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专题20.6 勾股定理中的最短路径模型
（第二十章 勾股定理）
【人教版八下 新教材】
●
知识简介 明确目标..........................................................................1
四大模型精讲...............................................................................1
模型精讲1.圆柱中的最短路径模型.........................................................1
模型精讲2.长方体中的最短路径模型.......................................................2
模型精讲3.阶梯中的最短路径模型.........................................................3
模型精讲4.将军饮马与空间最短路径模型...................................................3
模型分类讲练...............................................................................4
模型讲练一：圆柱中的最短路径模型.......................................................4
模型讲练二：长方体中的最短路径模型.....................................................8
模型讲练三：阶梯中的最短路径模型......................................................13
模型讲练四：将军饮马与空间最短路径模型................................................17
优选题闯关训练............................................................................24
勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、
生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可
以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短
路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化
为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。
模型精讲1.圆柱中的最短路径模型条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点
B。
结论：彩带最短需要厘米．
证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接 ，
根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是 的长度，
由勾股定理得， ，则这条丝线的最短长度是厘米，
注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；
2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。
模型精讲2.长方体中的最短路径模型
条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞
b）。
结论：蚂蚁爬行的最短路程是
证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时， ；则 ；
如图，当长方体的侧面按图乙展开时， ；
则 ；
如图，当长方体的侧面按图丙展开时， ；
则 ；
∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故 ＞ ＞
∴蚂蚁所行的最短路线长为 ，
注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论；
2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。
模型精讲3.阶梯中的最短路径模型
条件：如图一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端点，
点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。
结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点 的最短路程为
证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h，
∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到 点最短路程是此长方形的对角线的长，
则由勾股定理得 ；
则蚂蚁沿着台阶面爬到 点最短路程是 ．注意：展开—定点—连线—勾股定理
模型精讲4.将军饮马与空间最短路径模型
条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离
容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处，
结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。
证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点 ，过 作 交B的延长线于D，
则四边形 是矩形，∴ ， ，连接 ，则 即为最短距离，
∵由题意得， （ ）， =a（ ）， （ ），
在 中， （ ）．
注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定
理求解。
模型讲练一：圆柱中的最短路径模型
【典例分析】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，圆柱高9厘米，底面周长24厘米，一只蚂蚁在圆柱
底部外壁的点A处，点B在圆柱外壁与点A相对且距上表面4厘米处，这只蚂蚁从点A爬行到点B的最短路
程为 厘米．【答案】13
【思路引导】本题主要考查了平面展开图、最短路径问题等知识点，掌握利用平面展开图求最短距离的方
法是解题的关键．
先将圆柱侧面展开，再根据两点之间线段最短可知AB的长即蚂蚁爬行的最短路程，再利用勾股定理求解
即可．
【规范解答】解：圆柱高9厘米，底面周长24厘米的展开图如下：
由题意可得：AC=24÷2=12cm,BC=9−4=5cm，
所以AB=❑√AC2+BC2=❑√122+52=13cm．
所以，这只蚂蚁从点A爬行到点B的最短路程为13厘米．
故答案为13．
【变式训练1】（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，有一个圆柱形的礼盒，上下底面圆上有相对的
A，B两点，现要用一条丝带装饰礼盒，丝带沿侧面缠绕礼盒一圈，并且经过A，B两点．若礼盒高10cm，
底面圆的周长为48cm，那么需要丝带的长度最少为 cm．
【答案】52
【思路引导】本题考查了圆柱体的展开图和勾股定理的应用，准确的计算是解决本题的关键．将圆柱体展
开如图，点A为展开图长方形一边的中点，BC为底面圆周长的一半，再运用勾股定理求出AB即可得到解
答．
【规范解答】解：将圆柱体展开如图，点A为展开图长方形一边的中点，BC为底面圆周长的一半，
∴BC=24cm，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√102+242=26cm，
∴需要丝带的长度最少为26×2=52cm．
故答案为：52．【变式训练2】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，
如图所示，每根雕龙木柱高AD为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面
盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 米．
【答案】7.5
【思路引导】本题考查圆柱表面绕线最短问题，核心是将圆柱侧面展开为长方形，将空间曲线转化为平面
直角三角形的斜边，再利用勾股定理求解．
将圆柱侧面展开，每圈龙的长度与高度的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可．
【规范解答】解：如图：
根据题意可得柱身高为6米，底面周长为1.5米，
∵有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，
1 1
∴AE=1.5米，AB= AD= ×6=2米，
3 3
∴BE=❑√AE2+AB2=❑√1.52+22=2.5米，
故雕刻在木柱上的巨龙长至少为2.5×3=7.5米．
故答案为：7.5．
【变式训练3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，圆柱的底面周长为24cm，高AB为5cm，BC
是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿侧面爬行到点C，则爬行的最短路程为（ ）A．29cm B．17cm C．13cm D．❑√601cm
【答案】C
【思路引导】本题考查了圆柱的侧面展开图，勾股定理等知识，将侧面展开，构造直角三角形是解题的关
键．将圆柱体侧面展开，利用勾股定理求出AC的长即可．
【规范解答】解：如图为圆柱体的侧面展开图，
∵ 24cm
圆柱体的底面周长为 ，
1
∴半周长为24× =12cm，
2
又∵AB=5cm，
∴AC=❑√52+122=13cm，
∴沿着圆柱的侧面爬行到点C，蚂蚁爬行的最短路程是13cm．
故选：C．
【变式训练4】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图所示的示意图是滑板爱好者使用的U型池，该U
32
型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 米的半圆，
π
AB=CD=16米，点E在CD上，CE=4米．若一名滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短距离为
（ ）
A．18米 B．20米 C．30米 D．2❑√305米【答案】B
【思路引导】本题考查了平面展开−最短路径问题．要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进
16
而根据“两点之间线段最短”得出结果，U型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为
π
的半圆的弧长，长方形的长等于AB=CD=16，再根据勾股定理进行解答即可．
【规范解答】解：如图是其侧面展开图：
1 32
AD= ×π× =16（米），AB=CD=16（米），DE=CD−CE=16−4=12（米），
2 π
在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，
∴162+122=AE2，
解得AE=20（负值舍去），
故他滑行的最短距离为20米．
故选：B．
模型讲练二：长方体中的最短路径模型
【典例分析】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，一个长方体形状的盒子（有盖）的长、宽、高
分别是6cm，3cm，2cm，一只蚂蚁想从盒底的点A处沿盒的外表面爬到盒顶的点B处，蚂蚁爬行的最短
路程是 cm．
【答案】❑√61
【思路引导】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出
符合条件的最短路线．分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段AB的长度，再进行比较即可．
【规范解答】解：设定字母如图所示：①如图1，展开后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：
AB=❑√AM2+BM2=❑√(6+3) 2+22=❑√85(cm)；
②如图2，展开后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
AB=❑√AD2+BD2=❑√62+(3+2) 2=❑√61(cm)；
③如图3，展开后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离，
在Rt△ANB中，由勾股定理得：AB=❑√AN2+BN2=❑√32+(2+6) 2=❑√73(cm)．
∵❑√61<❑√73<❑√85
∴蚂蚁爬行的最短路程是❑√61cm．
故答案为：❑√61．
【变式训练1】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ．
【答案】25
【思路引导】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关
键．由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后
利用勾股定理进行求解最短路径即可．
【规范解答】解：由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示：
∴BD=15，AD=20，
∴在Rt△ADB中，AB=❑√BD2+AD2=25；
②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示：
∴BD=25，AD=10，
∴在Rt△ADB中，AB=❑√BD2+AD2=❑√725；
∵❑√725>25，
∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是25，由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑；
故答案为25．
【变式训练2】（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点B与点
C的距离为2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．求蚂蚁需要爬行的最短距离．
【答案】2❑√41
【思路引导】本题考查了最短路径问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键；
根据不同的切割方式可以有不同的路径，分别求出蚂蚁需要爬行的路程，最后比较大小即可．
【规范解答】解：将长方体的两个面展开，连接AB．
分三种情况：
①如图①，AB=❑√BD2+AD2=❑√122+62=6❑√5；
②如图②，AB=❑√AE2+BE2=❑√102+82=2❑√41；
③如图③，AB=❑√AC2+BC2=❑√162+22=2❑√65．∵2❑√41<6❑√5<2❑√65
，
∴蚂蚁需要爬行的最短距离是2❑√41．
【变式训练3】（25-26八年级上·四川内江·期末）如图，若正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则
一只蚂蚁从M点沿盒子的表面爬行到A点的最短距离为（ ）
A．3 B．❑√13 C．❑√15 D．❑√17
【答案】B
【思路引导】本题考查了两点之间线段最短、正方体的展开图、勾股定理等知识，先利用展开图确定最短
路径，再由勾股定理求解即可，牢记相关概念和灵活应用是解题的关键．
【规范解答】解：如图，蚂蚁沿路线AM爬行路程最短，
∵BC=2 ，M为BC的中点，
∴MD=3，AD=2，
∴AM=❑√32+22=❑√13 ．
故选：B．
【变式训练4】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长为3cm，
高为10cm．在其侧面从顶点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至顶点B停止，则彩条的长度最短为
（ ）A．24cm B．25cm C．26cm D．27cm
【答案】C
【思路引导】本题考查了勾股定理，长方体侧面展开图，两点之间，线段最短等知识．根据题意画出长方
体侧面展开图，作点A关于CD的对称点F，连接BF，交CD于E，连接AE，则AE=EF，得到彩条最短
长度为AE+BE=BF．根据勾股定理求出BF的长即可得答案．
【规范解答】解：如图，
长方形ABCD为长方体侧面展开图，则AC=BD=3×4=12cm，AB=10cm，
作点A关于CD的对称点F，连接BF，交CD于E，连接AE，则AE=EF，AF=2AC=24cm，
∴彩条最短长度为AE+BE=EF+BE=BF，
在Rt△ABF中，BF=❑√AF2+AB2=❑√242+102=26cm．
故选：C．
模型讲练三：阶梯中的最短路径模型
【典例分析】（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图，在一个长AB为7m，宽AD为4m的长方形草
地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为1m的正方形，一只蚂
蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是多少？【答案】❑√97米
【思路引导】本题考查平面展开图—最短路径问题、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识解决实际问题
是解题的关键．
先画出展开图，再运用勾股定理求解即可．
【规范解答】解：如图：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽，
∴长为7+2×1=9米；宽为4米．
∴最短路径为：❑√92+42=❑√97（米）．
【变式训练1】（25-26八年级上·贵州·期末）【问题情境】
贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四
级台阶每一级的长、宽、高分别为15dm,3dm,2dm，如图1所示．A和B是这个四级台阶两个相对的端点，
若点A处有一只蚂蚁，它想到点B处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？
（1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接AB，经
过计算得到AB长度即为最短路程，则AB=______________dm．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是10cm，高是15cm，一只蚂蚁从点A出发沿着
玻璃杯的侧面到与点A相对的点B处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底6cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子
外壁，离杯子上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程是多少厘米？（杯
壁厚度不计）【答案】（1）25；（2）5❑√10厘米；（3）13cm；
【思路引导】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对
称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
（1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，A点与对称点C的连线，即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的
最短路程，再根据勾股定理计算长度即可．
【规范解答】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长(3+2)×4=20dm，宽15dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2=152+[(2+3)×4] 2=252，
解得：x=25．
故答案为：25；
（2）将圆柱体侧面展开，如图：
1
由题意得：AC= ×10=5(cm)，BC=15cm，
2
∴AB=❑√52+152=5❑√10(cm)，
∴该蚂蚁爬行的最短路程5❑√10厘米；
（3）如图，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，
连接AC，AC即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程，
1
EF=AG=3cm CF=FB=(15−6)cm=9cm AE= ×10cm=5cm
2
， ， ，CE=EF+CF=12cm，
根据勾股定理有：
AC=❑√AE2+CE2=❑√52+122=13(cm)，
∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为13cm．
【变式训练2】（2025八年级上·四川成都·专题练习）如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长
方体的木块，已知AD=12m，AB=3m，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1米的正方形，一
只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（ ）
A．13m B．10m C．6❑√5m D．3❑√17m
【答案】A
【思路引导】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，勾股定理．将木块表面展开，
然后根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
【规范解答】解：展开图如下：
蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程为A C 的长度，
1 1
由展开图得A B =AB+2 =3+2=5，B C =12
1 1 1 1
∴A C =❑√A B 2+B C 2
1 1 1 1 1 1
=❑√52+122
=13（m），
故选：A．
【变式训练3】（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，A和B是一个三级台阶两个相对的端点，点A
处有一只蚂蚁想到点B处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为8，3和2，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为 ．
【答案】17
【思路引导】本题考查了平面展开最短路径问题．用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的
长和宽即可解答．
【规范解答】解：如图，
三级台阶平面展开图为长方形，长为3×(2+3)=15，宽为8，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长，
即❑√82+152=17．
故答案为：17．
【变式训练4】（25-26八年级上·全国·期末）在一个长为5米、宽为3米的长方形草地ABCD上，放着
一个正三棱柱木块（如图），它的侧棱平行于AD，木块的主视图是边长为1米的正三角形．一只蚂蚁从点
A处到点C处需要走的最短路程是 米．
【答案】3❑√5
【思路引导】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意将木块展开，再利用两点之间线段最短是解题关键．
如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为5+1=6米，因为长
方形的宽为3米，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是对角线AC，利用勾股定理求解即可．
【规范解答】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，
∴长方形的长为5+1=6米，
∵长方形的宽为3米，
∴一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是对角线AC，
∴ AC=❑√AB2+BC2=❑√62+32=3❑√5米，
故答案为：3❑√5．
模型讲练四：将军饮马与空间最短路径模型
【典例分析】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，圆柱的高为13cm，底面周长为10cm，在圆柱
的下底面点A处有一只蚂蚁，它想吃到与点A相对、离上底面1cm的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬
行的最短路径示意图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【思路引导】本题考查了平面展开-最短路径问题，根据圆柱的侧面展开图为矩形，可知蚂蚁需爬行的最
短距离为线段AB，根据两点之间，线段最短可得解．【规范解答】解：如图所示，蚂蚁需爬行的最短距离为线段AB，
故选：A．
【变式训练1】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，
图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题．
比如❑√a2+b2的几何意义是以a，b为直角边的直角三角形斜边长，故当0<x<3求❑√x2+9+❑√(3−x) 2+1的
最小值时，可数形结合构造两个分别以x，3和3−x，1为直角边的直角三角形（如图），
∠B=∠D=90°，AB=3，BP=x，CD=1，DP′=3−x，由勾股定理知AP=❑√x2+9，
CP′=❑√(3−x) 2+1，细心观察发现BP与DP′的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马
几何模型与三角形三边关系可推得，当A、P、C三点共线（点P位于A、C之间）时，
❑√x2+9+❑√(3−x) 2+1的最小值为线段AC的长．
(1)根据上述规律和结论，请构图求代数式❑√x2+9+❑√(8−x) 2+9的最小值（其中0<x<8）；
(2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中x>0）：
①解方程：❑√36−x2+❑√64−x2=10；
②求代数式❑√(x+4) 2+16−❑√x2+1的最大值．
【答案】(1)10(2)①x=4.8；②BE=5
【思路引导】本题考查了勾股定理的应用、三角形三边关系、将军饮马模型以及数形结合思想，解题的关
键是根据代数式的几何意义构造直角三角形，将代数问题转化为几何最值或求解问题。
（1）构造以x、3和8−x、3为直角边的两个直角三角形，拼接成共边线段长为8的图形，过其中一个直角
三角形的顶点作平行线构造新的直角三角形，利用勾股定理计算出共线时的线段长度，即为代数式的最小
值；
（2）①构造以x为公共直角边，斜边分别为6、8的两个直角三角形，结合已知等式判断出大三角形为直角
三角形，利用面积法或两边平方的代数方法求解x的值；
②构造两个直角三角形表示出代数式中的两个根式，利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”，确定
三点共线时差值取得最大值，再构造直角三角形用勾股定理计算该最大值。
【规范解答】（1）如图（1），作Rt△ABP与Rt△CDP，
且使BP=x，DP=8−x，BD=8，AB=3，CD=3，
则AP=❑√x2+9，CP=❑√(8−x) 2+9，
连接AC交BD于点E，则AC=❑√x2+9+❑√(8−x) 2+9，
过A作AF∥BD交CD延长线于F，则AF=BD=8，DF=AB=3，CF=DF+CD=6，
在Rt△ACF中，AC=❑√CF2+AF2=❑√62+82=10，
故❑√x2+9+❑√(8−x) 2+9的最小值为10．
（2）解：①如图（2），作Rt△ABC与Rt△DBC，且使AC=6，CD=8，BC=x，则AB=❑√62−x2，BD=❑√82−x2，AD=AB+BD=❑√36−x2+❑√64−x2=10，
1
×6×8
2
在△ACD中， AD2=AC2+CD2=62+82=102，即△ACD为直角三角形，则BC=x= =4.8，
1
×10
2
∵❑√36−x2+❑√64−x2=10，
∴❑√36−x2=10−❑√64−x2，
∴36−x2=100−20❑√64−x2+64−x2，
∴20❑√64−x2=128，
∴❑√64−x2=6.4，
∴64−x2=40.96，
∴x2=23.04，
∵x>0，
∴x=4.8
②如图（3），作Rt△ABC与Rt△ADE，使AC=AD+CD=x+4，BC=4，ED=1，
则AB−AE=❑√(x+4) 2+16−❑√x2+1，
过点E作EF⊥BC于F，连接BE，则EF=CD=4，CF=DE=1，BF=3，BE=❑√32+42=5，
在△ABE中，由三边关系得：AB−AE<BE，
如图（4），当A、E、B三点共线时，AB−AE=❑√(x+4) 2+16−❑√x2+1有最大值为BE=5．【变式训练2】（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高
为12cm，底面周长为16cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，
且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．20cm B．❑√208cm C．10cm D．❑√292cm
【答案】B
【思路引导】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算
是解题的关键
将容器侧面展开，作出A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求，在
Rt△A′BD中，根据勾股定理即可求出A′B的长度；
【规范解答】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，过A′作A′D⊥A A′交BC的延长线
于D，
则四边形A′ECD是矩形，
∴A′D=EC，A′E=AE=CD，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
∵高为12cm，底面周长为16cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，
离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D=8cm，BD=12−3+A′E=12cm，
在Rt△A′BD中，A′B=❑√A′D2+BD2=❑√82+122=❑√208cm．
故选B．
【变式训练3】（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为
20dm，3dm，2dm，A和B是这个三级台阶两个相对的端点，若A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食
物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接AB，经过计算得到
AB长度即为最短路程，则AB= dm．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发沿
着玻璃杯的侧面到与点A相对的点B处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此
时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程
是多少厘米？（杯壁厚度不计）
【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为
20cm．
【思路引导】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对
称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
（1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，A点与对称点C的连线，即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的
最短路程，再根据勾股定理计算长度即可．【规范解答】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为(2+3)×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2=202+[(2+3)×3] 2=252，
解得：x=25．
答：蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是25dm．
故答案为：25；
（2）将圆柱体侧面展开，如图：
1
由题意得：AC= ×48=24(cm)，BC=7cm，
2
∴AB=❑√242+72=25(cm)，
∴该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；
（3）如图，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，
连接AC，AC即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程，
1
EF=AG=3cm CF=FB=(14−5)cm=9cm AE= ×32cm=16cm
2
， ， ，
CE=EF+CF=12cm，
根据勾股定理有：
AC=❑√AE2+CE2=❑√122+162=20(cm)，
∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为20cm．
【变式训练4】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图所示，已知圆柱的一个底面周长为36，高1
AB=5，点P在圆柱上底面的圆周上，点B距点P在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的 ，AC为
3
下底面圆的直径，小虫在圆柱外侧面爬行，从点A处爬到点P处，然后再从点P处爬到点C处，则小虫爬行
的最短路程为 ．
【答案】13+❑√61/❑√61+13
【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，化曲面为平面，正确画出图形是解题关键﹒根据题
意画出图形，得到AB=CD=5，AC=BD=18，先求出BP=12，DP=6，根据勾股定理即可求出小虫爬
行的最短路程为AP+PC=13+❑√61﹒
36
【规范解答】解：如图，由题意得AB=CD=5，AC=BD= =18，
2
1
∵点B距点P在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的 ，
3
1
∴BP= ×36=12，DP=BD−BP=6，
3
∴小虫爬行的最短路程为AP+PC=❑√AB2+BP2+❑√CD2+PD2=❑√52+122+❑√52+62=13+❑√61﹒
故答案为：13+❑√61
1．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，底面周长为12，高为8的圆柱体，在圆柱下底面A有一只
蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的食物B，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离是（ ）A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】D
【思路引导】本题考查了勾股定理的应用−最短路径问题，把圆柱体展开，连接AB，由两点之间线段最短，
可知线段AB即为爬行的最短路径，再利用勾股定理解答即可求解，正确画出图形是解题的关键．
【规范解答】解：如图，圆柱体侧面展开图为长方形BCDE，连接AB，则线段AB即为爬行的最短路径，
1 1
∴∠C=90° AC= AD= ×12=6 BC=8
2 2
， ， ，
∴AB=❑√BC2+AC2=❑√82+62=10，
即蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离是10，
故选：D．
2．（25-26八年级上·广东梅州·期中）某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行1.6km后，
再向北飞行1.2km抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．
若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（ ）
A．1.8km B．2.0km C．2.1km D．3.0km
【答案】B
【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键；
直接根据勾股定理求解即可．
【规范解答】解：由题意可知，从仓库到社区配送点的最短路径=❑√1.62+1.22=2.0(km)，
故选：B．
3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，圆柱的底面周长是6cm，圆柱高为8cm，一只蚂蚁如果要
沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（ ）A．11cm B．❑√71cm C．10cm D．❑√73cm
【答案】D
【思路引导】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题．将圆柱体展开，利用勾股定理求出最短路径的长
即可．
【规范解答】解：底面周长为6cm，则半圆弧长为3cm，
画展开图形如下：
根据勾股定理得AB=❑√32+82=❑√73(cm)．
∴它爬行的最短路程为❑√73cm，
故选：D．
4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，
每根雕龙木柱高AD为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到
达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（ ）
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
【答案】A
【思路引导】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每
圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案．
【规范解答】解：如图，根据题意可得，底面周长为1.5米，柱身高为6米，
∵有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，
1 1
∴AE=1.5米，AB= AD= ×6=2（米），
3 3
∴BE=❑√1.52+22=2.5（米），
故雕刻在木柱上的巨龙长至少为2.5×3=7.5（米），
故选：A．
5．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，在等腰三角形ABC中 ，AB=AC=13，CD，AE分
120
别是△ABC的高和中线，CD= ，AE=12，F是AE上的一个动点，则BF+DF的最小值是（ ）
13
130 120
A． B． C．13 D．12
12 13
【答案】B
【思路引导】本题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，等腰三角形的性质，熟悉对称点的运用和画
法，知道何时线段和最小是解题的关键．
利用等腰三角形的对称性找到点B的对称点C，连接CF，当CF⊥AB时，线段的和最小，最小值为CD．
【规范解答】解：∵在等腰△ABC中，AB=AC=13，AE是△ABC的中线，
∴AE⊥BC，故点B关于AE的对称点是点C，
连接CF，∴BF=CF，
∴BF+DF=CF+DF≥CD，
∴当CF⊥AB时，BF+DF有最小值，即CD的长度，
120
故BF+DF的最小值是 ．
13
故选：B．
6．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，
底面周长为16cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容
器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．20cm B．❑√208cm C．10cm D．❑√292cm
【答案】B
【思路引导】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算
是解题的关键
将容器侧面展开，作出A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求，在
Rt△A′BD中，根据勾股定理即可求出A′B的长度；
【规范解答】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，过A′作A′D⊥A A′交BC的延长线
于D，则四边形A′ECD是矩形，
∴A′D=EC，A′E=AE=CD，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
∵高为12cm，底面周长为16cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，
离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D=8cm，BD=12−3+A′E=12cm，
在Rt△A′BD中，A′B=❑√A′D2+BD2=❑√82+122=❑√208cm．
故选B．
二、填空题
7．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池
32
可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 米的半圆，其边缘
π
AB=CD=16米，点E在CD上，CE=4米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为
米．
【答案】20
【思路引导】本题考查了平面展开-最短路径问题，熟练掌握该知识点是关键．
要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，U型池的侧
32
面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为 的半圆的弧长，长方形的长等于AB=CD=16米，
2π
然后问题可求解．
【规范解答】解：如图是其侧面展开图：
1 32
AD= π× =16米，AB=CD=16米，DE=CD−CE=12米，
2 π在Rt△ADE中，122+(16) 2=AE2，
解得AE=20（负值舍去），
故他滑行的最短距离约为20米；
故答案为：20．
8．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，在底面周长约为6米的圆柱花柱上，有一串装饰彩灯从柱
底（点 A）沿花柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶（点 C），B为AC的中点．已知装饰彩灯部分的柱身高约
16米，则这串装饰彩灯至少长为 米．
【答案】20
【思路引导】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意把圆柱体
的侧面展开，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到答案．
【规范解答】解：如图，把圆柱体的侧面展开，
∵底面周长约为6米，柱身高约16米，
1
∴BF=6米，BE=BD= DE=8米，
2
∴EF=❑√BF2+BE2=❑√62+82=10（米），则这串装饰彩灯至少长为10×2=20米．
故答案为：20．9．（25-26八年级上·重庆·期中）如图是一个长2cm、宽1cm、高1cm的无盖长方体果盘，果盘侧面镂
空，用一个隔板（厚度忽略不计）卡在中间把果盘分成两个大小相等的正方体，若在果盘内部顶点B处有
一滴蜂蜜，果盘内部顶点A处的小蚂蚁想去吃蜂蜜（蚂蚁只能沿着底面和隔板表面行走，不能走边缘和镂
空侧面），则小蚂蚁所走的最短路径长为 ．
【答案】❑√17cm
【思路引导】本题考查了平面展开—最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
把底面和隔板的两面展开，根据勾股定理即可得到结论．
【规范解答】解：如图，
则小蚂蚁所走的最短路径长=❑√(1+1+1+1) 2+12=❑√17(cm)，
故答案为：❑√17cm．
10．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，一个没有上盖的圆柱形食品盒，它的高等于10cm，底
面周长为24cm，在盒下底面的点A处有一只蚂蚁，想沿盒壁外部爬行吃到盒外部正对面中部点B处的食
物．若蚂蚁爬行的速度为2cm/s．那么它至少需要 秒．
12 5
【答案】 +
π 2
【思路引导】按不同的展开方式，分类讨论：第一种情况：蚂蚁沿着圆柱体的侧面直接到达B点，利用勾
股定理即可求解；第二种情况：蚂蚁由A点经过底面圆直达B点，此时爬行的距离为BC加上底面圆的直径；
最后比较两种方式所用的时间即可求解．
本题考查了圆柱体中的最短路径问题，解答此题的关键是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”．
解答此题时，熟练掌握勾股定理，圆周长公式，注意分类讨论．【规范解答】解：分两种情况讨论：
第一种情况，蚂蚁沿着圆柱体的侧面直接从A点到达B点，
设圆柱侧面展开图中的CD为高，AE为底面周长，
此时：将圆柱体的侧面展开，连接AB，即AB为最短路径，如图，
根据题意有：CD=10，AE=24，
∵AC为底面圆周长的一半，
1
∴AC= AE=24÷2=12，
2
∵B点为CD中点，
1
∴BC= CD=5，
2
在Rt△ABC中，PB=❑√AP2+AB2=❑√52+122=13（cm），
∵蚂蚁的速度为2cm/s，
13
∴蚂蚁需要的时间为：13÷2= （s），
2
13
即此时蚂蚁需要 s；
2
第二种情况：蚂蚁由A点经过底面圆直达B点，
连接AC，可知AC为底面圆的直径，圆柱体展开如图，
∵底面圆的周长为24，
24
∴底面圆的直径AC= ，
π
10
∵BC= =5，
224
∴此时蚂蚁行走的距离为AC+CB= +5（cm），
π
(24 ) 12 5
∴此时蚂蚁需要的时间为： +5 ÷2= + （s），
π π 2
12 5 13
∵ + < ，
π 2 2
(12 5)
∴蚂蚁需要的最短时间为： + s，
π 2
12 5
故答案为： + ．
π 2
11．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯ABCD，因使用时间而
变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为2，已知AE+BF=6m，BC=5m，一只蚂蚁从
A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 m的路程．（π取3）
【答案】13
【思路引导】本题考查了勾股定理的应用−最短路径问题，将中间半圆展开，连接AC，则线段AC的长度
即为蚂蚁爬行的最短路程，先求出AB的长，再利用勾股定理解答即可求解，找出蚂蚁爬行的最短路径是
解题的关键．
【规范解答】解：如图，将中间半圆展开，连接AC，则线段AC的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，
1 1
由题意可得，EF=2πr× =2×3×2× =6m，
2 2
∴AB=AE+BF+EF=6+6=12m，
∵BC=5m，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√122+52=13m，
∴它至少要走13m的路程，
故答案为：13．12．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）如图，由20个棱长为1的小正方体搭成一个组合体，蚂蚁
从左下角点A爬到右上角点B的最短路线长度的平方是 ．
【答案】41
【思路引导】要解决蚂蚁从点A爬到点B的最短路线长度的平方问题，需将立体组合体的表面展开为平面
图形，利用“两点之间线段最短”转化为直角三角形问题，再通过勾股定理计算．关键是确定展开后直角
三角形两条直角边的长度．
【规范解答】由20个棱长为1的小正方体搭成组合体，观察结构可知：组合体的长为4、宽为2、高为3．
蚂蚁在立体表面爬行的最短路径，需将表面展开为平面．点A与点B在同一平面内形成直角三角形，其两
条直角边分别为：
水平方向：宽与高之和，即2+3=5；
垂直方向：长，即4．
根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和．因此，最短路线长度的平方为：
52+42=25+16=41
故答案为：41
【考点剖析】本题的核心是将立体图形表面展开为平面图形，把空间中的最短路径问题转化为平面上的直
角三角形问题，再利用勾股定理求解．关键在于准确分析组合体的长、宽、高，并选择合适的展开方式确
定直角边长度．
13．（25-26八年级上·山东·期末）如图，等腰△ABC底边BC长为4cm，面积12 cm2，腰AB的垂直平
分线EF交AC于点F，若D为BC边上中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小值为
cm．【答案】8
【思路引导】此题考查了轴对称——最短路线问题，连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的
中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD=6，再根据EF是AB线段的垂直平分线可知，点
B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论，熟知等腰三角形三
线合一的性质，两点之间线段最短是解答此题的关键．
【规范解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
1 1
∴S = BC⋅AD= ×4×AD=12，
ABC 2 2
解得：AD=6（cm），
∵EF是AB线段的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
1 1
∴△BDM的周长最短=(BM+MD)+BD=AD+ BC=6+ ×4=6+2=8（cm），
2 2
故答案为：8．
14．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所
示，每根雕龙木柱高AD为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3
圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 米．
【答案】7.5
【思路引导】本题考查圆柱表面绕线最短问题，核心是将圆柱侧面展开为长方形，将空间曲线转化为平面直角三角形的斜边，再利用勾股定理求解．
将圆柱侧面展开，每圈龙的长度与高度的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可．
【规范解答】解：如图：
根据题意可得柱身高为6米，底面周长为1.5米，
∵有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，
1 1
∴AE=1.5米，AB= AD= ×6=2米，
3 3
∴BE=❑√AE2+AB2=❑√1.52+22=2.5米，
故雕刻在木柱上的巨龙长至少为2.5×3=7.5米．
故答案为：7.5．
15．（25-26八年级上·北京西城·月考）如图，在等边△ABC中，点P、Q在边BC上，并且满足
BP=CQ，连接AP、AQ，点N为AC上一动点，连接PN、QN．若AB=6，则在点P从B运动到C的过
程中，PN+QN最短时，CN= ．
3
【答案】
2
【思路引导】本题考查了等边三角形的判定和性质，最短路径问题，轴对称的性质，等腰三角形的性质，
含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，构造对称点是解题的关键. 作点Q关于AC的对称点Q′，连接
AQ′,CQ′,PQ′，则PQ′交AC于点N，证明△APQ′是等边三角形，当P,Q重合时，PN+QN最小，此
时在Rt△PNC中求得CN最小.
【规范解答】解：作点Q关于AC的对称点Q′，连接AQ′,CQ′,PQ′，则PQ′交AC于点N，
在等边△ABC中，AB=AC,∠B=∠ACB=60°，∵BP=CQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，
由轴对称的性质，得AQ=AQ′,CQ=CQ′，Q′N=QN，
∵AC=AC，
∴△AQC≌△AQ′C(SSS)，
∴∠QAC=∠Q′ AC=∠BAP，
∵∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°，
∴∠Q′ AC+∠PAC=60°，即∠Q′ AP=60°，
∵AP=AQ′，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′=AP，
∵PN+QN=PN+NQ′=PQ′，
∴当AP⊥BC，即P，Q两点重合时，PN+QN取得最小值，
1 1
此时，BP= BC= ×6=3，
2 2
在Rt△ABP中，AP=❑√AB2−BP2=❑√62−32=3❑√3，
∴PQ=3❑√3
∴当PQ=3❑√3时，PN+QN最小，
∵∠PAC=∠Q′ AC,AP=AQ′，
∴AC⊥PQ′，
在Rt△PNC中，∠NCP=60°,∠NQC=30°，
1 1 3
∴CN= PC= ×3= .
2 2 2
3
故答案为： .
2三、解答题
16．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯，因
造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中．
(1)如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点
A，B为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的
示意图；
7
(2)在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为3m，扶手所在圆柱的底面半径为 m，求这一层圆形旋
6
转楼梯的扶手长度．（π取3）
【答案】(1)见解析
(2)❑√58m
【思路引导】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意画出对应的展开示意图是解题的关键．
（1）展开图所示的长方形的一条对角线（经过点A）即为该扶手在展开图中的位置，据此作图即可；
（2）利用勾股定理求出AB的长即可得到答案．
【规范解答】（1）解：如图3所示，线段AB即为所求；
7
（2）解：如图3所示，根据题意可得AD=2×3× =7(m)，BD=3m，
6
在Rt△ADB中，由勾股定理得AB=❑√AD2+BD2=❑√58m，
答：这一层圆形旋转楼梯的扶手长度为❑√58m．17．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看
作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为5m的半圆，其边缘
AD=BC=12m（边缘的宽度忽略不计），一滑板爱好者从B点滑到D点，求他滑行的最短距离．
【答案】13m
【思路引导】本题考查勾股定理的应用，正确画出展开图，熟练掌握勾股定理是解题关键．将半圆展开，
展开后，C、D、B三点构成直角三角形，根据两点之间，线段最短得出BD为最短距离，利用勾股定理即
可得出答案．
【规范解答】解：将半圆面展开，如图所示，
∵BC=12m，CD=5m，∠BCD=90°．
∴在Rt△BCD中，由勾股定理得BD=❑√BC2+CD2=❑√122+52=13(m)．
答：他滑行的最短距离为13m．
18．（25-26八年级上·贵州·期末）【问题情境】
贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为15dm,3dm,2dm，如图1所示．A和B是这个四级台阶两个相对的端点，
若点A处有一只蚂蚁，它想到点B处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？
（1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接AB，经
过计算得到AB长度即为最短路程，则AB=______________dm．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是10cm，高是15cm，一只蚂蚁从点A出发沿着
玻璃杯的侧面到与点A相对的点B处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底6cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子
外壁，离杯子上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程是多少厘米？（杯
壁厚度不计）
【答案】（1）25；（2）5❑√10厘米；（3）13cm；
【思路引导】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对
称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
（1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，A点与对称点C的连线，即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的
最短路程，再根据勾股定理计算长度即可．
【规范解答】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长(3+2)×4=20dm，宽15dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2=152+[(2+3)×4] 2=252，
解得：x=25．
故答案为：25；（2）将圆柱体侧面展开，如图：
1
由题意得：AC= ×10=5(cm)，BC=15cm，
2
∴AB=❑√52+152=5❑√10(cm)，
∴该蚂蚁爬行的最短路程5❑√10厘米；
（3）如图，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，
连接AC，AC即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程，
1
EF=AG=3cm CF=FB=(15−6)cm=9cm AE= ×10cm=5cm
2
， ， ，
CE=EF+CF=12cm，
根据勾股定理有：
AC=❑√AE2+CE2=❑√52+122=13(cm)，
∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为13cm．
19．（23-24八年级上·山东枣庄·月考）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时
难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着
十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．
某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析：
【提出问题】已知0<x<1，求❑√1+x2+❑√1+(1−x) 2的最小值
【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为❑√1+x2和❑√1+(1−x) 2的
线段，将代数求和转化为线段求和问题．【解决问题】
（1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形ABCD，P为BC边上的动点．设BP=x，则PC=1−x．
则❑√1+x2+❑√1+(1−x) 2=线段_____+线段_____；
②在①的条件下，已知0<x<1，求❑√1+x2+❑√1+(1−x) 2的最小值；
【应用拓展】（2）应用数形结合思想，已知0<x<3，求❑√4+x2+❑√4+(3−x) 2的最小值．
【答案】[解决问题]①AP、PD；②❑√5；[应用拓展] 5
【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，应用数形结合思想，熟练掌握勾股定理，将问题进行转化是解
题的关键．
[解决问题]①根据题意，设BP=x，则PC=1−x．将❑√1+x2和❑√1+(1−x) 2转化为AP、PD，即可求解；
②如图，作点A关于BC的对称点H，连接HD交BC于点P，AP+PD最小，根据勾股定理求得DH的长，
即可求解；
[应用拓展] 我们可以构造宽为2，长为3的长方形ABCD，P为BC边上的动点．设BP=x，则PC=3−x．
则
❑√1+x2+❑√1+(1−x) 2=AP+PD，同理求得❑√4+x2+❑√4+(3−x) 2的最小值．
【规范解答】[解决问题]①解：由题意得，❑√1+x2+❑√1+(1−x) 2=AP+PD，
故答案为：AP、PD；
②如图，作点A关于BC的对称点H，连接HD交BC于点P，此时，AP+PD最小，即❑√1+x2和❑√1+(1−x) 2最小，
由题意得：AH=2AB=2，AD=1，
则DH=❑√AH2+AD2=❑√22+12=❑√5，
即❑√1+x2+❑√1+(1−x) 2的最小值为：❑√5；
[应用拓展]
如图，我们可以构造宽为2，长为3的长方形ABCD，P为BC边上的动点．设BP=x，则PC=3−x．则
❑√4+x2+❑√4+(3−x) 2=AP+PD
作点A关于BC的对称点H，连接HD交BC于点P，
此时，AP+PD最小，即❑√4+x2和❑√4+(4−x) 2最小，
由题意得：AH=2AB=4，AD=3，
则DH=❑√AH2+AD2=❑√42+32=5，即❑√4+x2+❑√4+(3−x) 2的最小值为5．
20．（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为
20dm，3dm，2dm，A和B是这个三级台阶两个相对的端点，若A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食
物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接AB，经过计算得到
AB长度即为最短路程，则AB= dm．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发沿
着玻璃杯的侧面到与点A相对的点B处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此
时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程
是多少厘米？（杯壁厚度不计）
【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为
20cm．
【思路引导】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对
称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
（1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，A点与对称点C的连线，即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的
最短路程，再根据勾股定理计算长度即可．
【规范解答】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为(2+3)×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2=202+[(2+3)×3] 2=252，
解得：x=25．
答：蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是25dm．
故答案为：25；
（2）将圆柱体侧面展开，如图：
1
由题意得：AC= ×48=24(cm)，BC=7cm，
2
∴AB=❑√242+72=25(cm)，
∴该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；
（3）如图，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，
连接AC，AC即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程，
1
EF=AG=3cm CF=FB=(14−5)cm=9cm AE= ×32cm=16cm
2
， ， ，
CE=EF+CF=12cm，
根据勾股定理有：
AC=❑√AE2+CE2=❑√122+162=20(cm)，
∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为20cm．
