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第二十章 勾股定理（复习讲义）
1. 了解勾股定理的多种证明方法（如赵爽弦图、邹元治证法、总统证法），体会几何图形与代数关系之间
的整体联系，感受数学文化的多样性。
2. 能用勾股定理解决直角三角形中已知两边求第三边的计算问题，能运用勾股定理的逆定理判定一个三角
形是否为直角三角形。
3. 理解勾股数的概念，能识别常见的勾股数，并能利用勾股定理及其逆定理解决实际问题（如测量、建筑
等）。
4. 掌握将立体图形（如长方体、圆柱）的侧面展开转化为平面图形的方法，并能利用勾股定理求解最短路
径问题。
知识点01 勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a，b c
如图：直角三角形 ABC 的两直角边长分别为 ，斜边长为 ，那么a2 b2 c2
.
知识点02 勾股定理证明
（1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中 ，所以 .
（2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中 ，所以 .
（3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以 .
知识点03 勾股定理逆定理
a，b，c a2 b2 c2
1.定义：如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
c
（1）首先确定最大边（如 ）.
c2 a2 b2 c2 a2 b2
（2）验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若
c2 a2 b2
，则△ABC不是直角三角形.
知识点04 勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
知识点05 勾股定理的应用
1.解决实际问题：勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直
角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边
的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.
2.平面展开图-最短路径问题
几何体中最短路径基本模型如下：基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用
勾股定理求解
题型一 勾股数的判断
【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A． ， ， B． ， ，1 C．4，5，6 D．9，40，41
【答案】D
【分析】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，如果a，b，c为正整数，且满足 ，
那么，a、b、c叫做一组勾股数．
根据勾股数的定义逐一判断即可．
【详解】解：A． ， ， ，不是整数，不是勾股数；
B． ， ，不是整数，不是勾股数；
C． ，不是勾股数；
D． ，是勾股数；
故选：D
【变式1-1】（24-25八年级下·山西朔州·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．3，3，5 B．4，5，6 C．7，24，25 D．2，3，
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股数定义，满足 的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的概念判断
即可．
【详解】解：A、 ， ，3，5不是勾股数，不符合题意；B、 ， ，5，6不是勾股数，不符合题意；
C、 ， ，24，25是勾股数，符合题意；
D、 ，3， 不全是正整数， ，3， 不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
【变式1-2】（25-26九年级上·河南信阳·开学考试）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，16，25 B． ， ，2 C． ，2， D．5，12，13
【答案】D
【分析】本题考查的是勾股数，根据勾股数的概念对各选项进行逐一分析即可．熟知满足 的三
个正整数，称为勾股数是解题的关键．
【详解】解：A、 ， 不能构成勾股数，不符合题意；
B、 不是整数，不能构成勾股数，不符合题意；
C、 ， 不是整数，不能构成勾股数，不符合题意；
D、 ，且5，12，13都是正整数， 能构成勾股数，符合题意．
故选：D．
【变式1-3】（24-25八年级下·广东江门·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古
代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．4，5，6 B．5，12，13 C．6，8，11 D．5，12，23
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，即三个正整数满足 ，逐一验证各选项即可．
【详解】解：选项A：4，5，6
最大数为6，验证 ： ， ，和为 ，而 ，不满足勾股定理．
选项B：5，12，13
最大数为13，验证 ： ， ，和为 ，而 ，满足勾股定理．
5、12、13均为正整数，符合勾股数定义．
选项C：6，8，11
最大数为11，验证 ： ， ，和为 ，而 ，不满足勾股定理．选项D：5，12，23
最大数为23，验证 ： ， ，和为 ，而 ，不满足勾股定理．
综上，只有选项B符合条件，
故选B．
题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积
【例2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图所示，直线上有三个正方形 ，若 的面积分别为2
和4，则正方形 的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．
根据已知及全等三角形的判定可得到 ，从而得到 ，进而得到
，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴在 与 中，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ 的面积分别为2和4，
∴ ， ，
∴ ，
即正方形 的面积为6．
故选：C．
【变式2-1】（25-26八年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形
都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的
正方形E的面积是（ ）
A．7 B．10 C．20 D．34
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形F的边长为c，如图，则由勾股定理可得
及正方形面积公式可得正方形F的面积为7，同理可求解问题．
【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形F的边长为c，如图，
由勾股定理可得 ，
∴正方形F的面积为 ，
同理可得正方形H的面积为 ，∴正方形E的面积为 ．
故选：B．
【变式2-2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在 中， ，分别以各边为直径作
半圆．若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据 ，得
，根据阴影面积等于两个较小的半圆面积加上直角三角形的面积再减去最大的半圆面积
进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵
∴阴影部分的面积
．
故选B．
【变式2-3】（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作正三角形，
面积分别为 ， ， ，如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为 ， ， ，其中 ， ， ， ，则 （ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理、等边三角形的面积、圆的面积，根据图形和勾股定理，可以得到 ，
同理可得 ，然后根据 ， ， ， 即可得到 的值，本题得以解决．
【详解】解：如图1， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
如图2，同理可得， ，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
故选：C．
题型三 用勾股定理解三角形
【例3】（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在 中， ，a、b、c分别表
示 、 、 的对边．
(1)已知 ， ，求c；
(2)已知 ， ，求b．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
（1）根据勾股定理可进行求解；
（2）根据勾股定理可进行求解．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，即 ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，即 ，
∴ ．【变式3-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图，已知直角三角形一直角边 ，斜边
，求这个直角三角形的周长．
（2）在 中， ， ， ，求 边上的高 的长．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理求得 ，即可求得三角形的周长；
（2）先根据勾股定理求出 ，再根据面积列方程求解即可．
【详解】解：（1）在直角三角形中，因为 ， ，
，
，
，
直角三角形的周长为 （ ）；
（2）在 中，因为 ， ， ，
，
，
，
，
．
故 边上的高 的长为 ．
【变式3-2】（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）如图，在 中， ， 、 、 是 的
三边长．(1)已知 ， ，求 的值；
(2)若 ， ，求 ， 的值．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】本题考查了勾股定理；
（1）直接利用勾股定理计算即可；
（2）设 ， ，然后利用勾股定理列式求出 ，进而可得答案．
【详解】（1）解：在 中， ；
（2）∵ ，
∴设 ， ，
在 中， ，
∴ （负值已舍去），
∴ ， ．
【变式3-3】（2025八年级上·全国·专题练习）我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这
条边上高的差．如图①，在 中， 为 边上的高，边 的“线高差”等于 ，记为
．
(1)若 中， ，则 ________；(2)如图②，在 中， ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】考查三角形综合题、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅
助线，构造直角三角形解决问题．
（1）过点 作 于点 ，求出高 即可解决问题；
（2）过点 作 于点 ，设 ，则 ，由勾股定理求出 即可解决问题；
【详解】（1）解：如图①，过点 作 于点 ．
因为 ， ，
∴由勾股定理得 ．
因为 ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：如图②，过点 作 于点 ．
设 ，则 ．
因为 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．题型四 勾股定理与网格问题
【例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， 的三个顶
点均在格点上，按要求完成下列各题．
(1)试判断 的形状并说明理由；
(2)在网格中以 为边向右作直角三角形 ，令点 在格点上，且使 是等腰三角形，则 的长
为 ．
【答案】(1) 是直角三角形，理由见解析
(2) 或5
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，准确地做出图形是解题的关键．
（1）先根据勾股定理求边长，再根据勾股定理的逆定理判定；
（2）画出图形，分类讨论，再求解．
【详解】（1）解： 是直角三角形．
理由：由勾股定理，得 ，
，
，
是直角三角形．
（2）解：点 的位置有两处，如图所示．当点 在点 处时， ；
当点 在点 处时， ．
综上所述， 的长为 或5．
故答案为： 或5．
【变式4-1】（24-25八年级下·河南信阳·阶段练习）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都
是 ，小正方形的顶点称为格点．
(1)请在网格中画出格点三角形 ，使 ， ， ；
(2)求 的面积．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，勾股定理，构图法求三角形的面积，读懂题目信息，理解
构图法的操作方法是解题的关键．
（ ）根据勾股定理画出图形即可；
（ ）利用 所在的长方形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，计算即可得解．
【详解】（1）解：如图，
理由：由网格可得 ， ， ，
∴ 即为所求作；（位置不唯一）（2）解： ．
【变式4-2】（25-26九年级上·广东广州·开学考试）如图，四边形 的四个顶点都在网格上，且每个
小正方形的边长都为1．
(1) __________．
(2)连接 ，判断 是什么三角形？请说明理由．
(3)求四边形 的面积．
【答案】(1)
(2) 是等腰直角三角形，见解析
(3)7
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求解即可；
（2）根据勾股定理可求出 的长，则可证明 ， ，据此可得结论；
（3）根据勾股定理可求出 的长，则可证明 ，得 是直角三角形，结合
（2）结果，可得结论．
【详解】（1）解：由勾股定理得： ，
故答案为： ；
（2）解： 是等腰直角三角形，
理由如下：
如图，由勾股定理得： ，
∵ ，
， ，
，是等腰直角三角形；
（3）解：如图，由勾股定理得： ， ，
∵ ，
，
，
，
，
．
【变式4-3】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，四边形 的四个顶点都在网格上，
且每个小正方形的边长都为 ．
(1)求四边形 的面积；
(2) 是直角吗？
【答案】(1)
(2) 是直角
【分析】本题考查了网格图形，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，是解题的关键．
（1）连接 ，利用勾股定理求出 的长，根据勾股定理的逆定理判断出 ，
为直角三角形，进而根据三角形的面积公式，即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理判断出 为直角三角形，进而可得出结论．【详解】（1）解：连接 ，
， ， ，
．
．
， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积为
；
（2）解： ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角．
题型五 勾股定理与折叠问题
【例5】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形 中， 为 上一点，
将 沿着 翻折至 ， 与 交于点 ，且 ，求 的长．【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，设 与 交于点 ．由折
叠的性质可知 ，根据三角形全等的性质得出 ．证明
，得出 ，设 ，则 ，根据勾
股定理得出 ，求出结果即可．
【详解】解：如图，设 与 交于点 ．
∵四边形 是长方形，
∴ ， ．
由折叠的性质可知 ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ．
根据勾股定理，得 ，
即 ，解得 ，
∴ ，
∴ ．
【变式5-1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形 中， ，E是 边上
一点．将四边形 沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为 ．若 恰好经过点A，求：
(1) 的长．
(2) 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】题目主要考查折叠的性质，勾股定理解三角形，求三角形的面积，结合图形求解是解题关键．
（1）根据长方形的性质得出 ，再由折叠的性质确定
，利用勾股定理求解即可；
（2）结合图形直接求面积即可．
【详解】（1）解：因为四边形 为长方形，
所以 ．
由折叠的性质，得 ．
由勾股定理，得 ，
所以 ，所以 ．
设 ，则 ．
所以 ，
解得 ，
所以 ．
（2） ．
【变式5-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片 折叠起来， 为折痕，使
其对角顶点A与点 重合，点 与点 重合．若长方形的长 为8，宽 为4．
(1)求 的长；
(2)求 的值；
(3)求阴影部分 的面积．
【答案】(1)3
(2)20
(3)
【分析】（1）由折叠可知 ，设 ，则 ，在 中，根据 ，
求出 的长即可；
（2）过点 作 于点 ，在 中，由勾股定理求出 的长，即可得 的长，在
中，由勾股定理即可得出答案；
（3）过点 作 于点 ，根据三角形面积不变性， ，求出 的长，根
据三角形面积求出结果即可．
本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键．
【详解】（1）解：由折叠可知 ， ．
设 ，则 ， ．
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
（2）解：如图，过点 作 于点 ，则 ．
在 中，
∵ ，
∴由勾股定理，得 ，
即 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：如图，过点 作 于点 ．
在 中， ， ， ．
由 ，
得 ，
∴ ．
【变式5-3】（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）已知长方形 ， ， ，Q为射线上的一个动点，将 沿直线 翻折至 的位置（点B落在点 处）．
(1)如图1，连接 ，当点 落在 上时， ______；
(2)如图2，当点Q与点A重合时， 与 交于点E，求重叠部分（阴影）的面积；
(3)当直线 经过点D时，求 的长．
【答案】(1)
(2)
(3)2或8
【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、等边对等角等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解
题的关键．
（1）由勾股定理可求 的长，由折叠的性质可得 ，即可求解；
（2）由平行线的性质和折叠的性质可证 ，由勾股定理可求 的长，即可求解；
（3）分 在线段 上和点D在线段 上两种情况讨论，由折叠的性质可得 ，
， ，由勾股定理可求 ，由勾股定理可求 的长．
【详解】（1）解： ， ，
，
∵将 沿直线 翻折至 的位置（点B落在点 处）．
，
，故答案为： ；
（2）解： ，
，
∵将 沿直线 翻折至 的位置（点B落在点 处）．
，
，
，
，
，
，
∴重叠部分（阴影）的面积 ；
（3）解：当 在线段 上时，
将 沿直线 翻折至 的位置， ， ， ，
，
，
，即： ，解得： ；
当点D在线段 上时，∵将 沿直线 翻折至 的位置，
， ， ，
，
，
，
，
；
综上所述： 的长为2或8．
题型六 勾股定理的应用
【例6】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，长方形 是某公园的荷花观赏池，对角线 为观赏
浮桥，点 为公园小门， ， 为两条小路，图中阴影部分为草坪，测得 米， 米，
米， 米．
(1)求观赏池 边的长；
(2)求草坪的面积．
【答案】(1)20米
(2)600平方米【分析】此题考查了勾股定理以及逆定理的应用等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）利用勾股定理求解即可；
（2）连接 ,根据勾股定理求出 米,然后证明出 是直角三角形，且 ，然后利用
代数求解即可.
【详解】（1）解：因为四边形 为长方形，
所以 ．
在Rt 中， 米， 米，
由勾股定理，得 ，即 ，
所以 米．
答：观赏池 边的长为20米;
（2）解：连接 ．
因为 , 米， 米，
根据勾股定理，得 ，
所以 米．
因为在 中， ， ，
所以 ，
所以 是直角三角形，且 ，
所以 （平方米）．
答：草坪的面积为600平方米．
【变式6-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，小明在某泳池沿泳道l练习游泳，点A处有一个攀梯．游
了一段时间后，在点B处的小明想上岸休息，他决定游至点C处后再向攀梯游去．已知 三点都在
直线l上， ．(1) 的长是否为攀梯A到泳道l的最短距离？
(2)小明游至点C处后又沿泳道l滑行 到达点D，若从点D游至攀梯A，求 的长度（结果保留根号）．
【答案】(1) 的长是攀梯A到泳道l的最近距离，理由见解析
(2)
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，垂线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理，推导出 ，即 ，由垂线段最短，得到 的长是攀梯A到
泳道l的最近距离，即可解答；
（2）根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解： 的长是攀梯A到泳道l的最近距离．理由如下：
在 中，
，
，即 ，
由垂线段最短，
的长为攀梯A到泳道l的最近距离．
（2） ，
．
在 中，
．
答： 的长度为 ．
【变式6-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）一艘轮船从A港向南偏西 方向航行 到达B岛，再
从B岛沿 方向航行 到达C岛，A港到航线 的距离是 ．(1)若轮船速度为 ，求轮船从C岛沿 返回A港所需的时间；
(2)C岛在A港的什么方向？
【答案】(1)
(2)北偏西
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用；
（1）先求解 ，结合 ，可得 ，再进一步的利用勾股定理计算
即可；
（2）先证明 ，可得 ，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知 ．
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴轮船从 岛沿 返回 港所需的时间为 ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 岛在 港的北偏西 方向上．
【变式6-3】（25-26八年级上·江苏南通·开学考试）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点 ，小王的赛车从点 出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点 出发，以3米/秒的速度由南向北
行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于 米时，遥控信号会产生相互干扰， 米，
米．
(1)出发 秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
(2)当两赛车距 点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？
【答案】(1)不会
(2)两赛车距点A的距离之和为35米时，遥控信号将会相互干扰，见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据题意求得 米， 米，得到 米， 米，根据勾股定理即可得到结论；
（2）设出发 秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，
出发 秒钟时， 米， 米
米， 米
米， 米
（米）
出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰；
（2）解：设出发 秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米，
由题意得， ，解得此时 ，
此时 ，
即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰，
答：当两赛车的距离之和为 米时，遥控信号将会产生干扰．
题型七 判断能否构成直角三角形
【例7】（25-26八年级上·全国·期中）下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题查考勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，若三条线段满足两较短边的平方和等于最
长边的平方，则可构成直角三角形．逐一验证各选项即可．
【详解】解：A、 ，故不符合题意；
B、 ，故不符合题意；
C、 ，故不符合题意；
D、 ，故符合题意；
故选：D．
【变式7-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）在 中， 的对边分别为 ，且
，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．
根据 得到 ，即可得到 是直角三角形， ．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，故选：B．
【变式7-2】（24-25八年级下·广西·阶段练习）在 中，下列条件中，不能判断 是直角三角形
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据勾
股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、 ，
是直角三角形，不符合题意；
B、 ，
设 ，则 ， ，
，
，
解得 ，
，
是直角三角形，不符合题意；
C、设 ， ， ，
，
解得： ，
则 ，
不是直角三角形，符合题意；
D、 ， ，
，
为直角三角形，不符合题意，
故选：C．
【变式7-3】（24-25八年级下·辽宁抚顺·开学考试）在 中， 的对边分别是 ，则下
列条件中不能说明 是直角三角形的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系
是解题的关键
根据勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系分析各选项是否满足直角三角形的条件即可．
【详解】解：分析各选项如下：
选项A、∵ 展开得 即 符合勾股定理逆定理，故 是直角三角
形；
选项B、∵
∴ ．
又∵三角形内角和为 ，
∴ ，故 是直角三角形；
选项C、设 ,
则 ,不能构成三角形，故该选项符合题意；
选项 D、设 则 ．
∵ ，
∴ ，解得 ，则 ，故 是直角三角形．
故选：C．
题型八 利用勾股定理的逆定理求解
【例8】（25-26八年级上·四川达州·开学考试）如图，在 中， 是 上的点，连接 ， ，
， ， ，求 的长．
【答案】 的长为【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理．
根据勾股定理的逆定理可得 是直角三角形， ，从而可得 ，用勾股定理解三
角形，可得 的长度，与 相加，即可得 的长．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
答： 的长为 ．
【变式8-1】（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）已知：如图，四边形 中， ，
， ，且 ．试求：
(1) 的度数．
(2)四边形 的面积．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积．
（1）连接 ，由勾股定理求出 的长，再根据勾股定理的逆定理判断出 的形状，进而可求出
的度数；
（2）由（1）可知 和 是直角三角形，再根据 ，即可得出结论．【详解】（1）解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）可知 和 是直角三角形，
∴
．
【变式8-2】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，在四边形 中，
．(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)求 的长．
【答案】(1) 是直角三角形，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的
关键．
（1）由勾股定理的逆定理即可得出 是直角三角形；
（2）先求得 ，再由勾股定理求出 的长．
【详解】（1） 是直角三角形．
理由如下：
在 中，
是直角三角形；
（2）在四边形 中，
由（1）得 ，
∴在 中，
【变式8-3】（24-25八年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，在 中， ，点 是边 上一点，
连接 ，且 ， ．
(1)求证： ；(2)若 ，求 的周长．
【答案】(1)证明见解析.
(2)
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明 是直角三角
形．
（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据三角形面积公式得出 ，再利用勾股定理得出 ，进而解答即可．
【详解】（1）证明：在 中， ， ， ，
∵ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ 是直角三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
∴ 的周长 ．
题型九 勾股定理逆定理的应用
【例9】（2025八年级上·全国·专题练习）已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图，
现已测得购物车支架 ， ，两轮轮轴的水平距离 （购物车车轮半径忽略不
计）， ， 均与地面平行．(1)猜想两支架 与 的位置关系并说明理由；
(2)若 的长度为 ， ，求购物车把手点 到 的距离．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理内容是解题的关键．
（1）根据勾股定理逆定理判断 为直角三角形，即可得到结论；
（2）过点 作 交 的延长线于点 ，延长 交 于点 ，求出
， ．即可得答案．
【详解】（1）解： ．理由如下：
，
．
∴ 为直角三角形，
，
；
（2）解：过点 作 交 的延长线于点 ，延长 交 于点 ，如图，
，
∴ ．
又 ，
∴ ，
．，
，
在 中， ，
∴ ，
根据勾股定理，得 ， ，
∴
解得： ．
．
购物车把手点 到 的距离为 ．
【变式9-1】（24-25八年级下·陕西延安·阶段练习）如图，孙师傅在三角形铁片 中剪下 ，且
， ， ．
(1)求 的长；
(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1) 的长为
(2)图中阴影部分的面积为
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，
对于（1），根据勾股定理计算即可；
对于（2），先说明 是直角三角形，再根据阴影部分的面积等于 计算即可.
【详解】（1）解： ， ， ， ．即 的长为
；
（2）解： ， ， ，
，，
，
，
即图中阴影部分的面积为 ．
【变式9-2】（24-25八年级下·全国·期末）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳
动实践基地种植蔬菜；如图，点 是自来水管的位置，点A和点 分别表示八（1）班和八（2）班实践基
地的位置，A、 两处相距6米， 两处相距8米， 两处相距10米；为了更好的使用自来水灌溉，
八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案：
八（1）班方案：沿线段 铺设2段水管；
八（2）班方案：过点 作 于点 ，沿线段 铺设3段水管；
(1)求证： ；
(2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？
【答案】(1)见解析
(2)应选择八（1）班铺设方案，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，求三角形高，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
（1）利用勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，且 ，即可证明结论；
（2）利用等面积法求出 ，进而求出两个方案中水管的长度即可得到结论．
【详解】（1）证明：由题意得， ，
，
∵
，
∴
是直角三角形，且 ，
∴ ；
∴（2）解：从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案，
理由如下： ，
∵，
∴
，
∴
，
∴
，且 ，
∵
八（1）班方案中水管的长度小于八（2）班方案中水管的长度，
∴从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案．
∴【变式9-3】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如
图，从A点到D点有两条路线，分别是 和 ．已知 米， 米， 米，
点D在点C的正北方60米处（即 米， ）．
(1)试判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)通过计算比较两条路线谁更短．
【答案】(1) ，见解析
(2) 路线更短
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理，实数大小比较解答即可．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】（1）解： ，
理由如下：在 中， 米， 米， 米，
，
，
，．
（2）解：在 中， 米， 米，
由勾股定理得： （米），
（米）， （米），
，
路线更短．
题型十 验证勾股定理的方法
【例10】（25-26八年级上·全国·课后作业）（教材母题变式）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是
，斜边长为 ．
(1)用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）．
①大正方形的边长为________，小正方形的边长为________；
②大正方形的面积可以表示为________，也可以表示为________；
③观察两种表示方法，可得出________，整理得________，从而验证勾股定理；
(2)将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使 和 在一条直线上，连接 ．请你类比（1）中的
方法用图③验证勾股定理．
【答案】(1)① ， ；② ， ；③ ；
(2)见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，熟练掌握通过图形面积关系验证勾股定理的方法是解题的关键．
（1）①通过观察图②，确定大、小正方形的边长；②分别从整体和部分的角度表示大正方形的面积；③
根据面积相等得出等式，进而验证勾股定理．
（2）计算图③中图形的面积，从不同角度表示后，根据面积相等验证勾股定理．
【详解】（1）解：①大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ．②大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ．
③由面积相等可得 ，
展开得 ，
整理得 ．
（2）解：梯形 的面积为 ，又梯形 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
两边同乘 得 ，
整理得 ，验证了勾股定理．
【变式10-1】（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大
的直角边长都为 ，较小的直角边长都为 ，斜边长都为 ），大正方形的面积可以表示为 ，也可以表
示为 ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为 、 ，斜边长为
，则 ．
(1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；
(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点 、 ， ，由于某种原
因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 （ 、 、 在同一
条直线上），并新修一条路 ，且 ．测得 千米， 千米，求新路 比原路
短多少千米？
【答案】(1)见解析
(2)新路 比原路 少0.2千米
【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识．（1）利用梯形 的面积的两种表示方法即可证明；
（2）设 千米，在 中，根据勾股定理 得到 ，解
得 ，即 千米，即可得到答案．
【详解】（1）证明：梯形 的面积为 ，
也可以表示为 ，
，
即 ；
（2）设 千米，
千米，
在 中，根据勾股定理得： ，
，解得 ，
即 千米，
（千米），
答：新路 比原路 少0.2千米．
【变式10-2】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，
以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．民兴七年级数学
兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究．
【初步探究】
（1）如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为a，b，c（ ），小组同学用四个这样的纸片拼成
了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）．
①一个直角三角形纸片的面积为____，小正方形边长为_____．（用含a，b的代数式表示）
②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出a，b，c三者之间的关系．（需
化简）【结论运用】
（2）如图2，已知， 是直角三角形， ．请利用上面得到的结论求解．
①若 ，求 的长．
②若 ， 的长比 的长大2，求 的长．
【应用拓展】
（3）如图3，已知，在 中， ，请求出 的面积．
【答案】（1）① ； ；②小正方形面积为 或 ， ；（2）①5；②10；
（3）84
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的证明，列代数式，熟知勾股定理及其证明方法是解题的关
键．
（1）①根据三角形面积计算公式可得第一空答案，再由图形之间的关系可得小正方形面积等于直角三角
形的长直角边的长减去短直角边的长，据此可得第二空的答案；②根据正方形面积计算公式可得小正方形
面积为 ，根据小正方形的面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角三角形的面积可得小正方形
的面积为 ，则 ，据此可得答案；
（2）①根据（1）可得 ，据此计算求解即可；②根据（1）可得 ，据此
求解即可；
（3）过点A作 于D，设 ，则 ，则可证明 ，即
，解方程求出 的长即可得到答案．
【详解】解：（1）①由题意得，一个直角三角形纸片的面积为 ，小正方形的边长为 ；
②∵小正方形的边长为 ，∴小正方形的面积为 ；
∵小正方形的面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角三角形的面积，
∴小正方形的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）①由（1）可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 或 （舍去）；
②∵ 的长比 的长大2，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图所示，过点A作 于D，
设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．【变式10-3】（24-25八年级下·安徽亳州·期末）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，
被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1
是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为 ， ，斜边为 ）拼成，用它可以验证勾
股定理 ；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形
（直角边分别为 ， ，斜边为 ）和直角边为 的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾
股定理
【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为 ， ，斜边为 ，从上述两种方法中，任选一种方法
证明勾股定理 ；
（2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（ ）；
A．函数思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点 ， ，该村为
方便村民取水决定在河边新建一个取水点 （ ， ， 在同一条直线上），并新修一条路 ，现测得
千米， 千米， 千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修
路 的长．
【答案】（1）见解析；（2）D；（3）0.8千米
【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理的应用．
（1）在图1中，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，列出式子后化简
即可证明；在图2中，梯形的面积等于三个三角形的面积之和，列出式子后化简即可证明．
（2）勾股定理的验证过程体现了数形结合思想，据此即可解答；
（3）当 时， 最小，能最大限度节省铺路的费用．设 千米，则（千米），根据勾股定理列出方程，求解即可解答．
【详解】解：（1）根据赵爽弦图进行证明：
∵ ，
∴ ，
∴ ．
根据“总统证法”进行证明：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想．
故选：D
（3）当 时， 最小，能最大限度节省铺路的费用．
设 千米，则 （千米）
∵ ，
∴在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ 千米，
∴ （千米）．
答：新修路 的长为0.8千米．基础巩固通关测
一、单选题
1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）勾股数又名毕氏三元数，下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B． C．3，4，5 D．3，6，8
【答案】C
【分析】本题考查勾股数，勾股数是指三个正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此
对各选项进行判断即可．
【详解】解：A、 ，不是勾股数，不符合题意；
B、 不是整数，不是勾股数，不符合题意；
C、 ，是勾股数，符合题意；
D、 ，不是勾股数，不符合题意；
故选C．
2．（25-26八年级上·山西长治·期末）在 中，a，b，c分别是 、 、 的对边，下列条件不
能判断 是直角三角形的是（ ）
A． B． ， ，
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理及勾股定理逆定理．根据三角形内角和定理及勾股定理逆定理，对
各选项逐一分析判断即可．
【详解】解：A选项： ，且
即 ，解得是直角三角形，不符合题意．
B选项：
， ，
，
是直角三角形，不符合题意．
C选项：
设 ， ，
，解得
则
不是直角三角形，符合题意．
D选项：
，即
是直角三角形，不符合题意．
故选：C．
3．（25-26八年级上·四川雅安·期末）如图，分别以 的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记
为 ， ， ，若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．16 C．12 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积．由勾股定理得 ，再
由正方形面积公式得 ，求出 ，即可得到阴影部分的面积．
【详解】解： 是以 为斜边的直角三角形，，
，
，
，
∴阴影部分的面积为 ，
故选：C．
4．（25-26八年级上·山西晋中·期末）小明在小区玩秋千，静止时踏板离地面 米．推动后踏板水平移动
了4米，此时踏板离地面 米．若秋千绳长不变且始终绷直，那么秋千的绳子长度为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键．
设秋千的绳子 的长度为 米，则 米，进而得到 米，在 中，根据勾股
定理列出方程求解即可．
【详解】解：根据题意得： 米、 米，
设秋千的绳子 的长度为 米，则 米，
四边形 是矩形，
米、 米，
米，
米，
在 中，由勾股定理得：
，即 ，
解得 ，
故选：C．
5．（25-26九年级上·山东济宁·期末）把两个同样大小的含 角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一
个锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点 ，且另外三个锐角顶点 在同一条直线上．若 ，
则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，先利用等腰直角三角形的性质求出 ，
，再利用勾股定理求出 ，即可得出结论．
【详解】解：如图，过点A作 于F，
在 中， ，
∴ ， ，
∵两个同样大小的含 角的三角尺，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得， ，
∴ ，故选：D．
二、填空题
6．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在数轴上A、B两点所表示的数是 ， ， 与数轴垂直，
且 ，连接 ，以点 为圆心， 为半径画弧，交数轴于点 ，则点 所表示的数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理与数轴，由题意可得 ，由勾股定理可得 ，结合题意得出
，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵在数轴上A、B两点所表示的数是 ， ，
∴ ，
∵ 与数轴垂直，且 ，
∴ ，
∵以点 为圆心， 为半径画弧，交数轴于点 ，
∴ ，
∴点 所表示的数为 ，
故答案为： ．
7．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的
三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形 的面积为
．【答案】8
【分析】本题考查以勾股定理为背景的图形面积的计算，理解图示，掌握勾股定理计算图形面积的方法是
解题的关键．
设正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，根据题意，运用勾股定理可得
，正方形 的面积是正方形 的面积和，正方形 的面积是正方形 的面积和，正方形
的面积是正方形 的面积和，由此即可求解．
【详解】解：如图，设正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，
根据题意可得， ， ，
∴ ，
∴正方形 的面积为3，即正方形 的面积是正方形 的面积和，
同理，正方形 的面积是正方形 的面积和，即正方形 的面积为 ，
∴同理可得，正方形 的面积为 ，
故答案为：8．
8．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）生活中的旋梯随处可见．如图，油罐外有一段展开供操作人员上下
使用的旋梯．油罐底面圆半径为 米，高为12米，旋梯正中间有一段 米的平台，则从旋梯底部A到顶
部B的扶手长度至少为 米（旋梯宽度忽略不计）．【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、平移的性质等知识点，灵活运用勾股定理是解题的关键．
如图，此时B处为顶部扶手，A处为底部扶手，其中 为平台，将 向左平移使得点C与点D重合，
此时点A与点E重合， ， ，由两点之间线段最短可知，当 三点共线时，
有最小值，即此扶手长度有最小值，再利用勾股定理求出 的长，进而完成解答．
【详解】解：如图，B处为顶部扶手，A处为底部扶手，其中 为平台，由题意可得： 米，
将 向左平移使得点C与点D重合，此时点A与点E重合，则 ， ，
所以旋梯底部A到顶部B的扶手长度
由两点之间线段最短可知，当 三点共线时， 有最小值 ，即此扶手长度有最小值，
∵油罐底面圆半径约为 米，高为12米，
∴ 米，
∴ 米，
在 中，由勾股定理得 米，
∴旋梯的扶手长度 的最小值为 米．
故答案为： ．
9．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在 中， ， ， 分别是 和 的平
分线， 交 于点 ， 于点 ．若 ， ，则 的面积是．
【答案】15
【分析】过点 作 于点 ，根据角平分线的定义结合平行线的性质可得到 ，根据角平分
线的性质求出 ，根据勾股定理得出关于 的方程，求出 的值，再根据面积公式求出 的面
积即可．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ．
平分 ，
．
，
，
，
．
， 平分 ， ，
．
又 ，
，
．
设 ．
，
．
在 中，由勾股定理，得 ，
，解得 ，即 ，
，
的面积 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识点，能综合运
用性质进行推理是解此题的关键．
10．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，在 中， ， ， ，动点
从点 出发，沿射线 以每秒2个单位长度的速度运动，设运动的时间为 秒，连接 ，当 为以
为腰的等腰三角形时， 的值为 ．
【答案】3或
【分析】本题考查了含 角的直角三角形的性质与等腰三角形的分类讨论，解题的关键是先求出AB和
BC的长度，再分两种等腰情况（ 和 ）进行计算．
先在 中，由 、 得 ， ；再分 和 两种情况：当
时， ，可得 ；当 时，由等腰三角形三线合一得 ，可得 ．
【详解】解：在 中，
∵ ， ， ，
∴ ， ．
∵ 点 速度为每秒 个单位，运动时间为 秒，
∴ ．
分两种情况：
情况一：当 时： ，解得 ．情况二： 当 时，
∵ ，
∴ ， ．
解得 ．
故答案为： 或 ．
三、解答题
11．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在 中， ， ， ．
(1)求 的长；
(2)作 的平分线交 于点D，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形的面积，关键是掌握勾股定理，由角平分线的性质
推出 ，由三角形的面积公式得到关于 的方程．
（1）由勾股定理求出 ；
（2）过D作 于H，由角平分线的性质推出 ，由勾股定理得到 ，即可求出 的长．
【详解】（1）解： ，
．
， ，
．
（2）解：过点D作 ，E为垂足．
平分 ，
．
又 ， ，
．
．
设 ，则 ， ， ．
在 中， ，
．
．
解得 ，
即 的长为 ．
12．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在四边形 中， ， 为四边形 的对角
线，已知 ， ， ， ．
(1)请判断 的形状，并说明理由；(2)过点 作 于点 ，求线段 的长．
【答案】(1) 是直角三角形，见解析；
(2) ．
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）由勾股定理求出 ，得出 ，从而求解；
（ ）由 ，即 ，所以 ，然后通过勾股定理即可求
解．
【详解】（1）解： 是直角三角形，理由：
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形；
（2）解：∵ 是直角三角形， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
13．（25-26八年级上·山西长治·期末）春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．
如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西 方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西 方向上，与C的距离是450海里．
(1)求渔船A与渔船B之间的距离．
(2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速
度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？
【答案】(1)750海里
(2)12小时
【分析】本题考查勾股定理的应用和方向角，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据方向角，易得 ，再根据勾股定理，计算即可求解．
（2）过点C作 交 于点H，在 上取点D，E，使得 海里，根据等面积法，可
得 ，根据勾股定理，求出 ，从而得出 ，计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意，得： ， ，
，
海里， 海里，
（海里），
即渔船A与渔船B之间的距离为750海里；
（2）过点C作 交 于点H，在 上取点D，E，使得 海里，
，
，
，
（海里），
海里，（海里），
则 （海里），
行驶时间为 （小时），
答：B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有12小时．
14．（25-26八年级上·河南南阳·期末）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都
为 ，较小的直角边长都为 ，斜边长都为 ），大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为
，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 ，斜边长为 ，则
．
(1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；
(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点 ， ，由于某种原
因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 （ 在同一
条直线上），并新修一条路 ，且 ．测得 千米， 千米，求新路 比原路
少多少千米？
(3)已知 中， ， ， 为 边上的高，且 ，请直接写出 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)新路 比原路 少 千米
(3)24或84
【分析】本题主要考查勾股定理的计算和运用，理解图示，掌握勾股定理是关键．
（1）根据梯形的面积的表示方法计算即可；
（2）设 千米，则 ，由勾股定理即可求解；
（3）根据题意，作图分析，结合勾股定理即可求解．【详解】（1）解：梯形的面积为 ，梯形面积也等于 ，
∴ ，
∴ ，
∵左边： ，
∴ ；
（2）解：∵ ， 千米， 千米， ，
∴设 千米，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得， ，
∴ 千米， 千米，
∴ 千米，
∴新路 比原路 少 千米；
（3）解：如图所示，
∵ 是 边上的高，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，∴ ，
∴ ；
如图所示， ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 的面积为24或84．
能力提升进阶练
一、单选题
1．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）据《周髀算经》记载，我国古人早就发现了“勾股数”并用于生产
生活．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股数的定义，三个正整数满足两较小数的平方和等于最大数的平方，这样的三
个数是勾股数．
根据勾股数的定义逐项验证即可解答．
【详解】解：A． ，不符合勾股数的定义，不符合题意；
B． ，不符合勾股数的定义，不符合题意；C． ，符合勾股数的定义，符合题意；
D． ，不符合勾股数的定义，不符合题意．
故选C．
2．（25-26八年级上·河南南阳·期末）在 中，三边分别为 ， ， ，下列条件中，能判断 是
直角三角形的个数为（ ）
① ； ② ， ， ；
③ ； ④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理．
通过勾股定理逆定理和三角形内角和定理，逐一分析每个条件是否能判定 为直角三角形即可．
【详解】解：①∵ ，
∴设 ， ， （ ），
∵ ，
∴ 是直角三角形．
②∵ ， ， ，
∵ ，
∴不满足勾股定理逆定理，
∴ 不是直角三角形．
③∵ ，
∴设 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
④∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ， ，∴ 是直角三角形．
综上，能判断 是直角三角形的有①③④，共3个．
故选：C．
3．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图， 是 的角平分线， ， ， ，则
的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的应用，过点 作
于点 ，证明 是直角三角形，且 ，根据角平分线的性质可得 ，证明
得出 ，设 ，在 中， ，根据勾股定理
建立方程，解方程，即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且
又∵ 是 的角平分线
∴
又∵
∴
∴ ，
∴设 ，则 ，
在 中，
∴
解得：
即 的长为
故选：A．
4．（25-26八年级上·山西临汾·期末）下列选项中，正确的是（ ）
A．在 中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10
B．若三角形的三边之比为 ，则该三角形是直角三角形
C．在 中，若 ，则 是直角三角形
D． 的三边分别为 ，若 ，则 是直角
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理和三角形内角和定理，对于A，要分两种情况：边长为8的
边为直角边和边长为8的边为斜边，利用勾股定理可求出第三边的长；对于B、D，利用勾股定理的逆定
理可进行判断；对于C，利用三角形内角和定理可进行判断．
【详解】解：A、当边长为8的边为直角边时，则第三边的长为 ，当边长为8的边为斜边时，
则第三边的长为 ，原说法错误，不符合题意；
B、设这个三角形的三边长分别为 ，
∵ ，
∴该三角形是直角三角形，原说法正确，符合题意；
C、∵在 中， ，且 ，
∴ ， ，
，
∴ 不是直角三角形，原说法错误，不符合题意；D、若 ，则 是直角，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
5．（25-26八年级下·全国·课后作业）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1， ， ， 三点均在
正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．点 到直线 的距离是2
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积计算及等面积法，掌握网格中用勾股定理求
边长，用逆定理判断直角，用等面积法求高是解题的关键．
先利用勾股定理计算三边长度，再通过勾股定理逆定理判断直角，接着用直角三角形面积公式求面积，最
后用等面积法求点到直线的距离，逐一验证选项．
【详解】解：∵ ， ， ，
，
，故A，B选项的结论正确，不符合题意；
，故C选项的结论错误，符合题意；
设点 到直线 的距离是 ，则 ，
，故D选项的结论正确，不符合题意．
故选：C．
二、填空题6．（24-25八年级上·北京·期末）在 中， ．若 ，则 长为 ，
长为 ．
【答案】 1 2
【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，利用含30度角的直角三角形的性质
得到 ，利用勾股定理得到 ，据此可得答案．
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1；2．
7．（25-26八年级上·北京昌平·期末）如图，在 中， ，CD平分 ，过点B作
，垂足为点D，连接AD，若 ，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，勾股定理的应用，三角形面积的计算，
延长 交 于点E，可以算出 ， 的长度，从而利用面积比得到 的面积，而 的面积
又是 面积的一半，从而求解．
【详解】解：延长 交 于点E，
∵在 中，∴ ，
∵ 平分 ，且 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
8．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，一个直三棱柱盒子底面边长 ，
高 ， 是 的中点，一只蚂蚁想从盒底的点 处沿盒的外表面爬到盒顶的点 处，蚂蚁爬行
的最短路程是 ．
【答案】
【分析】本题考查了立体图形表面展开图与勾股定理的应用，将三棱柱侧面展开为平面图形，再利用勾股
定理计算最短路程即可．
【详解】解：∵ ，
∴
故将三棱柱的两个侧面展开，如图，则最短路程是 的长，由题意， ， ， ，
由勾股定理得 ，
即蚂蚁爬行的最短路程是 ．
故答案为： ．
9．（25-26八年级上·上海普陀·期末）定义：在一个三角形中，我们把一条边上的高与这条边的边长的比
值叫做这条边的高比系数，记为 ．如果 中， ， ，那么边 的高比系数
．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的性质， 直角三角形的性质，勾股定理，分母有理化， 为 的
高，由等腰三角形的性质得到 ， ，由 直角三角形的性质得到 ，
由勾股定理得到 ，最后得到边 的高比系数 ．
【详解】解：如图， 为 的高，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴边 的高比系数 ，
故答案为： ．
10．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在 中， ，动点 从点 出发，沿
以每秒一个单位长度的速度向终点 运动，连接 ．当点 的运动时间为 秒时， 与
的一边垂直．
【答案】 或4或
【分析】该题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，一元一次方程，解题的关键是分类讨论．
设点 的运动时间为 秒，则 ，过点 作 ，根据在 中， ，得出
，根据勾股定理得出 ，分三种情况：当 时；当 时，当 时，
分别求解即可．
【详解】解：设点 的运动时间为 秒，则 ，
过点 作 ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，当 时，点 与点 重合，
此时， ，
∴ 秒；
当 时，如图，
则 ，
即 ，
解得： 秒；
当 时，如图，
则 ，
即 ，
解得： 秒；
综上，当点 的运动时间为 或4或 秒时， 与 的一边垂直．
故答案为： 或4或 ．
三、解答题
11．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为
避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架 与小腿支架 需满足互相垂
直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：
， ， ．(1) 与 垂直吗？请说明理由；
(2)据设计人员介绍，支架的 比 长 ，求支架 的长度．
【答案】(1) 与 垂直，理由见详解
(2)
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及勾股定理，熟练掌握勾股定理逆定理及勾股定理是解题的关键；
（1）根据题意易得 ，然后问题可求解；
（2）由题意可设 ，则有 ，然后根据勾股定理可建立方程进行求解．
【详解】（1）解： 与 垂直，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由题意可设 ，则有 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ．
12．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在 中， ，一动点D从B 点出
发，以每秒2个单位长度的速度沿折线 运动，设运动时间为t．(1)求 ；
(2)当 时，求 ；
(3)若 平分 ，求t．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理的应用，熟练掌握角平分
线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），结合勾股定理建立方程求解是解题的关键．
（1）利用勾股定理即可求解；
（2）先求出当 时，点 运动到 上， ，再利用勾股定理即可求解；
（3）过点 作 ，利用角平分线的性质可知 ，再证 ，推出
，最后利用股定即可求解．
【详解】（1）解：∵在 中， ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
当 时，点 运动的距离为 ，
此时，点 运动到 上，
则 ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：如图，过点 作 ，∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据题意， ，则 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ．
13．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根
不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平
地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在
直轨道上，物体C到滑块B的水平距离 ，物体C到定滑轮 的垂直距离 ．（实验过
程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．）
(1)求绳子的总长度；
(2)如图2，若物体C升高 至 处，求滑块B向左滑动至 处的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．（1）在 中利用勾股定理直接计算即可；
（2）由（1）得绳子的总长度为 ，得到 ，在 中利用勾股定理求出 ，再
利用线段和差即可解答．
【详解】（1）解：由题意得， ，
在 中， ，
，
．
答：绳子的总长度为 ．
（2）解：由题意得， ，
，
由（1）得，绳子的总长度为 ，
，
在 中， ，
，
，
答：滑块 向左滑动的距离为 ．
14．（25-26八年级上·贵州·期末）【问题情境】
贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四
级台阶每一级的长、宽、高分别为 ，如图1所示． 和 是这个四级台阶两个相对的端点，
若点 处有一只蚂蚁，它想到点 处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？
（1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接 ，经
过计算得到 长度即为最短路程，则 ______________ ．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是 ，高是 ，一只蚂蚁从点 出发沿着
玻璃杯的侧面到与点 相对的点 处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】（3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子
外壁，离杯子上沿 与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁 处的最短路程是多少厘米？（杯
壁厚度不计）
【答案】（1）25；（2） 厘米；（3） ；
【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的
性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
（1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将杯平面展开，作 点纵向的对称点 ， 点与对称点 的连线，即为蚂蚁从外壁 处到内壁 处的
最短路程，再根据勾股定理计算长度即可．
【详解】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长 ，宽 ，
则蚂蚁沿台阶面爬行到 点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到 点最短路程为 ，
由勾股定理得： ，
解得： ．
故答案为：25；
（2）将圆柱体侧面展开，如图：由题意得： ， ，
，
该蚂蚁爬行的最短路程 厘米；
（3）如图，将杯平面展开，作 点纵向的对称点 ，
连接 ， 即为蚂蚁从外壁 处到内壁 处的最短路程，
， ， ，
，
根据勾股定理有：
，
蚂蚁从外壁 处到内壁 处的最短路程为 ．
15．（25-26八年级上·福建泉州·期末）综合与实践
(1)如图1，铁路上 、 两点（看作直线上的两点）相距40千米， 、 为两个村庄（看作两个点），
， ，垂足分别为 、 ， 千米， 千米．①尺规作图：在 边上作出一
点 ，使 ；（不写作法，保留作图痕迹）
②在①的条件下，求 的距离；
(2)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式 的最小值为_____．
【答案】(1)①见解析；② 千米
(2)20
【分析】本题考查了勾股定理的应用，尺规作线段垂直平分线，熟记勾股定理是解题的关键．（1）①由题意可知，点 在 的垂直平分线上，如图，连接 ，作 的垂直平分线交 于点 ，则
点 即为所求；
②设 千米，则 千米，根据勾股定理得出 ，求出x的
值即可；
（2）先作出点 关于 的对称点 ，连接 ，过点 作 交 延长线于点 ，则 的长就
是代数式 的最小值，再结合勾股定理求出 的长即可．
【详解】（1）解：①如图，点P即为所求作的点；
②设 千米，则 千米，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理可得：
，
在 中，根据勾股定理可得：
，
，
，
解得： ，
即： 千米；
（2）解：如图， ，先作出点 关于 的对称点 ，连接 ，
过点 作 交 延长线于点 ，设 ，则 就是代数式 的最小值，
代数式 的几何意义是线段 上一点到点 、 的距离之和，而它的最小值就是点
的对称点 和点 的连线，与线段 的交点就是它取最小值时的点，
由轴对称的性质可得： ，
， ， ，
四边形 是矩形，
， ，
从而构造出了以 为一条直角边， 和 的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小
值，
代数式 的最小值为：
．
16．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）【问题背景】
勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系．如图1，将两
张全等的直角三角形纸片（△ △ ），按照图1的方式摆放，点 与点 重合，点 ， ， ，
在一条直线上，连接 ，则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于 ， ， 之间的等量关系，从而
验证勾股定理．
【变式探究】（1）智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点 与点 重合，点 在 边上，连接
， ，线段 与 交于点 ．
①图2中线段 与 的位置关系为 ；
②智慧小组发现四边形 的面积可以表示为以 或 为公共底边的两个三角形的面积之和，也可
表示为梯形 与△ 的面积之差．请按照这样的思路利用四边形 的面积验证勾股定理；
【拓展应用】
通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度．
（2）如图3，在 △ 中， ， 于点 ， ， ．取 边上的点 ，连
接 ，使得 ．点 是 边上的一个动点，过点 作 和 的垂线，垂足分别为点 ， ．若
，求 的长．
【答案】（1）① ；②见解析；（2）
【分析】本题主要考查了面积法验证勾股定理．熟练掌握全等三角形性质，三角形外角性质，勾股定理，
面积法求三角形高，三角形中线性质，三角形、梯形、对角线互相垂直的四边形面积公式，是解题的关键．
（1）①根据 ，得 ，由三角形外角性质得 ，即得 ；
②根据 ，得 ，根据 ，即得 ；
（2）根据 ，得 ，推出 ，得 ，得 ，连接 ，
得 ，结合 ，求得
【详解】解：（1）①∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故答案为： ．
②∵ ，
∴ ，
∵
，
∴ ，
∴ ．
（2）∵在 中， ， ， ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
连接 ，∵ ，
∴
，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
