为h，
，
，
故答案为：10， ；.............4分
（2）作 的中线 ，高线 ，如图，
由（1）知， ， ，
为 斜边 上的中线， ，
，
，
则 的边BC的“中偏度值”为 ；.............8分
（3）①当 在 外部时，作 的中线 ，如图，
， ， ， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 7 / 10， ，
，
为 的中线，
，
，
即点E到 的距离为2，
则 的边BC的“中偏度值”为 ；
②当 在 内部时，作 的中线 ，如图，
， ， ， ，
， ，
，
为 的中线，
，
，
即点E到 的距离为7，
则 的边 的“中偏度值”为 ；
综上所述， 的边 的“中偏度值”为6或 .............12分
25．
【详解】（1）解：根据折叠的性质，得 ．
∵四边形 是长方形，
∴ ．
设 ，
则 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 8 / 10在Rt 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．.............4分
（2）解：∵四边形 是长方形，
∴ ．
根据折叠的性质，得 ．
又∵ ，
∴ ．
∵ 交 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
设 ，
则 ．
在Rt 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．.............8分
（3）解：∵四边形 是长方形，
∴ ．
由折叠的性质，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 9 / 10得 ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
设 ，
则 ，
∴ ．
在Rt 中， ，
解得 ，
∴ ．.............12分
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