文档内容
专题20.6 勾股定理中的最短路径模型
（第二十章 勾股定理）
【人教版八下 新教材】
●
知识简介 明确目标..........................................................................1
四大模型精讲...............................................................................1
模型精讲1.圆柱中的最短路径模型.........................................................1
模型精讲2.长方体中的最短路径模型.......................................................2
模型精讲3.阶梯中的最短路径模型.........................................................3
模型精讲4.将军饮马与空间最短路径模型...................................................3
模型分类讲练...............................................................................4
模型讲练一：圆柱中的最短路径模型.......................................................4
模型讲练二：长方体中的最短路径模型.....................................................8
模型讲练三：阶梯中的最短路径模型......................................................13
模型讲练四：将军饮马与空间最短路径模型................................................17
优选题闯关训练............................................................................24
勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、
生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可
以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短
路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化
为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。
模型精讲1.圆柱中的最短路径模型条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点
B。
结论：彩带最短需要厘米．
证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接 ，
根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是 的长度，
由勾股定理得， ，则这条丝线的最短长度是厘米，
注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；
2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。
模型精讲2.长方体中的最短路径模型
条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞
b）。
结论：蚂蚁爬行的最短路程是
证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时， ；则 ；
如图，当长方体的侧面按图乙展开时， ；
则 ；
如图，当长方体的侧面按图丙展开时， ；
则 ；
∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故 ＞ ＞
∴蚂蚁所行的最短路线长为 ，
注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论；
2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。
模型精讲3.阶梯中的最短路径模型
条件：如图一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端点，
点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。
结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点 的最短路程为
证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h，
∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到 点最短路程是此长方形的对角线的长，
则由勾股定理得 ；
则蚂蚁沿着台阶面爬到 点最短路程是 ．注意：展开—定点—连线—勾股定理
模型精讲4.将军饮马与空间最短路径模型
条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离
容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处，
结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。
证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点 ，过 作 交B的延长线于D，
则四边形 是矩形，∴ ， ，连接 ，则 即为最短距离，
∵由题意得， （ ）， =a（ ）， （ ），
在 中， （ ）．
注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定
理求解。
模型讲练一：圆柱中的最短路径模型
【典例分析】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，圆柱高9厘米，底面周长24厘米，一只蚂蚁在圆柱
底部外壁的点A处，点B在圆柱外壁与点A相对且距上表面4厘米处，这只蚂蚁从点A爬行到点B的最短路
程为 厘米．【答案】13
【思路引导】本题主要考查了平面展开图、最短路径问题等知识点，掌握利用平面展开图求最短距离的方
法是解题的关键．
先将圆柱侧面展开，再根据两点之间线段最短可知AB的长即蚂蚁爬行的最短路程，再利用勾股定理求解
即可．
【规范解答】解：圆柱高9厘米，底面周长24厘米的展开图如下：
由题意可得：AC=24÷2=12cm,BC=9−4=5cm，
所以AB=❑√AC2+BC2=❑√122+52=13cm．
所以，这只蚂蚁从点A爬行到点B的最短路程为13厘米．
故答案为13．
【变式训练1】（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，有一个圆柱形的礼盒，上下底面圆上有相对的
A，B两点，现要用一条丝带装饰礼盒，丝带沿侧面缠绕礼盒一圈，并且经过A，B两点．若礼盒高10cm，
底面圆的周长为48cm，那么需要丝带的长度最少为 cm．
【答案】52
【思路引导】本题考查了圆柱体的展开图和勾股定理的应用，准确的计算是解决本题的关键．将圆柱体展
开如图，点A为展开图长方形一边的中点，BC为底面圆周长的一半，再运用勾股定理求出AB即可得到解
答．
【规范解答】解：将圆柱体展开如图，点A为展开图长方形一边的中点，BC为底面圆周长的一半，
∴BC=24cm，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√102+242=26cm，
∴需要丝带的长度最少为26×2=52cm．
故答案为：52．【变式训练2】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，
如图所示，每根雕龙木柱高AD为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面
盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 米．
【答案】7.5
【思路引导】本题考查圆柱表面绕线最短问题，核心是将圆柱侧面展开为长方形，将空间曲线转化为平面
直角三角形的斜边，再利用勾股定理求解．
将圆柱侧面展开，每圈龙的长度与高度的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可．
【规范解答】解：如图：
根据题意可得柱身高为6米，底面周长为1.5米，
∵有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，
1 1
∴AE=1.5米，AB= AD= ×6=2米，
3 3
∴BE=❑√AE2+AB2=❑√1.52+22=2.5米，
故雕刻在木柱上的巨龙长至少为2.5×3=7.5米．
故答案为：7.5．
【变式训练3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，圆柱的底面周长为24cm，高AB为5cm，BC
是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿侧面爬行到点C，则爬行的最短路程为（ ）A．29cm B．17cm C．13cm D．❑√601cm
【答案】C
【思路引导】本题考查了圆柱的侧面展开图，勾股定理等知识，将侧面展开，构造直角三角形是解题的关
键．将圆柱体侧面展开，利用勾股定理求出AC的长即可．
【规范解答】解：如图为圆柱体的侧面展开图，
∵ 24cm
圆柱体的底面周长为 ，
1
∴半周长为24× =12cm，
2
又∵AB=5cm，
∴AC=❑√52+122=13cm，
∴沿着圆柱的侧面爬行到点C，蚂蚁爬行的最短路程是13cm．
故选：C．
【变式训练4】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图所示的示意图是滑板爱好者使用的U型池，该U
32
型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 米的半圆，
π
AB=CD=16米，点E在CD上，CE=4米．若一名滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短距离为
（ ）
A．18米 B．20米 C．30米 D．2❑√305米【答案】B
【思路引导】本题考查了平面展开−最短路径问题．要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进
16
而根据“两点之间线段最短”得出结果，U型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为
π
的半圆的弧长，长方形的长等于AB=CD=16，再根据勾股定理进行解答即可．
【规范解答】解：如图是其侧面展开图：
1 32
AD= ×π× =16（米），AB=CD=16（米），DE=CD−CE=16−4=12（米），
2 π
在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，
∴162+122=AE2，
解得AE=20（负值舍去），
故他滑行的最短距离为20米．
故选：B．
模型讲练二：长方体中的最短路径模型
【典例分析】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，一个长方体形状的盒子（有盖）的长、宽、高
分别是6cm，3cm，2cm，一只蚂蚁想从盒底的点A处沿盒的外表面爬到盒顶的点B处，蚂蚁爬行的最短
路程是 cm．
【答案】❑√61
【思路引导】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出
符合条件的最短路线．分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段AB的长度，再进行比较即可．
【规范解答】解：设定字母如图所示：①如图1，展开后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：
AB=❑√AM2+BM2=❑√(6+3) 2+22=❑√85(cm)；
②如图2，展开后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
AB=❑√AD2+BD2=❑√62+(3+2) 2=❑√61(cm)；
③如图3，展开后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离，
在Rt△ANB中，由勾股定理得：AB=❑√AN2+BN2=❑√32+(2+6) 2=❑√73(cm)．
∵❑√61<❑√73<❑√85
∴蚂蚁爬行的最短路程是❑√61cm．
故答案为：❑√61．
【变式训练1】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ．
【答案】25
【思路引导】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关
键．由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后
利用勾股定理进行求解最短路径即可．
【规范解答】解：由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示：
∴BD=15，AD=20，
∴在Rt△ADB中，AB=❑√BD2+AD2=25；
②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示：
∴BD=25，AD=10，
∴在Rt△ADB中，AB=❑√BD2+AD2=❑√725；
∵❑√725>25，
∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是25，由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑；
故答案为25．
【变式训练2】（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点B与点
C的距离为2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．求蚂蚁需要爬行的最短距离．
【答案】2❑√41
【思路引导】本题考查了最短路径问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键；
根据不同的切割方式可以有不同的路径，分别求出蚂蚁需要爬行的路程，最后比较大小即可．
【规范解答】解：将长方体的两个面展开，连接AB．
分三种情况：
①如图①，AB=❑√BD2+AD2=❑√122+62=6❑√5；
②如图②，AB=❑√AE2+BE2=❑√102+82=2❑√41；
③如图③，AB=❑√AC2+BC2=❑√162+22=2❑√65．∵2❑√41<6❑√5<2❑√65
，
∴蚂蚁需要爬行的最短距离是2❑√41．
【变式训练3】（25-26八年级上·四川内江·期末）如图，若正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则
一只蚂蚁从M点沿盒子的表面爬行到A点的最短距离为（ ）
A．3 B．❑√13 C．❑√15 D．❑√17
【答案】B
【思路引导】本题考查了两点之间线段最短、正方体的展开图、勾股定理等知识，先利用展开图确定最短
路径，再由勾股定理求解即可，牢记相关概念和灵活应用是解题的关键．
【规范解答】解：如图，蚂蚁沿路线AM爬行路程最短，
∵BC=2 ，M为BC的中点，
∴MD=3，AD=2，
∴AM=❑√32+22=❑√13 ．
故选：B．
【变式训练4】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长为3cm，
高为10cm．在其侧面从顶点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至顶点B停止，则彩条的长度最短为
（ ）A．24cm B．25cm C．26cm D．27cm
【答案】C
【思路引导】本题考查了勾股定理，长方体侧面展开图，两点之间，线段最短等知识．根据题意画出长方
体侧面展开图，作点A关于CD的对称点F，连接BF，交CD于E，连接AE，则AE=EF，得到彩条最短
长度为AE+BE=BF．根据勾股定理求出BF的长即可得答案．
【规范解答】解：如图，
长方形ABCD为长方体侧面展开图，则AC=BD=3×4=12cm，AB=10cm，
作点A关于CD的对称点F，连接BF，交CD于E，连接AE，则AE=EF，AF=2AC=24cm，
∴彩条最短长度为AE+BE=EF+BE=BF，
在Rt△ABF中，BF=❑√AF2+AB2=❑√242+102=26cm．
故选：C．
模型讲练三：阶梯中的最短路径模型
【典例分析】（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图，在一个长AB为7m，宽AD为4m的长方形草
地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为1m的正方形，一只蚂
蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是多少？【答案】❑√97米
【思路引导】本题考查平面展开图—最短路径问题、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识解决实际问题
是解题的关键．
先画出展开图，再运用勾股定理求解即可．
【规范解答】解：如图：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽，
∴长为7+2×1=9米；宽为4米．
∴最短路径为：❑√92+42=❑√97（米）．
【变式训练1】（25-26八年级上·贵州·期末）【问题情境】
贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四
级台阶每一级的长、宽、高分别为15dm,3dm,2dm，如图1所示．A和B是这个四级台阶两个相对的端点，
若点A处有一只蚂蚁，它想到点B处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？
（1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接AB，经
过计算得到AB长度即为最短路程，则AB=______________dm．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是10cm，高是15cm，一只蚂蚁从点A出发沿着
玻璃杯的侧面到与点A相对的点B处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底6cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子
外壁，离杯子上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程是多少厘米？（杯
壁厚度不计）【答案】（1）25；（2）5❑√10厘米；（3）13cm；
【思路引导】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对
称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
（1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，A点与对称点C的连线，即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的
最短路程，再根据勾股定理计算长度即可．
【规范解答】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长(3+2)×4=20dm，宽15dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2=152+[(2+3)×4] 2=252，
解得：x=25．
故答案为：25；
（2）将圆柱体侧面展开，如图：
1
由题意得：AC= ×10=5(cm)，BC=15cm，
2
∴AB=❑√52+152=5❑√10(cm)，
∴该蚂蚁爬行的最短路程5❑√10厘米；
（3）如图，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，
连接AC，AC即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程，
1
EF=AG=3cm CF=FB=(15−6)cm=9cm AE= ×10cm=5cm
2
， ， ，CE=EF+CF=12cm，
根据勾股定理有：
AC=❑√AE2+CE2=❑√52+122=13(cm)，
∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为13cm．
【变式训练2】（2025八年级上·四川成都·专题练习）如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长
方体的木块，已知AD=12m，AB=3m，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1米的正方形，一
只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（ ）
A．13m B．10m C．6❑√5m D．3❑√17m
【答案】A
【思路引导】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，勾股定理．将木块表面展开，
然后根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
【规范解答】解：展开图如下：
蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程为A C 的长度，
1 1
由展开图得A B =AB+2 =3+2=5，B C =12
1 1 1 1
∴A C =❑√A B 2+B C 2
1 1 1 1 1 1
=❑√52+122
=13（m），
故选：A．
【变式训练3】（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，A和B是一个三级台阶两个相对的端点，点A
处有一只蚂蚁想到点B处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为8，3和2，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为 ．
【答案】17
【思路引导】本题考查了平面展开最短路径问题．用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的
长和宽即可解答．
【规范解答】解：如图，
三级台阶平面展开图为长方形，长为3×(2+3)=15，宽为8，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长，
即❑√82+152=17．
故答案为：17．
【变式训练4】（25-26八年级上·全国·期末）在一个长为5米、宽为3米的长方形草地ABCD上，放着
一个正三棱柱木块（如图），它的侧棱平行于AD，木块的主视图是边长为1米的正三角形．一只蚂蚁从点
A处到点C处需要走的最短路程是 米．
【答案】3❑√5
【思路引导】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意将木块展开，再利用两点之间线段最短是解题关键．
如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为5+1=6米，因为长
方形的宽为3米，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是对角线AC，利用勾股定理求解即可．
【规范解答】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，
∴长方形的长为5+1=6米，
∵长方形的宽为3米，
∴一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是对角线AC，
∴ AC=❑√AB2+BC2=❑√62+32=3❑√5米，
故答案为：3❑√5．
模型讲练四：将军饮马与空间最短路径模型
【典例分析】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，圆柱的高为13cm，底面周长为10cm，在圆柱
的下底面点A处有一只蚂蚁，它想吃到与点A相对、离上底面1cm的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬
行的最短路径示意图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【思路引导】本题考查了平面展开-最短路径问题，根据圆柱的侧面展开图为矩形，可知蚂蚁需爬行的最
短距离为线段AB，根据两点之间，线段最短可得解．【规范解答】解：如图所示，蚂蚁需爬行的最短距离为线段AB，
故选：A．
【变式训练1】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，
图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题．
比如❑√a2+b2的几何意义是以a，b为直角边的直角三角形斜边长，故当00）：
①解方程：❑√36−x2+❑√64−x2=10；
②求代数式❑√(x+4) 2+16−❑√x2+1的最大值．
【答案】(1)10(2)①x=4.8；②BE=5
【思路引导】本题考查了勾股定理的应用、三角形三边关系、将军饮马模型以及数形结合思想，解题的关
键是根据代数式的几何意义构造直角三角形，将代数问题转化为几何最值或求解问题。
（1）构造以x、3和8−x、3为直角边的两个直角三角形，拼接成共边线段长为8的图形，过其中一个直角
三角形的顶点作平行线构造新的直角三角形，利用勾股定理计算出共线时的线段长度，即为代数式的最小
值；
（2）①构造以x为公共直角边，斜边分别为6、8的两个直角三角形，结合已知等式判断出大三角形为直角
三角形，利用面积法或两边平方的代数方法求解x的值；
②构造两个直角三角形表示出代数式中的两个根式，利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”，确定
三点共线时差值取得最大值，再构造直角三角形用勾股定理计算该最大值。
【规范解答】（1）如图（1），作Rt△ABP与Rt△CDP，
且使BP=x，DP=8−x，BD=8，AB=3，CD=3，
则AP=❑√x2+9，CP=❑√(8−x) 2+9，
连接AC交BD于点E，则AC=❑√x2+9+❑√(8−x) 2+9，
过A作AF∥BD交CD延长线于F，则AF=BD=8，DF=AB=3，CF=DF+CD=6，
在Rt△ACF中，AC=❑√CF2+AF2=❑√62+82=10，
故❑√x2+9+❑√(8−x) 2+9的最小值为10．
（2）解：①如图（2），作Rt△ABC与Rt△DBC，且使AC=6，CD=8，BC=x，则AB=❑√62−x2，BD=❑√82−x2，AD=AB+BD=❑√36−x2+❑√64−x2=10，
1
×6×8
2
在△ACD中， AD2=AC2+CD2=62+82=102，即△ACD为直角三角形，则BC=x= =4.8，
1
×10
2
∵❑√36−x2+❑√64−x2=10，
∴❑√36−x2=10−❑√64−x2，
∴36−x2=100−20❑√64−x2+64−x2，
∴20❑√64−x2=128，
∴❑√64−x2=6.4，
∴64−x2=40.96，
∴x2=23.04，
∵x>0，
∴x=4.8
②如图（3），作Rt△ABC与Rt△ADE，使AC=AD+CD=x+4，BC=4，ED=1，
则AB−AE=❑√(x+4) 2+16−❑√x2+1，
过点E作EF⊥BC于F，连接BE，则EF=CD=4，CF=DE=1，BF=3，BE=❑√32+42=5，
在△ABE中，由三边关系得：AB−AE
