文档内容
第二十章 勾股定理（高效培优单元自测·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各
组数中，是“勾股数”的是（ ）
1 1 1
A． ， ， B．1.5，2，2.5 C．5，12，11 D．7，24，25
3 4 5
2．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．∠A+∠B＝∠C D．a： b：=1c：❑√3：2
3．如图，在数轴上，点O与原点重合，点A表示的数是1，OB⊥OA，且OB＝1，连接AB．以点A为圆
心，AB长为半径画弧，在点O左侧与数轴交于点C，则点C表示的数是（ ）
A．❑√2 B．❑√2−1 C．1−❑√2 D．❑√2+1
4．如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB长为半径画弧，交
最上方的网格线与点D，则CD的长为（ ）
A．❑√5 B．0.8 C．❑√5−2 D．3−❑√5
5．如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于
A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（
）A．6km B．5km C．4km D．❑√20km
6．如图，点A，B，C，D均在正方形网格的格点上，比线段BD短的是（ ）
A．线段AB B．线段AC C．线段BC D．线段CD
7．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形
A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E的面积是（ ）
A．25 B．35 C．40 D．11
8．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD，对角线AC，
BD交于点O．若AD＝2，BC＝7，则AB2+CD2等于（ ）
A．45 B．49 C．50 D．53
9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点P是BC上点，且满足∠BAP＝15°，∠PDC＝75°，若AP＝6，
DP＝10，则AD的长为（ ）
A．5 B．7 C．2❑√34 D．810．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值
是（ ）
A．14.8 B．15 C．15.2 D．16
11．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明图解．该图由四个全等的
直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中直
角三角形的面积为3，中间小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（ ）
A．a+b＝5 B．ab＝8 C．a2+b2＝12 D．a﹣b＝2
12．今有木长二丈，围之三尺、葛生其下，缠木七周，上与木齐，问葛长几何？（选自《九章算术》）题
目大意：如图，有一棵树（将树看作一个圆柱）高2丈，底面周长是3尺，一条生长在树底下的藤从树
底部开始均匀缠绕树7圈，上端刚好与树顶端齐平．这条藤的长度为（ ）
A．❑√409尺 B．❑√41尺 C．29尺 D．21尺
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．已知直角三角形的两边长分别为4、5，那么第三边的长为 ．
14．在Rt△ABC中，斜边AB＝2，则AB2+AC2+BC2＝ ．
15．如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝13，AC＝12，BD＝4，CD＝3，则图中阴影部分的面积
为 ．16．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五
尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如
图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离 AB长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即A′C＝10
尺，则此时秋千的踏板离地距离A′D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很
直，则绳索OA长为 尺．
17．由平面镜成像可知物与像关于镜面成轴对称．如图，物体PQ平行镜面MN，点Q处恰好能从镜面点
G 处看到点 P，PQ＝1.6m，PG＝QG＝2.4m，点 P′是点 P 的像，则 P 与 P′之间的距离为
．
18．在平面直角坐标系中，点A（3，4），点B在x轴上，且△AOB为等腰三角形（O为坐标原点），则
点B的坐标为 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，求BC．
（2）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝13，BC＝5，求AB的长．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点
E，过点D作DF⊥AB于点F．
（1）求证：AE＝DE；
（2）如果AE＝4，BD＝3，求EF的长．21．（8分）如图，∠MON＝45°，在距离O点32❑√2米的A处有一学校，一重型卡车P沿道路ON方向行
驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响．
（1）请你判断学校A是否会受到卡车噪声影响．为什么？
（2）若卡车的行驶速度是8米/秒，求卡车P沿途给学校A带来噪声影响的时间．
22．（8分）风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实
践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下：
【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位
置，BC为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，AB为风筝线的长度，AD为风筝到地面的垂直距离．
【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得BC长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线
AB的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即CD的长）为1.8米．
【问题解决】根据以上信息，解决下列问题：
（1）请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度AD；
（2）如图2，若风筝沿DA方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线BC
方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则BF的长度是多少米？
23．（8分）阅读与理解
阅读下面材料，在理解的基础上解决下列问题．勾股数，也称为毕达哥拉斯数，是指满足勾股定理 a2+b2＝c2的三个正整数a，b，
c．其中a和b是直角三角形的两条直角边长，c是斜边长．
勾股数可以通过以下公式生成：a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2，其中m和n都是正
整数，且m＞n．
例如，当m＝2，n＝1时，a＝22﹣12＝3，b＝2×2×1＝4，c＝22+12＝5．因此，（3，
4，5）是一组勾股数．
（1）使用勾股数生成公式，当m＝4，n＝1时，求对应的勾股数（a，b，c）．
（2）若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数（5，12，13），请你计算他代入的正整数m和n
（m＞n）的值．
24．（10分）定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角
形”．
（1）若一个三角形的三边长分别是❑√5，❑√11和2，这个三角形是否为“平方倍三角形”？请你作出判
断并说明理由；
（2）若一个直角三角形是“平方倍三角形”，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排
列）；
（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，CD＝AD＝BD，若△BCD是“平方倍三角形”，求
△ABC的面积．
25．（10分）“数形结合”是数学上一种重要的数学思想，我们常用图形面积来解释一些公式或完成证明．
（1）如图 1，通过观察大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，直接写出此公式：
；
（2）图2是我国古代数学家赵爽的“弦图”，它是由4个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的
大正方形．已知大正方形的边长为c，直角三角形的长直角边长为b，短直角边长为a，请通过面积证明：
a2+b2＝c2；（3）由（2）可知，在直角边分别为a，b，斜边为c的直角三角形中，有a2+b2＝c2．请你用这个结论
解决问题：如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E在AC上，将△ABC沿BE折叠，
点C的对应点D恰好落在AB上，求CE的长．
26．（12分）【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问
题．
例：求代数式 的最小值．
❑√x2+32+❑√(12−x) 2+22
分析： 和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜
❑√x2+32 ❑√(12−x) 2+22 ❑√x2+32
边， 是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC
❑√(12−x) 2+22
和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图
2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最
短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．
【模型应用】
（1）代数式 的最小值为 ；
❑√x2+32+❑√(12−x) 2+22
（2）变式训练：利用图3，求代数式 的最小值；
❑√x2+4+❑√(5−x) 2+1
【模型拓展】
（3）根据以上学习，解决问题：已知正数x满足 ，求x的值．
❑√36−x2+❑√64−x2=10
