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专题 2-1 勾股定理（考题猜想，巧用勾股定理求最短路径的
长）
求最短距离的问题，第一种情况是通过计算和比较解最短距离问题；第二种情况是平面图形，
将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种情况是立体
图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角
形利用勾股定理求出最短路程(距离)．
【方法总结】
1、解决有关立体图形中路线最短的问题，关键是把立体图形中的路线问题转化为平面上的路线问题，如
圆柱侧面展开图为长方形，圆锥侧面展开图为扇形，长方体侧面展开图为长方形等。
2、平面图形中利用计算、平移、对称等方法，运用平面上两点间线段最短的道理，构造直角三角形，利
用勾股定理求解即可。
3、长方体的展开图有三种不同的情况，计算后进行比较。
技巧1：用计算法解决平面中的最短问题
【例题1】（22-23八年级下·辽宁丹东·期中）如图，已知直线 交x、y轴于A、B两点，以 为
边作等边 （A、B、C三点逆时针排列），D、E两点坐标分别为 ，连接 ，则
的最小值为（ ）A．6 B． C．6.5 D．7
【变式1】（22-23八年级下·广东广州·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，
变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出
了一个求代数式最小值的问题，如：“当 时，求代数式 的最小值”，其中
可看作两直角边分别为 和2的 的斜边长， 可看作两直角边分别是 和3
的 的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求 的最小值．运用此方法，请你解决问题：
已知a，b均为正数，且 ．则 的最小值是 ．
【变式2】（22-23八年级下·全国·单元测试）如图， ， 两个工厂位于一段直线形河的异侧， 厂距离
河边 ，B厂距离河边 ，经测量 ，现准备在河边某处(河宽不计)修一个污水处
理厂 ．
(1)设 ，请用 的代数式表示 的长；
(2)为了使两厂的排污管道最短，污水厂 的位置应怎样来确定此时需要管道多长？
(3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想 的最小值为
多少？
【变式3】（22-23八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一条河流的 段长为 ，在 点的正北方
处有一村庄 ，在 点的正南方 处有一村庄 ，计划在 上建一座桥 ，使得桥 到 村和
村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题：(1)将桥 建在何处时，可以使得桥 到 村和 村的距离和最小？请在图中画出此时 点的位置；
(2)小明发现：设 ，则 ，则 ，根据（1）中的结论可以
求出当 ______时， 的值最小，且最小值为______；
(3)结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值：
① 的最小值______；
② 的最小值为______．
技巧2：用平移法解决平面中的距离问题
已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左
侧），使AM+MN+NB的值最小.
提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移
作法一：将点A向右平移长度d得到点A’， 作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，
将点N向左平移长度d，得到点M。
作法二：作点A关于直线l的对称点A，将点A1向右平移长度d得到点A，连接A B，
1 2 2
交直线l于点Q，将点Q向左平移长度d，得到点Q。
（造桥选址）直线l∥l，在直线l 上找一个点C，直线l 上找一个点D，使得CD⊥l 且
1 2 1 2 2,
AC＋BD＋CD最短．
作法：将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A’，连接A’B，交l 于点D，过点D作DC⊥l 于点C，
2 2
连接AC．则桥CD即为所求．此时最小值为A’B+CD
【例题2】（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中， ， ， ，
M，N是线段 上的两个动点，且 ，则 与 周长和的最小值是 ．【变式1】（2021八年级上·全国·专题练习）如图，小明在广场上先向东走10m，又向南走40m，再向西走
20m，又向南走40m，再向东走70m．则小明到达的终点与原出发点的距离是 ．
【变式2】．（2023春·浙江·八年级专题练习）A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使
从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（22-23八年级下·山东青岛·期末）阅读材料：对于平面直角坐标系 中的图形G和图形G上
的任意点 ，给出如下定义：将点 平移到 称为将点P进行“t型平移”，点 称
为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型平
移”．
例如：将点 平移到 称为将点P进行“1型平移”，将点 平移到 称
为将点P进行“ 型平移”．
已知点 和点 ．(1)将点 进行“1型平移”后的对应点 的坐标为___________；
(2)①将线段AB进行“ 型平移”后得到线段 ，点 ， ， 中，在线段 上的
点是___________；
②若线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是___________；
(3)已知点 ， ，点M是线段CD上的一个动点，将点B进行“t型平移”后得到的对应点为
，当t的取值范围是___________时， 的最小值保持不变．
技巧3：用对称法解决平面中的最短问题
1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小。
类型1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.
作法：连接AB，与直线l的交点Q，Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，
PA+PB最小，且最小值等于AB.
原理：两点之间线段最短。
类型2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，
即PA+PB的和最小.
作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑
到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC.
原理：两点之间，线段最短
2.两动一定型
类型3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．
作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’ ，连接A’ A’’，与OM交于点B，与
ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．
类型4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长
最短．
作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’ ，连接A’ B’，与OM交于点C，与ON
交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．
3. 垂线段最短型
类型5：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．点A是定点，OM，ON是定线，
点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点．
作法：作点A关于OM的对称点A’，过点A’作A’C⊥ON，
交OM于点B，B、C即为所求。
类型6：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差最小，即|PA-PB |最小.
作法：连接AB，作AB的中垂线与l的交点，即为所求点P
此时|PA-PB |=0
类型7：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大
作法：作点B关于l的对称点B，连接AB，
交交l于点P即为所求，最大值为AB的长度。
【例题3】（21-22八年级下·安徽合肥·期中）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路
所在直线 的距离分别为 ， ， ．要在高速公路上C，D之间建一个出口
P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（22-23八年级下·广西桂林·期中）如图，在等腰直角 中． ， ，
的平分线交 于点 ，点 为 边的中点，点 和 分别是 和 上动点，则 的最小值是 ．
【变式2】（22-23八年级下·云南昭通·期中）如图，河 的同侧有 、 两个村，且 ， 、
两村到河的距离分别为 ， ．现要在河边 上建一水厂分别向 、 两村输送自来
水，铺设水管的工程费每千米需2000元．请你在河岸 上选择水厂位置 ，使铺设水管的费用最省，并
求出铺设水管的总费用 （元）．
【变式3】（22-23八年级·山东济南·期中）如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，
，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河
CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．
(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明）
(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这
项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．
技巧4：用展开法解决立体图形中的最短问题
类型1：圆柱中的最短问题
【例题4】（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图是底面周长为24，高为5的圆柱体．一只小蚂蚁要
从点A爬到点 ，则蚂蚁爬行的最短距离是（ ）A．7 B．10 C．13 D．21
【变式1】（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，透明圆柱的底面半径为6厘米，高为12厘米，蚂蚁在
圆柱侧面爬行．从圆柱的内侧点 爬到圆柱的外侧点 处吃食物，那么它爬行最短路程是 厘米．
【变式2】（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）（1）如图①，圆柱的高为 ，底面圆的周长为 ，在
圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路
程是多少？
（2）如图2，是一个无盖的长方形罐头盒，盒高 ，盒底周长 ，盒外一只蚂蚁在底部A处，想吃
到盒内与A相对的点B处的食物，求蚂蚁爬行的最短路程长度．
【变式3】（22-23八年级下·全国·单元测试）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二
丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一
个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点 处缠绕而上．(1)若绕五周后其末端恰好到达点 处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
(2)若绕 周后其末端恰好到达点 处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
类型2：圆锥中的最短问题
【例题5】（2024八年级·全国·竞赛）有一个圆锥，其母线长是 ，底面圆的直径是 ，点 为底面
圆周上的任意一点，现在用笔在该圆锥的侧面上画出一条线，这条线从点 开始绕圆锥侧面一圈后又回到
点 ，则这条线最短为（ ）．
A． B． C． D．
【变式1】（2023八年级下·全国·专题练习）如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A
点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是 ．
【变式2】（20-21八年级上·山西运城·期中）如图，圆锥的底面圆直径 为 ，母线长 为 ，若小虫
从点 开始绕着圆锥表面爬行一圈到 的中点 ，则小虫爬行的最短距离为 ．
【变式3】已知：如图，观察图形回答下面的问题：
(1)此图形的名称为________．
(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个
________．
(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬
到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？
(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程．类型3：长方体中的最短问题
【例题6】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在一个长方形草坪 上，放着一根长方体的木块．
已知 米， 米，该木块的较长边与 平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点
爬过木块到达 处需要走的最短路程是（ ）
A．8m B．10m C． m D． m
【变式1】（22-23八年级下·河南驻马店·期中）如图，一只蚂蚁从长、宽、高分别为9cm，7cm，5cm的
长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是 cm．
【变式2】（22-23八年级下·湖南永州·阶段练习）如图是长 、宽 、高 的长方
体容器．
(1)求底面矩形 的对角线的长；
(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？
(3)一只蚂蚁从D点爬到E点最短路径是多少？【变式3】（2023八年级下·全国·专题练习）一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm，
(1)请问：长为 dm的铁棒能放进去吗？
(2)如果有﹣只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程．
