文档内容
第23 章 旋转（单元测试·综合卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023春·四川·七年级统考期末）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）如图，将紫荆花图案绕中心旋转 度后能原来的图案互
相重合，则 的最小值为（ ）
A．30 B．45 C．60 D．72
3．（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，小明荡秋千，位置从A点运动到了 点，若
，则秋千旋转的角度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）如图，将 绕顶点A逆时针旋转 到 ，
，则 的度数为（ ）A．40° B．50° C．60° D．70°
5．（2021春·安徽·八年级校联考阶段练习）如图，将一个三角板 ，绕点A按顺时针方向旋转
，连接 ，且 ，则线段 （ ）
A． ﹣ B． C． D．1
6．（2019秋·重庆巴南·九年级统考期末）如图，将 绕点 按顺时针方向旋转115 后能与
重合，若∠C=90 ，且点 、 、 在同一条直线上，则∠BA 等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2020秋·九年级单元测试）如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连结AP、BP、CP，若AP＝
6，BP＝8，CP＝10．则S ABP+S BPC＝（）．
△ △
A．20+16 B．24+12 C．20+12 D．24+16
8．（2023秋·广东惠州·九年级统考期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对
应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论：
①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC；
其中一定正确的是（ ）A．①② B．②③
C．③④ D．②③④
9．（2018秋·九年级单元测试）将Rt△AOB 如图放置在直角坐标系中，并绕O点顺时针旋转90°至
△COD的位置，已知A（-2，0），∠ =30°．则Δ 旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·内蒙古乌海·八年级校考阶段练习）如图所示，在等边 中，点 是边 上一点，
连接 ，将 绕着点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，则下列结论中：① ；②
；③ ；④ ，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023秋·四川广安·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点为 ，
则 ．
12．（2022春·陕西渭南·八年级统考期末）如图, 在平面直角坐标系 中， 由绕点 旋转得到，则点 的坐标为 ．
13．（2021秋·陕西渭南·九年级校考期中）如图，将矩形 绕点 旋转至矩形 的位置，
此时 的中点恰好与 点重合．若 ，则 的长为 ．
14．（2022·九年级单元测试）如图,△ABC与△DEF关于点O成中心对称,则线段BC与EF的关系是
.
15．（2023秋·九年级课时练习）如图，将 绕点 逆时针旋转得到 ，点 和点 是对应点，
若 ， ，则 的长为 ．16．（2019秋·山东泰安·八年级统考期末）如图， 点的坐标为 ， 点的坐标为 ， 点的坐
标为 ， 点的坐标为 ，小明发现：线段 与线段 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着
某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是 ．
17．（2023春·福建泉州·八年级校考期末）如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不
动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ．
18．（2021春·八年级课时练习）如图所示，直线 ，垂足为点 是直线 上的两点，且
．直线 绕点 按逆时针方向旋转，旋转角度为 ．
（1）当 时，在直线 上找点 ，使得 是以 为顶角的等腰三角形，此时 _____．（2）当 在什么范围内变化时，直线 上存在点 ，使得 是以 为顶角的等腰三角形，请用
不等式表示 的取值范围：_________．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023秋·八年级单元测试）（1）如图1，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1
个单位．将 向绕点C逆时针旋转 ，得到 ，请你画出 （不要求写画法）．
（2）如图2，已知点O和 ，试画出与 关于点O成中心对称的图形．
20．（8分）（2022春·湖南长沙·九年级统考期末）如图，在 中， ，
逆时针旋转一定角度后与 重合，且点 恰好成为 中点．
（1）指出旋转中心，并求出旋转角的度数；
（2）求出 的度数和 的长．21．（10分）（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）将矩形 绕点 顺时针旋转 （
），得到矩形 ．
（1）如图，当点 在 上时．求证： ；
（2）当 为何值时， ？画出图形．并说明理由．
22．（10分）（2022秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）已知： 中，
， ，将 绕点B按顺时针方向旋转．
（1）当 转到 边上点 位置时， 转到 ，（如图1所示）直线 和 相交于点 ，试判断
线段 和线段 之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）将Rt 继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，
请说明理由．23．（10分）（2022春·福建三明·八年级统考期中）如图，直线 ： 与y轴交于点A，与直线
： 交于点B，直线 与y轴交于点C，点 在射线 上，过点P作直线 轴，垂
足为E，直线 交直线 于点Q．
（1）求点B的坐标及线段 的长；
（2）当点P在线段 的延长线上，且线段 与 关于点B成中心对称时，求点P 的坐标；
（3）当 时，求m的取值范围．
24．（12分）（2023春·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图1，在正方形 内作 ，
交 于点 ， 交 于点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ．
（1）如图2，将 绕点 顺时针旋转90°得到 ；
①求证： ；②若 ， ，求 的长？
（2）如图3，连接 交 于点 ，交 与点 ，请探究并猜想：线段 ， ， 之间有什
么关系？请说明理由？
参考答案
1．D
【分析】根据中心对称图形及轴对称图形的概念逐一判定即可．
解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意．
故选D．
【点拨】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两
部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．D
【分析】该图形被平分成5部分，因而每部分被分成的圆心角是 ，并且圆具有旋转不变性，因而
旋转 的整数倍，就可以与自身重合．
解：由图可知，该图形被平分成5部分，
，
旋转 的整数倍，就可以与自身重合，
故n的最小值为 ，
故选：D．
【点拨】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
3．C
【分析】根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行解答．
解：∵ ，小刚的位置从A点运动到了 点，
∴ ，
∴ ，，
∴ ，
∴秋千旋转的角度为
故选C．
【点拨】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
4．C
【分析】根据旋转的性质得到 ，求出 的度数，再根据三
角形内角和求出 的度数．
解：∵将 绕顶点A逆时针旋转 到 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】此题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
5．A
【分析】连接 ，延长 交 于点 ，由旋转的性质可得 ， ，
，可得 是等边三角形，可证 是 的垂直平分线，由勾股定理可求 的值，即可求解．
解：如图，连接 ，延长 交 于点 ，
， ，，
将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，
， ， ，
是等边三角形
，且 ，
是 的垂直平分线，
，
，
， ， ，
，
．
故选：A．
【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，证明 是 的垂直平分线是本题的关键．
6．C
【分析】根据旋转的性质知 ，再根据 是 ABC的外角可求得∠B的度数，即可知
△
∠BAC的度数，再利用180°-∠BAC-∠B AC 即可求得∠BA 的度数.
1 1
解：∵将 绕点 按顺时针方向旋转115 后能与 重合，
∴ ，
又∵ 是 ABC的外角，
△
∴∠B= -∠C=25°，
∴∠BAC=90°-∠B=65°=∠B AC ，
1 1
∴∠BA =180°-∠BAC-∠B AC = ，
1 1选C.
【点拨】此题主要考查旋转的性质与应用，熟知三角形中角度计算是解题的关键.
7．D
【分析】根据题意，先将 绕点B逆时针旋转 ，可以得到等边三角形 和直角三角形
，这两个三角形都可以求出面积，题目中问的 和 的面积和就等于这个等边三角形和直角
三角形的面积和．
解：如图，将 绕点B逆时针旋转 后得 ，连接 ，
根据旋转的性质可知，旋转角 ， ，
∴ 为等边三角形， ，
由旋转的性质可知， ，
在 中， ，AP＝6，
由勾股定理的逆定理得， 是直角三角形，
∵ ，
，
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题考查了旋转的性质及勾股定理和面积求法，解题的关键是利用旋转，将要求的两个三角
形的面积和转换成一个等边三角形和一个直角三角形的面积和．
8．C
【分析】根据旋转的性质，得到对应边相等，旋转角相等，从而去判断命题的正确性．
解：∵旋转，
∴ ，
但是旋转角不一定是 ，
∴ 不一定是等边三角形，∴ 不一定成立，即①不一定正确；
∵旋转，
∴ ，故③正确；
∵旋转，
∴ ，
∵等腰三角形ACD和等腰三角形BCE的顶角相等，
∴它们的底角也相等，即 ，故④正确；
∵ 不一定成立，
∴ 不一定成立，
∴ 不一定成立，即②不一定正确．
故选：C．
【点拨】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质．
9．D
解：
连接OE,作EF⊥OC于点F.
∵∠ =30°,
∴∠A＝60°,AB=2OA=4，
.
∵OA=OE,
∴△OAE是等边三角形，
∴∠AOE=60°,OE=OA=2，
∴∠COE=30°,
.,
,
,
∴扫过的面积为： .
故选D．
10．C
【分析】由题意可得∠EAB＝∠ACB＝∠ABC＝60°，BD＝BE，∠DBE＝60°，可判断①②，根据三角形的
外角等于不相邻的两个内角和可判断③④．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∠AEB＝∠BDC
∵将△BCD绕着点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴BE＝BD，∠DBE＝60°，∠EAB＝∠ACB＝60°
∴∠EAB＝∠ABC＝60°，△BED是等边三角形
∴AE∥BC
∵△BED是等边三角形
∴∠DEB＝60°
故①②正确
∵∠AEB＝∠BDC，∠AEB＝∠AED＋∠BED，∠BDC＝∠BAC＋∠ABD
∴∠AED＝∠ABD
故④正确
∵∠BDC＞60°，∠ADE＜60°
∴∠BDC≠∠ADE
故③错误．
故答案选：C．
【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，证明△BED是等边三角形是本题的关键．
11．
【分析】利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，进而得出a，b的值，再代入所给代数式计算得出答案．
解：∵点 关于原点对称的点为 ，
∴ ，
则 ．
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
12．（1，-1）
【分析】对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
解：如图，点P即为所求，P（1，-1）．
故答案为：（1，-1）．
【点拨】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋
转中心．
13．
【分析】根据旋转的性质得出 ， ，结合已知得出 ，再根
据矩形的性质得到 ，即可得出 ，即可得答案．
解：由旋转可知： ， ，
∵ 的中点恰好与 点重合，
∴ ，
∵矩形 中， ， ，
∴ ．故答案为：
【点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，解题的关键是根据矩形和旋转的性质得到相等线段．
14．平行且相等
【分析】根据 ABC与 DEF关于O点成中心对称，得出对应边之间的关系即可得出答案．
解：∵ ABC与△ DEF△关于O点成中心对称.
∴线段△BC与EF△的关系是：平行且相等.
故答案为平行且相等.
【点拨】考查了中心对称的性质，熟记中心对称对应边的关系是解决问题的关键.
15．
【分析】首先根据旋转的性质得到 ， ，然后利用勾股定理求解即可．
解：∵将 绕点 逆时针旋转得到 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了旋转的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
16． 或
【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作
线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分
别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心．此题得解．
解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1
所示，
∵B点的坐标为（4，2），D点的坐标为（4， ），∴E点的坐标为（2，0）；
②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图2所示，
∵B点的坐标为（4，2），C点的坐标为（6，2），
∴M点的坐标为（5，3）．
综上所述：这个旋转中心的坐标为（2，0）或（5，3）．
故答案为： 或 .
【点拨】本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键．
17．
解：连接D′C，
∵绕顶点A顺时针旋转45°，
∴∠D′CE=45°，
∵ED′⊥AC，
∴∠CD′E=90°，
∵AC= = ，
∴CD′= ﹣1，
∴正方形重叠部分的面积是 ×1×1﹣ ×（ ﹣1）（ ﹣1）= ﹣1
故答案为： ．【点拨】本题考查正方形的性质；旋转的性质．
18．（1） 或 ；（2）45°≤ ≤135°且 ≠90°
【分析】（1）先求出旋转后 与 的夹角，然后根据题意以点B为圆心， 的长为半径作弧，与直
线 的交点P即为所求，利用锐角三角函数即可求出BC和OC，再利用勾股定理求出PC，从而求出结论；
（2）当由图可知：当BC≤AB且A、B、P不共线时，直线 上存在点 ，使得 是以 为顶角的
等腰三角形，求出当BC=AB= 时， 的度数，然后根据题意即可求出结论．
解：（1）当 时，此时 与 的夹角为90°－60°=30°
以点B为圆心， 的长为半径作弧，与直线 的交点P即为所求，即BP=AB= ，过点B作BC⊥ ，
BC=OB·sin30°=1＜BP，OC=OB·cos30°=
∴在直线 上存在两个P点满足题意
根据勾股定理PC=
∴OP=OC－PC或OP=OC＋PC
∴OP= 或
故答案为： 或 ；（2）当由图可知：当BC≤AB且A、B、P不共线时，直线 上存在点 ，使得 是以 为顶角的
等腰三角形，
当BC=AB= 时，
sin∠BOC=
∴∠BOC=45°
当点B在直线 右侧时，
90°－∠BOC=45°；
当点B在直线 左侧时，
90°＋∠BOC=135°；
∵BC≤AB且A、B、P不共线时
∴45°≤ ≤135°且 ≠90°
故答案为：45°≤ ≤135°且 ≠90°．
【点拨】此题考查的是锐角三角函数、作等腰三角形和勾股定理，掌握锐角三角函数、分类讨论的数
学思想、勾股定理和利用极限思想求取值范围是解决此题的关键．
19．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）根据旋转的性质得出旋转后A，B两点对应坐标，即可得出答案；
（2）根据中心对称图形的性质，连接AO，BO，CO，并延长，使OA″＝OA，C″O＝CO，B″O＝BO，再
连接A″B″，B″C″，A″C″即可．
解：（1）如下图所示：（2）如下图所示：
【点拨】本题主要考查了坐标与图形的性质以及中心对称图形的性质，根据已知得出对应点的位置是
解题的关键．
20．（1）旋转中心为点 ，旋转角为 ；（2） ，
【分析】（1）先求解 ， 由点 旋转后与自身重合可得旋转中心，由 是旋转前后的
对应点，可得旋转角 的大小；
（2）由旋转的性质可得： ，结合点C为 中点，从而可
得 ．
（1）解：在 中， ，
，
当 逆时针旋转一定角度后与 重合，
旋转中心为点 ， 等于旋转角，即旋转角度数为 ．
（2）解： 绕点 逆时针旋转 后与 重合，
， ， ，
，
点 为 中点，，
．
【点拨】本题考查的是旋转的三要素，旋转的性质，掌握“旋转中心，旋转方向，旋转角度与旋转的
性质”是解本题的关键．
21．（1）见分析；（2） 或 ，图见分析，理由见分析
【分析】（1）旋转的性质，得到 ，进而得到 ，根据等角的余角相等，即可得
证；
（2）分点 在 右侧和 左侧，两种情况进行求解即可．
解：（1）证明：∵矩形 绕点 顺时针旋转 （ ），得到矩形 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
（2）当 时，点G在 的垂直平分线上，分两种情况讨论：
①当点G在 右侧时，取 的中点H，连接 交 于M，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ；
②当点G在 左侧时，同理可得 是等边三角形，∴ ，
∴旋转角 ．
【点拨】本题考查矩形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．
熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
22．（1） ，理由见详解；（2）仍然成立，理由见详解
【分析】（1）易证 和 都是等边三角形，从而可以求出 ，
，进而可以证到 ；
（2）过点 作 ，交 的延长线于点 ，由“ ”可证 ，可得 ；
解：（1） ．理由如下：如图1，
，
， ，
，
和 都是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
， ，
， ，
；
（2）仍然成立： ，
如图2：过点 作 ，交 的延长线于点 ，则 ， ，由旋转可得， ， ，
，
，
，
，
，
，
在 与 中，
，
，
；
【点拨】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，
等边三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
23．（1） ， ；（2） ；（3） 或
【分析】（1）根据直线上点的坐标特征求得A、C的坐标，即可求得 ，解析式联立，解方程组
即可求得B点的坐标；
（2）根据题意得出 ，即可得到 ，解得m的值，即可求得P的坐标；
（3）根据 ，借助图象即可得到当 时，则 ，解得 ；当 时，则，解得 ．
解：（1）在直线 中，令 ，则 ，
∴ ，
在直线 中，令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
解 得， ，
∴ ；
（2）设 ，则 ，
∵线段 与 关于点B成中心对称
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
（3）设 ，则 ，
由题意可知， ，
当 时，则 ，
解得 ；
当 时，则 ，解得 ，
综上，m的取值范围是 或 ．
【点拨】本题考查了两条直线相交或平行问题，中心对称的性质，根据题意表示出点的坐标是解题的
关键．
24．（1）①见分析；② ；
（2） ，理由见分析；
【分析】（1）①由旋转的性质可知： ， ，接下来证明 ，即可
求证；②由全等三角形的性质可知： ， ，设正方形的边长为 ，接下来在
中，依据勾股定理列方程求解即可；
（2）将 逆时针旋转 得到 ，在 中依据勾股定理可证明 ，
接下来证明 ，得到 ，最后再由 即可求证．
解：（1）①证明：由旋转的性质可知： ， ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ， ，又∵ ， ，
∴ ，
设正方形的边长为 ，则 ， ，
，
∴ ，
在 中， ，即 ，
解得 或 （负值舍去），
即 ；
（2） ，理由如下：
如图所示：将 逆时针旋转 得到 ，连接 ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
由旋转的性质可得： ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【点拨】此题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键
是熟练掌握相关基础性质，作辅助线，构造出全等三角形．
