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考点巩固卷 07 三角函数的运算（八大考点）
考点01：任意角与弧度制
区域角的求解遵循以下步骤：
第一步：在直角坐标系中标明两个边界（在 范围内）
第二步：按逆时针方向标出阴影部分区域
第三步：若阴影区域为射线即：若阴影区域为直线即：
区域角是指终边在坐标系内的某个区域内的角。
表示区域角的3个步骤：
（1）先逆时针的方向找到区域的起始和终止的边界；
（2）按由小到大分别标出起始和终止边界对应的 范围内的角 和 ，写出
最简区间 ，其中 ；
（3）起始、终止边界对应角 ， 再加上 的整数倍，即得区间角集合。
由已知角确定其他角所在象限
1、已知角 终边所在的象限，确定其他角终边所在的象限，常依据角 的范围得到所求
角的范围，在直接转化为终边相同的角即可。注意不要漏掉终边在坐标轴上的情况。
2、已知角 所在象限，要确定 所在象限，由两种方法：
（1）用不等式表示出角 的范围，然后对 的取值分情况讨论：被 整除，被 除余
1，被 除余2，……，从而得出结论；
（2）作出各个象限的从原点出发的 等分射线，它们与坐标轴把周角分成 个区域。从
轴的非负半轴起，按逆时针方向把这 个区域以此循环标上1,2,3,4。标号为几的区
域，就是根据角 终边所在的象限确定角 的终边所在的区域。如此，角 所在的
区域就可以由标号区域所在的象限直观的看出。
3、已知角 终边所在的象限，确定 终边所在的象限，可依据角 的范围求出 的范
围，在直接转化为终边相同的角即可。注意不要漏掉 的终边在坐标轴上的情况。
1．在平面直角坐标系中，若角 与 的终边关于 轴对称，则角 与 之间的关系满足
（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得到 ，即可求解.
【详解】由题意，角 和 的终边关于y轴对称，
则 .
故选：D.
试卷第2页，共3页2．下列与 角终边相同的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】确定与 角终边相同的角为 ， ，再依次判断每个选
项即可.
【详解】与 角终边相同的角为 ， ，
对选项A：取 ， 不是整数解，A错误；
对选项B：取 ， 不是整数解，B错误；
对选项C：取 ， ，C正确；
对选项D：取 ， 不是整数解，D错误.
故选：C
3．已知某圆锥的侧面积为 ，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的底面
半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意，先求出圆锥侧面展开图扇形的半径，再由侧面积公式列方程计算即得.
【详解】依题意，设圆锥的底面半径为 ，则其侧面展开图的扇形弧长为 ，
则扇形半径为 ，侧面积为 ，解得 .
故选：B.
4．已知角 的终边经过点 ，则 是（ ）
A．第一或第三象限角 B．第二或第四象限角
C．第一或第二象限角 D．第三或第四象限角
【答案】A
【分析】根据角 所在的象限，表示 所在的象限.
【详解】由题意可知 是第二象限角， ，则 ,则 是第一或第三象限角．
故选：A
5．若圆锥的侧面展开图是圆心角为 ，半径为2的扇形，则该圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由圆锥的侧面展开图扇形的弧长即圆锥底面圆的周长建立方程，求得底面圆半径，
再由圆锥轴截面即可求出高.
【详解】设圆锥底面圆的半径为 ，依题意得 ，解得 ，
而圆锥的母线长 ，因此圆锥的高 .
故选：A.
6．《九章算术》中《方田》一章给出了计算弧田面积的公式：弧田面积 （弦 矢+矢
）.弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于
半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为 ，且 ，半径等于
的弧田，按照上述给出的面积公式计算弧田面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据半角公式求出 ，再分别求出弦长和矢长，再根据弧田的面积公
试卷第4页，共3页式即可得解.
【详解】由 ，可得 ，
故弦长为 ，矢长为 ，
所以所求弧田面积为 .
故选：A.
7．已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为2的扇形，则此圆锥内切球的表面积为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先计算出圆锥底面圆的半径，再由勾股定理求出圆锥的高，然后利用等面积法计
算内切球半径，最后再计算球的表面积即可.
【详解】侧面展开图扇形的弧长为 ，圆锥底边的半径 满足 ，解得 ，
所以该圆锥轴截面是一个两腰长为2，底边长为1的等腰三角形，底边上的高为
，
设内切球半径为 ，由等面积法可得 ，则 ．
所以内切球的表面积为 ．
故选：D．
8．下列命题为真命题的是（ ）
A．若向量 ， ， 满足 ， ，则
B． 化成弧度数为C．若向量 ， 满足 ， ， ，则
D．在 时刻，时针与分针所夹的锐角为 ，则
【答案】BD
【分析】根零向量即可判断A，根据角度与弧度的互化即可判断B，根据向量的模长公式
即可求解C，根据 即可求解D.
【详解】对于A，若 为零向量，则 不一定成立，故A错误，
对于B， ，B正确，
对于C， ，故C错误，
对于D， 时刻，时针与分针所夹的锐角 ，故 ，D正确，
故选：BD
9．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折
扇也寓意“善良“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜
千里、大智大勇的象征（如图1甲）图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若
两个圆弧 ， 所在圆的半径分别是3和12，且 ，则该圆台的（ ）
A．高为 B．上底面积和下底面积之比为1:4
C．表面积为 D．体积为
【答案】ACD
【分析】根据题意，求得圆台的上、下底面半径和母线长、以及圆台的高，结合圆台的几
试卷第6页，共3页何结构特征以及侧面积和体积公式，逐项计算，即可求解.
【详解】对于A中，设圆台的上底面圆的半径为 ，下底面圆的半径为 ，
则 且 ，解得 ，
由圆台的母线长为 ，所以圆台的高为 ，故A正确；
对于B中，圆台的上、下底面面积比为 ，故B不正确；
对于C中，圆台的上、下底面面积为 ，
圆台的侧面积为 ，
圆台的表面积为 ，故C正确；
对于D中，圆台的体积为 ，故D正确.
故选：ACD.
10．如图，正方体 的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）
A． 在底面 内（包括边界）运动，若 //平面 ，则 的轨迹长度为
B． 在底面 内（包括边界）运动，若直线 与平面 所成角为 ，则
的轨迹长度为
C．以 为球心， 为半径作球，则球面与正方体的表面的交线长为D．以 为球心， 为半径作球，则球面与正方体的表面的交线长为
【答案】ACD
【分析】对于A，构造平面 平面 ,得点 的轨迹为平面 与平面 的
交线 的长；对于B，经分析得到点 在以点 为圆心，半径为1的圆弧上，计算即得
轨迹长；对于C，D,先判断球面与正方体的哪些表面有交线，再利用弧长公式求解即得.
【详解】
对于A，如图1，连接 ,因 ,且 ，则得
为平行四边形，
则 ,又 平面 , 平面 ,则有 平面 ,
同理 平面 ，又 , 平面 ,故得平面 平面
,
因 在底面ABCD内（包括边界）运动，且 //平面 ，平面 平面
，
则点 在线段 上运动， 的轨迹长度为 的长 ，故A正确；
试卷第8页，共3页对于B，如图2，因 平面 , 是 在平面 上的射影，
故 即直线 与平面 所成角，由 可得 ,
即点 在以点 为圆心，半径为1的圆弧上，故 的轨迹长度为 ，故B错误；
对于C，如图3，因 ，故以 为球心， 为半径的球的球面只与
三个平面 有交线，交线分别为长度相等的三段弧 .
连接 ,在 中， ,则 ，
易得 ,故 ,于是 的长为 ，
故球面与正方体的表面的交线长为 ，故C正确；对于D，如图4，因 ，故以 为球心， 为半径的球的球面与正方体的六个面
都有交线，
分别是 ,其中 三段弧相等， 三段弧相等.
在 中， ，易得 ,故 ,
于是 的长为 ；又在 中， ,
于是 的长为 ；故球面与正方体的表面的交线长为： ,故
D正确.
故选：ACD.
考点02：扇形的弧长及面积公式
弧长公式： （ 是圆心角的弧度数），
扇形面积公式： ．
11．机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三
试卷第10页，共3页角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．
若线段AB长为1，则莱洛三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图形分析，利用扇形的圆心角 、半径 、弧长 的关系，即可求解.
【详解】由已知 ， ．
得 ，
则莱洛三角形的周长是
故选：A．
12．如图，半径为1的圆 与 轴相切于原点 ，切点处有一个标志，该圆沿 轴向右滚
动，当圆 滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为 )，标志位于点 处，圆
与 轴相切于点 ，则阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出劣弧 的长，再利用扇形面积公式计算即得．
【详解】由圆 与圆 外切，得 ，
又圆 ，圆 与 轴分别相切于原点 和点 ，则 ，
所以劣弧 长等于 ，
所以劣弧 对应的扇形面积为 .故选：B
13．圆 被直线 所截得劣弧的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设直线与圆的交点为 、 ， 的中点为 ，求出圆心到直线的距离，利用锐
角三角函数求出 ，即可得到 ，再由弧长公式计算可得.
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，
圆心到直线 的距离 ，
设直线与圆的交点为 、 ， 的中点为 ，则 ，所以 ，
所以 ，则 ，所以劣弧 的弧长为 .
故选：C
14．如图，圆O内接一个圆心角为60°的扇形 ，在圆O内任取一点，该点落在扇形
内的概率为（ ）
试卷第12页，共3页A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆的半径与扇形半径的关系及扇形的面积公式，由几何概型求解即可.
【详解】设圆的半径为 ，过 作 于 点，如图，
则扇形的半径 ,
所以扇形的面积 ，
圆的面积 ，
由几何概型可得： .
故选：C
15．石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发
展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七
大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运
用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环
，如图（2），砖雕厚度为6cm， ， ， 所对的圆心角为直
角，则该梅花砖雕的表面积为（单位： ）（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出 ， ，进而求得梅花砖雕的侧面积及扇环 的
面积可得该梅花砖雕的表面积.
【详解】
延长 与 交于点 ．由 ， ，得 ， ．
因为 所对的圆心角为直角，所以 ， ．
所以该梅花砖雕的侧面积 ，
扇环 的面积为 ，
则该梅花砖雕的表面积 ．
故选：C．
16．下列说法正确的有（ ）
试卷第14页，共3页A．若角 的终边过点 ，则角 的集合是
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若扇形的周长为 ，圆心角为 ，则此扇形的半径是
【答案】ABC
【分析】由三角函数的定义判断A，根据诱导公式判断B，根据“1”的代换和弦切互化求
解判断C，根据扇形弧长公式求解判断D.
【详解】因为角 的终边过点 ，为第一象限角，
所以由三角函数的定义知 ，所以角 的终边与 终边相同，
所以角 的集合是 ，故A选项正确；
因为 ，所以B选项正确；
因为 ，所以C选项正确；
设扇形的半径为 ，圆心角为 ，因为扇形所对的弧长为 ，
所以扇形周长为 ，故 ，所以D选项不正确．
故选：ABC
17．如图，设单位圆与 轴的正半轴相交于点 ，以 轴的非负半轴为始边作锐角 ，
， ，它们的终边分别与单位圆相交于点 ， ， ．若 ，则下列说法正确的
是（ ）A．当 时， 的面积为
B．当 时，扇形 的面积为
C．当 时，四边形 的面积为
D．四边形 面积的最大值为1
【答案】AC
【分析】根据三角形面积公式可判断A；由扇形面积公式可判定B；
，根据三角形面积公式即可判断C； ，
借助三角函数恒等式化简即可判断D.
【详解】由题意，得圆的半径 ， ， ， ．
对于A，由 ， ，得 ，
则 ，故A正确；
对于B，当 时，因为 ，
所以扇形 的面积 ，故B错误；
试卷第16页，共3页对于C，当 时，
，故C正确；
对于D，
，
由 ，得
，
所以当 ，即 时， 取得最大值，为 ，故D错误．
故选：AC
18．已知正四面体的棱长为 ，以其中一个顶点为球心作半径为3的球，则所得球面与
该正四面体表面的交线长之和为 ．
【答案】
【分析】将球面与正四面体的四个面所得交线分成两类，一类与侧面的交线，一类与底面
的交线，结合球的截面性质能求出结果．
【详解】以点 为球心的球，其球面与正四面体的四个面都相交，所得交线分成两类：
一类与三个侧面 ，
设与侧面 交线为 ，则 在过球心的大圆上，且与 交于中点 ，
正四面体 中每个面都是等边三角形，且 ，
，
又 ，则 ，根据对称性可知：与侧面ABD，ACD的交线与 相等，
另一类交线是与底面BCD的交线，过A作AO⊥平面BCD，
则 ，
，
，
故与底面BCD刚好相交于底面BCD各边中点处，形成的交线此时是底面BCD的内切圆，
内切圆半径为 ，故弧长为 ，
该球球面与正四面体ABCD的表面相交所得到的曲线长度之和为 ．
故答案为： ．
19．下图是第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”，可将其视为一扇环ABCD．已知 ，
．且该扇环 的面积为 ，若将该扇环作为侧面围成一圆台，则该圆台的体积
为 .
试卷第18页，共3页【答案】
【分析】设 ， ， ，由题意 ， ， ，可知圆台上、
下底面的半径和高，利用圆台的体积公式求解即可.
【详解】如图，设 ， ， ，
由题意可知， ，解得 ， ，
则 ，将该扇面作为侧面围成一圆台，
则圆台上、下底面的半径分别为1和2，
所以其高为 ，
故该圆台的体积为 .
故答案为： .
20．已知圆锥的顶点为 ，底面圆 的直径 的长度为4，母线长为 .(1)如图1所示，若 为圆 上异于点 的任意一点，当三角形 的面积达到最大
时，求二面角 的大小；
(2)如图2所示，若 ，点 在线段 上，一只蚂蚁从点 出发，在圆锥的侧面沿着最
短路径爬行一周到达 点，在运动过程中，上坡的路程是下坡路程的3倍，求线段 的
长度.（上坡表示距离顶点 越来越近）
【答案】(1) (2)
【分析】（1）判断 为钝角，当且仅当 时 最大，以 为坐标原点建
立空间直角坐标系求解.
（2）将圆锥的侧面展开成扇形，在 中，过 作 的垂线，设垂足为 由题意知
，利用 及向量运算求得 的长度.
【详解】（1）由 ，易得圆锥的高
，所以 ，所以 为钝角，
，当且仅当 时取等号，
（满足条件的点 有两种对称位置，只研究其中的一种）
此时易得 ，在直角三角形 中，由勾股定理得， ，
从而 为等边三角形，
以 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
试卷第20页，共3页则 ，
设平面 的法向量 ，
即
令 ，得 ，所以 ，
取平面 的法向量 ，
设二面角 的平面角为 ，显然 为锐角，
，所以二面角 的大小为 ；
（2）将圆锥的侧面展开成扇形如图，扇形的弧长为 ，扇形的半径 ，
则扇形的圆心角 ，
在 中，过 作 的垂线，设垂足为
在 段距离顶点 越来越近为上坡， 段为下坡，所以 ，设 ，易得 ，
因为 ，所以 ，
即 ，得 ，
解得 ，即 .
考点03：同角三角函数基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：
（2）商数关系：
（1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数
有意义的前提下）关系式都成立；
（2） 是 的简写；
（3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“ ”
的选取．
同角三角函数基本关系式的变形
1、平方关系式的变形：
， ，
2、商数关系式的变形
， ．
诱导公式
诱导公式一：
， ， ，其中
试卷第22页，共3页诱导公式二：
， ， ，其中
诱导公式三：
， ， ，其
中
诱导公式四：
， ．
， ，其中
（1）要化的角的形式为 （ 为常整数）；
（2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；
（3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；
（4） ； ．
诱导公式的记忆
诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是
指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把
看成锐角时原三角函数值的符号．
诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变
余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符
号看象限”同上．
因为任意一个角都可以表示为 的形式，所以这六组诱导公式也可
以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角 （ 为常整数）
的三角函数值：当 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当 为偶数时，函数名不变，
然后 的三角函数值前面加上当视 为锐角时原函数值的符号．用诱导公式进行化简时的注意点：
（1）化简后项数尽可能的少；
（2）函数的种类尽可能的少；
（3）分母不含三角函数的符号；
（4）能求值的一定要求值；
（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：
①化负角的三角函数为正角的三角函数；
②化为 内的三角函数；
③化为锐角的三角函数．
可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）．
21．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，化为“齐次式”，代入即可求解.
【详解】因为 ，
所以
.
故选：B.
22．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
试卷第24页，共3页【分析】利用两角和差的正余弦公式展开，两边同除 ，得到
.再利用两角差的正切公式展开 ，将 换成
，化简即可得到答案.
【详解】 ，所以 ，
两边同除 ，得到 ，即 .
， .
故选：C.
23．若角 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用诱导公式求出 ，再利用二倍角的余弦公式，结合齐
次式法求值.
【详解】由 ，得 ，
即 ，则
所以
.
故选：B24．已知 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．7
【答案】B
【分析】根据条件，利用平方关系，得到 ，从而求得 ，
， ，进而求得 ，再利用正切的和角公式，即可求解.
【详解】因为 ①，所以 ，得到 ，
所以 ，又 ， ②，
联立①②得到 ， ，所以 ，
得到 ，则 ，
故选：B.
25．已知 ，则角 所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】由同角三角函数基本关系与绝对值性质计算即可得.
【详解】 ，
试卷第26页，共3页则 ， ，故角 所在的象限是第三象限.
故选：C.
26．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由诱导公式计算出 ，在代入正切二倍角公式即可.
【详解】原方程可化为 ，故 .
故选：D
27．已知 ，则 ．
【答案】
【分析】利用同角三角函数之间的基本关系可得 ，将表达式利用平方和关系
为1化简可得结果.
【详解】由 可得 ，即 ；
所以
将 代入计算可得 ；
即 .
故答案为：28．已知 ，则 .
【答案】
【分析】利用三角恒等变形，即可求解出 ，再把 弦化切，即可求出结果.
【详解】由 可得： ，
化简得： ，
因为 ，所以 ，
则 ，即 ，
而 ，
故答案为： .
29．已知 ，且 ，则 ．
【答案】
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系即可求得 的值．
【详解】
， ，
则 ，
故答案为： ．
30．已知 ，且 ．
(1)求 ， 的值；
试卷第28页，共3页(2)求 的值．
【答案】(1) ； ；(2) .
【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解；
（2）利用正弦的和角公式、正弦和余弦的二倍角公式即可求解.
【详解】（1） ， ，
，
.
（2）
.
考点04：齐次式化简求值
①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及 、 的齐次分
式问题，常采用分子分母同除以 （ ），这样可以将被求式化为关于 的式
子，从而完成被求式的求值；
② 在 求 形 如 的 值 ， 注 意 将 分 母 的 1 化 为
代入，转化为关于 的表达式后再求值．
31．若 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式及正余弦齐次式法求值即得.
【详解】由 ，得 .
故选：B
32．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先用诱导公式化简，变形求得 ，再根据二倍角公式及齐次式化简求解即可.
【详解】 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 .
故选：D.
33．已知 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正切二倍角公式和和角公式得到 ，化简得到
，齐次化代入求值.
试卷第30页，共3页【详解】 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以
故 ，解得 或 （舍去），
故选：C
34．若 ，则 .
【答案】
【分析】根据同角的三角函数关系式，结合余弦的二倍角公式进行求解即可．
【详解】因为，
所以 ，即 ，
整理得 且 ，
所以 或 （舍）.
故答案为：
35．已知 ，则 .
【答案】【分析】先利用诱导公式化简，然后利用同角三角函数的关系变形，再代值计算即可.
【详解】因为 ，
所以
.
故答案为：
36．已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边在直线 上．
(1)求 的值；
(2)若 ， ， ，求 的值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）借助三角函数定义、二倍角公式与同角三角函数基本关系构造齐次式后弦化
切计算即可得；
（2）结合所给角度范围，分别计算出 、 、 后，结合两角差的正弦函
数公式计算即可得.
【详解】（1）由题意可得 ，则 ；
（2）由 ，则 ，又 ，即 ，
则 ，
由 ，则 ， ，
试卷第32页，共3页由 ，则 ，
则
，
故 ，即 .
37．已知 ， ，求下列各式的值．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)8(2)7
【分析】（1）直接利用三角函数的定义求出三角函数的值，由二倍角公式以及弦切互化即
可求解
（2）利用正切的和差角公式，即可代入求解．
【详解】（1）已知 , ,故
所以 ，
故
（2）由 得： ．
38．已知 .求：
(1) 的值；(2)求 的值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据同角三角函数的关系求解即可；
（2）根据 结合同角三角函数的关系求解即可.
【详解】（1）显然 ，故 则 ，解得 .
（2）
39．已知 ，
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，求 的值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）依题意可得 ，即可求出 ，再由同角三角函数的基本关系将弦化
切，代入计算可得；
（2）首先求出 ， ， 的坐标，再由向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】（1）因为 ， 且 ，
所以 ，所以 ，
试卷第34页，共3页则 .
（2）当 时 ，
所以 ，
，
因为 ，
所以 ，解得 .
40．已知 ， ．
(1)求 和 的值；
(2)若向量 ， ，证明： ．
【答案】(1) ， ．(2)证明见解析
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系计算可得；
（2）利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系求出 ，再根据平面向量共
线的坐标表示计算可得.
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ．所以 ．
（2）证明：因为
，
所以 ，所以 ．
考点05：和、差、倍角的化简与求值
两角和的余弦函数
两角和的余弦公式：
（1）公式中的 都是任意角；
（2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即 ；
（3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问
题．
（4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号
相反．
两角和与差的正弦函数
两角和正弦函数
在公式 中用 代替 ，就得到：
两角差的正弦函数
（1）公式中的 都是任意角；
试卷第36页，共3页（2）与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即 ；
（3）和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如
当 或 中有一个角是 的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；
（ 4 ） 使 用 公 式 时 ， 不 仅 要 会 正 用 ， 还 要 能 够 逆 用 公 式 ， 如 化 简
时，不要将 和 展开，而应采用整体
思想，进行如下变形：
这也体现了数学中的整体原则．
（5）记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端
的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦
公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同．
两角和与差的正切函数
（1）公式成立的条件是： ，或 ，
其中 ；
（2）公式的变形：
（3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是
化简三角恒等式的重要手段，如 就可以解决诸如
的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧
妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了．（4）公式对分配律不成立，即 ．
二倍角的正弦、余弦、正切公式
二倍角公式的逆用及变形
1、公式的逆用
； ．
．
．
2、公式的变形
；
降幂公式：
升幂公式：
41．已知 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得 ，得到 ，结合
试卷第38页，共3页，利用两角和正弦公式，即可求解.
【详解】因为 ，可得 ，
又因为 ，可得 ，所以 ，
由
.
故选：B.
42．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两角和的余弦可求 的关系，结合 的值可求前
者，故可求 的值.
【详解】因为 ，所以 ，
而 ，所以 ，
故 即 ，
从而 ，故 ，
故选：A.
43．已知 ， ， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把两个方程移项平方以后再相加即可判断AB，然后再根据三角函数值以及角的范围计算出 和 即可判断CD.
【详解】由 得 ，两边平方得：
，①
由 得 ，两边平方得：
，②
①+②得： ，
因为 ，所以 ，
由 可得： ，即 ，
所以 ， 又 ，所以 ，
所以 ，故A错误；
由 ，两边平方得 ，③
由 得 ，两边平方得：
，④
③+④得： ，
因为 ，所以 ，故 ，
由 ， ，可得 ，故C正确，D错误；
综上 不是定值，故B错误.
故选：C
试卷第40页，共3页44．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据和角差角公式展开，得到 ，代入所求式子计算即可．
【详解】因为 ，
所以 ，即 ，
则 ．
故选：A.
45．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二倍角公式和同角三角函数基本关系式将要求角用已知角表示即可求解.
【详解】由已知得
因为 ，根据同角三角函数基本关系式得.
故选：A.
46． 的值可能为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】BD
【分析】根据角所在的象限分类讨论即可.
【详解】因为 ，
所以 且 ，
若 在第一象限，则 ，故原式 ，
若 在第二象限，则 ，原式 ，
若 在第三象限，则 ，原式 ，
若 在第四象限，则 ，原式
故选：BD
47．若 ， 的化简结果为 .
【答案】
【分析】先对分式进行变形构造出平方，然后把原式转化成绝对值形式，最后去绝对值计
算即可.
试卷第42页，共3页【详解】由题意知 ,
故
,
故答案为： .
48．已知 ，则 .
【答案】
【分析】利用两角和的余弦公式化简，再将含 的三角函数弦化切，通过变形即可求出
.
【详解】因为 ，
所以
，
得 ，
所以 ，
则
.
故答案为： .49．已知锐角 满足 ，则 ．
【答案】2
【分析】由方程求出 ，再由诱导公式化简后代入 即可得解.
【详解】由 可得 ，且 为锐角，
解得 或 （舍去），
所以 ，
故答案为：2
50．设复数 ， 为虚数单位，且 ，若 ，则
．
【答案】
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得 ，得到 ，结合正切的
倍角公式，即可求解.
【详解】由复数 且 ，
可得 ，即 ，
又因为 ，则 ，可得 ，所以 ，
试卷第44页，共3页所以 ．
故答案为： .
考点06： 辅助角公式的妙用
形如：
第一步：
第二步：等号左侧若是加号，则等号右侧也为加号，等号左侧若是减号，等号右侧也为减
号.
第三步： 的求算，只需在第一象限标明点 寻找夹角即可达到秒杀的境界.
注意：若果 ，则需提负号，继续遵循以上步骤
51．已知函数 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的图象关于点 对称
C．若 是偶函数，则 ，
D． 在区间 上的值域为
【答案】D
【分析】A项，化简函数求出 ，即可得出周期；B项，计算出函数为0时自变量的取值
范围，即可得出函数的对称点，即可得出结论；C项，利用偶函数即可求出 的取值范围；
D项，计算出 时 的范围，即可得出值域.
【详解】由题意，在 中，
，
A项， ，A正确；
B项，令 , 得 ,
当 时, ,
所以 的图象关于点 对称,故B正确;
C项， 是偶函数，
∴ , ，
解得： , 故C正确；
D项, 当 时, ,
所以 ,
所以 在区间 上的值域为 ，故D错误.
故选：D.
52．已知函数 ， ，若P，Q分别为函数 和
的图象上的两个最高点，则|PQ|的最小值为（ ）
试卷第46页，共3页A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二倍角公式与辅助角公式可得 ， ，进而可得取
最大值的 的值，进而可求 的最小值.
【详解】因为 ， ，
所以当 时，所以 ；
当 时， ，
可得 的最小值为 ．
故选：D．
53．已知函数 ，若关于x的方程 在区间 上有且
只有四个不相等的实数根，则正数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化简函数为 ，根据题意，转化为 在区间
上有且只有四个不相等的实数根，求得 或 ，列出不等式组，
即可求解.
【详解】由函数 ，
因为方程 在区间 上有且只有四个不相等的实数根，且 ，
可得 在区间 上有且只有四个不相等的实数根，则 或 ，
解得 或 ， 且 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：D.
54．已知函数 ，若 且 ，则 的最小
值为（ ）
A．11 B．5 C．9 D．7
【答案】D
【分析】根据 可知函数 的一条对称轴为 ，可得 ，
求得 ，再根据正弦函数在 处取得最小值，列出方程可求得结论.
【详解】由 可知， 在 取得最小值，所以函数 的一条对称轴为
，
又 ，因此 ，即 ；
所以 ，
又 在 取得最小值，可知 ，
解得 ，
又 ，所以 时， 取得最小值为7.
试卷第48页，共3页故选：D
55．函数 在 上的最大值是 ．
【答案】2
【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.
【详解】 ，当 时， ，
当 时，即 时， .
故答案为：2
56．已知 ， ，则 的值域为 .
【答案】
【分析】令 ，再结合平方关系将 用 表示，根据三角函数的性质
求出 的范围，再结合二次函数的性质即可得解.
【详解】令 ，
则 ，故 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
令 ，则 在 单调递增，
则当 ，
所以 的值域为 .
故答案为： .
57．已知函数 的图象向左平移 个单位长度得到
的图象，则 ．【答案】
【分析】把 都化为 形式，然后结合图象平移变换知识得出 的表
示，再利用两角和或差的余弦公式求解．
【详解】由已知 ，其中 ， 为
锐角，
又 ，其中 ， ， 为
锐角，
都为锐角，且 ，因此 ，
要把 的图象向左平移 个单位长度得到 的图象，则 ，
，
故答案为： ．
58.(1)求函数 的最小正周期；
(2)当 时，求函数 的最大值，以及相应 的值.
【答案】(1) (2)2，
【分析】（1）利用三角恒等变换得到 ，利用 求出最小正周期；
（2） 时， ，整体法求出函数的最大值及相应的 的值.
试卷第50页，共3页【详解】（1） ，
所以周期 ；
（2）因为 ，所以 ，则 ，
的最大值为2，此时 ，即 .
59．已知实数 ，设函数 ，且 ．
(1)求实数 ，并写出 的单调递减区间；
(2)若 为函数 的一个零点，求 ．
【答案】(1) ， ；(2) .
【分析】（1）代入求出 值，再利用二倍角的余弦公式、辅助角公式化简，利用正弦函数
的性质求出单调减区间.
（2）利用函数零点的意义，结合和角的余弦公式求解即得.
【详解】（1）函数 ，由 ，得 ，而
，则 ，
，
由 ，得 ，
所以 的单调递减区间是 .
（2）由（1）知， ， ，所以 .
60．已知函数 .
(1)求函数 的对称中心及不等式 的解集；
(2)已知 ，求 的值.
【答案】(1)对称中心为 ； (2)
【分析】（1）根据辅助角公式结合正弦函数的对称中心，结合正弦函数的单调性求解不等
式即可；
（2）由 可得 ，再根据同角三角函数的关系，结合 求
解即可.
【详解】（1）
由 得 ，
故函数 的对称中心为 ；
又由 知 ，即 ，
所以 ，即 -
故原不等式的解集为
（2）由 得 ，即 .
试卷第52页，共3页又
即
考点07：给值求值模型
针对已知条件求值问题，则遵循以下步骤（万能）
第一步：将目标角和已知角全拿出来
第二步：通过加减乘消去 或
第三步：用已知角代替目标角
第四步：利用诱导公式或三角恒等变换处理
61．已知 ， ，且 ， ，则 （ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【答案】D
【分析】根据三角恒等变换的知识先求得 对应的三角函数值 ，进而求得
.
【详解】因为 ， ，所以 ，
所以 ， .
因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，则 ，
故 （ ）.
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：D.
62．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由辅助角公式得 ，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可求解.
【详解】由 得 ，即 ，
所以 ，
故选：D
63．已知 ， ，则 （）
A． B． C． D．
试卷第54页，共3页【答案】A
【分析】由已知先利用和差角的正切公式进行化简可求 ，然后结合二倍角公式及同角
基本关系对所求式子进行化简，即可求解.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，
解得 或 （舍 ，
则
.
故选：A.
64．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同角三角关系求 ，再结合两角差的正切公式分析分析求解.
【详解】因为 ，则 ，
可得 ，
所以 .
故选：D.
65．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】利用换元法，令 ， ，找到 与 的关系，然后利用诱导公式和
倍角公式进行求值即可.
【详解】令 ， ，则 ，
令 ，则
所以
故选：B.
66．已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二倍角公式化简和同角三角函数关系求出 ，利用余弦二倍角公式求
出答案.
【详解】因为 ，所以 ， ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
解得 或 舍 ，
则
故选：C
67．已知 ，则 （ ）
试卷第56页，共3页A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据三角恒等变换求出 ，再根据已知条件缩小 范围，从而确定
符号进而求解即可.
【详解】由已知 ，
则 ，
平方得 ，
即 ，解得 ，
又 ， ，且 ，
则 ，即 ，所以
由 ，得 ，故 ，
所以 .
故选：C.
68．已知 ， ， ， ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对 平方得 ，根据 及同角三角函数基本关系式得 ，进而得出 且 ；根据 及 ，利
用同角三角函数基本关系式得 ，再由二倍角公式得出
，进而有 ， ，最后由两角和的余弦
公式计算即可.
【详解】由题意得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，且 ,
所以 ，且 .
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
所以 .
故选：A.
试卷第58页，共3页69．已知 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出 ，再由同角三角函数的基本关系及两角差的正弦公式求出
，最后由两角差的余弦公式计算可得.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
则 ．
故选：B．
70．已知角 ， 满足 ， ，且 ， .
(1)求 的值；
(2)求 的大小.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据题意和同角三角函数基本关系式、二倍角公式分别求出 ，
， ， ，再利用两角差的正弦公式计算即可；（2）先根据题意缩小角的范围到 和 ，进而得出 ，再计算
的值即可得到结果.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
所以 ， ；
因为 ，所以 ；
所以 .
（2）因为 ， ，所以 ；
因为 ，所以 ，故 ，
所以 ；
又因为 ，所以 ， ；
所以 ，
又因为 ，所以 .
考点08：给角求值模型
记住常见数据：
试卷第60页，共3页71．计算： （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用两角和差的正弦公式，二倍角余弦公式和同角关系化简即可.
【详解】因为
，所以原式
故选：C
72．若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得 的值.
【详解】由已知可得
.
故选：A.73． 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式以及倍角公式求解即可.
【详解】原式 .
故选：A
74． （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式、二倍角公式以及诱导公式化简可得结果.
【详解】原式
.
故选：D.
75．如图，某时钟显示的时刻为 ，此时时针与分针的夹角为 ，则 （ ）
试卷第62页，共3页A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出 ，再根据二倍角公式计算可得.
【详解】解：由图可知 ，则 .
故选：D
76． 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件逆用二倍角的正弦公式，再用诱导公式化简即得.
【详解】 .
故选：A
77．若角 顶点与原点重合，始边与 轴非负半轴重合，终边在直线 上，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由已知求得 ， ，再运用诱导公式和三角恒等变换化简代入
计算可得选项.
【详解】因为角 终边在直线 上，所以 ，∴ ．
∴．
故选：C.
78． （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先将 代入所求式子通分化简，再结合二倍角公式、两角差的正弦
公式，即可得解．
【详解】解：
．
故选：A．
79． （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】用两角和与差的余弦公式化简求解
【详解】
试卷第64页，共3页故选：C
80．求值： （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】先化切为弦将 转化为 ，然后根据二倍角的正弦和余弦公式、辅助角
公式以及诱导公式进行化简求值.
【详解】原式
，
故选：D.
