文档内容
第二十章 勾股定理1. 熟练掌握全等三角形全章知识点；
教学目标
2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型；
1. 重点
（1）勾股定理及其应用；
（2）勾股定理的证明；
教学重难点 （3）勾股定理逆定理及其应用。
2. 难点
（1）勾股定理的应用；
（2）利用勾股定理的证明结合乘法公式求值。
考点01 勾股定理
1. 文字描述：
在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。
2. 几何语言：
如图。若直角三角形的两直角边分别是 ，斜边是
，则有：a2+b2=c2
。
变形式： ❑√a2+b2；
❑√c2−b2；
❑√c2−a2。
注意：勾股定理的前提一定是直角三角形，一定要注意是斜边的平方等于直角边的平方的和。
【题型1】利用勾股定理求直角三角形的第三边
1．已知一个直角三角形的两条直角边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．❑√34
【答案】D
【解答】解：∵一个直角三角形的两条直角边长分别是3和5，
∴这个三角形的第三条边的长=❑√32+52=❑√34，
故选：D．
2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝2，则AC2的值为（ ）
A．4 B．16 C．32 D．40
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝2，∴AC2＝AB2﹣BC2＝36﹣4＝32，
故选：C．
3．已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是（ ）
A．10 B．10或2❑√7 C．2❑√7 D．2❑√7或❑√10
【答案】B
【解答】解：当边长为8的边是直角边时，
第三边为斜边，边长为：❑√62+82=10；
当边长为8的边是斜边时，
第三边为直角边，边长为：❑√82−62=2❑√7；
因此第三边的长是10或2❑√7，
故选：B．
4．已知直角三角形的两边长m，n满足m2−6m+9+❑√2n−10=0，若设该直角三角形的第三边长为x，
求x的值．
【答案】❑√34或4．
【解答】解：∵m2−6m+9+❑√2n−10=0，
∴(m−3) 2+❑√2n−10=0，
∴m﹣3＝0，2n﹣10＝0，
∴m＝3，n＝5，
当m，n均为直角边时，x=❑√52+32=❑√34，
当斜边为5时，x=❑√52−32=4．
故x的值为❑√34或4．
【题型2】利用勾股定理求其他线段的长度
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC＝6，
BC＝8，则AE的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理得：AB=❑√AC2+BC2=❑√62+82=10，
∵AD＝BD，DE平分∠ADB，
1
∴AE＝EB= AB＝5，
2故选：C．
6．如图，△ABC的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则BC边上的高等于（ ）
❑√2
A． B．❑√2 C．2 D．2❑√2
2
【答案】B
【解答】解：由图可得，
BC=❑√22+22=2❑√2，
设BC边上的高为h，
2×2 2❑√2h
S△ABC =
2
=
2
，
解答h=❑√2，
故选：B．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD交BC于点D，∠ADC＝70°，∠ABC＝50°，过点B作BE⊥AD，
120
垂足为E，AE＝12，BE＝5，延长BE交AC的延长线于点H，则BC＝ ．
13
120
【答案】 ．
13
【解答】解：∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
由勾股定理得：AB=❑√AE2+BE2=❑√122+52=13，
∵∠ACB＝90°，∠ADC＝70°，∠ABC＝50°，
∴∠CAD＝20°，∠BAC＝40°，
∴∠BAD＝20°，
∴∠CAD＝∠BAD，
在△AEH和△AEB中，{∠HAE=∠BAE
)
AE=AE ，
∠AEH=∠AEB
∴△AEH≌△AEB（ASA），
∴AH＝AB＝13，EH＝EB＝5，
∴BH＝10，
1 1
∴ ×10×12 = ×13×BC，
2 2
120
解得：BC= ，
13
120
故答案为： ．
13
考点02 勾股定理的证明
1．利用等面积法进行勾股定理的验证：
验证图形 整体法表示面积 部分加和法表示面积 验证式子
1
(a+b) 2。 4× ab+c2。
2
1
c2。 4× ab+(b−a) 2。
2
1 1 1
(a+b) 2。 2× ab+ c2。
2 2 2
注意：勾股定理的证明均用等面积法。这是常见的几种证明勾股定理的图形，勾股定理的证明还有其他
的图形。
【题型1】判断可以证明勾股定理的图形
8．我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富．下面图形能证明 a2+b2＝c2的
是（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】C
【解答】解：对于图形①，
∵大正方形的边长为a+b，
∴大正方形的面积为：（a+b）2，
又∵大正方形的面积＝边长a的正方形面积+边长为b的正方形面积+两个长为a，宽为b长方形的面积
和，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴图形①不能证明a2+b2＝c2；
对于图形②，
∵大正方形的边长为a+b，
∴大正方形的面积为：（a+b）2，
∵4个直角三角形的直角边分别为a，b，
∴4个直角三角形的面积之和为：4×1/2ab＝2ab，
又∵大正方形的面积＝边长c的正方形面积+4个直角三角形的面积和，
∴（a+b）2＝c2+2ab，
整理得：a2+b2＝c2，
∴图形②能证明a2+b2＝c2；
对于图形③，
∵大正方形的边长为c，
∴大正方形的面积为：c2，
∵4个直角三角形的直角边分别为a，b，
∴4个直角三角形的面积之和为：4×1/2ab＝2ab，
又∵小正方形的边长为（b﹣a），
∴小正方形的面积为（b﹣a）2，
又∵大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积之和，
∴c2＝（b﹣a）2+2ab，
整理得：a2+b2＝c2，
∴图形③能证明a2+b2＝c2；
对于图形④，
∵无法确定大正方形内部三角形的形状，∴无法确定该三角形的面积，
∴图形④不能证明a2+b2＝c2，
综上所述：图形②③能证明a2+b2＝c2．
故选：C．
9．下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意知，3+4＝7≠5，所以四幅图中只有D选项中的图形不能用面积验证勾股定理，
综上所述，只有选项D正确，符合题意，
故选：D．
【题型2】利用勾股定理的证明图形求值（结合乘法公式）
10．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明图解．该图由四个全等的
直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中直
角三角形的面积为3，中间小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（ ）
A．a+b＝5 B．ab＝8 C．a2+b2＝12 D．a﹣b＝2
【答案】A
1
【解答】解：由题意得， ab＝3，（b﹣a）2＝1，
2
∴ab＝6，a2+b2＝（b﹣a）2+2ab＝1+12＝13，
∵a（b+a）2＝（b﹣a）2+4ab＝1+24＝25，∴b+a＝5（负值已舍），
故选：A．
11．如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等
的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边
形 ABCD 与四边形 EFGH 均为正方形，H 是 DE 的中点．若 AD 的长为 5，则阴影部分的面积为
（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，
∴E，F，G分别为AF，BG，CH的中点，
AE＝EH＝DH＝HG＝CG＝FG＝BF＝EF，
1
∴S =S =S =S = S ，ED＝2AE，
△AEH △DHG △CGF △BFE 2 正 方 形EFGH
∴S阴影 ＝3×S正方形EFGH ，
依题意，∠AED＝90°，
∴AD2＝DE2+AE2＝4AE2+AE2＝5AE2，
∵AD的长为5，
∴25＝5AE2，
∴AE=❑√5（负值已舍去），
即EH=AE=❑√5，
∴S =(❑√5) 2=5，
正 方 形EFGH
∴S阴影 ＝3×5＝15，
故选：A．
12．课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知
直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上老师结合图形，用不同的方式表示大正方形
的面积，证明了勾股定理．请证明：a2+b2＝c2．
类比迁移：（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图 2，若a＝3，b＝4，则空白部分的面
积为 1 3 ．
方法运用：（3）如图3，分别以Rt△ABC的三条边向外作三个正方形，连接 EC，BG，若设S△EBC ＝
S
1
，S△BCG ＝S
2
，S正方形BCIH ＝S
3
，求S
1
，S
2
，S
3
之间的关系．1
【答案】（1）证明：S =4× ab+c2 ，S =(a+b) 2；
大正方形 2 大正方形
1
∴(a+b) 2=4× ab+c2 ，
2
∴a2+b2＝c2；
（2）13；
（3）2S +2S ＝S ．
1 2 3
1
【解答】（1）证明：S =4× ab+c2 ，S =(a+b) 2；
大正方形 2 大正方形
1
∴(a+b) 2=4× ab+c2 ，
2
∴a2+b2＝c2；
（2）解：∵b＝4，a＝3，
1
∴S=c2−2× ab，
2
＝a2+b2﹣ab
＝32﹣42﹣3×4，
＝13，
故答案为：13；
（3）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2，
在正方形ABCD中，AB＝BE，AD∥BE，
1 1
∴S = ⋅BE⋅AB= AB2 ，
△EBC 2 2
1
同理S = AC2 ，
△BCG 2
∵S =BC2 且AB2+AC2＝BC2，
正 方 形BCIH
∴2S +2S ＝S ．
1 2 3
考点03 勾股定理的应用
1. 勾股定理的应用：（1）后股定理在几何中的应用：
在直角三角形中计算或证明，即已知两边的长求第三边，或者证明含有平方关系的几何题。
（2）勾股定理在实际问题中的应用：
在建筑测量，工程设计等实际问题中，如遇到求高度、长度、距离、面积等，可以构造直角三角形
运用勾股定理求解。
（3）直角三角形的三边所作相同图形的面积关系：
以直角三角形的三边做相同的图形（等边三角形、等腰直角三角形、正方形、半圆），则两直角边所作图
形的面积之和等于斜边所作图形的面积。
（4）利用勾股定理在数轴上表示无理数 ：
将 表示成两个有理数的平方的和，以这两个有理数为直角三角形的直角边，其中一个直角边在数轴上，
借助数轴上构造直角三角形，画出斜边。斜边的长度即为 。
（5）特殊直角三角形三边的比值关系：
利用勾股定理以及特殊直角三角形的性质可得特殊直角三角形三边的比值关系。含30°角的直角三角形三
边的比值关系为（从小到大）1：❑√3：2；含45°的直角三角形（等腰直角三角形）三边的比值关系为（从
小到大）1：1：❑√2。
（6）利用勾股定理求平面直角坐标系中两点之间的距离：
在平面直角坐标系中，若 和 ，由勾股定理可得
【题型1】勾股定理在几何中求线段
13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．若AB＝10，AC＝6，则
BE的长度为（ ）
A．10 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【解答】解：∵AB＝10，AC＝6，∠C＝90°，
∴BC=❑√102−62=8，DC⊥AC，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
在△ADE与△ADC中，{DE=DC)
∵ ，
AD=AD
∴△ADE≌△ADC（HL），
∴AE＝AC，
∴BE＝10﹣6＝4，
故选：C．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，过点
D作DF⊥AB于点F．
（1）求证：AE＝DE；
（2）如果AE＝4，BD＝3，求EF的长．
【答案】（1）∵AD平分∠BAC交BC于点D，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠CAD，
∴∠DAB＝∠ADE，
∴AE＝DE；
16
（2） ．
5
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC交BC于点D，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠CAD，
∴∠DAB＝∠ADE，
∴AE＝DE；
（2）解：∵DE∥AC，∠C＝90°，
∴∠EDB＝∠C＝90°，
∵AE＝4，
∴DE＝AE＝4，
∵BD＝3，
∴BE=❑√DE2+BD2=5，
∵DF⊥AB，1 1
∴S△BDE =
2
DF⋅BE=
2
DE•BD，
DE⋅BD 3×4 12
∴DF= = = ，
BE 5 5
16
∴EF=❑√DE2−DF2=
．
5
【题型2】勾股定理在数轴上表示无理数
15．如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC边在数轴上，点A表示的数为1，点C表示的数为2，BC的长为2
个单位长度，以A为圆心，AB的长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数为（ ）
A．−1−❑√3 B．1−❑√3 C．−1−❑√5 D．1−❑√5
【答案】D
【解答】解：由题意可知，AC＝1，BC＝2，
∴AB=❑√22+12=❑√5，
∵以A为圆心，AB的长为半径画弧，与数轴交于点D，
∴AD＝AB=❑√5，
∴点D表示的数为1−❑√5，
故选：D．
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，直角边AB落在数轴上，AB＝3个单位长度，BC＝1个单位长度，
点A表示的数为﹣1．若以点A为圆心，以斜边AC长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（
）
A．❑√10 B．❑√5−1 C．❑√5 D．❑√10−1
【答案】D
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，
由勾股定理得：AC=❑√AB2+BC2=❑√32+12=❑√10，
则点D表示的数是❑√10−1，
故选：D．
【题型3】勾股定理解决直角三角形三边所作图形的面积关系
17．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次
为6、10、24，则正方形C的面积为（ ）A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【解答】解：由题意：S正方形A +S正方形B ＝S正方形E ，S正方形D ﹣S正方形C ＝S正方形E ，
∴S正方形A +S正方形B ＝S正方形D ﹣S正方形C
∵正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，
∴24﹣S正方形C ＝6+10，
∴S正方形C ＝8．
故选：C．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为 S ，
1
S ，S ，若S +S ﹣S ＝36，则阴影部分的面积为 9 ．
2 3 2 1 3
【答案】9．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+AB2＝BC2，
即S +S ＝S ，
1 3 2
∵S +S ﹣S ＝36，
2 1 3
∴S ＝18，
1
1
由图形可知，阴影部分的面积= S ，
2 1
1
∴阴影部分的面积= ×18＝9，
2
故答案为：9．19．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S 和
1
S ．若AC＝6，BC＝8，则S +S 的面积为 2 4 ．
2 1 2
【答案】24．
【解答】解：由勾股定理得，AB=❑√AC2+BC2=10，
由图形可知，阴影部分面积S
1
+S
2
＝S半圆AC +S半圆BC +S△ABC ﹣S半圆AB
1 1 1 1
= ×π×32+ ×π×42+ ×6×8− ×π×52
2 2 2 2
＝24，
故答案为：24．
【题型4】勾股定理求两点的距离
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，若点A的坐标为(1，❑√3)，则OA的长为（ ）
A．1 B．2 C．❑√3 D．❑√2
【答案】B
【解答】解：由点的坐标、勾股定理得，OA=❑√12+(❑√3) 2=2，
故选：B．
21．在《勾股定理》一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学
问题的一种重要的思想方法．
【课本回顾】我们在课本上已经了解了在数轴上寻找❑√2所表示的点的方法，如图1，由于❑√2=❑√12+12，
因此我们能在数轴上表示长度为❑√2的线段．
【拓展应用】（1）在图2中，点A（x ，y ），B（x ，y ），AC∥y轴，BC∥x轴，则AC＝ | y ﹣ y | ，BC＝ | x
1 1 2 2 1 2 1
﹣ x | ，由此得到平面直角坐标系内A、B两点间的距离公式AB=❑√(x −x ) 2+(y −y ) 2；
2 1 2 1 2
（2）若已知点D（3，﹣4），则点D与坐标原点O之间的距离是多少？
（3）在图3中，平面直角坐标系中有两点 P（2，6），Q（﹣3，﹣6），H为x轴上任一点，求
PH+QH的最小值．
【答案】（1）|y ﹣y |，|x ﹣x |；
1 2 1 2
（2）5；
（3）13．
【解答】解：（1）∵点A（x ，y ），B（x ，y ），AC∥y轴，BC∥x轴，
1 1 2 2
∴点C（x ，y ），
1 2
∴AC＝|y ﹣y |，BC＝|x ﹣x |，
1 2 1 2
故答案为：|y ﹣y |，|x ﹣x |；
1 2 1 2
（2）∵点D（3，﹣4），O（0，0），
∴OD=❑√(3−0) 2+(−4−0) 2=5；
（3）如图3，P（2，6），Q（﹣3，﹣6），H为x轴上任一点，连接PQ，
∴PH+QH≥PQ，
∴PQ=❑√[2−(−3)] 2+[6−(−6)] 2=13，
∴当H是PQ与x轴交点时，PH+HQ最小，最小值为13．
【题型5】勾股定理解决折叠问题
22．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于
点G，则△BEG的周长为 2 4 ．
【答案】24．
【解答】解：连接GD，如图所示，由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFG＝∠A＝90°，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），
∴AG＝FG，
∵正方形边长是12，
∴BE＝EC＝EF＝6，
设AG＝FG＝x，则EG＝x+6，BG＝12﹣x，
由勾股定理得：EG2＝BE2+BG2，
即：（x+6）2＝62+（12﹣x）2，
解得：x＝4，
∴AG＝GF＝4，BG＝8，
∴¿=❑√BE2+BG2=❑√62+82=10，
∴△BEG的周长为BE+EG+GB＝6+8+10＝24，
故答案为：24．
23．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使
它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，
在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB＝10，
现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD＝DE，AE＝AC＝6，
∴BE＝10﹣6＝4，
设DE＝CD＝x，BD＝8﹣x，
在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BD2＝DE2+BE2，即（8﹣x）2＝x2+42，
解得x＝3．
即CD的长为3cm．
24．同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！（1）填空：如图①，若直角边a＝1，直角边b＝3，则斜边c＝ ❑√10 ；
（2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积
关系，试说明a2+b2＝c2；
（3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝CD＝8，BC
＝AD＝10，求EF的长．
【答案】（1）❑√10；
1 1 1
（2）图②的面积=S +S +S = ab+ ab+ c2 ，
△DAE △CBE △DEC 2 2 2
1 1
又∵图②的面积=S = (a+b)(a+b)= (a+b) 2 ，
四 边 形ABC2D 2
1 1 1 1
∴ ab+ ab+ c2= (a+b) 2 ，
2 2 2 2
∴ab+ab+c2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝c2；
（3）5．
【解答】（1）解：∵直角边a＝1，直角边b＝3，
由勾股定理得：c=❑√a2+b2=❑√12+32=❑√10，
故答案为：❑√10；
1 1 1
（2）证明：图②的面积=S +S +S = ab+ ab+ c2 ，
△DAE △CBE △DEC 2 2 2
1 1
又∵图②的面积=S = (a+b)(a+b)= (a+b) 2 ，
四 边 形ABC2D 2
1 1 1 1
∴ ab+ ab+ c2= (a+b) 2 ，
2 2 2 2
∴ab+ab+c2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝c2；
（3）解：∵折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，AB＝CD＝8，BC＝AD＝10，
∴AF＝AD＝10，DE＝FE，
∵四边形ABCD是长方形，
∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝8，∠B＝∠C＝90°，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，即82+BF2＝102，解得：BF＝6，
∵BC＝10，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，
设EF＝x，则DE＝x，
∴EC＝DC﹣DE＝8﹣x，
在Rt△ECF中，由勾股定理得：EC2+CF2＝EF2，即（8﹣x）2+42＝x2，
解得：x＝5，
∴EF＝5．
【题型6】勾股定理解决航海问题
25．如图，甲货船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以12海里/时的速度同时从港
口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船之间的距离是（ ）
A．40海里 B．32海里 C．24海里 D．20海里
【答案】A
【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC＝90°，
两小时后，两艘船分别行驶了AB＝16×2＝32（海里），AC＝12×2＝24（海里），
根据勾股定理得BC=❑√AB2+AC2=❑√322+242=40（海里）．
故选：A．
26．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，两艘轮船Q、R同时离开港口，各自沿一固定方向航行，
Q轮船每小时航行20海里，R轮船每小时航行15海里，它们离开港口两小时后相距50海里．已知Q轮
船沿东北方向航行．（东北方向即北偏东45°方向）
（1）请判断R轮船沿哪个方向航行，并说明理由；
（2）若两艘轮船航行的速度和方向都不变，再继续航行2小时两船相距多少海里？【答案】（1）见解答；
（2）100海里．
【解答】解：（1）R轮船沿西北方向航行，理由：
已知Q轮船每小时航行20海里，R轮船每小时航行15海里，
∴PQ＝20×2＝40（海里），PR＝15×2＝30（海里），
∵它们离开港口两小时后相距50海里，即QR＝50海里，
∵根据勾股定理得，402+302＝502，即PQ2+PR2＝QR2，
∴△RPQ为直角三角形，即∠QPR＝90°，
∵由Q轮船沿东北方向航行，可知∠1＝45°，
∴∠2＝∠QPR﹣∠1＝90°﹣45°＝45°，
∴R轮船沿西北方向航行；
（2）根据题意，两艘轮船速度和方向都不变继续航行PQ＝20×（2+2）＝20×4＝80，PR＝15×（2+2）
＝15×4＝60，
由（1）得△RPQ为直角三角形，即∠QPR＝90°，
根据勾股定理，RQ2＝802+602＝1002，
∴RQ＝100，
答：两艘轮船航行的速度和方向都不变，再继续航行2小时两船相距100海里．
【题型7】勾股定理解决梯子问题
27．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底
端也下滑1m，则梯子AB的长度为（ ）
A．3m B．4m C．5m D．6m
【答案】C
【解答】解：设BO＝xm，
由题意可知，AC＝1m，BD＝1m，AO＝4m，
在Rt△AOB 中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝42+x2
在Rt△COD 中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
∴42+x2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
解得：x＝3，
∴AB=❑√AO2+BO2=❑√42+32=5（m），
即梯子AB的长为5m，
故选：C．28．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为 0.7米，顶端
距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 2米．则小巷的宽
度为（ ）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
【答案】C
【解答】解：如图，∠ACB＝∠ACB＝90°，CB＝0.7m，AC＝2.5m，DE＝2m．
在Rt△ABC中，AB=❑√AC2+BC2=❑√2．42+0．72=2.5（m）．
∵AB＝BE，
∴BE＝2.5（m），
∴BD=❑√BE2−DE2=❑√2．52−22=1.5（m），
∴CD＝CB+BD＝0.7+1.5＝2.2（m），即小巷的宽度为2.2米．
故选：C．
【题型8】勾股定理解决最短路径问题
29．如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为3.5cm，3.5cm，24cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿
盒的表面爬到盒顶的点B，则它爬行的最短路程是 2 5 cm．
【答案】25．
【解答】解：分两种情况：
①如图，展开后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：AB=❑√AM2+BM2=❑√(3.5+3.5) 2+242=25；
②如图，展开后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离，在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB=❑√AN2+BN2=❑√3．52+(24+3.5) 2=❑√768.5；
∵❑√768.5＞25，
∴爬行的最短路程是25cm，
故答案为：25．
30．如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管
外表面距离右侧管口5cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬
行的最短距离是（ ）
A．5cm B．❑√145cm C．9❑√5cm D．15cm
【答案】B
【解答】解：如图，将圆柱体的侧面展开，过点M作MA⊥AN于点A，连接MN，
由题意得，AN＝15﹣2﹣5＝8（cm），
1
∴AM= ×18=9(cm)，
2
∴MN=❑√AM2+AN2=❑√92+82=❑√145(cm)，
∴小蜘蛛需要爬行的最短距离是❑√145cm．
故选：B．
【题型9】勾股定理的其他实际应用
31．如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（
）
A．6km B．5km C．4km D．❑√20km
【答案】A
【解答】解：设EA＝xkm，则EB＝（10﹣x）km，
∵DA＝4km，CB＝6km，
∴DE＝DA2+EA2＝42+x2，CE＝CB2+BE2＝62+（10﹣x）2，
∵DE＝CE，
∴42+x2＝62+（10﹣x）2，
化简得20x＝120，
解得x＝6，即EA＝6km．
故选：A．
32．物理课上，老师带着学习小组进行物理实验．同学们将一根长度固定的绳子绕过定滑轮 A，一端拴在
滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的
升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在水平轨道上，物体C到滑块B的水平距离是30厘米，
物体C到定滑轮A的垂直距离是40厘米．（定滑轮A、滑块B和物体C的形状和大小忽略不计）
（1）求绳子的总长度是多少厘米；
（2）如图2，若滑块B水平向左滑动45厘米，则此时物体C上升了 3 5 厘米．
【答案】（1）90厘米；
（2）35．
【解答】解：（1）根据题意可知，AC⊥BC，AC＝40cm，BC＝30cm，
则根据勾股定理得，AB=❑√AC2+BC2=❑√402+302=50cm，
故绳子的总长度是AB+AC＝50+40＝90cm．
答：绳子的总长度是90厘米；
（2）∵滑块B向左滑动了45厘米，∴B B＝45cm，B C＝B B+BC＝45+30＝75cm，
1 1 1
∴根据勾股定理得，AB =❑√B C2+AC′2=❑√752+402=85cm，
1 1
据（1）知绳子总长为90cm，
∴AC＝90﹣85＝5cm，
∴物体C上升高度为CC′＝40﹣5＝35cm．
故答案为：35．
33．风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以
“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下：
【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位
置，BC为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，AB为风筝线的长度，AD为风筝到地面的垂直距离．
【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得BC长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线
AB的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即CD的长）为1.8米．
【问题解决】根据以上信息，解决下列问题：
（1）请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度AD；
（2）如图2，若风筝沿DA方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线BC
方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则BF的长度是多少米？
【答案】（1）风筝离地面的垂直高度AD为8.8米；
（2）4米．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC=❑√AB2−BC2=❑√252−242=7（米），
∴AD＝AC+CD＝7+1.8＝8.8（米）．
答：此时风筝离地面的垂直高度AD为8.8（米）．
（2）CE＝AC+AE＝7+8＝15（米），
由题意可得：EF＝AB＝25（米），
在Rt△EFC中，CF=❑√EF2−EC2=❑√252−152=20（米），
∴BF＝BC﹣CF＝24﹣20＝4（米），
答：他应该朝射线BC方向前进4米．
考点04 勾股定理逆定理
1. 勾股定理逆定理内容：在△ABC中，如果三角形的三边分别是
且满足a2+b2=c2
，则该三角形一定是有一个直角三
角形且∠C是直角。
勾股定理的逆定理用于判断一个三角形是不是直角三角形。
2. 直角三角形的判定
①勾股定理逆定理
②三角形中有一个角是90°。
③三角形中有两个角之和为90°。
【题型1】判断能构成直角三角形的线段
34．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B．7，14，16 C．6，8，12 D．9，15，18
【答案】A
【解答】解：A：∵52+122＝25+144＝169，132＝169，
∴52+122＝132，能构成直角三角形，所以此选项正确，符合题意；
B：∵72+142＝49+196＝245，162＝256，
∴72+142≠162，不能构成直角三角形，所以此选项错误，不符合题意；
C：∵62+82＝36+64＝100，122＝144，
∴62+82≠122，不能构成直角三角形，所以此选项错误，不符合题意；
D：∵92+152＝81+225＝306，182＝324，
∴92+152≠182，不能构成直角三角形，所以此选项错误，不符合题意；
故选：A．
35．在张家口的冰雕展上要用冰柱搭建一个直角三角形的造型，不考虑拼接处长度，下列长度适合的冰柱
是（ ）
A．2m，3m，4m B．❑√3m，❑√4m，❑√5m
C．4m，5m，6m D．5m，12m，13m
【答案】D
【解答】解：根据各组长度是否满足两边平方和等于最长边的平方逐项分析判断如下：
A．∵22+32＝4+9＝13，42＝16，13≠16，
∴不能构成直角三角形，不合题意；
B．∵(❑√3) 2+(❑√4) 2=3+4=7，(❑√5) 2=5，7≠5，
∴不能构成直角三角形，不合题意；
C．∵42+52＝16+25＝41，62＝36，41≠36，
∴不能构成直角三角形，不合题意；
D．∵52+122＝25+144＝169，132＝169，169＝169，
∴能构成直角三角形，符合题意；
故选：D．【题型2】直角三角形的判定
36．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．∠A+∠B＝∠C D．a： b：=1c：❑√3：2
【答案】B
【解答】解：根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理，可得：
A：设∠A＝k，∠B＝2k，∠C＝3k，则k+2k+3k＝180°，k＝30°，∴∠C＝90°，能判断△ABC是直角三
角形，不符合题意；
B：设∠A＝3k，∠B＝4k，∠C＝5k，则3k+4k+5k＝180°，k＝15°，∴∠C＝75°，不是直角，不能判断
△ABC是直角三角形，符合题意；
C：∵∠A+∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∠C＝90°，能判断△ABC是直角三角
形，不符合题意；
D：设a＝k，b=❑√3k，c＝2k，则a2+b2＝k2+3k2＝4k2，c2＝4k2，∴a2+b2＝c2，能判断△ABC是直角三
角形，不符合题意．
故选：B．
37．若△ABC的三边分别是a，b，c，则下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a＝1，b=❑√2，c=❑√3
【答案】B
【解答】解：A、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，则∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴设∠A＝3k，∠B＝4k，∠C＝5k，则3k+4k+5k＝12k＝180°，
解得k＝15°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
C、∵52+122＝25+144＝169，132＝169，
∴52+122＝132，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∵12+ (❑√2) 2= 1+ 2=3，(❑√3) 2=3，
∴12+ (❑√2) 2=(❑√3) 2 ，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意，
故选：B．
【题型3】判断直角三角形的形状38．已知a、b、c是△ABC的三边长，它们满足(a−10) 2+❑√b−24+|c−26|=0，则这个三角形的形状
是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解答】解：根据算术平方根的非负性、偶次方的非负性、绝对值的非负性可知：
a﹣10＝0，b﹣24＝0，c﹣26＝0，
∴a＝10，b＝24，c＝26，
∵a2+b2＝102+242＝676，c2＝262＝676，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
39．已知|a−❑√2|+(b−❑√2) 2+❑√2−c=0，对于以a，b，c为三边长的三角形的形状，你认为以下判断
中最准确的是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【解答】解：根据非负数的性质可知：
∴a−❑√2=0，b−❑√2=0，❑√2−c=0，
∴a=b=❑√2，c＝2，
又∵2(❑√2) 2=22，
∴对于以a，b，c为三边长的三角形为等腰直角三角形．
故选：D．
40．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边长．我们可以利用a，b，c之
间的数量关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，
则该三角形是钝角三角形；③若a2＜b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如，若一个三角形的三边长
分别是4，5，6，则最长边长是6，62＝36＜42+52，故由③可知该三角形是锐角三角形．
请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是 锐角 三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是8，15，x，则当x的值是多少时，这个三角形是直角三角形？
【答案】（1）锐角；
（2）x＝17或❑√161．
【解答】解：（1）∵72+82＝113，92＝81，
∴92＜72+82，
∴该三角形是锐角三角形，故答案为：锐角；
（2）当最长边是15时，x=❑√152−82=❑√161；
当最长边是x时，x=❑√82+152=17，
即x＝17或❑√161这个三角形是直角三角形．
考点05 勾股数
1. 勾股数的定义：
满足勾股定理（即 ）的三个正整数称为勾股数。
注意：①一定要满足勾股定理；②一定要是正整数。
2. 常见的勾股数类型：
基本勾股数：（3，4，5）（6，8，10）
①倍数型勾股数：
②奇数规律：满足 的三个正整数。（ 为奇数）
③偶数规律：满足 的三个正整数。（ 为偶数）
【题型1】判断勾股数
41．下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.5，1.2，1.3 B．6，8，10
C．3，4，7 D．32，42，52
【答案】B
【解答】解：根据勾股数定义，三角形三边关系逐项分析判断如下：
A、数据不是正整数，不是勾股数，故该选项不符合题意；
B、62+82＝102，是勾股数，故该选项符合题意；
C、3+4＝7，不能构成三角形，故该选项不符合题意；
D、（32）2+（42）2≠（52）2，不是勾股数，故该选项不符合题意；
故选：B．
42．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，视下列
各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．1，❑√2，❑√3 B．0.3，0.4，0.5
C．2，3，4 D．7，24，25
【答案】D
【解答】解：A：❑√2、❑√3不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
B：0.3，0.4，0.5不是正整数，不是勾股数，不符合题意；C：2，3，4均为正整数，但22+32≠42，2，3，4不是勾股数，不符合题意；
D：7，24，25均为正整数，且72+242＝252，7，24，25是勾股数，符合题意；故选：D．
【题型2】根据已知勾股数求值
43．一个直角三角形的两边长分别是3和4，且三边长构成一组勾股数，则第三边长为（ ）
A．5 B．❑√7 C．5或❑√7 D．12
【答案】一个．
【解答】解：①若3和4为直角边，则斜边为 ❑√32+42=❑√9+16=❑√25=5，5为整数，符合勾股数要
求；
②若4为斜边，则另一条直角边为 ❑√42−32=❑√16−9=❑√7，❑√7不是整数，不符合勾股数要求，
∴直角三角形的第三边长为5，
故选：A．
44．若n、8、10是一组勾股数，则n的值是（ ）
A．2 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解答】解：∵n、8、10是一组勾股数，
∴n2+82＝102或n2＝82+102，
解得：n＝±6或n＝±2❑√41，
∵n是正整数，
∴n＝6，
故选：B．
45．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格
中：
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
则当a＝18时，b+c的值为（ ）
A．242 B．200 C．128 D．162
【答案】D
【解答】解：根据表格中数据可得：a2+b2＝c2，并且c＝b+2，
则a2+b2＝（b+2）2，
当a＝18时，182+b2＝（b+2）2，
解得：b＝80，
则c＝80+2＝82，
则b+c＝162．
故选：D．【题型3】勾股数的证明
46．当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个正整数为勾股数．
（1）若a，b为一个直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，a，b，c为勾股数，且a＝n+7，c＝
n+8，n为正整数，求b的值（用含n的式子表示），并直接写出符合题意的最小的b值．
（2）当n是大于1的整数时，判断2n，n2﹣1，n2+1是否是勾股数，并说明理由．
【答案】（1）5；
（2）是勾股数，理由见解析．
【解答】解：（1）a，b，c为勾股数，c为斜边长，
∴a2+b2＝c2，
∵a＝n+7，c＝n+8，
∴（n+7）2+b2＝（n+8）2，
∴b2＝2n+15，b=❑√2n+15，
∵n，b都为正整数，
∴当n＝5时，b=❑√2×5+15=5，
∴最小的b值为5；
（2）∵（2n）2＝4n2，（n2﹣1）2＝n4﹣2n2+1，（n2+1）2＝n4+2n2+1，
∴（2n）2+（n2﹣1）2＝（n2+1）2，
∴2n，n2﹣1，n2+1是勾股数．
47．（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数
吗？请说明理由；
（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？请说明理由．
（3）如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，请说明a，b，c为勾股数．
【答案】见解答．
【解答】解：（1）是勾股数，
理由：∵3k，4k，5k（k是正整数），
∴（3k）2+（4k）2＝9k2+16k2＝25k2＝（5k）2，
∴3k，4k，5k是一组勾股数；
（2）是勾股数，理由：
∵a，b，c是一组勾股数，
∴a2+b2＝c2，
∴ak，bk，ck（k是正整数）也是一组正整数，
∴k2a2+k2b2＝k2c2，
∴（ak）2+（bk）2＝（ck）2，
∴ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数；
（3）是勾股数，理由：∵m表示大于1的整数，
∴由a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1得到a、b、c均为正整数；
又∵a2+b2＝（2m）2+（m2﹣1）2＝4m2+m4﹣2m2+1＝m4+2m2+1，
而c2＝（m2+1）2＝m4+2m2+1，
∴a2+b2＝c2，
∴a、b、c为勾股数．
48．我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．据我国西汉时期算书《周髀算经》记载，约公元前
1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边为勾，较长的直角边称
为股，而斜边则为弦）．在西方，也有“勾三股四弦五”的定理，《周髀算经》比西方早了五百多年，
这一定理在西方称为“毕达哥拉斯定理”．
勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的
正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数，如：（3，4，5）、（5，12，13）．
下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题：
a b e
3 4 5
5 12 13
7 m 25
t x y
（1）m＝ 2 4 ；
t2−1 t2+1
（2）若t（t≥3）为奇数，则x＝ ，y＝ （用含t的代数式表示）；
2 2
【知识迁移】
（3）5k、12k、13k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
3 4 5
.（4）在Rt△ABC中，当a= ，b= 时，斜边c的值为 ；
99 99 99
【知识应用】
（5）如图所示，有一张直角三角形的纸片ABC，直角边AC＝6，BC＝8，现将直角边AC沿直线AD折
叠，使它落在斜边AB上与AE重合，则CD＝ 3 ．
t2−1 t2+1
【答案】（1）24；（2） ， ；（3）5k、12k、13k（k是正整数）是一组勾股数．理由见解析；
2 25
（4） ；（5）3．
99
【解答】解：（1）由题意得，72+m2＝252，
∴m＝24．
故答案为：24．
（2）由题意，由上面的数据找出规律可得，
t2−1 t2+1
x= ，y= ．
2 2
t2−1 t2+1
故答案为： ， ．
2 2
（3）由题意，5k、12k、13k（k是正整数）是一组勾股数．利用如下：
∵（5k）2+（12k）2＝25k2+144k2＝169k2，
又（13k）2＝169k2，
∴（5k）2+（12k）2＝（13k）2．
（4）依据题意，由勾股数3，4，5可以发现，
3 4
∵a= ，b= ，
99 99
5
∴c= ．
99
5
故答案为： ．
99
（5）由题意，利用勾股数可得斜边AB＝10，再由折叠DC＝DE，且DC⊥AC，DE⊥AB，
∴S△ABC ＝S△ACD +S△ABD ，
1 1 1
即 AC•BC = AC•CD + AB•CD．
2 2 2
1 1 1
∴ ×6×8 = ×6•CD + ×10•CD．
2 2 2
∴CD＝3．
故答案为：3．
