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专题 2-1 勾股定理（考题猜想，巧用勾股定理求最短路径的
长）
求最短距离的问题，第一种情况是通过计算和比较解最短距离问题；第二种情况是平面图形，
将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种情况是立体
图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角
形利用勾股定理求出最短路程(距离)．
【方法总结】
1、解决有关立体图形中路线最短的问题，关键是把立体图形中的路线问题转化为平面上的路线问题，如
圆柱侧面展开图为长方形，圆锥侧面展开图为扇形，长方体侧面展开图为长方形等。
2、平面图形中利用计算、平移、对称等方法，运用平面上两点间线段最短的道理，构造直角三角形，利
用勾股定理求解即可。
3、长方体的展开图有三种不同的情况，计算后进行比较。
技巧1：用计算法解决平面中的最短问题
【例题1】（22-23八年级下·辽宁丹东·期中）如图，已知直线 交x、y轴于A、B两点，以 为
边作等边 （A、B、C三点逆时针排列），D、E两点坐标分别为 ，连接 ，则
的最小值为（ ）A．6 B． C．6.5 D．7
【答案】D
【分析】在 轴上方作等边 ，证明 ，所以点 的轨迹为定直线 ，作点 关
于直线 的对称点 ，连接 ，当点 、 、 在同一条直线上时， 的
值最小，再根据勾股定理，即可解答；
【详解】 点B在直线 上，
在 轴上方作等边
即
又∵
∴
∴点 的轨迹为定直线
作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，
∴当点D、C、 在同一条直线上时， 的值最小
即的最小值
故选：D
【点睛】本题考查最短路径，勾股定理，轴对称等知识点，解题关键是熟练掌握以上知识点、根据条件的
问题作出辅助线
【变式1】（22-23八年级下·广东广州·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，
变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出
了一个求代数式最小值的问题，如：“当 时，求代数式 的最小值”，其中
可看作两直角边分别为 和2的 的斜边长， 可看作两直角边分别是 和3
的 的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求 的最小值．运用此方法，请你解决问题：
已知a，b均为正数，且 ．则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据题中所给的思路，将 可以可看作两直角边分别是 和3的 的斜边长，
可以可看作两直角边分别是 和5的 的斜边长，故问题转化为求 的最小值，连接
AB，则 的最小值为AB，再利用勾股定理计算出AB即可．
【详解】解：如图： 可以可看作两直角边分别是 和3的 的斜边长， 可以可看作
两直角边分别是 和 的 的斜边长，故问题转化为求 的最小值，连接 ，则 的
最小值为 ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理，动点问题，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答
【变式2】（22-23八年级下·全国·单元测试）如图， ， 两个工厂位于一段直线形河的异侧， 厂距离
河边 ，B厂距离河边 ，经测量 ，现准备在河边某处(河宽不计)修一个污水处
理厂 ．
(1)设 ，请用 的代数式表示 的长；
(2)为了使两厂的排污管道最短，污水厂 的位置应怎样来确定此时需要管道多长？
(3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想 的最小值为
多少？
【答案】(1)
(2)连接 与 的交点就是污水处理厂 的位置，此时最少需要管道
(3) 的最小值为
【分析】（1）在 和 中，根据勾股定理可得 ， 的长，进而即可求解；
（2）连接 与 的交点就是污水处理厂 的位置，过点 作 ⊥ 于 ，在 △ 中，勾股定
理即可求解；
（3）当 、 、 共线时，求出 的值即为原式的最小值，在 △ 中，勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：在 和 中，根据勾股定理可得 ， ，
∴ ，
（2）根据两点之间线段最短可知，连接 与 的交点就是污水处理厂 的位置．过点 作 ⊥ 于 ，则有 ， ．
．
在 △ 中， ，
此时最少需要管道 ．
（3）根据以上推理，可作出下图，
设 ， ， ， ，
当 、 、 共线时，求出 的值即为原式的最小值．
在 △ 中， ， ，
由勾股定理可得： ，
的最小值为 ．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键
【变式3】（22-23八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一条河流的 段长为 ，在 点的正北方
处有一村庄 ，在 点的正南方 处有一村庄 ，计划在 上建一座桥 ，使得桥 到 村和
村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题：
(1)将桥 建在何处时，可以使得桥 到 村和 村的距离和最小？请在图中画出此时 点的位置；
(2)小明发现：设 ，则 ，则 ，根据（1）中的结论可以
求出当 ______时， 的值最小，且最小值为______；(3)结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值：
① 的最小值______；
② 的最小值为______．
【答案】(1)见解析
(2) ；
(3)① ；②
【分析】（1）直接根据两点之间线段最短，连接 ，交 于点 即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理得出 的长度，根据勾股定理求出 即为最小值；
（3）①根据题意可知 的最小值 ，计算即可；
②将 转换为 ，然后根据上述规律求最小值
即可．
【详解】（1）解：如图，点 即为所作：
；
（2）过点 作 ，交 与点 ,
则 ， ，
，
设 为 ，则 ，
则 ，
即 ，
解得 ，，当 时，最小值为 ，
故答案为： ； ；
（3）① 的最小值 ，
故答案为： ；
②
的最小值 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，考查了数形结合的思想，读懂题意，将已知式子转换为相应的图形
进行解答是本题的关键
技巧2：用平移法解决平面中的距离问题
已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左
侧），使AM+MN+NB的值最小.
提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移
作法一：将点A向右平移长度d得到点A’， 作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，
将点N向左平移长度d，得到点M。
作法二：作点A关于直线l的对称点A，将点A1向右平移长度d得到点A，连接A B，
1 2 2
交直线l于点Q，将点Q向左平移长度d，得到点Q。
（造桥选址）直线l∥l，在直线l 上找一个点C，直线l 上找一个点D，使得CD⊥l 且
1 2 1 2 2,
AC＋BD＋CD最短．
作法：将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A’，连接A’B，交l 于点D，过点D作DC⊥l 于点C，
2 2
连接AC．则桥CD即为所求．此时最小值为A’B+CD
【例题2】（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中， ， ， ，
M，N是线段 上的两个动点，且 ，则 与 周长和的最小值是 ．
【答案】【分析】将点C项左平移2个单位得到 ，找出点A关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于一点即为最
短距离点，根据勾股定理即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
∵ ， ， ，
∴当 最小即可得到答案，
点C项左平移2个单位得到 ，找出点A关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于一点即为最短距离点，
如图所示，
根据勾股定理可得，
，
∴ 与 周长和的最小值是： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查最短距离问题及勾股定理，解题的关键是根据轴对称的性质及两点间线段距离最短得到
最小距离位置
【变式1】（2021八年级上·全国·专题练习）如图，小明在广场上先向东走10m，又向南走40m，再向西走
20m，又向南走40m，再向东走70m．则小明到达的终点与原出发点的距离是 ．
【答案】100m
【分析】连接出发点与终止点，求出两点之间距离即为所求，要构造直角三角形，用勾股定理解答．
【详解】解：连接AB，作AC⊥BC于C．∵AC=40+40=80 (m)，
BC=70-10=60 (m)，
则AB= =100(m)．
故答案为：100m．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确构造直角三角形是解题关键
【变式2】．（2023春·浙江·八年级专题练习）A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使
从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过A作河的垂线AH，要使最短，MN⊥直线a，AI＝MN，连接BI即可得出N，作出AM、MN、
BN即可．
【详解】解：根据垂线段最短，得出MN是河的宽时，MN最短，即MN⊥直线a（或直线b），只要
AM+BN最短即可，
即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．
连接IB交河的b边岸于N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所得MN即为所求．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了最短路径的问题，运用到了两点之间线段最短，平行四边形等知识点，解此题的
关键在于熟练掌握其知识点．
【变式3】（22-23八年级下·山东青岛·期末）阅读材料：对于平面直角坐标系 中的图形G和图形G上的任意点 ，给出如下定义：将点 平移到 称为将点P进行“t型平移”，点 称
为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型平
移”．
例如：将点 平移到 称为将点P进行“1型平移”，将点 平移到 称
为将点P进行“ 型平移”．
已知点 和点 ．
(1)将点 进行“1型平移”后的对应点 的坐标为___________；
(2)①将线段AB进行“ 型平移”后得到线段 ，点 ， ， 中，在线段 上的
点是___________；
②若线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是___________；
(3)已知点 ， ，点M是线段CD上的一个动点，将点B进行“t型平移”后得到的对应点为
，当t的取值范围是___________时， 的最小值保持不变．
【答案】(1)
(2)① ；② 或
(3)
【分析】（1）根据“1型平移”的定义解决问题即可；
（2）①画出线段 即可判断；
②根据定义求出 的最大值，最小值即可解答；
（3）如图2中，观察图象可知，当 在线段 上时， 的最小值保持不变，最小值为 ．
【详解】（1）解：将点 进行“1型平移”后的对应点 的坐标为 ，即 点的坐标为 ；
故答案为： ；
（2）解：①如图1中，观察图象可知，将线段 进行“ 型平移”后点A的对应点为 ，点
B的对应点为 ，
即 ， ，∴得到线段 ，
∴点 ， ， 中，在线段 上的点是 ；
故答案为：
②若线段 进行“ 型平移”后与坐标轴有公共点，
当平移后与y轴相交，则 ，
解得： ，
当平移后与x轴相交，则 ，解得： ，
∴若线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是 或 ；
故答案为： 或 ．
（3）解：如图2中，观察图象可知，当 在线段 上时， 的最小值保持不变，最小值为 ，此
时 ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，“ t型平移”的定义等知识，解题的关键理解题意，
灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考创新题型．
技巧3：用对称法解决平面中的最短问题
1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小。类型1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.
作法：连接AB，与直线l的交点Q，
Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，
PA+PB最小，且最小值等于AB.
原理：两点之间线段最短。
类型2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，
即PA+PB的和最小.
作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑
到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC.
原理：两点之间，线段最短
2.两动一定型
类型3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．
作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’ ，连接A’ A’’，与OM交于点B，与
ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．
类型4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长
最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’ ，连接A’ B’，与OM交于点C，与ON
交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．
3. 垂线段最短型
类型5：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．
点A是定点，OM，ON是定线，
点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点．
作法：作点A关于OM的对称点A’，过点A’作A’C⊥ON，
交OM于点B，B、C即为所求。
类型6：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差最小，即|PA-PB |最小.
作法：连接AB，作AB的中垂线与l的交点，即为所求点P
此时|PA-PB |=0
类型7：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大
作法：作点B关于l的对称点B，连接AB，
交交l于点P即为所求，最大值为AB的长度。
【例题3】（21-22八年级下·安徽合肥·期中）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路
所在直线 的距离分别为 ， ， ．要在高速公路上C，D之间建一个出口
P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出 点位置，进而结合勾股定理得出即可．
【详解】解：如图所示：作 点关于直线 的对称点 ，再连接 ，交直线 于点
则此时 最小，过点 作 延长线于点 ，
， ， ，
，则 ，
在 中， ，
则 的最小值为： ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用
对称解决最短问题
【变式1】（22-23八年级下·广西桂林·期中）如图，在等腰直角 中． ， ，
的平分线交 于点 ，点 为 边的中点，点 和 分别是 和 上动点，则 的最
小值是 ．
【答案】
【分析】连接 ，过点 作 于 ，与 交于点 ，连接 ， ，得 、 点关于 对
称，当 、 、 三点共线，且 时， 为最小值，通过等腰直角三角形的性质求得此
时的 便可．
【详解】解：过点 作 于 ，与 交于点 ，连接 ， ，等腰直角 中． ， ，点 为 边的中点，
， ，
平分 ，
，
， ，
，
，
，
，
当点 、 、 依次在同一直线上，且 时， 的值最小，
如图：
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴
即 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，角平分线定义，等腰直角三角形的性质，灵活应用角平分线定理，
准确找到点 关于 的对称点，再结合垂线段最短，将所有最小距离转化为垂线段 的长是解题的关
键
【变式2】（22-23八年级下·云南昭通·期中）如图，河 的同侧有 、 两个村，且 ， 、
两村到河的距离分别为 ， ．现要在河边 上建一水厂分别向 、 两村输送自来
水，铺设水管的工程费每千米需2000元．请你在河岸 上选择水厂位置 ，使铺设水管的费用最省，并
求出铺设水管的总费用 （元）．【答案】20000元
【分析】作 点关于 的对称点为 ，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作
交 的延长线于点 ，分别利用勾股定理求出 和 的长即可．
【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，点 即为水厂的位置．
分过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，
则 ， ， ．
∴ ．
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
由勾股定理得 ．
∴ （元）．
故铺设水管的总费用为20000元．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键
【变式3】（22-23八年级·山东济南·期中）如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，
，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河
CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．
(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明）
(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这
项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．
【答案】(1)见解析；(2)50万元.
【分析】（1）作点A关于直线 的对称点 ，连接 ，交 于M点，即M为所求；
（2）连接 交 于H点，过点B作 ，根据勾股定理求出 ， 即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，作点A关于直线 的对称点 ，连接 ，交 于M点，即M为所求.
（2）解：如图，连接 交 于H点，过点B作 ，
由题意可知： ， ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴在 中， ，
由对称性质可知： ，
水管长 ，
完成这项工程乡政府投入的资金至少为 （万元）
【点睛】本题考查了轴对称 最短路线问题，勾股定理，题目比较典型，是一道比较好的题目，考查了学
生的动手操作能力和计算能力
技巧4：用展开法解决立体图形中的最短问题
类型1：圆柱中的最短问题
【例题4】（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图是底面周长为24，高为5的圆柱体．一只小蚂蚁要
从点A爬到点 ，则蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A．7 B．10 C．13 D．21【答案】C
【分析】本题考查了平面展开 最短路径问题，解题的关键是把立体图形转换成平面图形，运用勾股定理
来解．
将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，根据两点之间线段最短找出最短距离，然后根据勾股定理可求得结
果．
【详解】解：如图所示：
由于圆柱体的底面周长为24，
则 ，
又因为圆柱体的高为5，
∴ ，
所以 ，
故蚂蚁爬行的最短距离是13．
故选：C
【变式1】（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，透明圆柱的底面半径为6厘米，高为12厘米，蚂蚁在
圆柱侧面爬行．从圆柱的内侧点 爬到圆柱的外侧点 处吃食物，那么它爬行最短路程是 厘米．
【答案】30
【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵透明圆柱的底面半径为6厘米，
∴透明圆柱的底面周长为 厘米≈36厘米，
作点A关于直线EF的对称点 ，连接A′B，则 的长度即为它爬行最短路程，
∴ 厘米， 厘米，∴ ，
故答案为：30．
【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然
后用勾股定理进行计算．
【变式2】（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）（1）如图①，圆柱的高为 ，底面圆的周长为 ，在
圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路
程是多少？
（2）如图2，是一个无盖的长方形罐头盒，盒高 ，盒底周长 ，盒外一只蚂蚁在底部A处，想吃
到盒内与A相对的点B处的食物，求蚂蚁爬行的最短路程长度．
【答案】（1） （2）
【分析】此题主要考查了平面展开图中最短路径问题，这是中考中热点问题，找出展开图的与原图形对应
情况是解决问题的关键.首先画出圆柱的平面展开图，利用勾股定理可求出最短路程的长.
【详解】（1）解：如解图，圆柱体的展开图为长方形 ，
所以 ，由题意可知， ，
所以在 中，
由勾股定理得， ，
所以 ，
所以蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是 ；
（2）如图，
∵盒高 ，盒底周长为 ，
，
∴蚂蚁爬行的最短路程是
，
∴蚂蚁爬行的最短路程是
【变式3】（22-23八年级下·全国·单元测试）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二
丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一
个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点 处缠绕而上．
(1)若绕五周后其末端恰好到达点 处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
(2)若绕 周后其末端恰好到达点 处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
【答案】(1)25
(2)
【分析】（1）根据题意画出图形，在Rt 中，再根据勾股定理求解即可；
（2）在Rt 中根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，在Rt 中， ， ，
（尺）
答：葛藤长为25尺．
故答案为：25；
（2）解：在Rt 中， ， ，
（尺），
答：葛藤长为 尺．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是平面展开—最短路径问题，能够根据题意画出图形，构造出直角三角形是解决问题
的关键
类型2：圆锥中的最短问题
【例题5】（2024八年级·全国·竞赛）有一个圆锥，其母线长是 ，底面圆的直径是 ，点 为底面
圆周上的任意一点，现在用笔在该圆锥的侧面上画出一条线，这条线从点 开始绕圆锥侧面一圈后又回到
点 ，则这条线最短为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了圆锥平面展开图的最短路径问题，利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，
进而得出扇形圆心角的度数，再利用勾股定理求出 的长．
【详解】解：如图，由两点间直线距离最短可知，圆锥侧面展开图 最短，
由题意可知： ，
，
解得： ，
，
，
故选：B【变式1】（2023八年级下·全国·专题练习）如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A
点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是 ．
【答案】
【分析】先把圆锥的侧面展开图，再根据两点之间，线段最短确定最短路线，求出展开图扇形圆心角，最
后根据勾股定理求解线段长即可．
【详解】解：由题意知，底面圆的直径为 ，
故底面周长等于 ，
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 ，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得， ，
解得 ，
所以展开图中圆心角为 ，
根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是： ．
故答案为：
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图，最短路问题，弧长公式和勾股定理等知识点，拥有良好的空间想
象能力是解题的关键
【变式2】（20-21八年级上·山西运城·期中）如图，圆锥的底面圆直径 为 ，母线长 为 ，若小虫
从点 开始绕着圆锥表面爬行一圈到 的中点 ，则小虫爬行的最短距离为 ．
【答案】
【分析】将圆锥的侧面展开，是一个扇形，AC就是小虫爬行的最短路程，利用弧长与圆心角的公式，求展开图的圆心角 ，R=4，l=2πr=2π,可求出n的大小，由于n=90º，利用勾股定理可求AC的长即可．
【详解】把圆锥的侧面展开，弧长是2πr=2π，母线AS=4，
侧面展开的圆心角 ，n=90º即∠ASC=90º，
C为SD的中点SD=4，
线段AC是小虫爬行的最短距离，
在Rt SAC中，由勾股定理的AC= ，
故答案△为： ．
【点睛】本题考查圆锥侧面的最短路径问题，掌握弧长公式，会利用弧长与圆锥底面圆的关系确定侧面展
开图的圆心角，会用勾股定理求出最短路径是解题关键
【变式3】已知：如图，观察图形回答下面的问题：
(1)此图形的名称为________．
(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个
________．
(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬
到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？
(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程．
【答案】 （1）圆锥 （2）扇形（3）见解析（4）
【详解】试题分析:（1）根据几何体的特点可判断此图图形为圆锥,（2）圆锥的侧面展开图是扇形,（3）要
求蜗牛爬行的最短距离,需将圆锥的侧面展开,进而根据”两点之间线段最短”得出结果,（4）已知圆锥侧面
展开图的夹角为90°,则可得到最短路径是直角三角形的斜边,根据已知确定两直角边的长,即可利用勾股定理
求解.
解：(1)圆锥 (2)扇形
(3)把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC为蜗牛爬行的最短路线．(4)在Rt ASC中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125，
∴AC＝△ ＝ .
故蜗牛爬行的最短路程为
类型3：长方体中的最短问题
【例题6】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在一个长方形草坪 上，放着一根长方体的木块．
已知 米， 米，该木块的较长边与 平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点
爬过木块到达 处需要走的最短路程是（ ）
A．8m B．10m C． m D． m
【答案】B
【分析】本题主要考查了平面展开 最短路线问题，两点之间线段最短．将木块表面展开，然后根据两点
之间线段最短解答．
【详解】解：如图，将木块展开， 即为所求，
则 （米 ， 米，
最短路径为： （米 ．
故选：B
【变式1】（22-23八年级下·河南驻马店·期中）如图，一只蚂蚁从长、宽、高分别为9cm，7cm，5cm的
长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是 cm．
【答案】15
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；因此此题可分展开前面和右面，展开前面和上面，展开左面和上面三种情况进行分类求解即可
【详解】解：当展开前面和右面时，最短路线长 ；
当展开前面和上面时，最短路线长 ；
当展开左面和上面时，最短路线长 ，
∵ ，
∴它所走的最短路线的长是15cm，
故答案为：15
【变式2】（22-23八年级下·湖南永州·阶段练习）如图是长 、宽 、高 的长方
体容器．
(1)求底面矩形 的对角线的长；
(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？
(3)一只蚂蚁从D点爬到E点最短路径是多少？
【答案】(1)底面矩形 的对角线的长为
(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是
(3)蚂蚁从D点爬到E点最短路径
【分析】（1）根据题意运用勾股定理即可得出结果；
（2）根据题意连接 、 ，两次运用勾股定理即可得出结果;
（3）分别求出三种情况下蚂蚁爬行的最短距离，然后进行比较，得出蚂蚁爬行的最短距离即可．
【详解】（1）解：∵ 、 ， ，
∴对角线的长为： ；
答：底面矩形 的对角线的长为 ．
（2）解：连接 、 ，如图所示：在 中，
∵ 、 ， ，
∴ ，
在 中， ．
答：这个盒子最长能放 的棍子．
（3）解：将前面的面和右边的面展开，如图所示：
此时蚂蚁从D点爬到E点最短路径为：
；
将前面的面和上边的面展开，如图所示：
此时蚂蚁从D点爬到E点最短路径为：
；
将左边的面和上边的面展开，如图所示：此时蚂蚁从D点爬到E点最短路径为：
；
∵ ，
∴蚂蚁从D点爬到E点最短路径 ．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，根据题意，作出辅助线、构造出直角三角形是解答此题的关
键
【变式3】（2023八年级下·全国·专题练习）一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm，
(1)请问：长为 dm的铁棒能放进去吗？
(2)如果有﹣只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程．
【答案】(1)能
(2) dm
【分析】（1）连接 ，利用勾股定理求出 的长度，再进行比较即可得；
（2）分三种情况将长方体展开，然后进行比较即得结果．
【详解】（1）如图1，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴长为 dm的铁棒能放进去；
（2）如图2所示，将前面与右侧面展开，dm．
如图3所示，将前面与上面展开，
dm，
如图4所示，将下面与右侧面展开，
dm，
∵ ，
∴爬行的最短路程是 dm．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用之最短路径问题，正确分类、熟练掌握勾股定理是解题的关键
